Terbitan fungsi. Panduan Komprehensif (2019)
Cuba kita bayangkan jalan lurus yang melalui kawasan berbukit. Iaitu, ia naik dan turun, tetapi tidak membelok ke kanan atau kiri. Jika paksi diarahkan secara mendatar di sepanjang jalan dan menegak, maka garisan jalan akan sangat serupa dengan graf beberapa fungsi berterusan:
Paksi adalah tahap ketinggian sifar tertentu; dalam kehidupan kita menggunakan paras laut sebagainya.
Semasa kita bergerak ke hadapan di sepanjang jalan sedemikian, kita juga bergerak ke atas atau ke bawah. Kita juga boleh mengatakan: apabila hujah berubah (pergerakan sepanjang paksi abscissa), nilai fungsi berubah (pergerakan sepanjang paksi ordinat). Sekarang mari kita fikirkan bagaimana untuk menentukan "kecuraman" jalan kita? Apakah jenis nilai ini? Ia sangat mudah: berapa banyak ketinggian akan berubah apabila bergerak ke hadapan pada jarak tertentu. Lagipun, pada kawasan yang berbeza jalan raya, bergerak ke hadapan (sepanjang paksi-x) sejauh satu kilometer, kita akan naik atau turun kuantiti yang berbeza meter berbanding paras laut (di sepanjang paksi ordinat).
Mari kita nyatakan kemajuan (baca "delta x").
Huruf Yunani (delta) biasanya digunakan dalam matematik sebagai awalan yang bermaksud "perubahan". Iaitu - ini adalah perubahan dalam kuantiti, - perubahan; kemudian apa itu? Betul, perubahan magnitud.
Penting: ungkapan ialah satu keseluruhan, satu pembolehubah. Jangan sekali-kali memisahkan "delta" daripada "x" atau mana-mana huruf lain!
Iaitu, sebagai contoh,.
Jadi, kami telah bergerak ke hadapan, secara mendatar, dengan. Jika kita membandingkan garis jalan dengan graf fungsi, maka bagaimana kita menyatakan kenaikan? Pastinya, . Iaitu, apabila kita bergerak ke hadapan, kita meningkat lebih tinggi. Nilainya mudah dikira: jika pada mulanya kita berada pada ketinggian, dan selepas bergerak kita mendapati diri kita berada pada ketinggian, maka. Jika titik akhir
ternyata lebih rendah daripada yang awal, ia akan menjadi negatif - ini bermakna kita tidak menaik, tetapi menurun.
Mari kembali ke "kecuraman": ini ialah nilai yang menunjukkan berapa banyak (curam) ketinggian meningkat apabila bergerak ke hadapan satu unit jarak:
Sekarang mari kita lihat di puncak bukit. Jika anda mengambil permulaan bahagian setengah kilometer sebelum puncak, dan penghujung setengah kilometer selepas itu, anda dapat melihat bahawa ketinggiannya hampir sama.
Iaitu, mengikut logik kita, ternyata cerun di sini hampir sama dengan sifar, yang jelas tidak benar. Hanya dalam jarak kilometer banyak boleh berubah. Kawasan yang lebih kecil perlu dipertimbangkan untuk lebih mencukupi dan penilaian yang tepat kecuraman. Sebagai contoh, jika anda mengukur perubahan ketinggian semasa anda bergerak satu meter, hasilnya akan menjadi lebih tepat. Tetapi ketepatan ini mungkin tidak mencukupi untuk kita - lagipun, jika ada tiang di tengah jalan, kita boleh melepasinya. Apakah jarak yang harus kita pilih kemudian? Sentimeter? milimeter? Kurang lebih!
DALAM kehidupan sebenar Mengukur jarak ke milimeter terdekat adalah lebih daripada mencukupi. Tetapi ahli matematik sentiasa berusaha untuk kesempurnaan. Oleh itu, konsep itu dicipta sangat kecil, iaitu, nilai mutlak adalah kurang daripada sebarang nombor yang boleh kita namakan. Sebagai contoh, anda berkata: satu trilion! berapa kurang? Dan anda membahagikan nombor ini dengan - dan ia akan menjadi lebih sedikit. Dan seterusnya. Jika kita ingin menulis bahawa kuantiti adalah sangat kecil, kita menulis seperti ini: (kita membaca "x cenderung kepada sifar"). Ia sangat penting untuk difahami bahawa nombor ini tidak sama dengan sifar! Tetapi sangat dekat dengannya. Ini bermakna anda boleh membahagikannya.
Konsep yang bertentangan dengan infinitesimal ialah infinites large (). Anda mungkin telah menemuinya semasa anda mengusahakan ketidaksamaan: nombor ini adalah modulo lebih besar daripada sebarang nombor yang anda boleh fikirkan. Jika anda menghasilkan nombor terbesar yang mungkin, hanya darabkan dengan dua dan anda akan mendapat nombor yang lebih besar. Dan infiniti masih lebih-lebih lagi apa yang akan berlaku. Sebenarnya, yang tidak terhingga besar dan yang tidak terhingga kecil adalah songsang antara satu sama lain, iaitu, di, dan sebaliknya: at.
Sekarang mari kita kembali ke jalan kita. Cerun yang dikira ideal ialah cerun yang dikira untuk segmen laluan yang sangat kecil, iaitu:
Saya perhatikan bahawa dengan anjakan sangat kecil, perubahan ketinggian juga akan menjadi sangat kecil. Tetapi izinkan saya mengingatkan anda bahawa sangat kecil tidak bermakna sama dengan sifar. Jika anda membahagi nombor terhingga dengan satu sama lain, anda boleh mendapatkan agak nombor biasa, Sebagai contoh, . Iaitu, satu nilai kecil boleh menjadi tepat kali lebih besar daripada yang lain.
Untuk apa semua ini? Jalan, kecuramannya... Kami tidak akan mengadakan perhimpunan kereta, tetapi kami mengajar matematik. Dan dalam matematik semuanya betul-betul sama, hanya dipanggil berbeza.
Konsep terbitan
Terbitan bagi fungsi ialah nisbah kenaikan fungsi kepada kenaikan hujah untuk kenaikan hujah yang sangat kecil.
secara berperingkat dalam matematik mereka panggil perubahan. Sejauh mana hujah () berubah semasa ia bergerak di sepanjang paksi dipanggil pertambahan hujah dan ditetapkan Berapa banyak fungsi (ketinggian) telah berubah apabila bergerak ke hadapan sepanjang paksi dengan jarak dipanggil kenaikan fungsi dan ditetapkan.
Jadi, terbitan fungsi ialah nisbah kepada bila. Kami menandakan terbitan dengan huruf yang sama dengan fungsi, hanya dengan perdana di bahagian atas sebelah kanan: atau ringkasnya. Jadi, mari kita tulis formula terbitan menggunakan tatatanda ini:
Seperti dalam analogi dengan jalan, di sini apabila fungsi meningkat, terbitan adalah positif, dan apabila ia menurun, ia adalah negatif.
Bolehkah terbitan sama dengan sifar? Sudah tentu. Sebagai contoh, jika kita memandu di jalan mendatar yang rata, kecuramannya adalah sifar. Dan memang benar, ketinggian tidak berubah sama sekali. Begitu juga dengan derivatif: terbitan bagi fungsi malar (malar) adalah sama dengan sifar:
kerana kenaikan fungsi sedemikian adalah sama dengan sifar untuk sebarang.
Mari kita ingat contoh puncak bukit. Ternyata ia adalah mungkin untuk mengatur hujung segmen bersama sisi yang berbeza dari atas, supaya ketinggian di hujung adalah sama, iaitu, segmen selari dengan paksi:
Tetapi segmen besar adalah tanda pengukuran yang tidak tepat. Kami akan menaikkan segmen kami selari dengan dirinya sendiri, maka panjangnya akan berkurangan.
Akhirnya, apabila kita hampir tidak terhingga dengan bahagian atas, panjang segmen akan menjadi sangat kecil. Tetapi pada masa yang sama, ia kekal selari dengan paksi, iaitu, perbezaan ketinggian di hujungnya adalah sama dengan sifar (ia tidak cenderung, tetapi sama dengan). Jadi terbitan
Ini boleh difahami dengan cara ini: apabila kita berdiri di bahagian paling atas, anjakan kecil ke kiri atau kanan mengubah ketinggian kita secara diabaikan.
Terdapat juga penjelasan algebra semata-mata: di sebelah kiri bucu fungsi meningkat, dan ke kanan ia berkurangan. Seperti yang kita ketahui sebelum ini, apabila fungsi bertambah, terbitan adalah positif, dan apabila ia menurun, ia negatif. Tetapi ia berubah dengan lancar, tanpa lompatan (kerana jalan tidak mengubah cerunnya secara mendadak di mana-mana). Oleh itu, antara negatif dan nilai positif pasti ada. Ia akan menjadi tempat fungsi tidak meningkat atau berkurangan - pada titik puncak.
Perkara yang sama berlaku untuk palung (kawasan di mana fungsi di sebelah kiri berkurangan dan di sebelah kanan meningkat):
Sedikit lagi tentang kenaikan.
Jadi kita tukar hujah kepada magnitud. Kita tukar dari nilai apa? Apa sudah jadi (hujah) sekarang? Kami boleh memilih mana-mana titik, dan sekarang kami akan menari daripadanya.
Pertimbangkan satu titik dengan koordinat. Nilai fungsi di dalamnya adalah sama. Kemudian kami melakukan kenaikan yang sama: kami meningkatkan koordinat dengan. Apa hujahnya sekarang? Sangat mudah: . Apakah nilai fungsi itu sekarang? Di mana hujah pergi, begitu juga dengan fungsi: . Bagaimana pula dengan kenaikan fungsi? Tiada apa-apa yang baharu: ini masih merupakan jumlah yang mana fungsi telah berubah:
Berlatih mencari kenaikan:
- Cari kenaikan fungsi pada titik apabila kenaikan hujah adalah sama dengan.
- Begitu juga dengan fungsi pada satu titik.
Penyelesaian:
DALAM titik yang berbeza dengan kenaikan hujah yang sama, kenaikan fungsi akan berbeza. Ini bermakna derivatif pada setiap titik adalah berbeza (kami membincangkan perkara ini pada awal-awal lagi - kecuraman jalan adalah berbeza pada titik yang berbeza). Oleh itu, apabila kita menulis derivatif, kita mesti menunjukkan pada titik mana:
Fungsi kuasa.
Fungsi kuasa ialah fungsi di mana hujahnya berada pada tahap tertentu (logik, bukan?).
Lebih-lebih lagi - setakat mana pun: .
Kes paling mudah- ini adalah apabila eksponen:
Mari cari terbitannya pada satu titik. Mari kita ingat definisi terbitan:
Jadi hujah berubah dari kepada. Apakah pertambahan fungsi itu?
Kenaikan adalah ini. Tetapi fungsi pada mana-mana titik adalah sama dengan hujahnya. Itulah sebabnya:
Derivatif adalah sama dengan:
Terbitan bagi adalah sama dengan:
b) Sekarang pertimbangkan fungsi kuadratik (): .
Sekarang mari kita ingat itu. Ini bermakna bahawa nilai kenaikan boleh diabaikan, kerana ia adalah sangat kecil, dan oleh itu tidak penting dengan latar belakang istilah lain:
Jadi, kami datang dengan peraturan lain:
c) Kami meneruskan siri logik: .
Ungkapan ini boleh dipermudahkan dengan cara yang berbeza: buka kurungan pertama menggunakan formula untuk pendaraban singkatan kubus hasil tambah, atau memfaktorkan keseluruhan ungkapan menggunakan formula perbezaan kubus. Cuba lakukan sendiri menggunakan mana-mana kaedah yang dicadangkan.
Jadi, saya mendapat perkara berikut:
Dan sekali lagi mari kita ingat itu. Ini bermakna kita boleh mengabaikan semua istilah yang mengandungi:
Kami mendapat: .
d) Peraturan serupa boleh didapati untuk kuasa besar:
e) Ternyata peraturan ini boleh digeneralisasikan untuk fungsi kuasa dengan eksponen sewenang-wenangnya, malah bukan integer:
| (2) |
Peraturan itu boleh dirumuskan dalam perkataan: "darjah dibawa ke hadapan sebagai pekali, dan kemudian dikurangkan dengan ."
Kami akan membuktikan peraturan ini kemudian (hampir pada penghujungnya). Sekarang mari kita lihat beberapa contoh. Cari terbitan bagi fungsi:
- (dalam dua cara: dengan formula dan menggunakan takrifan derivatif - dengan mengira kenaikan fungsi);
- . Percaya atau tidak, ini adalah fungsi kuasa. Jika anda mempunyai soalan seperti "Bagaimana ini? Mana ijazah?”, ingat topik “”!
Ya, ya, akarnya juga ijazah, hanya pecahan: .
Ini bermakna punca kuasa dua kita hanyalah kuasa dengan eksponen:
.
Kami mencari derivatif menggunakan formula yang baru dipelajari:Jika pada ketika ini ia menjadi tidak jelas lagi, ulangi topik “”!!! (tentang ijazah dengan penunjuk negatif)
- . Sekarang eksponen:
Dan sekarang melalui definisi (adakah anda sudah lupa?):
;
.
Sekarang, seperti biasa, kami mengabaikan istilah yang mengandungi:
. - . Gabungan kes terdahulu: .
Fungsi trigonometri.
Di sini kita akan menggunakan satu fakta daripada matematik yang lebih tinggi:
Dengan ekspresi.
Anda akan mempelajari buktinya pada tahun pertama institut (dan untuk sampai ke sana, anda perlu lulus Peperiksaan Negeri Bersepadu dengan baik). Sekarang saya hanya akan menunjukkannya secara grafik:
Kami melihat bahawa apabila fungsi itu tidak wujud - titik pada graf dipotong. Tetapi semakin dekat dengan nilai, semakin dekat fungsi itu.
Selain itu, anda boleh menyemak peraturan ini menggunakan kalkulator. Ya, ya, jangan segan, ambil kalkulator, kita belum berada di Peperiksaan Negeri Bersepadu lagi.
Jadi, jom cuba: ;
Jangan lupa tukar kalkulator anda kepada mod Radians!
dll. Kami melihat bahawa semakin kurang, semakin nilai yang lebih dekat hubungan dengan
a) Pertimbangkan fungsinya. Seperti biasa, mari cari kenaikannya:
Mari tukarkan perbezaan sinus kepada produk. Untuk melakukan ini, kami menggunakan formula (ingat topik ""): .
Sekarang derivatifnya:
Jom buat pengganti: . Kemudian untuk infinitesimal ia juga infinitesimal: . Ungkapan untuk mengambil bentuk:
Dan sekarang kita ingat itu dengan ungkapan. Dan juga, bagaimana jika kuantiti yang tidak terhingga boleh diabaikan dalam jumlah (iaitu, pada).
Jadi kita dapat peraturan seterusnya:terbitan sinus adalah sama dengan kosinus:
Ini adalah terbitan asas (“jadual”). Inilah mereka dalam satu senarai:
Kemudian kami akan menambah beberapa lagi kepada mereka, tetapi ini adalah yang paling penting, kerana ia digunakan paling kerap.
Amalan:
- Cari terbitan bagi fungsi pada satu titik;
- Cari terbitan bagi fungsi itu.
Penyelesaian:
- Mula-mula, mari kita cari derivatif dalam pandangan umum, dan kemudian gantikan nilainya:
;
. - Di sini kita mempunyai sesuatu yang serupa dengan fungsi kuasa. Mari cuba bawa dia ke
pandangan biasa:
.
Hebat, kini anda boleh menggunakan formula:
.
. - . Eeeeee.....Apa ni????
Okay, anda betul, kami belum tahu cara mencari derivatif sedemikian. Di sini kita mempunyai gabungan beberapa jenis fungsi. Untuk bekerja dengan mereka, anda perlu mempelajari beberapa peraturan lagi:
Logaritma eksponen dan asli.
Terdapat fungsi dalam matematik yang terbitan untuk sebarang nilai adalah sama dengan nilai fungsi itu sendiri pada masa yang sama. Ia dipanggil "eksponen", dan merupakan fungsi eksponen
Asas fungsi ini adalah pemalar - ia tidak terhingga perpuluhan, iaitu nombor tak rasional (seperti). Ia dipanggil "nombor Euler", itulah sebabnya ia dilambangkan dengan huruf.
Jadi, peraturannya:
Sangat mudah untuk diingati.
Baiklah, jangan pergi jauh, mari lihat dengan segera fungsi songsang. Fungsi yang manakah adalah songsang daripada fungsi eksponen? Logaritma:
Dalam kes kami, asasnya ialah nombor:
Logaritma sedemikian (iaitu, logaritma dengan asas) dipanggil "semula jadi", dan kami menggunakan notasi khas untuknya: kami menulis sebaliknya.
Apakah ia sama dengan? Sudah tentu.
Terbitan logaritma asli juga sangat mudah:
Contoh:
- Cari terbitan bagi fungsi itu.
- Apakah terbitan bagi fungsi tersebut?
Jawapan: Pempamer dan logaritma semula jadi- fungsi unik mudah dari segi derivatif. Fungsi eksponen dan logaritma dengan mana-mana asas lain akan mempunyai derivatif yang berbeza, yang akan kita analisis kemudian, selepas mari kita ikuti peraturan pembezaan.
Peraturan pembezaan
Peraturan apa? sekali lagi istilah baru, lagi?!...
Pembezaan ialah proses mencari terbitan.
Itu sahaja. Apa lagi yang boleh anda panggil proses ini dalam satu perkataan? Bukan terbitan... Pembezaan ahli matematik ialah kenaikan yang sama bagi fungsi di. Istilah ini berasal dari differentia Latin - perbezaan. Di sini.
Apabila memperoleh semua peraturan ini, kami akan menggunakan dua fungsi, sebagai contoh, dan. Kami juga memerlukan formula untuk kenaikannya:
Terdapat 5 peraturan secara keseluruhan.
Pemalar dikeluarkan daripada tanda terbitan.
Jika - beberapa nombor tetap(malar), kemudian.
Jelas sekali, peraturan ini juga berfungsi untuk perbezaan: .
Jom buktikan. Biarlah, atau lebih mudah.
Contoh.
Cari terbitan bagi fungsi:
- pada satu titik;
- pada satu titik;
- pada satu titik;
- pada titik.
Penyelesaian:
- (derivatif adalah sama di semua titik, kerana ini fungsi linear, ingat?);
Derivatif produk
Semuanya serupa di sini: mari masuk ciri baharu dan cari kenaikannya:
Derivatif:
Contoh:
- Cari terbitan bagi fungsi dan;
- Cari terbitan bagi fungsi pada satu titik.
Penyelesaian:
Terbitan bagi fungsi eksponen
Sekarang pengetahuan anda sudah cukup untuk mempelajari cara mencari derivatif mana-mana fungsi eksponen, dan bukan hanya eksponen (adakah anda sudah lupa apakah itu?).
Jadi, mana ada nombor.
Kami sudah mengetahui terbitan fungsi tersebut, jadi mari cuba bawa fungsi kami ke pangkalan baharu:
Untuk ini kami akan gunakan peraturan mudah: . Kemudian:
Nah, ia berjaya. Sekarang cuba cari derivatif, dan jangan lupa bahawa fungsi ini adalah kompleks.
Adakah ia berkesan?
Di sini, semak diri anda:
Formula itu ternyata sangat serupa dengan terbitan eksponen: seperti sediakala, ia tetap sama, hanya faktor yang muncul, iaitu hanya nombor, tetapi bukan pembolehubah.
Contoh:
Cari terbitan bagi fungsi:
Jawapan:
Ini hanyalah nombor yang tidak boleh dikira tanpa kalkulator, iaitu, ia tidak boleh ditulis dalam apa-apa lagi. dalam bentuk mudah. Oleh itu, kami meninggalkannya dalam borang ini dalam jawapan.
Terbitan bagi fungsi logaritma
Ia serupa di sini: anda sudah mengetahui terbitan logaritma asli:
Oleh itu, untuk mencari logaritma arbitrari dengan asas yang berbeza, sebagai contoh:
Kita perlu mengurangkan logaritma ini kepada asas. Bagaimanakah anda menukar asas logaritma? Saya harap anda ingat formula ini:
Hanya sekarang kami akan menulis sebaliknya:
Penyebutnya hanyalah pemalar (nombor tetap, tanpa pembolehubah). Derivatif diperoleh dengan sangat mudah:
Terbitan eksponen dan fungsi logaritma hampir tidak pernah muncul dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu, tetapi tidak rugi untuk mengetahui mereka.
Terbitan fungsi kompleks.
Apa dah jadi" fungsi kompleks"? Tidak, ini bukan logaritma, dan bukan arctangent. Fungsi ini mungkin sukar difahami (walaupun jika anda mendapati logaritma sukar, baca topik "Logaritma" dan anda akan baik-baik saja), tetapi dari sudut pandangan matematik, perkataan "kompleks" tidak bermaksud "sukar".
Bayangkan tali pinggang penghantar kecil: dua orang sedang duduk dan melakukan beberapa tindakan dengan beberapa objek. Sebagai contoh, yang pertama membungkus bar coklat dalam pembungkus, dan yang kedua mengikatnya dengan reben. Hasilnya ialah objek komposit: sebatang coklat dibalut dan diikat dengan reben. Untuk makan coklat, anda perlu lakukan tindakan terbalik V susunan terbalik.
Mari kita cipta saluran paip matematik yang serupa: mula-mula kita akan mencari kosinus nombor, dan kemudian kuasa dua nombor yang terhasil. Jadi, kita diberi nombor (coklat), saya dapati kosinusnya (pembungkus), dan kemudian anda kuasai apa yang saya dapat (ikat dengan reben). Apa yang berlaku? Fungsi. Ini ialah contoh fungsi kompleks: apabila, untuk mencari nilainya, kami melakukan tindakan pertama secara langsung dengan pembolehubah, dan kemudian tindakan kedua dengan apa yang terhasil daripada yang pertama.
Kita boleh dengan mudah melakukan langkah yang sama dalam susunan terbalik: mula-mula anda kuasa duakannya, dan kemudian saya mencari kosinus nombor yang terhasil: . Mudah untuk meneka bahawa hasilnya hampir selalu berbeza. Ciri Penting fungsi kompleks: apabila susunan tindakan berubah, fungsi berubah.
Dengan kata lain, fungsi kompleks ialah fungsi yang hujahnya adalah fungsi lain: .
Untuk contoh pertama, .
Contoh kedua: (perkara yang sama). .
Tindakan yang kita lakukan terakhir akan dipanggil fungsi "luar"., dan tindakan yang dilakukan terlebih dahulu - sewajarnya fungsi "dalaman".(ini adalah nama tidak rasmi, saya menggunakannya hanya untuk menerangkan bahan dalam bahasa mudah).
Cuba tentukan sendiri fungsi luaran dan dalaman yang mana:
Jawapan: Mengasingkan fungsi dalam dan luar sangat serupa dengan mengubah pembolehubah: contohnya, dalam fungsi
- Apakah tindakan yang akan kita lakukan dahulu? Mula-mula, mari kita hitung sinus, dan kemudian kiubkannya. Ini bermakna ia adalah fungsi dalaman, tetapi fungsi luaran.
Dan fungsi asal adalah komposisi mereka: . - Dalaman: ; luaran: .
Peperiksaan: . - Dalaman: ; luaran: .
Peperiksaan: . - Dalaman: ; luaran: .
Peperiksaan: . - Dalaman: ; luaran: .
Peperiksaan: .
Kami menukar pembolehubah dan mendapatkan fungsi.
Nah, sekarang kami akan mengekstrak bar coklat kami dan mencari derivatifnya. Prosedur ini sentiasa diterbalikkan: mula-mula kita mencari derivatif fungsi luar, kemudian kita darabkan hasilnya dengan derivatif fungsi dalam. Berhubung dengan contoh asal, ia kelihatan seperti ini:
Contoh lain:
Jadi, mari kita rumuskan peraturan rasmi:
Algoritma untuk mencari terbitan fungsi kompleks:
Nampak simple kan?
Mari kita semak dengan contoh:
Penyelesaian:
1) Dalaman: ;
Luaran: ;
2) Dalaman: ;
(jangan cuba potong sekarang! Tiada apa-apa yang keluar dari bawah kosinus, ingat?)
3) Dalaman: ;
Luaran: ;
Ia segera jelas bahawa ini adalah fungsi kompleks tiga peringkat: lagipun, ini sudah menjadi fungsi yang kompleks dengan sendirinya, dan kami juga mengekstrak akar daripadanya, iaitu, kami melakukan tindakan ketiga (meletakkan coklat dalam pembungkus dan dengan reben di dalam beg bimbit). Tetapi tidak ada sebab untuk takut: kami masih akan "membongkar" fungsi ini dalam susunan yang sama seperti biasa: dari akhir.
Iaitu, mula-mula kita membezakan akar, kemudian kosinus, dan hanya kemudian ungkapan dalam kurungan. Dan kemudian kita melipatgandakan semuanya.
Dalam kes sedemikian, adalah mudah untuk menomborkan tindakan. Iaitu, mari kita bayangkan apa yang kita tahu. Dalam susunan apakah kita akan melakukan tindakan untuk mengira nilai ungkapan ini? Mari kita lihat contoh:
Lebih lewat tindakan itu dilakukan, lebih banyak "luaran" fungsi yang sepadan. Urutan tindakan adalah sama seperti sebelumnya:
Di sini sarang biasanya 4 peringkat. Mari kita tentukan arah tindakan.
1. Ungkapan radikal. .
2. Akar. .
3. Sinus. .
4. Segi empat. .
5. Menyatukan semuanya:
TERBITAN. SECARA RINGKAS TENTANG PERKARA UTAMA
Terbitan fungsi- nisbah pertambahan fungsi kepada pertambahan hujah untuk kenaikan hujah yang tidak terhingga:
Derivatif asas:
Peraturan pembezaan:
Pemalar dikeluarkan daripada tanda terbitan:
Terbitan jumlah:
Derivatif produk:
Terbitan hasil bagi:
Terbitan fungsi kompleks:
Algoritma untuk mencari terbitan fungsi kompleks:
- Kami mentakrifkan fungsi "dalaman" dan mencari terbitannya.
- Kami mentakrifkan fungsi "luaran" dan mencari terbitannya.
- Kami mendarabkan keputusan mata pertama dan kedua.
Operasi mencari derivatif dipanggil pembezaan.
Hasil daripada menyelesaikan masalah mencari derivatif bagi fungsi termudah (dan tidak terlalu mudah) dengan mentakrifkan derivatif sebagai had nisbah kenaikan kepada kenaikan hujah, jadual terbitan muncul dan tepat. peraturan tertentu pembezaan. Yang pertama bekerja dalam bidang mencari derivatif ialah Isaac Newton (1643-1727) dan Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Oleh itu, pada zaman kita, untuk mencari derivatif mana-mana fungsi, anda tidak perlu mengira had yang disebutkan di atas nisbah kenaikan fungsi kepada kenaikan hujah, tetapi anda hanya perlu menggunakan jadual derivatif dan peraturan pembezaan. Algoritma berikut sesuai untuk mencari derivatif.
Untuk mencari terbitan, anda memerlukan ungkapan di bawah tanda perdana memecahkan fungsi mudah kepada komponen dan tentukan apa tindakan (hasil, jumlah, hasil bagi) fungsi ini berkaitan. Seterusnya, kita dapati derivatif fungsi asas dalam jadual derivatif, dan formula untuk derivatif hasil darab, jumlah dan hasil - dalam peraturan pembezaan. Jadual terbitan dan peraturan pembezaan diberikan selepas dua contoh pertama.
Contoh 1. Cari terbitan bagi suatu fungsi
Penyelesaian. Daripada peraturan pembezaan kita dapati bahawa terbitan bagi jumlah fungsi ialah hasil tambah derivatif fungsi, i.e.
Daripada jadual derivatif kita dapati bahawa terbitan "X" adalah sama dengan satu, dan terbitan sinus adalah sama dengan kosinus. Kami menggantikan nilai-nilai ini ke dalam jumlah derivatif dan mencari derivatif yang diperlukan oleh keadaan masalah:
Contoh 2. Cari terbitan bagi suatu fungsi
Penyelesaian. Kami membezakan sebagai terbitan jumlah di mana sebutan kedua mempunyai faktor tetap; ia boleh diambil daripada tanda terbitan:
Jika soalan masih timbul tentang dari mana sesuatu datang, ia biasanya diselesaikan selepas membiasakan diri dengan jadual derivatif dan peraturan pembezaan yang paling mudah. Kami beralih kepada mereka sekarang.
Jadual terbitan bagi fungsi mudah
| 1. Terbitan pemalar (nombor). Mana-mana nombor (1, 2, 5, 200...) yang terdapat dalam ungkapan fungsi. Sentiasa sama dengan sifar. Ini sangat penting untuk diingat, kerana ia diperlukan dengan kerap | |
| 2. Terbitan pembolehubah bebas. Selalunya "X". Sentiasa sama dengan satu. Ini juga penting untuk diingati untuk masa yang lama | |
| 3. Terbitan darjah. Apabila menyelesaikan masalah, anda perlu menukar punca bukan kuasa dua kepada kuasa. | |
| 4. Terbitan pembolehubah kepada kuasa -1 | |
| 5. Terbitan punca kuasa dua | |
| 6. Terbitan sinus | |
| 7. Terbitan kosinus |  |
| 8. Terbitan tangen |  |
| 9. Terbitan kotangen |  |
| 10. Terbitan arcsine |  |
| 11. Terbitan arccosine |  |
| 12. Terbitan arkatangen |  |
| 13. Terbitan arka cotangen |  |
| 14. Terbitan logaritma asli | |
| 15. Terbitan bagi fungsi logaritma |  |
| 16. Terbitan bagi eksponen | |
| 17. Terbitan bagi fungsi eksponen |
Peraturan pembezaan
| 1. Terbitan daripada jumlah atau perbezaan |  |
| 2. Terbitan produk |  |
| 2a. Terbitan ungkapan didarab dengan faktor malar | |
| 3. Terbitan hasil bagi |  |
| 4. Terbitan bagi fungsi kompleks |  |
Peraturan 1.Jika fungsi
boleh dibezakan pada satu titik, maka fungsi boleh dibezakan pada titik yang sama
dan
mereka. terbitan hasil tambah algebra bagi fungsi adalah sama dengan jumlah algebra derivatif fungsi ini.
Akibat. Jika dua fungsi boleh dibezakan berbeza dengan sebutan tetap, maka terbitan mereka adalah sama, iaitu
Peraturan 2.Jika fungsi
boleh dibezakan pada satu ketika, maka produk mereka boleh dibezakan pada titik yang sama
dan
mereka. Terbitan hasil darab dua fungsi adalah sama dengan hasil tambah bagi setiap fungsi ini dan terbitan satu lagi.
Akibat 1. Faktor malar boleh dikeluarkan daripada tanda terbitan:
Akibat 2. Terbitan hasil darab beberapa fungsi boleh dibezakan adalah sama dengan hasil tambah hasil terbitan setiap faktor dan semua yang lain.
Sebagai contoh, untuk tiga pengganda:
Peraturan 3.Jika fungsi
boleh dibezakan pada satu ketika Dan , maka pada ketika ini hasil bagi mereka juga boleh dibezakanu/v , dan
mereka. terbitan hasil bagi dua fungsi adalah sama dengan pecahan, pengangkanya ialah perbezaan antara hasil darab penyebut dan terbitan pengangka dan pengangka serta terbitan penyebut, dan penyebutnya ialah kuasa dua bekas pengangka.
Di mana untuk mencari perkara di halaman lain
Apabila mencari terbitan produk dan hasil bagi dalam masalah sebenar Oleh itu, ia sentiasa perlu untuk menggunakan beberapa peraturan pembezaan sekaligus lebih banyak contoh untuk derivatif ini - dalam artikel"Terbitan hasil dan hasil bagi fungsi".
Komen. Anda tidak seharusnya mengelirukan pemalar (iaitu, nombor) sebagai sebutan dalam jumlah dan sebagai faktor pemalar! Dalam kes istilah, terbitannya adalah sama dengan sifar, dan dalam kes itu faktor malar ia dikeluarkan daripada tanda terbitan. ini kesilapan tipikal, yang berlaku pada peringkat awal mempelajari derivatif, tetapi apabila mereka menyelesaikan beberapa contoh satu dan dua bahagian, rata-rata pelajar tidak lagi melakukan kesilapan ini.
Dan jika, apabila membezakan produk atau hasil bagi, anda mempunyai istilah u"v, di mana u- nombor, sebagai contoh, 2 atau 5, iaitu pemalar, maka terbitan nombor ini akan sama dengan sifar dan, oleh itu, keseluruhan istilah akan sama dengan sifar (kes ini dibincangkan dalam contoh 10).
Lain-lain kesilapan biasa - penyelesaian mekanikal terbitan bagi fungsi kompleks sebagai terbitan bagi fungsi mudah. sebab tu terbitan bagi fungsi kompleks artikel berasingan dikhaskan. Tetapi pertama-tama kita akan belajar untuk mencari derivatif fungsi mudah.
Sepanjang perjalanan, anda tidak boleh melakukannya tanpa mengubah ekspresi. Untuk melakukan ini, anda mungkin perlu membuka manual dalam tetingkap baharu. Tindakan dengan kuasa dan akar Dan Operasi dengan pecahan .
Jika anda sedang mencari penyelesaian kepada terbitan pecahan dengan kuasa dan punca, iaitu apabila fungsi itu kelihatan seperti 
, kemudian ikuti pelajaran "Terbitan hasil tambah pecahan dengan kuasa dan punca."
Jika anda mempunyai tugas seperti 
, maka anda akan mengambil pelajaran "Terbitan fungsi trigonometri mudah".
Contoh langkah demi langkah - cara mencari derivatif
Contoh 3. Cari terbitan bagi suatu fungsi
Penyelesaian. Kami mentakrifkan bahagian ungkapan fungsi: keseluruhan ungkapan mewakili produk, dan faktornya ialah jumlah, di mana satu daripada istilah tersebut mengandungi faktor malar. Kami menggunakan peraturan pembezaan produk: terbitan hasil darab dua fungsi adalah sama dengan jumlah hasil darab setiap fungsi ini dengan terbitan satu lagi:
Seterusnya, kita menggunakan peraturan pembezaan hasil tambah: terbitan hasil tambah algebra bagi fungsi adalah sama dengan hasil tambah algebra bagi terbitan fungsi ini. Dalam kes kami, dalam setiap jumlah, sebutan kedua mempunyai tanda tolak. Dalam setiap jumlah kita melihat kedua-dua pembolehubah bebas, terbitan yang sama dengan satu, dan pemalar (nombor), terbitan yang sama dengan sifar. Jadi, "X" bertukar menjadi satu, dan tolak 5 bertukar menjadi sifar. Dalam ungkapan kedua, "x" didarab dengan 2, jadi kita darab dua dengan unit yang sama dengan terbitan "x". Kami memperoleh nilai terbitan berikut:
Kami menggantikan derivatif yang ditemui ke dalam jumlah produk dan mendapatkan derivatif keseluruhan fungsi yang diperlukan oleh keadaan masalah:
Contoh 4. Cari terbitan bagi suatu fungsi
Penyelesaian. Kami dikehendaki mencari terbitan hasil bagi. Kami menggunakan formula untuk membezakan hasil bagi: terbitan hasil bagi dua fungsi adalah sama dengan pecahan, pengangkanya ialah perbezaan antara hasil darab penyebut dan terbitan pengangka dan pengangka serta terbitan bagi penyebut, dan penyebut adalah kuasa dua bekas pengangka. Kami mendapat:
Kami telah menemui terbitan faktor dalam pengangka dalam contoh 2. Janganlah kita juga lupa bahawa produk, yang merupakan faktor kedua dalam pengangka dalam contoh semasa, diambil dengan tanda tolak:
Jika anda mencari penyelesaian kepada masalah yang anda perlukan untuk mencari terbitan fungsi, di mana terdapat longgokan akar dan kuasa yang berterusan, seperti, sebagai contoh, 
, kemudian selamat datang ke kelas "Terbitan hasil tambah pecahan dengan kuasa dan punca" .
Jika anda perlu mengetahui lebih lanjut tentang terbitan sinus, kosinus, tangen dan lain-lain fungsi trigonometri, iaitu, apabila fungsi kelihatan seperti , maka pengajaran untuk anda "Terbitan fungsi trigonometri mudah" .
Contoh 5. Cari terbitan bagi suatu fungsi
Penyelesaian. Dalam fungsi ini kita melihat produk, salah satu faktornya ialah punca kuasa dua pembolehubah tidak bersandar, terbitan yang kita kenali dalam jadual derivatif. Menggunakan peraturan untuk membezakan hasil darab dan nilai jadual terbitan punca kuasa dua, kita memperoleh:
Contoh 6. Cari terbitan bagi suatu fungsi
Penyelesaian. Dalam fungsi ini kita melihat hasil bagi yang dividennya ialah punca kuasa dua pembolehubah bebas. Menggunakan peraturan pembezaan hasil bagi, yang kami ulangi dan gunakan dalam contoh 4, dan nilai jadual terbitan punca kuasa dua, kami memperoleh:
Untuk menyingkirkan pecahan dalam pengangka, darabkan pengangka dan penyebut dengan .
Jika anda mengikut takrifan, maka terbitan fungsi pada satu titik ialah had nisbah pertambahan fungsi Δ y kepada pertambahan hujah Δ x:
Semuanya nampak jelas. Tetapi cuba gunakan formula ini untuk mengira, katakan, terbitan fungsi f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x dosa x. Jika anda melakukan segala-galanya mengikut definisi, maka selepas beberapa halaman pengiraan anda hanya akan tertidur. Oleh itu, terdapat cara yang lebih mudah dan berkesan.
Sebagai permulaan, kita perhatikan bahawa daripada keseluruhan pelbagai fungsi kita boleh membezakan apa yang dipanggil fungsi asas. Ia relatif ungkapan mudah, derivatif yang telah lama dikira dan disenaraikan dalam jadual. Fungsi sedemikian agak mudah diingat - bersama dengan terbitannya.
Terbitan bagi fungsi asas
Fungsi asas adalah semua yang disenaraikan di bawah. Derivatif fungsi ini mesti diketahui dengan hati. Lebih-lebih lagi, tidak sukar untuk menghafalnya - itulah sebabnya mereka masih rendah.
Jadi, derivatif fungsi asas:
| Nama | Fungsi | Derivatif |
| berterusan | f(x) = C, C ∈ R | 0 (ya, sifar!) |
| Kuasa dengan eksponen rasional | f(x) = x n | n · x n − 1 |
| Resdung | f(x) = dosa x | cos x |
| kosinus | f(x) = cos x | −dosa x(tolak sinus) |
| Tangen | f(x) = tg x | 1/kos 2 x |
| Kotangen | f(x) = ctg x | − 1/dosa 2 x |
| Logaritma semula jadi | f(x) = log x | 1/x |
| Logaritma sewenang-wenangnya | f(x) = log a x | 1/(x ln a) |
| Fungsi eksponen | f(x) = e x | e x(tiada apa yang berubah) |
Jika fungsi asas didarabkan dengan pemalar arbitrari, maka terbitan fungsi baharu juga mudah dikira:
(C · f)’ = C · f ’.
Secara umum, pemalar boleh dikeluarkan daripada tanda terbitan. Contohnya:
(2x 3)’ = 2 · ( x 3)’ = 2 3 x 2 = 6x 2 .
Jelas sekali, fungsi asas boleh ditambah antara satu sama lain, didarab, dibahagikan - dan banyak lagi. Beginilah cara fungsi baharu akan muncul, bukan lagi asas, tetapi juga boleh dibezakan berkenaan dengan peraturan tertentu. Peraturan ini dibincangkan di bawah.
Terbitan jumlah dan perbezaan
Biarkan fungsi diberikan f(x) Dan g(x), derivatifnya diketahui oleh kami. Sebagai contoh, anda boleh mengambil fungsi asas yang dibincangkan di atas. Kemudian anda boleh mencari derivatif jumlah dan perbezaan fungsi ini:
- (f + g)’ = f ’ + g ’
- (f − g)’ = f ’ − g ’
Jadi, terbitan hasil tambah (perbezaan) dua fungsi adalah sama dengan jumlah (perbezaan) derivatif. Mungkin ada lagi istilah. Contohnya, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.
Tegasnya, tiada konsep "tolak" dalam algebra. Ada konsep " unsur negatif" Oleh itu perbezaannya f − g boleh ditulis semula sebagai jumlah f+ (−1) g, dan kemudian hanya tinggal satu formula - terbitan hasil tambah.
f(x) = x 2 + dosa x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.
Fungsi f(x) ialah jumlah dua fungsi asas, oleh itu:
f ’(x) = (x 2 + dosa x)’ = (x 2)’ + (dosa x)’ = 2x+ cos x;
Kami membuat alasan yang sama untuk fungsi tersebut g(x). Hanya sudah ada tiga istilah (dari sudut pandangan algebra):
g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).
Jawapan:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x
2 + 1).
Derivatif produk
Matematik adalah sains logik, begitu ramai orang percaya bahawa jika terbitan jumlah adalah sama dengan jumlah terbitan, maka terbitan hasil mogok">sama dengan hasil derivatif. Tetapi kacau anda! Derivatif produk dikira menggunakan formula yang sama sekali berbeza. Iaitu:
(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’
Formulanya mudah, tetapi ia sering dilupakan. Dan bukan sahaja pelajar sekolah, tetapi juga pelajar. Hasilnya adalah masalah diselesaikan secara salah.
Tugasan. Cari derivatif fungsi: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .
Fungsi f(x) ialah hasil daripada dua fungsi asas, jadi semuanya mudah:
f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)’ cos x + x 3 (kos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−dosa x) = x 2 (3 cos x − x dosa x)
Fungsi g(x) faktor pertama adalah sedikit lebih rumit, tetapi skim umum ini tidak berubah. Jelas sekali, faktor pertama fungsi g(x) ialah polinomial dan terbitannya ialah terbitan hasil tambah. Kami ada:
g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .
Jawapan:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x dosa x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e
x
.
Sila ambil perhatian bahawa dalam langkah terakhir derivatif difaktorkan. Secara rasmi, ini tidak perlu dilakukan, tetapi kebanyakan derivatif tidak dikira sendiri, tetapi untuk memeriksa fungsi. Ini bermakna bahawa derivatif selanjutnya akan disamakan dengan sifar, tanda-tandanya akan ditentukan, dan seterusnya. Untuk kes sedemikian, adalah lebih baik untuk mempunyai ungkapan yang difaktorkan.
Jika terdapat dua fungsi f(x) Dan g(x), dan g(x) ≠ 0 pada set yang kita minati, kita boleh menentukan fungsi baru h(x) = f(x)/g(x). Untuk fungsi sedemikian, anda juga boleh mencari derivatif:
Tidak lemah, ya? Dari mana datangnya tolak? kenapa g 2? Dan begitulah! Ini antara yang paling banyak formula kompleks- Anda tidak boleh memikirkannya tanpa botol. Oleh itu, adalah lebih baik untuk mengkajinya contoh khusus.
Tugasan. Cari derivatif fungsi:
Pengangka dan penyebut bagi setiap pecahan mengandungi fungsi asas, jadi yang kita perlukan hanyalah formula untuk terbitan hasil bagi:
Menurut tradisi, mari kita memfaktorkan pengangka - ini akan memudahkan jawapannya:
Fungsi kompleks tidak semestinya formula sepanjang setengah kilometer. Sebagai contoh, sudah cukup untuk mengambil fungsi f(x) = dosa x dan menggantikan pembolehubah x, katakan, pada x 2 + ln x. Ia akan berjaya f(x) = dosa ( x 2 + ln x) - ini adalah fungsi yang kompleks. Ia juga mempunyai terbitan, tetapi tidak akan dapat mencarinya menggunakan peraturan yang dibincangkan di atas.
Apa yang patut saya buat? Dalam kes sedemikian, menggantikan pembolehubah dan formula untuk terbitan fungsi kompleks membantu:
f ’(x) = f ’(t) · t', Jika x digantikan dengan t(x).
Sebagai peraturan, situasi dengan memahami formula ini adalah lebih menyedihkan daripada dengan terbitan hasil bahagi. Oleh itu, adalah lebih baik untuk menerangkannya dengan contoh-contoh khusus, dengan penerangan terperinci setiap langkah.
Tugasan. Cari derivatif fungsi: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = dosa ( x 2 + ln x)
Perhatikan bahawa jika dalam fungsi f(x) bukannya ungkapan 2 x+ 3 akan menjadi mudah x, maka ia akan berjaya fungsi asas f(x) = e x. Oleh itu, kami membuat penggantian: biarkan 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Kami mencari derivatif fungsi kompleks menggunakan formula:
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’
Dan sekarang - perhatian! Kami melakukan penggantian terbalik: t = 2x+ 3. Kami mendapat:
f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3
Sekarang mari kita lihat fungsinya g(x). Jelas sekali ia perlu diganti x 2 + ln x = t. Kami ada:
g ’(x) = g ’(t) · t’ = (dosa t)’ · t’ = cos t · t ’
Penggantian terbalik: t = x 2 + ln x. Kemudian:
g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)’ = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).
Itu sahaja! Seperti yang dapat dilihat daripada ungkapan terakhir, keseluruhan masalah telah dikurangkan untuk mengira jumlah terbitan.
Jawapan:
f ’(x) = 2 · e
2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ln x).
Selalunya dalam pelajaran saya, bukannya istilah "derivatif," saya menggunakan perkataan "prime." Sebagai contoh, prima daripada jumlah sama dengan jumlah pukulan. Adakah itu lebih jelas? Nah, itu bagus.
Oleh itu, pengiraan derivatif adalah untuk menyingkirkan pukulan yang sama mengikut peraturan yang dibincangkan di atas. Sebagai contoh terakhir Mari kita kembali kepada kuasa terbitan dengan eksponen rasional:
(x n)’ = n · x n − 1
Hanya sedikit orang yang tahu bahawa dalam peranan n boleh beraksi dengan baik nombor pecahan. Sebagai contoh, akarnya ialah x 0.5. Bagaimana jika ada sesuatu yang mewah di bawah akarnya? Sekali lagi, hasilnya akan menjadi fungsi yang kompleks - mereka suka memberikan pembinaan sedemikian ujian dan peperiksaan.
Tugasan. Cari terbitan bagi fungsi:
Pertama, mari kita tulis semula akar sebagai kuasa dengan eksponen rasional:
f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .
Sekarang kita buat pengganti: biarkan x 2 + 8x − 7 = t. Kami mencari derivatif menggunakan formula:
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0.5)’ · t’ = 0.5 · t−0.5 · t ’.
Mari lakukan penggantian terbalik: t = x 2 + 8x− 7. Kami ada:
f ’(x) = 0.5 · ( x 2 + 8x− 7) −0.5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0.5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .
Akhirnya, kembali ke akar umbi:
Kesinambungan dan kebolehbezaan sesuatu fungsi.
Teorem Darboux . Selang monotoni.
Mata kritikal . melampau (minimum, maksimum).
Reka bentuk kajian fungsi.
Hubungan antara kesinambungan dan kebolehbezaan sesuatu fungsi. Jika fungsi f(x)boleh dibezakan pada satu ketika, maka ia berterusan pada ketika itu. Sebaliknya tidak benar: fungsi berterusan mungkin tidak mempunyai derivatif.
Ilustrasi. Jika fungsi tidak berterusan pada satu ketika, maka ia tidak mempunyai derivatif pada ketika ini.
Tanda-tanda monotonisitas sesuatu fungsi yang mencukupi.
Jika f’(x) > 0 pada setiap titik selang (a, b), maka fungsi f (x)meningkat sepanjang selang ini.
Jika f’(x) < 0 pada setiap titik selang (a, b) , maka fungsi f(x)berkurangan pada selang ini.
Teorem Darboux. Titik di mana terbitan fungsi ialah 0atau tidak wujud, mereka membahagikan domain takrifan fungsi kepada selang di mana terbitan mengekalkan tandanya.
Menggunakan selang ini kita boleh mencari selang monotoni fungsi, yang sangat penting apabila mengkajinya.
Akibatnya, fungsi meningkat sepanjang selang (- , 0) dan ( 1, + ) dan berkurang pada selang waktu ( 0, 1). titik x= 0 tidak termasuk dalam domain definisi fungsi, tetapi apabila kita semakin dekatx istilah k0 x - 2 meningkat selama-lamanya, jadi fungsi juga meningkat selama-lamanya. Pada titik itux= 1 nilai fungsi ialah 3. Menurut analisis ini kita boleh siarkangraf fungsi ( Rajah.4 b ) .
Mata kritikal. Titik dalaman domain fungsi, di mana terbitan adalah sama dengan batal atau tidak wujud, dipanggil kritikal titik fungsi ini. Titik ini sangat penting apabila menganalisis fungsi dan memplot grafnya, kerana hanya pada titik ini fungsi boleh mempunyai melampau (minimum atau maksimum , Rajah.5 A,b).
Pada titik x 1 , x 2 (Gamb.5 a) Dan x 3 (Gamb.5 b) terbitan ialah 0; pada titik x 1 , x 2 (Gamb.5 b) terbitan tidak wujud. Tetapi mereka semua adalah titik yang melampau.
Keadaan yang perlu untuk ekstrem. Jika x 0 - titik ekstrem fungsi f(x) dan terbitan f’ wujud pada ketika ini, maka f’(x 0)= 0.
Teorem ini ialah perlu keadaan melampau. Jika terbitan bagi suatu fungsi pada satu titik ialah 0, itu tidak bermakna fungsi mempunyai ekstrem pada ketika ini. Sebagai contoh, terbitan bagi fungsif (x) = x 3 sama dengan 0 pada x= 0, tetapi fungsi ini tidak mempunyai ekstrem pada ketika ini (Rajah 6).
Sebaliknya, fungsiy = | x| , dibentangkan dalam Rajah 3, mempunyai minimum pada titikx= 0, tetapi pada ketika ini derivatif tidak wujud.
Keadaan yang mencukupi untuk ekstrem.
Jika terbitan apabila melalui titik x 0 menukar tandanya daripada tambah kepada tolak, kemudian x 0 - titik maksimum.
Jika terbitan apabila melalui titik x 0 menukar tandanya daripada tolak kepada tambah, kemudian x 0 - titik minimum.
Reka bentuk kajian fungsi. Untuk memplot graf fungsi anda perlukan:
1) cari domain definisi dan julat nilai fungsi,
2) tentukan sama ada fungsi itu genap atau ganjil,
3) tentukan sama ada fungsi itu berkala atau tidak,
4) cari sifar fungsi dan nilainya dix = 0,
5) cari selang tanda malar,
6) cari selang monotoni,
7) cari titik ekstrem dan nilai fungsi pada titik ini,
8) menganalisis kelakuan fungsi berhampiran titik "tunggal".
Dan bila nilai yang besar modulx .
CONTOH Terokai ciri tersebutf(x) = x 3 + 2 x 2 - x- 2 dan lukis graf.
Penyelesaian. Mari kita kaji fungsi mengikut rajah di atas.
1) domain definisixR (x- mana-mana yang sebenar nombor);
Julat nilaiyR , kerana f (x) – polinomial ganjil
darjah;
2) fungsi f (x) tidak genap dan tidak ganjil
(sila jelaskan);
3) f (x) ialah fungsi bukan berkala (buktikan sendiri);
4) graf fungsi bersilang dengan paksiY pada titik (0, – 2),
Kerana f (0) = - 2 ; untuk mencari sifar bagi fungsi yang anda perlukan
Selesaikan persamaan:x 3 + 2 x 2 - x - 2 = 0, salah satu punca
yang ( x= 1) adalah jelas. Akar-akar lain ialah
(jika ada! ) daripada menyelesaikan persamaan kuadratik:
x 2 + 3 x+ 2 = 0, yang diperoleh dengan membahagikan polinomial
x 3 + 2 x 2 - x- 2 setiap binomial ( x– 1). Mudah untuk menyemak
Apakah dua akar yang lain:x 2 = - 2 dan x 3 = - 1. Oleh itu,
Sifar bagi fungsi tersebut ialah: - 2, - 1 dan 1.
5) Ini bermakna paksi nombor dibahagikan dengan punca-punca ini dengan
Empat selang ketekalan tanda, di dalamnya
Fungsi mengekalkan tandanya:
Keputusan ini boleh diperolehi dengan mengembangkan
polinomial kepada faktor:
x 3 + 2 x 2 - x - 2 = (x + 2) (x + 1 (x – 1)
Dan penilaian tanda kerja .
6) Terbitan f' (x) = 3 x 2 + 4 x- 1 tidak mempunyai mata di mana
Ia tidak wujud, jadi domain definisinya adalahR (Semua
nombor nyata); sifarf' (x) ialah punca-punca persamaan:
3 x 2 + 4 x- 1 = 0 .
Keputusan yang diperolehi diringkaskan dalam jadual:
Mengkaji fungsi menggunakan terbitannya. Dalam artikel ini kita akan menganalisis beberapa tugasan yang berkaitan dengan kajian graf fungsi. Dalam masalah sedemikian, graf fungsi y = f (x) diberikan dan soalan ditimbulkan berkaitan dengan menentukan bilangan titik di mana terbitan fungsi itu positif (atau negatif), serta lain-lain. Ia diklasifikasikan sebagai tugas untuk menggunakan derivatif untuk kajian fungsi.
Menyelesaikan masalah sedemikian, dan secara amnya masalah yang berkaitan dengan penyelidikan, hanya boleh dilakukan dengan pemahaman penuh tentang sifat terbitan untuk mengkaji graf fungsi dan terbitan. Oleh itu, saya amat mengesyorkan agar anda mempelajari teori yang berkaitan. Anda boleh belajar dan juga menonton (tetapi ia mengandungi ringkasan ringkas).
Kami juga akan mempertimbangkan masalah di mana graf terbitan diberikan dalam artikel akan datang, jangan ketinggalan! Jadi, tugasan:
Rajah menunjukkan graf bagi fungsi y = f (x), ditakrifkan pada selang (−6; 8). takrifkan:
1. Bilangan titik integer di mana terbitan fungsi adalah negatif;
2. Bilangan titik di mana tangen kepada graf fungsi adalah selari dengan garis lurus y = 2;
1. Terbitan bagi fungsi adalah negatif pada selang di mana fungsi berkurangan, iaitu pada selang (−6; –3), (0; 4.2), (6.9; 8). Mereka mengandungi titik integer −5, −4, 1, 2, 3, 4, dan 7. Kami mendapat 7 mata.
2. Langsung y= 2 selari dengan paksiOhy= 2 hanya pada titik ekstrem (pada titik di mana graf mengubah tingkah lakunya daripada meningkat kepada menurun atau sebaliknya). Terdapat empat perkara tersebut: –3; 0; 4.2; 6.9
Tentukan sendiri:
Tentukan bilangan titik integer yang terbitan bagi fungsi itu adalah positif.
Rajah menunjukkan graf bagi fungsi y = f (x), ditakrifkan pada selang (−5; 5). takrifkan:
2. Bilangan titik integer di mana tangen kepada graf fungsi adalah selari dengan garis lurus y = 3;
3. Bilangan titik di mana terbitan adalah sifar;
1. Daripada sifat terbitan sesuatu fungsi diketahui bahawa ia adalah positif pada selang di mana fungsi meningkat, iaitu pada selang (1.4; 2.5) dan (4.4; 5). Mereka mengandungi hanya satu keseluruhan titik x = 2.
2. Langsung y= 3 selari dengan paksiOh. Tangen akan selari dengan garisy= 3 hanya pada titik ekstrem (pada titik di mana graf mengubah tingkah lakunya daripada meningkat kepada menurun atau sebaliknya).
Terdapat empat perkara sedemikian: -4.3; 1.4; 2.5; 4.4
3. Derivatif adalah sifar pada empat mata(pada titik ekstrem), kami telah menunjukkannya.
Tentukan sendiri:
Tentukan bilangan titik integer di mana terbitan bagi fungsi f(x) adalah negatif.
Rajah menunjukkan graf bagi fungsi y = f (x), ditakrifkan pada selang (−2; 12). Cari:
1. Bilangan titik integer di mana terbitan fungsi adalah positif;
2. Bilangan titik integer di mana terbitan fungsi adalah negatif;
3. Bilangan titik integer di mana tangen kepada graf fungsi adalah selari dengan garis lurus y = 2;
4. Bilangan titik di mana terbitan adalah sifar.
1. Daripada sifat terbitan sesuatu fungsi diketahui bahawa ia adalah positif pada selang di mana fungsi bertambah, iaitu pada selang (–2; 1), (2; 4), (7; 9) dan ( 10; 11). Ia mengandungi mata integer: –1, 0, 3, 8. Terdapat empat daripadanya secara keseluruhan.
2. Terbitan bagi fungsi adalah negatif pada selang di mana fungsi berkurangan, iaitu pada selang (1; 2), (4; 7), (9; 10), (11; 12). Mereka mengandungi mata integer 5 dan 6. Kami mendapat 2 mata.
3. Langsung y= 2 selari dengan paksiOh. Tangen akan selari dengan garisy= 2 hanya pada titik ekstrem (pada titik di mana graf mengubah tingkah lakunya daripada meningkat kepada menurun atau sebaliknya). Terdapat tujuh perkara tersebut: 1; 2; 4; 7; 9; 10; 11.
4. Derivatif adalah sama dengan sifar pada tujuh mata (pada titik ekstrem), kami telah menunjukkannya.