Carl Friedrich Gauss, ahli matematik terhebat, teragak-agak untuk masa yang lama, memilih antara falsafah dan matematik. Mungkin pemikiran inilah yang membolehkannya membuat "warisan" yang ketara dalam sains dunia. Khususnya, dengan mencipta "Kaedah Gauss" ...
Selama hampir 4 tahun, artikel di laman web ini membincangkan pendidikan sekolah, terutamanya dari sudut pandangan falsafah, prinsip-prinsip (salah)faham yang diperkenalkan ke dalam minda kanak-kanak. Masanya akan datang untuk lebih spesifik, contoh dan kaedah... Saya percaya bahawa ini adalah pendekatan yang biasa, mengelirukan dan penting bidang kehidupan memberikan hasil yang lebih baik.
Kita orang direka sedemikian rupa sehingga tidak kira berapa banyak kita bercakap pemikiran abstrak, Tetapi persefahaman Sentiasa berlaku melalui contoh. Jika tidak ada contoh, maka mustahil untuk memahami prinsip-prinsipnya... Sama seperti mustahil untuk sampai ke puncak gunung kecuali dengan berjalan ke seluruh cerun dari kaki.
Sama dengan sekolah: buat masa ini kisah hidup Tidak cukup bahawa kita secara naluri terus menganggapnya sebagai tempat di mana kanak-kanak diajar untuk memahami.
Contohnya, mengajar kaedah Gaussian...
Kaedah Gauss di sekolah darjah 5
Saya akan membuat tempahan segera: kaedah Gauss mempunyai aplikasi yang lebih luas, contohnya, semasa menyelesaikan sistem persamaan linear. Apa yang kita akan bincangkan berlaku pada darjah 5. ini bermula, setelah memahami yang mana, lebih mudah untuk memahami lebih banyak "pilihan lanjutan". Dalam artikel ini kita bercakap tentang Kaedah (kaedah) Gauss untuk mencari jumlah siri
Berikut adalah contoh yang dibawa oleh anak bongsu saya, yang menghadiri gred 5 di gimnasium Moscow, dari sekolah.
Demonstrasi sekolah kaedah Gauss
Seorang guru matematik menggunakan papan putih interaktif (kaedah pengajaran moden) menunjukkan kanak-kanak persembahan sejarah "penciptaan kaedah" oleh Gauss kecil.
Guru sekolah menyebat Karl kecil (kaedah ketinggalan zaman, tidak digunakan di sekolah hari ini) kerana dia
daripada menambah nombor secara berurutan dari 1 hingga 100, cari jumlahnya perasan bahawa pasangan nombor yang sama jarak dari tepi janjang aritmetik ditambah kepada nombor yang sama. contohnya, 100 dan 1, 99 dan 2. Setelah mengira bilangan pasangan sedemikian, Gauss kecil hampir serta-merta menyelesaikan masalah yang dicadangkan oleh guru. Untuk itu dia dihukum bunuh di hadapan orang ramai yang terkejut. Supaya orang lain tidak digalakkan untuk berfikir.
Apa yang Gauss kecil lakukan? dibangunkan rasa nombor? perasan beberapa ciri siri nombor dengan langkah tetap (janjang aritmetik). DAN betul-betul ini kemudian menjadikannya seorang saintis yang hebat, mereka yang tahu perasan, mempunyai perasaan, naluri kefahaman.
Inilah sebabnya mengapa matematik adalah berharga, berkembang kebolehan melihat am khususnya - pemikiran abstrak. Oleh itu, kebanyakan ibu bapa dan majikan secara naluri menganggap matematik sebagai disiplin yang penting ...
“Kemudian anda perlu belajar matematik, kerana ia meletakkan fikiran anda teratur.
M.V.Lomonosov".
Walau bagaimanapun, pengikut mereka yang menyebat genius masa depan dengan tongkat mengubah Kaedah menjadi sesuatu yang sebaliknya. Seperti yang dikatakan oleh penyelia saya 35 tahun yang lalu: "Persoalannya telah dipelajari." Atau seperti yang dikatakan oleh anak bongsu saya semalam mengenai kaedah Gauss: "Mungkin ia tidak berbaloi untuk membuat sains besar daripada ini, ya?"
Akibat kreativiti "saintis" dapat dilihat dalam tahap matematik sekolah semasa, tahap pengajarannya dan pemahaman "Ratu Sains" oleh majoriti.
Namun, mari kita teruskan...
Kaedah untuk menerangkan kaedah Gauss di sekolah gred 5
Seorang guru matematik di gimnasium Moscow, menerangkan kaedah Gauss mengikut Vilenkin, merumitkan tugas itu.
Bagaimana jika perbezaan (langkah) janjang aritmetik bukan satu, tetapi nombor lain? Contohnya, 20.
Masalah yang dia berikan kepada pelajar tingkatan lima:
20+40+60+80+ ... +460+480+500
Sebelum membiasakan diri dengan kaedah gimnasium, mari kita lihat di Internet: bagaimanakah guru sekolah dan tutor matematik melakukannya?..
Kaedah Gaussian: penjelasan No. 1
Seorang tutor terkenal di saluran YOUTUBEnya memberikan alasan berikut:
"mari kita tulis nombor dari 1 hingga 100 seperti berikut:
pertama satu siri nombor dari 1 hingga 50, dan betul-betul di bawahnya satu siri nombor lain dari 50 hingga 100, tetapi dalam susunan terbalik"
1, 2, 3, ... 48, 49, 50
100, 99, 98 ... 53, 52, 51
"Sila ambil perhatian: jumlah setiap pasangan nombor dari baris atas dan bawah adalah sama dan sama dengan 101! Mari kita hitung bilangan pasangan, ia adalah 50 dan darabkan hasil tambah satu pasangan dengan bilangan pasangan! Voila: The jawapan sudah sedia!"
"Jika anda tidak faham, jangan marah!" Guru mengulangi tiga kali semasa penerangan. "Anda akan mengambil kaedah ini dalam darjah 9!"
Kaedah Gaussian: penjelasan No. 2
Tutor lain, kurang dikenali (berdasarkan bilangan tontonan), mengambil pendekatan yang lebih saintifik, menawarkan algoritma penyelesaian 5 mata yang mesti diselesaikan secara berurutan.
Bagi yang belum tahu, 5 ialah salah satu nombor Fibonacci yang secara tradisinya dianggap ajaib. Kaedah 5 langkah sentiasa lebih saintifik daripada kaedah 6 langkah, contohnya. ...Dan ini bukan satu kemalangan, kemungkinan besar, Pengarang adalah penganut tersembunyi teori Fibonacci
Diberi janjang aritmetik: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .
Algoritma untuk mencari jumlah nombor dalam satu siri menggunakan kaedah Gauss:
4, 10, 16 ... 244, 250, 256
256, 250, 244 ... 16, 10, 4
Pada masa yang sama, anda perlu ingat ditambah satu peraturan : kita mesti menambah satu kepada hasil bahagi yang terhasil: jika tidak, kita akan mendapat hasil yang kurang satu daripada bilangan pasangan sebenar: 42 + 1 = 43.
Ini ialah jumlah yang diperlukan bagi janjang aritmetik dari 4 hingga 256 dengan perbezaan 6!
Kaedah Gauss: penerangan dalam gred 5 di gimnasium Moscow
Berikut ialah cara untuk menyelesaikan masalah mencari jumlah siri:
20+40+60+ ... +460+480+500
dalam gred 5 gimnasium Moscow, buku teks Vilenkin (menurut anak saya).
Selepas menunjukkan pembentangan, guru matematik menunjukkan beberapa contoh menggunakan kaedah Gaussian dan memberi tugasan kepada kelas untuk mencari hasil tambah nombor dalam satu siri dengan kenaikan 20.
Ini memerlukan perkara berikut:
Seperti yang anda lihat, ini adalah teknik yang lebih padat dan berkesan: nombor 3 juga merupakan ahli jujukan Fibonacci
Komen saya tentang kaedah Gauss versi sekolah
Ahli matematik yang hebat itu pasti akan memilih falsafah jika dia telah meramalkan apa "kaedah"nya akan diubah oleh pengikutnya guru Jerman, yang menyebat Karl dengan kayu. Dia akan melihat simbolisme, lingkaran dialektik dan kebodohan "guru" yang tidak pernah mati. cuba mengukur keharmonian pemikiran matematik yang hidup dengan algebra salah faham ....
By the way: adakah anda tahu. bahawa sistem pendidikan kita berakar umbi dari sekolah Jerman pada abad ke-18 dan ke-19?
Tetapi Gauss memilih matematik.
Apakah intipati kaedah beliau?
DALAM penyederhanaan. DALAM memerhati dan menggenggam pola nombor yang mudah. DALAM menukar aritmetik sekolah kering kepada aktiviti yang menarik dan menarik , mengaktifkan dalam otak keinginan untuk meneruskan, bukannya menyekat aktiviti mental kos tinggi.
Adakah mungkin untuk menggunakan salah satu daripada "pengubahsuaian kaedah" Gauss yang diberikan untuk mengira jumlah nombor janjang aritmetik hampir serta merta? Menurut "algoritma", Karl kecil akan dijamin untuk mengelakkan pukulan, mengembangkan keengganan terhadap matematik dan menyekat dorongan kreatifnya sejak awal.
Mengapa tutor begitu gigih menasihati pelajar tingkatan lima "jangan takut salah faham" kaedah, meyakinkan mereka bahawa mereka akan menyelesaikan masalah "sebegitu" seawal gred 9? Tindakan buta huruf secara psikologi. Ia adalah satu langkah yang baik untuk diperhatikan: "Nampak? Awak dah darjah 5 pun boleh selesaikan masalah yang anda akan selesaikan hanya dalam masa 4 tahun! Alangkah hebatnya kamu!”
Untuk menggunakan kaedah Gaussian, tahap kelas 3 adalah mencukupi, apabila kanak-kanak biasa sudah tahu menambah, mendarab dan membahagi nombor 2-3 digit. Masalah timbul kerana ketidakupayaan guru dewasa yang "tidak dapat dihubungi" untuk menerangkan perkara yang paling mudah dalam bahasa manusia biasa, apatah lagi matematik... Mereka tidak dapat menarik minat orang ramai dalam matematik dan benar-benar tidak menggalakkan walaupun mereka yang " berkemampuan.”
Atau, seperti anak saya mengulas: "membuat sains yang besar daripadanya."
Kaedah Gauss, penjelasan saya
Saya dan isteri menjelaskan "kaedah" ini kepada anak kami, nampaknya, sebelum sekolah...
Kesederhanaan dan bukannya kerumitan atau permainan soalan dan jawapan
"Tengok, ini nombor dari 1 hingga 100. Apa yang awak nampak?"
Intinya bukanlah apa yang sebenarnya dilihat oleh kanak-kanak itu. Caranya ialah untuk membuat dia melihat.
"Bagaimana anda boleh meletakkan mereka bersama-sama?" Anak lelaki itu menyedari bahawa soalan seperti itu tidak ditanya "begitu sahaja" dan anda perlu melihat soalan "entah bagaimana berbeza, berbeza daripada biasanya"
Tidak mengapa jika anak melihat penyelesaiannya dengan segera, tidak mungkin. Adalah penting bahawa dia berhenti takut untuk melihat, atau seperti yang saya katakan: "menggerakkan tugas". Ini adalah permulaan perjalanan untuk memahami
"Manakah yang lebih mudah: menambah, sebagai contoh, 5 dan 6 atau 5 dan 95?" Soalan utama... Tetapi apa-apa latihan datang untuk "membimbing" seseorang kepada "jawapan" - dalam apa jua cara yang boleh diterima olehnya.
Pada peringkat ini, tekaan mungkin sudah timbul tentang cara "simpan" pada pengiraan.
Apa yang kami lakukan hanyalah membayangkan: kaedah pengiraan "depan, linear" bukan satu-satunya yang mungkin. Jika seorang kanak-kanak memahami perkara ini, kemudian dia akan menghasilkan lebih banyak kaedah seperti itu, sebab menarik!!! Dan dia pasti akan mengelakkan "salah faham" matematik dan tidak akan berasa jijik dengannya. Dia mendapat kemenangan!
Jika kanak-kanak ditemui bahawa menambah pasangan nombor yang menambah hingga seratus adalah sekeping kek, maka "janjang aritmetik dengan beza 1"- perkara yang agak suram dan tidak menarik untuk kanak-kanak - tiba-tiba menemukan kehidupan untuknya . Ketenteraman muncul daripada kekacauan, dan ini sentiasa menyebabkan semangat: begitulah kita dijadikan!
Soalan untuk dijawab: mengapa, selepas wawasan yang diterima oleh seorang kanak-kanak, dia harus sekali lagi dipaksa ke dalam rangka kerja algoritma kering, yang juga tidak berguna secara fungsional dalam kes ini?!
Mengapa memaksa menulis semula bodoh? nombor turutan dalam buku nota: supaya yang berkebolehan pun tidak mempunyai peluang untuk memahami? Secara statistik, sudah tentu, tetapi pendidikan massa menjurus kepada "statistik"...
Ke mana perginya sifar?
Namun, menambah nombor yang menambah sehingga 100 adalah lebih diterima oleh minda berbanding nombor yang menambah sehingga 101...
"Kaedah Sekolah Gauss" memerlukan ini: melipat tanpa berfikir pasangan nombor yang sama jarak dari pusat janjang, Walaupun segala-galanya.
Bagaimana jika anda melihat?
Namun, sifar adalah ciptaan terbesar manusia, yang berusia lebih daripada 2,000 tahun. Dan guru matematik terus mengabaikannya.
Adalah lebih mudah untuk mengubah satu siri nombor yang bermula dengan 1 kepada satu siri bermula dengan 0. Jumlahnya tidak akan berubah, bukan? Anda perlu berhenti "berfikir dalam buku teks" dan mula mencari... Dan lihat bahawa pasangan dengan jumlah 101 boleh digantikan sepenuhnya oleh pasangan dengan jumlah 100!
0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51
Bagaimana untuk menghapuskan "peraturan tambah 1"?
Sejujurnya, saya mula-mula mendengar tentang peraturan sedemikian daripada tutor YouTube itu...
Apakah yang masih saya lakukan apabila saya perlu menentukan bilangan ahli siri?
Saya melihat urutannya:
1, 2, 3, .. 8, 9, 10
dan apabila anda benar-benar letih, kemudian beralih ke baris yang lebih mudah:
1, 2, 3, 4, 5
dan saya fikir: jika anda menolak satu daripada 5, anda mendapat 4, tetapi saya benar-benar jelas saya faham 5 nombor! Oleh itu, anda perlu menambah satu! Pengertian nombor yang dibangunkan di sekolah rendah mencadangkan: walaupun terdapat keseluruhan Google ahli siri (10 hingga kuasa seratus), coraknya akan kekal sama.
Apakah peraturannya?..
Supaya dalam beberapa atau tiga tahun anda boleh mengisi semua ruang antara dahi dan belakang kepala anda dan berhenti berfikir? Bagaimana untuk mendapatkan roti dan mentega anda? Lagipun, kita bergerak dalam kedudukan yang sama ke dalam era ekonomi digital!
Lebih lanjut mengenai kaedah sekolah Gauss: "mengapa membuat sains daripada ini?.."
Bukan sia-sia saya menyiarkan tangkapan skrin daripada buku nota anak saya...
"Apa yang berlaku dalam kelas?"
"Nah, saya segera mengira, mengangkat tangan saya, tetapi dia tidak bertanya Oleh itu, sementara yang lain mengira, saya mula membuat kerja rumah dalam bahasa Rusia supaya tidak membuang masa kemudian, apabila yang lain selesai menulis (? ??), dia memanggil saya ke lembaga pengarah.
"Betul, tunjukkan saya bagaimana anda menyelesaikannya," kata guru itu. Saya menunjukkannya. Dia berkata: "Salah, anda perlu mengira seperti yang saya tunjukkan!"
"Adalah bagus bahawa dia tidak memberikan gred yang buruk dan dia membuat saya menulis dalam buku nota mereka "jalan penyelesaian" dengan cara mereka sendiri.
Jenayah utama seorang guru matematik
Hampir tidak selepas itu kejadian itu Carl Gauss mengalami rasa hormat yang tinggi terhadap guru matematik sekolahnya. Tetapi jika dia tahu bagaimana pengikut guru itu akan memesongkan intipati kaedah... dia akan meraung dengan kemarahan dan, melalui Pertubuhan Harta Intelek Sedunia WIPO, mencapai larangan penggunaan nama baiknya dalam buku teks sekolah!..
Apa kesilapan utama pendekatan sekolah? Atau, seperti yang saya katakan, jenayah guru matematik sekolah terhadap kanak-kanak?
Algoritma salah faham
Apakah yang dilakukan oleh ahli metodologi sekolah, sebahagian besar daripada mereka tidak tahu bagaimana untuk berfikir?
Mereka mencipta kaedah dan algoritma (lihat). ini reaksi defensif yang melindungi guru daripada kritikan (“Semuanya dilakukan mengikut...”) dan kanak-kanak daripada memahami. Dan dengan itu - dari keinginan untuk mengkritik guru!(Terbitan kedua "kebijaksanaan" birokrasi, pendekatan saintifik kepada masalah itu). Seseorang yang tidak memahami maksudnya lebih suka menyalahkan salah fahamnya sendiri, daripada kebodohan sistem persekolahan.
Inilah yang berlaku: ibu bapa menyalahkan anak mereka, dan guru... lakukan perkara yang sama untuk kanak-kanak yang "tidak faham matematik!"
Adakah awak pandai?
Apa yang Karl kecil lakukan?
Pendekatan yang sama sekali tidak konvensional untuk tugas formulaik. Inilah intipati pendekatan-Nya. ini perkara utama yang perlu diajar di sekolah ialah berfikir bukan dengan buku teks, tetapi dengan kepala anda. Sudah tentu, terdapat juga komponen instrumental yang boleh digunakan ... untuk mencari kaedah pengiraan yang lebih mudah dan cekap.
Kaedah Gauss mengikut Vilenkin
Di sekolah mereka mengajar bahawa kaedah Gauss adalah untuk
Apa, jika bilangan unsur siri itu ganjil, seperti dalam masalah yang ditugaskan kepada anak saya?..
"Tangkapan" ialah dalam kes ini anda harus mencari nombor "tambahan" dalam siri ini dan tambahkannya kepada jumlah pasangan. Dalam contoh kami nombor ini ialah 260.
Bagaimana untuk mengesan? Menyalin semua pasangan nombor ke dalam buku nota!(Inilah sebabnya guru membuat anak-anak melakukan kerja bodoh ini untuk cuba mengajar "kreativiti" menggunakan kaedah Gaussian... Dan inilah sebabnya "kaedah" sedemikian boleh dikatakan tidak boleh digunakan untuk siri data yang besar, DAN inilah sebabnya bukan kaedah Gaussian.)
Sedikit kreativiti dalam rutin sekolah...
Anak lelaki bertindak berbeza.
(20 + 500, 40 + 480 ...).
0+500, 20+480, 40+460 ...
Tak susah kan?
Tetapi dalam praktiknya ia dibuat lebih mudah, yang membolehkan anda mengukir 2-3 minit untuk penderiaan jauh dalam bahasa Rusia, sementara selebihnya "mengira". Di samping itu, ia mengekalkan bilangan langkah kaedah: 5, yang tidak membenarkan pendekatan itu dikritik kerana tidak saintifik.
Jelas sekali pendekatan ini lebih mudah, lebih pantas dan lebih universal, dalam gaya Kaedah. Tetapi... cikgu bukan sahaja tidak memuji, malah memaksa saya menulis semula “dengan cara yang betul” (lihat tangkapan skrin). Iaitu, dia membuat percubaan terdesak untuk menyekat dorongan kreatif dan keupayaan untuk memahami matematik pada akarnya! Rupa-rupanya, supaya dia kemudiannya boleh diambil sebagai tutor... Dia menyerang orang yang salah...
Segala-galanya yang saya terangkan begitu panjang dan membosankan boleh dijelaskan kepada kanak-kanak biasa dalam masa maksimum setengah jam. Bersama dengan contoh.
Dan dengan cara yang dia tidak akan melupakannya.
Dan ia akan menjadi langkah ke arah pemahaman... bukan hanya ahli matematik.
Akui: berapa kali dalam hidup anda telah anda tambah menggunakan kaedah Gaussian? Dan saya tidak pernah melakukannya!
Tetapi naluri kefahaman, yang berkembang (atau dipadamkan) dalam proses mempelajari kaedah matematik di sekolah... Oh!.. Ini benar-benar perkara yang tidak boleh ditukar ganti!
Lebih-lebih lagi dalam era digitalisasi sejagat, yang telah kita tempuhi secara senyap-senyap di bawah kepimpinan ketat Parti dan Kerajaan.
Sedikit perkataan untuk membela guru...
Adalah tidak adil dan salah untuk meletakkan semua tanggungjawab untuk gaya pengajaran ini semata-mata kepada guru sekolah. Sistem ini berkuat kuasa.
Beberapa guru memahami kemustahilan apa yang berlaku, tetapi apa yang perlu dilakukan? Undang-undang Pendidikan, Piawaian Pendidikan Negeri Persekutuan, kaedah, rancangan pengajaran... Semuanya mesti dilakukan "mengikut dan berdasarkan" dan semuanya mesti didokumenkan. Ke tepi - berdiri dalam barisan untuk dipecat. Jangan menjadi munafik: gaji guru Moscow sangat bagus... Jika mereka memecat anda, ke mana hendak pergi?..
Oleh itu laman web ini bukan tentang pendidikan. Dia kira-kira pendidikan individu, satu-satunya cara yang mungkin untuk keluar daripada orang ramai generasi Z ...
Salah satu cara paling mudah untuk menyelesaikan sistem persamaan linear ialah teknik berdasarkan pengiraan penentu ( Peraturan Cramer). Kelebihannya ialah ia membolehkan anda merekodkan penyelesaian dengan segera, terutamanya dalam kes di mana pekali sistem bukan nombor, tetapi beberapa parameter. Kelemahannya ialah kerumitan pengiraan dalam kes sejumlah besar persamaan, lebih-lebih lagi, peraturan Cramer tidak terpakai secara langsung kepada sistem di mana bilangan persamaan tidak bertepatan dengan bilangan yang tidak diketahui. Dalam kes sedemikian, ia biasanya digunakan Kaedah Gaussian.
Sistem persamaan linear yang mempunyai set penyelesaian yang sama dipanggil bersamaan. Jelas sekali, set penyelesaian sistem linear tidak akan berubah jika mana-mana persamaan ditukar, atau jika salah satu persamaan didarab dengan beberapa nombor bukan sifar, atau jika satu persamaan ditambah kepada persamaan yang lain.
Kaedah Gauss (kaedah penghapusan berurutan yang tidak diketahui) ialah dengan bantuan transformasi asas sistem dikurangkan kepada sistem yang setara dengan jenis langkah. Pertama, menggunakan persamaan 1, kita hapuskan x 1 daripada semua persamaan sistem berikutnya. Kemudian, menggunakan persamaan ke-2, kita hapuskan x 2 daripada persamaan ke-3 dan semua persamaan seterusnya. Proses ini, dipanggil kaedah Gaussian langsung, berterusan sehingga hanya tinggal satu yang tidak diketahui di sebelah kiri persamaan terakhir x n. Selepas ini selesai songsang kaedah Gaussian– menyelesaikan persamaan terakhir, kita dapati x n; selepas itu, menggunakan nilai ini, daripada persamaan kedua-dua kita mengira x n–1, dsb. Kami mencari yang terakhir x 1 daripada persamaan pertama.
Adalah mudah untuk menjalankan transformasi Gaussian dengan melakukan transformasi bukan dengan persamaan itu sendiri, tetapi dengan matriks pekalinya. Pertimbangkan matriks:
dipanggil matriks lanjutan sistem, kerana, sebagai tambahan kepada matriks utama sistem, ia termasuk lajur istilah bebas. Kaedah Gaussian adalah berdasarkan kepada mengurangkan matriks utama sistem kepada bentuk segi tiga (atau bentuk trapezoid dalam kes sistem bukan segi empat sama) menggunakan transformasi baris asas (!) bagi matriks lanjutan sistem.
Contoh 5.1. Selesaikan sistem menggunakan kaedah Gaussian:
Penyelesaian. Mari kita tuliskan matriks lanjutan sistem dan, menggunakan baris pertama, selepas itu kita akan menetapkan semula elemen yang tinggal:
kita mendapat sifar dalam baris ke-2, ke-3 dan ke-4 lajur pertama:
Sekarang kita memerlukan semua elemen dalam lajur kedua di bawah baris ke-2 untuk sama dengan sifar. Untuk melakukan ini, anda boleh mendarabkan baris kedua dengan –4/7 dan menambahnya pada baris ke-3. Walau bagaimanapun, untuk tidak berurusan dengan pecahan, mari kita buat unit di baris ke-2 lajur kedua dan hanya
Sekarang, untuk mendapatkan matriks segi tiga, anda perlu menetapkan semula elemen baris keempat lajur ke-3 untuk melakukan ini, anda boleh mendarabkan baris ketiga dengan 8/54 dan menambahnya kepada yang keempat. Walau bagaimanapun, untuk tidak berurusan dengan pecahan, kami akan menukar baris ke-3 dan ke-4 serta lajur ke-3 dan ke-4 dan hanya selepas itu kami akan menetapkan semula elemen yang ditentukan. Ambil perhatian bahawa apabila menyusun semula lajur, pembolehubah yang sepadan bertukar tempat dan ini mesti diingat; transformasi asas lain dengan lajur (penambahan dan pendaraban dengan nombor) tidak boleh dilakukan!
Matriks ringkas terakhir sepadan dengan sistem persamaan yang setara dengan yang asal:
Dari sini, menggunakan songsangan kaedah Gaussian, kita dapati daripada persamaan keempat x 3 = –1; daripada yang ketiga x 4 = –2, daripada yang kedua x 2 = 2 dan daripada persamaan pertama x 1 = 1. Dalam bentuk matriks, jawapan ditulis sebagai
Kami mempertimbangkan kes apabila sistem adalah pasti, i.e. apabila hanya ada satu penyelesaian. Mari lihat apa yang berlaku jika sistem tidak konsisten atau tidak pasti.
Contoh 5.2. Terokai sistem menggunakan kaedah Gaussian:
Penyelesaian. Kami menulis dan mengubah matriks lanjutan sistem
Kami menulis sistem persamaan yang dipermudahkan:
Di sini, dalam persamaan terakhir ternyata 0=4, i.e. percanggahan. Akibatnya, sistem tidak mempunyai penyelesaian, i.e. dia tidak serasi. à
Contoh 5.3. Teroka dan selesaikan sistem menggunakan kaedah Gaussian:
Penyelesaian. Kami menulis dan mengubah matriks lanjutan sistem:
Hasil daripada transformasi, baris terakhir hanya mengandungi sifar. Ini bermakna bilangan persamaan telah berkurangan sebanyak satu:
Oleh itu, selepas pemudahan, terdapat dua persamaan yang tinggal, dan empat yang tidak diketahui, i.e. dua "tambahan" yang tidak diketahui. Biarkan mereka "berlebihan", atau, seperti yang mereka katakan, pembolehubah bebas, akan x 3 dan x 4 . Kemudian
Percaya x 3 = 2a Dan x 4 = b, kita mendapatkan x 2 = 1–a Dan x 1 = 2b–a; atau dalam bentuk matriks
Penyelesaian yang ditulis dengan cara ini dipanggil umum, kerana, memberikan parameter a Dan b nilai yang berbeza, semua kemungkinan penyelesaian sistem boleh diterangkan. a
Kami terus mempertimbangkan sistem persamaan linear. Pelajaran ini adalah yang ketiga mengenai topik ini. Sekiranya anda mempunyai idea yang samar-samar tentang sistem persamaan linear secara umum, jika anda berasa seperti teko, maka saya cadangkan bermula dengan asas-asas pada halaman Seterusnya, adalah berguna untuk mengkaji pelajaran.
Kaedah Gaussian adalah mudah! kenapa? Ahli matematik Jerman terkenal Johann Carl Friedrich Gauss, semasa hayatnya, menerima pengiktirafan sebagai ahli matematik terhebat sepanjang zaman, seorang genius, dan juga gelaran "Raja Matematik." Dan segala-galanya yang bijak, seperti yang anda tahu, adalah mudah! Ngomong-ngomong, bukan sahaja penghisap mendapat wang, tetapi juga jenius - potret Gauss berada pada wang kertas 10 Deutschmark (sebelum pengenalan euro), dan Gauss masih tersenyum secara misteri kepada orang Jerman dari setem pos biasa.
Kaedah Gauss adalah mudah kerana PENGETAHUAN MURID DARJAH LIMA CUKUP untuk menguasainya. Anda mesti tahu cara menambah dan mendarab! Bukan kebetulan bahawa guru sering mempertimbangkan kaedah pengecualian berurutan yang tidak diketahui dalam elektif matematik sekolah. Ia satu paradoks, tetapi pelajar mendapati kaedah Gaussian paling sukar. Tiada apa-apa yang mengejutkan - ini semua tentang metodologi, dan saya akan cuba bercakap tentang algoritma kaedah dalam bentuk yang boleh diakses.
Pertama, mari kita sistematikkan sedikit pengetahuan tentang sistem persamaan linear. Sistem persamaan linear boleh:
1) Mempunyai penyelesaian yang unik. 2) Mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga. 3) Tidak mempunyai penyelesaian (jadi bukan sendi).
Kaedah Gauss ialah alat yang paling berkuasa dan universal untuk mencari penyelesaian mana-mana sistem persamaan linear. Seperti yang kita ingat, Kaedah peraturan dan matriks Cramer tidak sesuai dalam kes di mana sistem mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga atau tidak konsisten. Dan kaedah penghapusan berurutan yang tidak diketahui Bagaimanapun akan membawa kita kepada jawapan! Dalam pelajaran ini, kita sekali lagi akan mempertimbangkan kaedah Gauss untuk kes No. 1 (satu-satunya penyelesaian kepada sistem), artikel dikhaskan untuk situasi mata No. 2-3. Saya perhatikan bahawa algoritma kaedah itu sendiri berfungsi sama dalam ketiga-tiga kes.
Mari kita kembali kepada sistem yang paling mudah dari pelajaran Bagaimana untuk menyelesaikan sistem persamaan linear? dan selesaikannya menggunakan kaedah Gaussian.
Langkah pertama ialah menulis matriks sistem lanjutan: . Saya fikir semua orang boleh melihat dengan prinsip apakah pekali ditulis. Garis menegak di dalam matriks tidak mempunyai apa-apa makna matematik - ia hanyalah coretan untuk memudahkan reka bentuk.
Rujukan : Saya cadangkan anda ingat syarat algebra linear. Matriks Sistem ialah matriks yang hanya terdiri daripada pekali untuk yang tidak diketahui, dalam contoh ini matriks sistem: . Matriks Sistem Lanjutan – ini adalah matriks sistem yang sama ditambah lajur istilah bebas, dalam kes ini: . Untuk ringkasnya, mana-mana matriks boleh dipanggil matriks.
Selepas matriks sistem lanjutan ditulis, perlu melakukan beberapa tindakan dengannya, yang juga dipanggil transformasi asas.
Transformasi asas berikut wujud:
1) rentetan matriks boleh susun semula di beberapa tempat. Sebagai contoh, dalam matriks yang sedang dipertimbangkan, anda boleh menyusun semula baris pertama dan kedua tanpa rasa sakit: 
2) Jika terdapat (atau telah muncul) baris berkadar (sebagai kes khas - serupa) dalam matriks, maka anda harus padam daripada matriks semua baris ini kecuali satu. Pertimbangkan, sebagai contoh, matriks 
. Dalam matriks ini, tiga baris terakhir adalah berkadar, jadi cukup untuk meninggalkan hanya satu daripadanya: 
.
3) Jika baris sifar muncul dalam matriks semasa transformasi, maka ia juga sepatutnya padam. Saya tidak akan melukis, sudah tentu, garis sifar ialah garisan di mana semua sifar.
4) Baris matriks boleh darab (bahagi) kepada sebarang nombor bukan sifar. Pertimbangkan, sebagai contoh, matriks . Di sini adalah dinasihatkan untuk membahagikan baris pertama dengan –3, dan darab baris kedua dengan 2: 
. Tindakan ini sangat berguna kerana ia memudahkan transformasi selanjutnya matriks.
5) Transformasi ini menyebabkan paling sukar, tetapi sebenarnya tidak ada yang rumit sama ada. Untuk satu baris matriks anda boleh tambah satu lagi rentetan didarab dengan nombor, berbeza daripada sifar. Mari lihat matriks kami dari contoh praktikal: . Mula-mula saya akan menerangkan transformasi dengan terperinci. Darab baris pertama dengan –2: 
, Dan ke baris kedua kita tambah baris pertama didarab dengan –2: 
. Sekarang baris pertama boleh dibahagikan "kembali" dengan –2: . Seperti yang anda lihat, baris yang ADDED LI – tidak berubah. Sentiasa baris KEPADA YANG DITAMBAH berubah UT.
Dalam amalan, sudah tentu, mereka tidak menulisnya secara terperinci, tetapi menulisnya secara ringkas: 
Sekali lagi: ke baris kedua menambah baris pertama didarab dengan –2. Garis biasanya didarab secara lisan atau pada draf, dengan proses pengiraan mental berjalan seperti ini:
"Saya menulis semula matriks dan menulis semula baris pertama: 
»
“Lajur pertama dahulu. Di bahagian bawah saya perlu mendapat sifar. Oleh itu, saya mendarabkan yang di bahagian atas dengan –2: , dan menambah yang pertama ke baris kedua: 2 + (–2) = 0. Saya menulis hasilnya dalam baris kedua: 
»
“Sekarang ruangan kedua. Di bahagian atas, saya darab -1 dengan -2: . Saya menambah yang pertama pada baris kedua: 1 + 2 = 3. Saya menulis hasilnya dalam baris kedua: 
»
“Dan lajur ketiga. Di bahagian atas saya darab -5 dengan -2: . Saya menambah yang pertama ke baris kedua: –7 + 10 = 3. Saya menulis hasilnya dalam baris kedua: 
»
Sila fahami contoh ini dengan teliti dan fahami algoritma pengiraan berjujukan, jika anda memahami ini, maka kaedah Gaussian boleh didapati di dalam poket anda. Tetapi, sudah tentu, kami masih akan mengusahakan transformasi ini.
Transformasi asas tidak mengubah penyelesaian sistem persamaan
! PERHATIAN: dianggap manipulasi tak boleh guna, jika anda ditawarkan tugas di mana matriks diberikan "sendiri". Contohnya, dengan "klasik" operasi dengan matriks Dalam apa jua keadaan, anda tidak boleh menyusun semula apa-apa di dalam matriks! Mari kembali ke sistem kami. Ia boleh dipecahkan.
Mari kita tuliskan matriks lanjutan sistem dan, menggunakan transformasi asas, kurangkan kepada pandangan melangkah:
(1) Baris pertama ditambah pada baris kedua, didarab dengan –2. Dan sekali lagi: mengapa kita mendarab baris pertama dengan –2? Untuk mendapatkan sifar di bahagian bawah, yang bermaksud menyingkirkan satu pembolehubah dalam baris kedua.
(2) Bahagikan baris kedua dengan 3.
Tujuan transformasi asas
–
kurangkan matriks kepada bentuk berperingkat: 
. Dalam reka bentuk tugas, mereka hanya menandakan "tangga" dengan pensil mudah, dan juga membulatkan nombor yang terletak pada "langkah". Istilah "pandangan berperingkat" itu sendiri tidak sepenuhnya bersifat teori dalam kesusasteraan saintifik dan pendidikan ia sering dipanggil pandangan trapezoid atau pandangan segi tiga.
Hasil daripada transformasi asas, kami memperoleh bersamaan sistem persamaan asal:
Kini sistem perlu "dilepaskan" ke arah yang bertentangan - dari bawah ke atas, proses ini dipanggil songsang kaedah Gaussian.
Dalam persamaan yang lebih rendah kita sudah mempunyai hasil siap sedia: .
Mari kita pertimbangkan persamaan pertama sistem dan gantikan nilai "y" yang telah diketahui ke dalamnya:
Mari kita pertimbangkan situasi yang paling biasa, apabila kaedah Gaussian memerlukan penyelesaian sistem tiga persamaan linear dengan tiga tidak diketahui.
Contoh 1
Selesaikan sistem persamaan menggunakan kaedah Gauss: 
Mari kita tulis matriks lanjutan sistem: 
Sekarang saya akan segera melukis hasil yang akan kami perolehi semasa penyelesaian: 
Dan saya ulangi, matlamat kami adalah untuk membawa matriks ke bentuk berperingkat menggunakan transformasi asas. Di mana hendak bermula?
Pertama, lihat nombor kiri atas: 
Hampir selalu ada di sini unit. Secara umumnya, -1 (dan kadangkala nombor lain) akan berjaya, tetapi entah bagaimana secara tradisinya berlaku bahawa nombor itu biasanya diletakkan di sana. Bagaimana untuk mengatur unit? Kami melihat lajur pertama - kami mempunyai unit siap! Transformasi satu: tukar baris pertama dan ketiga: 
Sekarang baris pertama akan kekal tidak berubah sehingga akhir penyelesaian. Sekarang baik.
Unit di penjuru kiri sebelah atas disusun. Kini anda perlu mendapatkan sifar di tempat ini: 
Kami mendapat sifar menggunakan transformasi "sukar". Mula-mula kita berurusan dengan baris kedua (2, -1, 3, 13). Apakah yang perlu dilakukan untuk mendapatkan sifar pada kedudukan pertama? Perlu ke baris kedua tambah baris pertama didarab dengan –2. Secara mental atau pada draf, darab baris pertama dengan –2: (–2, –4, 2, –18). Dan kami secara konsisten melaksanakan (sekali lagi secara mental atau pada draf) tambahan, ke baris kedua kita tambah baris pertama, sudah didarab dengan –2:
Kami menulis hasilnya dalam baris kedua: 
Kami berurusan dengan baris ketiga dengan cara yang sama (3, 2, -5, -1). Untuk mendapatkan sifar dalam kedudukan pertama, anda perlukan ke baris ketiga tambah baris pertama didarab dengan –3. Secara mental atau pada draf, darab baris pertama dengan –3: (–3, –6, 3, –27). DAN ke baris ketiga kita tambah baris pertama didarab dengan –3:
Kami menulis hasilnya dalam baris ketiga:
Dalam amalan, tindakan ini biasanya dilakukan secara lisan dan ditulis dalam satu langkah: 
Tidak perlu mengira semuanya sekaligus dan pada masa yang sama. Susunan pengiraan dan "menulis dalam" keputusan konsisten dan selalunya begini: mula-mula kita tulis semula baris pertama, dan perlahan-lahan menghembus diri - SECARA KONSISTEN dan SECARA PERHATIAN:
Dan saya telah membincangkan proses mental pengiraan sendiri di atas.
Dalam contoh ini, ini mudah dilakukan; kita membahagikan baris kedua dengan –5 (kerana semua nombor di sana boleh dibahagikan dengan 5 tanpa baki). Pada masa yang sama, kami membahagikan baris ketiga dengan –2, kerana lebih kecil nombor, lebih mudah penyelesaiannya:
Pada peringkat akhir transformasi asas, anda perlu mendapatkan satu lagi sifar di sini: 
Untuk ini ke baris ketiga kita tambah baris kedua didarab dengan –2:
Cuba fikirkan sendiri tindakan ini - darab baris kedua secara mental dengan –2 dan lakukan penambahan.
Tindakan terakhir yang dilakukan ialah gaya rambut hasilnya, bahagikan baris ketiga dengan 3.
Hasil daripada transformasi asas, sistem persamaan linear yang setara telah diperolehi: 
Sejuk.
Kini kebalikan kaedah Gaussian mula dimainkan. Persamaan "berehat" dari bawah ke atas.
Dalam persamaan ketiga kita sudah mempunyai hasil sedia:
Mari kita lihat persamaan kedua: . Makna "zet" sudah diketahui, oleh itu:
Dan akhirnya, persamaan pertama: . "Igrek" dan "zet" diketahui, ini hanya perkara kecil:
Jawab: 
Seperti yang telah berulang kali dinyatakan, untuk mana-mana sistem persamaan adalah mungkin dan perlu untuk menyemak penyelesaian yang ditemui, mujurlah, ini mudah dan cepat.
Contoh 2
Ini adalah contoh untuk penyelesaian bebas, sampel reka bentuk akhir dan jawapan pada akhir pelajaran.
Perlu diingatkan bahawa anda kemajuan keputusan mungkin tidak bertepatan dengan proses keputusan saya, dan ini adalah ciri kaedah Gauss. Tetapi jawapannya mesti sama!
Contoh 3
Selesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Gauss 
Kami melihat "langkah" kiri atas. Kita sepatutnya mempunyai satu di sana. Masalahnya ialah tiada unit dalam lajur pertama sama sekali, jadi menyusun semula baris tidak akan menyelesaikan apa-apa. Dalam kes sedemikian, unit mesti disusun menggunakan transformasi asas. Ini biasanya boleh dilakukan dalam beberapa cara. Saya melakukan ini: (1) Pada baris pertama kita tambahkan baris kedua, didarab dengan –1. Iaitu, kami secara mental mendarabkan baris kedua dengan –1 dan menambah baris pertama dan kedua, manakala baris kedua tidak berubah.
Sekarang di bahagian atas sebelah kiri terdapat "tolak satu", yang sesuai dengan kita. Sesiapa sahaja yang ingin mendapatkan +1 boleh melakukan pergerakan tambahan: darab baris pertama dengan –1 (tukar tandanya).
(2) Baris pertama didarab dengan 5 telah ditambah pada baris kedua.
(3) Baris pertama didarab dengan –1, pada dasarnya, ini adalah untuk kecantikan. Tanda baris ketiga juga ditukar dan ia dipindahkan ke tempat kedua, supaya pada "langkah" kedua kami mempunyai unit yang diperlukan.
(4) Baris kedua ditambahkan pada baris ketiga, didarab dengan 2.
(5) Baris ketiga dibahagikan dengan 3.
Tanda buruk yang menunjukkan ralat dalam pengiraan (lebih jarang, kesilapan menaip) ialah garis bawah "buruk". Iaitu, jika kita mendapat sesuatu seperti , di bawah, dan, sewajarnya, 
, maka dengan tahap kebarangkalian yang tinggi kita boleh mengatakan bahawa ralat telah dibuat semasa transformasi asas.
Kami mengecas sebaliknya, dalam reka bentuk contoh mereka sering tidak menulis semula sistem itu sendiri, tetapi persamaan "diambil terus dari matriks yang diberikan." Lejang terbalik, saya ingatkan anda, berfungsi dari bawah ke atas. Ya, inilah hadiahnya:
Jawab: 
.
Contoh 4
Selesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Gauss 
Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri, ia agak rumit. Tidak mengapa jika ada yang keliru. Reka bentuk penyelesaian dan sampel penuh pada akhir pelajaran. Penyelesaian anda mungkin berbeza daripada penyelesaian saya.
Pada bahagian terakhir kita akan melihat beberapa ciri algoritma Gaussian. Ciri pertama ialah kadangkala beberapa pembolehubah hilang daripada persamaan sistem, contohnya: 
Bagaimana untuk menulis matriks sistem lanjutan dengan betul? Saya sudah bercakap tentang perkara ini di dalam kelas. Peraturan Cramer. Kaedah matriks. Dalam matriks lanjutan sistem, kami meletakkan sifar sebagai ganti pembolehubah yang hilang: 
Ngomong-ngomong, ini adalah contoh yang agak mudah, kerana lajur pertama sudah mempunyai satu sifar, dan terdapat lebih sedikit transformasi asas untuk dilakukan.
Ciri kedua ialah ini. Dalam semua contoh yang dipertimbangkan, kami meletakkan sama ada -1 atau +1 pada "langkah". Mungkinkah ada nombor lain di sana? Dalam beberapa kes mereka boleh. Pertimbangkan sistem: 
.
Di sini di sebelah kiri atas "langkah" kita mempunyai dua. Tetapi kita perhatikan hakikat bahawa semua nombor dalam lajur pertama boleh dibahagikan dengan 2 tanpa baki - dan satu lagi ialah dua dan enam. Dan dua di kiri atas akan sesuai dengan kita! Dalam langkah pertama, anda perlu melakukan transformasi berikut: tambah baris pertama didarab dengan –1 ke baris kedua; ke baris ketiga tambah baris pertama didarab dengan –3. Dengan cara ini kita akan mendapat sifar yang diperlukan dalam lajur pertama.
Atau contoh konvensional lain: 
. Di sini tiga pada "langkah" kedua juga sesuai dengan kita, kerana 12 (tempat di mana kita perlu mendapatkan sifar) boleh dibahagikan dengan 3 tanpa baki. Adalah perlu untuk menjalankan transformasi berikut: tambah baris kedua ke baris ketiga, didarab dengan -4, akibatnya sifar yang kita perlukan akan diperolehi.
Kaedah Gauss adalah universal, tetapi terdapat satu keanehan. Anda dengan yakin boleh belajar menyelesaikan sistem menggunakan kaedah lain (kaedah Cramer, kaedah matriks) secara literal pada kali pertama - mereka mempunyai algoritma yang sangat ketat. Tetapi untuk merasa yakin dengan kaedah Gaussian, anda harus "memasukkan gigi anda" dan menyelesaikan sekurang-kurangnya 5-10 sepuluh sistem. Oleh itu, pada mulanya mungkin terdapat kekeliruan dan kesilapan dalam pengiraan, dan tidak ada yang luar biasa atau tragis tentang ini.
Cuaca musim luruh hujan di luar tingkap.... Oleh itu, untuk semua orang yang mahukan contoh yang lebih kompleks untuk diselesaikan sendiri:
Contoh 5
Selesaikan sistem 4 persamaan linear dengan empat tidak diketahui menggunakan kaedah Gauss. 
Tugas sedemikian tidak begitu jarang dalam amalan. Saya fikir walaupun teko yang telah mengkaji halaman ini dengan teliti akan memahami algoritma untuk menyelesaikan sistem sedemikian secara intuitif. Pada asasnya, semuanya adalah sama - hanya terdapat lebih banyak tindakan.
Kes apabila sistem tidak mempunyai penyelesaian (tidak konsisten) atau mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga dibincangkan dalam pelajaran Sistem dan sistem yang tidak serasi dengan penyelesaian yang sama. Di sana anda boleh membetulkan algoritma kaedah Gaussian yang dipertimbangkan.
Semoga anda berjaya!
Penyelesaian dan jawapan:
Contoh 2:
Penyelesaian
:
Mari kita tuliskan matriks lanjutan sistem dan, menggunakan penjelmaan asas, bawa ia ke bentuk berperingkat.
Transformasi asas dilakukan:
(1) Baris pertama ditambah pada baris kedua, didarab dengan –2. Baris pertama ditambahkan pada baris ketiga, didarab dengan -1.
Perhatian!
Di sini anda mungkin tergoda untuk menolak yang pertama dari baris ketiga, saya sangat mengesyorkan untuk tidak menolaknya - risiko ralat meningkat dengan ketara. Lipat sahaja!
(2) Tanda baris kedua telah ditukar (didarab dengan –1). Baris kedua dan ketiga telah ditukar.
Nota
, bahawa pada "langkah" kita berpuas hati bukan sahaja dengan satu, tetapi juga dengan -1, yang lebih mudah.
(3) Baris kedua ditambah pada baris ketiga, didarab dengan 5.
(4) Tanda baris kedua telah diubah (didarab dengan –1). Baris ketiga dibahagikan dengan 14.
terbalik:
Jawab
:
.
Contoh 4:
Penyelesaian
:
Mari kita tuliskan matriks lanjutan sistem dan, menggunakan penjelmaan asas, bawa ia ke bentuk berperingkat:
Penukaran dilakukan: (1) Baris kedua telah ditambahkan pada baris pertama. Oleh itu, unit yang dikehendaki disusun di sebelah kiri atas "langkah". (2) Baris pertama didarab dengan 7 telah ditambah pada baris kedua.
Dengan "langkah" kedua semuanya menjadi lebih teruk , "calon" untuknya ialah nombor 17 dan 23, dan kami memerlukan sama ada satu atau –1. Transformasi (3) dan (4) akan bertujuan untuk mendapatkan unit yang dikehendaki (3) Baris kedua ditambah pada baris ketiga, didarab dengan –1. (4) Baris ketiga ditambah pada baris kedua, didarab dengan –3. Item yang diperlukan pada langkah kedua telah diterima . (5) Baris kedua ditambah pada baris ketiga, didarab dengan 6. (6) Baris kedua didarab dengan –1, baris ketiga dibahagi dengan -83.
terbalik:
Jawab :
Contoh 5:
Penyelesaian
:
Mari kita tuliskan matriks sistem dan, menggunakan penjelmaan asas, bawa ia ke bentuk berperingkat:
Penukaran dilakukan: (1) Baris pertama dan kedua telah ditukar. (2) Baris pertama ditambah pada baris kedua, didarab dengan –2. Baris pertama ditambah pada baris ketiga, didarab dengan –2. Baris pertama ditambah pada baris keempat, didarab dengan –3. (3) Baris kedua ditambah pada baris ketiga, didarab dengan 4. Baris kedua ditambah pada baris keempat, didarab dengan –1. (4) Tanda baris kedua telah ditukar. Baris keempat dibahagikan dengan 3 dan diletakkan di tempat baris ketiga. (5) Baris ketiga ditambah kepada baris keempat, didarab dengan –5.
terbalik:
Jawab :
Dalam artikel ini, kaedah ini dianggap sebagai kaedah untuk menyelesaikan sistem persamaan linear (SLAE). Kaedah ini adalah analitikal, iaitu, ia membolehkan anda menulis algoritma penyelesaian dalam bentuk umum, dan kemudian menggantikan nilai dari contoh khusus di sana. Tidak seperti kaedah matriks atau formula Cramer, apabila menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Gauss, anda juga boleh bekerja dengan penyelesaian yang mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. Atau mereka tidak memilikinya sama sekali.
Apakah yang dimaksudkan untuk menyelesaikan menggunakan kaedah Gaussian?
Pertama, kita perlu menulis sistem persamaan kita dalam Ia kelihatan seperti ini. Ambil sistem:
Pekali ditulis dalam bentuk jadual, dan istilah bebas ditulis dalam lajur berasingan di sebelah kanan. Lajur dengan istilah bebas dipisahkan untuk kemudahan Matriks yang merangkumi lajur ini dipanggil lanjutan.
Seterusnya, matriks utama dengan pekali mesti dikurangkan kepada bentuk segi tiga atas. Ini adalah perkara utama untuk menyelesaikan sistem menggunakan kaedah Gaussian. Ringkasnya, selepas manipulasi tertentu, matriks harus kelihatan supaya bahagian kiri bawahnya hanya mengandungi sifar:
Kemudian, jika anda menulis matriks baharu sekali lagi sebagai sistem persamaan, anda akan melihat bahawa baris terakhir sudah mengandungi nilai salah satu punca, yang kemudiannya digantikan ke dalam persamaan di atas, punca lain ditemui, dan seterusnya.
Ini adalah perihalan penyelesaian dengan kaedah Gaussian dalam istilah yang paling umum. Apa yang berlaku jika tiba-tiba sistem tidak mempunyai penyelesaian? Atau adakah terdapat banyak daripada mereka? Untuk menjawab ini dan banyak soalan lain, adalah perlu untuk mempertimbangkan secara berasingan semua elemen yang digunakan dalam menyelesaikan kaedah Gaussian.
Matriks, sifatnya
Tiada makna tersembunyi dalam matriks. Ini hanyalah cara mudah untuk merekod data untuk operasi seterusnya dengannya. Malah pelajar sekolah tidak perlu takut dengan mereka.
Matriks sentiasa segi empat tepat, kerana ia lebih mudah. Walaupun dalam kaedah Gauss, di mana segala-galanya datang untuk membina matriks bentuk segi tiga, segi empat tepat muncul dalam entri, hanya dengan sifar di tempat yang tiada nombor. Sifar mungkin tidak ditulis, tetapi ia tersirat.
Matriks mempunyai saiz. "Lebar"nya ialah bilangan baris (m), "panjang" ialah bilangan lajur (n). Kemudian saiz matriks A (huruf Latin besar biasanya digunakan untuk menandakannya) akan dilambangkan sebagai A m×n. Jika m=n, maka matriks ini adalah segi empat sama, dan m=n ialah susunannya. Sehubungan itu, sebarang unsur matriks A boleh dilambangkan dengan nombor baris dan lajurnya: a xy ; x - nombor baris, perubahan, y - nombor lajur, perubahan.
B bukan perkara utama keputusan. Pada dasarnya, semua operasi boleh dilakukan secara langsung dengan persamaan itu sendiri, tetapi notasi akan menjadi lebih rumit, dan lebih mudah untuk keliru di dalamnya.
Penentu
Matriks juga mempunyai penentu. Ini adalah ciri yang sangat penting. Tidak perlu mengetahui maknanya sekarang; anda hanya boleh menunjukkan cara ia dikira, dan kemudian memberitahu sifat matriks yang ditentukannya. Cara paling mudah untuk mencari penentu adalah melalui pepenjuru. pepenjuru khayalan dilukis dalam matriks; unsur-unsur yang terletak pada setiap daripada mereka didarabkan, dan kemudian produk yang dihasilkan ditambah: pepenjuru dengan cerun ke kanan - dengan tanda tambah, dengan cerun ke kiri - dengan tanda tolak.
Adalah amat penting untuk diperhatikan bahawa penentu hanya boleh dikira untuk matriks segi empat sama. Untuk matriks segi empat tepat, anda boleh melakukan perkara berikut: pilih yang terkecil daripada bilangan baris dan bilangan lajur (biarlah k), dan kemudian tandakan secara rawak k lajur dan k baris dalam matriks. Unsur-unsur di persimpangan lajur dan baris yang dipilih akan membentuk matriks persegi baharu. Jika penentu bagi matriks sedemikian ialah nombor bukan sifar, ia dipanggil minor asas bagi matriks segi empat tepat asal.
Sebelum anda mula menyelesaikan sistem persamaan menggunakan kaedah Gaussian, tidak ada salahnya untuk mengira penentu. Jika ternyata sifar, maka kita boleh dengan segera mengatakan bahawa matriks mempunyai sama ada bilangan penyelesaian yang tidak terhingga atau tiada sama sekali. Dalam kes yang menyedihkan, anda perlu pergi lebih jauh dan mengetahui tentang pangkat matriks.
Pengelasan sistem
Terdapat perkara seperti pangkat matriks. Ini ialah susunan maksimum penentu bukan sifarnya (jika kita ingat tentang asas minor, kita boleh mengatakan bahawa pangkat matriks ialah susunan asas minor).
Berdasarkan situasi dengan pangkat, SLAE boleh dibahagikan kepada:
- sendi. U Dalam sistem gabungan, pangkat matriks utama (hanya terdiri daripada pekali) bertepatan dengan pangkat matriks lanjutan (dengan lajur istilah bebas). Sistem sedemikian mempunyai penyelesaian, tetapi tidak semestinya satu, oleh itu, sistem sendi tambahan dibahagikan kepada:
- - pasti- mempunyai penyelesaian tunggal. Dalam sistem tertentu, pangkat matriks dan bilangan yang tidak diketahui (atau bilangan lajur, yang merupakan perkara yang sama) adalah sama;
- - tidak ditentukan - dengan bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. Kedudukan matriks dalam sistem sedemikian adalah kurang daripada bilangan yang tidak diketahui.
- Tidak serasi. U Dalam sistem sedemikian, pangkat matriks utama dan lanjutan tidak bertepatan. Sistem yang tidak serasi tidak mempunyai penyelesaian.
Kaedah Gauss adalah baik kerana semasa penyelesaian membolehkan seseorang memperoleh sama ada bukti yang jelas tentang ketidakkonsistenan sistem (tanpa mengira penentu matriks besar), atau penyelesaian dalam bentuk umum untuk sistem dengan bilangan penyelesaian yang tidak terhingga.
Transformasi asas
Sebelum meneruskan terus untuk menyelesaikan sistem, anda boleh menjadikannya kurang rumit dan lebih mudah untuk pengiraan. Ini dicapai melalui transformasi asas - supaya pelaksanaannya tidak mengubah jawapan akhir dalam apa jua cara. Perlu diingatkan bahawa beberapa transformasi asas yang diberikan hanya sah untuk matriks, yang mana sumbernya ialah SLAE. Berikut ialah senarai transformasi ini:
- Menyusun semula rentetan. Jelas sekali, jika anda menukar susunan persamaan dalam rekod sistem, ini tidak akan menjejaskan penyelesaian dalam apa cara sekalipun. Akibatnya, baris dalam matriks sistem ini juga boleh ditukar, tidak lupa, sudah tentu, lajur istilah bebas.
- Mendarab semua elemen rentetan dengan pekali tertentu. Sangat membantu! Ia boleh digunakan untuk mengurangkan bilangan besar dalam matriks atau mengeluarkan sifar. Banyak keputusan, seperti biasa, tidak akan berubah, tetapi operasi selanjutnya akan menjadi lebih mudah. Perkara utama ialah pekali tidak sama dengan sifar.
- Mengalih keluar baris dengan faktor berkadar. Ini sebahagiannya mengikuti perenggan sebelumnya. Jika dua atau lebih baris dalam matriks mempunyai pekali berkadar, maka apabila salah satu baris didarab/dibahagikan dengan pekali perkadaran, dua (atau, sekali lagi, lebih) baris yang sama mutlak diperoleh, dan yang tambahan boleh dikeluarkan, meninggalkan hanya satu.
- Mengalih keluar garisan nol. Jika, semasa transformasi, satu baris diperoleh di suatu tempat di mana semua elemen, termasuk istilah bebas, adalah sifar, maka baris tersebut boleh dipanggil sifar dan dibuang keluar dari matriks.
- Menambah pada elemen satu baris elemen yang lain (dalam lajur yang sepadan), didarab dengan pekali tertentu. Transformasi yang paling tidak jelas dan paling penting dari semuanya. Ia bernilai memikirkannya dengan lebih terperinci.
Menambah rentetan didarab dengan faktor
Untuk memudahkan pemahaman, proses ini patut dipecahkan langkah demi langkah. Dua baris diambil daripada matriks:
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a 21 a 22 ... a 2n | b 2
Katakan anda perlu menambah yang pertama kepada yang kedua, didarab dengan pekali "-2".
a" 21 = a 21 + -2×a 11
a" 22 = a 22 + -2×a 12
a" 2n = a 2n + -2×a 1n
Kemudian baris kedua dalam matriks digantikan dengan yang baru, dan yang pertama kekal tidak berubah.
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2
Perlu diingatkan bahawa pekali pendaraban boleh dipilih sedemikian rupa sehingga, sebagai hasil daripada menambah dua baris, salah satu elemen baris baru adalah sama dengan sifar. Oleh itu, adalah mungkin untuk mendapatkan persamaan dalam sistem di mana terdapat satu persamaan yang kurang diketahui. Dan jika anda mendapat dua persamaan sedemikian, maka operasi boleh dilakukan semula dan mendapatkan persamaan yang akan mengandungi dua kurang tidak diketahui. Dan jika setiap kali anda menukar satu pekali semua baris yang berada di bawah yang asal kepada sifar, maka anda boleh, seperti tangga, turun ke bahagian paling bawah matriks dan mendapatkan persamaan dengan satu yang tidak diketahui. Ini dipanggil menyelesaikan sistem menggunakan kaedah Gaussian.
Secara umum
Biar ada sistem. Ia mempunyai m persamaan dan n punca yang tidak diketahui. Anda boleh menulisnya seperti berikut:
Matriks utama disusun daripada pekali sistem. Lajur istilah bebas ditambahkan pada matriks lanjutan dan, untuk kemudahan, dipisahkan dengan garis.
- baris pertama matriks didarab dengan pekali k = (-a 21 /a 11);
- baris pertama diubah suai dan baris kedua matriks ditambah;
- bukannya baris kedua, hasil penambahan daripada perenggan sebelumnya dimasukkan ke dalam matriks;
- kini pekali pertama dalam baris kedua baharu ialah 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.
Kini siri transformasi yang sama dilakukan, hanya baris pertama dan ketiga yang terlibat. Oleh itu, pada setiap langkah algoritma, elemen a 21 digantikan dengan 31. Kemudian semuanya diulang untuk 41, ... a m1. Hasilnya ialah matriks di mana elemen pertama dalam baris adalah sifar. Kini anda perlu melupakan baris nombor satu dan melakukan algoritma yang sama, bermula dari baris dua:
- pekali k = (-a 32 /a 22);
- baris kedua yang diubah suai ditambah pada baris "semasa";
- hasil penambahan digantikan ke dalam baris ketiga, keempat, dan seterusnya, manakala yang pertama dan kedua kekal tidak berubah;
- dalam baris matriks dua elemen pertama sudah sama dengan sifar.
Algoritma mesti diulang sehingga pekali k = (-a m,m-1 /a mm) muncul. Ini bermakna kali terakhir algoritma dilaksanakan hanya untuk persamaan yang lebih rendah. Kini matriks kelihatan seperti segi tiga, atau mempunyai bentuk bertingkat. Di bahagian bawah terdapat kesamaan a mn × x n = b m. Pekali dan sebutan bebas diketahui, dan puncanya dinyatakan melaluinya: x n = b m /a mn. Punca yang terhasil digantikan ke baris atas untuk mencari x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. Dan seterusnya dengan analogi: dalam setiap baris seterusnya terdapat akar baru, dan, setelah mencapai "atas" sistem, anda boleh mencari banyak penyelesaian. Ia akan menjadi satu-satunya.
Apabila tiada penyelesaian
Jika dalam salah satu baris matriks semua elemen kecuali istilah bebas adalah sama dengan sifar, maka persamaan yang sepadan dengan baris ini kelihatan seperti 0 = b. Ia tidak mempunyai penyelesaian. Dan kerana persamaan sedemikian dimasukkan ke dalam sistem, maka set penyelesaian keseluruhan sistem adalah kosong, iaitu, ia merosot.
Apabila terdapat bilangan penyelesaian yang tidak terhingga
Ia mungkin berlaku bahawa dalam matriks segi tiga yang diberikan tidak ada baris dengan satu elemen pekali persamaan dan satu sebutan bebas. Terdapat hanya baris yang, apabila ditulis semula, akan kelihatan seperti persamaan dengan dua atau lebih pembolehubah. Ini bermakna sistem mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. Dalam kes ini, jawapan boleh diberikan dalam bentuk penyelesaian umum. Bagaimana hendak melakukannya?
Semua pembolehubah dalam matriks dibahagikan kepada asas dan bebas. Yang asas ialah yang berdiri "di tepi" baris dalam matriks langkah. Selebihnya percuma. Dalam penyelesaian umum, pembolehubah asas ditulis melalui yang bebas.
Untuk kemudahan, matriks pertama kali ditulis semula ke dalam sistem persamaan. Kemudian pada yang terakhir daripada mereka, di mana hanya terdapat satu pembolehubah asas yang tinggal, ia kekal di satu pihak, dan segala-galanya dipindahkan ke yang lain. Ini dilakukan untuk setiap persamaan dengan satu pembolehubah asas. Kemudian, dalam persamaan yang tinggal, jika boleh, ungkapan yang diperoleh untuknya digantikan dan bukannya pembolehubah asas. Jika hasilnya sekali lagi merupakan ungkapan yang mengandungi hanya satu pembolehubah asas, ia sekali lagi dinyatakan dari sana, dan seterusnya, sehingga setiap pembolehubah asas ditulis sebagai ungkapan dengan pembolehubah bebas. Ini ialah penyelesaian umum SLAE.
Anda juga boleh mencari penyelesaian asas sistem - berikan pembolehubah bebas sebarang nilai, dan kemudian untuk kes khusus ini hitung nilai pembolehubah asas. Terdapat bilangan penyelesaian tertentu yang tidak terhingga yang boleh diberikan.
Penyelesaian dengan contoh khusus
Berikut adalah sistem persamaan.
Untuk kemudahan, lebih baik untuk segera membuat matriksnya
Adalah diketahui bahawa apabila diselesaikan dengan kaedah Gaussian, persamaan yang sepadan dengan baris pertama akan kekal tidak berubah pada akhir transformasi. Oleh itu, ia akan menjadi lebih menguntungkan jika elemen kiri atas matriks adalah yang terkecil - maka elemen pertama baris yang tinggal selepas operasi akan bertukar kepada sifar. Ini bermakna bahawa dalam matriks yang disusun adalah berfaedah untuk meletakkan baris kedua di tempat yang pertama.
baris kedua: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3
a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0
a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7
a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11
b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24
baris ketiga: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0
a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9
a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18
b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57
Sekarang, untuk tidak keliru, anda perlu menulis matriks dengan hasil perantaraan transformasi.
Jelas sekali, matriks sedemikian boleh dibuat lebih mudah untuk persepsi menggunakan operasi tertentu. Sebagai contoh, anda boleh mengalih keluar semua "tolak" daripada baris kedua dengan mendarab setiap elemen dengan "-1".
Perlu juga diperhatikan bahawa dalam baris ketiga semua elemen adalah gandaan tiga. Kemudian anda boleh memendekkan rentetan dengan nombor ini, mendarabkan setiap elemen dengan "-1/3" (tolak - pada masa yang sama, untuk mengalih keluar nilai negatif).
Nampak lebih cantik. Sekarang kita perlu meninggalkan baris pertama sahaja dan bekerja dengan baris kedua dan ketiga. Tugasnya ialah menambah baris kedua ke baris ketiga, didarab dengan pekali sedemikian sehingga unsur a 32 menjadi sama dengan sifar.
k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (jika semasa beberapa transformasi jawapan tidak menjadi integer, adalah disyorkan untuk mengekalkan ketepatan pengiraan untuk meninggalkan ia "seadanya", dalam bentuk pecahan biasa, dan hanya selepas itu, apabila jawapan diterima, tentukan sama ada untuk membundarkan dan menukar kepada bentuk rakaman lain)
a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0
a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7
b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7
Matriks ditulis semula dengan nilai baru.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Seperti yang anda lihat, matriks yang terhasil sudah mempunyai bentuk berperingkat. Oleh itu, transformasi lanjut sistem menggunakan kaedah Gaussian tidak diperlukan. Apa yang boleh anda lakukan di sini ialah mengalih keluar pekali keseluruhan "-1/7" daripada baris ketiga.
Sekarang semuanya cantik. Apa yang perlu dilakukan ialah menulis semula matriks dalam bentuk sistem persamaan dan mengira punca
x + 2y + 4z = 12 (1)
7y + 11z = 24 (2)
Algoritma yang mana akar kini akan ditemui dipanggil langkah terbalik dalam kaedah Gaussian. Persamaan (3) mengandungi nilai z:
y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9
Dan persamaan pertama membolehkan kita mencari x:
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3
Kami mempunyai hak untuk memanggil gabungan sistem sedemikian, dan juga pasti, iaitu, mempunyai penyelesaian yang unik. Jawapannya ditulis dalam bentuk berikut:
x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.
Contoh sistem yang tidak pasti
Varian penyelesaian sistem tertentu menggunakan kaedah Gauss telah dianalisis sekarang adalah perlu untuk mempertimbangkan kes itu jika sistem itu tidak pasti, iaitu, banyak penyelesaian boleh didapati untuknya.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
Penampilan sistem sudah membimbangkan, kerana bilangan yang tidak diketahui ialah n = 5, dan pangkat matriks sistem sudah betul-betul kurang daripada nombor ini, kerana bilangan baris adalah m = 4, iaitu, susunan terbesar bagi segi empat sama penentu ialah 4. Ini bermakna terdapat bilangan penyelesaian yang tidak terhingga, dan anda perlu mencari rupa umumnya. Kaedah Gauss untuk persamaan linear membolehkan anda melakukan ini.
Pertama, seperti biasa, matriks lanjutan disusun.
Baris kedua: pekali k = (-a 21 /a 11) = -3. Dalam baris ketiga, elemen pertama adalah sebelum transformasi, jadi anda tidak perlu menyentuh apa-apa, anda perlu membiarkannya seperti sedia ada. Baris keempat: k = (-a 4 1 /a 11) = -5
Dengan mendarab unsur-unsur baris pertama dengan setiap pekalinya secara bergilir-gilir dan menambahkannya pada baris yang diperlukan, kami memperoleh matriks dalam bentuk berikut:
Seperti yang anda lihat, baris kedua, ketiga dan keempat terdiri daripada elemen yang berkadar antara satu sama lain. Yang kedua dan keempat biasanya sama, jadi salah satu daripadanya boleh dialih keluar serta-merta, dan yang selebihnya boleh didarab dengan pekali "-1" dan dapatkan nombor baris 3. Dan sekali lagi, daripada dua baris yang sama, tinggalkan satu.
Hasilnya ialah matriks seperti ini. Walaupun sistem masih belum ditulis, adalah perlu untuk menentukan pembolehubah asas di sini - yang berdiri pada pekali a 11 = 1 dan a 22 = 1, dan yang bebas - semua yang lain.
Dalam persamaan kedua hanya terdapat satu pembolehubah asas - x 2. Ini bermakna ia boleh dinyatakan dari sana dengan menulisnya melalui pembolehubah x 3 , x 4 , x 5 , yang bebas.
Kami menggantikan ungkapan yang terhasil ke dalam persamaan pertama.
Hasilnya ialah persamaan di mana satu-satunya pembolehubah asas ialah x 1 . Mari kita lakukan perkara yang sama dengannya seperti dengan x 2.
Semua pembolehubah asas, yang mana terdapat dua, dinyatakan dalam sebutan tiga pembolehubah percuma sekarang kita boleh menulis jawapan dalam bentuk umum.
Anda juga boleh menentukan salah satu daripada penyelesaian tertentu sistem. Untuk kes sedemikian, sifar biasanya dipilih sebagai nilai untuk pembolehubah bebas. Maka jawapannya ialah:
16, 23, 0, 0, 0.
Contoh sistem bukan koperasi
Menyelesaikan sistem persamaan yang tidak serasi menggunakan kaedah Gauss adalah yang paling cepat. Ia tamat serta-merta sebaik sahaja pada salah satu peringkat diperoleh persamaan yang tidak mempunyai penyelesaian. Iaitu, peringkat pengiraan akar, yang agak panjang dan membosankan, dihapuskan. Sistem berikut dipertimbangkan:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
Seperti biasa, matriks disusun:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
Dan ia dikurangkan kepada bentuk berperingkat:
k 1 = -2k 2 = -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Selepas penjelmaan pertama, baris ketiga mengandungi persamaan bentuk
tanpa penyelesaian. Akibatnya, sistem tidak konsisten, dan jawapannya adalah set kosong.
Kebaikan dan keburukan kaedah
Jika anda memilih kaedah untuk menyelesaikan SLAE di atas kertas dengan pen, maka kaedah yang dibincangkan dalam artikel ini kelihatan paling menarik. Adalah lebih sukar untuk dikelirukan dalam transformasi asas daripada jika anda perlu mencari secara manual untuk penentu atau beberapa matriks songsang yang rumit. Walau bagaimanapun, jika anda menggunakan program untuk bekerja dengan data jenis ini, sebagai contoh, hamparan, maka ternyata program tersebut sudah mengandungi algoritma untuk mengira parameter utama matriks - penentu, minor, songsang, dan sebagainya. Dan jika anda pasti bahawa mesin akan mengira nilai-nilai ini sendiri dan tidak akan membuat kesilapan, adalah lebih baik untuk menggunakan kaedah matriks atau formula Cramer, kerana aplikasinya bermula dan berakhir dengan pengiraan penentu dan matriks songsang .
Permohonan
Oleh kerana penyelesaian Gaussian adalah algoritma, dan matriks sebenarnya adalah tatasusunan dua dimensi, ia boleh digunakan dalam pengaturcaraan. Tetapi memandangkan artikel itu meletakkan dirinya sebagai panduan "untuk dummies," harus dikatakan bahawa tempat paling mudah untuk meletakkan kaedah itu ialah hamparan, contohnya, Excel. Sekali lagi, mana-mana SLAE yang dimasukkan ke dalam jadual dalam bentuk matriks akan dianggap oleh Excel sebagai tatasusunan dua dimensi. Dan untuk operasi dengan mereka terdapat banyak arahan yang bagus: penambahan (anda hanya boleh menambah matriks saiz yang sama!), pendaraban dengan nombor, pendaraban matriks (juga dengan sekatan tertentu), mencari matriks songsang dan transpos dan, yang paling penting , mengira penentu. Jika tugas yang memakan masa ini digantikan dengan satu arahan, adalah mungkin untuk menentukan kedudukan matriks dengan lebih cepat dan, oleh itu, mewujudkan keserasian atau ketidakserasiannya.
Sejak awal abad ke-16-18, ahli matematik secara intensif mula mengkaji fungsi, berkat yang begitu banyak dalam kehidupan kita telah berubah. Teknologi komputer tidak akan wujud tanpa pengetahuan ini. Pelbagai konsep, teorem, dan teknik penyelesaian telah dicipta untuk menyelesaikan masalah kompleks, persamaan linear, dan fungsi. Salah satu kaedah dan teknik universal dan rasional untuk menyelesaikan persamaan linear dan sistemnya ialah kaedah Gauss. Matriks, pangkat mereka, penentu - semuanya boleh dikira tanpa menggunakan operasi yang kompleks.
Apa itu SLAU
Dalam matematik, terdapat konsep SLAE - sistem persamaan algebra linear. Apa yang dia suka? Ini ialah satu set persamaan m dengan kuantiti n yang tidak diketahui yang diperlukan, biasanya dilambangkan sebagai x, y, z, atau x 1, x 2 ... x n, atau simbol lain. Menyelesaikan sistem tertentu menggunakan kaedah Gaussian bermakna mencari semua yang tidak diketahui. Jika sistem mempunyai bilangan yang tidak diketahui dan persamaan yang sama, maka ia dipanggil sistem tertib ke-n.
Kaedah yang paling popular untuk menyelesaikan SLAE
Di institusi pendidikan pendidikan menengah, pelbagai kaedah untuk menyelesaikan sistem tersebut dikaji. Selalunya ini adalah persamaan mudah yang terdiri daripada dua yang tidak diketahui, jadi sebarang kaedah sedia ada untuk mencari jawapan kepada mereka tidak akan mengambil banyak masa. Ini boleh menjadi seperti kaedah penggantian, apabila yang lain diperoleh daripada satu persamaan dan digantikan dengan yang asal. Atau kaedah penolakan dan penambahan sebutan demi sebutan. Tetapi kaedah Gauss dianggap paling mudah dan paling universal. Ia memungkinkan untuk menyelesaikan persamaan dengan sebarang bilangan yang tidak diketahui. Mengapa teknik ini dianggap rasional? Mudah sahaja. Perkara yang baik tentang kaedah matriks ialah ia tidak memerlukan menulis semula simbol yang tidak perlu beberapa kali sebagai tidak diketahui, ia sudah cukup untuk melakukan operasi aritmetik pada pekali - dan anda akan mendapat hasil yang boleh dipercayai.
Di manakah SLAE digunakan dalam amalan?
Penyelesaian kepada SLAE ialah titik persilangan garis pada graf fungsi. Dalam zaman komputer berteknologi tinggi kita, orang yang berkait rapat dengan pembangunan permainan dan program lain perlu tahu cara menyelesaikan sistem sedemikian, perkara yang diwakilinya dan cara menyemak ketepatan keputusan yang terhasil. Selalunya, pengaturcara membangunkan program kalkulator algebra linear khas, yang juga termasuk sistem persamaan linear. Kaedah Gauss membolehkan anda mengira semua penyelesaian sedia ada. Formula dan teknik mudah lain juga digunakan.
Kriteria keserasian SLAU
Sistem sedemikian hanya boleh diselesaikan jika ia serasi. Untuk kejelasan, mari kita mewakili SLAE dalam bentuk Ax=b. Ia mempunyai penyelesaian jika rang(A) sama dengan rang(A,b). Dalam kes ini, (A,b) ialah matriks bentuk lanjutan yang boleh diperoleh daripada matriks A dengan menulis semula dengan sebutan bebas. Ternyata menyelesaikan persamaan linear menggunakan kaedah Gaussian agak mudah.
Mungkin beberapa simbol tidak sepenuhnya jelas, jadi perlu mempertimbangkan segala-galanya dengan contoh. Katakan terdapat sistem: x+y=1; 2x-3y=6. Ia hanya terdiri daripada dua persamaan, di mana terdapat 2 yang tidak diketahui. Sistem akan mempunyai penyelesaian hanya jika pangkat matriksnya sama dengan pangkat matriks lanjutan. Apakah pangkat? Ini ialah bilangan baris bebas sistem. Dalam kes kami, pangkat matriks ialah 2 Matriks A akan terdiri daripada pekali yang terletak berhampiran yang tidak diketahui, dan pekali yang terletak di belakang tanda "=" juga sesuai dengan matriks lanjutan.
Mengapakah SLAE boleh diwakili dalam bentuk matriks?
Berdasarkan kriteria keserasian mengikut teorem Kronecker-Capelli yang telah terbukti, sistem persamaan algebra linear boleh diwakili dalam bentuk matriks. Menggunakan kaedah lata Gaussian, anda boleh menyelesaikan matriks dan mendapatkan satu jawapan yang boleh dipercayai untuk keseluruhan sistem. Jika pangkat matriks biasa adalah sama dengan pangkat matriks lanjutannya, tetapi kurang daripada bilangan yang tidak diketahui, maka sistem mempunyai bilangan jawapan yang tidak terhingga.
Transformasi matriks
Sebelum meneruskan ke menyelesaikan matriks, anda perlu mengetahui tindakan yang boleh dilakukan pada elemennya. Terdapat beberapa transformasi asas:
- Dengan menulis semula sistem dalam bentuk matriks dan menyelesaikannya, anda boleh mendarab semua elemen siri dengan pekali yang sama.
- Untuk menukar matriks ke dalam bentuk kanonik, anda boleh menukar dua baris selari. Bentuk kanonik membayangkan bahawa semua elemen matriks yang terletak di sepanjang pepenjuru utama menjadi satu, dan yang selebihnya menjadi sifar.
- Unsur-unsur sepadan baris selari matriks boleh ditambah antara satu sama lain.
Kaedah Jordan-Gauss
Intipati penyelesaian sistem persamaan linear homogen dan tak homogen menggunakan kaedah Gaussian adalah untuk menghapuskan yang tidak diketahui secara beransur-ansur. Katakan kita mempunyai sistem dua persamaan di mana terdapat dua yang tidak diketahui. Untuk mencarinya, anda perlu menyemak sistem untuk keserasian. Persamaan diselesaikan dengan sangat mudah dengan kaedah Gauss. Ia adalah perlu untuk menulis pekali yang terletak berhampiran setiap yang tidak diketahui dalam bentuk matriks. Untuk menyelesaikan sistem, anda perlu menulis matriks lanjutan. Jika salah satu persamaan mengandungi bilangan tidak diketahui yang lebih kecil, maka "0" mesti diletakkan di tempat elemen yang hilang. Semua kaedah transformasi yang diketahui digunakan pada matriks: pendaraban, pembahagian dengan nombor, menambah unsur siri yang sepadan antara satu sama lain, dan lain-lain. Ternyata dalam setiap baris adalah perlu untuk meninggalkan satu pembolehubah dengan nilai "1", selebihnya harus dikurangkan kepada sifar. Untuk pemahaman yang lebih tepat, adalah perlu untuk mempertimbangkan kaedah Gauss dengan contoh.
Contoh mudah untuk menyelesaikan sistem 2x2
Sebagai permulaan, mari kita ambil sistem persamaan algebra yang mudah, di mana terdapat 2 yang tidak diketahui.
Mari kita tulis semula ke dalam matriks lanjutan.
Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear ini, hanya dua operasi diperlukan. Kita perlu membawa matriks kepada bentuk kanonik supaya terdapat matriks di sepanjang pepenjuru utama. Jadi, memindahkan dari bentuk matriks kembali ke sistem, kita mendapat persamaan: 1x+0y=b1 dan 0x+1y=b2, di mana b1 dan b2 ialah jawapan yang terhasil dalam proses penyelesaian.
- Tindakan pertama apabila menyelesaikan matriks lanjutan ialah ini: baris pertama mesti didarab dengan -7 dan menambah elemen sepadan ke baris kedua untuk menyingkirkan satu yang tidak diketahui dalam persamaan kedua.
- Memandangkan penyelesaian persamaan menggunakan kaedah Gauss melibatkan pengurangan matriks kepada bentuk kanonik, maka adalah perlu untuk melakukan operasi yang sama dengan persamaan pertama dan membuang pembolehubah kedua. Untuk melakukan ini, kami menolak baris kedua dari yang pertama dan dapatkan jawapan yang diperlukan - penyelesaian SLAE. Atau, seperti yang ditunjukkan dalam rajah, kami mendarab baris kedua dengan faktor -1 dan menambah elemen baris kedua ke baris pertama. Ia adalah sama.
Seperti yang kita lihat, sistem kami telah diselesaikan dengan kaedah Jordan-Gauss. Kami menulis semula dalam bentuk yang diperlukan: x=-5, y=7.
Contoh penyelesaian SLAE 3x3
Katakan kita mempunyai sistem persamaan linear yang lebih kompleks. Kaedah Gauss memungkinkan untuk mengira jawapan walaupun untuk sistem yang paling mengelirukan. Oleh itu, untuk mendalami metodologi pengiraan, anda boleh beralih kepada contoh yang lebih kompleks dengan tiga perkara yang tidak diketahui.
Seperti dalam contoh sebelumnya, kami menulis semula sistem dalam bentuk matriks lanjutan dan mula membawanya ke bentuk kanoniknya.
Untuk menyelesaikan sistem ini, anda perlu melakukan lebih banyak tindakan daripada contoh sebelumnya.
- Mula-mula anda perlu membuat lajur pertama satu elemen unit dan selebihnya sifar. Untuk melakukan ini, darabkan persamaan pertama dengan -1 dan tambahkan persamaan kedua kepadanya. Adalah penting untuk diingat bahawa kita menulis semula baris pertama dalam bentuk asalnya, dan yang kedua dalam bentuk yang diubah suai.
- Seterusnya, kami mengalih keluar yang sama pertama yang tidak diketahui ini daripada persamaan ketiga. Untuk melakukan ini, darabkan elemen baris pertama dengan -2 dan tambahkannya pada baris ketiga. Sekarang baris pertama dan kedua ditulis semula dalam bentuk asalnya, dan yang ketiga - dengan perubahan. Seperti yang anda boleh lihat daripada hasilnya, kami mendapat yang pertama pada permulaan pepenjuru utama matriks dan baki sifar. Beberapa langkah lagi, dan sistem persamaan dengan kaedah Gaussian akan diselesaikan dengan pasti.
- Kini anda perlu melakukan operasi pada elemen lain baris. Tindakan ketiga dan keempat boleh digabungkan menjadi satu. Kita perlu membahagikan baris kedua dan ketiga dengan -1 untuk menyingkirkan tolak pada pepenjuru. Kami telah membawa baris ketiga ke borang yang diperlukan.
- Seterusnya kami membawa baris kedua ke bentuk kanonik. Untuk melakukan ini, kami mendarabkan elemen baris ketiga dengan -3 dan menambahnya ke baris kedua matriks. Daripada keputusan itu jelas bahawa baris kedua juga dikurangkan kepada bentuk yang kita perlukan. Ia kekal untuk melakukan beberapa lagi operasi dan mengeluarkan pekali yang tidak diketahui dari baris pertama.
- Untuk membuat 0 daripada elemen kedua baris, anda perlu mendarab baris ketiga dengan -3 dan menambahnya pada baris pertama.
- Langkah penentu seterusnya ialah menambah elemen yang diperlukan pada baris kedua ke baris pertama. Dengan cara ini kita mendapat bentuk kanonik matriks, dan, dengan itu, jawapannya.
Seperti yang anda lihat, menyelesaikan persamaan menggunakan kaedah Gauss agak mudah.
Contoh penyelesaian sistem persamaan 4x4
Beberapa sistem persamaan yang lebih kompleks boleh diselesaikan menggunakan kaedah Gaussian menggunakan program komputer. Ia adalah perlu untuk memasukkan pekali untuk yang tidak diketahui ke dalam sel kosong yang sedia ada, dan program itu sendiri akan langkah demi langkah mengira hasil yang diperlukan, menerangkan secara terperinci setiap tindakan.
Arahan langkah demi langkah untuk menyelesaikan contoh sedemikian diterangkan di bawah.
Dalam langkah pertama, pekali percuma dan nombor untuk yang tidak diketahui dimasukkan ke dalam sel kosong. Oleh itu, kami mendapat matriks lanjutan yang sama yang kami tulis secara manual.
Dan semua operasi aritmetik yang diperlukan dilakukan untuk membawa matriks lanjutan kepada bentuk kanoniknya. Adalah perlu untuk memahami bahawa jawapan kepada sistem persamaan tidak selalunya integer. Kadangkala penyelesaiannya mungkin daripada nombor pecahan.
Memeriksa ketepatan penyelesaian
Kaedah Jordan-Gauss menyediakan untuk menyemak ketepatan keputusan. Untuk mengetahui sama ada pekali dikira dengan betul, anda hanya perlu menggantikan hasilnya ke dalam sistem persamaan asal. Bahagian kiri persamaan mesti sepadan dengan bahagian kanan di belakang tanda sama. Jika jawapan tidak sepadan, maka anda perlu mengira semula sistem atau cuba menggunakan kaedah lain untuk menyelesaikan SLAE yang anda ketahui, seperti penggantian atau penolakan dan penambahan istilah demi sebutan. Lagipun, matematik adalah sains yang mempunyai sejumlah besar kaedah penyelesaian yang berbeza. Tetapi ingat: keputusan harus sentiasa sama, tidak kira kaedah penyelesaian yang anda gunakan.
Kaedah Gauss: ralat yang paling biasa semasa menyelesaikan SLAE
Apabila menyelesaikan sistem persamaan linear, ralat paling kerap berlaku seperti pemindahan pekali yang salah ke dalam bentuk matriks. Terdapat sistem di mana beberapa yang tidak diketahui hilang dari salah satu persamaan kemudian, apabila memindahkan data ke matriks lanjutan, mereka boleh hilang. Akibatnya, apabila menyelesaikan sistem ini, hasilnya mungkin tidak sepadan dengan yang sebenar.
Satu lagi kesilapan besar mungkin salah menulis keputusan akhir. Adalah perlu untuk memahami dengan jelas bahawa pekali pertama akan sesuai dengan yang pertama tidak diketahui dari sistem, yang kedua - kepada yang kedua, dan seterusnya.
Kaedah Gauss menerangkan secara terperinci penyelesaian persamaan linear. Terima kasih kepadanya, mudah untuk menjalankan operasi yang diperlukan dan mencari hasil yang betul. Di samping itu, ini adalah alat universal untuk mencari jawapan yang boleh dipercayai kepada persamaan bagi sebarang kerumitan. Mungkin itulah sebabnya ia sering digunakan semasa menyelesaikan SLAE.