Oh-oh-oh-oh-oh... baik, sukar, seolah-olah dia membaca ayat untuk dirinya sendiri =) Namun, kelonggaran akan membantu kemudian, terutamanya sejak hari ini saya membeli aksesori yang sesuai. Oleh itu, mari kita teruskan ke bahagian pertama, saya berharap pada akhir artikel saya akan mengekalkan mood yang ceria.

Kedudukan relatif dua garis lurus

Ini berlaku apabila penonton menyanyi bersama dalam korus. Dua garis lurus boleh:

1) perlawanan;

2) selari: ;

3) atau bersilang pada satu titik: .

Bantuan untuk dummies : tolong ingat tanda matematik persimpangan, ia akan berlaku sangat kerap. Notasi bermaksud garis bersilang dengan garis pada titik .

Bagaimana untuk menentukan kedudukan relatif dua baris?

Mari kita mulakan dengan kes pertama:

Dua garis bertepatan jika dan hanya jika pekali sepadannya adalah berkadar, iaitu, terdapat nombor "lambda" supaya kesamaan itu dipenuhi

Mari kita pertimbangkan garis lurus dan cipta tiga persamaan daripada pekali yang sepadan: . Daripada setiap persamaan ia mengikuti bahawa, oleh itu, garis-garis ini bertepatan.

Sesungguhnya, jika semua pekali persamaan darab dengan –1 (tanda perubahan), dan semua pekali persamaan dipotong dengan 2, anda mendapat persamaan yang sama: .

Kes kedua, apabila garis selari:

Dua garis adalah selari jika dan hanya jika pekali pembolehubahnya adalah berkadar: , Tetapi.

Sebagai contoh, pertimbangkan dua garis lurus. Kami menyemak perkadaran pekali yang sepadan untuk pembolehubah:

Walau bagaimanapun, ia agak jelas.

Dan kes ketiga, apabila garis bersilang:

Dua garis bersilang jika dan hanya jika pekali pembolehubahnya TIDAK berkadar, iaitu, TIADA nilai "lambda" sedemikian sehingga kesamaan itu dipenuhi

Jadi, untuk garis lurus kami akan mencipta sistem:

Daripada persamaan pertama ia mengikuti bahawa , dan daripada persamaan kedua: , yang bermaksud sistem tidak konsisten(tiada penyelesaian). Oleh itu, pekali pembolehubah adalah tidak berkadar.

Kesimpulan: garis bersilang

DALAM masalah praktikal anda boleh menggunakan skema penyelesaian yang baru dibincangkan. Ngomong-ngomong, ia sangat mengingatkan algoritma untuk menyemak vektor untuk keselarasan, yang kami lihat di dalam kelas Konsep kebergantungan linear (dalam) vektor. Asas vektor. Tetapi terdapat pembungkusan yang lebih bertamadun:

Contoh 1

Ketahui kedudukan relatif garisan tersebut:

Penyelesaian berdasarkan kajian arah vektor garis lurus:

a) Daripada persamaan kita dapati vektor arah garis: .

, yang bermaksud bahawa vektor bukan kolinear dan garisan bersilang.

Untuk berjaga-jaga, saya akan meletakkan batu dengan tanda di persimpangan jalan:

Selebihnya melompat ke atas batu dan mengikuti lebih jauh, terus ke Kashchei the Immortal =)

b) Cari vektor arah garis:

Garisan mempunyai vektor arah yang sama, yang bermaksud sama ada selari atau bertepatan. Tidak perlu mengira penentu di sini.

Jelas sekali bahawa pekali bagi yang tidak diketahui adalah berkadar, dan .

Mari kita ketahui sama ada persamaan itu benar:

Oleh itu,

c) Cari vektor arah garis:

Mari kita hitung penentu yang terdiri daripada koordinat vektor ini:
, oleh itu, vektor arah adalah kolinear. Garis sama ada selari atau bertepatan.

Pekali perkadaran "lambda" mudah dilihat secara langsung daripada nisbah vektor arah kolinear. Walau bagaimanapun, ia juga boleh didapati melalui pekali persamaan itu sendiri: .

Sekarang mari kita ketahui sama ada persamaan itu benar. Kedua-dua syarat percuma adalah sifar, jadi:

Nilai yang terhasil memuaskan persamaan ini(sebarang nombor secara amnya memenuhinya).

Oleh itu, garisan bertepatan.

Jawab:

Tidak lama lagi anda akan belajar (atau sudah pun belajar) untuk menyelesaikan masalah yang dibincangkan secara lisan secara literal dalam masa beberapa saat. Dalam hal ini, saya tidak melihat ada gunanya menawarkan apa-apa untuknya keputusan bebas, adalah lebih baik untuk meletakkan satu lagi bata penting dalam asas geometri:

Bagaimana untuk membina garis selari dengan yang diberikan?

Kerana kejahilan tentang tugas yang paling mudah ini, Nightingale si Perompak menghukum dengan keras.

Contoh 2

Garis lurus diberikan oleh persamaan. Tulis persamaan untuk garis selari yang melalui titik itu.

Penyelesaian: Mari kita nyatakan baris yang tidak diketahui dengan huruf . Apa yang dikatakan keadaan tentang dia? Garis lurus melalui titik itu. Dan jika garisan selari, maka jelas bahawa vektor arah garis lurus "tse" juga sesuai untuk membina garis lurus "de".

Kami mengambil vektor arah daripada persamaan:

Jawab:

Geometri contoh kelihatan mudah:

Ujian analitik terdiri daripada langkah-langkah berikut:

1) Kami menyemak bahawa garisan mempunyai vektor arah yang sama (jika persamaan garis tidak dipermudahkan dengan betul, maka vektor akan menjadi kolinear).

2) Periksa sama ada titik itu memenuhi persamaan yang terhasil.

Dalam kebanyakan kes, ujian analitik boleh dilakukan secara lisan dengan mudah. Lihatlah dua persamaan, dan ramai di antara anda akan dengan cepat menentukan keselarian garisan tanpa sebarang lukisan.

Contoh untuk penyelesaian bebas hari ini akan menjadi kreatif. Kerana anda masih perlu bersaing dengan Baba Yaga, dan dia, anda tahu, adalah pencinta pelbagai teka-teki.

Contoh 3

Tulis persamaan untuk garis yang melalui titik selari dengan garis jika

Ada yang rasional dan tidak begitu rasional cara yang rasional penyelesaian. Cara terpendek ialah pada akhir pelajaran.

Kami bekerja sedikit dengan garis selari dan akan kembali kepada mereka kemudian. Kes garisan bertepatan adalah kurang menarik, jadi mari kita pertimbangkan masalah yang biasa anda ketahui kurikulum sekolah:

Bagaimana untuk mencari titik persilangan dua garis?

Jika lurus bersilang pada titik , maka koordinatnya ialah penyelesaiannya sistem persamaan linear

Bagaimana untuk mencari titik persilangan garis? Selesaikan sistem.

Di sini anda pergi makna geometri sistem dua persamaan linear dengan dua yang tidak diketahui- ini adalah dua garis bersilang (paling kerap) pada satah.

Contoh 4

Cari titik persilangan garis

Penyelesaian: Terdapat dua cara untuk menyelesaikan - grafik dan analitik.

Kaedah grafik adalah dengan hanya melukis garisan yang diberikan dan mengetahui titik persilangan terus dari lukisan:

Inilah point kami: . Untuk menyemak, anda harus menggantikan koordinatnya ke dalam setiap persamaan garis, ia harus sesuai di sana dan di sana. Dengan kata lain, koordinat titik adalah penyelesaian kepada sistem. Pada asasnya, kami melihat penyelesaian grafik sistem persamaan linear dengan dua persamaan, dua tidak diketahui.

Kaedah grafik, tentu saja, tidak buruk, tetapi terdapat kelemahan yang ketara. Tidak, maksudnya bukanlah bahawa pelajar gred tujuh membuat keputusan dengan cara ini, perkara utama ialah ia akan mengambil masa untuk mencipta lukisan yang betul dan TEPAT. Di samping itu, beberapa garis lurus tidak begitu mudah untuk dibina, dan titik persimpangan itu sendiri mungkin terletak di suatu tempat dalam kerajaan ketiga puluh di luar helaian buku nota.

Oleh itu, adalah lebih sesuai untuk mencari titik persimpangan kaedah analisis. Mari selesaikan sistem:

Untuk menyelesaikan sistem, kaedah penambahan sebutan demi sebutan bagi persamaan telah digunakan. Untuk mengembangkan kemahiran yang relevan, ambil pelajaran Bagaimana untuk menyelesaikan sistem persamaan?

Jawab:

Semakan adalah remeh - koordinat titik persilangan mesti memenuhi setiap persamaan sistem.

Contoh 5

Cari titik persilangan garis jika ia bersilang.

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Adalah mudah untuk membahagikan tugas kepada beberapa peringkat. Analisis keadaan menunjukkan bahawa perlu:
1) Tuliskan persamaan garis lurus.
2) Buat persamaan garis lurus.
3) Ketahui kedudukan relatif garisan tersebut.
4) Jika garis bersilang, maka cari titik persilangan.

Pembangunan algoritma tindakan adalah tipikal bagi kebanyakan orang masalah geometri, dan saya akan berulang kali memfokuskan pada perkara ini.

Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran:

Tidak ada sepasang kasut pun yang haus sebelum kami sampai ke bahagian kedua pelajaran:

Garis serenjang. Jarak dari titik ke garis.
Sudut antara garis lurus

Mari kita mulakan dengan tipikal dan sangat tugas penting. Pada bahagian pertama, kami belajar cara membina garis lurus selari dengan yang ini, dan kini pondok di kaki ayam akan bertukar 90 darjah:

Bagaimana untuk membina garis berserenjang dengan yang diberikan?

Contoh 6

Garis lurus diberikan oleh persamaan. Tulis persamaan berserenjang dengan garis yang melalui titik itu.

Penyelesaian: Dengan syarat diketahui bahawa . Alangkah baiknya untuk mencari vektor pengarah baris. Oleh kerana garisan adalah serenjang, silap mata adalah mudah:

Daripada persamaan kita "mengeluarkan" vektor normal: , yang akan menjadi vektor arah garis lurus.

Mari kita susun persamaan garis lurus menggunakan titik dan vektor arah:

Jawab:

Mari kembangkan lakaran geometri:

Hmmm... Langit oren, laut oren, unta oren.

Pengesahan analisis penyelesaian:

1) Kami mengeluarkan vektor arah daripada persamaan dan dengan bantuan hasil darab skalar bagi vektor kita sampai pada kesimpulan bahawa garis-garis itu memang berserenjang: .

Dengan cara ini, anda boleh menggunakan vektor biasa, ia lebih mudah.

2) Periksa sama ada titik itu memenuhi persamaan yang terhasil .

Ujian itu, sekali lagi, mudah dilakukan secara lisan.

Contoh 7

Cari titik persilangan garis serenjang jika persamaan diketahui dan tempoh.

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Masalahnya mempunyai beberapa tindakan, jadi mudah untuk merumuskan penyelesaian titik demi titik.

Perjalanan menarik kami diteruskan:

Jarak dari titik ke garisan

Di hadapan kami adalah jalur lurus sungai dan tugas kami adalah untuk pergi ke sana dengan laluan terpendek. Tiada halangan, dan laluan yang paling optimum adalah untuk bergerak di sepanjang serenjang. Iaitu, jarak dari titik ke garis ialah panjang segmen serenjang.

Jarak dalam geometri secara tradisinya dilambangkan huruf Yunani“ro”, contohnya: – jarak dari titik “em” ke garis lurus “de”.

Jarak dari titik ke garisan dinyatakan oleh formula

Contoh 8

Cari jarak dari satu titik ke garis

Penyelesaian: apa yang anda perlu lakukan ialah dengan berhati-hati menggantikan nombor ke dalam formula dan menjalankan pengiraan:

Jawab:

Mari buat lukisan:

Jarak yang ditemui dari titik ke garisan adalah betul-betul panjang ruas merah. Jika anda melukis lukisan pada kertas berkotak-kotak pada skala 1 unit. = 1 cm (2 sel), maka jarak boleh diukur dengan pembaris biasa.

Mari kita pertimbangkan tugas lain berdasarkan lukisan yang sama:

Tugasnya adalah untuk mencari koordinat titik yang simetri kepada titik berbanding dengan garis lurus . Saya cadangkan anda melakukan langkah-langkah itu sendiri, tetapi saya akan menggariskan algoritma penyelesaian dengan hasil perantaraan:

1) Cari garis yang berserenjang dengan garis.

2) Cari titik persilangan garis: .

Kedua-dua tindakan dibincangkan secara terperinci dalam pelajaran ini.

3) Titik ialah titik tengah segmen. Kami tahu koordinat tengah dan salah satu hujung. Oleh formula untuk koordinat titik tengah segmen kita dapati .

Adalah idea yang baik untuk menyemak bahawa jaraknya juga 2.2 unit.

Kesukaran mungkin timbul dalam pengiraan di sini, tetapi mikrokalkulator adalah bantuan besar dalam menara, membolehkan anda mengira pecahan sepunya. Saya telah menasihati anda berkali-kali dan akan mengesyorkan anda sekali lagi.

Bagaimana untuk mencari jarak antara dua garis selari?

Contoh 9

Cari jarak antara dua garis selari

Ini adalah satu lagi contoh untuk anda membuat keputusan sendiri. Saya akan memberi anda sedikit petunjuk: terdapat banyak cara untuk menyelesaikannya. Taklimat pada akhir pelajaran, tetapi lebih baik anda cuba meneka sendiri, saya rasa kepintaran anda telah berkembang dengan baik.

Sudut antara dua garis lurus

Setiap sudut adalah jamb:


Dalam geometri, sudut antara dua garis lurus diambil sebagai sudut yang LEBIH KECIL, dari mana ia secara automatik mengikuti bahawa ia tidak boleh menjadi tumpul. Dalam rajah, sudut yang ditunjukkan oleh lengkok merah tidak dianggap sebagai sudut antara garis bersilang. Dan jirannya "hijau" atau berorientasikan bertentangan sudut "raspberi".

Jika garisan itu berserenjang, maka mana-mana daripada 4 sudut itu boleh diambil sebagai sudut di antaranya.

Bagaimanakah sudut berbeza? Orientasi. Pertama, arah sudut "menatal" pada asasnya penting. Kedua, sudut berorientasikan negatif ditulis dengan tanda tolak, contohnya jika .

Mengapa saya memberitahu anda ini? Nampaknya kita boleh bertahan dengan konsep sudut yang biasa. Hakikatnya ialah dalam formula yang mana kita akan mencari sudut, ia boleh dengan mudah berubah keputusan negatif, dan ia tidak sepatutnya mengejutkan anda. Sudut dengan tanda tolak tidak lebih buruk, dan mempunyai makna geometri yang sangat spesifik. Dalam lukisan, untuk sudut negatif, pastikan untuk menunjukkan orientasinya dengan anak panah (mengikut arah jam).

Bagaimana untuk mencari sudut antara dua garis lurus? Terdapat dua formula kerja:

Contoh 10

Cari sudut antara garis

Penyelesaian Dan Kaedah satu

Mari kita pertimbangkan dua garis lurus yang ditakrifkan oleh persamaan dalam bentuk umum:

Jika lurus tidak berserenjang, Itu berorientasikan Sudut di antara mereka boleh dikira menggunakan formula:

Mari kita perhatikan dengan teliti penyebutnya - ini betul-betul produk skalar mengarah vektor garis lurus:

Jika , maka penyebut formula menjadi sifar, dan vektor akan menjadi ortogon dan garis akan berserenjang. Itulah sebabnya tempahan dibuat tentang ketidakserenjangan garis lurus dalam rumusan.

Berdasarkan perkara di atas, adalah mudah untuk memformalkan penyelesaian dalam dua langkah:

1) Mari kita hitung hasil kali skalar bagi vektor arah garis:
, yang bermaksud garisan tidak berserenjang.

2) Cari sudut antara garis lurus menggunakan formula:

Dengan menggunakan fungsi songsang Mudah untuk mencari sudut itu sendiri. Dalam kes ini, kami menggunakan keganjilan arctangent (lihat. Graf dan sifat fungsi asas):

Jawab:

Dalam jawapan kami menunjukkan nilai sebenar, serta nilai anggaran (sebaik-baiknya dalam kedua-dua darjah dan radian), dikira menggunakan kalkulator.

Nah, tolak, tolak, bukan masalah besar. Berikut ialah ilustrasi geometri:

Tidak menghairankan bahawa sudut itu ternyata berorientasikan negatif, kerana dalam penyataan masalah nombor pertama adalah garis lurus dan "membuka skru" sudut bermula tepat dengannya.

Jika anda benar-benar ingin mendapatkan sudut positif, anda perlu menukar garisan, iaitu, ambil pekali dari persamaan kedua , dan ambil pekali daripada persamaan pertama. Pendek kata, anda perlu bermula dengan langsung .

Artikel ini membincangkan topik tersebut « jarak dari satu titik ke garis », Membincangkan takrifan jarak dari titik ke garisan dengan contoh bergambar menggunakan kaedah koordinat. Setiap blok teori pada akhir telah menunjukkan contoh penyelesaian masalah yang serupa.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Jarak dari titik ke garisan didapati dengan menentukan jarak dari titik ke titik. Mari kita lihat lebih dekat.

Biarkan terdapat garis a dan titik M 1 yang tidak termasuk dalam garisan yang diberikan. Melaluinya kita lukis garis lurus b, terletak berserenjang dengan garis lurus a. Mari kita ambil titik persilangan garis sebagai H 1. Kami memperoleh bahawa M 1 H 1 ialah serenjang yang diturunkan dari titik M 1 ke garis lurus a.

Definisi 1

Jarak dari titik M 1 ke garis lurus a dipanggil jarak antara titik M 1 dan H 1.

Terdapat definisi yang merangkumi panjang serenjang.

Definisi 2

Jarak dari titik ke garisan ialah panjang serenjang yang dilukis dari titik tertentu ke garis tertentu.

Takrifan adalah setara. Pertimbangkan rajah di bawah.

Adalah diketahui bahawa jarak dari titik ke garis adalah yang terkecil dari semua yang mungkin. Mari kita lihat ini dengan contoh.

Jika kita mengambil titik Q terletak pada garis lurus a, yang tidak bertepatan dengan titik M 1, maka kita dapati bahawa segmen M 1 Q dipanggil segmen condong, diturunkan dari M 1 ke garis lurus a. Adalah perlu untuk menunjukkan bahawa serenjang dari titik M 1 adalah kurang daripada mana-mana garis condong lain yang dilukis dari titik ke garis lurus.

Untuk membuktikannya, pertimbangkan segi tiga M 1 Q 1 H 1, di mana M 1 Q 1 ialah hipotenus. Adalah diketahui bahawa panjangnya sentiasa lebih besar daripada panjang mana-mana kaki. Ini bermakna kita mempunyai M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Data awal untuk mencari dari titik ke garis membolehkan anda menggunakan beberapa kaedah penyelesaian: melalui teorem Pythagoras, penentuan sinus, kosinus, tangen sudut dan lain-lain. Kebanyakan tugasan jenis ini diselesaikan di sekolah semasa pelajaran geometri.

Apabila, apabila mencari jarak dari titik ke garis, adalah mungkin untuk memperkenalkan sistem koordinat segi empat tepat, maka kaedah koordinat digunakan. Dalam perenggan ini, kami akan mempertimbangkan dua kaedah utama untuk mencari jarak yang diperlukan dari titik tertentu.

Kaedah pertama melibatkan pencarian jarak sebagai serenjang yang dilukis dari M 1 ke garis lurus a. Kaedah kedua menggunakan persamaan biasa garis lurus a untuk mencari jarak yang diperlukan.

Jika terdapat satu titik pada satah dengan koordinat M 1 (x 1, y 1), terletak di sistem segi empat tepat koordinat, garis lurus a, dan perlu mencari jarak M 1 H 1, pengiraan boleh dibuat dalam dua cara. Mari lihat mereka.

Cara pertama

Jika terdapat koordinat titik H 1 bersamaan dengan x 2, y 2, maka jarak dari titik ke garis dikira menggunakan koordinat dari formula M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2). - y 1) 2.

Sekarang mari kita teruskan untuk mencari koordinat titik H 1.

Adalah diketahui bahawa garis lurus dalam O x y sepadan dengan persamaan garis lurus pada satah. Mari kita ambil kaedah mentakrifkan garis lurus a dengan menulis persamaan am garis lurus atau persamaan dengan pekali sudut. Kami menyusun persamaan garis lurus yang melalui titik M 1 berserenjang dengan garis lurus a. Mari kita nyatakan garis lurus dengan huruf b. H 1 ialah titik persilangan garis a dan b, yang bermaksud untuk menentukan koordinat yang anda perlukan untuk menggunakan artikel di mana kita bercakap tentang tentang koordinat titik persilangan dua garis.

Dapat dilihat bahawa algoritma untuk mencari jarak dari titik tertentu M 1 (x 1, y 1) ke garis lurus a dijalankan mengikut titik:

Definisi 3

• mencari persamaan am bagi garis lurus a, mempunyai bentuk A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, atau persamaan dengan pekali sudut, mempunyai bentuk y = k 1 x + b 1;
• mendapatkan persamaan am bagi garis b, mempunyai bentuk A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 atau persamaan dengan pekali sudut y = k 2 x + b 2, jika garis b bersilang dengan titik M 1 dan berserenjang dengan baris yang diberi a;
• penentuan koordinat x 2, y 2 bagi titik H 1, iaitu titik persilangan a dan b, untuk tujuan ini sistem persamaan linear diselesaikan A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 atau y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• mengira jarak yang diperlukan dari titik ke garis menggunakan formula M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Cara kedua

Teorem boleh membantu menjawab soalan mencari jarak dari titik tertentu ke garis lurus tertentu pada satah.

Teorem

Sistem koordinat segi empat tepat mempunyai O x y mempunyai titik M 1 (x 1, y 1), dari mana garis lurus dilukis ke satah, diberikan oleh persamaan normal satah, mempunyai pandangan cosα · x + cos β · y - p = 0, sama dalam modulus dengan nilai yang diperoleh di sebelah kiri persamaan normal garis, dikira pada x = x 1, y = y 1, yang bermaksud bahawa M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p .

Bukti

Garis a sepadan dengan persamaan normal satah, mempunyai bentuk cos α x + cos β y - p = 0, maka n → = (cos α, cos β) dianggap sebagai vektor normal garis a pada jarak dari asal kepada garis a dengan unit p . Ia adalah perlu untuk memaparkan semua data dalam rajah, tambah satu titik dengan koordinat M 1 (x 1, y 1), di mana vektor jejari titik M 1 - O M 1 → = (x 1, y 1). Ia adalah perlu untuk melukis garis lurus dari satu titik ke garis lurus, yang kita nyatakan sebagai M 1 H 1 . Adalah perlu untuk menunjukkan unjuran M 2 dan H 2 bagi titik M 1 dan H 2 pada garis lurus yang melalui titik O dengan vektor arah dalam bentuk n → = (cos α, cos β), dan menandakan unjuran berangka vektor sebagai O M 1 → = (x 1, y 1) ke arah n → = (cos α , cos β) sebagai n p n → O M 1 → .

Variasi bergantung pada lokasi titik M1 itu sendiri. Mari lihat rajah di bawah.

Kami menetapkan keputusan menggunakan formula M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p. Kemudian kita bawa kesamaan kepada bentuk ini M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p untuk mendapatkan n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Hasil darab skalar bagi vektor menghasilkan formula berubah bentuk n → , O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , iaitu hasil darab dalam bentuk koordinat daripada bentuk n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Ini bermakna kita mendapat bahawa n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Ia berikutan bahawa M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p. Teorem terbukti.

Kami mendapati bahawa untuk mencari jarak dari titik M 1 (x 1 , y 1) ke garis lurus a pada satah, anda perlu melakukan beberapa tindakan:

Definisi 4

• mendapatkan persamaan normal garis lurus a cos α · x + cos β · y - p = 0, dengan syarat ia tidak berada dalam tugas;
• pengiraan ungkapan cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, di mana nilai yang terhasil mengambil M 1 H 1.

Mari gunakan kaedah ini untuk menyelesaikan masalah dengan mencari jarak dari titik ke satah.

Contoh 1

Cari jarak dari titik dengan koordinat M 1 (- 1, 2) ke garis lurus 4 x - 3 y + 35 = 0.

Penyelesaian

Mari gunakan kaedah pertama untuk menyelesaikannya.

Untuk melakukan ini, anda perlu mencari persamaan am garis b, yang melalui titik tertentu M 1 (- 1, 2), berserenjang dengan garis 4 x - 3 y + 35 = 0. Daripada keadaan itu jelas bahawa garis lurus b adalah berserenjang dengan garis lurus a, maka vektor arahnya mempunyai koordinat sama dengan (4, - 3). Oleh itu, kita mempunyai peluang untuk menuliskan persamaan kanonik garis b pada satah, kerana terdapat koordinat titik M 1, yang tergolong dalam garis b. Mari tentukan koordinat bagi vektor arah bagi garis lurus b. Kami mendapat bahawa x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3. Persamaan kanonik yang terhasil mesti ditukar kepada persamaan umum. Kemudian kita mendapat itu

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) = 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Mari kita cari koordinat titik persilangan garis, yang akan kita ambil sebagai sebutan H 1. Transformasi kelihatan seperti ini:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

Daripada apa yang ditulis di atas, kita mempunyai bahawa koordinat titik H 1 adalah sama dengan (- 5; 5).

Ia adalah perlu untuk mengira jarak dari titik M 1 ke garis lurus a. Kami mempunyai koordinat titik M 1 (- 1, 2) dan H 1 (- 5, 5), kemudian kami menggantikannya ke dalam formula untuk mencari jarak dan mendapatkannya

M 1 H 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5

Penyelesaian kedua.

Untuk menyelesaikan dengan cara lain, adalah perlu untuk mendapatkan persamaan normal garis. Kami mengira nilai faktor penormalan dan darab kedua-dua belah persamaan 4 x - 3 y + 35 = 0. Dari sini kita dapati bahawa faktor penormalan adalah sama dengan - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5, dan persamaan normalnya ialah dalam bentuk - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

Menurut algoritma pengiraan, adalah perlu untuk mendapatkan persamaan normal garis dan mengiranya dengan nilai x = - 1, y = 2. Kemudian kita mendapat itu

4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5

Daripada ini kita perolehi bahawa jarak dari titik M 1 (- 1, 2) ke garis lurus yang diberi 4 x - 3 y + 35 = 0 mempunyai nilai - 5 = 5.

Jawapan: 5 .

Jelas bahawa dalam kaedah ini Adalah penting untuk menggunakan persamaan normal garis, kerana kaedah ini adalah yang paling pendek. Tetapi kaedah pertama adalah mudah kerana ia konsisten dan logik, walaupun ia mempunyai lebih banyak titik pengiraan.

Contoh 2

Pada satah itu terdapat sistem koordinat segi empat tepat O x y dengan titik M 1 (8, 0) dan garis lurus y = 1 2 x + 1. Cari jarak dari titik tertentu ke garis lurus.

Penyelesaian

Penyelesaian pertama melibatkan pemutus persamaan yang diberikan dengan kecerunan kepada persamaan Pandangan umum. Untuk memudahkan perkara, anda boleh melakukannya secara berbeza.

Jika hasil darab pekali sudut garis serenjang mempunyai nilai - 1, maka pekali sudut garis berserenjang dengan satu tertentu y = 1 2 x + 1 mempunyai nilai 2. Sekarang kita mendapat persamaan garis yang melalui titik dengan koordinat M 1 (8, 0). Kami mempunyai y - 0 = - 2 · (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Kami meneruskan untuk mencari koordinat titik H 1, iaitu titik persilangan y = - 2 x + 16 dan y = 1 2 x + 1. Kami menyusun sistem persamaan dan mendapatkan:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Ia berikutan bahawa jarak dari titik dengan koordinat M 1 (8, 0) ke garis lurus y = 1 2 x + 1 adalah sama dengan jarak dari titik mula dan titik akhir dengan koordinat M 1 (8, 0) dan H 1 (6, 4) . Mari kita mengira dan mendapati bahawa M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5.

Penyelesaian dalam cara kedua ialah bergerak dari persamaan dengan pekali ke bentuk normalnya. Iaitu, kita mendapat y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0, maka nilai faktor penormalan ialah - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5. Ia berikutan bahawa persamaan normal garis itu mengambil bentuk - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Mari kita laksanakan pengiraan dari titik M 1 8, 0 ke garis bentuk - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Kita mendapatkan:

M 1 H 1 = - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5

Jawapan: 2 5 .

Contoh 3

Adalah perlu untuk mengira jarak dari titik dengan koordinat M 1 (- 2, 4) ke garisan 2 x - 3 = 0 dan y + 1 = 0.

Penyelesaian

Kami memperoleh persamaan bentuk normal garis lurus 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Kemudian kita meneruskan pengiraan jarak dari titik M 1 - 2, 4 ke garis lurus x - 3 2 = 0. Kita mendapatkan:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Persamaan garis lurus y + 1 = 0 mempunyai faktor penormalan dengan nilai sama dengan -1. Ini bermakna persamaan akan mengambil bentuk - y - 1 = 0. Kami meneruskan pengiraan jarak dari titik M 1 (- 2, 4) ke garis lurus - y - 1 = 0. Kami mendapati bahawa ia adalah sama dengan - 4 - 1 = 5.

Jawapan: 3 1 2 dan 5.

Mari kita lihat lebih dekat mencari jarak dari titik tertentu pada satah ke paksi koordinat O x dan O y.

Dalam sistem koordinat segi empat tepat, paksi O y mempunyai persamaan garis lurus, yang tidak lengkap dan mempunyai bentuk x = 0, dan O x - y = 0. Persamaan adalah normal untuk paksi koordinat, maka perlu mencari jarak dari titik dengan koordinat M 1 x 1, y 1 ke garisan. Ini dilakukan berdasarkan formula M 1 H 1 = x 1 dan M 1 H 1 = y 1. Mari lihat rajah di bawah.

Contoh 4

Cari jarak dari titik M 1 (6, - 7) ke garis koordinat yang terletak dalam satah O x y.

Penyelesaian

Oleh kerana persamaan y = 0 berkaitan dengan garis lurus O x, kita boleh mencari jarak dari M 1 s koordinat yang diberikan, ke garis lurus ini menggunakan formula. Kami mendapat bahawa 6 = 6.

Oleh kerana persamaan x = 0 merujuk kepada garis lurus O y, anda boleh mencari jarak dari M 1 ke garis lurus ini menggunakan formula. Kemudian kita mendapat bahawa - 7 = 7.

Jawapan: jarak dari M 1 ke O x mempunyai nilai 6, dan dari M 1 ke O y mempunyai nilai 7.

Apabila masuk ruang tiga dimensi kita mempunyai titik dengan koordinat M 1 (x 1, y 1, z 1), adalah perlu untuk mencari jarak dari titik A ke garis lurus a.

Mari kita pertimbangkan dua kaedah yang membolehkan anda mengira jarak dari satu titik ke garis lurus yang terletak di angkasa. Kes pertama mempertimbangkan jarak dari titik M 1 ke garis, di mana titik pada garis dipanggil H 1 dan merupakan tapak serenjang yang dilukis dari titik M 1 ke garis a. Kes kedua menunjukkan bahawa titik satah ini mesti dicari sebagai ketinggian segi empat selari.

Cara pertama

Daripada takrifan kita mempunyai bahawa jarak dari titik M 1 yang terletak pada garis lurus a ialah panjang serenjang M 1 H 1 , maka kita memperolehinya dengan koordinat titik H 1 yang ditemui, maka kita dapati jarak antara M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) dan H 1 (x 1 , y 1 , z 1) , berdasarkan formula M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

Kami mendapati bahawa keseluruhan penyelesaian menuju ke arah mencari koordinat tapak serenjang yang dilukis dari M 1 ke garis lurus a. Ini dihasilkan dengan cara berikut: H 1 ialah titik di mana garis lurus a bersilang dengan satah yang melalui titik yang diberi.

Ini bermakna bahawa algoritma untuk menentukan jarak dari titik M 1 (x 1, y 1, z 1) ke garisan a dalam ruang membayangkan beberapa titik:

Definisi 5

• merangka persamaan satah χ sebagai persamaan satah yang melalui titik tertentu yang terletak berserenjang dengan garis;
• penentuan koordinat (x 2, y 2, z 2) kepunyaan titik H 1, iaitu titik persilangan garis lurus a dan satah χ;
• mengira jarak dari titik ke garis menggunakan formula M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

Cara kedua

Daripada keadaan kita mempunyai garis lurus a, maka kita boleh menentukan vektor arah a → = a x, a y, a z dengan koordinat x 3, y 3, z 3 dan titik tertentu M 3 kepunyaan lurus a. Jika anda mempunyai koordinat titik M 1 (x 1, y 1) dan M 3 x 3, y 3, z 3, anda boleh mengira M 3 M 1 →:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Kita harus mengetepikan vektor a → = a x , a y , a z dan M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 daripada titik M 3 , sambungkannya dan dapatkan segiempat selari angka. M 1 H 1 ialah ketinggian segiempat selari.

Mari lihat rajah di bawah.

Kami mempunyai ketinggian M 1 H 1 adalah jarak yang diperlukan, maka perlu mencarinya menggunakan formula. Iaitu, kami sedang mencari M 1 H 1.

Mari kita nyatakan luas segi empat selari dengan huruf S, didapati dengan formula menggunakan vektor a → = (a x, a y, a z) dan M 3 M 1 → = x 1 - x 3. y 1 - y 3, z 1 - z 3. Formula luas ialah S = a → × M 3 M 1 → . Juga, luas rajah adalah sama dengan hasil darab panjang sisi dan ketinggiannya, kita dapat S = a → · M 1 H 1 dengan a → = a x 2 + a y 2 + a z 2, yang mana ialah panjang vektor a → = (a x, a y, a z), sedang sisi yang sama segi empat selari. Ini bermakna M 1 H 1 ialah jarak dari titik ke garisan. Ia didapati menggunakan formula M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Untuk mencari jarak dari titik dengan koordinat M 1 (x 1, y 1, z 1) ke garis lurus a dalam ruang, anda perlu melakukan beberapa langkah algoritma:

Definisi 6

• penentuan vektor arah garis lurus a - a → = (a x, a y, a z);
• mengira panjang vektor arah a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• mendapatkan koordinat x 3 , y 3 , z 3 kepunyaan titik M 3 yang terletak pada garis lurus a;
• mengira koordinat bagi vektor M 3 M 1 → ;
• mencari hasil darab vektor bagi vektor a → (a x , a y , a z) dan M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 sebagai a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 untuk mendapatkan panjang menggunakan formula a → × M 3 M 1 → ;
• mengira jarak dari satu titik ke garis M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Menyelesaikan masalah mencari jarak dari titik tertentu ke garis tertentu dalam ruang

Contoh 5

Cari jarak dari titik dengan koordinat M 1 2, - 4, - 1 ke garis x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5.

Penyelesaian

Kaedah pertama bermula dengan menulis persamaan satah χ melalui M 1 dan berserenjang dengan titik tertentu. Kami mendapat ungkapan seperti:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Ia adalah perlu untuk mencari koordinat titik H 1, iaitu titik persilangan dengan satah χ kepada garis yang ditentukan oleh keadaan. Kita harus berpindah dari bentuk kanonik kepada yang bersilang. Kemudian kita memperoleh sistem persamaan bentuk:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Adalah perlu untuk mengira sistem x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 dengan kaedah Cramer, maka kita dapati bahawa:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ 60 = 0

Dari sini kita mempunyai H 1 (1, - 1, 0).

M 1 H 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11

Kaedah kedua ialah bermula dengan mencari koordinat dalam persamaan kanonik. Untuk melakukan ini, anda perlu memberi perhatian kepada penyebut pecahan. Maka a → = 2, - 1, 5 ialah vektor arah bagi garis x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5. Ia adalah perlu untuk mengira panjang menggunakan formula a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

Jelas bahawa garis lurus x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 bersilang dengan titik M 3 (- 1 , 0 , - 5), maka kita mempunyai bahawa vektor dengan asalan M 3 (- 1 , 0 , - 5) dan hujungnya pada titik M 1 2, - 4, - 1 ialah M 3 M 1 → = 3, - 4, 4. Kita dapati produk vektor a → = (2, - 1, 5) dan M 3 M 1 → = (3, - 4, 4).

Kami mendapat ungkapan bentuk a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 · j → = 16 · i → + 7 · j → - 5 · k →

kita dapati bahawa panjang hasil darab vektor adalah sama dengan a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330.

Kami mempunyai semua data untuk menggunakan formula untuk mengira jarak dari titik untuk garis lurus, jadi mari kita gunakannya dan dapatkan:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

Jawapan: 11 .

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Tahap pertama

Koordinat dan vektor. Panduan yang komprehensif (2019)

Dalam artikel ini, kami akan mula membincangkan satu "tongkat ajaib" yang akan membolehkan anda mengurangkan banyak masalah geometri kepada aritmetik mudah. "Tongkat" ini boleh menjadikan hidup anda lebih mudah, terutamanya apabila anda berasa tidak pasti tentang membina angka spatial, bahagian, dsb. Semua ini memerlukan imaginasi dan kemahiran praktikal tertentu. Kaedah yang akan kami pertimbangkan di sini akan membolehkan anda hampir sepenuhnya abstrak daripada apa-apa jenis binaan geometri dan penaakulan. Kaedahnya dipanggil "kaedah koordinat". Dalam artikel ini kita akan mempertimbangkan soalan berikut:

1. satah koordinat
2. Titik dan vektor pada satah
3. Membina vektor daripada dua titik
4. Panjang vektor (jarak antara dua titik).
5. Koordinat tengah segmen
6. Hasil darab titik bagi vektor
7. Sudut antara dua vektor

Saya rasa anda sudah meneka mengapa kaedah koordinat dipanggil begitu? Betul, ia mendapat nama itu kerana ia tidak beroperasi dengan objek geometri, dan bersama mereka ciri berangka(koordinat). Dan transformasi itu sendiri, yang membolehkan kita beralih dari geometri ke algebra, terdiri daripada memperkenalkan sistem koordinat. Jika rajah asal adalah rata, maka koordinat adalah dua dimensi, dan jika rajah itu adalah tiga dimensi, maka koordinat adalah tiga dimensi. Dalam artikel ini kita akan mempertimbangkan hanya kes dua dimensi. Dan matlamat utama artikel adalah untuk mengajar anda cara menggunakan beberapa teknik asas kaedah koordinat (ia kadang-kadang ternyata berguna apabila menyelesaikan masalah pada planimetri dalam Bahagian B Peperiksaan Negeri Bersepadu). Dua bahagian seterusnya mengenai topik ini ditumpukan kepada perbincangan kaedah untuk menyelesaikan masalah C2 (masalah stereometri).

Di manakah logik untuk mula membincangkan kaedah koordinat? Mungkin dari konsep sistem koordinat. Ingat ketika pertama kali anda bertemu dengannya. Nampaknya saya pada gred ke-7, apabila anda mengetahui tentang kewujudan fungsi linear, sebagai contoh. Biar saya ingatkan anda bahawa anda membinanya titik demi titik. Adakah awak ingat? awak pilih nombor sewenang-wenangnya, menggantikannya ke dalam formula dan mengiranya dengan cara ini. Contohnya, jika, kemudian, jika, kemudian, dsb. Apa yang anda dapat pada akhirnya? Dan anda menerima mata dengan koordinat: dan. Seterusnya, anda melukis "palang" (sistem koordinat), memilih skala padanya (berapa banyak sel yang akan anda miliki sebagai segmen unit) dan menandakan titik yang anda perolehi di atasnya, yang kemudian anda sambungkan dengan garis lurus; garis ialah graf bagi fungsi tersebut.

Terdapat beberapa perkara di sini yang harus dijelaskan kepada anda dengan lebih terperinci:

1. Anda memilih satu segmen atas sebab kemudahan, supaya semuanya sesuai dengan cantik dan padat dalam lukisan.

2. Adalah diterima bahawa paksi pergi dari kiri ke kanan, dan paksi pergi dari bawah ke atas

3. Mereka bersilang pada sudut tepat, dan titik persilangan mereka dipanggil asalan. Ia ditunjukkan oleh surat.

4. Dalam menulis koordinat titik, sebagai contoh, di sebelah kiri dalam kurungan terdapat koordinat titik di sepanjang paksi, dan di sebelah kanan, di sepanjang paksi. Khususnya, ia hanya bermaksud bahawa pada titik itu

5. Untuk menetapkan sebarang titik pada paksi koordinat, anda perlu menunjukkan koordinatnya (2 nombor)

6. Untuk sebarang titik yang terletak pada paksi,

7. Untuk sebarang titik yang terletak pada paksi,

8. Paksi dipanggil paksi-x

9. Paksi itu dipanggil paksi-y

Sekarang mari kita lakukan dengan anda langkah seterusnya: Mari kita tanda dua mata. Mari kita sambungkan kedua-dua titik ini dengan segmen. Dan kami akan meletakkan anak panah seolah-olah kami melukis segmen dari satu titik ke titik: iaitu, kami akan menjadikan segmen kami diarahkan!

Ingat apa yang dipanggil segmen arah lain? Betul, ia dipanggil vektor!

Jadi jika kita menyambungkan titik ke titik, dan permulaan akan menjadi titik A, dan penghujungnya akan menjadi titik B, maka kita mendapat vektor. Anda juga melakukan pembinaan ini pada darjah 8, ingat?

Ternyata vektor, seperti titik, boleh dilambangkan dengan dua nombor: nombor ini dipanggil koordinat vektor. Soalan: Adakah anda fikir cukup untuk kita mengetahui koordinat permulaan dan penghujung vektor untuk mencari koordinatnya? Ternyata ya! Dan ini dilakukan dengan sangat mudah:

Oleh itu, kerana dalam vektor titik adalah permulaan dan titik adalah penghujung, vektor mempunyai koordinat berikut:

Sebagai contoh, jika, maka koordinat vektor

Sekarang mari kita lakukan sebaliknya, cari koordinat vektor. Apa yang perlu kita ubah untuk ini? Ya, anda perlu menukar permulaan dan akhir: kini permulaan vektor akan berada di titik, dan penghujungnya akan berada di titik. Kemudian:

Lihat dengan teliti, apakah perbezaan antara vektor dan? Satu-satunya perbezaan mereka ialah tanda-tanda dalam koordinat. Mereka adalah bertentangan. Fakta ini biasanya ditulis seperti ini:

Kadangkala, jika tidak dinyatakan secara khusus titik mana yang merupakan permulaan vektor dan yang mana penghujungnya, maka vektor dilambangkan dengan lebih daripada dua dalam huruf besar, dan satu huruf kecil, contohnya: , dsb.

Sekarang sedikit berlatih sendiri dan cari koordinat bagi vektor berikut:

Peperiksaan:

Sekarang selesaikan masalah yang sedikit lebih sukar:

Vektor dengan permulaan pada satu titik mempunyai co-or-di-na-you. Cari titik abs-cis-su.

Semua yang sama adalah agak prosaik: Biarkan koordinat titik. Kemudian

Saya menyusun sistem berdasarkan definisi koordinat vektor. Kemudian titik mempunyai koordinat. Kami berminat dengan abscissa. Kemudian

Jawapan:

Apa lagi yang boleh anda lakukan dengan vektor? Ya, hampir semuanya sama seperti dengan nombor biasa(kecuali anda tidak boleh membahagikan, tetapi anda boleh mendarab dalam dua cara, salah satunya kita akan bincangkan di sini sedikit kemudian)

1. Vektor boleh ditambah antara satu sama lain
2. Vektor boleh ditolak antara satu sama lain
3. Vektor boleh didarab (atau dibahagikan) dengan nombor bukan sifar sembarangan
4. Vektor boleh didarab antara satu sama lain

Semua operasi ini mempunyai perwakilan geometri yang sangat jelas. Contohnya, peraturan segi tiga (atau segi empat selari) untuk penambahan dan penolakan:

Vektor meregang atau mengecut atau bertukar arah apabila didarab atau dibahagikan dengan nombor:

Walau bagaimanapun, di sini kita akan berminat dengan persoalan tentang apa yang berlaku kepada koordinat.

1. Apabila menambah (menolak) dua vektor, kami menambah (tolak) koordinatnya elemen demi elemen. Itu dia:

2. Apabila mendarab (membahagi) vektor dengan nombor, semua koordinatnya didarab (dibahagi) dengan nombor ini:

Sebagai contoh:

· Cari jumlah co-or-di-nat century-to-ra.

Mula-mula kita cari koordinat bagi setiap vektor. Kedua-duanya mempunyai asal yang sama - titik asal. Kesudahan mereka berbeza. Kemudian, . Sekarang mari kita mengira koordinat vektor Kemudian jumlah koordinat vektor yang terhasil adalah sama.

Jawapan:

Sekarang selesaikan sendiri masalah berikut:

· Cari jumlah koordinat vektor

Kami menyemak:

Sekarang mari kita pertimbangkan masalah berikut: kita mempunyai dua perkara satah koordinat. Bagaimana untuk mencari jarak antara mereka? Biarkan titik pertama, dan yang kedua. Mari kita nyatakan jarak antara mereka dengan. Mari buat lukisan berikut untuk kejelasan:

Apa yang telah saya lakukan? Pertama sekali, saya menyambung titik dan,a juga melukis garisan dari titik, selari dengan paksi, dan dari titik saya melukis garis selari dengan paksi. Adakah mereka bersilang pada satu titik, membentuk sosok yang luar biasa? Apa yang istimewa tentang dia? Ya, anda dan saya tahu hampir segala-galanya segi tiga tepat. Nah, teorem Pythagoras sudah pasti. Segmen yang diperlukan ialah hipotenus segitiga ini, dan segmen adalah kaki. Apakah koordinat titik tersebut? Ya, ia mudah dicari dari gambar: Memandangkan segmen selari dengan paksi dan, masing-masing, panjangnya mudah dicari: jika kita menyatakan panjang segmen dengan, masing-masing, maka

Sekarang mari kita gunakan teorem Pythagoras. Kami tahu panjang kaki, kami akan mendapati hipotenus:

Oleh itu, jarak antara dua titik ialah punca jumlah perbezaan kuasa dua daripada koordinat. Atau - jarak antara dua titik ialah panjang segmen yang menghubungkannya. Adalah mudah untuk melihat bahawa jarak antara titik tidak bergantung pada arah. Kemudian:

Dari sini kami membuat tiga kesimpulan:

Mari kita berlatih sedikit tentang mengira jarak antara dua titik:

Sebagai contoh, jika, maka jarak antara dan adalah sama dengan

Atau mari pergi dengan cara lain: cari koordinat vektor

Dan cari panjang vektor:

Seperti yang anda lihat, ia adalah perkara yang sama!

Sekarang amalkan sedikit diri anda:

Tugas: cari jarak antara titik yang ditunjukkan:

Kami menyemak:

Berikut ialah beberapa lagi masalah yang menggunakan formula yang sama, walaupun bunyinya agak berbeza:

1. Cari segi empat sama panjang kelopak mata.

2. Cari segi empat sama panjang kelopak mata

Saya fikir anda berurusan dengan mereka tanpa kesukaran? Kami menyemak:

1. Dan ini untuk perhatian) Kami telah pun menemui koordinat vektor tadi: . Kemudian vektor mempunyai koordinat. Kuadrat panjangnya akan sama dengan:

2. Cari koordinat bagi vektor

Maka segi empat sama panjangnya ialah

Tidak ada yang rumit, bukan? Aritmetik mudah, tidak lebih.

Masalah berikut tidak boleh dikelaskan dengan jelas; ia lebih kepada pengetahuan umum dan keupayaan untuk melukis gambar mudah.

1. Cari sinus sudut dari potongan, menyambungkan titik, dengan paksi absis.

Dan

Bagaimana kita akan meneruskan di sini? Kita perlu mencari sinus sudut antara dan paksi. Di mana kita boleh mencari sinus? Betul, dalam segi tiga tepat. Jadi apa yang perlu kita lakukan? Bina segitiga ini!

Oleh kerana koordinat titik adalah dan, maka segmen adalah sama dengan, dan segmen. Kita perlu mencari sinus sudut. Biar saya ingatkan anda bahawa sinus ialah nisbah kaki bertentangan kepada hipotenus, kemudian

Apa yang tinggal untuk kita lakukan? Cari hipotenus. Anda boleh melakukan ini dalam dua cara: menggunakan teorem Pythagoras (kaki diketahui!) atau menggunakan formula untuk jarak antara dua titik (sebenarnya, perkara yang sama seperti kaedah pertama!). Saya akan pergi dengan cara kedua:

Jawapan:

Tugas seterusnya akan kelihatan lebih mudah kepada anda. Dia berada di koordinat titik itu.

Tugasan 2. Dari titik per-pen-di-ku-lyar diturunkan ke paksi ab-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Mari buat lukisan:

Tapak serenjang ialah titik di mana ia bersilang dengan paksi-x (paksi), bagi saya ini adalah titik. Rajah menunjukkan bahawa ia mempunyai koordinat: . Kami berminat dengan abscissa - iaitu komponen "x". Dia sama rata.

Jawapan: .

Tugasan 3. Dalam keadaan masalah sebelumnya, cari jumlah jarak dari titik ke paksi koordinat.

Tugas ini biasanya asas jika anda tahu berapa jarak dari titik ke paksi. Kamu tahu? Saya berharap, tetapi saya akan mengingatkan anda:

Jadi, dalam lukisan saya di atas, adakah saya sudah melukis satu serenjang itu? Paksi mana ia berada? Ke paksi. Dan berapakah panjangnya? Dia sama rata. Sekarang lukis sendiri serenjang dengan paksi dan cari panjangnya. Ia akan sama, bukan? Maka jumlah mereka adalah sama.

Jawapan: .

Tugasan 4. Dalam keadaan tugasan 2, cari ordinat titik, titik simetri berbanding dengan paksi absis.

Saya fikir ia secara intuitif jelas kepada anda apakah simetri? Banyak objek mempunyainya: banyak bangunan, meja, kapal terbang, banyak angka geometri: bola, silinder, segi empat sama, rombus, dsb. Secara kasarnya, simetri boleh difahami seperti berikut: rajah terdiri daripada dua (atau lebih) bahagian yang sama. Simetri ini dipanggil simetri paksi. Apakah itu paksi? Ini betul-betul garis di mana angka itu boleh, secara relatifnya, "dipotong" menjadi dua bahagian yang sama (dalam gambar ini paksi simetri adalah lurus):

Sekarang mari kita kembali kepada tugas kita. Kami tahu bahawa kami sedang mencari titik yang simetri tentang paksi. Maka paksi ini ialah paksi simetri. Ini bermakna kita perlu menandakan satu titik supaya paksi memotong segmen kepada dua bahagian yang sama. Cuba tandakan titik sedemikian sendiri. Sekarang bandingkan dengan penyelesaian saya:

Adakah ia berfungsi dengan cara yang sama untuk anda? baiklah! Kami berminat dengan ordinat titik yang ditemui. Ia adalah sama

Jawapan:

Sekarang beritahu saya, selepas berfikir selama beberapa saat, apakah absis titik simetri kepada titik A relatif kepada paksi ordinat? Apakah jawapan anda? Jawapan yang betul: .

Secara umum, peraturan boleh ditulis seperti ini:

Titik simetri kepada titik relatif kepada paksi absis mempunyai koordinat:

Titik simetri kepada titik relatif kepada paksi ordinat mempunyai koordinat:

Nah, sekarang ia benar-benar menakutkan tugasan: cari koordinat titik simetri kepada titik berbanding dengan asalan. Anda mula-mula fikir sendiri, dan kemudian lihat lukisan saya!

Jawapan:

Sekarang masalah segi empat selari:

Tugasan 5: Mata kelihatan ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Cari atau-di-pada-titik itu.

Anda boleh menyelesaikan masalah ini dalam dua cara: logik dan kaedah koordinat. Saya akan menggunakan kaedah koordinat dahulu, dan kemudian saya akan memberitahu anda bagaimana anda boleh menyelesaikannya secara berbeza.

Agak jelas bahawa absis titik adalah sama. (ia terletak pada serenjang yang dilukis dari titik ke paksi absis). Kita perlu mencari ordinat. Mari kita mengambil kesempatan daripada fakta bahawa angka kita ialah segi empat selari, ini bermakna itu. Mari cari panjang segmen menggunakan formula untuk jarak antara dua titik:

Kami menurunkan serenjang yang menghubungkan titik ke paksi. Saya akan menandakan titik persimpangan dengan huruf.

Panjang segmen adalah sama. (cari masalah sendiri di mana kita membincangkan perkara ini), maka kita akan mencari panjang segmen menggunakan teorem Pythagoras:

Panjang segmen bertepatan tepat dengan ordinatnya.

Jawapan: .

Penyelesaian lain (saya hanya akan memberikan gambar yang menggambarkannya)

Kemajuan penyelesaian:

1. Kelakuan

2. Cari koordinat titik dan panjang

3. Buktikan bahawa.

Yang lagi satu masalah panjang segmen:

Titik muncul di atas segitiga. Cari panjang garis tengahnya, selari.

Adakah anda ingat apa itu garisan tengah segi tiga? Maka tugas ini adalah asas untuk anda. Jika anda tidak ingat, maka saya akan mengingatkan anda: garis tengah segitiga ialah garis yang menghubungkan titik tengah sisi bertentangan. Ia selari dengan tapak dan sama dengan separuh daripadanya.

Pangkalan adalah segmen. Kami terpaksa mencari panjangnya lebih awal, ia adalah sama. Kemudian panjang garis tengah adalah separuh besar dan sama.

Jawapan: .

Komen: masalah ini boleh diselesaikan dengan cara lain, yang akan kita rujuk sedikit kemudian.

Sementara itu, berikut adalah beberapa masalah untuk anda, praktikkannya, ia sangat mudah, tetapi ia membantu anda menjadi lebih baik dalam menggunakan kaedah koordinat!

1. Mata adalah bahagian atas tra-pe-tions. Cari panjang garis tengahnya.

2. Mata dan penampilan ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Cari atau-di-pada-titik itu.

3. Cari panjang dari potongan, sambungkan titik dan

4. Cari kawasan di belakang rajah berwarna pada satah co-ordin-nat.

5. Bulatan dengan pusat dalam na-cha-le ko-or-di-nat melalui titik itu. Cari dia ra-di-us.

6. Cari-di-te ra-di-us bulatan, huraikan-san-noy tentang sudut kanan-no-ka, bahagian atas sesuatu mempunyai co-atau -di-na-anda sangat bertanggungjawab

Penyelesaian:

1. Adalah diketahui bahawa garis tengah trapezium adalah sama dengan separuh jumlah tapaknya. Pangkalan adalah sama, dan asas. Kemudian

Jawapan:

2. Cara paling mudah untuk menyelesaikan masalah ini adalah dengan mengambil perhatian bahawa (peraturan selari). Mengira koordinat vektor tidak sukar: . Apabila menambah vektor, koordinat ditambah. Kemudian mempunyai koordinat. Titik juga mempunyai koordinat ini, kerana asal vektor adalah titik dengan koordinat. Kami berminat dengan ordinat. Dia sama rata.

Jawapan:

3. Kami segera bertindak mengikut formula untuk jarak antara dua titik:

Jawapan:

4. Lihat gambar dan beritahu saya yang manakah dua rajah kawasan berlorek "bersandwich" antara? Ia diapit di antara dua petak. Kemudian luas angka yang dikehendaki adalah sama dengan luas segi empat sama besar tolak luas yang kecil. sebelah persegi kecil ialah segmen yang menghubungkan titik dan Panjangnya ialah

Maka luas petak kecil itu ialah

Kami melakukan perkara yang sama dengan persegi besar: sisinya ialah ruas yang menghubungkan titik dan panjangnya ialah

Maka luas segi empat sama besar ialah

Kami mencari kawasan angka yang dikehendaki menggunakan formula:

Jawapan:

5. Jika bulatan mempunyai asalan sebagai pusatnya dan melalui satu titik, maka jejarinya akan betul-betul sama dengan panjang segmen (buat lukisan dan anda akan faham mengapa ini jelas). Mari cari panjang segmen ini:

Jawapan:

6. Diketahui bahawa jejari bulatan yang dihadkan tentang segi empat tepat sama dengan separuh pepenjurunya. Mari kita cari panjang mana-mana dua pepenjuru (lagipun, dalam segi empat tepat ia adalah sama!)

Jawapan:

Nah, adakah anda menghadapi segala-galanya? Ia tidak begitu sukar untuk memikirkannya, bukan? Terdapat hanya satu peraturan di sini - boleh membuat gambar visual dan hanya "membaca" semua data daripadanya.

Kami mempunyai sedikit lagi yang tinggal. Terdapat dua lagi perkara yang saya ingin bincangkan.

Jom cuba selesaikan masalah mudah ni. Biarkan dua mata dan diberikan. Cari koordinat titik tengah segmen itu. Penyelesaian kepada masalah ini adalah seperti berikut: biarkan titik menjadi tengah yang dikehendaki, maka ia mempunyai koordinat:

Itu dia: koordinat tengah segmen = min aritmetik koordinat yang sepadan bagi hujung segmen.

Peraturan ini sangat mudah dan biasanya tidak menyusahkan pelajar. Mari lihat dalam masalah apa dan bagaimana ia digunakan:

1. Cari-di-te atau-di-na-tu se-re-di-ny daripada-potong, sambung-titik dan

2. Mata kelihatan sebagai puncak dunia. Cari-di-te atau-di-na-tu mata per-se-se-che-niya dia-go-na-ley beliau.

3. Cari-di-te abs-cis-su pusat bulatan, huraikan-san-noy tentang segi empat tepat-no-ka, bahagian atas sesuatu mempunyai co-or-di-na-anda begitu-bertanggungjawab-tetapi.

Penyelesaian:

1. Masalah pertama hanyalah klasik. Kami teruskan segera untuk menentukan bahagian tengah segmen. Ia mempunyai koordinat. ordinat adalah sama.

Jawapan:

2. Mudah untuk melihat bahawa segi empat ini ialah segi empat selari (walaupun rombus!). Anda boleh membuktikannya sendiri dengan mengira panjang sisi dan membandingkannya antara satu sama lain. Apa yang saya tahu tentang segi empat selari? Diagonalnya dibahagikan kepada separuh dengan titik persilangan! Yeah! Jadi apakah titik persilangan pepenjuru? Ini adalah bahagian tengah mana-mana pepenjuru! Saya akan memilih, khususnya, pepenjuru. Kemudian titik mempunyai koordinat Ordinasi titik adalah sama dengan.

Jawapan:

3. Apakah yang bertepatan dengan pusat bulatan yang dihadkan tentang segi empat tepat itu? Ia bertepatan dengan titik persilangan pepenjurunya. Apakah yang anda tahu tentang pepenjuru segi empat tepat? Mereka adalah sama dan titik persilangan membahagikannya kepada separuh. Tugas itu dikurangkan kepada yang sebelumnya. Mari kita ambil, sebagai contoh, pepenjuru. Kemudian jika ialah pusat bulatan, maka ialah titik tengah. Saya sedang mencari koordinat: Abscissa adalah sama.

Jawapan:

Sekarang berlatih sendiri, saya hanya akan memberikan jawapan kepada setiap masalah supaya anda boleh menguji diri anda.

1. Cari-di-te ra-di-us bulatan, huraikan-san-noy tentang tri-sudut-no-ka, bahagian atas sesuatu mempunyai co-or-di -no misters

2. Cari-di-te atau-di-pada-tengah bulatan itu, huraikan-san-noy tentang segi tiga-no-ka, bahagian atasnya mempunyai koordinat

3. Apakah jenis ra-di-u-sa yang patut ada bulatan dengan pusat pada satu titik supaya ia menyentuh paksi ab-ciss?

4. Cari-di-mereka atau-di-pada-titik penyemakan semula paksi dan dari-potong, sambungkan-titik dan

Jawapan:

Adakah semuanya berjaya? Saya sangat berharap untuk itu! Sekarang - tolakan terakhir. Sekarang berhati-hati terutamanya. Bahan yang saya akan terangkan sekarang berkaitan secara langsung bukan sahaja dengan masalah mudah pada kaedah koordinat dari Bahagian B, tetapi juga terdapat di mana-mana dalam Masalah C2.

Mana satu janji saya yang belum saya tunaikan? Ingat apakah operasi pada vektor yang saya janjikan untuk memperkenalkan dan yang mana yang akhirnya saya perkenalkan? Adakah anda pasti saya tidak terlupa apa-apa? terlupa! Saya terlupa untuk menerangkan maksud pendaraban vektor.

Terdapat dua cara untuk mendarab vektor dengan vektor. Bergantung pada kaedah yang dipilih, kita akan mendapat objek dengan sifat yang berbeza:

Hasil silang dilakukan dengan cukup bijak. Kami akan membincangkan cara melakukannya dan mengapa ia diperlukan dalam artikel seterusnya. Dan dalam satu ini kita akan memberi tumpuan kepada produk skalar.

Terdapat dua cara yang membolehkan kita mengiranya:

Seperti yang anda fikirkan, hasilnya sepatutnya sama! Jadi mari kita lihat kaedah pertama dahulu:

Produk titik melalui koordinat

Cari: - jawatan yang diterima umum produk titik

Formula pengiraan adalah seperti berikut:

Iaitu, hasil kali skalar = jumlah hasil darab koordinat vektor!

Contoh:

Cari-di-te

Penyelesaian:

Mari cari koordinat setiap vektor:

Kami mengira hasil skalar menggunakan formula:

Jawapan:

Lihat, tidak ada yang rumit!

Nah, sekarang cuba sendiri:

· Cari skalar pro-iz-ve-de-nie berabad-abad dan

Adakah anda berjaya? Mungkin anda perasan tangkapan kecil? Mari semak:

Koordinat vektor seperti dalam tugasan terakhir! Jawapan: .

Sebagai tambahan kepada koordinat, terdapat satu lagi cara untuk mengira hasil skalar, iaitu, melalui panjang vektor dan kosinus sudut di antara mereka:

Menyatakan sudut antara vektor dan.

Iaitu, hasil kali skalar adalah sama dengan hasil darab panjang vektor dan kosinus sudut di antara mereka.

Mengapa kita memerlukan formula kedua ini, jika kita mempunyai yang pertama, yang jauh lebih mudah, sekurang-kurangnya tiada kosinus di dalamnya. Dan ia diperlukan supaya dari formula pertama dan kedua anda dan saya boleh menyimpulkan bagaimana untuk mencari sudut antara vektor!

Biar Kemudian ingat formula untuk panjang vektor!

Kemudian jika saya menggantikan data ini ke dalam formula produk skalar, saya mendapat:

Tetapi dengan cara lain:

Jadi apa yang awak dan saya dapat? Kami kini mempunyai formula yang membolehkan kami mengira sudut antara dua vektor! Kadang-kadang ia juga ditulis seperti ini untuk ringkasnya:

Iaitu, algoritma untuk mengira sudut antara vektor adalah seperti berikut:

1. Kira hasil skalar melalui koordinat
2. Cari panjang vektor dan darabkannya
3. Bahagikan hasil titik 1 dengan hasil titik 2

Mari berlatih dengan contoh:

1. Cari sudut antara kelopak mata dan. Beri jawapan dalam grad-du-sah.

2. Dalam keadaan masalah sebelumnya, cari kosinus antara vektor

Mari lakukan ini: Saya akan membantu anda menyelesaikan masalah pertama, dan cuba lakukan yang kedua sendiri! Setuju? Kemudian mari kita mulakan!

1. Vektor ini adalah kawan lama kita. Kami telah mengira hasil skalar mereka dan ia adalah sama. Koordinat mereka ialah: , . Kemudian kita dapati panjangnya:

Kemudian kita mencari kosinus antara vektor:

Apakah kosinus sudut itu? Ini adalah sudut.

Jawapan:

Nah, sekarang selesaikan masalah kedua sendiri, dan kemudian bandingkan! Saya hanya akan memberikan penyelesaian yang sangat singkat:

2. mempunyai koordinat, mempunyai koordinat.

Biarkan sudut antara vektor dan, kemudian

Jawapan:

Perlu diingatkan bahawa masalah secara langsung pada vektor dan kaedah koordinat dalam bahagian B kertas peperiksaan agak jarang. Walau bagaimanapun, sebahagian besar masalah C2 boleh diselesaikan dengan mudah dengan memperkenalkan sistem koordinat. Oleh itu, anda boleh mempertimbangkan artikel ini sebagai asas yang berdasarkannya kami akan membuat pembinaan yang agak bijak yang perlu kami selesaikan tugasan yang kompleks.

KOORDINAT DAN VEKTOR. TAHAP PURATA

Anda dan saya terus mengkaji kaedah koordinat. Pada bahagian terakhir kami memperoleh satu siri formula penting, yang membenarkan:

1. Cari koordinat vektor
2. Cari panjang vektor (sebagai alternatif: jarak antara dua titik)
3. Tambah dan tolak vektor. Darab dengan nombor nyata
4. Cari titik tengah segmen
5. Kira hasil darab titik bagi vektor
6. Cari sudut antara vektor

Sudah tentu, keseluruhan kaedah koordinat tidak sesuai dengan 6 mata ini. Ia mendasari sains seperti geometri analitik, yang akan anda kenali di universiti. Saya hanya mahu membina asas yang akan membolehkan anda menyelesaikan masalah dalam satu keadaan. peperiksaan. Kami telah menangani tugas bahagian B. Kini tiba masanya untuk beralih kepada kualiti tinggi tahap baru! Artikel ini akan ditumpukan kepada kaedah untuk menyelesaikan masalah C2 tersebut yang mana wajar untuk beralih kepada kaedah koordinat. Kewajaran ini ditentukan oleh apa yang diperlukan untuk ditemui dalam masalah dan angka yang diberikan. Jadi, saya akan menggunakan kaedah koordinat jika soalannya ialah:

1. Cari sudut antara dua satah
2. Cari sudut antara garis lurus dan satah
3. Cari sudut antara dua garis lurus
4. Cari jarak dari satu titik ke satah
5. Cari jarak dari satu titik ke garis
6. Cari jarak dari garis lurus ke satah
7. Cari jarak antara dua garisan

Jika angka yang diberikan dalam penyataan masalah ialah badan revolusi (bola, silinder, kon...)

Angka yang sesuai untuk kaedah koordinat ialah:

1. Parallelepiped segiempat tepat
2. Piramid (segi tiga, segi empat, heksagon)

Juga dari pengalaman saya adalah tidak sesuai untuk menggunakan kaedah koordinat untuk:

1. Mencari kawasan keratan rentas
2. Pengiraan isipadu badan

Walau bagaimanapun, ia harus segera diperhatikan bahawa tiga situasi "tidak menguntungkan" untuk kaedah koordinat agak jarang berlaku dalam amalan. Dalam kebanyakan tugas, ia boleh menjadi penyelamat anda, terutamanya jika anda tidak begitu mahir dalam pembinaan tiga dimensi (yang kadangkala boleh menjadi agak rumit).

Apakah semua angka yang saya senaraikan di atas? Mereka tidak lagi rata, seperti, sebagai contoh, persegi, segitiga, bulatan, tetapi besar! Sehubungan itu, kita perlu mempertimbangkan bukan sistem koordinat dua dimensi, tetapi sistem koordinat tiga dimensi. Ia agak mudah untuk dibina: hanya sebagai tambahan kepada paksi absis dan ordinat, kami akan memperkenalkan paksi lain, paksi terpakai. Angka tersebut secara skematik menunjukkan kedudukan relatifnya:

Kesemuanya adalah saling berserenjang dan bersilang pada satu titik, yang akan kita panggil asal koordinat. Seperti sebelum ini, kita akan menandakan paksi absis, paksi ordinat - , dan paksi gunaan yang diperkenalkan - .

Jika sebelum ini setiap titik pada satah dicirikan oleh dua nombor - absis dan ordinat, maka setiap titik dalam ruang sudah diterangkan oleh tiga nombor - abscissa, ordinat, dan applicate. Sebagai contoh:

Oleh itu, absis titik adalah sama, ordinat ialah , dan aplikasinya ialah .

Kadangkala absis titik juga dipanggil unjuran titik ke paksi absis, ordinat - unjuran titik ke paksi ordinat, dan aplikasi - unjuran titik ke paksi terpakai. Oleh itu, jika satu titik diberikan, maka satu titik dengan koordinat:

dipanggil unjuran titik ke atas satah

dipanggil unjuran titik ke atas satah

Persoalan semula jadi timbul: adakah semua formula yang diperolehi untuk kes dua dimensi sah di angkasa? Jawapannya ya, mereka adil dan mempunyai penampilan yang sama. Untuk butiran kecil. Saya rasa anda sudah meneka yang mana satu. Dalam semua formula kita perlu menambah satu lagi istilah yang bertanggungjawab untuk paksi terpakai. Iaitu.

1. Jika dua mata diberikan: , maka:

• Koordinat vektor:
• Jarak antara dua titik (atau panjang vektor)
• Titik tengah segmen mempunyai koordinat

2. Jika dua vektor diberikan: dan, maka:

• Hasil kali skalar mereka adalah sama dengan:
• Kosinus sudut antara vektor adalah sama dengan:

Walau bagaimanapun, ruang tidak begitu mudah. Seperti yang anda faham, menambah satu lagi koordinat memperkenalkan kepelbagaian yang ketara ke dalam spektrum angka "hidup" dalam ruang ini. Dan untuk penceritaan lanjut saya perlu memperkenalkan beberapa, secara kasarnya, "pengertian" garis lurus. "Generalisasi" ini akan menjadi pesawat. Apa yang anda tahu tentang kapal terbang? Cuba jawab soalan, apakah itu kapal terbang? Ia sangat sukar untuk dikatakan. Walau bagaimanapun, kita semua secara intuitif membayangkan rupanya:

Secara kasarnya, ini adalah sejenis "helaian" yang tidak berkesudahan yang tersangkut ke angkasa. "Infiniti" harus difahami bahawa pesawat itu memanjang ke semua arah, iaitu, luasnya adalah sama dengan infiniti. Walau bagaimanapun, penjelasan "hands-on" ini tidak memberikan sedikit pun idea tentang struktur pesawat. Dan dialah yang akan berminat dengan kita.

Mari kita ingat salah satu aksiom asas geometri:

• dalam dua pelbagai mata terdapat garis lurus pada satah, dan hanya satu:

Atau analognya di angkasa:

Sudah tentu, anda masih ingat bagaimana untuk mendapatkan persamaan garis dari dua titik yang diberikan sama sekali tidak sukar: jika titik pertama mempunyai koordinat: dan yang kedua, maka persamaan garis akan menjadi seperti berikut:

Anda mengambil ini kembali pada darjah 7. Dalam ruang, persamaan garis kelihatan seperti ini: mari kita diberi dua titik dengan koordinat: , maka persamaan garis yang melaluinya mempunyai bentuk:

Sebagai contoh, garisan melalui titik:

Bagaimana ini harus difahami? Ini harus difahami seperti berikut: titik terletak pada garis jika koordinatnya memenuhi sistem berikut:

Kami tidak akan sangat berminat dengan persamaan garis, tetapi kami perlu memberi perhatian kepada yang sangat konsep penting mengarah garis lurus vektor. - sebarang vektor bukan sifar yang terletak pada garis tertentu atau selari dengannya.

Sebagai contoh, kedua-dua vektor ialah vektor arah bagi garis lurus. Biarkan titik terletak pada garisan dan jadikan vektor arahnya. Kemudian persamaan garis boleh ditulis dalam bentuk berikut:

Sekali lagi, saya tidak akan begitu berminat dengan persamaan garis lurus, tetapi saya benar-benar memerlukan anda untuk mengingati apa itu vektor arah! sekali lagi: ini adalah SEBARANG vektor bukan sifar yang terletak pada garisan atau selari dengannya.

tarik diri persamaan satah berdasarkan tiga titik yang diberi tidak lagi begitu remeh, dan biasanya isu ini tidak ditangani dalam kursus sekolah Menengah. Tetapi sia-sia! Teknik ini penting apabila kita menggunakan kaedah koordinat untuk menyelesaikan masalah yang kompleks. Walau bagaimanapun, saya menganggap bahawa anda tidak sabar-sabar untuk mempelajari sesuatu yang baru? Selain itu, anda akan dapat menarik perhatian guru anda di universiti apabila ternyata anda sudah boleh menggunakan teknik yang biasanya dipelajari dalam kursus geometri analisis. Jadi mari kita mulakan.

Persamaan satah tidak terlalu berbeza dengan persamaan garis lurus pada satah, iaitu, ia mempunyai bentuk:

beberapa nombor (bukan semua sama dengan sifar), dan pembolehubah, contohnya: dsb. Seperti yang anda lihat, persamaan satah tidak jauh berbeza dengan persamaan garis lurus (fungsi linear). Walau bagaimanapun, ingat apa yang anda dan saya berhujah? Kami berkata bahawa jika kami mempunyai tiga titik yang tidak terletak pada garis yang sama, maka persamaan satah itu boleh dibina semula secara unik daripadanya. Tetapi bagaimana? Saya akan cuba menerangkannya kepada anda.

Oleh kerana persamaan satah ialah:

Dan mata adalah milik satah ini, maka apabila menggantikan koordinat setiap titik ke dalam persamaan satah kita harus mendapatkan identiti yang betul:

Oleh itu, terdapat keperluan untuk menyelesaikan tiga persamaan dengan yang tidak diketahui! Dilema! Walau bagaimanapun, anda sentiasa boleh menganggap bahawa (untuk melakukan ini anda perlu membahagikan dengan). Oleh itu, kita mendapat tiga persamaan dengan tiga tidak diketahui:

Walau bagaimanapun, kami tidak akan menyelesaikan sistem sedemikian, tetapi akan menulis ungkapan misteri yang berikut daripadanya:

Persamaan satah yang melalui tiga titik tertentu

\[\kiri| (\mulakan(tatasusunan)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(array)) \right| = 0\]

Berhenti! Apakah ini? Beberapa modul yang sangat luar biasa! Walau bagaimanapun, objek yang anda lihat di hadapan anda tiada kaitan dengan modul. Objek ini dipanggil penentu urutan ketiga. Mulai sekarang, apabila anda berurusan dengan kaedah koordinat pada satah, anda akan sering menghadapi penentu yang sama ini. Apakah penentu urutan ketiga? Peliknya, ia hanya nombor. Ia masih untuk memahami nombor tertentu yang akan kita bandingkan dengan penentu.

Mari mula-mula tulis penentu tertib ketiga dalam bentuk yang lebih umum:

Mana ada nombor. Selain itu, dengan indeks pertama kami maksudkan nombor baris, dan dengan indeks kami maksudkan nombor lajur. Contohnya, maksudnya begitu nombor yang diberi berdiri di persimpangan baris kedua dan lajur ketiga. Jom pakai soalan seterusnya: Bagaimana sebenarnya kita akan mengira penentu sedemikian? Iaitu, nombor tertentu yang akan kita bandingkan dengannya? Untuk penentu tertib ketiga terdapat peraturan segi tiga heuristik (visual), ia kelihatan seperti ini:

1. Hasil darab unsur-unsur pepenjuru utama (dari sudut kiri atas ke kanan bawah) hasil darab unsur-unsur yang membentuk segitiga pertama "berserenjang" dengan pepenjuru utama hasil darab unsur-unsur membentuk segitiga kedua "berserenjang" dengan pepenjuru utama
2. Hasil darab unsur-unsur pepenjuru sekunder (dari sudut kanan atas ke kiri bawah) hasil darab unsur-unsur yang membentuk segitiga pertama "berserenjang" dengan pepenjuru sekunder hasil darab unsur-unsur membentuk segitiga kedua "berserenjang" dengan pepenjuru sekunder
3. Maka penentu adalah sama dengan perbezaan antara nilai yang diperoleh pada langkah dan

Jika kita menulis semua ini dalam nombor, kita mendapat ungkapan berikut:

Walau bagaimanapun, anda tidak perlu mengingati kaedah pengiraan dalam bentuk ini; cukup untuk menyimpan segi tiga di kepala anda dan idea tentang apa yang ditambah kepada apa dan apa yang kemudiannya ditolak daripada apa).

Mari kita gambarkan kaedah segitiga dengan contoh:

1. Kira penentu:

Mari kita fikirkan apa yang kita tambah dan apa yang kita tolak:

Syarat yang disertakan dengan tambahan:

Ini adalah pepenjuru utama: hasil darab unsur adalah sama dengan

Segitiga pertama, "berserenjang dengan pepenjuru utama: hasil darab unsur adalah sama dengan

Segitiga kedua, "berserenjang dengan pepenjuru utama: hasil darab unsur adalah sama dengan

Tambahkan tiga nombor:

Terma yang disertakan dengan tolak

Ini ialah pepenjuru sisi: hasil darab unsur adalah sama dengan

Segitiga pertama, “berserenjang dengan pepenjuru sekunder: hasil darab unsur adalah sama dengan

Segitiga kedua, “berserenjang dengan pepenjuru sekunder: hasil darab unsur adalah sama dengan

Tambahkan tiga nombor:

Apa yang perlu dilakukan ialah menolak jumlah sebutan "tambah" daripada jumlah sebutan "tolak":

Oleh itu,

Seperti yang anda lihat, tidak ada yang rumit atau ghaib dalam mengira penentu peringkat ketiga. Ia hanya penting untuk mengingati tentang segi tiga dan tidak membenarkan kesilapan aritmetik. Sekarang cuba kira sendiri:

Kami menyemak:

1. Segitiga pertama berserenjang dengan pepenjuru utama:
2. Segitiga kedua berserenjang dengan pepenjuru utama:
3. Jumlah istilah dengan tambah:
4. Segitiga pertama berserenjang dengan pepenjuru sekunder:
5. Segitiga kedua berserenjang dengan pepenjuru sisi:
6. Jumlah istilah dengan tolak:
7. Jumlah istilah dengan tambah tolak jumlah istilah dengan tolak:

Berikut adalah beberapa lagi penentu, hitung nilainya sendiri dan bandingkan dengan jawapan:

Jawapan:

Nah, adakah semuanya bertepatan? Hebat, maka anda boleh teruskan! Sekiranya terdapat kesukaran, maka nasihat saya ialah: di Internet terdapat banyak program untuk mengira penentu dalam talian. Apa yang anda perlukan adalah untuk menghasilkan penentu anda sendiri, mengira sendiri, dan kemudian membandingkannya dengan apa yang dikira oleh program. Dan seterusnya sehingga keputusan mula bertepatan. Saya pasti saat ini tidak akan mengambil masa yang lama untuk tiba!

Sekarang mari kita kembali kepada penentu yang saya tulis apabila saya bercakap tentang persamaan satah yang melalui tiga mata yang diberikan:

Apa yang anda perlukan ialah mengira nilainya secara langsung (menggunakan kaedah segi tiga) dan tetapkan hasilnya kepada sifar. Sememangnya, kerana ini adalah pembolehubah, anda akan mendapat beberapa ungkapan yang bergantung padanya. Ungkapan inilah yang akan menjadi persamaan satah yang melalui tiga titik tertentu yang tidak terletak pada garis lurus yang sama!

Mari kita ilustrasikan ini dengan contoh mudah:

1. Bina persamaan satah yang melalui titik

Kami menyusun penentu untuk tiga perkara ini:

Mari mudahkan:

Sekarang kita mengiranya secara langsung menggunakan peraturan segitiga:

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ kanan|. = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Oleh itu, persamaan satah yang melalui titik ialah:

Sekarang cuba selesaikan satu masalah sendiri, dan kemudian kami akan membincangkannya:

2. Cari persamaan satah yang melalui titik-titik itu

Nah, mari kita bincangkan penyelesaiannya:

Mari buat penentu:

Dan hitung nilainya:

Kemudian persamaan satah mempunyai bentuk:

Atau, mengurangkan dengan, kita mendapat:

Sekarang dua tugas untuk mengawal diri:

1. Bina persamaan satah yang melalui tiga titik:

Jawapan:

Adakah semuanya bertepatan? Sekali lagi, jika terdapat kesulitan tertentu, maka nasihat saya adalah ini: ambil tiga mata dari kepala anda (dengan sebahagian besarnya kemungkinan besar mereka tidak akan terletak pada garis lurus yang sama), anda membina satah berdasarkan mereka. Dan kemudian anda menyemak diri anda dalam talian. Sebagai contoh, di tapak:

Walau bagaimanapun, dengan bantuan penentu kita akan membina bukan sahaja persamaan satah. Ingat, saya memberitahu anda bahawa bukan sahaja produk titik ditakrifkan untuk vektor. Terdapat juga produk vektor, serta produk campuran. Dan jika hasil darab skalar dua vektor ialah nombor, maka hasil darab vektor dua vektor akan menjadi vektor, dan vektor ini akan berserenjang dengan yang diberikan:

Selain itu, modulnya akan menjadi sama dengan luas segi empat selari dibina pada vektor dan. vektor ini Kami memerlukannya untuk mengira jarak dari titik ke garis. Bagaimanakah kita boleh mengira hasil vektor vektor dan, jika koordinatnya diberikan? Penentu urutan ketiga datang untuk membantu kami sekali lagi. Walau bagaimanapun, sebelum saya beralih kepada algoritma untuk mengira produk vektor, saya perlu membuat penyimpangan kecil.

Penyimpangan ini melibatkan vektor asas.

Mereka ditunjukkan secara skematik dalam rajah:

Mengapa anda fikir ia dipanggil asas? Hakikatnya ialah:

Atau dalam gambar:

Kesahihan formula ini adalah jelas, kerana:

Karya seni vektor

Sekarang saya boleh mula memperkenalkan produk silang:

Produk vektor dua vektor ialah vektor, yang dikira mengikut peraturan berikut:

Sekarang mari kita berikan beberapa contoh pengiraan hasil silang:

Contoh 1: Cari hasil silang vektor:

Penyelesaian: Saya membentuk penentu:

Dan saya mengiranya:

Sekarang daripada menulis melalui vektor asas, saya akan kembali kepada notasi vektor biasa:

Oleh itu:

Sekarang cubalah.

sedia? Kami menyemak:

Dan secara tradisinya dua tugas untuk mengawal:

1. Cari hasil darab vektor bagi vektor berikut:
2. Cari hasil darab vektor bagi vektor berikut:

Jawapan:

Hasil campuran tiga vektor

Pembinaan terakhir yang saya perlukan ialah hasil campuran tiga vektor. Ia, seperti skalar, ialah nombor. Terdapat dua cara untuk mengiranya. - melalui penentu, - melalui hasil campuran.

Iaitu, mari kita diberikan tiga vektor:

Kemudian hasil campuran tiga vektor, yang dilambangkan dengan, boleh dikira sebagai:

1. - iaitu hasil darab campuran ialah hasil darab skalar bagi vektor dan hasil darab vektor dua vektor lain

Sebagai contoh, hasil campuran tiga vektor ialah:

Cuba kira sendiri menggunakan produk vektor dan pastikan hasilnya sepadan!

Dan sekali lagi, dua contoh untuk penyelesaian bebas:

Jawapan:

Memilih sistem koordinat

Nah, kini kita mempunyai semua asas pengetahuan yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah geometri stereometrik yang kompleks. Walau bagaimanapun, sebelum meneruskan terus kepada contoh dan algoritma untuk menyelesaikannya, saya percaya bahawa adalah berguna untuk memikirkan soalan berikut: bagaimana sebenarnya pilih sistem koordinat untuk angka tertentu. Lagipun, ia adalah pilihan kedudukan relatif sistem koordinat dan bentuk dalam ruang akhirnya akan menentukan betapa rumitnya pengiraan.

Izinkan saya mengingatkan anda bahawa dalam bahagian ini kami mempertimbangkan angka berikut:

1. Parallelepiped segiempat tepat
2. Prisma lurus (segi tiga, heksagon...)
3. Piramid (segi tiga, segi empat)
4. Tetrahedron (sama seperti piramid segi tiga)

Untuk selari atau kubus segi empat tepat, saya cadangkan kepada anda pembinaan berikut:

Iaitu, saya akan meletakkan angka itu "di sudut". Kubus dan parallelepiped sangat angka yang baik. Bagi mereka, anda sentiasa boleh mencari koordinat bucunya dengan mudah. Sebagai contoh, jika (seperti yang ditunjukkan dalam rajah)

maka koordinat bucu adalah seperti berikut:

Sudah tentu, anda tidak perlu mengingati ini, tetapi ingat cara terbaik untuk meletakkan kiub atau kuboid- diingini.

Prisma lurus

Prisma adalah angka yang lebih berbahaya. Ia boleh diletakkan di angkasa dengan cara yang berbeza. Walau bagaimanapun, pilihan berikut nampaknya paling boleh diterima oleh saya:

Prisma segi tiga:

Iaitu, kita meletakkan salah satu sisi segitiga sepenuhnya pada paksi, dan salah satu bucu bertepatan dengan asal koordinat.

Prisma heksagon:

Iaitu, salah satu bucu bertepatan dengan asal, dan salah satu sisi terletak pada paksi.

Piramid segi empat dan heksagon:

Keadaannya serupa dengan kubus: kita menjajarkan dua sisi tapak dengan paksi koordinat, dan menjajarkan salah satu bucu dengan asal koordinat. Satu-satunya kesukaran adalah untuk mengira koordinat titik.

Untuk piramid heksagon - sama seperti untuk prisma heksagon. Tugas utama sekali lagi adalah untuk mencari koordinat puncak.

Tetrahedron (piramid segi tiga)

Keadaannya sangat serupa dengan yang saya berikan untuk prisma segi tiga: satu bucu bertepatan dengan asal, satu sisi terletak pada paksi koordinat.

Nah, kini anda dan saya akhirnya hampir mula menyelesaikan masalah. Daripada apa yang saya katakan pada awal artikel, anda boleh membuat kesimpulan berikut: kebanyakan masalah C2 dibahagikan kepada 2 kategori: masalah sudut dan masalah jarak. Pertama, kita akan melihat masalah mencari sudut. Mereka pula dibahagikan kepada kategori berikut (apabila ia meningkat dalam kerumitan):

Masalah untuk mencari sudut

1. Mencari sudut antara dua garis lurus
2. Mencari sudut antara dua satah

Mari kita lihat masalah ini secara berurutan: mari kita mulakan dengan mencari sudut antara dua garis lurus. Nah, ingat, bukankah anda dan saya membuat keputusan? contoh yang serupa lebih awal? Adakah anda ingat, kami sudah mempunyai sesuatu yang serupa... Kami sedang mencari sudut antara dua vektor. Biar saya ingatkan anda, jika dua vektor diberikan: dan, maka sudut di antara mereka didapati daripada hubungan:

Sekarang matlamat kami adalah untuk mencari sudut antara dua garis lurus. Mari lihat "gambar rata":

Berapakah bilangan sudut yang kita perolehi apabila dua garis lurus bersilang? Hanya beberapa perkara. Benar, hanya dua daripada mereka tidak sama, manakala yang lain menegak kepada mereka (dan oleh itu bertepatan dengan mereka). Jadi sudut mana yang harus kita pertimbangkan sudut antara dua garis lurus: atau? Berikut peraturannya: sudut antara dua garis lurus sentiasa tidak lebih daripada darjah. Maksudnya, dari dua sudut kita akan sentiasa memilih sudut yang paling kecil ukuran darjah. Iaitu, dalam gambar ini sudut antara dua garis lurus adalah sama. Untuk tidak mengganggu setiap kali mencari sudut terkecil daripada dua sudut, ahli matematik yang licik mencadangkan menggunakan modulus. Oleh itu, sudut antara dua garis lurus ditentukan oleh formula:

Anda, sebagai pembaca yang penuh perhatian, sepatutnya mempunyai soalan: di manakah, sebenarnya, kita mendapat nombor ini yang kita perlukan untuk mengira kosinus sudut? Jawapan: kami akan mengambilnya dari vektor arah garisan! Oleh itu, algoritma untuk mencari sudut antara dua garis lurus adalah seperti berikut:

1. Kami menggunakan formula 1.

Atau lebih terperinci:

1. Kami sedang mencari koordinat vektor arah bagi garis lurus pertama
2. Kami sedang mencari koordinat vektor arah garis lurus kedua
3. Kami mengira modulus hasil skalar mereka
4. Kami sedang mencari panjang vektor pertama
5. Kami sedang mencari panjang vektor kedua
6. Darabkan keputusan mata 4 dengan keputusan mata 5
7. Kami membahagikan hasil titik 3 dengan hasil titik 6. Kami mendapat kosinus sudut antara garis
8. Jika keputusan ini membolehkan anda mengira sudut dengan tepat, mencarinya
9. Jika tidak, kita menulis melalui kosinus arka

Nah, kini tiba masanya untuk beralih kepada masalah: Saya akan menunjukkan penyelesaian kepada dua yang pertama secara terperinci, saya akan membentangkan penyelesaian kepada yang lain dalam secara ringkas, dan untuk dua masalah terakhir saya hanya akan memberikan jawapan; anda mesti menjalankan semua pengiraan untuk mereka sendiri.

Tugasan:

1. Dalam tet-ra-ed-re kanan, cari sudut antara ketinggian tet-ra-ed-ra dan sisi tengah.

2. Dalam pi-ra-mi-de penjuru kanan, ratus os-no-va-niyas adalah sama, dan tepi sisi adalah sama, cari sudut antara garis dan.

3. Panjang semua tepi pi-ra-mi-dy empat arang kanan adalah sama antara satu sama lain. Cari sudut antara garis lurus dan jika dari potongan - anda dengan pi-ra-mi-dy yang diberikan, titiknya adalah se-re-di-pada rusuk kedua bo-co-nya

4. Di tepi kubus terdapat satu titik supaya Cari sudut antara garis lurus dan

5. Titik - pada tepi kubus Cari sudut antara garis lurus dan.

Bukan kebetulan saya menyusun tugas dalam susunan ini. Walaupun anda masih belum mula menavigasi kaedah koordinat, saya akan menganalisis sendiri angka yang paling "bermasalah", dan saya akan membiarkan anda berurusan dengan kiub paling mudah! Secara beransur-ansur anda perlu belajar bagaimana untuk bekerja dengan semua angka; Saya akan meningkatkan kerumitan tugas dari topik ke topik.

Mari kita mula menyelesaikan masalah:

1. Lukiskan tetrahedron, letak dalam sistem koordinat seperti yang saya cadangkan tadi. Oleh kerana tetrahedron adalah sekata, semua mukanya (termasuk tapaknya) adalah segi tiga sekata. Oleh kerana kita tidak diberi panjang sisi, saya boleh menganggapnya sama. Saya fikir anda faham bahawa sudut sebenarnya tidak akan bergantung pada berapa banyak tetrahedron kita "diregangkan"?. Saya juga akan melukis ketinggian dan median dalam tetrahedron. Di sepanjang jalan, saya akan melukis pangkalannya (ia juga berguna kepada kita).

Saya perlu mencari sudut antara dan. Apa yang kita tahu? Kita hanya tahu koordinat titik. Ini bermakna kita perlu mencari koordinat titik. Sekarang kita fikir: titik ialah titik persilangan ketinggian (atau pembahagi dua atau median) segi tiga. Dan satu titik adalah titik yang dibangkitkan. Intinya ialah bahagian tengah segmen. Kemudian kita akhirnya perlu mencari: koordinat titik: .

Mari kita mulakan dengan perkara yang paling mudah: koordinat titik. Lihat rajah: Jelas bahawa penggunaan titik adalah sama dengan sifar (titik itu terletak pada satah). Ordinasinya adalah sama (kerana ia adalah median). Lebih sukar untuk mencari absisnya. Walau bagaimanapun, ini mudah dilakukan berdasarkan teorem Pythagoras: Pertimbangkan segitiga. Hipotenusnya adalah sama, dan salah satu kakinya adalah sama Kemudian:

Akhirnya kami ada: .

Sekarang mari kita cari koordinat titik tersebut. Adalah jelas bahawa penggunaannya sekali lagi sama dengan sifar, dan ordinatnya adalah sama dengan titik, iaitu. Mari cari absisnya. Ini dilakukan agak remeh jika anda ingat itu ketinggian segi tiga sama sisi titik persilangan dibahagikan mengikut bahagian, mengira dari atas. Oleh kerana: , maka absis yang diperlukan bagi titik itu ialah sama panjang segmen adalah sama dengan: . Oleh itu, koordinat titik adalah:

Mari cari koordinat titik tersebut. Jelaslah bahawa absis dan ordinatnya bertepatan dengan absis dan ordinat titik. Dan pemohon adalah sama dengan panjang segmen. - ini adalah salah satu kaki segitiga. Hipotenus segitiga ialah segmen - kaki. Ia dicari atas sebab-sebab yang telah saya serlahkan dalam huruf tebal:

Intinya ialah bahagian tengah segmen. Kemudian kita perlu mengingati formula untuk koordinat titik tengah segmen:

Itu sahaja, sekarang kita boleh mencari koordinat vektor arah:

Nah, semuanya sudah sedia: kami menggantikan semua data ke dalam formula:

Oleh itu,

Jawapan:

Anda tidak sepatutnya takut dengan jawapan "menakutkan" sedemikian: untuk masalah C2 ini adalah amalan biasa. Saya lebih suka terkejut dengan jawapan "cantik" di bahagian ini. Juga, seperti yang anda perhatikan, saya boleh dikatakan tidak menggunakan apa-apa selain teorem Pythagoras dan sifat ketinggian segi tiga sama sisi. Iaitu, untuk menyelesaikan masalah stereometrik, saya menggunakan stereometri yang paling minimum. Keuntungan dalam ini sebahagiannya "dipadamkan" oleh pengiraan yang agak rumit. Tetapi mereka agak algoritma!

2. Mari kita gambarkan piramid heksagon biasa bersama sistem koordinat, serta tapaknya:

Kita perlu mencari sudut antara garisan dan. Oleh itu, tugas kami turun untuk mencari koordinat titik: . Kami akan mencari koordinat tiga terakhir menggunakan lukisan kecil, dan kami akan mencari koordinat bucu melalui koordinat titik. Terdapat banyak kerja yang perlu dilakukan, tetapi kita perlu bermula!

a) Koordinat: jelas bahawa aplikasi dan koordinatnya adalah sama dengan sifar. Mari cari abscissa. Untuk melakukan ini, pertimbangkan segi tiga tepat. Malangnya, di dalamnya kita hanya tahu hipotenus, yang sama. Kami akan cuba mencari kaki (kerana jelas bahawa dua kali ganda panjang kaki akan memberi kita absis titik). Bagaimana kita boleh mencarinya? Mari kita ingat apakah jenis angka yang kita ada di dasar piramid? Ini adalah heksagon biasa. Apakah maksudnya? Ini bermakna semua sisi dan semua sudut adalah sama. Kita perlu mencari satu sudut sedemikian. Ada idea? Terdapat banyak idea, tetapi ada formula:

Jumlah sudut n-gon biasa sama dengan .

Oleh itu, jumlah sudut bagi heksagon sekata adalah sama dengan darjah. Maka setiap sudut adalah sama dengan:

Jom tengok gambar semula. Jelas bahawa ruas adalah pembahagi dua sudut. Kemudian sudut sama dengan darjah. Kemudian:

Kemudian dari mana.

Oleh itu, mempunyai koordinat

b) Sekarang kita boleh mencari koordinat titik dengan mudah: .

c) Cari koordinat titik itu. Oleh kerana abscissanya bertepatan dengan panjang segmen, ia adalah sama. Mencari ordinat juga tidak begitu sukar: jika kita menyambungkan titik-titik dan menetapkan titik persilangan garis sebagai, katakan, . (buat sendiri pembinaan mudah). Maka Oleh itu, ordinat bagi titik B adalah sama dengan jumlah panjang segmen. Mari kita lihat segitiga sekali lagi. Kemudian

Kemudian sejak Kemudian titik mempunyai koordinat

d) Sekarang mari kita cari koordinat titik tersebut. Pertimbangkan segi empat tepat dan buktikan bahawa Oleh itu, koordinat titik ialah:

e) Ia kekal untuk mencari koordinat bucu. Jelaslah bahawa absis dan ordinatnya bertepatan dengan absis dan ordinat titik. Jom cari applica. Sejak itu. Pertimbangkan segi tiga tepat. Mengikut keadaan masalah rusuk sebelah. Ini adalah hipotenus segi tiga saya. Kemudian ketinggian piramid adalah kaki.

Kemudian titik mempunyai koordinat:

Nah, itu sahaja, saya mempunyai koordinat semua titik yang menarik minat saya. Saya sedang mencari koordinat vektor arah garis lurus:

Kami sedang mencari sudut antara vektor ini:

Jawapan:

Sekali lagi, dalam menyelesaikan masalah ini saya tidak menggunakan sebarang teknik yang canggih selain daripada formula untuk jumlah sudut n-gon sekata, serta definisi kosinus dan sinus bagi segi tiga tepat.

3. Oleh kerana kita sekali lagi tidak diberikan panjang tepi dalam piramid, saya akan mengiranya sama dengan satu. Oleh itu, oleh kerana SEMUA tepi, dan bukan hanya tepi, adalah sama antara satu sama lain, maka di dasar piramid dan saya terdapat segi empat sama, dan muka sebelah- segi tiga sekata. Mari kita lukis piramid seperti itu, serta pangkalannya pada satah, perhatikan semua data yang diberikan dalam teks masalah:

Kami sedang mencari sudut antara dan. Saya akan membuat pengiraan yang sangat ringkas apabila saya mencari koordinat titik. Anda perlu "menghurai" mereka:

b) - bahagian tengah segmen. Koordinatnya:

c) Saya akan mencari panjang segmen menggunakan teorem Pythagoras dalam segi tiga. Saya boleh menemuinya menggunakan teorem Pythagoras dalam segi tiga.

Koordinat:

d) - bahagian tengah segmen. Koordinatnya ialah

e) Koordinat vektor

f) Koordinat vektor

g) Mencari sudut:

Kiub - angka paling ringkas. Saya pasti anda akan memikirkannya sendiri. Jawapan kepada masalah 4 dan 5 adalah seperti berikut:

Mencari sudut antara garis lurus dan satah

Nah, masa untuk teka-teki mudah sudah tamat! Sekarang contoh akan menjadi lebih rumit. Untuk mencari sudut antara garis lurus dan satah, kita akan meneruskan seperti berikut:

1. Dengan menggunakan tiga titik kita membina persamaan satah
   ,
   menggunakan penentu urutan ketiga.
2. Dengan menggunakan dua titik, kami mencari koordinat vektor arah garis lurus:
3. Kami menggunakan formula untuk mengira sudut antara garis lurus dan satah:

Seperti yang anda lihat, formula ini sangat serupa dengan formula yang kami gunakan untuk mencari sudut antara dua garis lurus. Struktur di sebelah kanan adalah sama, dan di sebelah kiri kita kini mencari sinus, bukan kosinus seperti sebelumnya. Nah, satu tindakan jahat telah ditambah - mencari persamaan pesawat.

Jangan kita berlengah-lengah contoh penyelesaian:

1. Prisma langsung utama-tetapi-va-ni-em-kita adalah sama-dengan-nama-nama-nama-segitiga-miskin anda-dan-prisma-kita adalah sama. Cari sudut antara garis lurus dan satah

2. Dalam par-ral-le-le-pi-pe-de segi empat tepat dari Barat Cari sudut antara garis lurus dan satah

3. Dalam prisma enam penjuru kanan, semua tepi adalah sama. Cari sudut antara garis lurus dan satah.

4. Dalam pi-ra-mi-de segi tiga kanan dengan os-no-va-ni-em rusuk yang diketahui Cari sudut, ob-ra-zo-van -rata di pangkal dan lurus, melalui kelabu rusuk dan

5. Panjang semua tepi bagi segi empat tepat pi-ra-mi-dy dengan bucu adalah sama antara satu sama lain. Cari sudut antara garis lurus dan satah jika titik itu berada di tengah-tengah tepi pi-ra-mi-dy.

Sekali lagi, saya akan menyelesaikan dua masalah pertama secara terperinci, yang ketiga secara ringkas, dan meninggalkan dua yang terakhir untuk anda selesaikan sendiri. Selain itu, anda sudah pun terpaksa berurusan dengan segi tiga dan piramid segi empat, tetapi dengan prisma - belum lagi.

Penyelesaian:

1. Mari kita gambarkan prisma, serta tapaknya. Mari kita gabungkan dengan sistem koordinat dan perhatikan semua data yang diberikan dalam pernyataan masalah:

Saya memohon maaf atas beberapa ketidakpatuhan terhadap perkadaran, tetapi untuk menyelesaikan masalah ini, sebenarnya, ini tidak begitu penting. Pesawat itu hanyalah "dinding belakang" prisma saya. Adalah cukup untuk meneka bahawa persamaan satah sedemikian mempunyai bentuk:

Walau bagaimanapun, ini boleh ditunjukkan secara langsung:

Mari kita pilih sewenang-wenangnya tiga mata pada satah ini: sebagai contoh, .

Mari kita buat persamaan satah:

Latihan untuk anda: hitung sendiri penentu ini. Adakah anda berjaya? Kemudian persamaan satah itu kelihatan seperti:

Atau ringkasnya

Oleh itu,

Untuk menyelesaikan contoh, saya perlu mencari koordinat vektor arah garis lurus. Oleh kerana titik itu bertepatan dengan asal koordinat, koordinat vektor hanya akan bertepatan dengan koordinat titik Untuk melakukan ini, kita mula-mula mencari koordinat titik.

Untuk melakukan ini, pertimbangkan segitiga. Mari kita lukis ketinggian (juga dikenali sebagai median dan pembahagi dua) daripada bucu. Oleh kerana, ordinat titik adalah sama dengan. Untuk mencari absis titik ini, kita perlu mengira panjang segmen. Menurut teorem Pythagoras kita mempunyai:

Kemudian titik mempunyai koordinat:

Titik ialah titik "dibangkitkan":

Kemudian koordinat vektor adalah:

Jawapan:

Seperti yang anda lihat, tidak ada yang sukar pada asasnya apabila menyelesaikan masalah sedemikian. Malah, prosesnya dipermudahkan sedikit lagi dengan "kelurusan" rajah seperti prisma. Sekarang mari kita beralih kepada contoh seterusnya:

2. Lukis saluran selari, lukis satah dan garis lurus di dalamnya, dan juga lukis tapak bawahnya secara berasingan:

Pertama, kita dapati persamaan satah: Koordinat bagi tiga titik yang terletak di dalamnya:

(dua koordinat pertama diperoleh dengan cara yang jelas, dan koordinat terakhir anda boleh mencarinya dengan mudah dari gambar dari titik). Kemudian kita susun persamaan satah:

Kami mengira:

Kami sedang mencari koordinat vektor pemandu: Jelas bahawa koordinatnya bertepatan dengan koordinat titik, bukan? Bagaimana untuk mencari koordinat? Ini ialah koordinat titik, dinaikkan di sepanjang paksi terpakai oleh satu! . Kemudian kita cari sudut yang dikehendaki:

Jawapan:

3. Lukis piramid heksagon sekata, dan kemudian lukis satah dan garis lurus di dalamnya.

Di sini ia juga bermasalah untuk melukis pesawat, apatah lagi menyelesaikan masalah ini, tetapi kaedah koordinat tidak peduli! Serbagunanya adalah kelebihan utamanya!

Pesawat itu melalui tiga titik: . Kami sedang mencari koordinat mereka:

1) . Ketahui sendiri koordinat untuk dua mata terakhir. Anda perlu menyelesaikan masalah piramid heksagon untuk ini!

2) Kami membina persamaan satah:

Kami sedang mencari koordinat vektor: . (Lihat masalah piramid segi tiga sekali lagi!)

3) Mencari sudut:

Jawapan:

Seperti yang anda lihat, tidak ada yang sukar secara ghaib dalam tugas-tugas ini. Anda hanya perlu berhati-hati dengan akarnya. Saya hanya akan memberikan jawapan kepada dua masalah terakhir:

Seperti yang anda lihat, teknik untuk menyelesaikan masalah adalah sama di mana-mana: tugas utama ialah mencari koordinat bucu dan menggantikannya ke dalam formula tertentu. Kami masih perlu mempertimbangkan satu lagi kelas masalah untuk mengira sudut, iaitu:

Mengira sudut antara dua satah

Algoritma penyelesaian adalah seperti berikut:

1. Dengan menggunakan tiga titik kita mencari persamaan satah pertama:
2. Dengan menggunakan tiga titik lain kita mencari persamaan satah kedua:
3. Kami menggunakan formula:

Seperti yang anda lihat, formulanya sangat serupa dengan dua yang sebelumnya, dengan bantuannya kami mencari sudut antara garis lurus dan antara garis lurus dan satah. Jadi tidak sukar untuk anda mengingati yang ini. Mari kita beralih kepada analisis tugas:

1. Sisi tapak prisma segi tiga tepat adalah sama, dan dia-go-nal muka sisi adalah sama. Cari sudut antara satah dan satah paksi prisma itu.

2. Dalam pi-ra-mi-de empat penjuru kanan, semua tepinya adalah sama, cari sinus sudut antara satah dan tulang satah, melalui titik per-pen-di-ku- lyar-tapi lurus.

3. Dalam prisma empat penjuru biasa, sisi tapak adalah sama, dan tepi sisi adalah sama. Terdapat satu titik di tepi daripada-saya-che-on supaya. Cari sudut antara satah dan

4. Dalam prisma segi empat tepat, sisi tapak adalah sama, dan tepi sisi adalah sama. Terdapat titik di tepi dari titik supaya Cari sudut antara satah dan.

5. Dalam kubus, cari ko-si-nus sudut antara satah dan

Penyelesaian masalah:

1. Saya melukis prisma segi tiga sekata (segi tiga sama sisi di tapak) dan menandakan padanya satah yang muncul dalam pernyataan masalah:

Kita perlu mencari persamaan dua satah: Persamaan asas adalah remeh: anda boleh menyusun penentu yang sepadan menggunakan tiga titik, tetapi saya akan menyusun persamaan dengan segera:

Sekarang mari kita cari persamaan Titik mempunyai koordinat Titik - Oleh kerana ialah median dan ketinggian segi tiga, ia mudah ditemui menggunakan teorem Pythagoras dalam segi tiga. Kemudian titik mempunyai koordinat: Mari kita cari aplikasi titik Untuk melakukan ini, pertimbangkan segi tiga tepat

Kemudian kita mendapat koordinat berikut: Kami menyusun persamaan satah itu.

Kami mengira sudut antara satah:

Jawapan:

2. Membuat lukisan:

Perkara yang paling sukar adalah untuk memahami apakah pesawat misteri ini, melepasi titik secara tegak lurus. Nah, perkara utama ialah, apakah itu? Perkara utama ialah perhatian! Malah, garis itu berserenjang. Garis lurus juga berserenjang. Kemudian satah yang melalui kedua-dua garis ini akan berserenjang dengan garis, dan, dengan cara itu, melalui titik itu. Pesawat ini juga melalui bahagian atas piramid. Kemudian kapal terbang yang dikehendaki - Dan kapal terbang itu telah pun diberikan kepada kami. Kami sedang mencari koordinat titik.

Kami mencari koordinat titik melalui titik. Dari gambar kecil, mudah untuk membuat kesimpulan bahawa koordinat titik adalah seperti berikut: Apakah yang masih perlu dicari sekarang untuk mencari koordinat bahagian atas piramid? Anda juga perlu mengira ketinggiannya. Ini dilakukan dengan menggunakan teorem Pythagoras yang sama: pertama buktikan bahawa (sedikit daripada segi tiga kecil membentuk segi empat sama di tapak). Oleh kerana dengan syarat, kami mempunyai:

Sekarang semuanya sudah sedia: koordinat puncak:

Kami menyusun persamaan satah:

Anda sudah pakar dalam mengira penentu. Tanpa kesukaran anda akan menerima:

Atau sebaliknya (jika kita darab kedua-dua belah dengan punca dua)

Sekarang mari kita cari persamaan satah itu:

(Anda tidak lupa bagaimana kita mendapat persamaan satah, kan? Jika anda tidak faham dari mana tolak satu ini datang, maka kembali kepada definisi persamaan satah! Ia selalu berlaku sebelum itu kapal terbang saya milik asal koordinat!)

Kami mengira penentu:

(Anda mungkin perasan bahawa persamaan satah bertepatan dengan persamaan garis yang melalui titik dan! Fikirkan mengapa!)

Sekarang mari kita hitung sudut:

Kita perlu mencari sinus:

Jawapan:

3. Soalan rumit: apakah itu? prisma segi empat tepat, Bagaimana anda berfikir? Ini hanyalah parallelepiped yang anda tahu dengan baik! Mari buat lukisan dengan segera! Anda tidak perlu menggambarkan pangkalan secara berasingan; ia tidak berguna di sini:

Satah, seperti yang kita nyatakan sebelum ini, ditulis dalam bentuk persamaan:

Sekarang mari kita cipta kapal terbang

Kami segera mencipta persamaan satah:

Mencari sudut:

Sekarang jawapan kepada dua masalah terakhir:

Nah, sekarang adalah masa untuk berehat sebentar, kerana anda dan saya hebat dan telah melakukan kerja yang hebat!

Koordinat dan vektor. Tahap maju

Dalam artikel ini kami akan membincangkan dengan anda satu lagi kelas masalah yang boleh diselesaikan menggunakan kaedah koordinat: masalah pengiraan jarak. Iaitu, kami akan mempertimbangkan kes berikut:

1. Pengiraan jarak antara garis bersilang.

Saya telah memesan tugasan ini mengikut urutan kesukaran yang semakin meningkat. Ia ternyata paling mudah dicari jarak dari titik ke satah, dan perkara yang paling sukar ialah mencari jarak antara garisan lintasan. Walaupun, sudah tentu, tiada yang mustahil! Jangan berlengah-lengah dan segera mempertimbangkan masalah kelas pertama:

Mengira jarak dari satu titik ke satah

Apa yang kita perlukan untuk menyelesaikan masalah ini?

1. Koordinat titik

Oleh itu, sebaik sahaja kami menerima semua data yang diperlukan, kami menggunakan formula:

Anda sepatutnya sudah tahu bagaimana kami membina persamaan satah dari tugasan sebelumnya, yang saya bincangkan di bahagian terakhir. Mari kita terus kepada tugasan. Skimnya adalah seperti berikut: 1, 2 - Saya membantu anda membuat keputusan, dan secara terperinci, 3, 4 - hanya jawapannya, anda menjalankan penyelesaian itu sendiri dan bandingkan. Mari mulakan!

Tugasan:

1. Diberi kubus. Panjang tepi kubus adalah sama. Cari jarak dari se-re-di-na dari potongan ke satah

2. Diberi pi-ra-mi-ya empat arang yang betul, sisi sisi adalah sama dengan tapak. Cari jarak dari titik ke satah di mana - se-re-di-di tepi.

3. Dalam pi-ra-mi-de segi tiga kanan dengan os-no-va-ni-em, tepi sisi adalah sama, dan ratus-ro-pada os-no-vania adalah sama. Cari jarak dari atas ke kapal terbang.

4. Dalam prisma heksagon tegak, semua tepi adalah sama. Cari jarak dari satu titik ke satah.

Penyelesaian:

1. Lukis kubus dengan tepi tunggal, bina segmen dan satah, nyatakan tengah segmen dengan huruf

.

Mula-mula, mari kita mulakan dengan yang mudah: cari koordinat titik itu. Sejak itu (ingat koordinat tengah segmen!)

Sekarang kita menyusun persamaan satah menggunakan tiga titik

\[\kiri| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \kanan| = 0\]

Sekarang saya boleh mula mencari jarak:

2. Kami mulakan semula dengan lukisan di mana kami menandakan semua data!

Untuk piramid, adalah berguna untuk melukis asasnya secara berasingan.

Malah hakikat bahawa saya melukis seperti ayam dengan kakinya tidak akan menghalang kita daripada menyelesaikan masalah ini dengan mudah!

Kini mudah untuk mencari koordinat sesuatu titik

Oleh kerana koordinat titik, maka

2. Oleh kerana koordinat titik a ialah tengah segmen, maka

Tanpa sebarang masalah, kita boleh mencari koordinat dua lagi titik pada satah Kami mencipta persamaan untuk satah dan memudahkannya:

\[\kiri| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \kanan|) \kanan| = 0\]

Oleh kerana titik mempunyai koordinat: , kami mengira jarak:

Jawapan (sangat jarang!):

Nah, adakah anda memahaminya? Nampaknya segala-galanya di sini adalah sama teknikal seperti dalam contoh yang kita lihat di bahagian sebelumnya. Jadi saya yakin jika anda telah menguasai bahan tersebut, maka tidak sukar untuk anda menyelesaikan dua masalah yang tinggal. Saya hanya akan memberi anda jawapan:

Mengira jarak dari garis lurus ke satah

Sebenarnya, tiada apa yang baru di sini. Bagaimanakah garis lurus dan satah boleh diletakkan secara relatif antara satu sama lain? Mereka hanya mempunyai satu kemungkinan: bersilang, atau garis lurus selari dengan satah. Pada pendapat anda, apakah jarak dari garis lurus ke satah yang bersilang dengan garis lurus ini? Nampaknya saya jelas di sini bahawa jarak sedemikian adalah sama dengan sifar. Bukan kes yang menarik.

Kes kedua lebih rumit: di sini jaraknya sudah bukan sifar. Walau bagaimanapun, oleh kerana garis itu selari dengan satah, maka setiap titik garis adalah sama jarak dari satah ini:

Oleh itu:

Ini bermakna bahawa tugas saya telah dikurangkan kepada yang sebelumnya: kami sedang mencari koordinat mana-mana titik pada garis lurus, mencari persamaan satah, dan mengira jarak dari titik ke satah. Malah, tugas sebegini amat jarang berlaku dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu. Saya berjaya menemui hanya satu masalah, dan data di dalamnya adalah sedemikian rupa sehingga kaedah koordinat tidak begitu sesuai untuknya!

Sekarang mari kita beralih kepada kelas masalah lain yang lebih penting:

Mengira jarak titik ke garisan

Apa yang kita perlukan?

1. Koordinat titik dari mana kita mencari jarak:

2. Koordinat mana-mana titik yang terletak pada garisan

3. Koordinat vektor arah garis lurus

Apakah formula yang kita gunakan?

Maksud penyebut pecahan ini hendaklah jelas kepada anda: ini ialah panjang vektor arah garis lurus. Ini adalah pengangka yang sangat rumit! Ungkapan itu bermaksud modulus (panjang) hasil vektor vektor dan Bagaimana untuk mengira hasil vektor, kami telah mengkaji dalam bahagian kerja sebelumnya. Segarkan pengetahuan anda, kami akan sangat memerlukannya sekarang!

Oleh itu, algoritma untuk menyelesaikan masalah adalah seperti berikut:

1. Kami sedang mencari koordinat titik dari mana kami mencari jarak:

2. Kami sedang mencari koordinat mana-mana titik pada garisan yang kami cari jaraknya:

3. Bina vektor

4. Bina vektor arah garis lurus

5. Kira hasil vektor

6. Kami mencari panjang vektor yang terhasil:

7. Kira jarak:

Kami mempunyai banyak kerja yang perlu dilakukan, dan contoh-contohnya akan menjadi agak rumit! Jadi sekarang tumpukan semua perhatian anda!

1. Diberi pi-ra-mi-da segi tiga tepat dengan gasing. Seratus-ro-atas asas pi-ra-mi-dy adalah sama, anda adalah sama. Cari jarak dari tepi kelabu ke garis lurus, di mana titik dan adalah tepi kelabu dan dari veterinar.

2. Panjang rusuk dan sudut lurus-tidak-pergi par-ral-le-le-pi-pe-da adalah sama sesuai dan Cari jarak dari atas ke garis lurus

3. Dalam prisma heksagon tegak, semua tepi adalah sama, cari jarak dari satu titik ke garis lurus

Penyelesaian:

1. Kami membuat lukisan yang kemas di mana kami menandakan semua data:

Kami mempunyai banyak kerja yang perlu dilakukan! Pertama, saya ingin menerangkan dengan perkataan apa yang akan kita cari dan dalam susunan apa:

1. Koordinat mata dan

2. Koordinat titik

3. Koordinat mata dan

4. Koordinat vektor dan

5. Hasil silang mereka

6. Panjang vektor

7. Panjang produk vektor

8. Jarak dari ke

Nah, kita mempunyai banyak kerja di hadapan kita! Mari kita lakukannya dengan lengan baju kita disingsingkan!

1. Untuk mencari koordinat ketinggian piramid, kita perlu mengetahui koordinat titiknya adalah sama dengan sifar, dan ordinatnya adalah sama dengan absisnya adalah sama dengan panjang segmen ketinggian segi tiga sama sisi, ia dibahagikan dalam nisbah, mengira dari bucu, dari sini. Akhirnya, kami mendapat koordinat:

Koordinat titik

2. - tengah segmen

3. - tengah segmen

Titik tengah segmen

4.Koordinat

Koordinat vektor

5. Kira hasil vektor:

6. Panjang vektor: cara paling mudah untuk menggantikan ialah segmen ialah garis tengah segi tiga, yang bermaksud ia sama dengan separuh tapak. Jadi.

7. Kira panjang hasil vektor:

8. Akhirnya, kita dapati jarak:

Ugh, itu sahaja! Saya akan memberitahu anda dengan jujur: penyelesaian kepada masalah ini ialah kaedah tradisional(melalui pembinaan), ia akan menjadi lebih pantas. Tetapi di sini saya mengurangkan segala-galanya kepada algoritma siap sedia! Saya fikir algoritma penyelesaian jelas kepada anda? Oleh itu, saya akan meminta anda menyelesaikan sendiri dua masalah yang tinggal. Mari bandingkan jawapan?

Sekali lagi, saya ulangi: lebih mudah (lebih cepat) untuk menyelesaikan masalah ini melalui pembinaan, dan bukannya menggunakan kaedah koordinat. Saya menunjukkan penyelesaian ini hanya untuk menunjukkan kepada anda kaedah universal, yang membolehkan anda "tidak selesai membina apa-apa."

Akhir sekali, pertimbangkan kelas terakhir masalah:

Mengira jarak antara garis bersilang

Di sini algoritma untuk menyelesaikan masalah akan serupa dengan yang sebelumnya. Apa yang kita ada:

3. Mana-mana vektor yang menghubungkan titik-titik baris pertama dan kedua:

Bagaimanakah kita mencari jarak antara garisan?

Formulanya adalah seperti berikut:

Pengangka ialah modulus produk campuran (kami memperkenalkannya pada bahagian sebelumnya), dan penyebutnya adalah, seperti dalam formula sebelumnya (modulus hasil vektor vektor arah garis lurus, jarak antara kami sedang mencari).

Saya akan mengingatkan anda bahawa

Kemudian formula untuk jarak boleh ditulis semula sebagai:

Ini adalah penentu dibahagikan dengan penentu! Walaupun, sejujurnya, saya tiada masa untuk bergurau di sini! Formula ini, sebenarnya, sangat menyusahkan dan membawa kepada agak pengiraan yang kompleks. Jika saya jadi awak, saya akan mengambilnya sebagai pilihan terakhir!

Mari cuba selesaikan beberapa masalah menggunakan kaedah di atas:

1. Ke arah yang betul Prisma segi tiga, semua tepinya adalah sama, cari jarak antara garis lurus dan.

2. Diberi prisma segi tiga tegak, semua tepi tapak adalah sama dengan keratan yang melalui rusuk badan dan rusuk se-re-di-telaga ialah segi empat sama. Cari jarak antara garis lurus dan

Saya memutuskan yang pertama, dan berdasarkannya, anda memutuskan yang kedua!

1. Saya melukis prisma dan menanda garis lurus dan

Koordinat titik C: kemudian

Koordinat titik

Koordinat vektor

Koordinat titik

Koordinat vektor

Koordinat vektor

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1))) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Kami mengira hasil vektor antara vektor dan

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\mula(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\mula(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Sekarang kita mengira panjangnya:

Jawapan:

Sekarang cuba selesaikan tugasan kedua dengan berhati-hati. Jawapannya ialah: .

Koordinat dan vektor. Penerangan ringkas dan formula asas

Vektor ialah segmen terarah. - permulaan vektor, - penghujung vektor.
Vektor dilambangkan dengan atau.

Nilai mutlak vektor - panjang segmen yang mewakili vektor. Ditandakan sebagai.

Koordinat vektor:

,
di manakah hujung vektor \displaystyle a .

Jumlah vektor: .

Produk vektor:

Hasil darab titik bagi vektor:

Jarak dari titik ke garis ialah panjang serenjang yang dilukis dari titik ke garis. DALAM geometri deskriptif ia ditentukan secara grafik menggunakan algoritma di bawah.

Algoritma

1. Garis lurus digerakkan ke kedudukan di mana ia akan selari dengan mana-mana satah unjuran. Untuk tujuan ini, kaedah mengubah unjuran ortogon digunakan.
2. Dari satu titik serenjang dilukis ke garisan. Pada intinya pembinaan ini terletak teorem pada unjuran sudut tegak.
3. Panjang serenjang ditentukan dengan mengubah unjurannya atau menggunakan cara segi tiga tepat.

Rajah berikut menunjukkan lukisan kompleks titik M dan garis b, diberikan oleh segmen CD. Anda perlu mencari jarak antara mereka.

Menurut algoritma kami, perkara pertama yang perlu dilakukan ialah mengalihkan garis lurus ke kedudukan selari dengan kapal terbang unjuran. Adalah penting untuk memahami bahawa selepas transformasi telah dijalankan, jarak sebenar antara titik dan garis tidak sepatutnya berubah. Itulah sebabnya ia mudah digunakan di sini kaedah penggantian kapal terbang, yang tidak melibatkan angka bergerak di angkasa.

Keputusan peringkat pertama pembinaan ditunjukkan di bawah. Rajah menunjukkan bagaimana satah hadapan tambahan P 4 diperkenalkan selari dengan b. DALAM sistem baru(P 1, P 4) titik C"" 1, D"" 1, M"" 1 berada pada jarak yang sama dari paksi X 1 dengan C"", D"", M"" dari paksi X.

Menjalankan bahagian kedua algoritma, dari M"" 1 kita menurunkan serenjang M"" 1 N"" 1 ke garis lurus b"" 1, kerana sudut tepat MND antara b dan MN diunjurkan ke satah P 4 dalam saiz penuh. Menggunakan talian komunikasi, kami menentukan kedudukan titik N" dan menjalankan unjuran M"N" segmen MN.

hidup peringkat akhir anda perlu menentukan saiz segmen MN daripada unjurannya M"N" dan M"" 1 N"" 1. Untuk melakukan ini, kita membina segi tiga tepat M"" 1 N"" 1 N 0, yang kakinya N"" 1 N 0 adalah sama dengan perbezaan (Y M 1 – Y N 1) jarak titik M" dan N" daripada paksi X 1. Panjang hipotenus M"" 1 N 0 segitiga M"" 1 N"" 1 N 0 sepadan dengan jarak yang dikehendaki dari M ke b.

Penyelesaian kedua

• Selari dengan CD, kami memperkenalkan pesawat hadapan P 4 yang baharu. Ia bersilang P 1 sepanjang paksi X 1, dan X 1 ∥C"D". Selaras dengan kaedah menggantikan satah, kami menentukan unjuran titik C"" 1, D"" 1 dan M"" 1, seperti yang ditunjukkan dalam rajah.
• Serenjang dengan C"" 1 D"" 1 kita membina satah mendatar tambahan P 5, di mana garis lurus b diunjurkan ke titik C" 2 = b" 2.
• Jarak antara titik M dan garis b ditentukan oleh panjang segmen M" 2 C" 2, ditunjukkan dengan warna merah.

Tugasan serupa: