Luas permukaan sisi prisma. helo! Dalam penerbitan ini kami akan menganalisis sekumpulan masalah dalam stereometri. Mari kita pertimbangkan gabungan badan - prisma dan silinder. Pada masa ini, artikel ini melengkapkan keseluruhan siri artikel yang berkaitan dengan pertimbangan jenis tugas dalam stereometri.
Jika yang baru muncul di bank tugas, maka, sudah tentu, akan ada penambahan pada blog pada masa akan datang. Tetapi apa yang sudah ada sudah cukup untuk anda belajar bagaimana menyelesaikan semua masalah dengan jawapan ringkas sebagai sebahagian daripada peperiksaan. Akan ada bahan yang mencukupi untuk tahun-tahun akan datang (program matematik adalah statik).
Tugasan yang dibentangkan melibatkan pengiraan luas prisma. Saya perhatikan bahawa di bawah kita mempertimbangkan prisma lurus (dan, dengan itu, silinder lurus).
Tanpa mengetahui sebarang formula, kita faham bahawa permukaan sisi prisma ialah semua muka sisinya. Prisma lurus mempunyai muka sisi segi empat tepat.
Luas permukaan sisi prisma sedemikian adalah sama dengan jumlah luas semua muka sisinya (iaitu segi empat tepat). Jika kita bercakap tentang prisma biasa di mana silinder ditulis, maka jelas bahawa semua muka prisma ini adalah segi empat sama SAMA.
Secara formal, luas permukaan sisi prisma biasa boleh dicerminkan seperti berikut:
27064. Sebuah prisma segiempat sama sekata dihadkan mengelilingi silinder yang jejari tapaknya dan tingginya sama dengan 1. Cari luas permukaan sisi prisma itu.
Permukaan sisi prisma ini terdiri daripada empat segi empat tepat yang sama luas. Ketinggian muka ialah 1, tepi tapak prisma ialah 2 (ini adalah dua jejari silinder), oleh itu luas muka sisi adalah sama dengan:
Luas permukaan sisi:
73023. Cari luas permukaan sisi bagi prisma segi tiga sekata yang dihadkan tentang silinder yang jejari tapaknya ialah √0.12 dan tinggi ialah 3.
Luas permukaan sisi prisma tertentu adalah sama dengan jumlah luas tiga muka sisi (segi empat tepat). Untuk mencari luas muka sisi, anda perlu mengetahui ketinggiannya dan panjang tepi tapak. Tingginya tiga. Mari cari panjang tepi tapak. Pertimbangkan unjuran (pandangan atas):
Kami mempunyai segi tiga sekata di mana bulatan berjejari √0.12 ditulis. Daripada segi tiga tepat AOC kita boleh mencari AC. Dan kemudian AD (AD=2AC). Mengikut definisi tangen:
Ini bermakna AD = 2AC = 1.2 Oleh itu, luas permukaan sisi adalah sama dengan:
27066. Cari luas permukaan sisi bagi prisma heksagon sekata yang dihadkan tentang silinder yang jejari tapaknya ialah √75 dan tinggi ialah 1.
Luas yang diperlukan adalah sama dengan jumlah luas semua muka sisi. Prisma heksagon sekata mempunyai segi empat tepat yang sama pada muka sisinya.
Untuk mencari luas muka, anda perlu mengetahui ketinggiannya dan panjang tepi tapak. Ketinggian diketahui, ia sama dengan 1.
Mari cari panjang tepi tapak. Pertimbangkan unjuran (pandangan atas):
Kami mempunyai heksagon sekata, di mana bulatan jejari √75 ditulis.
Pertimbangkan segi tiga tepat ABO. Kami tahu OB kaki (ini adalah jejari silinder). Kita juga boleh menentukan sudut AOB, ia bersamaan dengan 300 (segi tiga AOC adalah sama sisi, OB ialah pembahagi dua).
Mari kita gunakan definisi tangen dalam segi tiga tepat:
AC = 2AB, kerana OB ialah median, iaitu, ia membahagikan AC kepada separuh, yang bermaksud AC = 10.
Oleh itu, luas muka sisi ialah 1∙10=10 dan luas permukaan sisi ialah:
76485. Cari luas permukaan sisi bagi prisma segi tiga sekata yang tertulis dalam silinder yang jejari tapaknya ialah 8√3 dan tinggi ialah 6.
Luas permukaan sisi prisma yang ditentukan bagi tiga muka yang sama saiz (segi empat tepat). Untuk mencari luas, anda perlu mengetahui panjang tepi tapak prisma (kita tahu ketinggian). Jika kita mempertimbangkan unjuran (pandangan atas), kita mempunyai segi tiga biasa yang tertulis dalam bulatan. Sisi segi tiga ini dinyatakan dalam sebutan jejari sebagai:
Butiran perhubungan ini. Jadi ia akan sama
Maka luas muka sisi ialah: 24∙6=144. Dan kawasan yang diperlukan:
245354. Sebuah prisma segi empat sekata dikelilingi tentang sebuah silinder yang jejari tapaknya ialah 2. Luas permukaan sisi prisma itu ialah 48. Cari ketinggian silinder itu.
Maklumat am tentang prisma lurus
Permukaan sisi prisma (lebih tepat, luas permukaan sisi) dipanggil jumlah kawasan muka sisi. Jumlah permukaan prisma adalah sama dengan jumlah permukaan sisi dan luas tapak.
Teorem 19.1. Permukaan sisi prisma lurus adalah sama dengan hasil darab perimeter tapak dan tinggi prisma, iaitu panjang tepi sisi.
Bukti. Muka sisi bagi prisma lurus ialah segi empat tepat. Tapak segi empat tepat ini ialah sisi poligon yang terletak pada dasar prisma, dan ketinggiannya adalah sama dengan panjang tepi sisi. Ia berikutan bahawa permukaan sisi prisma adalah sama dengan
S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,
di mana a 1 dan n ialah panjang tepi tapak, p ialah perimeter tapak prisma itu, dan I ialah panjang tepi sisi. Teorem telah terbukti.
Tugas praktikal
Masalah (22) . Dalam prisma condong ia dijalankan bahagian, berserenjang dengan rusuk sisi dan bersilang semua rusuk sisi. Cari permukaan sisi prisma itu jika perimeter keratan itu sama dengan p dan tepi sisinya sama dengan l.
Penyelesaian. Satah bahagian yang dilukis membahagikan prisma kepada dua bahagian (Gamb. 411). Mari kita tundukkan salah satu daripadanya kepada terjemahan selari, menggabungkan tapak prisma. Dalam kes ini, kita memperoleh sebuah prisma lurus, tapaknya ialah keratan rentas prisma asal, dan tepi sisi adalah sama dengan l. Prisma ini mempunyai permukaan sisi yang sama dengan yang asal. Oleh itu, permukaan sisi prisma asal adalah sama dengan pl.
Generalisasi topik yang dibincangkan
Sekarang mari kita cuba meringkaskan topik yang kita bincangkan tentang prisma dan ingat apakah sifat prisma.
Sifat prisma
Pertama, prisma mempunyai semua tapaknya sebagai poligon yang sama;
Kedua, dalam prisma semua muka sisinya ialah segiempat selari;
Ketiga, dalam rajah pelbagai rupa seperti prisma, semua tepi sisi adalah sama;
Juga, harus diingat bahawa polyhedra seperti prisma boleh lurus atau condong.
Prisma yang manakah dipanggil prisma lurus?
Jika tepi sisi prisma terletak berserenjang dengan satah tapaknya, maka prisma sedemikian dipanggil lurus.
Tidaklah berlebihan untuk mengingati bahawa muka sisi bagi prisma lurus ialah segi empat tepat.
Apakah jenis prisma yang dipanggil serong?
Tetapi jika tepi sisi prisma tidak terletak berserenjang dengan satah tapaknya, maka kita boleh dengan selamat mengatakan bahawa ia adalah prisma condong.
Prisma yang manakah dipanggil betul?
Jika poligon sekata terletak pada dasar prisma lurus, maka prisma tersebut adalah sekata.
Sekarang mari kita ingat sifat-sifat yang ada pada prisma biasa.
Sifat prisma sekata
Pertama, poligon sekata sentiasa berfungsi sebagai tapak prisma sekata;
Kedua, jika kita menganggap muka sisi bagi prisma sekata, ia sentiasa segi empat sama;
Ketiga, jika anda membandingkan saiz rusuk sisi, maka dalam prisma biasa mereka sentiasa sama.
Keempat, prisma yang betul sentiasa lurus;
Kelima, jika dalam prisma sekata muka sisi mempunyai bentuk segi empat sama, maka angka tersebut biasanya dipanggil poligon separa sekata.
Keratan rentas prisma
Sekarang mari kita lihat keratan rentas prisma:
Kerja rumah
Sekarang mari kita cuba menyatukan topik yang telah kita pelajari dengan menyelesaikan masalah.
Mari kita lukis prisma segi tiga condong, jarak antara tepinya akan sama dengan: 3 cm, 4 cm dan 5 cm, dan permukaan sisi prisma ini akan sama dengan 60 cm2. Mempunyai parameter ini, cari tepi sisi prisma ini.
Adakah anda tahu bahawa angka geometri sentiasa mengelilingi kita, bukan sahaja dalam pelajaran geometri, tetapi juga dalam kehidupan seharian terdapat objek yang menyerupai satu atau lain angka geometri.
Setiap rumah, sekolah atau tempat kerja mempunyai komputer yang unit sistemnya berbentuk prisma lurus.
Jika anda mengambil pensel mudah, anda akan melihat bahawa bahagian utama pensel adalah prisma.
Berjalan di sepanjang jalan tengah bandar, kami melihat bahawa di bawah kaki kami terletak jubin yang mempunyai bentuk prisma heksagon.
A. V. Pogorelov, Geometri untuk gred 7-11, Buku Teks untuk institusi pendidikan
Kursus video "Dapatkan A" merangkumi semua topik yang diperlukan untuk berjaya lulus Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik dengan 60-65 mata. Selesaikan semua tugasan 1-13 Profile Unified State Exam dalam matematik. Juga sesuai untuk lulus Peperiksaan Asas Negeri Bersepadu dalam matematik. Jika anda ingin lulus Peperiksaan Negeri Bersepadu dengan 90-100 mata, anda perlu menyelesaikan bahagian 1 dalam 30 minit dan tanpa kesilapan!
Kursus persediaan untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu untuk gred 10-11, dan juga untuk guru. Semua yang anda perlukan untuk menyelesaikan Bahagian 1 Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik (12 masalah pertama) dan Masalah 13 (trigonometri). Dan ini adalah lebih daripada 70 mata pada Peperiksaan Negeri Bersepadu, dan pelajar 100 mata mahupun pelajar kemanusiaan tidak boleh melakukannya tanpanya.
Semua teori yang diperlukan. Penyelesaian pantas, perangkap dan rahsia Peperiksaan Negeri Bersepadu. Semua tugas semasa bahagian 1 dari Bank Tugas FIPI telah dianalisis. Kursus ini mematuhi sepenuhnya keperluan Peperiksaan Negeri Bersepadu 2018.
Kursus ini mengandungi 5 topik besar, 2.5 jam setiap satu. Setiap topik diberikan dari awal, ringkas dan jelas.
Beratus-ratus tugas Peperiksaan Negeri Bersatu. Masalah perkataan dan teori kebarangkalian. Algoritma yang ringkas dan mudah diingati untuk menyelesaikan masalah. Geometri. Teori, bahan rujukan, analisis semua jenis tugas Peperiksaan Negeri Bersepadu. Stereometri. Penyelesaian rumit, helaian cheat berguna, pembangunan imaginasi spatial. Trigonometri dari awal kepada masalah 13. Memahami bukannya menjejalkan. Penjelasan yang jelas tentang konsep yang kompleks. Algebra. Akar, kuasa dan logaritma, fungsi dan terbitan. Asas untuk menyelesaikan masalah kompleks Bahagian 2 Peperiksaan Negeri Bersatu.
Mengekalkan privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila semak amalan privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.
Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi
Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.
Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.
Di bawah ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.
Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:
- Apabila anda menyerahkan permohonan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama anda, nombor telefon, alamat e-mel, dsb.
Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:
- Maklumat peribadi yang kami kumpulkan membolehkan kami menghubungi anda dengan tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
- Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan komunikasi penting.
- Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman, seperti menjalankan audit, analisis data dan pelbagai penyelidikan untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan mengenai perkhidmatan kami.
- Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau promosi yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.
Pendedahan maklumat kepada pihak ketiga
Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.
Pengecualian:
- Jika perlu - mengikut undang-undang, prosedur kehakiman, dalam prosiding undang-undang, dan/atau atas dasar permintaan awam atau permintaan daripada badan kerajaan di Persekutuan Rusia - untuk mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
- Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga pengganti yang berkenaan.
Perlindungan maklumat peribadi
Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta akses tanpa kebenaran, pendedahan, pengubahan dan pemusnahan.
Menghormati privasi anda di peringkat syarikat
Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan piawaian privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan ketat.
Definisi 1. Permukaan prismatik
Teorem 1. Pada bahagian selari permukaan prismatik
Definisi 2. Keratan serenjang permukaan prismatik
Definisi 3. Prisma
Definisi 4. Ketinggian prisma
Definisi 5. Prisma kanan
Teorem 2. Luas permukaan sisi prisma
Parallelepiped:
Definisi 6. Parallelepiped
Teorem 3. Pada persilangan pepenjuru bagi sebuah paip selari
Definisi 7. Parallelepiped kanan
Definisi 8. Salur selari segi empat tepat
Definisi 9. Ukuran bagi parallelepiped
Definisi 10. Kubus
Definisi 11. Rhombohedron
Teorem 4. Pada pepenjuru segi empat selari
Teorem 5. Isipadu prisma
Teorem 6. Isipadu prisma lurus
Teorem 7. Isipadu bagi sebuah segi empat selari berpaip
Prisma ialah polihedron yang dua muka (tapak)nya terletak pada satah selari, dan tepi yang tidak terletak pada muka ini adalah selari antara satu sama lain.
Muka selain pangkal dipanggil sisi.
Sisi sisi muka dan tapak dipanggil rusuk prisma, hujung tepi dipanggil bucu prisma itu. Tulang rusuk sisi tepi yang bukan milik tapak dipanggil. Penyatuan muka sisi dipanggil permukaan sisi prisma, dan penyatuan semua muka dipanggil permukaan penuh prisma itu. Ketinggian prisma dipanggil serenjang jatuh dari titik tapak atas ke satah tapak bawah atau panjang serenjang ini. 
Prisma lurus dipanggil prisma yang tepi sisinya berserenjang dengan satah tapaknya. 
Betul dipanggil prisma lurus (Rajah 3), di tapaknya terdapat poligon sekata.
Jawatan:
l - rusuk sisi;
P - perimeter asas;
S o - kawasan asas;
H - ketinggian;
P^ - perimeter bahagian serenjang;
S b - kawasan permukaan sisi;
V - kelantangan;
S p ialah luas jumlah permukaan prisma itu.
|
V=SH |
*Diandaikan bahawa setiap dua satah berturut-turut bersilang dan satah terakhir bersilang yang pertama
Teorem 1 . Bahagian permukaan prismatik oleh satah selari antara satu sama lain (tetapi tidak selari dengan tepinya) adalah poligon yang sama.
Biarkan ABCDE dan A"B"C"D"E" menjadi bahagian permukaan prismatik dengan dua satah selari. Untuk memastikan kedua-dua poligon ini sama, cukup untuk menunjukkan bahawa segitiga ABC dan A"B"C" adalah sama dan mempunyai arah putaran yang sama dan yang sama berlaku untuk segi tiga ABD dan A"B"D", ABE dan A"B"E". Tetapi sisi yang sepadan bagi segi tiga ini adalah selari (contohnya, AC adalah selari dengan AC) seperti garis persilangan satah tertentu dengan dua satah selari; ia berikutan bahawa sisi-sisi ini adalah sama (contohnya, AC adalah sama dengan A"C"), seperti sisi bertentangan segi empat selari, dan bahawa sudut yang dibentuk oleh sisi ini adalah sama dan mempunyai arah yang sama.
Definisi 2 . Bahagian serenjang permukaan prismatik ialah bahagian permukaan ini dengan satah berserenjang dengan tepinya. Berdasarkan teorem sebelumnya, semua bahagian serenjang permukaan prismatik yang sama akan menjadi poligon yang sama.
Definisi 3
. Prisma ialah polihedron yang dibatasi oleh permukaan prismatik dan dua satah selari antara satu sama lain (tetapi tidak selari dengan tepi permukaan prismatik)
Wajah-wajah yang terletak di dalam pesawat terakhir ini dipanggil tapak prisma; muka kepunyaan permukaan prismatik - muka sebelah; tepi permukaan prismatik - rusuk sisi prisma. Berdasarkan teorem sebelumnya, tapak prisma itu ialah poligon yang sama. Semua muka sisi prisma - segi empat selari; semua rusuk sisi adalah sama antara satu sama lain.
Jelas sekali, jika tapak prisma ABCDE dan salah satu tepi AA" dalam saiz dan arah diberikan, maka adalah mungkin untuk membina prisma dengan melukis tepi BB", CC", ... sama dan selari dengan tepi AA" .
Definisi 4 . Ketinggian prisma ialah jarak antara satah tapaknya (HH").
Definisi 5
. Prisma dipanggil lurus jika tapaknya adalah bahagian serenjang permukaan prismatik. Dalam kes ini, ketinggian prisma adalah, sudah tentu, ia rusuk sebelah; tepi sisi akan menjadi segi empat tepat.
Prisma boleh dikelaskan mengikut bilangan muka sisi yang sama dengan bilangan sisi poligon yang berfungsi sebagai tapaknya. Oleh itu, prisma boleh menjadi segi tiga, segi empat, pentagon, dll.
Teorem 2
. Luas permukaan sisi prisma adalah sama dengan hasil darab tepi sisi dan perimeter bahagian serenjang.
Biarkan ABCDEA"B"C"D"E" menjadi prisma tertentu dan abcde keratan serenjangnya, supaya segmen ab, bc, .. berserenjang dengan tepi sisinya. Muka ABA"B" ialah segi empat selari; luasnya adalah sama dengan hasil darab tapak AA " kepada ketinggian yang bertepatan dengan ab; luas muka ВСВ "С" adalah sama dengan hasil darab tapak В" dengan ketinggian bc, dsb. Akibatnya, permukaan sisi (iaitu jumlah kawasan muka sisi) adalah sama dengan hasil darab daripada tepi sisi, dengan kata lain, jumlah panjang segmen AA", ВВ", .., untuk jumlah ab+bc+cd+de+ea.