Kami terus mempertimbangkan tugas-tugas yang termasuk dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik. Kami telah pun mengkaji masalah di mana syarat diberikan dan ia dikehendaki mencari jarak antara dua titik atau sudut yang diberikan.
Dalam artikel ini kita akan melihat masalah untuk menyelesaikan piramid biasa. Ini adalah piramid di pangkalan yang terletak poligon sekata(dalam masalah yang dikemukakan segi tiga sama sisi atau segi empat sama).
Anda perlu mencari beberapa elemen, luas permukaan sisi, isipadu, ketinggian. Sudah tentu, anda perlu mengetahui teorem Pythagoras, formula untuk luas permukaan sisi piramid, dan formula untuk mencari isipadu piramid.
Dalam artikel " " membentangkan semua formula yang diperlukan untuk menyelesaikan. Jadi, tugasan:
SABCD titik O- tengah pangkalan,S puncak, JADI = 51, A.C.= 136. Cari tepi sisiS.C..
DALAM dalam kes ini tapaknya ialah segi empat sama. Ini bermakna pepenjuru AC dan BD adalah sama, ia bersilang dan dibelah dua oleh titik persilangan. Perhatikan bahawa dalam piramid yang betul ketinggian yang dijatuhkan dari puncaknya melalui pusat pangkal piramid. Jadi SO ialah ketinggian dan segi tigaSOCsegi empat tepat. Kemudian mengikut teorem Pythagoras:
Bagaimana untuk mengekstrak akar dari bilangan yang besar.
Jawapan: 85
Tentukan sendiri:
Dalam piramid segi empat biasa SABCD titik O- tengah pangkalan, S puncak, JADI = 4, A.C.= 6. Cari tepi sisi S.C..
Dalam piramid segi empat biasa SABCD titik O- tengah pangkalan, S puncak, S.C. = 5, A.C.= 6. Cari panjang ruas itu JADI.
Dalam piramid segi empat biasa SABCD titik O- tengah pangkalan, S puncak, JADI = 4, S.C.= 5. Cari panjang ruas itu A.C..
SABC R- tengah rusuk B.C., S- atas. Adalah diketahui bahawa AB= 7, a S.R.= 16. Cari luas permukaan sisi.
Luas permukaan sisi piramid segi tiga biasa adalah sama dengan separuh hasil darab perimeter tapak dan apotema (apotema ialah ketinggian muka sisi piramid biasa yang dilukis dari bucunya):
Atau kita boleh mengatakan ini: luas permukaan sisi piramid adalah sama dengan jumlahnya tiga segi empat sama tepi tepi. Muka sisi dalam piramid segi tiga sekata ialah segi tiga dengan luas yang sama. Dalam kes ini:
Jawapan: 168
Tentukan sendiri:
Dalam piramid segi tiga biasa SABC R- tengah rusuk B.C., S- atas. Adalah diketahui bahawa AB= 1, a S.R.= 2. Cari luas permukaan sisi.
Dalam piramid segi tiga biasa SABC R- tengah rusuk B.C., S- atas. Adalah diketahui bahawa AB= 1, dan luas permukaan sisi ialah 3. Cari panjang ruas itu S.R..
Dalam piramid segi tiga biasa SABC L- tengah rusuk B.C., S- atas. Adalah diketahui bahawa SL= 2, dan luas permukaan sisi ialah 3. Cari panjang ruas itu AB.
Tugasan 14. Dalam segi empat biasa piramid SABCD dengan bucu S sisi tapak ialah 6. Titik L ialah tengah tepi SC. Tangen sudut antara garis BL dan SA adalah sama dengan 2.
a) Biarkan O ialah pusat asas piramid. Buktikan bahawa garis AS dan OL adalah selari.
b) Cari luas permukaan piramid.
Penyelesaian.
A) Di dasar piramid sekata ialah segi empat sama, iaitu ABCD ialah segi empat sama. Diagonal dalam segi empat sama bersilang pada titik O dan dibelah dua oleh titik ini. Titik L ialah tengah SC mengikut keadaan masalah. Ia berikutan bahawa OL ialah garis tengah bagi segi tiga SAC dan, oleh itu, dan .
b) Mula-mula, mari kita cari panjang tepi sisi AS. Mengambil kira perkara a) kita boleh membuat kesimpulan bahawa masalah memberikan nilai 
(lihat gambar). Mari kita pertimbangkan segi tiga sama kaki DLB (sejak DL=LB), di mana titik O terletak di tengah-tengah BD, oleh itu, LO ialah median dan ketinggian segi tiga DLB, iaitu, segi tiga LOB adalah bersudut tegak. Kemudian kita boleh menulis itu
.
Sebaliknya, OB adalah sama dengan separuh BD dan dari segi tiga tepat BDC mengikut teorem Pythagoras, kita ada:
.
Dalam titik a) telah ditunjukkan bahawa, iaitu
9 Mac 2012
Apabila menyelesaikan Masalah C2 menggunakan kaedah koordinat, ramai pelajar menghadapi masalah yang sama. Mereka tidak boleh mengira koordinat titik termasuk dalam formula produk titik. Kesukaran terbesar timbul piramid. Dan jika mata asas dianggap lebih kurang normal, maka puncak adalah neraka yang sebenar.
Hari ini kita akan mengusahakan piramid segi empat biasa. Terdapat juga piramid segi tiga (aka - tetrahedron). Ia lebih reka bentuk yang kompleks, jadi pelajaran yang berasingan akan ditumpukan kepadanya.
Pertama, mari kita ingat definisi:
Piramid biasa ialah piramid yang:
- Asasnya ialah poligon biasa: segi tiga, segi empat sama, dsb.;
- Ketinggian yang ditarik ke pangkalan melalui pusatnya.
Khususnya, asas piramid segi empat adalah segi empat sama. Sama seperti Cheops, hanya sedikit lebih kecil.
Di bawah ialah pengiraan untuk piramid di mana semua tepi adalah sama dengan 1. Jika ini tidak berlaku dalam masalah anda, pengiraan tidak berubah - hanya nombor sahaja yang berbeza.
Bucu piramid segi empat
Jadi, biarkan sebuah piramid segi empat sama biasa SABCD diberikan, dengan S ialah bucu dan tapak ABCD ialah segi empat sama. Semua tepi adalah sama dengan 1. Anda perlu memasukkan sistem koordinat dan mencari koordinat semua titik. Kami ada:
Kami memperkenalkan sistem koordinat dengan asalan di titik A:
- Paksi OX diarahkan selari dengan tepi AB;
- Paksi OY selari dengan AD. Oleh kerana ABCD ialah segi empat sama, AB ⊥ AD;
- Akhir sekali, kami mengarahkan paksi OZ ke atas, berserenjang dengan satah ABCD.
Sekarang kita mengira koordinat. Pembinaan tambahan: SH - ketinggian ditarik ke pangkalan. Untuk kemudahan, kami akan meletakkan asas piramid dalam lukisan berasingan. Oleh kerana titik A, B, C dan D terletak pada satah OXY, koordinatnya ialah z = 0. Kami mempunyai:
- A = (0; 0; 0) - bertepatan dengan asal;
- B = (1; 0; 0) - langkah demi 1 sepanjang paksi OX dari asal;
- C = (1; 1; 0) - langkah demi 1 di sepanjang paksi OX dan dengan 1 di sepanjang paksi OY;
- D = (0; 1; 0) - langkah sahaja sepanjang paksi OY.
- H = (0.5; 0.5; 0) - pusat persegi, tengah segmen AC.
Ia kekal untuk mencari koordinat titik S. Perhatikan bahawa koordinat x dan y bagi titik S dan H adalah sama, kerana ia terletak pada garis lurus, paksi selari OZ. Ia kekal untuk mencari koordinat z untuk titik S.
Pertimbangkan segi tiga ASH dan ABH:
- AS = AB = 1 mengikut syarat;
- Sudut AHS = AHB = 90°, kerana SH ialah ketinggian dan AH ⊥ HB sebagai pepenjuru segi empat sama;
- Side AH adalah perkara biasa.
Oleh itu, segi tiga tegak ASH dan ABH sama rata satu kaki dan satu hipotenus setiap satu. Ini bermakna SH = BH = 0.5 BD. Tetapi BD ialah pepenjuru segi empat sama dengan sisi 1. Oleh itu kita ada:
Jumlah koordinat titik S:
Sebagai kesimpulan, kami menulis koordinat semua bucu piramid segi empat tepat biasa:
Apa yang perlu dilakukan apabila tulang rusuk berbeza
Bagaimana jika tepi sisi piramid tidak sama dengan tepi tapak? Dalam kes ini, pertimbangkan segi tiga AHS:
Segitiga AHS - segi empat tepat, dan hipotenus AS juga merupakan pinggir sisi piramid asal SABCD. Kaki AH mudah dikira: AH = 0.5 AC. Kami akan mencari kaki yang tinggal SH mengikut teorem Pythagoras. Ini akan menjadi koordinat z untuk titik S.
Tugasan. Diberi sebuah piramid segi empat sekata SABCD, di pangkalnya terletak sebuah segi empat sama dengan sisi 1. Tepi sisi BS = 3. Cari koordinat titik S.
Kita sudah mengetahui koordinat x dan y bagi titik ini: x = y = 0.5. Ini berikutan daripada dua fakta:
- Unjuran titik S pada satah OXY ialah titik H;
- Pada masa yang sama, titik H ialah pusat segi empat sama ABCD, semua sisinya sama dengan 1.
Ia kekal untuk mencari koordinat titik S. Pertimbangkan segi tiga AHS. Ia adalah segi empat tepat, dengan hipotenus AS = BS = 3, kaki AH ialah separuh pepenjuru. Untuk pengiraan lanjut kita memerlukan panjangnya:
Teorem Pythagoras untuk segi tiga AHS: AH 2 + SH 2 = AS 2. Kami ada:
Jadi, koordinat titik S:
Dalam piramid segi empat biasa SABCD, titik O ialah pusat tapak, SD=26, AC=20. Cari panjang ruas SO.
Penyelesaian masalah
Pelajaran video membentangkan masalah pengiraan daripada Peperiksaan Negeri Bersepadu (B13) untuk mencari tepi sisi piramid segi empat. Apabila menyelesaikan masalah, ingat bahawa ketinggian dalam piramid segi empat biasa ialah segmen yang menghubungkan bahagian atas piramid tertentu dengan pusat tapak. Konsep piramid segi empat biasa digunakan. Ini adalah piramid dengan tapak segi empat sama dan rusuk sebelah adalah sama. Disimpulkan bahawa titik di tengah segi empat sama membahagi pepenjuru kepada dua bahagian yang sama. Segi tiga tepat dikira. Untuk mencari kaki masuk segi tiga tepat Teorem Pythagoras digunakan: segi empat sama hipotenus sama dengan jumlah segi empat sama kaki. Kuantiti yang dikehendaki dinyatakan.
Penyelesaian kepada masalah ini bertujuan untuk pelajar gred 10 apabila mempelajari topik: "Piramid yang betul" (Konsep piramid biasa. Menyelesaikan masalah). Pelajaran video pendidikan akan berguna untuk pelajar gred 11 dalam persediaan untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu.