Biarkan titik M 1, M 2, M 3 terletak pada garis yang sama. Mereka mengatakan bahawa titik M membahagikan segmen M 1 M 2 dalam hubungan λ(λ≠-1) jika .
Biarkan koordinat titik M 1 dan M 2 diketahui secara relatif kepada beberapa sistem koordinat: M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), kemudian koordinat bagi titik M(x, y, z ) relatif kepada sistem koordinat yang sama didapati menggunakan formula:
Jika titik M berada di tengah-tengah segmen M 1 M 2, maka 
, iaitu, λ=1 dan formula (*) akan mengambil bentuk:
(**)
Untuk menyelesaikannya, gunakan kalkulator berikut:
- Titik ditentukan oleh dua koordinat: A(x 1 ,y 1), B(x 2 ,y 2).
- Titik ditentukan oleh tiga koordinat: A(x 1,y 1,z 1), B(x 2,y 2,z 2).
Contoh No 1. Segitiga ditakrifkan oleh koordinat bucunya A(3, -2, 1), B(3, 1, 5), C(4, 0, 3). Cari koordinat D(x, y, z) – titik persilangan mediannya.
Penyelesaian. Mari kita nyatakan dengan M(x 0 , y 0 , z 0) tengah BC, kemudian mengikut formula (**)
dan M(7/2, ½, 4). Titik D membahagikan median AM dalam nisbah λ=2. Menggunakan formula (*), kami dapati .
Contoh No. 2. Segmen AB dibahagikan dengan titik C(4,1) dalam nisbah λ=1/4, mengira dari titik A. Cari koordinat A jika B(8,5).
Penyelesaian. Menggunakan formula (*), kita dapat: 
, dari mana kita dapati x=3, y=0.
Contoh No. 3. Segmen AB dibahagikan kepada tiga bahagian yang sama dengan titik C(3, -1) dan D(1,4). Cari koordinat hujung segmen.
Penyelesaian. Mari kita nyatakan A(x 1 , y 1), B(x 2 , y 2). Titik C ialah pertengahan segmen AD, oleh itu, menggunakan formula (**) kita dapati: 
dari mana x 1 = 5, y 1 = -6. Koordinat titik B didapati sama: x 2 = -1, y 2 = 9.
Jika titik M(x;y) terletak pada garis yang melalui dua titik yang diberi M 1 (x 1; y 1), M 2 (x 2; y 2), dan nisbah λ = M 1 M/MM 2 ialah diberikan, di mana titik M membahagikan segmen M 1 M 2, kemudian koordinat titik M
ditentukan oleh formula
x = (x 1 + λx 2)/(1 + λ), y = (y 1 + λy 2)/(1 + λ)
Jika titik M ialah titik tengah segmen M 1 M 2, maka koordinatnya ditentukan oleh formula
x = (x 1 + x 2)/2, y = (y 1 + y 2)/2
86. Diberi hujung A(3; -5) dan 6(-1; 1) rod homogen. Tentukan koordinat pusat gravitinya.
87. Pusat graviti rod homogen adalah pada titik M(1; 4), salah satu hujungnya adalah pada titik P(-2; 2). Tentukan koordinat titik Q hujung satu lagi rod ini
88. Diberi bucu segitiga A(1; -3), 6(3; -5) dan C(-5; 7). Tentukan titik tengah sisinya.
89. Diberi dua mata A(3; - 1) dan B(2; 1). takrifkan:
1) koordinat titik M, simetri ke titik A berbanding dengan titik B;
2) koordinat titik N, simetri ke titik B berbanding dengan titik A.
90. Titik M(2; -1), N(-1; 4) dan P(-2; 2) ialah titik tengah bagi sisi segi tiga. Tentukan bucunya.
91. Diberi tiga bucu bagi segi empat selari A(3; -5), B(5; -3), C(- 1; 3). Tentukan bucu keempat D, bertentangan dengan B.
92. Diberi dua bucu bersebelahan bagi segi empat selari A(-3; 5), B(1; 7) dan titik persilangan pepenjurunya M(1; 1). Kenal pasti dua bucu lain.
93. Diberi tiga bucu A(2; 3), 6(4; -1) dan C(0; 5) segiempat selari ABCD. Cari bucu keempatnya D.
94. Diberi bucu segitiga A(1; 4), B(3; -9), C(-5; 2). Tentukan panjang mediannya yang dilukis dari bucu B.
95. Segmen yang dibatasi oleh titik A (1;-3) dan B(4; 3) dibahagikan kepada tiga bahagian yang sama. Tentukan koordinat titik pembahagian.
96. Diberi bucu segitiga A(2; -5), B(1; -2), C(4; 7). Cari titik persilangan dengan sisi AC bagi pembahagi dua sudut dalamannya di bucu B.
97. Diberi bucu segitiga A(3; -5), B(-3; 3) dan C(-1; -2). Tentukan panjang pembahagi dua sudut dalamannya pada bucu A.
98. Diberi bucu segitiga A(- 1; -1), B(3; 5), C(-4; 1). Cari titik persilangan dengan kesinambungan sisi BC bagi pembahagi dua sudut luarnya di bucu A.
99. Diberi bucu segitiga A(3; -5), B(1; - 3), C(2; -2). Tentukan panjang pembahagi dua sudut luarnya pada bucu B.
100. Diberi tiga titik A(1; -1), B(3; 3) dan C(4; 5), terletak pada garisan yang sama. Tentukan nisbah λ di mana setiap daripadanya membahagikan segmen yang dibatasi oleh dua yang lain.
101. Tentukan koordinat hujung A dan B bagi segmen, yang dibahagikan kepada tiga bahagian yang sama dengan titik P(2; 2) dan Q (1; 5).
102. Garis lurus melalui titik M 1 (-12; -13) dan M 2 (- 2; -5). Cari satu titik pada baris ini yang absisnya ialah 3.
103. Garis lurus melalui titik M(2; -3) dan N(-6; 5). Pada baris ini, cari satu titik yang ordinatnya ialah -5.
104. Garis lurus melalui titik A(7; -3) dan B(23;. -6). Cari titik persilangan garis ini dengan paksi absis.
105. Garis lurus melalui titik A(5; 2) dan B(-4; -7). Cari titik persilangan garis ini dengan paksi ordinat.
106. Diberi bucu bagi segiempat A(-3; 12), B(3; -4), C(5; -4) dan D(5; 8). Tentukan nisbah di mana AC pepenjurunya membahagikan pepenjuru BD.
107. Diberi bucu bagi segiempat A(-2; 14), B(4; -2), C(6; -2) dan D(6; 10). Tentukan titik persilangan pepenjuru AC dan BD.
108. Diberi ialah bucu bagi plat segi tiga homogen A(x 1 ; y 1), B(x 2 ; y 2) dan C(x 3 ; y 3). Tentukan koordinat pusat gravitinya,
Catatan. Pusat graviti berada di titik persilangan median.
109. Titik M bagi persilangan median segi tiga terletak pada paksi absis, dua bucunya ialah titik A(2; -3) dan B(-5; 1), bucu ketiga C terletak pada paksi ordinat . Tentukan koordinat titik M dan C.
110. Diberi ialah bucu bagi plat segi tiga homogen A(x 1; y 1), B(x 2; y 2) dan C(x 3; y 3). Jika anda menyambungkan titik tengah sisinya, plat segi tiga homogen baru terbentuk. Buktikan bahawa pusat graviti kedua-dua plat bertepatan.
Catatan. Gunakan hasil masalah 108.
111. Plat homogen mempunyai bentuk segi empat sama dengan sisi yang sama dengan 12, di mana potongan segi empat sama dibuat, garis lurus potongan melalui pusat persegi, paksi
koordinat diarahkan di sepanjang tepi plat (Rajah 4). Tentukan pusat graviti plat ini.
112. Plat homogen mempunyai bentuk segi empat tepat dengan sisi yang sama dengan a dan b, di mana potongan segi empat tepat dibuat; garisan pemotongan melalui pusat, paksi koordinat diarahkan di sepanjang tepi plat (Rajah 5). Tentukan pusat graviti plat ini.
113. Plat homogen mempunyai bentuk segi empat sama dengan sisi yang sama dengan 2a, dari mana sebuah segi tiga dipotong; garis pemotongan menghubungkan titik tengah dua sisi bersebelahan, paksi koordinat diarahkan di sepanjang tepi plat (Rajah 6). Tentukan pusat graviti plat.
114. Pada titik berikut A(x 1; y 1), B(x 2; y 2) dan C(x 3; y 3) jisim m, n dan p adalah tertumpu. Tentukan koordinat pusat graviti sistem tiga jisim ini.
115. Titik A (4; 2), B (7; -2) dan C (1; 6) ialah bucu bagi segitiga yang diperbuat daripada dawai seragam. Tentukan pusat graviti segitiga ini.
Biarkan segmen terarah AB diberikan; mereka kata itulah hakikatnya
M garis ini membahagikan segmen AB dalam nisbah yang sama dengan X, di mana ialah nombor nyata arbitrari, jika
Apabila titik M terletak di antara titik A dan B (iaitu di dalam segmen
AB), maka vektor AM dan MB diarahkan ke arah yang sama (Rajah 2) dan nisbah (1) adalah positif.
Apabila titik M terletak di luar segmen
AB, maka vektor AM dan MB diarahkan ke arah yang bertentangan (Rajah 3) dan nisbah (1) adalah negatif.
Mari kita lihat bagaimana hubungan (1) berubah apabila titik M berjalan melalui keseluruhan baris. Apabila titik M bertepatan dengan titik A, maka nisbah (1) adalah sama dengan sifar; jika kemudian titik M melalui segmen AB dalam arah dari A ke B, maka nisbah (1) terus meningkat, menjadi besar secara sewenang-wenangnya apabila titik M menghampiri B. Apabila , maka pecahan (1) kehilangan maknanya, kerana penyebutnya bertukar menjadi vektor sifar. Dengan pergerakan selanjutnya titik sepanjang garis lurus dalam arah yang sama (dalam Rajah 3, a ke kanan B), nisbah (1) menjadi negatif, dan jika Z cukup hampir dengan B, maka nisbah ini mempunyai sewenang-wenangnya. nilai mutlak yang besar.
Sejak , maka (berdasarkan Proposisi 8 § 4) kita ada
Apabila titik M, bergerak sepanjang masa dalam arah yang sama (dalam Rajah 3 kami, a dari kiri ke kanan), terus ke infiniti, maka pecahan itu cenderung kepada sifar (kerana pengangkanya kekal malar, dan penyebutnya meningkat tanpa had) , oleh itu , nisbah , - cenderung kepada -1.
Biarkan sekarang M pergi ke "kiri" dua garis separuh ke mana titik A membahagikan garis (iaitu, ke dalam garis separuh yang tidak mengandungi segmen AB). Jika dalam kes ini titik M terletak cukup jauh dari titik A, maka , sekali lagi, adalah sewenang-wenangnya kecil dan, oleh itu, dalam formula, nisbahnya berbeza sewenang-wenangnya sedikit daripada -1. Apabila titik M menghampiri titik A dari kiri (Rajah 3, b), nisbah (I), sambil kekal negatif, secara berterusan berkurangan dalam nilai mutlak dan akhirnya menjadi sama dengan sifar apabila titik M kembali ke titik A.
Ambil perhatian bahawa pada tiada titik kedudukan M pada garis adalah nisbah yang sama dengan -1. Malah, nisbahnya adalah negatif hanya apabila titik M terletak di luar segmen AB. Tetapi dalam kes ini, segmen AM dan MB tidak pernah sama, i.e.
Biarkan sekarang sistem koordinat diwujudkan pada garis lurus dan O ialah asal-usul sistem ini. Mari kita nyatakan koordinat titik A melalui titik B dengan , dan titik pembolehubah M dengan . Kemudian
Apabila terdapat syarat untuk membahagikan segmen dalam nisbah tertentu, adalah perlu untuk dapat menentukan koordinat titik yang berfungsi sebagai pemisah. Mari kita dapatkan formula untuk mencari koordinat ini dengan mengemukakan masalah pada satah.
Data awal: sistem koordinat segi empat tepat O x y dan dua titik tidak bertepatan terletak di atasnya dengan koordinat A (x A, y A) dan B (x B, y B) diberikan. Dan juga satu titik C diberikan, membahagikan segmen A B berhubung dengan λ (beberapa nombor nyata positif). Ia adalah perlu untuk menentukan koordinat titik C: x C dan y C.
Sebelum kita mula menyelesaikan masalah, mari kita dedahkan sedikit maksud syarat yang diberikan: "titik C membahagikan segmen A B berhubung dengan λ". Pertama, ungkapan ini menunjukkan bahawa titik C terletak pada segmen A B (iaitu antara titik A dan B). Kedua, adalah jelas bahawa mengikut syarat yang diberikan, nisbah panjang segmen A C dan C B adalah sama dengan λ. Itu. persamaan itu benar:
Dalam kes ini, titik A ialah permulaan segmen, titik B ialah penghujung segmen. Jika diberi bahawa titik C membahagikan segmen BA A dalam nisbah tertentu, maka kesamaan adalah benar: .
Nah, fakta yang benar-benar jelas ialah jika λ = 1, maka titik C ialah titik tengah segmen A B.
Mari selesaikan masalah menggunakan vektor. Marilah kita sewenang-wenangnya memaparkan titik A, B dan titik C pada segmen A B dalam sistem koordinat segi empat tepat tertentu Mari kita bina vektor jejari titik ini, serta vektor A C → dan C B →. Mengikut keadaan masalah, titik C membahagikan segmen A B berhubung dengan λ.
Koordinat vektor jejari titik adalah sama dengan koordinat titik, maka kesamaan adalah benar: O A → = (x A, y A) dan O B → = (x B, y B).
Mari kita tentukan koordinat vektor: ia akan sama dengan koordinat titik C, yang diperlukan untuk dijumpai mengikut keadaan masalah.
Menggunakan operasi penambahan vektor, kita tulis kesamaan: O C → = O A → + A C → O B → = O C → + C B → ⇔ C B → = O B → - O C →
Mengikut keadaan masalah, titik C membahagikan segmen A B berhubung dengan λ, i.e. kesamaan A C = λ · C B adalah benar.
Vektor A C → dan C B → terletak pada garis lurus yang sama dan adalah kodirectional. λ > 0 mengikut keadaan masalah, maka, mengikut operasi mendarab vektor dengan nombor, kita memperoleh: A C → = λ · C B → .
Mari kita ubah ungkapan dengan menggantikannya: C B → = O B → - O C → .
A C → = λ · (O B → - O C →) .
Kami menulis semula kesamaan O C → = O A → + A C → sebagai O C → = O A → + λ · (O B → - O C →).
Menggunakan sifat operasi pada vektor, daripada kesamaan terakhir ia berikut: O C → = 1 1 + λ · (O A → + λ · O B →) .
Sekarang kita hanya perlu mengira terus koordinat vektor O C → = 1 1 + λ · O A → + λ · O B → .
Mari kita lakukan tindakan yang perlu pada vektor O A → dan O B →.
O A → = (x A , y A) dan O B → = (x B , y B), kemudian O A → + λ · O B → = (x A + λ · x B, y A + λ · y B).
Oleh itu, O C → = 1 1 + λ · (O A → + λ · O B →) = (x A + λ · x B 1 + λ , y A + λ · y B 1 + λ) .
Untuk meringkaskan: koordinat titik C membahagikan segmen A B dalam nisbah tertentu λ ditentukan oleh formula: x C = x A + λ · x B 1 + λ dan y C = y A + λ · y B 1 + λ .
Menentukan koordinat titik yang membahagi segmen dalam nisbah tertentu dalam ruang
Data awal: sistem koordinat segi empat tepat O x y z, titik dengan koordinat A (x A, y A, z A) dan B (x B, y B, z B).
Titik C membahagikan segmen A B berhubung dengan λ. Ia adalah perlu untuk menentukan koordinat titik C.
Menggunakan alasan yang sama seperti dalam kes di atas di atas kapal terbang, kami sampai pada kesamaan:
O C → = 1 1 + λ (O A → + λ O B →)
Vektor dan ialah vektor jejari bagi titik A dan B, yang bermaksud:
O A → = (x A , y A , z A) dan O B → = (x B , y B , z B) , oleh itu
O C → = 1 1 + λ · (O A → + λ · O B →) = (x A + λ · x B 1 + λ , y A + λ · y B 1 + λ , z A + λ · z B 1 + λ)
Oleh itu, titik C, membahagikan segmen A B dalam ruang dalam nisbah tertentu λ, mempunyai koordinat: (x A + λ · x B 1 + λ, y A + λ · y B 1 + λ, z A + λ · z B 1 + λ)
Mari kita lihat teori menggunakan contoh khusus.
Contoh 1
Data awal: titik C membahagikan segmen A B dalam nisbah lima hingga tiga. Koordinat titik A dan B diberikan oleh A (11, 1, 0), B (- 9, 2, - 4).
Penyelesaian
Mengikut keadaan masalah, λ = 5 3. Mari gunakan formula di atas dan dapatkan:
x A + λ x B 1 + λ = 11 + 5 3 (- 9) 1 + 5 3 = - 3 2
y A + λ · y B 1 + λ = 1 + 5 3 · 2 1 + 5 3 = 13 8
z A + λ z B 1 + λ = 0 + 5 3 (- 4) 1 + 5 3 = - 5 2
Jawapan: C (- 3 2, 13 8, - 5 2)
Contoh 2
Data awal: adalah perlu untuk menentukan koordinat pusat graviti segitiga A B C.
Koordinat bucunya diberikan: A (2, 3, 1), B (4, 1, - 2), C (- 5, - 4, 8)
Penyelesaian
Adalah diketahui bahawa pusat graviti mana-mana segitiga ialah titik persilangan mediannya (biar ini titik M). Setiap median dibahagikan dengan titik M dalam nisbah 2 hingga 1, mengira dari puncak. Berdasarkan ini, kita akan mencari jawapan kepada soalan yang dikemukakan.
Mari kita andaikan bahawa A D ialah median bagi segi tiga A B C. Titik M ialah titik persilangan median, mempunyai koordinat M (x M, y M, z M) dan merupakan pusat graviti bagi segitiga itu. M, sebagai titik persilangan median, membahagikan segmen A D dalam nisbah 2 hingga 1, i.e. λ = 2.
Mari cari koordinat titik D. Oleh kerana A D ialah median, maka titik D ialah tengah segmen B C. Kemudian, menggunakan formula untuk mencari koordinat tengah segmen, kita dapat:
x D = x B + x C 2 = 4 + (- 5) 2 = - 1 2 y D = y B + y C 2 = 1 + (- 4) 2 = - 3 2 z D = z B + z C 2 = - 2 + 8 2 = 3
Mari kita hitung koordinat titik M:
x M = x A + λ x D 1 + λ = 2 + 2 (- 1 2) 1 + 2 = 1 3
y M = y A + λ · y D 1 + λ = 3 + 2 · (- 3 2) 1 + 2 = 0
z M = z A + λ · z D 1 + λ = 1 + 2 · 3 1 + 2 = 7 3
Jawapan: (1 3, 0, 7 3)
Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter
Pengiraan koordinat titik C tertentu, yang membahagikan segmen AB dalam nisbah tertentu, boleh dilakukan menggunakan formula:
xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ),
di mana (xA; yA) dan (xB; yB) ialah koordinat hujung segmen AB; nombor λ = AC/CB – nisbah di mana segmen AB dibahagikan dengan titik C, yang mempunyai koordinat (xC; yC).
Jika segmen AB dibahagikan separuh dengan titik C, maka nombor λ = 1 dan formula untuk xC dan yC mengambil bentuk:
xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2.
Perlu diingat bahawa dalam masalah λ ialah nisbah panjang segmen, dan oleh itu nombor yang termasuk dalam nisbah ini bukanlah panjang segmen itu sendiri dalam unit ukuran tertentu. Contohnya, AC = 12 cm, CB = 16 cm: λ = AC/CB = 12 cm / 16 cm = 3/4.
1. Cari koordinat tengah segmen tertentu, menggunakan koordinat yang diberikan pada hujungnya
Contoh 1.
Titik A(-2; 3) dan B(6; -9) ialah hujung segmen AB. Cari titik C, yang merupakan titik tengah segmen AB.
Penyelesaian.
Pernyataan masalah menyatakan bahawa xA = -2; xB = 6; yA = 3 dan yB = -9. Kita perlu mencari C(xC; yC).
Menggunakan formula xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2, kita memperoleh:
xC = (-2 + 6)/2 = 2, yC = (3 + (-9))/2 = -3.
Oleh itu, titik C, yang merupakan tengah segmen AB, mempunyai koordinat (-2; 3) (Rajah 1).
2. Pengiraan koordinat hujung segmen tertentu, mengetahui koordinat tengah dan hujung yang lain
Contoh 2.
Satu hujung segmen AB ialah titik A, dengan koordinat (-3; -5), dan titik tengahnya ialah titik C(3; -2). Kira koordinat hujung kedua segmen - titik B.
Penyelesaian.
Mengikut keadaan masalah, menjadi jelas bahawa xA = -3; yA = -5; xC = 3 dan yC = -2.
Menggantikan nilai-nilai ini ke dalam formula xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2, kita memperoleh:
3 = (-3 + xB)/2 dan
2 = (-5 + uV)/2.
Setelah menyelesaikan persamaan pertama untuk xB dan yang kedua untuk yB, kita dapati: xB = 9 dan yB = 1, ternyata titik B yang dikehendaki akan ditentukan oleh koordinat (9; 1) (Gamb. 2).
3. Pengiraan koordinat bucu segitiga daripada koordinat yang diberikan bagi titik tengah sisinya
Contoh 3.
Titik tengah bagi sisi segi tiga ABC ialah titik D(1; 3), E(-1; -2) dan F(4; -1). Cari koordinat bucu A, B dan C bagi segi tiga ini.
Penyelesaian.
Biarkan titik D ialah titik tengah sisi AB, titik E titik tengah BC, dan titik F titik tengah sisi AC (Gamb. 3). Anda perlu mencari titik A, B dan C.
Kami menandakan bucu segitiga dengan A(xA; yA), B(xB; yB) dan C(xC; yC) dan mengetahui koordinat titik D, E dan F, mengikut formula xC = (xA + xB )/2, yC = (yA + уВ)/2 kita dapat:
(1 = (xA + xB)/2, 
(-1 = (xB + xC)/2,
(4 = (xA + xC)/2,
(3 = (уА + уВ)/2,
(-2 = (уВ + уС)/2,
(-1 = (yA + yC)/2.
Mari kita kurangkan persamaan kepada keseluruhan bentuknya:
(xA + xB = 2,
(xB + xC = -2,
(xA + xC = 8,
(уА + уВ = 6,
(уВ + уС = -4,
(yA + yC = -2.
Setelah menyelesaikan sistem, kami mendapat:
xA = 6; xB = -4; xC = 2.
yA = 4; уВ = 2; уС = -6.
Titik A(6; 4), B(-4; 2) dan C(2; -6) ialah bucu yang diperlukan bagi segi tiga.
4. Pengiraan koordinat titik yang membahagi segmen dalam nisbah tertentu, mengikut koordinat yang diberikan pada hujung segmen ini
Contoh 4.
Segmen AB dibahagikan dengan titik C dalam nisbah 3:5 (mengira dari titik A ke titik B). Hujung segmen AB ialah titik A(2; 3) dan B(10; 11). Cari titik C.
Penyelesaian.
Penyataan masalah menyatakan bahawa xA = 2; xB = 10; yA = 3; уВ = 11; λ = AC/SV = 3/5. Cari C(xC; yC) (Gamb. 4).
menggunakan formula xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) kita perolehi:
xC = (2 + 3/5 10) / (1 + 3/5) = 5 dan yC = (3 + 3/5 11) / (1 + 3/5) = 6. Oleh itu, kita mempunyai C( 5; 6).
Mari semak: AC = 3√2, NE = 5√2, λ = AC/SV = 3√2/5√2 = 3/5.
Komen. 
Keadaan masalah menunjukkan bahawa pembahagian segmen dijalankan dalam nisbah tertentu dari titik A ke titik B. Jika ini tidak dinyatakan, maka masalah itu akan mempunyai dua penyelesaian. Penyelesaian kedua: membahagikan segmen dari titik B ke titik A.
Contoh 5.
Penyelesaian.
Segmen AB tertentu dibahagikan dalam nisbah 2: 3: 5 (mengira dari titik A ke titik B), hujungnya adalah titik dengan koordinat A (-11; 1) dan B (9; 11). Cari titik pembahagian segmen ini.
Mari kita nyatakan titik pembahagian segmen dari A ke B oleh C dan D. Pernyataan masalah menyatakan bahawa
xA = -11; xB = 9; yA = 1; yB = 11. Cari C(xC; yC) dan D(xD; yD), jika AC: CD: DB = 2: 3: 5.
Titik C membahagikan segmen AB dalam nisbah λ = AC/CB = 2/(3 + 5) = 2/8 = 1/4.
Menggunakan formula xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) kita perolehi:
xC = (-11 + ¼ 9) / (1 + 1/4) = -7 dan yC = (1 + ¼ 11) / (1 + 1/4) = 3.
Oleh itu, C(-7; 3).
Titik D ialah titik tengah segmen AB. Menggunakan formula xD = (xA + xB)/2, yD = (yA + yB)/2, kita dapati:
xD = (-11 + 9)/2 = -1, yD = (1 + 11)/2 = 6. Ini bermakna D mempunyai koordinat (-1; 6).
5. Pengiraan koordinat titik yang membahagikan segmen, jika koordinat hujung segmen ini dan bilangan bahagian di mana segmen ini dibahagikan diberikan
Contoh 6.
Penyelesaian.
Hujung segmen ialah titik A(-8; -5) dan B(10; 4). Cari titik C dan D yang membahagikan segmen ini kepada tiga bahagian yang sama. Daripada keadaan masalah diketahui bahawa xA = -8; xB = 10; yA = -5; yB = 4 dan n = 3. Cari C(xC; yC) dan D(xD; yD)
(Gamb. 5).
xC = (-8 + ½ 10) / (1 + 1/2) = -2 dan yC = (-5 + ½ 4) / (1 + 1/2) = -2. Oleh itu, C(-2; -2).
Pembahagian segmen CB dijalankan dalam nisbah 1: 1, jadi kami menggunakan formula
xD = (xA + xB)/2, yD = (yA + yB)/2:
xD = (-2 + 10)/2 = 4, yD = (-2 + 4)/2 = 1. Oleh itu, D(4; 1).
Mata pembahagian C(-2; -2) dan D(4; 1).
Nota: Titik D boleh didapati dengan membahagikan segmen AB dalam nisbah 2: 1. Dalam kes ini, perlu sekali lagi menggunakan formula xD = (xA + λxB) / (1 + λ), yD = (yA + λyB) / (1 + λ).
Contoh 7.
Titik A(5; -6) dan B(-5; 9) ialah hujung segmen. Cari titik yang akan membahagikan segmen yang diberi kepada lima bahagian yang sama.
Penyelesaian.
Biarkan titik pembahagian berturut-turut dari A ke B ialah C(xC; yC), D(xD; yD), E(xE; yE) dan F(xF; yF). Keadaan masalah mengatakan bahawa xA = 5; xB = -5; yA = -6; уВ = 9 dan n = 5.
Menggunakan formula xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) kita dapati titik C. Ia membahagikan segmen AB dalam nisbah λ = 1/4:
xC = (5 + 1/4 · (-5)) / (1 + 1/4) = 3 dan yC = (-6 + 1/4 · 9) / (1 + 1/4) = -3, kita dapatkan titik C mempunyai koordinat (3; -3).
Pembahagian segmen AB dengan titik D dibuat dalam nisbah 2: 3 (iaitu λ = 2/3), oleh itu:
xD = (5 + 2/3 · (-5)) / (1 + 2/3) = 1 dan yD = (-6 + 2/3 · 9) / (1 + 2/3) = 0, jadi D (10).
Mari cari titik E. Ia membahagikan segmen AB dalam nisbah λ = 2/3:
XE = (5 + 3/2 · (-5)) / (1 + 3/2) = -1 dan yE = (-6 + 3/2 · 9) / (1 + 3/2) = 3. Oleh itu Oleh itu, E(-1; 3).
Titik F membahagikan segmen AB dalam nisbah λ = 4/1, oleh itu:
XF = (5 + 4 · (-5)) / (1 + 4) = -3 dan yF = (-6 + 4 · 9) / (1 + 4) = 6, F(-3; 6).
Mata pembahagian C(-2; -2); D(4; 1); E(-1; 3) dan F(-3; 6).
Masih ada soalan? Tidak tahu bagaimana untuk menyelesaikan masalah pembahagian segmen?
Untuk mendapatkan bantuan daripada tutor, daftar.
Pelajaran pertama adalah percuma!
laman web, apabila menyalin bahan sepenuhnya atau sebahagian, pautan ke sumber diperlukan.