Satu rajah yang dibentuk oleh tiga sinar yang terpancar dari satu titik O dan tidak terletak pada satah yang sama, dan tiga bahagian satah yang tertutup di antara sinar ini, dipanggil sudut trihedral (Rajah 352).
Titik O dipanggil bucu sudut, sinar a, b, c ialah tepinya, bahagian satah. Muka ialah sudut satah, juga dipanggil sudut satah bagi sudut trihedral tertentu. Sudut antara muka rata dipanggil sudut dihedral bagi sudut trihedral tertentu.
Teorem 1. Dalam sudut trihedral, setiap sudut satah adalah kurang daripada hasil tambah dua yang lain.
Bukti. Ia cukup untuk membuktikan teorem bagi sudut satah terbesar. Biarkan sudut satah terbesar bagi sudut trihedral dalam Rajah. 353. Mari kita bina satu sudut dalam satah sama dengan sudut sisinya b lalu di dalam sudut (yang terbesar daripada sudut satah!).
Mari kita letakkan pada baris c dan b sebarang segmen yang sama Mari kita lukis satah sewenang-wenangnya melalui titik-titik, bersilang sinar a dan b pada titik N dan M, masing-masing.
Segitiga adalah sama dengan mempunyai sudut yang sama disimpulkan antara pihak yang sama. Mari kita tunjukkan bahawa sudut dengan bucu O dalam adalah lebih besar daripada sudut dengan bucu yang sama dalam. Sesungguhnya, sudut ini terkandung di antara pasangan sisi yang sama, sisi ketiga lebih besar dalam segi tiga
Ini menunjukkan bahawa jumlah dua sudut satah adalah lebih besar daripada sudut satah ketiga, itulah yang perlu dibuktikan.
Teorem 2. Jumlah sudut satah bagi sudut tiga segi tiga adalah kurang daripada empat sudut tegak.
Bukti. Mari kita ambil tiga titik A, B dan C pada tepi sudut trihedral dan lukis satah pemotongan melaluinya, seperti ditunjukkan dalam Rajah. 354. Jumlah sudut segitiga ABC adalah sama dengan Oleh itu, hasil tambah enam sudut OAC, OAB, OCA, OCB, OBC, OVA adalah lebih besar daripada mengikut teorem sebelumnya. Tetapi jumlah sudut tiga segi tiga OAB, OBC, OCA pada muka sudut tiga segi tiga adalah sama dengan . Oleh itu, bahagian sudut rata bagi sudut trihedral kekal kurang daripada empat garis lurus: . Jumlah ini boleh menjadi kecil secara sewenang-wenangnya ("spire trihedral") atau hampir sewenang-wenangnya jika kita mengurangkan ketinggian piramid SABC dalam Rajah. 355, mengekalkan tapaknya, maka jumlah sudut satah pada bucu S akan cenderung kepada
Jumlah sudut dihedral bagi sudut trihedral juga mempunyai had. Adalah jelas bahawa setiap sudut dihedral dan oleh itu jumlahnya adalah kurang daripada . Untuk piramid yang sama dalam Rajah. 355 jumlah ini menghampiri hadnya apabila ketinggian piramid berkurangan Ia juga boleh ditunjukkan bahawa jumlah ini sentiasa, walaupun ia boleh berbeza daripada sedikit yang dikehendaki.
Oleh itu, untuk satah dan sudut dihedral bagi sudut trihedral, ketaksamaan berikut berlaku:
Terdapat persamaan yang ketara antara geometri segi tiga pada satah dan geometri sudut tiga segi tiga. Dalam kes ini, analogi boleh dibuat antara sudut segi tiga dan sudut dihedral sudut tiga segi tiga, di satu pihak, dan di antara sisi segitiga dan sudut rata sudut tiga segi tiga, di pihak yang lain. Sebagai contoh, dengan penggantian konsep yang ditunjukkan, teorem tentang kesamaan segi tiga kekal sah. Mari kita bentangkan rumusan yang sepadan secara selari:
Walau bagaimanapun, dua sudut trihedral yang sudut dihedralnya adalah sama adalah kongruen. Sementara itu, dua segitiga yang masing-masing sudutnya sama adalah serupa, tetapi tidak semestinya sama. Untuk sudut trihedral, dan juga untuk segi tiga, tugas menyelesaikan sudut trihedral ditimbulkan, iaitu, tugas mencari beberapa elemennya daripada yang diberikan yang lain. Mari kita berikan contoh tugas sedemikian.
Tugasan. Sudut satah bagi sudut tiga segi tiga diberi. Cari sudut dihedralnya.
Penyelesaian. Mari kita letakkan satu ruas pada tepi a dan lukis satu bahagian biasa ABC bagi sudut dihedral a. daripada segi tiga tepat Kami dapati OAV Kami juga ada
Untuk BC kita dapati dengan teorem kosinus yang digunakan pada segi tiga BAC (untuk ringkasnya kita menyatakan sudut satah hanya sebagai ab, ac, bc, sudut dihedral - a, b, c)
Sekarang kita menggunakan teorem kosinus kepada segi tiga BOC:
Dari sini kita dapati
dan seumpamanya
Menggunakan formula ini, anda boleh mencari sudut dihedral, mengetahui sudut satah. Marilah kita perhatikan, tanpa bukti, hubungan yang luar biasa itu
dipanggil teorem sinus.
Penjelasan tentang analogi mendalam antara geometri sudut trihedral dan geometri segi tiga tidak sukar diperoleh jika kita menjalankan pembinaan berikut. Mari kita letakkan pusat sfera jejari unit pada bucu sudut tiga segi tiga O (Rajah 357).
Kemudian tepi akan memotong permukaan sfera pada tiga titik A, B, C, dan tepi sudut akan memotong lengkok pada sfera. bulatan besar AC, AB, BC. Rajah ABC terbentuk pada sfera, dipanggil segitiga sfera. Lengkok ("sisi" segitiga) diukur dengan sudut satah sudut trihedral, sudut pada bucu ialah sudut satah sudut dihedral. Oleh itu, penyelesaian sudut trihedral adalah tidak lain daripada penyelesaian segi tiga sfera, yang merupakan subjek trigonometri sfera. Hubungan (243.1) dan (243.2) adalah antara hubungan asas trigonometri sfera. Trigonometri sfera Ia ada penting untuk astronomi. Oleh itu, teori sudut trihedral ialah teori segi tiga sfera dan oleh itu dalam banyak cara serupa dengan teori segi tiga pada satah. Perbezaan antara teori ini ialah: 1) dalam segi tiga sfera, kedua-dua sudut dan sisi diukur dalam ukuran sudut, oleh itu, sebagai contoh, dalam teorem sinus ia bukan sisi yang muncul, tetapi sinus sisi AB , AC, BC;
Sudut polyhedral bahagian ruang yang dihadkan oleh satu rongga polihedral permukaan kon, yang arahnya ialah poligon rata tanpa persilangan sendiri. Muka permukaan ini dipanggil muka mozek, dan bahagian atas dipanggil bahagian atas mozek. M. u. dipanggil sekata jika semua sudut linearnya dan semua sudut dihedralnya adalah sama. Meroy M. u. ialah kawasan yang dihadkan oleh poligon sfera yang diperolehi oleh persilangan muka poligon, sfera dengan jejari sama dengan satu, dan dengan pusat di puncak M. y. Lihat juga Sudut pepejal.
Besar Ensiklopedia Soviet. - M.: Ensiklopedia Soviet. 1969-1978 .
Lihat apa "sudut polihedral" dalam kamus lain:
Lihat sudut pepejal... Besar Kamus ensiklopedia
Lihat sudut pepejal. * * * SUDUT POLYHEDAL SUDUT POLYHEDAL, lihat Sudut pepejal (lihat SOLID ANGLE) ... Kamus ensiklopedia
Bahagian ruang dihadkan oleh satu rongga kon polyhedral. permukaan menghala ke sekumpulan poligon rata tanpa persilangan sendiri. Muka permukaan ini dipanggil. tepi M. u., bahagian atas puncak M. u. Sudut polihedral dipanggil betul... Ensiklopedia Matematik
Lihat sudut pepejal... Sejarah semulajadi. Kamus ensiklopedia
sudut polihedral- matematik. Bahagian ruang yang dibatasi oleh beberapa satah yang melalui satu titik (puncak sudut) ... Kamus banyak ungkapan
PELBAGAI, pelbagai rupa, pelbagai rupa (buku). 1. Mempunyai beberapa muka atau sisi. Batu pelbagai rupa. Sudut polihedral (sebahagian ruang yang dihadkan oleh beberapa satah yang bersilang pada satu titik; tikar). 2. pemindahan... ... Kamus Ushakova
- (tikar.). Jika kita melukis garis lurus OA dan 0B dari titik O pada satah tertentu, kita memperoleh sudut AOB (Rajah 1). Crap. 1. Titik 0 dipanggil puncak sudut, dan garis lurus OA dan 0B sebagai sisi sudut. Katakan bahawa dua sudut ΒΟΑ dan Β 1 Ο 1 Α 1 diberi. Marilah kita mengenakannya supaya... ...
- (tikar). Jika kita melukis garis lurus OA dan 0B dari titik O pada satah tertentu, kita memperoleh sudut AOB (Rajah 1). Crap. 1. Titik 0 dipanggil puncak sudut, dan garis lurus OA dan 0B sebagai sisi sudut. Katakan dua sudut ΒΟΑ dan Β1Ο1Α1 diberikan. Mari letakkan mereka supaya bucu O... Kamus Ensiklopedia F.A. Brockhaus dan I.A. Efron
Istilah ini mempunyai makna lain, lihat Sudut (makna). Sudut ∠ Dimensi ° SI unit Radian ... Wikipedia
rata, angka geometri, dibentuk oleh dua sinar (sisi U.) yang keluar dari satu titik (bucu U.). Setiap U., mempunyai bucu di pusat O sesetengah bulatan (pusat U.), mentakrifkan pada bulatan itu sebuah lengkok AB, dibatasi oleh... ... Ensiklopedia Soviet yang Hebat
Slaid 1
Angka yang dibentuk oleh permukaan yang ditentukan dan salah satu daripada dua bahagian ruang yang dihadkan olehnya dipanggil sudut polihedral. Pucuk sepunya S dipanggil bucu sudut polihedral. Sinar SA1, ..., SAn dipanggil tepi sudut polihedral, dan sudut satah itu sendiri A1SA2, A2SA3, ..., An-1SAn, AnSA1 dipanggil muka sudut polihedral. Sudut polihedral dilambangkan dengan huruf SA1...An, menunjukkan bucu dan titik pada tepinya. Permukaan yang dibentuk oleh set terhingga sudut satah A1SA2, A2SA3, ..., An-1SAn, AnSA1 dengan bucu sepunya S, di mana sudut bersebelahan tidak mempunyai titik sepunya, kecuali titik sinar sepunya, dan sudut bukan bersebelahan tidak ada perkara biasa, sebagai tambahan kepada puncak biasa, akan dipanggil permukaan polihedral.
Slaid 2
Bergantung pada bilangan muka, sudut polihedral ialah tiga segi tiga, tetrahedral, segi lima, dsb.
Slaid 3
SUDUT TRIHEDAL
Teorem. Setiap sudut satah sudut trihedral adalah kurang daripada hasil tambah dua sudut satahnya yang lain. Bukti: Pertimbangkan sudut trihedral SABC. Biarkan sudut satahnya yang terbesar ialah sudut ASC. Kemudian ketaksamaan ASB ASC dipenuhi
Slaid 4
Harta benda. Jumlah sudut satah sudut tiga segi tiga adalah kurang daripada 360°. Begitu juga, untuk sudut trihedral dengan bucu B dan C, ketaksamaan berikut berlaku: ABC
Slaid 5
SUDUT POLHEDAL CEMBUNG
Sudut polihedral dipanggil cembung jika ia rajah cembung, iaitu, bersama-sama dengan mana-mana dua titiknya, ia mengandungi keseluruhan segmen yang menghubungkannya. Rajah menunjukkan contoh sudut polihedral cembung dan tidak cembung. Sifat: Jumlah semua sudut satah sudut polihedral cembung adalah kurang daripada 360°. Buktinya serupa dengan bukti sifat yang sepadan untuk sudut tiga segi tiga.
Slaid 6
Sudut polihedral menegak
Rajah menunjukkan contoh sudut tegak trihedral, tetrahedral dan pentahedral. Sudut menegak adalah sama.
Slaid 7
Mengukur sudut polihedral
Oleh kerana nilai darjah sudut dihedral yang dibangunkan diukur dengan nilai darjah yang sepadan sudut linear dan bersamaan dengan 180°, maka kita akan menganggap bahawa nilai darjah keseluruhan ruang, yang terdiri daripada dua sudut dihedral yang tidak dilipat, adalah sama dengan 360°. Saiz sudut polyhedral, dinyatakan dalam darjah, menunjukkan berapa banyak ruang yang diduduki oleh sudut polyhedral tertentu. Sebagai contoh, sudut tiga segi tiga kubus menduduki satu perlapan daripada ruang dan, oleh itu, nilai darjahnya ialah 360°: 8 = 45°. Sudut segi tiga di sebelah kanan prisma n-gonal sama dengan separuh sudut dihedral di tepi sisi. Memandangkan ini sudut dihedral sama, kita dapati bahawa sudut tiga segi tiga prisma adalah sama.
Slaid 8
Mengukur sudut segi tiga*
Mari kita terbitkan formula yang menyatakan magnitud sudut tiga segi tiga dari segi sudut dihedralnya. Marilah kita menghuraikan satu unit sfera berhampiran bucu S sudut trihedral dan menandakan titik persilangan tepi sudut trihedral dengan sfera ini sebagai A, B, C. Satah muka sudut trihedral membahagikan sfera ini kepada enam digon sfera sama berpasangan sepadan dengan sudut dihedral sudut tiga segi tiga ini. berbentuk sfera segi tiga ABC dan segi tiga sfera simetri A"B"C" ialah persilangan tiga digon. Oleh itu, dua kali jumlah sudut dihedral adalah sama dengan 360o ditambah empat kali ganda sudut trihedral, atau SA +SB + SC = 180o + 2 SABC.
Slaid 9
Mengukur sudut polihedral*
Biarkan SA1…An ialah sudut n-muka cembung. Membahagikannya kepada sudut trihedral, melukis pepenjuru A1A3, ..., A1An-1 dan menggunakan formula yang terhasil kepada mereka, kita akan mempunyai: SA1 + ... + SAn = 180о(n – 2) + 2SA1… An. Sudut polyhedral juga boleh diukur dengan nombor. Sesungguhnya, tiga ratus enam puluh darjah semua ruang sepadan dengan nombor 2π. Bergerak dari darjah ke nombor dalam formula yang terhasil, kita akan mempunyai: SA1+ …+SAn = π(n – 2) + 2SA1…An.
Slaid 10
Latihan 1
Bolehkah terdapat sudut trihedral dengan sudut rata: a) 30°, 60°, 20°; b) 45°, 45°, 90°; c) 30°, 45°, 60°? Tiada jawapan; b) tidak; c) ya.
Slaid 11
Latihan 2
Berikan contoh polyhedra yang mukanya, bersilang pada bucu, membentuk sahaja: a) sudut tiga segi; b) sudut tetrahedral; c) sudut pentagon. Jawapan: a) Tetrahedron, kubus, dodekahedron; b) oktahedron; c) ikosahedron.
Slaid 12
Latihan 3
Dua sudut satah bagi sudut trihedral ialah 70° dan 80°. Apakah sempadan sudut satah ketiga? Jawapan: 10o
Slaid 13
Latihan 4
Sudut satah bagi sudut trihedral ialah 45°, 45° dan 60°. Cari sudut antara satah sudut satah 45°. Jawapan: 90o.
Slaid 14
Latihan 5
Dalam sudut trihedral, dua sudut satah adalah sama dengan 45°; sudut dihedral di antara mereka adalah betul. Cari sudut satah ketiga. Jawapan: 60o.
Slaid 15
Latihan 6
Sudut satah bagi sudut trihedral ialah 60°, 60° dan 90°. Segmen yang sama OA, OB, OC diletakkan pada tepinya dari puncak. Cari sudut dihedral antara satah sudut 90° dan satah ABC. Jawapan: 90o.
Slaid 16
Latihan 7
Setiap sudut satah bagi sudut trihedral ialah 60°. Pada salah satu tepinya satu segmen yang sama dengan 3 cm diberhentikan dari atas, dan serenjang dijatuhkan dari hujungnya ke muka bertentangan. Cari panjang serenjang ini. Jawapan: lihat
Slaid 17
Latihan 8
Cari lokus titik dalaman sudut trihedral sama jarak dari mukanya. Jawapan: Sinar yang bucunya ialah bucu sudut trihedral, terletak pada garis persilangan satah membahagikan sudut dihedral kepada separuh.
Slaid 18
Latihan 9
Cari lokus titik pedalaman sudut tiga segi tiga sama jarak dari tepinya. Jawapan: Sinar yang bucunya ialah bucu sudut tiga segi tiga, terletak pada garis persilangan satah yang melalui pembahagi dua sudut satah dan berserenjang dengan satah sudut-sudut ini.
Slaid 19
Latihan 10
Untuk sudut dihedral tetrahedron kita ada: , dari mana 70o30". Untuk sudut trihedral tetrahedron kita ada: 15o45". Jawapan: 15o45". Cari nilai anggaran sudut tiga segi tiga tetrahedron.
Slaid 20
Latihan 11
Cari nilai anggaran sudut tetrahedral bagi oktahedron. Untuk sudut dihedral bagi oktahedron kita ada: , dari mana 109о30". Untuk sudut tetrahedral bagi oktahedron kita ada: 38о56". Jawapan: 38o56".
Slaid 21
Latihan 12
Cari nilai anggaran sudut pentahedral bagi ikosahedron. Untuk sudut dihedral ikosahedron kita ada: , dari mana 138о11". Untuk sudut pentahedral ikosahedron kita ada: 75о28". Jawapan: 75o28".
Slaid 22
Latihan 13
Untuk sudut dihedral dodecahedron kita ada: , dari mana 116o34". Untuk sudut trihedral dodecahedron kita ada: 84o51". Jawapan: 84o51". Cari nilai anggaran sudut trihedral bagi dodekahedron.
Slaid 23
Latihan 14
Dalam piramid segi empat biasa SABCD, sisi tapak ialah 2 cm, tingginya ialah 1 cm Cari sudut tetrahedral pada bucu piramid ini. Penyelesaian: Piramid yang diberi membahagikan kubus kepada enam piramid yang sama dengan bucu di tengah kubus. Akibatnya, sudut 4 sisi di bahagian atas piramid ialah satu perenam daripada sudut 360°, i.e. sama dengan 60o. Jawapan: 60o.
Slaid 24
Latihan 15
Di sebelah kanan piramid segi tiga rusuk sisi sama dengan 1, sudut bucu 90°. Cari sudut trihedral pada bucu piramid ini. Penyelesaian: Piramid yang ditunjukkan membelah oktahedron kepada lapan piramid yang sama dengan bucu di pusat O bagi oktahedron. Akibatnya, sudut 3 sisi di bahagian atas piramid ialah satu perlapan daripada sudut 360°, i.e. bersamaan dengan 45o. Jawapan: 45o.
Slaid 25
Latihan 16
Dalam piramid segi tiga biasa, tepi sisi adalah sama dengan 1, dan ketinggian Cari sudut tiga segi tiga pada bucu piramid ini. Penyelesaian: Piramid yang ditunjukkan telah rosak tetrahedron biasa oleh empat piramid yang sama dengan bucu di tengah Otetrahedron. Akibatnya, sudut 3 sisi di bahagian atas piramid ialah satu perempat daripada sudut 360°, i.e. bersamaan dengan 90o. Jawapan: 90o.
Lihat semua slaid
TRANSKRIP TEKS PELAJARAN:
Dalam planimetri, salah satu objek kajian ialah sudut.
Sudut ialah rajah geometri yang terdiri daripada satu titik - puncak sudut dan dua sinar yang terpancar dari titik ini.
Dua sudut, satu sisi yang biasa dan dua yang lain adalah kesinambungan antara satu sama lain, dipanggil bersebelahan dalam planimetri.
Kompas boleh dianggap sebagai model sudut satah.
Mari kita ingat konsep sudut dihedral.
Ini ialah rajah yang dibentuk oleh garis lurus a dan dua separuh satah c sempadan bersama Dan, tidak tergolong dalam satah yang sama dalam geometri dipanggil sudut dihedral. Separuh satah ialah muka sudut dihedral. Garis lurus a ialah tepi sudut dihedral.
Bumbung rumah jelas menunjukkan sudut dihedral.
Tetapi bumbung rumah dalam rajah dua dibuat dalam bentuk rajah yang terbentuk daripada enam sudut rata dengan bucu sepunya supaya sudut diambil pada dalam susunan tertentu dan setiap pasangan sudut bersebelahan, termasuk yang pertama dan terakhir, mempunyai sisi biasa. Apakah bentuk bumbung ini dipanggil?
Dalam geometri, rajah yang terdiri daripada sudut
Dan sudut dari mana sudut ini dibuat dipanggil sudut satah. Sisi sudut satah dipanggil tepi sudut polihedral. Titik O dipanggil bucu sudut.
Contoh sudut polyhedral boleh didapati dalam tetrahedron dan parallelepiped.
Muka tetrahedron DBA, ABC, DBC membentuk sudut polyhedral BADC. Lebih kerap ia dipanggil sudut trihedral.
Dalam saluran selari, muka AA1D1D, ABCD, AA1B1B membentuk sudut trihedral AA1DB.
Nah, bumbung rumah dibuat dalam bentuk sudut heksagon. Ia terdiri daripada enam sudut rata.
Sebilangan sifat adalah benar untuk sudut polihedral. Mari kita rumuskan dan buktikan. Ia mengatakan di sini bahawa kenyataan itu
Pertama, untuk mana-mana sudut polihedral cembung terdapat satah yang bersilang dengan semua tepinya.
Sebagai bukti, pertimbangkan sudut polihedral OA1A2 A3…An.
Mengikut keadaan, ia adalah cembung. Sudut dipanggil cembung jika ia terletak pada satu sisi satah setiap sudut satahnya.
Oleh kerana, mengikut keadaan, sudut ini adalah cembung, maka titik O, A1, A2, A3, Satu terletak pada satu sisi satah OA1A2
Mari kita laksanakan garis tengah KM segi tiga OA1A2 dan pilih daripada tepi OA3, OA4, OAn tepi yang membentuk sudut dihedral terkecil dengan satah OKM. Biarkan ini menjadi kelebihan OAi.(оа jumlah)
Mari kita pertimbangkan separuh satah α dengan sempadan CM, membahagikan sudut dihedral OKMAi kepada dua sudut dihedral. Semua bucu dari A ke An terletak pada satu sisi satah α, dan titik O pada bahagian lain. Akibatnya, satah α bersilang dengan semua tepi sudut polihedral. Kenyataan itu telah terbukti.
Sudut polihedral cembung mempunyai satu lagi sifat penting.
Jumlah sudut satah sudut polihedral cembung adalah kurang daripada 360°.
Pertimbangkan sudut polihedral cembung dengan bucu pada titik O. Berdasarkan pernyataan yang terbukti, terdapat satah yang bersilang dengan semua tepinya.
Mari kita lukis satah sedemikian α, biarkan ia bersilang dengan tepi sudut pada titik A1, A2, A3 dan seterusnya An.
Satah α dari kawasan luar sudut satah akan memotong segi tiga. Jumlah sudut ialah 180°. Kami memperoleh bahawa jumlah semua sudut satah dari A1OA2 hingga AnOA1 adalah sama dengan ungkapan, kami mengubah ungkapan ini, kami menyusun semula istilah, kami memperoleh
DALAM ungkapan ini jumlah yang ditunjukkan dalam kurungan ialah hasil tambah sudut satah sudut tiga segi tiga, dan seperti yang diketahui ia lebih besar daripada sudut satah ketiga.
Ketaksamaan ini boleh ditulis untuk semua sudut trihedral yang membentuk sudut polyhedral tertentu.
Akibatnya, kami memperoleh kesinambungan kesamaan berikut
Jawapannya membuktikan bahawa jumlah sudut satah sudut polihedral cembung adalah kurang daripada 360 darjah.
20. Kajian pelbagai peringkat sudut polihedral, sifat sudut satah sudut tiga segi tiga dan sudut polihedral.
Tahap asas:
Atanasyan
Pertimbangkan hanya sudut Dihedral.
Pogorelov
Mula-mula, dia menganggap sudut dihedral dan kemudian serta-merta sudut trihedral dan polyhedral.
Mari kita pertimbangkan tiga sinar a, b, c, terpancar dari titik yang sama dan terletak pada satah yang sama. Sudut trihedral (abc) ialah rajah yang terdiri daripada tiga sudut rata (ab), (bc) dan (ac) (Rajah 400). Sudut ini dipanggil muka sudut trihedral, dan sisinya dipanggil tepi. Puncak sepunya sudut satah dipanggil bucu sudut trihedral. Sudut dihedral yang dibentuk oleh muka sudut trihedral dipanggil sudut dihedral sudut trihedral.
Konsep sudut polihedral diperkenalkan secara serupa (Rajah 401).
Rajah 400 dan Rajah 401
P 
tahap profil(A.D. Aleksndrov, A.L. Werner, V.I. Ryzhikh):
Meninggalkan definisi dan kajian sudut polihedral sewenang-wenangnya sehingga § 31, kini kami akan mempertimbangkan yang paling mudah daripada mereka - sudut tiga segi tiga. Jika dalam stereometri sudut dihedral boleh dianggap sebagai analog dari sudut satah, maka sudut trihedral boleh dianggap sebagai analog dari segi tiga satah, dan dalam perenggan berikut kita akan melihat bagaimana ia secara semula jadi berkaitan dengan segitiga sfera.
Anda boleh membina (dan oleh itu mentakrifkan secara membina) sudut trihedral seperti ini. Ambil mana-mana tiga sinar a, b, c, mempunyai permulaan umum O dan tidak berbaring dalam satah yang sama (Rajah 150). Sinar ini ialah sisi tiga sudut satah cembung: sudut α dengan sisi b, c, sudut β dengan sisi a, c, dan sudut γ dengan sisi a, b. Penyatuan ketiga-tiga sudut α, β, γ ini dipanggil sudut trihedral Oabc (atau, secara ringkasnya, sudut trihedral O). Sinar a, b, c dipanggil tepi sudut tiga segi tiga Oabc, dan sudut satah α, β, γ ialah mukanya. Titik O dipanggil bucu sudut trihedral.
3 ulasan. Adalah mungkin untuk mentakrifkan sudut trihedral dengan muka bukan cembung (Rajah 151), tetapi kami tidak akan mempertimbangkan sudut trihedral tersebut. 
Untuk setiap tepi sudut tiga segi tiga, sudut dihedral yang sepadan ditentukan, yang tepinya mengandungi tepi yang sepadan dengan sudut tiga segi tiga, dan yang mukanya mengandungi muka sudut tiga segi tiga bersebelahan dengan tepi ini.
Nilai sudut dihedral bagi sudut tiga segi tiga Oabc di tepi a, b, c masing-masing akan dilambangkan dengan a^, b^, c^ (penutup tepat di atas huruf).
Tiga muka α, β, γ bagi sudut tiga segi tiga Oabc dan tiga sudut dihedralnya pada rusuk a, b, с, serta kuantiti α, β, γ dan а^, b^, с^ kita akan panggil unsur-unsur sudut tiga segi tiga. (Ingat bahawa unsur-unsur segitiga satah ialah sisi dan sudutnya.)
Tugas kami adalah untuk menyatakan beberapa elemen sudut tiga segi melalui elemen lain, iaitu, untuk membina "trigonometri" sudut tiga segi tiga.
1) Mari kita mulakan dengan memperoleh analog teorem kosinus. Pertama, pertimbangkan sudut tiga segi tiga Oabc, yang mempunyai sekurang-kurangnya dua muka, contohnya α dan β, sudut tajam. Mari kita ambil titik C pada tepi c dan lukis daripadanya pada muka α dan β berserenjang CB dan CA ke tepi c sehingga ia bersilang dengan tepi a dan b pada titik A dan B (Rajah 152). Mari kita ungkapkan jarak AB dari segi tiga OAB dan CAB menggunakan teorem kosinus.
AB 2 =AC 2 +BC 2 -2AC*BC*Cos(c^) dan AB 2 =OA 2 +OB 2 -2AO*BO*Cosγ.
Menolak yang pertama daripada kesamaan kedua, kita dapat:
OA 2 -AC 2 +OB 2 -BC 2 +2AC*BC*Cos(c^)-2AO*VO*Cosγ=0 (1). Kerana segi tiga OSV dan OCA adalah bersudut tegak, kemudian AC 2 -AC 2 =OS 2 dan OB 2 -VS 2 =OS 2 (2)
Oleh itu, daripada (1) dan (2) ia mengikuti bahawa OA*OB*Cosγ=OC 2 +AC*BC*Cos(c^)
mereka. 
Tetapi 
,
,
,
. sebab tu
(3) – analog teorem kosinus untuk sudut tiga segi tiga - formula kosinus.
Kedua-dua muka α dan β ialah sudut tumpul.
Salah satu sudut α dan β, contohnya α, adalah akut, dan satu lagi, β, adalah tumpul.
Sekurang-kurangnya 1 daripada sudut α atau β adalah lurus.
Tanda-tanda kesamaan sudut trihedral serupa dengan tanda-tanda kesamaan segi tiga. Tetapi terdapat perbezaan: contohnya, dua sudut trihedral adalah sama jika sudut dihedralnya adalah sama. Ingat bahawa dua segi tiga satah yang sudut sepadannya adalah sama adalah serupa. Dan untuk sudut trihedral, keadaan yang sama tidak membawa kepada persamaan, tetapi kepada kesamaan.
Sudut trihedral mempunyai yang luar biasa harta benda yang dinamakan dualitas. Jika dalam mana-mana teorem tentang sudut trihedral Oabc kita gantikan nilai a, b, dari kepada π-α, π-β, π-γdan, sebaliknya, gantikan α, β, γ dengan π-a^, π-b^, π-c^, maka kita sekali lagi memperoleh pernyataan yang benar tentang sudut tiga segi tiga, dwi kepada satu teorem asal. Benar, jika penggantian sedemikian dibuat dalam teorem sinus, maka kita sekali lagi sampai kepada teorem sinus (ia adalah dwi kepada dirinya sendiri). Tetapi jika kita melakukan ini dalam teorem kosinus (3), kita mendapat formula baru
cosc^= -cosa^ cosb^+sina^ sin b^ cosγ.
Mengapa dualiti sedemikian berlaku akan menjadi jelas jika bagi sudut tiga segi tiga kita membina sudut tiga tiga arah dua dengannya, tepi yang berserenjang dengan muka sudut asal (lihat bahagian 33.3 dan Rajah 356).
Antara permukaan yang paling mudah ialah sudut polihedral. Ia terdiri daripada sudut biasa (kini kita sering memanggil sudut sebegitu sudut rata), sama seperti garis putus tertutup terdiri daripada segmen. Iaitu, definisi berikut diberikan:
Sudut polihedral dipanggil rajah yang dibentuk oleh sudut satah supaya syarat berikut dipenuhi:
1) Tiada dua sudut mempunyai titik sepunya kecuali bucu sepunya atau seluruh sisi.
2) Bagi setiap sudut ini, setiap sisinya adalah biasa dengan satu dan hanya satu sudut yang lain.
3) Dari setiap sudut anda boleh pergi ke setiap sudut di sepanjang sudut yang mempunyai sisi yang sama.
4) Tiada dua sudut dengan sisi sepunya terletak pada satah yang sama (Gamb. 324).
Di bawah keadaan ini, sudut satah yang membentuk sudut polihedral dipanggil mukanya, dan sisinya dipanggil tepinya.
Di bawah takrifan ini Sudut dihedral juga sesuai. Ia terdiri daripada dua sudut rata terbentang. Bucunya boleh dianggap sebagai mana-mana titik di tepinya, dan titik ini membelah tepi kepada dua tepi yang bertemu di bucu. Tetapi disebabkan ketidakpastian ini dalam kedudukan bucu, sudut dihedral dikecualikan daripada bilangan sudut polyhedral.
P 
Konsep sudut polyhedral adalah penting, khususnya, dalam kajian polyhedra - dalam teori polyhedra. Struktur polihedron dicirikan oleh muka yang diperbuat daripadanya dan bagaimana ia menumpu pada bucu, iaitu, sudut polihedral yang ada.
Pertimbangkan sudut polihedral polihedral yang berbeza.
Perhatikan bahawa muka sudut polihedral juga boleh menjadi sudut bukan cembung.