Definisi. Hasil darab vektor bagi vektor a (daraban) dan vektor bukan kolinear (daraban) ialah vektor ketiga c (hasil), yang dibina seperti berikut:

1) modulnya secara berangka sama dengan luas segiempat selari dalam Rajah. 155), dibina di atas vektor, iaitu sama dengan arah yang berserenjang dengan satah selari yang disebutkan;

3) dalam kes ini, arah vektor c dipilih (daripada dua kemungkinan) supaya vektor c membentuk sistem tangan kanan (§ 110).

Jawatan: atau

Tambahan kepada definisi. Jika vektor adalah kolinear, maka menganggap angka itu sebagai (bersyarat) segiempat selari, adalah wajar untuk menetapkan kawasan sifar. Oleh itu, produk vektor bagi vektor kolinear dianggap sama dengan vektor nol.

Memandangkan vektor nol boleh diberikan sebarang arah, perjanjian ini tidak bercanggah dengan perenggan 2 dan 3 definisi.

Catatan 1. Dalam istilah "hasil vektor" perkataan pertama menunjukkan bahawa hasil tindakan adalah vektor (berbanding dengan hasil kali skalar; rujuk § 104, catatan 1).

Contoh 1. Cari hasil vektor di mana vektor utama sistem koordinat kanan (Rajah 156).

1. Oleh kerana panjang vektor utama adalah sama dengan satu unit skala, luas segi empat selari (persegi) adalah sama dengan satu. Ini bermakna modulus produk vektor adalah sama dengan satu.

2. Oleh kerana serenjang dengan satah ialah paksi, hasil vektor yang dikehendaki ialah kolinear vektor kepada vektor k; dan kerana kedua-duanya mempunyai modulus 1, hasil vektor yang dikehendaki adalah sama dengan k atau -k.

3. Daripada dua vektor yang mungkin ini, yang pertama mesti dipilih, kerana vektor k membentuk sistem tangan kanan (dan vektor kidal).

Contoh 2. Cari hasil silang

Penyelesaian. Seperti dalam contoh 1, kami membuat kesimpulan bahawa vektor adalah sama dengan k atau -k. Tetapi sekarang kita perlu memilih -k, kerana vektor membentuk sistem tangan kanan (dan vektor membentuk sistem kidal). Jadi,

Contoh 3. Vektor mempunyai panjang yang sama dengan 80 dan 50 cm, masing-masing, dan membentuk sudut 30°. Mengambil meter sebagai unit panjang, cari panjang hasil darab vektor a

Penyelesaian. Luas segi empat selari yang dibina pada vektor adalah sama dengan Panjang produk vektor yang dikehendaki adalah sama dengan

Contoh 4. Cari panjang hasil darab vektor bagi vektor yang sama, dengan mengambil sentimeter sebagai unit panjang.

Penyelesaian. Oleh kerana luas segi empat selari yang dibina pada vektor adalah sama, panjang produk vektor adalah sama dengan 2000 cm, i.e.

Daripada perbandingan contoh 3 dan 4 adalah jelas bahawa panjang vektor bergantung bukan sahaja pada panjang faktor tetapi juga pada pilihan unit panjang.

Makna fizikal produk vektor. Daripada banyak kuantiti fizik yang diwakili oleh produk vektor, kita akan mempertimbangkan hanya momen daya.

Biarkan A ialah titik penggunaan daya Momen daya relatif kepada titik O dipanggil hasil vektor Oleh kerana modulus hasil vektor ini adalah sama dengan luas segiempat selari (Rajah 157). modulus momen adalah sama dengan hasil darab tapak dan ketinggian, iaitu daya yang didarab dengan jarak dari titik O ke garis lurus di mana daya bertindak.

Dalam mekanik, terbukti bahawa untuk jasad tegar berada dalam keseimbangan, adalah perlu bahawa bukan sahaja jumlah vektor yang mewakili daya yang dikenakan pada jasad itu adalah sama dengan sifar, tetapi juga jumlah momen daya. Dalam kes di mana semua daya selari dengan satu satah, penambahan vektor yang mewakili momen boleh digantikan dengan penambahan dan penolakan magnitudnya. Tetapi dengan arahan kuasa yang sewenang-wenangnya, penggantian sedemikian adalah mustahil. Selaras dengan ini, produk vektor ditakrifkan dengan tepat sebagai vektor, dan bukan sebagai nombor.

7.1. Definisi hasil silang

Tiga vektor bukan koplanar a, b dan c, diambil dalam susunan yang ditunjukkan, membentuk tiga tangan kanan jika, dari hujung vektor ketiga c, pusingan terpendek dari vektor pertama a ke vektor kedua b dilihat lawan jam, dan tiga tangan kiri jika mengikut arah jam (lihat Rajah. 16).

Hasil darab vektor bagi vektor a dan vektor b dipanggil vektor c, yang:

1. Serenjang dengan vektor a dan b, iaitu c ^ a dan c ^ b ;

2. Mempunyai panjang secara berangka sama dengan luas segi empat selari yang dibina pada vektor a danb seperti pada sisi (lihat Rajah 17), i.e.

3. Vektor a, b dan c membentuk tiga tangan kanan.

Hasil silang ditandakan a x b atau [a,b]. Hubungan berikut antara vektor unit saya ikuti terus daripada takrif produk vektor, j Dan k(lihat Rajah 18):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Mari kita buktikan, sebagai contoh, itu i xj =k.

1) k ^ i, k ^ j ;

2) |k |=1, tetapi | i x j| = |i | |J | sin(90°)=1;

3) vektor i, j dan k membentuk tiga kali ganda kanan (lihat Rajah 16).

7.2. Sifat produk silang

1. Apabila menyusun semula faktor, produk vektor bertukar tanda, i.e. dan xb =(b xa) (lihat Rajah 19).

Vektor a xb dan b xa adalah kolinear, mempunyai modul yang sama (luas segi empat selari kekal tidak berubah), tetapi diarahkan bertentangan (tiga kali ganda a, b, a xb dan a, b, b x a orientasi bertentangan). Itu dia axb = -(b xa).

2. Hasil darab vektor mempunyai sifat gabungan berkenaan dengan faktor skalar, iaitu l ​​(a xb) = (l a) x b = a x (l b).

Biarkan l >0. Vektor l (a xb) berserenjang dengan vektor a dan b. vektor ( l a) x b juga berserenjang dengan vektor a dan b(vektor a, l tetapi terletak dalam satah yang sama). Ini bermakna bahawa vektor l(a xb) dan ( l a) x b kolinear. Jelas sekali hala tuju mereka bertepatan. Mereka mempunyai panjang yang sama:

sebab tu l(a xb)= l a xb. Ia dibuktikan dengan cara yang sama untuk l<0.

3. Dua vektor bukan sifar a dan b adalah kolinear jika dan hanya jika hasil vektor mereka adalah sama dengan vektor sifar, iaitu a ||b<=>dan xb =0.

Khususnya, i *i =j *j =k *k =0 .

4. Produk vektor mempunyai sifat pengedaran:

(a+b) xc = a xc + b xs.

Kami akan terima tanpa bukti.

7.3. Menyatakan hasil silang dari segi koordinat

Kami akan menggunakan jadual hasil silang bagi vektor i, j dan k:

jika arah laluan terpendek dari vektor pertama ke yang kedua bertepatan dengan arah anak panah, maka produk adalah sama dengan vektor ketiga; jika ia tidak bertepatan, vektor ketiga diambil dengan tanda tolak.

Biarkan dua vektor a =a x i +a y diberikan j+a z k dan b =b x i+b y j+b z k. Mari cari hasil vektor vektor ini dengan mendarabkannya sebagai polinomial (mengikut sifat produk vektor):

Formula yang terhasil boleh ditulis dengan lebih ringkas:

kerana bahagian kanan kesamaan (7.1) sepadan dengan pengembangan penentu tertib ketiga dari segi unsur-unsur baris pertama Kesamaan (7.2) mudah diingati.

7.4. Beberapa aplikasi produk silang

Mewujudkan kolineariti vektor

Mencari luas segi empat selari dan segi tiga

Mengikut takrifan hasil darab vektor bagi vektor A dan b |a xb | =|a | * |b |sin g, iaitu pasangan S = |a x b |. Dan, oleh itu, D S =1/2|a x b |.

Penentuan momen daya terhadap sesuatu titik

Biarkan daya dikenakan pada titik A F =AB lepaskan TENTANG- beberapa titik dalam ruang (lihat Rajah 20).

Ia diketahui dari fizik bahawa momen kekuatan F relatif kepada titik TENTANG dipanggil vektor M, yang melalui titik itu TENTANG Dan:

1) berserenjang dengan satah yang melalui titik O, A, B;

2) secara berangka sama dengan hasil daya setiap lengan

3) membentuk tiga rangkap kanan dengan vektor OA dan A B.

Oleh itu, M = OA x F.

Mencari kelajuan putaran linear

Kelajuan v titik M jasad tegar berputar dengan halaju sudut w di sekeliling paksi tetap, ditentukan oleh formula Euler v =w xr, dengan r =OM, dengan O ialah beberapa titik tetap paksi (lihat Rajah 21).

Definisi Koleksi tertib bagi (x 1 , x 2 , ... , x n) n nombor nyata dipanggil vektor n-dimensi, dan nombor x i (i = ) - komponen, atau koordinat,

Contoh. Jika, sebagai contoh, kilang automobil tertentu mesti mengeluarkan 50 kereta, 100 trak, 10 bas, 50 set alat ganti untuk kereta dan 150 set untuk trak dan bas setiap syif, maka program pengeluaran kilang ini boleh ditulis sebagai vektor (50, 100 , 10, 50, 150), mempunyai lima komponen.

Notasi. Vektor dilambangkan dengan huruf kecil tebal atau huruf dengan bar atau anak panah di bahagian atas, mis. a atau. Kedua-dua vektor itu dipanggil sama rata, jika ia mempunyai bilangan komponen yang sama dan komponen yang sepadan adalah sama.

Komponen vektor tidak boleh ditukar, contohnya, (3, 2, 5, 0, 1) dan (2, 3, 5, 0, 1) vektor yang berbeza.
Operasi pada vektor. Kerja x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) dengan nombor nyataλ dipanggil vektorλ x= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

Jumlahx= (x 1 , x 2 , ... ,x n) dan y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) dipanggil vektor x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

Ruang vektor. N -ruang vektor dimensi R n ditakrifkan sebagai set semua vektor dimensi-n yang mana operasi pendaraban dengan nombor nyata dan penambahan ditakrifkan.

Ilustrasi ekonomi. Ilustrasi ekonomi ruang vektor n-dimensi: ruang barang (barang). Di bawah barang kami akan memahami beberapa barangan atau perkhidmatan yang mula dijual pada masa tertentu di tempat tertentu. Katakan terdapat bilangan terhingga n barang yang ada; kuantiti setiap satunya yang dibeli oleh pengguna dicirikan oleh satu set barang

x= (x 1 , x 2 , ..., x n),

di mana x i menandakan jumlah barang ke-i yang dibeli oleh pengguna. Kami akan mengandaikan bahawa semua barangan mempunyai harta pembahagian sewenang-wenangnya, supaya sebarang kuantiti bukan negatif setiap satu daripadanya boleh dibeli. Maka semua set barang yang mungkin adalah vektor ruang barang C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ).

Kemerdekaan linear. Sistem e 1 , e 2 , ... , e m vektor dimensi n dipanggil bergantung secara linear, jika terdapat nombor sedemikianλ 1 , λ 2 , ... , λ m , yang mana sekurang-kurangnya satu bukan sifar, supaya kesaksamaanλ 1 e 1 + λ 2 e 2 +... + λ m e m = 0; jika tidak, sistem vektor ini dipanggil bebas linear, iaitu, kesaksamaan yang ditunjukkan hanya mungkin dalam kes apabila semua . Makna geometri pergantungan linear vektor dalam R 3, ditafsirkan sebagai segmen terarah, terangkan teorem berikut.

Teorem 1. Sistem yang terdiri daripada satu vektor adalah bersandar secara linear jika dan hanya jika vektor ini adalah sifar.

Teorem 2. Agar dua vektor bersandar secara linear, adalah perlu dan mencukupi bahawa ia adalah kolinear (selari).

Teorem 3 . Agar tiga vektor bersandar secara linear, adalah perlu dan mencukupi bahawa ia adalah koplanar (berbaring dalam satah yang sama).

Tiga kali ganda vektor kiri dan kanan. Tiga kali ganda vektor bukan koplanar a, b, c dipanggil betul, jika pemerhati dari asal biasa mereka memintas hujung vektor a, b, c dalam susunan yang diberikan nampaknya berlaku mengikut arah jam. Jika tidak a, b, c -tinggal tiga. Semua kanan (atau kiri) tiga kali ganda vektor dipanggil sama berorientasikan.

Asas dan koordinat. Troika e 1, e 2 , e 3 vektor bukan koplanar masuk R 3 dipanggil asas, dan vektor itu sendiri e 1, e 2 , e 3 - asas. Mana-mana vektor a boleh dikembangkan secara unik menjadi vektor asas, iaitu, diwakili dalam bentuk

A= x 1 e 1+x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

nombor x 1 , x 2 , x 3 dalam pengembangan (1.1) dipanggil koordinata dalam asas e 1, e 2 , e 3 dan ditetapkan a(x 1, x 2, x 3).

Asas ortonormal. Jika vektor e 1, e 2 , e 3 adalah serenjang berpasangan dan panjang setiap satunya adalah sama dengan satu, maka asasnya dipanggil ortonormal, dan koordinat x 1 , x 2 , x 3 - segi empat tepat. Vektor asas asas ortonormal akan dilambangkan dengan i, j, k.

Kami akan menganggap bahawa di angkasa R 3 sistem yang betul bagi koordinat segi empat tepat Cartesian dipilih (0, i, j, k}.

Karya seni vektor. Karya seni vektor A kepada vektor b dipanggil vektor c, yang ditentukan oleh tiga syarat berikut:

1. Panjang vektor c secara berangka sama dengan luas segi empat selari yang dibina pada vektor a Dan b, i.e.
c= |a||b| dosa ( a^b).

2. Vektor c berserenjang dengan setiap vektor a Dan b.

3. Vektor a, b Dan c, diambil dalam susunan yang dinyatakan, membentuk tiga kali ganda kanan.

Untuk produk silang c jawatan itu diperkenalkan c =[ab] atau
c = a × b.

Jika vektor a Dan b adalah kolinear, maka dosa ( a^b) = 0 dan [ ab] = 0, khususnya, [ aa] = 0. Hasil darab vektor bagi vektor unit: [ ij]=k, [jk] = i, [ki]=j.

Jika vektor a Dan b dinyatakan dalam asas i, j, k koordinat a(a 1 , a 2 , a 3), b(b 1, b 2, b 3), kemudian

Kerja campur. Jika hasil darab vektor dua vektor A Dan b didarab secara skalar dengan vektor ketiga c, maka hasil darab tiga vektor sedemikian dipanggil kerja bercampur dan ditunjukkan oleh simbol a b c.

Jika vektor a, b Dan c dalam asas i, j, k diberikan oleh koordinat mereka
a(a 1 , a 2 , a 3), b(b 1, b 2, b 3), c(c 1, c 2, c 3), kemudian

.

Hasil campuran mempunyai tafsiran geometri yang mudah - ia adalah skalar, sama dalam nilai mutlak dengan isipadu selari yang dibina di atas tiga vektor tertentu.

Jika vektor membentuk tiga kali ganda kanan, maka hasil bercampurnya ialah nombor positif bersamaan dengan isipadu yang ditunjukkan; jika ia adalah tiga a, b, c - pergi, kemudian a b c<0 и V = - a b c, oleh itu V =|a b c|.

Koordinat vektor yang ditemui dalam masalah bab pertama diandaikan diberikan secara relatif kepada asas ortonormal yang betul. Unit vektor kodirectional dengan vektor A, ditunjukkan oleh simbol A O. Simbol r=OM dilambangkan dengan vektor jejari titik M, simbol a, AB atau|a|, | AB|modul vektor dilambangkan A Dan AB.

Contoh 1.2. Cari sudut antara vektor a= 2m+4n Dan b= m-n, Di mana m Dan n- vektor unit dan sudut antara m Dan n bersamaan dengan 120 o.

Penyelesaian. Kami ada: cos φ = ab/ab ab =(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0.5) = -3; a = ; a 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0.5)+16=12, yang bermaksud a = . b = ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 = 1-2(-0.5)+1 = 3, yang bermaksud b = . Akhirnya kita ada: cosφ = = -1/2, φ = 120 o.

Contoh 1.3.Mengetahui vektor AB(-3,-2.6) dan B.C.(-2,4,4), hitung panjang ketinggian AD segi tiga ABC.

Penyelesaian. Menandakan luas segi tiga ABC oleh S, kita dapat:
S = 1/2 SM. Kemudian AD=2S/BC, BC= = = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, yang bermaksud vektor A.C. mempunyai koordinat
. .

Contoh 1.4 . Dua vektor diberikan a(11,10,2) dan b(4,0,3). Cari vektor unit c, ortogon kepada vektor a Dan b dan diarahkan supaya tiga kali ganda vektor yang dipesan a, b, c adalah betul.

Penyelesaian.Mari kita nyatakan koordinat vektor c berkenaan dengan asas ortonormal kanan yang diberikan dalam sebutan x, y, z.

Kerana ia c ⊥ a, c ⊥b, Itu ca= 0,cb= 0. Mengikut keadaan masalah, adalah dikehendaki bahawa c = 1 dan a b c >0.

Kami mempunyai sistem persamaan untuk mencari x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Daripada persamaan pertama dan kedua sistem kita memperoleh z = -4/3 x, y = -5/6 x. Menggantikan y dan z ke dalam persamaan ketiga, kita mempunyai: x 2 = 36/125, dari mana
x =± . Menggunakan syarat a b c > 0, kita mendapat ketaksamaan

Dengan mengambil kira ungkapan untuk z dan y, kami menulis semula ketaksamaan yang terhasil dalam bentuk: 625/6 x > 0, yang membayangkan bahawa x>0. Jadi, x = , y = - , z =- .

Dalam pelajaran ini kita akan melihat dua lagi operasi dengan vektor: produk vektor bagi vektor Dan hasil campuran vektor (pautan segera untuk mereka yang memerlukannya). Tidak mengapa, kadang-kadang ia berlaku untuk kebahagiaan yang lengkap, sebagai tambahan kepada hasil darab skalar bagi vektor, semakin banyak diperlukan. Ini adalah ketagihan vektor. Nampaknya kita sedang memasuki hutan geometri analitik. Ini adalah salah. Dalam bahagian matematik yang lebih tinggi ini biasanya terdapat sedikit kayu, kecuali mungkin cukup untuk Pinocchio. Malah, bahannya sangat biasa dan mudah - hampir tidak lebih rumit daripada yang sama produk skalar, malah akan terdapat lebih sedikit tugasan biasa. Perkara utama dalam geometri analisis, kerana ramai yang akan yakin atau sudah yakin, adalah TIDAK MEMBUAT KESILAPAN DALAM PENGIRAAN. Ulangi seperti jampi dan anda akan gembira =)

Jika vektor berkilauan di tempat yang jauh, seperti kilat di kaki langit, tidak mengapa, mulakan dengan pelajaran Vektor untuk boneka untuk memulihkan atau memperoleh semula pengetahuan asas tentang vektor. Pembaca yang lebih bersedia boleh membiasakan diri dengan maklumat secara selektif; Saya cuba mengumpul koleksi contoh paling lengkap yang sering dijumpai dalam kerja amali

Apa yang akan membuatkan anda gembira dengan segera? Semasa saya kecil, saya boleh mengimbangi dua atau tiga bola. Ia berjaya dengan baik. Sekarang anda tidak perlu menyulap sama sekali, kerana kami akan mempertimbangkan hanya vektor spatial, dan vektor rata dengan dua koordinat akan ditinggalkan. kenapa? Beginilah cara tindakan ini dilahirkan - vektor dan hasil campuran vektor ditakrifkan dan berfungsi dalam ruang tiga dimensi. Ia sudah lebih mudah!

Operasi ini, seperti produk skalar, melibatkan dua vektor. Biarlah ini menjadi surat yang tidak dapat binasa.

Tindakan itu sendiri dilambangkan dengan dengan cara berikut: . Terdapat pilihan lain, tetapi saya sudah biasa untuk menandakan produk vektor vektor dengan cara ini, dalam kurungan persegi dengan salib.

Dan segera soalan: jika masuk hasil darab skalar bagi vektor dua vektor terlibat, dan di sini dua vektor juga didarab, kemudian Apakah perbezaannya? Perbezaan yang jelas adalah, pertama sekali, dalam HASIL:

Hasil darab skalar bagi vektor ialah NUMBER:

Hasil darab silang bagi vektor ialah VECTOR: , iaitu, kita mendarabkan vektor dan mendapatkan vektor semula. Kelab tertutup. Sebenarnya, dari sinilah nama operasi itu berasal. Dalam kesusasteraan pendidikan yang berbeza, sebutan juga mungkin berbeza-beza;

Definisi hasil silang

Mula-mula akan ada definisi dengan gambar, kemudian komen.

Definisi: Produk vektor bukan kolinear vektor, diambil mengikut susunan ini, dipanggil VECTOR, panjang iaitu secara berangka sama dengan luas segi empat selari, dibina pada vektor ini; vektor ortogon kepada vektor, dan diarahkan supaya asas mempunyai orientasi yang betul:

Mari kita pecahkan definisi sepotong demi sepotong, terdapat banyak perkara menarik di sini!

Jadi, perkara penting berikut boleh diserlahkan:

1) Vektor asal, yang ditunjukkan oleh anak panah merah, mengikut definisi bukan kolinear. Adalah wajar untuk mempertimbangkan kes vektor kolinear sedikit kemudian.

2) Vektor diambil dalam susunan yang ditetapkan dengan ketat: – "a" didarab dengan "menjadi", dan bukan "menjadi" dengan "a". Hasil pendaraban vektor ialah VEKTOR, yang ditunjukkan dengan warna biru. Jika vektor didarab dalam susunan terbalik, kita memperoleh vektor yang sama panjang dan bertentangan arah (warna raspberi). Maksudnya, persamaan itu benar .

3) Sekarang mari kita berkenalan dengan makna geometri produk vektor. Ini adalah perkara yang sangat penting! PANJANG vektor biru (dan, oleh itu, vektor lembayung) secara berangka sama dengan LUAS selari yang dibina pada vektor. Dalam rajah, segi empat selari ini dilorekkan dengan warna hitam.

Catatan : lukisan adalah skema, dan, secara semula jadi, panjang nominal produk vektor tidak sama dengan luas segi empat selari.

Mari kita ingat salah satu formula geometri: Luas segi empat selari adalah sama dengan hasil darab sisi bersebelahan dan sinus sudut di antaranya. Oleh itu, berdasarkan perkara di atas, formula untuk mengira PANJANG produk vektor adalah sah:

Saya menekankan bahawa formula adalah mengenai PANJANG vektor, dan bukan mengenai vektor itu sendiri. Apakah maksud praktikal? Dan maksudnya ialah dalam masalah geometri analitik, luas segi empat selari sering dijumpai melalui konsep produk vektor:

Jom dapatkan formula penting kedua. Diagonal bagi segi empat selari (garis putus-putus merah) membahagikannya kepada dua segi tiga sama. Oleh itu, kawasan segitiga yang dibina di atas vektor (lorek merah) boleh didapati menggunakan formula:

4) Fakta yang sama penting ialah vektor adalah ortogon kepada vektor, iaitu . Sudah tentu, vektor berlawanan arah (anak panah raspberi) juga ortogon kepada vektor asal.

5) Vektor diarahkan supaya asas Ia ada betul orientasi. Dalam pelajaran tentang peralihan kepada asas baharu Saya bercakap dengan cukup terperinci tentang orientasi kapal terbang, dan sekarang kita akan mengetahui apa itu orientasi ruang. Saya akan menerangkan pada jari anda tangan kanan. Gabungan mental jari telunjuk dengan vektor dan jari tengah dengan vektor. Jari manis dan jari kelingking tekan ke tapak tangan anda. Akibatnya ibu jari– produk vektor akan mencari. Ini adalah asas berorientasikan betul (ia adalah yang ini dalam rajah). Sekarang tukar vektor ( telunjuk dan jari tengah) di sesetengah tempat, akibatnya ibu jari akan berpusing, dan produk vektor sudah pun melihat ke bawah. Ini juga merupakan asas berorientasikan betul. Anda mungkin mempunyai soalan: asas yang manakah telah meninggalkan orientasi? “Tugaskan” pada jari yang sama Tangan kiri vektor, dan dapatkan asas kiri dan orientasi kiri ruang (dalam kes ini, ibu jari akan terletak ke arah vektor yang lebih rendah). Secara kiasan, pangkalan ini "memutar" atau mengorientasikan ruang ke arah yang berbeza. Dan konsep ini tidak boleh dianggap sebagai sesuatu yang dibuat-buat atau abstrak - sebagai contoh, orientasi ruang diubah oleh cermin yang paling biasa, dan jika anda "menarik objek yang dipantulkan keluar dari kaca yang kelihatan", maka dalam kes umum ia tidak akan mungkin untuk menggabungkannya dengan "asal." By the way, pegang tiga jari ke cermin dan analisa pantulan ;-)

... alangkah baiknya yang anda ketahui sekarang berorientasikan kanan dan kiri asas, kerana kenyataan beberapa pensyarah tentang perubahan orientasi adalah menakutkan =)

Hasil silang bagi vektor kolinear

Takrifan telah dibincangkan secara terperinci, ia kekal untuk mengetahui apa yang berlaku apabila vektor adalah kolinear. Jika vektor adalah kolinear, maka ia boleh diletakkan pada satu garis lurus dan selari kami juga "lipatan" menjadi satu garis lurus. Kawasan seperti itu, seperti yang dikatakan ahli matematik, merosot segi empat selari adalah sama dengan sifar. Perkara yang sama mengikuti dari formula - sinus sifar atau 180 darjah adalah sama dengan sifar, yang bermaksud kawasan adalah sifar

Oleh itu, jika , maka . Tegasnya, produk vektor itu sendiri adalah sama dengan vektor sifar, tetapi dalam amalan ini sering diabaikan dan mereka ditulis bahawa ia sama dengan sifar.

Kes khas ialah hasil silang vektor dengan dirinya sendiri:

Menggunakan produk vektor, anda boleh menyemak keselarasan vektor tiga dimensi, dan kami juga akan menganalisis masalah ini, antara lain.

Untuk menyelesaikan contoh praktikal yang anda perlukan jadual trigonometri untuk mencari nilai sinus daripadanya.

Baiklah, mari kita nyalakan api:

Contoh 1

a) Cari panjang hasil darab vektor bagi vektor jika

b) Cari luas segi empat selari yang dibina pada vektor jika

Penyelesaian: Tidak, ini bukan kesilapan menaip, saya sengaja menjadikan data awal dalam klausa syarat sama. Kerana reka bentuk penyelesaian akan berbeza!

a) Mengikut syarat, anda perlu mencari panjang vektor (hasil silang). Mengikut formula yang sepadan:

Jawab:

Oleh kerana soalan itu adalah mengenai panjang, kami menunjukkan dimensi dalam jawapan - unit.

b) Mengikut syarat, anda perlu mencari segi empat sama segi empat selari dibina pada vektor. Luas segi empat selari ini secara berangka sama dengan panjang produk vektor:

Jawab:

Sila ambil perhatian bahawa jawapannya tidak bercakap tentang produk vektor sama sekali; luas rajah, oleh itu, dimensi ialah unit persegi.

Kami sentiasa melihat APA yang perlu kami cari mengikut keadaan, dan, berdasarkan ini, kami merumuskan jelas jawab. Ia mungkin kelihatan seperti literalisme, tetapi terdapat banyak ahli literal dalam kalangan guru, dan tugasan itu mempunyai peluang yang baik untuk dikembalikan untuk semakan. Walaupun ini bukanlah satu dakwaan yang terlalu mengada-ada - jika jawapannya salah, maka seseorang mendapat tanggapan bahawa orang itu tidak memahami perkara mudah dan/atau tidak memahami intipati tugas itu. Perkara ini mesti sentiasa dikawal semasa menyelesaikan sebarang masalah dalam matematik yang lebih tinggi, dan juga dalam mata pelajaran lain.

Ke mana perginya huruf besar "en"? Pada dasarnya, ia mungkin juga dilampirkan pada penyelesaian, tetapi untuk memendekkan entri, saya tidak melakukan ini. Saya harap semua orang memahaminya dan merupakan sebutan untuk perkara yang sama.

Contoh popular untuk penyelesaian DIY:

Contoh 2

Cari luas segi tiga yang dibina pada vektor jika

Formula untuk mencari luas segi tiga melalui produk vektor diberikan dalam ulasan kepada definisi. Penyelesaian dan jawapan ada pada akhir pelajaran.

Dalam amalan, tugas itu adalah sangat biasa;

Untuk menyelesaikan masalah lain, kami memerlukan:

Sifat hasil darab vektor bagi vektor

Kami telah mempertimbangkan beberapa sifat produk vektor, bagaimanapun, saya akan memasukkannya ke dalam senarai ini.

Untuk vektor arbitrari dan nombor arbitrari, sifat berikut adalah benar:

1) Dalam sumber maklumat lain, item ini biasanya tidak diserlahkan dalam sifat, tetapi ia sangat penting dari segi praktikal. Jadi biarlah.

2) – harta itu juga dibincangkan di atas, kadangkala ia dipanggil antikomutatif. Dalam erti kata lain, susunan vektor adalah penting.

3) – bersekutu atau berpersatuan undang-undang produk vektor. Pemalar boleh dialihkan dengan mudah di luar produk vektor. Sebenarnya, apa yang perlu mereka lakukan di sana?

4) – pengedaran atau pengedaran undang-undang produk vektor. Tiada masalah dengan membuka kurungan sama ada.

Untuk menunjukkan, mari lihat contoh ringkas:

Contoh 3

Cari jika

Penyelesaian: Keadaan itu sekali lagi memerlukan mencari panjang produk vektor. Mari cat miniatur kami:

(1) Menurut undang-undang bersekutu, kami mengambil pemalar di luar skop produk vektor.

(2) Kami memindahkan pemalar ke luar modul, dan modul "makan" tanda tolak. Panjangnya tidak boleh negatif.

(3) Selebihnya jelas.

Jawab:

Sudah tiba masanya untuk menambah lebih banyak kayu pada api:

Contoh 4

Kira luas segi tiga yang dibina di atas vektor jika

Penyelesaian: Cari luas segi tiga menggunakan formula . Tangkapan adalah bahawa vektor "tse" dan "de" sendiri dibentangkan sebagai jumlah vektor. Algoritma di sini adalah standard dan agak mengingatkan contoh No. 3 dan 4 pelajaran Hasil darab titik bagi vektor. Untuk kejelasan, kami akan membahagikan penyelesaian kepada tiga peringkat:

1) Pada langkah pertama, kami menyatakan produk vektor melalui produk vektor, sebenarnya, mari kita ungkapkan vektor dalam sebutan vektor. Tiada perkataan lagi panjang!

(1) Gantikan ungkapan vektor.

(2) Menggunakan undang-undang pengedaran, kami membuka kurungan mengikut peraturan pendaraban polinomial.

(3) Menggunakan undang-undang bersekutu, kami mengalihkan semua pemalar melangkaui produk vektor. Dengan sedikit pengalaman, langkah 2 dan 3 boleh dilakukan secara serentak.

(4) Sebutan pertama dan terakhir adalah sama dengan sifar (vektor sifar) kerana sifat yang bagus. Dalam istilah kedua kita menggunakan sifat antikomutatif bagi produk vektor:

(5) Kami membentangkan istilah yang serupa.

Akibatnya, vektor ternyata dinyatakan melalui vektor, iaitu apa yang diperlukan untuk dicapai:

2) Dalam langkah kedua, kita mencari panjang produk vektor yang kita perlukan. Tindakan ini serupa dengan Contoh 3:

3) Cari luas segi tiga yang diperlukan:

Peringkat 2-3 penyelesaian boleh ditulis dalam satu baris.

Jawab:

Masalah yang dipertimbangkan agak biasa dalam ujian, berikut adalah contoh untuk menyelesaikannya sendiri:

Contoh 5

Cari jika

Penyelesaian ringkas dan jawapan pada akhir pelajaran. Mari lihat sejauh mana perhatian anda semasa mengkaji contoh sebelumnya ;-)

Hasil silang vektor dalam koordinat

, dinyatakan dalam asas ortonormal, dinyatakan oleh formula:

Formulanya sangat mudah: di baris atas penentu kami menulis vektor koordinat, di baris kedua dan ketiga kami "meletakkan" koordinat vektor, dan kami meletakkan dalam susunan yang ketat– pertama koordinat vektor "ve", kemudian koordinat vektor "double-ve". Jika vektor perlu didarab dalam susunan yang berbeza, maka baris hendaklah ditukar:

Contoh 10

Semak sama ada vektor ruang berikut adalah kolinear:
A)
b)

Penyelesaian: Semakan adalah berdasarkan salah satu pernyataan dalam pelajaran ini: jika vektor adalah kolinear, maka hasil vektornya adalah sama dengan sifar (vektor sifar): .

a) Cari hasil vektor:

Oleh itu, vektor bukan kolinear.

b) Cari hasil vektor:

Jawab: a) bukan kolinear, b)

Di sini, mungkin, adalah semua maklumat asas tentang produk vektor bagi vektor.

Bahagian ini tidak akan menjadi sangat besar, kerana terdapat sedikit masalah di mana hasil campuran vektor digunakan. Malah, segala-galanya akan bergantung pada definisi, makna geometri dan beberapa formula yang berfungsi.

Hasil darab campuran bagi vektor ialah hasil darab tiga vektor:

Jadi mereka beratur seperti kereta api dan tidak sabar untuk dikenal pasti.

Pertama, sekali lagi, definisi dan gambar:

Definisi: Kerja campur bukan coplanar vektor, diambil mengikut susunan ini, dipanggil isipadu selari, dibina di atas vektor ini, dilengkapi dengan tanda “+” jika asasnya betul, dan tanda “–” jika asas dibiarkan.

Mari buat lukisan. Garisan yang tidak kelihatan kepada kami dilukis dengan garis putus-putus:

Mari kita selami definisi:

2) Vektor diambil dalam susunan tertentu, iaitu, penyusunan semula vektor dalam produk, seperti yang anda fikirkan, tidak berlaku tanpa akibat.

3) Sebelum mengulas tentang makna geometri, saya akan perhatikan fakta yang jelas: hasil darab campuran bagi vektor ialah NOMBOR: . Dalam kesusasteraan pendidikan, reka bentuk mungkin sedikit berbeza; Saya biasa menandakan produk campuran dengan , dan hasil pengiraan dengan huruf "pe".

A-priory hasil campuran ialah isipadu selari, dibina pada vektor (angka dilukis dengan vektor merah dan garis hitam). Iaitu, nombor itu adalah sama dengan isipadu parallelepiped yang diberikan.

Catatan : Lukisan adalah skematik.

4) Jangan risau lagi tentang konsep orientasi asas dan ruang. Maksud bahagian akhir ialah tanda tolak boleh ditambah pada kelantangan. Dengan kata mudah, produk campuran boleh menjadi negatif: .

Secara langsung dari definisi mengikut formula untuk mengira isipadu paip selari yang dibina pada vektor.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Sebelum memberikan konsep produk vektor, mari kita beralih kepada persoalan orientasi tiga tertib vektor a →, b →, c → dalam ruang tiga dimensi.

Sebagai permulaan, mari kita ketepikan vektor a → , b → , c → dari satu titik. Orientasi triple a → , b → , c → boleh ke kanan atau kiri, bergantung pada arah vektor c → itu sendiri. Jenis triple a → , b → , c → akan ditentukan dari arah di mana pusingan terpendek dibuat daripada vektor a → ke b → dari hujung vektor c → .

Jika pusingan terpendek dilakukan mengikut arah lawan jam, maka tiga kali ganda vektor a → , b → , c → dipanggil betul, jika mengikut arah jam – dibiarkan.

Seterusnya, ambil dua vektor bukan kolinear a → dan b →. Mari kita lukiskan vektor A B → = a → dan A C → = b → dari titik A. Mari bina vektor A D → = c →, yang serentak berserenjang dengan A B → dan A C →. Oleh itu, apabila membina vektor itu sendiri A D → = c →, kita boleh melakukan dua perkara, memberikannya sama ada satu arah atau sebaliknya (lihat ilustrasi).

Tiga tertib vektor a → , b → , c → boleh, seperti yang kita ketahui, kanan atau kiri bergantung pada arah vektor.

Daripada perkara di atas kita boleh memperkenalkan definisi produk vektor. Takrifan ini diberikan untuk dua vektor yang ditakrifkan dalam sistem koordinat segi empat tepat bagi ruang tiga dimensi.

Definisi 1

Hasil darab vektor dua vektor a → dan b → kita akan memanggil vektor sedemikian yang ditakrifkan dalam sistem koordinat segi empat tepat bagi ruang tiga dimensi supaya:

• jika vektor a → dan b → adalah kolinear, ia akan menjadi sifar;
• ia akan berserenjang dengan kedua-dua vektor a → ​​​​ dan vektor b → i.e. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• panjangnya ditentukan oleh formula: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• tiga vektor a → , b → , c → mempunyai orientasi yang sama dengan sistem koordinat yang diberikan.

Hasil darab vektor bagi vektor a → dan b → mempunyai tatatanda berikut: a → × b →.

Koordinat produk vektor

Memandangkan mana-mana vektor mempunyai koordinat tertentu dalam sistem koordinat, kami boleh memperkenalkan takrifan kedua bagi produk vektor, yang akan membolehkan kami mencari koordinatnya menggunakan koordinat vektor yang diberikan.

Definisi 2

Dalam sistem koordinat segi empat tepat bagi ruang tiga dimensi hasil vektor dua vektor a → = (a x ; a y ; a z) dan b → = (b x ; b y ; b z) dipanggil vektor c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , di mana i → , j → , k → ialah vektor koordinat.

Produk vektor boleh diwakili sebagai penentu bagi matriks segi empat sama tertib ketiga, di mana baris pertama mengandungi vektor vektor i → , j → , k → , baris kedua mengandungi koordinat vektor a → , dan baris ketiga mengandungi koordinat vektor b → dalam sistem koordinat segi empat tepat yang diberikan, ini adalah penentu matriks kelihatan seperti ini: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Memperluas penentu ini ke dalam unsur-unsur baris pertama, kita memperoleh kesamaan: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b = y → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Sifat produk silang

Diketahui bahawa produk vektor dalam koordinat diwakili sebagai penentu matriks c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , kemudian atas dasar sifat penentu matriks berikut dipaparkan sifat produk vektor:

1. antikomutatif a → × b → = - b → × a → ;
2. pengagihan a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → atau a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. persekutuan λ a → × b → = λ a → × b → atau a → × (λ b →) = λ a → × b →, dengan λ ialah nombor nyata arbitrari.

Sifat-sifat ini mempunyai bukti yang mudah.

Sebagai contoh, kita boleh membuktikan sifat antikomutatif bagi produk vektor.

Bukti antikomutatif

Mengikut takrifan, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z dan b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . Dan jika dua baris matriks ditukar, maka nilai penentu matriks harus berubah kepada sebaliknya, oleh itu, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , yang dan membuktikan bahawa hasil vektor adalah antikomutatif.

Produk vektor - contoh dan penyelesaian

Dalam kebanyakan kes, terdapat tiga jenis masalah.

Dalam masalah jenis pertama, panjang dua vektor dan sudut di antara mereka biasanya diberikan, dan anda perlu mencari panjang produk vektor. Dalam kes ini, gunakan formula berikut c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

Contoh 1

Cari panjang hasil darab vektor bagi vektor a → dan b → jika anda tahu a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

Penyelesaian

Dengan menentukan panjang hasil vektor vektor a → dan b →, kita menyelesaikan masalah ini: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

Jawapan: 15 2 2 .

Masalah jenis kedua mempunyai hubungan dengan koordinat vektor, di dalamnya produk vektor, panjangnya, dll. dicari melalui koordinat yang diketahui bagi vektor yang diberikan a → = (a x; a y; a z) Dan b → = (b x ; b y ; b z) .

Untuk jenis masalah ini, anda boleh menyelesaikan banyak pilihan tugas. Sebagai contoh, bukan koordinat vektor a → dan b → boleh ditentukan, tetapi pengembangannya menjadi vektor koordinat bentuk b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → dan c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →, atau vektor a → dan b → boleh ditentukan oleh koordinat permulaannya dan titik akhir.

Pertimbangkan contoh berikut.

Contoh 2

Dalam sistem koordinat segi empat tepat, dua vektor diberikan: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Cari hasil silang mereka.

Penyelesaian

Dengan definisi kedua, kita dapati hasil vektor dua vektor dalam koordinat yang diberikan: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Jika kita menulis produk vektor melalui penentu matriks, maka penyelesaian untuk contoh ini kelihatan seperti ini: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Jawapan: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Contoh 3

Cari panjang hasil darab vektor bagi vektor i → - j → dan i → + j → + k →, dengan i →, j →, k → ialah vektor unit bagi sistem koordinat Cartesan segi empat tepat.

Penyelesaian

Mula-mula, mari kita cari koordinat bagi hasil vektor yang diberi i → - j → × i → + j → + k → dalam sistem koordinat segi empat tepat yang diberikan.

Adalah diketahui bahawa vektor i → - j → dan i → + j → + k → masing-masing mempunyai koordinat (1; - 1; 0) dan (1; 1; 1). Mari cari panjang produk vektor menggunakan penentu matriks, maka kita mempunyai i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Oleh itu, hasil darab vektor i → - j → × i → + j → + k → mempunyai koordinat (- 1 ; - 1 ; 2) dalam sistem koordinat yang diberikan.

Kami mencari panjang produk vektor menggunakan formula (lihat bahagian mencari panjang vektor): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Jawapan: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Contoh 4

Dalam sistem koordinat Cartesian segi empat tepat, koordinat tiga titik A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) diberikan. Cari beberapa vektor berserenjang dengan A B → dan A C → pada masa yang sama.

Penyelesaian

Vektor A B → dan A C → masing-masing mempunyai koordinat berikut (- 1 ; 2 ; 2) dan (0 ; 4 ; 1). Setelah menemui hasil darab vektor bagi vektor A B → dan A C →, adalah jelas bahawa ia adalah vektor berserenjang mengikut takrifan kepada kedua-dua A B → dan A C →, iaitu, ia adalah penyelesaian kepada masalah kita. Mari cari A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Jawapan: - 6 i → + j → - 4 k → . - salah satu vektor serenjang.

Masalah jenis ketiga tertumpu pada penggunaan sifat produk vektor vektor. Selepas memohon yang mana, kami akan memperoleh penyelesaian kepada masalah yang diberikan.

Contoh 5

Vektor a → dan b → adalah berserenjang dan panjangnya ialah 3 dan 4, masing-masing. Cari panjang hasil darab vektor 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

Penyelesaian

Dengan sifat taburan produk vektor, kita boleh menulis 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Dengan sifat persekutuan, kita mengambil pekali berangka daripada tanda produk vektor dalam ungkapan terakhir: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Hasil keluaran vektor a → × a → dan b → × b → adalah sama dengan 0, kerana a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 dan b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0, kemudian 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .

Daripada antikomutatif produk vektor ia mengikuti - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .

Dengan menggunakan sifat produk vektor, kita memperoleh kesamaan 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Mengikut keadaan, vektor a → dan b → adalah berserenjang, iaitu, sudut di antara mereka adalah sama dengan π 2. Sekarang yang tinggal hanyalah untuk menggantikan nilai yang dijumpai ke dalam formula yang sesuai: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

Jawapan: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

Panjang hasil darab vektor bagi vektor mengikut takrifan adalah sama dengan a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Oleh kerana sudah diketahui (dari kursus sekolah) bahawa luas segitiga adalah sama dengan separuh hasil darab panjang kedua sisinya didarab dengan sinus sudut antara sisi ini. Akibatnya, panjang produk vektor adalah sama dengan luas segi empat selari - segi tiga berganda, iaitu hasil darab sisi dalam bentuk vektor a → dan b →, diletakkan dari satu titik, oleh sinus sudut di antara mereka sin ∠ a →, b →.

Ini ialah makna geometri produk vektor.

Makna fizikal produk vektor

Dalam mekanik, salah satu cabang fizik, terima kasih kepada produk vektor, anda boleh menentukan momen daya relatif kepada titik dalam ruang.

Definisi 3

Dengan momen daya F → digunakan pada titik B, berbanding dengan titik A, kita akan memahami hasil vektor berikut A B → × F →.

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter