Nota PENTING!
1. Jika anda melihat gobbledygook dan bukannya formula, kosongkan cache anda. Bagaimana untuk melakukan ini dalam penyemak imbas anda ditulis di sini:
2. Sebelum anda mula membaca artikel itu, perhatikan pelayar kami sepenuhnya sumber yang berguna Untuk
Ini sering kita dengar frasa yang tidak menyenangkan: "mudahkan ungkapan." Biasanya kita melihat beberapa jenis raksasa seperti ini:
"Ia lebih mudah," kami berkata, tetapi jawapan sedemikian biasanya tidak berfungsi.
Sekarang saya akan mengajar anda untuk tidak takut dengan sebarang tugas sedemikian.
Selain itu, pada akhir pelajaran anda akan memudahkan contoh ini kepada (hanya!) nombor biasa(ya, neraka dengan surat-surat ini).
Tetapi sebelum anda memulakan aktiviti ini, anda perlu boleh mengendalikan pecahan Dan polinomial faktor.
Oleh itu, jika anda belum melakukan ini sebelum ini, pastikan anda menguasai topik "" dan "".
Adakah anda telah membacanya? Jika ya, maka anda kini sudah bersedia.
Mari pergi!
Operasi Permudah Ungkapan Asas
Sekarang mari kita lihat teknik asas yang digunakan untuk memudahkan ungkapan.
Yang paling mudah ialah
1. Membawa serupa
Apakah yang serupa? Anda mengambil ini dalam gred 7, apabila huruf dan bukannya nombor mula-mula muncul dalam matematik.
serupa- ini adalah istilah (monomial) dengan bahagian huruf yang sama.
Sebagai contoh, secara keseluruhan istilah yang serupa- ini saya.
Adakah awak ingat?
Berikan yang serupa- bermakna menambah beberapa istilah yang serupa antara satu sama lain dan mendapat satu istilah.
Bagaimanakah kita boleh menyusun huruf? - anda bertanya.
Ini sangat mudah difahami jika anda membayangkan bahawa huruf itu adalah sejenis objek.
Sebagai contoh, surat adalah kerusi. Kemudian apakah ungkapan itu sama dengan?
Dua kerusi ditambah tiga kerusi, berapakah bilangannya? Betul, kerusi: .
Sekarang cuba ungkapan ini: .
Untuk mengelakkan kekeliruan, biarkan huruf yang berbeza mewakili objek yang berbeza.
Sebagai contoh, - ialah (seperti biasa) kerusi, dan - ialah meja.
kerusi meja kerusi meja kerusi kerusi meja
Nombor yang mana huruf dalam sebutan tersebut didarab dipanggil pekali.
Sebagai contoh, dalam monomial pekali adalah sama. Dan di dalamnya adalah sama.
Jadi, peraturan untuk membawa yang serupa ialah:
Contoh:
Berikan yang serupa:
Jawapan:
2. (dan serupa, kerana, oleh itu, istilah ini mempunyai bahagian huruf yang sama).
2. Pemfaktoran
Ini biasanya paling banyak bahagian penting dalam memudahkan ungkapan.
Selepas anda memberikan yang serupa, paling kerap ungkapan yang terhasil diperlukan memfaktorkan, iaitu dipersembahkan dalam bentuk produk.
Terutamanya ini penting dalam pecahan: lagipun, untuk dapat mengurangkan pecahan, Pengangka dan penyebut mesti diwakili sebagai hasil kali.
Anda telah melalui kaedah pemfaktoran ungkapan secara terperinci dalam topik "", jadi di sini anda hanya perlu mengingati apa yang anda pelajari.
Untuk melakukan ini, selesaikan beberapa contoh (anda perlu memfaktorkannya)
Contoh:
Penyelesaian:
3. Mengurangkan pecahan.
Nah, apa yang lebih menyenangkan daripada memotong sebahagian daripada pengangka dan penyebut dan membuangnya daripada hidup anda?
Itulah indahnya mengecilkan saiz.
Ia mudah:
Jika pengangka dan penyebut mengandungi faktor yang sama, ia boleh dikurangkan, iaitu, dikeluarkan daripada pecahan.
Peraturan ini mengikuti dari sifat asas pecahan:
Iaitu, intipati operasi pengurangan itu Kami membahagikan pengangka dan penyebut pecahan dengan nombor yang sama (atau dengan ungkapan yang sama).
Untuk mengurangkan pecahan yang anda perlukan:
1) pengangka dan penyebut memfaktorkan
2) jika pengangka dan penyebut mengandungi faktor biasa, mereka boleh dicoret.
Contoh:
Prinsipnya, saya rasa, jelas?
Saya ingin menarik perhatian anda kepada satu kesilapan biasa semasa menyingkat. Walaupun topik ini mudah, ramai orang melakukan semua yang salah, tidak memahaminya kurangkan- ini bermaksud bahagikan pengangka dan penyebut adalah nombor yang sama.
Tiada singkatan jika pengangka atau penyebut adalah jumlah.
Contohnya: kita perlu permudahkan.
Sesetengah orang melakukan ini: yang sama sekali salah.
Contoh lain: kurangkan.
Yang "paling pintar" akan melakukan ini:
Beritahu saya apa yang salah di sini? Nampaknya: - ini adalah pengganda, yang bermaksud ia boleh dikurangkan.
Tetapi tidak: - ini adalah faktor hanya satu sebutan dalam pengangka, tetapi pengangka itu sendiri secara keseluruhannya tidak difaktorkan.
Ini satu lagi contoh: .
Ungkapan ini difaktorkan, yang bermaksud anda boleh mengurangkannya, iaitu, bahagikan pengangka dan penyebut dengan, dan kemudian dengan:
Anda boleh membahagikannya dengan segera kepada:
Untuk mengelakkan kesilapan sedemikian, ingat Jalan mudah bagaimana untuk menentukan sama ada ungkapan difaktorkan:
Operasi aritmetik yang dilakukan terakhir semasa mengira nilai ungkapan ialah operasi "induk".
Iaitu, jika anda menggantikan beberapa (mana-mana) nombor dan bukannya huruf dan cuba mengira nilai ungkapan, maka jika tindakan terakhir akan ada pendaraban, yang bermaksud kita mempunyai produk (ungkapan difaktorkan).
Jika tindakan terakhir ialah penambahan atau penolakan, ini bermakna ungkapan itu tidak difaktorkan (dan oleh itu tidak boleh dikurangkan).
Untuk mengukuhkan ini, selesaikan sendiri beberapa contoh:
Contoh:
Penyelesaian:
4. Menambah dan menolak pecahan. Mengurangkan pecahan kepada penyebut sepunya.
Penambahan dan penolakan pecahan biasa- operasi ini terkenal: kami mencari penyebut biasa, darab setiap pecahan dengan faktor yang hilang dan tambah/tolak pengangka.
Mari kita ingat:
Jawapan:
1. Penyebut dan adalah relatif perdana, iaitu, mereka tidak mempunyai faktor sepunya. Oleh itu, LCM nombor ini adalah sama dengan produknya. Ini akan menjadi penyebut biasa:
2. Di sini penyebut biasa ialah:
3. Perkara pertama di sini pecahan bercampur kami mengubahnya menjadi salah, dan kemudian ikuti corak biasa:
Perkara yang sama sekali berbeza jika pecahan mengandungi huruf, contohnya:
Mari kita mulakan dengan sesuatu yang mudah:
a) Penyebut tidak mengandungi huruf
Semuanya di sini sama seperti biasa pecahan berangka: cari penyebut biasa, darab setiap pecahan dengan faktor yang hilang dan tambah/tolak pengangka:
Sekarang dalam pengangka anda boleh memberikan yang serupa, jika ada, dan memfaktorkannya:
Cuba sendiri:
Jawapan:
b) Penyebut mengandungi huruf
Mari kita ingat prinsip mencari penyebut biasa tanpa huruf:
· pertama sekali, kami menentukan faktor sepunya;
· kemudian kami menulis semua faktor sepunya satu demi satu;
· dan darabkannya dengan semua faktor bukan lazim yang lain.
Untuk menentukan faktor sepunya penyebut, kita terlebih dahulu memasukkannya ke dalam faktor perdana:
Mari kita tekankan faktor biasa:
Sekarang mari kita tuliskan faktor sepunya satu demi satu dan tambahkan padanya semua faktor tidak lazim (tidak digariskan):
Ini adalah penyebut biasa.
Mari kita kembali kepada huruf. Penyebut diberikan dengan cara yang sama:
· faktorkan penyebut;
· menentukan faktor sepunya (sama);
· tulis semua faktor sepunya sekali;
· darabkannya dengan semua faktor bukan sepunya yang lain.
Jadi, mengikut urutan:
1) faktorkan penyebut:
2) tentukan faktor sepunya (sama):
3) tulis semua faktor sepunya sekali dan darabkannya dengan semua faktor lain (tidak ditekankan):
Jadi ada penyebut biasa di sini. Pecahan pertama mesti didarab dengan, yang kedua dengan:
By the way, ada satu helah:
Sebagai contoh: .
Kami melihat faktor yang sama dalam penyebut, hanya semua dengan penunjuk yang berbeza. Penyebut biasa ialah:
ke tahap
ke tahap
ke tahap
ke tahap.
Mari kita rumitkan tugas:
Bagaimana untuk membuat pecahan mempunyai penyebut yang sama?
Mari kita ingat sifat asas pecahan:
Tiada tempat yang mengatakan bahawa nombor yang sama boleh ditolak (atau ditambah) daripada pengangka dan penyebut pecahan. Kerana ia tidak benar!
Lihat sendiri: ambil mana-mana pecahan, sebagai contoh, dan tambahkan beberapa nombor pada pengangka dan penyebut, contohnya, . Apa yang awak belajar?
Jadi, satu lagi peraturan yang tidak tergoyahkan:
Apabila anda mengurangkan pecahan kepada penyebut biasa, gunakan hanya operasi pendaraban!
Tetapi apa yang anda perlu darabkan untuk mendapatkan?
Jadi darab dengan. Dan darab dengan:
Kami akan memanggil ungkapan yang tidak boleh difaktorkan sebagai "faktor asas".
Sebagai contoh, - ini adalah faktor asas. - Sama. Tetapi tidak: ia boleh difaktorkan.
Bagaimana dengan ungkapan? Adakah ia rendah?
Tidak, kerana ia boleh difaktorkan:
(anda sudah membaca tentang pemfaktoran dalam topik “”).
Jadi, faktor asas di mana anda mengembangkan ungkapan dengan huruf adalah analog faktor utama, di mana anda menguraikan nombor. Dan kita akan berurusan dengan mereka dengan cara yang sama.
Kami melihat bahawa kedua-dua penyebut mempunyai pengganda. Ia akan pergi ke penyebut biasa kepada darjah (ingat kenapa?).
Faktornya adalah asas, dan mereka tidak mempunyai faktor sepunya, yang bermaksud bahawa pecahan pertama hanya perlu didarab dengannya:
Contoh yang lain:
Penyelesaian:
Sebelum mendarabkan penyebut ini dalam keadaan panik, anda perlu memikirkan bagaimana untuk memfaktorkannya? Kedua-duanya mewakili:
Hebat! Kemudian:
Contoh yang lain:
Penyelesaian:
Seperti biasa, mari kita memfaktorkan penyebutnya. Dalam penyebut pertama kita hanya meletakkannya daripada kurungan; dalam kedua - perbezaan segi empat sama:
Nampaknya tidak ada faktor biasa. Tetapi jika anda melihat dengan teliti, mereka serupa... Dan memang benar:
Jadi mari kita tulis:
Iaitu, ternyata seperti ini: di dalam kurungan kami menukar istilah, dan pada masa yang sama tanda di hadapan pecahan berubah menjadi sebaliknya. Ambil perhatian, anda perlu melakukan ini dengan kerap.
Sekarang mari kita bawa ia kepada penyebut biasa:
faham? Jom semak sekarang.
Tugas untuk penyelesaian bebas:
Jawapan:
5. Pendaraban dan pembahagian pecahan.
Nah, bahagian yang paling sukar sudah berakhir sekarang. Dan di hadapan kita adalah yang paling mudah, tetapi pada masa yang sama yang paling penting:
Prosedur
Apakah prosedur untuk mengira ungkapan berangka? Ingat dengan mengira maksud ungkapan ini:
Adakah anda mengira?
Ia sepatutnya berfungsi.
Jadi, izinkan saya mengingatkan anda.
Langkah pertama ialah mengira darjah.
Yang kedua ialah pendaraban dan pembahagian. Jika terdapat beberapa pendaraban dan pembahagian pada masa yang sama, ia boleh dilakukan dalam sebarang susunan.
Dan akhirnya, kami melakukan penambahan dan penolakan. Sekali lagi, dalam sebarang susunan.
Tetapi: ungkapan dalam kurungan dinilai mengikut giliran!
Jika beberapa kurungan didarab atau dibahagikan dengan satu sama lain, kami mula-mula mengira ungkapan dalam setiap kurungan, dan kemudian darab atau bahagikannya.
Bagaimana jika terdapat lebih banyak kurungan di dalam kurungan? Baiklah, mari kita fikirkan: beberapa ungkapan ditulis di dalam kurungan. Apabila mengira ungkapan, apakah yang perlu anda lakukan dahulu? Betul, kira kurungan. Nah, kami memikirkannya: mula-mula kami mengira kurungan dalaman, kemudian segala-galanya.
Jadi, prosedur untuk ungkapan di atas adalah seperti berikut (tindakan semasa diserlahkan dengan warna merah, iaitu tindakan yang saya lakukan sekarang):
Okay, semuanya mudah.
Tetapi ini tidak sama dengan ungkapan dengan huruf?
Tidak, ia sama! Hanya sebaliknya operasi aritmetik anda perlu melakukan algebra, iaitu, tindakan yang diterangkan dalam bahagian sebelumnya: membawa serupa, menambah pecahan, mengurangkan pecahan dan sebagainya. Satu-satunya perbezaan adalah tindakan pemfaktoran polinomial (kita sering menggunakan ini apabila bekerja dengan pecahan). Selalunya, untuk memfaktorkan, anda perlu menggunakan I atau hanya meletakkan faktor sepunya daripada kurungan.
Biasanya matlamat kami adalah untuk mewakili ungkapan sebagai produk atau hasil bagi.
Sebagai contoh:
Mari kita permudahkan ungkapan.
1) Pertama, kita permudahkan ungkapan dalam kurungan. Di sana kami mempunyai perbezaan pecahan, dan matlamat kami adalah untuk membentangkannya sebagai hasil atau hasil bagi. Jadi, kami membawa pecahan kepada penyebut biasa dan menambah:
Adalah mustahil untuk memudahkan lagi ungkapan ini; semua faktor di sini adalah asas (adakah anda masih ingat maksud ini?).
2) Kami mendapat:
Mendarab pecahan: apa yang lebih mudah.
3) Kini anda boleh memendekkan:
OK semuanya sudah berakhir Sekarang. Tidak ada yang rumit, bukan?
Contoh yang lain:
Permudahkan ungkapan.
Mula-mula, cuba selesaikan sendiri, dan kemudian lihat penyelesaiannya.
Penyelesaian:
Pertama sekali, mari kita tentukan susunan tindakan.
Mula-mula, mari kita tambah pecahan dalam kurungan, jadi daripada dua pecahan kita mendapat satu.
Kemudian kita akan melakukan pembahagian pecahan. Baiklah, mari kita tambahkan hasilnya dengan pecahan terakhir.
Saya akan menomborkan langkah-langkah secara skematik:
Akhirnya, saya akan memberi anda dua petua berguna:
1. Jika ada yang serupa, hendaklah dibawa segera. Walau apa pun yang serupa timbul di negara kita, adalah dinasihatkan untuk membawanya segera.
2. Perkara yang sama berlaku untuk mengurangkan pecahan: sebaik sahaja peluang untuk mengurangkan muncul, ia mesti diambil kesempatan. Pengecualian adalah untuk pecahan yang anda tambah atau tolak: jika ia kini mempunyai penyebut yang sama, maka pengurangan itu harus dibiarkan kemudian.
Berikut ialah beberapa tugasan untuk anda selesaikan sendiri:
Dan apa yang dijanjikan pada mulanya:
Jawapan:
Penyelesaian (ringkas):
Jika anda telah mengatasi sekurang-kurangnya tiga contoh pertama, maka pertimbangkan diri anda telah menguasai topik tersebut.
Sekarang untuk belajar!
MENUKARKAN UNGKAPAN. RINGKASAN DAN FORMULA ASAS
Operasi Asas pemudahan:
- Membawa serupa: untuk menambah (mengurangkan) istilah yang serupa, anda perlu menambah pekalinya dan menetapkan bahagian huruf.
- Pemfaktoran: rendering pengganda biasa di luar kurungan, aplikasi, dsb.
- Mengurangkan pecahan: Pengangka dan penyebut pecahan boleh didarab atau dibahagikan dengan nombor bukan sifar yang sama, yang tidak mengubah nilai pecahan.
1) pengangka dan penyebut memfaktorkan
2) jika pengangka dan penyebut mempunyai faktor sepunya, ia boleh dicoret.PENTING: hanya pengganda boleh dikurangkan!
- Menambah dan menolak pecahan:
; - Mendarab dan membahagi pecahan:
;
Nah, topik itu sudah tamat. Jika anda membaca baris ini, ini bermakna anda sangat keren.
Kerana hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu dengan sendiri. Dan jika anda membaca sehingga habis, maka anda berada dalam 5% ini!
Sekarang perkara yang paling penting.
Anda telah memahami teori mengenai topik ini. Dan, saya ulangi, ini... ini sangat hebat! Anda sudah lebih baik daripada kebanyakan rakan sebaya anda.
Masalahnya ialah ini mungkin tidak mencukupi...
Untuk apa?
Untuk berjaya disiapkan Peperiksaan Negeri Bersatu, untuk kemasukan ke kolej mengikut bajet dan, PALING PENTING, seumur hidup.
Saya tidak akan meyakinkan anda tentang apa-apa, saya hanya akan mengatakan satu perkara ...
Orang yang menerima pendidikan yang baik, memperoleh lebih banyak daripada mereka yang tidak menerimanya. Ini adalah statistik.
Tetapi ini bukan perkara utama.
Perkara utama ialah mereka LEBIH BAHAGIA (ada kajian sedemikian). Mungkin kerana banyak lagi yang terbuka di hadapan mereka lebih banyak kemungkinan dan hidup menjadi lebih cerah? tidak tahu...
Tapi fikir sendiri...
Apakah yang diperlukan untuk memastikan anda menjadi lebih baik daripada yang lain pada Peperiksaan Negeri Bersepadu dan akhirnya... lebih bahagia?
DAPATKAN TANGAN ANDA DENGAN MENYELESAIKAN MASALAH MENGENAI TOPIK INI.
Anda tidak akan diminta untuk teori semasa peperiksaan.
Anda perlu menyelesaikan masalah tepat pada masanya.
Dan, jika anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), anda pasti akan membuat kesilapan bodoh di suatu tempat atau tidak mempunyai masa.
Ia seperti dalam sukan - anda perlu mengulanginya berkali-kali untuk menang dengan pasti.
Cari koleksi di mana sahaja anda mahu, semestinya dengan penyelesaian, analisis terperinci dan tentukan, tentukan, tentukan!
Anda boleh menggunakan tugas kami (pilihan) dan kami, sudah tentu, mengesyorkannya.
Untuk menjadi lebih baik dalam menggunakan tugas kami, anda perlu membantu memanjangkan hayat buku teks YouClever yang sedang anda baca.
Bagaimana? Terdapat dua pilihan:
- Buka kunci semua tugas tersembunyi dalam artikel ini -
- Buka kunci akses kepada semua tugas tersembunyi dalam semua 99 artikel buku teks - Beli buku teks - 499 RUR
Ya, kami mempunyai 99 artikel sedemikian dalam buku teks kami dan akses kepada semua tugasan dan semua teks tersembunyi di dalamnya boleh dibuka serta-merta.
Akses kepada semua tugas tersembunyi disediakan untuk KESELURUHAN hayat tapak.
Kesimpulannya...
Jika anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Cuma jangan berhenti pada teori.
"Difahamkan" dan "Saya boleh selesaikan" adalah kemahiran yang sama sekali berbeza. Anda perlukan kedua-duanya.
Cari masalah dan selesaikan!
Di antara pelbagai ungkapan yang dipertimbangkan dalam algebra, jumlah monomial menduduki tempat yang penting. Berikut adalah contoh ungkapan tersebut:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
Jumlah monomial dipanggil polinomial. Istilah dalam polinomial dipanggil istilah polinomial. Monomial juga dikelaskan sebagai polinomial, menganggap monomial sebagai polinomial yang terdiri daripada satu ahli.
Contohnya, polinomial
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
boleh dipermudahkan.
Marilah kita mewakili semua istilah dalam bentuk monomial bentuk piawai:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
Mari kita kemukakan istilah yang serupa dalam polinomial yang terhasil:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Hasilnya ialah polinomial, yang kesemuanya adalah monomial dalam bentuk piawai, dan di antaranya tidak ada yang serupa. Polinomial sedemikian dipanggil polinomial bentuk piawai.
belakang darjah polinomial daripada bentuk standard mengambil kuasa tertinggi ahli-ahlinya. Oleh itu, binomial \(12a^2b - 7b\) mempunyai darjah ketiga, dan trinomial \(2b^2 -7b + 6\) mempunyai darjah kedua.
Lazimnya, istilah polinomial bentuk piawai yang mengandungi satu pembolehubah disusun dalam susunan menurun bagi eksponen. Sebagai contoh:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
Jumlah beberapa polinomial boleh diubah (dipermudahkan) kepada polinomial bentuk piawai.
Kadangkala istilah polinomial perlu dibahagikan kepada kumpulan, melampirkan setiap kumpulan dalam kurungan. Memandangkan melampirkan kurungan ialah penjelmaan songsang kurungan pembukaan, ia adalah mudah untuk dirumuskan peraturan untuk membuka kurungan:
Jika tanda “+” diletakkan sebelum kurungan, maka istilah yang disertakan dalam kurungan ditulis dengan tanda yang sama.
Jika tanda "-" diletakkan sebelum kurungan, maka istilah yang disertakan dalam kurungan ditulis dengan tanda yang bertentangan.
Transformasi (pemudahan) hasil darab monomial dan polinomial
Menggunakan sifat taburan pendaraban, anda boleh mengubah (memudahkan) hasil darab monomial dan polinomial kepada polinomial. Sebagai contoh:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Hasil darab monomial dan polinomial adalah sama dengan jumlah hasil darab monomial ini dan setiap sebutan polinomial.
Keputusan ini biasanya dirumuskan sebagai peraturan.
Untuk mendarab monomial dengan polinomial, anda mesti mendarab monomial itu dengan setiap sebutan polinomial itu.
Kami telah menggunakan peraturan ini beberapa kali untuk mendarab dengan jumlah.
Hasil daripada polinomial. Penjelmaan (pemudahan) hasil darab dua polinomial
Secara amnya, hasil darab dua polinomial adalah sama dengan jumlah hasil darab setiap sebutan satu polinomial dan setiap sebutan yang lain.
Biasanya peraturan berikut digunakan.
Untuk mendarab polinomial dengan polinomial, anda perlu mendarab setiap sebutan satu polinomial dengan setiap sebutan yang lain dan menambah hasil darab yang terhasil.
Rumus pendaraban yang disingkatkan. Jumlah kuasa dua, perbezaan dan perbezaan kuasa dua
Dengan beberapa ungkapan dalam transformasi algebra perlu berurusan dengan lebih kerap daripada orang lain. Mungkin ungkapan yang paling biasa ialah \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) dan \(a^2 - b^2 \), iaitu kuasa dua hasil tambah, kuasa dua bagi perbezaan dan perbezaan segi empat sama. Anda perasan bahawa nama ungkapan ini nampaknya tidak lengkap, contohnya, \((a + b)^2 \) sudah tentu, bukan hanya kuasa dua jumlah, tetapi kuasa dua jumlah a dan b . Walau bagaimanapun, kuasa dua jumlah a dan b tidak berlaku dengan kerap, bukannya huruf a dan b, ia mengandungi pelbagai, kadangkala agak kompleks, ungkapan.
Ungkapan \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) boleh ditukar dengan mudah (dipermudahkan) kepada polinomial bentuk piawai, sebenarnya, anda telah pun menghadapi tugas ini apabila mendarab polinomial:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Adalah berguna untuk mengingati identiti yang terhasil dan menerapkannya tanpa pengiraan perantaraan. Rumusan lisan ringkas membantu ini.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kuasa dua jumlah sama dengan jumlah segi empat sama dan dua kali ganda hasil darab.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kuasa dua beza adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua tanpa hasil darab.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - perbezaan segi empat sama adalah sama dengan hasil darab beza dan hasil tambah.
Ketiga-tiga identiti ini membolehkan seseorang menggantikan bahagian kirinya dengan tangan kanan dalam transformasi dan sebaliknya - bahagian tangan kanan dengan tangan kiri. Perkara yang paling sukar ialah melihat ungkapan yang sepadan dan memahami bagaimana pembolehubah a dan b digantikan di dalamnya. Mari kita lihat beberapa contoh penggunaan rumus pendaraban yang disingkatkan.
Kementerian Pendidikan Republik Belarus
Institusi pendidikan
"Gomel Universiti Negeri mereka. F. Skorina"
Fakulti Matematik
Jabatan MPM
Transformasi identiti ungkapan dan kaedah mengajar pelajar cara melaksanakannya
Pelaksana:
Pelajar Starodubova A.Yu.
Cand. fizik dan matematik Sains, Profesor Madya Lebedeva M.T.
Gomel 2007
pengenalan
1 Jenis utama transformasi dan peringkat kajian mereka. Peringkat-peringkat menguasai penggunaan transformasi
Kesimpulan
kesusasteraan
pengenalan
Transformasi termudah bagi ungkapan dan formula, berdasarkan sifat operasi aritmetik, dijalankan dalam sekolah rendah dan darjah 5 dan 6. Pembentukan kemahiran dan kebolehan untuk melakukan transformasi berlaku dalam kursus algebra. Ini disebabkan oleh peningkatan mendadak dalam bilangan dan kepelbagaian transformasi yang sedang dijalankan, dan kerumitan aktiviti untuk mewajarkannya dan menjelaskan syarat kebolehgunaan, kepada pengenalpastian dan kajian konsep umum identiti, transformasi yang serupa, transformasi yang setara.
1. Jenis utama transformasi dan peringkat kajian mereka. Peringkat-peringkat menguasai penggunaan transformasi
1. Permulaan algebra
Sistem transformasi yang tidak berbelah bahagi digunakan, diwakili oleh peraturan untuk melaksanakan tindakan pada satu atau kedua-dua bahagian formula. Matlamatnya adalah untuk mencapai kelancaran dalam menyelesaikan tugasan untuk menyelesaikan persamaan mudah, memudahkan formula yang mentakrifkan fungsi, dan secara rasional menjalankan pengiraan berdasarkan sifat tindakan.
Contoh biasa:
Selesaikan persamaan:
A); b); V) .
Transformasi yang sama (a); setara dan seiras (b).
2. Pembentukan kemahiran dalam mengaplikasikan jenis transformasi tertentu
Kesimpulan: rumus pendaraban yang disingkatkan; transformasi yang berkaitan dengan eksponen; transformasi yang berkaitan dengan pelbagai kelas fungsi asas.
Organisasi keseluruhan sistem transformasi (sintesis)
Matlamatnya adalah untuk mencipta peranti yang fleksibel dan berkuasa yang sesuai untuk digunakan dalam menyelesaikan pelbagai tugasan pendidikan . Peralihan ke peringkat ini dijalankan semasa pengulangan akhir kursus dalam perjalanan memahami bahan yang diketahui dipelajari dalam bahagian, oleh jenis tertentu penjelmaan menambah penjelmaan ungkapan trigonometri kepada jenis yang dikaji sebelum ini. Semua transformasi ini boleh dipanggil "algebra"; transformasi "analitik" termasuk yang berdasarkan peraturan pembezaan dan penyepaduan dan transformasi ungkapan yang mengandungi petikan kepada had. Perbezaan jenis ini adalah dalam sifat set yang dilalui oleh pembolehubah dalam identiti (set fungsi tertentu).
Identiti yang dikaji dibahagikan kepada dua kelas:
I – identiti pendaraban yang disingkatkan sah dalam cincin komutatif dan identiti
adil di padang.
II – identiti menghubungkan operasi aritmetik dan fungsi asas asas.
2 Ciri-ciri organisasi sistem tugas apabila mengkaji transformasi identiti
Prinsip utama penyusunan sistem tugas adalah untuk membentangkannya daripada mudah kepada kompleks.
Kitaran senaman– menggabungkan dalam urutan latihan beberapa aspek pembelajaran dan teknik untuk menyusun bahan. Apabila mengkaji transformasi identiti, kitaran latihan dikaitkan dengan kajian satu identiti, di mana identiti lain yang mempunyai hubungan semula jadi dengannya dikumpulkan. Kitaran, bersama-sama dengan yang eksekutif, termasuk tugas, memerlukan pengiktirafan kebolehgunaan identiti berkenaan. Identiti yang dikaji digunakan untuk menjalankan pengiraan pada pelbagai domain berangka. Tugasan dalam setiap kitaran dibahagikan kepada dua kumpulan. KEPADA pertama Ini termasuk tugas yang dilakukan semasa pengenalan awal dengan identiti. Mereka berkhidmat bahan pendidikan untuk beberapa pelajaran berturut-turut disatukan oleh satu topik.
Kumpulan kedua latihan menghubungkan identiti yang dikaji dengan pelbagai aplikasi. Kumpulan ini tidak membentuk kesatuan komposisi - latihan di sini bertaburan dalam pelbagai topik.
Struktur kitaran yang diterangkan merujuk kepada peringkat membangunkan kemahiran untuk mengaplikasikan transformasi tertentu.
Pada peringkat sintesis, kitaran berubah, kumpulan tugas digabungkan ke arah komplikasi dan penggabungan kitaran yang berkaitan dengan pelbagai identiti, yang membantu meningkatkan peranan tindakan untuk mengenali kebolehgunaan identiti tertentu.
Contoh.
Kitaran tugas untuk identiti:
Saya kumpulan tugasan:
a) hadir dalam bentuk produk:
b) Semak kesamaan:
c) Kembangkan kurungan dalam ungkapan:
.
d) Kira:
e) Faktorkan:
f) permudahkan ungkapan:
.
Pelajar baru mengenali rumusan identiti, penulisannya dalam bentuk identiti, dan pembuktiannya.
Tugas a) dikaitkan dengan menetapkan struktur identiti yang sedang dikaji, dengan mewujudkan hubungan dengan set berangka(perbandingan struktur tanda identiti dan ekspresi berubah; penggantian huruf dengan nombor dalam identiti). DALAM contoh terakhir masih perlu dikurangkan kepada spesies yang dikaji. Dalam contoh berikut (e dan g) terdapat komplikasi yang disebabkan oleh peranan yang diterapkan identiti dan komplikasi struktur tanda.
Tugas jenis b) bertujuan untuk membangunkan kemahiran penggantian 
pada . Peranan tugas c) adalah serupa.
Contoh jenis d), di mana perlu memilih salah satu arah transformasi, menyelesaikan pembangunan idea ini.
Tugasan Kumpulan I tertumpu pada penguasaan struktur identiti, operasi penggantian dalam kes yang paling mudah, paling penting pada asasnya, dan idea tentang kebolehbalikan transformasi yang dijalankan oleh identiti. sangat penting juga mempunyai pengayaan maksud linguistik menunjukkan pelbagai aspek identiti. Teks tugasan memberi gambaran tentang aspek ini.
II kumpulan tugasan.
g) Menggunakan identiti untuk , faktorkan polinomial .
h) Menghapuskan ketidakrasionalan dalam penyebut pecahan.
i) Buktikan bahawa jika - nombor ganjil, kemudian boleh dibahagikan dengan 4.
j) Fungsi diberikan ungkapan analitikal
.
Singkirkan tanda modulus dengan mempertimbangkan dua kes: , .
k) Selesaikan persamaan 
.
Tugas-tugas ini ditujukan sebaik mungkin kegunaan penuh dan mengambil kira kekhususan identiti tertentu ini, andaikan pembentukan kemahiran menggunakan identiti yang dikaji untuk perbezaan petak. Matlamatnya adalah untuk memperdalam pemahaman identiti dengan mempertimbangkan pelbagai aplikasinya dalam situasi yang berbeza, digabungkan dengan penggunaan bahan yang berkaitan dengan topik lain dalam kursus matematik.
atau 
.
Ciri kitaran tugasan yang berkaitan dengan identiti untuk fungsi asas:
1) mereka dikaji berdasarkan bahan berfungsi;
2) identiti kumpulan pertama muncul kemudian dan dikaji menggunakan kemahiran yang telah dibangunkan untuk menjalankan transformasi identiti.
Kumpulan pertama tugas dalam kitaran harus memasukkan tugas untuk mewujudkan hubungan antara kawasan berangka baharu ini dan kawasan asal nombor rasional.
Contoh.
Kira:
;
.
Tujuan tugas tersebut adalah untuk menguasai ciri-ciri rekod, termasuk simbol operasi dan fungsi baharu, dan untuk membangunkan kemahiran pertuturan matematik.
Kebanyakan penggunaan transformasi identiti yang dikaitkan dengan fungsi asas, jatuh pada penyelesaian persamaan tidak rasional dan transendental. Urutan langkah:
a) cari fungsi φ yang mana persamaan yang diberikan f(x)=0 boleh diwakili sebagai:
b) gantikan y=φ(x) dan selesaikan persamaan itu
c) selesaikan setiap persamaan φ(x)=y k, dengan y k ialah set punca persamaan F(y)=0.
Apabila menggunakan kaedah yang diterangkan, langkah b) selalunya dilakukan secara tersirat, tanpa memperkenalkan tatatanda untuk φ(x). Di samping itu, pelajar sering lebih suka cara yang berbeza membawa kepada mencari jawapan, pilih satu yang membawa kepada persamaan algebra dengan lebih cepat dan lebih mudah.
Contoh. Selesaikan persamaan 4 x -3*2=0.
2)(2 2) x -3*2 x =0 (langkah a)
(2 x) 2 -3*2 x =0; 2 x (2 x -3)=0; 2 x -3=0. (langkah b)
Contoh. Selesaikan persamaan:
a) 2 2x -3*2 x +2=0;
b) 2 2x -3*2 x -4=0;
c) 2 2x -3*2 x +1=0.
(Cadangkan penyelesaian bebas.)
Pengelasan tugas dalam kitaran yang berkaitan dengan penyelesaian persamaan transendental, termasuk fungsi eksponen:
1) persamaan yang dikurangkan kepada persamaan dalam bentuk a x =y 0 dan mempunyai jawapan am yang mudah:
2) persamaan yang berkurang kepada persamaan bentuk a x = a k, dengan k ialah integer, atau a x = b, dengan b≤0.
3) persamaan yang berkurang kepada persamaan bentuk a x =y 0 dan memerlukan analisis yang jelas bentuk di mana nombor y 0 ditulis dengan jelas.
Tugas di mana transformasi identiti digunakan untuk membina graf sambil memudahkan formula yang mentakrifkan fungsi sangat bermanfaat.
a) Graf fungsi y=;
b) Selesaikan persamaan lgx+lg(x-3)=1
c) pada set apakah log formula(x-5)+ log(x+5)= log(x 2 -25) merupakan identiti?
Penggunaan transformasi identiti dalam pengiraan (Journal of Mathematics at School, No. 4, 1983, hlm. 45)
Tugasan No 1. Fungsi diberikan oleh formula y=0.3x 2 +4.64x-6. Cari nilai fungsi pada x=1.2
y(1,2)=0.3*1.2 2 +4.64*1.2-6=1.2(0.3*1.2+4.64)-6=1.2(0 .36+4.64)-6=1.2*5-6=0.
Tugasan No. 2. Kira panjang kaki segi tiga tepat, jika panjang hipotenusnya ialah 3.6 cm, dan kaki yang satu lagi ialah 2.16 cm.
Tugasan No. 3. Apakah kawasan plot bentuk segi empat tepat, mempunyai dimensi a) 0.64 m dan 6.25 m; b) 99.8m dan 2.6m?
a)0.64*6.25=0.8 2 *2.5 2 =(0.8*2.5) 2;
b)99.8*2.6=(100-0.2)2.6=100*2.6-0.2*2.6=260-0.52.
Contoh-contoh ini memungkinkan untuk mengenal pasti kegunaan praktikal transformasi identiti. Pelajar harus dibiasakan dengan syarat-syarat untuk kebolehlaksanaan transformasi (lihat gambar rajah).
| |
- imej polinomial, di mana mana-mana polinomial sesuai dengan kontur bulat (rajah 1)
-
syarat untuk kebolehlaksanaan mengubah hasil darab monomial dan ungkapan yang membenarkan transformasi kepada perbezaan kuasa dua diberikan. (skim 2)
-
di sini lorekan bermaksud monomial yang sama dan ungkapan diberikan yang boleh ditukar kepada perbezaan segi empat sama (Skema 3).
| |
| |
- ungkapan yang membenarkan faktor yang sama.
Anda boleh membangunkan kemahiran pelajar dalam mengenal pasti keadaan menggunakan contoh berikut:
Antara ungkapan berikut, yang manakah boleh diubah dengan mengambil faktor sepunya daripada kurungan:
2) 
3) 0.7a 2 +0.2b 2 ;
5) 6,3*0,4+3,4*6,3;
6) 2x 2 +3x 2 +5y 2 ;
7) 0,21+0,22+0,23.
Kebanyakan pengiraan dalam amalan tidak memenuhi syarat kepuasan, jadi pelajar memerlukan kemahiran untuk mengurangkannya kepada bentuk yang membolehkan pengiraan transformasi. Dalam kes ini, tugas berikut adalah sesuai:
semasa belajar mengambil faktor sepunya daripada kurungan:
tukar ungkapan ini, jika boleh, menjadi ungkapan yang digambarkan dalam rajah 4:
4) 2a*a 2 *a 2;
5) 2n 4 +3n 6 +n 9 ;
8) 15ab 2 +5a 2 b;
10) 12,4*-1,24*0,7;
11) 4,9*3,5+1,7*10,5;
12) 10,8 2 -108;
13) 
14) 5*2 2 +7*2 3 -11*2 4 ;
15) 2*3 4 -3*2 4 +6;
18) 3,2/0,7-1,8*
Apabila membentuk konsep "transformasi yang sama", harus diingat bahawa ini bermakna bukan sahaja ungkapan yang diberikan dan yang dihasilkan sebagai hasil daripada transformasi mengambil nilai yang sama untuk sebarang nilai huruf yang disertakan di dalamnya, tetapi juga bahawa semasa transformasi yang sama kita beralih daripada ungkapan yang mentakrifkan satu cara pengiraan kepada ungkapan yang menentukan cara lain untuk mengira nilai yang sama.
Skim 5 (peraturan untuk menukar hasil darab monomial dan polinomial) boleh digambarkan dengan contoh
0.5a(b+c) atau 3.8(0.7+).
Latihan untuk mempelajari cara mengeluarkan faktor sepunya daripada kurungan:
Kira nilai ungkapan:
a) 4.59*0.25+1.27*0.25+2.3-0.25;
b) a+bc pada a=0.96; b=4.8; c=9.8.
c) a(a+c)-c(a+b) dengan a=1.4; b=2.8; c=5.2.
Mari kita gambarkan dengan contoh pembentukan kemahiran dalam pengiraan dan transformasi identiti (Journal of Mathematics at School, No. 5, 1984, ms. 30).
1) kemahiran dan kebolehan diperoleh lebih cepat dan dikekalkan lebih lama jika pembentukannya berlaku secara sedar ( prinsip didaktik kesedaran).
1) Anda boleh merumuskan peraturan untuk menambah pecahan dengan penyebut yang sama atau sebelum ini pada contoh khusus pertimbangkan intipati menambah bahagian yang sama.
2) Apabila memfaktorkan dengan mengeluarkan faktor sepunya daripada kurungan, adalah penting untuk melihat faktor sepunya ini dan kemudian menggunakan undang-undang pengedaran. Apabila melakukan latihan pertama, adalah berguna untuk menulis setiap istilah polinomial sebagai hasil darab, salah satu faktornya adalah biasa kepada semua istilah:
3a 3 -15a 2 b+5ab 2 = a3a 2 -a15ab+a5b 2 .
Ia amat berguna untuk melakukan ini apabila salah satu monomial polinomial dikeluarkan daripada kurungan:
II. Peringkat pertama pembentukan kemahiran - penguasaan kemahiran (latihan dilakukan dengan penerangan terperinci dan rekod)
(isu tanda diselesaikan dahulu)
Fasa kedua– peringkat mengautomasikan kemahiran dengan menghapuskan beberapa operasi perantaraan
III. Kekuatan kemahiran dicapai dengan menyelesaikan contoh yang berbeza dalam kandungan dan bentuk.
Topik: "Mengeluarkan faktor sepunya daripada kurungan."
1. Tuliskan faktor yang hilang dan bukannya polinomial:
2. Faktorkan supaya sebelum kurungan terdapat monomial dengan pekali negatif:
3. Faktorkan supaya polinomial dalam kurungan mempunyai pekali integer:
4. Selesaikan persamaan:
IV. Pembangunan kemahiran adalah paling berkesan apabila beberapa pengiraan atau transformasi perantaraan dilakukan secara lisan.
(secara lisan);
V. Kemahiran dan kebolehan yang dibangunkan mestilah sebahagian daripada sistem pengetahuan, kemahiran dan kebolehan pelajar yang telah dibentuk sebelum ini.
Sebagai contoh, semasa mengajar cara memfaktorkan polinomial menggunakan formula pendaraban yang disingkatkan, latihan berikut ditawarkan:
Faktorkan:
VI. Keperluan untuk pelaksanaan pengiraan dan transformasi yang rasional.
V) ringkaskan ungkapan:
Rasional terletak pada membuka kurungan, kerana
VII. Menukar ungkapan yang mengandungi eksponen.
No. 1011 (Alg.9) Permudahkan ungkapan:
No. 1012 (Alg.9) Keluarkan pengganda dari bawah tanda akar:
No. 1013 (Alg.9) Masukkan faktor di bawah tanda akar:
No. 1014 (Alg.9) Permudahkan ungkapan:
Dalam semua contoh, mula-mula lakukan sama ada pemfaktoran, atau penolakan faktor sepunya, atau "lihat" formula pengurangan yang sepadan.
No. 1015 (Alg.9) Kurangkan pecahan:
Ramai pelajar mengalami beberapa kesukaran dalam mengubah ungkapan yang mengandungi akar, khususnya apabila mempelajari kesamaan:
Oleh itu, sama ada menerangkan secara terperinci ungkapan bentuk atau 
atau pergi ke ijazah dengan eksponen rasional.
No. 1018 (Alg.9) Cari nilai ungkapan:
No. 1019 (Alg.9) Permudahkan ungkapan:
2.285 (Skanavi) Permudahkan ungkapan
dan kemudian plot fungsi y Untuk
No. 2.299 (Skanavi) Semak kesahihan kesaksamaan:
Transformasi ungkapan yang mengandungi ijazah adalah generalisasi kemahiran dan kebolehan yang diperoleh dalam kajian transformasi polinomial yang sama.
No. 2.320 (Skanavi) Permudahkan ungkapan:
Kursus Algebra 7 menyediakan definisi berikut.
Def. Dua ungkapan yang nilai yang sepadan adalah sama untuk nilai pembolehubah dikatakan sama sama.
Def. Kesamaan adalah benar untuk sebarang nilai pembolehubah yang dipanggil. identiti.
No. 94 (Alg.7) Adakah persamaan:
a) 
c) 
d) 
Definisi perihalan: Menggantikan satu ungkapan dengan ungkapan lain yang serupa dipanggil transformasi yang serupa atau hanya transformasi ungkapan. Transformasi yang sama bagi ungkapan dengan pembolehubah dilakukan berdasarkan sifat operasi pada nombor.
No. (Alg.7) Antara ungkapan
cari yang sama.
Topik: "Transformasi ungkapan yang sama" (teknik soalan)
Topik pertama "Algebra-7" - "Ungkapan dan transformasinya" membantu menyatukan kemahiran pengiraan yang diperoleh dalam gred 5-6, mensistematikkan dan menyamaratakan maklumat tentang transformasi ungkapan dan penyelesaian kepada persamaan.
Mencari makna ungkapan berangka dan huruf memungkinkan untuk mengulangi dengan pelajar peraturan tindakan dengan nombor rasional. Keupayaan untuk melakukan operasi aritmetik dengan nombor rasional adalah asas kepada keseluruhan kursus algebra.
Apabila mempertimbangkan transformasi ekspresi, kemahiran formal dan operasi kekal pada tahap yang sama yang dicapai dalam gred 5-6.
Namun, di sini pelajar meningkat ke tahap baru dalam penguasaan teori. Konsep "sama ungkapan yang sama"", "identiti", "transformasi ekspresi yang serupa", yang kandungannya akan sentiasa didedahkan dan diperdalam apabila mengkaji transformasi pelbagai ungkapan algebra. Ditegaskan bahawa asas transformasi identiti adalah sifat-sifat operasi pada nombor.
Apabila mengkaji topik "Polinomial", kemahiran operasi formal transformasi serupa ungkapan algebra terbentuk. Formula pendaraban yang disingkatkan menyumbang kepada proses selanjutnya untuk membangunkan keupayaan untuk melakukan transformasi yang sama bagi keseluruhan ungkapan, keupayaan untuk menggunakan formula untuk kedua-dua pendaraban singkatan dan pemfaktoran polinomial digunakan bukan sahaja dalam mengubah ungkapan keseluruhan, tetapi juga dalam operasi dengan pecahan, punca; , kuasa dengan eksponen yang rasional.
Dalam gred 8, kemahiran transformasi identiti yang diperolehi dipraktikkan dalam tindakan dengan pecahan algebra, punca kuasa dua dan ungkapan yang mengandungi kuasa dengan eksponen integer.
Pada masa hadapan, teknik transformasi identiti dicerminkan dalam ungkapan yang mengandungi ijazah dengan eksponen rasional.
Kumpulan khas transformasi identiti terdiri daripada ungkapan trigonometri dan ungkapan logaritma.
Hasil pembelajaran mandatori untuk kursus algebra dalam gred 7-9 termasuk:
1) transformasi identiti ungkapan integer
a) kurungan pembukaan dan penutup;
b) membawa ahli yang serupa;
c) penambahan, penolakan dan pendaraban polinomial;
d) pemfaktoran polinomial dengan meletakkan faktor sepunya daripada kurungan dan rumus pendaraban yang disingkatkan;
e) penguraian trinomial kuadratik oleh pengganda.
“Matematik di sekolah” (B.U.M.) ms110
2) transformasi yang sama bagi ungkapan rasional: penambahan, penolakan, pendaraban dan pembahagian pecahan, serta menggunakan kemahiran yang disenaraikan semasa melakukan transformasi gabungan mudah [m.s. 111]
3) pelajar seharusnya boleh melakukan transformasi ungkapan mudah yang mengandungi darjah dan punca. (ms 111-112)
Jenis masalah utama telah dipertimbangkan, keupayaan untuk menyelesaikan yang membolehkan pelajar menerima gred positif.
Salah satu aspek yang paling penting dalam metodologi untuk mengkaji transformasi identiti ialah pembangunan matlamat pelajar untuk melakukan transformasi identiti.
1) 
- penyederhanaan nilai berangka ungkapan
2) transformasi yang manakah harus dilakukan: (1) 
atau (2) Analisis pilihan ini adalah motivasi (lebih baik (1), kerana dalam (2) skop definisi disempitkan)
3) Selesaikan persamaan:
Pemfaktoran semasa menyelesaikan persamaan.
4) Kira:
Mari gunakan formula pendaraban yang disingkatkan:
(101-1) (101+1)=100102=102000
5) Cari nilai ungkapan:
Untuk mencari nilai, darab setiap pecahan dengan konjugatnya:
6) Graf fungsi:
Jom pilih keseluruhan bahagian: .
Pencegahan kesilapan semasa melakukan transformasi identiti boleh diperolehi dengan pelbagai contoh pelaksanaannya. Dalam kes ini, teknik "kecil" diamalkan, yang, sebagai komponen, termasuk dalam proses transformasi yang lebih besar.
Sebagai contoh:
Bergantung pada arah persamaan, beberapa masalah boleh dipertimbangkan: pendaraban polinomial dari kanan ke kiri; dari kiri ke kanan - pemfaktoran. Sebelah kiri ialah gandaan salah satu faktor di sebelah kanan, dsb.
Selain mempelbagaikan contoh, anda boleh gunakan permohonan maaf antara identiti dan kesamaan berangka.
Teknik seterusnya ialah penerangan tentang identiti.
Meningkatkan minat pelajar mungkin termasuk mencari cara yang berbeza untuk menyelesaikan masalah.
Pelajaran tentang mengkaji transformasi identiti akan menjadi lebih menarik jika anda menumpukan padanya mencari penyelesaian kepada masalah tersebut .
Contohnya: 1) kurangkan pecahan:
3) buktikan formula "radikal kompleks"
Pertimbangkan:
Mari kita ubah bahagian kanan kesaksamaan:
-
hasil tambah ungkapan konjugat. Mereka boleh didarab dan dibahagikan dengan konjugatnya, tetapi operasi sedemikian akan membawa kita kepada pecahan yang penyebutnya ialah perbezaan radikal.
Ambil perhatian bahawa sebutan pertama dalam bahagian pertama identiti ialah nombor yang lebih besar daripada yang kedua, jadi kita boleh kuasa duakan kedua-dua bahagian:
Topik: Transformasi ungkapan yang sama (teknik soalan).
Sastera: “Bengkel MPM”, ms 87-93.
Tandatangan budaya tinggi pengiraan dan transformasi identiti untuk pelajar adalah ilmu yang mantap sifat dan algoritma operasi pada kuantiti tepat dan anggaran serta penggunaan mahirnya; teknik rasional pengiraan dan transformasi serta pengesahannya; keupayaan untuk mewajarkan penggunaan kaedah dan peraturan pengiraan dan transformasi, kemahiran automatik pelaksanaan bebas ralat operasi pengiraan.
Pada gred manakah pelajar harus mula berusaha mengembangkan kemahiran yang disenaraikan?
Barisan transformasi ekspresi yang serupa bermula dengan penggunaan teknik pengiraan rasional bermula dengan penggunaan teknik untuk mengira secara rasional nilai ungkapan berangka. (darjah 5)
Apabila mempelajari topik sebegini kursus sekolah matematik harus diberikan kepada mereka Perhatian istimewa!
Pelaksanaan transformasi identiti pelajar secara sedar difasilitasi oleh pemahaman tentang fakta bahawa ungkapan algebra tidak wujud dengan sendirinya, tetapi dalam hubungan yang tidak dapat dipisahkan dengan set berangka tertentu, ia adalah rekod umum bagi ungkapan berangka. Analogi antara algebra dan ungkapan berangka(dan transformasi mereka) adalah undang-undang dalam erti kata yang logik, penggunaannya dalam pengajaran membantu mengelakkan kesilapan dalam pelajar.
Transformasi yang sama bukanlah topik yang berasingan dalam kursus matematik sekolah; ia dipelajari sepanjang keseluruhan kursus algebra dan permulaan analisis matematik.
Program matematik untuk gred 1-5 adalah bahan propaedeutik untuk mengkaji transformasi serupa ungkapan dengan pembolehubah.
Dalam kursus algebra darjah 7. definisi identiti dan transformasi identiti diperkenalkan.
Def. Dua ungkapan yang nilai yang sepadan adalah sama untuk sebarang nilai pembolehubah dipanggil. sama sama.
ODA. Kesamaan yang benar untuk sebarang nilai pembolehubah dipanggil identiti.
Nilai identiti terletak pada hakikat bahawa ia membenarkan ungkapan yang diberikan digantikan dengan yang lain yang sama dengannya.
Def. Menggantikan satu ungkapan dengan ungkapan lain yang serupa dipanggil transformasi yang sama atau secara ringkas transformasi ungkapan.
Transformasi yang sama bagi ungkapan dengan pembolehubah dilakukan berdasarkan sifat operasi pada nombor.
Asas transformasi identiti boleh dianggap sebagai transformasi setara.
ODA. Dua ayat, setiap satunya adalah akibat logik yang lain, dipanggil. bersamaan.
ODA. Ayat dengan pembolehubah A dipanggil. akibat ayat dengan pembolehubah B, jika domain kebenaran B ialah subset domain kebenaran A.
Takrifan lain ayat setara boleh diberikan: dua ayat dengan pembolehubah adalah setara jika domain kebenarannya bertepatan.
a) B: x-1=0 atas R; A: (x-1) 2 atas R => A~B, kerana bidang kebenaran (penyelesaian) bertepatan (x=1)
b) A: x=2 atas R; B: x 2 =4 atas R => domain kebenaran A: x = 2; domain kebenaran B: x=-2, x=2; kerana domain kebenaran A terkandung dalam B, maka: x 2 =4 ialah akibat daripada proposisi x = 2.
Asas transformasi identiti ialah keupayaan untuk mewakili nombor yang sama dalam bentuk yang berbeza. Sebagai contoh,
-
Perwakilan ini akan membantu semasa mempelajari topik "sifat asas pecahan."
Kemahiran dalam melakukan transformasi identiti mula berkembang apabila menyelesaikan contoh yang serupa dengan yang berikut: "Cari nilai berangka bagi ungkapan 2a 3 +3ab+b 2 dengan a = 0.5, b = 2/3," yang ditawarkan kepada pelajar dalam gred 5 dan membenarkan konsep fungsi propaedeutik.
Apabila mempelajari formula pendaraban yang disingkatkan, anda harus memberi perhatian kepada pemahaman mendalam dan asimilasi yang kuat. Untuk melakukan ini, anda boleh menggunakan ilustrasi grafik berikut:
| |
(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 a 2 -b 2 =(a-b)(a+b)
Soalan: Bagaimana untuk menerangkan kepada pelajar intipati formula yang diberikan berdasarkan lukisan ini?
Kesilapan biasa ialah mengelirukan ungkapan "persegi dua jumlah" dan "jumlah kuasa dua." Petunjuk guru bahawa ungkapan ini berbeza dalam susunan operasi nampaknya tidak ketara, kerana pelajar percaya bahawa tindakan ini dilakukan pada nombor yang sama dan oleh itu hasilnya tidak berubah dengan mengubah susunan tindakan.
Tugasan: Buat latihan lisan untuk mengembangkan kemahiran pelajar menggunakan rumus di atas tanpa kesilapan. Bagaimanakah kita boleh menerangkan bagaimana kedua-dua ungkapan ini serupa dan bagaimana ia berbeza antara satu sama lain?
Pelbagai jenis transformasi yang serupa menyukarkan pelajar untuk mengorientasikan diri mereka tentang tujuan ia dilakukan. Pengetahuan kabur tentang tujuan melakukan transformasi (dalam setiap kes tertentu) memberi kesan negatif kepada kesedaran mereka, berfungsi sebagai sumber kesilapan besar-besaran pelajar. Ini menunjukkan bahawa menjelaskan kepada pelajar matlamat melakukan pelbagai transformasi identiti adalah penting. sebahagian kaedah untuk kajian mereka.
Contoh motivasi untuk transformasi identiti:
1. memudahkan mencari nilai berangka ungkapan;
2. memilih penjelmaan persamaan yang tidak membawa kepada kehilangan punca;
3. Apabila melakukan transformasi, anda boleh menandakan kawasan pengiraannya;
4. penggunaan penjelmaan dalam pengiraan, contohnya, 99 2 -1=(99-1)(99+1);
Untuk menguruskan proses keputusan, adalah penting bagi guru untuk mempunyai kebolehan untuk memberikan penerangan yang tepat tentang intipati kesilapan yang dilakukan oleh pelajar. Pencirian ralat yang tepat adalah kunci kepada pilihan yang tepat tindakan seterusnya yang diambil oleh guru.
Contoh kesilapan pelajar:
1. melakukan pendaraban: pelajar menerima -54abx 6 (7 sel);
2. Dengan menaikkan kuasa (3x 2) 3 pelajar menerima 3x 6 (7 gred);
3. menukar (m + n) 2 kepada polinomial, pelajar menerima m 2 + n 2 (gred ke-7);
4. Dengan mengurangkan pecahan yang diterima oleh pelajar (8 gred);
5. melakukan penolakan: 
, pelajar menulis (gred 8)
6. Mewakili pecahan dalam bentuk pecahan, pelajar menerima: 
(8 gred);
7. Mengeluarkan punca aritmetik pelajar menerima x-1 (gred 9);
8. menyelesaikan persamaan (gred 9);
9. Dengan mengubah ungkapan, pelajar menerima: (gred 9).
Kesimpulan
Kajian tentang transformasi identiti dijalankan secara rapat dengan set berangka yang dipelajari dalam kelas tertentu.
Pada mulanya, anda harus meminta pelajar untuk menerangkan setiap langkah transformasi, untuk merumuskan peraturan dan undang-undang yang terpakai.
Dalam transformasi yang sama bagi ungkapan algebra, dua peraturan digunakan: penggantian dan penggantian dengan sama. Penggantian paling kerap digunakan, kerana Ia berdasarkan formula pengiraan, i.e. cari nilai ungkapan a*b dengan a=5 dan b=-3. Selalunya, pelajar mengabaikan kurungan semasa melakukan operasi pendaraban, mempercayai bahawa tanda pendaraban adalah tersirat. Sebagai contoh, entri berikut mungkin: 5*-3.
kesusasteraan
1. A.I. Azarov, S.A. Barvenov “Fungsi dan kaedah grafik menyelesaikan masalah peperiksaan”, Mn..Aversev, 2004
2. O.N. Piryutko " Kesalahan biasa pada ujian berpusat", Mn..Aversev, 2006
3. A.I. Azarov, S.A. Barvenov "Tugas perangkap dalam ujian berpusat", Mn..Aversev, 2006
4. A.I. Azarov, S.A. Barvenov "Kaedah penyelesaian masalah trigonometri", Mn..Aversev, 2005
saya. Ungkapan di mana nombor, simbol aritmetik dan kurungan boleh digunakan bersama dengan huruf dipanggil ungkapan algebra.
Contoh ungkapan algebra:
2m -n; 3 · (2a + b); 0.24x; 0.3a -b · (4a + 2b); a 2 – 2ab;
Oleh kerana huruf dalam ungkapan algebra boleh digantikan dengan beberapa nombor yang berbeza, maka huruf itu dipanggil pembolehubah, dan ungkapan algebra itu sendiri dipanggil ungkapan dengan pembolehubah.
II. Jika dalam ungkapan algebra huruf (pembolehubah) digantikan dengan nilainya dan tindakan yang ditentukan dilakukan, maka nombor yang terhasil dipanggil nilai ungkapan algebra.
Contoh. Cari maksud ungkapan:
1) a + 2b -c dengan a = -2; b = 10; c = -3.5.
2) |x| + |y| -|z| pada x = -8; y = -5; z = 6.
Penyelesaian.
1) a + 2b -c dengan a = -2; b = 10; c = -3.5. Daripada pembolehubah, mari kita gantikan nilainya. Kita mendapatkan:
— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.
2) |x| + |y| -|z| pada x = -8; y = -5; z = 6. Gantikan nilai yang ditentukan. Kita ingat bahawa modulus nombor negatif adalah sama dengan nombor bertentangannya, dan modulus nombor positif sama dengan nombor ini sendiri. Kita mendapatkan:
|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.
III. Nilai huruf (pembolehubah) yang mana ungkapan algebra masuk akal dipanggil nilai yang dibenarkan huruf (pembolehubah).
Contoh. Pada nilai apa ungkapan berubah-ubah tidak masuk akal?
Penyelesaian. Kami tahu bahawa anda tidak boleh membahagi dengan sifar, oleh itu, setiap ungkapan ini tidak akan masuk akal memandangkan nilai huruf (pembolehubah) yang menukarkan penyebut pecahan kepada sifar!
Dalam contoh 1) nilai ini ialah a = 0. Sesungguhnya, jika anda menggantikan 0 dan bukannya a, maka anda perlu membahagikan nombor 6 dengan 0, tetapi ini tidak boleh dilakukan. Jawapan: ungkapan 1) tidak masuk akal apabila a = 0.
Dalam contoh 2) penyebut x ialah 4 = 0 pada x = 4, oleh itu, nilai x = 4 ini tidak boleh diambil. Jawapan: ungkapan 2) tidak masuk akal apabila x = 4.
Dalam contoh 3) penyebutnya ialah x + 2 = 0 apabila x = -2. Jawapan: ungkapan 3) tidak masuk akal apabila x = -2.
Dalam contoh 4) penyebutnya ialah 5 -|x| = 0 untuk |x| = 5. Dan sejak |5| = 5 dan |-5| = 5, maka anda tidak boleh mengambil x = 5 dan x = -5. Jawapan: ungkapan 4) tidak masuk akal pada x = -5 dan pada x = 5.
IV. Dua ungkapan dikatakan sama sama jika, untuk sebarang nilai pembolehubah yang boleh diterima, nilai yang sepadan bagi ungkapan ini adalah sama.
Contoh: 5 (a – b) dan 5a – 5b juga sama, kerana kesamaan 5 (a – b) = 5a – 5b adalah benar untuk sebarang nilai a dan b. Kesamaan 5 (a – b) = 5a – 5b ialah identiti.
identiti ialah kesamaan yang sah untuk semua nilai pembolehubah yang dibenarkan yang disertakan di dalamnya. Contoh identiti yang telah anda ketahui ialah, contohnya, sifat penambahan dan pendaraban, dan sifat pengagihan.
Menggantikan satu ungkapan dengan ungkapan lain yang sama sama dipanggil transformasi identiti atau hanya transformasi ungkapan. Transformasi yang sama bagi ungkapan dengan pembolehubah dilakukan berdasarkan sifat operasi pada nombor.
Contoh.
a) tukarkan ungkapan kepada sama dengan menggunakan sifat taburan pendaraban:
1) 10·(1.2x + 2.3y); 2) 1.5·(a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).
Penyelesaian. Mari kita ingat sifat pengagihan (undang-undang) pendaraban:
(a+b)c=ac+bc(hukum taburan pendaraban berbanding penambahan: untuk mendarab jumlah dua nombor dengan nombor ketiga, anda boleh mendarab setiap sebutan dengan nombor ini dan menambah hasil yang terhasil).
(a-b) c=a c-b c(hukum taburan pendaraban relatif kepada penolakan: untuk mendarab perbezaan dua nombor dengan nombor ketiga, anda boleh mendarab minuend dan menolak dengan nombor ini secara berasingan dan menolak yang kedua daripada hasil pertama).
1) 10·(1.2x + 2.3y) = 10 · 1.2x + 10 · 2.3y = 12x + 23y.
2) 1.5·(a -2b + 4c) = 1.5a -3b + 6c.
3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.
b) tukarkan ungkapan kepada sama dengan menggunakan komutatif dan sifat bersekutu(undang-undang) penambahan:
4) x + 4.5 +2x + 6.5; 5) (3a + 2.1) + 7.8; 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s.
Penyelesaian. Mari kita gunakan undang-undang (sifat) penambahan:
a+b=b+a(komutatif: menyusun semula istilah tidak mengubah jumlah).
(a+b)+c=a+(b+c)(kombinatif: untuk menambah nombor ketiga kepada jumlah dua sebutan, anda boleh menambah jumlah kedua dan ketiga kepada nombor pertama).
4) x + 4.5 +2x + 6.5 = (x + 2x) + (4.5 + 6.5) = 3x + 11.
5) (3a + 2.1) + 7.8 = 3a + (2.1 + 7.8) = 3a + 9.9.
6) 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s = (5.4s -2.3s) + (-3 -2.5) = 3.1s -5.5.
V) Tukar ungkapan kepada sama dengan menggunakan sifat komutatif dan bersekutu (undang-undang) pendaraban:
7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); 9) 3a · (-3) · 2s.
Penyelesaian. Mari kita gunakan hukum (sifat) pendaraban:
a·b=b·a(komutatif: menyusun semula faktor tidak mengubah produk).
(a b) c=a (b c)(kombinatif: untuk mendarab hasil darab dua nombor dengan nombor ketiga, anda boleh mendarab nombor pertama dengan hasil darab kedua dan ketiga).
Topik No. 2.
Menukar ungkapan algebra
saya. Bahan teori
Konsep asas
Ungkapan algebra: integer, pecahan, rasional, tidak rasional.
Skop definisi, nilai ungkapan yang sah.
Maksud ungkapan algebra.
Monomial, polinomial.
Rumus pendaraban yang disingkatkan.
Pemfaktoran, meletakkan faktor sepunya daripada kurungan.
Sifat utama pecahan.
Ijazah, sifat ijazah.
Kortym, sifat akar.
Transformasi ungkapan rasional dan tidak rasional.
Ungkapan yang terdiri daripada nombor dan pembolehubah menggunakan tanda tambah, tolak, darab, bahagi, naikkan hingga darjah rasional, mengekstrak akar dan menggunakan kurungan dipanggil algebra.
Sebagai contoh: ; 
; 
;
; 
; 
; 
.
Jika ungkapan algebra tidak mengandungi pembahagian kepada pembolehubah dan mengambil punca pembolehubah (khususnya, menaikkan kepada kuasa dengan penunjuk pecahan), maka ia dipanggil keseluruhan.
Sebagai contoh: 
; 
; 
.
Jika ungkapan algebra terdiri daripada nombor dan pembolehubah menggunakan operasi tambah, tolak, darab, eksponen dengan penunjuk semula jadi dan pembahagian, dan pembahagian kepada ungkapan dengan pembolehubah digunakan, maka ia dipanggil pecahan.
Sebagai contoh: 
; 
.
Keseluruhan dan ungkapan pecahan dipanggil rasional ungkapan.
Sebagai contoh: ; 
;
.
Jika ungkapan algebra melibatkan pengambilan punca pembolehubah (atau menaikkan pembolehubah kepada kuasa pecahan), maka ungkapan algebra tersebut dipanggil tidak rasional.
Sebagai contoh: 
; 
.
Nilai pembolehubah yang mana ungkapan algebra masuk akal dipanggil nilai pembolehubah yang sah.
Ramai orang nilai yang boleh diterima pembolehubah dipanggil domain definisi.
Domain definisi bagi keseluruhan ungkapan algebra ialah set nombor nyata.
Domain takrifan ungkapan algebra pecahan ialah set semua nombor nyata kecuali yang menjadikan penyebutnya sifar.
Sebagai contoh: masuk akal apabila 
;
masuk akal apabila 
, iaitu apabila 
.
Domain takrifan ungkapan algebra tidak rasional ialah set semua nombor nyata kecuali yang bertukar kepada nombor negatif ungkapan di bawah tanda punca kuasa genap atau di bawah tanda peningkatan kepada kuasa pecahan.
Sebagai contoh: 
masuk akal apabila 
;
masuk akal apabila 
, iaitu apabila 
.
Nilai angka, yang diperoleh dengan menggantikan nilai pembolehubah yang dibenarkan ke dalam ungkapan algebra, dipanggil nilai ungkapan algebra.
Sebagai contoh: ungkapan 
di 
, 
mengambil nilai 
.
Ungkapan algebra yang mengandungi hanya nombor, kuasa semula jadi pembolehubah dan hasil darabnya dipanggil monomial.
Sebagai contoh: 
; 
; 
.
Monomial, ditulis sebagai hasil darab faktor berangka di tempat pertama dan kuasa pelbagai pembolehubah, dikurangkan kepada pandangan standard.
Sebagai contoh: 
; 
.
Faktor berangka notasi piawai monomial dipanggil pekali monomial. Jumlah eksponen semua pembolehubah dipanggil darjah monomial.
Apabila mendarab monomial dengan monomial dan apabila menaikkan monomial kepada ijazah semula jadi kita mendapat monomial yang perlu dibawa ke bentuk standard.
Jumlah monomial dipanggil polinomial.
Sebagai contoh: 
; ; 
.
Jika semua sebutan polinomial ditulis dalam bentuk piawai dan pengurangan istilah yang serupa dilakukan, maka terhasil polinomial bentuk piawai.
Sebagai contoh: .
Jika terdapat hanya satu pembolehubah dalam polinomial, maka eksponen terbesar pembolehubah ini dipanggil darjah polinomial.
Sebagai contoh: Polinomial mempunyai darjah kelima.
Nilai pembolehubah di mana nilai polinomial adalah sifar dipanggil punca polinomial.
Sebagai contoh: punca polinomial 
ialah nombor 1.5 dan 2.
Rumus pendaraban yang disingkatkan
Kes khas menggunakan formula pendaraban yang disingkatkan
Perbezaan segi empat sama: 
atau
Jumlah kuasa dua: 
atau
Perbezaan kuasa dua: 
atau
Jumlah kubus: 
atau
Perbezaan kubus: 
atau
Kubus hasil tambah: 
atau
Kubus perbezaan: 
atau
Menukar polinomial kepada hasil darab beberapa faktor (polinomial atau monomial) dipanggil pemfaktoran polinomial.
Sebagai contoh:.
Kaedah pemfaktoran polinomial
Sebagai contoh: .
Menggunakan rumus pendaraban yang disingkatkan.
Sebagai contoh: .
Kaedah pengelompokan. Melancong dan undang-undang bersekutu membolehkan anda mengumpulkan istilah polinomial cara yang berbeza. Satu cara membawa kepada fakta bahawa dalam kurungan ternyata ungkapan yang sama, yang seterusnya dikeluarkan daripada kurungan.
Sebagai contoh:.
Sebarang ungkapan algebra pecahan boleh ditulis sebagai hasil bagi dua ungkapan rasional dengan pembolehubah dalam penyebutnya.
Sebagai contoh: 
.
Pecahan di mana pengangka dan penyebutnya ungkapan rasional dan dalam penyebutnya terdapat pembolehubah yang dipanggil pecahan rasional.
Sebagai contoh: 
; 
; 
.
Jika pengangka dan penyebut pecahan rasional darab atau bahagi dengan nombor bukan sifar yang sama, monomial atau polinomial, nilai pecahan tidak berubah. Ungkapan ini dipanggil sifat utama pecahan:
.
Tindakan membahagikan pengangka dan penyebut pecahan dengan nombor yang sama dipanggil mengurangkan pecahan:
.
Sebagai contoh: 
; 
.
Kerja n faktor, setiap satunya adalah sama A, di mana A– ungkapan algebra arbitrari atau nombor sebenar, A n – nombor asli, dipanggil ijazahA :
.
Ungkapan algebra A dipanggil asas ijazah, nombor
n – penunjuk.
Sebagai contoh: 
.
Ia dipercayai mengikut definisi bahawa untuk mana-mana A, Tidak sama dengan sifar:
Dan 
.
Jika 
, Itu 
.
Sifat ijazah
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
jika , 
, kemudian ungkapan n-darjah ke- yang sama dengan A, dipanggil akarn
darjah ke-A
. Ia biasanya dilambangkan 
. Di mana A dipanggil ungkapan radikal, n dipanggil indeks akar.
Sebagai contoh: 
; 
; 
.
Sifat akarndarjah ke- a
1. 
.
2. 
, 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
Mengitlak konsep darjah dan akar, kita memperoleh konsep darjah dengan eksponen rasional:
.
khususnya, 
.
Tindakan yang dilakukan dengan akar
Sebagai contoh: .
II. Bahan praktikal
Contoh menyiapkan tugasan
Contoh 1. Cari nilai pecahan itu 
.
Jawapan: 
.
Contoh 2. Permudahkan ungkapan 
.
Mari kita ubah ungkapan dalam kurungan pertama:
, Jika 
.
Mari kita ubah ungkapan dalam kurungan kedua:
.
Mari bahagikan hasil daripada kurungan pertama dengan hasil daripada kurungan kedua:
Jawapan: 
Contoh 3. Permudahkan ungkapan:
.
Contoh 4. Permudahkan ungkapan.
Mari kita ubah pecahan pertama:
.
Mari kita ubah pecahan kedua:
.
Hasilnya kami mendapat: 
.
Contoh 5. Permudahkan ungkapan 
.
Penyelesaian. Mari kita tentukan tindakan berikut:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
6) 
;
Jawapan: 
.
Contoh 6. Buktikan identiti 
.
1) 
;
2) 
;
Contoh 7. Permudahkan ungkapan:
.
Penyelesaian. Ikut langkah-langkah ini:
;
2) 
.
Contoh 8. Buktikan identiti 
.
Penyelesaian. Ikut langkah-langkah ini:
1) 
;
2) 
;
3) 
.
Tugas untuk kerja bebas
1. Permudahkan ungkapan:
A) 
;
b) 
;
2. Faktorkan ke dalam:
A) 
;
b) 
;.Dokumen
Subjek No 5.1. Persamaan trigonometri I. Teoribahan Konsep asas Persamaan trigonometri... menggunakan pelbagai algebra Dan rumus trigonometri Dan transformasi. II. Praktikal bahan Contoh menyiapkan tugasan...
Bahan teori untuk kumpulan luaran dan sesi jadual kandungan pelajaran 1 pelajaran sains komputer 2 maklumat
PelajaranTeoribahan Untuk... , transformasi, pemindahan dan penggunaan. Maklumat adalah pengetahuan diluahkan... dan terkumpul sebelum ini, mereka dengan itu menyumbang kepada progresif... kebenaran mereka dengan bantuan algebra kaedah. Kenyataan dan ekspresif...
Topik "Pembangunan program kursus elektif sebagai sebahagian daripada penyediaan pra-profil" Selesai
Dokumen... Teori justifikasi projek Jun-Ogos 2005 3. Pemilihan bahan...menunjukkan aplikasi definisi modul apabila transformasialgebraungkapan. Modul dalam persamaan: - ... motivasi pelajar, mempromosi mereka yang paling, dalam profil...
... Subjek 1. Serupa transformasialgebraungkapan Subjek 2. Algebra secara teoribahan
Dan kepada Kondaurova memilih bab-bab teori dan metodologi pengajaran matematik pendidikan matematik tambahan untuk pelajar sekolah
Manual pendidikan dan metodologi... Subjek 1. Serupa transformasialgebraungkapan(termasuk menggunakan penggantian, konsep modulus nombor). Subjek 2. Algebra... guru-guru. Kuliah jarak jauh ialah secara teoribahan, yang boleh dibentangkan dalam...