Apabila seseorang telah mengambil langkah bebas pertama dalam mengkaji analisis matematik dan mula bertanya soalan yang tidak selesa, ia tidak lagi begitu mudah untuk melepaskan diri dengan frasa bahawa "kalkulus pembezaan ditemui dalam kubis." Oleh itu, sudah tiba masanya untuk ditentukan dan mendedahkan rahsia kelahiran jadual terbitan dan peraturan pembezaan. Bermula dalam artikel tentang maksud terbitan, yang saya sangat mengesyorkan belajar, kerana di sana kita hanya melihat konsep terbitan dan mula mengklik pada masalah pada topik tersebut. Pelajaran yang sama ini mempunyai orientasi praktikal yang jelas, lebih-lebih lagi,
contoh yang dibincangkan di bawah boleh, pada dasarnya, dikuasai secara formal semata-mata (contohnya, apabila tiada masa/keinginan untuk mendalami intipati terbitan). Ia juga sangat wajar (tetapi sekali lagi tidak perlu) untuk dapat mencari derivatif menggunakan kaedah "biasa" - sekurang-kurangnya pada tahap dua pelajaran asas: Bagaimana untuk mencari derivatif dan Derivatif bagi fungsi kompleks.
Tetapi ada satu perkara yang kita pasti tidak boleh lakukan tanpa sekarang, ia had fungsi. Anda mesti FAHAM apa itu had dan boleh menyelesaikannya sekurang-kurangnya pada tahap pertengahan. Dan semua kerana terbitan
fungsi pada satu titik ditentukan oleh formula:
Izinkan saya mengingatkan anda tentang sebutan dan istilah: mereka memanggil pertambahan hujah;
– peningkatan fungsi;
– ini adalah simbol TUNGGAL (“delta” tidak boleh “dipotong” daripada “X” atau “Y”).
Jelas sekali, pembolehubah "dinamik" adalah pemalar dan hasil pengiraan had 
– nombor (kadang-kadang - infiniti "tambah" atau "tolak").
Sebagai satu perkara, anda boleh mempertimbangkan SEBARANG nilai yang dimiliki domain definisi fungsi di mana terbitan wujud.
Nota: klausa "di mana terbitan wujud" ialah secara umum ia adalah signifikan! Jadi, sebagai contoh, walaupun titik dimasukkan dalam domain definisi fungsi, terbitannya
tidak wujud di sana. Oleh itu formula
tidak terpakai pada titik
dan rumusan yang dipendekkan tanpa tempahan adalah salah. Fakta yang sama adalah benar untuk fungsi lain dengan "pecah" dalam graf, khususnya, untuk arcsine dan arccosine.
Oleh itu, selepas menggantikan , kami mendapat formula kerja kedua:
Beri perhatian kepada keadaan berbahaya yang boleh mengelirukan teko: dalam had ini, "x", sebagai pembolehubah bebas, memainkan peranan sebagai statistik, dan "dinamik" sekali lagi ditetapkan oleh kenaikan. Hasil pengiraan had
ialah fungsi terbitan.
Berdasarkan perkara di atas, kami merumuskan syarat dua masalah biasa:
- Cari derivatif pada satu titik, menggunakan definisi terbitan.
- Cari fungsi terbitan, menggunakan definisi terbitan. Versi ini, menurut pemerhatian saya, adalah lebih biasa dan akan diberi perhatian utama.
Perbezaan asas antara tugas ialah dalam kes pertama anda perlu mencari nombornya (sebagai pilihan, infiniti), dan pada yang kedua –
fungsi Di samping itu, derivatif mungkin tidak wujud sama sekali.
bagaimana?
Buat nisbah dan hitung had.
Dari mana ia datang? jadual terbitan dan peraturan pembezaan ? Terima kasih kepada satu-satunya had
Nampak macam sihir, tapi
dalam realiti - tipu muslihat dan tiada penipuan. Pada pelajaran Apakah derivatif? Saya mula melihat contoh khusus di mana, menggunakan definisi, saya menemui derivatif fungsi linear dan kuadratik. Untuk tujuan pemanasan kognitif, kami akan terus mengganggu jadual derivatif, mengasah algoritma dan penyelesaian teknikal:
Pada asasnya, anda perlu membuktikan kes khas derivatif fungsi kuasa, yang biasanya muncul dalam jadual: .
Penyelesaiannya secara teknikal diformalkan dalam dua cara. Mari kita mulakan dengan pendekatan pertama yang sudah biasa: tangga bermula dengan papan, dan fungsi terbitan bermula dengan terbitan pada satu titik.
Pertimbangkan beberapa perkara (khusus) kepunyaan domain definisi fungsi yang terdapat derivatif. Mari kita tetapkan kenaikan pada ketika ini (sudah tentu, tidak melampaui o/o -ya) dan susun kenaikan yang sepadan bagi fungsi:
Mari kita mengira had:
Ketidakpastian 0:0 dihapuskan dengan teknik standard, dianggap kembali pada abad pertama SM. Jom perbanyakkan
pengangka dan penyebut bagi ungkapan konjugat 
:
Teknik untuk menyelesaikan had tersebut dibincangkan secara terperinci dalam pelajaran pengenalan. tentang had fungsi.
Oleh kerana anda boleh memilih SEBARANG titik selang sebagai
Kemudian, setelah membuat penggantian, kami mendapat:
Sekali lagi mari kita bergembira dengan logaritma:
Cari terbitan fungsi menggunakan definisi terbitan
Penyelesaian: Mari kita pertimbangkan pendekatan yang berbeza untuk mempromosikan tugas yang sama. Ia betul-betul sama, tetapi lebih rasional dari segi reka bentuk. Ideanya adalah untuk menyingkirkan
subskrip dan gunakan huruf dan bukannya surat.
Pertimbangkan perkara sewenang-wenangnya domain definisi fungsi (selang waktu), dan tetapkan kenaikan di dalamnya. Tetapi di sini, dengan cara ini, seperti dalam kebanyakan kes, anda boleh melakukannya tanpa sebarang tempahan, kerana fungsi logaritma boleh dibezakan pada mana-mana titik dalam domain definisi.
Kemudian kenaikan fungsi yang sepadan ialah:
Mari cari derivatif:
Kesederhanaan reka bentuk diseimbangkan oleh kekeliruan yang boleh
berlaku di kalangan pemula (dan bukan sahaja). Lagipun, kita sudah biasa dengan fakta bahawa huruf "X" berubah dalam had! Tetapi di sini semuanya berbeza: - patung antik, dan - pelawat yang masih hidup, berjalan pantas di sepanjang koridor muzium. Iaitu, "x" adalah "seperti pemalar."
Saya akan mengulas mengenai penghapusan ketidakpastian langkah demi langkah:
(1)
Menggunakan sifat logaritma
.
(2) Dalam kurungan, bahagikan pengangka dengan sebutan penyebut dengan sebutan.
(3) Dalam penyebut, kita mendarab dan membahagi secara buatan dengan "x" supaya
mengambil kesempatan daripada had yang indah 
, manakala sebagai sangat kecil bertindak.
Jawapan: mengikut definisi terbitan:
Atau ringkasnya:
Saya mencadangkan untuk membina dua lagi formula jadual sendiri:
Cari derivatif mengikut takrifan
Dalam kes ini, adalah mudah untuk segera mengurangkan kenaikan terkumpul kepada penyebut biasa. Contoh anggaran tugasan pada akhir pelajaran (kaedah pertama).
Cari derivatif mengikut takrifan
Dan di sini segala-galanya mesti dikurangkan kepada had yang luar biasa. Penyelesaiannya diformalkan dengan cara kedua.
Sebilangan yang lain derivatif jadual. Senarai lengkap boleh didapati dalam buku teks sekolah, atau, sebagai contoh, jilid pertama Fichtenholtz. Saya tidak nampak guna menyalin bukti peraturan pembezaan daripada buku - ia juga dihasilkan
formula
Mari kita beralih kepada tugas yang sebenarnya dihadapi: Contoh 5
Cari terbitan bagi suatu fungsi 
, menggunakan definisi terbitan
Penyelesaian: gunakan gaya reka bentuk pertama. Mari kita pertimbangkan beberapa perkara kepunyaan dan tetapkan kenaikan hujah padanya. Kemudian kenaikan fungsi yang sepadan ialah:
Mungkin sesetengah pembaca masih belum memahami sepenuhnya prinsip yang perlu dibuat penambahan. Ambil satu titik (nombor) dan cari nilai fungsi di dalamnya: 
, iaitu, ke dalam fungsi
bukannya "X" hendaklah digantikan. Sekarang mari kita ambil
Kenaikan fungsi terkumpul Ia boleh memberi manfaat untuk segera dipermudahkan. Untuk apa? Memudahkan dan memendekkan penyelesaian kepada had selanjutnya.
Kami menggunakan formula, membuka kurungan dan memendekkan semua yang boleh dipendekkan:
Ayam belanda habis, tiada masalah dengan panggang:
Akhirnya: 
Memandangkan kita boleh memilih mana-mana nombor nyata sebagai nilai, kita membuat penggantian dan mendapatkan 
.
Jawapan: 
a-priory.
Untuk tujuan pengesahan, mari cari derivatif menggunakan peraturan
pembezaan dan jadual:
Ia sentiasa berguna dan menyenangkan untuk mengetahui jawapan yang betul terlebih dahulu, jadi adalah lebih baik untuk membezakan fungsi yang dicadangkan dengan cara "cepat", sama ada secara mental atau dalam draf, pada permulaan penyelesaian.
Cari terbitan bagi suatu fungsi mengikut takrifan terbitan
Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Hasilnya jelas:
Mari kembali ke gaya #2: Contoh 7
Mari kita ketahui segera apa yang sepatutnya berlaku. Oleh peraturan pembezaan fungsi kompleks:
Penyelesaian: pertimbangkan kepunyaan titik sewenang-wenangnya, tetapkan kenaikan hujah padanya dan jadikan kenaikan
Mari cari derivatif:
(1) Kami menggunakan formula trigonometri
(2) Di bawah sinus kita membuka kurungan, di bawah kosinus kita membentangkan istilah yang serupa.
(3) Di bawah sinus kita membatalkan istilah, di bawah kosinus kita membahagikan pengangka dengan sebutan penyebut dengan sebutan.
(4) Oleh kerana keganjilan sinus, kami mengeluarkan "tolak". Di bawah kosinus
kami menunjukkan bahawa istilah .
(5) Kami menjalankan pendaraban buatan dalam penyebut untuk digunakan had indah pertama. Oleh itu, ketidakpastian dihapuskan, mari kita kemas hasilnya.
Jawapan: mengikut definisi Seperti yang anda lihat, kesukaran utama masalah yang sedang dipertimbangkan terletak pada
kerumitan had yang sangat + sedikit keaslian pembungkusan. Dalam amalan, kedua-dua kaedah reka bentuk berlaku, jadi saya menerangkan kedua-dua pendekatan dengan seberapa terperinci yang mungkin. Mereka adalah setara, tetapi masih, dalam tanggapan subjektif saya, adalah lebih dinasihatkan untuk dummies untuk berpegang pada pilihan 1 dengan "X-sifar".
Dengan menggunakan takrifan, cari terbitan bagi fungsi tersebut
Ini adalah tugas untuk anda selesaikan sendiri. Sampel direka dalam semangat yang sama seperti contoh sebelumnya.
Mari lihat versi masalah yang jarang berlaku:
Cari terbitan fungsi pada satu titik menggunakan takrif terbitan.
Pertama, apa yang sepatutnya menjadi garis bawah? Nombor Mari kita mengira jawapan dengan cara standard:
Penyelesaian: dari sudut pandangan yang jelas, tugas ini lebih mudah, kerana dalam formula, bukannya
nilai tertentu dipertimbangkan.
Mari kita tetapkan kenaikan pada titik dan karang kenaikan fungsi yang sepadan:
Mari kita hitung derivatif pada satu titik:
Kami menggunakan formula perbezaan tangen yang sangat jarang berlaku 
dan sekali lagi kami mengurangkan penyelesaian kepada yang pertama
had yang luar biasa:
Jawapan: mengikut takrifan terbitan pada satu titik.
Masalahnya tidak begitu sukar untuk diselesaikan "secara umum" - cukup untuk menggantikan kuku, atau hanya bergantung pada kaedah reka bentuk. Dalam kes ini, jelas bahawa hasilnya bukan nombor, tetapi fungsi terbitan.
Contoh 10 Menggunakan definisi, cari terbitan bagi fungsi tersebut 
pada titik
Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri.
Tugas bonus terakhir ditujukan terutamanya untuk pelajar yang mempunyai kajian mendalam tentang analisis matematik, tetapi ia tidak akan menyakiti orang lain sama ada:
Adakah fungsi itu boleh dibezakan? 
pada titik itu?
Penyelesaian: Adalah jelas bahawa fungsi yang diberikan sekeping adalah berterusan pada satu titik, tetapi adakah ia boleh dibezakan di sana?
Algoritma penyelesaian, dan bukan sahaja untuk fungsi piecewise, adalah seperti berikut:
1) Cari terbitan kiri pada titik tertentu: .
2) Cari terbitan kanan pada titik tertentu: .
3) Jika terbitan satu sisi adalah terhingga dan bertepatan:
, maka fungsi itu boleh dibezakan pada titik itu
dari segi geometri, terdapat tangen sepunya di sini (lihat bahagian teori pelajaran Definisi dan maksud terbitan).
Jika dua nilai berbeza diterima: 
(salah satu daripadanya mungkin menjadi tidak terhingga), maka fungsi itu tidak boleh dibezakan pada titik itu.
Jika kedua-dua terbitan satu sisi adalah sama dengan infiniti
(walaupun mereka mempunyai tanda yang berbeza), maka fungsinya tidak
boleh dibezakan pada titik, tetapi terdapat terbitan tak terhingga dan tangen menegak sepunya pada graf (lihat contoh pelajaran 5Persamaan biasa) .
Dalam pelajaran ini kita akan belajar menggunakan formula dan peraturan pembezaan.
Contoh. Cari terbitan bagi fungsi.
1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Mengaplikasikan peraturan saya, formula 4, 2 dan 1. Kita mendapatkan:
y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.
2. y=3x 6 -2x+5. Kami menyelesaikan dengan cara yang sama, menggunakan formula dan formula yang sama 3.
y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.
Mengaplikasikan peraturan saya, formula 3, 5
Dan 6
Dan 1.
Mengaplikasikan peraturan IV, formula 5
Dan 1
.
Dalam contoh kelima, mengikut peraturan saya derivatif jumlah itu adalah sama dengan jumlah derivatif, dan kami baru sahaja menemui terbitan sebutan pertama (contoh 4 ), oleh itu, kita akan mencari derivatif ke-2 Dan ke-3 terma, dan untuk 1hb summand kita boleh segera menulis hasilnya.
Jom bezakan ke-2 Dan ke-3 istilah mengikut formula 4
. Untuk melakukan ini, kita menukar punca kuasa ketiga dan keempat dalam penyebut kepada kuasa dengan eksponen negatif, dan kemudian, mengikut 4
formula, kita dapati derivatif kuasa.
Lihat contoh ini dan hasilnya. Adakah anda menangkap coraknya? baik. Ini bermakna kami mempunyai formula baharu dan boleh menambahkannya pada jadual derivatif kami.
Mari kita selesaikan contoh keenam dan dapatkan formula lain.
Mari kita gunakan peraturan IV dan formula 4
. Mari kita kurangkan pecahan yang terhasil.
Mari kita lihat fungsi ini dan terbitannya. Anda, sudah tentu, memahami corak dan bersedia untuk menamakan formula:
Belajar formula baru!
Contoh.
1. Cari pertambahan hujah dan pertambahan fungsi y= x 2, jika nilai awal hujah adalah sama dengan 4 , dan baharu - 4,01 .
Penyelesaian.
Nilai hujah baharu x=x 0 +Δx. Mari kita gantikan data: 4.01=4+Δх, maka pertambahan hujah Δх=4.01-4=0.01. Kenaikan fungsi, mengikut definisi, adalah sama dengan perbezaan antara nilai baharu dan sebelumnya bagi fungsi tersebut, i.e. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Memandangkan kita mempunyai fungsi y=x2, Itu Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =
2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.
Jawapan: pertambahan hujah Δх=0.01; kenaikan fungsi Δу=0,0801.
Kenaikan fungsi boleh didapati secara berbeza: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801.
2. Cari sudut kecondongan tangen kepada graf fungsi itu y=f(x) pada titik x 0, Jika f "(x 0) = 1.
Penyelesaian.
Nilai terbitan pada titik tangen x 0 dan ialah nilai tangen sudut tangen (makna geometri terbitan). Kami ada: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, kerana tg45°=1.
Jawapan: tangen kepada graf fungsi ini membentuk sudut dengan arah positif paksi Ox sama dengan 45°.
3. Terbitkan formula untuk terbitan fungsi y=x n.
Pembezaan ialah tindakan mencari terbitan bagi suatu fungsi.
Apabila mencari derivatif, gunakan formula yang diterbitkan berdasarkan takrifan derivatif, dengan cara yang sama seperti kami memperoleh formula untuk darjah derivatif: (x n)" = nx n-1.
Ini adalah formulanya.
Jadual derivatif Ia akan lebih mudah untuk menghafal dengan menyebut rumusan lisan:
1. Terbitan bagi kuantiti tetap ialah sifar.
2. X perdana sama dengan satu.
3. Faktor malar boleh dikeluarkan daripada tanda terbitan.
4. Terbitan darjah adalah sama dengan hasil darab pangkat ini dengan darjah dengan asas yang sama, tetapi eksponennya kurang satu.
5. Terbitan punca adalah sama dengan satu dibahagikan dengan dua punca yang sama.
6. Terbitan satu dibahagikan dengan x adalah sama dengan tolak satu dibahagikan dengan x kuasa dua.
7. Terbitan sinus adalah sama dengan kosinus.
8. Terbitan kosinus adalah sama dengan tolak sinus.
9. Terbitan tangen adalah sama dengan satu dibahagikan dengan kuasa dua kosinus.
10. Terbitan kotangen adalah sama dengan tolak satu dibahagikan dengan kuasa dua sinus.
Kami mengajar peraturan pembezaan.
1.
Terbitan bagi hasil tambah algebra adalah sama dengan hasil tambah algebra terbitan bagi sebutan tersebut.
2. Terbitan produk adalah sama dengan hasil darab terbitan faktor pertama dan kedua ditambah hasil darab faktor pertama dan terbitan kedua.
3. Terbitan "y" dibahagikan dengan "ve" adalah sama dengan pecahan di mana pengangkanya ialah "y perdana didarab dengan "ve" tolak "y didarab dengan ve perdana", dan penyebutnya ialah "ve kuasa dua".
4. Kes khas formula 3.
Jom belajar sama-sama!
Muka surat 1 daripada 1 1
Definisi. Biarkan fungsi \(y = f(x)\) ditakrifkan dalam selang tertentu yang mengandungi titik \(x_0\). Mari kita berikan hujah kenaikan \(\Delta x \) supaya ia tidak meninggalkan selang ini. Mari cari kenaikan yang sepadan bagi fungsi \(\Delta y \) (apabila bergerak dari titik \(x_0 \) ke titik \(x_0 + \Delta x \)) dan gubah hubungan \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Jika terdapat had kepada nisbah ini pada \(\Delta x \rightarrow 0\), maka had yang ditentukan dipanggil terbitan bagi suatu fungsi\(y=f(x) \) pada titik \(x_0 \) dan menandakan \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
Simbol y sering digunakan untuk menunjukkan terbitan Perhatikan bahawa y" = f(x) ialah fungsi baharu, tetapi secara semula jadi berkaitan dengan fungsi y = f(x), ditakrifkan pada semua titik x di mana had di atas wujud . Fungsi ini dipanggil seperti ini: terbitan bagi fungsi y = f(x).
Makna geometri terbitan adalah seperti berikut. Jika boleh melukis tangen pada graf fungsi y = f(x) pada titik dengan absis x=a, yang tidak selari dengan paksi-y, maka f(a) menyatakan kecerunan tangen. :
\(k = f"(a)\)
Oleh kerana \(k = tg(a) \), maka kesamaan \(f"(a) = tan(a) \) adalah benar.
Sekarang mari kita tafsirkan takrifan terbitan dari sudut kesamaan anggaran. Biarkan fungsi \(y = f(x)\) mempunyai terbitan pada titik tertentu \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Ini bermakna berhampiran titik x kesamaan anggaran \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \lebih kurang f"(x)\), iaitu \(\Delta y \lebih kurang f"(x) \cdot\ Delta x\). Makna bermakna kesamaan anggaran yang terhasil adalah seperti berikut: kenaikan fungsi adalah "hampir berkadar" dengan kenaikan hujah, dan pekali kekadaran ialah nilai terbitan pada titik x tertentu. Sebagai contoh, untuk fungsi \(y = x^2\) anggaran kesamaan \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) adalah sah. Jika kita menganalisis dengan teliti definisi derivatif, kita akan mendapati bahawa ia mengandungi algoritma untuk mencarinya.
Mari kita rumuskan.
Bagaimana untuk mencari terbitan bagi fungsi y = f(x)?
1. Betulkan nilai \(x\), cari \(f(x)\)
2. Berikan hujah \(x\) kenaikan \(\Delta x\), pergi ke titik baharu \(x+ \Delta x \), cari \(f(x+ \Delta x) \)
3. Cari kenaikan fungsi: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Cipta hubungan \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Kira $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Had ini ialah terbitan bagi fungsi pada titik x.
Jika fungsi y = f(x) mempunyai terbitan pada titik x, maka ia dipanggil boleh dibezakan pada titik x. Prosedur untuk mencari terbitan bagi fungsi y = f(x) dipanggil pembezaan fungsi y = f(x).
Mari kita bincangkan soalan berikut: bagaimanakah kesinambungan dan kebolehbezaan fungsi pada satu titik berkaitan antara satu sama lain?
Biarkan fungsi y = f(x) boleh dibezakan pada titik x. Kemudian tangen boleh dilukis pada graf fungsi pada titik M(x; f(x)), dan, ingat, pekali sudut tangen adalah sama dengan f "(x). Graf sedemikian tidak boleh "pecah" pada titik M, iaitu fungsi mesti selanjar pada titik x.
Ini adalah hujah "hands-on". Mari kita berikan alasan yang lebih tegas. Jika fungsi y = f(x) boleh dibezakan pada titik x, maka kesamaan anggaran \(\Delta y \anggaran f"(x) \cdot \Delta x\) dipegang. Jika dalam kesamaan ini \(\Delta x \) cenderung kepada sifar, maka \(\Delta y \) akan cenderung kepada sifar, dan ini adalah syarat untuk kesinambungan fungsi pada satu titik.
Jadi, jika fungsi boleh dibezakan pada titik x, maka ia berterusan pada titik itu.
Pernyataan sebaliknya adalah tidak benar. Contohnya: fungsi y = |x| adalah selanjar di mana-mana, khususnya pada titik x = 0, tetapi tangen kepada graf fungsi pada "titik simpang" (0; 0) tidak wujud. Jika pada satu ketika tangen tidak boleh ditarik ke graf fungsi, maka terbitan tidak wujud pada titik itu.
Satu lagi contoh. Fungsi \(y=\sqrt(x)\) adalah selanjar pada keseluruhan garis nombor, termasuk pada titik x = 0. Dan tangen kepada graf fungsi wujud pada mana-mana titik, termasuk pada titik x = 0 Tetapi pada ketika ini tangen bertepatan dengan paksi-y, iaitu, ia berserenjang dengan paksi absis, persamaannya mempunyai bentuk x = 0. Garis lurus sedemikian tidak mempunyai pekali sudut, yang bermaksud bahawa \(f "(0)\) tidak wujud.
Jadi, kami berkenalan dengan sifat baharu sesuatu fungsi - kebolehbezaan. Bagaimanakah seseorang boleh membuat kesimpulan daripada graf fungsi bahawa ia boleh dibezakan?
Jawapannya sebenarnya diberikan di atas. Jika pada satu ketika adalah mungkin untuk melukis tangen pada graf fungsi yang tidak berserenjang dengan paksi absis, maka pada ketika ini fungsi itu boleh dibezakan. Jika pada satu ketika tangen kepada graf fungsi tidak wujud atau ia berserenjang dengan paksi absis, maka pada ketika ini fungsi itu tidak boleh dibezakan.
Peraturan pembezaan
Operasi mencari terbitan dipanggil pembezaan. Apabila melakukan operasi ini, anda selalunya perlu bekerja dengan hasil bagi, jumlah, hasil darab fungsi, serta "fungsi fungsi," iaitu fungsi kompleks. Berdasarkan definisi derivatif, kita boleh memperoleh peraturan pembezaan yang memudahkan kerja ini. Jika C ialah nombor tetap dan f=f(x), g=g(x) ialah beberapa fungsi boleh dibezakan, maka yang berikut adalah benar peraturan pembezaan:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
Jadual terbitan beberapa fungsi
$$ \kiri(\frac(1)(x) \kanan) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \kiri(x^a \kanan) " = a x^(a-1) $$ $$ \kiri(a^x \kanan) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \kiri(e^x \kanan) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $Masalah mencari derivatif bagi fungsi yang diberikan adalah antara yang utama dalam kursus matematik sekolah menengah dan di institusi pengajian tinggi. Adalah mustahil untuk meneroka sepenuhnya fungsi dan membina grafnya tanpa mengambil terbitannya. Terbitan fungsi boleh didapati dengan mudah jika anda mengetahui peraturan asas pembezaan, serta jadual terbitan fungsi asas. Mari kita fikirkan cara untuk mencari terbitan fungsi.
Terbitan fungsi ialah had nisbah kenaikan fungsi kepada kenaikan argumen apabila kenaikan argumen cenderung kepada sifar.
Memahami definisi ini agak sukar, kerana konsep had tidak dipelajari sepenuhnya di sekolah. Tetapi untuk mencari derivatif pelbagai fungsi, tidak perlu memahami definisi; mari kita serahkan kepada ahli matematik dan terus mencari terbitan.
Proses mencari derivatif dipanggil pembezaan. Apabila kita membezakan fungsi, kita akan memperoleh fungsi baru.
Untuk menetapkannya, kami akan menggunakan huruf Latin f, g, dsb.
Terdapat banyak tatatanda yang berbeza untuk derivatif. Kami akan menggunakan pukulan. Sebagai contoh, menulis g" bermakna kita akan mencari terbitan bagi fungsi g.
Jadual terbitan
Untuk menjawab persoalan bagaimana mencari terbitan, perlu menyediakan jadual terbitan bagi fungsi utama. Untuk mengira derivatif fungsi asas, tidak perlu melakukan pengiraan yang kompleks. Cukup sekadar melihat nilainya dalam jadual derivatif.
- (dosa x)"=cos x
- (cos x)"= –sin x
- (x n)"=n x n-1
- (e x)"=e x
- (ln x)"=1/x
- (a x)"=a x ln a
- (log a x)"=1/x ln a
- (tg x)"=1/cos 2 x
- (ctg x)"= – 1/sin 2 x
- (arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
- (arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
- (arctg x)"= 1/(1+x 2)
- (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)
Contoh 1. Cari terbitan bagi fungsi y=500.
Kami melihat bahawa ini adalah tetap. Daripada jadual derivatif diketahui bahawa terbitan pemalar adalah sama dengan sifar (formula 1).
Contoh 2. Cari terbitan bagi fungsi y=x 100.
Ini ialah fungsi kuasa yang eksponennya ialah 100, dan untuk mencari terbitannya, anda perlu mendarabkan fungsi dengan eksponen dan mengurangkannya dengan 1 (formula 3).
(x 100)"=100 x 99
Contoh 3. Cari terbitan bagi fungsi y=5 x
Ini ialah fungsi eksponen, mari kita hitung terbitannya menggunakan formula 4.
Contoh 4. Cari terbitan bagi fungsi y= log 4 x
Kami mencari terbitan logaritma menggunakan formula 7.
(log 4 x)"=1/x ln 4
Peraturan pembezaan
Sekarang mari kita fikirkan cara untuk mencari terbitan fungsi jika ia tiada dalam jadual. Kebanyakan fungsi yang dikaji bukan asas, tetapi merupakan gabungan fungsi asas menggunakan operasi mudah (tambah, tolak, darab, bahagi dan darab dengan nombor). Untuk mencari derivatif mereka, anda perlu mengetahui peraturan pembezaan. Di bawah, huruf f dan g menunjukkan fungsi, dan C ialah pemalar.
1. Pekali malar boleh dikeluarkan daripada tanda terbitan
Contoh 5. Cari terbitan bagi fungsi y= 6*x 8
Kami mengeluarkan faktor tetap 6 dan membezakan hanya x 4. Ini ialah fungsi kuasa, terbitan yang didapati menggunakan formula 3 jadual terbitan.
(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7
2. Terbitan jumlah adalah sama dengan hasil tambah terbitan
(f + g)"=f" + g"
Contoh 6. Cari terbitan bagi fungsi y= x 100 +sin x
Fungsi ialah hasil tambah dua fungsi, derivatif yang boleh kita temui daripada jadual. Oleh kerana (x 100)"=100 x 99 dan (sin x)"=cos x. Derivatif jumlah akan sama dengan jumlah derivatif ini:
(x 100 +sin x)"= 100 x 99 +cos x
3. Terbitan perbezaan adalah sama dengan perbezaan terbitan
(f – g)"=f" – g"
Contoh 7. Cari terbitan bagi fungsi y= x 100 – cos x
Fungsi ini ialah perbezaan dua fungsi, derivatif yang juga boleh kita temui dalam jadual. Maka terbitan perbezaan adalah sama dengan perbezaan derivatif dan jangan lupa untuk menukar tanda, kerana (cos x)"= – sin x.
(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + sin x
Contoh 8. Cari terbitan bagi fungsi y=e x +tg x– x 2.
Fungsi ini mempunyai kedua-dua jumlah dan perbezaan, mari kita cari terbitan bagi setiap istilah:
(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Maka terbitan bagi fungsi asal adalah sama dengan:
(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x
4. Terbitan produk
(f * g)"=f" * g + f * g"
Contoh 9. Cari terbitan bagi fungsi y= cos x *e x
Untuk melakukan ini, kita mula-mula mencari terbitan bagi setiap faktor (cos x)"=–sin x dan (e x)"=e x. Sekarang mari kita gantikan semuanya ke dalam formula produk. Kami mendarabkan derivatif fungsi pertama dengan kedua dan menambah hasil darab fungsi pertama dengan terbitan kedua.
(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x
5. Terbitan hasil bagi
(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2
Contoh 10. Cari terbitan bagi fungsi y= x 50 /sin x
Untuk mencari terbitan hasil bagi, mula-mula kita cari terbitan pengangka dan penyebut secara berasingan: (x 50)"=50 x 49 dan (sin x)"= cos x. Menggantikan terbitan hasil bagi ke dalam formula, kita dapat:
(x 50 /sin x)"= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x
Terbitan fungsi kompleks
Fungsi kompleks ialah fungsi yang diwakili oleh komposisi beberapa fungsi. Terdapat juga peraturan untuk mencari terbitan fungsi kompleks:
(u (v))"=u"(v)*v"
Mari kita fikirkan cara mencari terbitan bagi fungsi sedemikian. Biarkan y= u(v(x)) ialah fungsi kompleks. Mari kita panggil fungsi u luaran, dan v - dalaman.
Sebagai contoh:
y=sin (x 3) ialah fungsi kompleks.
Maka y=sin(t) ialah fungsi luaran
t=x 3 - dalaman.
Mari kita cuba mengira terbitan fungsi ini. Mengikut formula, anda perlu mendarabkan derivatif fungsi dalaman dan luaran.
(sin t)"=cos (t) - terbitan bagi fungsi luaran (di mana t=x 3)
(x 3)"=3x 2 - terbitan bagi fungsi dalaman
Kemudian (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 ialah terbitan bagi fungsi kompleks.
Bukti dan terbitan formula untuk terbitan eksponen (e kepada kuasa x) dan fungsi eksponen (a kepada kuasa x). Contoh pengiraan terbitan bagi e^2x, e^3x dan e^nx. Formula untuk terbitan tertib yang lebih tinggi.
Terbitan bagi eksponen adalah sama dengan eksponen itu sendiri (terbitan e kepada kuasa x adalah sama dengan e kepada kuasa x):
(1)
(e x )′ = e x.
Terbitan bagi fungsi eksponen dengan asas a adalah sama dengan fungsi itu sendiri didarab dengan logaritma asli a:
(2)
.
Terbitan formula untuk terbitan eksponen, e kepada kuasa x
Eksponen ialah fungsi eksponen yang asas kuasanya sama dengan nombor e, iaitu had berikut:
.
Di sini ia boleh sama ada nombor asli atau nombor nyata. Seterusnya, kami memperoleh formula (1) untuk terbitan eksponen.
Terbitan formula terbitan eksponen
Pertimbangkan eksponen, e kepada kuasa x:
y = e x .
Fungsi ini ditakrifkan untuk semua orang. Mari kita cari terbitannya berkenaan dengan pembolehubah x. Mengikut definisi, terbitan ialah had berikut:
(3)
.
Mari kita ubah ungkapan ini untuk mengurangkannya kepada sifat dan peraturan matematik yang diketahui. Untuk melakukan ini, kami memerlukan fakta berikut:
A) Sifat eksponen:
(4)
;
B) Sifat logaritma:
(5)
;
DALAM) Kesinambungan logaritma dan sifat had untuk fungsi selanjar:
(6)
.
Berikut adalah fungsi yang mempunyai had dan had ini adalah positif.
G) Maksud had kedua yang luar biasa:
(7)
.
Mari kita gunakan fakta ini pada had kita (3). Kami menggunakan harta (4):
;
.
Mari buat penggantian. Kemudian ;
.
.
Oleh kerana kesinambungan eksponen,
.
Oleh itu, apabila , . Hasilnya kami mendapat:
.
Mari buat penggantian. lepas tu .
Pada , .
.
Dan kami mempunyai:
.
Mari gunakan sifat logaritma (5):
.
. Kemudian
Mari kita memohon harta (6). Oleh kerana terdapat had positif dan logaritma adalah berterusan, maka:
Di sini kami juga menggunakan had luar biasa kedua (7). Kemudian
(8)
Oleh itu, kami memperoleh formula (1) untuk terbitan eksponen.
Terbitan formula untuk terbitan bagi fungsi eksponen Sekarang kita memperoleh formula (2) untuk terbitan bagi fungsi eksponen dengan asas darjah a. Kami percaya bahawa dan . Kemudian fungsi eksponen Ditakrifkan untuk semua orang.
;
.
Mari kita ubah formula (8). Untuk ini kami akan gunakan
.
sifat fungsi eksponen
dan logaritma.
(14)
.
(1)
.
Jadi, kami menukar formula (8) kepada bentuk berikut:
;
.
Terbitan tertib tinggi bagi e kepada kuasa x
.
Sekarang mari kita cari derivatif pesanan yang lebih tinggi. Mari kita lihat eksponen dahulu:
Kita melihat bahawa terbitan fungsi (14) adalah sama dengan fungsi (14) itu sendiri. Membezakan (1), kita memperoleh derivatif bagi susunan kedua dan ketiga:
.
Ini menunjukkan bahawa derivatif tertib ke-n juga sama dengan fungsi asal:
(15)
.
Terbitan tertib lebih tinggi bagi fungsi eksponen
;
.
Sekarang pertimbangkan fungsi eksponen dengan asas darjah a:
.