Sifat asas penambahan dan pendaraban nombor.
Sifat komutatif penambahan: menyusun semula istilah tidak mengubah nilai jumlah. Untuk sebarang nombor a dan b kesamaan adalah benar
Sifat gabungan penambahan: untuk menambah nombor ketiga kepada jumlah dua nombor, anda boleh menambah jumlah kedua dan ketiga kepada nombor pertama. Untuk sebarang nombor a, b dan c kesamaan adalah benar
Sifat komutatif pendaraban: penyusunan semula faktor tidak mengubah nilai hasil darab. Untuk sebarang nombor a, b dan c kesamaan adalah benar
Sifat gabungan pendaraban: untuk mendarab hasil darab dua nombor dengan nombor ketiga, anda boleh mendarab nombor pertama dengan hasil darab kedua dan ketiga.
Untuk sebarang nombor a, b dan c kesamaan adalah benar
Harta Pengedaran: Untuk mendarab nombor dengan jumlah, anda boleh mendarab nombor itu dengan setiap sebutan dan menambah hasilnya. Untuk sebarang nombor a, b dan c kesamaan adalah benar
Daripada sifat komutatif dan gabungan penambahan ia berikut: dalam sebarang jumlah anda boleh menyusun semula istilah dalam apa jua cara yang anda suka dan sewenang-wenangnya menggabungkannya ke dalam kumpulan.
Contoh 1 Mari kita hitung jumlah 1.23+13.5+4.27.
Untuk melakukan ini, adalah mudah untuk menggabungkan istilah pertama dengan yang ketiga. Kita mendapatkan:
1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.
Daripada sifat komutatif dan gabungan pendaraban ia berikut: dalam mana-mana produk anda boleh menyusun semula faktor dalam apa jua cara dan sewenang-wenangnya menggabungkannya ke dalam kumpulan.
Contoh 2 Mari cari nilai hasil darab 1.8·0.25·64·0.5.
Menggabungkan faktor pertama dengan yang keempat, dan yang kedua dengan yang ketiga, kita mempunyai:
1.8·0.25·64·0.5=(1.8·0.5)·(0.25·64)=0.9·16=14.4.
Sifat pengagihan juga benar apabila suatu nombor didarab dengan hasil tambah tiga atau lebih sebutan.
Sebagai contoh, untuk sebarang nombor a, b, c dan d kesamaan adalah benar
a(b+c+d)=ab+ac+ad.
Kita tahu bahawa penolakan boleh digantikan dengan penambahan dengan menambah pada minuend nombor berlawanan subtrahend:
Ini membenarkan ungkapan angka taip a-b dianggap jumlah nombor a dan -b, ungkapan berangka bentuk a+b-c-d dianggap hasil tambah nombor a, b, -c, -d, dsb. Sifat tindakan yang dipertimbangkan juga sah untuk jumlah tersebut.
Contoh 3 Mari cari nilai ungkapan 3.27-6.5-2.5+1.73.
Ungkapan ini ialah hasil tambah nombor 3.27, -6.5, -2.5 dan 1.73. Menggunakan sifat penambahan, kita dapat: 3.27-6.5-2.5+1.73=(3.27+1.73)+(-6.5-2.5)=5+(-9) = -4.
Contoh 4 Mari kita hitung hasil darab 36·().
Pengganda boleh dianggap sebagai hasil tambah nombor dan -. Dengan menggunakan sifat taburan pendaraban, kita memperoleh:
36()=36·-36·=9-10=-1.
Identiti
Definisi. Dua ungkapan yang nilai yang sepadan adalah sama untuk sebarang nilai pembolehubah dipanggil sama sama.
Definisi. Kesamaan yang benar untuk sebarang nilai pembolehubah dipanggil identiti.
Mari cari nilai ungkapan 3(x+y) dan 3x+3y untuk x=5, y=4:
3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,
3x+3y=3·5+3·4=15+12=27.
Kami mendapat keputusan yang sama. daripada harta pengagihan maka secara amnya, untuk sebarang nilai pembolehubah, nilai yang sepadan bagi ungkapan 3(x+y) dan 3x+3y adalah sama.
Sekarang mari kita pertimbangkan ungkapan 2x+y dan 2xy. Apabila x=1, y=2 mereka mengambil nilai yang sama:
Walau bagaimanapun, anda boleh menentukan nilai x dan y supaya nilai ungkapan ini tidak sama. Contohnya, jika x=3, y=4, maka
Ungkapan 3(x+y) dan 3x+3y adalah sama, tetapi ungkapan 2x+y dan 2xy tidak sama.
Kesamaan 3(x+y)=x+3y, benar untuk sebarang nilai x dan y, ialah identiti.
Persamaan berangka sebenar juga dianggap sebagai identiti.
Oleh itu, identiti ialah kesamaan yang menyatakan sifat asas operasi pada nombor:
a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),
ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.
Contoh identiti lain boleh diberikan:
a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),
a·1=a, a·(-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.
Transformasi ekspresi yang sama
Menggantikan satu ungkapan dengan ungkapan lain yang serupa dipanggil transformasi identik atau hanya transformasi ungkapan.
Transformasi yang sama bagi ungkapan dengan pembolehubah dilakukan berdasarkan sifat operasi pada nombor.
Untuk mencari nilai ungkapan xy-xz apabila nilai yang diberikan x, y, z, anda perlu melakukan tiga tindakan. Sebagai contoh, dengan x=2.3, y=0.8, z=0.2 kita dapat:
xy-xz=2.3·0.8-2.3·0.2=1.84-0.46=1.38.
Keputusan ini boleh diperolehi dengan melakukan hanya dua langkah, jika anda menggunakan ungkapan x(y-z), yang sama dengan ungkapan xy-xz:
xy-xz=2.3(0.8-0.2)=2.3·0.6=1.38.
Kami memudahkan pengiraan dengan menggantikan ungkapan xy-xz secara identik ungkapan yang sama x(y-z).
Transformasi ungkapan yang sama digunakan secara meluas dalam mengira nilai ungkapan dan menyelesaikan masalah lain. Beberapa transformasi identiti Saya sudah terpaksa melaksanakan, sebagai contoh, pengurangan istilah yang serupa dan pengembangan kurungan. Mari kita ingat peraturan untuk melakukan transformasi ini:
untuk membawa istilah yang serupa, anda perlu menambah pekalinya dan mendarabkan hasilnya dengan bahagian huruf biasa;
jika terdapat tanda tambah sebelum kurungan, maka kurungan boleh ditinggalkan, mengekalkan tanda setiap istilah yang disertakan dalam kurungan;
Jika terdapat tanda tolak sebelum kurungan, maka kurungan boleh ditinggalkan dengan menukar tanda setiap istilah yang disertakan dalam kurungan.
Contoh 1 Mari kita kemukakan sebutan serupa dalam jumlah 5x+2x-3x.
Mari kita gunakan peraturan untuk mengurangkan istilah yang serupa:
5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.
Penjelmaan ini adalah berdasarkan sifat taburan pendaraban.
Contoh 2 Mari kita buka kurungan dalam ungkapan 2a+(b-3c).
Menggunakan peraturan untuk membuka kurungan yang didahului dengan tanda tambah:
2a+(b-3c)=2a+b-3c.
Transformasi yang dijalankan adalah berdasarkan sifat gabungan penambahan.
Contoh 3 Mari kita buka kurungan dalam ungkapan a-(4b-c).
Mari kita gunakan peraturan untuk membuka kurungan yang didahului oleh tanda tolak:
a-(4b-c)=a-4b+c.
Penjelmaan yang dilakukan adalah berdasarkan sifat taburan pendaraban dan sifat gabungan penambahan. Jom tunjuk. Mari bayangkan dalam ungkapan ini sebutan kedua -(4b-c) dalam bentuk hasil darab (-1)(4b-c):
a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).
Dengan memohon sifat yang ditentukan tindakan, kita mendapat:
a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.
Nombor dan ungkapan yang membentuk ungkapan asal boleh digantikan dengan ungkapan yang sama. Transformasi ungkapan asal sedemikian membawa kepada ungkapan yang sama dengannya.
Sebagai contoh, dalam ungkapan 3+x, nombor 3 boleh digantikan dengan jumlah 1+2, yang akan menghasilkan ungkapan (1+2)+x, yang sama dengan ungkapan asal. Contoh lain: dalam ungkapan 1+a 5, kuasa a 5 boleh digantikan dengan produk yang sama, contohnya, dalam bentuk a·a 4. Ini akan memberikan kita ungkapan 1+a·a 4 .
Transformasi ini sudah pasti buatan, dan biasanya merupakan persediaan untuk beberapa transformasi selanjutnya. Sebagai contoh, dalam jumlah 4 x 3 +2 x 2, dengan mengambil kira sifat darjah, sebutan 4 x 3 boleh diwakili sebagai hasil darab 2 x 2 2 x. Selepas penjelmaan ini, ungkapan asal akan mengambil bentuk 2 x 2 2 x+2 x 2. Jelas sekali, syarat dalam jumlah yang terhasil mempunyai pengganda biasa 2 x 2 , jadi kita boleh melakukan penjelmaan berikut - pendakapan. Selepas itu kita sampai kepada ungkapan: 2 x 2 (2 x+1) .
Menambah dan menolak nombor yang sama
Satu lagi penjelmaan tiruan bagi sesuatu ungkapan ialah penambahan dan penolakan serentak bagi nombor atau ungkapan yang sama. Transformasi ini adalah sama kerana ia pada asasnya bersamaan dengan menambah sifar, dan menambah sifar tidak mengubah nilai.
Mari kita lihat satu contoh. Mari kita ambil ungkapan x 2 +2·x. Jika anda menambah satu padanya dan menolak satu, ini akan membolehkan anda melakukan satu lagi transformasi yang serupa pada masa hadapan - kuasa dua binomial: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.
Bibliografi.
- Algebra: buku teks untuk darjah 7 pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; diedit oleh S. A. Telyakovsky. - ed ke-17. - M.: Pendidikan, 2008. - 240 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Algebra: buku teks untuk darjah 8. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; diedit oleh S. A. Telyakovsky. - ed ke-16. - M.: Pendidikan, 2008. - 271 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A. G. Algebra. darjah 7. Pada pukul 2 petang Bahagian 1. Buku teks untuk pelajar institusi pendidikan/ A. G. Mordkovich. - ed. ke-17, tambah. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 p.: sakit. ISBN 978-5-346-02432-3.
Jenis pelajaran: pelajaran generalisasi dan sistematisasi pengetahuan.
Objektif pelajaran:
- Meningkatkan keupayaan untuk mengaplikasikan pengetahuan yang diperoleh sebelum ini untuk persediaan menghadapi Peperiksaan Negeri di gred 9.
- Ajar kebolehan menganalisis dan mendekati sesuatu tugasan secara kreatif.
- Untuk memupuk budaya dan kecekapan berfikir, minat kognitif kepada matematik.
- Membantu pelajar membuat persediaan menghadapi Peperiksaan Negeri.
- sistematikkan pengetahuan teori pelajar.
- Tingkatkan orientasi praktikal topik ini sebagai persediaan menghadapi Peperiksaan Negeri.
- Kembangkan kemahiran kerja mental - mencari penyelesaian yang rasional.
Peralatan: projektor multimedia, lembaran kerja, jam.
Rancangan pengajaran: 1. Detik organisasi.
- Mengemas kini pengetahuan.
- Pembangunan bahan teori.
- Ringkasan pelajaran.
- Kerja rumah.
SEMASA KELAS
I. Detik organisasi.
1) Ucapan salam daripada guru.
Kriptografi ialah sains cara untuk mengubah (menyulitkan) maklumat untuk melindunginya daripada pengguna haram. Salah satu kaedah ini dipanggil "grid". Ia adalah salah satu yang agak mudah dan berkait rapat dengan aritmetik, tetapi yang tidak dipelajari di sekolah. Satu sampel kekisi ada di hadapan anda. Seseorang akan memikirkan cara menggunakannya.
- penyelesaian kepada mesej.
"Semua yang berhenti bersenam berhenti menarik."
Francois Larachefoucauld.
2) Mesej tentang tajuk pelajaran, objektif pelajaran, rancangan pengajaran.
– slaid dalam pembentangan.
II. Mengemas kini pengetahuan.
1) Kerja lisan.
1. Nombor. Apakah nombor yang anda tahu?
– nombor asli ialah nombor 1,2,3,4... yang digunakan semasa mengira
– integer ialah nombor…-4,-3,-2,-1,0,1, 2… nombor asli, lawannya dan nombor 0.
– nombor rasional ialah nombor bulat dan pecahan
– tidak rasional – ini ialah pecahan bukan berkala perpuluhan tak terhingga
– nyata – ini adalah rasional dan tidak rasional.
2. Ungkapan. Apakah ungkapan yang anda tahu?
– berangka ialah ungkapan yang terdiri daripada nombor yang dihubungkan dengan simbol aritmetik.
– abjad – ini adalah ungkapan yang mengandungi beberapa pembolehubah, nombor dan tanda tindakan.
– Integer ialah ungkapan yang terdiri daripada nombor dan pembolehubah menggunakan operasi tambah, tolak, darab dan bahagi dengan nombor.
– pecahan ialah ungkapan keseluruhan menggunakan pembahagian dengan ungkapan dengan pembolehubah.
3. Transformasi. Apakah sifat utama yang digunakan semasa melakukan transformasi?
– komutatif – untuk sebarang nombor a dan b adalah benar: a+b=b+a, ab=va
– bersekutu – untuk sebarang nombor a, b, c, yang berikut adalah benar: (a+b)+c=a+(b+c), (ab)c=a(c)
– pengedaran – untuk sebarang nombor a, b, c adalah benar: a(b+c)=av+ac
4. Lakukan:
– susun nombor dalam tertib menaik: 0.0157; 0.105; 0.07
– susun nombor dalam tertib menurun: 0.0216; 0.12; 0.016
– salah satu titik yang ditanda pada garis koordinat sepadan dengan nombor v68. Apakah perkara ini?
– apakah titik yang sepadan dengan nombor?
– nombor a dan b ditanda pada garis koordinat. Manakah antara pernyataan berikut adalah benar?
III. Pembangunan bahan teori.
1. Bekerja dalam buku nota, di papan tulis.
Setiap guru mempunyai lembaran kerja di mana tugasan ditulis untuk kerja dalam buku nota semasa pelajaran. Di lajur kanan helaian ini terdapat tugasan untuk kerja dalam kelas, dan di lajur kiri terdapat kerja rumah.
Pelajar keluar untuk bekerja di papan.
Tugasan No 1. Dalam kes ini, ungkapan ditukar kepada sama sama.
Tugasan No. 3. Faktorkan:
a 3 – av – a 2 c + a 2; x 2 y – x 2 -y + x 3.
2x+ y + y 2 – 4x 2; a – 3c +9c 2 -a 2 .
2. Kerja bebas.
Pada lembaran kerja anda mempunyai kerja bebas, di bawah selepas teks terdapat jadual di mana anda memasukkan nombor di bawah jawapan yang betul. Ia mengambil masa 7 minit untuk menyelesaikan kerja.
Uji "Nombor dan Penukaran"
1. Tulis 0.00019 dalam bentuk piawai.
1)0,019*10 -2 ; 2)0,19*10 -3 ; 3)1,9*10 -4 ; 4)19*10 -5
2. Salah satu titik yang ditanda pada garis koordinat sepadan dengan nombor
3. Mengenai nombor a dan b diketahui bahawa a>0, b>0, a>4b. Antara ketaksamaan berikut, yang manakah palsu?
1) a-2a>-3b; 2) 2a>8b; 3) a/4>b-2; 4) a+3>b+1.
4. Cari nilai ungkapan: (6x – 5y): (3x+y), jika x=1.5 dan y=0.5.
1) 1,5; 2) 1,3; 3) 1,33; 4) 2,5.
5. Antara ungkapan berikut, yang manakah boleh ditukar menjadi (7 – x)(x – 4)?
1)– (7 – x)(4 – x); 2) (7 – x)(4 – x);
3) – (x – 7)(4 – x); 4) (x – 7)(x-4).
Selepas menyiapkan kerja, semakan dijalankan menggunakan program ASUOK (latihan automatik dan sistem pengurusan kawalan). Lelaki itu bertukar-tukar buku nota dengan rakan sejawat mereka dan menyemak ujian bersama-sama dengan guru.| senaman | |||||
| Jawapan: | 3 | 1 | 1 | 2 | 1 |
6. Ringkasan pelajaran.
Hari ini dalam kelas anda menyelesaikan tugasan yang dipilih daripada koleksi untuk disediakan untuk Peperiksaan Negeri. Ini adalah sebahagian kecil daripada perkara yang anda perlu ulangi untuk lulus peperiksaan dengan sempurna.
- Pelajaran sudah tamat. Apakah yang anda dapati berguna daripada pelajaran itu?
"Ahli adalah orang yang tidak lagi berfikir, dia tahu." Frank Hubbard.
7. Kerja rumah
Pada helaian kertas terdapat tugasan yang perlu diselesaikan di rumah.
Di antara pelbagai ungkapan yang dipertimbangkan dalam algebra, jumlah monomial menduduki tempat yang penting. Berikut adalah contoh ungkapan tersebut:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
Jumlah monomial dipanggil polinomial. Istilah dalam polinomial dipanggil istilah polinomial. Monomial juga dikelaskan sebagai polinomial, menganggap monomial sebagai polinomial yang terdiri daripada satu ahli.
Contohnya, polinomial
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
boleh dipermudahkan.
Mari kita wakili semua istilah dalam bentuk monomials pandangan standard:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
Mari kita kemukakan istilah yang serupa dalam polinomial yang terhasil:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Hasilnya ialah polinomial, yang kesemuanya adalah monomial dalam bentuk piawai, dan di antaranya tidak ada yang serupa. Polinomial sedemikian dipanggil polinomial bentuk piawai.
belakang darjah polinomial daripada bentuk standard mengambil kuasa tertinggi ahli-ahlinya. Oleh itu, binomial \(12a^2b - 7b\) mempunyai darjah ketiga, dan trinomial \(2b^2 -7b + 6\) mempunyai darjah kedua.
Lazimnya, istilah polinomial bentuk piawai yang mengandungi satu pembolehubah disusun dalam susunan menurun bagi eksponen. Sebagai contoh:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
Jumlah beberapa polinomial boleh diubah (dipermudahkan) kepada polinomial bentuk piawai.
Kadangkala istilah polinomial perlu dibahagikan kepada kumpulan, melampirkan setiap kumpulan dalam kurungan. Memandangkan melampirkan kurungan ialah penjelmaan songsang kurungan pembukaan, ia mudah untuk dirumuskan peraturan untuk membuka kurungan:
Jika tanda “+” diletakkan sebelum kurungan, maka istilah yang disertakan dalam kurungan ditulis dengan tanda yang sama.
Jika tanda "-" diletakkan sebelum kurungan, maka istilah yang disertakan dalam kurungan ditulis dengan tanda yang bertentangan.
Transformasi (pemudahan) hasil darab monomial dan polinomial
Menggunakan sifat taburan pendaraban, anda boleh mengubah (memudahkan) hasil darab monomial dan polinomial kepada polinomial. Sebagai contoh:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Hasil darab monomial dan polinomial adalah sama dengan jumlah hasil darab monomial ini dan setiap sebutan polinomial.
Keputusan ini biasanya dirumuskan sebagai peraturan.
Untuk mendarab monomial dengan polinomial, anda mesti mendarab monomial itu dengan setiap sebutan polinomial itu.
Kami telah menggunakan peraturan ini beberapa kali untuk mendarab dengan jumlah.
Hasil daripada polinomial. Penjelmaan (pemudahan) hasil darab dua polinomial
Secara amnya, hasil darab dua polinomial adalah sama dengan jumlah hasil darab setiap sebutan satu polinomial dan setiap sebutan yang lain.
Biasanya peraturan berikut digunakan.
Untuk mendarab polinomial dengan polinomial, anda perlu mendarab setiap sebutan satu polinomial dengan setiap sebutan yang lain dan menambah hasil darab.
Rumus pendaraban yang disingkatkan. Jumlah kuasa dua, perbezaan dan perbezaan kuasa dua
Dengan beberapa ungkapan dalam transformasi algebra perlu berurusan dengan lebih kerap daripada orang lain. Mungkin ungkapan yang paling biasa ialah \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) dan \(a^2 - b^2 \), iaitu kuasa dua hasil tambah, kuasa dua bagi perbezaan dan perbezaan segi empat sama. Anda perasan bahawa nama ungkapan ini nampaknya tidak lengkap, contohnya, \((a + b)^2 \) sudah tentu, bukan hanya kuasa dua jumlah, tetapi kuasa dua jumlah a dan b . Walau bagaimanapun, kuasa dua jumlah a dan b tidak berlaku dengan kerap, bukannya huruf a dan b, ia mengandungi pelbagai, kadangkala agak kompleks, ungkapan.
Ungkapan \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) boleh ditukar dengan mudah (dipermudahkan) kepada polinomial bentuk piawai, sebenarnya, anda telah pun menghadapi tugas ini apabila mendarab polinomial:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Adalah berguna untuk mengingati identiti yang terhasil dan menerapkannya tanpa pengiraan perantaraan. Rumusan lisan ringkas membantu ini.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kuasa dua jumlah sama dengan jumlah segi empat sama dan dua kali ganda hasil darab.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kuasa dua beza adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua tanpa hasil darab.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - perbezaan segi empat sama adalah sama dengan hasil darab beza dan hasil tambah.
Ketiga-tiga identiti ini membolehkan seseorang menggantikan bahagian kirinya dengan tangan kanan dalam transformasi dan sebaliknya - bahagian tangan kanan dengan tangan kiri. Perkara yang paling sukar ialah melihat ungkapan yang sepadan dan memahami bagaimana pembolehubah a dan b digantikan di dalamnya. Mari kita lihat beberapa contoh penggunaan rumus pendaraban yang disingkatkan.