Keadaan untuk vektor berserenjang
Vektor adalah berserenjang jika dan hanya jika hasil darab titiknya ialah sifar.
Diberi dua vektor a(xa;ya) dan b(xb;yb). Vektor ini akan berserenjang jika ungkapan xaxb + yayb = 0.
Vektor adalah selari jika hasil silangnya ialah sifar
Persamaan garis lurus pada satah. Masalah asas pada garis lurus di atas kapal terbang.
Mana-mana garis lurus pada satah boleh ditentukan oleh persamaan tertib pertama Ax + By + C = 0, dan pemalar A dan B tidak sama dengan sifar pada masa yang sama, i.e. A2 + B2 0. Persamaan tertib pertama ini dipanggil persamaan am garis. Bergantung kepada nilai pemalar A, B dan C, kes khas berikut mungkin: - C = 0, A 0, B 0 – garis lurus melalui asalan - A = 0, B 0 , C 0 ( Oleh
C = 0) - garis lurus selari dengan paksi Oy - B = 0, A 0, C 0 ( Ax + C = 0) - garis lurus selari dengan paksi Oy - B = C = 0, A 0 - garis lurus bertepatan dengan paksi Oy - A = C = 0, B 0 – garis lurus bertepatan dengan paksi Ox Persamaan garis lurus boleh dibentangkan dalam bentuk yang berbeza bergantung pada mana-mana keadaan awal.
Jika sekurang-kurangnya satu daripada pekali A, B, C aras Ax+By+C=0 adalah sama dengan 0, aras
dipanggil tidak lengkap. Dengan bentuk persamaan garis lurus seseorang boleh menilai kedudukannya
kebosanan OXU. Kes yang mungkin:
1 C=0 L: Ax+By=0 t O(0,0) memenuhi persamaan ini, yang bermaksud ia lurus
melalui asal
2 A=0 L: Ву+С=0 - putaran normal n=(0,B) berserenjang dengan paksi OX dari sini
ia berikutan bahawa garis lurus adalah selari dengan paksi OX
3 V = 0 L: Ay+C=0 0 - nilai nominal n=(A,0) berserenjang dengan paksi OY dari sini
ia berikutan bahawa garis lurus adalah selari dengan paksi op-amp
4 A=0, C=0 L: Oleh=0(y=0(L=OX
5 B=0, C=0 L: Ax=0(x=0(L=OY
6 A (0, B (0, C (0 L; - tidak melalui asalan dan bersilang
kedua-dua paksi.
Persamaan garis lurus pada satah yang melalui dua titik tertentu dan: 
Sudut antara satah.
Pengiraan penentu
Pengiraan penentu adalah berdasarkan sifatnya yang diketahui, yang digunakan untuk penentu semua pesanan. Ini adalah sifat-sifat:
1. Jika anda menyusun semula dua baris (atau dua lajur) penentu, penentu akan menukar tanda.
2. Jika elemen sepadan dua lajur (atau dua baris) penentu adalah sama atau berkadar, maka penentu adalah sama dengan sifar.
3. Nilai penentu tidak akan berubah jika anda menukar baris dan lajur, mengekalkan susunannya.
4. Jika semua elemen baris (atau lajur) mempunyai faktor sepunya, maka ia boleh dikeluarkan daripada tanda penentu.
5. Nilai penentu tidak akan berubah jika elemen yang sepadan bagi baris (atau lajur) lain ditambah pada elemen satu baris (atau lajur), didarab dengan nombor yang sama.
Matriks dan tindakan di atasnya
Matriks- objek matematik yang ditulis dalam bentuk jadual nombor segi empat tepat (atau unsur gelang) dan membenarkan operasi algebra (penambahan, penolakan, pendaraban, dll.) di antaranya dan objek lain yang serupa. Biasanya, matriks diwakili sebagai jadual dua dimensi (segi empat tepat). Kadangkala matriks multidimensi atau matriks bukan segi empat tepat dipertimbangkan.
Biasanya, matriks dilambangkan dengan huruf besar abjad Latin dan diserlahkan dengan kurungan bulat “(…)” (juga ditandakan dengan kurungan segi empat sama “[…]” atau garis lurus berganda “||…||”).
Nombor yang membentuk matriks (elemen matriks) selalunya dilambangkan dengan huruf yang sama dengan matriks itu sendiri, tetapi huruf kecil (contohnya, a11 ialah unsur matriks A).
Setiap elemen matriks mempunyai 2 subskrip (aij) - "i" pertama menandakan nombor baris di mana elemen itu terletak, dan "j" kedua menandakan nombor lajur. Mereka mengatakan "matriks dimensi", bermakna matriks mempunyai m baris dan n lajur. Sentiasa dalam matriks yang sama
Operasi pada matriks
Biarkan aij ialah unsur-unsur matriks A, dan bij ialah unsur-unsur matriks B.
Operasi linear:
Mendarab matriks A dengan nombor λ (simbol: λA) terdiri daripada membina matriks B, unsur-unsurnya diperoleh dengan mendarab setiap elemen matriks A dengan nombor ini, iaitu setiap elemen matriks B adalah sama dengan
Penambahan matriks A + B ialah operasi mencari matriks C, semua unsurnya adalah sama dengan jumlah berpasangan semua unsur yang sepadan bagi matriks A dan B, iaitu setiap unsur matriks C adalah sama dengan
Penolakan matriks A − B ditakrifkan sama seperti penambahan ini ialah operasi mencari matriks C yang unsurnya
Penambahan dan penolakan hanya dibenarkan untuk matriks yang sama saiz.
Terdapat matriks sifar Θ sehingga menambahnya pada matriks A yang lain tidak mengubah A, iaitu
Semua elemen matriks sifar adalah sama dengan sifar.
Operasi tak linear:
Pendaraban matriks (penamaan: AB, kurang kerap dengan tanda pendaraban) ialah operasi mengira matriks C, unsur-unsurnya adalah sama dengan jumlah hasil darab unsur dalam baris yang sepadan bagi faktor pertama dan lajur kedua. .cij = ∑ aikbkj k
Faktor pertama mesti mempunyai bilangan lajur yang sama dengan bilangan baris dalam kedua. Jika matriks A mempunyai dimensi B - , maka dimensi hasil darabnya AB = C ialah. Pendaraban matriks bukan komutatif.
Pendaraban matriks adalah bersekutu. Hanya matriks segi empat sama boleh dinaikkan kepada kuasa.
Transposisi matriks (simbol: AT) ialah operasi di mana matriks dipantulkan berbanding pepenjuru utama, iaitu
Jika A ialah matriks saiz, maka AT ialah matriks saiz
Terbitan fungsi kompleks
Fungsi kompleks mempunyai bentuk: F(x) = f(g(x)), i.e. ialah fungsi bagi suatu fungsi. Contohnya, y = sin2x, y = ln(x2+2x), dsb.
Jika pada titik x fungsi g(x) mempunyai terbitan g"(x), dan pada titik u = g(x) fungsi f(u) mempunyai terbitan f"(u), maka terbitan bagi fungsi kompleks f(g(x)) pada titik x wujud dan sama dengan f"(u)g"(x).
Terbitan fungsi tersirat
Dalam banyak masalah, fungsi y(x) dinyatakan secara tersirat. Sebagai contoh, untuk fungsi di bawah
adalah mustahil untuk mendapatkan pergantungan y(x) secara eksplisit.
Algoritma untuk mengira derivatif y"(x) daripada fungsi tersirat adalah seperti berikut:
Anda perlu terlebih dahulu membezakan kedua-dua belah persamaan berkenaan dengan x, dengan mengandaikan bahawa y ialah fungsi boleh dibezakan bagi x dan menggunakan peraturan untuk mengira terbitan bagi fungsi kompleks;
Selesaikan persamaan yang terhasil untuk terbitan y"(x).
Mari kita lihat beberapa contoh untuk menggambarkan.
Bezakan fungsi y(x) yang diberikan oleh persamaan.
Mari bezakan kedua-dua belah persamaan berkenaan dengan pembolehubah x:
apa yang membawa kepada hasilnya
Peraturan Lapital
Peraturan L'Hopital. Biarkan fungsi f(x) dan g(x) ada dalam persekitaran. t-ki x0 pr-nye f' dan g' tidak termasuk kemungkinan t-tu x0 ini. Biarkan lim(x®Dx)=lim(x®Dx)g(x)=0 supaya f(x)/g(x) untuk x®x0 memberikan 0/0. lim(x®x0)f'(x)/g'(x) $ (4), apabila ia bertepatan dengan had nisbah fungsi lim(x®x0)f(x)/g(x)= lim(x ®x0)f'(x)/g'(x) (5)
44
.1.(Kriteria untuk monotonisitas fungsi yang mempunyai terbitan pada selang) Biarkan fungsi 
berterusan pada
(a,b), dan mempunyai terbitan f"(x) pada setiap titik. Kemudian
1)f bertambah sebanyak (a,b) jika dan hanya jika
2) berkurangan sebanyak (a,b) jika dan hanya jika
2. (Syarat yang mencukupi untuk monotonisitas ketat fungsi yang mempunyai terbitan pada selang) Biarkan fungsi 
adalah selanjar pada (a,b), dan mempunyai terbitan f"(x) pada setiap titik. Kemudian
1) jika kemudian f meningkat dengan ketat pada (a,b);
2) jika kemudian f berkurangan pada (a,b).
Sebaliknya, secara umumnya, adalah tidak benar. Terbitan bagi fungsi monotonik yang ketat boleh lenyap. Walau bagaimanapun, set titik di mana terbitan bukan sifar mestilah padat pada selang (a,b). Lebih tepat lagi, ia berlaku.
3. (Kriteria untuk monotonisitas ketat fungsi yang mempunyai terbitan pada selang) Biarkan dan terbitan f"(x) ditakrifkan di mana-mana pada selang. Kemudian f meningkat dengan tegas pada selang (a,b) jika dan hanya jika dua syarat berikut dipenuhi:
Hasil darab titik bagi vektor. Sudut antara vektor. Keadaan selari atau keserenjang vektor.
Hasil darab skalar bagi vektor ialah hasil darab panjangnya dan kosinus sudut di antara keduanya:
Pernyataan berikut dibuktikan dengan cara yang sama seperti dalam planimetri:
Hasil darab skalar bagi dua vektor bukan sifar adalah sifar jika dan hanya jika vektor itu berserenjang.
Kuasa dua skalar vektor, iaitu hasil darab skalar dirinya dan dirinya sendiri, adalah sama dengan kuasa dua panjangnya.
Hasil darab skalar dua vektor dan diberikan oleh koordinatnya boleh dikira menggunakan formula
Vektor adalah berserenjang jika dan hanya jika hasil darab titiknya ialah sifar. Contoh. Diberi dua vektor dan . Vektor-vektor ini akan berserenjang jika ungkapan x1x2 + y1y2 = 0. Sudut antara vektor bukan sifar ialah sudut antara garis lurus yang mana vektor ini adalah panduan. Mengikut definisi, sudut antara mana-mana vektor dan vektor sifar dianggap sama dengan sifar. Jika sudut antara vektor ialah 90°, maka vektor tersebut dipanggil serenjang. Kami akan menandakan sudut antara vektor seperti berikut:
Artikel ini mendedahkan maksud keserenjang dua vektor pada satah dalam ruang tiga dimensi dan mencari koordinat vektor berserenjang dengan satu atau sepasang keseluruhan vektor. Topik ini boleh digunakan untuk masalah yang melibatkan persamaan garis dan satah.
Kami akan mempertimbangkan syarat yang perlu dan mencukupi untuk keserenjangan dua vektor, menyelesaikan dengan kaedah mencari vektor berserenjang dengan yang diberikan, dan menyentuh situasi mencari vektor yang berserenjang dengan dua vektor.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Keadaan yang diperlukan dan mencukupi untuk keserenjangan dua vektor
Mari kita gunakan peraturan tentang vektor serenjang pada satah dan dalam ruang tiga dimensi.
Definisi 1
Dengan syarat sudut antara dua vektor bukan sifar adalah sama dengan 90 ° (π 2 radian) dipanggil berserenjang.
Apakah maksud ini, dan dalam situasi apakah perlu mengetahui tentang keserenjangannya?
Mewujudkan perpendicularity adalah mungkin melalui lukisan. Apabila memplot vektor pada satah dari titik tertentu, anda boleh mengukur sudut di antara mereka secara geometri. Walaupun jika keserenjangan vektor ditetapkan, ia tidak akan tepat sepenuhnya. Selalunya, tugasan ini tidak membenarkan anda melakukan ini menggunakan protraktor, jadi kaedah ini hanya terpakai apabila tiada apa-apa lagi yang diketahui tentang vektor.
Kebanyakan kes membuktikan keserenjangan dua vektor bukan sifar pada satah atau di angkasa dilakukan menggunakan syarat yang perlu dan mencukupi untuk keserenjangan dua vektor.
Teorem 1
Hasil darab skalar bagi dua vektor bukan sifar a → dan b → sama dengan sifar untuk memenuhi kesamaan a → , b → = 0 adalah mencukupi untuk keserenjangannya.
Bukti 1
Biarkan vektor yang diberi a → dan b → berserenjang, maka kita akan membuktikan kesamaan a ⇀ , b → = 0 .
Daripada definisi hasil darab titik bagi vektor kita tahu bahawa ia sama hasil darab panjang vektor yang diberi dan kosinus sudut di antaranya. Dengan keadaan, a → dan b → adalah berserenjang, yang bermaksud, berdasarkan definisi, sudut di antara mereka ialah 90 °. Kemudian kita mempunyai → , b → = a → · b → · cos (a → , b → ^) = a → · b → · cos 90 ° = 0 .
Bahagian kedua bukti
Dengan syarat a ⇀, b → = 0, buktikan keserenjang a → dan b →.
Malah, buktinya adalah bertentangan dengan yang sebelumnya. Adalah diketahui bahawa a → dan b → adalah bukan sifar, yang bermaksud bahawa daripada kesamaan a ⇀ , b → = a → · b → · cos (a → , b →) ^ kita dapati kosinus. Kemudian kita dapat cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . Oleh kerana kosinus adalah sifar, kita boleh membuat kesimpulan bahawa sudut a →, b → ^ bagi vektor a → dan b → adalah sama dengan 90 °. Mengikut definisi, ini adalah harta yang perlu dan mencukupi.
Keadaan keserenjang pada satah koordinat
Bab hasil kali skalar dalam koordinat menunjukkan ketaksamaan (a → , b →) = a x · b x + a y · b y , sah untuk vektor dengan koordinat a → = (a x , a y) dan b → = (b x , b y), pada satah dan (a → , b → ) = a x · b x + a y · b y untuk vektor a → = (a x , a y , a z) dan b → = (b x , b y , b z) dalam ruang. Keadaan yang perlu dan mencukupi untuk keserenjangan dua vektor dalam satah koordinat ialah a x · b x + a y · b y = 0, untuk ruang tiga dimensi a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0.
Mari kita praktikkan dan lihat contoh.
Contoh 1
Periksa sifat serenjang dua vektor a → = (2, - 3), b → = (- 6, - 4).
Penyelesaian
Untuk menyelesaikan masalah ini, anda perlu mencari produk skalar. Jika mengikut keadaan ia sama dengan sifar, maka ia adalah serenjang.
(a → , b →) = a x · b x + a y · b y = 2 · (- 6) + (- 3) · (- 4) = 0 . Syarat dipenuhi, yang bermaksud bahawa vektor yang diberikan adalah berserenjang dengan satah.
Jawapan: ya, vektor yang diberi a → dan b → adalah berserenjang.
Contoh 2
Vektor koordinat i → , j → , k → diberikan. Periksa sama ada vektor i → - j → dan i → + 2 · j → + 2 · k → boleh berserenjang.
Penyelesaian
Untuk mengingati bagaimana koordinat vektor ditentukan, anda perlu membaca artikel tentang koordinat vektor dalam sistem koordinat segi empat tepat. Oleh itu, kita dapati bahawa vektor yang diberi i → - j → dan i → + 2 · j → + 2 · k → mempunyai koordinat yang sepadan (1, - 1, 0) dan (1, 2, 2). Kami menggantikan nilai berangka dan dapatkan: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j → = 1 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 2 = - 1 .
Ungkapan tidak sama dengan sifar, (i → + 2 j → + 2 k →, i → - j →) ≠ 0, yang bermaksud bahawa vektor i → - j → dan i → + 2 j → + 2 k → tidak berserenjang, kerana syaratnya tidak dipenuhi.
Jawapan: tidak, vektor i → - j → dan i → + 2 · j → + 2 · k → tidak berserenjang.
Contoh 3
Diberi vektor a → = (1, 0, - 2) dan b → = (λ, 5, 1). Cari nilai λ di mana vektor ini berserenjang.
Penyelesaian
Kami menggunakan keadaan tegak lurus dua vektor dalam ruang dalam bentuk segi empat sama, maka kami dapat
a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2
Jawapan: vektor adalah berserenjang pada nilai λ = 2.
Terdapat kes apabila persoalan keserenjangan adalah mustahil walaupun dalam keadaan yang perlu dan mencukupi. Memandangkan data yang diketahui pada tiga sisi segitiga pada dua vektor, adalah mungkin untuk mencari sudut antara vektor dan semaknya.
Contoh 4
Diberi segitiga A B C dengan sisi A B = 8, A C = 6, B C = 10 cm Periksa vektor A B → dan A C → untuk keserenjangan.
Penyelesaian
Jika vektor A B → dan A C → adalah berserenjang, segitiga A B C dianggap segi empat tepat. Kemudian kita menggunakan teorem Pythagoras, di mana B C ialah hipotenus bagi segi tiga. Kesamaan B C 2 = A B 2 + A C 2 mestilah benar. Ia berikutan bahawa 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100. Ini bermakna A B dan A C ialah kaki bagi segi tiga A B C, oleh itu, A B → dan A C → adalah berserenjang.
Adalah penting untuk mempelajari cara mencari koordinat vektor yang berserenjang dengan yang diberikan. Ini boleh dilakukan di atas satah dan di angkasa, dengan syarat vektornya berserenjang.
Mencari vektor yang berserenjang dengan yang diberikan dalam satah.
Vektor bukan sifar a → boleh mempunyai bilangan vektor serenjang yang tidak terhingga pada satah. Mari kita gambarkan ini pada garis koordinat.
Diberi vektor bukan sifar a → terletak pada garis lurus a. Kemudian b diberi →, terletak pada mana-mana garis berserenjang dengan garis a, menjadi berserenjang dengan →. Jika vektor i → berserenjang dengan vektor j → atau mana-mana vektor λ · j → dengan λ sama dengan sebarang nombor nyata selain sifar, maka cari koordinat bagi vektor b → berserenjang dengan a → = (a x , a y ) dikurangkan kepada set penyelesaian tak terhingga. Tetapi adalah perlu untuk mencari koordinat vektor yang berserenjang dengan a → = (a x , a y) . Untuk melakukan ini, adalah perlu untuk menuliskan keadaan keserenjangan vektor dalam bentuk berikut: a x · b x + a y · b y = 0. Kami mempunyai b x dan b y, yang merupakan koordinat yang dikehendaki bagi vektor serenjang. Apabila a x ≠ 0, nilai b y ialah bukan sifar, dan b x boleh dikira daripada ketaksamaan a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x. Untuk a x = 0 dan a y ≠ 0, kami tetapkan b x sebarang nilai selain sifar, dan cari b y daripada ungkapan b y = - a x · b x a y .
Contoh 5
Diberi vektor dengan koordinat a → = (- 2 , 2) . Cari vektor yang berserenjang dengan ini.
Penyelesaian
Mari kita nyatakan vektor yang dikehendaki sebagai b → (b x , b y) . Koordinatnya boleh didapati daripada keadaan bahawa vektor a → dan b → adalah berserenjang. Kemudian kita dapat: (a → , b →) = a x · b x + a y · b y = - 2 · b x + 2 · b y = 0 . Mari berikan b y = 1 dan gantikan: - 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ - 2 · b x + 2 = 0 . Oleh itu, daripada formula kita mendapat b x = - 2 - 2 = 1 2. Ini bermakna vektor b → = (1 2 , 1) ialah vektor berserenjang dengan a → .
Jawapan: b → = (1 2 , 1) .
Jika soalan dibangkitkan tentang ruang tiga dimensi, masalah itu diselesaikan mengikut prinsip yang sama. Untuk vektor yang diberi a → = (a x , a y , a z) terdapat bilangan vektor serenjang yang tidak terhingga. Akan membetulkannya pada satah koordinat tiga dimensi. Diberi → berbaring di atas garisan a. Satah berserenjang dengan lurus a dilambangkan dengan α. Dalam kes ini, sebarang vektor bukan sifar b → dari satah α adalah berserenjang dengan →.
Ia adalah perlu untuk mencari koordinat b → berserenjang dengan vektor bukan sifar a → = (a x , a y , a z) .
Biarkan b → diberikan dengan koordinat b x , b y dan b z . Untuk mencari mereka, adalah perlu untuk menggunakan takrifan keadaan serenjang dua vektor. Kesamaan a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 mesti dipenuhi. Daripada keadaan a → bukan sifar, yang bermaksud bahawa salah satu koordinat mempunyai nilai yang tidak sama dengan sifar. Mari kita andaikan bahawa a x ≠ 0, (a y ≠ 0 atau a z ≠ 0). Oleh itu, kita mempunyai hak untuk membahagikan keseluruhan ketaksamaan a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 dengan koordinat ini, kita memperoleh ungkapan b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = - a y · b y + a z · b z a x . Kami menetapkan sebarang nilai kepada koordinat b y dan b x, hitung nilai b x berdasarkan formula, b x = - a y · b y + a z · b z a x. Vektor serenjang yang dikehendaki akan mempunyai nilai a → = (a x, a y, a z).
Mari kita lihat bukti menggunakan contoh.
Contoh 6
Diberi vektor dengan koordinat a → = (1, 2, 3) . Cari vektor berserenjang dengan yang diberi.
Penyelesaian
Mari kita nyatakan vektor yang dikehendaki dengan b → = (b x , b y , b z) . Berdasarkan syarat bahawa vektor adalah berserenjang, hasil kali skalar mestilah sama dengan sifar.
a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)
Jika nilai b y = 1, b z = 1, maka b x = - 2 b y - 3 b z = - (2 1 + 3 1) = - 5. Ia berikutan bahawa koordinat bagi vektor b → (- 5 , 1 , 1) . Vektor b → ialah salah satu vektor yang berserenjang dengan yang diberikan.
Jawapan: b → = (- 5 , 1 , 1) .
Mencari koordinat bagi vektor yang berserenjang dengan dua vektor yang diberi
Kita perlu mencari koordinat vektor dalam ruang tiga dimensi. Ia berserenjang dengan vektor bukan kolinear a → (a x , a y , a z) dan b → = (b x , b y , b z) . Dengan syarat bahawa vektor a → dan b → adalah kolinear, ia akan mencukupi untuk mencari vektor berserenjang dengan a → atau b → dalam masalah.
Apabila menyelesaikan, konsep produk vektor bagi vektor digunakan.
Produk vektor bagi vektor a → dan b → ialah vektor yang berserenjang serentak dengan kedua-dua a → dan b →. Untuk menyelesaikan masalah ini, produk vektor a → × b → digunakan. Untuk ruang tiga dimensi ia mempunyai bentuk a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z
Mari kita lihat produk vektor dengan lebih terperinci menggunakan contoh masalah.
Contoh 7
Vektor b → = (0, 2, 3) dan a → = (2, 1, 0) diberikan. Cari koordinat mana-mana vektor yang berserenjang dengan data secara serentak.
Penyelesaian
Untuk menyelesaikannya, anda perlu mencari produk vektor bagi vektor. (Sila rujuk perenggan mengira penentu sesuatu matriks untuk mencari vektor). Kita mendapatkan:
a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →
Jawapan: (3 , - 6 , 4) - koordinat bagi vektor yang berserenjang serentak dengan a → dan b → yang diberi.
Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter
ohm Untuk melakukan ini, kami mula-mula memperkenalkan konsep segmen.
Definisi 1
Kami akan memanggil segmen sebagai sebahagian daripada garisan yang dibatasi oleh titik di kedua-dua belah.
Definisi 2
Hujung segmen ialah titik yang mengehadkannya.
Untuk memperkenalkan definisi vektor, kami memanggil salah satu hujung segmen sebagai permulaannya.
Definisi 3
Kami akan memanggil vektor (segmen terarah) segmen di mana ia ditunjukkan titik sempadan mana yang merupakan permulaan dan yang mana penghujungnya.
Notasi: \overline(AB) ialah vektor AB yang bermula di titik A dan berakhir di titik B.
Jika tidak, dalam satu huruf kecil: \overline(a) (Rajah 1).
Definisi 4
Kami akan memanggil vektor sifar sebarang titik kepunyaan satah.
Simbol: \overline(0) .
Marilah kita memperkenalkan secara langsung takrif vektor kolinear.
Kami juga akan memperkenalkan definisi produk skalar, yang kami perlukan kemudian.
Definisi 6
Hasil darab skalar bagi dua vektor yang diberi ialah skalar (atau nombor) yang sama dengan hasil darab panjang dua vektor ini dengan kosinus sudut antara vektor ini.
Secara matematik ia mungkin kelihatan seperti ini:
\overline(α)\overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos∠(\overline(α),\overline(β))
Produk titik juga boleh didapati menggunakan koordinat vektor seperti berikut
\overline(α)\overline(β)=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3
Tanda perpendicularity melalui proportionality
Teorem 1
Untuk vektor bukan sifar berserenjang antara satu sama lain, adalah perlu dan mencukupi bahawa hasil darab skalar vektor ini sama dengan sifar.
Bukti.
Keperluan: Marilah kita diberi vektor \overline(α) dan \overline(β) yang mempunyai koordinat (α_1,α_2,α_3) dan (β_1,β_2,β_3), masing-masing, dan ia berserenjang antara satu sama lain. Kemudian kita perlu membuktikan persamaan berikut
Oleh kerana vektor \overline(α) dan \overline(β) adalah berserenjang, sudut di antara mereka ialah 90^0. Mari cari hasil kali skalar bagi vektor-vektor ini menggunakan formula dari Definisi 6.
\overline(α)\cdot \overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos90^\circ =|\overline(α)||\overline(β)|\cdot 0=0
Kecukupan: Biarkan persamaan itu benar \overline(α)\cdot \overline(β)=0. Mari kita buktikan bahawa vektor \overline(α) dan \overline(β) akan berserenjang antara satu sama lain.
Mengikut takrifan 6, kesaksamaan akan menjadi benar
|\overline(α)||\overline(β)|cos∠(\overline(α),\overline(β))=0
Cos∠(\overline(α),\overline(β))=0
∠(\overline(α),\overline(β))=90^\circ
Oleh itu, vektor \overline(α) dan \overline(β) akan berserenjang antara satu sama lain.
Teorem telah terbukti.
Contoh 1
Buktikan bahawa vektor dengan koordinat (1,-5,2) dan (2,1,3/2) adalah berserenjang.
Bukti.
Mari cari produk skalar untuk vektor ini menggunakan formula yang diberikan di atas
\overline(α)\cdot \overline(β)=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac(3)(2)=2\cdot 5+3=0
Ini bermakna, mengikut Teorem 1, vektor ini berserenjang.
Mencari vektor serenjang kepada dua vektor yang diberi menggunakan hasil silang
Mari kita mula-mula memperkenalkan konsep produk vektor.
Definisi 7
Hasil darab vektor bagi dua vektor akan menjadi vektor yang akan berserenjang dengan kedua-dua vektor yang diberikan, dan panjangnya akan sama dengan hasil darab panjang vektor ini dengan sinus sudut antara vektor ini, dan juga vektor ini dengan dua yang awal mempunyai orientasi yang sama dengan sistem koordinat Cartes.
Jawatan: \overline(α)х\overline(β) x.
Untuk mencari produk vektor, kami akan menggunakan formula
\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix) x
Oleh kerana vektor hasil silang dua vektor adalah berserenjang dengan kedua-dua vektor ini, ia akan menjadi vektor. Iaitu, untuk mencari vektor yang berserenjang dengan dua vektor, anda hanya perlu mencari produk vektor mereka.
Contoh 2
Cari vektor berserenjang dengan vektor dengan koordinat \overline(α)=(1,2,3) dan \overline(β)=(-1,0,3)
Mari cari hasil vektor vektor ini.
\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\1&2&3\\-1&0&3\end(vmatrix)=(6- 0)\overline(i)-(3+3)\overline(j)+(0+2)\overline(k)=6\overline(i)-6\overline(j)+2\overline(k) =(6,6,2) x
Arahan
Jika vektor asal digambarkan dalam lukisan dalam sistem koordinat dua dimensi segi empat tepat dan satu serenjang perlu dibina di sana, teruskan daripada takrifan keserenjangan vektor pada satah. Ia menyatakan bahawa sudut antara sepasang segmen terarah sedemikian mestilah sama dengan 90°. Bilangan tak terhingga bagi vektor tersebut boleh dibina. Oleh itu, lukiskan serenjang dengan vektor asal di mana-mana tempat yang sesuai pada satah, letakkan segmen di atasnya sama dengan panjang pasangan mata tertib yang diberikan dan tetapkan salah satu hujungnya sebagai permulaan vektor serenjang. Lakukan ini menggunakan protraktor dan pembaris.
Jika vektor asal diberikan oleh koordinat dua dimensi ā = (X₁;Y₁), andaikan hasil darab skalar bagi sepasang vektor serenjang mestilah sama dengan sifar. Ini bermakna anda perlu memilih untuk vektor ō = (X₂,Y₂) koordinat sedemikian sehingga kesamaan (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0 boleh dilakukan seperti ini: pilih mana-mana nilai bukan sifar untuk koordinat X₂, dan hitung koordinat Y₂ menggunakan formula Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁. Sebagai contoh, untuk vektor ā = (15;5) akan ada vektor ō, dengan abscissa sama dengan satu dan ordinat sama dengan -(15*1)/5 = -3, i.e. ō = (1;-3).
Untuk sistem koordinat tiga dimensi dan mana-mana sistem koordinat ortogonal yang lain, syarat yang diperlukan dan mencukupi yang sama untuk keserenjangan vektor adalah benar - hasil darab skalarnya mestilah sama dengan sifar. Oleh itu, jika segmen terarah awal diberikan oleh koordinat ā = (X₁,Y₁,Z₁), pilih pasangan tertib titik ō = (X₂,Y₂,Z₂) berserenjang dengannya koordinat sedemikian yang memenuhi syarat (ā,ō ) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. Cara paling mudah ialah memberikan nilai tunggal kepada X₂ dan Y₂, dan mengira Z₂ daripada kesamaan dipermudahkan Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₁* 1)/Z₁ = -(X₁+Y₁)/ Z₁. Sebagai contoh, untuk vektor ā = (3,5,4) ini akan mengambil bentuk berikut: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. Kemudian ambil absis dan ordinat bagi vektor serenjang sebagai satu, dan dalam kes ini ia akan sama dengan -(3+5)/4 = -2.
Sumber:
- cari vektor jika ia berserenjang
Mereka dipanggil serenjang vektor, sudut antaranya ialah 90º. Vektor berserenjang dibina menggunakan alat lukisan. Jika koordinatnya diketahui, maka keserenjangan vektor boleh disemak atau didapati menggunakan kaedah analisis.
Anda perlu
- - protraktor;
- - kompas;
- - pembaris.
Arahan
Tetapkannya ke titik permulaan vektor. Lukis bulatan dengan jejari sewenang-wenangnya. Kemudian bina dua dengan pusat pada titik di mana bulatan pertama bersilang dengan garis di mana vektor terletak. Jejari bulatan ini mestilah sama antara satu sama lain dan lebih besar daripada bulatan pertama yang dibina. Di titik persilangan bulatan, bina satu garis lurus yang akan berserenjang dengan vektor asal pada asalnya, dan lukiskan di atasnya vektor yang berserenjang dengan yang ini.
Cari vektor yang berserenjang dengan vektor yang koordinatnya dan sama dengan (x;y). Untuk melakukan ini, cari sepasang nombor (x1;y1) yang akan memenuhi kesamaan x x1+y y1=0. Dalam kes ini, vektor dengan koordinat (x1;y1) akan berserenjang dengan vektor dengan koordinat (x;y).