Penguraian kurungan segi empat sama. Pelajaran "Pemfaktoran perbezaan kuasa ke-n"

Mempertimbangkan pendaraban polinomial, kita mengingati beberapa formula, iaitu: formula untuk (a + b)², untuk (a – b)², untuk (a + b) (a – b), untuk (a + b)³ dan untuk (a – b)³.

Jika polinomial yang diberikan ternyata bertepatan dengan salah satu formula ini, maka ia mungkin untuk memfaktorkannya. Sebagai contoh, polinomial a² – 2ab + b², kita tahu, adalah sama dengan (a – b)² [atau (a – b) · (a – b), iaitu kita berjaya memfaktorkan a² – 2ab + b² kepada 2 faktor ]; Juga

Mari lihat contoh kedua ini. Kami melihat bahawa polinomial yang diberikan di sini sesuai dengan formula yang diperoleh dengan mengkuadratkan perbezaan dua nombor (kuasa dua nombor pertama, tolak hasil darab dua dengan nombor pertama dan kedua, ditambah kuasa dua nombor kedua): x 6 ialah kuasa dua nombor pertama, dan oleh itu , nombor pertama itu sendiri ialah x 3 , kuasa dua nombor kedua ialah sebutan terakhir polinomial yang diberikan, iaitu 1, nombor kedua itu sendiri, oleh itu, juga 1; hasil darab dua dengan nombor pertama dan yang kedua ialah sebutan –2x 3, kerana 2x 3 = 2 x 3 1. Oleh itu, polinomial kami diperoleh dengan mengkuadratkan perbezaan nombor x 3 dan 1, iaitu sama dengan (x 3 – 1) 2. Mari kita lihat contoh ke-4 yang lain. Kami melihat bahawa polinomial a 2 b 2 – 25 ini boleh dianggap sebagai perbezaan kuasa dua dua nombor, iaitu kuasa dua nombor pertama ialah a 2 b 2, oleh itu, nombor pertama itu sendiri ialah ab, kuasa dua bagi nombor kedua ialah 25, mengapa nombor kedua itu sendiri ialah 5. Oleh itu, polinomial kita boleh dianggap sebagai diperoleh daripada mendarab jumlah dua nombor dengan perbezaannya, i.e.

(ab + 5) (ab – 5).

Kadang-kadang ia berlaku bahawa dalam polinomial tertentu istilah tidak disusun mengikut susunan yang kita biasa, sebagai contoh.

9a 2 + b 2 + 6ab – secara mental kita boleh menyusun semula sebutan kedua dan ketiga, dan kemudiannya akan menjadi jelas kepada kita bahawa trinomial kita = (3a + b) 2.

... (kita menyusun semula penggal pertama dan kedua secara mental).

25a 6 + 1 – 10x 3 = (5x 3 – 1) 2, dsb.

Mari kita pertimbangkan satu lagi polinomial

a 2 + 2ab + 4b 2 .

Kami melihat bahawa sebutan pertamanya ialah kuasa dua nombor a dan sebutan ketiga ialah kuasa dua nombor 2b, tetapi sebutan kedua bukan hasil darab dua dengan nombor pertama dan kedua - hasil darab sedemikian akan sama dengan 2 · a · 2b = 4ab. Oleh itu, adalah mustahil untuk menggunakan formula bagi kuasa dua hasil tambah dua nombor kepada polinomial ini. Jika seseorang menulis bahawa a 2 + 2ab + 4b 2 = (a + 2b) 2, maka ini adalah salah - seseorang mesti mempertimbangkan dengan teliti semua terma polinomial sebelum menggunakan pemfaktoran padanya menggunakan formula.

40. Gabungan kedua-dua teknik. Kadangkala, apabila memfaktorkan polinomial, anda perlu menggabungkan kedua-dua teknik mengeluarkan faktor sepunya daripada kurungan dan teknik menggunakan formula. Berikut adalah contoh:

1. 2a 3 – 2ab 2. Mula-mula kita ambil faktor sepunya 2a daripada kurungan, dan kita dapat 2a (a 2 – b 2). Faktor a 2 – b 2 pula, diuraikan mengikut formula kepada faktor (a + b) dan (a – b).

Kadangkala anda perlu menggunakan teknik penguraian formula beberapa kali:

1. a 4 – b 4 = (a 2 + b 2) (a 2 – b 2)

Kami melihat bahawa faktor pertama a 2 + b 2 tidak sesuai dengan mana-mana formula biasa; Selain itu, dengan mengingati kes-kes khas pembahagian (item 37), kami akan menetapkan bahawa a 2 + b 2 (jumlah kuasa dua dua nombor) tidak boleh difaktorkan sama sekali. Faktor kedua yang terhasil a 2 – b 2 (perbezaan dengan kuasa dua dua nombor) diuraikan kepada faktor (a + b) dan (a – b). Jadi,

41. Pemakaian kes-kes khas pembahagian. Berdasarkan perenggan 37, kita boleh segera menulis bahawa, sebagai contoh,

Polinomial pemfaktoran ialah transformasi identiti, akibatnya polinomial diubah menjadi hasil darab beberapa faktor - polinomial atau monomial.

Terdapat beberapa cara untuk memfaktorkan polinomial.

Kaedah 1. Mengambil faktor sepunya daripada kurungan.

Penjelmaan ini adalah berdasarkan hukum taburan pendaraban: ac + bc = c(a + b). Intipati transformasi adalah untuk mengasingkan faktor sepunya dalam dua komponen yang sedang dipertimbangkan dan "mengeluarkannya daripada kurungan."

Mari kita faktorkan polinomial 28x 3 – 35x 4.

Penyelesaian.

1. Cari pembahagi sepunya untuk unsur 28x3 dan 35x4. Untuk 28 dan 35 ia akan menjadi 7; untuk x 3 dan x 4 – x 3. Dalam erti kata lain, faktor sepunya kita ialah 7x 3.

2. Kami mewakili setiap elemen sebagai hasil daripada faktor, salah satunya
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. Kami mengambil faktor sepunya daripada kurungan
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

Kaedah 2. Menggunakan rumus pendaraban yang disingkatkan. "Penguasaan" menggunakan kaedah ini adalah untuk melihat salah satu formula pendaraban yang disingkatkan dalam ungkapan.

Mari kita faktorkan polinomial x 6 – 1.

Penyelesaian.

1. Kita boleh menggunakan formula perbezaan kuasa dua untuk ungkapan ini. Untuk melakukan ini, bayangkan x 6 sebagai (x 3) 2, dan 1 sebagai 1 2, i.e. 1. Ungkapan akan berbentuk:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. Kita boleh menggunakan formula untuk jumlah dan perbezaan kubus kepada ungkapan yang terhasil:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Jadi,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Kaedah 3. Pengelompokan. Kaedah pengelompokan melibatkan penggabungan komponen polinomial dengan cara yang mudah untuk melakukan operasi ke atasnya (tambah, tolak, penolakan faktor sepunya).

Mari kita faktorkan polinomial x 3 – 3x 2 + 5x – 15.

Penyelesaian.

1. Mari kumpulkan komponen dengan cara ini: yang pertama dengan yang ke-2, dan yang ke-3 dengan yang ke-4
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).

2. Dalam ungkapan yang terhasil, kita mengambil faktor sepunya daripada kurungan: x 2 dalam kes pertama dan 5 dalam kedua.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).

3. Kami mengambil faktor sepunya x – 3 daripada kurungan dan dapatkan:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).

Jadi,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).

Mari selamatkan bahan.

Faktorkan polinomial a 2 – 7ab + 12b 2 .

Penyelesaian.

1. Mari kita wakili monomial 7ab sebagai jumlah 3ab + 4ab. Ungkapan akan mengambil bentuk:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

Mari buka kurungan dan dapatkan:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Mari kumpulkan komponen polinomial dengan cara ini: 1 dengan 2 dan 3 dengan 4. Kami mendapat:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Mari kita keluarkan faktor sepunya daripada kurungan:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. Mari kita ambil faktor sepunya (a – 3b) daripada kurungan:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

Jadi,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

laman web, apabila menyalin bahan sepenuhnya atau sebahagian, pautan ke sumber asal diperlukan.

Apabila menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan, selalunya perlu untuk memfaktorkan polinomial yang darjahnya tiga atau lebih tinggi. Dalam artikel ini kita akan melihat cara paling mudah untuk melakukan ini.

Seperti biasa, mari beralih kepada teori untuk mendapatkan bantuan.

Teorem Bezout menyatakan bahawa baki apabila membahagi polinomial dengan binomial ialah .

Tetapi yang penting bagi kita bukanlah teorem itu sendiri, tetapi akibat daripadanya:

Jika nombor itu ialah punca polinomial, maka polinomial itu boleh dibahagikan dengan binomial tanpa baki.

Kita berhadapan dengan tugas untuk mencari sekurang-kurangnya satu punca polinomial, kemudian membahagikan polinomial dengan , di mana punca polinomial itu. Akibatnya, kita memperoleh polinomial yang darjahnya kurang satu daripada darjah yang asal. Dan kemudian, jika perlu, anda boleh mengulangi proses tersebut.

Tugasan ini terbahagi kepada dua: cara mencari punca polinomial, dan cara membahagi polinomial dengan binomial.

Mari kita lihat dengan lebih dekat perkara-perkara ini.

1. Bagaimana mencari punca polinomial.

Mula-mula kita semak sama ada nombor 1 dan -1 adalah punca polinomial.

Fakta berikut akan membantu kami di sini:

Jika jumlah semua pekali polinomial ialah sifar, maka nombor itu ialah punca polinomial itu.

Sebagai contoh, dalam polinomial jumlah pekali ialah sifar: . Mudah untuk menyemak apakah punca polinomial.

Jika jumlah pekali polinomial pada kuasa genap adalah sama dengan jumlah pekali pada kuasa ganjil, maka nombor itu ialah punca polinomial itu. Istilah bebas dianggap sebagai pekali untuk darjah genap, kerana , a ialah nombor genap.

Sebagai contoh, dalam polinomial jumlah pekali bagi kuasa genap ialah : , dan jumlah pekali bagi kuasa ganjil ialah : . Mudah untuk menyemak apakah punca polinomial.

Jika 1 atau -1 bukan punca polinomial, maka kita teruskan.

Untuk polinomial darjah yang dikurangkan (iaitu, polinomial di mana pekali utama - pekali pada - adalah sama dengan perpaduan), formula Vieta adalah sah:

Di manakah punca polinomial.

Terdapat juga formula Vieta mengenai baki pekali polinomial, tetapi kami berminat dengan yang ini.

Daripada formula Vieta ini ia mengikutinya jika punca polinomial ialah integer, maka ia adalah pembahagi bagi sebutan bebasnya, yang juga merupakan integer.

Berdasarkan ini, kita perlu memfaktorkan sebutan bebas polinomial, dan secara berurutan, daripada yang terkecil kepada yang terbesar, semak faktor yang manakah merupakan punca polinomial.

Pertimbangkan, sebagai contoh, polinomial

Pembahagi tempoh percuma: ;

;

;

Jumlah semua pekali polinomial adalah sama dengan , oleh itu, nombor 1 bukanlah punca polinomial.

Jumlah pekali untuk kuasa genap:

Jumlah pekali untuk kuasa ganjil:

2. Cara membahagi polinomial kepada binomial.

Polinomial boleh dibahagikan kepada binomial dengan lajur.

Bahagikan polinomial dengan binomial menggunakan lajur:

Terdapat satu lagi cara untuk membahagi polinomial dengan binomial - skema Horner.

Tonton video ini untuk memahami bagaimana untuk membahagi polinomial dengan binomial dengan lajur, dan menggunakan skema Horner.

Saya perhatikan bahawa jika, apabila membahagikan dengan lajur, beberapa darjah yang tidak diketahui hilang dalam polinomial asal, kita menulis 0 di tempatnya - dengan cara yang sama seperti semasa menyusun jadual untuk skema Horner.

Jadi, jika kita perlu membahagikan polinomial dengan binomial dan sebagai hasil pembahagian kita mendapat polinomial, maka kita boleh mencari pekali polinomial menggunakan skema Horner:

Kita juga boleh menggunakan Skim Horner untuk menyemak sama ada nombor yang diberikan ialah punca polinomial: jika nombor itu ialah punca polinomial, maka bakinya apabila membahagi polinomial dengan adalah sama dengan sifar, iaitu, dalam lajur terakhir baris kedua bagi Rajah Horner kita dapat 0.

Menggunakan skema Horner, kami "membunuh dua burung dengan satu batu": kami serentak menyemak sama ada nombor itu adalah punca polinomial dan membahagikan polinomial ini dengan binomial.

Contoh. Selesaikan persamaan:

1. Mari kita tuliskan pembahagi bagi sebutan bebas dan cari punca polinomial di antara pembahagi sebutan bebas.

Pembahagi 24:

2. Mari kita semak sama ada nombor 1 ialah punca polinomial.

Jumlah pekali polinomial, oleh itu, nombor 1 ialah punca polinomial.

3. Bahagikan polinomial asal kepada binomial menggunakan skema Horner.

A) Mari kita tuliskan pekali polinomial asal dalam baris pertama jadual.

Oleh kerana istilah yang mengandungi tiada, dalam lajur jadual di mana pekali harus ditulis kita tulis 0. Di sebelah kiri kita tulis punca yang ditemui: nombor 1.

B) Isikan baris pertama jadual.

Dalam lajur terakhir, seperti yang dijangkakan, kami mendapat sifar; kami membahagikan polinomial asal dengan binomial tanpa baki. Pekali polinomial yang terhasil daripada pembahagian ditunjukkan dalam warna biru dalam baris kedua jadual:

Sangat mudah untuk menyemak bahawa nombor 1 dan -1 bukan punca polinomial

B) Mari kita sambung jadual. Mari kita semak sama ada nombor 2 ialah punca polinomial:

Jadi darjah polinomial, yang diperoleh hasil pembahagian dengan satu, adalah kurang daripada darjah polinomial asal, oleh itu, bilangan pekali dan bilangan lajur adalah kurang satu.

Dalam lajur terakhir kita mendapat -40 - nombor yang tidak sama dengan sifar, oleh itu, polinomial boleh dibahagikan dengan binomial dengan baki, dan nombor 2 bukan punca polinomial.

C) Mari kita semak sama ada nombor -2 ialah punca polinomial. Oleh kerana percubaan sebelumnya gagal, untuk mengelakkan kekeliruan dengan pekali, saya akan memadamkan baris yang sepadan dengan percubaan ini:

Hebat! Kami mendapat sifar sebagai baki, oleh itu, polinomial dibahagikan kepada binomial tanpa baki, oleh itu, nombor -2 ialah punca polinomial. Pekali polinomial yang diperoleh dengan membahagikan polinomial dengan binomial ditunjukkan dalam warna hijau dalam jadual.

Hasil pembahagian kita mendapat trinomial kuadratik , yang akarnya boleh didapati dengan mudah menggunakan teorem Vieta:

Jadi, punca-punca persamaan asal ialah:

{}

Jawapan: ( }

Konsep "polinomial" dan "pemfaktoran polinomial" dalam algebra sering ditemui, kerana anda perlu mengetahuinya untuk memudahkan pengiraan dengan nombor berbilang digit yang besar. Artikel ini akan menerangkan beberapa kaedah penguraian. Kesemuanya agak mudah untuk digunakan; anda hanya perlu memilih yang sesuai untuk setiap kes tertentu.

Konsep polinomial

Polinomial ialah jumlah monomial, iaitu ungkapan yang mengandungi hanya operasi pendaraban.

Sebagai contoh, 2 * x * y ialah monomial, tetapi 2 * x * y + 25 ialah polinomial yang terdiri daripada 2 monomial: 2 * x * y dan 25. Polinomial tersebut dipanggil binomial.

Kadangkala, untuk kemudahan menyelesaikan contoh dengan nilai berbilang nilai, ungkapan perlu diubah, contohnya, diuraikan menjadi beberapa faktor tertentu, iaitu nombor atau ungkapan yang antaranya tindakan pendaraban dilakukan. Terdapat beberapa cara untuk memfaktorkan polinomial. Ia patut dipertimbangkan, bermula dengan yang paling primitif, yang digunakan di sekolah rendah.

Pengumpulan (rakaman dalam bentuk umum)

Formula untuk memfaktorkan polinomial menggunakan kaedah pengumpulan secara umum kelihatan seperti ini:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Adalah perlu untuk mengumpulkan monomial supaya setiap kumpulan mempunyai faktor yang sama. Dalam kurungan pertama ini ialah faktor c, dan dalam kurungan kedua - d. Ini mesti dilakukan untuk kemudian mengalihkannya keluar dari kurungan, dengan itu memudahkan pengiraan.

Algoritma penguraian menggunakan contoh khusus

Contoh paling mudah untuk memfaktorkan polinomial menggunakan kaedah pengumpulan diberikan di bawah:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

Dalam kurungan pertama anda perlu mengambil istilah dengan faktor a, yang akan menjadi biasa, dan dalam kedua - dengan faktor b. Beri perhatian kepada tanda + dan - dalam ungkapan selesai. Kami meletakkan di hadapan monomial tanda yang terdapat dalam ungkapan awal. Iaitu, anda perlu bekerja bukan dengan ungkapan 25a, tetapi dengan ungkapan -25. Tanda tolak nampaknya "dilekatkan" pada ungkapan di belakangnya dan sentiasa diambil kira semasa mengira.

Dalam langkah seterusnya, anda perlu mengambil pengganda, yang biasa, daripada kurungan. Inilah tujuan kumpulan itu. Untuk meletakkan di luar kurungan bermaksud menulis sebelum kurungan (meninggalkan tanda darab) semua faktor yang betul-betul berulang dalam semua istilah yang ada dalam kurungan. Jika tidak ada 2, tetapi 3 atau lebih istilah dalam kurungan, faktor sepunya mesti terkandung dalam setiap satu daripadanya, jika tidak, ia tidak boleh dikeluarkan dari kurungan.

Dalam kes kami, hanya terdapat 2 istilah dalam kurungan. Pengganda keseluruhan kelihatan serta-merta. Dalam kurungan pertama ia adalah a, dalam kurungan kedua ia adalah b. Di sini anda perlu memberi perhatian kepada pekali digital. Dalam kurungan pertama, kedua-dua pekali (10 dan 25) ialah gandaan 5. Ini bermakna bukan sahaja a, tetapi juga 5a boleh dikeluarkan daripada kurungan. Sebelum kurungan, tulis 5a, dan kemudian bahagikan setiap istilah dalam kurungan dengan faktor sepunya yang dikeluarkan, dan tulis hasil bagi dalam kurungan, jangan lupa tentang tanda + dan - Lakukan perkara yang sama dengan kurungan kedua. keluarkan 7b, serta gandaan 14 dan 35 daripada 7.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5).

Kami mendapat 2 sebutan: 5a(2c - 5) dan 7b(2c - 5). Setiap daripadanya mengandungi faktor sepunya (keseluruhan ungkapan dalam kurungan adalah sama di sini, yang bermaksud ia adalah faktor sepunya): 2c - 5. Ia juga perlu dikeluarkan daripada kurungan, iaitu, terma 5a dan 7b kekal dalam kurungan kedua:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Jadi ungkapan penuhnya ialah:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Oleh itu, polinomial 10ac + 14bc - 25a - 35b diuraikan kepada 2 faktor: (2c - 5) dan (5a + 7b). Tanda darab di antara mereka boleh ditinggalkan semasa menulis

Kadang-kadang terdapat ungkapan jenis ini: 5a 2 + 50a 3, di sini anda boleh meletakkan tanda kurung bukan sahaja a atau 5a, malah 5a 2. Anda harus sentiasa cuba meletakkan faktor sepunya terbesar daripada kurungan. Dalam kes kami, jika kami membahagikan setiap istilah dengan faktor sepunya, kami mendapat:

5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(apabila mengira hasil bagi beberapa kuasa dengan asas yang sama, asas dikekalkan dan eksponen ditolak). Oleh itu, unit kekal dalam kurungan (anda tidak terlupa untuk menulis satu jika anda mengeluarkan salah satu istilah daripada kurungan) dan hasil bahagi: 10a. Ternyata:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Formula segi empat sama

Untuk memudahkan pengiraan, beberapa formula telah diperolehi. Ini dipanggil formula pendaraban singkatan dan digunakan agak kerap. Formula ini membantu polinomial faktor yang mengandungi darjah. Ini adalah satu lagi cara yang berkesan untuk memfaktorkan. Jadi inilah mereka:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - formula yang dipanggil "persegi jumlah", kerana hasil daripada penguraian menjadi segi empat sama, jumlah nombor yang disertakan dalam kurungan diambil, iaitu, nilai jumlah ini didarab dengan sendirinya 2 kali, dan oleh itu ialah pengganda.
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - formula untuk kuasa dua perbezaan, ia adalah serupa dengan yang sebelumnya. Hasilnya ialah perbezaan, yang disertakan dalam kurungan, yang terkandung dalam kuasa kuasa dua.
• a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)- ini adalah formula untuk perbezaan kuasa dua, kerana pada mulanya polinomial terdiri daripada 2 kuasa dua nombor atau ungkapan, antara yang penolakan dilakukan. Mungkin, daripada tiga yang disebutkan, ia paling kerap digunakan.

Contoh pengiraan menggunakan formula segi empat sama

Pengiraan untuk mereka agak mudah. Contohnya:

1. 25x 2 + 20xy + 4y 2 - gunakan formula "kuadrat jumlah".
2. 25x 2 ialah kuasa dua bagi 5x. 20xy ialah hasil darab 2*(5x*2y), dan 4y 2 ialah kuasa dua bagi 2y.
3. Oleh itu, 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y). Polinomial ini diuraikan kepada 2 faktor (faktor adalah sama, jadi ia ditulis sebagai ungkapan dengan kuasa segi empat sama).

Tindakan menggunakan formula perbezaan kuasa dua dijalankan sama seperti ini. Formula selebihnya ialah perbezaan kuasa dua. Contoh formula ini sangat mudah untuk ditakrifkan dan dicari antara ungkapan lain. Contohnya:

• 25a 2 - 400 = (5a - 20)(5a + 20). Oleh kerana 25a 2 = (5a) 2, dan 400 = 20 2
• 36x 2 - 25y 2 = (6x - 5y) (6x + 5y). Oleh kerana 36x 2 = (6x) 2, dan 25y 2 = (5y 2)
• c 2 - 169b 2 = (c - 13b)(c + 13b). Sejak 169b 2 = (13b) 2

Adalah penting bahawa setiap istilah ialah segi empat sama bagi beberapa ungkapan. Kemudian polinomial ini mesti difaktorkan menggunakan rumus perbezaan kuasa dua. Untuk ini, tidak semestinya darjah kedua berada di atas nombor. Terdapat polinomial yang mengandungi darjah besar, tetapi masih sesuai dengan formula ini.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

Dalam contoh ini, 8 boleh diwakili sebagai (a 4) 2, iaitu kuasa dua ungkapan tertentu. 25 ialah 5 2, dan 10a ialah 4 - ini ialah hasil darab bagi sebutan 2 * a 4 * 5. Iaitu, ungkapan ini, walaupun terdapat darjah dengan eksponen yang besar, boleh diuraikan kepada 2 faktor untuk kemudiannya berfungsi dengannya.

Formula kiub

Formula yang sama wujud untuk pemfaktoran polinomial yang mengandungi kubus. Mereka sedikit lebih rumit daripada yang mempunyai segi empat sama:

• a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)- formula ini dipanggil jumlah kubus, kerana dalam bentuk awal polinomial ialah hasil tambah dua ungkapan atau nombor yang disertakan dalam kubus.
• a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2) - formula yang sama dengan yang sebelumnya ditetapkan sebagai perbezaan kubus.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - kubus jumlah, hasil pengiraan, jumlah nombor atau ungkapan disertakan dalam kurungan dan didarab dengan sendirinya 3 kali, iaitu, terletak dalam kubus
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - formula, disusun dengan analogi dengan yang sebelumnya, mengubah hanya beberapa tanda operasi matematik (tambah dan tolak), dipanggil "kubus perbezaan".

Dua formula terakhir secara praktikalnya tidak digunakan untuk tujuan pemfaktoran polinomial, kerana ia adalah kompleks, dan cukup jarang untuk mencari polinomial yang sepadan sepenuhnya dengan struktur ini supaya ia boleh difaktorkan menggunakan formula ini. Tetapi anda masih perlu mengenali mereka, kerana ia akan diperlukan apabila beroperasi dalam arah yang bertentangan - apabila membuka kurungan.

Contoh rumus kubus

Mari lihat contoh: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Nombor yang agak mudah diambil di sini, jadi anda boleh segera melihat bahawa 64a 3 ialah (4a) 3, dan 8b 3 ialah (2b) 3. Oleh itu, polinomial ini dikembangkan mengikut perbezaan formula kubus kepada 2 faktor. Tindakan menggunakan formula untuk jumlah kubus dijalankan secara analogi.

Adalah penting untuk memahami bahawa tidak semua polinomial boleh dikembangkan dalam sekurang-kurangnya satu cara. Tetapi terdapat ungkapan yang mengandungi kuasa yang lebih besar daripada segi empat sama atau kubus, tetapi ia juga boleh dikembangkan menjadi bentuk pendaraban yang disingkatkan. Contohnya: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

Contoh ini mengandungi sebanyak 12 darjah. Tetapi ia boleh difaktorkan menggunakan formula jumlah kiub. Untuk melakukan ini, anda perlu membayangkan x 12 sebagai (x 4) 3, iaitu, sebagai kubus bagi beberapa ungkapan. Sekarang, bukannya a, anda perlu menggantikannya dalam formula. Nah, ungkapan 125y 3 ialah kubus 5y. Seterusnya, anda perlu mengarang produk menggunakan formula dan melakukan pengiraan.

Pada mulanya, atau sekiranya terdapat keraguan, anda sentiasa boleh menyemak dengan pendaraban songsang. Anda hanya perlu membuka kurungan dalam ungkapan yang terhasil dan melakukan tindakan dengan istilah yang serupa. Kaedah ini digunakan untuk semua kaedah pengurangan yang disenaraikan: kedua-duanya untuk bekerja dengan faktor dan kumpulan yang sama, dan untuk bekerja dengan formula kubus dan kuasa kuadratik.

Memfaktorkan persamaan ialah proses mencari istilah atau ungkapan yang, apabila didarab, membawa kepada persamaan awal. Pemfaktoran ialah kemahiran berguna untuk menyelesaikan masalah algebra asas, dan menjadi hampir penting apabila bekerja dengan persamaan kuadratik dan polinomial lain. Pemfaktoran digunakan untuk memudahkan persamaan algebra untuk menjadikannya lebih mudah untuk diselesaikan. Pemfaktoran boleh membantu anda menghapuskan kemungkinan jawapan tertentu lebih cepat daripada yang anda lakukan dengan menyelesaikan persamaan dengan tangan.

Langkah

Memfaktorkan nombor dan ungkapan algebra asas

1. Nombor pemfaktoran. Konsep pemfaktoran adalah mudah, tetapi dalam amalan, pemfaktoran boleh mencabar (jika persamaan kompleks diberikan). Jadi pertama, mari kita lihat konsep pemfaktoran menggunakan nombor sebagai contoh, teruskan dengan persamaan mudah, dan kemudian beralih kepada persamaan kompleks. Faktor bagi nombor tertentu ialah nombor yang, apabila didarab, memberikan nombor asal. Sebagai contoh, faktor nombor 12 ialah nombor: 1, 12, 2, 6, 3, 4, kerana 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • Begitu juga, anda boleh memikirkan faktor nombor sebagai pembahaginya, iaitu nombor yang nombor itu boleh dibahagikan.
   • Cari semua faktor nombor 60. Kita sering menggunakan nombor 60 (contohnya, 60 minit dalam satu jam, 60 saat dalam satu minit, dll.) dan nombor ini mempunyai bilangan faktor yang agak besar.
     • 60 pengganda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 dan 60.

2. Ingat: sebutan bagi ungkapan yang mengandungi pekali (nombor) dan pembolehubah juga boleh difaktorkan. Untuk melakukan ini, cari faktor pekali bagi pembolehubah. Mengetahui cara memfaktorkan sebutan persamaan, anda boleh memudahkan persamaan ini dengan mudah.

   • Sebagai contoh, istilah 12x boleh ditulis sebagai hasil darab 12 dan x. Anda juga boleh menulis 12x sebagai 3(4x), 2(6x), dsb., memecahkan 12 kepada faktor yang paling sesuai untuk anda.
     • Anda boleh berurusan 12x beberapa kali berturut-turut. Dalam erti kata lain, anda tidak sepatutnya berhenti pada 3(4x) atau 2(6x); teruskan pengembangan: 3(2(2x)) atau 2(3(2x)) (jelas 3(4x)=3(2(2x)), dsb.)

3. Gunakan sifat taburan pendaraban kepada persamaan algebra faktor. Mengetahui cara memfaktorkan nombor dan istilah ungkapan (pekali dengan pembolehubah), anda boleh memudahkan persamaan algebra mudah dengan mencari faktor sepunya bagi nombor dan sebutan. Biasanya, untuk memudahkan persamaan, anda perlu mencari faktor sepunya terbesar (GCD). Penyederhanaan ini mungkin disebabkan oleh sifat taburan pendaraban: untuk sebarang nombor a, b, c, kesamaan a(b+c) = ab+ac adalah benar.

   • Contoh. Faktorkan persamaan 12x + 6. Mula-mula, cari gcd bagi 12x dan 6. 6 ialah nombor terbesar yang membahagikan kedua-dua 12x dan 6, jadi anda boleh memfaktorkan persamaan ini dengan: 6(2x+1).
   • Proses ini juga berlaku untuk persamaan yang mempunyai sebutan negatif dan pecahan. Sebagai contoh, x/2+4 boleh difaktorkan kepada 1/2(x+8); sebagai contoh, -7x+(-21) boleh difaktorkan kepada -7(x+3).

   Memfaktorkan Persamaan Kuadratik

   1. Pastikan persamaan diberikan dalam bentuk kuadratik (ax 2 + bx + c = 0). Persamaan kuadratik mempunyai bentuk: ax 2 + bx + c = 0, di mana a, b, c ialah pekali berangka selain 0. Jika anda diberi persamaan dengan satu pembolehubah (x) dan dalam persamaan ini terdapat satu atau lebih sebutan dengan pembolehubah tertib kedua , anda boleh mengalihkan semua sebutan persamaan ke satu sisi persamaan dan menetapkannya sama dengan sifar.

      • Sebagai contoh, diberikan persamaan: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x – 18. Ini boleh ditukar kepada persamaan x 2 + 6x + 9 = 0, iaitu persamaan kuadratik.
      • Persamaan dengan pembolehubah x tertib besar, contohnya, x 3, x 4, dsb. bukan persamaan kuadratik. Ini ialah persamaan padu, persamaan tertib keempat, dan seterusnya (melainkan persamaan tersebut boleh dipermudahkan kepada persamaan kuadratik dengan pembolehubah x dinaikkan kepada kuasa 2).

   2. Persamaan kuadratik, dengan a = 1, dikembangkan menjadi (x+d)(x+e), dengan d*e=c dan d+e=b. Jika persamaan kuadratik yang diberikan kepada anda mempunyai bentuk: x 2 + bx + c = 0 (iaitu, pekali x 2 ialah 1), maka persamaan tersebut boleh (tetapi tidak dijamin) dikembangkan menjadi faktor di atas. Untuk melakukan ini, anda perlu mencari dua nombor yang, apabila didarab, memberikan "c", dan apabila ditambah, "b". Sebaik sahaja anda menemui dua nombor ini (d dan e), gantikannya ke dalam ungkapan berikut: (x+d)(x+e), yang, apabila membuka kurungan, membawa kepada persamaan asal.

      • Sebagai contoh, diberi persamaan kuadratik x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 dan 3+2=5, jadi anda boleh memfaktorkan persamaan ini ke dalam (x+3)(x+2).
      • Untuk istilah negatif, buat perubahan kecil berikut pada proses pemfaktoran:
        • Jika persamaan kuadratik mempunyai bentuk x 2 -bx+c, maka ia mengembang menjadi: (x-_)(x-_).
        • Jika persamaan kuadratik mempunyai bentuk x 2 -bx-c, maka ia mengembang menjadi: (x+_)(x-_).
      • Nota: Ruang boleh digantikan dengan pecahan atau perpuluhan. Sebagai contoh, persamaan x 2 + (21/2)x + 5 = 0 dikembangkan menjadi (x+10)(x+1/2).

   3. Pemfaktoran melalui percubaan dan kesilapan. Persamaan kuadratik mudah boleh difaktorkan dengan hanya menggantikan nombor ke dalam penyelesaian yang mungkin sehingga anda menemui penyelesaian yang betul. Jika persamaan mempunyai bentuk ax 2 +bx+c, di mana a>1, penyelesaian yang mungkin ditulis dalam bentuk (dx +/- _)(ex +/- _), dengan d dan e ialah pekali berangka bukan sifar , yang apabila didarabkan memberikan a. Sama ada d atau e (atau kedua-dua pekali) boleh sama dengan 1. Jika kedua-dua pekali adalah sama dengan 1, maka gunakan kaedah yang diterangkan di atas.

      • Sebagai contoh, diberi persamaan 3x 2 - 8x + 4. Di sini 3 hanya mempunyai dua faktor (3 dan 1), jadi penyelesaian yang mungkin ditulis sebagai (3x +/- _)(x +/- _). Dalam kes ini, menggantikan -2 untuk ruang, anda akan menemui jawapan yang betul: -2*3x=-6x dan -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x dan -2*-2=4, iaitu pengembangan sedemikian apabila membuka kurungan akan membawa kepada sebutan persamaan asal.