Apakah bergantung kepada darjah kebarangkalian p? Takrifan kebarangkalian klasik dan statistik

Nota PENTING!
1. Jika anda melihat gobbledygook dan bukannya formula, kosongkan cache anda. Bagaimana untuk melakukan ini dalam penyemak imbas anda ditulis di sini:
2. Sebelum anda mula membaca artikel itu, perhatikan pelayar kami sepenuhnya sumber yang berguna Untuk

Apakah kebarangkalian?

Kali pertama saya menemui istilah ini, saya tidak akan faham apa itu. Oleh itu, saya akan cuba menerangkan dengan jelas.

Kebarangkalian adalah peluang bahawa peristiwa yang kita inginkan akan berlaku.

Sebagai contoh, anda memutuskan untuk pergi ke rumah rakan, anda masih ingat pintu masuk dan juga lantai di mana dia tinggal. Tetapi saya terlupa nombor dan lokasi apartmen. Dan kini anda berdiri di atas tangga, dan di hadapan anda terdapat pintu untuk dipilih.

Apakah peluang (kebarangkalian) jika anda membunyikan loceng pintu pertama, rakan anda akan membuka pintu untuk anda? Terdapat hanya apartmen, dan seorang rakan tinggal hanya di belakang salah satu daripadanya. Dengan peluang yang sama kita boleh memilih mana-mana pintu.

Tetapi apakah peluang ini?

Pintu, pintu kanan. Kebarangkalian meneka dengan membunyikan loceng pintu pertama: . Iaitu, satu kali daripada tiga anda akan meneka dengan tepat.

Kami ingin tahu, setelah menelefon sekali, berapa kerap kami akan meneka pintu? Mari lihat semua pilihan:

1. Awak panggil pertama pintu
2. Awak panggil ke-2 pintu
3. Awak panggil ke-3 pintu

Sekarang mari kita lihat semua pilihan di mana rakan boleh berada:

A. belakang pertama pintu
b. belakang ke-2 pintu
V. belakang ke-3 pintu

Mari bandingkan semua pilihan dalam bentuk jadual. Tanda semak menunjukkan pilihan apabila pilihan anda bertepatan dengan lokasi rakan, tanda pangkah - apabila ia tidak sepadan.

Bagaimana anda melihat segala-galanya Mungkin pilihan lokasi rakan anda dan pilihan anda pintu mana yang hendak dibunyikan.

A hasil yang menggalakkan untuk semua . Iaitu, anda akan meneka sekali dengan membunyikan loceng pintu sekali, i.e. .

Ini ialah kebarangkalian - nisbah hasil yang menggalakkan (apabila pilihan anda bertepatan dengan lokasi rakan anda) kepada nombor kemungkinan kejadian.

Definisi adalah formula. Kebarangkalian biasanya dilambangkan dengan p, jadi:

Ia tidak begitu mudah untuk menulis formula sedemikian, jadi kami akan mengambil untuk - bilangan hasil yang menggalakkan, dan untuk - jumlah bilangan hasil.

Kebarangkalian boleh ditulis sebagai peratusan; untuk melakukan ini, anda perlu mendarabkan hasil yang terhasil dengan:

Perkataan "hasil" mungkin menarik perhatian anda. Kerana ahli matematik memanggil pelbagai tindakan(di negara kita tindakan sedemikian adalah loceng pintu) eksperimen, maka hasil eksperimen tersebut biasanya dipanggil hasil.

Nah, terdapat hasil yang menggalakkan dan tidak menguntungkan.

Mari kita kembali kepada contoh kita. Katakan kita menekan salah satu pintu, tetapi ia dibuka untuk kita orang asing. Kami tidak meneka dengan betul. Apakah kebarangkalian jika kita membunyikan salah satu pintu yang tinggal, kawan kita akan membukanya untuk kita?

Jika anda fikir begitu, maka ini adalah satu kesilapan. Mari kita fikirkan.

Kami mempunyai dua pintu lagi. Jadi kami mempunyai langkah yang mungkin:

1) Panggil pertama pintu
2) Panggil ke-2 pintu

Rakan itu, walaupun semua ini, pasti berada di belakang salah seorang daripada mereka (lagipun, dia tidak berada di belakang yang kami panggil):

a) Kawan untuk pertama pintu
b) Kawan untuk ke-2 pintu

Mari kita lukis jadual sekali lagi:

Seperti yang anda dapat lihat, terdapat hanya pilihan, yang menguntungkan. Iaitu, kebarangkalian adalah sama.

Kenapa tidak?

Situasi yang kami pertimbangkan ialah contoh peristiwa bergantung. Acara pertama loceng pintu pertama, acara kedua loceng pintu kedua.

Dan mereka dipanggil bergantung kerana mereka mempengaruhi tindakan berikut. Lagipun, jika selepas deringan pertama loceng pintu dijawab oleh rakan, apakah kebarangkalian dia berada di belakang salah seorang daripada dua yang lain? Betul, .

Tetapi jika ada peristiwa tanggungan, maka mesti ada juga bebas? Betul, ia berlaku.

Contoh buku teks ialah melambung duit syiling.

1. Baling duit syiling sekali. Apakah kebarangkalian mendapat kepala, sebagai contoh? Betul - kerana terdapat semua pilihan (sama ada kepala atau ekor, kita mengabaikan kebarangkalian syiling mendarat di tepinya), tetapi ia hanya sesuai untuk kita.
2. Tetapi ia muncul di kepala. Okey, kita buang lagi. Apakah kebarangkalian untuk mendapat kepala sekarang? Tiada apa yang berubah, semuanya sama. Berapa banyak pilihan? dua. Berapa ramai yang kita gembira? satu.

Dan biarkan ia muncul di kepala sekurang-kurangnya seribu kali berturut-turut. Kebarangkalian mendapat kepala sekali gus adalah sama. Selalu ada pilihan, dan yang menguntungkan.

Adalah mudah untuk membezakan peristiwa bergantung daripada peristiwa bebas:

1. Jika eksperimen dijalankan sekali (mereka membaling duit syiling sekali, membunyikan loceng pintu sekali, dsb.), maka acara itu sentiasa bebas.
2. Jika eksperimen dijalankan beberapa kali (syiling dilempar sekali, loceng pintu dibunyikan beberapa kali), maka acara pertama sentiasa bebas. Dan kemudian, jika bilangan yang menguntungkan atau bilangan semua hasil berubah, maka peristiwa itu bergantung, dan jika tidak, ia adalah bebas.

Mari kita berlatih menentukan kebarangkalian sedikit.

Contoh 1.

Syiling dilambung dua kali. Apakah kebarangkalian mendapat kepala dua kali berturut-turut?

Penyelesaian:

Mari kita pertimbangkan semua pilihan yang mungkin:

1. Helang-helang
2. Kepala-ekor
3. Ekor-Kepala
4. Ekor-ekor

Seperti yang anda lihat, hanya ada pilihan. Daripada jumlah ini kami hanya berpuas hati. Iaitu, kebarangkalian:

Jika syarat bertanya semata-mata untuk mencari kebarangkalian, maka jawapan hendaklah diberikan dalam borang perpuluhan. Jika dinyatakan bahawa jawapan harus diberikan sebagai peratusan, maka kita akan darab dengan.

Jawapan:

Contoh 2.

Dalam kotak coklat, semua coklat dibungkus dalam pembungkus yang sama. Walau bagaimanapun, dari gula-gula - dengan kacang, dengan cognac, dengan ceri, dengan karamel dan dengan nougat.

Apakah kebarangkalian untuk mengambil satu gula-gula dan mendapat gula-gula dengan kacang? Berikan jawapan anda sebagai peratusan.

Penyelesaian:

Berapa banyak kemungkinan hasil yang ada? .

Iaitu, jika anda mengambil satu gula-gula, ia akan menjadi salah satu gula-gula yang terdapat di dalam kotak.

Berapa banyak hasil yang menggalakkan?

Kerana kotak itu hanya mengandungi coklat dengan kacang.

Jawapan:

Contoh 3.

Dalam kotak belon. antaranya putih dan hitam.

1. Apakah kebarangkalian untuk keluar bola putih?
2. Kami menambah lebih banyak bola hitam ke dalam kotak. Apakah sekarang kebarangkalian untuk melukis bola putih?

Penyelesaian:

a) Hanya terdapat bola di dalam kotak. Daripada mereka berwarna putih.

Kebarangkaliannya ialah:

b) Sekarang terdapat lebih banyak bola di dalam kotak. Dan masih ada orang putih yang tinggal - .

Jawapan:

Jumlah kebarangkalian

Kebarangkalian semua kejadian yang mungkin adalah sama dengan ().

Katakan terdapat bola merah dan hijau di dalam kotak. Apakah kebarangkalian untuk menarik bola merah? bola hijau? Bola merah atau hijau?

Kebarangkalian melukis bola merah

bola hijau:

Bola merah atau hijau:

Seperti yang anda lihat, jumlah semua peristiwa yang mungkin adalah sama dengan (). Memahami perkara ini akan membantu anda menyelesaikan banyak masalah.

Contoh 4.

Terdapat penanda dalam kotak: hijau, merah, biru, kuning, hitam.

Apakah kebarangkalian untuk melukis BUKAN penanda merah?

Penyelesaian:

Mari kita mengira nombor hasil yang menggalakkan.

BUKAN penanda merah, itu bermaksud hijau, biru, kuning atau hitam.

Kebarangkalian bahawa sesuatu peristiwa tidak akan berlaku adalah sama dengan tolak kebarangkalian bahawa peristiwa itu akan berlaku.

Peraturan untuk mendarab kebarangkalian peristiwa bebas

Anda sudah tahu apa itu acara bebas.

Bagaimana jika anda perlu mencari kebarangkalian bahawa dua (atau lebih) peristiwa bebas akan berlaku berturut-turut?

Katakan kita ingin tahu apakah kebarangkalian jika kita menyelak duit syiling sekali, kita akan melihat kepala dua kali?

Kami sudah mempertimbangkan - .

Bagaimana jika kita melemparkan syiling sekali? Apakah kebarangkalian untuk melihat helang dua kali berturut-turut?

Jumlah pilihan yang mungkin:

1. Helang-helang-helang
2. Kepala-kepala-ekor
3. Kepala-ekor-kepala
4. Kepala-ekor-ekor
5. Ekor-kepala-kepala
6. Ekor-kepala-ekor
7. Ekor-ekor-kepala
8. Ekor-ekor-ekor

Saya tidak tahu tentang anda, tetapi saya membuat kesilapan beberapa kali semasa menyusun senarai ini. Wah! Dan hanya pilihan (pertama) yang sesuai dengan kita.

Untuk 5 balingan, anda boleh membuat senarai kemungkinan hasil sendiri. Tetapi ahli matematik tidak serajin anda.

Oleh itu, mereka mula-mula menyedari dan kemudian membuktikan bahawa kebarangkalian urutan tertentu peristiwa bebas setiap kali berkurangan dengan kebarangkalian satu peristiwa.

Dalam kata lain,

Mari kita lihat contoh syiling malang yang sama.

Kebarangkalian mendapat cabaran? . Sekarang kita flip duit syiling sekali.

Apakah kebarangkalian mendapat kepala berturut-turut?

Peraturan ini bukan sahaja berfungsi jika kita diminta untuk mencari kebarangkalian bahawa peristiwa yang sama akan berlaku beberapa kali berturut-turut.

Jika kita ingin mencari urutan TAILS-HEADS-TAILS untuk lambungan berturut-turut, kita akan melakukan perkara yang sama.

Kebarangkalian mendapat ekor ialah , kepala - .

Kebarangkalian mendapat jujukan TAILS-HEADS-TAILS-TAILS:

Anda boleh menyemaknya sendiri dengan membuat jadual.

Peraturan untuk menambah kebarangkalian peristiwa tidak serasi.

Jadi berhenti! Definisi baharu.

Mari kita fikirkan. Mari kita ambil syiling kita yang usang dan baling sekali.
Pilihan yang mungkin:

1. Helang-helang-helang
2. Kepala-kepala-ekor
3. Kepala-ekor-kepala
4. Kepala-ekor-ekor
5. Ekor-kepala-kepala
6. Ekor-kepala-ekor
7. Ekor-ekor-kepala
8. Ekor-ekor-ekor

Jadi ini adalah peristiwa yang tidak serasi, ini adalah pasti urutan yang diberikan peristiwa. - ini adalah peristiwa yang tidak serasi.

Jika kita ingin menentukan apakah kebarangkalian dua (atau lebih) peristiwa yang tidak serasi kemudian kita menjumlahkan kebarangkalian kejadian ini.

Anda perlu memahami bahawa kepala atau ekor adalah dua peristiwa bebas.

Jika kita ingin menentukan kebarangkalian urutan (atau mana-mana yang lain) berlaku, maka kita menggunakan peraturan kebarangkalian pendaraban.
Apakah kebarangkalian mendapat kepala pada lambungan pertama, dan ekor pada lambungan kedua dan ketiga?

Tetapi jika kita ingin tahu apakah kebarangkalian mendapat salah satu daripada beberapa urutan, sebagai contoh, apabila kepala muncul tepat sekali, i.e. pilihan dan, maka kita mesti menambah kebarangkalian jujukan ini.

Jumlah pilihan sesuai dengan kami.

Kita boleh mendapatkan perkara yang sama dengan menjumlahkan kebarangkalian berlakunya setiap jujukan:

Oleh itu, kita menambah kebarangkalian apabila kita ingin menentukan kebarangkalian urutan peristiwa tertentu, tidak konsisten.

Terdapat peraturan yang bagus untuk membantu anda mengelak daripada keliru bila hendak mendarab dan bila hendak menambah:

Mari kita kembali kepada contoh di mana kita melemparkan syiling sekali dan ingin mengetahui kebarangkalian untuk melihat kepala sekali.
Apa yang akan berlaku?

Harus jatuh:
(kepala DAN ekor DAN ekor) ATAU (ekor DAN kepala DAN ekor) ATAU (ekor DAN ekor DAN kepala).
Ini adalah bagaimana ia ternyata:

Mari lihat beberapa contoh.

Contoh 5.

Terdapat pensel di dalam kotak. merah, hijau, oren dan kuning dan hitam. Apakah kebarangkalian untuk melukis pensel merah atau hijau?

Penyelesaian:

Contoh 6.

Jika sebiji dadu dilempar dua kali, apakah kebarangkalian untuk mendapat jumlah 8?

Penyelesaian.

Bagaimana kita boleh mendapat mata?

(dan) atau (dan) atau (dan) atau (dan) atau (dan).

Kebarangkalian mendapat satu (mana-mana) muka ialah .

Kami mengira kebarangkalian:

Latihan.

Saya fikir sekarang anda faham bila anda perlu mengira kebarangkalian, bila untuk menambahnya, dan bila untuk mendarabkannya. bukan? Jom amalkan sikit.

Tugasan:

Mari ambil dek kad yang mengandungi kad termasuk penyodok, hati, 13 kelab dan 13 berlian. Dari kepada Ace setiap sut.

1. Apakah kebarangkalian untuk melukis kelab secara berturut-turut (kami meletakkan kad pertama yang ditarik keluar semula ke dalam dek dan mengocoknya)?
2. Apakah kebarangkalian untuk menarik kad hitam (skop atau kayu)?
3. Apakah kebarangkalian untuk melukis gambar (jack, queen, king atau ace)?
4. Apakah kebarangkalian untuk melukis dua gambar berturut-turut (kami mengeluarkan kad pertama yang dikeluarkan dari dek)?
5. Apakah kebarangkalian, dengan mengambil dua kad, untuk mengumpul kombinasi - (jack, ratu atau raja) dan ace.

Jawapan:

Jika anda dapat menyelesaikan semua masalah sendiri, maka anda hebat! Sekarang anda akan memecahkan masalah teori kebarangkalian dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu seperti kacang!

TEORI KEBARANGKALIAN. TAHAP PURATA

Mari kita lihat contoh. Katakan kita baling dadu. Apakah jenis tulang ini, anda tahu? Inilah yang mereka panggil kubus dengan nombor di mukanya. Berapa banyak muka, begitu banyak nombor: dari kepada berapa banyak? Sebelum ini.

Jadi kita membaling dadu dan kita mahu ia muncul atau. Dan kami mendapatnya.

Dalam teori kebarangkalian mereka mengatakan apa yang berlaku acara bertuah(jangan dikelirukan dengan makmur).

Sekiranya ia berlaku, acara itu juga akan menguntungkan. Secara keseluruhan, hanya dua peristiwa yang menggembirakan boleh berlaku.

Berapa ramai yang tidak menguntungkan? Oleh kerana terdapat jumlah peristiwa yang mungkin, ini bermakna yang tidak menguntungkan adalah peristiwa (ini jika atau jatuh).

Definisi:

Kebarangkalian ialah nisbah bilangan peristiwa yang menguntungkan kepada bilangan semua peristiwa yang mungkin. Iaitu, kebarangkalian menunjukkan berapa bahagian semua peristiwa yang mungkin adalah menguntungkan.

Menunjukkan kebarangkalian huruf latin(rupanya dari perkataan Inggeris kebarangkalian - kebarangkalian).

Adalah lazim untuk mengukur kebarangkalian sebagai peratusan (lihat topik,). Untuk melakukan ini, nilai kebarangkalian mesti didarab dengan. Dalam contoh dadu, kebarangkalian.

Dan dalam peratusan: .

Contoh (tentukan sendiri):

1. Apakah kebarangkalian mendapat kepala apabila melambung syiling? Apakah kebarangkalian kepala pendaratan?
2. Apakah kebarangkalian mendapat nombor genap semasa melontar dadu? Dan yang mana satu ganjil?
3. Dalam kotak pensel ringkas, biru dan merah. Kami melukis satu pensel secara rawak. Apakah kebarangkalian mendapat yang mudah?

Penyelesaian:

1. Berapa banyak pilihan yang ada? Kepala dan ekor - hanya dua. Berapa ramai daripada mereka yang menguntungkan? Hanya seekor burung helang. Jadi kebarangkalian

   Sama juga dengan ekor: .

2. Jumlah pilihan: (berapa banyak sisi yang ada pada kubus, begitu banyak pelbagai pilihan). Yang menguntungkan: (ini semua adalah nombor genap:).
   Kebarangkalian. Sudah tentu, ia sama dengan nombor ganjil.
3. Jumlah: . Menguntungkan: . Kebarangkalian: .

Jumlah kebarangkalian

Semua pensel di dalam kotak berwarna hijau. Apakah kebarangkalian untuk melukis pensel merah? Tiada peluang: kebarangkalian (lagipun, peristiwa yang menguntungkan -).

Peristiwa sedemikian dipanggil mustahil.

Apakah kebarangkalian untuk melukis pensel hijau? Terdapat bilangan acara yang menggembirakan yang sama dengan jumlah acara (semua acara adalah menguntungkan). Jadi kebarangkalian adalah sama dengan atau.

Peristiwa sedemikian dipanggil boleh dipercayai.

Jika sebuah kotak mengandungi pensel hijau dan merah, apakah kebarangkalian untuk melukis hijau atau merah? Sekali lagi. Mari kita ambil perhatian ini: kebarangkalian menarik keluar hijau adalah sama, dan merah adalah sama.

Kesimpulannya, kebarangkalian ini adalah sama. Itu dia, jumlah kebarangkalian semua kejadian yang mungkin adalah sama dengan atau.

Contoh:

Dalam kotak pensel, antaranya ialah biru, merah, hijau, biasa, kuning, dan selebihnya adalah oren. Apakah kebarangkalian untuk tidak melukis hijau?

Penyelesaian:

Kami ingat bahawa semua kebarangkalian bertambah. Dan kebarangkalian untuk mendapat hijau adalah sama. Ini bermakna kebarangkalian untuk tidak melukis hijau adalah sama.

Ingat helah ini: Kebarangkalian bahawa sesuatu peristiwa tidak akan berlaku adalah sama dengan tolak kebarangkalian bahawa peristiwa itu akan berlaku.

Peristiwa bebas dan peraturan pendaraban

Anda membelek duit syiling sekali dan mahu ia muncul dua kali. Apakah kemungkinan ini?

Mari kita lihat semua pilihan yang mungkin dan tentukan bilangannya:

Kepala-Kepala, Ekor-Kepala, Kepala-Ekor, Ekor-Ekor. Apa lagi?

Jumlah pilihan. Daripada jumlah ini, hanya satu yang sesuai untuk kita: Eagle-Eagle. Secara keseluruhan, kebarangkalian adalah sama.

baiklah. Sekarang mari kita membalikkan syiling sekali. Buat matematik sendiri. Terjadi? (jawapan).

Anda mungkin perasan bahawa dengan penambahan setiap balingan berikutnya, kebarangkalian berkurangan sebanyak separuh. Peraturan Am dipanggil peraturan pendaraban:

Kebarangkalian peristiwa bebas berubah.

Apakah acara bebas? Semuanya logik: ini adalah yang tidak bergantung antara satu sama lain. Sebagai contoh, apabila kita membaling syiling beberapa kali, setiap kali lontaran baru dibuat, yang hasilnya tidak bergantung pada semua lontaran sebelumnya. Kita boleh melemparkan dua syiling berbeza pada masa yang sama dengan mudah.

Lebih banyak contoh:

1. Dadu dilempar dua kali. Apakah kebarangkalian untuk mendapatkannya kedua-dua kali?
2. Syiling dilambung sekali. Apakah kebarangkalian ia akan muncul pada kali pertama, dan kemudian ekor dua kali?
3. Pemain membaling dua dadu. Apakah kebarangkalian bahawa jumlah nombor padanya adalah sama?

Jawapan:

1. Peristiwa adalah bebas, yang bermaksud peraturan pendaraban berfungsi: .
2. Kebarangkalian kepala adalah sama. Kebarangkalian ekor adalah sama. gandakan:
3. 12 hanya boleh diperolehi jika dua -ki digulung: .

Peristiwa tidak serasi dan peraturan penambahan

Peristiwa yang saling melengkapi dipanggil tidak serasi. kebarangkalian penuh. Seperti namanya, ia tidak boleh berlaku serentak. Sebagai contoh, jika kita membalikkan syiling, ia boleh timbul sama ada kepala atau ekor.

Contoh.

Dalam kotak pensel, antaranya ialah biru, merah, hijau, biasa, kuning, dan selebihnya adalah oren. Apakah kebarangkalian lukisan hijau atau merah?

Penyelesaian .

Kebarangkalian untuk melukis pensel hijau adalah sama. Merah - .

Acara yang menggembirakan semuanya: hijau + merah. Ini bermakna kebarangkalian untuk melukis hijau atau merah adalah sama.

Kebarangkalian yang sama boleh diwakili dalam bentuk ini: .

Ini adalah peraturan tambahan: kebarangkalian peristiwa tidak serasi bertambah.

Masalah jenis campuran

Contoh.

Syiling dilambung dua kali. Apakah kebarangkalian bahawa keputusan gulungan akan berbeza?

Penyelesaian .

Ini bermakna jika keputusan pertama adalah kepala, yang kedua mestilah ekor, dan sebaliknya. Ternyata terdapat dua pasangan acara bebas, dan pasangan ini tidak serasi antara satu sama lain. Bagaimana untuk tidak keliru tentang di mana untuk membiak dan di mana untuk menambah.

Terdapat peraturan mudah untuk situasi sedemikian. Cuba huraikan perkara yang akan berlaku menggunakan kata hubung “DAN” atau “ATAU”. Contohnya, dalam dalam kes ini:

Ia harus muncul (kepala dan ekor) atau (ekor dan kepala).

Di mana terdapat kata hubung "dan" akan ada pendaraban, dan di mana terdapat "atau" akan ada penambahan:

Cuba sendiri:

1. Apakah kebarangkalian jika sekeping syiling dilambung dua kali, syiling itu akan mendarat di sebelah yang sama kedua-dua kali?
2. Dadu dilempar dua kali. Apakah kebarangkalian untuk mendapat jumlah mata?

Penyelesaian:

Contoh yang lain:

Baling duit syiling sekali. Apakah kebarangkalian bahawa kepala akan muncul sekurang-kurangnya sekali?

Penyelesaian:

TEORI KEBARANGKALIAN. SECARA RINGKAS TENTANG PERKARA UTAMA

Kebarangkalian ialah nisbah bilangan peristiwa yang menguntungkan kepada bilangan semua peristiwa yang mungkin.

Acara bebas

Dua peristiwa adalah bebas jika kejadian satu tidak mengubah kebarangkalian kejadian lain berlaku.

Jumlah kebarangkalian

Kebarangkalian semua kejadian yang mungkin adalah sama dengan ().

Kebarangkalian bahawa sesuatu peristiwa tidak akan berlaku adalah sama dengan tolak kebarangkalian bahawa peristiwa itu akan berlaku.

Peraturan untuk mendarab kebarangkalian peristiwa bebas

Kebarangkalian bagi urutan peristiwa bebas tertentu adalah sama dengan hasil darab kebarangkalian bagi setiap peristiwa

Peristiwa yang tidak serasi

Peristiwa tidak serasi ialah peristiwa yang tidak mungkin berlaku serentak akibat daripada eksperimen. Satu siri bentuk acara yang tidak serasi kumpulan penuh peristiwa.

Kebarangkalian peristiwa tidak serasi bertambah.

Setelah menerangkan perkara yang sepatutnya berlaku, menggunakan kata hubung "DAN" atau "ATAU", bukannya "DAN" kami meletakkan tanda darab, dan bukannya "ATAU" kami meletakkan tanda tambah.

Nah, topik itu sudah tamat. Jika anda membaca baris ini, ini bermakna anda sangat keren.

Kerana hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu dengan sendiri. Dan jika anda membaca sehingga habis, maka anda berada dalam 5% ini!

Sekarang perkara yang paling penting.

Anda telah memahami teori mengenai topik ini. Dan, saya ulangi, ini... ini sangat hebat! Anda sudah lebih baik daripada kebanyakan rakan sebaya anda.

Masalahnya ialah ini mungkin tidak mencukupi...

Untuk apa?

Untuk berjaya lulus Peperiksaan Negeri Bersepadu, untuk kemasukan ke kolej mengikut bajet dan, PALING PENTING, seumur hidup.

Saya tidak akan meyakinkan anda tentang apa-apa, saya hanya akan mengatakan satu perkara ...

Orang yang menerima pendidikan yang baik, memperoleh lebih banyak daripada mereka yang tidak menerimanya. Ini adalah statistik.

Tetapi ini bukan perkara utama.

Perkara utama ialah mereka LEBIH BAHAGIA (ada kajian sedemikian). Mungkin kerana ada banyak lagi yang terbuka sebelum mereka lebih banyak kemungkinan dan hidup menjadi lebih cerah? tidak tahu...

Tapi fikir sendiri...

Apakah yang diperlukan untuk memastikan anda menjadi lebih baik daripada yang lain pada Peperiksaan Negeri Bersepadu dan akhirnya... lebih bahagia?

DAPATKAN TANGAN ANDA DENGAN MENYELESAIKAN MASALAH MENGENAI TOPIK INI.

Anda tidak akan diminta untuk teori semasa peperiksaan.

Anda perlu menyelesaikan masalah melawan masa.

Dan, jika anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), anda pasti akan membuat kesilapan bodoh di suatu tempat atau tidak akan mempunyai masa.

Ia seperti dalam sukan - anda perlu mengulanginya berkali-kali untuk menang dengan pasti.

Cari koleksi di mana sahaja anda mahu, semestinya dengan penyelesaian, analisis terperinci dan tentukan, tentukan, tentukan!

Anda boleh menggunakan tugas kami (pilihan) dan kami, sudah tentu, mengesyorkannya.

Untuk menjadi lebih baik dalam menggunakan tugas kami, anda perlu membantu memanjangkan hayat buku teks YouClever yang sedang anda baca.

Bagaimana? Terdapat dua pilihan:

1. Buka kunci semua tugas tersembunyi dalam artikel ini -
2. Buka kunci akses kepada semua tugas tersembunyi dalam semua 99 artikel buku teks - Beli buku teks - 499 RUR

Ya, kami mempunyai 99 artikel sedemikian dalam buku teks kami dan akses kepada semua tugasan dan semua teks tersembunyi di dalamnya boleh dibuka serta-merta.

Akses kepada semua tugas tersembunyi disediakan untuk KESELURUHAN hayat tapak.

Kesimpulannya...

Jika anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Cuma jangan berhenti pada teori.

"Difahamkan" dan "Saya boleh selesaikan" adalah kemahiran yang sama sekali berbeza. Anda perlukan kedua-duanya.

Cari masalah dan selesaikan!

Dalam blog saya, terjemahan kuliah seterusnya kursus "Principles of Game Balance" oleh pereka permainan Jan Schreiber, yang bekerja pada projek seperti Marvel Trading Card Game dan Playboy: the Mansion.

Sebelum ini hari ini hampir semua yang kami bincangkan adalah deterministik, dan minggu lepas kami melihat dengan teliti mekanik transitif, dengan terperinci seperti yang saya boleh jelaskan. Tetapi sehingga kini kami tidak memberi perhatian kepada satu lagi aspek dalam banyak permainan, iaitu aspek bukan penentu - dengan kata lain, rawak.

Memahami sifat rawak adalah sangat penting untuk pereka permainan. Kami mencipta sistem yang mempengaruhi pengalaman pengguna dalam permainan tertentu, jadi kami perlu mengetahui cara sistem tersebut berfungsi. Sekiranya terdapat rawak dalam sistem, kita perlu memahami sifat rawak ini dan mengetahui cara mengubahnya untuk mendapatkan hasil yang kita perlukan.

Dadu

Mari kita mulakan dengan sesuatu yang mudah - melontar dadu. Apabila kebanyakan orang berfikir tentang dadu, mereka memikirkan dadu bermuka enam yang dikenali sebagai d6. Tetapi kebanyakan pemain telah melihat banyak dadu lain: tetrahedral (d4), oktagon (d8), dua belas sisi (d12), dua puluh sisi (d20). Jika anda seorang geek sebenar, anda mungkin mempunyai dadu 30 belah atau 100 belah di suatu tempat.

Jika anda tidak biasa dengan istilah tersebut, d bermaksud die, dan nombor selepasnya ialah bilangan sisi yang ada padanya. Jika nombor muncul sebelum d, maka ia menunjukkan bilangan dadu yang hendak dilempar. Sebagai contoh, dalam permainan Monopoli anda melancarkan 2d6.

Jadi, dalam kes ini, frasa "dadu" adalah simbol. Terdapat sejumlah besar penjana nombor rawak lain yang tidak kelihatan seperti angka plastik, tetapi melaksanakan fungsi yang sama - menjana nombor rawak dari 1 hingga n. Syiling biasa juga boleh diwakili sebagai dadu dihedral d2.

Saya melihat dua reka bentuk dadu tujuh belah: satu daripadanya kelihatan seperti dadu, dan satu lagi kelihatan lebih seperti pensel kayu tujuh segi. Tetrahedral dreidel, juga dikenali sebagai titotum, adalah serupa dengan tulang tetrahedral. Papan anak panah berputar dalam Chutes & Ladders, di mana markah boleh berkisar antara 1 hingga 6, sepadan dengan dadu enam belah.

Penjana nombor rawak komputer boleh mencipta sebarang nombor dari 1 hingga 19 jika pereka bentuk menentukannya, walaupun komputer itu tidak mempunyai die 19 sisi (secara umum, saya akan bercakap lebih lanjut tentang kebarangkalian nombor yang muncul pada komputer minggu depan). Semua item ini kelihatan berbeza, tetapi sebenarnya ia adalah setara: anda mempunyai peluang yang sama untuk setiap beberapa kemungkinan hasil.

Dadu mempunyai beberapa sifat menarik yang perlu kita ketahui. Pertama, kebarangkalian untuk mendaratkan mana-mana dadu adalah sama (saya andaikan anda sedang membaling dadu yang betul). bentuk geometri). Jika anda ingin mengetahui nilai purata bagi segulung (bagi mereka yang mendalami teori kebarangkalian, ia dikenali sebagai nilai yang dijangkakan), jumlahkan nilai pada semua muka dan bahagikan nombor ini dengan bilangan muka.

Jumlah nilai semua sisi untuk dadu bermuka enam piawai ialah 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Bahagikan 21 dengan bilangan sisi dan dapatkan nilai purata gulungan: 21 / 6 = 3.5. ini kes khas, kerana kami menganggap bahawa semua hasil berkemungkinan sama.

Bagaimana jika anda mempunyai dadu istimewa? Sebagai contoh, saya melihat permainan dengan mata dadu enam belah dengan pelekat khas pada bahagian tepi: 1, 1, 1, 2, 2, 3, jadi ia berkelakuan seperti mata dadu tiga segi yang pelik dengannya. lebih banyak peluang bahawa nombor itu akan menjadi 1 dan bukannya 2, dan bahawa 2 lebih berkemungkinan untuk digulung daripada 3. Apakah nilai purata bagi gulungan untuk dadu ini? Jadi, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, dibahagikan dengan 6 - ternyata 5 / 3, atau kira-kira 1.66. Jadi, jika anda mempunyai dadu khas dan pemain membaling tiga dadu dan kemudian menjumlahkan keputusan - anda tahu bahawa balingan mereka akan ditambah sehingga kira-kira 5, dan anda boleh mengimbangi permainan berdasarkan andaian itu.

Dadu dan Kemerdekaan

Seperti yang telah saya katakan, kita meneruskan dari andaian bahawa setiap pihak berkemungkinan sama untuk gugur. Tidak kira berapa banyak dadu yang anda gulung. Setiap lemparan dadu adalah bebas, bermakna lemparan sebelumnya tidak menjejaskan keputusan lemparan berikutnya. Memandangkan percubaan yang mencukupi, anda pasti akan melihat corak nombor - contohnya, bergolek kebanyakannya nilai yang lebih tinggi atau lebih rendah - atau ciri lain, tetapi itu tidak bermakna dadu adalah "panas" atau "sejuk". Kita akan bercakap tentang ini kemudian.

Jika anda melancarkan mata dadu enam sisi standard dan nombor 6 muncul dua kali berturut-turut, kebarangkalian balingan seterusnya akan menghasilkan 6 adalah tepat 1/6 Kebarangkalian tidak meningkat kerana dadu telah "dipanaskan". . Pada masa yang sama, kebarangkalian tidak berkurangan: adalah tidak betul untuk membuat alasan bahawa nombor 6 telah muncul dua kali berturut-turut, yang bermaksud bahawa kini pihak lain harus muncul.

Sudah tentu, jika anda melancarkan mata dadu dua puluh kali dan mendapat 6 setiap kali, peluang untuk kali kedua puluh satu anda melancarkan mata dadu adalah agak tinggi: mungkin anda hanya tersalah dadu. Tetapi jika dadu adalah adil, setiap pihak mempunyai kebarangkalian yang sama untuk mendarat, tanpa mengira keputusan gulungan yang lain. Anda juga boleh membayangkan bahawa kami menggantikan dadu setiap kali: jika nombor 6 digulung dua kali berturut-turut, keluarkan dadu "panas" daripada permainan dan gantikannya dengan yang baharu. Saya minta maaf jika ada di antara anda yang sudah mengetahui tentang perkara ini, tetapi saya perlu menjelaskan perkara ini sebelum meneruskan.

Bagaimana untuk membuat dadu bergolek lebih kurang rawak

Mari kita bercakap tentang bagaimana untuk mendapatkan keputusan yang berbeza pada dadu yang berbeza. Sama ada anda membaling dadu sekali atau beberapa kali sahaja, permainan akan berasa lebih rawak apabila dadu mempunyai lebih banyak sisi. Lebih kerap anda perlu membaling dadu, dan lebih banyak dadu yang anda lempar, lebih banyak keputusan menghampiri purata.

Sebagai contoh, dalam kes 1d6 + 4 (iaitu, jika anda melancarkan dadu enam sisi standard sekali dan menambah 4 pada hasilnya), purata ialah nombor antara 5 dan 10. Jika anda melancarkan 5d2, purata juga akan menjadi nombor antara 5 dan 10. Keputusan rolling 5d2 terutamanya akan menjadi nombor 7 dan 8, kurang kerap nilai lain. Siri yang sama, walaupun nilai purata yang sama (7.5 dalam kedua-dua kes), tetapi sifat rawak adalah berbeza.

Tunggu sekejap. Bukankah saya hanya mengatakan bahawa dadu tidak "panas" atau "sejuk"? Sekarang saya katakan: jika anda membaling banyak dadu, keputusan gulungan akan mendekati purata. kenapa?

Biar saya jelaskan. Jika anda melancarkan satu dadu, setiap sisi mempunyai kebarangkalian yang sama untuk mendarat. Ini bermakna jika anda membaling banyak dadu dari semasa ke semasa, setiap bahagian akan muncul kira-kira bilangan kali yang sama. Lebih banyak dadu yang anda gulung, lebih banyak hasil keseluruhan akan menghampiri purata.

Ini bukan kerana nombor yang dilukis itu "memaksa" nombor lain untuk dilukis yang masih belum dilukis. Tetapi kerana siri kecil melancarkan nombor 6 (atau 20, atau nombor lain) pada akhirnya tidak akan menjejaskan keputusan begitu banyak jika anda membaling dadu sepuluh ribu kali lagi dan kebanyakannya nombor purata akan muncul. Sekarang anda akan mendapat beberapa bilangan yang besar, dan kemudian beberapa yang kecil - dan lama kelamaan mereka akan menghampiri nilai purata.

Ini bukan kerana gulungan sebelumnya menjejaskan dadu (serius, dadu diperbuat daripada plastik, ia tidak mempunyai otak untuk berfikir, "Oh, sudah lama anda tidak membaling 2"), tetapi kerana inilah yang biasanya berlaku apabila anda membaling dadu yang banyak

Oleh itu, agak mudah untuk melakukan pengiraan untuk satu gulung rawak dadu - sekurang-kurangnya untuk mengira nilai purata bagi gulungan itu. Terdapat juga cara untuk mengira "berapa rawak" sesuatu dan mengatakan bahawa keputusan penggelek 1d6+4 akan menjadi "lebih rawak" daripada 5d2. Untuk 5d2, gulung akan lebih sekata. Untuk melakukan ini, anda perlu mengira sisihan piawai: semakin besar nilainya, semakin rawak hasilnya. Saya tidak mahu memberikan banyak pengiraan hari ini;

Satu-satunya perkara yang saya akan minta anda ingat ialah, sebagai peraturan umum, semakin sedikit dadu yang anda gulung, semakin besar kerawakannya. Dan lebih banyak sisi dadu, lebih besar rawak, kerana terdapat lebih banyak pilihan nilai yang mungkin.

Cara Mengira Kebarangkalian Menggunakan Pengiraan

Anda mungkin tertanya-tanya: bagaimana kita boleh mengira kebarangkalian tepat untuk mendapatkan hasil tertentu? Malah, ini agak penting untuk banyak permainan: jika anda mula-mula membaling dadu - kemungkinan besar terdapat beberapa jenis hasil yang optimum. Jawapan saya ialah: kita perlu mengira dua nilai. pertama, jumlah nombor hasil semasa membaling dadu, dan kedua, bilangan hasil yang menggalakkan. Membahagikan nilai kedua dengan yang pertama akan memberi anda kebarangkalian yang diingini. Untuk mendapatkan peratusan, darabkan hasil dengan 100.

Contoh

Berikut adalah contoh yang sangat mudah. Anda mahu nombor 4 atau lebih tinggi melancarkan dadu enam segi sekali. Bilangan maksimum hasil ialah 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Daripada jumlah ini, 3 hasil (4, 5, 6) adalah baik. Ini bermakna untuk mengira kebarangkalian, kita bahagikan 3 dengan 6 dan mendapat 0.5 atau 50%.

Berikut ialah contoh yang lebih rumit. Anda mahu bergolek 2d6 nombor genap. Bilangan maksimum hasil ialah 36 (6 pilihan untuk setiap mati, satu mati tidak menjejaskan yang lain, jadi darab 6 dengan 6 dan dapatkan 36). Kesukaran isu jenis ini ialah mudah untuk mengira dua kali. Sebagai contoh, apabila melancarkan 2d6, terdapat dua kemungkinan hasil 3: 1+2 dan 2+1. Mereka kelihatan sama, tetapi perbezaannya adalah nombor yang dipaparkan pada die pertama dan nombor yang dipaparkan pada yang kedua.

Anda juga boleh membayangkan bahawa dadu warna yang berbeza: Jadi, sebagai contoh, dalam kes ini satu dadu adalah merah, satu lagi adalah biru. Kemudian hitung bilangan pilihan untuk melancarkan nombor genap:

• 2 (1+1);
• 4 (1+3);
• 4 (2+2);
• 4 (3+1);
• 6 (1+5);
• 6 (2+4);
• 6 (3+3);
• 6 (4+2);
• 6 (5+1);
• 8 (2+6);
• 8 (3+5);
• 8 (4+4);
• 8 (5+3);
• 8 (6+2);
• 10 (4+6);
• 10 (5+5);
• 10 (6+4);
• 12 (6+6).

Ternyata terdapat 18 pilihan untuk hasil yang menggalakkan daripada 36 - seperti dalam kes sebelumnya, kebarangkalian adalah 0.5 atau 50%. Mungkin tidak dijangka, tetapi agak tepat.

Simulasi Monte Carlo

Bagaimana jika anda mempunyai terlalu banyak dadu untuk pengiraan ini? Sebagai contoh, anda ingin tahu apakah kebarangkalian untuk mendapat jumlah 15 atau lebih apabila melancarkan 8d6. Untuk lapan dadu ada pelbagai besar keputusan yang berbeza, dan mengiranya secara manual akan mengambil masa yang sangat lama - walaupun kami menemui penyelesaian yang baik untuk mengumpulkan siri gulung dadu yang berbeza.

Dalam kes ini, cara paling mudah adalah tidak mengira secara manual, tetapi menggunakan komputer. Terdapat dua cara untuk mengira kebarangkalian pada komputer. Kaedah pertama boleh memberi anda jawapan yang tepat, tetapi ia melibatkan sedikit pengaturcaraan atau skrip. Komputer akan melalui setiap kemungkinan, menilai dan mengira jumlah bilangan lelaran dan bilangan lelaran yang sepadan hasil yang diingini, dan kemudian berikan jawapannya. Kod anda mungkin kelihatan seperti dengan cara berikut:

Jika anda tidak memahami pengaturcaraan dan anda memerlukan jawapan anggaran dan bukannya jawapan yang tepat, anda boleh mensimulasikan situasi ini dalam Excel, di mana anda melancarkan 8d6 beberapa ribu kali dan mendapatkan jawapannya. Untuk melancarkan 1d6 dalam Excel, gunakan formula =TINGKAT(RAND()*6)+1.

Terdapat nama untuk situasi apabila anda tidak tahu jawapannya dan cuba berkali-kali - simulasi Monte Carlo. Ini adalah penyelesaian yang bagus untuk digunakan apabila mengira kebarangkalian terlalu sukar. Perkara yang menarik ialah dalam kes ini kita tidak perlu memahami bagaimana matematik berfungsi, dan kita tahu bahawa jawapannya akan menjadi "agak bagus" kerana, seperti yang kita sedia maklum, semakin banyak gulung, semakin hampir hasilnya kepada purata.

Bagaimana untuk menggabungkan percubaan bebas

Jika anda bertanya tentang berulang kali tetapi ujian bebas, maka hasil satu lontaran tidak menjejaskan hasil balingan yang lain. Terdapat satu lagi penjelasan yang lebih mudah untuk keadaan ini.

Bagaimana untuk membezakan antara sesuatu yang bergantung dan bebas? Pada asasnya, jika anda boleh mengasingkan setiap lontaran (atau siri lontaran) dadu sebagai acara berasingan, maka ia adalah bebas. Sebagai contoh, katakan kita melancarkan 8d6 dan mahukan jumlah 15. Acara ini tidak boleh dibahagikan kepada beberapa gulung dadu bebas. Untuk mendapatkan keputusan, anda mengira jumlah semua nilai, jadi hasil yang muncul pada satu dadu mempengaruhi keputusan yang sepatutnya muncul pada yang lain.

Berikut ialah contoh guling bebas: Anda sedang bermain permainan dadu dan anda membaling dadu enam belah berbilang kali. Gulungan pertama mestilah 2 atau lebih tinggi untuk kekal dalam permainan. Untuk lontaran kedua - 3 atau lebih tinggi. Yang ketiga memerlukan 4 atau lebih tinggi, yang keempat memerlukan 5 atau lebih tinggi, dan yang kelima memerlukan 6. Jika semua lima gulungan berjaya, anda menang. Dalam kes ini, semua lontaran adalah bebas. Ya, jika satu balingan tidak berjaya, ia akan menjejaskan keputusan keseluruhan permainan, tetapi satu balingan tidak menjejaskan yang lain. Sebagai contoh, jika balingan dadu kedua anda sangat berjaya, ini tidak bermakna balingan seterusnya akan menjadi sebaik. Oleh itu, kita boleh mempertimbangkan kebarangkalian setiap lemparan dadu secara berasingan.

Jika anda mempunyai kebarangkalian bebas dan anda ingin tahu apakah kebarangkalian semua peristiwa yang berlaku, anda tentukan setiap kebarangkalian individu dan darabkannya bersama-sama. Cara lain: jika anda menggunakan kata hubung “dan” untuk menerangkan beberapa keadaan (contohnya, apakah kebarangkalian berlakunya beberapa peristiwa rawak dan beberapa peristiwa rawak bebas yang lain?) - hitung kebarangkalian individu dan darabkannya.

Tidak kira apa yang anda fikirkan, jangan sekali-kali menambah kebarangkalian bebas. Ini adalah kesilapan biasa. Untuk memahami mengapa ini salah, bayangkan situasi di mana anda melambung syiling dan ingin mengetahui kebarangkalian untuk mendapat kepala dua kali berturut-turut. Kebarangkalian setiap bahagian jatuh ialah 50%. Jika anda menjumlahkan kedua-dua kebarangkalian ini, anda mendapat peluang 100% untuk mendapat kepala, tetapi kami tahu itu tidak benar kerana ia boleh menjadi ekor dua kali berturut-turut. Jika anda sebaliknya mendarabkan dua kebarangkalian, anda mendapat 50% * 50% = 25% - yang merupakan jawapan yang betul untuk mengira kebarangkalian mendapat kepala dua kali berturut-turut.

Contoh

Mari kita kembali ke permainan dadu enam segi, di mana anda perlu membaling nombor yang lebih besar daripada 2, kemudian lebih besar daripada 3 - dan seterusnya sehingga 6. Apakah kemungkinan dalam siri lima balingan yang diberikan semua keputusan akan menguntungkan ?

Seperti yang dinyatakan di atas, ini adalah percubaan bebas, jadi kami mengira kebarangkalian untuk setiap gulungan individu dan kemudian mendarabkannya bersama-sama. Kebarangkalian bahawa hasil gulungan pertama akan menguntungkan ialah 5/6. Kedua - 4/6. Ketiga - 3/6. Yang keempat - 2/6, yang kelima - 1/6. Kami mendarabkan semua keputusan dengan satu sama lain dan mendapat kira-kira 1.5%. Kemenangan dalam permainan ini agak jarang berlaku, jadi jika anda menambah elemen ini pada permainan anda, anda memerlukan jackpot yang agak besar.

Penafian

Ini satu lagi petunjuk berguna: Kadangkala sukar untuk mengira kebarangkalian sesuatu peristiwa akan berlaku, tetapi lebih mudah untuk menentukan kemungkinan peristiwa itu tidak akan berlaku. Sebagai contoh, katakan kami mempunyai permainan lain: anda melancarkan 6d6 dan menang jika anda melancarkan 6 sekurang-kurangnya sekali.

Dalam kes ini, terdapat banyak pilihan untuk dipertimbangkan. Ada kemungkinan satu nombor 6 akan dilempar, iaitu satu daripada dadu akan menunjukkan nombor 6, dan yang lain akan menunjukkan nombor dari 1 hingga 5, kemudian terdapat 6 pilihan untuk dadu yang mana akan menunjukkan 6. Anda boleh mendapatkan nombor 6 pada dua dadu dadu, atau tiga, atau lebih, dan setiap kali anda perlu melakukan pengiraan berasingan, jadi mudah untuk dikelirukan di sini.

Tetapi mari kita lihat masalah dari sisi lain. Anda akan kalah jika tiada satu dadu membaling 6. Dalam kes ini kita mempunyai 6 percubaan bebas. Kebarangkalian setiap dadu akan membaling nombor selain daripada 6 ialah 5/6. Gandakan mereka dan anda mendapat kira-kira 33%. Oleh itu, kebarangkalian untuk kalah adalah satu daripada tiga. Oleh itu, kebarangkalian untuk menang ialah 67% (atau dua hingga tiga).

Daripada contoh ini adalah jelas: jika anda mengira kebarangkalian bahawa sesuatu peristiwa tidak akan berlaku, anda perlu menolak keputusan daripada 100%. Jika kebarangkalian menang ialah 67%, maka kebarangkalian untuk kalah ialah 100% tolak 67%, atau 33%, dan sebaliknya. Jika sukar untuk mengira satu kebarangkalian tetapi mudah untuk mengira sebaliknya, hitung sebaliknya dan kemudian tolak nombor itu daripada 100%.

Kami menggabungkan syarat untuk satu ujian bebas

Saya katakan di atas bahawa anda tidak boleh menambah kebarangkalian merentasi percubaan bebas. Adakah terdapat sebarang kes di mana kemungkinan untuk menjumlahkan kebarangkalian? Ya, dalam satu situasi istimewa.

Jika anda ingin mengira kebarangkalian untuk beberapa hasil yang menguntungkan yang tidak berkaitan pada satu percubaan, jumlahkan kebarangkalian bagi setiap hasil yang menguntungkan. Sebagai contoh, kebarangkalian untuk melancarkan 4, 5, atau 6 pada 1d6 adalah sama dengan jumlah kebarangkalian melancarkan 4, kebarangkalian melancarkan 5, dan kebarangkalian melancarkan 6. Situasi ini boleh dibayangkan dengan cara ini: jika anda menggunakan kata hubung “atau” dalam soalan tentang kebarangkalian (contohnya, apakah kebarangkalian satu atau satu lagi hasil bagi satu peristiwa rawak?) - kira kebarangkalian individu dan jumlahnya.

Sila ambil perhatian: apabila anda mengira semua kemungkinan hasil permainan, jumlah kebarangkalian kejadiannya mestilah sama dengan 100%, jika tidak pengiraan anda telah dibuat secara salah. ini cara yang baik semak semula pengiraan anda. Sebagai contoh, anda menganalisis kebarangkalian semua kombinasi dalam poker. Jika anda menjumlahkan semua keputusan anda, anda sepatutnya mendapat tepat 100% (atau sekurang-kurangnya hampir 100%: jika anda menggunakan kalkulator, mungkin terdapat ralat pembundaran kecil, tetapi jika anda menjumlahkan nombor tepat dengan tangan, semuanya harus ditambah). Jika jumlahnya tidak bertumpu, ini bermakna anda berkemungkinan besar tidak mengambil kira beberapa kombinasi atau mengira kebarangkalian beberapa kombinasi secara salah, dan pengiraan perlu disemak dua kali.

Kebarangkalian yang tidak sama rata

Setakat ini kita telah mengandaikan bahawa setiap sisi dadu digulung pada frekuensi yang sama, kerana itulah cara dadu kelihatan berfungsi. Tetapi kadangkala anda mungkin menghadapi situasi di mana hasil yang berbeza mungkin dan mereka mempunyai peluang yang berbeza untuk muncul.

Sebagai contoh, dalam salah satu pengembangan permainan kad Perang Nuklear terdapat padang permainan dengan anak panah, di mana hasil pelancaran roket bergantung. Selalunya ia mengalami kerosakan biasa, lebih kuat atau lebih lemah, tetapi kadangkala kerosakan itu berganda atau tiga kali ganda, atau roket meletup PAD pelancaran dan membahayakan anda, atau beberapa peristiwa lain berlaku. Tidak seperti papan anak panah dalam Chutes & Ladders atau A Game of Life, keputusan papan permainan dalam Perang Nuklear adalah tidak sekata. Sesetengah bahagian padang permainan adalah lebih besar dan anak panah berhenti padanya dengan lebih kerap, manakala bahagian lain sangat kecil dan anak panah jarang berhenti padanya.

Jadi, pada pandangan pertama, dadu kelihatan seperti ini: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - kita sudah bercakap mengenainya, ia adalah sesuatu seperti 1d3 berwajaran. Oleh itu, kita perlu membahagikan semua bahagian ini kepada bahagian yang sama, mencari unit ukuran terkecil, pembahagi yang semuanya adalah berganda, dan kemudian mewakili keadaan dalam bentuk d522 (atau yang lain), di mana set dadu muka akan mewakili situasi yang sama, hidung jumlah yang besar hasil. Ini adalah salah satu cara untuk menyelesaikan masalah, dan ia boleh dilaksanakan secara teknikal, tetapi terdapat pilihan yang lebih mudah.

Mari kita kembali kepada dadu enam segi standard kami. Kami telah mengatakan bahawa untuk mengira pusingan purata bagi dadu biasa, anda perlu menambah nilai pada semua muka dan membahagikan dengan bilangan muka, tetapi bagaimana sebenarnya pengiraan itu berfungsi? Terdapat cara lain untuk menyatakan ini. Untuk dadu bermuka enam, kebarangkalian setiap sisi digolek adalah tepat 1/6. Sekarang kita darabkan hasil setiap tepi dengan kebarangkalian hasil itu (dalam kes ini, 1/6 untuk setiap tepi), dan kemudian tambahkan nilai yang terhasil. Oleh itu, menjumlahkan (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6 ), kita mendapat keputusan yang sama (3.5) seperti dalam pengiraan di atas. Malah, kita mengira dengan cara ini setiap kali: kita mendarabkan setiap hasil dengan kebarangkalian hasil tersebut.

Bolehkah kita melakukan pengiraan yang sama untuk anak panah di padang permainan dalam Perang Nuklear? Sudah tentu kita boleh. Dan jika kita merumuskan semua keputusan yang ditemui, kita akan mendapat nilai purata. Apa yang perlu kita lakukan ialah mengira kebarangkalian setiap hasil untuk anak panah pada papan permainan dan darab dengan nilai hasil.

Contoh yang lain

Kaedah pengiraan purata ini juga sesuai jika keputusannya berkemungkinan sama tetapi mempunyai kelebihan yang berbeza - contohnya, jika anda membuat keputusan dan menang lebih banyak pada beberapa pihak berbanding yang lain. Sebagai contoh, mari kita ambil permainan kasino: anda membuat pertaruhan dan melancarkan 2d6. Jika tiga nombor digulung dengan nilai terendah(2, 3, 4) atau empat nombor dengan nilai tinggi(9, 10, 11, 12) - anda akan memenangi jumlah yang sama dengan pertaruhan anda. Nombor dengan nilai terendah dan tertinggi adalah istimewa: jika anda melancarkan 2 atau 12, anda memenangi dua kali pertaruhan anda. Jika mana-mana nombor lain digulung (5, 6, 7, 8), anda akan kehilangan pertaruhan anda. Ia cantik permainan mudah. Tetapi apakah kebarangkalian untuk menang?

Mari kita mulakan dengan mengira berapa kali anda boleh menang. Bilangan maksimum hasil apabila melancarkan 2d6 ialah 36. Berapakah bilangan hasil yang menggalakkan?

• Terdapat 1 pilihan bahawa 2 akan digulung dan 1 pilihan bahawa 12 akan digulung.
• Terdapat 2 pilihan yang 3 akan roll dan 2 pilihan yang 11 akan roll.
• Terdapat 3 pilihan yang 4 akan bergolek, dan 3 pilihan yang 10 akan melancarkan.
• Terdapat 4 pilihan untuk melancarkan 9.

Menjumlahkan semua pilihan, kami mendapat 16 hasil yang menggalakkan daripada 36. Oleh itu, dengan keadaan biasa anda akan menang 16 kali daripada 36 yang mungkin - kebarangkalian untuk menang adalah kurang sedikit daripada 50%.

Tetapi dalam dua kes daripada enam belas ini anda akan menang dua kali ganda - ia seperti menang dua kali. Jika anda bermain permainan ini 36 kali, bertaruh $1 setiap kali, dan setiap satu daripada semua kemungkinan hasil muncul sekali, anda akan memenangi sejumlah $18 (anda sebenarnya akan menang 16 kali, tetapi dua daripadanya akan dikira sebagai dua kemenangan ). Jika anda bermain 36 kali dan memenangi $18, bukankah itu bermakna kemungkinannya adalah sama?

Ambil masa anda. Jika anda mengira berapa kali anda boleh kalah, anda akan mendapat 20, bukan 18. Jika anda bermain 36 kali, bertaruh $1 setiap kali, anda akan menang jumlah keseluruhan$18 jika semua hasil yang menggalakkan berlaku. Tetapi anda akan kehilangan sejumlah $20 jika anda mendapat kesemua 20 hasil yang tidak menguntungkan. Akibatnya, anda akan ketinggalan sedikit: anda kehilangan purata $2 bersih untuk setiap 36 permainan (anda juga boleh mengatakan bahawa anda kehilangan purata 1/18 dolar setiap hari). Sekarang anda melihat betapa mudahnya untuk membuat kesilapan dalam kes ini dan mengira kebarangkalian dengan tidak betul.

Penyusunan semula

Setakat ini kita telah menganggap bahawa susunan nombor semasa membaling dadu tidak penting. Gulung 2 + 4 adalah sama seperti guling 4 + 2. Dalam kebanyakan kes, kami mengira bilangan hasil yang menggalakkan secara manual, tetapi kadangkala kaedah ini adalah tidak praktikal dan lebih baik menggunakan formula matematik.

Contoh situasi ini adalah daripada permainan dadu Farkle. Untuk setiap pusingan baharu, anda melancarkan 6d6. Jika anda bernasib baik dan mendapat kesemuanya keputusan yang mungkin 1-2-3-4-5-6 (lurus), anda akan menerima bonus yang besar. Apakah kemungkinan perkara ini berlaku? Dalam kes ini, terdapat banyak pilihan untuk mendapatkan gabungan ini.

Penyelesaiannya adalah seperti berikut: satu daripada dadu (dan hanya satu) mesti mempunyai nombor 1. Berapa banyak cara nombor 1 boleh muncul pada satu dadu? Terdapat 6 pilihan, kerana terdapat 6 dadu, dan mana-mana daripadanya boleh jatuh pada nombor 1. Oleh itu, ambil satu dadu dan letakkan di tepi. Sekarang salah satu daripada dadu yang tinggal harus melancarkan nombor 2. Terdapat 5 pilihan untuk ini. Ambil dadu lagi dan ketepikan. Kemudian 4 daripada dadu yang tinggal boleh mendarat 3, 3 daripada dadu yang tinggal boleh mendarat 4, dan 2 daripada dadu yang tinggal boleh mendarat 5. Ini meninggalkan anda dengan satu dadu yang sepatutnya mendarat 6 (dalam kes yang terakhir hanya ada satu yang mati, dan tiada pilihan).

Untuk mengira bilangan hasil yang menggalakkan untuk memukul lurus, kami mendarabkan semua pilihan bebas yang berbeza: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1=720 - nampaknya terdapat beberapa sejumlah besar pilihan untuk mendapatkan kombinasi ini.

Untuk mengira kebarangkalian mendapat lurus, kita perlu membahagikan 720 dengan bilangan semua hasil yang mungkin untuk rolling 6d6. Berapakah bilangan semua hasil yang mungkin? Setiap dadu boleh mempunyai 6 sisi, jadi kita darabkan 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (nombor yang jauh lebih besar daripada yang sebelumnya). Bahagikan 720 dengan 46656 dan kita mendapat kebarangkalian kira-kira 1.5%. Jika anda mereka bentuk permainan ini, adalah berguna untuk anda mengetahui perkara ini supaya anda boleh mencipta sistem pemarkahan yang sewajarnya. Kini kami faham mengapa di Farkle anda mendapat bonus yang begitu besar jika anda mendapat straight: ini adalah situasi yang agak jarang berlaku.

Hasilnya juga menarik untuk sebab lain. Contoh menunjukkan betapa jarang dalam tempoh yang singkat keputusan berlaku yang sepadan dengan kebarangkalian. Sudah tentu, jika kita membaling beberapa ribu dadu, muka berbeza dadu akan datang agak kerap. Tetapi apabila kita melontar hanya enam dadu, hampir tidak pernah berlaku bahawa setiap muka muncul. Ia menjadi jelas bahawa adalah bodoh untuk menjangkakan bahawa barisan kini akan muncul yang belum berlaku, kerana "kami telah lama tidak melancarkan nombor 6." Dengar, penjana nombor rawak anda rosak.

Ini membawa kita kepada salah tanggapan umum bahawa semua hasil berlaku pada kekerapan yang sama dalam tempoh masa yang singkat. Jika kita membaling dadu beberapa kali, kekerapan setiap sisi jatuh tidak akan sama.

Jika anda pernah mengusahakan permainan dalam talian dengan beberapa jenis penjana nombor rawak sebelum ini, kemungkinan besar anda pernah menghadapi situasi di mana pemain menulis kepada sokongan teknikal mengadu bahawa penjana nombor rawak tidak menunjukkan nombor rawak. Dia membuat kesimpulan ini kerana dia membunuh 4 raksasa berturut-turut dan menerima 4 ganjaran yang sama, dan ganjaran ini sepatutnya hanya muncul 10% sahaja, jadi ini jelas sekali tidak sepatutnya berlaku.

Anda sedang membuat pengiraan matematik. Kebarangkalian ialah 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10, iaitu, 1 hasil daripada 10 ribu adalah agak kes yang jarang berlaku. Inilah yang pemain cuba beritahu anda. Adakah terdapat masalah dalam kes ini?

Semuanya bergantung pada keadaan. Berapakah bilangan pemain pada masa ini pada pelayan anda? Katakan anda mempunyai permainan yang agak popular dan 100 ribu orang bermain setiap hari. Berapa ramai pemain yang boleh membunuh empat raksasa berturut-turut? Mungkin semua, beberapa kali sehari, tetapi mari kita anggap separuh daripada mereka hanya bertukar objek yang berbeza di lelongan, sepadan pada pelayan RP, atau melakukan tindakan permainan lain - oleh itu, hanya separuh daripada mereka memburu raksasa. Apakah kebarangkalian seseorang akan mendapat ganjaran yang sama? Dalam keadaan ini, anda boleh menjangkakan perkara ini berlaku sekurang-kurangnya beberapa kali sehari.

Ngomong-ngomong, inilah sebabnya nampaknya setiap beberapa minggu seseorang memenangi loteri, walaupun seseorang itu tidak pernah menjadi anda atau sesiapa yang anda kenali. Jika cukup orang bermain dengan kerap, kemungkinan besar akan ada sekurang-kurangnya seorang pemain bertuah di suatu tempat. Tetapi jika anda bermain loteri sendiri, maka anda tidak mungkin menang, sebaliknya anda akan dijemput untuk bekerja di Infinity Ward.

Peta dan ketagihan

Kami membincangkan acara bebas, seperti melontar dadu, dan kini kami tahu banyak alat yang berkuasa analisis rawak dalam banyak permainan. Mengira kebarangkalian adalah lebih rumit sedikit apabila ia datang untuk menarik kad dari dek, kerana setiap kad yang kita lukis mempengaruhi kad yang kekal dalam dek.

Jika anda mempunyai dek 52 kad standard, anda mengeluarkan 10 hati daripadanya dan ingin mengetahui kebarangkalian bahawa kad seterusnya akan mempunyai saman yang sama - kebarangkalian telah berubah daripada yang asal kerana anda telah mengeluarkan satu kad saman itu hati dari dek. Setiap kad yang anda keluarkan mengubah kebarangkalian kad seterusnya muncul dalam dek. Dalam kes ini peristiwa sebelumnya mempengaruhi perkara berikut, jadi kami memanggil kebarangkalian ini bergantung.

Sila ambil perhatian bahawa apabila saya menyebut "kad" saya bercakap tentang mana-mana mekanik permainan di mana anda mempunyai satu set objek dan anda mengalih keluar salah satu objek tanpa menggantikannya. "Dek kad" dalam kes ini adalah analog dengan beg cip yang anda ambil satu cip, atau guci dari mana bola berwarna diambil (saya tidak pernah melihat permainan dengan guci dari mana bola berwarna diambil, tetapi guru teori kebarangkalian mengikut apa -sebab mengapa contoh ini diutamakan).

Sifat Kebergantungan

Saya ingin menjelaskan bahawa apabila kita bercakap tentang tentang kad itu, saya rasa anda mengeluarkan kad itu, melihatnya dan mengeluarkannya dari dek. Setiap tindakan ini adalah harta yang penting. Jika saya mempunyai dek, katakan, enam kad dengan nombor 1 hingga 6, saya akan mengocoknya dan mencabut satu kad, kemudian mengocok semua enam kad sekali lagi - ini akan serupa dengan melontar dadu enam belah, kerana satu keputusan mempunyai tiada kesan untuk yang seterusnya. Dan jika saya mengeluarkan kad dan tidak menggantikannya, maka dengan mengeluarkan kad 1, saya meningkatkan kemungkinan bahawa pada kali seterusnya saya akan menarik kad dengan nombor 6. Kebarangkalian akan meningkat sehingga saya akhirnya mengeluarkan kad itu atau kocok dek.

Fakta bahawa kita melihat kad juga penting. Jika saya mengeluarkan kad dari dek dan tidak melihatnya, saya tidak akan mempunyai maklumat tambahan dan sebenarnya kebarangkalian tidak akan berubah. Ini mungkin kedengaran bertentangan dengan intuisi. Bagaimana boleh flip mudah kad secara ajaib ubah kebarangkalian? Tetapi ia adalah mungkin kerana anda boleh mengira kebarangkalian untuk item yang tidak diketahui hanya dari apa yang anda tahu.

Sebagai contoh, jika anda mengocok dek kad standard dan mendedahkan 51 kad dan tiada satu pun daripadanya adalah ratu kelab, maka anda boleh yakin 100% bahawa kad yang tinggal adalah ratu kelab. Jika anda mengocok dek kad standard dan mengeluarkan 51 kad tanpa melihatnya, kebarangkalian bahawa kad yang tinggal adalah ratu kelab masih 1/52. Apabila anda membuka setiap kad, anda mendapat lebih banyak maklumat.

Mengira kebarangkalian untuk peristiwa bergantung mengikut prinsip yang sama seperti untuk acara bebas, kecuali ia adalah lebih rumit sedikit kerana kebarangkalian berubah apabila anda mendedahkan kad. Jadi anda perlu membiak banyak makna yang berbeza, bukannya mendarab nilai yang sama. Maksud sebenarnya ialah kita perlu menggabungkan semua pengiraan yang telah kita lakukan menjadi satu gabungan.

Contoh

Anda kocok dek 52 kad standard dan lukis dua kad. Apakah kebarangkalian anda akan melukis sepasang? Terdapat beberapa cara untuk mengira kebarangkalian ini, tetapi mungkin yang paling mudah ialah ini: apakah kebarangkalian bahawa jika anda melukis satu kad, anda tidak akan dapat melukis sepasang? Kebarangkalian ini adalah sifar, jadi tidak kira kad pertama yang anda lukis, asalkan ia sepadan dengan kad kedua. Tidak kira kad yang mana kita lukis dahulu, kita masih berpeluang untuk menarik sepasang. Oleh itu, kebarangkalian untuk menarik sepasang selepas kad pertama dicabut ialah 100%.

Apakah kebarangkalian bahawa kad kedua sepadan dengan kad pertama? Terdapat 51 kad yang tinggal di dek, dan 3 daripadanya sepadan dengan kad pertama (sebenarnya terdapat 4 daripada 52, tetapi anda telah mengeluarkan salah satu kad yang sepadan apabila anda menarik kad pertama), jadi kebarangkalian adalah 1/ 17. Jadi pada kali seterusnya anda bermain Texas Hold'em, lelaki di seberang meja dari anda berkata, “Cool, pasangan lain? Saya berasa bertuah hari ini, "anda akan tahu bahawa terdapat kebarangkalian tinggi bahawa dia menipu.

Bagaimana jika kita menambah dua pelawak supaya kita mempunyai 54 kad dalam dek dan ingin tahu apakah kebarangkalian untuk melukis sepasang? Kad pertama mungkin pelawak, dan kemudian hanya akan ada satu kad dalam dek yang sepadan, dan bukan tiga. Bagaimana untuk mencari kebarangkalian dalam kes ini? Kami akan membahagikan kebarangkalian dan mendarabkan setiap kemungkinan.

Kad pertama kami boleh menjadi pelawak atau kad lain. Kebarangkalian untuk melukis joker ialah 2/54, kebarangkalian untuk melukis beberapa kad lain ialah 52/54. Jika kad pertama adalah joker (2/54), maka kebarangkalian bahawa kad kedua akan sepadan dengan yang pertama ialah 1/53. Kami mendarabkan nilai (kita boleh mendarabkannya kerana ia adalah peristiwa yang berasingan dan kami mahu kedua-dua peristiwa itu berlaku) dan kami mendapat 1/1431 - kurang daripada satu persepuluh peratus.

Jika anda menarik beberapa kad lain dahulu (52/54), kebarangkalian untuk memadankan kad kedua ialah 3/53. Kami mendarabkan nilai dan mendapat 78/1431 (lebih sedikit daripada 5.5%). Apa yang kita lakukan dengan kedua-dua keputusan ini? Mereka tidak bersilang, dan kami ingin mengetahui kebarangkalian setiap daripada mereka, jadi kami menambah nilai. Kami mendapat keputusan akhir 79/1431 (masih kira-kira 5.5%).

Jika kami ingin memastikan ketepatan jawapan, kami boleh mengira kebarangkalian semua hasil lain yang mungkin: melukis pelawak dan tidak sepadan dengan kad kedua, atau melukis beberapa kad lain dan tidak sepadan dengan kad kedua. Merumuskan kebarangkalian ini dan kebarangkalian untuk menang, kita akan mendapat tepat 100%. Saya tidak akan memberikan matematik di sini, tetapi anda boleh mencuba matematik untuk menyemak semula.

Paradoks Dewan Monty

Ini membawa kita kepada paradoks yang agak terkenal yang sering mengelirukan ramai orang - Paradoks Dewan Monty. Paradoks itu dinamakan sempena pengacara rancangan TV Let's Make a Deal Bagi mereka yang tidak pernah melihat rancangan TV ini, ia adalah bertentangan dengan The Price Is Right.

On The Price Is Right, hos (Bob Barker pernah menjadi hos; yang kini, Drew Carey? Tidak mengapa) ialah rakan anda. Dia mahu anda memenangi wang atau hadiah menarik. Ia cuba memberi anda setiap peluang untuk menang, asalkan anda boleh meneka berapa nilai barangan yang dibeli oleh penaja sebenarnya.

Monty Hall berkelakuan berbeza. Dia seperti kembar jahat Bob Barker. Matlamatnya adalah untuk menjadikan anda kelihatan seperti orang bodoh di televisyen nasional. Jika anda berada di acara itu, dia adalah lawan anda, anda bermain menentangnya, dan kemungkinannya berpihak kepadanya. Mungkin saya terlalu keras, tetapi melihat persembahan yang anda lebih cenderung untuk menyertai jika anda memakai kostum yang tidak masuk akal, itulah yang saya datangi.

Salah satu meme yang paling terkenal dalam rancangan itu ialah ini: terdapat tiga pintu di hadapan anda, pintu nombor 1, pintu nombor 2 dan pintu nombor 3. Anda boleh memilih satu pintu secara percuma. Di belakang salah satu daripada mereka adalah hadiah yang luar biasa - contohnya, kereta baru. Tiada hadiah di sebalik dua pintu yang lain, kedua-duanya tiada nilai. Mereka sepatutnya memalukan anda, jadi di belakang mereka bukan hanya apa-apa, tetapi sesuatu yang bodoh, contohnya, kambing atau ubat gigi yang besar - apa-apa selain kereta baru.

Anda pilih salah satu pintu, Monty akan membukanya untuk memberitahu anda sama ada anda menang atau tidak... tetapi tunggu. Sebelum kita mengetahuinya, mari kita lihat salah satu pintu yang anda tidak pilih. Monty tahu pintu mana hadiah berada di belakang, dan dia sentiasa boleh membuka pintu yang tidak mempunyai hadiah di belakangnya. “Awak pilih pintu nombor 3? Kemudian mari kita buka pintu nombor 1 untuk menunjukkan bahawa tidak ada hadiah di belakangnya." Dan sekarang, kerana kemurahan hati, dia menawarkan anda peluang untuk menukar pintu nombor 3 yang dipilih dengan apa yang ada di belakang pintu nombor 2.

Pada ketika ini, persoalan kebarangkalian timbul: adakah peluang ini meningkatkan kebarangkalian anda untuk menang, atau mengurangkannya, atau adakah ia kekal tidak berubah? Bagaimana anda berfikir?

Jawapan yang betul: keupayaan untuk memilih pintu lain meningkatkan kebarangkalian untuk menang daripada 1/3 kepada 2/3. Ini tidak logik. Jika anda tidak pernah menemui paradoks ini sebelum ini, kemungkinan besar anda berfikir: tunggu, bagaimanakah dengan membuka satu pintu, kami secara ajaib mengubah kebarangkalian? Seperti yang telah kita lihat dengan peta, inilah yang berlaku apabila kita mendapat lebih banyak maklumat. Jelas sekali, apabila anda memilih buat kali pertama, kebarangkalian untuk menang ialah 1/3. Apabila satu pintu dibuka, ia tidak mengubah kebarangkalian untuk menang untuk pilihan pertama sama sekali: kebarangkalian masih 1/3. Tetapi kebarangkalian bahawa pintu yang satu lagi adalah betul kini 2/3.

Mari kita lihat contoh ini dari perspektif yang berbeza. Anda memilih pintu. Kebarangkalian menang ialah 1/3. Saya cadangkan anda menukar dua pintu yang lain, iaitu yang dilakukan oleh Monty Hall. Sudah tentu, dia membuka salah satu pintu untuk mendedahkan bahawa tiada hadiah di sebaliknya, tetapi dia sentiasa boleh melakukannya, jadi ia tidak benar-benar mengubah apa-apa. Sudah tentu, anda akan mahu memilih pintu yang berbeza.

Jika anda tidak begitu memahami soalan dan memerlukan penjelasan yang lebih meyakinkan, klik pada pautan ini untuk dibawa ke aplikasi Flash kecil yang hebat yang akan membolehkan anda meneroka paradoks ini dengan lebih terperinci. Anda boleh bermain bermula dengan kira-kira 10 pintu dan kemudian secara beransur-ansur mencapai permainan dengan tiga pintu. Terdapat juga simulator di mana anda boleh bermain dengan sebarang bilangan pintu dari 3 hingga 50, atau menjalankan beberapa ribu simulasi dan melihat berapa kali anda akan menang jika anda bermain.

Pilih satu daripada tiga pintu - kebarangkalian untuk menang ialah 1/3. Kini anda mempunyai dua strategi: tukar pilihan anda selepas membuka pintu yang salah atau tidak. Jika anda tidak mengubah pilihan anda, maka kebarangkalian akan kekal 1/3, kerana pilihan akan datang hanya pada peringkat pertama, dan anda perlu meneka dengan segera. Jika anda berubah, maka anda boleh menang jika anda mula-mula memilih pintu yang salah (kemudian mereka membuka satu lagi yang salah, yang betul kekal - dengan mengubah keputusan anda, anda mengambilnya). Kebarangkalian untuk memilih pintu yang salah pada mulanya ialah 2/3 - jadi ternyata dengan mengubah keputusan anda, anda menggandakan kebarangkalian untuk menang.

Teguran dari cikgu matematik yang lebih tinggi dan pakar keseimbangan permainan Maxim Soldatov - Schreiber, tentu saja, tidak memilikinya, tetapi tanpa dia anda boleh memahami ini transformasi ajaib cukup keras

Dan sekali lagi mengenai paradoks Monty Hall

Bagi persembahan itu sendiri: walaupun lawan Monty Hall tidak mahir dalam matematik, dia pandai melakukannya. Inilah yang dia lakukan untuk mengubah sedikit permainan. Jika anda memilih pintu yang mempunyai hadiah di belakangnya, yang mempunyai 1/3 peluang untuk berlaku, ia akan sentiasa memberi anda pilihan untuk memilih pintu lain. Anda akan memilih kereta dan kemudian menukarnya dengan kambing dan anda akan kelihatan agak bodoh - itulah yang anda mahukan kerana Hall adalah jenis lelaki yang jahat.

Tetapi jika anda memilih pintu yang tidak mempunyai hadiah di belakangnya, dia hanya akan meminta anda memilih satu lagi separuh masa, atau dia hanya akan menunjukkan kepada anda kambing baru anda dan anda akan meninggalkan pentas. Mari analisa ini permainan baru, di mana Monty Hall boleh memutuskan sama ada akan menawarkan anda peluang untuk memilih pintu lain atau tidak.

Katakan dia mengikuti algoritma ini: jika anda memilih pintu dengan hadiah, dia sentiasa menawarkan anda peluang untuk memilih pintu lain, jika tidak, dia juga mungkin menawarkan anda untuk memilih pintu lain atau memberi anda seekor kambing. Apakah kebarangkalian anda untuk menang?

Dalam salah satu tiga pilihan anda segera memilih pintu di belakang tempat hadiah itu terletak, dan penyampai menjemput anda untuk memilih satu lagi.

Daripada baki dua pilihan daripada tiga (anda pada mulanya memilih pintu tanpa hadiah), dalam separuh kes penyampai akan menawarkan anda untuk menukar keputusan anda, dan dalam separuh lagi kes - tidak.

Separuh daripada 2/3 ialah 1/3, iaitu, dalam satu daripada tiga anda akan mendapat seekor kambing, dalam satu daripada tiga anda akan memilih pintu yang salah dan tuan rumah akan meminta anda memilih yang lain, dan dalam satu kes daripada tiga anda akan memilih pintu yang betul, tetapi dia sekali lagi dia akan menawarkan satu lagi.

Jika penyampai menawarkan untuk memilih pintu lain, kita sudah tahu bahawa satu kes daripada tiga, apabila dia memberi kita kambing dan kita pergi, tidak berlaku. ini maklumat yang berguna: bermakna peluang kita untuk menang telah berubah. Dua daripada tiga kes apabila kita mempunyai peluang untuk memilih: dalam satu kes ia bermakna kita meneka dengan betul, dan dalam kes lain kita meneka salah, jadi jika kita ditawarkan peluang untuk memilih sama sekali, maka kebarangkalian kemenangan kita ialah 1/2 , dan dari sudut pandangan matematik, tidak kira sama ada anda kekal dengan pilihan anda atau memilih pintu lain.

Seperti poker, ia adalah permainan psikologi, bukan permainan matematik. Mengapa Monty menawarkan anda pilihan? Dia fikir anda adalah orang yang tidak tahu bahawa memilih pintu lain adalah keputusan "betul" dan akan berdegil berpegang pada pilihannya (lagipun, secara psikologi keadaan menjadi lebih rumit, apabila anda memilih kereta dan kemudian kehilangannya)?

Atau adakah dia, memutuskan bahawa anda bijak dan akan memilih pintu lain, menawarkan anda peluang ini kerana dia tahu bahawa anda meneka dengan betul pada mulanya dan akan ketagih? Atau mungkin dia bersikap baik secara luar biasa dan mendorong anda melakukan sesuatu yang akan memberi manfaat kepada anda kerana dia sudah lama tidak memberikan kereta dan penerbit mengatakan penonton semakin bosan dan lebih baik untuk memberikan hadiah besar tidak lama lagi. rating jatuh?

Dengan cara ini, Monty berjaya kadangkala menawarkan pilihan, dan pada masa yang sama kebarangkalian keseluruhan kemenangan kekal sama dengan 1/3. Ingat bahawa kebarangkalian anda akan kalah secara langsung ialah 1/3. Kebarangkalian anda akan meneka dengan betul serta-merta ialah 1/3, dan 50% daripada masa tersebut anda akan menang (1/3 x 1/2 = 1/6).

Peluang anda salah meneka pada mulanya tetapi kemudian mempunyai peluang untuk memilih pintu lain ialah 1/3, dan separuh daripada masa itu anda akan menang (juga 1/6). Tambahkan dua kemungkinan kemenangan bebas dan anda mendapat kebarangkalian 1/3, jadi tidak kira sama ada anda tetap dengan pilihan anda atau memilih pintu lain - kebarangkalian keseluruhan anda untuk menang sepanjang permainan ialah 1/3.

Kebarangkalian tidak menjadi lebih besar daripada dalam situasi apabila anda meneka pintu dan penyampai hanya menunjukkan kepada anda apa yang ada di belakangnya, tanpa menawarkan untuk memilih yang lain. Maksud cadangan itu bukan untuk mengubah kebarangkalian, tetapi untuk menjadikan proses membuat keputusan lebih menyeronokkan untuk ditonton di televisyen.

Ngomong-ngomong, ini adalah salah satu sebab mengapa poker boleh menjadi sangat menarik: dalam kebanyakan format, antara pusingan apabila pertaruhan dibuat (contohnya, kegagalan, pusingan dan sungai di Texas Hold'em), kad diturunkan secara beransur-ansur, dan jika pada permulaan permainan anda mempunyai satu peluang untuk menang , maka selepas setiap pusingan pertaruhan, apabila ia dibuka lebih banyak kad, kebarangkalian ini berubah.

Paradoks lelaki dan perempuan

Ini membawa kita kepada satu lagi paradoks yang terkenal, yang, sebagai peraturan, membingungkan semua orang - paradoks lelaki dan perempuan itu. Satu-satunya perkara yang saya tulis hari ini yang tidak berkaitan secara langsung dengan permainan (walaupun saya rasa saya hanya sepatutnya menggalakkan anda mencipta mekanik permainan yang sesuai). Ini lebih kepada teka-teki, tetapi yang menarik, dan untuk menyelesaikannya, anda perlu memahami kebarangkalian bersyarat, yang kita bincangkan di atas.

Masalah: Saya mempunyai seorang kawan dengan dua orang anak, sekurang-kurangnya seorang daripada mereka adalah perempuan. Apakah kebarangkalian bahawa anak kedua juga perempuan? Mari kita anggap bahawa dalam mana-mana keluarga peluang untuk mempunyai seorang gadis dan lelaki adalah 50/50, dan ini adalah benar untuk setiap kanak-kanak.

Malah, sesetengah lelaki mempunyai lebih banyak sperma dengan kromosom X atau kromosom Y dalam sperma mereka, jadi kemungkinannya berubah sedikit. Jika anda tahu bahawa seorang anak adalah perempuan, kemungkinan untuk mempunyai anak perempuan kedua adalah lebih tinggi sedikit, dan terdapat keadaan lain, seperti hermafroditisme. Tetapi untuk menyelesaikan masalah ini, kami tidak akan mengambil kira ini dan menganggap bahawa kelahiran seorang kanak-kanak adalah acara bebas dan kelahiran seorang lelaki dan perempuan adalah sama besar kemungkinannya.

Memandangkan kita bercakap tentang peluang 1/2, secara intuitif kita menjangkakan bahawa kemungkinan besar jawapannya ialah 1/2 atau 1/4, atau beberapa nombor lain yang merupakan gandaan dua dalam penyebut. Tetapi jawapannya ialah 1/3. kenapa?

Kesukaran di sini ialah maklumat yang kami ada mengurangkan bilangan kemungkinan. Katakan ibu bapa adalah peminat Sesame Street dan, tanpa mengira jantina kanak-kanak, menamakan mereka A dan B. Dalam keadaan biasa, terdapat empat kemungkinan yang sama: A dan B ialah dua lelaki, A dan B ialah dua perempuan, A ialah lelaki dan B ialah perempuan, A ialah perempuan dan B ialah lelaki. Oleh kerana kita tahu bahawa sekurang-kurangnya seorang kanak-kanak adalah perempuan, kita boleh menolak kemungkinan bahawa A dan B adalah dua lelaki. Ini memberi kita tiga kemungkinan - masih sama kemungkinannya. Jika semua kemungkinan adalah sama kemungkinan dan terdapat tiga daripadanya, maka kebarangkalian setiap satu daripadanya ialah 1/3. Hanya dalam satu daripada tiga pilihan ini kedua-dua kanak-kanak perempuan, jadi jawapannya ialah 1/3.

Dan sekali lagi tentang paradoks lelaki dan perempuan

Penyelesaian kepada masalah menjadi lebih tidak logik. Bayangkan kawan saya ada dua orang anak dan seorang daripadanya perempuan yang lahir pada hari Selasa. Mari kita anggap bahawa dalam keadaan biasa seorang kanak-kanak boleh dilahirkan pada setiap tujuh hari dalam seminggu dengan kebarangkalian yang sama. Apakah kebarangkalian bahawa anak kedua juga perempuan?

Anda mungkin fikir jawapannya masih 1/3: apakah kepentingan hari Selasa? Tetapi walaupun dalam kes ini, intuisi kita gagal. Jawapannya ialah 13/27, yang bukan sahaja tidak intuitif, tetapi sangat pelik. Apa masalah dalam kes ini?

Malah, hari Selasa mengubah kebarangkalian kerana kita tidak tahu anak mana yang dilahirkan pada hari Selasa, atau mungkin kedua-duanya dilahirkan pada hari Selasa. Dalam kes ini, kami menggunakan logik yang sama: kami mengira segala-galanya kombinasi yang mungkin, apabila sekurang-kurangnya seorang anak adalah perempuan yang lahir pada hari Selasa. Seperti dalam contoh sebelumnya, mari kita anggap bahawa kanak-kanak itu dinamakan A dan B. Gabungan kelihatan seperti ini:

• A ialah perempuan yang dilahirkan pada hari Selasa, B ialah lelaki (dalam situasi ini terdapat 7 kemungkinan, satu untuk setiap hari dalam seminggu apabila seorang lelaki boleh dilahirkan).
• B ialah perempuan yang lahir pada hari Selasa, A ialah lelaki (juga 7 kemungkinan).
• A - seorang gadis yang dilahirkan pada hari Selasa, B - seorang gadis yang dilahirkan pada hari lain dalam seminggu (6 kemungkinan).
• B ialah perempuan yang lahir pada hari Selasa, A ialah perempuan yang tidak lahir pada hari Selasa (juga 6 kebarangkalian).
• A dan B adalah dua gadis yang dilahirkan pada hari Selasa (1 kemungkinan, anda perlu memberi perhatian kepada ini supaya tidak mengira dua kali).

Kami menjumlahkan dan mendapat 27 kombinasi kelahiran kanak-kanak dan hari yang sama mungkin berbeza dengan sekurang-kurangnya satu kemungkinan seorang gadis dilahirkan pada hari Selasa. Daripada jumlah ini, terdapat 13 kemungkinan apabila dua anak perempuan dilahirkan. Ini juga nampaknya tidak logik - nampaknya tugasan ini dicipta hanya untuk menyebabkan sakit kepala. Jika anda masih hairan, laman web ahli teori permainan Jesper Juhl mempunyai penjelasan yang baik tentang isu ini.

Jika anda sedang mengusahakan permainan

Jika terdapat rawak dalam permainan yang anda reka, ini adalah masa yang tepat untuk menganalisisnya. Pilih beberapa elemen yang ingin anda analisis. Mula-mula tanya diri anda apa yang anda jangkakan kebarangkaliannya daripada unsur ini, apa yang sepatutnya dalam konteks permainan.

Sebagai contoh, jika anda membuat RPG dan anda tertanya-tanya apakah kebarangkalian pemain itu akan mengalahkan raksasa dalam pertempuran, tanya diri anda apakah peratusan kemenangan yang anda rasa sesuai untuk anda. Biasanya dengan RPG konsol, pemain berasa sangat kecewa apabila mereka kalah, jadi lebih baik jika mereka kalah jarang - 10% daripada masa atau kurang. Jika anda seorang pereka RPG, anda mungkin tahu lebih baik daripada saya, tetapi anda perlu mempunyai idea asas, apakah kebarangkalian yang sepatutnya.

Kemudian tanya diri anda sama ada kebarangkalian anda bergantung (seperti dengan kad) atau bebas (seperti dengan dadu). Menganalisis semua kemungkinan hasil dan kebarangkaliannya. Pastikan jumlah semua kebarangkalian adalah 100%. Dan, tentu saja, bandingkan hasil yang diperoleh dengan jangkaan anda. Adakah anda boleh membaling dadu atau melukis kad seperti yang anda mahukan, atau adakah jelas bahawa nilainya perlu diselaraskan. Dan, sudah tentu, jika anda mendapati sebarang kekurangan, anda boleh menggunakan pengiraan yang sama untuk menentukan berapa banyak untuk menukar nilai.

Kerja rumah

milik awak kerja rumah” minggu ini akan membantu anda mengasah kemahiran kebarangkalian anda. Berikut adalah dua permainan dadu dan permainan kad yang akan anda analisis menggunakan kebarangkalian, serta mekanik permainan aneh yang pernah saya bangunkan yang akan menguji kaedah Monte Carlo.

Permainan #1 - Tulang Naga

Ini adalah permainan dadu yang pernah saya dan rakan sekerja saya buat (terima kasih kepada Jeb Heavens dan Jesse King) - ia secara khusus memeranjatkan fikiran orang ramai dengan kebarangkaliannya. Ia adalah permainan kasino ringkas yang dipanggil Dragon Dice, dan ia adalah pertandingan dadu perjudian antara pemain dan rumah.

Anda diberi die 1d6 biasa. Matlamat permainan ini adalah untuk melancarkan nombor yang lebih tinggi daripada rumah. Tom diberi 1d6 bukan standard - sama seperti anda, tetapi pada salah satu wajahnya dan bukannya unit terdapat imej naga (oleh itu, kasino mempunyai kiub naga - 2-3-4-5-6 ). Jika rumah itu mendapat naga, ia secara automatik menang dan anda kalah. Jika kedua-duanya mendapat nombor yang sama- ia adalah seri dan anda membaling dadu sekali lagi. Orang yang melancarkan nombor tertinggi menang.

Sudah tentu, semuanya tidak berfungsi sepenuhnya memihak kepada pemain, kerana kasino mempunyai kelebihan dalam bentuk kelebihan naga. Tetapi adakah ini benar-benar benar? Inilah yang anda perlu kira. Tetapi semak intuisi anda terlebih dahulu.

Katakan kemungkinannya adalah 2 berbanding 1. Jadi jika anda menang, anda mengekalkan pertaruhan anda dan mendapat dua kali ganda pertaruhan anda. Sebagai contoh, jika anda bertaruh 1 dolar dan menang, anda menyimpan dolar itu dan mendapat 2 lagi di atas, dengan jumlah 3 dolar. Jika anda kalah, anda hanya kehilangan pertaruhan anda. Adakah anda akan bermain? Adakah anda secara intuitif merasakan bahawa kebarangkalian adalah lebih besar daripada 2 berbanding 1, atau adakah anda masih berfikir bahawa ia adalah kurang? Dalam erti kata lain, secara purata lebih daripada 3 perlawanan, adakah anda menjangkakan untuk menang lebih daripada sekali, atau kurang, atau sekali?

Sebaik sahaja anda mengetahui intuisi anda, gunakan matematik. Terdapat hanya 36 kemungkinan kedudukan untuk kedua-dua dadu, jadi anda boleh mengira semuanya tanpa masalah. Jika anda tidak pasti tentang tawaran 2-untuk-1 itu, pertimbangkan perkara ini: Katakan anda bermain permainan 36 kali (pertaruhan $1 setiap kali). Untuk setiap kemenangan anda mendapat 2 dolar, untuk setiap kerugian anda kehilangan 1, dan keputusan seri tidak mengubah apa-apa. Kira semua kemungkinan kemenangan dan kerugian anda dan tentukan sama ada anda akan kehilangan atau mendapat beberapa dolar. Kemudian tanya diri anda sejauh mana intuisi anda betul. Dan kemudian sedar betapa penjahat saya.

Dan, ya, jika anda sudah memikirkan soalan ini - saya sengaja mengelirukan anda dengan menyalahgambarkan mekanik sebenar permainan dadu, tetapi saya pasti anda boleh mengatasi halangan ini hanya dengan sedikit pemikiran. Cuba selesaikan masalah ini sendiri.

Permainan No. 2 - Baling untuk nasib

ini perjudian dalam dadu yang dipanggil "Luck Throw" (juga "Birdcage" kerana kadangkala dadu tidak digulung tetapi diletakkan di dalam sangkar dawai yang besar, mengingatkan sangkar dari Bingo). Permainan ini mudah dan pada asasnya bermuara kepada ini: pertaruhan, katakan, $1 pada nombor dari 1 hingga 6. Kemudian anda melancarkan 3d6. Untuk setiap mati yang mendapat nombor anda, anda mendapat $1 (dan mengekalkan pertaruhan asal anda). Jika nombor anda tidak muncul pada mana-mana dadu, kasino mendapat dolar anda dan anda tidak mendapat apa-apa. Jadi jika anda bertaruh pada 1 dan anda mendapat 1 pada sisi tiga kali, anda mendapat $3.

Secara intuitif nampaknya permainan ini mempunyai peluang yang sama. Setiap mati adalah individu 1 dalam 6 peluang untuk menang, jadi atas jumlah tiga gulungan, peluang anda untuk menang ialah 3 dalam 6. Walau bagaimanapun, sudah tentu, ingat bahawa anda menambah tiga dadu berasingan, dan anda hanya dibenarkan untuk tambah jika kita bercakap tentang kombinasi kemenangan yang berasingan daripada dadu yang sama. Sesuatu yang anda perlukan untuk membiak.

Sebaik sahaja anda mengira semua hasil yang mungkin (mungkin lebih mudah dilakukan dalam Excel berbanding dengan tangan, kerana terdapat 216 daripadanya), permainan ini masih kelihatan ganjil-genap pada pandangan pertama. Malah, kasino masih mempunyai peluang yang lebih baik untuk menang - apatah lagi? Secara khusus, berapa banyak wang secara purata yang anda jangkakan untuk kehilangan setiap pusingan permainan?

Apa yang anda perlu lakukan ialah menjumlahkan kemenangan dan kekalahan semua 216 keputusan dan kemudian bahagikan dengan 216, yang sepatutnya agak mudah. Tetapi, seperti yang anda boleh lihat, terdapat beberapa perangkap di sini, itulah sebabnya saya berkata: jika anda fikir permainan ini mempunyai peluang yang sama untuk menang, anda mempunyai semuanya salah.

Permainan #3 - 5 Card Stud Poker

Jika anda sudah memanaskan diri dengan permainan sebelumnya, mari lihat perkara yang kami ketahui kebarangkalian bersyarat, menggunakan permainan kad ini sebagai contoh. Mari bayangkan permainan poker dengan dek 52 kad. Mari kita bayangkan juga 5 kad stud, di mana setiap pemain hanya menerima 5 kad. Anda tidak boleh membuang kad, anda tidak boleh melukis yang baharu, tiada dek kongsi - anda hanya mendapat 5 kad.

Royal Flush ialah 10-J-Q-K-A dalam satu tangan, terdapat empat kesemuanya, jadi terdapat empat cara yang mungkin mendapat siram diraja. Kira kebarangkalian anda akan mendapat satu kombinasi tersebut.

Saya mesti memberi amaran kepada anda tentang satu perkara: ingat bahawa anda boleh menarik lima kad ini dalam sebarang susunan. Iaitu, pertama anda boleh melukis ace atau sepuluh, tidak mengapa. Oleh itu, semasa anda membuat pengiraan, perlu diingat bahawa sebenarnya terdapat lebih daripada empat cara untuk mendapatkan royal flush, dengan mengandaikan kad telah diuruskan mengikut urutan.

Permainan No. 4 - Loteri IMF

Masalah keempat tidak dapat diselesaikan dengan begitu mudah menggunakan kaedah yang kita bincangkan hari ini, tetapi anda boleh mensimulasikan situasi dengan mudah menggunakan pengaturcaraan atau Excel. Pada contoh masalah ini, anda boleh menggunakan kaedah Monte Carlo.

Saya menyebut sebelum ini permainan Chron X, yang pernah saya kerjakan, dan terdapat satu kad yang sangat menarik di sana - loteri IMF. Begini cara ia berfungsi: anda menggunakannya dalam permainan. Selepas pusingan tamat, kad telah diedarkan semula, dan terdapat 10% kemungkinan bahawa kad itu akan dimatikan dan pemain rawak akan menerima 5 unit bagi setiap jenis sumber yang tokennya terdapat pada kad tersebut. Kad itu dimasukkan ke dalam permainan tanpa satu cip, tetapi setiap kali ia kekal dalam permainan pada permulaan pusingan seterusnya, ia menerima satu cip.

Jadi terdapat peluang 10% bahawa jika anda memainkannya, pusingan akan tamat, kad akan meninggalkan permainan, dan tiada siapa yang akan mendapat apa-apa. Jika ini tidak berlaku (90% peluang), terdapat 10% peluang (sebenarnya 9%, kerana ia adalah 10% daripada 90%) bahawa pada pusingan seterusnya dia akan meninggalkan permainan dan seseorang akan menerima 5 unit sumber. Jika kad meninggalkan permainan selepas satu pusingan (10% daripada 81% yang tersedia, jadi kebarangkalian adalah 8.1%), seseorang akan menerima 10 unit, satu lagi pusingan - 15, satu lagi - 20, dan seterusnya. Soalan: Apakah nilai jangkaan umum bilangan sumber yang anda akan dapat daripada kad ini apabila ia akhirnya meninggalkan permainan?

Biasanya kami akan cuba menyelesaikan masalah ini dengan mengira kemungkinan setiap hasil dan darab dengan bilangan semua hasil. Terdapat 10% peluang anda akan mendapat 0 (0.1 * 0 = 0). 9% bahawa anda akan menerima 5 unit sumber (9% * 5 = 0.45 sumber). 8.1% daripada apa yang anda akan dapat ialah 10 (8.1%*10=0.81 sumber - nilai jangkaan keseluruhan). Dan sebagainya. Dan kemudian kami akan merumuskan semuanya.

Dan kini masalahnya jelas kepada anda: sentiasa ada peluang bahawa kad itu tidak akan meninggalkan permainan, ia boleh kekal dalam permainan selama-lamanya, kerana nombor tak terhingga pusingan, jadi tiada cara untuk mengira setiap kebarangkalian. Kaedah yang kami pelajari hari ini tidak membenarkan kami mengira rekursi tak terhingga, jadi kami perlu menciptanya secara buatan.

Jika anda cukup mahir dalam pengaturcaraan, tulis program yang akan mensimulasikan peta ini. Anda sepatutnya mempunyai gelung masa yang membawa pembolehubah ke kedudukan awal sifar, menunjukkan nombor rawak dan dengan kebarangkalian 10% pembolehubah keluar dari gelung. Jika tidak, ia menambah 5 kepada pembolehubah dan gelung berulang. Apabila ia akhirnya keluar dari gelung, tambahkan jumlah bilangan percubaan yang dijalankan sebanyak 1 dan jumlah bilangan sumber (mengikut jumlah bergantung pada tempat pembolehubah itu berakhir). Kemudian tetapkan semula pembolehubah dan mulakan semula.

Jalankan program beberapa ribu kali. Pada akhirnya, bahagikan jumlah sumber dengan jumlah larian - ini akan menjadi nilai Monte Carlo yang anda harapkan. Jalankan program beberapa kali untuk memastikan bahawa nombor yang anda dapat adalah lebih kurang sama. Jika serakan masih besar, tambahkan bilangan ulangan dalam gelung luar sehingga anda mula mendapat padanan. Anda boleh yakin bahawa apa-apa nombor yang anda perolehi adalah lebih kurang betul.

Jika anda baru dalam pengaturcaraan (walaupun anda tahu), berikut ialah latihan pantas untuk menguji kemahiran Excel anda. Jika anda seorang pereka permainan, kemahiran ini tidak akan berlebihan.

Kini fungsi if dan rand akan sangat berguna kepada anda. Rand tidak memerlukan nilai, ia hanya menghasilkan nilai rawak nombor perpuluhan dari 0 hingga 1. Kami biasanya menggabungkannya dengan lantai dan tambah dan tolak untuk mensimulasikan gulungan dadu yang saya nyatakan tadi. Walau bagaimanapun, dalam kes ini, kami hanya meninggalkan peluang 10% bahawa kad itu akan meninggalkan permainan, jadi kami hanya boleh menyemak sama ada nilai rand kurang daripada 0.1 dan tidak perlu risau lagi.

Jika mempunyai tiga makna. Mengikut urutan: syarat yang sama ada benar atau palsu, kemudian nilai yang dikembalikan jika syarat itu benar, dan nilai yang dikembalikan jika syarat itu palsu. Jadi fungsi seterusnya akan mengembalikan 5% masa, dan 0 baki 90% masa: =IF(RAND()<0.1,5,0) .

Terdapat banyak cara untuk menetapkan arahan ini, tetapi saya akan menggunakan formula ini untuk sel yang mewakili pusingan pertama, katakan ia sel A1: =IF(RAND()<0.1,0,-1) .

Di sini saya menggunakan pembolehubah negatif untuk bermaksud "kad ini belum meninggalkan permainan dan belum melepaskan sebarang sumber lagi." Jadi jika pusingan pertama telah tamat dan kad keluar bermain, A1 ialah 0; sebaliknya ia adalah –1.

Untuk sel seterusnya yang mewakili pusingan kedua: =IF(A1>-1, A1, IF(RAND()<0.1,5,-1)) . Jadi jika pusingan pertama tamat dan kad segera meninggalkan permainan, A1 ialah 0 (bilangan sumber) dan sel ini hanya akan menyalin nilai tersebut. Jika tidak, A1 ialah -1 (kad masih belum meninggalkan permainan), dan sel ini terus bergerak secara rawak: 10% daripada masa ia akan mengembalikan 5 unit sumber, selebihnya nilainya masih sama dengan -1. Jika kami menggunakan formula ini pada sel tambahan, kami mendapat pusingan tambahan, dan mana-mana sel yang anda hadapi akan memberikan anda keputusan akhir (atau -1 jika kad tidak pernah meninggalkan permainan selepas semua pusingan yang anda mainkan).

Ambil baris sel itu, yang mewakili satu-satunya pusingan dengan kad itu, dan salin dan tampal beberapa ratus (atau seribu) baris. Kami mungkin tidak dapat melakukan ujian tak terhingga untuk Excel (terdapat bilangan sel yang terhad dalam jadual), tetapi sekurang-kurangnya kami boleh menampung kebanyakan kes. Kemudian pilih satu sel di mana anda akan meletakkan purata keputusan semua pusingan - Excel membantu menyediakan fungsi purata() untuk ini.

Pada Windows, anda sekurang-kurangnya boleh menekan F9 untuk mengira semula semua nombor rawak. Seperti sebelum ini, lakukan ini beberapa kali dan lihat jika anda mendapat nilai yang sama. Jika hamparan terlalu besar, gandakan bilangan larian dan cuba lagi.

Masalah yang tidak dapat diselesaikan

Sekiranya anda mempunyai ijazah dalam teori kebarangkalian dan masalah di atas kelihatan terlalu mudah kepada anda, berikut adalah dua masalah yang saya telah menggaru kepala saya selama bertahun-tahun, tetapi malangnya saya tidak cukup mahir dalam matematik untuk menyelesaikannya.

Masalah Tidak Selesai #1: Loteri IMF

Masalah pertama yang belum selesai ialah tugasan kerja rumah sebelum ini. Saya boleh menggunakan kaedah Monte Carlo dengan mudah (menggunakan C++ atau Excel) dan yakin dengan jawapan kepada soalan "berapa banyak sumber yang akan diterima oleh pemain", tetapi saya tidak tahu dengan tepat cara memberikan jawapan yang boleh dibuktikan secara matematik (ia adalah siri yang tidak terhingga).

Masalah tidak diselesaikan #2: Urutan rajah

Masalah ini (ia juga melangkaui tugas-tugas yang diselesaikan dalam blog ini) telah diberikan kepada saya oleh rakan gamer lebih sepuluh tahun yang lalu. Semasa bermain blackjack di Vegas, dia melihat satu perkara yang menarik: apabila dia mengeluarkan kad dari kasut 8 dek, dia melihat sepuluh angka berturut-turut (angka atau kad muka ialah 10, Joker, King atau Queen, jadi terdapat 16 dalam. jumlah dalam kad 52 dek standard atau 128 dalam kasut kad 416).

Apakah kebarangkalian bahawa kasut ini mengandungi sekurang-kurangnya satu urutan sepuluh atau lebih angka? Mari kita anggap bahawa mereka telah dikocok secara adil, dalam susunan rawak. Atau, jika anda lebih suka, apakah kebarangkalian bahawa urutan sepuluh atau lebih angka tidak berlaku di mana-mana sahaja?

Kita boleh memudahkan tugas. Berikut adalah urutan 416 bahagian. Setiap bahagian ialah 0 atau 1. Terdapat 128 satu dan 288 sifar bertaburan secara rawak sepanjang jujukan. Berapa banyak cara yang ada untuk menyelang secara rawak 128 yang dengan 288 sifar, dan berapa kali dalam cara ini sekurang-kurangnya satu kumpulan sepuluh atau lebih yang akan berlaku?

Setiap kali saya mula menyelesaikan masalah ini, ia kelihatan mudah dan jelas kepada saya, tetapi sebaik sahaja saya menyelidiki butirannya, ia tiba-tiba runtuh dan kelihatan mustahil.

Oleh itu, jangan tergesa-gesa untuk menjawab jawapan: duduk, fikir dengan teliti, kaji syarat-syarat, cuba masukkan nombor nyata, kerana semua orang yang saya bercakap tentang masalah ini (termasuk beberapa pelajar siswazah yang bekerja dalam bidang ini) memberi reaksi tentang yang sama: "Ia benar-benar jelas... oh, tidak, tunggu, ia tidak jelas sama sekali." Ini berlaku apabila saya tidak mempunyai kaedah untuk mengira semua pilihan. Saya boleh, sudah tentu, memaksa masalah melalui algoritma komputer, tetapi ia akan menjadi lebih menarik untuk mengetahui penyelesaian matematik.

Teori ringkas

Untuk membandingkan peristiwa secara kuantitatif mengikut tahap kemungkinan kejadiannya, ukuran berangka diperkenalkan, yang dipanggil kebarangkalian kejadian. Kebarangkalian kejadian rawak ialah nombor yang menyatakan ukuran kemungkinan objektif sesuatu peristiwa berlaku.

Kuantiti yang menentukan betapa pentingnya sebab objektif untuk menjangkakan kejadian sesuatu peristiwa dicirikan oleh kebarangkalian kejadian itu. Perlu ditekankan bahawa kebarangkalian ialah kuantiti objektif yang wujud secara bebas daripada yang mengetahui dan dikondisikan oleh keseluruhan set keadaan yang menyumbang kepada kejadian sesuatu peristiwa.

Penjelasan yang telah kami berikan untuk konsep kebarangkalian bukanlah definisi matematik, kerana ia tidak mengukur konsep tersebut. Terdapat beberapa takrifan kebarangkalian kejadian rawak, yang digunakan secara meluas dalam menyelesaikan masalah tertentu (klasik, takrifan geometri kebarangkalian, statistik, dsb.).

Takrif klasik kebarangkalian peristiwa mengurangkan konsep ini kepada konsep yang lebih asas tentang peristiwa yang sama mungkin, yang tidak lagi tertakluk kepada definisi dan diandaikan jelas secara intuitif. Sebagai contoh, jika dadu ialah kubus homogen, maka kehilangan mana-mana muka kubus ini akan menjadi peristiwa yang sama mungkin.

Biarkan acara yang boleh dipercayai dibahagikan kepada kes yang sama mungkin, yang jumlahnya memberikan acara itu. Iaitu, kes-kes di mana ia rosak dipanggil sesuai untuk acara itu, kerana kemunculan salah satu daripadanya memastikan kejadian itu.

Kebarangkalian sesuatu peristiwa akan dilambangkan dengan simbol.

Kebarangkalian sesuatu peristiwa adalah sama dengan nisbah bilangan kes yang menguntungkannya, daripada jumlah bilangan kes unik yang mungkin, sama mungkin dan tidak serasi, kepada bilangan, i.e.

Ini ialah takrifan klasik bagi kebarangkalian. Oleh itu, untuk mencari kebarangkalian sesuatu peristiwa, adalah perlu, setelah mempertimbangkan pelbagai hasil ujian, untuk mencari satu set kes yang mungkin unik, sama mungkin dan tidak serasi, hitung jumlah bilangannya n, bilangan kes m yang sesuai untuk peristiwa tertentu, dan kemudian lakukan pengiraan menggunakan formula di atas.

Kebarangkalian sesuatu peristiwa yang sama dengan nisbah bilangan hasil eksperimen yang menguntungkan peristiwa itu kepada jumlah bilangan hasil eksperimen dipanggil kebarangkalian klasik peristiwa rawak.

Sifat kebarangkalian berikut mengikut definisi:

Harta 1. Kebarangkalian peristiwa yang boleh dipercayai adalah sama dengan satu.

Sifat 2. Kebarangkalian kejadian mustahil ialah sifar.

Sifat 3. Kebarangkalian kejadian rawak ialah nombor positif antara sifar dan satu.

Harta 4. Kebarangkalian berlakunya peristiwa yang membentuk kumpulan lengkap adalah sama dengan satu.

Sifat 5. Kebarangkalian berlakunya peristiwa berlawanan ditentukan dengan cara yang sama seperti kebarangkalian kejadian A.

Bilangan kes yang memihak kepada kejadian yang bertentangan. Oleh itu kebarangkalian berlakunya peristiwa bertentangan adalah sama dengan perbezaan antara perpaduan dan kebarangkalian kejadian A:

Kelebihan penting definisi klasik tentang kebarangkalian sesuatu peristiwa ialah dengan bantuannya kebarangkalian sesuatu peristiwa boleh ditentukan tanpa menggunakan pengalaman, tetapi berdasarkan penaakulan logik.

Apabila satu set syarat dipenuhi, peristiwa yang boleh dipercayai pasti akan berlaku, tetapi peristiwa yang mustahil pasti tidak akan berlaku. Antara peristiwa yang mungkin berlaku atau tidak apabila satu set syarat dicipta, kejadian sesetengahnya boleh dikira dengan alasan yang munasabah, dan kejadian yang lain dengan alasan yang kurang. Jika, sebagai contoh, terdapat lebih banyak bola putih dalam tempayan daripada bola hitam, maka terdapat lebih banyak sebab untuk mengharapkan kemunculan bola putih apabila diambil dari tempayan secara rawak daripada kemunculan bola hitam.

Halaman seterusnya membincangkan.

Contoh penyelesaian masalah

Contoh 1

Sebuah kotak mengandungi 8 bola putih, 4 bola hitam dan 7 bola merah. 3 biji bola diambil secara rawak. Cari kebarangkalian bagi peristiwa berikut: – sekurang-kurangnya 1 bola merah ditarik, – terdapat sekurang-kurangnya 2 bola yang sama warna, – terdapat sekurang-kurangnya 1 bola merah dan 1 bola putih.

Penyelesaian masalah

Kami mencari jumlah bilangan hasil ujian sebagai bilangan gabungan 19 (8+4+7) elemen bagi 3:

Mari cari kebarangkalian kejadian itu– sekurang-kurangnya 1 bola merah ditarik (1,2 atau 3 bola merah)

Kebarangkalian yang diperlukan:

Biarkan acara itu– terdapat sekurang-kurangnya 2 bola dengan warna yang sama (2 atau 3 bola putih, 2 atau 3 bola hitam dan 2 atau 3 bola merah)

Bilangan hasil yang menguntungkan acara tersebut:

Kebarangkalian yang diperlukan:

Biarkan acara itu– terdapat sekurang-kurangnya satu bola merah dan 1 bola putih

(1 merah, 1 putih, 1 hitam atau 1 merah, 2 putih atau 2 merah, 1 putih)

Bilangan hasil yang menguntungkan acara tersebut:

Kebarangkalian yang diperlukan:

Jawapan: P(A)=0.773;P(C)=0.7688; P(D)=0.6068

Contoh 2

Dua dadu dilempar. Cari kebarangkalian bahawa jumlah mata adalah sekurang-kurangnya 5.

Penyelesaian

Biarkan acara itu mendapat markah sekurang-kurangnya 5

Mari kita gunakan definisi klasik kebarangkalian:

Jumlah bilangan hasil ujian yang mungkin

Bilangan percubaan yang memihak kepada acara yang diminati

Di bahagian yang dijatuhkan pada dadu pertama, satu mata, dua mata..., enam mata mungkin muncul. begitu juga, enam hasil adalah mungkin apabila melancarkan dadu kedua. Setiap hasil melontar dadu pertama boleh digabungkan dengan setiap keputusan dadu kedua. Oleh itu, jumlah bilangan hasil ujian asas yang mungkin adalah sama dengan bilangan peletakan dengan ulangan (pilihan dengan peletakan 2 elemen daripada set volum 6):

Mari kita cari kebarangkalian peristiwa bertentangan - jumlah mata adalah kurang daripada 5

Gabungan mata yang digugurkan berikut akan memihak kepada acara:

№

tulang pertama

tulang ke-2

1

1

1

2

1

2

3

2

1

4

3

1

5

1

3

Purata kos menyelesaikan ujian ialah 700 - 1200 rubel (tetapi tidak kurang daripada 300 rubel untuk keseluruhan pesanan). Harga sangat dipengaruhi oleh mendesak keputusan (dari sehari hingga beberapa jam). Kos bantuan dalam talian untuk peperiksaan/ujian adalah daripada 1000 rubel. untuk menyelesaikan tiket.

Anda boleh meninggalkan permintaan terus dalam sembang, setelah menghantar syarat tugasan sebelum ini dan memaklumkan anda tentang tarikh akhir untuk penyelesaian yang anda perlukan. Masa tindak balas adalah beberapa minit.

Contoh masalah yang berkaitan

Jumlah formula kebarangkalian. Formula Bayes
Menggunakan contoh penyelesaian masalah, jumlah formula kebarangkalian dan formula Bayes dipertimbangkan, dan ia juga dijelaskan apakah hipotesis dan kebarangkalian bersyarat.

Apabila syiling dilambung, kita boleh mengatakan bahawa ia akan mendarat, atau kebarangkalian ini ialah 1/2. Sudah tentu, ini tidak bermakna jika syiling dilambung 10 kali, ia semestinya akan mendarat di atas kepala sebanyak 5 kali. Jika syiling itu "adil" dan jika ia dilambung berkali-kali, maka kepala akan mendarat hampir separuh masa. Oleh itu, terdapat dua jenis kebarangkalian: percubaan Dan secara teori .

Kebarangkalian eksperimen dan teori

Jika kita membalikkan duit syiling banyak kali - katakan 1000 - dan mengira berapa kali ia mendarat di atas kepala, kita boleh menentukan kebarangkalian bahawa ia mendarat di atas kepala. Jika kepala dibaling 503 kali, kita boleh mengira kebarangkalian ia mendarat:
503/1000, atau 0.503.

ini percubaan definisi kebarangkalian. Takrifan kebarangkalian ini datang daripada pemerhatian dan kajian data dan agak biasa dan sangat berguna. Di sini, sebagai contoh, adalah beberapa kebarangkalian yang ditentukan secara eksperimen:

1. Kebarangkalian seorang wanita akan menghidap kanser payudara ialah 1/11.

2. Jika anda mencium seseorang yang mengalami selsema, maka kebarangkalian anda juga akan mendapat selsema ialah 0.07.

3. Seseorang yang baru dibebaskan dari penjara mempunyai 80% peluang untuk kembali ke penjara.

Jika kita mempertimbangkan untuk melambungkan syiling dan mengambil kira bahawa kemungkinan besar ia akan muncul sebagai kepala atau ekor, kita boleh mengira kebarangkalian mendapat kepala: 1/2 Ini adalah definisi teori kebarangkalian. Berikut adalah beberapa kebarangkalian lain yang telah ditentukan secara teori menggunakan matematik:

1. Jika terdapat 30 orang dalam sebuah bilik, kebarangkalian dua daripada mereka mempunyai hari lahir yang sama (tidak termasuk tahun) ialah 0.706.

2. Semasa perjalanan, anda bertemu seseorang, dan semasa perbualan anda mendapati bahawa anda mempunyai rakan bersama. Reaksi biasa: "Ini tidak boleh!" Malah, frasa ini tidak sesuai, kerana kebarangkalian kejadian sedemikian agak tinggi - lebih daripada 22%.

Oleh itu, kebarangkalian eksperimen ditentukan melalui pemerhatian dan pengumpulan data. Kebarangkalian teori ditentukan melalui penaakulan matematik. Contoh kebarangkalian eksperimen dan teori, seperti yang dibincangkan di atas, dan terutamanya yang tidak kita jangka, membawa kita kepada kepentingan mengkaji kebarangkalian. Anda mungkin bertanya, "Apakah kebarangkalian sebenar?" Sebenarnya, tidak ada perkara seperti itu. Kebarangkalian dalam had tertentu boleh ditentukan secara eksperimen. Ia mungkin atau mungkin tidak bertepatan dengan kebarangkalian yang kita perolehi secara teori. Terdapat situasi di mana ia adalah lebih mudah untuk menentukan satu jenis kebarangkalian daripada yang lain. Sebagai contoh, adalah mencukupi untuk mencari kebarangkalian diserang selsema menggunakan kebarangkalian teori.

Pengiraan kebarangkalian eksperimen

Mari kita pertimbangkan dahulu takrif eksperimen kebarangkalian. Prinsip asas yang kami gunakan untuk mengira kebarangkalian tersebut adalah seperti berikut.

Prinsip P (percubaan)

Jika dalam eksperimen di mana n pemerhatian dibuat, situasi atau peristiwa E berlaku m kali dalam n pemerhatian, maka kebarangkalian eksperimen bagi peristiwa itu dikatakan P (E) = m/n.

Contoh 1 Tinjauan sosiologi. Kajian eksperimen telah dijalankan untuk menentukan bilangan orang kidal, orang tangan kanan dan orang yang kedua-dua tangannya sama maju Hasilnya ditunjukkan dalam graf.

a) Tentukan kebarangkalian bahawa orang itu tangan kanan.

b) Tentukan kebarangkalian bahawa orang itu kidal.

c) Tentukan kebarangkalian seseorang itu sama fasih dalam kedua-dua belah tangan.

d) Kebanyakan kejohanan Persatuan Boling Profesional adalah terhad kepada 120 pemain. Berdasarkan data daripada eksperimen ini, berapa ramaikah pemain yang boleh menjadi kidal?

Penyelesaian

a) Bilangan orang yang kidal ialah 82, bilangan kidal ialah 17, dan bilangan mereka yang sama fasih dalam kedua-dua tangan ialah 1. Jumlah bilangan pemerhatian ialah 100. Oleh itu, kebarangkalian bahawa seseorang itu tangan kanan ialah P
P = 82/100, atau 0.82, atau 82%.

b) Kebarangkalian seseorang itu kidal ialah P, di mana
P = 17/100, atau 0.17, atau 17%.

c) Kebarangkalian seseorang itu sama fasih dalam kedua-dua belah tangan ialah P, di mana
P = 1/100, atau 0.01, atau 1%.

d) 120 pemain boling, dan daripada (b) kita boleh jangkakan bahawa 17% adalah kidal. Dari sini
17% daripada 120 = 0.17.120 = 20.4,
iaitu, kita boleh menjangkakan bahawa kira-kira 20 pemain adalah kidal.

Contoh 2 Kawalan kualiti . Adalah sangat penting bagi pengeluar untuk memastikan kualiti produknya pada tahap yang tinggi. Malah, syarikat mengupah pemeriksa kawalan kualiti untuk memastikan proses ini. Matlamatnya adalah untuk menghasilkan bilangan minimum produk yang rosak. Tetapi oleh kerana syarikat mengeluarkan beribu-ribu produk setiap hari, ia tidak mampu untuk menguji setiap produk untuk menentukan sama ada ia rosak atau tidak. Untuk mengetahui berapa peratus produk yang rosak, syarikat menguji produk yang jauh lebih sedikit.
USDA memerlukan 80% daripada benih yang dijual oleh penanam mesti bercambah. Untuk menentukan kualiti benih yang dikeluarkan oleh syarikat pertanian, 500 biji benih daripada yang dihasilkan ditanam. Selepas ini, dikira 417 biji bercambah.

a) Apakah kebarangkalian biji benih itu akan bercambah?

b) Adakah benih memenuhi piawaian kerajaan?

Penyelesaian a) Kita tahu bahawa daripada 500 biji benih yang ditanam, 417 biji bercambah. Kebarangkalian percambahan biji benih P, dan
P = 417/500 = 0.834, atau 83.4%.

b) Memandangkan peratusan benih bercambah telah melebihi 80% seperti yang diperlukan, benih memenuhi piawaian kerajaan.

Contoh 3 Penilaian televisyen. Menurut statistik, terdapat 105,500,000 isi rumah yang mempunyai televisyen di Amerika Syarikat. Setiap minggu, maklumat tentang melihat program dikumpul dan diproses. Dalam satu minggu, 7,815,000 isi rumah menonton siri komedi popular "Everybody Loves Raymond" di CBS dan 8,302,000 isi rumah telah menonton siri popular "Law & Order" di NBC (Sumber: Nielsen Media Research). Apakah kebarangkalian bahawa TV satu isi rumah ditala kepada "Everybody Loves Raymond" pada minggu tertentu kepada "Law & Order"?

Penyelesaian Kebarangkalian bahawa TV dalam satu isi rumah ditala kepada "Everybody Loves Raymond" ialah P, dan
P = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0.074 ≈ 7.4%.
Peluang bahawa TV isi rumah ditala ke Law & Order ialah P, dan
P = 8,302,000/105,500,000 ≈ 0.079 ≈ 7.9%.
Peratusan ini dipanggil penilaian.

Kebarangkalian teori

Katakan kita sedang menjalankan eksperimen, seperti membaling syiling atau dart, melukis kad dari geladak, atau menguji produk untuk kualiti pada barisan pemasangan. Setiap kemungkinan hasil eksperimen sedemikian dipanggil Keluaran . Set semua kemungkinan hasil dipanggil ruang hasil . Peristiwa ia adalah satu set hasil, iaitu subset ruang hasil.

Contoh 4 Melempar dart. Katakan dalam eksperimen melontar dart, dart mengenai sasaran. Cari setiap yang berikut:

b) Ruang hasil

Penyelesaian
a) Hasilnya ialah: memukul hitam (B), memukul merah (R) dan memukul putih (B).

b) Ruang hasil adalah (memukul hitam, memukul merah, memukul putih), yang boleh ditulis hanya sebagai (H, K, B).

Contoh 5 Melempar dadu. Dai ialah kubus dengan enam sisi, setiap satu dengan satu hingga enam titik di atasnya.


Katakan kita membaling dadu. Cari
a) Hasil
b) Ruang hasil

Penyelesaian
a) Hasil: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Ruang hasil (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Kami menandakan kebarangkalian bahawa peristiwa E berlaku sebagai P(E). Sebagai contoh, "syiling akan mendarat di atas kepala" boleh dilambangkan dengan H. Kemudian P(H) mewakili kebarangkalian bahawa syiling akan mendarat di atas kepala. Apabila semua hasil eksperimen mempunyai kebarangkalian yang sama untuk berlaku, ia dikatakan berkemungkinan sama. Untuk melihat perbezaan antara peristiwa yang berkemungkinan sama dan peristiwa yang tidak, pertimbangkan sasaran yang ditunjukkan di bawah.

Untuk sasaran A, peristiwa memukul hitam, merah dan putih adalah sama berkemungkinan, kerana sektor hitam, merah dan putih adalah sama. Walau bagaimanapun, untuk sasaran B, zon dengan warna ini adalah tidak sama, iaitu, tidak sama kemungkinan untuk memukulnya.

Prinsip P (Teori)

Jika suatu peristiwa E boleh berlaku dalam m jalan keluar daripada n kemungkinan hasil yang sama kemungkinan daripada ruang hasil S, maka kebarangkalian teori peristiwa, P(E) ialah
P(E) = m/n.

Contoh 6 Apakah kebarangkalian melempar dadu untuk mendapatkan 3?

Penyelesaian Terdapat 6 kemungkinan hasil yang sama pada sebiji dadu dan hanya ada satu kemungkinan untuk membaling nombor 3. Maka kebarangkalian P ialah P(3) = 1/6.

Contoh 7 Apakah kebarangkalian untuk melancarkan nombor genap pada dadu?

Penyelesaian Acara tersebut ialah melontar nombor genap. Ini boleh berlaku dalam 3 cara (jika anda melancarkan 2, 4 atau 6). Bilangan hasil yang berkemungkinan sama ialah 6. Kemudian kebarangkalian P(genap) = 3/6, atau 1/2.

Kami akan menggunakan beberapa contoh yang melibatkan dek kad 52 standard. Dek ini terdiri daripada kad yang ditunjukkan dalam rajah di bawah.

Contoh 8 Apakah kebarangkalian untuk menarik Ace daripada dek kad yang dikocok dengan baik?

Penyelesaian Terdapat 52 hasil (bilangan kad dalam dek), kemungkinannya sama (jika dek dikocok dengan baik), dan terdapat 4 cara untuk melukis Ace, jadi mengikut prinsip P, kebarangkalian
P(lukis ace) = 4/52, atau 1/13.

Contoh 9 Katakan kita memilih, tanpa melihat, satu bola dari beg dengan 3 bola merah dan 4 bola hijau. Apakah kebarangkalian untuk memilih bola merah?

Penyelesaian Terdapat 7 kemungkinan hasil yang sama untuk melukis sebarang bola, dan kerana bilangan cara untuk melukis bola merah ialah 3, kita dapat
P(pemilihan bola merah) = 3/7.

Pernyataan berikut adalah hasil daripada Prinsip P.

Sifat Kebarangkalian

a) Jika peristiwa E tidak boleh berlaku, maka P(E) = 0.
b) Jika peristiwa E pasti berlaku maka P(E) = 1.
c) Kebarangkalian peristiwa E akan berlaku ialah nombor dari 0 hingga 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Contohnya, dalam lambungan syiling, kejadian syiling itu mendarat di tepinya mempunyai kebarangkalian sifar. Kebarangkalian bahawa syiling adalah sama ada kepala atau ekor mempunyai kebarangkalian 1.

Contoh 10 Mari kita andaikan bahawa 2 kad diambil daripada dek 52 kad. Apakah kebarangkalian bahawa kedua-duanya adalah puncak?

Penyelesaian Bilangan n cara untuk menarik 2 kad daripada dek 52 kad yang dikocok dengan baik ialah 52 C 2 . Oleh kerana 13 daripada 52 kad ialah penyodok, bilangan cara m untuk menarik 2 penyodok ialah 13 C 2 . Kemudian,
P(menarik 2 puncak)= m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

Contoh 11 Katakan 3 orang dipilih secara rawak daripada sekumpulan 6 lelaki dan 4 perempuan. Apakah kebarangkalian bahawa 1 lelaki dan 2 wanita akan dipilih?

Penyelesaian Bilangan cara untuk memilih tiga orang daripada kumpulan 10 orang ialah 10 C 3. Seorang lelaki boleh dipilih dalam 6 C 1 cara, dan 2 wanita boleh dipilih dalam 4 C 2 cara. Mengikut prinsip asas mengira, bilangan cara untuk memilih 1 lelaki dan 2 wanita ialah 6 C 1. 4 C 2 . Maka, kebarangkalian bahawa 1 lelaki dan 2 perempuan akan dipilih ialah
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

Contoh 12 Melempar dadu. Apakah kebarangkalian membaling sejumlah 8 pada dua dadu?

Penyelesaian Setiap dadu mempunyai 6 kemungkinan hasil. Hasilnya adalah dua kali ganda, bermakna terdapat 6.6 atau 36 cara yang mungkin di mana nombor pada dua dadu boleh muncul. (Lebih baik jika kiub berbeza, katakan satu merah dan satu lagi biru - ini akan membantu menggambarkan hasilnya.)

Pasangan nombor yang menambah hingga 8 ditunjukkan dalam rajah di bawah. Terdapat 5 cara yang mungkin untuk mendapatkan jumlah yang sama dengan 8, maka kebarangkalian ialah 5/36.

Ini ialah nisbah bilangan pemerhatian di mana peristiwa berkenaan berlaku kepada jumlah pemerhatian. Tafsiran ini boleh diterima dalam kes bilangan pemerhatian atau eksperimen yang cukup besar. Sebagai contoh, jika kira-kira separuh daripada orang yang anda temui di jalanan adalah wanita, maka anda boleh mengatakan bahawa kebarangkalian bahawa orang yang anda temui di jalanan adalah wanita ialah 1/2. Dalam erti kata lain, anggaran kebarangkalian sesuatu peristiwa boleh menjadi kekerapan kejadiannya dalam siri panjang ulangan bebas bagi eksperimen rawak.

Kebarangkalian dalam matematik

Dalam pendekatan matematik moden, kebarangkalian klasik (iaitu, bukan kuantum) diberikan oleh aksiomatik Kolmogorov. Kebarangkalian adalah ukuran P, yang ditakrifkan pada set X, dipanggil ruang kebarangkalian. Langkah ini mesti mempunyai sifat berikut:

Daripada syarat-syarat ini ia mengikuti bahawa ukuran kebarangkalian P juga mempunyai harta aditiviti: jika ditetapkan A 1 dan A 2 jangan bersilang, maka . Untuk membuktikan anda perlu meletakkan segala-galanya A 3 , A 4 , ... sama dengan set kosong dan gunakan sifat ketambahan boleh dikira.

Ukuran kebarangkalian mungkin tidak ditakrifkan untuk semua subset set X. Ia cukup untuk mentakrifkannya pada algebra sigma, yang terdiri daripada beberapa subset set X. Dalam kes ini, peristiwa rawak ditakrifkan sebagai subset ruang yang boleh diukur X, iaitu sebagai unsur algebra sigma.

Rasa kebarangkalian

Apabila kami mendapati bahawa sebab untuk beberapa fakta yang mungkin sebenarnya berlaku melebihi sebab yang bertentangan, kami menganggap fakta itu berkemungkinan, jika tidak - luar biasa. Keutamaan asas positif berbanding asas negatif, dan sebaliknya, boleh mewakili set darjah yang tidak ditentukan, akibatnya kebarangkalian(Dan kemustahilan) Ia berlaku lebih atau kurang .

Fakta individu yang kompleks tidak membenarkan pengiraan tepat darjah kebarangkalian mereka, tetapi di sini adalah penting untuk mewujudkan beberapa subbahagian besar. Jadi, sebagai contoh, dalam bidang undang-undang, apabila fakta peribadi yang tertakluk kepada perbicaraan ditubuhkan berdasarkan keterangan, ia sentiasa kekal, secara tegasnya, hanya berkemungkinan, dan adalah perlu untuk mengetahui betapa pentingnya kebarangkalian ini; dalam undang-undang Rom, pembahagian empat kali ganda telah diterima pakai di sini: probatio plena(di mana kebarangkalian boleh berubah menjadi kebolehpercayaan), Selanjutnya - probatio tolak plena, kemudian - probatio semiplena major dan akhirnya probatio semiplena minor .

Sebagai tambahan kepada persoalan kebarangkalian kes itu, persoalan mungkin timbul, baik dalam bidang undang-undang dan dalam bidang moral (dengan sudut pandangan etika tertentu), betapa berkemungkinan fakta tertentu yang diberikan membentuk melanggar undang-undang am. Persoalan ini, yang berfungsi sebagai motif utama dalam perundangan agama Talmud, juga menimbulkan pembinaan sistematik yang sangat kompleks dan kesusasteraan yang besar, dogmatik dan polemik, dalam teologi moral Katolik Rom (terutama dari akhir abad ke-16) ( lihat Kebarangkalian).

Konsep kebarangkalian membenarkan ungkapan berangka tertentu apabila digunakan hanya pada fakta sedemikian yang merupakan sebahagian daripada siri homogen tertentu. Jadi (dalam contoh paling mudah), apabila seseorang melempar syiling seratus kali berturut-turut, kita dapati di sini satu siri umum atau besar (jumlah semua kejatuhan syiling), terdiri daripada dua persendirian atau lebih kecil, dalam kes ini secara berangka sama, siri (jatuh "kepala" dan jatuh "ekor"); Kebarangkalian bahawa syiling kali ini akan mendarat, iaitu ahli baharu siri am ini akan tergolong dalam dua siri yang lebih kecil, adalah sama dengan pecahan yang menyatakan hubungan berangka antara siri kecil ini dan siri yang lebih besar, iaitu 1/2, iaitu kebarangkalian yang sama dimiliki oleh satu atau yang lain daripada dua siri tertentu. Dalam contoh yang kurang mudah, kesimpulan tidak boleh disimpulkan secara langsung daripada data masalah itu sendiri, tetapi memerlukan induksi terlebih dahulu. Jadi, sebagai contoh, persoalannya ialah: apakah kebarangkalian bagi bayi yang baru lahir untuk hidup sehingga 80 tahun? Di sini mesti ada siri umum, atau besar, bilangan orang tertentu yang dilahirkan dalam keadaan yang sama dan mati pada usia yang berbeza (bilangan ini mesti cukup besar untuk menghapuskan sisihan rawak, dan cukup kecil untuk mengekalkan kehomogenan siri itu, untuk untuk seseorang, yang dilahirkan, sebagai contoh, di St. Petersburg dalam keluarga yang kaya dan berbudaya, seluruh penduduk bandar berjuta-juta yang kuat, sebahagian besar daripadanya terdiri daripada orang-orang dari pelbagai kumpulan yang boleh mati sebelum waktunya - tentera, wartawan, pekerja dalam profesion berbahaya - mewakili kumpulan yang terlalu heterogen untuk penentuan kebarangkalian sebenar) ; biarlah siri umum ini terdiri daripada sepuluh ribu nyawa manusia; ia termasuk siri yang lebih kecil yang mewakili bilangan orang yang masih hidup pada umur tertentu; satu daripada siri yang lebih kecil ini mewakili bilangan orang yang hidup hingga umur 80 tahun. Tetapi adalah mustahil untuk menentukan bilangan siri yang lebih kecil ini (seperti semua yang lain) a priori; ini dilakukan secara induktif semata-mata, melalui statistik. Katakan kajian statistik telah menetapkan bahawa daripada 10,000 penduduk kelas pertengahan St. Petersburg, hanya 45 hidup hingga 80 tahun; Oleh itu, siri yang lebih kecil ini berkaitan dengan siri yang lebih besar kerana 45 adalah kepada 10,000, dan kebarangkalian untuk seseorang tertentu tergolong dalam siri yang lebih kecil ini, iaitu, untuk hidup sehingga 80 tahun, dinyatakan sebagai pecahan 0.0045. Kajian kebarangkalian dari sudut matematik membentuk satu disiplin khas - teori kebarangkalian.

lihat juga

Nota

kesusasteraan

• Alfred Renyi. Surat kebarangkalian / trans. dari Hungary D. Saas dan A. Crumley, eds. B.V. Gnedenko. M.: Mir. 1970
• Gnedenko B.V. Kursus teori kebarangkalian. M., 2007. 42 hlm.
• Kuptsov V.I. Determinisme dan kebarangkalian. M., 1976. 256 hlm.

Yayasan Wikimedia. 2010.

sinonim:

Antonim:

Lihat apa "Kebarangkalian" dalam kamus lain:

Umum saintifik dan falsafah. kategori yang menandakan tahap kuantitatif kemungkinan berlakunya peristiwa rawak jisim di bawah keadaan pemerhatian tetap, mencirikan kestabilan frekuensi relatifnya. Dalam logik, ijazah semantik... ... Ensiklopedia Falsafah

KEBARANGKALIAN, nombor dalam julat dari sifar hingga satu inklusif, mewakili kemungkinan kejadian tertentu berlaku. Kebarangkalian sesuatu peristiwa ditakrifkan sebagai nisbah bilangan peluang sesuatu peristiwa boleh berlaku kepada jumlah bilangan kemungkinan... ... Kamus ensiklopedia saintifik dan teknikal

Kemungkinan besar.. Kamus sinonim Rusia dan ungkapan yang serupa. bawah. ed. N. Abramova, M.: Kamus Rusia, 1999. kemungkinan kebarangkalian, kemungkinan, peluang, kemungkinan objektif, maza, kebolehterimaan, risiko. Semut. kemustahilan... ... kamus sinonim

kebarangkalian- Ukuran bahawa sesuatu peristiwa mungkin berlaku. Nota Takrif matematik kebarangkalian ialah: "nombor nyata antara 0 dan 1 yang dikaitkan dengan peristiwa rawak." Nombor itu mungkin mencerminkan kekerapan relatif dalam satu siri pemerhatian... ... Panduan Penterjemah Teknikal

Kebarangkalian- "ciri matematik, berangka tahap kemungkinan berlakunya sebarang peristiwa dalam keadaan tertentu tertentu yang boleh diulang tanpa had bilangan kali." Berdasarkan klasik ini... ... Kamus ekonomi-matematik

- (kebarangkalian) Kemungkinan berlakunya peristiwa atau keputusan tertentu. Ia boleh dipersembahkan dalam bentuk skala dengan pembahagian dari 0 hingga 1. Jika kebarangkalian sesuatu peristiwa adalah sifar, kejadiannya adalah mustahil. Dengan kebarangkalian sama dengan 1, permulaan... Kamus istilah perniagaan