Dalam pelajaran ini kita akan melihat dua lagi operasi dengan vektor: produk vektor bagi vektor Dan hasil campuran vektor (pautan segera bagi yang memerlukan). Tidak mengapa, kadang-kadang ia berlaku untuk kebahagiaan yang lengkap, sebagai tambahan kepada hasil darab skalar bagi vektor, semakin banyak diperlukan. Ini adalah ketagihan vektor. Nampaknya kita masuk ke dalam hutan geometri analisis. Ini adalah salah. Dalam bahagian matematik yang lebih tinggi ini biasanya terdapat sedikit kayu, kecuali mungkin cukup untuk Pinocchio. Malah, bahannya sangat biasa dan mudah - hampir tidak lebih rumit daripada yang sama produk skalar, malah tugas biasa akan ada kurang. Perkara utama dalam geometri analitik, kerana ramai yang akan yakin atau sudah yakin, adalah TIDAK MEMBUAT KESILAPAN DALAM PENGIRAAN. Ulangi seperti jampi dan anda akan gembira =)

Jika vektor berkilauan di tempat yang jauh, seperti kilat di kaki langit, tidak mengapa, mulakan dengan pelajaran Vektor untuk boneka untuk memulihkan atau memperoleh semula pengetahuan asas tentang vektor. Pembaca yang lebih bersedia boleh membiasakan diri dengan maklumat secara terpilih Saya cuba mengumpul koleksi contoh yang paling lengkap yang sering dijumpai di kerja amali

Apa yang akan membuatkan anda gembira dengan segera? Semasa saya kecil, saya boleh mengimbangi dua atau tiga bola. Ia berjaya dengan baik. Sekarang anda tidak perlu menyulap sama sekali, kerana kami akan mempertimbangkan sahaja vektor spatial , dan vektor rata dengan dua koordinat akan ditinggalkan. kenapa? Beginilah cara tindakan ini dilahirkan - vektor dan hasil campuran vektor ditakrifkan dan berfungsi ruang tiga dimensi. Ia sudah lebih mudah!

Operasi ini, seperti produk skalar, melibatkan dua vektor. Biarlah ini menjadi surat yang tidak dapat binasa.

Tindakan itu sendiri dilambangkan dengan dengan cara berikut: . Terdapat pilihan lain, tetapi saya sudah biasa untuk menandakan produk vektor vektor dengan cara ini, dalam dalam kurungan dengan salib.

Dan segera soalan: jika masuk hasil darab skalar bagi vektor dua vektor terlibat, dan di sini dua vektor juga didarab, kemudian Apakah perbezaannya? Perbezaan yang jelas adalah, pertama sekali, dalam HASIL:

Hasil darab skalar bagi vektor ialah NUMBER:

Hasil darab silang bagi vektor ialah VECTOR: , iaitu, kita mendarabkan vektor dan mendapatkan vektor semula. Kelab tertutup. Sebenarnya, dari sinilah nama operasi itu berasal. Dalam pelbagai sastera pendidikan jawatan juga mungkin berbeza-beza, saya akan menggunakan surat itu.

Definisi hasil silang

Mula-mula akan ada definisi dengan gambar, kemudian komen.

Definisi: Produk vektor bukan kolinear vektor, diambil dalam susunan ini , dipanggil VECTOR, panjang iaitu secara berangka sama dengan luas segi empat selari, dibina pada vektor ini; vektor ortogon kepada vektor, dan diarahkan supaya asas mempunyai orientasi yang betul:

Mari kita pecahkan definisi sekeping demi sekeping, terdapat banyak perkara menarik di sini!

Jadi, perkara penting berikut boleh diserlahkan:

1) Vektor asal, yang ditunjukkan oleh anak panah merah, mengikut definisi bukan kolinear. sedang berlaku vektor kolinear Adalah wajar untuk dipertimbangkan sedikit kemudian.

2) Vektor diambil secara ketat dalam susunan tertentu : – "a" didarab dengan "menjadi", dan bukan "menjadi" dengan "a". Hasil pendaraban vektor ialah VECTOR, yang ditunjukkan dengan warna biru. Jika vektor didarab dengan susunan terbalik, maka kita mendapat vektor yang sama panjang dan bertentangan arah (warna raspberi). Maksudnya, persamaan itu benar .

3) Sekarang mari kita berkenalan dengan makna geometri produk vektor. Ini sangat perkara penting! PANJANG vektor biru (dan, oleh itu, vektor lembayung) secara berangka sama dengan LUAS segiempat selari yang dibina pada vektor. Dalam rajah, segi empat selari ini dilorekkan dengan warna hitam.

Catatan : lukisan adalah skematik, dan, secara semula jadi, panjang nominal produk vektor tidak sama dengan luas segi empat selari.

Mari kita ingat salah satu formula geometri: Luas segi empat selari adalah sama dengan hasil darab sisi bersebelahan dan sinus sudut di antaranya. Oleh itu, berdasarkan perkara di atas, formula untuk mengira PANJANG produk vektor adalah sah:

Saya menekankan bahawa formula adalah mengenai PANJANG vektor, dan bukan mengenai vektor itu sendiri. Apa makna praktikal? Dan maksudnya ialah dalam masalah geometri analitik, luas segi empat selari sering dijumpai melalui konsep produk vektor:

Jom dapatkan yang kedua formula penting. Diagonal bagi segi empat selari (garis putus-putus merah) membahagikannya kepada dua segi tiga sama. Oleh itu, kawasan segitiga yang dibina di atas vektor (lorek merah) boleh didapati menggunakan formula:

4) Sekurang-kurangnya fakta penting ialah vektor adalah ortogon kepada vektor, iaitu . Sudah tentu, vektor berlawanan arah (anak panah raspberi) juga ortogon kepada vektor asal.

5) Vektor diarahkan supaya asas Ia ada betul orientasi. Dalam pelajaran tentang peralihan kepada asas baharu Saya bercakap dengan cukup terperinci tentang orientasi kapal terbang, dan sekarang kita akan mengetahui apa itu orientasi ruang. Saya akan menerangkan pada jari anda tangan kanan . Gabungan mental jari telunjuk dengan vektor dan jari tengah dengan vektor. Jari manis dan jari kelingking tekan ke tapak tangan anda. Akibatnya ibu jari – produk vektor akan mencari. Ini adalah asas berorientasikan betul (ia adalah yang ini dalam rajah). Sekarang tukar vektor ( telunjuk dan jari tengah) di sesetengah tempat, akibatnya ibu jari akan berpusing, dan produk vektor sudah pun melihat ke bawah. Ini juga merupakan asas berorientasikan betul. Anda mungkin mempunyai soalan: asas yang manakah telah meninggalkan orientasi? “Tugaskan” pada jari yang sama Tangan kiri vektor, dan dapatkan asas kiri dan orientasi kiri ruang (dalam kes ini, ibu jari akan terletak ke arah vektor yang lebih rendah). Secara kiasan, pangkalan ini "memutar" atau mengarahkan ruang masuk sisi yang berbeza. Dan konsep ini tidak boleh dianggap sebagai sesuatu yang dibuat-buat atau abstrak - sebagai contoh, orientasi ruang diubah oleh cermin yang paling biasa, dan jika anda "menarik objek yang dipantulkan keluar dari kaca yang kelihatan," maka ia akan kes am tidak boleh digabungkan dengan "asal". By the way, pegang tiga jari ke cermin dan analisis pantulan ;-)

... alangkah baiknya yang anda ketahui sekarang berorientasikan kanan dan kiri asas, kerana kenyataan beberapa pensyarah tentang perubahan orientasi adalah menakutkan =)

Hasil silang bagi vektor kolinear

Takrifan telah dibincangkan secara terperinci, ia kekal untuk mengetahui apa yang berlaku apabila vektor adalah kolinear. Jika vektor adalah kolinear, maka ia boleh diletakkan pada satu garis lurus dan selari kami juga "melipat" menjadi satu garis lurus. Kawasan seperti itu, seperti yang dikatakan ahli matematik, merosot segi empat selari adalah sama dengan sifar. Perkara yang sama mengikuti dari formula - sinus sifar atau 180 darjah sama dengan sifar, dan oleh itu luasnya adalah sifar

Oleh itu, jika , maka . Tegasnya, produk vektor itu sendiri adalah sama dengan vektor sifar, tetapi dalam amalan ini sering diabaikan dan mereka ditulis bahawa ia sama dengan sifar.

Kes istimewa– hasil vektor vektor bagi vektor dengan dirinya sendiri:

Anda boleh menyemak kolineariti menggunakan produk silang vektor tiga dimensi, Dan tugasan ini antara lain, kami juga akan menganalisis.

Untuk penyelesaian contoh praktikal mungkin diperlukan jadual trigonometri untuk mencari nilai sinus daripadanya.

Baiklah, mari kita nyalakan api:

Contoh 1

a) Cari panjang hasil darab vektor bagi vektor jika

b) Cari luas segi empat selari yang dibina pada vektor jika

Penyelesaian: Tidak, ini bukan kesilapan menaip, saya sengaja menjadikan data awal dalam klausa sama. Kerana reka bentuk penyelesaian akan berbeza!

a) Mengikut syarat, anda perlu mencari panjang vektor (hasil silang). Mengikut formula yang sepadan:

Jawab:

Jika anda ditanya tentang panjang, maka dalam jawapan kami menunjukkan dimensi - unit.

b) Mengikut syarat, anda perlu mencari segi empat sama segi empat selari dibina pada vektor. Luas segi empat selari ini secara berangka sama dengan panjang produk vektor:

Jawab:

Sila ambil perhatian bahawa jawapan tidak bercakap tentang produk vektor sama sekali; luas rajah, oleh itu, dimensi ialah unit persegi.

Kami sentiasa melihat APA yang perlu kami cari mengikut keadaan, dan, berdasarkan ini, kami merumuskan jelas jawab. Ia mungkin kelihatan seperti literalisme, tetapi terdapat banyak ahli literal dalam kalangan guru, dan tugas dengan peluang yang baik akan kembali untuk semakan. Walaupun ini bukanlah satu pertengkaran yang terlalu mengada-ada - jika jawapannya salah, maka seseorang mendapat tanggapan bahawa orang itu tidak faham perkara yang mudah dan/atau tidak memahami intipati tugasan. Perkara ini hendaklah sentiasa dikawal apabila menyelesaikan sebarang masalah matematik yang lebih tinggi, dan dalam mata pelajaran lain juga.

Ke mana perginya huruf besar "en"? Pada dasarnya, ia boleh juga dilampirkan pada penyelesaian, tetapi untuk memendekkan entri, saya tidak melakukan ini. Saya harap semua orang memahaminya dan merupakan sebutan untuk perkara yang sama.

Contoh popular untuk keputusan bebas:

Contoh 2

Cari luas segi tiga yang dibina pada vektor jika

Formula untuk mencari luas segi tiga melalui produk vektor diberikan dalam ulasan kepada definisi. Penyelesaian dan jawapan ada di akhir pelajaran.

Dalam amalan, tugas itu adalah sangat biasa;

Untuk menyelesaikan masalah lain, kami memerlukan:

Sifat hasil darab vektor bagi vektor

Kami telah mempertimbangkan beberapa sifat produk vektor, bagaimanapun, saya akan memasukkannya ke dalam senarai ini.

Untuk vektor sewenang-wenangnya dan sebarang nombor sifat berikut adalah benar:

1) Dalam sumber maklumat lain, item ini biasanya tidak diserlahkan dalam sifat, tetapi ia sangat penting dalam dari segi praktikal. Jadi biarlah.

2) – harta itu juga dibincangkan di atas, kadangkala ia dipanggil antikomutatif. Dalam erti kata lain, susunan vektor adalah penting.

3) – bersekutu atau berpersatuan undang-undang produk vektor. Pemalar boleh dialihkan dengan mudah di luar produk vektor. Sebenarnya, apa yang perlu mereka lakukan di sana?

4) – pengedaran atau pengedaran undang-undang produk vektor. Tiada masalah dengan membuka kurungan sama ada.

Untuk menunjukkan, mari lihat contoh ringkas:

Contoh 3

Cari jika

Penyelesaian: Keadaan itu sekali lagi memerlukan mencari panjang produk vektor. Mari cat miniatur kami:

(1) Menurut undang-undang bersekutu, kami mengambil pemalar di luar skop produk vektor.

(2) Kami memindahkan pemalar ke luar modul, dan modul "makan" tanda tolak. Panjangnya tidak boleh negatif.

(3) Selebihnya jelas.

Jawab:

Sudah tiba masanya untuk menambah lebih banyak kayu pada api:

Contoh 4

Kira luas segi tiga yang dibina di atas vektor jika

Penyelesaian: Cari luas segi tiga menggunakan formula . Tangkapan adalah bahawa vektor "tse" dan "de" sendiri dibentangkan sebagai jumlah vektor. Algoritma di sini adalah standard dan agak mengingatkan contoh No. 3 dan 4 pelajaran Hasil darab titik bagi vektor. Untuk kejelasan, kami akan membahagikan penyelesaian kepada tiga peringkat:

1) Pada langkah pertama, kami menyatakan produk vektor melalui produk vektor, sebenarnya, mari kita ungkapkan vektor dalam sebutan vektor. Tiada perkataan lagi panjang!

(1) Gantikan ungkapan vektor.

(2) Menggunakan undang-undang pengedaran, kami membuka kurungan mengikut peraturan pendaraban polinomial.

(3) Menggunakan undang-undang bersekutu, kami mengalihkan semua pemalar melangkaui produk vektor. Dengan sedikit pengalaman, langkah 2 dan 3 boleh dilakukan secara serentak.

(4) Sebutan pertama dan terakhir adalah sama dengan sifar (vektor sifar) disebabkan oleh harta yang menyenangkan. Dalam istilah kedua kita menggunakan sifat antikomutatif bagi produk vektor:

(5) Kami membentangkan istilah yang serupa.

Akibatnya, vektor ternyata dinyatakan melalui vektor, iaitu apa yang diperlukan untuk dicapai:

2) Dalam langkah kedua, kita mencari panjang produk vektor yang kita perlukan. Tindakan ini serupa dengan Contoh 3:

3) Cari luas segi tiga yang diperlukan:

Peringkat 2-3 penyelesaian boleh ditulis dalam satu baris.

Jawab:

Masalah yang dipertimbangkan agak biasa di ujian, berikut ialah contoh untuk penyelesaian bebas:

Contoh 5

Cari jika

Penyelesaian Pantas dan jawapan pada akhir pelajaran. Mari lihat sejauh mana perhatian anda semasa mengkaji contoh sebelumnya ;-)

Hasil silang vektor dalam koordinat

, dinyatakan dalam asas ortonormal, dinyatakan oleh formula:

Formulanya sangat mudah: di baris atas penentu yang kita tulis vektor koordinat, dalam baris kedua dan ketiga kami "meletakkan" koordinat vektor , dan kami meletakkan V dalam susunan yang ketat – pertama koordinat vektor "ve", kemudian koordinat vektor "double-ve". Jika vektor perlu didarab dalam susunan yang berbeza, maka baris harus ditukar:

Contoh 10

Semak sama ada vektor ruang berikut adalah kolinear:
A)
b)

Penyelesaian: Semakan adalah berdasarkan salah satu pernyataan dalam pelajaran ini: jika vektor adalah kolinear, maka hasil vektornya adalah sama dengan sifar (vektor sifar): .

a) Cari hasil vektor:

Oleh itu, vektor bukan kolinear.

b) Cari hasil vektor:

Jawab: a) bukan kolinear, b)

Di sini, mungkin, adalah semua maklumat asas tentang produk vektor bagi vektor.

Bahagian ini tidak akan menjadi sangat besar, kerana terdapat beberapa masalah di mana produk campuran vektor digunakan. Sebenarnya, segala-galanya akan bergantung pada definisi, makna geometri dan beberapa formula yang berfungsi.

Kerja campur vektor ialah produk tiga vektor :

Jadi mereka beratur seperti kereta api dan tidak sabar untuk dikenal pasti.

Pertama, sekali lagi, definisi dan gambar:

Definisi: Kerja campur bukan coplanar vektor, diambil mengikut susunan ini, dipanggil isipadu selari, dibina di atas vektor ini, dilengkapi dengan tanda “+” jika asasnya betul, dan tanda “–” jika asas dibiarkan.

Mari buat lukisan. Garisan yang tidak kelihatan kepada kami dilukis dengan garis putus-putus:

Mari kita selami definisi:

2) Vektor diambil dalam susunan tertentu, iaitu, penyusunan semula vektor dalam produk, seperti yang anda fikirkan, tidak berlaku tanpa akibat.

3) Sebelum mengulas tentang makna geometri, saya perhatikan fakta yang jelas: hasil darab campuran bagi vektor ialah NOMBOR: . Dalam kesusasteraan pendidikan, reka bentuk mungkin sedikit berbeza; Saya biasa menandakan produk campuran dengan , dan hasil pengiraan dengan huruf "pe".

A-priory hasil campuran ialah isipadu selari, dibina pada vektor (angka dilukis dengan vektor merah dan garis hitam). Iaitu, nombor itu adalah sama dengan isipadu parallelepiped yang diberikan.

Catatan : Lukisan adalah skematik.

4) Jangan risau lagi tentang konsep orientasi asas dan ruang. Maksud bahagian akhir ialah tanda tolak boleh ditambah pada kelantangan. Dengan kata mudah, produk campuran boleh menjadi negatif: .

Secara langsung daripada takrifan mengikut formula untuk mengira isipadu paip selari yang dibina pada vektor.

Luas segi empat selari yang dibina pada vektor adalah sama dengan hasil darab panjang vektor ini dan sudut sudut yang terletak di antara mereka.

Adalah baik apabila keadaan memberikan panjang vektor yang sama ini. Walau bagaimanapun, ia juga berlaku bahawa formula untuk kawasan segi empat selari yang dibina pada vektor boleh digunakan hanya selepas pengiraan menggunakan koordinat.
Jika anda bernasib baik dan syarat memberikan panjang vektor, maka anda hanya perlu menggunakan formula, yang telah kami bincangkan secara terperinci dalam artikel. Kawasan akan sama dengan produk modul dan sinus sudut di antara mereka:

Mari kita pertimbangkan contoh pengiraan luas segi empat selari yang dibina pada vektor.

Tugasan: Jajaran selari dibina pada vektor dan . Cari luas jika , dan sudut di antaranya ialah 30°.
Mari kita nyatakan vektor melalui nilainya:

Mungkin anda mempunyai soalan - dari mana datangnya sifar? Perlu diingat bahawa kami bekerja dengan vektor, dan untuk mereka . juga ambil perhatian bahawa jika hasilnya ialah ungkapan, ia akan ditukar kepada. Sekarang kami menjalankan pengiraan akhir:

Mari kita kembali kepada masalah apabila panjang vektor tidak dinyatakan dalam syarat. Jika segi empat selari anda terletak di Sistem kartesian koordinat, anda perlu melakukan perkara berikut.

Pengiraan panjang sisi rajah yang diberikan oleh koordinat

Sebagai permulaan, kita mencari koordinat vektor dan menolak koordinat permulaan yang sepadan dengan koordinat akhir. Katakan koordinat vektor a ialah (x1;y1;z1), dan vektor b ialah (x3;y3;z3).
Sekarang kita dapati panjang setiap vektor. Untuk melakukan ini, setiap koordinat mesti kuasa dua, kemudian tambah hasil yang diperoleh dan daripada nombor terhingga ekstrak akar. Berdasarkan vektor kami akan ada pengiraan berikut:


Sekarang anda perlu mencari produk skalar vektor kami. Untuk melakukan ini, koordinat sepadan mereka didarab dan ditambah.

Memandangkan panjang vektor dan hasil berskalanya, kita boleh mencari kosinus sudut yang terletak di antara mereka.
Sekarang kita boleh mencari sinus sudut yang sama:
Sekarang kita mempunyai semua kuantiti yang diperlukan, dan kita boleh dengan mudah mencari luas segi empat selari yang dibina pada vektor menggunakan formula yang sudah diketahui.