Biarkan garis L dan satu titik A diberi pada satah Mari kita jatuhkan serenjang dari titik A ke garis L (Rajah 1.8, a). Kemudian tapaknya (titik O) dipanggil unjuran ortogonal titik A ke garis L. Jika garis L dan titik A diberi dalam ruang, maka dalam kes ini unjuran ortogonal titik A ke garis L ialah titik O persilangan garis L dengan satah berserenjang dengannya melalui titik A (Rajah 1.8). , b). Jika titik A terletak pada garis L, maka ia bertepatan dengan unjuran ortogonnya ke L.
Untuk vektor - AB (di atas satah atau di angkasa), anda boleh membina unjuran ortogon pada garis lurus Lnya permulaan dan akhir(Gamb. 1.9). Vektor O A O B yang menghubungkan unjuran O A dan O B ini dan terletak pada garis lurus L dipanggil unjuran ortogon vektor AB ke atas garisan L.
Garis lurus di mana satu daripada dua arah yang mungkin diberikan dipanggil paksi. Arah yang dipilih pada paksi ditunjukkan oleh anak panah pada hujung paksi yang sepadan. Unjuran ortogon O A O B vektor AB ke paksi l boleh diterangkan sepenuhnya panjang vektor O A O B , memberikan tanda kepadanya,
menunjukkan arah vektor. Jika arah O A O B bertepatan dengan arah paksi yang diberikan, maka ambil tanda tambah, dan jika arah vektor bertentangan dengan arah paksi, maka ambil tanda tolak. Panjang vektor O A O B dengan tanda yang menentukan arah vektor ini dipanggil unjuran ortogon bagi vektor AB ke paksi l dan menandakan pr l a.
Mari kita ambil perhatian bahawa unjuran ortogon bagi vektor pada paksi ialah nombor, manakala unjuran ortogon bagi vektor pada garis ialah vektor. Agar vektor sepadan dengan nombor sebagai unjurannya, satu daripada dua arah yang mungkin mesti dipilih pada garis lurus.
Setiap vektor bukan sifar l secara unik mentakrifkan paksi: ia boleh dianggap terletak pada garis lurus tertentu dan menentukan arah di atasnya. Unjuran ortogon bagi vektor pada paksi sedemikian dipanggil unjuran ortogon vektor ini ke arah vektor l.
Sudut antara arah dua vektor bukan sifar dipanggil sudut antara vektor ini. Sudut boleh berbeza dari 0 hingga π. Nilai ekstrem 0 dan π sepadan vektor kolinear, masing-masing satu arah dan bertentangan arah. Jika sekurang-kurangnya satu daripada dua vektor ialah sifar, maka sudut antara vektor tersebut tidak ditentukan. Adalah mudah, bagaimanapun, untuk menganggap bahawa dalam kes ini sudut mempunyai nilai sewenang-wenangnya. Oleh itu, vektor sifar adalah kolinear kepada mana-mana yang lain, yang secara rasmi sepadan dengan sudut 0 (atau π). Nilai khusus yang diberikan kepada sudut antara vektor sifar dan beberapa vektor lain dipilih berdasarkan situasi.
Teorem 1.1. Unjuran ortogon bagi vektor a ke arah vektor bukan sifar l adalah sama dengan panjang |a| didarab dengan kosinus sudut φ antara vektor a dan l, i.e.
pr l = a|a| cos
di manakah sudut antara vektor a dan l
◄ Biarkan vektor l terletak pada garis L, dan permulaannya ialah titik A. Mari kita selaraskan permulaan vektor a dengan titik A, dan biarkan penghujungnya menjadi titik B (Rajah 1.10). Mari kita bina unjuran ortogon C titik B pada garis L. Kemudian vektor AC ialah unjuran ortogon bagi vektor a = AB ke garis L.
Jika sudut φ antara vektor a dan l adalah akut (seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 1.10, a), maka hujung vektor l dan titik C terletak pada satu sisi titik A. Dalam kes ini, unjuran a ke arah bagi vektor l adalah sama dengan panjang |AC| = |AB| cosφ kaki AC bagi segi tiga ABC.
Jika sudut φ adalah tumpul (lihat Rajah 1.10, b), maka hujung vektor l dan titik C terletak pada sisi bertentangan titik A. Ini bermakna vektor AC dan l mempunyai arah yang bertentangan, dan unjuran vektor a adalah sama dengan - |AC|. Dalam segi tiga ABC, sudut ψ bersebelahan dengan sisi AC adalah sama dengan π - φ, oleh itu |AC| = |AB| cos(π - φ) = - |AB| cosφ.
Jika φ = π/2 atau a = 0, maka titik C bertepatan dengan titik A dan vektor AC ialah vektor sifar. Walau bagaimanapun, cosπ/2 = 0, oleh itu, dalam kes ini teorem adalah sah juga.
Teorem 1.2. Unjuran ortogon bagi jumlah vektor ke arah vektor bukan sifar adalah sama dengan jumlah unjuran ortogon mereka ke arah vektor ini, dan apabila vektor didarab dengan nombor, unjuran ortogonnya ke arah vektor bukan sifar didarab dengan nombor yang sama:
pr l (a + b) = pr l a + pr l b, pr l (λa) - λpr l a.
◄ Bukti berikut dari Rajah. 1.11. Dalam kes yang ditunjukkan dalam Rajah. 1.11, a, kita mempunyai pr l a = |AB|, pr l b = -|BC|, pr l (a + b) = |AC| = |AB| - |SM|. Dalam kes yang ditunjukkan dalam Rajah. 1.11, b, pr l a = |AB| dan, jika λ > 0, pr l (λa) = |AE| = λ|AB|. Pilihan selebihnya (titik C tidak tergolong dalam segmen AB dalam kes a, λ ≤ 0 dalam kes b) dianggap sama.
Seperti yang dinyatakan di atas, unjuran ortogon ialah kes khas unjuran selari. Dengan unjuran ortogon, sinar unjuran adalah berserenjang dengan satah unjuran.
Radas unjuran tersebut terdiri daripada satu satah unjuran.
Untuk mendapatkan unjuran ortogon bagi titik A, sinar unjuran mesti dilukis melaluinya berserenjang dengan P1. Titik A1 dipanggil unjuran ortogon atau segi empat tepat bagi titik A.
Untuk mendapatkan unjuran ortografik A 1 B 1 segmen AB, ke kapal terbang P 1, perlu melalui mata A Dan DALAM lukis garisan unjuran berserenjang P 1. Apabila mengunjurkan garisan bersilang dengan satah P 1 anda akan mendapat unjuran ortogon A 1 Dan DALAM 1 mata A Dan DALAM. Dengan menyambung unjuran ortogon A 1 Dan DALAM 1 kita mendapat unjuran ortogon A 1 B 1 segmen AB.
Semua sifat unjuran selari juga sah untuk unjuran ortogon. Walau bagaimanapun, unjuran ortogon mempunyai beberapa sifat lain.
Sifat unjuran ortografik:
1. Panjang segmen adalah sama dengan panjang unjurannya dibahagikan dengan kosinus sudut kecondongan segmen itu kepada satah unjuran.
Mari kita ambil garis lurus AB dan membina unjuran ortogonnya A 1 B 1 ke kapal terbang P 1. Jika anda melukis garis lurus AC || A 1 B 1, kemudian dari segi tiga ABC mengikuti itu |AC| : |AB| = cos a atau |AB| = |A 1 B 1 | : cos a, kerana |A 1 B 1 | = |AC|.
2. Di samping itu, untuk unjuran ortogon ia akan menjadi benar teorem unjuran sudut tegak:
Teorem: Jika sekurang-kurangnya satu sisi sudut tepat selari dengan satah unjuran, dan satu lagi tidak berserenjang dengannya, maka sudut itu diunjurkan ke satah ini dalam saiz penuh.
Bukti:
Diberi sudut tepat ABC, yang mengikut keadaan mempunyai garis lurus BC AB Dan Matahari || satah unjuran P 1. Dengan pembinaan ia lurus matahari kepada rasuk unjuran BB 1. Oleh itu, garis lurus matahari ke kapal terbang b (АВхВВ1), kerana ia adalah kepada dua garis bersilang yang terletak dalam satah ini. Dengan syarat, lurus B 1 C 1 || matahari, oleh itu juga ke kapal terbang b, iaitu, dan langsung A 1 B 1 kapal terbang ini. Oleh itu, sudut antara garisan A 1 B 1 Dan B 1 C 1 sama dengan 90°, itulah yang perlu dibuktikan.
Unjuran ortogon memberikan kesederhanaan pembinaan geometri apabila menentukan unjuran ortogon mata, serta keupayaan untuk mengekalkan bentuk dan dimensi rajah yang diunjurkan pada unjuran. Kelebihan ini telah memastikan bahawa unjuran ortogon digunakan secara meluas dalam lukisan teknikal.
Kaedah unjuran yang dipertimbangkan memungkinkan untuk menyelesaikan masalah langsung geometri deskriptif, iaitu, untuk membina lukisan rata daripada asal. Unjuran pada satu satah yang diperoleh dengan cara ini memberikan idea yang tidak lengkap tentang objek, bentuk dan kedudukannya dalam ruang, iaitu lukisan sedemikian tidak mempunyai sifat keterbalikan.
Untuk mendapatkan lukisan boleh balik, i.e. lukisan yang memberikan gambaran lengkap tentang bentuk, saiz dan kedudukan asal dalam ruang ditambah lukisan satu gambar. Bergantung pada add-on, terdapat pelbagai jenis lukisan.
- Gambar rajah Monge atau unjuran ortogon. Intipati kaedah unjuran ortogon (segi empat tepat) ialah yang asal diunjurkan secara ortogon ke 2 atau 3 satah unjuran saling ortogon, dan kemudian menggabungkannya dengan satah lukisan.
- Lukisan aksonometrik. Intipati lukisan aksonometrik ialah pertama sekali lukisan asal dikaitkan dengan sistem koordinat Cartesan. OXYZ, unjurkannya secara ortogon ke salah satu satah unjuran OXY, atau OXZ. Kemudian, dengan unjuran selari, unjuran selari bagi struktur yang terhasil ditemui: paksi koordinat OX, OY, OZ, unjuran sekunder dan asal.
- Lukisan perspektif. Apabila membina lukisan perspektif, mula-mula satu membina satu unjuran ortogon, dan kemudian pada satah gambar unjuran tengah unjuran ortografik yang dibina sebelum ini dan yang asal itu sendiri ditemui.
- Unjuran dengan tanda berangka, dsb. Untuk mendapatkan unjuran dengan tanda berangka, yang asal diunjurkan secara ortogon pada satah aras sifar dan jarak dari titik asal ke satah ini ditunjukkan.
Marilah kita memikirkan dengan lebih terperinci mengenai kajian unjuran segi empat tepat dan lukisan aksonometrik.
Unjuran ortogon ialah kes khas unjuran selari, apabila arah unjuran S berserenjang (ortogon) dengan satah unjuran S 1 (Rajah 1.11).
nasi. 1.11. Unjuran ortogon sudut tegak
Unjuran ortogon digunakan secara meluas dalam amalan kejuruteraan untuk menggambarkan angka geometri pada satah, kerana ia mempunyai beberapa kelebihan berbanding unjuran tengah dan selari (serong), yang termasuk:
a) kesederhanaan pembinaan grafik untuk menentukan unjuran ortogon mata;
b) keupayaan, dalam keadaan tertentu, untuk mengekalkan bentuk dan saiz rajah yang diunjurkan pada unjuran.
Kelebihan ini telah memastikan penggunaan meluas unjuran ortogon dalam teknologi, khususnya untuk penyediaan lukisan kejuruteraan mekanikal.
Untuk unjuran ortogon, kesemua sembilan sifat invarian yang dibincangkan di atas adalah sah. Di samping itu, perlu diperhatikan satu lagi, kesepuluh, sifat invarian, yang hanya sah untuk unjuran ortogon.
10. Jika sekurang-kurangnya satu sisi sudut tepat selari dengan satah unjuran, maka sudut tepat diunjurkan ke satah unjuran ini tanpa herotan (Gamb. 1.11)
Dalam Rajah. Rajah 1.11 menunjukkan sudut tegak ABD, kedua-dua belahnya selari dengan satah unjuran 1. Mengikut sifat invarian 9.2, sudut ini diunjurkan ke atas satah 1 tanpa herotan, iaitu A 1 B 1 D 1 =90.
Mari kita ambil titik C sembarangan pada rasuk unjuran DD 1, maka ABC yang terhasil akan lurus, kerana ABBB 1 DD 1 .
Unjuran sudut tegak ABC ini, yang mana hanya satu sisi AB selari dengan satah unjuran 1, akan menjadi sudut tegak A 1 B 1 D 1.
Bercakap tentang angka geometri dan unjurannya, perlu diingat bahawa unjuran rajah ialah set unjuran semua titiknya.
1.6. Sistem tiga satah unjuran. Epure Monge.
Semua rajah geometri spatial boleh diorientasikan relatif kepada sistem segi empat tepat Cartesan paksi koordinat - sistem tiga satah koordinat saling berserenjang (Rajah 1.12).
nasi. 1.12. Imej sistem unjuran tiga satah
Satah koordinat ini ditetapkan:
satah unjuran mendatar - 1;
satah unjuran hadapan - 2;
satah unjuran profil - 3.
Garis persilangan satah ini membentuk paksi koordinat: paksi absis – X; paksi ordinat – Y; guna paksi – Z. Titik O persilangan paksi koordinat diambil sebagai asalan koordinat dan ditetapkan dengan huruf O. Arah positif paksi dipertimbangkan: untuk paksi x - di sebelah kiri asalan , untuk paksi Y - ke arah penonton dari satah 2, untuk paksi z - naik dari satah 1; arah bertentangan dianggap negatif.
Untuk memudahkan penaakulan lanjut, kami akan mempertimbangkan hanya bahagian ruang yang terletak di sebelah kiri satah profil unjuran 3.
Dengan andaian ini, tiga satah koordinat unjuran membentuk empat sudut spatial - oktant (dalam kes umum - 8 oktant).
Daripada Rajah. 1.12 dapat dilihat bahawa absis X membahagikan satah mengufuk unjuran 1 kepada dua bahagian: separuh hadapan 1 (paksi X dan Y) dan separuh belakang 1 (paksi X dan - Y).
Paksi X membahagi satah unjuran hadapan 2 juga kepada dua bahagian: separuh atas 2 (paksi X dan Z) dan separuh bawah 2 (paksi X dan - Z).
Paksi ordinat Y dan aplikasi Z membahagikan satah profil unjuran 3 kepada empat bahagian:
tingkat hadapan atas 3 (paksi Y dan Z)
lantai atas belakang 3 (paksi-Y dan Z)
tingkat hadapan bawah 3 (paksi Y dan –Z)
tingkat bawah belakang ke-3 (paksi – Y dan –Z)
Untuk mendapatkan model rata (dua dimensi) bagi satah unjuran koordinat spatial, satah mendatar 1 dan profil 3 digabungkan dengan satah hadapan 2 dalam susunan yang ditunjukkan oleh anak panah dalam Rajah. 1.12.
P 
Dalam kes ini, satah unjuran mendatar 1 berputar mengelilingi paksi X sebanyak 90, dan satah unjuran profil 3 berputar mengelilingi paksi Z juga sebanyak 90 (arah putaran ditunjukkan dalam Rajah 1.12).
Gabungan tiga satah unjuran yang diperoleh dengan cara ini (Rajah 1.13) ialah model rata bagi sistem tiga ruang
Kepada
nasi. 1.13. Model spatial titik A
Untuk membina model rata bagi rajah geometri spatial, setiap titiknya diunjurkan secara ortogon pada satah unjuran 1, 2 dan 3, yang kemudiannya digabungkan menjadi satu satah. Model rata bagi rajah geometri spatial yang diperoleh dengan cara ini dipanggil gambar rajah Monge.
Urutan membina gambar rajah titik yang terletak di oktan pertama.
Dalam Rajah. Rajah 1.13 menunjukkan titik spatial A, koordinatnya (x, y, z) menunjukkan jarak di mana titik itu dialihkan daripada satah unjuran.
D 
Untuk mendapatkan unjuran ortogon bagi titik A, adalah perlu untuk menurunkan serenjang dari titik ini ke satah unjuran.
Titik persilangan serenjang ini dengan satah unjuran membentuk unjuran titik A:
A 1 – unjuran mendatar titik;
A 2 – unjuran hadapan titik;
A
nasi. 1.14. Gambar rajah titik A
Dalam Rajah. 1.14 satah unjuran 1 dan 3 digabungkan dengan satah lukisan (dengan satah unjuran 2), dan bersama-sama dengannya digabungkan dengan satah lukisan dan unjuran titik A (A 1, A 2, A 3) dan dengan itu model satah bagi satah koordinat diperolehi unjuran dan model satah titik spatial A - rajahnya.
Kedudukan unjuran titik A pada rajah ditentukan secara unik oleh tiga koordinatnya (Rajah 1.14).
Dalam Rajah. 1.13 dan rajah. 1.14 juga jelas bahawa dalam rajah unjuran mendatar dan hadapan mata terletak pada serenjang yang sama dengan paksi X, serta unjuran hadapan dan profil - pada serenjang yang sama dengan paksi Z:
A 1 A 2 X, A 2 A 3 Z.
Daripada Rajah 1.12 adalah jelas bahawa titik yang terletak dalam oktan yang berbeza mempunyai tanda koordinat tertentu.
Jadual menunjukkan tanda-tanda koordinat titik yang terletak dalam oktan yang berbeza
Jadual tanda koordinat
|
Tanda-tanda koordinat |
|||
Soalan untuk mengawal diri
Apakah idea di sebalik kaedah unjuran?
Apakah intipati unjuran pusat dan apakah sifat utamanya?
Apakah intipati unjuran selari dan apakah sifat utamanya?
Apakah intipati unjuran ortogon (segi empat tepat)?
Bagaimanakah teorem unjuran sudut tepat dirumuskan?
Tugasan serupa:
Sisi AB bagi rombus ABCD adalah sama dengan a, salah satu sudut ialah 60 darjah. Sebuah satah alfa dilukis melalui sisi AB pada jarak a/2 dari titik D.
a) cari jarak dari titik C ke satah alfa.
b) tunjukkan dalam rajah sudut dihedral linear DABM. M milik alfa.
c) Cari sinus sudut antara satah rombus dan satah alfa.
Sisi AB bagi rombus ABCD adalah sama dengan a, salah satu sudut ialah 60 darjah. Sebuah satah alfa dilukis melalui sisi AB pada jarak a/2 dari titik D. a) cari jarak dari titik C ke satah alfa. b) tunjukkan dalam rajah sudut dihedral linear DABM. M milik alfa. c) Cari sinus sudut antara satah rombus dan satah alfa.
Sisi AB bagi rombus ABCD adalah sama dengan a, dan salah satu sudutnya adalah sama dengan 60 darjah. Sebuah satah alfa dilukis melalui sisi AB pada jarak a2 dari titik D.
a) Cari jarak dari titik C ke satah alfa.
b) Tunjukkan dalam rajah sudut linear bagi sudut dihedral DABM, M kepunyaan pl. alfa.
c) Cari sinus sudut antara satah rombus dan satah alfa.
Pertimbangkan sebuah kapal terbang hlm dan garis lurus yang memotongnya . biarlah A - titik sewenang-wenangnya dalam ruang. Mari kita lukis garis lurus melalui titik ini , selari dengan garisan . biarlah . titik dipanggil unjuran titik A ke kapal terbang hlm dengan reka bentuk selari sepanjang garis lurus yang diberikan . kapal terbang hlm , yang mana titik ruang diunjurkan dipanggil satah unjuran.
p - satah unjuran;
- reka bentuk langsung; ;
; ; ;
Reka bentuk ortogon ialah kes khas reka bentuk selari. Reka bentuk ortogon ialah reka bentuk selari di mana garis reka bentuk berserenjang dengan satah unjuran. Reka bentuk ortogon digunakan secara meluas dalam lukisan teknikal, di mana rajah diunjurkan ke tiga satah - mendatar dan dua menegak.
Definisi:
Unjuran ortogon bagi sesuatu titik M ke kapal terbang hlm dipanggil pangkalan M 1 berserenjang MM 1, jatuh dari titik M ke kapal terbang hlm.
Jawatan: , 
, .
Definisi: Unjuran ortogon bagi suatu rajah F ke kapal terbang hlm ialah set semua titik satah yang merupakan unjuran ortogon bagi set titik rajah itu F ke kapal terbang hlm.
Reka bentuk ortogon, sebagai kes khas reka bentuk selari, mempunyai sifat yang sama:
p - satah unjuran;
- reka bentuk langsung; ;
1) ;
2) , .
- Unjuran garis selari adalah selari.
KAWASAN Unjuran RAJAH RATA
Teorem: Luas unjuran poligon satah pada satah tertentu adalah sama dengan luas poligon unjuran didarab dengan kosinus sudut antara satah poligon dan satah unjuran.
Peringkat 1: Rajah unjuran ialah segitiga ABC, sisi AC terletak pada satah unjuran a (selari dengan satah unjuran a).
Diberi:
Buktikan:
Bukti:
1. ; ;
2. ; ; ; ;
3. ; 
;
4. Dengan teorem tiga serenjang;
ВD – ketinggian; B 1 D – ketinggian;
5. – sudut linear sudut dihedral;
6. ; ; ; 
;
Peringkat 2: Rajah unjuran ialah segi tiga ABC, tiada satu pun sisinya terletak pada satah unjuran a dan tidak selari dengannya.
Diberi:
Buktikan:
Bukti:
1. ; ;
2. ; ;
4. ; ; ;
(Tahap 1);
5. ; ; ;
(Tahap 1);
Peringkat: Rajah yang direka bentuk ialah poligon sewenang-wenangnya.
Bukti:
Poligon dibahagikan dengan pepenjuru yang dilukis dari satu bucu kepada bilangan segi tiga yang terhingga, bagi setiap satu teoremnya adalah benar. Oleh itu, teorem juga akan benar untuk hasil tambah luas semua segi tiga yang satahnya membentuk sudut yang sama dengan satah unjuran.
Komen: Teorem yang terbukti adalah sah untuk mana-mana rajah satah yang dibatasi oleh lengkung tertutup.
Senaman:
1. Cari luas segi tiga yang satahnya condong kepada satah unjuran pada sudut , jika unjurannya ialah segi tiga sekata dengan sisi a.
2. Cari luas segi tiga yang satahnya condong kepada satah unjuran pada sudut , jika unjurannya ialah segi tiga sama kaki dengan sisi 10 cm dan tapak 12 cm.
3. Cari luas segi tiga yang satahnya condong kepada satah unjuran pada sudut , jika unjurannya ialah segi tiga dengan sisi 9, 10 dan 17 cm.
4. Kira luas trapezoid, yang satahnya condong kepada satah unjuran pada sudut , jika unjurannya ialah trapezoid sama kaki, tapak yang lebih besar ialah 44 cm, sisinya ialah 17 cm dan pepenjuru. ialah 39 cm.
5. Kira luas unjuran heksagon sekata dengan sisi 8 cm, satahnya condong ke satah unjuran pada sudut.
6. Rombus dengan sisi 12 cm dan sudut lancip membentuk sudut dengan satah tertentu. Kira luas unjuran rombus pada satah ini.
7. Sebuah rombus dengan sisi 20 cm dan pepenjuru 32 cm membentuk sudut dengan satah tertentu. Kira luas unjuran rombus pada satah ini.
8. Unjuran kanopi pada satah mengufuk ialah segi empat tepat dengan sisi dan . Cari luas kanopi jika muka sisi adalah segi empat sama yang condong ke satah mengufuk pada sudut, dan bahagian tengah kanopi ialah segi empat sama selari dengan satah unjuran.
11. Latihan mengenai topik "Garisan dan satah di angkasa":
Sisi segi tiga itu adalah sama dengan 20 cm, 65 cm, 75 cm Daripada bucu sudut yang lebih besar bagi segi tiga itu, sebuah serenjang bersamaan dengan 60 cm dilukis pada satahnya sisi yang lebih besar bagi segi tiga itu.
2. Dari satu titik yang terletak pada jarak cm dari satah, dua titik condong dilukis, membentuk sudut dengan satah sama dengan , dan sudut tepat di antara mereka. Cari jarak antara titik persilangan satah condong.
3. Sisi segi tiga sekata ialah 12 cm Titik M dipilih supaya ruas yang menghubungkan titik M dengan semua bucu segitiga itu membentuk sudut dengan satahnya. Cari jarak dari titik M ke bucu dan sisi segi tiga.
4. Sebuah satah dilukis melalui sisi segi empat sama pada sudut kepada pepenjuru segi empat sama. Cari sudut di mana dua sisi segi empat sama condong ke satah.
5. Kaki segi tiga sama kaki condong kepada satah a melalui hipotenus pada sudut . Buktikan bahawa sudut antara satah a dan satah segi tiga adalah sama dengan .
6. Sudut dihedral antara satah segi tiga ABC dan DBC adalah sama dengan . Cari AD jika AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm, BD = DC = cm.
Soalan ujian mengenai topik "Garisan dan satah di angkasa"
1. Senaraikan konsep asas stereometri. Rumuskan aksiom stereometri.
2. Buktikan akibat daripada aksiom.
3. Apakah kedudukan relatif dua garisan dalam ruang? Berikan definisi garis bersilang, selari dan condong.
4. Buktikan tanda garisan senget.
5. Apakah kedudukan relatif bagi garisan dan satah itu? Berikan definisi bersilang, garis selari dan satah.
6. Buktikan tanda selari antara garis dan satah.
7. Apakah kedudukan relatif kedua-dua satah itu?
8. Tentukan satah selari. Buktikan tanda bahawa dua satah adalah selari. Nyatakan teorem tentang satah selari.
9. Tentukan sudut antara garis lurus.
10. Buktikan tanda serenjang bagi garis dan satah.
11. Takrifkan tapak serenjang, tapak condong, unjuran condong ke atas satah. Rumuskan sifat garis serenjang dan condong yang jatuh ke atas satah dari satu titik.
12. Tentukan sudut antara garis lurus dan satah.
13. Buktikan teorem tentang tiga serenjang.
14. Berikan definisi sudut dihedral, sudut linear sudut dihedral.
15. Buktikan tanda keserenjang dua satah.
16. Tentukan jarak antara dua titik yang berbeza.
17. Tentukan jarak dari titik ke garis.
18. Tentukan jarak dari titik ke satah.
19. Tentukan jarak antara garis lurus dan satah yang selari dengannya.
20. Tentukan jarak antara satah selari.
21. Tentukan jarak antara garis bersilang.
22. Takrifkan unjuran ortogon suatu titik pada satah.
23. Takrifkan unjuran ortogon suatu rajah ke atas satah.
24. Merumus sifat unjuran pada satah.
25. Merumus dan membuktikan satu teorem pada luas unjuran poligon satah.