Dalam contoh yang diberikan, paksi melalui pusat inersia badan. Momen inersia berbanding dengan paksi putaran lain ditentukan menggunakan teorem Steiner: momen inersia badan berbanding dengan paksi putaran sewenang-wenangnya adalah sama dengan jumlah momen inersiaJcrelatif kepada paksi selari yang melalui pusat inersia jasad, dan nilai hasil darab jisim jasad dengan kuasa dua jarak antara keduanya. di manamberat badan, dan - jarak dari pusat inersia badan ke paksi putaran yang dipilih, mereka.
,di manam- berat badan, dan - jarak dari pusat
inersia badan kepada paksi putaran yang dipilih.
Mari kita gunakan satu contoh untuk menunjukkan aplikasi teorem Steiner. Marilah kita mengira momen inersia rod nipis berbanding dengan paksi yang melalui tepinya berserenjang dengan rod. Pengiraan langsung dikurangkan kepada kamiran yang sama (*), tetapi diambil dalam had yang berbeza: 
Jarak ke paksi yang melalui pusat jisim adalah sama dengan A = ℓ/2. Dengan menggunakan teorem Steiner kita memperoleh hasil yang sama.
.
§22. Undang-undang asas dinamik gerakan putaran.
Pernyataan undang-undang: Kadar perubahan momentum sudut berbanding kutub adalah sama dengan momen daya utama berbanding kutub yang sama, mereka.
.
Dalam unjuran pada paksi koordinat: 
.
Jika badan berputar relatif kepada paksi tetap, maka hukum asas dinamik gerakan putaran akan mengambil bentuk: . Dalam kes ini, momentum sudut boleh dinyatakan dengan mudah melalui halaju sudut dan momen inersia badan berbanding paksi yang dipersoalkan: 
. Kemudian undang-undang asas dinamik gerakan putaran akan mengambil bentuk: 
. Jika badan tidak hancur atau berubah bentuk, maka
, akibatnya 
. Jika kepada segala-galanya 
, Itu 
dan, ia sama dengan: 
.
Kerja asas yang dilakukan oleh momen daya semasa gerakan putaran relatif kepada paksi tetap dikira dengan formula: 
(*). Kerja penuh 
. Jika 
, Itu 
.
Berdasarkan formula (*), kita memperoleh ungkapan untuk tenaga kinetik pergerakan putaran jasad tegar berbanding dengan paksi tetap. Kerana 
, Itu. Selepas penyepaduan, kami memperoleh hasil akhir untuk tenaga kinetik gerakan putaran berbanding dengan paksi tetap 
.
§23. Undang-undang pemuliharaan momentum sudut.
Seperti yang telah dinyatakan, undang-undang pemuliharaan tenaga dan momentum masing-masing dikaitkan dengan kehomogenan masa dan ruang. Tetapi ruang tiga dimensi, tidak seperti masa satu dimensi, mempunyai simetri lain. Ruang itu sendiri isotropik, tiada arahan khusus. Berkaitan dengan simetri ini undang-undang pemuliharaanmomen impuls. Sambungan ini ditunjukkan dalam fakta bahawa momentum sudut adalah salah satu kuantiti utama yang menerangkan gerakan putaran.
Mengikut definisi, momentum sudut zarah individu adalah sama dengan 
.
Arah vektor L ditentukan oleh peraturan gimlet (corkscrew), dan nilainya adalah sama dengan L = r hlm dosa , di mana
sudut antara arah vektor jejari zarah dan momentumnya. Magnitud ℓ = r dosa sama dengan jarak dari asal TENTANG ke garis lurus di mana momentum zarah diarahkan. Kuantiti ini dipanggil bahu impuls. vektor L bergantung pada pilihan asal koordinat, oleh itu, apabila bercakap mengenainya, mereka biasanya menunjukkan: "momentum sudut relatif kepada titik TENTANG".
Mari kita pertimbangkan terbitan masa bagi momentum sudut:
.
Sebutan pertama adalah sama dengan sifar, kerana . Dalam istilah kedua, mengikut undang-undang kedua Newton, terbitan berkenaan dengan momentum boleh digantikan dengan daya yang bertindak ke atas badan. Hasil darab vektor bagi vektor jejari dan daya dipanggil momen kekuatan relatif kepada titik TENTANG:
.
Arah momen daya ditentukan oleh peraturan gimlet yang sama. Saiznya M = r F dosa , di mana
sudut antara vektor jejari dan daya. Begitu juga dengan cara ia dilakukan di atas, kami juga menentukan kekuatan bahu
ℓ =
r
dosa
- jarak dari titik TENTANG kepada garis tindakan daya. Akibatnya, kita memperoleh persamaan gerakan untuk momentum sudut zarah: 
.
Bentuk persamaan adalah serupa dengan hukum kedua Newton: bukannya momentum zarah terdapat momentum sudut, dan bukannya daya terdapat momen daya. Jika 
, Itu 
,
mereka. momentum sudut adalah malar jika tiada tork luar.
Pernyataan undang-undang: Momentum sudut sistem tertutup berbanding kutub tidak berubah dari semasa ke semasa.
Dalam kes putaran tertentu mengenai paksi tetap, kita mempunyai: 
, Di mana
momen awal inersia dan halaju sudut badan berbanding paksi yang sedang dipertimbangkan, dan
momen akhir inersia dan halaju sudut badan berbanding paksi yang sedang dipertimbangkan.
Hukum pemuliharaan jumlah tenaga mekanikal dengan mengambil kira gerakan putaran: jumlah tenaga mekanikal sistem konservatif adalah malar: .
Contoh: Cari kelajuan sistem semasa menempuh jarak h.
Diberi: m, M, h. Cari: V - ?
Teorem Steiner - rumusan
Menurut teorem Steiner, telah ditetapkan bahawa momen inersia badan apabila mengira paksi yang agak sewenang-wenangnya sepadan dengan jumlah momen inersia badan berbanding dengan paksi yang melalui pusat jisim dan selari dengan paksi ini, serta ditambah dengan hasil darab kuasa dua jarak antara paksi dan jisim badan, mengikut formula berikut (1):
Pengajaran: Badan berlanggar. Kesan anjal dan tidak anjal mutlak
pengenalan
Untuk mengkaji struktur jirim, satu cara atau yang lain, pelbagai perlanggaran digunakan. Sebagai contoh, untuk memeriksa objek, ia disinari dengan cahaya, atau aliran elektron, dan dengan menyerakkan cahaya ini atau aliran elektron, gambar, atau sinar-X, atau imej objek ini dalam beberapa peranti fizikal diperolehi. Oleh itu, perlanggaran zarah adalah sesuatu yang mengelilingi kita dalam kehidupan seharian, dalam sains, dalam teknologi, dan dalam alam semula jadi.
Sebagai contoh, satu perlanggaran tunggal nukleus plumbum dalam pengesan ALICE bagi Large Hadron Collider menghasilkan puluhan ribu zarah, daripada pergerakan dan pengedaran yang mana seseorang boleh belajar tentang sifat jirim yang paling dalam. Mempertimbangkan proses perlanggaran menggunakan undang-undang pemuliharaan yang kita bicarakan membolehkan kita memperoleh hasil tanpa mengira apa yang berlaku pada saat perlanggaran. Kita tidak tahu apa yang berlaku apabila dua nukleus plumbum berlanggar, tetapi kita tahu apakah tenaga dan momentum zarah yang berterbangan selepas perlanggaran ini.
Hari ini kita akan mempertimbangkan interaksi badan semasa perlanggaran, dengan kata lain, pergerakan badan tidak berinteraksi yang mengubah keadaannya hanya apabila bersentuhan, yang kita panggil perlanggaran, atau impak.
Apabila jasad berlanggar, dalam kes umum, tenaga kinetik jasad berlanggar tidak semestinya sama dengan tenaga kinetik jasad terbang. Sesungguhnya, semasa perlanggaran, badan berinteraksi antara satu sama lain, mempengaruhi antara satu sama lain dan melakukan kerja. Kerja ini boleh membawa kepada perubahan dalam tenaga kinetik setiap badan. Di samping itu, kerja yang dilakukan oleh badan pertama pada yang kedua mungkin tidak sama dengan kerja yang dilakukan oleh badan kedua pada yang pertama. Ini boleh menyebabkan tenaga mekanikal bertukar menjadi haba, sinaran elektromagnet, atau bahkan mencipta zarah baharu.
Perlanggaran di mana tenaga kinetik jasad yang berlanggar tidak dikekalkan dipanggil tak anjal.
Di antara semua perlanggaran tak anjal yang mungkin, terdapat satu kes yang luar biasa apabila jasad yang berlanggar itu melekat bersama akibat perlanggaran dan kemudian bergerak sebagai satu. Kesan tak anjal ini dipanggil tidak anjal mutlak (Rajah 1).
A) 
b)
nasi. 1. Perlanggaran tak kenyal mutlak
Mari kita pertimbangkan contoh kesan tidak anjal sepenuhnya. Biarkan peluru berjisim terbang ke arah mendatar dengan laju dan berlanggar dengan kotak pegun pasir berjisim , digantung pada seutas benang. Peluru itu tersangkut di dalam pasir, dan kemudian kotak dengan peluru itu mula bergerak. Semasa hentaman peluru dan kotak, daya luaran yang bertindak ke atas sistem ini ialah daya graviti, diarahkan menegak ke bawah, dan daya tegangan benang, diarahkan menegak ke atas, jika masa hentaman peluru adalah begitu singkat. bahawa benang tidak mempunyai masa untuk melencong. Oleh itu, kita boleh mengandaikan bahawa momentum daya yang bertindak ke atas badan semasa hentaman adalah sama dengan sifar, yang bermaksud bahawa undang-undang pemuliharaan momentum adalah sah:
.
Keadaan peluru tersangkut di dalam kotak adalah tanda kesan tidak kenyal sepenuhnya. Mari kita semak apa yang berlaku kepada tenaga kinetik akibat kesan ini. Tenaga kinetik awal peluru:
tenaga kinetik akhir peluru dan kotak:
algebra mudah menunjukkan kepada kita bahawa semasa impak tenaga kinetik berubah:
Jadi, tenaga kinetik awal peluru adalah kurang daripada yang terakhir dengan beberapa nilai positif. Bagaimana ini berlaku? Semasa hentaman, daya rintangan bertindak antara pasir dan peluru. Perbezaan dalam tenaga kinetik peluru sebelum dan selepas perlanggaran adalah betul-betul sama dengan kerja daya rintangan. Dalam erti kata lain, tenaga kinetik peluru pergi untuk memanaskan peluru dan pasir.
Jika, akibat daripada perlanggaran dua jasad, tenaga kinetik dikekalkan, perlanggaran sedemikian dipanggil elastik mutlak.
Contoh kesan anjal sempurna ialah perlanggaran bola biliard. Kami akan mempertimbangkan kes paling mudah perlanggaran sedemikian - perlanggaran pusat.
Perlanggaran di mana halaju satu bola melalui pusat jisim bola yang lain dipanggil perlanggaran pusat. (Gamb. 2.)
nasi. 2. Pukulan bola tengah
Biarkan satu bola dalam keadaan rehat, dan bola kedua terbang ke arahnya dengan sedikit kelajuan, yang, mengikut definisi kami, melepasi pusat bola kedua. Jika perlanggaran adalah pusat dan kenyal, maka perlanggaran menghasilkan daya kenyal yang bertindak di sepanjang garis perlanggaran. Ini membawa kepada perubahan dalam komponen mendatar momentum bola pertama, dan kepada penampilan komponen mendatar momentum bola kedua. Selepas hentaman, bola kedua akan menerima impuls yang diarahkan ke kanan, dan bola pertama boleh bergerak ke kanan dan ke kiri - ini bergantung pada nisbah antara jisim bola. Dalam kes umum, pertimbangkan situasi di mana jisim bola adalah berbeza.
Hukum kekekalan momentum dipenuhi untuk sebarang perlanggaran bola:
Dalam kes kesan anjal mutlak, undang-undang pemuliharaan tenaga juga dipenuhi:
Kami memperoleh sistem dua persamaan dengan dua kuantiti yang tidak diketahui. Setelah menyelesaikannya, kita akan mendapat jawapannya.
Kelajuan bola pertama selepas hentaman ialah
,
Ambil perhatian bahawa kelajuan ini boleh sama ada positif atau negatif, bergantung pada bola mana yang mempunyai lebih jisim. Di samping itu, kita boleh membezakan kes apabila bola adalah sama. Dalam kes ini, selepas memukul bola pertama akan berhenti. Kelajuan bola kedua, seperti yang kita nyatakan sebelum ini, ternyata positif untuk sebarang nisbah jisim bola:
Akhir sekali, mari kita pertimbangkan kes impak luar pusat dalam bentuk yang dipermudahkan - apabila jisim bola adalah sama. Kemudian, daripada undang-undang pemuliharaan momentum kita boleh menulis:
Dan dari fakta bahawa tenaga kinetik dipelihara:
Hentaman luar pusat adalah di mana kelajuan bola yang datang tidak akan melalui pusat bola pegun (Gamb. 3). Daripada hukum kekekalan momentum, jelas menunjukkan halaju bola akan membentuk segi empat selari. Dan dari fakta bahawa tenaga kinetik dipelihara, jelas bahawa ia tidak akan menjadi segi empat tepat, tetapi persegi.
nasi. 3. Kesan luar pusat dengan jisim yang sama
Oleh itu, dengan hentaman luar pusat yang benar-benar anjal, apabila jisim bola adalah sama, ia sentiasa terbang berasingan pada sudut tepat antara satu sama lain.
Model tersebut ialah demonstrasi yang menggambarkan undang-undang pemuliharaan momentum. Perlanggaran anjal dan tak anjal bola dipertimbangkan.
Apabila badan berinteraksi, impuls satu badan boleh sebahagian atau sepenuhnya dipindahkan ke badan lain. Jika sistem badan tidak dipengaruhi oleh kuasa luar dari badan lain, maka sistem sedemikian dipanggil tertutup.
Dalam sistem tertutup, jumlah vektor impuls semua jasad yang termasuk dalam sistem kekal malar untuk sebarang interaksi badan sistem ini antara satu sama lain.
Undang-undang asas alam ini dipanggil undang-undang pemuliharaan momentum. Ia adalah akibat daripada Hukum kedua dan ketiga Newton .
Mari kita pertimbangkan mana-mana dua badan berinteraksi yang merupakan sebahagian daripada sistem tertutup. Kami menandakan daya interaksi antara badan-badan ini dengan dan Menurut undang-undang ketiga Newton Jika badan-badan ini berinteraksi dari semasa ke semasa t, maka impuls daya interaksi adalah sama dalam magnitud dan diarahkan ke arah yang bertentangan:
Mari kita gunakan hukum kedua Newton pada badan-badan ini:
Kesamaan ini bermakna hasil daripada interaksi dua badan, jumlah momentum mereka tidak berubah. Sekarang mempertimbangkan semua kemungkinan interaksi pasangan badan yang termasuk dalam sistem tertutup, kita boleh membuat kesimpulan bahawa daya dalaman sistem tertutup tidak boleh mengubah jumlah momentumnya, iaitu, jumlah vektor momentum semua badan yang termasuk dalam sistem ini.
b) Hukum kekekalan tenaga
Pasukan konservatif – daya yang kerjanya tidak bergantung pada trajektori, tetapi hanya ditentukan oleh koordinat awal dan akhir titik.
Dalam sistem di mana hanya daya konservatif bertindak, jumlah tenaga sistem kekal tidak berubah. Hanya transformasi tenaga keupayaan kepada tenaga kinetik dan sebaliknya adalah mungkin.
Tenaga potensi titik bahan adalah hanya fungsi koordinat (titik), yang bermaksud daya boleh ditakrifkan seperti berikut: . – tenaga keupayaan titik material. 
Darabkan kedua-dua belah dengan dan dapatkan 
. Mari kita ubah dan dapatkan ungkapan yang membuktikan undang-undang penjimatan tenaga
.
c) Kehilangan tenaga mekanikal
Teorem Bernoulli, bersama-sama dengan teorem Euler, yang dinyatakan dalam 110, boleh digunakan untuk memperoleh teorem Borda (1733-1792)-Carnot mengenai kehilangan tenaga mekanikal aliran bendalir semasa pengembangan mengejutnya (Gamb. 328). Teorem ini berfungsi sebagai analogi teorem Kar- teorem
Kehilangan tenaga mekanikal dalam kejutan hadapan boleh dicirikan oleh nisbah jumlah tekanan di belakang kejutan kepada jumlah tekanan Poi di hadapannya. Formula yang mentakrifkan hubungan ini mempunyai bentuk
Persamaan ini menunjukkan bahawa apabila medium cecair bergerak, tenaga dalamannya berubah kedua-duanya disebabkan oleh kemasukan haba luar dan disebabkan oleh pelesapan tenaga mekanikal. Proses pelesapan, seperti yang ditunjukkan oleh ungkapan (5-84), dikaitkan dengan kelikatan p dan tidak berlaku untuk cecair ideal (p = 0). Oleh kerana proses ini tidak dapat dipulihkan, tenaga terlesap Ed boleh dianggap sebagai jumlah kehilangan tenaga mekanikal.
Memandangkan kehilangan tenaga mekanikal tidak dapat dielakkan dalam mana-mana mesin, kuasa yang dibelanjakan oleh enjin untuk memacu pam (penggunaan kuasa L) sentiasa lebih besar daripada kuasa berguna N - Kerugian ini dianggarkan oleh kecekapan keseluruhan pam
Apabila memperoleh persamaan (136), kelikatan cecair dan kehilangan tenaga mekanikal yang berkaitan semasa pergerakan zarah cecair tidak diambil kira.
Apabila bendalir bergerak dalam paip, terdapat kehilangan tenaga mekanikal, oleh itu, mesti ada kawasan di mana pengaruh kelikatan adalah ketara. Disebabkan oleh lekatan cecair ke dinding paip, halaju serta-merta dan purata cecair pada dinding adalah sama dengan sifar. Oleh itu, tidak boleh ada pencampuran intensif cecair di kawasan berhampiran dinding paip. Ini menjadi asas untuk kesimpulan bahawa dengan serta-merta berhampiran dinding, perubahan mendadak dalam kelajuan harus ditentukan oleh sifat kelikatan cecair dan bahawa lapisan dengan pergerakan lamina harus wujud berhampiran dinding. Data eksperimen juga mengesahkan kesimpulan ini.
Kerja daya likat yang dilakukan di antara dua bahagian aliran dan per unit jisim, berat atau isipadu cecair yang bergerak dipanggil kehilangan tenaga mekanikal, atau kerugian hidraulik. Jika kerja ini berkaitan dengan unit berat, maka kerugian hidraulik dipanggil kehilangan tekanan L.
Model cecair inviscid tidak dapat menerangkan asal-usul kehilangan tenaga mekanikal apabila bendalir bergerak melalui saluran paip dan kesan seretan secara umum. Untuk menerangkan fenomena ini, model cecair likat yang lebih kompleks digunakan. Model cecair likat yang paling mudah dan paling biasa digunakan ialah cecair Newtonian.
Kerja daya tekanan p dibelanjakan untuk mengatasi daya rintangan, yang menyebabkan kehilangan tenaga mekanikal. Kerugian ini adalah berkadar terus dengan panjang laluan pergerakan, oleh itu ia dipanggil kehilangan tenaga khusus sepanjang panjang. Jika kerugian dinyatakan dalam unit tekanan, ia dipanggil kehilangan tekanan sepanjang panjang dan dilambangkan pi. Jika kehilangan tenaga dinyatakan dalam unit linear EJg), ia dipanggil kehilangan kepala sepanjang panjang dan dilambangkan /g.
Mendapatkan aliran tetap dengan kerugian yang rendah semasa brek dalam penyebar adalah tugas yang jauh lebih sukar daripada mendapatkan aliran dipercepatkan dengan kehilangan rendah dalam muncung. Dalam penyebar, pergerakan boleh balik yang ideal dilanggar kerana sebab dan sifat medium yang sama seperti dalam muncung, namun, apabila aliran diperlahankan, pengaruh faktor di atas menunjukkan dirinya ke tahap yang lebih kuat. Dalam penyebar, disebabkan oleh pergerakan menentang peningkatan tekanan, keadaan untuk pemisahan aliran dari dinding adalah lebih baik daripada di muncung, di mana
A) Geseran−− salah satu jenis interaksi antara badan. Ia berlaku apabila dua badan bersentuhan. Geseran, seperti semua jenis interaksi lain, mematuhi undang-undang ketiga Newton: jika daya geseran bertindak pada salah satu jasad, maka magnitud yang sama, tetapi diarahkan ke arah yang bertentangan, juga bertindak pada jasad kedua. Daya geseran, seperti daya kenyal, adalah bersifat elektromagnet. Ia timbul disebabkan oleh interaksi antara atom dan molekul badan yang bersentuhan atau kehadiran penyimpangan dan kekasaran.
Daya geseran kering ialah daya yang timbul apabila dua jasad pepejal bersentuhan tanpa ketiadaan lapisan cecair atau gas di antaranya. Mereka sentiasa diarahkan secara tangen ke permukaan yang bersentuhan.
Geseran kering yang berlaku apabila jasad dalam keadaan rehat relatif dipanggil geseran statik. Daya geseran statik sentiasa sama dalam magnitud dengan daya luar dan diarahkan ke arah yang bertentangan.
Daya geseran statik tidak boleh melebihi nilai maksimum tertentu (Ftr)maks(Ftr)maks. Jika daya luaran lebih besar daripada (Ftr)max(Ftr)max, gelinciran relatif berlaku. Daya geseran dalam kes ini dipanggil daya geseran gelongsor. Ia sentiasa diarahkan ke arah yang bertentangan dengan arah gerakan dan, secara amnya, bergantung pada kelajuan relatif badan. Walau bagaimanapun, dalam banyak kes, daya geseran gelongsor boleh dianggap bebas daripada halaju relatif jasad dan sama dengan daya geseran statik maksimum. Model daya geseran kering ini digunakan untuk menyelesaikan banyak masalah fizikal mudah.
b) Daya geseran gelongsor- daya yang timbul antara badan yang bersentuhan semasa pergerakan relatifnya.
Telah terbukti secara eksperimen bahawa daya geseran bergantung pada daya tekanan jasad antara satu sama lain (daya tindak balas sokongan), pada bahan permukaan gosokan, dan pada kelajuan pergerakan relatif. Oleh kerana tiada badan yang benar-benar licin, daya geseran tidak bergantung pada kawasan sentuhan, dan kawasan sentuhan sebenar adalah jauh lebih kecil daripada yang diperhatikan; Di samping itu, dengan meningkatkan kawasan, kami mengurangkan tekanan khusus badan antara satu sama lain.
Kuantiti yang mencirikan permukaan gosokan dipanggil pekali geseran, dan paling kerap dilambangkan dengan huruf Latin (\displaystyle k) atau huruf Yunani (\displaystyle \mu ). Ia bergantung kepada sifat dan kualiti pemprosesan permukaan gosokan. Di samping itu, pekali geseran bergantung pada kelajuan. Walau bagaimanapun, selalunya pergantungan ini dinyatakan dengan lemah, dan jika ketepatan ukuran yang lebih besar tidak diperlukan, maka (\displaystyle k) boleh dianggap malar. Untuk anggaran pertama, magnitud daya geseran gelongsor boleh dikira menggunakan formula:
(\displaystyle F=kN)
(\gaya paparan k) - pekali geseran gelongsor,
(\displaystyle N) - daya tindak balas tanah biasa.
V) Pekali geseran mewujudkan perkadaran antara daya geseran dan daya tekanan normal yang menekan badan ke sokongan. Pekali geseran adalah ciri kumulatif sepasang bahan yang bersentuhan dan tidak bergantung pada kawasan sentuhan antara badan.
Jenis-jenis geseran
Geseran statik menampakkan dirinya apabila badan yang dalam keadaan diam digerakkan. Pekali geseran statik ditetapkan μ 0 .
Geseran gelongsor memanifestasikan dirinya dalam kehadiran gerakan badan, dan ia adalah kurang daripada geseran statik.
Daya geseran bergolek bergantung pada jejari objek bergolek. Dalam kes biasa (apabila mengira geseran bergolek bagi roda kereta api atau kereta), apabila jejari roda diketahui dan malar, ia diambil kira secara langsung dalam pekali geseran bergolek. μ kualiti.
Pekali geseran statik
badan mula bergerak
(pekali geseran statik μ 0
)
A) 5.6. Momentum titik material dan jasad tegar
Produk vektor bagi vektor jejari titik bahan dan momentumnya: dipanggil momentum sudut titik ini berbanding dengan titik O (Rajah 5.4)
Vektor kadangkala juga dipanggil momentum sudut bagi titik material. Ia diarahkan sepanjang paksi putaran berserenjang dengan satah yang dilukis melalui vektor dan dan membentuk tiga kali ganda kanan vektor dengan mereka (apabila diperhatikan dari puncak vektor, adalah jelas bahawa putaran sepanjang jarak terpendek dari k berlaku mengikut arah lawan jam).
Jumlah vektor momentum sudut semua titik bahan sistem dipanggil momentum sudut (momentum gerakan) sistem berbanding dengan titik O:
Vektor dan saling berserenjang dan terletak dalam satah berserenjang dengan paksi putaran badan. sebab tu . Mengambil kira hubungan antara kuantiti linear dan sudut
dan diarahkan sepanjang paksi putaran badan dalam arah yang sama dengan vektor.
Justeru.
Momentum jasad berbanding paksi putaran
| (5.9) |
Akibatnya, momentum sudut jasad berbanding dengan paksi putaran adalah sama dengan hasil darab momen inersia jasad berbanding paksi yang sama dan halaju sudut putaran jasad di sekeliling paksi ini.
« 5.5. Hukum kedua Newton untuk gerakan putaran dan analisisnya
5.7. Persamaan asas untuk dinamik gerakan putaran »
Bahagian: Dinamik gerakan putaran jasad tegar, Asas fizikal mekanik
B) Persamaan dinamik gerakan putaran jasad tegar
Momen daya relatif kepada titik tetap O dipanggil kuantiti pseudovektor sama dengan hasil vektor vektor jejari , ditarik dari titik O pada titik penggunaan kekerasan, pada kekerasan
Modulus momen daya:
- pseudovector, arahnya bertepatan dengan arah satah gerakan kipas kanan semasa ia berputar dari ke. Arah momen daya juga boleh ditentukan dengan peraturan tangan kiri: letak empat jari tangan kiri ke arah faktor pertama, faktor kedua memasuki tapak tangan, ibu jari dibengkokkan pada sudut kanan akan menunjukkan arah momen daya. . Vektor momen daya sentiasa berserenjang dengan satah di mana vektor dan terletak.
Di manakah jarak terpendek antara garis tindakan daya dan titik TENTANG dipanggil bahu kekuatan.
Momen daya terhadap paksi tetap Z dipanggil kuantiti skalar yang sama dengan unjuran pada paksi vektor momen daya ini, ditakrifkan relatif kepada titik sembarangan bagi paksi Z. Jika paksi Z adalah berserenjang dengan satah di mana vektor dan terletak, i.e. bertepatan dengan arah vektor, kemudian momen daya 
diwakili sebagai vektor yang bertepatan dengan paksi.
Paksi yang kedudukannya dalam ruang kekal tidak berubah apabila berputar mengelilingi jasad tanpa kehadiran daya luar dipanggil paksi bebas jasad itu.
Untuk badan dalam bentuk apa pun dan dengan pengagihan jisim yang sewenang-wenangnya, terdapat 3 paksi saling berserenjang yang melalui pusat inersia badan, yang boleh berfungsi sebagai paksi bebas: ia dipanggil paksi utama inersia badan.
Mari cari ungkapan untuk kerja bergilir badan. Biarkan ia pergi ke massa m jasad tegar digerakkan oleh daya luar. Kemudian kerja yang dilakukan oleh daya ini dalam masa d t sama dengan
Mari kita jalankan penyusunan semula kitaran faktor dalam hasil campuran vektor menggunakan peraturan
Kerja yang dilakukan apabila jasad berputar adalah sama dengan hasil darab momen tindakan daya dan sudut putaran. Apabila badan berputar, kerja menuju ke arah meningkatkan tenaga kinetiknya:
Oleh itu,
- persamaan dinamik gerakan putaran
Jika paksi putaran bertepatan dengan paksi utama inersia yang melalui pusat jisim, maka kesamaan vektor dipenuhi
І - momen inersia utama (momen inersia mengenai paksi utama)
Getaran kilasan
GETARAN KISAN- mekanikal getaran, di mana unsur elastik mengalami ubah bentuk ricih. Mereka berlaku dalam keadaan yang berbeza mesin dengan aci berputar: dalam enjin omboh, turbin, penjana, kotak gear, penghantaran kenderaan pengangkutan.
K. kepada. momen kedua-dua daya penggerak dan daya rintangan. Ketaksamaan tork menyebabkan perubahan tidak sekata dalam halaju sudut aci, iaitu, sama ada pecutan atau nyahpecutan putaran. Biasanya aci terdiri daripada seli bahagian dengan jisim rendah dan pematuhan elastik dengan bahagian yang lebih tegar, yang bermaksud ia dipasang padanya. jisim. Setiap bahagian aci akan mempunyai tahap putaran yang tidak sekata sendiri, kerana dalam tempoh masa yang sama jisim melepasi sudut yang berbeza dan, oleh itu, bergerak pada kelajuan yang berbeza, yang mewujudkan kilasan berubah-ubah aci dan dinamik. tegasan berselang-seli, ch. arr. tangen.
Apabila frekuensi semula jadi bertepatan. ayunan sistem dengan frekuensi berkala. daya kilas daya penggerak dan daya rintangan, ayunan resonans timbul. Dalam kes ini, tahap dinamik meningkat. voltan bergantian; peningkatan akustik bunyi yang dikeluarkan oleh mesin yang sedang berjalan. Dinamik tegasan berselang-seli dengan dimensi aci yang salah dipilih (dianggarkan rendah), kekuatan bahannya yang tidak mencukupi dan kejadian resonans boleh melebihi had ketahanan, yang akan membawa kepada keletihan bahan aci dan kemusnahannya.
Apabila mengira tork aci mesin, skema pengiraan dengan dua cakera yang disambungkan oleh rod elastik yang bertindak dalam kilasan sering digunakan. Dalam kes ini, milik. kekerapan
di mana saya 1 - momen inersia cakera pertama, saya 2 - momen inersia cakera ke-2, DENGAN- kekakuan kilasan rod, untuk rod bulat dengan diameter d dan panjang l C di mana G ialah modulus ricih. Skim pengiraan yang lebih kompleks mengandungi bilangan cakera yang lebih besar yang disambungkan oleh rod dan membentuk satu siri. rantai, dan kadangkala bercabang dan rantai cincin. Pengiraan sendiri frekuensi bentuk dan gelombang koheren paksa mengikut skema pengiraan ini dijalankan pada komputer.
Dr. Contoh bandul kilasan ialah bandul kilasan, iaitu cakera yang dipasang pada satu hujung rod kilasan dan dimeteraikan dengan tegar pada hujung yang satu lagi. Milik kekerapan bandul sedemikian 
di mana saya- momen inersia cakera. Instrumen menggunakan bandul kilasan digunakan untuk menentukan modulus ricih keanjalan, pekali. dalaman geseran bahan pepejal semasa ricih, pekali. kelikatan bendalir.
K. timbul dalam pelbagai sistem anjal; dalam beberapa kes, ayunan sendi dengan penguraian adalah mungkin. jenis ubah bentuk elemen sistem, contohnya. getaran lentur-kilasan. Jadi, dengan pasti keadaan penerbangan di bawah pengaruh aerodinamik. Daya kadang-kadang menyebabkan getaran lentur-kilasan diri yang teruja pada sayap pesawat (yang dipanggil flutter), yang boleh menyebabkan kemusnahan sayap.
Lit.: Den-Hartog D.P., Getaran mekanikal, trans. daripada English, M., 1960; Maslov G.S., Pengiraan getaran aci. Direktori, ed. ke-2, M., 1980; Getaran dalam teknologi. Buku panduan, ed. V.V. Bolotina, jilid 1, M., 1978; Penghantaran kuasa kenderaan pengangkutan, L., 1982. A. V. Sinev
Amplitud ayunan(lat. amplitud- magnitud) ialah sisihan terbesar jasad berayun daripada kedudukan keseimbangannya.
Untuk bandul, ini ialah jarak maksimum bola bergerak dari kedudukan keseimbangannya (rajah di bawah). Untuk ayunan dengan amplitud kecil, jarak sedemikian boleh diambil sebagai panjang lengkok 01 atau 02, dan panjang segmen ini.
Amplitud ayunan diukur dalam unit panjang - meter, sentimeter, dsb. Pada graf ayunan, amplitud ditakrifkan sebagai ordinat maksimum (modulo) bagi lengkung sinusoidal (lihat rajah di bawah).
Tempoh ayunan.
Tempoh ayunan- ini ialah tempoh masa terpendek di mana sistem berayun kembali semula ke keadaan yang sama di mana ia berada pada saat awal masa, dipilih sewenang-wenangnya.
Dengan kata lain, tempoh ayunan ( T) ialah masa yang diperlukan untuk melengkapkan satu ayunan lengkap. Sebagai contoh, dalam rajah di bawah, ini ialah masa yang diperlukan untuk bandul bob bergerak dari titik paling kanan melalui titik keseimbangan. TENTANG ke titik paling kiri dan kembali melalui titik TENTANG sekali lagi ke paling kanan.
Sepanjang tempoh ayunan penuh, jasad itu melalui laluan yang sama dengan empat amplitud. Tempoh ayunan diukur dalam unit masa - saat, minit, dsb. Tempoh ayunan boleh ditentukan daripada graf ayunan yang terkenal (lihat rajah di bawah).
Konsep "tempoh ayunan," secara tegasnya, sah hanya apabila nilai kuantiti berayun betul-betul diulang selepas tempoh masa tertentu, iaitu, untuk ayunan harmonik. Walau bagaimanapun, konsep ini juga terpakai kepada kes-kes kuantiti yang lebih kurang berulang, contohnya, untuk ayunan yang dilembapkan.
Kekerapan ayunan.
Kekerapan ayunan- ini ialah bilangan ayunan yang dilakukan setiap unit masa, contohnya, dalam 1 s.
Unit SI kekerapan dinamakan hertz(Hz) sebagai penghormatan kepada ahli fizik Jerman G. Hertz (1857-1894). Jika frekuensi ayunan ( v) adalah sama dengan 1Hz, ini bermakna setiap saat terdapat satu ayunan. Kekerapan dan tempoh ayunan dikaitkan dengan hubungan:
Dalam teori ayunan mereka juga menggunakan konsep kitaran, atau kekerapan bulat ω . Ia berkaitan dengan frekuensi biasa v dan tempoh ayunan T nisbah:
.
Kekerapan kitaran ialah bilangan ayunan yang dilakukan setiap 2π detik
a) Ayunan. Lembap dan tidak lembap
Proses berulang menentukan kehidupan kita. Musim sejuk mengikuti musim panas, siang mengikuti malam, penyedutan mengikuti hembusan. Masa berlalu, dan kami juga mengukurnya dengan mengulangi proses. Proses berulang adalah turun naik.
Ayunan perubahan dalam kuantiti fizik yang berulang dari semasa ke semasa dipanggil.
Jika perubahan ini diulang selepas selang masa tertentu, maka ayunan dipanggil "berkala". Selang masa terpendek T, di mana nilai kuantiti fizik diulang A(t), dipanggil tempoh teragak-agak dia A(t + T) =A(t). Bilangan ayunan per unit masa v dipanggil kekerapan getaran. Kekerapan ayunan dan tempoh dikaitkan dengan hubungan v = 1/T. Ayunan sistem yang berlaku tanpa adanya pengaruh luar dipanggil percuma. Pengaruh luar adalah perlu untuk merangsang ayunan. Sistem ini diberi bekalan tenaga dari luar, yang disebabkan oleh ayunan yang berlaku. Pengaruh luaran ini membawa sistem keluar dari kedudukan keseimbangan, dan seterusnya ia bergerak di sekitar kedudukan keseimbangan, meninggalkan dan kembali kepadanya, mengatasinya dengan inersia. Dan ini diulang berulang kali. Pergerakan dalam konteks ini bermaksud perubahan keadaan. DALAM sistem mekanikal ini mungkin pergerakan dalam ruang atau perubahan tekanan, dalam elektrik- perubahan dalam nilai cas atau kekuatan medan. Terdapat bilangan pergerakan yang berbeza dan proses ayunan yang sepadan yang tidak terhingga.
Mana-mana sistem yang mengalami gerakan berayun dipanggil"pengayun" (diterjemahkan daripada lat.oscillo- "ayunan"), oleh itu, perkataan "ayunan" sering digantikan dengan istilah "ayunan".
Jika amplitud ayunan tidak berubah dari semasa ke semasa, ayunan harmonik dipanggiltidak lembap .
Persamaan pembezaan menerangkan ayunan harmonik tanpa lembap, mempunyai bentuk:
d 2 A(t) /dt 2+ ω 0 2 A(t) = 0.
Ȧ +ω 0 2 A = 0.
Jika amplitud berkurangan dari semasa ke semasa, ayunan dipanggilpudar .
Biasa contoh ayunan lembap- ayunan di mana amplitud berkurangan mengikut undang-undang
A 0 (t) =a 0 e -βt .
Pekali pengecilan β > 0.
Dalam sistem SI, masa diukur dalam s, dan kekerapan, masing-masing, dalam detik timbal balik (s -1). Unit ukuran ini mempunyai nama khas"hertz" , 1 Hz = 1 s -1 . Ahli fizik Jerman Heinrich Rudolf Gehr
Momen inersia ditakrifkan sebagai, jika taburan jisim adalah seragam, maka ia digantikan dengan – isipadu asas, – ketumpatan bahan. .
Teorem Steiner: momen inersia terhadap paksi arbitrari adalah sama dengan jumlah momen inersia mengenai paksi yang selari dengan paksi yang diberikan dan melalui pusat inersia jasad, dan hasil darab jisim jasad dengan kuasa dua jarak a antara paksi: .
Momen inersia:
1) rod nipis homogen berjisim, panjang berbanding dengan paksi yang melalui pusat jisim dan berserenjang dengan rod:
2) rod nipis homogen berjisim, panjang berbanding paksi yang melalui salah satu hujung rod:
3) gelang nipis berjisim, jejari R relatif kepada paksi simetri yang berserenjang dengan satah gelang:
4) cakera homogen (silinder) jisim, jejari R, ketinggian h berbanding paksi simetri berserenjang dengan tapak: .
21. Tenaga kinetik jasad tegar berputar.
Apabila jasad berputar dengan halaju sudut, semua jisim asasnya bergerak pada kelajuan yang mempunyai tenaga kinetik, - untuk jasad berputar mengelilingi paksi tetap. Semasa putaran, kedua-dua daya luaran dan dalaman bertindak pada titik material jisim yang membentuk jasad tegar. Dalam satu tempoh masa, ia mengalami anjakan, manakala daya berfungsi. Kerja yang dilakukan oleh semua kuasa akan sama. Apabila menambah dengan mengambil kira undang-undang ke-3 Newton, jumlah kerja daya dalam = 0. Oleh itu, . Selaras dengan teorem tenaga kinetik, peningkatan tenaga kinetik = kerja semua daya yang bertindak ke atas jasad.
Mari kita mengira tenaga kinetik jasad tegar yang melakukan gerakan satah sewenang-wenangnya. semua titik bergerak dalam satah selari. Putaran berlaku di sekeliling paksi, berserenjang dengan satah, dan bergerak bersama-sama dengan titik O tertentu. Mari kita mewakili kelajuan titik jisim bahan dalam bentuk . Badan bergerak secara translasi, oleh itu, adalah ungkapan tenaga kinetik jasad yang melakukan gerakan satah sewenang-wenangnya. Jika kita memilih pusat jisim sebagai titik O, maka .
Giroskop.
Giroskop(atau atas) ialah jasad pepejal besar, simetri kepada paksi tertentu, berputar mengelilinginya pada halaju sudut tinggi. Oleh kerana simetri giroskop, . Apabila cuba memutar giroskop berputar mengelilingi paksi tertentu, kesan gyroscopic– di bawah pengaruh daya yang, nampaknya, sepatutnya menyebabkan putaran paksi giroskop OO mengelilingi garis lurus O'O', paksi giroskop berputar mengelilingi garis lurus O''O'' ( paksi OO dan garis lurus O'O' diandaikan terletak pada satah lukisan itu, dan garis lurus O''O'' dan daya f1 dan f2 berserenjang dengan satah ini). Penjelasan kesan adalah berdasarkan penggunaan persamaan momen. Momentum sudut berputar mengelilingi paksi OX disebabkan oleh hubungan. Bersama-sama dengan OX, giroskop juga berputar. Disebabkan oleh kesan giroskop, galas di mana giroskop berputar mula bertindak daya gyroscopic. Di bawah pengaruh daya giroskop, paksi giroskop cenderung mengambil kedudukan selari dengan halaju sudut putaran Bumi.
Tingkah laku yang diterangkan giroskop adalah asas kompas giroskop. Kelebihan giroskop: menunjukkan arah yang tepat ke kutub utara geografi, operasinya tidak terjejas oleh objek logam.
Precession giroskop– sejenis gerakan giroskop khas berlaku jika momen daya luar yang bertindak pada giroskop, kekal malar dalam magnitud, berputar serentak dengan paksi giroskop, membentuk sudut tepat dengannya sepanjang masa. Mari kita pertimbangkan pergerakan giroskop dengan satu titik tetap pada paksi di bawah pengaruh graviti, ialah jarak dari titik tetap ke pusat inersia giroskop, dan merupakan sudut antara giroskop dan menegak. momen diarahkan berserenjang dengan satah mencancang yang melalui paksi giroskop. Persamaan gerakan: kenaikan momentum = Akibatnya, menukar kedudukannya dalam ruang sedemikian rupa sehingga hujungnya menggambarkan bulatan dalam satah mengufuk. Dalam satu tempoh masa, giroskop berputar melalui sudut 
Paksi giroskop menerangkan kon di sekeliling paksi menegak dengan halaju sudut - halaju sudut precession.
Pelawat yang dihormati ke laman web ini, saya membawa kepada perhatian anda kerja mengenai matematik mengenai topik tersebut , yang mempersembahkan bahan yang bersifat teori dan praktikal, cadangan untuk menyelesaikan masalah menggunakan teorem ini.
Teorem Steiner, atau, seperti yang dipanggil dalam sumber lain, teorem Huygens-Steiner, menerima namanya sebagai penghormatan kepada pengarangnya, Jakob Steiner (ahli matematik Switzerland), dan juga terima kasih kepada penambahan oleh Christian Huygens (ahli fizik, astronomi dan ahli matematik Belanda). Mari kita pertimbangkan secara ringkas sumbangan mereka kepada sains lain.
Teorem Steiner - mengenai pengarang teorem
Jacob Steiner
(1796—1863)
Jacob Steiner (1796-1863) adalah salah seorang saintis yang dianggap sebagai pengasas kedua-dua geometri sintetik garis melengkung dan permukaan urutan kedua dan lebih tinggi.
Bagi Christiaan Huygens, sumbangannya kepada pelbagai ilmu juga tidak sedikit. Dia bertambah baik dengan ketara (sehingga 92 kali pembesaran imej), menemui cincin Saturnus dan satelitnya, Titan, dan pada tahun 1673, dalam karyanya yang agak bermaklumat "Jam Pendulum," dia membentangkan kerja pada kinematik dipercepatkan .
Teorem Steiner - rumusan
Menurut teorem Steiner, telah ditetapkan bahawa momen inersia badan apabila mengira paksi yang agak sewenang-wenangnya sepadan dengan jumlah momen inersia badan berbanding dengan paksi yang melalui pusat jisim dan selari dengan paksi ini, serta ditambah dengan hasil darab kuasa dua jarak antara paksi dan jisim badan, mengikut formula berikut (1):
J=J0+md 2 (1)
Di mana dalam formula kita mengambil nilai berikut: d
– jarak antara paksi OO 1 ║О’O 1 ’;
J 0
– momen inersia badan, dikira relatif kepada paksi yang melalui pusat jisim dan akan ditentukan oleh hubungan (2):
J 0 =J d =mR 2/2(2)
Oleh kerana d = R, maka momen inersia mengenai paksi yang melalui titik A yang ditunjukkan dalam rajah akan ditentukan oleh formula (3):
J=mR 2 +mR 2/2 = 3/2mR 2(3)
Maklumat yang lebih terperinci tentang teorem dibentangkan dalam abstrak dan pembentangan, yang boleh dimuat turun dari pautan sebelum artikel.
Teorem Steiner. Momen inersia - kandungan kerja
pengenalan
Bahagian 1. Dinamik putaran jasad tegar
1.1. Momen inersia bola dan cakera
1.2. Teorem Huygens-Steiner
1.3. Dinamik gerakan putaran badan tegar - asas teori
Momentum
Detik kuasa
Momen inersia tentang paksi putaran
Undang-undang utama dinamik gerakan putaran jasad tegar berbanding dengan paksi tetap
Apabila menerangkan gerakan putaran secara matematik, adalah penting untuk mengetahui momen inersia sistem berbanding paksi. Dalam kes umum, prosedur untuk mencari kuantiti ini melibatkan pelaksanaan proses integrasi. Apa yang dipanggil teorem Steiner membolehkan kita memudahkan pengiraan. Mari lihat dengan lebih terperinci dalam artikel.
Apakah momen inersia?
Sebelum membentangkan rumusan teorem Steiner, adalah perlu untuk memahami konsep momen inersia. Katakan ada badan dengan jisim tertentu dan bentuk sewenang-wenangnya. Badan ini boleh menjadi sama ada titik material atau sebarang objek dua dimensi atau tiga dimensi (rod, silinder, bola, dll.). Jika objek yang dimaksudkan berada dalam gerakan bulat mengelilingi beberapa paksi dengan pecutan sudut malar α, maka persamaan berikut boleh ditulis:
Di sini nilai M mewakili jumlah tork yang memberikan pecutan α kepada keseluruhan sistem. Pekali perkadaran di antara mereka ialah I, dipanggil momen inersia. Kuantiti fizik ini dikira menggunakan formula am berikut:
Di sini r ialah jarak antara unsur dengan jisim dm dan paksi putaran. Ungkapan ini bermakna bahawa adalah perlu untuk mencari hasil tambah kuasa dua bagi jarak r 2 dengan jisim asas dm. Iaitu, momen inersia bukanlah ciri tulen badan, yang membezakannya daripada inersia linear. Ia bergantung kepada pengagihan jisim di seluruh objek yang berputar, serta pada jarak ke paksi dan pada orientasi badan berbanding dengannya. Sebagai contoh, rod akan mempunyai I yang berbeza jika ia diputar secara relatif kepada pusat jisim dan relatif kepada hujungnya.
Momen inersia dan teorem Steiner
Ahli matematik Switzerland yang terkenal, Jakob Steiner, membuktikan teorem tentang paksi selari dan momen inersia, yang kini membawa namanya. Teorem ini mengandaikan bahawa momen inersia untuk mana-mana jasad tegar geometri sewenang-wenang secara mutlak berbanding dengan beberapa paksi putaran adalah sama dengan jumlah momen inersia mengenai paksi yang bersilang dengan pusat jisim badan dan selari dengan yang pertama. , dan hasil darab jisim badan dengan kuasa dua jarak antara paksi ini. Secara matematik, rumusan ini ditulis seperti berikut:
I Z dan I O ialah momen inersia berbanding paksi Z dan paksi O selari dengannya, yang melalui pusat jisim badan, l ialah jarak antara garis lurus Z dan O.
Teorem membenarkan, mengetahui nilai I O, untuk mengira sebarang momen lain I Z berbanding paksi yang selari dengan O.
Bukti teorem
Formula teorem Steiner boleh diperolehi dengan mudah sendiri. Untuk melakukan ini, pertimbangkan badan sewenang-wenangnya pada satah xy. Biarkan asal koordinat melalui pusat jisim badan ini. Mari kita hitung momen inersia I O yang melalui asalan berserenjang dengan satah xy. Oleh kerana jarak ke mana-mana titik pada badan dinyatakan dengan formula r = √ (x 2 + y 2), maka kita memperoleh kamiran:
I O = ∫ m (r 2 *dm) = ∫ m ((x 2 +y 2) *dm)
Sekarang kita menggerakkan paksi selari dengan paksi x dengan jarak l, sebagai contoh, ke arah positif, maka pengiraan untuk paksi baru momen inersia akan kelihatan seperti ini:
I Z = ∫ m (((x+l) 2 +y 2)*dm)
Mari kita buka petak lengkap dalam kurungan dan bahagikan kamiran, kita dapat:
I Z = ∫ m ((x 2 +l 2 +2*x*l+y 2)*dm) = ∫ m ((x 2 +y 2)*dm) + 2*l*∫ m (x*dm) + l 2 *∫ m dm
Yang pertama daripada sebutan ini ialah nilai I O, sebutan ketiga, selepas pengamiran, memberikan sebutan l 2 *m, tetapi sebutan kedua bersamaan dengan sifar. Pensifaran kamiran ini disebabkan oleh fakta bahawa ia diambil daripada hasil darab x dan unsur jisim dm, yang secara purata memberikan sifar, kerana pusat jisim berada pada asal koordinat. Hasilnya, formula teorem Steiner diperolehi.
Kes yang dipertimbangkan pada satah boleh digeneralisasikan kepada badan isipadu.
Menyemak formula Steiner menggunakan contoh rod
Mari kita berikan contoh mudah untuk menunjukkan cara menggunakan teorem yang dipertimbangkan.
Adalah diketahui bahawa untuk rod panjang L dan jisim m, momen inersia I O (paksi melalui pusat jisim) adalah sama dengan m*L 2 /12, dan momen I Z (paksi melalui hujungnya. daripada rod) adalah sama dengan m*L 2 /3. Mari kita semak data ini menggunakan teorem Steiner. Oleh kerana jarak antara dua paksi ialah L/2, maka kita mendapat momen I Z:
I Z = I O + m*(L/2) 2 = m*L 2 /12 + m*L 2 /4 = 4*m*L 2 /12 = m*L 2 /3
Iaitu, kami menyemak formula Steiner dan memperoleh nilai yang sama untuk I Z seperti dalam sumber.
Pengiraan yang sama boleh dilakukan untuk badan lain (silinder, bola, cakera), sambil mendapatkan momen inersia yang diperlukan, dan tanpa melakukan penyepaduan.
Momen inersia dan paksi serenjang
Teorem membincangkan berkenaan paksi selari. Untuk melengkapkan maklumat, ia juga berguna untuk membentangkan teorem untuk paksi serenjang. Ia dirumuskan seperti berikut: untuk objek rata dengan bentuk sewenang-wenangnya, momen inersia mengenai paksi yang berserenjang dengannya akan sama dengan jumlah dua momen inersia kira-kira dua paksi saling berserenjang yang terletak pada satah objek, manakala semua tiga paksi mesti melalui satu titik. Secara matematik ia ditulis seperti ini:
Di sini z, x, y ialah tiga paksi putaran yang saling berserenjang.
Perbezaan ketara antara teorem ini dan teorem Steiner ialah ia hanya terpakai kepada objek pepejal rata (dua dimensi). Walau bagaimanapun, dalam amalan ia digunakan secara meluas, secara mental memotong badan ke dalam lapisan yang berasingan, dan kemudian menambah momen inersia yang terhasil.