Panjang vektor a → akan dilambangkan dengan a → . Notasi ini serupa dengan modulus nombor, jadi panjang vektor juga dipanggil modulus vektor.
Untuk mencari panjang vektor pada satah dari koordinatnya, adalah perlu untuk mempertimbangkan sistem koordinat Cartesian segi empat tepat O x y. Biarkan beberapa vektor a → dengan koordinat a x diberikan di dalamnya; ay. Mari kita perkenalkan formula untuk mencari panjang (modulus) bagi vektor a → melalui koordinat a x dan a y.
Mari kita plot vektor O A → = a → daripada asalan. Mari kita tentukan unjuran titik A yang sepadan ke atas paksi koordinat sebagai A x dan A y . Sekarang pertimbangkan sebuah segi empat tepat O A x A A y dengan pepenjuru O A .
Daripada teorem Pythagoras mengikut kesamaan O A 2 = O A x 2 + O A y 2 , dari mana O A = O A x 2 + O A y 2 . Dari sudah definisi yang diketahui koordinat vektor dalam segi empat tepat Sistem kartesian koordinat, kita memperoleh bahawa O A x 2 = a x 2 dan O A y 2 = a y 2 , dan dengan pembinaan, panjang O A adalah sama dengan panjang vektor O A → , yang bermaksud O A → = O A x 2 + O A y 2 .
Daripada ini ternyata begitu formula untuk mencari panjang vektor a → = a x ; a y mempunyai bentuk yang sepadan: a → = a x 2 + a y 2 .
Jika vektor a → diberikan sebagai pengembangan dalam vektor koordinat a → = a x · i → + a y · j →, maka panjangnya boleh dikira menggunakan formula yang sama a → = a x 2 + a y 2, dalam dalam kes ini pekali a x dan a y bertindak sebagai koordinat bagi vektor a → in sistem yang diberikan koordinat
Contoh 1
Hitung panjang vektor a → = 7 ; e, dinyatakan dalam sistem koordinat segi empat tepat.
Penyelesaian
Untuk mencari panjang vektor, kita akan menggunakan formula untuk mencari panjang vektor daripada koordinat a → = a x 2 + a y 2: a → = 7 2 + e 2 = 49 + e
Jawapan: a → = 49 + e.
Formula untuk mencari panjang vektor a → = a x ; a y; a z daripada koordinatnya dalam sistem koordinat Cartesian Oxyz dalam angkasa, diperolehi sama dengan formula untuk kes pada satah (lihat rajah di bawah)
Dalam kes ini, O A 2 = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (memandangkan OA ialah pepenjuru segi empat selari), maka O A = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 . Daripada takrifan koordinat vektor kita boleh menulis kesamaan berikut O A x = a x ; O A y = a y ; O A z = a z ; , dan panjang OA adalah sama dengan panjang vektor yang kita cari, oleh itu, O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 .
Ia berikutan bahawa panjang vektor a → = a x ; a y ; a z adalah sama dengan a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 .
Contoh 2
Kira panjang vektor a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k → , dengan i → , j → , k → ialah vektor unit sistem segi empat tepat koordinat
Penyelesaian
Penguraian vektor a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k → diberi, koordinatnya ialah a → = 4, - 3, 5. Dengan menggunakan formula di atas kita mendapat a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + (- 3) 2 + 5 2 = 5 2.
Jawapan: a → = 5 2 .
Panjang vektor melalui koordinat titik mula dan tamatnya
Formula diperoleh di atas yang membolehkan anda mencari panjang vektor daripada koordinatnya. Kami mempertimbangkan kes di dalam pesawat dan masuk ruang tiga dimensi. Mari kita gunakannya untuk mencari koordinat vektor daripada koordinat titik mula dan tamatnya.
Jadi, memandangkan mata dengan koordinat yang diberikan A (a x ; a y) dan B (b x ; b y), maka vektor A B → mempunyai koordinat (b x - a x ; b y - a y) yang bermaksud panjangnya boleh ditentukan dengan formula: A B → = (b x - a x) 2 + ( b y - a y) 2
Dan jika titik dengan koordinat A (a x ; a y ; a z) dan B (b x ; b y ; b z) diberikan dalam ruang tiga dimensi, maka panjang vektor A B → boleh dikira menggunakan formula
A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2
Contoh 3
Cari panjang vektor A B → jika dalam sistem koordinat segi empat tepat A 1, 3, B - 3, 1.
Penyelesaian
Menggunakan formula untuk mencari panjang vektor daripada koordinat titik mula dan titik akhir pada satah, kita memperoleh A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2: A B → = (- 3 - 1 ) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 .
Penyelesaian kedua melibatkan penggunaan formula ini secara bergilir: A B → = (- 3 - 1 ; 1 - 3) = (- 4 ; 1 - 3) ; A B → = (- 4) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 . -
Jawapan: A B → = 20 - 2 3 .
Contoh 4
Tentukan pada nilai apakah panjang vektor A B → bersamaan dengan 30 jika A (0, 1, 2); B (5 , 2 , λ 2) .
Penyelesaian
Mula-mula, mari kita tuliskan panjang vektor A B → menggunakan formula: A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2 = (5 - 0) 2 + (2 - 1) 2 + (λ 2 - 2) 2 = 26 + (λ 2 - 2) 2
Kemudian kita menyamakan ungkapan yang terhasil kepada 30, dari sini kita dapati λ yang diperlukan:
26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 (λ 2 - 2) 2 = 4 λ 2 - 2 = 2 dan λ 2 - 2 = - 2 λ 1 = - 2 , λ 2 = 2, λ 3 = 0.
Jawapan: λ 1 = - 2, λ 2 = 2, λ 3 = 0.
Mencari panjang vektor menggunakan teorem kosinus
Malangnya, dalam masalah, koordinat vektor tidak selalu diketahui, jadi kami akan mempertimbangkan cara lain untuk mencari panjang vektor.
Biarkan panjang dua vektor A B → , A C → dan sudut di antara mereka (atau kosinus sudut) diberikan, dan anda perlu mencari panjang vektor B C → atau C B → . Dalam kes ini, anda harus menggunakan teorem kosinus dalam segi tiga △ A B C dan hitung panjang sisi B C, yang sama dengan panjang vektor yang dikehendaki.
Mari kita pertimbangkan kes ini menggunakan contoh berikut.
Contoh 5
Panjang vektor A B → dan A C → masing-masing ialah 3 dan 7, dan sudut di antara keduanya ialah π 3. Hitung panjang vektor B C → .
Penyelesaian
Panjang vektor B C → dalam kes ini adalah sama dengan panjang sisi B C segi tiga △ A B C . Panjang sisi A B dan A C segi tiga diketahui daripada keadaan (ia sama dengan panjang vektor yang sepadan), sudut di antara mereka juga diketahui, jadi kita boleh menggunakan teorem kosinus: B C 2 = A B 2 + A C 2 - 2 A B A C cos ∠ (A B, → A C →) = 3 2 + 7 2 - 2 · 3 · 7 · cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 Oleh itu, B C → = 37 .
Jawapan: B C → = 37 .
Jadi, untuk mencari panjang vektor daripada koordinat, terdapat rumus berikut a → = a x 2 + a y 2 atau a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 , daripada koordinat titik mula dan titik akhir vektor A B → = (b x - a x) 2 + ( b y - a y) 2 atau A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2, dalam beberapa kes teorem kosinus harus digunakan .
Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter
Absis dan paksi ordinat dipanggil koordinat vektor. Koordinat vektor biasanya ditunjukkan dalam bentuk (x, y), dan vektor itu sendiri sebagai: =(x, y).
Formula untuk menentukan koordinat vektor untuk masalah dua dimensi.
Dalam kes masalah dua dimensi vektor dengan terkenal koordinat titik A(x 1;y 1) Dan B(x 2 ; y 2 ) boleh dikira:
= (x 2 - x 1; y 2 - y 1).
Formula untuk menentukan koordinat vektor untuk masalah spatial.
Dalam kes masalah spatial, vektor dengan diketahui koordinat titik A (x 1;y 1;z 1 ) dan B (x 2 ; y 2 ; z 2 ) boleh dikira menggunakan formula:
= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).
Koordinat diberikan penerangan yang menyeluruh vektor, kerana adalah mungkin untuk membina vektor itu sendiri menggunakan koordinat. Mengetahui koordinat, ia adalah mudah untuk mengira dan panjang vektor. (Hartanah 3 di bawah).
Sifat koordinat vektor.
1. Mana-mana vektor yang sama V sistem bersatu koordinat mempunyai koordinat yang sama.
2. Koordinat vektor kolinear berkadar. Dengan syarat tiada vektor adalah sifar.
3. Panjang kuasa dua mana-mana vektor sama dengan jumlah persegi itu koordinat.
4.Semasa pembedahan pendaraban vektor pada nombor sebenar setiap koordinatnya didarab dengan nombor ini.
5. Apabila menambah vektor, kami mengira jumlah yang sepadan koordinat vektor.
6. Produk dot dua vektor adalah sama dengan hasil tambah koordinat yang sepadan.
Tahap kemasukan
Koordinat dan vektor. Panduan yang komprehensif (2019)
Dalam artikel ini, kami akan mula membincangkan satu "tongkat ajaib" yang akan membolehkan anda mengurangkan banyak masalah geometri kepada aritmetik mudah. "Tongkat" ini boleh menjadikan hidup anda lebih mudah, terutamanya apabila anda berasa tidak pasti tentang membina angka spatial, bahagian, dsb. Semua ini memerlukan imaginasi dan kemahiran praktikal tertentu. Kaedah yang akan kami pertimbangkan di sini akan membolehkan anda hampir sepenuhnya abstrak daripada apa-apa jenis binaan geometri dan penaakulan. Kaedahnya dipanggil "kaedah koordinat". Dalam artikel ini kita akan mempertimbangkan soalan berikut:
- satah koordinat
- Titik dan vektor pada satah
- Membina vektor daripada dua titik
- Panjang vektor (jarak antara dua titik).
- Koordinat tengah segmen
- Hasil darab titik bagi vektor
- Sudut antara dua vektor
Saya rasa anda sudah meneka mengapa kaedah koordinat dipanggil begitu? Betul, ia mendapat nama itu kerana ia tidak beroperasi dengan objek geometri, dan bersama mereka ciri berangka(koordinat). Dan transformasi itu sendiri, yang membolehkan kita beralih dari geometri ke algebra, terdiri daripada memperkenalkan sistem koordinat. Jika rajah asal adalah rata, maka koordinat adalah dua dimensi, dan jika rajah itu adalah tiga dimensi, maka koordinat adalah tiga dimensi. Dalam artikel ini kita akan mempertimbangkan hanya kes dua dimensi. Dan matlamat utama artikel adalah untuk mengajar anda cara menggunakan beberapa teknik asas kaedah koordinat (ia kadang-kadang ternyata berguna apabila menyelesaikan masalah pada planimetri dalam Bahagian B Peperiksaan Negeri Bersepadu). Dua bahagian seterusnya mengenai topik ini ditumpukan kepada perbincangan kaedah untuk menyelesaikan masalah C2 (masalah stereometri).
Di manakah logik untuk mula membincangkan kaedah koordinat? Mungkin dari konsep sistem koordinat. Ingat ketika pertama kali anda bertemu dengannya. Nampaknya saya pada gred 7, apabila anda mengetahui tentang kewujudan fungsi linear, Sebagai contoh. Biar saya ingatkan anda bahawa anda membinanya titik demi titik. Adakah anda ingat? awak pilih nombor sewenang-wenangnya, menggantikannya ke dalam formula dan mengiranya dengan cara ini. Contohnya, jika, kemudian, jika, kemudian, dsb. Apa yang anda dapat pada akhirnya? Dan anda menerima mata dengan koordinat: dan. Seterusnya, anda melukis "palang" (sistem koordinat), memilih skala di atasnya (berapa banyak sel yang akan anda miliki sebagai segmen unit) dan menandakan mata yang anda perolehi di atasnya, yang kemudian anda sambungkan dengan garis lurus; garis ialah graf bagi fungsi tersebut.
Terdapat beberapa perkara di sini yang harus dijelaskan kepada anda dengan lebih terperinci:
1. Anda memilih satu segmen atas sebab kemudahan, supaya semuanya sesuai dengan cantik dan padat dalam lukisan.
2. Adalah diterima bahawa paksi pergi dari kiri ke kanan, dan paksi pergi dari bawah ke atas
3. Mereka bersilang pada sudut tepat, dan titik persilangan mereka dipanggil asalan. Ia ditunjukkan oleh surat.
4. Dalam menulis koordinat titik, sebagai contoh, di sebelah kiri dalam kurungan terdapat koordinat titik di sepanjang paksi, dan di sebelah kanan, di sepanjang paksi. Khususnya, ia hanya bermaksud bahawa pada titik itu
5. Untuk menentukan sebarang titik pada paksi koordinat, anda perlu menunjukkan koordinatnya (2 nombor)
6. Untuk sebarang titik yang terletak pada paksi,
7. Untuk sebarang titik yang terletak pada paksi,
8. Paksi dipanggil paksi-x
9. Paksi itu dipanggil paksi-y
Sekarang mari kita lakukan dengan anda langkah seterusnya: Mari kita tanda dua mata. Mari kita sambungkan kedua-dua titik ini dengan segmen. Dan kami akan meletakkan anak panah seolah-olah kami melukis segmen dari satu titik ke titik: iaitu, kami akan menjadikan segmen kami diarahkan!
Ingat apa yang dipanggil segmen arah lain? Betul, ia dipanggil vektor!
Jadi jika kita menyambungkan titik ke titik, dan permulaan akan menjadi titik A, dan penghujungnya akan menjadi titik B, maka kita mendapat vektor. Anda juga melakukan pembinaan ini pada darjah 8, ingat?
Ternyata vektor, seperti titik, boleh dilambangkan dengan dua nombor: nombor ini dipanggil koordinat vektor. Soalan: Adakah anda fikir cukup untuk kita mengetahui koordinat permulaan dan penghujung vektor untuk mencari koordinatnya? Ternyata ya! Dan ini dilakukan dengan sangat mudah:
Oleh itu, oleh kerana dalam vektor titik adalah permulaan dan penghujungnya adalah penghujung, vektor mempunyai koordinat berikut:
Sebagai contoh, jika, maka koordinat vektor
Sekarang mari kita lakukan sebaliknya, cari koordinat vektor. Apa yang perlu kita ubah untuk ini? Ya, anda perlu menukar permulaan dan akhir: kini permulaan vektor akan berada di titik, dan penghujungnya akan berada di titik. Kemudian:
Lihat dengan teliti, apakah perbezaan antara vektor dan? Satu-satunya perbezaan mereka ialah tanda-tanda dalam koordinat. Mereka adalah bertentangan. Fakta ini biasanya ditulis seperti ini:
Kadangkala, jika tidak dinyatakan secara khusus titik mana yang merupakan permulaan vektor dan yang mana penghujungnya, maka vektor dilambangkan dengan lebih daripada dua dalam huruf besar, dan satu huruf kecil, contohnya: , dsb.
Sekarang sedikit berlatih sendiri dan cari koordinat bagi vektor berikut:
Peperiksaan:
Sekarang selesaikan masalah yang sedikit lebih sukar:
Vektor dengan permulaan pada satu titik mempunyai co-or-di-na-you. Cari titik abs-cis-su.
Semua yang sama adalah agak prosaik: Biarkan koordinat titik. Kemudian
Saya menyusun sistem berdasarkan definisi koordinat vektor. Kemudian titik mempunyai koordinat. Kami berminat dengan abscissa. Kemudian
Jawapan:
Apa lagi yang boleh anda lakukan dengan vektor? Ya, hampir semuanya sama seperti dengan nombor biasa(kecuali anda tidak boleh membahagikan, tetapi anda boleh mendarab dalam dua cara, salah satunya kita akan bincangkan di sini sedikit kemudian)
- Vektor boleh ditambah antara satu sama lain
- Vektor boleh ditolak antara satu sama lain
- Vektor boleh didarab (atau dibahagikan) dengan nombor bukan sifar sembarangan
- Vektor boleh didarab antara satu sama lain
Semua operasi ini mempunyai perwakilan geometri yang sangat jelas. Contohnya, peraturan segi tiga (atau segi empat selari) untuk penambahan dan penolakan:
Vektor meregang atau mengecut atau menukar arah apabila didarab atau dibahagikan dengan nombor:
Walau bagaimanapun, di sini kita akan berminat dengan persoalan tentang apa yang berlaku kepada koordinat.
1. Apabila menambah (menolak) dua vektor, kami menambah (tolak) koordinatnya elemen demi elemen. Iaitu:
2. Apabila mendarab (membahagi) vektor dengan nombor, semua koordinatnya didarab (dibahagi) dengan nombor ini:
Contohnya:
· Cari jumlah co-or-di-nat century-to-ra.
Mari kita cari koordinat bagi setiap vektor dahulu. Kedua-duanya mempunyai asal yang sama - titik asal. Kesudahan mereka berbeza. Kemudian, . Sekarang mari kita mengira koordinat vektor Kemudian jumlah koordinat vektor yang terhasil adalah sama.
Jawapan:
Sekarang selesaikan sendiri masalah berikut:
· Cari jumlah koordinat vektor
Kami menyemak:
Sekarang mari kita pertimbangkan masalah berikut: kita mempunyai dua titik pada satah koordinat. Bagaimana untuk mencari jarak antara mereka? Biarkan titik pertama, dan yang kedua. Mari kita nyatakan jarak antara mereka dengan. Mari buat lukisan berikut untuk kejelasan:
Apa yang saya dah buat? Pertama sekali, saya menyambung titik dan,a juga melukis garisan dari titik, selari dengan paksi, dan dari titik saya melukis garis selari dengan paksi. Adakah mereka bersilang pada satu titik, membentuk sosok yang luar biasa? Apa yang istimewa tentang dia? Ya, anda dan saya tahu hampir segala-galanya segi tiga tepat. Nah, teorem Pythagoras sudah pasti. Segmen yang diperlukan ialah hipotenus segitiga ini, dan segmen adalah kaki. Apakah koordinat titik tersebut? Ya, ia mudah dicari dari gambar: Memandangkan segmen selari dengan paksi dan, masing-masing, panjangnya mudah dicari: jika kita menyatakan panjang segmen dengan, masing-masing, maka
Sekarang mari kita gunakan teorem Pythagoras. Kami tahu panjang kaki, kami akan mendapati hipotenus:
Oleh itu, jarak antara dua titik adalah punca jumlah perbezaan kuasa dua daripada koordinat. Atau - jarak antara dua titik ialah panjang segmen yang menghubungkannya.
Adalah mudah untuk melihat bahawa jarak antara titik tidak bergantung pada arah. Kemudian:
Dari sini kami membuat tiga kesimpulan:
Mari kita berlatih sedikit tentang mengira jarak antara dua titik:
Sebagai contoh, jika, maka jarak antara dan adalah sama dengan
Atau mari pergi dengan cara lain: cari koordinat vektor
Dan cari panjang vektor:
Seperti yang anda lihat, ia adalah perkara yang sama!
Sekarang amalkan sedikit diri anda:
Tugas: cari jarak antara titik yang ditunjukkan:
Kami menyemak:
Berikut ialah beberapa lagi masalah yang menggunakan formula yang sama, walaupun bunyinya agak berbeza:
1. Cari segi empat sama panjang kelopak mata.
2. Cari segi empat sama panjang kelopak mata
Saya fikir anda berurusan dengan mereka tanpa kesukaran? Kami menyemak:
1. Dan ini untuk perhatian) Kami telah pun menemui koordinat vektor tadi: . Kemudian vektor mempunyai koordinat. Kuadrat panjangnya akan sama dengan:
2. Cari koordinat bagi vektor
Maka segi empat sama panjangnya ialah
Tidak ada yang rumit, bukan? Aritmetik mudah, tidak lebih.
1. Masalah berikut tidak boleh dikelaskan dengan jelas; ia lebih kepada pengetahuan umum dan keupayaan untuk melukis gambar mudah.
Cari sinus sudut dari potongan, menyambungkan titik, dengan paksi absis.
Dan
Bagaimana kita akan meneruskan di sini? Kita perlu mencari sinus sudut antara dan paksi. Di mana kita boleh mencari sinus? Betul, dalam segi tiga tepat. Jadi apa yang perlu kita lakukan? Bina segitiga ini! Oleh kerana koordinat titik adalah dan, maka segmen adalah sama dengan, dan segmen. Kita perlu mencari sinus sudut. Biar saya ingatkan anda bahawa sinus ialah nisbah kaki bertentangan
kepada hipotenus, kemudian
Jawapan:
Apa yang tinggal untuk kita lakukan? Cari hipotenus. Anda boleh melakukan ini dalam dua cara: menggunakan teorem Pythagoras (kaki diketahui!) atau menggunakan formula untuk jarak antara dua titik (sebenarnya, perkara yang sama seperti kaedah pertama!). Saya akan pergi dengan cara kedua:
Tugas seterusnya akan kelihatan lebih mudah kepada anda. Dia berada di koordinat titik itu. Tugasan 2.
Dari titik per-pen-di-ku-lyar diturunkan ke paksi ab-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.
Mari buat lukisan:
Jawapan: .
Tapak serenjang ialah titik di mana ia bersilang dengan paksi-x (paksi), bagi saya ini adalah titik. Rajah menunjukkan bahawa ia mempunyai koordinat: . Kami berminat dengan abscissa - iaitu komponen "x". Dia sama rata. Tugasan 3.
Tugas ini biasanya asas jika anda tahu berapa jarak dari titik ke paksi. awak tahu? Saya berharap, tetapi masih mengingatkan anda:
Jadi, dalam lukisan saya di atas, adakah saya sudah melukis satu serenjang itu? Paksi mana ia berada? Ke paksi. Dan berapakah panjangnya? Dia sama rata. Sekarang lukis sendiri serenjang dengan paksi dan cari panjangnya. Ia akan sama, bukan? Maka jumlah mereka adalah sama.
Jawapan: .
Tugasan 4. Dalam keadaan tugasan 2, cari ordinat titik, titik simetri berbanding dengan paksi absis.
Saya fikir ia secara intuitif jelas kepada anda apakah simetri? Banyak objek mempunyainya: banyak bangunan, meja, kapal terbang, banyak bentuk geometri: bola, silinder, segi empat sama, rombus, dsb. Secara kasarnya, simetri boleh difahami seperti berikut: rajah terdiri daripada dua (atau lebih) bahagian yang sama. Simetri ini dipanggil simetri paksi. Apakah itu paksi? Ini betul-betul garis di mana angka itu boleh, secara relatifnya, "dipotong" menjadi separuh yang sama (dalam gambar ini paksi simetri adalah lurus):
Sekarang mari kita kembali kepada tugas kita. Kami tahu bahawa kami sedang mencari titik yang simetri tentang paksi. Maka paksi ini ialah paksi simetri. Ini bermakna kita perlu menandakan titik supaya paksi memotong segmen kepada dua bahagian yang sama. Cuba tandakan titik sedemikian sendiri. Sekarang bandingkan dengan penyelesaian saya:
Adakah ia berfungsi dengan cara yang sama untuk anda? baiklah! Kami berminat dengan ordinat titik yang ditemui. Ia adalah sama
Jawapan:
Sekarang beritahu saya, selepas berfikir selama beberapa saat, apakah absis titik simetri kepada titik A relatif kepada paksi ordinat? Apakah jawapan anda? Jawapan yang betul: .
DALAM kes am peraturan boleh ditulis seperti ini:
Titik simetri kepada titik relatif kepada paksi absis mempunyai koordinat:
Titik simetri kepada titik relatif kepada paksi ordinat mempunyai koordinat:
Nah, sekarang ia benar-benar menakutkan tugasan: cari koordinat titik simetri kepada titik berbanding dengan asalan. Anda mula-mula fikir sendiri, dan kemudian lihat lukisan saya!
Jawapan:
Sekarang masalah segi empat selari:
Tugasan 5: Titik kelihatan ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Cari atau-di-pada-titik itu.
Anda boleh menyelesaikan masalah ini dalam dua cara: logik dan kaedah koordinat. Saya akan menggunakan kaedah koordinat dahulu, dan kemudian saya akan memberitahu anda bagaimana anda boleh menyelesaikannya secara berbeza.
Agak jelas bahawa absis titik adalah sama. (ia terletak pada serenjang yang dilukis dari titik ke paksi absis). Kita perlu mencari ordinat. Mari kita mengambil kesempatan daripada fakta bahawa angka kita ialah segi empat selari, ini bermakna itu. Mari cari panjang segmen menggunakan formula untuk jarak antara dua titik:
Kami menurunkan serenjang yang menghubungkan titik ke paksi. Saya akan menandakan titik persimpangan dengan huruf.
Panjang segmen adalah sama. (cari masalah sendiri di mana kita membincangkan perkara ini), maka kita akan mencari panjang segmen menggunakan teorem Pythagoras:
Panjang segmen bertepatan tepat dengan ordinatnya.
Jawapan: .
Penyelesaian lain (saya hanya akan memberikan gambar yang menggambarkannya)
Kemajuan penyelesaian:
1. Kelakuan
2. Cari koordinat titik dan panjang
3. Buktikan bahawa.
Lagi satu masalah panjang segmen:
Titik muncul di atas segitiga. Cari panjang garis tengahnya, selari.
Adakah anda ingat apa itu garis tengah segi tiga? Maka tugas ini adalah asas untuk anda. Jika anda tidak ingat, maka saya akan mengingatkan anda: garis tengah segitiga ialah garis yang menghubungkan titik tengah sisi bertentangan. Ia selari dengan tapak dan sama dengan separuh daripadanya.
Pangkalan adalah segmen. Kami terpaksa mencari panjangnya lebih awal, ia adalah sama. Kemudian panjang garis tengah adalah separuh besar dan sama.
Jawapan: .
Komen: masalah ini boleh diselesaikan dengan cara lain, yang akan kita rujuk sedikit kemudian.
Sementara itu, berikut adalah beberapa masalah untuk anda, berlatih dengan mereka, ia sangat mudah, tetapi ia membantu anda menjadi lebih baik dalam menggunakan kaedah koordinat!
1. Mata muncul di bahagian atas tra-pe-tions. Cari panjang garis tengahnya.
2. Mata dan penampilan ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Cari atau-di-pada-titik itu.
3. Cari panjang dari potongan, sambungkan titik dan
4. Cari kawasan di belakang rajah berwarna pada satah co-ordin-nat.
5. Bulatan dengan pusat dalam na-cha-le ko-or-di-nat melalui titik itu. Cari dia ra-di-us.
6. Cari-di-te ra-di-us bulatan, huraikan-san-noy tentang sudut kanan-no-ka, bahagian atas sesuatu mempunyai co-atau -di-na-anda sangat bertanggungjawab -tetapi
Penyelesaian:
1. Adalah diketahui bahawa garis tengah trapezium adalah sama dengan separuh jumlah tapaknya. Pangkalan adalah sama, dan asas. Kemudian
Jawapan:
2. Cara paling mudah untuk menyelesaikan masalah ini adalah dengan mengambil perhatian bahawa (peraturan selari). Mengira koordinat vektor tidak sukar: . Apabila menambah vektor, koordinat ditambah. Kemudian mempunyai koordinat. Titik juga mempunyai koordinat ini, kerana asal vektor adalah titik dengan koordinat. Kami berminat dengan ordinat. Dia sama rata.
Jawapan:
3. Kami segera bertindak mengikut formula untuk jarak antara dua titik:
Jawapan:
4. Lihat gambar dan beritahu saya yang manakah dua rajah kawasan berlorek "bersandwich" antara? Ia diapit di antara dua petak. Kemudian luas angka yang dikehendaki adalah sama dengan luas segi empat sama besar tolak luas yang kecil. sebelah persegi kecil ialah segmen yang menghubungkan titik dan Panjangnya ialah
Maka luas petak kecil itu ialah
Kami melakukan perkara yang sama dengan segi empat sama besar: sisinya ialah segmen yang menghubungkan mata dan panjangnya
Maka luas segi empat sama besar ialah
Kami mencari kawasan angka yang dikehendaki menggunakan formula:
Jawapan:
5. Jika bulatan mempunyai asalan sebagai pusat dan melalui satu titik, maka jejarinya akan tepat sama panjang segmen (buat lukisan dan anda akan faham mengapa ini jelas). Mari cari panjang segmen ini:
Jawapan:
6. Diketahui bahawa jejari bulatan yang dihadkan tentang segi empat tepat sama dengan separuh pepenjurunya. Mari kita cari panjang mana-mana dua pepenjuru (lagipun, dalam segi empat tepat ia adalah sama!)
Jawapan:
Nah, adakah anda menghadapi segala-galanya? Ia tidak begitu sukar untuk memikirkannya, bukan? Terdapat hanya satu peraturan di sini - boleh membuat gambar visual dan hanya "membaca" semua data daripadanya.
Kami mempunyai sedikit lagi yang tinggal. Terdapat dua lagi perkara yang saya ingin bincangkan.
Jom cuba selesaikan masalah mudah ni. Biarkan dua mata dan diberikan. Cari koordinat titik tengah segmen itu. Penyelesaian kepada masalah ini adalah seperti berikut: biarkan titik menjadi tengah yang dikehendaki, maka ia mempunyai koordinat:
Iaitu: koordinat tengah segmen = min aritmetik koordinat yang sepadan bagi hujung segmen.
Peraturan ini sangat mudah dan biasanya tidak menyusahkan pelajar. Mari lihat dalam masalah apa dan bagaimana ia digunakan:
1. Cari-di-te atau-di-na-tu se-re-di-ny daripada-potong, sambung-titik dan
2. Mata kelihatan sebagai puncak dunia. Cari-di-te atau-di-na-tu mata per-se-se-che-niya dia-go-na-ley beliau.
3. Cari-di-te abs-cis-su pusat bulatan, huraikan-san-noy tentang segi empat tepat-no-ka, bahagian atas sesuatu mempunyai bersama-atau-di-na-anda begitu-bertanggungjawab-tetapi.
Penyelesaian:
1. Masalah pertama hanyalah klasik. Kami teruskan segera untuk menentukan bahagian tengah segmen. Ia mempunyai koordinat. ordinat adalah sama.
Jawapan:
2. Mudah untuk melihat bahawa segi empat ini ialah segi empat selari (walaupun rombus!). Anda boleh membuktikannya sendiri dengan mengira panjang sisi dan membandingkannya antara satu sama lain. Apa yang saya tahu tentang segi empat selari? Diagonalnya dibahagikan kepada separuh dengan titik persilangan! Yeah! Jadi apakah titik persilangan pepenjuru? Ini adalah bahagian tengah mana-mana pepenjuru! Saya akan memilih, khususnya, pepenjuru. Kemudian titik mempunyai koordinat Ordinasi titik adalah sama dengan.
Jawapan:
3. Apakah yang bertepatan dengan pusat bulatan yang dihadkan tentang segi empat tepat itu? Ia bertepatan dengan titik persilangan pepenjurunya. Apakah yang anda tahu tentang pepenjuru segi empat tepat? Mereka adalah sama dan titik persilangan membahagikannya kepada separuh. Tugas itu dikurangkan kepada yang sebelumnya. Mari kita ambil, sebagai contoh, pepenjuru. Kemudian jika ialah pusat bulatan, maka ialah titik tengah. Saya sedang mencari koordinat: Abscissa adalah sama.
Jawapan:
Sekarang berlatih sendiri, saya hanya akan memberikan jawapan kepada setiap masalah supaya anda boleh menguji diri anda.
1. Cari-di-te ra-di-us bulatan, huraikan-san-noy tentang tri-sudut-no-ka, bahagian atas sesuatu mempunyai co-or-di -on-you
2. Cari-di-te atau-di-pada-tengah bulatan itu, huraikan-san-noy tentang segi tiga-no-ka, bahagian atasnya mempunyai koordinat
3. Apakah jenis ra-di-u-sa yang sepatutnya ada bulatan dengan pusat pada satu titik supaya ia sepadan dengan paksi ab-ciss?
4. Cari-di-mereka atau-di-pada-titik penyemakan semula paksi dan dari-potong, sambungkan-titik dan
Jawapan:
Adakah semuanya berjaya? Saya sangat berharap begitu! Sekarang - tolakan terakhir. Sekarang berhati-hati terutamanya. Bahan yang saya akan terangkan sekarang berkaitan secara langsung bukan sahaja tugasan mudah kepada kaedah koordinat dari bahagian B, tetapi juga terdapat di mana-mana dalam masalah C2.
Mana satu janji saya yang belum saya tunaikan? Ingat apakah operasi pada vektor yang saya janjikan untuk diperkenalkan dan yang mana yang akhirnya saya perkenalkan? Adakah anda pasti saya tidak terlupa apa-apa? terlupa! Saya terlupa untuk menerangkan maksud pendaraban vektor.
Terdapat dua cara untuk mendarab vektor dengan vektor. Bergantung pada kaedah yang dipilih, kita akan mendapat objek dengan sifat yang berbeza:
Hasil silang dilakukan dengan cukup bijak. Kami akan membincangkan cara melakukannya dan mengapa ia diperlukan dalam artikel seterusnya. Dan dalam satu ini kita akan memberi tumpuan kepada produk skalar.
Terdapat dua cara yang membolehkan kita mengiranya:
Seperti yang anda fikirkan, hasilnya sepatutnya sama! Jadi mari kita lihat kaedah pertama dahulu:
Produk titik melalui koordinat
Cari: - jawatan yang diterima umum produk titik
Formula pengiraan adalah seperti berikut:
Iaitu, hasil kali skalar = jumlah hasil darab koordinat vektor!
Contoh:
Cari-di-te
Penyelesaian:
Mari cari koordinat setiap vektor:
Kami mengira hasil skalar menggunakan formula:
Jawapan:
Lihat, tidak ada yang rumit!
Nah, sekarang cuba sendiri:
· Cari skalar pro-iz-ve-de-nie berabad-abad dan
Adakah anda berjaya? Mungkin anda perasan tangkapan kecil? Mari semak:
Koordinat vektor seperti dalam tugasan terakhir! Jawapan: .
Sebagai tambahan kepada koordinat, terdapat satu lagi cara untuk mengira hasil skalar, iaitu, melalui panjang vektor dan kosinus sudut di antara mereka:
Menyatakan sudut antara vektor dan.
Iaitu, hasil kali skalar adalah sama dengan hasil darab panjang vektor dan kosinus sudut di antara mereka.
Mengapa kita memerlukan formula kedua ini, jika kita mempunyai yang pertama, yang jauh lebih mudah, sekurang-kurangnya tiada kosinus di dalamnya. Dan ia diperlukan supaya daripada formula pertama dan kedua anda dan saya boleh menyimpulkan bagaimana untuk mencari sudut antara vektor!
Biar Kemudian ingat formula untuk panjang vektor!
Kemudian jika saya menggantikan data ini ke dalam formula produk skalar, saya mendapat:
Tetapi di sisi lain:
Jadi apa yang awak dan saya dapat? Kami kini mempunyai formula yang membolehkan kami mengira sudut antara dua vektor! Kadang-kadang ia juga ditulis seperti ini untuk ringkasnya:
Iaitu, algoritma untuk mengira sudut antara vektor adalah seperti berikut:
- Kira hasil skalar melalui koordinat
- Cari panjang vektor dan darabkannya
- Bahagikan hasil titik 1 dengan hasil titik 2
Mari berlatih dengan contoh:
1. Cari sudut antara kelopak mata dan. Beri jawapan dalam grad-du-sah.
2. Dalam keadaan masalah sebelumnya, cari kosinus antara vektor
Mari lakukan ini: Saya akan membantu anda menyelesaikan masalah pertama, dan cuba lakukan yang kedua sendiri! Setuju? Kemudian mari kita mulakan!
1. Vektor ini adalah kawan lama kita. Kami telah mengira hasil skalar mereka dan ia adalah sama. Koordinat mereka ialah: , . Kemudian kita dapati panjangnya:
Kemudian kita mencari kosinus antara vektor:
Apakah kosinus sudut itu? Ini adalah sudut.
Jawapan:
Nah, sekarang selesaikan masalah kedua sendiri, dan kemudian bandingkan! Saya hanya akan memberikan penyelesaian yang sangat singkat:
2. mempunyai koordinat, mempunyai koordinat.
Biarkan sudut antara vektor dan, kemudian
Jawapan:
Perlu diingatkan bahawa masalah secara langsung pada vektor dan kaedah koordinat dalam bahagian B kertas peperiksaan agak jarang. Walau bagaimanapun, sebahagian besar masalah C2 boleh diselesaikan dengan mudah dengan memperkenalkan sistem koordinat. Oleh itu, anda boleh mempertimbangkan artikel ini sebagai asas yang berdasarkannya kami akan membuat pembinaan yang agak bijak yang perlu kami selesaikan tugasan yang kompleks.
KOORDINAT DAN VEKTOR. TAHAP PURATA
Anda dan saya terus mengkaji kaedah koordinat. Pada bahagian terakhir kami memperoleh satu siri formula penting, yang membenarkan:
- Cari koordinat vektor
- Cari panjang vektor (sebagai alternatif: jarak antara dua titik)
- Tambah dan tolak vektor. Darab dengan nombor nyata
- Cari titik tengah segmen
- Kira hasil darab titik bagi vektor
- Cari sudut antara vektor
Sudah tentu, keseluruhan kaedah koordinat tidak sesuai dengan 6 mata ini. Ia mendasari sains seperti geometri analitik, yang akan anda kenali di universiti. Saya hanya mahu membina asas yang akan membolehkan anda menyelesaikan masalah dalam satu keadaan. peperiksaan. Kami telah menangani tugas bahagian B. Kini tiba masanya untuk beralih kepada kualiti tinggi tahap baru! Artikel ini akan ditumpukan kepada kaedah untuk menyelesaikan masalah C2 tersebut yang mana wajar untuk beralih kepada kaedah koordinat. Kewajaran ini ditentukan oleh apa yang diperlukan untuk ditemui dalam masalah dan angka yang diberikan. Jadi, saya akan menggunakan kaedah koordinat jika soalannya ialah:
- Cari sudut antara dua satah
- Cari sudut antara garis lurus dan satah
- Cari sudut antara dua garis lurus
- Cari jarak dari satu titik ke satah
- Cari jarak dari satu titik ke garis
- Cari jarak dari garis lurus ke satah
- Cari jarak antara dua garisan
Jika angka yang diberikan dalam penyataan masalah ialah badan revolusi (bola, silinder, kon...)
Angka yang sesuai untuk kaedah koordinat ialah:
- Parallelepiped segiempat tepat
- Piramid (segi tiga, segi empat, heksagon)
Juga dari pengalaman saya adalah tidak sesuai untuk menggunakan kaedah koordinat untuk:
- Mencari kawasan keratan rentas
- Pengiraan isipadu badan
Walau bagaimanapun, ia harus segera diperhatikan bahawa tiga situasi "tidak menguntungkan" untuk kaedah koordinat agak jarang berlaku dalam amalan. Dalam kebanyakan tugas, ia boleh menjadi penyelamat anda, terutamanya jika anda tidak begitu mahir dalam pembinaan tiga dimensi (yang kadangkala boleh menjadi agak rumit).
Apakah semua angka yang saya senaraikan di atas? Mereka tidak lagi rata, seperti, sebagai contoh, persegi, segitiga, bulatan, tetapi besar! Sehubungan itu, kita perlu mempertimbangkan bukan sistem koordinat dua dimensi, tetapi sistem koordinat tiga dimensi. Ia agak mudah untuk dibina: hanya sebagai tambahan kepada paksi absis dan ordinat, kami akan memperkenalkan paksi lain, paksi terpakai. Angka tersebut secara skematik menunjukkan kedudukan relatifnya:
Kesemuanya adalah saling berserenjang dan bersilang pada satu titik, yang akan kita panggil asal koordinat. Seperti sebelum ini, kita akan menandakan paksi absis, paksi ordinat - , dan paksi gunaan yang diperkenalkan - .
Jika sebelum ini setiap titik pada satah dicirikan oleh dua nombor - absis dan ordinat, maka setiap titik dalam ruang sudah diterangkan oleh tiga nombor - abscissa, ordinat, dan applicate. Contohnya:
Oleh itu, absis titik adalah sama, ordinat ialah , dan aplikasinya ialah .
Kadangkala absis titik juga dipanggil unjuran titik ke paksi absis, ordinat - unjuran titik ke paksi ordinat, dan aplikasi - unjuran titik ke paksi terpakai. Oleh itu, jika titik diberikan, maka titik dengan koordinat:
dipanggil unjuran titik ke atas satah
dipanggil unjuran titik ke atas satah
Persoalan semula jadi timbul: adakah semua formula yang diperolehi untuk kes dua dimensi sah di angkasa? Jawapannya ya, mereka adil dan mempunyai penampilan yang sama. Untuk butiran kecil. Saya rasa anda sudah meneka yang mana satu. Dalam semua formula kita perlu menambah satu lagi istilah yang bertanggungjawab untuk paksi terpakai. Iaitu.
1. Jika dua mata diberikan: , maka:
- Koordinat vektor:
- Jarak antara dua titik (atau panjang vektor)
- Titik tengah segmen mempunyai koordinat
2. Jika dua vektor diberikan: dan, maka:
- Hasil kali skalar mereka adalah sama dengan:
- Kosinus sudut antara vektor adalah sama dengan:
Walau bagaimanapun, ruang tidak begitu mudah. Seperti yang anda faham, menambah satu lagi koordinat memperkenalkan kepelbagaian yang ketara ke dalam spektrum angka "hidup" dalam ruang ini. Dan untuk penceritaan lanjut saya perlu memperkenalkan beberapa, secara kasarnya, "pengertian" garis lurus. "Generalisasi" ini akan menjadi pesawat. Apa yang anda tahu tentang kapal terbang? Cuba jawab soalan, apakah itu kapal terbang? Ia sangat sukar untuk dikatakan. Walau bagaimanapun, kita semua secara intuitif membayangkan rupanya:
Secara kasarnya, ini adalah sejenis "helaian" yang tidak berkesudahan yang tersangkut ke angkasa. "Infiniti" harus difahami bahawa pesawat itu memanjang ke semua arah, iaitu, luasnya adalah sama dengan infiniti. Walau bagaimanapun, penjelasan "hands-on" ini tidak memberikan sedikit pun idea tentang struktur pesawat. Dan dialah yang akan berminat dengan kita.
Mari kita ingat salah satu aksiom asas geometri:
- dalam dua pelbagai mata terdapat garis lurus pada satah, dan hanya satu:
Atau analognya di angkasa:
Sudah tentu, anda masih ingat bagaimana untuk mendapatkan persamaan garis dari dua titik yang diberikan sama sekali tidak sukar: jika titik pertama mempunyai koordinat: dan yang kedua, maka persamaan garis akan menjadi seperti berikut:
Anda mengambil ini dalam darjah 7. Dalam ruang, persamaan garis lurus kelihatan seperti ini: mari kita diberi dua titik dengan koordinat: , maka persamaan garis lurus yang melaluinya mempunyai bentuk:
Sebagai contoh, garisan melalui titik:
Bagaimana ini harus difahami? Ini harus difahami seperti berikut: titik terletak pada garis jika koordinatnya memenuhi sistem berikut:
Kami tidak akan sangat berminat dengan persamaan garis, tetapi kami perlu memberi perhatian kepada yang sangat konsep penting mengarah garis lurus vektor. - sebarang vektor bukan sifar yang terletak pada garis tertentu atau selari dengannya.
Sebagai contoh, kedua-dua vektor ialah vektor arah bagi garis lurus. Biarkan titik terletak pada garisan dan jadikan vektor arahnya. Kemudian persamaan garis boleh ditulis dalam bentuk berikut:
Sekali lagi, saya tidak akan begitu berminat dengan persamaan garis lurus, tetapi saya benar-benar memerlukan anda untuk mengingati apa itu vektor arah! sekali lagi: ini adalah SEBARANG vektor bukan sifar yang terletak pada garisan atau selari dengannya.
tarik diri persamaan satah berdasarkan tiga titik yang diberi tidak lagi begitu remeh, dan biasanya isu ini tidak ditangani dalam kursus sekolah menengah. Tetapi sia-sia! Teknik ini penting apabila kita menggunakan kaedah koordinat untuk menyelesaikan masalah yang kompleks. Walau bagaimanapun, saya menganggap bahawa anda tidak sabar-sabar untuk mempelajari sesuatu yang baru? Selain itu, anda akan dapat menarik perhatian guru anda di universiti apabila ternyata anda sudah boleh menggunakan teknik yang biasanya dipelajari dalam kursus geometri analisis. Jadi mari kita mulakan.
Persamaan satah tidak terlalu berbeza dengan persamaan garis lurus pada satah, iaitu, ia mempunyai bentuk:
beberapa nombor (bukan semua sama dengan sifar), dan pembolehubah, contohnya: dsb. Seperti yang anda lihat, persamaan satah tidak jauh berbeza dengan persamaan garis lurus (fungsi linear). Walau bagaimanapun, ingat apa yang anda dan saya berhujah? Kami berkata bahawa jika kami mempunyai tiga titik yang tidak terletak pada garis yang sama, maka persamaan satah itu boleh dibina semula secara unik daripadanya. Tetapi bagaimana? Saya akan cuba menerangkannya kepada anda.
Oleh kerana persamaan satah ialah:
Dan mata adalah milik satah ini, maka apabila menggantikan koordinat setiap titik ke dalam persamaan satah kita harus mendapatkan identiti yang betul:
Oleh itu, terdapat keperluan untuk menyelesaikan tiga persamaan dengan seberapa banyak yang tidak diketahui! Dilema! Walau bagaimanapun, anda sentiasa boleh menganggap bahawa (untuk melakukan ini, anda perlu membahagikan dengan). Oleh itu, kita mendapat tiga persamaan dengan tiga tidak diketahui:
Walau bagaimanapun, kami tidak akan menyelesaikan sistem sedemikian, tetapi akan menulis ungkapan misteri yang berikut daripadanya:
Persamaan satah yang melalui tiga titik tertentu
\[\kiri| (\mulakan(tatasusunan)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(array)) \right| = 0\]
Berhenti! Apa ini? Beberapa modul yang sangat luar biasa! Walau bagaimanapun, objek yang anda lihat di hadapan anda tiada kaitan dengan modul. Objek ini dipanggil penentu urutan ketiga. Mulai sekarang, apabila anda berurusan dengan kaedah koordinat pada satah, anda akan sering menghadapi penentu yang sama ini. Apakah penentu urutan ketiga? Peliknya, ia hanya nombor. Ia masih untuk memahami nombor tertentu yang akan kita bandingkan dengan penentu.
Mari mula-mula tulis penentu tertib ketiga dalam bentuk yang lebih umum:
Mana ada nombor. Selain itu, dengan indeks pertama kami maksudkan nombor baris, dan dengan indeks kami maksudkan nombor lajur. Contohnya, maksudnya begitu nombor yang diberi berdiri di persimpangan baris kedua dan lajur ketiga. Jom pakai soalan seterusnya: Bagaimana sebenarnya kita akan mengira penentu sedemikian? Iaitu, nombor tertentu yang akan kita bandingkan dengannya? Untuk penentu tertib ketiga terdapat peraturan segi tiga heuristik (visual), ia kelihatan seperti seperti berikut:
- Hasil darab unsur-unsur pepenjuru utama (dari sudut kiri atas ke kanan bawah) hasil darab unsur-unsur yang membentuk segitiga pertama "berserenjang" dengan pepenjuru utama hasil darab unsur-unsur membentuk segitiga kedua "berserenjang" dengan pepenjuru utama
- Hasil darab unsur-unsur pepenjuru sekunder (dari sudut kanan atas ke kiri bawah) hasil darab unsur-unsur yang membentuk segitiga pertama "berserenjang" dengan pepenjuru sekunder hasil darab unsur-unsur membentuk segitiga kedua "berserenjang" dengan pepenjuru sekunder
- Maka penentu adalah sama dengan perbezaan antara nilai yang diperoleh pada langkah dan
Jika kita menulis semua ini dalam nombor, kita mendapat ungkapan berikut:
Walau bagaimanapun, anda tidak perlu mengingati kaedah pengiraan dalam bentuk ini; cukup untuk menyimpan segi tiga di kepala anda dan idea tentang apa yang ditambah kepada apa dan apa yang kemudiannya ditolak daripada apa).
Mari kita gambarkan kaedah segitiga dengan contoh:
1. Kira penentu:
Mari kita fikirkan apa yang kita tambah dan apa yang kita tolak:
Syarat yang disertakan dengan tambahan:
Ini adalah pepenjuru utama: hasil darab unsur adalah sama dengan
Segitiga pertama, "berserenjang dengan pepenjuru utama: hasil darab unsur adalah sama dengan
Segitiga kedua, "berserenjang dengan pepenjuru utama: hasil darab unsur adalah sama dengan
Tambahkan tiga nombor:
Terma yang disertakan dengan tolak
Ini ialah pepenjuru sisi: hasil darab unsur adalah sama dengan
Segitiga pertama, “berserenjang dengan pepenjuru sekunder: hasil darab unsur adalah sama dengan
Segitiga kedua, “berserenjang dengan pepenjuru sekunder: hasil darab unsur adalah sama dengan
Tambahkan tiga nombor:
Apa yang perlu dilakukan ialah menolak jumlah sebutan “tambah” daripada jumlah sebutan “tolak”:
Oleh itu,
Seperti yang anda lihat, tidak ada yang rumit atau ghaib dalam mengira penentu peringkat ketiga. Ia hanya penting untuk mengingati tentang segi tiga dan tidak membenarkan kesilapan aritmetik. Sekarang cuba kira sendiri:
Tugas: cari jarak antara titik yang ditunjukkan:
- Segitiga pertama berserenjang dengan pepenjuru utama:
- Segitiga kedua berserenjang dengan pepenjuru utama:
- Jumlah istilah dengan tambah:
- Segitiga pertama berserenjang dengan pepenjuru sekunder:
- Segitiga kedua berserenjang dengan pepenjuru sisi:
- Jumlah istilah dengan tolak:
- Jumlah istilah dengan tambah tolak jumlah istilah dengan tolak:
Berikut adalah beberapa lagi penentu, hitung nilainya sendiri dan bandingkan dengan jawapannya:
Jawapan:
Nah, adakah semuanya bertepatan? Hebat, maka anda boleh teruskan! Sekiranya terdapat kesulitan, maka nasihat saya ialah: di Internet terdapat banyak program untuk mengira penentu dalam talian. Apa yang anda perlukan adalah untuk menghasilkan penentu anda sendiri, mengira sendiri, dan kemudian membandingkannya dengan apa yang dikira oleh program. Dan seterusnya sehingga keputusan mula bertepatan. Saya pasti saat ini tidak akan mengambil masa yang lama untuk tiba!
Sekarang mari kita kembali kepada penentu yang saya tulis apabila saya bercakap tentang persamaan satah yang melalui tiga mata yang diberikan:
Apa yang anda perlukan ialah mengira nilainya secara langsung (menggunakan kaedah segi tiga) dan tetapkan hasilnya kepada sifar. Sememangnya, kerana ini adalah pembolehubah, anda akan mendapat beberapa ungkapan yang bergantung padanya. Ungkapan inilah yang akan menjadi persamaan satah yang melalui tiga titik tertentu yang tidak terletak pada garis lurus yang sama!
Mari kita ilustrasikan ini dengan contoh mudah:
1. Bina persamaan satah yang melalui titik
Kami menyusun penentu untuk tiga perkara ini:
Mari mudahkan:
Sekarang kita mengiranya secara langsung menggunakan peraturan segitiga:
\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ kanan|. = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]
Oleh itu, persamaan satah yang melalui titik ialah:
Sekarang cuba selesaikan satu masalah sendiri, dan kemudian kami akan membincangkannya:
2. Cari persamaan satah yang melalui titik-titik itu
Nah, mari kita bincangkan penyelesaiannya:
Mari buat penentu:
Dan hitung nilainya:
Kemudian persamaan satah mempunyai bentuk:
Atau, mengurangkan dengan, kita mendapat:
Sekarang dua tugas untuk mengawal diri:
- Bina persamaan satah yang melalui tiga titik:
Jawapan:
Adakah semuanya bertepatan? Sekali lagi, jika terdapat kesulitan tertentu, maka nasihat saya adalah ini: ambil tiga mata dari kepala anda (dengan sebahagian besarnya kemungkinan besar mereka tidak akan terletak pada garis lurus yang sama), anda membina pesawat berdasarkan mereka. Dan kemudian anda menyemak diri anda dalam talian. Sebagai contoh, di tapak:
Walau bagaimanapun, dengan bantuan penentu kita akan membina bukan sahaja persamaan satah. Ingat, saya memberitahu anda bahawa bukan sahaja produk titik ditakrifkan untuk vektor. Terdapat juga produk vektor, serta produk campuran. Dan jika hasil darab skalar dua vektor ialah nombor, maka hasil darab vektor dua vektor akan menjadi vektor, dan vektor ini akan berserenjang dengan yang diberikan:
Lebih-lebih lagi, modulnya akan menjadi sama dengan luas segi empat selari dibina pada vektor dan. vektor ini Kami memerlukannya untuk mengira jarak dari titik ke garis. Bagaimana kita boleh mengira? produk vektor vektor dan, jika koordinatnya diberikan? Penentu urutan ketiga datang untuk membantu kami sekali lagi. Walau bagaimanapun, sebelum saya beralih kepada algoritma untuk mengira produk vektor, saya perlu membuat penyimpangan kecil.
Penyimpangan ini melibatkan vektor asas.
Mereka ditunjukkan secara skematik dalam rajah:
Mengapa anda fikir ia dipanggil asas? Intinya ialah:
Atau dalam gambar:
Kesahihan formula ini adalah jelas, kerana:
Karya seni vektor
Sekarang saya boleh mula memperkenalkan produk silang:
Produk vektor dua vektor ialah vektor, yang dikira mengikut peraturan berikut:
Sekarang mari kita berikan beberapa contoh pengiraan hasil silang:
Contoh 1: Cari hasil silang vektor:
Penyelesaian: Saya membentuk penentu:
Dan saya mengiranya:
Sekarang daripada menulis melalui vektor asas, saya akan kembali kepada notasi vektor biasa:
Oleh itu:
Sekarang cubalah.
sedia? Kami menyemak:
Dan secara tradisinya dua tugas untuk mengawal:
- Cari hasil darab vektor bagi vektor berikut:
- Cari hasil darab vektor bagi vektor berikut:
Jawapan:
Hasil campuran tiga vektor
Pembinaan terakhir yang saya perlukan ialah hasil campuran tiga vektor. Ia, seperti skalar, ialah nombor. Terdapat dua cara untuk mengiranya. - melalui penentu, - melalui hasil campuran.
Iaitu, mari kita diberikan tiga vektor:
Kemudian hasil campuran tiga vektor, yang dilambangkan dengan, boleh dikira sebagai:
1. - iaitu hasil darab campuran ialah hasil darab skalar bagi vektor dan hasil darab vektor dua vektor lain
Sebagai contoh, hasil campuran tiga vektor ialah:
Cuba kira sendiri menggunakan produk vektor dan pastikan hasilnya sepadan!
Dan sekali lagi - dua contoh untuk keputusan bebas:
Jawapan:
Memilih sistem koordinat
Nah, kini kita mempunyai semua asas pengetahuan yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah geometri stereometrik yang kompleks. Walau bagaimanapun, sebelum meneruskan terus kepada contoh dan algoritma untuk menyelesaikannya, saya percaya bahawa adalah berguna untuk memikirkan soalan berikut: bagaimana sebenarnya pilih sistem koordinat untuk angka tertentu. Lagipun, ia adalah pilihan kedudukan relatif sistem koordinat dan bentuk dalam ruang akhirnya akan menentukan betapa rumitnya pengiraan.
Izinkan saya mengingatkan anda bahawa dalam bahagian ini kami mempertimbangkan angka berikut:
- Parallelepiped segiempat tepat
- Prisma lurus (segi tiga, heksagon...)
- Piramid (segi tiga, segi empat)
- Tetrahedron (sama seperti piramid segi tiga)
Untuk paip selari atau kubus segi empat tepat, saya mengesyorkan kepada anda pembinaan berikut:
Iaitu, saya akan meletakkan angka itu "di sudut". Kubus dan parallelepiped adalah angka yang sangat baik. Bagi mereka, anda sentiasa boleh mencari koordinat bucunya dengan mudah. Contohnya, jika (seperti yang ditunjukkan dalam gambar)
maka koordinat bucu adalah seperti berikut:
Sudah tentu, anda tidak perlu mengingati ini, tetapi mengingati cara terbaik untuk meletakkan kubus atau selari segi empat tepat adalah dinasihatkan.
Prisma lurus
Prisma adalah angka yang lebih berbahaya. Ia boleh diletakkan di angkasa dengan cara yang berbeza. Walau bagaimanapun, pilihan berikut nampaknya paling boleh diterima oleh saya:
Prisma segi tiga:
Iaitu, kita meletakkan salah satu sisi segitiga sepenuhnya pada paksi, dan salah satu bucu bertepatan dengan asal koordinat.
Prisma heksagon:
Iaitu, salah satu bucu bertepatan dengan asal, dan salah satu sisi terletak pada paksi.
Piramid segi empat dan heksagon:
Situasinya serupa dengan kubus: kami menjajarkan dua sisi tapak dengan paksi koordinat, dan menjajarkan salah satu bucu dengan asal koordinat. Satu-satunya kesukaran adalah untuk mengira koordinat titik.
Untuk piramid heksagon - sama seperti untuk prisma heksagon. Tugas utama sekali lagi adalah untuk mencari koordinat puncak.
Tetrahedron (piramid segi tiga)
Keadaan ini hampir sama dengan yang saya berikan untuk prisma segi tiga: satu bucu bertepatan dengan asal, satu sisi terletak pada paksi koordinat.
Nah, kini anda dan saya akhirnya hampir mula menyelesaikan masalah. Daripada apa yang saya katakan pada awal artikel, anda boleh membuat kesimpulan berikut: kebanyakan masalah C2 dibahagikan kepada 2 kategori: masalah sudut dan masalah jarak. Pertama, kita akan melihat masalah mencari sudut. Mereka pula dibahagikan kepada kategori berikut (apabila ia meningkat dalam kerumitan):
Masalah untuk mencari sudut
- Mencari sudut antara dua garis lurus
- Mencari sudut antara dua satah
Mari kita lihat masalah ini secara berurutan: mari kita mulakan dengan mencari sudut antara dua garis lurus. Nah, ingat, bukankah anda dan saya membuat keputusan? contoh yang serupa lebih awal? Adakah anda ingat, kami sudah mempunyai sesuatu yang serupa... Kami sedang mencari sudut antara dua vektor. Biar saya ingatkan anda, jika dua vektor diberikan: dan, maka sudut di antara mereka didapati daripada hubungan:
Sekarang matlamat kami adalah untuk mencari sudut antara dua garis lurus. Mari lihat "gambar rata":
Berapakah bilangan sudut yang kita perolehi apabila dua garis lurus bersilang? Hanya beberapa perkara. Benar, hanya dua daripada mereka yang tidak sama, manakala yang lain menegak kepada mereka (dan oleh itu bertepatan dengan mereka). Jadi sudut mana yang harus kita pertimbangkan sudut antara dua garis lurus: atau? Berikut peraturannya: sudut antara dua garis lurus sentiasa tidak lebih daripada darjah. Maksudnya, dari dua sudut kita akan sentiasa memilih sudut dengan ukuran darjah yang paling kecil. Iaitu, dalam gambar ini sudut antara dua garis lurus adalah sama. Untuk tidak mengganggu setiap kali mencari sudut terkecil daripada dua sudut, ahli matematik yang licik mencadangkan menggunakan modulus. Oleh itu, sudut antara dua garis lurus ditentukan oleh formula:
Anda, sebagai pembaca yang penuh perhatian, sepatutnya mempunyai soalan: di manakah, sebenarnya, kita mendapat nombor ini yang kita perlukan untuk mengira kosinus sudut? Jawapan: kami akan mengambilnya dari vektor arah garisan! Oleh itu, algoritma untuk mencari sudut antara dua garis lurus adalah seperti berikut:
- Kami menggunakan formula 1.
Atau lebih terperinci:
- Kami sedang mencari koordinat vektor arah bagi garis lurus pertama
- Kami sedang mencari koordinat vektor arah garis lurus kedua
- Kami mengira modulus hasil skalar mereka
- Kami sedang mencari panjang vektor pertama
- Kami sedang mencari panjang vektor kedua
- Darabkan keputusan mata 4 dengan keputusan mata 5
- Kami membahagikan hasil titik 3 dengan hasil titik 6. Kami mendapat kosinus sudut antara garis
- Jika keputusan ini membolehkan anda mengira sudut dengan tepat, mencarinya
- Jika tidak, kita menulis melalui kosinus arka
Nah, kini tiba masanya untuk beralih kepada masalah: Saya akan menunjukkan penyelesaian kepada dua yang pertama secara terperinci, saya akan membentangkan penyelesaian kepada yang lain dalam secara ringkas, dan untuk dua masalah terakhir saya hanya akan memberikan jawapan; anda mesti menjalankan semua pengiraan untuk mereka sendiri.
Tugasan:
1. Dalam tet-ra-ed-re kanan, cari sudut antara ketinggian tet-ra-ed-ra dan sisi tengah.
2. Dalam pi-ra-mi-de penjuru kanan, ratus os-no-va-niyas adalah sama, dan tepi sisi adalah sama, cari sudut antara garis dan.
3. Panjang semua tepi pi-ra-mi-dy empat arang kanan adalah sama antara satu sama lain. Cari sudut antara garis lurus dan jika dari potongan - anda dengan pi-ra-mi-dy yang diberikan, titiknya adalah se-re-di-pada rusuk kedua bo-co-nya
4. Di tepi kubus terdapat satu titik supaya Cari sudut antara garis lurus dan
5. Titik - pada tepi kubus Cari sudut antara garis lurus dan.
Bukan kebetulan saya menyusun tugas dalam susunan ini. Walaupun anda belum mempunyai masa untuk mula menavigasi kaedah koordinat, saya sendiri akan menganalisis angka yang paling "bermasalah", dan saya akan membiarkan anda berurusan dengan kiub paling mudah! Secara beransur-ansur anda perlu belajar bagaimana untuk bekerja dengan semua angka; Saya akan meningkatkan kerumitan tugas dari topik ke topik.
Mari kita mula menyelesaikan masalah:
1. Lukis tetrahedron, letak dalam sistem koordinat seperti yang saya cadangkan tadi. Oleh kerana tetrahedron adalah sekata, maka semua mukanya (termasuk pangkalnya) adalah segi tiga biasa. Oleh kerana kita tidak diberi panjang sisi, saya boleh menganggapnya sama. Saya fikir anda faham bahawa sudut sebenarnya tidak akan bergantung pada berapa banyak tetrahedron kita "diregangkan"?. Saya juga akan melukis ketinggian dan median dalam tetrahedron. Di sepanjang jalan, saya akan melukis pangkalannya (ia juga berguna kepada kita).
Saya perlu mencari sudut antara dan. Apa yang kita tahu? Kita hanya tahu koordinat titik. Ini bermakna kita perlu mencari koordinat titik. Sekarang kita fikir: titik ialah titik persilangan ketinggian (atau pembahagi dua atau median) segi tiga. Dan titik adalah titik yang dibangkitkan. Intinya ialah bahagian tengah segmen. Kemudian kita akhirnya perlu mencari: koordinat titik: .
Mari kita mulakan dengan perkara yang paling mudah: koordinat titik. Lihat rajah: Jelas bahawa penggunaan titik adalah sama dengan sifar (titik itu terletak pada satah). Ordinasinya adalah sama (kerana ia adalah median). Lebih sukar untuk mencari absisnya. Walau bagaimanapun, ini mudah dilakukan berdasarkan teorem Pythagoras: Pertimbangkan segitiga. Hipotenusnya adalah sama, dan salah satu kakinya adalah sama Kemudian:
Akhirnya kami ada: .
Sekarang mari kita cari koordinat titik tersebut. Adalah jelas bahawa penggunaannya sekali lagi sama dengan sifar, dan ordinatnya adalah sama dengan titik, iaitu. Mari cari absisnya. Ini dilakukan agak remeh jika anda ingat itu ketinggian segi tiga sama sisi titik persilangan dibahagikan mengikut bahagian, mengira dari atas. Oleh kerana: , maka absis titik yang diperlukan, sama dengan panjang segmen, adalah sama dengan: . Oleh itu, koordinat titik adalah:
Mari cari koordinat titik tersebut. Jelaslah bahawa absis dan ordinatnya bertepatan dengan absis dan ordinat titik. Dan pemohon adalah sama dengan panjang segmen. - ini adalah salah satu kaki segitiga. Hipotenus segitiga ialah segmen - kaki. Ia dicari atas sebab-sebab yang telah saya serlahkan dalam huruf tebal:
Intinya ialah bahagian tengah segmen. Kemudian kita perlu mengingati formula untuk koordinat titik tengah segmen:
Itu sahaja, sekarang kita boleh mencari koordinat vektor arah:
Nah, semuanya sudah sedia: kami menggantikan semua data ke dalam formula:
Oleh itu,
Jawapan:
Anda tidak seharusnya takut dengan jawapan "menakutkan" sedemikian: untuk tugasan C2 ini adalah amalan biasa. Saya lebih suka terkejut dengan jawapan "cantik" di bahagian ini. Juga, seperti yang anda perhatikan, saya boleh dikatakan tidak menggunakan apa-apa selain teorem Pythagoras dan sifat ketinggian segi tiga sama sisi. Iaitu, untuk menyelesaikan masalah stereometrik, saya menggunakan stereometri yang paling minimum. Keuntungan dalam ini sebahagiannya "dipadamkan" oleh pengiraan yang agak rumit. Tetapi mereka agak algoritma!
2. Mari kita gambarkan piramid heksagon biasa bersama sistem koordinat, serta tapaknya:
Kita perlu mencari sudut antara garisan dan. Oleh itu, tugas kami turun untuk mencari koordinat titik: . Kami akan mencari koordinat tiga terakhir menggunakan lukisan kecil, dan kami akan mencari koordinat bucu melalui koordinat titik. Terdapat banyak kerja yang perlu dilakukan, tetapi kita perlu bermula!
a) Koordinat: jelas bahawa aplikasi dan koordinatnya adalah sama dengan sifar. Mari cari abscissa. Untuk melakukan ini, pertimbangkan segi tiga tepat. Malangnya, di dalamnya kita hanya tahu hipotenus, yang sama. Kami akan cuba mencari kaki (kerana jelas bahawa dua kali ganda panjang kaki akan memberi kita absis titik). Bagaimana kita boleh mencarinya? Mari kita ingat apakah jenis angka yang kita ada di dasar piramid? Ini adalah heksagon biasa. Apakah maksud ini? Ini bermakna semua sisi dan semua sudut adalah sama. Kita perlu mencari satu sudut sedemikian. Ada idea? Terdapat banyak idea, tetapi ada formula:
Jumlah sudut n-gon biasa sama dengan .
Oleh itu, jumlah sudut heksagon biasa sama dengan darjah. Maka setiap sudut adalah sama dengan:
Jom tengok gambar semula. Jelas bahawa ruas adalah pembahagi dua sudut. Kemudian sudut sama dengan darjah. Kemudian:
Kemudian dari mana.
Oleh itu, mempunyai koordinat
b) Sekarang kita boleh mencari koordinat titik dengan mudah: .
c) Cari koordinat titik itu. Oleh kerana abscissanya bertepatan dengan panjang segmen, ia adalah sama. Mencari ordinat juga tidak begitu sukar: jika kita menyambungkan titik dan menetapkan titik persilangan garis sebagai, katakan, . (buat sendiri pembinaan mudah). Maka Oleh itu, ordinat bagi titik B adalah sama dengan jumlah panjang segmen. Mari kita lihat segitiga sekali lagi. Kemudian
Kemudian sejak Kemudian titik mempunyai koordinat
d) Sekarang mari kita cari koordinat titik tersebut. Pertimbangkan segi empat tepat dan buktikan bahawa Oleh itu, koordinat titik ialah:
e) Ia kekal untuk mencari koordinat bucu. Jelaslah bahawa absis dan ordinatnya bertepatan dengan absis dan ordinat titik. Jom cari applica. Sejak itu. Pertimbangkan segi tiga tepat. Mengikut keadaan masalah rusuk sebelah. Ini adalah hipotenus segi tiga saya. Kemudian ketinggian piramid adalah kaki.
Kemudian titik mempunyai koordinat:
Nah, itu sahaja, saya mempunyai koordinat semua titik yang menarik minat saya. Saya sedang mencari koordinat vektor arah garis lurus:
Kami sedang mencari sudut antara vektor ini:
Jawapan:
Sekali lagi, dalam menyelesaikan masalah ini saya tidak menggunakan sebarang teknik yang canggih selain daripada formula untuk jumlah sudut n-gon sekata, serta definisi kosinus dan sinus bagi segi tiga tepat.
3. Oleh kerana kita sekali lagi tidak diberikan panjang tepi dalam piramid, saya akan mengiranya sama dengan satu. Oleh itu, oleh kerana SEMUA tepi, dan bukan hanya sisi, adalah sama antara satu sama lain, maka di dasar piramid dan saya terdapat segi empat sama, dan muka sisi adalah segi tiga sekata. Mari kita lukis piramid seperti itu, serta pangkalannya pada satah, perhatikan semua data yang diberikan dalam teks masalah:
Kami sedang mencari sudut antara dan. Saya akan membuat pengiraan yang sangat ringkas apabila saya mencari koordinat titik. Anda perlu "menghurai" mereka:
b) - bahagian tengah segmen. Koordinatnya:
c) Saya akan mencari panjang segmen menggunakan teorem Pythagoras dalam segi tiga. Saya boleh mencarinya menggunakan teorem Pythagoras dalam segi tiga.
Koordinat:
d) - bahagian tengah segmen. Koordinatnya ialah
e) Koordinat vektor
f) Koordinat vektor
g) Mencari sudut:
Kiub - angka paling ringkas. Saya pasti anda akan memikirkannya sendiri. Jawapan kepada masalah 4 dan 5 adalah seperti berikut:
Mencari sudut antara garis lurus dan satah
Nah, masa untuk teka-teki mudah sudah tamat! Sekarang contoh akan menjadi lebih rumit. Untuk mencari sudut antara garis lurus dan satah, kita akan meneruskan seperti berikut:
- Dengan menggunakan tiga titik kita membina persamaan satah
,
menggunakan penentu urutan ketiga. - Dengan menggunakan dua titik, kami mencari koordinat vektor arah garis lurus:
- Kami menggunakan formula untuk mengira sudut antara garis lurus dan satah:
Seperti yang anda lihat, formula ini sangat serupa dengan yang kami gunakan untuk mencari sudut antara dua garis lurus. Struktur di sebelah kanan adalah sama, dan di sebelah kiri kita kini mencari sinus, bukan kosinus seperti sebelumnya. Nah, satu tindakan jahat telah ditambah - mencari persamaan pesawat.
Jangan kita berlengah-lengah contoh penyelesaian:
1. Prisma langsung utama-tetapi-va-ni-em-kita ialah segi tiga sama dengan miskin. Cari sudut antara garis lurus dan satah
2. Dalam par-ral-le-le-pi-pe-de segi empat tepat dari Barat Cari sudut antara garis lurus dan satah
3. Dalam prisma enam penjuru kanan, semua tepi adalah sama. Cari sudut antara garis lurus dan satah.
4. Dalam pi-ra-mi-de segi tiga kanan dengan os-no-va-ni-em rusuk yang diketahui Cari sudut, ob-ra-zo-van -rata di pangkal dan lurus, melalui kelabu rusuk dan
5. Panjang semua tepi bagi segi empat tepat pi-ra-mi-dy dengan bucu adalah sama antara satu sama lain. Cari sudut antara garis lurus dan satah jika titik itu berada di sisi tepi pi-ra-mi-dy.
Sekali lagi, saya akan menyelesaikan dua masalah pertama secara terperinci, yang ketiga secara ringkas, dan meninggalkan dua yang terakhir untuk anda selesaikan sendiri. Selain itu, anda sudah pun terpaksa berurusan dengan segi tiga dan piramid segi empat, tetapi dengan prisma - belum lagi.
Penyelesaian:
1. Mari kita gambarkan prisma, serta tapaknya. Mari kita gabungkan dengan sistem koordinat dan perhatikan semua data yang diberikan dalam pernyataan masalah:
Saya memohon maaf atas beberapa ketidakpatuhan terhadap perkadaran, tetapi untuk menyelesaikan masalah ini, sebenarnya, ini tidak begitu penting. Pesawat itu hanyalah "dinding belakang" prisma saya. Adalah cukup untuk meneka bahawa persamaan satah sedemikian mempunyai bentuk:
Walau bagaimanapun, ini boleh ditunjukkan secara langsung:
Mari kita pilih sewenang-wenangnya tiga mata pada satah ini: sebagai contoh, .
Mari kita buat persamaan satah:
Latihan untuk anda: hitung sendiri penentu ini. Adakah anda berjaya? Kemudian persamaan satah itu kelihatan seperti:
Atau hanya
Oleh itu,
Untuk menyelesaikan contoh, saya perlu mencari koordinat vektor arah garis lurus. Oleh kerana titik itu bertepatan dengan asal koordinat, koordinat vektor hanya akan bertepatan dengan koordinat titik Untuk melakukan ini, kita mula-mula mencari koordinat titik.
Untuk melakukan ini, pertimbangkan segitiga. Mari kita lukis ketinggian (juga dikenali sebagai median dan pembahagi dua) daripada bucu. Oleh kerana, ordinat titik adalah sama dengan. Untuk mencari absis titik ini, kita perlu mengira panjang segmen. Menurut teorem Pythagoras kita mempunyai:
Kemudian titik mempunyai koordinat:
Titik ialah titik "dibangkitkan":
Kemudian koordinat vektor adalah:
Jawapan:
Seperti yang anda lihat, tidak ada yang sukar pada asasnya apabila menyelesaikan masalah sedemikian. Malah, prosesnya dipermudahkan sedikit lagi dengan "kelurusan" rajah seperti prisma. Sekarang mari kita beralih kepada contoh seterusnya:
2. Lukis saluran selari, lukis satah dan garis lurus di dalamnya, dan juga lukis tapak bawahnya secara berasingan:
Pertama, kita dapati persamaan satah: Koordinat bagi tiga titik yang terletak di dalamnya:
(dua koordinat pertama diperoleh dengan cara yang jelas, dan koordinat terakhir anda boleh mencarinya dengan mudah dari gambar dari titik). Kemudian kita menyusun persamaan satah:
Kami mengira:
Kami sedang mencari koordinat vektor pemandu: Jelas bahawa koordinatnya bertepatan dengan koordinat titik, bukan? Bagaimana untuk mencari koordinat? Ini ialah koordinat titik, dinaikkan di sepanjang paksi terpakai oleh satu! . Kemudian kita cari sudut yang dikehendaki:
Jawapan:
3. Lukis piramid heksagon sekata, dan kemudian lukis satah dan garis lurus di dalamnya.
Di sini ia juga bermasalah untuk melukis kapal terbang, apatah lagi menyelesaikan masalah ini, tetapi kaedah koordinat tidak peduli! Serbagunanya adalah kelebihan utamanya!
Pesawat itu melalui tiga titik: . Kami sedang mencari koordinat mereka:
1) . Ketahui sendiri koordinat untuk dua mata terakhir. Anda perlu menyelesaikan masalah piramid heksagon untuk ini!
2) Kami membina persamaan satah:
Kami sedang mencari koordinat vektor: . (Lihat masalah piramid segi tiga sekali lagi!)
3) Mencari sudut:
Jawapan:
Seperti yang anda lihat, tiada apa-apa yang sukar secara ghaib dalam tugas-tugas ini. Anda hanya perlu berhati-hati dengan akarnya. Saya hanya akan memberikan jawapan kepada dua masalah terakhir:
Seperti yang anda lihat, teknik untuk menyelesaikan masalah adalah sama di mana-mana: tugas utama ialah mencari koordinat bucu dan menggantikannya ke dalam formula tertentu. Kita masih perlu mempertimbangkan satu lagi kelas masalah untuk mengira sudut, iaitu:
Mengira sudut antara dua satah
Algoritma penyelesaian adalah seperti berikut:
- Dengan menggunakan tiga titik kita mencari persamaan satah pertama:
- Dengan menggunakan tiga titik lain kita mencari persamaan satah kedua:
- Kami menggunakan formula:
Seperti yang anda lihat, formulanya sangat serupa dengan dua yang sebelumnya, dengan bantuannya kami mencari sudut antara garis lurus dan antara garis lurus dan satah. Jadi tidak sukar untuk anda mengingati yang ini. Mari kita beralih kepada analisis tugas:
1. Sisi tapak prisma segi tiga tepat adalah sama, dan dia-go-nal muka sisi adalah sama. Cari sudut antara satah dan satah paksi prisma itu.
2. Dalam pi-ra-mi-de empat penjuru kanan, yang semua tepinya adalah sama, cari sinus sudut antara satah dan tulang satah, melalui titik per-pen-di-ku- lyar-tapi lurus.
3. Dalam prisma empat penjuru biasa, sisi tapak adalah sama, dan tepi sisi adalah sama. Terdapat satu titik di tepi daripada-saya-che-on supaya. Cari sudut antara satah dan
4. Dalam prisma segi empat tepat, sisi tapak adalah sama, dan tepi sisi adalah sama. Terdapat titik di tepi dari titik supaya Cari sudut antara satah dan.
5. Dalam kubus, cari ko-si-nus sudut antara satah dan
Penyelesaian masalah:
1. Saya lukis yang betul (di pangkalnya ada segi tiga sama) prisma segi tiga dan tandakan padanya pesawat yang muncul dalam pernyataan masalah:
Kita perlu mencari persamaan dua satah: Persamaan asas adalah remeh: anda boleh menyusun penentu yang sepadan menggunakan tiga titik, tetapi saya akan menyusun persamaan dengan segera:
Sekarang mari kita cari persamaan Titik mempunyai koordinat Titik - Oleh kerana ialah median dan ketinggian segi tiga, ia mudah ditemui menggunakan teorem Pythagoras dalam segi tiga. Kemudian titik mempunyai koordinat: Mari kita cari aplikasi titik Untuk melakukan ini, pertimbangkan segi tiga tepat
Kemudian kita mendapat koordinat berikut: Kami menyusun persamaan satah itu.
Kami mengira sudut antara satah:
Jawapan:
2. Membuat lukisan:
Perkara yang paling sukar ialah memahami jenis satah misteri ini, melepasi titik secara tegak lurus. Nah, perkara utama ialah, apakah itu? Perkara utama ialah perhatian! Malah, garis itu berserenjang. Garis lurus juga berserenjang. Kemudian satah yang melalui kedua-dua garis ini akan berserenjang dengan garis, dan, dengan cara itu, melalui titik itu. Pesawat ini juga melalui bahagian atas piramid. Kemudian kapal terbang yang dikehendaki - Dan kapal terbang itu telah pun diberikan kepada kami. Kami sedang mencari koordinat titik.
Kami mencari koordinat titik melalui titik. Dari gambar kecil, mudah untuk membuat kesimpulan bahawa koordinat titik adalah seperti berikut: Apakah yang masih perlu dicari sekarang untuk mencari koordinat bahagian atas piramid? Anda juga perlu mengira ketinggiannya. Ini dilakukan dengan menggunakan teorem Pythagoras yang sama: pertama buktikan bahawa (sedikit daripada segi tiga kecil membentuk segi empat sama di tapak). Oleh kerana dengan syarat, kami mempunyai:
Sekarang semuanya sudah sedia: koordinat puncak:
Kami menyusun persamaan satah:
Anda sudah pakar dalam mengira penentu. Tanpa kesukaran anda akan menerima:
Atau sebaliknya (jika kita darab kedua-dua belah dengan punca dua)
Sekarang mari kita cari persamaan satah itu:
(Anda tidak lupa bagaimana kita mendapatkan persamaan satah, kan? Jika anda tidak faham dari mana tolak satu ini datang, maka kembali kepada definisi persamaan satah! Ia selalu berlaku sebelum itu pesawat saya milik asal!)
Kami mengira penentu:
(Anda mungkin perasan bahawa persamaan satah bertepatan dengan persamaan garis yang melalui titik dan! Fikirkan mengapa!)
Sekarang mari kita hitung sudut:
Kita perlu mencari sinus:
Jawapan:
3. Soalan rumit: apakah itu? prisma segi empat tepat, Bagaimana pendapat anda? Ini hanyalah parallelepiped yang anda tahu dengan baik! Mari buat lukisan dengan segera! Anda tidak perlu menggambarkan asas secara berasingan; ia tidak berguna di sini:
Satah, seperti yang kita nyatakan sebelum ini, ditulis dalam bentuk persamaan:
Sekarang mari kita cipta kapal terbang
Kami segera mencipta persamaan satah:
Mencari sudut:
Sekarang jawapan kepada dua masalah terakhir:
Nah, sekarang adalah masa untuk berehat sedikit, kerana anda dan saya hebat dan telah melakukan kerja yang hebat!
Koordinat dan vektor. Tahap lanjutan
Dalam artikel ini kami akan membincangkan dengan anda satu lagi kelas masalah yang boleh diselesaikan menggunakan kaedah koordinat: masalah pengiraan jarak. Iaitu, kami akan mempertimbangkan kes berikut:
- Pengiraan jarak antara garisan bersilang.
Saya telah memesan tugasan ini mengikut urutan kesukaran yang semakin meningkat. Ia ternyata paling mudah dicari jarak dari titik ke satah, dan perkara yang paling sukar ialah mencari jarak antara garisan lintasan. Walaupun, sudah tentu, tiada yang mustahil! Jangan berlengah-lengah dan segera mempertimbangkan masalah kelas pertama:
Mengira jarak dari satu titik ke satah
Apa yang kita perlukan untuk menyelesaikan masalah ini?
1. Koordinat titik
Oleh itu, sebaik sahaja kami menerima semua data yang diperlukan, kami menggunakan formula:
Anda sepatutnya sudah tahu bagaimana kami membina persamaan satah dari tugasan sebelumnya, yang saya bincangkan di bahagian terakhir. Mari kita terus kepada tugasan. Skimnya adalah seperti berikut: 1, 2 - Saya membantu anda membuat keputusan, dan secara terperinci, 3, 4 - hanya jawapannya, anda menjalankan penyelesaian itu sendiri dan bandingkan. Mari mulakan!
Tugasan:
1. Diberi kubus. Panjang tepi kubus adalah sama. Cari jarak dari se-re-di-na dari potongan ke satah
2. Diberi pi-ra-mi-ya empat arang yang betul, sisi sisi adalah sama dengan tapak. Cari jarak dari titik ke satah di mana - se-re-di-di tepi.
3. Dalam pi-ra-mi-de segi tiga kanan dengan os-no-va-ni-em, tepi sisi adalah sama, dan ratus-ro-pada os-no-vania adalah sama. Cari jarak dari atas ke kapal terbang.
4. Dalam prisma heksagon tegak, semua tepi adalah sama. Cari jarak dari satu titik ke satah.
Penyelesaian:
1. Lukis kubus dengan tepi tunggal, bina segmen dan satah, nyatakan tengah segmen dengan huruf
.
Mula-mula, mari kita mulakan dengan yang mudah: cari koordinat titik itu. Sejak itu (ingat koordinat tengah segmen!)
Sekarang kita menyusun persamaan satah menggunakan tiga titik
\[\kiri| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \kanan| = 0\]
Sekarang saya boleh mula mencari jarak:
2. Kami mulakan semula dengan lukisan di mana kami menandakan semua data!
Untuk piramid, adalah berguna untuk melukis asasnya secara berasingan.
Malah hakikat bahawa saya melukis seperti ayam dengan kakinya tidak akan menghalang kita daripada menyelesaikan masalah ini dengan mudah!
Kini mudah untuk mencari koordinat sesuatu titik
Oleh kerana koordinat titik, maka
2. Oleh kerana koordinat titik a ialah tengah segmen, maka
Tanpa sebarang masalah, kita boleh mencari koordinat dua lagi titik pada satah Kami mencipta persamaan untuk satah dan memudahkannya:
\[\kiri| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \kanan|) \kanan| = 0\]
Oleh kerana titik mempunyai koordinat: , kami mengira jarak:
Jawapan (sangat jarang!):
Nah, adakah anda memahaminya? Nampaknya segala-galanya di sini adalah sama teknikal seperti dalam contoh yang kita lihat di bahagian sebelumnya. Jadi saya yakin jika anda telah menguasai bahan tersebut, maka tidak sukar untuk anda menyelesaikan dua masalah yang tinggal. Saya hanya akan memberi anda jawapan:
Mengira jarak dari garis lurus ke satah
Sebenarnya, tidak ada yang baru di sini. Bagaimanakah garis lurus dan satah boleh diletakkan secara relatif antara satu sama lain? Mereka hanya mempunyai satu kemungkinan: bersilang, atau garis lurus selari dengan satah. Pada pendapat anda, apakah jarak dari garis lurus ke satah yang bersilang dengan garis lurus ini? Nampaknya saya jelas di sini bahawa jarak sedemikian adalah sama dengan sifar. Bukan kes yang menarik.
Kes kedua adalah lebih rumit: di sini jaraknya sudah bukan sifar. Walau bagaimanapun, oleh kerana garis itu selari dengan satah, maka setiap titik garis adalah sama jarak dari satah ini:
Oleh itu:
Ini bermakna bahawa tugas saya telah dikurangkan kepada yang sebelumnya: kami sedang mencari koordinat mana-mana titik pada garis lurus, mencari persamaan satah, dan mengira jarak dari titik ke satah. Malah, tugas sebegini amat jarang berlaku dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu. Saya berjaya menemui hanya satu masalah, dan data di dalamnya adalah sedemikian rupa sehingga kaedah koordinat tidak begitu sesuai untuknya!
Sekarang mari kita beralih kepada kelas masalah lain yang lebih penting:
Mengira jarak titik ke garis
Apa yang kita perlukan?
1. Koordinat titik dari mana kita mencari jarak:
2. Koordinat mana-mana titik yang terletak pada garisan
3. Koordinat vektor arah garis lurus
Apakah formula yang kita gunakan?
Maksud penyebut pecahan ini hendaklah jelas kepada anda: ini ialah panjang vektor arah garis lurus. Ini adalah pengangka yang sangat rumit! Ungkapan itu bermaksud modulus (panjang) hasil vektor vektor dan Bagaimana untuk mengira hasil vektor, kami telah mengkaji dalam bahagian kerja sebelumnya. Segarkan pengetahuan anda, kami akan sangat memerlukannya sekarang!
Oleh itu, algoritma untuk menyelesaikan masalah adalah seperti berikut:
1. Kami sedang mencari koordinat titik dari mana kami mencari jarak:
2. Kami sedang mencari koordinat mana-mana titik pada garisan yang kami cari jaraknya:
3. Bina vektor
4. Bina vektor arah garisan
5. Kira hasil vektor
6. Kami mencari panjang vektor yang terhasil:
7. Kira jarak:
Kami mempunyai banyak kerja yang perlu dilakukan, dan contoh-contohnya akan menjadi agak rumit! Jadi sekarang tumpukan semua perhatian anda!
1. Diberi pi-ra-mi-da segi tiga tepat dengan gasing. Seratus-ro-atas asas pi-ra-mi-dy adalah sama, anda adalah sama. Cari jarak dari tepi kelabu ke garis lurus, di mana titik dan adalah tepi kelabu dan dari veterinar.
2. Panjang tepi dan sudut lurus-tidak-pergi par-ral-le-le-pi-pe-da adalah sama sesuai dan Cari jarak dari atas ke garis lurus
3. Dalam prisma heksagon tegak, semua sisi adalah sama, cari jarak dari titik ke garis lurus
Penyelesaian:
1. Kami membuat lukisan yang kemas di mana kami menandakan semua data:
Kami mempunyai banyak kerja untuk dilakukan! Saya mula-mula ingin menerangkan dengan perkataan apa yang akan kita cari dan dalam susunan apa:
1. Koordinat mata dan
2. Koordinat titik
3. Koordinat mata dan
4. Koordinat vektor dan
5. Hasil silang mereka
6. Panjang vektor
7. Panjang produk vektor
8. Jarak dari ke
Nah, kita mempunyai banyak kerja di hadapan kita! Mari kita lakukannya dengan lengan baju kita disingsing!
1. Untuk mencari koordinat ketinggian piramid, kita perlu mengetahui koordinat titiknya ialah sifar, dan koordinatnya adalah sama dengan panjang ruas itu segi tiga sama sisi, ia dibahagikan dalam nisbah, mengira dari bucu, dari sini. Akhirnya, kami mendapat koordinat:
Koordinat titik
2. - tengah segmen
3. - tengah segmen
Titik tengah segmen
4.Koordinat
Koordinat vektor
5. Kira hasil vektor:
6. Panjang vektor: cara paling mudah untuk menggantikan ialah segmen ialah garis tengah segi tiga, yang bermaksud ia sama dengan separuh tapak. Jadi.
7. Kira panjang hasil vektor:
8. Akhirnya, kita dapati jarak:
Ugh, itu sahaja! Saya akan memberitahu anda dengan jujur: penyelesaian kepada masalah ini ialah kaedah tradisional(melalui pembinaan), ia akan menjadi lebih pantas. Tetapi di sini saya mengurangkan segala-galanya kepada algoritma siap sedia! Saya fikir algoritma penyelesaian jelas kepada anda? Oleh itu, saya akan meminta anda menyelesaikan sendiri dua masalah yang tinggal. Mari bandingkan jawapan?
Sekali lagi, saya ulangi: lebih mudah (lebih cepat) untuk menyelesaikan masalah ini melalui pembinaan, dan bukannya menggunakan kaedah koordinat. Saya menunjukkan penyelesaian ini hanya untuk menunjukkan kepada anda kaedah universal, yang membolehkan anda "tidak selesai membina apa-apa."
Akhir sekali, pertimbangkan kelas terakhir masalah:
Mengira jarak antara garis bersilang
Di sini algoritma untuk menyelesaikan masalah akan serupa dengan yang sebelumnya. Apa yang kita ada:
3. Mana-mana vektor yang menghubungkan titik-titik baris pertama dan kedua:
Bagaimanakah kita mencari jarak antara garisan?
Formulanya adalah seperti berikut:
Pengangka ialah modulus produk campuran(kami memperkenalkannya pada bahagian sebelumnya), dan penyebutnya adalah seperti dalam formula sebelumnya (modulus hasil vektor vektor pengarah garis lurus, jarak antara yang kami cari).
Saya akan mengingatkan anda bahawa
Kemudian formula untuk jarak boleh ditulis semula sebagai:
Ini adalah penentu dibahagikan dengan penentu! Walaupun, sejujurnya, saya tiada masa untuk bergurau di sini! Formula ini, sebenarnya, sangat menyusahkan dan membawa kepada agak pengiraan yang kompleks. Jika saya jadi awak, saya akan mengambilnya sebagai pilihan terakhir!
Mari cuba selesaikan beberapa masalah menggunakan kaedah di atas:
1. Ke arah yang betul prisma segi tiga, semua tepinya adalah sama, cari jarak antara garis lurus dan.
2. Diberi prisma segi tiga tegak, semua tepi tapak adalah sama dengan keratan yang melalui rusuk badan dan rusuk se-re-di-telaga ialah segi empat sama. Cari jarak antara garis lurus dan
Saya memutuskan yang pertama, dan berdasarkannya, anda memutuskan yang kedua!
1. Saya melukis prisma dan menanda garis lurus dan
Koordinat titik C: kemudian
Koordinat titik
Koordinat vektor
Koordinat titik
Koordinat vektor
Koordinat vektor
\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1))) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]
Kami mengira hasil vektor antara vektor dan
\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\mula(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\mula(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]
Sekarang kita mengira panjangnya:
Jawapan:
Sekarang cuba selesaikan tugasan kedua dengan berhati-hati. Jawapannya ialah: .
Koordinat dan vektor. Penerangan ringkas dan formula asas
Vektor ialah segmen terarah. - permulaan vektor, - penghujung vektor.
Vektor dilambangkan dengan atau.
Nilai mutlak vektor - panjang segmen yang mewakili vektor. Ditandakan sebagai.
Koordinat vektor:
,
di manakah hujung vektor \displaystyle a .
Jumlah vektor: .
Produk vektor:
Hasil darab titik bagi vektor:
Oxy
TENTANG A OA.
, di mana 
OA 
.
Oleh itu, 
.
Mari kita lihat contoh.
Contoh.
Penyelesaian.
:
Jawapan:
Oxyz di angkasa.
A OA akan menjadi pepenjuru.
Dalam kes ini (sejak OA 
OA 
.
Oleh itu, panjang vektor 
.
Contoh.
Kira Panjang Vektor 
Penyelesaian.
, oleh itu, 
Jawapan:
Garis lurus di atas kapal terbang
Persamaan am
Ax + By + C ( > 0).
vektor = (A; B) ialah vektor biasa.
Dalam bentuk vektor: + C = 0, di manakah vektor jejari titik sewenang-wenangnya pada garis lurus (Rajah 4.11).
Kes khas:
1) Oleh + C = 0- garis lurus selari dengan paksi lembu;
2) Ax + C = 0- garis lurus selari dengan paksi Oy;
3) Ax + By = 0- garis lurus melalui asal;
4) y = 0- paksi lembu;
5) x = 0- paksi Oy.
Persamaan garis dalam segmen
di mana a, b- nilai segmen yang dipotong oleh garis lurus pada paksi koordinat.
Persamaan biasa langsung(Gamb. 4.11)
di manakah sudut yang terbentuk normal kepada garis dan paksi lembu; hlm- jarak dari asal ke garis lurus.
Membawa persamaan am terus ke bentuk biasa:
Berikut ialah faktor ternormal baris; tanda dipilih tanda bertentangan C, jika dan sewenang-wenangnya, jika C=0.
Mencari panjang vektor daripada koordinat.
Kami akan menandakan panjang vektor dengan . Oleh kerana notasi ini, panjang vektor sering dipanggil modulus vektor.
Mari kita mulakan dengan mencari panjang vektor pada satah menggunakan koordinat.
Mari kita perkenalkan sistem koordinat Cartesian segi empat tepat pada satah Oxy. Biarkan vektor dinyatakan di dalamnya dan mempunyai koordinat. Kami memperoleh formula yang membolehkan kami mencari panjang vektor melalui koordinat dan .
Mari kita ketepikan daripada asal koordinat (dari titik TENTANG) vektor . Mari kita nyatakan unjuran titik A pada paksi koordinat sebagai dan masing-masing dan pertimbangkan segi empat tepat dengan pepenjuru OA.
Berdasarkan teorem Pythagoras, kesamaan adalah benar , di mana . Daripada definisi koordinat vektor dalam sistem koordinat segi empat tepat, kita boleh menyatakan bahawa dan , dan dengan pembinaan panjang OA sama dengan panjang vektor, oleh itu, .
Oleh itu, formula untuk mencari panjang vektor mengikut koordinatnya pada satah mempunyai bentuk .
Jika vektor diwakili sebagai penguraian dalam vektor koordinat , maka panjangnya dikira menggunakan formula yang sama , kerana dalam kes ini pekali dan merupakan koordinat bagi vektor dalam sistem koordinat tertentu.
Mari kita lihat contoh.
Contoh.
Cari panjang vektor yang diberikan dalam sistem koordinat Cartes.
Penyelesaian.
Kami segera menggunakan formula untuk mencari panjang vektor dari koordinat :
Jawapan:
Sekarang kita mendapat formula untuk mencari panjang vektor dengan koordinatnya dalam sistem koordinat segi empat tepat Oxyz di angkasa.
Mari kita plot vektor dari asal dan menunjukkan unjuran titik A pada paksi koordinat sebagai dan . Kemudian kita boleh membina selari segi empat tepat pada sisi, di mana OA akan menjadi pepenjuru.
Dalam kes ini (sejak OA– pepenjuru segiempat selari), dari mana . Menentukan koordinat vektor membolehkan kita menulis kesamaan, dan panjang OA sama dengan panjang vektor yang dikehendaki, oleh itu, .
Oleh itu, panjang vektor dalam ruang adalah sama dengan punca kuasa dua hasil tambah kuasa dua koordinatnya, iaitu didapati oleh formula .
Contoh.
Kira Panjang Vektor , di manakah vektor unit bagi sistem koordinat segi empat tepat.
Penyelesaian.
Kami diberikan penguraian vektor kepada vektor koordinat bentuk , oleh itu, . Kemudian, menggunakan formula untuk mencari panjang vektor daripada koordinat, kita mempunyai .
Sejak zaman sekolah kita sudah tahu apa itu vektor ialah segmen yang mempunyai arah dan dicirikan oleh nilai berangka memesan sepasang mata. Nombor yang sama dengan panjang segmen yang berfungsi sebagai asas ditakrifkan sebagai panjang vektor . Untuk mentakrifkannya kita akan gunakan sistem koordinat. Kami juga mengambil kira satu lagi ciri - arah segmen . Untuk mencari panjang vektor, anda boleh menggunakan dua kaedah. Yang paling mudah ialah mengambil pembaris dan mengukur apa yang akan berlaku. Atau anda boleh menggunakan formula. Kami sekarang akan mempertimbangkan pilihan ini.
Perlu:
— sistem koordinat (x, y);
— vektor;
- pengetahuan tentang algebra dan geometri.
Arahan:
- Formula untuk menentukan panjang segmen yang diarahkan mari kita tulis seperti berikut r²= x²+y². Mengambil punca kuasa dua bagi r² dan nombor yang terhasil akan menjadi hasilnya. Untuk mencari panjang vektor, kami melakukan langkah-langkah berikut. Kami menetapkan titik permulaan koordinat (x1;y1), titik akhir (x2;y2). Kami dapati x Dan y dengan perbezaan antara koordinat penghujung dan permulaan segmen yang diarahkan. Dengan kata lain, nombor (X) ditentukan oleh formula berikut x=x2-x1, dan nombor (y) masing-masing y=y2-y1.
- Cari kuasa dua hasil tambah koordinat menggunakan formula x²+y². Kami mengekstrak punca kuasa dua nombor yang terhasil, yang akan menjadi panjang vektor (r). Penyelesaian kepada masalah yang dikemukakan akan dipermudahkan jika data awal koordinat segmen yang diarahkan segera diketahui. Apa yang anda perlu lakukan ialah memasukkan data ke dalam formula.
- Perhatian! Vektor mungkin tidak berada pada satah koordinat, tetapi dalam ruang, dalam hal ini satu lagi nilai akan ditambah pada formula, dan ia akan mempunyai pandangan seterusnya: r²= x²+y²+ z², Di mana - (z) paksi tambahan yang membantu menentukan saiz segmen terarah dalam ruang.