Melintasi garis lurus. Contoh masalah dengan dan tanpa penyelesaian

Stereometri

Kerja bebas N 1

Pilihan 1

1. Lukiskan garis lurus a dan titik A,B Dan C, bukan milik baris ini. Buat nota yang diperlukan.

2. Lukis satah b, mata E,F kepunyaan dia, dan tempoh G, yang bukan miliknya. Buat nota yang diperlukan.

3. Lukis garis lurus a, baring dalam kapal terbang a. Buat entri yang diperlukan.

4. Lukiskan dua satah bersilang a dan b. Buat entri yang diperlukan.

Pilihan 2

1. Lukis dua bersilang pada satu titik O lurus a Dan b dan titik A,B,C, dan titik A tergolong dalam barisan a, B tergolong dalam barisan b, titik C tidak tergolong dalam baris yang diberikan.

2. Lukis satah g dan mata yang bukan miliknya K,L dan perkara yang berkaitan dengannya M. Buat nota yang diperlukan.

3. Lukis garis lurus b, bersilang dengan satah b pada titik itu O. Buat entri yang diperlukan.

4. Lukis tiga garisan bersilang a pesawat a, b dan g. Buat entri yang diperlukan.

Kerja bebas N 2

Pilihan 1

1) Sudut pada tapak segi tiga sama kaki adalah sama.

2) Satu garis lurus melalui dua titik dalam ruang.

3) Sudut menegak adalah sama.

4) Jajaran selari ialah segiempat yang sisi bertentangan selari berpasangan.

2. Takrifkan kedudukan relatif satah a dan b, jika segitiga terletak di dalamnya ABC. Wajarkan jawapan anda.

3. Berapakah bilangan satah yang boleh melalui tiga titik?

4. Cari nombor terhebat garisan yang melalui pasangan empat titik yang berbeza.

Pilihan 2

1. Daripada ayat berikut, nyatakan aksiom, takrifan, teorem:

1) Jika dua kapal terbang mempunyai titik biasa, kemudian mereka bersilang dalam garis lurus.

2) Garis tengah segi tiga ialah ruas yang menghubungkan titik tengah dua sisinya.

3) Untuk garis lurus dan satah di angkasa, aksiom planimetri dipenuhi.

4) Diagonal bagi segi empat selari dibahagikan kepada separuh dengan titik persilangan.

2. Tentukan kedudukan relatif bagi dua satah b dan g jika ia mengandungi titik B Dan C. Wajarkan jawapan anda.

3. Cari bilangan garis terbanyak yang melalui pasangan 5 titik yang berbeza.

4. Cari bilangan satah terbanyak yang melalui triplet berbeza bagi empat mata.

2. Akibat daripada aksiom stereometri

Pilihan 1

1. Dalam satah dua garis bersilang a Dan b mata diberi C, bukan kepunyaan baris ini. Lurus c, berbaring dalam satah tertentu, melalui titik itu C c berbanding dengan garis lurus ini?

2. Diberi tiga mata yang tidak tergolong dalam baris yang sama. Buktikan bahawa semua garis yang bersilang dua daripada tiga segmen yang menghubungkan titik-titik ini terletak pada satah yang sama.

3. Satah diberi oleh garis lurus c dan satu mata yang bukan miliknya C a, berbeza daripada baris yang diberikan dan tidak melaluinya titik ini.

4. Satah ditakrifkan oleh dua bersilang pada satu titik O lurus a Dan b. Lukis garis lurus c, yang bersilang garis-garis ini dan tidak terletak pada satah yang diberikan.

Pilihan 2

1. Langsung d, terletak pada satah segi tiga itu ABC, melintasi sisinya AB. Apakah kedudukan relatif garisan itu? d Dan B.C.?

2. Dua garis selari dilukis dalam satah a a Dan b. Buktikan bahawa semua garis yang bersilang dengan garis ini terletak pada satah yang sama.

3. Satah ditakrifkan oleh dua bersilang pada satu titik O lurus m Dan n. Bina satu garis lurus dalam satah ini k, berbeza daripada garisan yang diberikan dan tidak melalui titik O.

4. Satah ditakrifkan oleh tiga titik D,E,F, tidak tergolong dalam barisan yang sama. Lukis garis lurus a, yang bersilang sisi DE Dan DF segi tiga DEF dan tidak terletak di dalam pesawat ini.

3. Angka ruang

Pilihan 1

1. Lukiskan prisma pentagonal dan bahagikannya kepada tetrahedron.

2. Tentukan bilangan bucu, tepi dan muka: a) kubus; b) prisma 7-gonal; V) n-piramid arang batu.

3. Tentukan jenis prisma jika ia mempunyai: a) 10 bucu; b) 21 rusuk; c) 5 muka.

4. Bagaimanakah muka prisma 4-gonal boleh diwarnakan supaya muka bersebelahan (mempunyai sisi sepunya) diwarnakan warna yang berbeza? yang mana nombor terkecil Adakah anda memerlukan bunga?

Pilihan 2

1. Lukis piramid pentagon dan bahagikannya kepada tetrahedron.

2. Tentukan bilangan bucu, tepi dan muka: a) segi empat tepat selari; b) Piramid 6 segi; V) n- prisma karbon.

3. Tentukan jenis piramid jika ia mempunyai: a) 5 bucu; b) 14 rusuk; c) 9 muka.

4. Bagaimanakah muka oktahedron boleh diwarnakan supaya muka jiran (berkongsi tepi yang sama) dicat dengan warna yang berbeza. Apakah bilangan warna terkecil yang diperlukan?

4. Pemodelan polyhedra

Pilihan 1

1. Lukis beberapa jaringan kubus itu.

2. Lukiskan rajah yang terdiri daripada empat segi tiga sama sisi, yang bukan jaringan bagi tetrahedron sekata.

3. Lukiskan perkembangan piramid segi empat sekata dan warnakannya sedemikian rupa sehingga apabila melekatkan muka bersebelahan mempunyai warna yang berbeza. Apakah bilangan bunga terkecil yang perlu anda ambil?

4. Lukiskan perkembangan segi empat selari dan warnakannya dengan cara yang apabila melekatkan muka bersebelahan mempunyai warna yang berbeza. Apakah bilangan bunga terkecil yang perlu anda ambil?

Pilihan 2

1. Lukis beberapa jaring bagi tetrahedron biasa.

2. Lukiskan rajah yang terdiri daripada enam segi empat sama yang bukan jaringan kubus.

3. Lukiskan perkembangan kiub dan warnakannya sedemikian rupa sehingga apabila melekatkan muka bersebelahan mempunyai warna yang berbeza. Apakah bilangan bunga terkecil yang perlu anda ambil?

4. Lukiskan perkembangan piramid 6-gonal biasa dan warnakannya sedemikian rupa sehingga apabila melekatkan muka bersebelahan mempunyai warna yang berbeza. Apakah bilangan bunga terkecil yang perlu anda ambil?

5. Keselarian garisan dalam ruang

Pilihan 1

1. Tulis dalam piramid 4-gon biasa SABCD semua pasangan tepi selari.

2. Dalam satah dua garis selari a Dan b titik yang diberikan C, bukan kepunyaan baris ini. Melalui titik C garisan terus dilukis c. Bagaimanakah garis lurus boleh diletakkan? c berbanding dengan garis lurus a Dan b.

3. Melalui titik yang bukan kepunyaan garis tertentu, lukiskan garis selari dengan garis ini.

4. Cari lokus garis yang bersilang dua garis selari yang diberi.

Pilihan 2

1. Tulis empat pasang sisi selari kubus itu A...D 1.

2. Diberi tiga baris a,b Dan Dengan. Bagaimanakah garis lurus ini boleh diletakkan supaya satah boleh dilukis yang mengandungi semua garis lurus ini?

3. Diberi dua garis selari a Dan b. Buktikan bahawa mana-mana satah yang bersilang dengan salah satu daripadanya juga akan bersilang dengan yang lain.

4. Cari lokus garisan yang selari dengan garis yang diberi dan memotong garis lain yang bersilang dengan yang pertama.

6. Garisan silang

Pilihan 1

1. Dalam kubus A...D 1 tuliskan tepi yang melintasi tepi AB.

2. Tulis pasangan tepi silang bagi piramid 4-gon SABCD.

3. Bagaimanakah garisan terletak secara relatif antara satu sama lain? a Dan b dalam Rajah 1? Wajarkan jawapan anda.

4. Diberi dua garisan senget a Dan b dan titik yang bukan milik mereka C. Membina garis lurus c, melalui titik itu C dan memotong garisan a Dan b.

Pilihan 2

1. Tuliskan tepi yang bersilang dengan tepi S.A. piramid 4-gonal biasa SABCD.

2. Tuliskan tepi yang bersilang pepenjuru B 1D Cuba A...D 1.

c(Gamb. 1). Lurus a terletak pada satah a dan memotong garisan c. Adakah mungkin untuk melukis garis selari dengan garis dalam satah b? a? Wajarkan jawapan anda.

4. Adakah terdapat dua garisan selari, yang setiap satunya memotong dua garisan condong yang diberi? Wajarkan jawapan anda.

7. Keselarian garis lurus dan satah

Pilihan 1

1. Tuliskan tepi selari dengan satah muka CC 1D 1D prisma yang betul ABCDEFA 1B 1C 1D 1E 1F 1.

2. Langsung a selari dengan satah a; lurus b bersilang satah a pada titik B; lurus c, bersilang garis a Dan b masing-masing pada titik E Dan F, bersilang satah a pada titik C a Dan b?

3. Satah a dan b bersilang dalam garis lurus c. titik A tergolong dalam satah a, titik B– kapal terbang b. Membina: a) garis lurus a, terletak di dalam pesawat a, melalui titik itu A dan selari dengan satah b; b) lurus b, terletak dalam satah b yang melalui titik itu B dan selari dengan satah a. Bagaimanakah garis lurus akan diletakkan secara relatif antara satu sama lain? a Dan b?

4. Mata A Dan B tergolong dalam muka sisi sisi piramid yang bersebelahan. Lukiskan dua segmen selari antara satu sama lain melalui titik-titik ini pada muka ini.

Pilihan 2

1. Tuliskan satah bagi muka yang selari dengan tepi CC 1 selari A...D 1.

2. Langsung a selari dengan satah a; lurus b Dan c, memotong garisan a masing-masing pada titik B Dan C, bersilang satah a masing-masing pada titik D Dan E. Buat lukisan. Bagaimanakah garis lurus boleh diletakkan secara relatif antara satu sama lain? a Dan b?

3. Satah a dan b bersilang dalam garis lurus c. Lurus a terletak pada satah a. Buktikan bahawa jika: a) a bersilang satah b pada titik A, Itu A tergolong dalam barisan c; b) a adalah selari dengan satah b, maka ia selari dengan garis c.

4. Mata A Dan B tergolong dalam muka sisi sisi bersebelahan prisma itu. Lukiskan dua segmen selari antara satu sama lain melalui titik-titik ini pada muka ini.

8. Keselarian dua satah

Pilihan 1

1. Tuliskan satah selari bagi parallelepiped A...D 1.

2. Adakah kenyataan tersebut benar:

1) Melalui titik yang bukan milik satah tertentu, terdapat melepasi satah tunggal selari dengan satah yang diberi.

2) Jika dua garisan yang terletak dalam satu satah masing-masing selari dengan dua garisan yang terletak pada satah lain, maka satah ini adalah selari.

3) Terdapat banyak garis yang tidak terhingga selari dengan satah tertentu dan melalui titik yang bukan milik satah ini.

4) Jika satu daripada dua satah yang diberi selari dengan dua garis bersilang yang terletak pada satah yang satu lagi, maka satah ini adalah selari.

3. Buktikan bahawa dua satah selari dengan satah ketiga yang sama adalah selari antara satu sama lain.

4. Segmen AB Dan CD terletak pada satah selari a dan b, masing-masing (Rajah 2). Bagaimanakah garis lurus boleh diletakkan secara relatif antara satu sama lain? A.C. Dan BD? Bolehkah mereka selari?

Pilihan 2

1. Dalam piramid segi tiga SABC lukis satah selari dengan tapaknya ABC.

2. Adakah kenyataan tersebut benar:

1) Jika garis yang terletak dalam satu satah selari dengan garis yang terletak pada satah lain, maka satah ini selari.

2) Jika satah memotong dua satah yang diberi sepanjang garis selari, maka satah ini adalah selari.

3) Terdapat tak terhingga banyak satah selari dengan garis tertentu dan melalui titik yang bukan milik garis ini.

4) Jika dua satah selari dengan garis yang sama, maka ia adalah selari.

3. Buktikan bahawa jika satah memotong satu daripada dua satah selari, maka ia juga bersilang dengan yang lain.

4. Segmen AB Dan CD terletak pada satah selari a dan b, masing-masing (Rajah 3). Bagaimanakah garis lurus boleh diletakkan secara relatif antara satu sama lain? AD Dan B.C.? Bolehkah mereka bersilang?

9. Vektor dalam ruang

Pilihan 1

1. Untuk vektor yang diberikan bina vektor: a) -; b) 2; V) -.

2. Berapakah bilangan vektor yang ditakrifkan oleh semua pasangan titik yang mungkin terdiri daripada bucu piramid segi empat sekata?

ABCD .

4. Diberi parallelepiped A...D 1..gif" width="128" height="29 src=">.gif" width="15" height="19 src="> bina vektor: a) 3; b) -2; V) .

2. Berapakah bilangan vektor yang ditakrifkan oleh semua pasangan titik yang mungkin terdiri daripada bucu prisma segi tiga?

3. Lukis tetrahedron biasa ABCD dan lukiskan vektor: a); b); V) .

4. Diberi parallelepiped A...D 1..gif" width="133" height="29 src=">.gif" width="15" height="17 src="> untuk mendapatkan vektor dalam arah yang sama dengan dan ||=1.

2. Diberi dua vektor berarah bertentangan dan , dan || > ||..gif" width="15" height="19 src=">.

3. Diberi tetrahedron ABCD. Tuliskan tiga pasang bucunya yang mentakrifkan vektor koplanar.

4. Diberi kubus A...D 1. Tulis tiga kali ganda vektor bukan koplanar dengan permulaan dan penghujung pada bucunya.

Pilihan 2

1..gif" width="15" height="21">, bertentangan dengan dan ||=2.

2..gif" width="15" height="21 src=">.gif" width="15" height="21 src=">|. Cari arah dan panjang vektor +.

3. Diberi tetrahedron ABCD. Tuliskan tiga pasang bucunya yang mentakrifkan vektor bukan koplanar.

4. Diberi kubus A...D 1. Tulis tiga kali ganda vektor koplanar dengan permulaan dan berakhir pada bucunya.

11. Pemindahan selari

Pilihan 1

1. Bina rajah yang ternyata pemindahan selari langsung a kepada vektor jika: a) E kepunyaan a, F bukan milik a; b) mata E Dan F tidak tergolong a.

2. Tentukan terjemahan selari, iaitu bahagian tengah segmen G.H. diterjemahkan ke satu titik M.

3. Bina satu rajah yang diperoleh daripada segi empat sama ABCD pemindahan selari kepada vektor: a) https://pandia.ru/text/78/221/images/image025_45.gif" width="28" height="24 src=">.

4. Bina rajah yang diperoleh daripada tetrahedron ABCD pemindahan selari kepada vektor.

Pilihan 2

1. Bina satu rajah yang diperoleh melalui terjemahan selari bulatan dengan pusat pada satu titik O ke vektor https://pandia.ru/text/78/221/images/image024_45.gif" width="29" height="24 src=">.gif" width="29" height="24"> .

12. Reka bentuk selari

Pilihan 1

1. Berapa mata yang akan diperolehi dengan reka bentuk selari dua pelbagai mata angkasa lepas? Buat lukisan dan justifikasi yang sesuai.

2. Senaraikan sifat-sifat segi empat tepat yang terpelihara semasa reka bentuk selari.

3. Bagaimanakah dua garis lurus harus diletakkan supaya ia diunjurkan ke atas satah menjadi garis lurus dan titik yang bukan milik garis lurus ini?

4. Garis selari a Dan b A,B Dan C ditunjukkan dalam Rajah 4. Lukiskan titik keempat D. Wajarkan jawapan anda.

Pilihan 2

1. Berapa banyak mata yang anda akan dapat apabila mereka bentuk tiga titik berbeza di angkasa? Buat lukisan dan justifikasi yang sesuai.

2. Senaraikan sifat-sifat rombus yang terpelihara semasa reka bentuk selari.

3. Bagaimanakah garis dan titik harus diletakkan supaya ia diunjurkan ke atas satah menjadi garis dan titik kepunyaan garis ini?

4. Garisan bersilang a Dan b memotong satah selari a dan b pada empat titik. Tiga daripada mereka A,B Dan C ditunjukkan dalam Rajah 5. Lukiskan titik keempat D. Wajarkan jawapan anda.

13. Unjuran selari bagi rajah satah

Pilihan 1

1. Lukis unjuran selari bagi segi tiga sama kaki tegak yang terletak pada satah selari dengan satah unjuran.

2. Lukiskan unjuran selari bagi segi tiga sama sisi ABC dan di atasnya bina imej serenjang yang dijatuhkan dari titik M- bahagian tengah sebelah AB ke tepi A.C. Dan B.C..

ABCDEF, mengambil segi empat tepat sebagai angka asal ABDE.

4. Lukiskan unjuran selari bagi segi tiga sama sisi ABC dan bina di atasnya imej serenjang yang dilukis dari titik itu K– titik tengah segmen B.O.(O– tengah segi tiga) ke sisi AB.

Pilihan 2

1. Lukis unjuran selari bagi segi tiga sama sisi yang terletak pada satah selari dengan satah unjuran.

2. Lukiskan unjuran selari bagi segi empat sama ABCD dan padanya bina imej serenjang yang dilukis dari titik E- bahagian tengah sebelah B.C. kepada garis lurus BD Dan AC.

3. Lukis unjuran selari heksagon biasa ABCDEF, mengambil sebagai angka asal segi tiga sama sisi ACE.

4. Lukis unjuran selari bagi segi empat tepat ABCD, siapa ada AD= 2AB. Bina imej serenjang yang dijatuhkan daripada bucu C kepada pepenjuru BD.

14. Imej rajah ruang

Pilihan 1

1. Lukiskan piramid segi empat sekata dan ketinggiannya.

2. Lukiskan kubus yang dua mukanya selari dengan satah reka bentuk.

3. Rajah 6 menunjukkan unjuran selari Cuba A...D

4. Diberi tetrahedron ABCD. Kawasan mukanya ADC sama dengan S BDC ke kapal terbang ADC ke arah garis lurus AB.

Pilihan 2

1. Lukis yang betul piramid segi tiga dan ketinggiannya.

2. Lukiskan kubus yang mukanya tidak selari dengan satah reka bentuk.

3. Rajah 7 menunjukkan unjuran selari sebuah kubus A...D 1. Bagaimanakah kubus itu terletak berbanding dengan satah reka bentuk?

4. Diberi tetrahedron ABCD. Kawasan mukanya ABD sama dengan Q. Cari kawasan unjuran mukanya BDC ke kapal terbang A.D.B. ke arah garis lurus C.M., Di mana M– tengah rusuk AB.

15. Bahagian polyhedra

Pilihan 1

1. Dalam prisma heksagon A...F 1 (Rajah 8) bina titik persilangan garis PQ dengan kapal terbang ABC, di mana mata Q Dan P kepunyaan masing-masing pada tepi sisi prisma itu BB 1 dan DD 1.

2. Di bahagian rusuk sebelah prisma segi empat A...D 1 tiga mata diberi K,L,M(Gamb. 9). Bina garis persilangan satah KLM dengan kapal terbang ABC.

3. Bina bahagian kubus dengan satah yang melalui titik-titik itu X,Y,Z A.D.A.A. 1, BB 1 dan sebagainya AX:XD= 1:2, A 1Y:YA= 2:1, B 1Z:ZB = 1:2.

4. Dalam piramid yang betul SABCD bina bahagian yang melalui sisi tapak AD dan tempoh M, kepunyaan tepi tepi S.B..

Pilihan 2

1. Di bahagian rusuk sebelah BB 1 dan E.E. 1 prisma ABCDEA 1B 1C 1D 1E 1 mata diberikan sewajarnya F Dan G(Gamb. 10). Bina titik persilangan garis FG dengan kapal terbang ABC.

2. Diberi kubus A...D 1. Pada tulang rusuknya A.A. 1, CC 1 dan DD 1 tiga mata diberi masing-masing X,Y,Z(Gamb. 11). Bina satu garis persilangan satah XYZ Dan ABC.

3. Dalam prisma segi tiga sekata A...C 1 bina bahagian yang melalui titik K,L Dan M, milik masing-masing ke tepi A.A. 1, A.C. Dan BB 1 dan sedemikian rupa sehingga: AK =K.A. 1; AL:LC= 1:2 dan BM =M.B. 1.

4. Dalam piramid yang betul SABCD bina bahagian yang melalui pepenjuru A.C. tapak dan selari dengan tepi sisi SD.

16. Sudut antara garis lurus dalam ruang. Keserenjangan garisan

Pilihan 1

1. Dalam kubus A...D AB Dan BB 1; b) BD Dan BB 1; V) AB 1 dan CC 1; G) AB 1 dan CD 1.

A...C 1 segmen CD berserenjang dengan tepi AB CD Dan A.A. 1; b) CD Dan A 1B 1.

3. Dengan cara yang betul piramid segi empat SABCD dengan tepi yang sama cari sudut antara pepenjuru A.C. tapak dan tepi sisi S.C..

4. Cari sudut antara tepi silang bagi tetrahedron sekata.

Pilihan 2

1. Dalam kubus A...D 1 cari sudut antara garis: a) B.C. Dan BB 1; b) A 1C 1 dan AD; V) BB 1 dan BD; G) A 1D Dan B.C. 1.

2. Dalam prisma segi tiga sekata A...C 1 A.M.– median asas ABC. Cari sudut antara garis: a) A.M. Dan C 1B 1; b) A.M. Dan A 1C 1.

3. Dalam tetrahedron biasa ABCD titik M– tengah rusuk C.B.. Cari sudut antara garisan A.M. Dan DC.

4. Cari sudut antara tepi tidak bersilang bagi piramid segi tiga sekata.

17. Keserenjangan garis dan satah

Pilihan 1

1. Buktikan bahawa garis berserenjang dengan satah, bersilang dengan pesawat ini.

2. Melalui pusat O segi empat sama ABCD garisan terus dilukis OK, berserenjang dengan satah segi empat sama ini. Buktikan bahawa garis A.K. berserenjang dengan garis lurus BD.

3. Cari lokus titik kepunyaan garisan yang melalui titik tertentu dan berserenjang dengan garis tertentu.

4. Titik M kepunyaan muka sebelah ABD piramid segi tiga ABCD, yang AB =BD Dan AC =CD. Bina bahagian piramid ini dengan satah yang melalui titik itu M dan berserenjang dengan garis AD.

Pilihan 2

1. Langsung a, berserenjang dengan satah a, memotong satah ini pada titik A. Buktikan bahawa garis b, melalui titik itu A dan berserenjang dengan garis a, terletak pada satah a.

2. Melalui titik M- bahagian tengah sebelah AB segi tiga sama sisi ABC garisan terus dilukis M.H., berserenjang dengan satah segi tiga ini. Buktikan keserenjangan garisan AB Dan HC.

3. Diberi garis lurus a dan titik yang bukan miliknya A. Cari lokus garisan yang melalui suatu titik A dan berserenjang dengan garis a.

4. Dalam segi empat tepat selari A...D 1 bina bahagian yang melalui titik K, titik dalaman bahagian pepenjuru A.A. 1C 1C, dan berserenjang dengan garis BB 1.

18. Serenjang dan serong

Pilihan 1

1. Diberi kapal terbang a. Dari titik A dua condong AB= 20 cm dan A.C.= 15 cm Unjuran satah condong yang pertama ke atas satah ini ialah 16 cm.

2. Dari satu titik M, bukan milik satah g, cerun condong yang sama ditarik kepadanya MA,M.B. Dan M.C.. Buktikan bahawa pangkal yang condong tergolong dalam bulatan yang sama. Cari pusatnya.

3. Dari satu titik B dua satah condong 2 cm yang sama dilukis ke satah b. Sudut di antara mereka ialah 600, dan antara unjuran mereka ialah 900. Cari serenjang yang dijatuhkan dari titik B ke kapal terbang b.

4. Diberi sebuah segi tiga dengan sisi 13 cm, 14 cm dan 15 cm M, bukan kepunyaan satah segi tiga ini, adalah 5 cm dari sisi segi tiga Cari serenjang jatuh dari titik M kepada satah segi tiga yang diberi.

Pilihan 2

1. Dari satu titik A ditarik ke satah condong AB= 9 cm dan berserenjang A.O.= 6 cm Cari unjuran serenjang ini pada condong yang diberi.

2. Cari lokus titik dalam ruang yang sama jarak dari semua titik pada bulatan tertentu.

3. Dari titik tertentu, dua cerun condong yang sama dilukis ke satah tertentu, membentuk sudut 600 antara mereka Sudut antara unjuran mereka ialah garis lurus. Cari sudut antara setiap serong dan unjurannya.

4. Titik M dikeluarkan dari setiap bucu segitiga sekata sebanyak cm, dan dari setiap sisi sebanyak 2 cm Cari titik serenjang yang dijatuhkan dari titik itu M kepada satah segi tiga itu.

19. Sudut antara garis lurus dan satah

Pilihan 1

1. Dalam piramid, rusuk sisi adalah sama condong ke satah tapak. Pada titik manakah bahagian atas piramid itu diunjurkan?

2. Dalam kubus A...D A.A. 1 dan kapal terbang AB 1D 1.

3. Satah condong dilukis ke satah a M.H. (H tergolong dalam pesawat a). Buktikan bahawa jika unjuran adalah serong M.H. membentuk sudut yang sama dengan sudut tegak A.H. Dan B.H., berbaring di dalam pesawat a, kemudian condong M.H. membentuk sudut yang sama dengan mereka.

4. Lukis garis lurus ke satah tertentu melalui titik tertentu di atasnya, membentuk sudut 900 dengan satah.

Pilihan 2

1. Buktikan bahawa dalam piramid biasa, tepi sisi adalah sama condong ke satah tapak.

2. Dalam kubus A...D 1 cari kosinus sudut antara tepi A 1D 1 dan kapal terbang AB 1D 1.

3. Satu garisan condong dilukis ke satah b B.P. (P tergolong dalam satah b), yang membentuk sudut yang sama dengan sudut tegak P.E. Dan PF, baring dalam kapal terbang b. Buktikan bahawa sudut dibentuk oleh garis lurus P.E. Dan PF dengan unjuran serong B.P. pada satah b adalah sama.

4. Melalui titik yang bukan milik satah tertentu, lukis satu garis lurus membentuk sudut 900 dengan satah itu.

20. Jarak antara titik, garis dan satah

Pilihan 1

1. Dalam segi tiga tepat ABC(DIV_ADBLOCK16">

4. Dalam kubus A...D 1 dengan rusuk a AB Dan B 1C 1.

Pilihan 2

1. Kaki segi tiga tepat ABC(C= 900) adalah sama dengan 15 cm dan 20 cm Dari atas C sebuah serenjang dilukis pada satah segi tiga itu CD sama dengan 5 cm Cari jarak dari titik itu D kepada hipotenus AB.

2. Dalam kubus unit A...D 1 cari jarak antara bucu D 1 dan: a) atas B; b) tepi AB; c) tepi BB 1C 1C.

3. Dari satu titik K serenjang panjang d dan dua yang condong dilukis, yang sudutnya dengan serenjang ialah 300. Sudut antara yang condong ialah 600. Cari jarak antara tapak yang condong.

4. Dalam kubus A...D 1 dengan rusuk a cari jarak antara tepi silang DC Dan BB 1.

21. Sudut dihedral

Pilihan 1

a. Cari unjuran ortogon ini condong ke atas satah jika sudut antara condong dan satah ialah 300.

2. Dua titik diambil pada satu muka sudut dihedral A Dan B. Serenjang ditinggalkan daripada mereka A.A. 1, BB 1 ke seberang dan A.A. 2, BB 2 setiap tepi sudut dihedral. Cari BB 2 jika A.A. 1 = 6 cm, BB 1 = 3 cm, A.A. 2 = 24 cm.

3. Dua segi empat sama mempunyai sisi biasa dan satahnya membentuk sudut 450. Cari nisbah luas dua rajah di mana unjuran ortogon sisi satu segi empat tepat membahagi yang lain.

4. Buktikan bahawa serenjang yang dilukis dari titik garis tertentu ke atas satah terletak pada satah yang sama dan lokasi geometri tapak serenjang ini ialah garis persilangan satah ini.

Pilihan 2

1. Garis condong yang dilukis pada satah adalah sama dengan a. Cari unjuran ortogon satah condong ini ke atas satah jika sudut antara condong dan satah ialah 600.

2. Dua titik diambil pada satu muka sudut dihedral, jarak 9 cm dan 12 cm dari tepinya Jarak dari titik pertama ke muka lain sudut dihedral ialah 20 cm titik kedua.

3. Dua segi tiga sama kaki mempunyai titik persamaan, dan satah mereka membentuk sudut 600. Tapak sepunya ialah 16 cm, sebelah satu segi tiga ialah 17 cm, dan sisi yang lain adalah berserenjang. Cari jarak antara bucu segitiga yang terletak bertentangan dengan tapak sepunya.

4. Buktikan bahawa titik persilangan unjuran ortogon dua garis pada satah ialah unjuran ortogon bagi titik persilangan garis ini pada satah yang sama.

22. Keserenjangan satah

Pilihan 1

1. Diberi kubus A...D 1. Buktikan keserenjangan satah: a) ABD Dan DCC 1; b) AB 1C 1 dan ABB 1.

2. Melalui garis tertentu yang terletak pada satah tertentu, lukis satah berserenjang dengan satah ini.

Dalam piramid segi tiga biasa SABC dengan bahagian atas S sudut antara tepi sisi dan
satah asas adalah sama dengan 60°, sisi tapak adalah sama 1 , SH- ketinggian piramid.
Cari luas keratan rentas piramid dengan satah yang melalui titik itu N
selari dengan tulang rusuk S.A. Dan B.C..

Tapak ketinggian piramid sekata ialah pusat segi tiga ABC. Pertama kita akan menjalankan
melalui titik N segmen RT, selari dengan tepi Matahari. Titik P dan T tergolong dalam bahagian.

Dalam satah muka ACS melalui titik T jom lukis segmen TK selari dengan tepi AS.

Dalam satah muka ABC melalui titik R jom lukis segmen P.L. selari dengan tepi AS.

Menyambung titik KEPADA Dan L, kami memperoleh bahagian yang dikehendaki. Mari kita buktikan bahawa ini adalah segi empat tepat.

Segmen TK Dan P.L. bukan sahaja selari (masing-masing selari AS), tetapi juga sama.

Jadi ia adalah segi empat KLPT- segi empat selari berdasarkan segi empat selari.
selain itu, TK ⊥ TR, kerana AS⊥CB, dan sisi TK Dan TR selari AS Dan C.B..
Mari kita buktikan AS⊥CB. Anda boleh menggunakan tiga teorem serenjang.
AS- cenderung, AD unjuran serong ini ke ABC, AD⊥CB, Bermaksud, AS⊥CB.

Untuk mencari luas segi empat tepat, anda perlu mencari dan mendarab sisinya.
Perhatikan bahawa sebelah TR ialah dua pertiga daripada sisi tapak BC = 1.
Sisi kedua segi empat tepat TK satu pertiga daripada rusuk sisi AS.
Kita boleh mencari tepi sisi daripada segi tiga SAH, di mana ∠SAH = 60°
(sudut antara tepi sisi dan tapak) dan ∠ASH = 30°, yang bermaksud AS = 2·AN.

Cari panjang ruas itu AN, mengetahui sisi pangkalan, anda boleh melakukannya dengan cara yang berbeza.
Lebih baik lakukan tanpa formula dan pertimbangkan segi tiga tepat ANF.

Mari kita kembali ke segi tiga SAH dan kita akan jumpa rusuk sebelah piramid:

Ia kekal untuk mendarabkan sisi yang ditemui dan mendapatkan luas keratan rentas.

§ 2. KERJA BEBAS

1. Konsep asas dan aksiom stereometri

Kerja bebas N 1

Pilihan 1

1. Lukiskan garis lurus a dan titik A, B Dan C, tidak tergolong dalam barisan ini. Buat nota yang diperlukan.

2. Lukis satah b, mata E, F, kepunyaan dia, tempoh G, yang bukan miliknya. Buat nota yang diperlukan.

3. Lukis garis lurus a, baring dalam kapal terbang a. Buat entri yang diperlukan.

4. Lukiskan dua satah bersilang a dan b. Buat entri yang diperlukan.

Pilihan 2

1. Lukis dua bersilang pada satu titik O lurus a Dan b dan titik A, B, C, dan titik A tergolong dalam barisan a, B tergolong dalam barisan b, titik C tidak tergolong dalam baris yang diberikan.

2. Lukis satah g dan mata yang bukan miliknya K, L dan perkara yang berkaitan dengannya M. Buat nota yang diperlukan.

3. Lukis garis lurus b, bersilang dengan satah b pada titik itu O. Buat entri yang diperlukan.

4. Lukis tiga garisan bersilang a pesawat a, b dan g. Buat entri yang diperlukan.

Kerja bebas N 2

Pilihan 1

1) Sudut pada tapak segi tiga sama kaki adalah sama.

2) Satu garis lurus melalui dua titik dalam ruang.

3) Sudut menegak adalah sama.

4) Jajaran selari ialah segi empat yang sisi bertentangannya selari secara berpasangan.

2. Tentukan kedudukan relatif bagi satah a dan b jika ia mengandungi segi tiga ABC. Wajarkan jawapan anda.

3. Berapakah bilangan satah yang boleh melalui tiga titik?

4. Cari bilangan garisan terbanyak yang melalui pasangan empat titik yang berbeza.

Pilihan 2

1. Daripada ayat berikut, nyatakan aksiom, takrifan, teorem:

1) Jika dua satah mempunyai titik sepunya, maka ia bersilang dalam garis lurus.

2) Garis tengah segitiga ialah segmen yang menghubungkan titik tengah dua sisinya.

3) Untuk garis lurus dan satah di angkasa, aksiom planimetri dipenuhi.

4) Diagonal bagi segi empat selari dibahagikan kepada separuh dengan titik persilangan.

2. Tentukan kedudukan relatif bagi dua satah b dan g jika ia mengandungi titik B Dan C. Wajarkan jawapan anda.

3. Cari bilangan garis terbanyak yang melalui pasangan 5 titik yang berbeza.

4. Cari bilangan satah terbanyak yang melalui triplet berbeza bagi empat mata.

2. Akibat daripada aksiom stereometri

Pilihan 1

1. Dalam satah dua garis bersilang a Dan b mata diberi C, bukan kepunyaan baris ini. Lurus c, berbaring dalam pesawat tertentu, melalui satu titik C. Bagaimanakah garis lurus boleh diletakkan? c berbanding dengan garis lurus ini?

2. Diberi tiga mata yang tidak tergolong dalam baris yang sama. Buktikan bahawa semua garis yang bersilang dua daripada tiga segmen yang menghubungkan titik-titik ini terletak pada satah yang sama.

3. Satah diberi oleh garis lurus c dan satu mata yang bukan miliknya C a, berbeza daripada garisan yang diberikan dan tidak melalui titik yang diberikan.

4. Satah ditakrifkan oleh dua bersilang pada satu titik O lurus a Dan b. Lukis garis lurus c, yang bersilang garis-garis ini dan tidak terletak pada satah yang diberikan.

Pilihan 2

1. Langsung d, terletak pada satah segi tiga itu ABC, melintasi sisinya AB. Apakah kedudukan relatif garisan itu? d Dan B.C.?

2. Dua garis selari dilukis dalam satah a a Dan b. Buktikan bahawa semua garis yang bersilang dengan garis ini terletak pada satah yang sama.

3. Satah ditakrifkan oleh dua bersilang pada satu titik O lurus m Dan n. Bina satu garis lurus dalam satah ini k, berbeza daripada garisan yang diberikan dan tidak melalui titik O.

4. Satah ditakrifkan oleh tiga titik D, E, F, tidak tergolong dalam barisan yang sama. Lukis garis lurus a, yang bersilang sisi DE Dan DF segi tiga DEF dan tidak terletak di dalam pesawat ini.

3. Angka ruang

Pilihan 1

1. Lukiskan prisma pentagonal dan bahagikannya kepada tetrahedron.

2. Tentukan bilangan bucu, tepi dan muka: a) kubus; b) prisma 7-gonal; V) n-piramid arang batu.

3. Tentukan jenis prisma jika ia mempunyai: a) 10 bucu; b) 21 rusuk; c) 5 muka.

4. Bagaimanakah muka prisma 4-gonal boleh diwarnakan supaya muka jiran (berkongsi tepi sepunya) dicat dengan warna yang berbeza? Apakah bilangan warna terkecil yang diperlukan?

Pilihan 2

1. Lukis piramid pentagon dan bahagikannya kepada tetrahedron.

2. Tentukan bilangan bucu, tepi dan muka: a) segi empat tepat selari; b) Piramid 6 segi; V) n- prisma karbon.

3. Tentukan jenis piramid jika ia mempunyai: a) 5 bucu; b) 14 rusuk; c) 9 muka.

4. Bagaimanakah muka oktahedron boleh diwarnakan supaya muka jiran (berkongsi tepi yang sama) dicat dengan warna yang berbeza. Apakah bilangan warna terkecil yang diperlukan?

4. Pemodelan polyhedra

Pilihan 1

1. Lukis beberapa jaringan kubus itu.

2. Lukiskan rajah yang terdiri daripada empat segi tiga sama sisi, yang bukan jaringan bagi tetrahedron sekata.

3. Lukiskan perkembangan piramid segi empat sekata dan warnakannya sedemikian rupa sehingga apabila melekatkan muka bersebelahan mempunyai warna yang berbeza. Apakah bilangan bunga terkecil yang perlu anda ambil?

4. Lukiskan perkembangan segi empat selari dan warnakannya dengan cara yang apabila melekatkan muka bersebelahan mempunyai warna yang berbeza. Apakah bilangan bunga terkecil yang perlu anda ambil?

Pilihan 2

1. Lukis beberapa jaring bagi tetrahedron biasa.

2. Lukiskan rajah yang terdiri daripada enam segi empat sama yang bukan jaringan kubus.

3. Lukiskan perkembangan kiub dan warnakannya sedemikian rupa sehingga apabila melekatkan muka bersebelahan mempunyai warna yang berbeza. Apakah bilangan bunga terkecil yang perlu anda ambil?

4. Lukiskan perkembangan piramid 6-gonal biasa dan warnakannya sedemikian rupa sehingga apabila melekatkan muka bersebelahan mempunyai warna yang berbeza. Apakah bilangan bunga terkecil yang perlu anda ambil?

5. Keselarian garisan dalam ruang

Pilihan 1

1. Tulis dalam piramid 4-gon biasa SABCD semua pasangan tepi selari.

2. Dalam satah dua garis selari a Dan b titik yang diberikan C, bukan kepunyaan baris ini. Melalui titik C garisan terus dilukis c. Bagaimanakah garis lurus boleh diletakkan? c berbanding dengan garis lurus a Dan b.

3. Melalui titik yang bukan kepunyaan garis tertentu, lukiskan garis selari dengan garis ini.

4. Cari lokus bagi garisan yang bersilang dua garis selari yang diberi.

Pilihan 2

1. Tulis empat pasang sisi selari kubus itu A… D 1 .

2. Diberi tiga baris a, b Dan Dengan. Bagaimanakah garis lurus ini boleh diletakkan supaya satah boleh dilukis yang mengandungi semua garis lurus ini?

3. Diberi dua garis selari a Dan b. Buktikan bahawa mana-mana satah yang bersilang dengan salah satu daripadanya juga akan bersilang dengan yang lain.

4. Cari lokus garisan yang selari dengan garis yang diberi dan memotong garis lain yang bersilang dengan yang pertama.

6. Garisan silang

Pilihan 1

1. Dalam kubus A… D 1 tuliskan tepi yang melintasi tepi AB.

2. Tulis pasangan tepi silang bagi piramid 4-gon SABCD.

3. Bagaimanakah garisan terletak secara relatif antara satu sama lain? a Dan b dalam Rajah 1? Wajarkan jawapan anda.

4. Diberi dua garisan senget a Dan b dan titik yang bukan milik mereka C. Membina garis lurus c, melalui titik itu C dan memotong garisan a Dan b.

Pilihan 2

1. Tuliskan tepi yang bersilang dengan tepi S.A. piramid 4-gonal biasa SABCD.

2. Tuliskan tepi yang bersilang pepenjuru B 1 D Cuba A…D 1 .

c(Gamb. 1). Lurus a terletak pada satah a dan memotong garisan c. Adakah mungkin untuk melukis garis selari dengan garis dalam satah b? a? Wajarkan jawapan anda.

4. Adakah terdapat dua garisan selari, yang setiap satunya memotong dua garisan condong yang diberi? Wajarkan jawapan anda.

7. Keselarian garis lurus dan satah

Pilihan 1

1. Tuliskan tepi selari dengan satah muka CC 1 D 1 D prisma yang betul ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 .

2. Langsung a selari dengan satah a; lurus b bersilang satah a pada titik B; lurus c, bersilang garis a Dan b masing-masing pada titik E Dan F, bersilang satah a pada titik C. Buat lukisan. Bagaimanakah garis lurus boleh diletakkan secara relatif antara satu sama lain? a Dan b?

3. Satah a dan b bersilang dalam garis lurus c. titik A tergolong dalam satah a, titik B– kapal terbang b. Membina: a) garis lurus a, terletak di dalam pesawat a, melalui titik itu A dan selari dengan satah b; b) lurus b, terletak dalam satah b yang melalui titik itu B dan selari dengan satah a. Bagaimanakah garis lurus akan diletakkan secara relatif antara satu sama lain? a Dan b?

4. Mata A Dan B tergolong dalam muka sisi sisi piramid yang bersebelahan. Lukiskan dua segmen selari antara satu sama lain melalui titik-titik ini pada muka ini.

Pilihan 2

1. Tuliskan satah bagi muka yang selari dengan tepi CC 1 selari A… D 1 .

2. Langsung a selari dengan satah a; lurus b Dan c, memotong garisan a masing-masing pada titik B Dan C, bersilang satah a masing-masing pada titik D Dan E. Buat lukisan. Bagaimanakah garis lurus boleh diletakkan secara relatif antara satu sama lain? a Dan b?

3. Satah a dan b bersilang dalam garis lurus c. Lurus a terletak pada satah a. Buktikan bahawa jika: a) a bersilang satah b pada titik A, Itu A tergolong dalam barisan c; b) a adalah selari dengan satah b, maka ia selari dengan garis c.

4. Mata A Dan B tergolong dalam muka sisi sisi bersebelahan prisma itu. Lukiskan dua segmen selari antara satu sama lain melalui titik-titik ini pada muka ini.

8. Keselarian dua satah

Pilihan 1

1. Tuliskan satah selari bagi parallelepiped A… D 1 .

2. Adakah kenyataan tersebut benar:

1) Melalui titik yang bukan milik satah tertentu, terdapat melepasi satah tunggal selari dengan satah yang diberi.

2) Jika dua garisan yang terletak dalam satu satah masing-masing selari dengan dua garisan yang terletak pada satah lain, maka satah ini adalah selari.

3) Terdapat banyak garis yang tidak terhingga selari dengan satah tertentu dan melalui titik yang bukan milik satah ini.

4) Jika satu daripada dua satah yang diberi selari dengan dua garis bersilang yang terletak pada satah yang satu lagi, maka satah ini adalah selari.

3. Buktikan bahawa dua satah selari dengan satah ketiga yang sama adalah selari antara satu sama lain.

4. Segmen AB Dan CD terletak pada satah selari a dan b, masing-masing (Rajah 2). Bagaimanakah garis lurus boleh diletakkan secara relatif antara satu sama lain? A.C. Dan BD? Bolehkah mereka selari?

Pilihan 2

1. Dalam piramid segi tiga SABC lukis satah selari dengan tapaknya ABC.

2. Adakah kenyataan tersebut benar:

1) Jika garis yang terletak dalam satu satah selari dengan garis yang terletak pada satah lain, maka satah ini selari.

2) Jika satah memotong dua satah yang diberi sepanjang garis selari, maka satah ini adalah selari.

3) Terdapat tak terhingga banyak satah selari dengan garis tertentu dan melalui titik yang bukan milik garis ini.

4) Jika dua satah selari dengan garis yang sama, maka ia adalah selari.

3. Buktikan bahawa jika satah memotong satu daripada dua satah selari, maka ia juga bersilang dengan yang lain.

4. Segmen AB Dan CD terletak pada satah selari a dan b, masing-masing (Rajah 3). Bagaimanakah garis lurus boleh diletakkan secara relatif antara satu sama lain? AD Dan B.C.? Bolehkah mereka bersilang?

9. Vektor dalam ruang

Pilihan 1

1. Untuk vektor yang diberikan
bina vektor: a) - ; b) 2; V) - .

2. Berapakah bilangan vektor yang ditakrifkan oleh semua pasangan titik yang mungkin terdiri daripada bucu piramid segi empat sekata?

ABCD dan lukiskan vektor: a)
; b)
; V)
.

4. Diberi parallelepiped A… D
; b)
; V)
.

Pilihan 2

1. Untuk vektor yang diberikan bina vektor: a) 3 ; b) -2; V) .

2. Berapakah bilangan vektor yang ditakrifkan oleh semua pasangan titik yang mungkin terdiri daripada bucu prisma segi tiga?

3. Lukiskan tetrahedron biasa ABCD dan lukiskan vektor: a)
; b); V)
.

4. Diberi parallelepiped A… D 1. Cari jumlah vektor: a)
; b); V).

10. Vektor kolinear dan koplanar

Pilihan 1

untuk mendapatkan vektor , sama diarahkan dengan dan | |=1.

2. Diberi dua vektor berarah bertentangan dan , dan | | > | |. Cari arah dan panjang vektor +.

3. Diberi tetrahedron ABCD. Tuliskan tiga pasang bucunya yang mentakrifkan vektor koplanar.

4. Diberi kubus A… D 1. Tulis kembar tiga bagi vektor bukan koplanar dengan permulaan dan berakhir pada bucunya.

Pilihan 2

1. Dengan nombor apakah vektor bukan sifar harus didarab? untuk mendapatkan vektor , berlawanan diarahkan dengan dan | |=2.

2. Diberi dua vektor berarah bertentangan dan , dan | |

3. Diberi tetrahedron ABCD|. Cari arah dan panjang vektor +.

4. Diberi kubus A… D. Tuliskan tiga pasang bucunya yang mentakrifkan vektor bukan koplanar.

11. Pemindahan selari

Pilihan 1

1. Tulis kembar tiga bagi vektor koplanar dengan permulaan dan berakhir pada bucunya. a 1. Bina satu rajah yang diperoleh melalui translasi selari garis
kepada vektor E, jika: a) a, F kepunyaan a bukan milik E Dan F; b) mata a.

tidak tergolong G.H. diterjemahkan ke satu titik M.

3. Bina satu rajah yang diperoleh daripada segi empat sama ABCD pemindahan selari kepada vektor: a)
; b)
.

ABCD pemindahan selari kepada vektor.

Pilihan 2

1. Bina satu rajah yang diperoleh melalui terjemahan selari bulatan dengan pusat pada satu titik O 1. Bina satu rajah yang diperoleh melalui translasi selari garis
, jika: a) titik K tergolong dalam bulatan; b) titik K tidak tergolong dalam kalangan.

2. Nyatakan terjemahan selari, iaitu titik persilangan O dua garis lurus a Dan b diterjemahkan ke satu titik N.

3. Bina satu rajah yang diperoleh daripada segi tiga sekata ABC pemindahan selari kepada vektor: a) ; b)
, mana gunanya M- bahagian tengah sebelah B.C..

4. Bina rajah yang diperoleh daripada tetrahedron ABCD pemindahan selari kepada vektor
.

12. Reka bentuk selari

Pilihan 1

1. Berapa banyak mata yang akan diperolehi dengan unjuran selari bagi dua titik berbeza dalam ruang? Buat lukisan dan justifikasi yang sesuai.

2. Senaraikan sifat-sifat segi empat tepat yang terpelihara semasa reka bentuk selari.

3. Bagaimanakah dua garis lurus harus diletakkan supaya ia diunjurkan ke atas satah menjadi garis lurus dan titik yang bukan milik garis lurus ini?

4. Garis selari a Dan b A, B Dan C ditunjukkan dalam Rajah 4. Lukiskan titik keempat D. Wajarkan jawapan anda.

Pilihan 2

1. Berapa banyak mata yang anda akan dapat apabila mereka bentuk tiga titik berbeza di angkasa? Buat lukisan dan justifikasi yang sesuai.

2. Senaraikan sifat-sifat rombus yang terpelihara semasa reka bentuk selari.

3. Bagaimanakah garis dan titik harus diletakkan supaya ia diunjurkan ke atas satah menjadi garis dan titik kepunyaan garis ini?

4. Garisan bersilang a Dan b memotong satah selari a dan b pada empat titik. Tiga daripada mereka A, B Dan C ditunjukkan dalam Rajah 5. Lukiskan titik keempat D. Wajarkan jawapan anda.

13. Unjuran selari bagi rajah satah

Pilihan 1

1. Lukis unjuran selari bagi segi tiga sama kaki tegak yang terletak pada satah selari dengan satah unjuran.

2. Lukiskan unjuran selari bagi segi tiga sama sisi ABC dan di atasnya bina imej serenjang yang dijatuhkan dari titik M- bahagian tengah sebelah AB ke tepi A.C. Dan B.C..

ABCDEF, mengambil segi empat tepat sebagai angka asal ABDE.

4. Lukiskan unjuran selari bagi segi tiga sama sisi ABC dan bina di atasnya imej serenjang yang dilukis dari titik itu K– titik tengah segmen B.O.(O– tengah segi tiga) ke sisi AB.

Pilihan 2

1. Lukis unjuran selari bagi segi tiga sama sisi yang terletak pada satah selari dengan satah unjuran.

2. Lukiskan unjuran selari bagi segi empat sama ABCD dan padanya bina imej serenjang yang dilukis dari titik E- bahagian tengah sebelah B.C. kepada garis lurus BD Dan A.C..

3. Lukis unjuran selari bagi heksagon sekata ABCDEF, dengan mengambil sebagai angka awal sebuah segi tiga sama sisi ACE.

4. Lukis unjuran selari bagi segi empat tepat ABCD, siapa ada AD = 2AB. Bina imej serenjang yang dijatuhkan daripada bucu C kepada pepenjuru BD.

14. Imej rajah ruang

Pilihan 1

1. Lukiskan piramid segi empat sekata dan ketinggiannya.

2. Lukiskan kubus yang dua mukanya selari dengan satah reka bentuk.

3. Rajah 6 menunjukkan unjuran selari sebuah kubus A… D

4. Diberi tetrahedron ABCD. Kawasan mukanya ADC sama dengan S BDC ke kapal terbang ADC ke arah garis lurus AB.

Pilihan 2

1. Lukiskan piramid segi tiga sekata dan ketinggiannya.

2. Lukiskan kubus yang mukanya tidak selari dengan satah reka bentuk.

3. Rajah 7 menunjukkan unjuran selari sebuah kubus A… D 1. Bagaimanakah kubus itu terletak berbanding dengan satah reka bentuk?

4. Diberi tetrahedron ABCD. Kawasan mukanya ABD sama dengan Q. Cari kawasan unjuran mukanya BDC ke kapal terbang A.D.B. ke arah garis lurus C.M., Di mana M– tengah rusuk AB.

15. Bahagian polyhedra

Pilihan 1

1. Dalam prisma heksagon A… F 1 (Rajah 8) bina titik persilangan garis PQ dengan kapal terbang ABC, di mana mata Q Dan P kepunyaan masing-masing pada tepi sisi prisma itu BB 1 dan DD 1 .

2. Pada tepi sisi prisma segi empat A… D 1 tiga mata diberi K, L, M(Gamb. 9). Bina garis persilangan satah KLM dengan kapal terbang ABC.

3. Bina bahagian kubus dengan satah yang melalui titik-titik itu X, Y, Z, milik masing-masing ke tepi AD, A.A. 1 , BB 1 dan sebagainya AX:XD = 1:2, A 1 Y:YA= 2:1, B 1 Z:ZB = 1:2.

4. Dalam piramid yang betul SABCD bina bahagian yang melalui sisi tapak AD dan tempoh M, kepunyaan tepi tepi S.B..

Pilihan 2

1. Di bahagian rusuk sebelah BB 1 dan E.E. 1 prisma ABCDEA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 mata diberikan sewajarnya F Dan G(Gamb. 10). Bina titik persilangan garis FG dengan kapal terbang ABC.

2. Diberi kubus A… D 1. Pada tulang rusuknya A.A. 1 , CC 1 dan DD 1 tiga mata diberi masing-masing X, Y, Z(Gamb. 11). Bina satu garis persilangan satah XYZ Dan ABC.

3. Dalam prisma segi tiga sekata A… C 1 bina bahagian yang melalui titik K, L Dan M, milik masing-masing ke tepi A.A. 1 , A.C. Dan BB 1 dan sedemikian rupa sehingga: A.K. = K.A. 1 ; AL:L.C. = 1:2 dan B.M. = M.B. 1 .

4. Dalam piramid yang betul SABCD bina bahagian yang melalui pepenjuru A.C. tapak dan selari dengan tepi sisi SD.

16. Sudut antara garis lurus dalam ruang. Keserenjangan garisan

Pilihan 1

1. Dalam kubus A… D AB Dan BB 1 ; b) BD Dan BB 1 ; V) AB 1 dan CC 1 ; G) AB 1 dan CD 1 .

A… C 1 segmen CD berserenjang dengan tepi AB. Cari sudut antara garis: a) CD Dan A.A. 1 ; b) CD Dan A 1 B 1 .

SABCD dengan tepi yang sama cari sudut antara pepenjuru A.C. tapak dan tepi sisi S.C..

4. Cari sudut antara tepi silang bagi tetrahedron sekata.

Pilihan 2

1. Dalam kubus A… D 1 cari sudut antara garis: a) B.C. Dan BB 1 ; b) A 1 C 1 Dan AD; V) BB 1 dan BD; G) A 1 D Dan B.C. 1 .

2. Dalam prisma segi tiga sekata A… C 1 A.M.– median asas ABC. Cari sudut antara garis: a) A.M. Dan C 1 B 1 ; b) A.M. Dan A 1 C 1 .

3. Dalam tetrahedron biasa ABCD titik M– tengah rusuk C.B.. Cari sudut antara garisan A.M. Dan DC.

4. Cari sudut antara tepi tidak bersilang bagi piramid segi tiga sekata.

17. Keserenjangan garis dan satah

Pilihan 1

1. Buktikan bahawa garis yang berserenjang dengan satah memotong satah ini.

2. Melalui pusat O segi empat sama ABCD garisan terus dilukis OK, berserenjang dengan satah segi empat sama ini. Buktikan bahawa garis A.K. berserenjang dengan garis lurus BD.

3. Cari lokus titik kepunyaan garisan yang melalui titik tertentu dan berserenjang dengan garis tertentu.

4. Titik M kepunyaan muka sebelah ABD piramid segi tiga ABCD, yang AB = BD Dan A.C. = CD. Bina bahagian piramid ini dengan satah yang melalui titik itu M dan berserenjang dengan garis AD.

Pilihan 2

1. Langsung a, berserenjang dengan satah a, memotong satah ini pada titik A. Buktikan bahawa garis b, melalui titik itu A dan berserenjang dengan garis a, terletak pada satah a.

2. Melalui titik M- bahagian tengah sebelah AB segi tiga sama sisi ABC garisan terus dilukis M.H., berserenjang dengan satah segi tiga ini. Buktikan keserenjangan garisan AB Dan HC.

3. Diberi garis lurus a dan titik yang bukan miliknya A. Cari lokus garisan yang melalui suatu titik A dan berserenjang dengan garis a.

4. Dalam segi empat tepat selari A… D 1 bina bahagian yang melalui titik K, titik dalaman bahagian pepenjuru A.A. 1 C 1 C, dan berserenjang dengan garis BB 1 .

18. Serenjang dan serong

Pilihan 1

1. Diberi kapal terbang a. Dari titik A dua condong AB= 20 cm dan A.C.= 15 cm Unjuran satah condong yang pertama ke atas satah ini ialah 16 cm.

2. Dari satu titik M, bukan milik satah g, cerun condong yang sama ditarik kepadanya M.A., M.B. Dan M.C.. Buktikan bahawa pangkal yang condong tergolong dalam bulatan yang sama. Cari pusatnya.

3. Dari satu titik B dua satah condong 2 cm yang sama dilukis ke satah b. Sudut di antara mereka ialah 60 0, dan antara unjuran mereka – 90 0. Cari serenjang yang dijatuhkan daripada titik itu B ke kapal terbang b.

4. Diberi sebuah segi tiga dengan sisi 13 cm, 14 cm dan 15 cm M, bukan kepunyaan satah segi tiga ini, adalah 5 cm dari sisi segi tiga Cari serenjang jatuh dari titik M kepada satah segi tiga yang diberi.

Pilihan 2

1. Dari satu titik A ditarik ke satah condong AB= 9 cm dan berserenjang A.O.= 6 cm Cari unjuran serenjang ini pada condong yang diberi.

2. Cari lokus titik dalam ruang yang sama jarak dari semua titik pada bulatan tertentu.

3. Dari titik tertentu, dua cerun condong yang sama dilukis ke satah tertentu, membentuk sudut 60 0 antara mereka. Sudut antara unjuran mereka adalah lurus. Cari sudut antara setiap serong dan unjurannya.

4. Titik M jarak dari setiap bucu segitiga sekata dengan
cm, dan dari setiap sisi - 2 cm Cari serenjang jatuh dari titik M kepada satah segi tiga itu.

19. Sudut antara garis lurus dan satah

Pilihan 1

1. Dalam piramid, rusuk sisi adalah sama condong ke satah tapak. Pada titik manakah bahagian atas piramid itu diunjurkan?

2. Dalam kubus A… D A.A. 1 dan kapal terbang AB 1 D 1 .

3. Satah condong dilukis ke satah a M.H. (H tergolong dalam pesawat a). Buktikan bahawa jika unjuran adalah serong M.H. membentuk sudut yang sama dengan sudut tegak A.H. Dan B.H., berbaring di dalam pesawat a, kemudian condong M.H. membentuk sudut yang sama dengan mereka.

4. Lukis garis lurus ke satah tertentu melalui titik tertentu di atasnya, membentuk sudut 90 0 dengan satah itu.

Pilihan 2

1. Buktikan bahawa dalam piramid biasa, tepi sisi adalah sama condong ke satah tapak.

2. Dalam kubus A… D 1 cari kosinus sudut antara tepi A 1 D 1 dan kapal terbang AB 1 D 1 .

3. Satu garisan condong dilukis ke satah b B.P. (P tergolong dalam satah b), yang membentuk sudut yang sama dengan sudut tegak P.E. Dan PF, baring dalam kapal terbang b. Buktikan bahawa sudut dibentuk oleh garis lurus P.E. Dan PF dengan unjuran serong B.P. pada satah b adalah sama.

4. Melalui titik yang bukan milik satah ini, lukis satu garis lurus membentuk sudut 90 0 dengan satah itu.

20. Jarak antara titik, garis dan satah

Pilihan 1

1. Dalam segi tiga tepat ABC(
C= 90 0) kaki A.C. sama dengan 8 cm Dari atas B sebuah serenjang dilukis pada satah segi tiga ini BD. Jarak antara mata A Dan D bersamaan 10 cm D ke kaki A.C..

2. Dalam kubus unit A… D A dan: a) bahagian atas C 1 ; b) tepi CC 1 ; c) tepi BB 1 C 1 C.

3. Titik M jarak dari semua bucu segitiga tegak a. Hipotenus segitiga adalah sama dengan c. Cari jarak dari titik itu M kepada satah segi tiga yang diberi.

4. Dalam kubus A… D 1 dengan rusuk a AB Dan B 1 C 1 .

Pilihan 2

1. Kaki segi tiga tepat ABC(C= 90 0) adalah sama dengan 15 cm dan 20 cm Dari atas C sebuah serenjang dilukis pada satah segi tiga itu CD sama dengan 5 cm Cari jarak dari titik itu D kepada hipotenus AB.

2. Dalam kubus unit A… D 1 cari jarak antara bucu D 1 dan: a) bahagian atas B; b) tepi AB; c) tepi BB 1 C 1 C.

3. Dari satu titik K serenjang panjang d dan dua yang condong dilukis, yang sudutnya dengan serenjang ialah 30 0. Sudut antara yang condong ialah 60 0. Cari jarak antara tapak yang condong.

4. Dalam kubus A… D 1 dengan rusuk a cari jarak antara tepi silang DC Dan BB 1 .

21. Sudut dihedral

Pilihan 1

a. Cari unjuran ortogon satah condong ini ke atas satah jika sudut antara condong dan satah ialah 30 0.

2. Dua titik diambil pada satu muka sudut dihedral A Dan B. Serenjang ditinggalkan daripada mereka A.A. 1 , BB 1 ke seberang dan A.A. 2 , BB 2 setiap tepi sudut dihedral. Cari BB 2 jika A.A. 1 = 6 cm, BB 1 = 3 cm, A.A. 2 = 24 cm.

3. Dua segi empat sama mempunyai sisi sepunya dan satahnya membentuk sudut 45 0. Cari nisbah luas dua rajah di mana unjuran ortogon sisi satu segi empat tepat membahagi yang lain.

4. Buktikan bahawa serenjang yang dilukis dari titik garis tertentu ke atas satah terletak pada satah yang sama dan lokasi geometri tapak serenjang ini ialah garis persilangan satah ini.

Pilihan 2

1. Garis condong yang dilukis pada satah adalah sama dengan a. Cari unjuran ortogon satah condong ini ke atas satah jika sudut antara condong dan satah ialah 60 0.

2. Dua titik diambil pada satu muka sudut dihedral, jarak 9 cm dan 12 cm dari tepinya Jarak dari titik pertama ke muka lain sudut dihedral ialah 20 cm titik kedua.

3. Dua segi tiga sama kaki mempunyai tapak yang sama, dan satahnya membentuk sudut 60 0. Tapak sepunya ialah 16 cm, sisi satu segi tiga ialah 17 cm, dan sisi yang lain berserenjang. Cari jarak antara bucu segitiga yang terletak bertentangan dengan tapak sepunya.

4. Buktikan bahawa titik persilangan unjuran ortogon dua garis pada satah ialah unjuran ortogon bagi titik persilangan garis ini pada satah yang sama.

22. Keserenjangan satah

Pilihan 1

1. Diberi kubus A… D ABD Dan DCC 1 ; b) AB 1 C 1 dan ABB 1 .

2. Melalui garis tertentu yang terletak pada satah tertentu, lukis satah berserenjang dengan satah ini.

3. Dua satah berserenjang a dan b bersilang dalam garis lurus AB. Lurus CD terletak pada satah a, selari AB dan terletak pada jarak 60 cm daripadanya. titik E tergolong dalam satah b dan terletak pada jarak 91 cm dari AB. Cari jarak dari titik itu E kepada garis lurus CD.

4. Buktikan bahawa garisan a dan satah a, berserenjang dengan satah b yang sama, adalah selari jika garis lurus a tidak terletak pada satah a.

Pilihan 2

1. Diberi kubus A… D 1. Buktikan keserenjangan satah itu: a) A.A. 1 D 1 Dan D 1 B 1 C 1 ; b) A 1 B 1 D Dan BB 1 C 1 .

2. Melalui satah condong, lukis satah berserenjang dengan satah ini.

3. Segmen MN mempunyai hujung pada dua satah berserenjang dan membuat sudut yang sama dengannya. Buktikan bahawa mata M Dan N sama jauh dari garis persilangan pesawat ini.

4. Buktikan bahawa dua satah a dan b adalah selari jika ia berserenjang dengan satah g dan bersilang di sepanjang garis selari.

23*. Reka bentuk pusat

Kerja bebas N 1

Pilihan 1

1. Ke manakah perginya garis lurus selari dengan satah reka bentuk semasa reka bentuk pusat?

2. Angka rata terletak pada satah selari dengan satah reka bentuk dan berada di antara pusat dan satah reka bentuk. Bagaimanakah pekali persamaan antara rajah dan unjurannya ditentukan?

R. Sebuah satah selari dengan tapak dilukis melalui tengah-tengah ketinggian. Cari luas keratan rentas.

4. Dalam piramid segi tiga ABCD(Rajah 12) melalui mata M Dan N, milik masing-masing kepada muka ABD Dan BCD, lukis bahagian selari dengan tepi A.C..

Pilihan 2

1. Dalam kes apakah unjuran pusat dua garisan akan menjadi dua garis selari?

2. Rajah satah terletak pada satah selari dengan satah unjuran. Satah reka bentuk terletak di antara pusat reka bentuk dan satah rajah yang diberikan. Bagaimanakah pekali persamaan antara rajah dan unjurannya ditentukan?

3. Jejari tapak kon adalah sama dengan R. Ia bersilang dengan satah selari dengan tapak dan membahagi ketinggian kon dalam hubungan m:n, mengira dari atas. Cari luas keratan rentas.

4. Dalam piramid segi tiga ABCD(Rajah 13) melalui satu titik M, tergolong dalam ketinggian piramid LAKUKAN, lukis bahagian selari dengan muka BCD.

Kerja bebas N 2

Pilihan 1

1. Langsung mS. Lukis unjuran pusat bahagian garisan tertentu yang terletak pada separuh ruang yang sama dengan titik S relatif kepada satah p.

A… D A.A. 1 C 1 .

3. Lukis unjuran pusat prisma heksagon sekata pada satah selari dengan tapaknya.

4. Diberi piramid segi empat sekata SABCD, yang sudut dihedral pada tapaknya adalah sama dengan 60 0. Cari jarak antara garisan AB Dan S.C., Jika AB= 1.

Pilihan 2

1. Langsung m bersilang dengan satah reka bentuk p dan tidak melalui pusat reka bentuk S. Lukis unjuran pusat bahagian garisan tertentu yang terletak dalam separuh ruang yang berbeza dengan titik S relatif kepada satah p.

2. Lukis unjuran pusat kubus A… D 1 pada satah selari dengan satah AB 1 C 1 .

3. Lukis unjuran pusat prisma heksagon sekata pada satah yang tidak selari dengan tapaknya.

4. Diberi sebuah prisma segi tiga sekata A… C 1, semua tepinya adalah sama dengan 1. Cari jarak antara garisan A.A. 1 dan B.C. 1 .

24. Sudut polihedral

Pilihan 1

1. Tulis dalam keadaan apakah sudut a, b dan g boleh menjadi sudut satah bagi sudut tiga segi tiga.

2. B sudut trihedral semua sudut satah adalah sudut tegak. Di tepinya, segmen 2 cm, 4 cm, 6 cm dibentangkan dari atas dan satah dilukis melalui hujungnya. Cari luas bahagian yang terhasil.

3. Sepanjang berapa garisan satah semua muka sudut tetrahedral bersilang secara berpasangan?

Pilihan 2

1. Dua sudut satah sudut trihedral adalah sama dengan a dan b, dan a > b. Tuliskan had di mana nilai sudut satah ketiga g bagi sudut trihedral tertentu adalah mungkin.

2. Dalam sudut trihedral segala-galanya sudut dihedral– lurus. Dari bucu sudut ini di kawasan dalamannya, satu segmen dilukis yang unjurannya ke tepi adalah sama. a, b Dan c. Cari segmen ini.

3. Sepanjang berapa garisan satah semua muka sudut pentahedral bersilang secara berpasangan?

25*. polyhedra cembung

Pilihan 1

n-prisma arang batu: a) cembung; b) tidak cembung.

2. Lukiskan polihedron cembung dengan 5 bucu.

3. Dalam polihedron cembung, bilangan muka Г diketahui, dan setiap muka mempunyai bilangan sisi yang sama n. Cari bilangan: a) sudut satah (
); b) tepi (P) polihedron yang diberi. Bagaimanakah nombor dan P berkaitan?

4. Polihedron cembung mempunyai bucu B, tepi P dan muka G. Mereka memotongnya m-sudut muka. Cari bilangan bucu, tepi dan muka polihedron yang terhasil.

Pilihan 2

1. Tentukan bilangan bucu (V), tepi (P) dan muka (D) n-piramid arang batu: a) cembung; b) tidak cembung.

2. Lukiskan polihedron cembung dengan 6 bucu.

3. Dalam polihedron cembung, bilangan bucu B diketahui, dan bilangan tepi yang sama menumpu pada setiap bucu m. Cari bilangan: a) sudut satah (); b) tepi polihedron (P) yang diberikan. Bagaimanakah nombor dan P berkaitan?

4. Polihedron cembung mempunyai bucu B, tepi P dan muka T. Kepada beliau n- piramid dibina pada muka arang batu. Cari bilangan bucu, tepi dan muka polihedron baharu.

26*. Teorem Euler

Pilihan 1

1. Lukiskan polihedron tidak cembung yang mana teorem Euler dipegang.

3. Buktikan bahawa dalam mana-mana polihedron cembung dengan bucu B, tepi P dan G menghadapi pegangan ketaksamaan berikut: 3B – 6 R.

4. Cari sisi tapak piramid segi tiga sekata dengan ketinggian h dan tepi sisi b.

Pilihan 2

1. Lukiskan polihedron tidak cembung yang mana teorem Euler tidak dipegang.

2. Buktikan bahawa bagi mana-mana polihedron cembung hubungannya adalah benar

3. Buktikan bahawa dalam mana-mana polihedron cembung dengan bucu B, tepi P dan G menghadapi pegangan ketaksamaan berikut: 3G – 6 P.

4. Cari ketinggian piramid segi tiga sekata dengan sisi tapak a dan ketinggian tepi sisi h.

27. Polihedra biasa

Pilihan 1

1. Lukis: a) perkembangan tetrahedron; b) polihedron dwi kepada hexahedron.

2. Bina bahagian oktahedron dengan satah yang melalui salah satu bucunya dan titik tengah dua tepi selari yang bukan kepunyaan bucu ini. Tentukan jenis bahagian.

3. Menjadi tetrahedron ABCD prisma segi tiga sekata dengan tepi yang sama ditulis sedemikian rupa sehingga bucu salah satu tapaknya berada di tepi sisi AD, BD, CD, dan yang lain - dalam pesawat ABC. Tepi tetrahedron ialah a. Cari tepi prisma itu.

4. Dalam tetrahedron ABCD M– pertengahan ketinggian LAKUKAN tetrahedron, selari dengan satah muka ADC. Tentukan jenis bahagian.

Pilihan 2

1. Lukis: a) perkembangan kubus; b) polihedron dwi kepada tetrahedron.

2. Bina bahagian oktahedron dengan satah melalui dua tepi selarinya. Tentukan jenis bahagian.

3. Sebuah kubus ditulis dalam oktahedron sedemikian rupa sehingga bucunya berada di tepi oktahedron. Tepi oktahedron ialah a. Cari tepi kubus itu.

4. Dalam tetrahedron ABCD lukis bahagian dengan satah yang melalui titik itu M, kepunyaan muka ABC selari dengan satah muka BCD. Tentukan jenis bahagian.

28*. Polyhedra separuh sekata

Pilihan 1

1. Cari bilangan bucu (B), tepi (P) dan muka (D) bagi heksahedron terpenggal.

2. Bagaimanakah seseorang boleh mendapatkan antiprisma 5-gonal?

3. Lukiskan dwi polihedron kepada prisma heksagon sekata.

4. Segitiga biasa ABC dan satu lagi segitiga ADC mempunyai sisi yang sama A.C. dan terletak dalam satah yang berbeza, sudut antaranya ialah 30 0. Puncak D diunjurkan secara ortogon pada satah segi tiga ABC ke pusatnya. Ketinggian segitiga sekata ialah h. Cari sebelah AD segi tiga ADC.

Pilihan 2

1. Cari bilangan bucu (B), tepi (P) dan muka (D) bagi oktahedron yang dipotong.

2. Bagaimanakah seseorang boleh mendapatkan antiprisma segi lapan?

3. Lukiskan dwi polihedron kepada antiprisma 6-gon.

4. Segi empat ABCD dan segi tiga ABE mempunyai sisi yang sama AB dan terletak dalam satah yang berbeza, sudut antaranya ialah 45 0. Puncak E segi tiga diunjurkan secara ortogon pada satah segi empat sama di tengahnya O. Ketinggian E.H. segi tiga adalah sama h. Cari luas unjuran ortogon segi tiga pada satah segi empat sama dan unjuran ortogon bagi segmen itu O.E. kepada satah segi tiga itu.

29*. Polihedra bintang

Pilihan 1

1. Bagaimana untuk mendapatkan bintang Kepler daripada oktahedron?

2. Cari bilangan bucu (B), tepi (P) dan muka (D) bagi dodekahedron berbintang kecil.

3. Bagaimanakah kubus terpenggal diperoleh daripada kubus? Apakah sisinya sama dengan jika tepi kubus itu sama dengan a?

4. Buktikan bahawa jika satah bersilang dengan piramid segi tiga dan selari dengan dua tepi bersilangnya, maka bahagian itu akan menjadi segi empat selari.

Pilihan 2

1. Bagaimana untuk mendapatkan bintang Kepler daripada hexahedron?

2. Cari bilangan bucu (B), tepi (P) dan muka (D) bagi dodekahedron besar.

3. Bagaimanakah kuboctahedron diperoleh daripada kubus? Apakah sisinya sama dengan jika tepi kubus itu sama dengan a?

4. Buktikan bahawa tetrahedron sekata boleh bersilang oleh satah sedemikian rupa sehingga keratan rentas menghasilkan segi empat sama.

30*. Kristal - polyhedron semulajadi

Pilihan 1

1. Lukiskan hablur batu.

2. Lukiskan dodekahedron rombik. Berapakah bilangan bucu, tepi dan mukanya?

3. Cari hasil tambah semua sudut satah bagi hablur spar Iceland.

4. Cari hasil tambah luas semua muka hablur berlian (dalam bentuk kuboctahedron), jika tepinya sama dengan a.

Pilihan 2

1. Lukiskan kristal spar Iceland.

2. Lukiskan dodekahedron rombik. Tentukan bilangan sudut satahnya, sudut dihedral; sudut polihedral dan jenisnya.

3. Cari hasil tambah semua sudut satah bagi hablur garnet.

4. Cari hasil tambah luas semua muka hablur berlian (dalam bentuk oktahedron terpenggal), jika tepinya sama dengan a.

31. Sfera dan bola. Kedudukan relatif sfera dan satah

Pilihan 1

1. Sfera yang jejarinya 10 cm bersilang dengan satah yang terletak pada jarak 9 cm dari pusat. Cari luas keratan rentas.

2. Bahagian bola jejari R r 1 dan r 2. Cari jarak antara pesawat ini jika ia terletak di sepanjang sisi yang berbeza dari pusat.

3. Sisi segi tiga menyentuh sfera. Cari jarak dari pusat sfera ke satah segitiga itu jika jejari sfera itu ialah 5 cm dan sisi segi tiga itu ialah 12 cm, 10 cm, 10 cm.

4. Setiap sisi rombus menyentuh sfera berjejari 10 cm Satah rombus adalah 8 cm dari pusat sfera Cari luas rombus jika sisinya ialah 12.5 cm.

Pilihan 2

1. Sebuah satah dilukis berserenjang dengannya melalui tengah jejari bola. Bagaimanakah luas bulatan besar bola yang diberikan berkaitan dengan luas bahagian yang terhasil?

2. Bahagian bola jejari R dua satah selari mempunyai jejari r 1 dan r 2. Cari jarak antara satah ini jika ia terletak pada bahagian tengah yang sama.

3. Sisi rombus menyentuh sfera berjejari 13 cm Cari jarak dari satah rombus ke pusat sfera jika pepenjuru rombus ialah 30 cm dan 40 cm.

4. Sebuah satah dilukis melalui hujung jejari bola itu, menjadikan 30 0 dengannya. Cari luas keratan rentas sfera dengan satah ini jika jejari sfera itu ialah 6 cm.

32. Polyhedra tertulis dalam sfera

Pilihan 1

1. Senaraikan sifat yang mesti dipenuhi oleh prisma untuk menerangkan sfera di sekelilingnya.

2. Rajah 14 menunjukkan sebuah piramid segi tiga ABCD, yang mempunyai kelebihan D.B. berserenjang dengan satah ABC dan sudut ACB sama dengan 90 0. Cari pusat sfera yang diterangkan di sekeliling piramid ini.

3. Dalam piramid segi empat sekata SABCD bahagian asas ABCD sama dengan 4 cm, sudut dihedral pada tapak 45 0. Cari jejari sfera yang dihadkan itu. Di manakah pusatnya?

4. Jejari sfera yang dihadkan pada prisma segi empat sekata adalah sama dengan R. Cari ketinggian prisma ini, dengan mengetahui bahawa pepenjurunya membentuk sudut a dengan muka sisinya.

Pilihan 2

1. Senaraikan sifat yang mesti dipenuhi oleh piramid untuk menerangkan sfera di sekelilingnya.

2. Rajah 15 menunjukkan sebuah piramid ABCD, yang sudutnya A.D.B., ADC Dan BDC lurus. Cari pusat sfera yang diterangkan di sekeliling piramid ini.

3. Dalam piramid segi tiga biasa SABC pusat sfera yang dikelilingi membahagikan ketinggian kepada bahagian yang sama dengan 6 cm dan 3 cm Cari sisi tapak ABC piramid.

4. Dalam sebuah prisma bersudut 4 sekata, pepenjuru tapak dan pepenjuru muka sisi ialah 16 cm dan 14 cm, masing-masing Cari jejari sfera yang dikelilingi.

33. Polyhedra digambarkan mengelilingi sfera

Pilihan 1

1. Adakah mungkin untuk menulis sfera dalam piramid yang sudut dihedralnya pada tapak adalah sama? Terangkan jawapan anda.

2. Sebuah prisma lurus diterangkan berhampiran sfera, tapaknya ialah rombus dengan pepenjuru 6 cm dan 8 cm Cari luas tapak dan tinggi prisma itu.

3. Sisi tapak piramid segi empat sekata adalah sama dengan a, sudut dihedral pada tapak ialah 60 0. Cari jejari sfera tersurat.

4. Sisi tapak piramid terpotong 4 gonal sekata ialah 1 cm dan 7 cm Tepi sisi condong ke tapak pada sudut 45 0. Cari jejari sfera yang dihadkan itu.

Pilihan 2

1. Apakah sifat yang perlu ada pada prisma segi tiga tegak agar sfera boleh ditulis ke dalamnya?

2. Di dasar piramid terletak sebuah segi tiga sama kaki, setiap satu sudut yang sama adalah sama dengan a dan tapaknya sama dengan a. Muka sisi piramid condong kepada satah tapak pada sudut b. Cari jejari sfera yang tertulis dalam piramid ini.

3. Cari jejari bola yang tertulis dalam piramid yang betul, yang tingginya sama h, dan sudut dihedral pada tapak ialah 45 0.

4. Dalam piramid terpenggal segi tiga sekata, tingginya ialah 17 cm, jejari bulatan berhad di sekeliling tapak ialah 5 cm dan 12 cm Cari jejari sfera yang dikelilingi.

34. Silinder. kon

Pilihan 1

1. Dalam silinder yang jejari tapaknya ialah 4 cm dan tinggi 6 cm, keratan selari dengan paksi dilukis. Jarak antara pepenjuru keratan rentas dan paksi silinder ialah 2 cm Cari luas keratan rentas.

2. Satu bahagian dilukis melalui bahagian atas kon pada sudut 60 0 ke tapaknya. Cari jarak dari pusat tapak kon ke satah keratan jika tinggi kon ialah 12 cm.

3. Titik M tergolong dalam ketinggian kon. titik N tergolong dalam satah pangkal kon, tetapi terletak di luar pangkalan ini. Bina titik persilangan garis MN dengan permukaan kon.

4. Diagonal bahagian paksi kon terpenggal adalah serenjang, tinggi ialah 2 cm Cari luas keratan rentas kon terpotong yang dilukis melalui tengah ketinggian selari dengan tapak.

Pilihan 2

1. Tinggi silinder ialah 15 cm, jejari tapaknya ialah 10 cm Diberi satu ruas yang hujungnya tergolong dalam bulatan kedua-dua tapak dan panjangnya ialah 3
cm Cari jarak antara segmen ini dengan paksi silinder.

2. Satu bahagian dilukis melalui bahagian atas kon itu pada sudut 30 0 kepada ketinggiannya. Cari luas keratan rentas jika tinggi kon itu ialah 3
cm, dan jejari tapak ialah 5 cm.

3. Bahagian paksi dinyatakan dalam kon. mata K Dan L tergolong dalam dua penjana kon yang tidak terletak di bahagian ini. Bina titik persilangan garis KL dengan satah bahagian paksi yang diberikan.

4. Jejari tapak kon terpenggal adalah dalam nisbah 1:3, generatriks membuat sudut 45 0 dengan satah tapak, tingginya ialah h. Cari luas tapak.

35. Pusing. Angka putaran

Pilihan 1

1. Lukiskan bentuk yang diperoleh dengan memutarkan segi empat sama ABCD mengelilingi garis lurus a, melalui bucu B BD.

2. Lukiskan rajah yang diperoleh dengan memutarkan bulatan mengelilingi tangen.

3. Lengkung diberikan oleh persamaan y = dosa x, 0 x hlm. Lukiskan bentuk yang akan terhasil apabila lengkung ini diputarkan di sekeliling paksi Oy.

4. Satah melalui paksi silinder, dan luas bahagian paksi silinder berkaitan dengan luas tapaknya sebagai 4: p. Cari sudut antara pepenjuru bahagian paksi.

Pilihan 2

1. Lukiskan bentuk yang diperoleh dengan memutarkan belah ketupat ABCD mengelilingi garis lurus a, melalui bucu C dan pepenjuru berserenjang A.C..

2. Lukiskan rajah yang diperoleh dengan memutarkan bulatan mengelilingi kord yang bukan diameter.

3. Lengkung diberikan oleh persamaan y =
, 0 x 4. Lukiskan bentuk yang akan diperolehi dengan memutarkan lengkung ini mengelilingi paksi lembu.

4. Tinggi kon ialah 20 cm, sudut di antaranya dan generatrik ialah 60 0. Cari luas keratan rentas yang dilukis melalui dua penjanaan kon yang saling berserenjang.

36. Silinder bersurat dan berbatas

Pilihan 1

1. Sebuah silinder ditulis dalam sfera berjejari 10 cm, pepenjuru keratan paksinya condong pada satah tapak pada sudut 30 0 . Cari ketinggian silinder dan jejari tapaknya.

2. Cari jejari tapak silinder yang dihadkan tentang sfera jejari R.

r, sebuah prisma segi tiga sekata ditulis. Cari luas keratan rentas prisma yang melalui paksi silinder dan tepi sisi prisma itu.

r, sebuah prisma segi empat sekata diterangkan. Cari kawasan mukanya.

Pilihan 2

1. Sebuah silinder ditulis dalam sfera, yang generatriknya ialah 8 cm dan pepenjuru keratan paksi itu condong ke satah tapak pada sudut 60 0. Cari jejari sfera dan tapak silinder itu.

2. Cari generatriks silinder yang dihadkan tentang sfera jejari R.

3. Ke dalam silinder sama sisi (ketinggian sama dengan diameter tapak), jejarinya sama dengan r, sebuah prisma segi empat tepat ditulis. Cari luas keratan rentas prisma yang melalui paksi silinder dan tepi sisi prisma itu.

4. Berhampiran silinder sama sisi yang jejari tapaknya ialah r, sebuah prisma segi tiga sekata diterangkan. Cari kawasan mukanya.

37*. Bahagian silinder oleh satah. Ellipse

Pilihan 1

1. Lukiskan silinder dan elips, iaitu persilangan permukaan sisi silinder dengan satah membentuk sudut 45 0 dengan tapak silinder.

2. Permukaan sisi silinder bersilang dengan satah membentuk sudut 30 0 dengan paksi silinder. Cari paksi utama elips yang diperolehi dalam keratan rentas jika jejari tapak silinder itu sama dengan R.

3. Satah memotong permukaan sisi silinder dan membentuk sudut 30 0 dengan satah tapak. Cari jarak antara fokus elips yang diperoleh dalam keratan rentas jika jejari tapak silinder ialah 3 cm.

R, bersilang dengan satah membentuk sudut 45 0 dengan tapak silinder. Cari jumlah jarak dari titik elips yang diperoleh dalam bahagian ke fokus.

Pilihan 2

1. Lukiskan silinder dan elips, iaitu persilangan permukaan sisi silinder dengan satah membentuk sudut 60 0 dengan tapak silinder.

2. Pada sudut apakah kepada satah tapak silinder mesti satah dilukis untuk mendapatkan elips di bahagian permukaan sisi, paksi utama yang dua kali lebih besar daripada yang kecil?

3. Satah memotong permukaan sisi silinder dan membentuk sudut 45 0 dengan satah tapak. Cari jarak antara fokus elips yang diperolehi dalam keratan rentas jika jejari tapak silinder ialah 2 cm.

4. Silinder yang jejari tapaknya ialah R, bersilang dengan satah membentuk sudut 30 0 dengan tapak silinder. Cari jumlah jarak dari titik elips yang diperoleh dalam bahagian ke fokus.

38. Kon bertulis dan berbatas

Pilihan 1

1. Sebuah kon ditulis dalam sfera berjejari 4 cm. Cari tinggi kon ini dan jejari tapaknya jika sudut pada puncak keratan paksi ialah 60 0 .

2. Jejari tapak kon adalah sama dengan r, generatriks condong ke satah tapak pada sudut 60 0. Cari jejari sfera yang tertulis dalam kon itu.

3. Adakah mungkin untuk dimuatkan ke dalam kon piramid 4-gonal yang sudut tapaknya berkaitan secara konsisten sebagai: a) 1:5:9:7; b) 4:2:5:7?

4. Tapak piramid ialah trapezoid sama kaki dengan tapak 8 cm dan 18 cm; Sudut dihedral di dasar piramid adalah sama. Sebuah kon ditulis dalam piramid. Cari jejari tapak kon dan ketinggiannya jika tepi sisi piramid yang lebih kecil membentuk sudut 60 0 dengan sisi trapezium yang lebih kecil.

Pilihan 2

1. Dalam sebuah kon, generatriks ialah 15 cm dan membuat sudut 60 0 dengan tapak. Cari jejari sfera yang dihadkan itu.

2. Sebuah sfera ditulis dalam sebuah kon, yang jejarinya ialah R. Cari jejari tapak kon itu jika sudut pada puncak keratan paksi ialah 60 0 .

3. Adakah mungkin untuk menggambarkan piramid 4-gonal berhampiran kon, di mana sisi tapak secara konsisten berkaitan sebagai: a) 5: 6: 8: 7; b) 3:10:15:7?

4. Tapak piramid ialah segi tiga tegak; rusuk sisi adalah sama antara satu sama lain, dan muka sebelah, melalui kaki, buat sudut 30 0 dan 60 0 dengan tapak. Sebuah kon diterangkan di sekeliling piramid sedemikian rupa sehingga mereka mempunyai ketinggian yang sama. Cari jejari tapak kon jika ketinggian piramid itu ialah h.

39*. Bahagian kon

Pilihan 1

1. Generatriks kon itu condong pada satah tapaknya pada sudut 60 0. Jejari tapak kon adalah sama dengan R. Sebuah satah dilukis melalui pusat tapak pada sudut 60 0 terhadap satah tapak. Cari jejari sfera yang tertulis dalam permukaan kon dan tangen pada satah ini.

2. Lukiskan kon dan satah yang bersilang dengan permukaan kon di sepanjang elips.

3. Sudut pada puncak keratan paksi kon ialah 90 0. Pada sudut yang manakah kepada satah tapak kon itu hendaklah satah itu dilukis untuk mendapatkan dalam bahagian permukaan kon: a) elips; b) parabola; c) hiperbola?

4. Sudut antara paksi kon dan generatriknya ialah 45 0. Melalui satu titik generatrik, dijarakkan dari bucu kon pada satu jarak a, satah dilukis berserenjang dengan generatrik ini. Cari jarak antara fokus dan direktriks parabola yang terhasil daripada bahagian permukaan kon oleh satah ini.

Pilihan 2

1. Sudut pada puncak keratan paksi kon ialah 90 0. Melalui titik generatrix, dijarakkan dari bucu kon pada satu jarak a, satah dilukis berserenjang dengan generatrik ini. Cari jejari sfera yang ditulis dalam tangen permukaan kon pada satah ini.

2. Lukiskan kon dan satah yang bersilang dengan permukaan kon di sepanjang parabola.

3. Generatriks kon itu condong pada satah tapaknya pada sudut 60 0. Pada sudut mana kepada satah tapak mesti satah itu dilukis untuk mendapatkan dalam bahagian permukaan kon: a) elips; b) parabola; c) hiperbola?

4. Sudut pada puncak keratan paksi kon ialah 30 0 . Melalui satu titik generatrik, dijarakkan dari bucu pada satu jarak b, satah dilukis berserenjang dengan generatrik ini. Cari paksi utama elips yang terhasil daripada bahagian permukaan kon oleh satah ini.

40. Simetri angka ruang

Pilihan 1

1. Untuk dua titik dalam ruang, cari titik yang mempunyai simetri tengah.

2. Bina satu garisan yang bercermin simetri kepada garisan yang diberi berbanding dengan satah yang diberi a. Pertimbangkan kes yang berbeza.

3. Buktikan bahawa dengan simetri paksi, satah berserenjang dengan paksi berubah menjadi dirinya sendiri.

4. Cari unsur simetri bagi prisma segi tiga sekata.

Pilihan 2

1. Untuk dua titik dalam ruang, cari garis yang relatif dengannya yang simetri.

2. Bina satah simetri berpusat kepada satah yang diberi berbanding dengan titik O. Pertimbangkan kes yang berbeza.

3. Buktikan bahawa dengan simetri paksi, garis lurus berserenjang dengan paksi berubah menjadi garis lurus juga berserenjang dengan paksi.

4. Cari unsur simetri bagi piramid 6 mata sekata.

41. Pergerakan

Pilihan 1

1. Buktikan bahawa komposisi dua pergerakan (perlaksanaan berurutan mereka) adalah pergerakan.

A Cuba A… D 1 ke atas C 1 .

A tetrahedron biasa ABCD ke atas C.

4. Apakah jenis pergerakan gubahan (sequential execution) dua simetri paksi dengan paksi selari?

Pilihan 2

1. Buktikan bahawa penjelmaan songsang kepada gerakan juga adalah gerakan.

2. Cari pergerakan yang menggerakkan bahagian atas B 1 kiub A… D 1 ke atas D.

3. Cari pergerakan yang menggerakkan bahagian atas D tetrahedron biasa ABCD ke atas B.

4. Apakah jenis pergerakan gubahan (pelaksanaan berurutan) dua simetri pusat?

42*. Orientasi permukaan. Jalur Mobius

Pilihan 1

1. Berapa banyak sisi permukaan mempunyai: a) piramid; b) prisma; c) jalur Möbius dua kali dipintal?

2. Lukiskan jalur Mobius.

a, b(a b) dengan melekatkan sisi panjang a. Apakah luas permukaan jalur Mobius?

4. Adakah mungkin untuk melekatkan permukaan satu sisi daripada heksagon?

Pilihan 2

1. Berapa banyak sisi permukaan mempunyai: a) kon; b) silinder; c) Jalur Mobius?

2. Lukiskan jalur Möbius dua kali dipintal.

3. Jalur Mobius diperoleh daripada segi empat tepat dengan sisi a, b(a b) dengan melekatkan sisi panjang a. Berapakah panjang tepi jalur Mobius?

4. Adakah mungkin untuk melekatkan permukaan satu sisi daripada oktagon?

43. Isipadu angka dalam ruang. Isipadu silinder

Pilihan 1

1. Bahagian paksi silinder bulat tegak ialah segi empat sama dengan sisi 3 cm Cari isipadu silinder itu.

2. Daripada kubus A… D 1, yang tepinya bersamaan dengan 1, 4 prisma segi tiga dipotong oleh satah yang melalui titik tengah sisi bersebelahan muka ABCD, selari dengan tepi A.A. 1. Cari isipadu bahagian kubus yang tinggal.

3. Sebuah prisma segi tiga tegak bersilang dengan satah yang melalui tepi sisi dan membahagikan luas muka sisi yang bertentangan dengannya. m:n. Dalam nisbah apakah isipadu prisma itu dibahagikan?

4. Tapak selari kanan ialah rombus, pepenjurunya dalam nisbah 5:2. Mengetahui bahawa pepenjuru bagi parallelepiped ialah 17 dm dan 10 dm, cari isipadu parallelepiped.

Pilihan 2

1. Diagonal keratan paksi silinder ialah 2 cm dan condong pada satah tapak pada sudut 60 0. Cari isipadu silinder itu.

2. Kelantangan betul prisma heksagon sama V. Tentukan isipadu prisma yang bucunya ialah titik tengah sisi tapak prisma ini.

3. Dalam nisbah apakah isipadu prisma segi tiga tegak dibahagikan dengan satah yang melalui garis tengah tapak?

4. Tapak selari tegak ialah rombus, pepenjurunya ialah 1 dm dan 7 dm. Mengetahui bahawa pepenjuru bagi selari adalah dalam nisbah 13:17, cari isipadu selari.

44. Prinsip Cavalieri

Pilihan 1

1. Adakah benar dua kon yang mempunyai tapak dan ketinggian yang sama adalah sama saiz?

1. Cari isipadu prisma condong yang luas tapaknya sama dengan S, dan tepi sisi b condong kepada satah tapak pada sudut 60 0.

3. Dalam parallelepiped condong, dua muka sisi mempunyai luas S 1 dan S 2, kelebihan sepunya mereka adalah sama a, dan mereka membentuk sudut dihedral 150 0 antara mereka sendiri. Cari isipadu paip selari.

4. Dalam prisma segi tiga condong, luas salah satu muka sisi adalah sama dengan Q, dan jarak daripadanya ke tepi bertentangan ialah d. Cari isipadu prisma itu.

Pilihan 2

1. Adakah benar dua piramid dengan tapak yang sama dan ketinggian yang sama adalah sama saiz?

2. Cari isipadu silinder condong yang jejari tapaknya ialah R, dan tepi sisi b condong kepada satah tapak pada sudut 45 0.

3. Dalam paip selari condong, tapak dan muka sisi ialah segi empat tepat dan luasnya masing-masing ialah 20 cm 2 dan 24 cm 2. Sudut antara satah mereka ialah 30 0. Satu lagi muka parallelepiped mempunyai luas 15 cm 2. Cari isipadu paip selari.

4. Dalam prisma segi tiga condong, dua muka sisi berserenjang dan mempunyai tepi sepunya sama dengan a. Kawasan muka ini adalah sama S 1 dan S 2. Cari isipadu prisma itu.

45. Isipadu piramid

Pilihan 1

1. Piramid yang isipadunya sama dengan V, dan di tapaknya terletak sebuah segi empat tepat, bersilang oleh empat satah, setiap satunya melalui bahagian atas piramid dan titik tengah sisi bersebelahan tapak. Cari isipadu bahagian baki piramid itu.

2. Tapak piramid ialah segi tiga sama sisi dengan sisi yang sama dengan 1. Dua muka sisinya berserenjang dengan satah tapak, dan yang ketiga membentuk sudut 60 0 dengan tapak. Cari isipadu piramid itu.

3. Di pangkal primordium terletak segitiga tegak, salah satu kakinya adalah 3 cm, dan yang bersebelahan sudut akut sama dengan 30 0 . Semua tepi sisi piramid condong ke satah tapak pada sudut 60 0. Cari isipadu piramid itu.

4. Pusat muka kubus yang tepinya sama dengan 2 a, berfungsi sebagai bucu oktahedron. Cari isipadunya.

Pilihan 2

1. Cari isipadu piramid segiempat sama sekata jika bahagian pepenjurunya ialah segi tiga sekata dengan sisi bersamaan dengan 1.

2. Tapak piramid ialah segi empat tepat, satu muka sisi berserenjang dengan satah tapak, dan tiga muka sisi yang lain condong ke satah tapak pada sudut 60 0. Tinggi piramid ialah 3 cm Cari isipadu piramid itu.

3. Muka sisi piramid, pada dasarnya terletak sebuah rombus, condong pada satah tapak pada sudut 30 0. Diagonal bagi sebuah rombus ialah 10 cm dan 24 cm Cari isipadu piramid itu.

4. Ke dalam kubus dengan tepi sama dengan a, tetrahedron biasa ditulis sedemikian rupa sehingga bucunya bertepatan dengan empat bucu kubus. Cari isipadu tetrahedron.

46. ​​Isipadu kon

Pilihan 1

1. Diameter tapak kon ialah 12 cm, dan sudut pada puncak keratan paksi ialah 90 0. Cari isipadu kon itu.

2. Dua kon mempunyai ketinggian sepunya dan tapak selari. Cari isipadu bahagian sepunyanya jika isipadu setiap kon adalah sama dengan V.

3. Ke dalam kon yang isipadunya sama dengan V, sebuah silinder ditulis. Cari isipadu silinder jika nisbah diameter tapak kon dan silinder ialah 10:9.

4. Setiap tepi piramid 4-gonal sekata adalah sama dengan a. Satah yang selari dengan satah asas piramid memotong piramid yang dipotong daripadanya. Cari isipadu piramid terpotong jika sisi bahagian itu sama dengan b.

Pilihan 2

1. Bahagian paksi kon ialah segi tiga sama kaki dengan luas 9 cm 2. Cari isipadu kon itu.

2. Kon yang lain dituliskan ke dalam kon sedemikian rupa sehingga pusat pangkal kon yang tertulis membahagikan ketinggian kon ini dalam nisbah 3:2, mengira dari bucu kon, dan bucu kon yang tertulis. kon terletak di tengah-tengah pangkal kon ini. Cari nisbah isipadu kon yang diberi dan tersurat.

3. Buktikan bahawa jika dua kon yang sama mempunyai ketinggian sepunya dan satah tapak selari, maka isipadu bahagian sepunyanya adalah sama dengan isipadu setiap satunya.

4. Jejari tapak kon terpenggal ialah 3 cm dan 5 cm Cari nisbah isipadu bahagian kon terpotong yang mana ia dibahagikan dengan bahagian tengah.

47. Isipadu bola dan bahagiannya

Pilihan 1

1. Cari nisbah isipadu sfera kepada isipadu kubus yang tertulis di dalamnya.

2. Cari nisbah isipadu sfera kepada isipadu oktahedron yang diterangkan di sekelilingnya.

3. Sebuah satah dilukis dalam bola, berserenjang dengan diameter dan membahagikannya kepada bahagian yang sama dengan 3 cm dan 9 cm Cari isipadu bahagian bola itu.

4. Jejari sektor sfera R, sudut dalam bahagian paksi ialah 120 0. Cari isipadu sektor sfera.

Pilihan 2

1. Cari nisbah isipadu sfera kepada isipadu oktahedron yang tertulis di dalamnya.

2. Cari nisbah isipadu sfera kepada isipadu kubus yang dihadkan di sekelilingnya.

3. Dalam sebiji bola berjejari 13 cm, dua bahagian selari yang sama jejari 5 cm dilukis pada sisi bertentangan pusat Cari isipadu lapisan sfera yang terhasil.

4. Cari isipadu sektor sfera jika jejari bulatan tapaknya ialah 60 cm dan jejari sfera itu ialah 75 cm.

48. Luas permukaan

Pilihan 1

1. Satah yang melalui sisi tapak prisma segi tiga sekata dan tengah tepi bertentangan membentuk sudut 45 0 dengan tapak, dan sisi tapak adalah sama dengan a. Cari luas sisi dan jumlah luas permukaan prisma itu.

2. Tapak piramid ialah segi empat sama, sisinya sama dengan a. Dua muka piramid itu berserenjang dengan tapak, dan dua muka sisi yang selebihnya condong kepadanya pada sudut 60 0. Cari luas permukaan sisi piramid.

3. Dalam prisma segi empat sekata, sisi tapak adalah sama dengan b; bahagian yang dilukis melalui sisi bertentangan tapak membuat sudut j dengan satah tapak. Cari luas permukaan sisi silinder yang dihadkan di sekeliling prisma yang diberi.

4. Sudut pada puncak keratan paksi kon ialah 60 0; segi empat sama bulatan hebat, tertulis dalam kon bola ini, adalah sama dengan Q

Pilihan 2

1. Dalam prisma bersudut 4 sekata, sisi tapak adalah sama dengan a. Sebuah satah yang dilukis melalui sisi bertentangan tapak membuat sudut 60 0 dengan salah satu daripadanya. Cari luas sisi dan jumlah luas permukaan prisma itu.

2. Dua muka sisi piramid segi tiga berserenjang dengan tapaknya; ketinggian piramid ialah h; sudut satah pada bucu ialah 60 0, 60 0 dan 90 0. Cari luas permukaan sisi piramid.

3. Dalam prisma segi tiga sekata, tepi sisi adalah sama dengan b; ruas yang menghubungkan tengah tepi sisi dengan pusat tapak membuat sudut j dengan tapak. Cari luas permukaan sisi silinder yang tertulis dalam prisma ini.

4. Dalam sebuah kon, generatrik membuat sudut 60 0 dengan tapak; Luas bulatan besar bola yang dihadkan ialah Q. Cari jumlah luas permukaan kon itu.

49. Luas permukaan bola dan bahagiannya

Pilihan 1

1. Buktikan bahawa jumlah luas permukaan kon sama sisi (bahagian paksi ialah segitiga sama sisi) adalah sama dengan luas permukaan bola dengan diameter ketinggian kon.

2. Cari luas permukaan bola yang ditulis dalam silinder sama sisi (bahagian paksi ialah segi empat sama), pepenjuru bahagian paksi yang sama dengan a.

3. Jejari tapak tali pinggang sfera ialah 10 cm dan 12 cm, dan tingginya ialah 11 cm Cari luas permukaan tali pinggang sfera.

4. Jejari segmen sfera adalah sama dengan R, lengkok bahagian paksi ialah 90 0. Cari jumlah luas permukaan segmen itu.

Pilihan 2

1. Buktikan bahawa jika kon sama sisi (bahagian paksi ialah segi tiga sama sisi) dan hemisfera mempunyai tapak sepunya, maka luas permukaan sisi kon adalah sama dengan luas permukaan hemisfera.

2. Cari nisbah luas permukaan dua bola, satu daripadanya ditulis, dan yang kedua dihadkan tentang silinder sama sisi (bahagian paksi ialah segi empat sama).

3. Jejari bola ialah 25 cm Cari luas bahagian di mana permukaan bola itu dibahagikan dengan keratan yang luasnya ialah 49p cm 2.

4. Ketinggian ruas bola ialah h, lengkok keratan paksi adalah sama dengan 120 0. Cari jumlah luas permukaan segmen itu.

50. Sistem koordinat segi empat tepat dalam ruang

Pilihan 1

1. Bina mata menggunakan koordinat: A(1,2,3); B(-2,0,3); C(0,0,-4); D(3,-1,0).

2. Antara perkara ini K(-6,0,0), L(10,-5,0), M(0,6,0), N(7,-8,0), P(0,0,-20), Q(0,11,-2) cari yang tergolong dalam: a) paksi Oy; b) paksi Oz; c) kapal terbang Oxy; d) kapal terbang Oyz.

3. Cari koordinat tapak serenjang yang ditinggalkan daripada titik yang diberi E(6,-2,8) dan F(-3,2,-5) pada: a) paksi lembu; b) kapal terbang.

G.H., Jika G(2,-3,5), H(4,1,-3).

Oxz(8,0,6), V U Oyz(20.-14.0) relatif kepada: a) kapal terbang lembu.

Pilihan 2

; b) paksi E(-1,2,0); F(1,0,-4); G(2,3,-1); H(0,-2,0).

1. 1. Bina mata menggunakan koordinat: A(0,-1,0), B(0,1,-3), C(4,0,0), D(0,0,-5), E(-1,0,7), F 2. Antaranya lembu; b) paksi Oy; c) kapal terbang Oyz; d) kapal terbang b) kapal terbang.

(0,10,10) cari yang tergolong dalam: a) paksi M 3. Cari koordinat tapak serenjang yang dijatuhkan daripada titik N(9,-1,-6) dan Oz; Oxy.

(-12,5,8) pada: a) paksi G.H., Jika G(3,-2,4), H(5,2,-6).

4. Cari koordinat titik tengah segmen P(0,0,5), V 5. Cari koordinat titik simetri kepada titik Oxy(20.-14.0) relatif kepada: a) kapal terbang Oy.

(0,-1,-2) berbanding: a) satah

Pilihan 1

A(2,3,4), B(1,2,3), C 51. Jarak antara titik dalam ruang

Oz M(3,4,5) dengan bucu segi tiga. N(3,0,4).

C(-1,-2,0) dan K(1,-4,3).

x 2 + 8y + y 2 + (-2,0,3) dan: a) jejari; b) melalui satu titik 2 – 6x =0.

z x 2 + y 2 + (-2,0,3) dan: a) jejari; b) melalui satu titik 2 +4x – 2y 5. Sfera Oyz

Pilihan 2

=0 bersilang oleh satah E(-4,-5,-6), F(-1,-2,-3), G 1. Tentukan sama ada mata adalah

(-2,-3,-4) dengan bucu segi tiga. Oy 2. Cari koordinat titik kepunyaan paksi K dan sama jauh dari titik L(4,-1,3).

(1,3,0) dan C 3. Tuliskan persamaan sfera dengan pusat pada satu titik H(2,-3,5).

(0,-5,6) dan: a) jejari 10; b) melalui satu titik x 2 + y 2 + (-2,0,3) dan: a) jejari; b) melalui satu titik 2 – 8(-2,0,3) dan: a) jejari; b) melalui satu titik - 20 =0.

z x 2 + y 2 + (-2,0,3) dan: a) jejari; b) melalui satu titik 2 +2x – 6(-2,0,3) dan: a) jejari; b) melalui satu titik 5. Sfera Oxy 4. Cari koordinat pusat dan jejari sfera yang diberikan oleh persamaan

. Cari koordinat pusat dan jejari bulatan yang terletak di bahagian itu.

Pilihan 1

52. Koordinat vektor + 3 - 4 1. Cari koordinat bagi vektor: a) 2

; b) -5 + 10 ; c) - + . A(0,-5,1), B 2. Cari panjang vektor: a) (1,-2,10); b) jika

(2,0,-8); c) + jika (6,2,-6), (2,-2,0). C 3. Cari koordinat titik itu
(-5,6,8), D, jika: a) D(-13, ,6),
(-5,0,0).

(0,-1,2); b) x, y, (-2,0,3) dan: a) jejari; b) melalui satu titik 4. Cari nombor =
, supaya kesaksamaan dipegang (-5,2,-4).

Pilihan 2

, jika (5,-2,0), (0,2,-6), (-5,0,-8),

1. Cari koordinat bagi vektor: a) 3 - 4 + 2 ; b) -2 - ; V) - . M(0,-5,1), N 2. Cari panjang vektor: a) (0,-3,2); b) jika

(2,0,-8); c) + jika (6,2,-6), (2,-2,0). E(2,0,-8); c) - jika (0,-2,6), (-5,0,3). F, jika: a) (0,-3,11), F(5,0,-9),
(-2,4,-6).

(0,-1,2); b) (5,-1,0); b), u, v w
, supaya persamaan = (10,-3,2), (0,1,2).

, jika (-30.6,-12), (5,-6.0),

Pilihan 1

53. Hasil darab titik bagi vektor 1. Kenal pasti tanda produk titik vektor dan jika sudut

antara mereka memenuhi ketaksamaan: a) 0 0 2. Sudut antara vektor dan sama dengan 90 0. kenapa sama dengan sudut

+
+
= 0.

antara vektor: a) - dan ; b) - dan ? ABCD 4. Dalam tetrahedron biasa
; b)
; V)
dengan tepi sama dengan 1, cari hasil darab skalar: a) H Dan QA.C. Dan BD.

Pilihan 2

, Di mana

1. Tentukan dalam jarak berapakah sudut antara vektor dan terletak jika: a) > 0.
2. Sudut antara vektor dan

sama dengan 90 0. Apakah sudut antara vektor: a) dan - ; b) - dan - ?
=
.

antara vektor: a) - dan ; b) - dan ? ABCD dengan kelebihan sama dengan a, cari hasil darab skalar: a)
; b)
; V)
dengan tepi sama dengan 1, cari hasil darab skalar: a) E Dan F– bahagian tengah rusuk, masing-masing B.C. Dan AD.

54. Persamaan satah di angkasa

Pilihan 1

H(-3,0,7) dan berserenjang dengan vektor dengan koordinat (1,-1,3).

2. Cari koordinat titik persilangan satah 2 x – y + 3(-2,0,3) dan: a) jejari; b) melalui satu titik– 1 = 0 dengan paksi: a) absis; b) selaras.

B(3,-2,2) dan: a) selari dengan satah Oyz; b) berserenjang dengan paksi lembu.

M(5,-1,3) dan berserenjang dengan vektor jika N(0,-2,1).

Pilihan 2

1. Tuliskan persamaan satah yang melalui titik itu P(5,-1,0) dan berserenjang dengan vektor dengan koordinat (0,-6,10).

2. Cari koordinat titik persilangan satah itu x + 4y - 6(-2,0,3) dan: a) jejari; b) melalui satu titik– 7 = 0 dengan paksi: a) ordinat; b) memohon.

3. Tulis persamaan satah jika ia melalui titik itu C(2,-4,-3) dan: a) selari dengan satah b) kapal terbang; b) berserenjang dengan paksi Oy.

4. Tuliskan persamaan satah yang melalui titik itu E dan berserenjang dengan vektor (4,-5,0), jika F(3,-1,6).

55*. Persamaan garis dalam ruang

Pilihan 1

1. Cari nilai d, yang mana garis lurus

melintasi paksi Oz.

agar garis lurus: a) selari dengan paksi lembu; b) berbaring di dalam kapal terbang b) kapal terbang; c) melintasi paksi Oy.

dengan satah koordinat.

Pilihan 2

1. Cari nilai b Dan d, yang mana garis lurus

bersilang dengan kapal terbang Oxy.

2. Cari syarat yang mesti dipenuhi oleh pekali dalam persamaan garis

agar garis lurus: a) bertepatan dengan paksi Oz; b) adalah selari dengan satah Oyz; c) melalui asal.

3. Cari koordinat titik persilangan garis

dengan satah koordinat.

4. Tuliskan persamaan parametrik bagi garis tersebut

56. Tugasan analisis angka spatial

Pilihan 1

x 2 + y 2 +(-2,0,3) dan: a) jejari; b) melalui satu titik 2 = 1; b) x 2 = 1; V) xyz = 0.

A)
b)

3. Mata diberi A(2,5,12), B(1,0,0), C(-1,-5,4) dan pesawat
Dan , diberikan masing-masing oleh persamaan 2 x – y + (-2,0,3) dan: a) jejari; b) melalui satu titik+1 = 0 dan x – 5y –13(-2,0,3) dan: a) jejari; b) melalui satu titik+1 = 0. Bagi setiap satah ini, cari di antara titik-titik yang diberikan titik-titik yang terletak pada sisi satah yang sama dengan asalan.

4. Diberi satah 3 x – y +4(-2,0,3) dan: a) jejari; b) melalui satu titik O(0,0,0) dan D(2,1,0); b) E(1,2,1) dan F(5,15,-1)?

Pilihan 2

1. Ketahui yang mana angka geometri menetapkan persamaan: a) x 2 + y 2 +(z+1) 2 = 1; b) x 2 – y 2 = 0; V) x 2 = 0.

2. Ketahui angka geometri yang ditakrifkan oleh sistem:

A)
b)

3. Mata diberi E(-14,22,0), F(1,-5,12), G(0,0,5) dan satah Dan , diberikan masing-masing oleh persamaan x – 2(-2,0,3) dan: a) jejari; b) melalui satu titik+12 = 0 dan x + 5y + (-2,0,3) dan: a) jejari; b) melalui satu titik+25 = 0. Bagi setiap satah ini, cari di antara titik-titik yang diberikan yang terletak pada sisi satah yang sama dengan asalan.

4. Diberi satah 3 x – y +4(-2,0,3) dan: a) jejari; b) melalui satu titik+1 = 0. Adakah mata terletak pada sisi yang sama: a) A(-1,2,-5) dan B(-15,1,0); b) K(1,
,5) dan L(1,15,-15)?

57*. Polyhedra dalam masalah pengoptimuman

Pilihan 1

1. Bucu tetrahedron mempunyai koordinat berikut: O(0,0,0), A(1,1,0), B(0,2,0),C(1,5,7). Tuliskan ketaksamaan yang mencirikan kawasan pedalaman tetrahedron ini.

2. Cari luas yang ditakrifkan oleh sistem ketaksamaan berikut:

A)
b)

Gambar dia.

3. Tuliskan sistem ketaksamaan yang menentukan kawasan dalam bagi prisma segi tiga tegak OABO 1 A 1 B 1 jika O(0,0,0), A(0,2,0), B(0,0,2), O 1 (5,0,0). Lukiskannya dan cari isipadunya.

(5,-1,0); b) = x + y – 2(-2,0,3) dan: a) jejari; b) melalui satu titik + 1 pada prisma segi tiga daripada masalah sebelumnya.

Pilihan 2

1. Diberi bucu tetrahedron A(-1,1,0), B(-2,2,0), C(-2,0,0), D(-1,5,7). Yang mana satu mata M(2,3,-1), N(- , , ), P(0,0,1), H(- , , ) tergolong dalam kawasan pedalaman tetrahedron ini?

2. Cari luas yang ditakrifkan oleh sistem ketaksamaan berikut: a)
b)

3. Tuliskan sistem ketaksamaan yang menentukan kawasan dalaman tetrahedron OABC, Jika O(0,0,0), A(5,0,0), B(0,3,0), C(0,0,6). Lukiskannya dan cari isipadunya.

4. Cari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi linear (5,-1,0); b)= x – y + (-2,0,3) dan: a) jejari; b) melalui satu titik – 1 pada tetrahedron daripada masalah sebelumnya.

58*. Koordinat kutub pada satah

Pilihan 1

A(2, ), B(1, ), C( , ), D(3, ), E(4, ), F( , ).

2. Tuliskan koordinat Cartesan bagi titik-titik tersebut G(2, ), H( , ), P(5, ), Q(3,- ).

3. Cari koordinat kutub bucu dan titik persilangan pepenjuru bagi segi empat sama unit, mengambil salah satu bucunya sebagai asal koordinat, dan sisi yang melalui bucu yang dipilih sebagai paksi kutub.

M(1, ), N(3, ), P( ,- ), Q(, ) relatif kepada: a) paksi kutub; b) asal koordinat.

Pilihan 2

1. Lukis masuk sistem kutub koordinat titik A(3, ), B(5, ), C( , ), D(6, ), E(2, ), F( , ).

2. Tuliskan koordinat kutub bagi titik-titik tersebut K(0,6), L(-2,0), M(-1,1), N( ,1).

3. Cari koordinat kutub bucu bagi heksagon sekata yang sisinya sama dengan 1, mengambil salah satu bucunya sebagai asalan, dan sisi yang melalui bucu yang dipilih sebagai paksi kutub.

4. Cari koordinat kutub titik simetri kepada titik G(2, ), H(3, ), R(3,- ), S( , ) relatif kepada: a) asal koordinat; b) paksi kutub.

59*. Koordinat sfera dalam ruang

Pilihan 1

1. Cari koordinat Cartesan bagi titik berikut dalam ruang, yang ditentukan oleh koordinat sfera: (1.45 0 .60 0), (2.30 0 .90 0), (1.90 0 , 20 0).

2. Cari koordinat sfera bagi titik berikut dalam ruang, yang diberikan oleh koordinat Cartesan: A(1,1, ), B(1,0,1), C(0,0,1).

3. Cari lokus geometri titik dalam ruang yang koordinat sferanya memenuhi syarat: a) y = 45 0 ; b) j= 60 0 .

r 2; b) r 1, y 0?

Pilihan 2

1. Cari koordinat Cartesan bagi titik berikut dalam ruang, ditentukan oleh koordinat sfera: (1,-45 0,60 0), (2,30 0,-90 0), (3,-90 0, 50 0) .

2. Cari koordinat sfera bagi titik berikut dalam ruang, yang diberikan oleh koordinat Cartesan: A(2,2 ), B(-1,0,1), C(0,0,-1).

3. Cari lokus geometri titik dalam ruang yang koordinat sferanya memenuhi syarat: a) y= 30 0 ; b) j = 90 0 .

4. Rajah dalam ruang yang manakah diberikan oleh ketaksamaan: a) r 1; b) r 1, - j 0?

60*. Menggunakan program komputer "Matematik" untuk menggambarkan angka spatial

Pilihan 1

1. Dapatkan imej tetrahedron.

2. Lakukan operasi pemotongan tetrahedron dan dapatkan oktahedron.

3. Bagaimana untuk mendapatkan bintang Kepler daripada oktahedron?

(-2,0,3) dan: a) jejari; b) melalui satu titik = xy.

Pilihan 2

1. Dapatkan imej kubus.

2. Lakukan operasi pemotongan kubus dan dapatkan kuboktahedron.

3. Bagaimana untuk mendapatkan dodekahedron rombik daripada kubus?

4. Dapatkan imej permukaan (-2,0,3) dan: a) jejari; b) melalui satu titik = cos x cos y.

JAWAPAN

Kerja bebas N 2

B1. 4. 6. B2. 3. 10. 4. 4.

B1. 2. a) B=8, P=12, D=6; b) H=14, P=21, D=9; c) B= n+1, Р=2 n, Г= n+1. 3. a) 5-gonal; b) 7-gonal; c) 3-gonal. 4. Tiga warna. B2. 2. a) B=8, P=12, D=6; b) B=7, P=12, G=7; c) B=2 n, Р=3 n, Г= n+2. 3. a) tetragonal; b) 7-gonal; c) segi lapan. 4. Dua warna.

B1. 3. 3. 4. 3. B2. 3. 3. 4. 3.

B1. 3. Mereka kawin campur. B2. 3. Tidak. 4. Tidak.

B1. 3. Selari.

B1. 2. Pernyataan 1), 3), 4) adalah benar. 4. Jika AB || CD, Itu A.C.|| BD; Jika AB silang dengan CD, Itu A.C. silang dengan BD. B2. 2. Kenyataan 3) adalah benar. 4. Jika AB || CD, Itu AD Dan B.C. bersilang; Jika AB Dan CD kacukan, kemudian AD Dan B.C. kacukan.

B1. 2. 26. 3. a) ; b)
; V)
dengan tepi sama dengan 1, cari hasil darab skalar: a) M– tengah B.C.. 4. a)
; b); V). B2. 2. 24. 3. a)
; b)
; V)
dengan tepi sama dengan 1, cari hasil darab skalar: a) M– tengah B.A.. 4. a)
; b); V).

B1. 1.
. 2. Vektor + mempunyai arah yang sama dengan vektor ;
| + | = | | - | |. B2. 1.

. 2. Vektor + mempunyai arah yang sama dengan vektor ; | + |=| | - | |. B1. 1. Satu, jika garis lurus yang melaluinya selari dengan arah reka bentuk; dua masuk sebaliknya

. 2. Keselarian dan kesamaan sisi bertentangan; membelah dua pepenjuru pada titik persilangan. 3. Garis lurus bersilang dan salah satu daripadanya selari dengan arah reka bentuk. B2. 1. Satu, jika semua titik tergolong dalam satu garis lurus selari dengan arah reka bentuk; dua, jika garisan yang melalui mana-mana dua titik ini selari dengan arah reka bentuk, dan titik ketiga bukan milik garisan ini; tiga dalam kes lain. 2. Keselarian dan kesamaan sisi bertentangan; membelah dua pepenjuru pada titik persilangan. 3. Garis lurus tidak selari dengan arah reka bentuk dan titik itu tergolong dalam garisan atau satah yang melalui titik ini dan garisan itu selari dengan arah reka bentuk. B1. 3. Muka kubus tidak selari dengan satah reka bentuk dan arah reka bentuk selari dengan pepenjuru. B.D. 4. . B2. 1. H=24, P=36, D=14. 4. . 3. Rb; b) y B Oyz. 4. a) Ya; b) tidak. B2. 1. a) Sfera dengan pusat pada titik (0,0,-1) dan jejari 1; b) dua satah bersilang; c) kapal terbang . 2. a) Parallelepiped segiempat tepat Oxy; b) dua garis bersilang yang terletak dalam satah F. 3. Untuk : titik E, F, G. ; untuk : mata

4. a) Ya; b) tidak.

B1. 1.

3.
V = 2. a) Kawasan dalaman tetrahedron dengan bucu (0,0,0), (1,0,0). (0,1,0), (0,0,1); b) kawasan dalaman segi empat selari berpaip dengan bucu (5,5,0), (5,3,0), (7,3,0), (7,5,0), (5,5,10) , (5 ,3,10), (7,3,10), (7,5,10).

20. 4. 8 – terhebat; 3 adalah yang terkecil. N Dan H. 2. a) Luas di antara dua satah selari; b) kawasan dalam prisma segi tiga tegak dengan bucu (0,0,0), (0,3,0). (0,0,3), (-2,0,0), (-2,3,0), (-2, 0.3).

(); (); (0, stereometri. Berikan contoh objek sebenar... polyhedra. Perkembangan. Senarai asas konsep Dan aksiom stereometri. Berikan contoh objek sebenar...

Cadangan kaedah

46 - 2 Pengenalan. item stereometri. asas konsep Dan aksiom stereometri. Konsekuensi pertama dari aksiom 2 2 ... dan ikosahedron) 1 § 3*. Aksiom, undang-undang, peraturan 2 9. Aksiom stereometri asas konsep stereometri(titik, garis lurus, satah, ...

Program kerja kursus latihan "Geometri"

Program kerja

... stereometri. Aksiom stereometri. Beberapa akibat daripada aksiom. Utama Matlamatnya adalah untuk membentuk idea pelajar tentang utama konsep Dan aksiom stereometri, mereka...