Teorem. Isipadu piramid adalah sama dengan hasil darab luas tapaknya dan satu pertiga daripada ketinggiannya.
Mula-mula kita buktikan teorem ini untuk piramid segi tiga, dan kemudian untuk satu poligon.
1) Berdasarkan piramid segi tiga SABC (Rajah 102), kita akan membina prisma SABCDE, yang ketinggiannya sama dengan ketinggian piramid, dan satu tepi sisi bertepatan dengan tepi SB. Mari kita buktikan bahawa isipadu piramid ialah satu pertiga daripada isipadu prisma ini. Mari kita pisahkan piramid ini daripada prisma. Apa yang akan kekal ialah piramid segi empat tepat SADEC (yang ditunjukkan secara berasingan untuk kejelasan). Mari kita lukis satah pemotongan di dalamnya melalui bucu S dan pepenjuru tapak DC. Dua piramid segi tiga yang terhasil mempunyai bucu sepunya S dan tapak yang sama DEC dan DAC, terletak dalam satah yang sama; Ini bermakna mengikut lemma piramid yang dibuktikan di atas, ini adalah sama saiz. Mari kita bandingkan salah satunya iaitu SDEC dengan piramid ini. Asas piramid SDEC boleh diambil sebagai \(\Delta\)SDE; maka bahagian atasnya akan berada di titik C dan ketinggiannya akan sama dengan ketinggian piramid yang diberikan. Oleh kerana \(\Delta\)SDE = \(\Delta\)ABC, maka mengikut lema yang sama piramid SDEC dan SABC adalah sama besarnya.
Kami membahagikan prisma ABCDES kepada tiga piramid bersaiz sama: SABC, SDEC dan SDAC. (Jelas sekali, mana-mana prisma segi tiga boleh tertakluk kepada pembahagian sedemikian. Ini adalah salah satu sifat penting bagi prisma segi tiga.) Oleh itu, jumlah isipadu tiga piramid yang sama saiznya dengan yang ini membentuk isipadu prisma itu; oleh itu,
$$ V_(SABC) = \frac(1)(3) V_(SDEABC) = \frac(S_(ABC)\cdot H)(3) = S_(ABC)\frac(H)(3) $$
di mana H ialah ketinggian piramid.
2) Melalui beberapa bucu E (Rajah 103) asas piramid poligon SABCDE kita melukis pepenjuru EB dan EC.
Kemudian kami melukis satah pemotong melalui tepi SE dan setiap pepenjuru ini. Kemudian piramid poligon akan dibahagikan kepada beberapa segi tiga, mempunyai ketinggian yang sama dengan piramid yang diberikan. Menandakan luas tapak piramid segi tiga dengan b 1 , b 2 , b 3 dan ketinggian melalui H, kita akan mempunyai:
Isipadu SABCDE = 1/3 b 1 H + 1/3 b 2H + 1/3 b 3 H = ( b 1 + b 2 + b 3) H/3 =
= (luas ABCDE) H / 3 .
Akibat. Jika V, B dan H bermakna nombor yang menyatakan dalam unit yang sepadan isipadu, luas tapak dan tinggi mana-mana piramid, maka
Teorem. Isipadu piramid terpotong adalah sama dengan jumlah isipadu tiga piramid yang mempunyai ketinggian yang sama dengan ketinggian piramid terpotong, dan tapaknya: satu adalah tapak bawah piramid ini, satu lagi adalah tapak atas, dan luas tapak piramid ketiga adalah sama dengan min geometri bagi kawasan tapak atas dan bawah.
Biarkan kawasan tapak piramid terpotong (Rajah 104) ialah B dan b, ketinggian H dan isipadu V (piramid terpenggal boleh berbentuk segi tiga atau poligon - tidak mengapa).
Ia diperlukan untuk membuktikannya
V = 1/3 BH + 1/3 b H+1/3H√B b= 1/3H(B+ b+√B b ),
di mana √B b ialah min geometri antara B dan b.
Untuk membuktikannya, mari letakkan piramid kecil pada tapak yang lebih kecil yang melengkapkan piramid terpotong ini kepada yang lengkap. Kemudian kita boleh menganggap isipadu piramid terpotong V sebagai perbezaan antara dua jilid - piramid penuh dan tambahan atas.
Setelah menetapkan ketinggian piramid tambahan dengan huruf itu X, kita akan dapati itu
V = 1/3 V (H + X) - 1 / 3 bx= 1 / 3 (BH + B x - bx) = 1 / 3 [ВH + (В - b)X].
Untuk mencari ketinggian X Mari kita gunakan teorem dari , mengikut mana kita boleh menulis persamaan:
$$ \frac(B)(b) = \frac((H + x)^3)(x^2) $$
Untuk memudahkan persamaan ini, kita ambil punca kuasa dua aritmetik kedua-dua belah:
$$ \frac(\sqrt(B))(\sqrt(b)) = \frac(H + x)(x) $$
Daripada persamaan ini (yang boleh dianggap sebagai perkadaran) kita dapat:
$$ x\sqrt(B) = H\sqrt(b) + x\sqrt(b) $$
$$ (\sqrt(B) - \sqrt(b))x = H\sqrt(b) $$
dan oleh itu
$$ x = \frac(H\sqrt(b))(\sqrt(B) - \sqrt(b)) $$
Menggantikan ungkapan ini ke dalam formula yang kita perolehi untuk volum V, kita dapati:
$$ V = \frac(1)(3)\tinggal $$
Sejak B - b= (√B + √ b) (√B - √ b), kemudian dengan mengurangkan pecahan dengan perbezaan √B - √ b kita mendapatkan:
$$ V = \frac(1)(3) BH +(\sqrt(B) + \sqrt(b))H\sqrt(b) =\\= \frac(1)(3)(BH+H\ sqrt(Bb)+Hb) =\\= \frac(1)(3)H(B+b+\sqrt(Bb)) $$
iaitu, kita mendapat formula yang perlu dibuktikan.
Bahan lainCiri utama mana-mana rajah geometri dalam ruang ialah isipadunya. Dalam artikel ini kita akan melihat apa itu piramid dengan segi tiga di pangkalan, dan kami juga akan menunjukkan cara mencari isipadu piramid segi tiga - biasa penuh dan dipotong.
Apakah ini - piramid segi tiga?
Semua orang pernah mendengar tentang piramid Mesir purba, tetapi ia adalah segi empat biasa, bukan segi tiga. Mari kita terangkan cara mendapatkan piramid segi tiga.
Mari kita ambil segitiga sembarangan dan sambungkan semua bucunya dengan beberapa titik tunggal yang terletak di luar satah segi tiga ini. Angka yang terhasil akan dipanggil piramid segi tiga. Ia ditunjukkan dalam rajah di bawah.
Seperti yang anda lihat, rajah yang dimaksudkan itu dibentuk oleh empat segi tiga, yang secara amnya berbeza. Setiap segi tiga ialah sisi piramid atau mukanya. Piramid ini sering dipanggil tetrahedron, iaitu, angka tiga dimensi tetrahedral.
Sebagai tambahan kepada sisi, piramid juga mempunyai tepi (terdapat 6 daripadanya) dan bucu (daripada 4).
dengan tapak segi tiga
Angka yang diperoleh menggunakan segi tiga sewenang-wenangnya dan titik dalam ruang akan menjadi piramid condong yang tidak sekata dalam kes umum. Sekarang bayangkan bahawa segi tiga asal mempunyai sisi yang sama, dan satu titik dalam ruang terletak betul-betul di atas pusat geometrinya pada jarak h dari satah segi tiga itu. Piramid yang dibina menggunakan data awal ini adalah betul.
Jelas sekali, bilangan tepi, sisi dan bucu piramid segi tiga biasa akan sama dengan piramid yang dibina daripada segi tiga sewenang-wenangnya.
Walau bagaimanapun, angka yang betul mempunyai beberapa ciri tersendiri:
- ketinggiannya yang ditarik dari bucu akan betul-betul bersilang dengan tapak di pusat geometri (titik persilangan median);
- permukaan sisi piramid sedemikian dibentuk oleh tiga segi tiga yang sama, iaitu isosceles atau sama sisi.
Piramid segi tiga biasa bukan sahaja objek geometri teori semata-mata. Sesetengah struktur dalam alam semula jadi mempunyai bentuknya, contohnya kekisi kristal berlian, di mana atom karbon disambungkan kepada empat atom yang sama dengan ikatan kovalen, atau molekul metana, di mana puncak piramid dibentuk oleh atom hidrogen.
piramid segi tiga
Anda boleh menentukan isipadu mutlak mana-mana piramid dengan n-gon arbitrari di pangkalan menggunakan ungkapan berikut:
Di sini simbol S o menandakan luas tapak, h ialah ketinggian rajah yang dilukis ke tapak yang ditanda dari bahagian atas piramid.
Oleh kerana luas segi tiga arbitrari adalah sama dengan separuh hasil darab panjang sisinya a dan apotema h a jatuh ke sisi ini, formula untuk isipadu piramid segi tiga boleh ditulis dalam bentuk berikut:
V = 1/6 × a × h a × h
Untuk jenis umum, menentukan ketinggian bukanlah tugas yang mudah. Untuk menyelesaikannya, cara paling mudah ialah menggunakan formula untuk jarak antara titik (puncak) dan satah (tapak segi tiga), yang diwakili oleh persamaan am.
Untuk yang betul, ia mempunyai rupa yang khusus. Luas tapak (segi tiga sama sisi) untuknya adalah sama dengan:
Menggantikannya ke dalam ungkapan umum untuk V, kita dapat:
V = √3/12 × a 2 × h
Kes khas ialah keadaan apabila semua sisi tetrahedron bertukar menjadi segi tiga sama sisi. Dalam kes ini, isipadunya boleh ditentukan hanya berdasarkan pengetahuan tentang parameter tepinya a. Ungkapan yang sepadan kelihatan seperti:
Piramid terpotong
Jika bahagian atas yang mengandungi bucu dipotong daripada piramid segi tiga biasa, anda mendapat angka terpotong. Tidak seperti yang asal, ia akan terdiri daripada dua tapak segi tiga sama sisi dan tiga trapezoid isosceles.
Foto di bawah menunjukkan rupa piramid segi tiga terpotong biasa yang diperbuat daripada kertas.
Untuk menentukan isipadu piramid segi tiga terpotong, anda perlu mengetahui tiga ciri linearnya: setiap sisi tapak dan ketinggian rajah, sama dengan jarak antara tapak atas dan bawah. Formula yang sepadan untuk volum ditulis seperti berikut:
V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)
Di sini h ialah ketinggian rajah, A dan a ialah panjang sisi bagi segi tiga sama sisi besar (bawah) dan kecil (atas).
Penyelesaian masalah
Untuk menjadikan maklumat dalam artikel lebih jelas kepada pembaca, kami akan menunjukkan dengan contoh yang jelas cara menggunakan beberapa formula bertulis.
Biarkan isipadu piramid segi tiga itu ialah 15 cm 3 . Adalah diketahui bahawa angka itu betul. Anda harus mencari apotema a b tepi sisi jika anda tahu bahawa ketinggian piramid ialah 4 cm.
Oleh kerana isipadu dan ketinggian rajah itu diketahui, anda boleh menggunakan formula yang sesuai untuk mengira panjang sisi tapaknya. Kami ada:
V = √3/12 × a 2 × h =>
a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25.98 cm
a b = √(h 2 + a 2 / 12) = √(16 + 25.98 2 / 12) = 8.5 cm
Panjang apotema angka yang dikira ternyata lebih besar daripada ketinggiannya, yang benar untuk sebarang jenis piramid.
Teorem.
Isipadu piramid adalah sama dengan satu pertiga daripada hasil darab luas tapak dan ketinggian.
Bukti:
Mula-mula kita buktikan teorem untuk piramid segi tiga, kemudian untuk teorem sewenang-wenangnya.1. Pertimbangkan piramid segi tigaOABCdengan isipadu V, luas tapakS dan ketinggian h. Mari kita lukis paksi oh (OM2- ketinggian), pertimbangkan bahagian ituA1 B1 C1piramid dengan satah berserenjang dengan paksiOhdan, oleh itu, selari dengan satah tapak. Mari kita nyatakan denganX titik absis M1 persilangan satah ini dengan paksi x, dan melaluiS(x)- Luas keratan rentas. Jom luahkan S(x) melalui S, h Dan X. Perhatikan bahawa segitiga A1 DALAM1 DENGAN1 Dan ABC adalah serupa. Sesungguhnya A1 DALAM1 II AB, jadi segi tiga OA 1 DALAM 1 serupa dengan segi tiga OAB. DENGAN Oleh itu, A1 DALAM1 : AB= OA 1: OA .
Segi Tiga Kanan OA 1 DALAM 1 dan OAV juga serupa (mereka mempunyai sudut akut sepunya dengan bucu O). Oleh itu, OA 1: OA = O 1 M1 : OM = x: h. Justeru A 1 DALAM 1 : A B = x: h.Begitu juga, terbukti bahawaB1 C1:matahari = X: h Dan A1 C1:AC = X: h.Jadi, segi tigaA1 B1 C1 Dan ABCserupa dengan pekali persamaan X: h.Oleh itu, S(x) : S = (x: h)², atau S(x) = S x²/ h².
Sekarang mari kita gunakan formula asas untuk mengira isipadu jasad padaa= 0, b =h kita mendapatkan
Oleh itu, isipadu piramid asal ialah 1/3Sh. Teorem telah terbukti.
Akibat:
Isipadu V piramid terpotong yang tingginya h dan luas tapaknya ialah S dan S1 , dikira dengan formula
h - ketinggian piramid
S atas - kawasan pangkal atas
S lebih rendah - kawasan pangkalan bawah
Piramid ialah polihedron dengan poligon di tapaknya. Semua muka, seterusnya, membentuk segi tiga yang menumpu pada satu bucu. Piramid adalah segi tiga, segi empat, dan sebagainya. Untuk menentukan piramid yang berada di hadapan anda, cukup untuk mengira bilangan sudut di pangkalannya. Takrifan "ketinggian piramid" sering dijumpai dalam masalah geometri dalam kurikulum sekolah. Dalam artikel ini kita akan cuba melihat cara yang berbeza untuk mencarinya.
Bahagian piramid
Setiap piramid terdiri daripada unsur-unsur berikut:
- muka sisi, yang mempunyai tiga sudut dan menumpu pada puncak;
- apotema mewakili ketinggian yang menurun dari puncaknya;
- bahagian atas piramid adalah titik yang menghubungkan rusuk sisi, tetapi tidak terletak pada satah pangkalan;
- tapak adalah poligon di mana bucu tidak terletak;
- ketinggian piramid ialah ruas yang memotong bahagian atas piramid dan membentuk sudut tepat dengan tapaknya.
Bagaimana untuk mencari ketinggian piramid jika isipadunya diketahui
Melalui formula V = (S*h)/3 (dalam formula V ialah isipadu, S ialah luas tapak, h ialah ketinggian piramid) kita dapati bahawa h = (3*V)/ S. Untuk menyatukan bahan, mari segera selesaikan masalah itu. Tapak segi tiga ialah 50 cm 2 , manakala isipadunya ialah 125 cm 3 . Ketinggian piramid segi tiga tidak diketahui, itulah yang perlu kita cari. Segala-galanya mudah di sini: kami memasukkan data ke dalam formula kami. Kami mendapat h = (3*125)/50 = 7.5 cm.
Bagaimana untuk mencari ketinggian piramid jika panjang pepenjuru dan tepinya diketahui
Seperti yang kita ingat, ketinggian piramid membentuk sudut tepat dengan tapaknya. Ini bermakna ketinggian, tepi dan separuh pepenjuru bersama-sama membentuk Ramai, sudah tentu, ingat teorem Pythagoras. Mengetahui dua dimensi, tidak sukar untuk mencari kuantiti ketiga. Mari kita ingat teorem terkenal a² = b² + c², di mana a ialah hipotenus, dan dalam kes kita pinggir piramid; b - kaki pertama atau separuh pepenjuru dan c - masing-masing, kaki kedua, atau ketinggian piramid. Daripada formula ini c² = a² - b².
Sekarang masalahnya: dalam piramid biasa pepenjuru ialah 20 cm, apabila panjang tepi ialah 30 cm. Anda perlu mencari ketinggian. Kami menyelesaikan: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Oleh itu c = √ 500 = kira-kira 22.4.
Bagaimana untuk mencari ketinggian piramid terpotong
Ia adalah poligon dengan keratan rentas selari dengan tapaknya. Ketinggian piramid terpotong ialah segmen yang menghubungkan dua tapaknya. Ketinggian boleh didapati untuk piramid biasa jika panjang pepenjuru kedua-dua tapak, serta tepi piramid, diketahui. Biarkan pepenjuru tapak yang lebih besar ialah d1, manakala pepenjuru tapak yang lebih kecil ialah d2, dan tepi mempunyai panjang l. Untuk mencari ketinggian, anda boleh menurunkan ketinggian dari dua titik bertentangan atas rajah ke pangkalannya. Kami melihat bahawa kami mempunyai dua segi tiga tepat; yang tinggal hanyalah mencari panjang kaki mereka. Untuk melakukan ini, tolak yang lebih kecil daripada pepenjuru yang lebih besar dan bahagikan dengan 2. Jadi kita akan dapati satu kaki: a = (d1-d2)/2. Selepas itu, mengikut teorem Pythagoras, apa yang perlu kita lakukan ialah mencari kaki kedua, iaitu ketinggian piramid.
Sekarang mari kita lihat keseluruhan perkara ini dalam amalan. Kami mempunyai tugas di hadapan kami. Piramid terpotong mempunyai segi empat sama di tapak, panjang pepenjuru tapak yang lebih besar ialah 10 cm, manakala yang lebih kecil ialah 6 cm, dan tepinya ialah 4 cm. Anda perlu mencari ketinggian. Pertama, kita dapati satu kaki: a = (10-6)/2 = 2 cm Satu kaki adalah sama dengan 2 cm, dan hipotenus ialah 4 cm. Ternyata kaki kedua atau ketinggian akan sama dengan 16- 4 = 12, iaitu, h = √12 = kira-kira 3.5 cm.
Piramid dipanggil polyhedron, asasnya adalah poligon sewenang-wenangnya, dan semua muka adalah segi tiga dengan bucu sepunya, iaitu bahagian atas piramid.
Piramid ialah rajah tiga dimensi. Itulah sebabnya selalunya perlu mencari bukan sahaja kawasannya, tetapi juga jumlahnya. Formula untuk isipadu piramid adalah sangat mudah:
di mana S ialah luas tapak, dan h ialah ketinggian piramid.
Ketinggian piramid dipanggil garis lurus menurun dari atas ke pangkal pada sudut tepat. Sehubungan itu, untuk mencari isipadu piramid, adalah perlu untuk menentukan poligon yang terletak di pangkalan, mengira luasnya, mengetahui ketinggian piramid dan mencari isipadunya. Mari kita pertimbangkan contoh pengiraan isipadu piramid.
Masalah: diberi piramid segi empat sekata. 
Sisi tapak ialah a = 3 cm, semua tepi sisi ialah b = 4 cm Cari isipadu piramid itu.
Pertama, ingat bahawa untuk mengira isipadu, anda memerlukan ketinggian piramid. Kita boleh mencarinya menggunakan teorem Pythagoras. Untuk melakukan ini, kita memerlukan panjang pepenjuru, atau lebih tepatnya, separuh daripadanya. Kemudian dengan mengetahui dua sisi segi tiga tepat, kita boleh mencari ketinggian. Pertama, cari pepenjuru: 
Mari kita gantikan nilai ke dalam formula: 
Kami mencari ketinggian h menggunakan d dan tepi b: 
Sekarang mari kita cari