Pada mulanya, hanya sebagai koleksi maklumat dan pemerhatian empirikal di sebalik permainan dadu, teori kebarangkalian menjadi sains yang menyeluruh. Yang pertama memberikannya rangka kerja matematik ialah Fermat dan Pascal.
Dari memikirkan tentang yang kekal kepada teori kebarangkalian
Kedua-dua individu yang teori kebarangkalian berhutang banyak formula asasnya, Blaise Pascal dan Thomas Bayes, dikenali sebagai orang yang sangat beragama, yang kedua ialah seorang menteri Presbyterian. Nampaknya, keinginan kedua-dua saintis ini untuk membuktikan kekeliruan pendapat tentang Fortune tertentu yang memberikan tuah kepada kegemarannya memberi dorongan kepada penyelidikan dalam bidang ini. Lagipun, sebenarnya, mana-mana perjudian dengan menang dan kalah, ia hanyalah simfoni prinsip matematik.
Terima kasih kepada keghairahan lelaki de Mere, yang sama-sama sebagai seorang penjudi dan seorang yang tidak peduli dengan sains, Pascal terpaksa mencari cara untuk mengira kebarangkalian. De Mere berminat dengan soalan berikut: "Berapa kali anda perlu membaling dua dadu secara berpasangan supaya kebarangkalian mendapat 12 mata melebihi 50%?" Soalan kedua, yang sangat menarik minat lelaki itu: "Bagaimana untuk membahagikan pertaruhan antara peserta dalam permainan yang belum selesai?" Sudah tentu, Pascal berjaya menjawab kedua-dua soalan de Mere, yang menjadi pemula tanpa disedari perkembangan teori kebarangkalian. Adalah menarik bahawa orang de Mere kekal dikenali di kawasan ini, dan bukan dalam kesusasteraan.
Sebelum ini, tiada ahli matematik pernah cuba mengira kebarangkalian kejadian, kerana dipercayai bahawa ini hanyalah penyelesaian meneka. Blaise Pascal memberikan definisi pertama tentang kebarangkalian sesuatu peristiwa dan menunjukkan bahawa ia adalah angka tertentu yang boleh dibenarkan secara matematik. Teori kebarangkalian telah menjadi asas kepada statistik dan digunakan secara meluas dalam sains moden.
Apa itu rawak
Mengambil kira ujian yang boleh diulang nombor tak terhingga kali, maka kita boleh menentukan peristiwa rawak. Ini adalah salah satu kemungkinan hasil percubaan.
Pengalaman adalah pelaksanaan tindakan konkrit dalam keadaan malar.
Untuk dapat bekerja dengan hasil eksperimen, acara biasanya ditetapkan oleh huruf A, B, C, D, E...
Kebarangkalian kejadian rawak
Untuk memulakan bahagian matematik kebarangkalian, adalah perlu untuk menentukan semua komponennya.
Kebarangkalian sesuatu peristiwa dinyatakan dalam bentuk berangka ukuran kemungkinan sesuatu peristiwa (A atau B) berlaku akibat daripada pengalaman. Kebarangkalian dilambangkan sebagai P(A) atau P(B).
Dalam teori kebarangkalian mereka membezakan:
- boleh dipercayai peristiwa itu dijamin berlaku hasil daripada pengalaman P(Ω) = 1;
- mustahil peristiwa itu tidak boleh berlaku P(Ø) = 0;
- rawak sesuatu peristiwa terletak di antara tertentu dan mustahil, iaitu, kebarangkalian kejadiannya adalah mungkin, tetapi tidak dijamin (kebarangkalian peristiwa rawak sentiasa dalam 0≤Р(А)≤ 1).
Hubungan antara peristiwa
Kedua-dua satu dan jumlah peristiwa A+B dipertimbangkan, apabila peristiwa itu dikira apabila sekurang-kurangnya satu daripada komponen, A atau B, atau kedua-duanya, A dan B, dipenuhi.
Berkaitan antara satu sama lain, acara boleh:
- Sama-sama boleh.
- serasi.
- Tidak serasi.
- Bertentangan (saling eksklusif).
- Bergantung.
Jika dua peristiwa boleh berlaku dengan kebarangkalian yang sama, maka ia sama mungkin.
Jika berlakunya peristiwa A tidak mengurangkan kepada sifar kebarangkalian kejadian B, maka mereka serasi.
Jika peristiwa A dan B tidak pernah berlaku serentak dalam pengalaman yang sama, maka ia dipanggil tidak serasi. Lambungan duit syiling - contoh yang baik: rupa kepala adalah secara automatik bukan rupa kepala.
Kebarangkalian untuk jumlah peristiwa tidak serasi tersebut terdiri daripada jumlah kebarangkalian setiap peristiwa:
P(A+B)=P(A)+P(B)
Jika berlakunya satu kejadian menjadikan kejadian yang lain mustahil, maka ia dipanggil sebaliknya. Kemudian salah satu daripada mereka ditetapkan sebagai A, dan yang lain - Ā (dibaca sebagai “bukan A”). Berlakunya peristiwa A bermakna Ā tidak berlaku. Kedua-dua peristiwa ini membentuk kumpulan lengkap dengan jumlah kebarangkalian sama dengan 1.
Peristiwa bergantung mempunyai pengaruh bersama, mengurangkan atau meningkatkan kebarangkalian antara satu sama lain.
Hubungan antara peristiwa. Contoh
Menggunakan contoh adalah lebih mudah untuk memahami prinsip teori kebarangkalian dan gabungan peristiwa.
Eksperimen yang akan dijalankan terdiri daripada mengeluarkan bola dari kotak, dan keputusan setiap eksperimen adalah hasil asas.
Peristiwa ialah salah satu kemungkinan hasil eksperimen - bola merah, bola biru, bola dengan nombor enam, dsb.
Ujian No 1. Terdapat 6 bola yang terlibat, tiga daripadanya berwarna biru dengan nombor ganjil padanya, dan tiga lagi berwarna merah dengan nombor genap.
Ujian No. 2. 6 bola terlibat daripada warna biru dengan nombor dari satu hingga enam.
Berdasarkan contoh ini, kita boleh menamakan kombinasi:
- Acara yang boleh dipercayai. Dalam bahasa Sepanyol No. 2 acara "dapatkan bola biru" boleh dipercayai, kerana kebarangkalian kejadiannya adalah sama dengan 1, kerana semua bola berwarna biru dan tidak boleh terlepas. Manakala acara "dapat bola dengan nombor 1" adalah rawak.
- Peristiwa yang mustahil. Dalam bahasa Sepanyol No. 1 dengan bola biru dan merah, acara "mendapatkan bola ungu" adalah mustahil, kerana kebarangkalian kejadiannya ialah 0.
- Peristiwa yang sama mungkin. Dalam bahasa Sepanyol No. 1, acara "dapatkan bola dengan nombor 2" dan "dapatkan bola dengan nombor 3" adalah sama mungkin, dan acara "dapatkan bola dengan nombor genap" dan "dapatkan bola dengan nombor 2 ” mempunyai kebarangkalian yang berbeza.
- Acara Serasi. Mendapat enam dua kali berturut-turut semasa melontar dadu ialah acara yang serasi.
- Peristiwa yang tidak serasi. Dalam bahasa Sepanyol yang sama No. 1, acara "dapat bola merah" dan "dapat bola dengan nombor ganjil" tidak boleh digabungkan dalam pengalaman yang sama.
- Peristiwa bertentangan. Paling contoh yang bersinar Ini adalah lambungan syiling, di mana kepala lukisan adalah bersamaan dengan tidak melukis ekor, dan jumlah kebarangkalian mereka sentiasa 1 (kumpulan penuh).
- Peristiwa Bergantung. Jadi, dalam bahasa Sepanyol No 1, anda boleh menetapkan matlamat untuk menarik bola merah dua kali berturut-turut. Sama ada ia diambil pada kali pertama atau tidak menjejaskan kemungkinan untuk diambil kali kedua.
Dapat dilihat bahawa peristiwa pertama secara signifikan mempengaruhi kebarangkalian yang kedua (40% dan 60%).
Formula kebarangkalian peristiwa
Peralihan daripada ramalan nasib kepada data yang tepat berlaku melalui terjemahan topik ke dalam satah matematik. Iaitu, pertimbangan tentang peristiwa rawak seperti "kebarangkalian tinggi" atau "kebarangkalian minimum" boleh diterjemahkan ke dalam data berangka tertentu. Ia sudah dibenarkan untuk menilai, membandingkan dan memasukkan bahan tersebut ke dalam pengiraan yang lebih kompleks.
Dari sudut pengiraan, menentukan kebarangkalian sesuatu peristiwa ialah nisbah bilangan hasil positif asas kepada bilangan semua kemungkinan hasil pengalaman berbanding dengan peristiwa tertentu. Kebarangkalian dilambangkan dengan P(A), di mana P bermaksud perkataan "kebarangkalian", yang diterjemahkan daripada bahasa Perancis sebagai "kebarangkalian".
Jadi, formula untuk kebarangkalian sesuatu peristiwa ialah:
Di mana m ialah bilangan hasil yang menggalakkan untuk peristiwa A, n ialah jumlah semua hasil yang mungkin untuk pengalaman ini. Dalam kes ini, kebarangkalian sesuatu peristiwa sentiasa terletak di antara 0 dan 1:
0 ≤ P(A)≤ 1.
Pengiraan kebarangkalian sesuatu peristiwa. Contoh
Mari ambil bahasa Sepanyol. No 1 dengan bola, yang diterangkan sebelum ini: 3 bola biru dengan nombor 1/3/5 dan 3 bola merah dengan nombor 2/4/6.
Berdasarkan ujian ini, beberapa masalah yang berbeza boleh dipertimbangkan:
- A - bola merah jatuh. Terdapat 3 bola merah, dan terdapat 6 pilihan semuanya contoh paling mudah, di mana kebarangkalian kejadian adalah sama dengan P(A)=3/6=0.5.
- B - menggolek nombor genap. Terdapat 3 nombor genap (2,4,6), dan jumlah bilangan pilihan berangka yang mungkin ialah 6. Kebarangkalian kejadian ini ialah P(B)=3/6=0.5.
- C - kejadian nombor lebih besar daripada 2. Terdapat 4 pilihan tersebut (3,4,5,6) daripada jumlah kemungkinan hasil 6. Kebarangkalian peristiwa C adalah sama dengan P(C)=4 /6=0.67.
Seperti yang dapat dilihat daripada pengiraan, peristiwa C mempunyai kebarangkalian tinggi, kerana bilangan hasil positif yang berkemungkinan adalah lebih tinggi daripada di A dan B.
Peristiwa yang tidak serasi
Peristiwa sedemikian tidak boleh muncul serentak dalam pengalaman yang sama. Seperti dalam bahasa Sepanyol No 1 adalah mustahil untuk mendapatkan bola biru dan merah pada masa yang sama. Iaitu, anda boleh mendapatkan sama ada bola biru atau merah. Dengan cara yang sama, nombor genap dan nombor ganjil tidak boleh muncul dalam dadu pada masa yang sama.
Kebarangkalian dua peristiwa dianggap sebagai kebarangkalian jumlah atau hasil darabnya. Jumlah peristiwa A+B sedemikian dianggap sebagai peristiwa yang terdiri daripada kejadian A atau B, dan hasil darabnya AB ialah kejadian kedua-duanya. Sebagai contoh, penampilan dua enam serentak pada muka dua dadu dalam satu lontaran.
Jumlah beberapa peristiwa ialah peristiwa yang mengandaikan berlakunya sekurang-kurangnya satu daripadanya. Penghasilan beberapa acara adalah kejadian bersama kesemuanya.
Dalam teori kebarangkalian, sebagai peraturan, penggunaan kata hubung "dan" menandakan jumlah, dan kata hubung "atau" - pendaraban. Formula dengan contoh akan membantu anda memahami logik penambahan dan pendaraban dalam teori kebarangkalian.
Kebarangkalian jumlah peristiwa tidak serasi
Jika kebarangkalian dipertimbangkan tidak acara bersama, maka kebarangkalian jumlah peristiwa adalah sama dengan penambahan kebarangkalian mereka:
P(A+B)=P(A)+P(B)
Sebagai contoh: mari kita hitung kebarangkalian bahawa dalam bahasa Sepanyol. No. 1 dengan bola biru dan merah, nombor antara 1 dan 4 akan muncul Kami tidak akan mengira dalam satu tindakan, tetapi dengan jumlah kebarangkalian komponen asas. Jadi, dalam eksperimen sedemikian hanya terdapat 6 bola atau 6 daripada semua hasil yang mungkin. Nombor yang memenuhi syarat ialah 2 dan 3. Kebarangkalian mendapat nombor 2 ialah 1/6, kebarangkalian mendapat nombor 3 juga ialah 1/6. Kebarangkalian mendapat nombor antara 1 dan 4 ialah:
Kebarangkalian jumlah peristiwa tidak serasi bagi kumpulan lengkap ialah 1.
Jadi, jika dalam eksperimen dengan kubus kita menjumlahkan kebarangkalian semua nombor yang muncul, hasilnya akan menjadi satu.
Ini juga berlaku untuk peristiwa berlawanan, contohnya dalam eksperimen dengan syiling, di mana satu sisi adalah peristiwa A, dan satu lagi adalah peristiwa bertentangan Ā, seperti yang diketahui,
P(A) + P(Ā) = 1
Kebarangkalian kejadian tidak serasi berlaku
Pendaraban kebarangkalian digunakan apabila mempertimbangkan berlakunya dua atau lebih peristiwa yang tidak serasi dalam satu pemerhatian. Kebarangkalian peristiwa A dan B akan muncul di dalamnya secara serentak adalah sama dengan hasil darab kebarangkalian mereka, atau:
P(A*B)=P(A)*P(B)
Sebagai contoh, kebarangkalian bahawa dalam bahasa Sepanyol No. 1, hasil daripada dua percubaan, bola biru akan muncul dua kali, sama dengan
Iaitu, kebarangkalian sesuatu peristiwa berlaku apabila, hasil daripada dua percubaan untuk mengeluarkan bola, hanya bola biru yang diekstrak ialah 25%. Sangat mudah untuk melakukan eksperimen praktikal mengenai masalah ini dan melihat sama ada ini sebenarnya berlaku.
Acara bersama
Peristiwa dianggap bersama apabila kejadian salah satu daripadanya boleh bertepatan dengan kejadian yang lain. Walaupun fakta bahawa mereka adalah bersama, kebarangkalian dipertimbangkan tidak peristiwa bergantung. Sebagai contoh, membaling dua dadu boleh memberikan keputusan apabila nombor 6 muncul pada kedua-duanya Walaupun peristiwa itu bertepatan dan muncul pada masa yang sama, mereka bebas antara satu sama lain - hanya satu enam boleh jatuh, dadu kedua tidak mempunyai. pengaruh ke atasnya.
Kebarangkalian kejadian bersama dianggap sebagai kebarangkalian jumlahnya.
Kebarangkalian jumlah peristiwa bersama. Contoh
Kebarangkalian jumlah kejadian A dan B, yang bercantum antara satu sama lain, adalah sama dengan jumlah kebarangkalian peristiwa itu tolak kebarangkalian kejadiannya (iaitu kejadian bersamanya):
R sendi (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)
Mari kita andaikan bahawa kebarangkalian untuk mencapai sasaran dengan satu pukulan ialah 0.4. Kemudian acara A mencapai sasaran pada percubaan pertama, B - pada percubaan kedua. Peristiwa ini adalah bersama, kerana ada kemungkinan anda boleh mencapai sasaran dengan kedua-dua pukulan pertama dan kedua. Tetapi peristiwa tidak bergantung. Apakah kebarangkalian kejadian mengenai sasaran dengan dua pukulan (sekurang-kurangnya dengan satu)? Mengikut formula:
0,4+0,4-0,4*0,4=0,64
Jawapan kepada soalan ialah: "Kebarangkalian untuk mencapai sasaran dengan dua pukulan ialah 64%."
Formula untuk kebarangkalian sesuatu peristiwa ini juga boleh digunakan untuk peristiwa tidak serasi, di mana kebarangkalian kejadian bersama peristiwa P(AB) = 0. Ini bermakna kebarangkalian jumlah peristiwa tidak serasi boleh dianggap sebagai kes khas daripada formula yang dicadangkan.
Geometri kebarangkalian untuk kejelasan
Menariknya, kebarangkalian jumlah peristiwa bersama boleh diwakili sebagai dua kawasan A dan B, yang bersilang antara satu sama lain. Seperti yang dapat dilihat dari gambar, kawasan kesatuan mereka adalah sama dengan jumlah kawasan tolak kawasan persimpangan mereka. Penjelasan geometri ini menjadikan formula yang kelihatan tidak logik lebih mudah difahami. Perhatikan bahawa penyelesaian geometri- tidak jarang dalam teori kebarangkalian.
Menentukan kebarangkalian jumlah banyak (lebih daripada dua) peristiwa bersama adalah agak rumit. Untuk mengiranya, anda perlu menggunakan formula yang disediakan untuk kes ini.
Peristiwa Bergantung
Peristiwa dipanggil bersandar jika kejadian satu (A) daripadanya mempengaruhi kebarangkalian kejadian yang lain (B). Selain itu, pengaruh kedua-dua kejadian A dan tidak berlakunya diambil kira. Walaupun peristiwa dipanggil bergantung mengikut definisi, hanya satu daripadanya adalah bergantung (B). Kebarangkalian biasa dilambangkan sebagai P(B) atau kebarangkalian peristiwa bebas. Bagi kes penagih, konsep baru diperkenalkan - kebarangkalian bersyarat P A (B), yang merupakan kebarangkalian peristiwa bersandar B memandangkan peristiwa A (hipotesis) bergantung padanya.
Tetapi peristiwa A juga rawak, jadi ia juga mempunyai kebarangkalian yang perlu dan boleh diambil kira dalam pengiraan yang dilakukan. Contoh berikut akan menunjukkan cara bekerja dengan peristiwa bergantung dan hipotesis.
Contoh pengiraan kebarangkalian peristiwa bersandar
Contoh yang baik untuk mengira acara bergantung ialah dek kad standard.
Menggunakan dek 36 kad sebagai contoh, mari kita lihat peristiwa bergantung. Kita perlu menentukan kebarangkalian bahawa kad kedua yang dikeluarkan dari dek adalah berlian jika kad pertama yang dikeluarkan ialah:
- Bubnovaya.
- Satu lagi saman.
Jelas sekali, kebarangkalian peristiwa kedua B bergantung pada A pertama. Jadi, jika pilihan pertama adalah benar, terdapat 1 kad (35) dan 1 berlian (8) kurang dalam dek, kebarangkalian peristiwa B:
R A (B) =8/35=0.23
Jika pilihan kedua adalah benar, maka dek kini mempunyai 35 kad, dan nombor penuh rebana (9), maka kebarangkalian peristiwa B seterusnya:
R A (B) =9/35=0.26.
Ia boleh dilihat bahawa jika peristiwa A dikondisikan pada fakta bahawa kad pertama adalah berlian, maka kebarangkalian peristiwa B berkurangan, dan sebaliknya.
Mendarabkan peristiwa bergantung
Berpandukan bab sebelumnya, kami menerima peristiwa pertama (A) sebagai fakta, tetapi pada dasarnya, ia adalah secara rawak. Kebarangkalian kejadian ini, iaitu melukis berlian dari dek kad, adalah sama dengan:
P(A) = 9/36=1/4
Oleh kerana teori tidak wujud dengan sendirinya, tetapi bertujuan untuk berkhidmat tujuan praktikal, maka wajar untuk diperhatikan bahawa perkara yang paling kerap diperlukan ialah kebarangkalian menghasilkan peristiwa bergantung.
Mengikut teorem pada hasil darab kebarangkalian peristiwa bersandar, kebarangkalian kejadian peristiwa bergantung bersama A dan B adalah sama dengan kebarangkalian satu peristiwa A, didarab dengan kebarangkalian bersyarat bagi peristiwa B (bergantung kepada A):
P(AB) = P(A) *P A(B)
Kemudian, dalam contoh dek, kebarangkalian untuk melukis dua kad dengan sut berlian ialah:
9/36*8/35=0.0571, atau 5.7%
Dan kebarangkalian untuk mengekstrak bukan berlian dahulu, dan kemudian berlian, adalah sama dengan:
27/36*9/35=0.19, atau 19%
Ia boleh dilihat bahawa kebarangkalian kejadian B berlaku adalah lebih besar dengan syarat kad pertama yang dikeluarkan adalah daripada sut selain berlian. Keputusan ini agak logik dan boleh difahami.
Jumlah kebarangkalian sesuatu peristiwa
Apabila masalah dengan kebarangkalian bersyarat menjadi pelbagai rupa, ia tidak boleh dikira menggunakan kaedah konvensional. Apabila terdapat lebih daripada dua hipotesis, iaitu A1, A2,…, A n, ..membentuk kumpulan lengkap peristiwa yang disediakan:
- P(A i)>0, i=1,2,…
- A i ∩ A j =Ø,i≠j.
- Σ k A k =Ω.
Jadi formulanya kebarangkalian penuh untuk acara B di kumpulan penuh peristiwa rawak A1,A2,…,Dan n adalah sama dengan:
Pandangan ke masa depan
Kebarangkalian kejadian rawak amat diperlukan dalam banyak bidang sains: ekonometrik, statistik, fizik, dsb. Memandangkan sesetengah proses tidak dapat diterangkan secara deterministik, kerana ia sendiri bersifat probabilistik, kaedah kerja khas diperlukan. Teori kebarangkalian peristiwa boleh digunakan dalam mana-mana bidang teknologi sebagai cara untuk menentukan kemungkinan ralat atau pincang tugas.
Kita boleh mengatakan bahawa dengan mengenali kebarangkalian, kita dalam beberapa cara mengambil langkah teoritis ke masa depan, melihatnya melalui prisma formula.
Segala sesuatu di dunia ini berlaku secara pasti atau kebetulan...
Aristotle
Kebarangkalian: Peraturan Asas
Teori kebarangkalian mengira kebarangkalian pelbagai peristiwa. Asas kepada teori kebarangkalian ialah konsep kejadian rawak.
Sebagai contoh, anda membuang duit syiling, ia secara rawak jatuh pada jata atau ekor. Anda tidak tahu terlebih dahulu di sebelah mana syiling itu akan jatuh. Anda memasuki kontrak insurans; anda tidak tahu terlebih dahulu sama ada pembayaran akan dibuat atau tidak.
Dalam pengiraan aktuari anda perlu dapat menganggarkan kebarangkalian pelbagai peristiwa, jadi teori kebarangkalian memainkan peranan peranan utama. Tiada cabang matematik lain boleh menangani kebarangkalian kejadian.
Mari kita lihat lebih dekat tentang melambung syiling. Terdapat 2 hasil yang saling eksklusif: jata jatuh atau ekor jatuh. Hasil lontaran adalah rawak, kerana pemerhati tidak dapat menganalisis dan mengambil kira semua faktor yang mempengaruhi keputusan. Apakah kebarangkalian jata itu jatuh? Kebanyakan akan menjawab ½, tetapi mengapa?
Biar formal A menunjukkan kehilangan jata. Biarkan syiling melambung n sekali. Kemudian kebarangkalian kejadian itu A boleh ditakrifkan sebagai perkadaran lontaran yang menghasilkan jata:
di mana n jumlah balingan, n(A) bilangan jata jatuh.
Perhubungan (1) dipanggil kekerapan peristiwa A dalam siri ujian yang panjang.
Ia ternyata bahawa dalam pelbagai siri ujian frekuensi yang sama pada umumnya n berkelompok di sekeliling beberapa nilai tetap P(A). Kuantiti ini dipanggil kebarangkalian sesuatu kejadian A dan ditetapkan oleh surat itu R- singkatan untuk perkataan Inggeris kebarangkalian - kebarangkalian.
Secara rasmi kami mempunyai:
(2)
Undang-undang ini dipanggil hukum bilangan besar.
Jika syiling itu adil (simetri), maka kebarangkalian untuk mendapat jata adalah sama dengan kebarangkalian mendapat kepala dan sama dengan ½.
biarlah A Dan DALAM beberapa peristiwa, contohnya, sama ada peristiwa yang diinsuranskan berlaku atau tidak. Penyatuan dua acara ialah acara yang terdiri daripada pelaksanaan sesuatu acara A, peristiwa DALAM, atau kedua-dua acara bersama-sama. Persimpangan dua peristiwa A Dan DALAM dipanggil acara yang terdiri dalam pelaksanaan sebagai acara A, dan acara DALAM.
Peraturan Asas Kalkulus kebarangkalian peristiwa adalah seperti berikut:
1. Kebarangkalian sebarang peristiwa terletak di antara sifar dan satu:
2. Biarkan A dan B ialah dua peristiwa, maka:
Ia berbunyi seperti ini: kebarangkalian dua peristiwa bergabung adalah sama dengan jumlah kebarangkalian peristiwa ini tolak kebarangkalian peristiwa bersilang. Jika peristiwa tidak serasi atau tidak bertindih, maka kebarangkalian penyatuan (jumlah) dua peristiwa adalah sama dengan jumlah kebarangkalian. Undang-undang ini dipanggil undang-undang tambahan kebarangkalian.
Kami mengatakan bahawa sesuatu peristiwa boleh dipercayai jika kebarangkaliannya adalah sama dengan 1. Apabila menganalisis fenomena tertentu, persoalan timbul tentang bagaimana kejadian sesuatu peristiwa itu mempengaruhi DALAM apabila berlakunya sesuatu peristiwa A. Untuk melakukan ini, masukkan kebarangkalian bersyarat :
(4)
Ia berbunyi seperti ini: kebarangkalian berlaku A memandangkan itu DALAM sama dengan kebarangkalian persilangan A Dan DALAM, dibahagikan dengan kebarangkalian kejadian DALAM.
Formula (4) mengandaikan bahawa kebarangkalian sesuatu peristiwa DALAM Di atas sifar.
Formula (4) juga boleh ditulis sebagai:
(5)
Ini adalah formulanya kebarangkalian mendarab.
Kebarangkalian bersyarat juga dipanggil posterior kebarangkalian sesuatu kejadian A- kebarangkalian berlaku A selepas serangan DALAM.
Dalam kes ini, kebarangkalian itu sendiri dipanggil a priori kebarangkalian. Terdapat beberapa lagi formula penting, yang digunakan secara intensif dalam pengiraan aktuari.
Jumlah Formula Kebarangkalian
Mari kita anggap bahawa percubaan sedang dijalankan, syarat-syaratnya boleh ditentukan terlebih dahulu saling andaian yang saling eksklusif (hipotesis):
Kami menganggap bahawa terdapat sama ada hipotesis, atau...atau. Kebarangkalian hipotesis ini diketahui dan sama:
Kemudian formula memegang penuh kebarangkalian :
(6)
Kebarangkalian sesuatu kejadian berlaku A sama dengan jumlah hasil darab kebarangkalian kejadian A bagi setiap hipotesis tentang kebarangkalian hipotesis ini.
Formula Bayes
Formula Bayes
membolehkan anda mengira semula kebarangkalian hipotesis dalam cahaya maklumat baru yang memberikan hasilnya A.
Formula Bayes dalam erti kata tertentu ialah songsangan daripada jumlah formula kebarangkalian.
Pertimbangkan masalah praktikal berikut.
Masalah 1
Katakan ada pesawat terhempas dan pakar sedang sibuk menyiasat puncanya. 4 sebab mengapa bencana itu berlaku diketahui lebih awal: sama ada punca, atau, atau, atau. Menurut statistik yang tersedia, sebab-sebab ini mempunyai kebarangkalian berikut:
Semasa memeriksa tapak kemalangan, kesan penyalaan bahan api didapati mengikut statistik, kebarangkalian kejadian ini untuk satu sebab atau yang lain adalah seperti berikut:
Soalan: apakah punca bencana yang paling mungkin berlaku?
Mari kita mengira kebarangkalian punca di bawah syarat berlakunya sesuatu peristiwa A.
Daripada ini dapat dilihat bahawa sebab yang paling mungkin adalah yang pertama, kerana kebarangkaliannya adalah maksimum.
Masalah 2
Pertimbangkan sebuah kapal terbang mendarat di lapangan terbang.
Semasa mendarat cuaca mungkin seperti berikut: tiada awan rendah (), awan rendah ya (). Dalam kes pertama, kebarangkalian pendaratan selamat adalah P1. Dalam kes kedua - P2. Ia adalah jelas bahawa P1>P2.
Peranti yang menyediakan pendaratan buta mempunyai kebarangkalian operasi tanpa masalah R. Jika terdapat litupan awan yang rendah dan instrumen pendaratan buta telah gagal, kebarangkalian pendaratan yang berjaya adalah P3, dan P3<Р2 . Adalah diketahui bahawa untuk lapangan terbang tertentu perkadaran hari dalam setahun dengan awan rendah adalah sama dengan .
Cari kebarangkalian kapal terbang itu mendarat dengan selamat.
Kita perlu mencari kebarangkalian.
Terdapat dua pilihan yang saling eksklusif: peranti pendaratan buta berfungsi, peranti pendaratan buta telah gagal, jadi kami mempunyai:
Oleh itu, mengikut jumlah formula kebarangkalian:
Masalah 3
Sebuah syarikat insurans menyediakan insurans hayat. 10% daripada mereka yang diinsuranskan oleh syarikat ini adalah perokok. Jika orang yang diinsuranskan tidak merokok, kebarangkalian kematiannya pada tahun tersebut ialah 0.01 Jika dia seorang perokok, maka kebarangkalian ini ialah 0.05.
Berapakah kadar perokok di kalangan mereka yang diinsuranskan yang meninggal dunia pada tahun tersebut?
Jawapan yang mungkin: (A) 5%, (B) 20%, (C) 36%, (D) 56%, (E) 90%.
Penyelesaian
Mari kita masukkan acara:
Keadaan masalah itu bermakna
Di samping itu, memandangkan peristiwa membentuk kumpulan lengkap acara tidak serasi berpasangan, maka .
Kebarangkalian yang kita minati ialah .
Menggunakan formula Bayes, kami mempunyai:
oleh itu pilihan yang betul ialah ( DALAM).
Masalah 4
Syarikat insurans menjual kontrak insurans hayat dalam tiga kategori: standard, keutamaan dan sangat istimewa.
50% daripada semua yang diinsuranskan adalah standard, 40% diutamakan dan 10% adalah sangat istimewa.
Kebarangkalian kematian dalam tempoh setahun bagi standard yang diinsuranskan ialah 0.010, untuk yang istimewa - 0.005, dan untuk yang sangat istimewa - 0.001.
Apakah kebarangkalian bahawa si mati yang diinsuranskan adalah sangat istimewa?
Penyelesaian
Mari kita perkenalkan peristiwa berikut sebagai pertimbangan:
Dari segi peristiwa ini, kebarangkalian yang kita minati ialah . Mengikut syarat:
Sejak peristiwa , , membentuk kumpulan lengkap acara tidak serasi berpasangan, menggunakan formula Bayes yang kami ada:
Pembolehubah rawak dan ciri-cirinya
Biarkan ia menjadi pembolehubah rawak, contohnya, kerosakan akibat kebakaran atau jumlah pembayaran insurans.
Pembolehubah rawak dicirikan sepenuhnya oleh fungsi taburannya.
Definisi. Fungsi 
dipanggil fungsi pengedaran
pembolehubah rawak ξ
.
Definisi. Sekiranya terdapat fungsi sedemikian untuk sewenang-wenangnya a selesai
maka mereka mengatakan bahawa pembolehubah rawak ξ Ia ada fungsi ketumpatan kebarangkalian f(x).
Definisi. biarlah . Untuk fungsi pengedaran berterusan F α-kuantil teori dipanggil penyelesaian kepada persamaan.
Penyelesaian ini mungkin bukan satu-satunya.
Tahap kuantil ½ dipanggil teori median , aras kuantil ¼ Dan ¾ -kuartil bawah dan atas masing-masing.
Dalam aplikasi aktuari, memainkan peranan penting Ketaksamaan Chebyshev:
pada mana-mana
Simbol jangkaan matematik.
Ia berbunyi seperti ini: kebarangkalian bahawa modulus lebih besar daripada atau sama dengan jangkaan matematik modulus dibahagikan dengan .
Sepanjang hayat sebagai pembolehubah rawak
Ketidakpastian saat kematian adalah faktor risiko utama dalam insurans hayat.
Tiada apa yang pasti boleh dikatakan mengenai detik kematian seseorang individu. Walau bagaimanapun, jika kita berhadapan dengan sekumpulan besar orang yang homogen dan tidak berminat dengan nasib individu dari kumpulan ini, maka kita berada dalam kerangka teori kebarangkalian sebagai sains fenomena rawak jisim yang mempunyai sifat kestabilan frekuensi. .
Masing-masing, kita boleh bercakap tentang jangka hayat sebagai pembolehubah rawak T.
Fungsi kelangsungan hidup
Teori kebarangkalian menerangkan sifat stokastik mana-mana pembolehubah rawak T fungsi pengedaran F(x), yang ditakrifkan sebagai kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak T kurang daripada bilangan x:
.
Dalam matematik aktuari adalah baik untuk bekerja bukan dengan fungsi pengedaran, tetapi dengan fungsi pengedaran tambahan 
.
Dari segi umur panjang, ini adalah kebarangkalian seseorang itu akan hidup sehingga umur x tahun.
dipanggil fungsi kelangsungan hidup(fungsi kelangsungan hidup):
Fungsi survival mempunyai ciri-ciri berikut:
Jadual hayat biasanya menganggap bahawa terdapat beberapa Had umur (mengehadkan umur) (biasanya tahun) dan, oleh itu, pada x>.
Apabila menerangkan mortaliti mengikut undang-undang analisis, biasanya diandaikan bahawa masa hidup tidak terhad, tetapi jenis dan parameter undang-undang dipilih supaya kebarangkalian hidup melebihi umur tertentu boleh diabaikan.
Fungsi survival mempunyai makna statistik yang mudah.
Katakan kita sedang memerhati sekumpulan bayi yang baru lahir (biasanya), yang kita perhatikan dan boleh merakam detik-detik kematian mereka.
Mari kita nyatakan bilangan wakil hidup kumpulan ini pada umur dengan . Kemudian:
.
Simbol E di sini dan di bawah digunakan untuk menandakan jangkaan matematik.
Jadi, fungsi kelangsungan hidup adalah sama dengan kadar purata mereka yang bertahan hingga umur daripada beberapa kumpulan tetap bayi baru lahir.
Dalam matematik aktuari, seseorang selalunya tidak berfungsi dengan fungsi survival, tetapi dengan nilai yang baru diperkenalkan (menetapkan saiz kumpulan awal).
Fungsi survival boleh dibina semula daripada ketumpatan:
Ciri-ciri Jangka Hayat
Dari sudut pandangan praktikal, ciri-ciri berikut adalah penting:
1 . Purata seumur hidup
,
2
. Penyerakan seumur hidup
,
di mana 
,
Dibentangkan sehingga kini di bank terbuka masalah Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik (mathege.ru), penyelesaiannya berdasarkan hanya satu formula, iaitu takrifan klasik kebarangkalian.
Cara paling mudah untuk memahami formula adalah dengan contoh.
Contoh 1. Terdapat 9 bola merah dan 3 bola biru di dalam bakul. Bola hanya berbeza dalam warna. Kami mengeluarkan salah satu daripadanya secara rawak (tanpa melihat). Apakah kebarangkalian bahawa bola yang dipilih dengan cara ini akan berwarna biru?
Satu komen. Dalam masalah dalam teori kebarangkalian, sesuatu berlaku (dalam kes ini, tindakan kita mengeluarkan bola) yang boleh mempunyai hasil yang berbeza - hasil. Perlu diingatkan bahawa hasilnya boleh dilihat dengan cara yang berbeza. "Kami mengeluarkan beberapa jenis bola" juga merupakan hasil. "Kami mengeluarkan bola biru" - hasilnya. "Kami menarik keluar tepat bola ini dari semua bola yang mungkin" - pandangan yang paling tidak umum mengenai keputusan ini dipanggil hasil asas. Ia adalah hasil asas yang dimaksudkan dalam formula untuk mengira kebarangkalian.
Penyelesaian. Sekarang mari kita kira kebarangkalian memilih bola biru.
Acara A: "bola yang dipilih ternyata berwarna biru"
Jumlah bilangan semua kemungkinan hasil: 9+3=12 (bilangan semua bola yang boleh kita lukis)
Bilangan hasil yang sesuai untuk acara A: 3 (bilangan hasil sedemikian dalam peristiwa A berlaku - iaitu bilangan bola biru)
P(A)=3/12=1/4=0.25
Jawapan: 0.25
Untuk masalah yang sama, mari kita kira kebarangkalian memilih bola merah.
Jumlah bilangan hasil yang mungkin akan kekal sama, 12. Bilangan hasil yang menggalakkan: 9. Kebarangkalian dicari: 9/12=3/4=0.75
Kebarangkalian sebarang peristiwa sentiasa terletak di antara 0 dan 1.
Kadangkala dalam pertuturan harian (tetapi bukan dalam teori kebarangkalian!) kebarangkalian kejadian dianggarkan sebagai peratusan. Peralihan antara markah matematik dan perbualan dicapai dengan mendarab (atau membahagi) sebanyak 100%.
Jadi,
Selain itu, kebarangkalian adalah sifar untuk peristiwa yang tidak boleh berlaku - luar biasa. Sebagai contoh, dalam contoh kami ini akan menjadi kebarangkalian untuk menarik bola hijau dari bakul. (Bilangan hasil yang menggalakkan ialah 0, P(A)=0/12=0, jika dikira menggunakan formula)
Kebarangkalian 1 mempunyai peristiwa yang benar-benar pasti berlaku, tanpa pilihan. Sebagai contoh, kebarangkalian bahawa "bola yang dipilih akan sama ada merah atau biru" adalah untuk tugas kami. (Bilangan hasil yang menggalakkan: 12, P(A)=12/12=1)
Kami melihat contoh klasik yang menggambarkan definisi kebarangkalian. Semua masalah serupa Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam teori kebarangkalian diselesaikan dengan menggunakan formula ini.
Sebagai ganti bola merah dan biru mungkin terdapat epal dan pear, lelaki dan perempuan, tiket terpelajar dan tidak dipelajari, tiket yang mengandungi dan tidak mengandungi soalan mengenai topik tertentu (prototaip,), beg atau pam taman yang rosak dan berkualiti tinggi ( prototaip,) - prinsipnya tetap sama.
Mereka berbeza sedikit dalam perumusan masalah teori kebarangkalian Peperiksaan Negeri Bersepadu, di mana anda perlu mengira kebarangkalian beberapa peristiwa berlaku pada hari tertentu. ( , ) Seperti dalam masalah sebelumnya, anda perlu menentukan apakah hasil asas, dan kemudian menggunakan formula yang sama.
Contoh 2. Persidangan itu berlangsung selama tiga hari. Pada hari pertama dan kedua terdapat 15 penceramah, pada hari ketiga - 20. Apakah kebarangkalian laporan Profesor M. akan jatuh pada hari ketiga jika susunan laporan ditentukan melalui undian?
Apakah hasil asas di sini? – Memberikan laporan profesor satu daripada semua nombor siri yang mungkin untuk ucapan itu. 15+15+20=50 orang menyertai cabutan. Oleh itu, laporan Profesor M. mungkin menerima satu daripada 50 keluaran. Ini bermakna hanya terdapat 50 hasil asas.
Apakah hasil yang menggalakkan? - Mereka yang ternyata profesor akan bercakap pada hari ketiga. Iaitu, 20 nombor terakhir.
Mengikut formula, kebarangkalian P(A)= 20/50=2/5=4/10=0.4
Jawapan: 0.4
Cabutan lot di sini mewakili penubuhan surat-menyurat rawak antara orang dan tempat yang dipesan. Dalam contoh 2, padanan telah dipertimbangkan dari sudut pandangan mana antara kerusi yang boleh diduduki oleh orang tertentu. Anda boleh mendekati situasi yang sama dari sisi lain: yang mana antara orang yang mempunyai kebarangkalian boleh sampai ke tempat tertentu (prototaip , , , ):
Contoh 3. Cabutan itu termasuk 5 orang Jerman, 8 orang Perancis dan 3 orang Estonia. Apakah kebarangkalian bahawa yang pertama (/kedua/ketujuh/terakhir – tidak mengapa) akan menjadi orang Perancis.
Bilangan hasil asas ialah bilangan semua orang yang mungkin boleh masuk ke tempat tertentu dengan membuat undian. 5+8+3=16 orang.
Hasil yang menggalakkan - Perancis. 8 orang.
Kebarangkalian yang diperlukan: 8/16=1/2=0.5
Jawapan: 0.5
Prototaipnya sedikit berbeza. Masih terdapat masalah tentang syiling () dan dadu (), yang agak lebih kreatif. Penyelesaian kepada masalah ini boleh didapati pada halaman prototaip.
Berikut adalah beberapa contoh melambung syiling atau dadu.
Contoh 4. Apabila kita melemparkan syiling, apakah kebarangkalian untuk mendarat di atas kepala?
Terdapat 2 hasil - kepala atau ekor. (adalah dipercayai bahawa syiling itu tidak pernah mendarat di tepinya) Hasil yang menggalakkan ialah ekor, 1.
Kebarangkalian 1/2=0.5
Jawapan: 0.5.
Contoh 5. Bagaimana jika kita melemparkan syiling dua kali? Apakah kebarangkalian ia akan muncul dua kali?
Perkara utama ialah menentukan hasil asas yang akan kita pertimbangkan apabila melambung dua syiling. Selepas melambung dua syiling, salah satu daripada keputusan berikut boleh berlaku:
1) PP - kedua-dua kali ia muncul di kepala
2) PO – kepala kali pertama, kepala kali kedua
3) OP – kepala kali pertama, ekor kali kedua
4) OO - kepala muncul dua kali
Tiada pilihan lain. Ini bermakna terdapat 4 hasil asas Hanya yang pertama, 1, adalah menguntungkan.
Kebarangkalian: 1/4=0.25
Jawapan: 0.25
Apakah kebarangkalian bahawa dua lambungan syiling akan menghasilkan ekor?
Bilangan hasil asas adalah sama, 4. Hasil yang menggalakkan ialah kedua dan ketiga, 2.
Kebarangkalian mendapat satu ekor: 2/4=0.5
Dalam masalah sedemikian, formula lain mungkin berguna.
Jika dengan satu lambungan syiling kita mempunyai 2 pilihan hasil yang mungkin, maka untuk dua lambungan hasilnya akan menjadi 2 2 = 2 2 = 4 (seperti dalam contoh 5), untuk tiga lambungan 2 2 2 = 2 3 = 8, untuk empat : 2·2·2·2=2 4 =16, ... untuk N gulung keputusan yang mungkin ialah 2·2·...·2=2 N .
Jadi, anda boleh mencari kebarangkalian mendapat 5 kepala daripada 5 lambungan syiling.
Jumlah bilangan hasil asas: 2 5 =32.
Hasil yang menggalakkan: 1. (RRRRRR – kepala semua 5 kali)
Kebarangkalian: 1/32=0.03125
Perkara yang sama berlaku untuk dadu. Dengan satu lontaran, terdapat 6 keputusan yang mungkin Jadi, untuk dua lontaran: 6 6 = 36, untuk tiga 6 6 6 = 216, dsb.
Contoh 6. Kita baling dadu. Apakah kebarangkalian nombor genap akan digulung?
Jumlah hasil: 6, mengikut bilangan sisi.
Menguntungkan: 3 hasil. (2, 4, 6)
Kebarangkalian: 3/6=0.5
Contoh 7. Kami baling dua dadu. Apakah kebarangkalian bahawa jumlahnya ialah 10? (bulatkan kepada perseratus terdekat)
Untuk satu kematian terdapat 6 kemungkinan hasil. Ini bermakna bahawa untuk dua, mengikut peraturan di atas, 6·6=36.
Apakah hasil yang akan menguntungkan untuk jumlah keseluruhan untuk melancarkan 10?
10 mesti diuraikan menjadi hasil tambah dua nombor dari 1 hingga 6. Ini boleh dilakukan dengan dua cara: 10=6+4 dan 10=5+5. Ini bermakna pilihan berikut adalah mungkin untuk kiub:
(6 pada yang pertama dan 4 pada yang kedua)
(4 pada yang pertama dan 6 pada yang kedua)
(5 pada yang pertama dan 5 pada yang kedua)
Jumlah, 3 pilihan. Kebarangkalian yang diperlukan: 3/36=1/12=0.08
Jawapan: 0.08
Jenis masalah B6 lain akan dibincangkan dalam artikel Cara Menyelesaikan akan datang.
- Kebarangkalian ialah darjah (ukuran relatif, penilaian kuantitatif) kemungkinan berlakunya sesuatu peristiwa. Apabila sebab beberapa kemungkinan kejadian sebenarnya berlaku melebihi sebab yang bertentangan, maka peristiwa ini dipanggil berkemungkinan, sebaliknya - tidak mungkin atau tidak mungkin. Keutamaan sebab positif berbanding yang negatif, dan sebaliknya, boleh menjadi pada tahap yang berbeza-beza, akibatnya kebarangkalian (dan ketidakmungkinan) boleh menjadi lebih besar atau lebih kecil. Oleh itu, kebarangkalian selalunya dinilai pada tahap kualitatif, terutamanya dalam kes di mana penilaian kuantitatif yang lebih atau kurang tepat adalah mustahil atau amat sukar. Pelbagai penggredan "tahap" kebarangkalian adalah mungkin.
Kajian kebarangkalian dari sudut matematik membentuk satu disiplin khas - teori kebarangkalian. Dalam teori kebarangkalian dan statistik matematik, konsep kebarangkalian diformalkan sebagai ciri berangka sesuatu peristiwa - ukuran kebarangkalian (atau nilainya) - ukuran pada set peristiwa (subset set peristiwa asas), mengambil nilai daripada
(\displaystyle 0)
(\gaya paparan 1)
Maknanya
(\gaya paparan 1)
Sesuai dengan acara yang boleh dipercayai. Peristiwa mustahil mempunyai kebarangkalian 0 (sebaliknya biasanya tidak selalu benar). Jika kebarangkalian sesuatu kejadian itu berlaku ialah
(\gaya paparan p)
Maka kebarangkalian tidak berlakunya adalah sama dengan
(\gaya paparan 1-p)
Khususnya, kebarangkalian
(\displaystyle 1/2)
Bermaksud kebarangkalian yang sama berlaku dan tidak berlaku sesuatu peristiwa.
Takrifan klasik kebarangkalian adalah berdasarkan konsep kebarangkalian hasil yang sama. Kebarangkalian ialah nisbah bilangan hasil yang menguntungkan untuk peristiwa tertentu kepada jumlah bilangan hasil yang sama mungkin. Sebagai contoh, kebarangkalian mendapat kepala atau ekor dalam lambungan syiling rawak ialah 1/2 jika diandaikan bahawa hanya dua kemungkinan ini berlaku dan ia adalah sama mungkin. "Takrifan" klasik kebarangkalian ini boleh digeneralisasikan kepada kes bilangan nilai yang mungkin tidak terhingga - contohnya, jika beberapa peristiwa boleh berlaku dengan kebarangkalian yang sama pada mana-mana titik (bilangan mata adalah tidak terhingga) bagi beberapa kawasan terhad ruang (satah), maka kebarangkalian bahawa ia akan berlaku di beberapa bahagian wilayah yang boleh dilaksanakan ini adalah sama dengan nisbah isipadu (luas) bahagian ini kepada isipadu (luas) kawasan semua titik yang mungkin.
"Takrifan" empirikal kebarangkalian adalah berkaitan dengan kekerapan kejadian, berdasarkan fakta bahawa dengan bilangan percubaan yang cukup besar, kekerapan harus cenderung kepada tahap objektif kemungkinan kejadian ini. Dalam pembentangan moden teori kebarangkalian, kebarangkalian ditakrifkan secara aksiomatik, sebagai kes khas bagi teori abstrak ukuran set. Walau bagaimanapun, pautan penghubung antara ukuran abstrak dan kebarangkalian, yang menyatakan tahap kemungkinan berlakunya peristiwa, adalah tepat kekerapan pemerhatiannya.
Penerangan kemungkinan fenomena tertentu telah meluas dalam sains moden, khususnya dalam ekonometrik, fizik statistik sistem makroskopik (termodinamik), di mana walaupun dalam kes penerangan deterministik klasik tentang pergerakan zarah, penerangan deterministik keseluruhan sistem zarah kelihatan tidak mungkin atau sesuai. Dalam fizik kuantum, proses-proses yang diterangkan itu sendiri bersifat probabilistik.