Pengiraan koordinat vektor dan panjangnya. Formula untuk menentukan koordinat vektor untuk masalah dua dimensi

Pertama sekali, kita perlu memahami konsep vektor itu sendiri. Untuk memperkenalkan definisi vektor geometri Mari kita ingat apa itu segmen. Mari kita perkenalkan definisi berikut.

Definisi 1

Segmen ialah sebahagian daripada garisan yang mempunyai dua sempadan dalam bentuk titik.

Segmen boleh mempunyai 2 arah. Untuk menunjukkan arah, kami akan memanggil salah satu sempadan segmen sebagai permulaannya, dan sempadan lain sebagai penghujungnya. Arah ditunjukkan dari awal hingga akhir segmen.

Definisi 2

Kami akan memanggil vektor atau segmen terarah sebagai segmen yang mana ia diketahui sempadan segmen yang dianggap sebagai permulaan dan yang mana penghujungnya.

Jawatan: Dalam dua huruf: $\overline(AB)$ – (di mana $A$ ialah permulaannya dan $B$ ialah penghujungnya).

Dalam satu huruf kecil: $\overline(a)$ (Gamb. 1).

Marilah kita memperkenalkan secara langsung konsep panjang vektor.

Definisi 3

Panjang vektor $\overline(a)$ akan menjadi panjang segmen $a$.

Notasi: $|\overline(a)|$

Konsep panjang vektor dikaitkan, sebagai contoh, dengan konsep seperti kesamaan dua vektor.

Definisi 4

Kami akan memanggil dua vektor sama jika ia memenuhi dua syarat: 1. Ia adalah kodirectional; 1. Panjangnya adalah sama (Rajah 2).

Untuk menentukan vektor, masukkan sistem koordinat dan tentukan koordinat untuk vektor dalam sistem yang dimasukkan. Seperti yang kita tahu, mana-mana vektor boleh diuraikan dalam bentuk $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$, dengan $m$ dan $n$ adalah nombor nyata, dan $\overline(i)$ dan $\overline(j)$ ialah vektor unit pada paksi $Ox$ dan $Oy$.

Definisi 5

Kami akan memanggil pekali pengembangan vektor $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ koordinat vektor ini dalam sistem koordinat yang diperkenalkan. Secara matematik:

$\overline(c)=(m,n)$

Bagaimana untuk mencari panjang vektor?

Untuk mendapatkan formula untuk mengira panjang vektor arbitrari yang diberikan koordinatnya, pertimbangkan masalah berikut:

Contoh 1

Diberi: vektor $\overline(α)$ dengan koordinat $(x,y)$. Cari: panjang vektor ini.

Mari kita perkenalkan sistem koordinat Cartes $xOy$ pada satah. Mari kita ketepikan $\overline(OA)=\overline(a)$ daripada asal-usul sistem koordinat yang diperkenalkan. Mari kita bina unjuran $OA_1$ dan $OA_2$ bagi vektor yang dibina pada paksi $Ox$ dan $Oy$ (Rajah 3).

Vektor $\overline(OA)$ yang telah kami bina akan menjadi vektor jejari untuk titik $A$, oleh itu, ia akan mempunyai koordinat $(x,y)$, yang bermaksud

$=x$, $[OA_2]=y$

Sekarang kita boleh mencari panjang yang diperlukan dengan mudah menggunakan teorem Pythagoras, kita dapat

$|\overline(α)|^2=^2+^2$

$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$

$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$

Jawapan: $\sqrt(x^2+y^2)$.

Kesimpulan: Untuk mencari panjang vektor yang koordinatnya diberikan, adalah perlu untuk mencari punca kuasa dua hasil tambah koordinat ini.

Contoh tugasan

Contoh 2

Cari jarak antara titik $X$ dan $Y$, yang mempunyai koordinat berikut: $(-1.5)$ dan $(7.3)$, masing-masing.

Mana-mana dua titik boleh dikaitkan dengan konsep vektor. Pertimbangkan, sebagai contoh, vektor $\overline(XY)$. Seperti yang kita sedia maklum, koordinat bagi vektor tersebut boleh didapati dengan menolak koordinat titik permulaan yang sepadan ($X$) daripada koordinat titik akhir ($Y$). Kami dapat itu

Yandex.RTB R-A-339285-1

Panjang vektor a → akan dilambangkan dengan a → . Notasi ini serupa dengan modulus nombor, jadi panjang vektor juga dipanggil modulus vektor.

Untuk mencari panjang vektor pada satah dari koordinatnya, adalah perlu untuk mempertimbangkan sistem koordinat Cartesian segi empat tepat O x y. Biarkan beberapa vektor a → dengan koordinat a x dinyatakan di dalamnya; ay. Mari kita perkenalkan formula untuk mencari panjang (modulus) bagi vektor a → melalui koordinat a x dan a y.

Mari kita plot vektor O A → = a → daripada asalan. Mari kita tentukan unjuran titik A yang sepadan ke atas paksi koordinat sebagai A x dan A y . Sekarang pertimbangkan sebuah segi empat tepat O A x A A y dengan pepenjuru O A .

Daripada teorem Pythagoras mengikut kesamaan O A 2 = O A x 2 + O A y 2 , dari mana O A = O A x 2 + O A y 2 . Dari sudah definisi yang diketahui koordinat vektor dalam segi empat tepat Sistem kartesian koordinat, kita memperoleh bahawa O A x 2 = a x 2 dan O A y 2 = a y 2 , dan dengan pembinaan, panjang O A adalah sama dengan panjang vektor O A → , yang bermaksud O A → = O A x 2 + O A y 2 .

Daripada ini ternyata begitu formula untuk mencari panjang vektor a → = a x ; a y mempunyai bentuk yang sepadan: a → = a x 2 + a y 2 .

Jika vektor a → diberikan sebagai pengembangan dalam vektor koordinat a → = a x · i → + a y · j →, maka panjangnya boleh dikira menggunakan formula yang sama a → = a x 2 + a y 2, dalam dalam kes ini pekali a x dan a y bertindak sebagai koordinat bagi vektor a → in sistem yang diberikan koordinat

Contoh 1

Hitung panjang vektor a → = 7 ; e mengalah sistem segi empat tepat koordinat

Penyelesaian

Untuk mencari panjang vektor, kita akan menggunakan formula untuk mencari panjang vektor daripada koordinat a → = a x 2 + a y 2: a → = 7 2 + e 2 = 49 + e

Jawapan: a → = 49 + e.

Formula untuk mencari panjang vektor a → = a x ; a y ; a z daripada koordinatnya dalam sistem koordinat Cartesian Oxyz dalam angkasa, diperolehi sama dengan formula untuk kes pada satah (lihat rajah di bawah)

Dalam kes ini, O A 2 = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (memandangkan OA ialah pepenjuru segiempat selari), maka O A = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 . Daripada takrifan koordinat vektor kita boleh menulis kesamaan berikut O A x = a x ; O A y = a y ; O A z = a z ; , dan panjang OA adalah sama dengan panjang vektor yang kita cari, oleh itu, O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 .

Ia berikutan bahawa panjang vektor a → = a x ; a y; a z adalah sama dengan a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 .

Contoh 2

Kira panjang vektor a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k → , dengan i → , j → , k → ialah vektor unit bagi sistem koordinat segi empat tepat.

Penyelesaian

Penguraian vektor a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k → diberi, koordinatnya ialah a → = 4, - 3, 5. Dengan menggunakan formula di atas kita mendapat a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + (- 3) 2 + 5 2 = 5 2.

Jawapan: a → = 5 2 .

Panjang vektor melalui koordinat titik mula dan tamatnya

Formula diperoleh di atas yang membolehkan anda mencari panjang vektor daripada koordinatnya. Kami mempertimbangkan kes di dalam pesawat dan masuk ruang tiga dimensi. Mari kita gunakannya untuk mencari koordinat vektor daripada koordinat titik mula dan tamatnya.

Jadi, memandangkan mata dengan koordinat yang diberikan A (a x ; a y) dan B (b x ; b y), maka vektor A B → mempunyai koordinat (b x - a x ; b y - a y) yang bermaksud panjangnya boleh ditentukan dengan formula: A B → = (b x - a x) 2 + ( b y - a y) 2

Dan jika titik dengan koordinat A (a x ; a y ; a z) dan B (b x ; b y ; b z) diberikan dalam ruang tiga dimensi, maka panjang vektor A B → boleh dikira menggunakan formula

A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2

Contoh 3

Cari panjang vektor A B → jika dalam sistem koordinat segi empat tepat A 1, 3, B - 3, 1.

Penyelesaian

Menggunakan formula untuk mencari panjang vektor daripada koordinat titik mula dan titik akhir pada satah, kita memperoleh A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2: A B → = (- 3 - 1 ) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 .

Penyelesaian kedua melibatkan penggunaan formula ini secara bergilir: A B → = (- 3 - 1 ; 1 - 3) = (- 4 ; 1 - 3) ; A B → = (- 4) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 . -

Jawapan: A B → = 20 - 2 3 .

Contoh 4

Tentukan pada nilai apakah panjang vektor A B → bersamaan dengan 30 jika A (0, 1, 2); B (5 , 2 , λ 2) .

Penyelesaian

Mula-mula, mari kita tuliskan panjang vektor A B → menggunakan formula: A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2 = (5 - 0) 2 + (2 - 1) 2 + (λ 2 - 2) 2 = 26 + (λ 2 - 2) 2

Kemudian kita menyamakan ungkapan yang terhasil kepada 30, dari sini kita dapati λ yang diperlukan:

26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 (λ 2 - 2) 2 = 4 λ 2 - 2 = 2 dan λ 2 - 2 = - 2 λ 1 = - 2 , λ 2 = 2, λ 3 = 0.

Jawapan: λ 1 = - 2, λ 2 = 2, λ 3 = 0.

Mencari panjang vektor menggunakan teorem kosinus

Malangnya, dalam masalah, koordinat vektor tidak selalu diketahui, jadi kami akan mempertimbangkan cara lain untuk mencari panjang vektor.

Biarkan panjang dua vektor A B → , A C → dan sudut di antara mereka (atau kosinus sudut) diberikan, dan anda perlu mencari panjang vektor B C → atau C B → . Dalam kes ini, anda harus menggunakan teorem kosinus dalam segi tiga △ A B C dan hitung panjang sisi B C, yang sama dengan panjang vektor yang dikehendaki.

Mari kita pertimbangkan kes ini menggunakan contoh berikut.

Contoh 5

Panjang vektor A B → dan A C → masing-masing ialah 3 dan 7, dan sudut di antara keduanya ialah π 3. Hitung panjang vektor B C → .

Penyelesaian

Panjang vektor B C → dalam kes ini adalah sama dengan panjang sisi B C segi tiga △ A B C . Panjang sisi A B dan A C segi tiga diketahui daripada keadaan (ia sama dengan panjang vektor yang sepadan), sudut di antara mereka juga diketahui, jadi kita boleh menggunakan teorem kosinus: B C 2 = A B 2 + A C 2 - 2 A B A C cos ∠ (A B, → A C →) = 3 2 + 7 2 - 2 · 3 · 7 · cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 Oleh itu, B C → = 37 .

Jawapan: B C → = 37 .

Jadi, untuk mencari panjang vektor daripada koordinat, terdapat rumus berikut a → = a x 2 + a y 2 atau a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 , daripada koordinat titik mula dan titik akhir vektor A B → = (b x - a x) 2 + ( b y - a y) 2 atau A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2, dalam beberapa kes teorem kosinus harus digunakan .

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

vektor. Tindakan dengan vektor. Dalam artikel ini kita akan bercakap tentang apa itu vektor, cara mencari panjangnya, dan cara mendarab vektor dengan nombor, serta cara mencari jumlah, perbezaan dan produk titik dua vektor.

Seperti biasa, sedikit teori yang paling diperlukan.

Vektor ialah segmen terarah, iaitu segmen yang mempunyai permulaan dan penghujung:

Di sini titik A ialah permulaan vektor, dan titik B ialah penghujungnya.

Vektor mempunyai dua parameter: panjang dan arahnya.

Panjang vektor ialah panjang segmen yang menghubungkan permulaan dan penghujung vektor. Panjang vektor ditandakan

Dua vektor dikatakan sama jika mereka ada sama panjang dan diarahkan bersama.

Kedua-dua vektor itu dipanggil diarahkan bersama, jika ia terletak pada garis selari dan diarahkan ke arah yang sama: vektor dan kodirectional:

Dua vektor dipanggil berlawanan arah jika ia terletak pada garis selari dan diarahkan ke arah bertentangan: vektor dan , serta dan diarahkan ke arah bertentangan:

Vektor yang terletak pada garis selari dipanggil kolinear: vektor, dan kolinear.

Hasil daripada vektor nombor dipanggil vektor kodirectional kepada vektor jika title="k>0">, и направленный в !} sebelah bertentangan, jika , dan yang panjangnya sama dengan panjang vektor didarab dengan:

Kepada tambah dua vektor dan, anda perlu menyambungkan permulaan vektor ke penghujung vektor. Vektor jumlah menghubungkan permulaan vektor ke penghujung vektor:

Peraturan penambahan vektor ini dipanggil peraturan segi tiga.

Untuk menambah dua vektor dengan peraturan selari, anda perlu menangguhkan vektor dari satu titik dan membinanya sehingga segi empat selari. Vektor jumlah menghubungkan titik permulaan vektor dengan sudut bertentangan segi empat selari:

Perbezaan dua vektor ditentukan melalui jumlah: perbezaan vektor dan dipanggil vektor sedemikian, yang dalam jumlah dengan vektor akan memberikan vektor:

Ia berikutan daripada ini peraturan untuk mencari perbezaan dua vektor: untuk menolak vektor daripada vektor, anda perlu memplot vektor ini dari satu titik. Vektor perbezaan menghubungkan penghujung vektor ke penghujung vektor (iaitu penghujung subtrahend ke penghujung minuend):

Untuk mencari sudut antara vektor dan vektor, anda perlu memplot vektor ini dari satu titik. Sudut yang dibentuk oleh sinar di mana vektor terletak dipanggil sudut antara vektor:

Hasil darab skalar bagi dua vektor ialah nombor sama dengan produk panjang vektor ini dengan kosinus sudut di antara mereka:

Saya cadangkan anda menyelesaikan masalah daripada Buka Bank tugasan untuk , dan kemudian semak penyelesaian anda dengan VIDEO TUTORIALS:

1. Tugasan 4 (No. 27709)

Dua sisi segi empat tepat ABCD adalah sama dengan 6 dan 8. Cari panjang beza antara vektor dan .

2. Tugasan 4 (No. 27710)

Dua sisi segi empat tepat ABCD adalah sama dengan 6 dan 8. Cari hasil darab skalar bagi vektor dan . (melukis daripada tugasan sebelumnya).

3. Tugasan 4 (No. 27711)

Dua sisi segi empat tepat ABCD O. Cari panjang hasil tambah vektor dan .

4. Tugasan 4 (No. 27712)

Dua sisi segi empat tepat ABCD adalah sama dengan 6 dan 8. pepenjuru bersilang pada titik O. Cari panjang beza antara vektor dan . (melukis daripada tugasan sebelumnya).

5. Tugasan 4 (No. 27713)

Diagonal rombus ABCD adalah sama dengan 12 dan 16. Cari panjang vektor itu.

6. Tugasan 4 (No. 27714)

Diagonal rombus ABCD ialah 12 dan 16. Cari panjang vektor +.

7.Tugas 4 (No. 27715)

Diagonal rombus ABCD adalah sama dengan 12 dan 16. Cari panjang vektor - .(lukisan daripada masalah sebelumnya).

8.Tugasan 4 (No. 27716)

Diagonal rombus ABCD adalah sama dengan 12 dan 16. Cari panjang vektor - .

9 . Tugasan 4 (No. 27717)

Diagonal rombus ABCD bersilang pada satu titik O dan bersamaan dengan 12 dan 16. Cari panjang vektor + .

10. Tugasan 4 (No. 27718)

Diagonal rombus ABCD bersilang pada satu titik O dan bersamaan dengan 12 dan 16. Cari panjang vektor - .(lukisan daripada masalah sebelumnya).

11.Tugas 4 (No. 27719)

Diagonal rombus ABCD bersilang pada satu titik O dan bersamaan dengan 12 dan 16. Cari hasil darab skalar bagi vektor dan .

12. Tugasan 4 (No. 27720)

ABC adalah sama Cari panjang vektor +.

13. Tugasan 4 (No. 27721)

parti segi tiga biasa ABC adalah sama dengan 3. Cari panjang vektor - (lukisan daripada masalah sebelumnya).

14. Tugasan 4 (No. 27722)

Sisi segi tiga sekata ABC adalah sama dengan 3. Cari hasil darab skalar bagi vektor dan . (melukis daripada tugasan sebelumnya).

Penyemak imbas anda mungkin tidak disokong. Untuk menggunakan jurulatih " Waktu Peperiksaan Negeri Bersatu", cuba muat turun
Firefox

Pertama sekali, kita perlu memahami konsep vektor itu sendiri. Untuk memperkenalkan definisi vektor geometri, mari kita ingat apa itu segmen. Mari kita perkenalkan definisi berikut.

Definisi 1

Segmen ialah sebahagian daripada garisan yang mempunyai dua sempadan dalam bentuk titik.

Definisi 2

Kami akan memanggil vektor atau segmen terarah sebagai segmen yang mana ia diketahui sempadan segmen yang dianggap sebagai permulaan dan yang mana penghujungnya.

Jawatan: Dalam dua huruf: $\overline(AB)$ – (di mana $A$ ialah permulaannya dan $B$ ialah penghujungnya).

Dalam satu huruf kecil: $\overline(a)$ (Gamb. 1).

Marilah kita memperkenalkan secara langsung konsep panjang vektor.

Definisi 3

Panjang vektor $\overline(a)$ akan menjadi panjang segmen $a$.

Notasi: $|\overline(a)|$

Konsep panjang vektor dikaitkan, sebagai contoh, dengan konsep seperti kesamaan dua vektor.

Definisi 4

Kami akan memanggil dua vektor sama jika ia memenuhi dua syarat: 1. Ia adalah kodirectional; 1. Panjangnya adalah sama (Rajah 2).

Untuk menentukan vektor, masukkan sistem koordinat dan tentukan koordinat untuk vektor dalam sistem yang dimasukkan. Seperti yang kita ketahui, sebarang vektor boleh diuraikan dalam bentuk $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$, dengan $m$ dan $n$ ialah nombor nyata, dan $\overline (i )$ dan $\overline(j)$ ialah vektor unit pada paksi $Ox$ dan $Oy$.

Definisi 5

Kami akan memanggil pekali pengembangan vektor $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ koordinat vektor ini dalam sistem koordinat yang diperkenalkan. Secara matematik:

$\overline(c)=(m,n)$

Bagaimana untuk mencari panjang vektor?

Untuk mendapatkan formula untuk mengira panjang vektor arbitrari yang diberikan koordinatnya, pertimbangkan masalah berikut:

Contoh 1

Diberi: vektor $\overline(α)$ dengan koordinat $(x,y)$. Cari: panjang vektor ini.

Vektor $\overline(OA)$ yang telah kami bina akan menjadi vektor jejari untuk titik $A$, oleh itu, ia akan mempunyai koordinat $(x,y)$, yang bermaksud

$=x$, $[OA_2]=y$

Sekarang kita boleh mencari panjang yang diperlukan dengan mudah menggunakan teorem Pythagoras, kita dapat

$|\overline(α)|^2=^2+^2$

$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$

$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$

Jawapan: $\sqrt(x^2+y^2)$.

Kesimpulan: Untuk mencari panjang vektor yang koordinatnya diberikan, adalah perlu untuk mencari punca kuasa dua hasil tambah koordinat ini.

Contoh tugasan

Contoh 2

Cari jarak antara titik $X$ dan $Y$, yang mempunyai koordinat berikut: $(-1.5)$ dan $(7.3)$, masing-masing.

Sejak zaman sekolah kita sudah tahu apa itu vektor ialah segmen yang mempunyai arah dan dicirikan oleh nilai berangka memesan sepasang mata. Nombor yang sama dengan panjang segmen yang berfungsi sebagai asas ditakrifkan sebagai panjang vektor . Untuk mentakrifkannya kita akan gunakan sistem koordinat. Kami juga mengambil kira satu lagi ciri - arah segmen . Untuk mencari panjang vektor, anda boleh menggunakan dua kaedah. Yang paling mudah ialah mengambil pembaris dan mengukur apa yang akan berlaku. Atau anda boleh menggunakan formula. Kami sekarang akan mempertimbangkan pilihan ini.

Perlu:

— sistem koordinat (x, y);
— vektor;
- pengetahuan tentang algebra dan geometri.

Arahan:

Formula untuk menentukan panjang segmen yang diarahkan jom tulis seperti berikut r²= x²+y². Mengambil punca kuasa dua bagi r² dan nombor yang terhasil akan menjadi hasilnya. Untuk mencari panjang vektor, kami melakukan langkah-langkah berikut. Kami menetapkan titik permulaan koordinat (x1;y1), titik akhir (x2;y2). Kami dapati x Dan y dengan perbezaan antara koordinat penghujung dan permulaan segmen yang diarahkan. Dalam erti kata lain, nombor (X) ditentukan oleh formula berikut x=x2-x1, dan nombor (y) masing-masing y=y2-y1.
Cari kuasa dua hasil tambah koordinat menggunakan formula x²+y². Kami mengekstrak punca kuasa dua nombor yang terhasil, yang akan menjadi panjang vektor (r). Penyelesaian kepada masalah yang dikemukakan akan dipermudahkan jika data awal koordinat segmen yang diarahkan segera diketahui. Apa yang anda perlu lakukan ialah memasukkan data ke dalam formula.
Perhatian! Vektor mungkin tidak berada pada satah koordinat, tetapi dalam ruang, dalam hal ini satu lagi nilai akan ditambah pada formula, dan ia akan mempunyai pandangan seterusnya: r²= x²+y²+ z², Di mana - (z) paksi tambahan yang membantu menentukan saiz segmen terarah dalam ruang.