INSTITUSI PENDIDIKAN PERBANDARAN

GYMNASIUM No 6

mengenai topik "Takrifan klasik kebarangkalian."

Diisi oleh pelajar darjah 8 "B"

Klimantova Alexandra.

Guru matematik: Videnkina V. A.

Voronezh, 2008

Banyak permainan menggunakan dadu. Kubus mempunyai 6 sisi, setiap sisi mempunyai bilangan titik yang berbeza yang ditanda padanya - dari 1 hingga 6. Pemain membaling dadu dan melihat berapa banyak titik yang terdapat pada bahagian yang dijatuhkan (di sebelah yang terletak di atas) . Selalunya, titik pada muka kubus digantikan dengan nombor yang sepadan dan kemudian mereka bercakap tentang melancarkan 1, 2 atau 6. Melempar dadu boleh dianggap sebagai eksperimen, eksperimen, ujian, dan keputusan yang diperolehi ialah keputusan ujian atau peristiwa asas. Orang ramai berminat untuk meneka kejadian ini atau peristiwa itu dan meramalkan kesudahannya. Apakah ramalan yang boleh mereka buat apabila mereka membaling dadu? Sebagai contoh, ini:

1. peristiwa A—nombor 1, 2, 3, 4, 5 atau 6 digulung;
2. peristiwa B—nombor 7, 8 atau 9 digulung;
3. acara C—nombor 1 muncul.

Peristiwa A, yang diramalkan dalam kes pertama, pasti akan berlaku. Secara umum, peristiwa yang pasti berlaku dalam pengalaman tertentu dipanggil acara yang boleh dipercayai.

Peristiwa B, yang diramalkan dalam kes kedua, tidak akan berlaku, ia adalah mustahil. Secara umum, peristiwa yang tidak boleh berlaku dalam pengalaman tertentu dipanggil peristiwa yang mustahil.

Dan adakah peristiwa C, yang diramalkan dalam kes ketiga, akan berlaku atau tidak? Kami tidak dapat menjawab soalan ini dengan kepastian sepenuhnya, kerana 1 mungkin atau mungkin tidak akan gagal. Peristiwa yang mungkin atau mungkin tidak berlaku dalam pengalaman tertentu dipanggil peristiwa rawak.

Apabila memikirkan tentang kejadian peristiwa yang boleh dipercayai, kemungkinan besar kita tidak akan menggunakan perkataan "mungkin". Sebagai contoh, jika hari ini adalah hari Rabu, maka esok adalah hari Khamis, ini adalah acara yang boleh dipercayai. Pada hari Rabu kami tidak akan berkata: "Mungkin esok adalah Khamis," kami akan mengatakan secara ringkas dan jelas: "Esok adalah Khamis." Benar, jika kita cenderung kepada frasa yang indah, kita boleh mengatakan ini: "Dengan seratus peratus kebarangkalian saya mengatakan bahawa esok adalah Khamis." Sebaliknya, jika hari ini adalah hari Rabu, maka permulaan hari Jumaat esok adalah peristiwa yang mustahil. Menilai acara ini pada hari Rabu, kita boleh mengatakan ini: "Saya pasti esok bukan hari Jumaat." Atau ini: "Sungguh luar biasa bahawa esok adalah hari Jumaat." Nah, jika kita cenderung kepada frasa yang indah, kita boleh mengatakan ini: "Kebarangkalian esok hari Jumaat adalah sifar." Jadi, peristiwa yang boleh dipercayai adalah peristiwa yang berlaku dalam keadaan tertentu dengan kebarangkalian seratus peratus(iaitu, berlaku dalam 10 kes daripada 10, dalam 100 kes daripada 100, dsb.). Peristiwa mustahil ialah peristiwa yang tidak pernah berlaku dalam keadaan tertentu, peristiwa dengan kebarangkalian sifar.

Tetapi, malangnya (dan mungkin bernasib baik), tidak semua dalam kehidupan begitu jelas dan tepat: ia akan sentiasa (peristiwa tertentu), ia tidak akan pernah (peristiwa mustahil). Selalunya kita berhadapan dengan peristiwa rawak, beberapa daripadanya lebih berkemungkinan, yang lain kurang berkemungkinan. Biasanya orang menggunakan perkataan "lebih mungkin" atau "kurang berkemungkinan", seperti yang mereka katakan, secara sesuka hati, bergantung pada apa yang dipanggil akal sehat. Tetapi selalunya anggaran sedemikian ternyata tidak mencukupi, kerana ia penting untuk diketahui untuk berapa lama peratus mungkin peristiwa rawak atau berapa kali satu peristiwa rawak lebih berkemungkinan daripada yang lain. Dalam erti kata lain, kita perlu tepat kuantitatif ciri, anda perlu dapat mencirikan kebarangkalian dengan nombor.

Kami telah pun mengambil langkah pertama ke arah ini. Kami berkata bahawa kebarangkalian kejadian tertentu berlaku dicirikan sebagai seratus peratus, dan kebarangkalian kejadian mustahil berlaku adalah sebagai sifar. Memandangkan 100% sama dengan 1, orang bersetuju dengan perkara berikut:

1. kebarangkalian peristiwa yang boleh dipercayai dianggap sama 1;
2. kebarangkalian kejadian mustahil dianggap sama 0.

Bagaimana untuk mengira kebarangkalian peristiwa rawak? Lagipun, ia berlaku secara tidak sengaja, yang bermaksud ia tidak mematuhi undang-undang, algoritma atau formula. Ternyata dalam dunia rawak undang-undang tertentu terpakai yang membolehkan seseorang mengira kebarangkalian. Ini adalah cabang matematik yang dipanggil - teori kebarangkalian.

Matematik berurusan dengan model beberapa fenomena realiti di sekeliling kita. Daripada semua model yang digunakan dalam teori kebarangkalian, kami akan mengehadkan diri kami kepada yang paling mudah.

Skim probabilistik klasik

Untuk mencari kebarangkalian kejadian A semasa menjalankan beberapa eksperimen, anda hendaklah:

1) cari nombor N semua kemungkinan hasil eksperimen ini;

2) menerima andaian kebarangkalian yang sama (kemungkinan yang sama) bagi semua hasil ini;

3) cari nombor N(A) bagi hasil eksperimen tersebut di mana peristiwa A berlaku;

4) cari hasil bagi ; ia akan sama dengan kebarangkalian peristiwa A.

Adalah lazim untuk menyatakan kebarangkalian kejadian A: P(A). Penjelasan untuk sebutan ini sangat mudah: perkataan "kebarangkalian" dalam bahasa Perancis adalah kebarangkalian, dalam Bahasa Inggeris- kebarangkalian.Penetapan menggunakan huruf pertama perkataan.

Dengan menggunakan tatatanda ini, kebarangkalian kejadian A mengikut skema klasik boleh didapati menggunakan formula

P(A)=.

Selalunya semua titik skema probabilistik klasik di atas dinyatakan dalam satu frasa yang agak panjang.

Takrif klasik kebarangkalian

Kebarangkalian kejadian A semasa ujian tertentu ialah nisbah bilangan hasil akibat peristiwa A berlaku kepada jumlah bilangan semua hasil yang sama kemungkinan ujian ini.

Contoh 1. Cari kebarangkalian bahawa dengan satu lontaran dadu keputusannya ialah: a) 4; b) 5; c) bilangan mata genap; d) bilangan mata lebih daripada 4; e) bilangan mata tidak boleh dibahagikan dengan tiga.

Penyelesaian. Secara keseluruhannya terdapat N=6 kemungkinan hasil: terjatuh daripada muka kubus dengan bilangan mata yang sama dengan 1, 2, 3, 4, 5 atau 6. Kami percaya bahawa tiada satu pun daripada mereka mempunyai kelebihan berbanding yang lain, iaitu kami menerima andaian bahawa kebolehsamaan hasil ini.

a) Dalam salah satu hasil, peristiwa yang kita minati akan berlaku, A, nombor 4 jatuh Ini bermakna N(A) = 1 dan

P(A)= =.

b) Penyelesaian dan jawapan adalah sama seperti dalam perenggan sebelumnya.

c) Peristiwa B yang kita minati akan berlaku dalam tiga kes apabila bilangan mata ialah 2, 4 atau 6. Ini bermakna

N(B)=3 danP(B)==.

d) Peristiwa C yang kita minati akan berlaku dalam dua kes apabila bilangan mata ialah 5 atau 6. Ini bermakna

N(C) =2 dan Р(С)=.

e) Daripada enam nombor yang mungkin dilukis, empat (1, 2, 4 dan 5) bukan gandaan tiga, dan baki dua (3 dan 6) boleh dibahagikan dengan tiga. Ini bermakna peristiwa yang menarik minat kita berlaku dalam tepat empat daripada enam hasil eksperimen yang mungkin dan berkemungkinan sama dan berkemungkinan sama. Oleh itu, jawapannya adalah .

Jawapan: a); b); V); G); d).

Dadu sebenar mungkin berbeza daripada kiub (model) yang ideal, oleh itu, untuk menerangkan kelakuannya, model yang lebih tepat dan terperinci diperlukan, dengan mengambil kira kelebihan satu muka berbanding yang lain, kemungkinan kehadiran magnet, dll. Tetapi "syaitan ada dalam butirannya," dan ketepatan yang lebih cenderung membawa kepada kerumitan yang lebih besar, dan mendapatkan jawapan menjadi masalah. Kami mengehadkan diri kami untuk mempertimbangkan model kebarangkalian yang paling mudah, di mana semua hasil yang mungkin berkemungkinan sama.

Nota 1. Mari kita lihat contoh lain. Soalan ditanya: "Apakah kebarangkalian mendapat tiga lawan satu die roll?" Pelajar menjawab: "Kebarangkalian ialah 0.5." Dan dia menjelaskan jawapannya: "Tiga sama ada akan muncul atau tidak. Ini bermakna terdapat dua hasil secara keseluruhan dan tepat satu daripadanya peristiwa yang menarik minat kita berlaku. Menggunakan skema probabilistik klasik, kita mendapat jawapan 0.5." Adakah terdapat kesilapan dalam penaakulan ini? Sekali pandang, tidak. Walau bagaimanapun, ia masih wujud, dan secara asas. Ya, sememangnya, tiga sama ada akan muncul atau tidak, iaitu, dengan takrifan hasil lambungan N=2 ini. Ia juga benar bahawa N(A) = 1 dan, sudah tentu, adalah benar bahawa =0.5, iaitu, tiga mata skim kebarangkalian diambil kira, tetapi pemenuhan titik 2) adalah diragui. Sudah tentu, dari sudut pandangan undang-undang semata-mata, kami mempunyai hak untuk mempercayai bahawa melancarkan tiga sama besar tidak akan gagal. Tetapi bolehkah kita berfikir demikian tanpa melanggar andaian semula jadi kita tentang "kesamaan" tepi? Sudah tentu tidak! Di sini kita berurusan dengan penaakulan yang betul dalam model tertentu. Tetapi model ini sendiri "salah", tidak sepadan dengan fenomena sebenar.

Nota 2. Apabila membincangkan kebarangkalian, jangan lupa tentang keadaan penting berikut. Jika kita katakan bahawa apabila membaling dadu kebarangkalian mendapat satu mata adalah sama dengan masa, anda akan mendapat satu mata tepat tiga kali, dsb. Perkataan itu mungkin spekulatif. Kami menganggap apa yang paling mungkin berlaku. Mungkin jika kita membaling dadu sebanyak 600 kali, satu mata akan naik 100 kali ganda, atau kira-kira 100.

Teori kebarangkalian timbul pada abad ke-17 apabila menganalisis pelbagai permainan peluang. Oleh itu, tidak menghairankan bahawa contoh pertama adalah bersifat suka bermain. Daripada contoh dengan dadu, mari kita beralih kepada menarik kad permainan secara rawak dari geladak.

Contoh 2. Daripada dek 36 kad, 3 kad diambil secara rawak pada masa yang sama. Apakah kebarangkalian bahawa tiada ratu penyodok di kalangan mereka?

Penyelesaian. Kami mempunyai satu set 36 elemen. Kami memilih tiga elemen, susunannya tidak penting. Ini bermakna bahawa adalah mungkin untuk mendapatkan hasil N=C. Kami akan bertindak mengikut skema probabilistik klasik, iaitu kami akan menganggap bahawa semua hasil ini berkemungkinan sama.

Ia kekal untuk mengira kebarangkalian yang diperlukan mengikut definisi klasik:

Apakah kebarangkalian bahawa antara tiga kad yang dipilih terdapat ratu penyodok? Bilangan semua hasil sedemikian tidak sukar untuk dikira; anda hanya perlu menolak daripada semua hasil N semua hasil yang tidak ada ratu penyodok, iaitu menolak nombor N(A) yang terdapat dalam Contoh 3. Kemudian, mengikut skema kebarangkalian klasik, perbezaan ini N-N(A) harus dibahagikan dengan N. Inilah yang kita dapat:

Kami melihat bahawa terdapat hubungan tertentu antara kebarangkalian dua peristiwa. Jika peristiwa A ialah ketiadaan ratu penyodok, dan peristiwa B ialah kehadirannya di antara tiga kad yang dipilih, maka

P(B)= 1—P(A),

P(A)+P(B)=1.

Malangnya, dalam kesamaan P(A)+P(B)=1 tiada maklumat tentang hubungan antara peristiwa A dan B; kita harus ingat hubungan ini. Adalah lebih mudah untuk memberi peristiwa B nama dan penetapan terlebih dahulu yang jelas menunjukkan kaitannya dengan A.

Definisi 1. Peristiwa B dipanggil bertentangan dengan peristiwa A dan nyatakan B=Ā jika peristiwa B berlaku jika dan hanya jika peristiwa A tidak berlaku.

TTeorem 1. Untuk mencari kebarangkalian peristiwa berlawanan, tolak kebarangkalian peristiwa itu sendiri daripada kesatuan: P(Ā)= 1—P(A). Sesungguhnya,

Dalam amalan, mereka mengira apa yang lebih mudah dicari: sama ada P(A) atau P(Ā). Selepas ini, gunakan formula daripada teorem dan cari, masing-masing, sama ada P(Ā) = 1 - P(A), atau P(A) = 1 - P(Ā).

Kaedah untuk menyelesaikan masalah tertentu sering digunakan oleh "penghitungan kes", apabila keadaan masalah dibahagikan kepada kes yang saling eksklusif, yang masing-masing dianggap secara berasingan. Sebagai contoh, "jika anda pergi ke kanan, anda akan kehilangan kuda anda, jika anda pergi lurus, anda akan menyelesaikan masalah dalam teori kebarangkalian, jika anda pergi ke kiri, ...." Atau apabila membina graf bagi fungsi y=│x+1│—│2x—5│pertimbangkan kes x

Contoh 3. Daripada 50 mata, 17 berwarna biru dan 13 berwarna oren. Cari kebarangkalian bahawa titik yang dipilih secara rawak akan berlorek.

Penyelesaian. Sebanyak 30 mata daripada 50 berlorek Ini bermakna kebarangkalian ialah = 0.6.

Jawapan: 0.6.

Mari kita lihat, bagaimanapun, pada contoh mudah ini dengan lebih dekat. Biarkan peristiwa A ialah titik yang dipilih berwarna biru, dan peristiwa B ialah titik yang dipilih ialah oren. Mengikut keadaan, peristiwa A dan B tidak boleh berlaku serentak.

Mari kita nyatakan peristiwa yang menarik minat kita dengan huruf C. Peristiwa C berlaku jika dan hanya jika ia berlaku sekurang-kurangnya satu daripada peristiwa A atau B. Jelas bahawa N(C)= N(A)+N(B).

Mari kita bahagikan kedua-dua belah kesamaan ini dengan N—bilangan semua kemungkinan hasil eksperimen ini; kita mendapatkan

Menggunakan contoh mudah, kami menganalisis situasi yang penting dan sering dihadapi. Ada nama khas untuknya.

Definisi 2. Peristiwa A dan B dipanggil tidak serasi, jika ia tidak boleh berlaku serentak.

Teorem 2. Kebarangkalian berlakunya sekurang-kurangnya satu daripada dua peristiwa yang tidak serasi adalah sama dengan jumlah kebarangkalian mereka.

Apabila menterjemah teorem ini ke dalam bahasa matematik, terdapat keperluan untuk menamakan dan menetapkan peristiwa yang terdiri daripada kejadian sekurang-kurangnya satu daripada dua peristiwa A dan B. Peristiwa sedemikian dipanggil jumlah peristiwa A dan B dan dilambangkan A + B.

Jika A dan B tidak serasi, maka P(A+B)= P(A)+P(B).

Sesungguhnya,

Adalah mudah untuk menggambarkan ketidakserasian peristiwa A dan B dengan lukisan. Jika semua hasil eksperimen ialah set titik tertentu dalam rajah, maka peristiwa A dan B adalah beberapa subset bagi set tertentu. Ketidakserasian A dan B bermakna kedua-dua subset ini tidak bersilang. Contoh tipikal peristiwa tidak serasi ialah sebarang peristiwa A dan peristiwa bertentangan Ā.

Sudah tentu, teorem ini adalah benar untuk tiga, empat, dan sebarang bilangan terhingga peristiwa tidak serasi berpasangan. Kebarangkalian jumlah sebarang bilangan peristiwa tidak serasi berpasangan adalah sama dengan jumlah kebarangkalian peristiwa ini. Kenyataan penting ini sepadan dengan tepat dengan kaedah "kes demi kes" untuk menyelesaikan masalah.

Mungkin terdapat beberapa perhubungan, pergantungan, perkaitan, dsb. antara peristiwa yang berlaku hasil daripada beberapa pengalaman dan antara kebarangkalian peristiwa ini Contohnya, peristiwa boleh "ditambah," dan kebarangkalian jumlah peristiwa tidak serasi adalah sama kepada jumlah kebarangkalian mereka.

Sebagai kesimpulan, mari kita bincangkan soalan asas berikut: adakah mungkin buktikan bahawa kebarangkalian mendapat kepala dalam satu lambungan syiling ialah

Jawapannya negatif. Secara umumnya, soalan itu sendiri tidak betul; maksud sebenar perkataan "buktikan" tidak jelas. Lagipun, kami sentiasa membuktikan sesuatu dalam rangka kerja sesetengah pihak model, di mana peraturan, undang-undang, aksiom, formula, teorem, dan lain-lain sudah diketahui Jika kita bercakap tentang syiling khayalan, "ideal", maka ia dianggap ideal kerana,. a-priory, kebarangkalian mendapat "ekor" adalah sama dengan kebarangkalian mendapat "kepala". Dan, pada dasarnya, kita boleh mempertimbangkan model di mana kebarangkalian "ekor" jatuh adalah dua kali lebih besar daripada kebarangkalian "kepala" jatuh atau tiga kali kurang, dan lain-lain. Kemudian persoalan timbul: atas sebab apa yang kita pilih daripada pelbagai model lambungan syiling yang mungkin sama?

Jawapan yang sangat mudah ialah: "Tetapi ia lebih mudah, lebih jelas dan lebih semula jadi untuk kami!" Tetapi terdapat juga hujah yang lebih substantif. Mereka datang dari latihan. Sebilangan besar buku teks mengenai teori kebarangkalian memberikan contoh naturalis Perancis J. Buffon (abad ke-18) dan ahli matematik dan statistik Inggeris K. Pearson (akhir abad ke-19), yang melambungkan syiling 4040 dan 24000 kali, masing-masing, dan mengira bilangan kepala yang timbul " atau "ekor". Mereka mendarat kepala 1992 dan 11998 kali, masing-masing. Jika anda mengira kekerapan kehilangan"ekor", maka ternyata = = 0.493069... untuk Buffon dan = 0.4995 untuk Pearson. Timbul semula jadi andaian, bahawa dengan peningkatan tanpa had dalam bilangan lambungan syiling, kekerapan "ekor" jatuh, serta kekerapan "kepala" jatuh, akan semakin menghampiri 0.5. Andaian inilah, berdasarkan data praktikal, yang menjadi asas untuk memilih model dengan hasil yang berkemungkinan sama.

Sekarang kita boleh merumuskan. Konsep asas— kebarangkalian kejadian rawak, yang dikira dalam model termudah— skema probabilistik klasik. Konsep ini penting dalam teori dan praktikal peristiwa bertentangan dan formula P(Ā)= 1—P(A) untuk mencari kebarangkalian kejadian sedemikian.

Akhirnya kami bertemu peristiwa yang tidak serasi dan dengan formula.

P(A+B)=P(A)+P(B),

P(A+B+C)= P(A)+P(B)+P(C),

membolehkan anda mencari kebarangkalian jumlah peristiwa sebegitu.

Bibliografi

1.Peristiwa. Kebarangkalian. Pemprosesan data statistik: Tambahan. perenggan untuk kursus algebra gred 7-9. institusi pendidikan / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov - edisi ke-4 - M.: Mnemosyna, 2006. - 112 ms.: sakit.

2.Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk “Algebra. Unsur-unsur statistik dan teori kebarangkalian.”—Moscow, “Prosveshchenie”, 2006.

Takrif klasik kebarangkalian.

Seperti yang dinyatakan di atas, dengan jumlah yang besar n kekerapan ujian P*(A)=m/ n berlakunya sesuatu peristiwa A adalah stabil dan memberikan nilai anggaran kebarangkalian sesuatu peristiwa A , iaitu .

Keadaan ini membolehkan kita mencari anggaran kebarangkalian sesuatu peristiwa secara eksperimen. Dalam amalan, kaedah mencari kebarangkalian sesuatu peristiwa ini tidak selalunya mudah. Lagipun, kita perlu mengetahui lebih awal kebarangkalian sesuatu peristiwa, walaupun sebelum percubaan. Ini adalah heuristik, peranan ramalan sains. Dalam beberapa kes, kebarangkalian sesuatu peristiwa boleh ditentukan sebelum eksperimen menggunakan konsep kebarangkalian peristiwa (atau kebolehsamaan).

Dua peristiwa itu dipanggil sama-sama berkemungkinan (atau sama mungkin ), jika tiada sebab objektif untuk mempercayai bahawa salah satu daripadanya mungkin berlaku lebih kerap daripada yang lain.

Jadi, sebagai contoh, kemunculan jata atau tulisan semasa melemparkan syiling adalah peristiwa yang sama kemungkinannya.

Mari kita lihat contoh lain. Biarkan mereka melempar dadu. Oleh kerana simetri kubus, kita boleh menganggap bahawa penampilan mana-mana nombor 1, 2, 3, 4, 5 atau 6 sama mungkin (sama mungkin).

Peristiwa dalam eksperimen ini mereka terbentuk kumpulan penuh , jika sekurang-kurangnya satu daripadanya berlaku akibat daripada eksperimen. Jadi, dalam contoh terakhir, kumpulan lengkap acara terdiri daripada enam acara - penampilan nombor 1, 2, 3, 4, 5 Dan 6.

Jelas sekali, sebarang acara A dan peristiwa bertentangannya membentuk kumpulan yang lengkap.

Peristiwa B dipanggil menguntungkan peristiwa A , jika berlakunya sesuatu peristiwa B melibatkan berlakunya sesuatu peristiwa A . Jadi kalau A - kemunculan bilangan mata genap apabila membaling dadu, kemudian kemunculan nombor itu 4 mewakili acara yang memihak kepada acara A.

Biarkan acara dalam eksperimen ini membentuk kumpulan lengkap kejadian yang sama kemungkinan dan tidak serasi berpasangan. Jom panggil mereka hasil ujian. Mari kita andaikan bahawa peristiwa itu A memihak kepada hasil percubaan. Kemudian kebarangkalian kejadian itu A dalam eksperimen ini dipanggil sikap. Jadi kita sampai kepada definisi berikut.

Kebarangkalian P(A) sesuatu peristiwa dalam eksperimen tertentu ialah nisbah bilangan hasil eksperimen yang menguntungkan kepada peristiwa A kepada jumlah bilangan hasil eksperimen yang mungkin yang membentuk kumpulan lengkap peristiwa tidak serasi berpasangan yang berkemungkinan sama: .

Takrifan kebarangkalian ini sering dipanggil klasik. Ia boleh ditunjukkan bahawa definisi klasik memenuhi aksiom kebarangkalian.

Contoh 1.1. Sekumpulan daripada 1000 galas. Saya masuk ke kumpulan ini secara tidak sengaja 30 galas yang tidak memenuhi piawaian. Tentukan kebarangkalian P(A) bahawa bearing yang diambil secara rawak akan menjadi standard.

Penyelesaian: Bilangan galas piawai ialah 1000-30=970 . Kami akan menganggap bahawa setiap galas mempunyai kebarangkalian yang sama untuk dipilih. Kemudian kumpulan acara yang lengkap terdiri daripada hasil yang berkemungkinan sama, yang mana peristiwa itu A memihak kepada hasil. sebab tu .

Contoh 1.2. Dalam balang 10 bola: 3 putih dan 7 hitam. Dua bola diambil dari urn sekaligus. Apakah kebarangkalian R bahawa kedua-dua bola bertukar menjadi putih?

Penyelesaian: Bilangan semua hasil ujian yang berkemungkinan sama adalah sama dengan bilangan cara di mana 10 keluarkan dua bola, iaitu bilangan kombinasi daripada 10 unsur oleh 2 (kumpulan acara penuh):

Bilangan hasil yang menggalakkan (dalam berapa banyak cara yang boleh dipilih oleh seseorang 3 pilih bola 2) : . Oleh itu, kebarangkalian yang diperlukan .

Memandang ke hadapan, masalah ini boleh diselesaikan dengan cara lain.

Penyelesaian: Kebarangkalian bahawa pada percubaan pertama (menarik keluar bola) bola putih akan ditarik adalah sama dengan (jumlah bola 10 , daripada mereka 3 putih). Kebarangkalian bahawa semasa percubaan kedua bola putih akan ditarik semula adalah sama dengan (jumlah bilangan bola sekarang 9, kerana mereka mengeluarkan satu, ia menjadi putih 2, kerana Mereka mengeluarkan yang putih). Akibatnya, kebarangkalian untuk menggabungkan peristiwa adalah sama dengan hasil darab kebarangkalian mereka, i.e. .

Contoh 1.3. Dalam balang 2 hijau, 7 merah, 5 coklat dan 10 bola putih. Apakah kebarangkalian bola berwarna muncul?

Penyelesaian: Kami mendapati, masing-masing, kebarangkalian penampilan bola hijau, merah dan coklat: ; ; . Oleh kerana peristiwa yang dipertimbangkan jelas tidak serasi, maka, dengan menggunakan aksiom penambahan, kita dapati kebarangkalian kemunculan bola berwarna:

Atau, dengan cara lain. Kebarangkalian bola putih muncul ialah . Kemudian kebarangkalian kemunculan bola bukan putih (iaitu berwarna), i.e. kebarangkalian kejadian yang bertentangan adalah sama dengan .

Takrif geometri kebarangkalian. Untuk mengatasi kelemahan definisi klasik kebarangkalian (ia tidak boleh digunakan untuk ujian dengan bilangan hasil yang tidak terhingga), definisi geometri kebarangkalian diperkenalkan - kebarangkalian titik jatuh ke dalam kawasan (segmen, sebahagian daripada satah, dan lain-lain.).

Biarkan segmen menjadi sebahagian daripada segmen. Satu titik diletakkan secara rawak pada segmen, yang bermaksud andaian berikut dipenuhi: titik yang diletakkan boleh berada di mana-mana titik pada segmen, kebarangkalian titik jatuh pada segmen adalah berkadar dengan panjang segmen ini dan tidak bergantung pada lokasinya berbanding dengan segmen. Di bawah andaian ini, kebarangkalian titik jatuh pada segmen ditentukan oleh kesamaan

Takrifan kebarangkalian klasik dan statistik

Untuk aktiviti praktikal, adalah perlu untuk dapat membandingkan peristiwa mengikut tahap kemungkinan kejadiannya. Mari kita pertimbangkan kes klasik. Terdapat 10 biji bola dalam urn, 8 daripadanya berwarna putih, 2 berwarna hitam. Jelas sekali, acara "bola putih akan diambil dari urn" dan acara "bola hitam akan dikeluarkan dari urn" mempunyai darjah kemungkinan yang berbeza untuk kejadiannya. Oleh itu, untuk membandingkan peristiwa, ukuran kuantitatif tertentu diperlukan.

Ukuran kuantitatif kemungkinan sesuatu kejadian berlaku ialah kebarangkalian . Takrifan kebarangkalian sesuatu peristiwa yang paling banyak digunakan ialah klasik dan statistik.

Definisi klasik kebarangkalian dikaitkan dengan konsep hasil yang menggalakkan. Mari kita lihat ini dengan lebih terperinci.

Biarkan hasil beberapa ujian membentuk kumpulan acara yang lengkap dan sama mungkin, i.e. unik mungkin, tidak serasi dan sama mungkin. Hasil sedemikian dipanggil hasil asas, atau kes. Dikatakan bahawa ujian itu bermuara kepada gambar rajah kes atau" skema balang", kerana Sebarang masalah kebarangkalian untuk ujian sedemikian boleh digantikan dengan masalah yang setara dengan guci dan bola warna yang berbeza.

Hasilnya dipanggil menguntungkan peristiwa A, jika berlakunya kes ini melibatkan berlakunya kejadian A.

Mengikut definisi klasik kebarangkalian kejadian A adalah sama dengan nisbah bilangan hasil yang menguntungkan acara ini kepada jumlah bilangan hasil, iaitu

,

(1.1)

di mana P(A)– kebarangkalian kejadian A; m– bilangan kes yang menguntungkan acara tersebut A; n– jumlah kes.

Contoh 1.1. Apabila melempar dadu, terdapat enam kemungkinan hasil: 1, 2, 3, 4, 5, 6 mata. Apakah kebarangkalian mendapat mata genap?

Penyelesaian. Semua n= 6 hasil membentuk kumpulan acara yang lengkap dan sama mungkin, i.e. unik mungkin, tidak serasi dan sama mungkin. Acara A - "penampilan bilangan mata genap" - digemari oleh 3 hasil (kes) - kehilangan 2, 4 atau 6 mata. Menggunakan formula klasik untuk kebarangkalian sesuatu peristiwa, kita perolehi

P(A) = = . ◄

Berdasarkan definisi klasik kebarangkalian sesuatu peristiwa, kami perhatikan sifatnya:

1. Kebarangkalian sebarang peristiwa terletak di antara sifar dan satu, i.e.

0 ≤ R(A) ≤ 1.

2. Kebarangkalian peristiwa yang boleh dipercayai adalah sama dengan satu.

3. Kebarangkalian kejadian mustahil ialah sifar.

Seperti yang dikatakan sebelum ini, takrifan klasik kebarangkalian hanya terpakai untuk peristiwa yang boleh timbul akibat ujian yang mempunyai simetri hasil yang mungkin, i.e. boleh dikurangkan kepada corak kes. Walau bagaimanapun, terdapat kelas besar peristiwa yang kebarangkaliannya tidak dapat dikira menggunakan definisi klasik.

Sebagai contoh, jika kita mengandaikan bahawa syiling diratakan, maka jelaslah bahawa peristiwa "penampilan jata" dan "penampilan kepala" tidak boleh dianggap sama mungkin. Oleh itu, formula untuk menentukan kebarangkalian mengikut skema klasik tidak boleh digunakan dalam kes ini.

Walau bagaimanapun, terdapat pendekatan lain untuk menganggarkan kebarangkalian kejadian, berdasarkan kekerapan kejadian tertentu akan berlaku dalam ujian yang dilakukan. Dalam kes ini, definisi statistik kebarangkalian digunakan.

Kebarangkalian statistikperistiwa A ialah kekerapan relatif (frekuensi) kejadian ini dalam n percubaan yang dilakukan, i.e.

,

(1.2)

di mana P*(A)– kebarangkalian statistik sesuatu peristiwa A; w(A)– kekerapan relatif acara A; m– bilangan percubaan di mana peristiwa itu berlaku A; n– jumlah bilangan ujian.

Tidak seperti kebarangkalian matematik P(A), dipertimbangkan dalam definisi klasik, kebarangkalian statistik P*(A) adalah ciri berpengalaman, percubaan. Dengan kata lain, kebarangkalian statistik sesuatu peristiwa A ialah nombor di sekeliling frekuensi relatif distabilkan (ditetapkan) w(A) dengan peningkatan tanpa had dalam bilangan ujian yang dijalankan di bawah set syarat yang sama.

Sebagai contoh, apabila mereka mengatakan tentang penembak bahawa dia mencapai sasaran dengan kebarangkalian 0.95, ini bermakna bahawa daripada ratusan tembakan yang dilepaskan olehnya dalam keadaan tertentu (sasaran yang sama pada jarak yang sama, senapang yang sama, dsb. ), secara purata terdapat kira-kira 95 yang berjaya. Sememangnya, tidak setiap ratus akan mempunyai 95 tangkapan yang berjaya, kadangkala akan ada lebih sedikit, kadangkala lebih, tetapi secara purata, apabila tangkapan diulang berkali-kali dalam keadaan yang sama, peratusan tangkapan ini akan kekal tidak berubah. Angka 0.95, yang berfungsi sebagai penunjuk kemahiran penembak, biasanya sangat stabil, iaitu peratusan pukulan dalam kebanyakan penangkapan akan hampir sama untuk penembak tertentu, hanya dalam kes yang jarang berlaku menyimpang dengan ketara daripada nilai puratanya.

Satu lagi kelemahan definisi klasik kebarangkalian ( 1.1 ) mengehadkan penggunaannya ialah ia menganggap bilangan terhingga hasil ujian yang mungkin. Dalam sesetengah kes, kelemahan ini boleh diatasi dengan menggunakan definisi geometri kebarangkalian, i.e. mencari kebarangkalian titik jatuh ke kawasan tertentu (segmen, bahagian satah, dll.).

Biarkan angka rata g membentuk sebahagian daripada rajah rata G(Gamb. 1.1). Sesuai G satu titik dilempar secara rawak. Ini bermakna semua titik di rantau ini G"hak sama rata" berkenaan dengan titik rawak yang dilemparkan mengenainya. Dengan mengandaikan bahawa kebarangkalian sesuatu peristiwa A– mata yang dilemparkan mengenai angka g– adalah berkadar dengan luas angka ini dan tidak bergantung pada lokasinya berbanding dengannya G, bukan dari borang g, kita akan jumpa

Masalah penentuan klasik kebarangkalian.
Contoh penyelesaian

Dalam pelajaran ketiga kita akan melihat pelbagai masalah yang melibatkan penggunaan langsung definisi klasik kebarangkalian. Untuk mengkaji bahan dalam artikel ini dengan berkesan, saya mengesyorkan agar anda membiasakan diri dengan konsep asas teori kebarangkalian Dan asas kombinatorik. Tugas menentukan kebarangkalian secara klasik dengan kebarangkalian cenderung kepada satu akan ada dalam kerja bebas/kawalan anda pada terver, jadi mari kita bersedia untuk kerja yang serius. Anda mungkin bertanya, apa yang serius tentang ini? ... hanya satu formula primitif. Saya memberi amaran kepada anda tentang kesembronoan - tugas tematik agak pelbagai, dan banyak daripada mereka boleh mengelirukan anda dengan mudah. Dalam hal ini, di samping mengerjakan pelajaran utama, cuba pelajari tugas tambahan mengenai topik yang ada di bank celengan penyelesaian siap sedia untuk matematik yang lebih tinggi. Teknik penyelesaian adalah teknik penyelesaian, tetapi "rakan" masih "perlu dikenali dengan penglihatan," kerana imaginasi yang kaya pun terhad dan terdapat juga tugas standard yang mencukupi. Baiklah, saya akan cuba menyelesaikan seberapa banyak yang mungkin dalam kualiti yang baik.

Mari kita ingat genre klasik:

Kebarangkalian kejadian berlaku dalam ujian tertentu adalah sama dengan nisbah , di mana:

– jumlah bilangan semua sama mungkin, rendah hasil ujian ini, yang membentuk kumpulan penuh acara;

- kuantiti rendah hasil yang menggalakkan untuk acara tersebut.

Dan segera hentian pit serta-merta. Adakah anda faham istilah yang digariskan? Ini bermakna pemahaman yang jelas, bukan intuitif. Jika tidak, maka lebih baik untuk kembali ke artikel pertama tentang teori kebarangkalian dan hanya selepas itu teruskan.

Tolong jangan melangkau contoh pertama - di dalamnya saya akan mengulangi satu perkara asas yang penting, dan juga memberitahu anda cara memformat penyelesaian dengan betul dan dengan cara apa ini boleh dilakukan:

Masalah 1

Sebuah guci mengandungi 15 bola putih, 5 merah dan 10 bola hitam. 1 bola dilukis secara rawak, cari kebarangkalian bahawa ia akan menjadi: a) putih, b) merah, c) hitam.

Penyelesaian: Prasyarat yang paling penting untuk menggunakan definisi klasik kebarangkalian ialah keupayaan untuk mengira jumlah bilangan hasil.

Terdapat sejumlah 15 + 5 + 10 = 30 bola dalam urn, dan jelas fakta berikut adalah benar:

– mendapatkan semula sebarang bola adalah sama mungkin (peluang sama rata hasil), manakala hasil rendah dan bentuk kumpulan penuh acara (iaitu, hasil daripada ujian, salah satu daripada 30 bola pasti akan dikeluarkan).

Oleh itu, jumlah keseluruhan hasil:

Pertimbangkan acara itu: – bola putih akan diambil dari tempayan. Acara ini digemari rendah hasil, oleh itu, mengikut definisi klasik:
– kebarangkalian bahawa sebiji bola putih akan diambil dari urn.

Anehnya, walaupun dalam tugas yang begitu mudah seseorang boleh membuat ketidaktepatan yang serius, yang telah saya fokuskan dalam artikel pertama tentang teori kebarangkalian. Di manakah perangkap di sini? Adalah tidak betul untuk berhujah di sini “Oleh kerana separuh bola berwarna putih, maka kebarangkalian untuk menarik bola putih» . Takrif klasik kebarangkalian merujuk kepada ELEMENTARY hasil, dan pecahan mesti ditulis!

Dengan perkara lain, begitu juga, pertimbangkan peristiwa berikut:

– bola merah akan diambil dari balang;
– sebiji bola hitam akan diambil dari urn.

Satu acara digemari oleh 5 hasil asas, dan satu acara digemari oleh 10 hasil asas. Jadi kebarangkalian yang sepadan ialah:

Pemeriksaan biasa bagi banyak tugas pelayan dijalankan menggunakan teorem tentang jumlah kebarangkalian kejadian membentuk kumpulan lengkap. Dalam kes kami, peristiwa membentuk kumpulan lengkap, yang bermaksud jumlah kebarangkalian yang sepadan semestinya sama dengan satu: .

Mari semak sama ada ini benar: itulah yang saya ingin pastikan.

Jawab:

Pada dasarnya, jawapannya boleh ditulis dengan lebih terperinci, tetapi secara peribadi, saya biasa meletakkan hanya nombor di sana - atas sebab apabila anda mula "menghapuskan" masalah dalam ratusan dan ribuan, anda cuba mengurangkan penulisan penyelesaiannya sebaik mungkin. Ngomong-ngomong, tentang singkatnya: dalam praktiknya, pilihan reka bentuk "kelajuan tinggi" adalah perkara biasa penyelesaian:

Jumlah: 15 + 5 + 10 = 30 bola dalam urn. Mengikut definisi klasik:
– kebarangkalian bahawa bola putih akan diambil dari urn;
– kebarangkalian bahawa bola merah akan diambil dari urn;
– kebarangkalian bahawa sebiji bola hitam akan diambil dari urn.

Jawab:

Walau bagaimanapun, jika terdapat beberapa perkara dalam keadaan, maka selalunya lebih mudah untuk merumuskan penyelesaian dengan cara pertama, yang mengambil sedikit masa lagi, tetapi pada masa yang sama "meletakkan segala-galanya di rak" dan menjadikannya lebih mudah untuk menavigasi masalah.

Mari memanaskan badan:

Masalah 2

Kedai itu menerima 30 peti sejuk, lima daripadanya mempunyai kecacatan pembuatan. Satu peti sejuk dipilih secara rawak. Apakah kebarangkalian bahawa ia akan menjadi tanpa kecacatan?

Pilih pilihan reka bentuk yang sesuai dan semak sampel di bahagian bawah halaman.

Dalam contoh paling mudah, bilangan biasa dan bilangan hasil yang menggalakkan terletak di permukaan, tetapi dalam kebanyakan kes anda perlu menggali kentang sendiri. Satu siri masalah kanonik tentang pelanggan yang pelupa:

Masalah 3

Apabila mendail nombor telefon, pelanggan terlupa dua digit terakhir, tetapi ingat bahawa satu daripadanya adalah sifar dan satu lagi adalah ganjil. Cari kebarangkalian bahawa dia akan mendail nombor yang betul.

Catatan : sifar ialah nombor genap (boleh dibahagi dengan 2 tanpa baki)

Penyelesaian: Mula-mula kita mencari jumlah bilangan hasil. Dengan syarat, pelanggan ingat bahawa salah satu digit adalah sifar, dan digit yang lain adalah ganjil. Di sini adalah lebih rasional untuk tidak rumit dengan kombinatorik dan penggunaan kaedah penyenaraian langsung hasil . Iaitu, apabila membuat penyelesaian, kami hanya menulis semua kombinasi:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

Dan kami mengira mereka - secara keseluruhan: 10 hasil.

Terdapat hanya satu hasil yang menggalakkan: nombor yang betul.

Mengikut definisi klasik:
– kebarangkalian bahawa pelanggan akan mendail nombor yang betul

Jawab: 0,1

Pecahan perpuluhan kelihatan agak sesuai dalam teori kebarangkalian, tetapi anda juga boleh mematuhi gaya Vyshmatov tradisional, beroperasi hanya dengan pecahan biasa.

Tugas lanjutan untuk penyelesaian bebas:

Masalah 4

Pelanggan telah terlupa kod PIN untuk kad SIMnya, tetapi ingat bahawa ia mengandungi tiga "lima", dan salah satu daripada nombor itu sama ada "tujuh" atau "lapan". Apakah kebarangkalian kebenaran yang berjaya pada percubaan pertama?

Di sini anda juga boleh membangunkan idea kemungkinan bahawa pelanggan akan menghadapi hukuman dalam bentuk kod puk, tetapi, malangnya, alasan akan melampaui skop pelajaran ini

Penyelesaian dan jawapannya ada di bawah.

Kadangkala kombinasi penyenaraian ternyata menjadi tugas yang sangat teliti. Khususnya, ini adalah kes dalam kumpulan masalah seterusnya, tidak kurang popular, di mana 2 dadu dilancarkan (kurang kerap - kuantiti yang lebih besar):

Masalah 5

Cari kebarangkalian bahawa apabila membaling dua dadu jumlah nombor ialah:

a) lima mata;
b) tidak lebih daripada empat mata;
c) daripada 3 hingga 9 mata termasuk.

Penyelesaian: cari jumlah bilangan hasil:

Cara sebelah 1st die boleh gugur Dan dengan cara yang berbeza sisi kiub ke-2 boleh jatuh; Oleh peraturan untuk mendarab gabungan, Jumlah: kombinasi yang mungkin. Dalam kata lain, setiap satu muka 1st cube boleh mengarahkan beberapa dengan masing-masing tepi kubus ke-2. Marilah kita bersetuju untuk menulis pasangan sedemikian dalam bentuk , di manakah nombor yang digulung pada dadu pertama, adalah nombor yang digulung pada dadu ke-2. Sebagai contoh:

– dadu pertama mendapat 3 mata, dadu kedua mendapat 5 mata, jumlah mata: 3 + 5 = 8;
– dadu pertama mendapat 6 mata, dadu kedua mendapat 1 mata, jumlah mata: 6 + 1 = 7;
– 2 mata dilempar pada kedua-dua dadu, jumlah: 2 + 2 = 4.

Jelas sekali, jumlah terkecil diberikan oleh sepasang, dan yang terbesar oleh dua "enam".

a) Pertimbangkan acara: – apabila membaling dua dadu, 5 mata akan muncul. Mari tulis dan hitung bilangan hasil yang memihak kepada acara ini:

Jumlah: 4 hasil yang menggalakkan. Mengikut definisi klasik:
– kebarangkalian yang diingini.

b) Pertimbangkan acara: – tidak lebih daripada 4 mata akan digulung. Iaitu, sama ada 2, atau 3, atau 4 mata. Sekali lagi kami menyenaraikan dan mengira kombinasi yang menguntungkan, di sebelah kiri saya akan menulis jumlah mata, dan selepas titik bertindih - pasangan yang sesuai:

Jumlah: 6 kombinasi yang menggalakkan. Oleh itu:
– kebarangkalian bahawa tidak lebih daripada 4 mata akan digulung.

c) Pertimbangkan acara: – 3 hingga 9 mata akan dilancarkan, termasuk. Di sini anda boleh mengambil jalan lurus, tetapi... atas sebab tertentu anda tidak mahu. Ya, beberapa pasangan telah disenaraikan dalam perenggan sebelumnya, tetapi masih banyak kerja yang perlu dilakukan.

Apakah cara terbaik untuk meneruskan? Dalam kes sedemikian, laluan bulatan ternyata rasional. Mari kita pertimbangkan peristiwa bertentangan: – 2 atau 10 atau 11 atau 12 mata akan dilancarkan.

Apa gunanya? Peristiwa sebaliknya digemari oleh bilangan pasangan yang jauh lebih kecil:

Jumlah: 7 hasil yang menggalakkan.

Mengikut definisi klasik:
– kebarangkalian bahawa anda akan melancarkan kurang daripada tiga atau lebih daripada 9 mata.

Selain penyenaraian langsung dan pengiraan hasil, pelbagai formula gabungan. Dan sekali lagi masalah epik mengenai lif:

Masalah 7

3 orang memasuki lif bangunan 20 tingkat di tingkat satu. Dan mari kita pergi. Cari kebarangkalian bahawa:

a) mereka akan keluar di tingkat yang berbeza
b) dua akan keluar di tingkat yang sama;
c) semua orang akan turun di tingkat yang sama.

Pelajaran menarik kami telah berakhir, dan akhirnya, saya sekali lagi sangat mengesyorkan bahawa jika tidak menyelesaikan, maka sekurang-kurangnya fikirkan masalah tambahan pada penentuan klasik kebarangkalian. Seperti yang telah saya nyatakan, "lapik tangan" juga penting!

Selanjutnya sepanjang kursus - Takrif geometri kebarangkalian Dan Teorem penambahan dan pendaraban kebarangkalian dan... nasib dalam perkara utama!

Penyelesaian dan Jawapan:

Tugasan 2: Penyelesaian: 30 – 5 = 25 peti sejuk tiada kecacatan.

– kebarangkalian peti sejuk yang dipilih secara rawak tidak mempunyai kecacatan.
Jawab :

Tugasan 4: Penyelesaian: cari jumlah bilangan hasil:
cara anda boleh memilih tempat di mana nombor yang meragukan itu terletak dan pada setiap Daripada 4 tempat ini, 2 digit boleh dikesan (tujuh atau lapan). Mengikut peraturan pendaraban gabungan, jumlah bilangan hasil: .
Sebagai alternatif, penyelesaiannya hanya boleh menyenaraikan semua hasil (nasib baik terdapat beberapa daripadanya):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
Terdapat hanya satu hasil yang menggalakkan (kod pin yang betul).
Oleh itu, menurut definisi klasik:
– kebarangkalian bahawa pelanggan log masuk pada percubaan pertama
Jawab :

Tugasan 6: Penyelesaian: cari jumlah bilangan hasil:
nombor pada 2 dadu boleh muncul dalam cara yang berbeza.

a) Pertimbangkan peristiwa: – apabila membaling dua dadu, hasil darab mata akan bersamaan dengan tujuh. Tiada hasil yang menggalakkan untuk peristiwa tertentu, mengikut takrifan klasik kebarangkalian:
, iaitu peristiwa ini adalah mustahil.

b) Pertimbangkan acara: – apabila membaling dua dadu, hasil darab mata akan sekurang-kurangnya 20. Keputusan berikut adalah baik untuk acara ini:

Jumlah: 8
Mengikut definisi klasik:
– kebarangkalian yang diingini.

c) Pertimbangkan peristiwa yang bertentangan:
– hasil darab mata akan menjadi genap;
– hasil darab mata akan menjadi ganjil.
Mari kita senaraikan semua hasil yang menguntungkan acara tersebut:

Jumlah: 9 hasil yang menggalakkan.
Menurut definisi klasik kebarangkalian:
Peristiwa bertentangan membentuk kumpulan yang lengkap, oleh itu:
– kebarangkalian yang diingini.

Jawab :

Masalah 8: Penyelesaian: mari kita hitung jumlah bilangan hasil: 10 syiling boleh jatuh dengan cara yang berbeza.
Cara lain: cara syiling pertama boleh jatuh Dan cara syiling ke-2 boleh jatuh Dan … Dan cara syiling ke-10 boleh jatuh. Mengikut peraturan gabungan darab, 10 syiling boleh jatuh cara.
a) Pertimbangkan acara: – kepala akan muncul pada semua syiling. Peristiwa ini digemari oleh hasil tunggal, mengikut takrifan klasik kebarangkalian: .
b) Pertimbangkan peristiwa: – 9 syiling akan mendarat kepala, dan satu syiling akan mendarat ekor.
Terdapat syiling yang boleh hinggap di kepala. Menurut definisi klasik kebarangkalian: .
c) Pertimbangkan peristiwa: – kepala akan muncul pada separuh daripada syiling.
wujud gabungan unik lima syiling yang boleh mendarat. Menurut definisi klasik kebarangkalian:
Jawab :

Kebarangkalian sesuatu peristiwa difahami sebagai ciri berangka tertentu kemungkinan berlakunya peristiwa ini. Terdapat beberapa pendekatan untuk menentukan kebarangkalian.

Kebarangkalian kejadian A dipanggil nisbah bilangan hasil yang menguntungkan acara ini kepada jumlah bilangan semua hasil asas tidak serasi yang sama mungkin yang membentuk kumpulan lengkap. Jadi, kebarangkalian kejadian itu A ditentukan oleh formula

di mana m– bilangan hasil asas yang menggalakkan A, n– bilangan semua kemungkinan hasil ujian asas.

Contoh 3.1. Dalam eksperimen yang melibatkan balingan dadu, bilangan semua hasil n sama dengan 6 dan semuanya sama mungkin. Biarkan acara itu A bermaksud rupa nombor genap. Kemudian untuk acara ini, hasil yang menggalakkan ialah kemunculan nombor 2, 4, 6. Nombor mereka ialah 3. Oleh itu, kebarangkalian acara itu A sama dengan

Contoh 3.2. Apakah kebarangkalian nombor dua digit yang dipilih secara rawak mempunyai digit yang sama?

Nombor dua digit adalah nombor dari 10 hingga 99, terdapat 90 nombor sedemikian dalam jumlah 9 nombor mempunyai digit yang sama (ini adalah nombor 11, 22, ..., 99). Sejak dalam kes ini m=9, n=90, maka

di mana A– peristiwa, “nombor dengan digit yang sama.”

Contoh 3.3. Dalam kumpulan 10 bahagian, 7 adalah standard. Cari kebarangkalian bahawa antara enam bahagian yang diambil secara rawak, 4 adalah piawai.

Jumlah bilangan hasil ujian asas yang mungkin adalah sama dengan bilangan cara di mana 6 bahagian boleh diekstrak daripada 10, iaitu bilangan gabungan 10 unsur 6 unsur setiap satu. Marilah kita tentukan bilangan hasil yang sesuai untuk acara yang menarik minat kita A(antara enam bahagian yang diambil terdapat 4 bahagian standard). Empat bahagian standard boleh diambil daripada tujuh bahagian standard dengan cara yang berbeza; pada masa yang sama, baki 6-4=2 bahagian mestilah bukan standard, tetapi anda boleh mengambil dua bahagian bukan standard daripada 10-7=3 bahagian bukan standard dengan cara yang berbeza. Oleh itu, bilangan hasil yang menggalakkan adalah sama dengan .

Maka kebarangkalian yang diperlukan adalah sama dengan

Sifat-sifat berikut mengikut takrifan kebarangkalian:

1. Kebarangkalian peristiwa yang boleh dipercayai adalah sama dengan satu.

Sesungguhnya, jika acara itu boleh dipercayai, maka setiap keputusan asas ujian itu memihak kepada acara itu. Dalam kes ini m=n, oleh itu

2. Kebarangkalian kejadian mustahil ialah sifar.

Sesungguhnya, jika sesuatu peristiwa itu mustahil, maka tiada satu pun hasil asas ujian itu memihak kepada peristiwa itu. Dalam kes ini bermakna

3. Kebarangkalian kejadian rawak ialah nombor positif antara sifar dan satu.

Sesungguhnya, hanya sebahagian daripada jumlah hasil asas ujian yang digemari oleh peristiwa rawak. Dalam kes ini< m< n, bermakna 0 < m/n < 1, iaitu 0< P(A) < 1. Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

Pembinaan teori kebarangkalian yang lengkap secara logik adalah berdasarkan takrifan aksiomatik bagi peristiwa rawak dan kebarangkaliannya. Dalam sistem aksiom yang dicadangkan oleh A. N. Kolmogorov, konsep yang tidak ditentukan adalah peristiwa asas dan kebarangkalian. Berikut ialah aksiom yang mentakrifkan kebarangkalian:

1. Setiap peristiwa A diberikan nombor nyata bukan negatif P(A). Nombor ini dipanggil kebarangkalian kejadian A.

2. Kebarangkalian peristiwa yang boleh dipercayai adalah sama dengan satu.

3. Kebarangkalian berlakunya sekurang-kurangnya satu daripada peristiwa tidak serasi berpasangan adalah sama dengan jumlah kebarangkalian peristiwa ini.

Berdasarkan aksiom ini, sifat kebarangkalian dan kebergantungan di antara mereka diterbitkan sebagai teorem.

Soalan ujian kendiri

1. Apakah nama ciri berangka bagi kemungkinan sesuatu peristiwa berlaku?

2. Apakah kebarangkalian sesuatu peristiwa?

3. Apakah kebarangkalian kejadian yang boleh dipercayai?

4. Apakah kebarangkalian kejadian mustahil?

5. Apakah had kebarangkalian kejadian rawak?

6. Apakah had kebarangkalian sebarang kejadian?

7. Apakah takrifan kebarangkalian yang dipanggil klasik?