Bahagian 3. Matriks
3.1 Konsep asas
Matriks ialah jadual segi empat tepat nombor yang mengandungi T rentetan yang sama panjang (atau n lajur yang sama panjang). Matriks ditulis sebagai:
atau, ringkasnya, 
, Di mana 
(mereka. 
) – nombor baris, 
(mereka. 
) – nombor lajur.
Matriks A dipanggil matriks saiz
dan menulis 
. Nombor 
,
komponen matriks dipanggilnya elemen. Elemen pada pepenjuru dari sudut kiri atas membentuk pepenjuru utama.
Contoh 1. unsur 
terletak di baris pertama dan lajur ke-2, dan elemen 
berada di baris ke-3 dan lajur pertama.
Contoh 2. Matriks 
mempunyai saiz 
, kerana ia mengandungi 2 baris dan 4 lajur. Matriks 
mempunyai saiz 
, kerana ia mengandungi 3 baris dan 2 lajur.
Matriks adalah sama antara satu sama lain jika mereka sama Semua unsur sepadan matriks ini, i.e. 
, Jika 
,
di mana 
,
.
Matriks yang bilangan barisnya sama dengan bilangan lajur dipanggil segi empat sama. Matriks saiz persegi 
dipanggil matriks pesanan ke-
Contoh 3. Matriks 
Dan 
daripada contoh 2 dipanggil segi empat tepat. Matriks 
ialah matriks segi empat sama tertib ke-3. Ia mengandungi 3 baris dan 3 lajur.
Matriks segi empat sama di mana semua elemen kecuali pada pepenjuru utama adalah sama dengan sifar dipanggil pepenjuru. Matriks pepenjuru di mana setiap elemen pepenjuru utama adalah sama dengan satu dipanggil bujang. Ditandakan dengan huruf E.
Contoh 4.
– matriks unit tertib ke-3.
Matriks segi empat sama dipanggil segi tiga, jika semua elemen yang terletak pada satu sisi pepenjuru utama adalah sama dengan sifar. Matriks yang semua unsurnya sifar dipanggil null. Ditandakan dengan huruf TENTANG.
Dalam kalkulus matriks, matriks TENTANG Dan E memainkan peranan 0 dan 1 dalam aritmetik.
,
.
Matriks Saiz 
, yang terdiri daripada satu nombor, dikenal pasti dengan nombor ini, i.e. 
terdapat 5.
Matriks yang diperoleh daripada yang diberi dengan menggantikan setiap barisnya dengan lajur dengan nombor yang sama dipanggil matriks, dialihkan kepada yang ini. Ditetapkan 
. Jadi, jika 
, Itu 
Jika 
, Itu 
. Matriks transpos mempunyai sifat berikut: 
.
3.2 Operasi pada matriks
Penambahan
Operasi penambahan matriks hanya diperkenalkan untuk matriks yang sama saiz.
Hasil tambah dua matriks
Dan 
dipanggil matriks 
sedemikian rupa 
(
,
).
Contoh 5. .
Perbezaan matriks ditentukan sama.
Mendarab dengan nombor
Produk matriks
setiap nombork
dipanggil matriks 
sedemikian rupa b ij =
ka ij
(i=
,
j=
).
Contoh 6.
,
,
.
Matriks 
dipanggil bertentangan matriks A.
Perbezaan matriks 
boleh ditakrifkan seperti ini: 
.
Operasi menambah matriks dan mendarab matriks dengan nombor mempunyai yang berikut sifat:
di mana A, DALAM, DENGAN– matriks, α Dan β – nombor.
Transformasi matriks asas
Transformasi matriks asas ialah:
menukar dua baris selari matriks;
mendarab semua elemen baris matriks dengan nombor selain sifar;
menambah kepada semua unsur siri matriks unsur yang sepadan bagi siri selari, didarab dengan nombor yang sama.
Dua matriks A Dan DALAM dipanggil setara, jika salah satu daripadanya diperoleh daripada yang lain menggunakan transformasi asas. A~DALAM.
Dirakam Menggunakan transformasi asas, mana-mana matriks boleh dikurangkan kepada matriks di mana pada permulaan pepenjuru utama terdapat beberapa matriks berturut-turut, dan semua elemen lain adalah sama dengan sifar. Matriks sedemikian dipanggil berkanun 
.
, Sebagai contoh Contoh 7. 
.
Kurangkan matriks kepada bentuk kanonik
Penyelesaian: Melakukan transformasi asas, kita dapat 
(bertukar lajur I dan III) ~ 
(Baris I ditambah dengan baris II dan hasilnya ditulis pada baris kedua; selepas baris itu saya ditambah dengan baris III dan hasilnya ditulis pada baris ketiga) ~ 
(Lajur I didarab dengan (-3), ditambah dengan lajur II dan hasilnya ditulis dalam lajur II; kemudian lajur I didarab dengan (-2), ditambah dengan lajur III dan hasilnya ditulis dalam lajur III; selepas itu lajur I sekali lagi didarab dengan ( -2) dan ditambah dengan lajur IV, dan hasilnya ditulis dalam lajur IV) ~ 
(Lajur III didarab dengan (-2), ditambah ke lajur II dan hasilnya ditulis dalam lajur II; lajur III dibahagikan dengan 2 dan hasilnya ditulis dalam lajur III; lajur III didarab dengan (-1), ditambah ke lajur IV dan hasilnya ditulis dalam lajur IV) ~ 
(Baris II didarab dengan 3, ditambah pada baris III dan hasilnya ditulis dalam baris III) ~ 
(Lajur II didarab dengan (-1), ditambah secara berurutan dengan lajur III dan IV, dan hasilnya ditulis dalam lajur III dan IV, masing-masing) ~
.
Kami memperoleh matriks bentuk kanonik. Hasil darab matriks
Operasi mendarab dua matriks diperkenalkan hanya untuk kes apabila bilangan lajur matriks pertama adalah sama dengan bilangan baris matriks kedua. Hasil darab matriks A ij t×p =(a =(b ) kepada matriks B ) p×r DENGAN jk dipanggil matriks t×r ) sedemikian rupa
=(dengan t×r =
ik i 1
∙
b 1
k +
ik i 2
∙
b 2
k +
∙∙∙+
ik c ∙
b a
,
dalam i=
,
k=
,
nk i di mana k mereka. unsur DENGAN-baris ke- dan i lajur ke matriks produk A sama dengan jumlah hasil darab unsur k baris ke matriks
kepada elemen yang sepadan A Dan DALAM lajur ke matriks B. Jika matriks Dan segi empat sama saiz yang sama, kemudian produk sentiasa wujud. Ia adalah mudah untuk menunjukkannya A∙E = E∙A= A, Di mana A– matriks persegi, E ialah matriks identiti yang sama saiz.
Contoh 4.
=.
Matriks A Dan DALAM dipanggil boleh ubah (berulang alik), Jika Jika matriks=segi empat sama saiz yang sama, kemudian produk.
Pendaraban matriks mempunyai sifat berikut:
A∙(DALAM∙DENGAN) = (A∙DALAM)∙DENGAN;
A∙(DALAM + DENGAN) = Jika matriks + AC;
(A + DALAM)∙DENGAN = AC + Matahari;
α (Jika matriks) = (αA)DALAM,
jika, sudah tentu, jumlah bertulis dan hasil darab matriks masuk akal.
Sifat berikut adalah benar untuk operasi transpos:
(A + DALAM) T = A T+ DALAM T;
(Jika matriks) T = DALAM T∙ A T.
Jika polinomial diberikan, maka polinomial matriksf(A)
dipanggil ungkapan bentuk , di mana 
untuk mana-mana semula jadi n. f(A Nilai polinomial matriks A) untuk matriks tertentu
ialah matriks. Mari kita panggil elemen baris melampau , jika ia bukan sifar dan semua elemen baris ini di sebelah kirinya adalah sama dengan sifar. Matriks dipanggil melangkah
Contoh 5., jika elemen paling luar setiap baris berada di sebelah kanan elemen paling luar baris sebelumnya. A Dan DALAM Dalam matriks
Elemen terluar setiap baris ditandakan:
- tidak melangkah
–dilangkah Definisi. 
Matriks polinomial atau -matriks ialah matriks segi empat tepat yang unsur-unsurnya adalah polinomial dalam satu pembolehubah
dengan pekali berangka. 
Berakhir
-matriks boleh melakukan penjelmaan asas. Ini termasuk: 
dua 
Dan 
-matriks 
dengan saiz yang sama dipanggil setara: 
, jika daripada matriks 
Kepada
boleh dilalui menggunakan bilangan terhingga penjelmaan asas. Contoh.
|
|
|
,
.Buktikan kesetaraan matriks
.
.
Penyelesaian.
.
.
Darab baris kedua dengan (–1) dan perhatikan itu 
Ramai orang 
-matriks saiz tertentu
dibahagikan kepada kelas bercapah bagi matriks setara. Matriks yang setara antara satu sama lain membentuk satu kelas, dan yang tidak setara membentuk satu kelas yang lain. 
Setiap kelas matriks setara dicirikan oleh kanonik, atau normal,
–dilangkah-matriks dimensi tertentu. 
Kanonik, atau biasa, 
dipanggil 
-matriks saiz -matriks dengan polinomial pada pepenjuru utama, di mana r – semakin kecil nombor Dan m
(
n
), dan polinomial yang tidak sama dengan sifar mempunyai pekali pendahuluan bersamaan dengan 1, dan setiap polinomial berikutnya dibahagikan dengan yang sebelumnya. Semua elemen di luar pepenjuru utama ialah 0.
Matriks 
Daripada definisi itu, jika di antara polinomial terdapat polinomial darjah sifar, maka ia berada di permulaan pepenjuru utama. Jika terdapat sifar, ia berada di hujung pepenjuru utama.
contoh sebelumnya adalah kanonik. Matriks
juga berkanun. 
Setiap kelas 
-matriks mengandungi kanonik yang unik 
-matriks, iaitu setiap satu
-matriks adalah bersamaan dengan matriks kanonik tunggal, yang dipanggil bentuk kanonik atau bentuk normal matriks tertentu. 
-matriks dipanggil faktor invarian bagi matriks tertentu.
Salah satu kaedah untuk mengira faktor invarian ialah mengurangkan yang diberikan 
-matriks kepada bentuk kanonik.
Jadi, untuk matriks 
daripada contoh sebelumnya, faktor invarian ialah
,
,
,
.
Daripada perkara di atas, kehadiran set faktor invarian yang sama adalah syarat yang perlu dan mencukupi untuk kesetaraan. 
-matriks
Membawa 
-matriks kepada bentuk kanonik dikurangkan kepada definisi faktor invarian
,
;
,
di mana r– pangkat 
-matriks; 
– pembahagi sepunya terbesar bagi kanak-kanak di bawah umur k-tertib ke-, diambil dengan pekali utama bersamaan dengan 1.
boleh dilalui menggunakan bilangan terhingga penjelmaan asas. Biarlah diberi 
-matriks
.
Buktikan kesetaraan matriks Jelas sekali, pembahagi sepunya terbesar bagi susunan pertama D 1
=1, i.e. 
.
Mari kita takrifkan bawah umur urutan kedua:
|
|
|
,
Data ini sahaja sudah cukup untuk membuat kesimpulan berikut: D 2
=1, oleh itu, 
.
Kami tentukan D 3
,
Oleh itu, 
.
Oleh itu, bentuk kanonik matriks ini adalah seperti berikut 
-matriks:
.
Polinomial matriks ialah ungkapan bentuk
di mana 
– pembolehubah; 
– matriks segi empat sama tertib n dengan unsur berangka.
Jika 
, Itu S dipanggil darjah polinomial matriks, m– susunan polinomial matriks.
Saya suka kuadratik 
-matriks boleh diwakili sebagai polinomial matriks. Jelas sekali, pernyataan yang bertentangan juga benar, i.e. sebarang polinomial matriks boleh diwakili sebagai beberapa segi empat sama 
-matriks.
Kesahihan pernyataan ini jelas mengikuti dari sifat operasi pada matriks. Mari kita lihat contoh berikut:
boleh dilalui menggunakan bilangan terhingga penjelmaan asas. Mewakili matriks polinomial
dalam bentuk polinomial matriks seperti berikut
.
boleh dilalui menggunakan bilangan terhingga penjelmaan asas. Polinomial matriks
boleh diwakili sebagai matriks polinomial berikut ( 
-matriks)
.
Kebolehtukaran polinomial matriks dan matriks polinomial ini memainkan peranan penting dalam radas matematik kaedah analisis faktor dan komponen.
Polinomial matriks tertib yang sama boleh ditambah, ditolak dan didarab dengan cara yang sama seperti polinomial biasa dengan pekali berangka. Walau bagaimanapun, perlu diingat bahawa pendaraban polinomial matriks, secara amnya, tidak komutatif, kerana Pendaraban matriks bukan komutatif.
Dua polinomial matriks dikatakan sama jika pekalinya adalah sama, i.e. matriks sepadan untuk kuasa pembolehubah yang sama 
.
Jumlah (perbezaan) dua polinomial matriks 
Dan 
ialah polinomial matriks yang pekalinya bagi setiap kuasa pembolehubah 
sama dengan jumlah (perbezaan) pekali pada darjah yang sama 
dalam polinomial 
Dan 
.
Untuk mendarab polinomial matriks 
kepada polinomial matriks 
, anda memerlukan setiap sebutan polinomial matriks 
darab dengan setiap sebutan polinomial matriks 
, tambah produk yang terhasil dan bawa istilah yang serupa.
Darjah polinomial matriks – produk 
kurang daripada atau sama dengan jumlah kuasa faktor.
Operasi pada polinomial matriks boleh dijalankan menggunakan operasi pada yang sepadan 
-matriks.
Untuk menambah (tolak) polinomial matriks, sudah cukup untuk menambah (tolak) yang sepadan 
-matriks. Perkara yang sama berlaku untuk pendaraban. 
-matriks hasil darab matriks polinomial adalah sama dengan hasil darab 
-matriks faktor.
boleh dilalui menggunakan bilangan terhingga penjelmaan asas.
|
|
|
Di seberang sana 
Dan 
boleh ditulis dalam bentuk
|
|
|
Oleh kerana pendaraban matriks tidak komutatif, untuk polinomial matriks dua bahagian dengan baki ditakrifkan - kanan dan kiri.
Biarkan dua polinomial matriks tertib n diberikan
di mana DALAM 0 ialah matriks bukan tunggal.
Apabila membahagikan 
pada 
terdapat hasil bagi betul yang unik 
dan baki kanan 
mana ada ijazah R 1
kurang ijazah 
, atau 
(bahagi tanpa baki), serta hasil bagi kiri 
dan meninggalkan baki 
mana ada ijazah 
kurang ijazah 
, atau 
=0 (bahagian tanpa baki).
Teorem Bezout yang digeneralisasikan. Apabila membahagikan polinomial matriks 
kepada polinomial 
baki yang betul adalah sama dengan nilai dividen yang betul 
di 
, iaitu matriks
dan baki kiri - ke nilai kiri dividen 
di 
, iaitu matriks
Bukti. Bukti kesahihan kedua-dua formula (3.4.1) dan (3.4.2) dijalankan dengan cara yang sama, dengan penggantian langsung. Mari kita buktikan salah satu daripadanya.
Jadi, dividennya adalah 
, pembahagi - 
, sebagai hasil bagi kita mempunyai polinomial
Mari kita tentukan produk 
:
atau 
Q.E.D.
Akibat.
boleh dibahagi dari kanan (kiri) dengan polinomial 
kemudian dan hanya apabila 
sama dengan 0.
boleh dilalui menggunakan bilangan terhingga penjelmaan asas. Tunjukkan bahawa polinomial matriks
boleh dibahagikan dengan polinomial matriks 
,
di mana 
, dibiarkan tanpa baki.
Buktikan kesetaraan matriks Sesungguhnya persamaan itu benar
di mana 
Mari kita hitung nilai baki kiri menggunakan teorem Bezout
Matriks ialah objek khas dalam matematik. Ia digambarkan dalam bentuk jadual segi empat tepat atau persegi, terdiri daripada bilangan baris dan lajur tertentu. Dalam matematik terdapat pelbagai jenis matriks, berbeza dalam saiz atau kandungan. Nombor baris dan lajurnya dipanggil pesanan. Objek ini digunakan dalam matematik untuk mengatur rakaman sistem persamaan linear dan mencari keputusannya dengan mudah. Persamaan menggunakan matriks diselesaikan menggunakan kaedah Carl Gauss, Gabriel Cramer, penambahan kecil dan algebra, serta banyak kaedah lain. Kemahiran asas apabila bekerja dengan matriks ialah pengurangan kepada bentuk piawai. Walau bagaimanapun, pertama, mari kita fikirkan jenis matriks yang dibezakan oleh ahli matematik.
Jenis nol
Semua komponen matriks jenis ini adalah sifar. Sementara itu, bilangan baris dan lajurnya berbeza sama sekali.
Jenis segi empat sama
Bilangan lajur dan baris jenis matriks ini adalah sama. Dalam erti kata lain, ia adalah meja berbentuk "persegi". Bilangan lajurnya (atau baris) dipanggil tertib. Kes khas dianggap sebagai kewujudan matriks tertib kedua (matriks 2x2), tertib keempat (4x4), tertib kesepuluh (10x10), tertib tujuh belas (17x17) dan seterusnya.
Vektor lajur
Ini adalah salah satu jenis matriks yang paling mudah, mengandungi hanya satu lajur, yang merangkumi tiga nilai berangka. Ia mewakili beberapa sebutan bebas (nombor bebas daripada pembolehubah) dalam sistem persamaan linear.
Lihat serupa dengan yang sebelumnya. Terdiri daripada tiga elemen berangka, seterusnya disusun menjadi satu baris.
Jenis pepenjuru
Nilai berangka dalam bentuk pepenjuru matriks hanya mengambil komponen pepenjuru utama (diserlahkan dalam warna hijau). Diagonal utama bermula dengan elemen di sudut kanan atas dan berakhir dengan nombor di lajur ketiga baris ketiga. Komponen selebihnya adalah sama dengan sifar. Jenis pepenjuru hanyalah matriks segi empat sama dengan susunan tertentu. Di antara matriks pepenjuru, seseorang boleh membezakan skalar. Semua komponennya mengambil nilai yang sama.
Subjenis matriks pepenjuru. Semua nilai berangkanya adalah unit. Menggunakan satu jenis jadual matriks, seseorang melakukan transformasi asasnya atau mencari songsang matriks kepada yang asal.
Jenis kanonik
Bentuk kanonik matriks dianggap sebagai salah satu yang utama; pemutus kepadanya selalunya diperlukan untuk kerja. Bilangan baris dan lajur dalam matriks kanonik berbeza-beza, dan ia tidak semestinya tergolong dalam jenis segi empat sama. Ia agak serupa dengan matriks identiti, tetapi dalam kesnya tidak semua komponen pepenjuru utama mengambil nilai yang sama dengan satu. Terdapat dua atau empat unit pepenjuru utama (semuanya bergantung pada panjang dan lebar matriks). Atau mungkin tiada unit langsung (maka ia dianggap sifar). Baki komponen jenis kanonik, serta unsur pepenjuru dan unit, adalah sama dengan sifar.
Jenis segi tiga
Salah satu jenis matriks yang paling penting, digunakan semasa mencari penentunya dan semasa melakukan operasi mudah. Jenis segi tiga berasal dari jenis pepenjuru, jadi matriks juga persegi. Jenis matriks segi tiga dibahagikan kepada segi tiga atas dan segitiga bawah.
Dalam matriks segi tiga atas (Rajah 1), hanya unsur yang berada di atas pepenjuru utama mengambil nilai bersamaan dengan sifar. Komponen pepenjuru itu sendiri dan bahagian matriks yang terletak di bawahnya mengandungi nilai berangka.
Dalam matriks segitiga bawah (Rajah 2), sebaliknya, unsur-unsur yang terletak di bahagian bawah matriks adalah sama dengan sifar.
Jenis ini diperlukan untuk mencari pangkat matriks, serta untuk operasi asas padanya (bersama-sama dengan jenis segi tiga). Matriks langkah dinamakan sedemikian kerana ia mengandungi ciri "langkah" sifar (seperti yang ditunjukkan dalam rajah). Dalam jenis langkah, pepenjuru sifar terbentuk (tidak semestinya yang utama), dan semua elemen di bawah pepenjuru ini juga mempunyai nilai yang sama dengan sifar. Prasyarat adalah yang berikut: jika terdapat baris sifar dalam matriks langkah, maka baris yang tinggal di bawahnya juga tidak mengandungi nilai berangka.
Oleh itu, kami telah mengkaji jenis matriks yang paling penting yang diperlukan untuk bekerja dengannya. Sekarang mari kita lihat masalah menukar matriks ke dalam bentuk yang diperlukan.
Mengurangkan kepada bentuk segi tiga
Bagaimana untuk membawa matriks kepada bentuk segi tiga? Selalunya dalam tugasan anda perlu mengubah matriks menjadi bentuk segi tiga untuk mencari penentunya, atau dipanggil penentu. Apabila melakukan prosedur ini, adalah sangat penting untuk "memelihara" pepenjuru utama matriks, kerana penentu matriks segi tiga adalah sama dengan produk komponen pepenjuru utamanya. Biar saya juga ingat kaedah alternatif untuk mencari penentu. Penentu jenis segi empat sama didapati menggunakan formula khas. Sebagai contoh, anda boleh menggunakan kaedah segitiga. Untuk matriks lain, kaedah penguraian mengikut baris, lajur atau elemennya digunakan. Anda juga boleh menggunakan kaedah penambahan matriks minor dan algebra.
Marilah kita menganalisis secara terperinci proses mengurangkan matriks kepada bentuk segi tiga menggunakan contoh beberapa tugasan.
Tugasan 1
Ia adalah perlu untuk mencari penentu matriks yang dibentangkan menggunakan kaedah mengurangkannya kepada bentuk segi tiga.
Matriks yang diberikan kepada kami ialah matriks segi empat sama tertib ketiga. Oleh itu, untuk mengubahnya menjadi bentuk segi tiga, kita perlu mensifarkan dua komponen lajur pertama dan satu komponen kedua.
Untuk membawanya ke bentuk segi tiga, kita memulakan transformasi dari sudut kiri bawah matriks - dari nombor 6. Untuk mengubahnya kepada sifar, darab baris pertama dengan tiga dan tolaknya dari baris terakhir.
Penting! Baris atas tidak berubah, tetapi kekal sama seperti dalam matriks asal. Tidak perlu menulis rentetan empat kali lebih besar daripada yang asal. Tetapi nilai rentetan yang komponennya perlu ditetapkan kepada sifar sentiasa berubah.
Hanya nilai terakhir yang tinggal - elemen baris ketiga lajur kedua. Ini adalah nombor (-1). Untuk mengubahnya kepada sifar, tolak yang kedua daripada baris pertama.
Mari semak:
detA = 2 x (-1) x 11 = -22.
Ini bermakna jawapan kepada tugasan itu ialah -22.
Tugasan 2
Ia adalah perlu untuk mencari penentu matriks dengan mengurangkannya kepada bentuk segi tiga.
Matriks yang dibentangkan tergolong dalam jenis segi empat sama dan merupakan matriks tertib keempat. Ini bermakna bahawa adalah perlu untuk menjadikan tiga komponen lajur pertama, dua komponen lajur kedua dan satu komponen lajur ketiga kepada sifar.
Mari kita mula mengurangkannya dengan elemen yang terletak di sudut kiri bawah - dengan nombor 4. Kita perlu menukar nombor ini kepada sifar. Cara paling mudah untuk melakukan ini ialah dengan mendarabkan baris teratas dengan empat dan kemudian menolaknya daripada yang keempat. Mari kita tulis hasil tahap pertama transformasi.
Jadi komponen baris keempat ditetapkan kepada sifar. Mari kita beralih ke elemen pertama baris ketiga, ke nombor 3. Kami melakukan operasi yang serupa. Kami mendarabkan baris pertama dengan tiga, menolaknya dari baris ketiga dan menulis hasilnya.
Kami berjaya menukar kepada sifar semua komponen lajur pertama matriks segi empat sama ini, dengan pengecualian nombor 1 - unsur pepenjuru utama yang tidak memerlukan transformasi. Sekarang adalah penting untuk mengekalkan sifar yang terhasil, jadi kami akan melakukan transformasi dengan baris, bukan dengan lajur. Mari kita beralih ke lajur kedua matriks yang dibentangkan.
Mari kita mulakan semula di bahagian bawah - dengan elemen lajur kedua baris terakhir. Nombor ini ialah (-7). Walau bagaimanapun, dalam kes ini adalah lebih mudah untuk bermula dengan nombor (-1) - elemen lajur kedua baris ketiga. Untuk mengubahnya kepada sifar, tolak baris kedua daripada baris ketiga. Kemudian kami mendarabkan baris kedua dengan tujuh dan menolaknya dari yang keempat. Kami mendapat sifar dan bukannya elemen yang terletak di baris keempat lajur kedua. Sekarang mari kita beralih ke lajur ketiga.
Dalam lajur ini, kita perlu menukar hanya satu nombor kepada sifar - 4. Ini tidak sukar untuk dilakukan: kita hanya menambah satu pertiga pada baris terakhir dan melihat sifar yang kita perlukan.
Selepas semua transformasi dibuat, kami membawa matriks yang dicadangkan kepada bentuk segi tiga. Sekarang, untuk mencari penentunya, anda hanya perlu mendarab unsur-unsur yang terhasil daripada pepenjuru utama. Kami mendapat: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160. Oleh itu, penyelesaiannya ialah 160.
Jadi, kini persoalan untuk mengurangkan matriks kepada bentuk segi tiga tidak akan mengganggu anda.
Mengurangkan kepada bentuk berperingkat
Untuk operasi asas pada matriks, bentuk berperingkat adalah kurang "permintaan" daripada segi tiga. Ia paling kerap digunakan untuk mencari kedudukan matriks (iaitu, bilangan baris bukan sifarnya) atau untuk menentukan baris bersandar dan bebas secara linear. Walau bagaimanapun, jenis matriks bertingkat adalah lebih universal, kerana ia sesuai bukan sahaja untuk jenis persegi, tetapi juga untuk semua yang lain.
Untuk mengurangkan matriks kepada bentuk berperingkat, anda perlu mencari penentunya terlebih dahulu. Kaedah di atas sesuai untuk ini. Tujuan mencari penentu adalah untuk mengetahui sama ada ia boleh ditukar kepada matriks langkah. Jika penentu lebih besar atau kurang daripada sifar, maka anda boleh meneruskan tugas dengan selamat. Jika ia sama dengan sifar, ia tidak akan dapat mengurangkan matriks kepada bentuk berperingkat. Dalam kes ini, anda perlu menyemak sama ada terdapat sebarang ralat dalam rakaman atau dalam transformasi matriks. Sekiranya tidak ada ketidaktepatan sedemikian, tugas itu tidak dapat diselesaikan.
Mari lihat bagaimana untuk mengurangkan matriks kepada bentuk langkah demi langkah menggunakan contoh beberapa tugasan.
Tugasan 1. Cari pangkat jadual matriks yang diberi.
Di hadapan kita ialah matriks segi empat sama tertib ketiga (3x3). Kita tahu bahawa untuk mencari pangkat adalah perlu untuk mengurangkannya kepada bentuk berperingkat. Oleh itu, pertama kita perlu mencari penentu matriks. Mari gunakan kaedah segitiga: detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.
Penentu = 12. Ia lebih besar daripada sifar, yang bermaksud bahawa matriks boleh dikurangkan kepada bentuk berperingkat. Mari kita mula mengubahnya.
Mari kita mulakan dengan elemen lajur kiri baris ketiga - nombor 2. Darabkan baris atas dengan dua dan tolak daripada yang ketiga. Terima kasih kepada operasi ini, kedua-dua elemen yang kami perlukan dan nombor 4 - elemen lajur kedua baris ketiga - bertukar kepada sifar.
Kami melihat bahawa sebagai hasil daripada pengurangan itu, matriks segi tiga telah terbentuk. Dalam kes kami, kami tidak boleh meneruskan transformasi, kerana komponen yang tinggal tidak boleh dikurangkan kepada sifar.
Ini bermakna kita menyimpulkan bahawa bilangan baris yang mengandungi nilai berangka dalam matriks ini (atau pangkatnya) ialah 3. Jawapan kepada tugas: 3.
Tugasan 2. Tentukan bilangan baris bebas linear bagi matriks ini.
Kita perlu mencari rentetan yang tidak boleh ditukar kepada sifar dengan sebarang transformasi. Malah, kita perlu mencari bilangan baris bukan sifar, atau pangkat matriks yang dibentangkan. Untuk melakukan ini, mari kita permudahkan.
Kami melihat matriks yang tidak tergolong dalam jenis segi empat sama. Ia berukuran 3x4. Mari kita mulakan juga pengurangan dengan elemen sudut kiri bawah - nombor (-1).
Transformasi selanjutnya adalah mustahil. Ini bermakna kita membuat kesimpulan bahawa bilangan garis bebas linear di dalamnya dan jawapan kepada tugas itu ialah 3.
Sekarang mengurangkan matriks kepada bentuk berperingkat bukanlah tugas yang mustahil untuk anda.
Menggunakan contoh tugasan ini, kami meneliti pengurangan matriks kepada bentuk segi tiga dan bentuk bertingkat. Untuk menukar nilai jadual matriks yang dikehendaki kepada sifar, dalam beberapa kes anda perlu menggunakan imaginasi anda dan menukar lajur atau barisnya dengan betul. Semoga berjaya dalam matematik dan bekerja dengan matriks!
1. Mari kita ketahui dahulu apakah bentuk yang agak mudah bagi matriks polinomial segi empat tepat boleh dikurangkan dengan menggunakan hanya operasi asas kiri.
Mari kita andaikan bahawa lajur pertama matriks mengandungi unsur-unsur yang tidak sama sifar. Mari kita ambil polinomial darjah terkecil di antara mereka dan, dengan menyusun semula baris, menjadikannya sebagai elemen. Selepas ini, bahagikan polinomial dengan ; kita menandakan hasil bahagi dan baki dengan dan
Mari kita tolak daripada baris ke baris pertama, yang sebelumnya didarab dengan . Jika tidak semua baki adalah sifar yang sama, maka yang tidak sama dengan sifar dan mempunyai darjah terkecil boleh diletakkan di tempatnya dengan menyusun semula baris. Hasil daripada semua operasi ini, darjah polinomial akan berkurangan.
Sekarang kita akan mengulangi proses ini sekali lagi, dsb. Memandangkan darjah polinomial adalah terhingga, pada satu peringkat proses ini tidak boleh diteruskan lagi, iaitu pada peringkat ini semua elemen akan sama dengan sifar.
Selepas itu, ambil elemen dan gunakan prosedur yang sama pada baris dengan nombor. Kemudian kita akan mencapai apa dan . Meneruskan seperti ini, kami akhirnya akan mengurangkan matriks kepada bentuk berikut:
(5)
Jika polinomial tidak sama dengan sifar, maka, menggunakan operasi asas kiri jenis kedua, kita akan membuat tahap unsur kurang daripada darjah (jika ia mempunyai sifar darjah, maka ia akan menjadi sama dengan sifar). Dengan cara yang sama, jika , kemudian menggunakan operasi asas kiri jenis kedua kita akan menjadikan darjah unsur kurang daripada darjah , tanpa mengubah elemen , dsb.
Kami telah menubuhkan teorem berikut:
Teorem 1. Matriks polinomial segi empat tepat arbitrari dengan dimensi sentiasa boleh dikurangkan kepada bentuk (5) menggunakan operasi asas kiri, di mana polinomial mempunyai darjah yang lebih rendah daripada , jika sahaja, dan semuanya sama sifar jika 
.
Ia dibuktikan dengan cara yang sama
Teorem 2. Matriks berbilang nilai segi empat tepat arbitrari dengan dimensi sentiasa boleh dikurangkan kepada bentuk menggunakan operasi asas yang betul
(6)
di mana polinomial mempunyai darjah yang lebih rendah daripada , jika sahaja , dan semuanya sama dengan sifar, jika 
.
2. Berikut adalah Teorem 1 dan 2
Akibat. Jika penentu bagi matriks berbilang nilai segi empat sama tidak bergantung pada dan berbeza daripada sifar, maka matriks ini boleh diwakili sebagai hasil darab bilangan terhingga matriks asas.
Malah, menurut Teorem 1, menggunakan operasi asas kiri matriks boleh dikurangkan kepada bentuk
(7)
di manakah susunan matriks. Oleh kerana apabila menggunakan operasi asas pada matriks polinomial segi empat sama, penentu matriks ini didarab hanya dengan faktor bukan sifar malar, maka penentu matriks (7), seperti penentu, tidak bergantung pada dan berbeza daripada sifar, iaitu
.
Tetapi, berdasarkan Teorem 1 yang sama, matriks (7) mempunyai bentuk pepenjuru dan oleh itu boleh dikurangkan menggunakan operasi asas kiri jenis 1 kepada matriks identiti. Kemudian dan sebaliknya, matriks identiti boleh dikurangkan kepada menggunakan operasi asas kiri dengan matriks. Oleh itu,
Daripada akibat yang terbukti kita perolehi (lihat ms 137 – 138) kesetaraan dua takrifan 2 dan 2" kesetaraan matriks polinomial.
3. Mari kita kembali kepada contoh sistem persamaan pembezaan (4). Mari kita gunakan Teorem 1 pada matriks pekali operator. Kemudian, seperti yang ditunjukkan pada halaman 138, sistem (4) akan digantikan dengan sistem yang setara
(4")
mana . Dalam sistem ini, kita boleh memilih fungsi secara sewenang-wenangnya, selepas itu fungsi ditentukan secara berurutan, dan pada setiap peringkat penentuan ini kita perlu mengintegrasikan satu persamaan pembezaan dengan satu fungsi yang tidak diketahui.
4. Sekarang mari kita beralih kepada membentuk bentuk "kanonik" yang mana matriks polinomial segi empat tepat boleh dikurangkan dengan menggunakan kedua-dua operasi asas kiri dan kanan padanya.
Di antara semua elemen matriks yang tidak sama dengan sifar, kami mengambil elemen yang mempunyai darjah terkecil berbanding , dan dengan penyusunan semula baris dan lajur yang sesuai, kami menjadikannya elemen. Selepas ini, kita akan mencari hasil bagi dan baki apabila membahagikan polinomial dan dengan:
Jika sekurang-kurangnya satu daripada baki 
, sebagai contoh, tidak sama dengan sifar, kemudian dengan menolak daripada lajur ke lajur pertama, sebelum ini didarab dengan , kita menggantikan elemen dengan baki, yang mempunyai darjah yang lebih rendah daripada . Kemudian kita mempunyai peluang untuk mengurangkan sekali lagi darjah elemen di sudut kiri atas matriks dengan meletakkan di tempat ini elemen dengan darjah terendah berbanding .
Jika semua tinggal 
;
adalah sama dengan sifar, kemudian dengan menolak daripada baris ke yang pertama, sebelum ini didarab dengan , dan dari lajur ke – yang pertama, sebelum ini didarab dengan , kami akan mengurangkan matriks polinomial kami kepada bentuk
Jika sekurang-kurangnya satu daripada elemen tidak boleh dibahagikan dengan , kemudian dengan menambah lajur pertama lajur yang mengandungi elemen ini, kita akan sampai ke kes sebelumnya dan, oleh itu, kita sekali lagi akan dapat menggantikan elemen dengan polinomial yang lebih rendah matriks (8) kepada bentuk baris ke dalam faktor berangka yang berbeza daripada sifar sepadan, kita akan dapat memastikan bahawa pekali utama polinomial, dan mewujudkan formula yang menghubungkan polinomial ini dengan unsur-unsur matriks.
Mana-mana bentuk kuadratik boleh dikurangkan kepada bentuk kanonik , ditakrifkan oleh formula
mana bentuknya f pangkat daripada m tidak diketahui; nombor, , dianggap positif, tetapi beberapa istilah formula (VII.5) boleh menjadi negatif.
Di bawah keadaan ini, menggantikan , ; dan , penjelmaan linear tidak merosot membawa bentuk kuadratik kepada biasa fikiran, iaitu
Jumlah bilangan segi empat sama adalah sama dengan pangkat bentuk kuadratik.
Terdapat banyak penjelmaan linear yang mengurangkan bentuk kuadratik kepada bentuk normal (VII.6), tetapi sehingga lokasi tanda, pengurangan sedemikian adalah unik.
Untuk bentuk nyata kuadratik yang dipegangnya hukum inersia . Bilangan kuasa dua positif dan negatif dalam bentuk normal yang bentuk kuadratik tertentu dengan pekali nyata dikurangkan dengan penjelmaan linear nyata tidak bergantung pada pilihan penjelmaan ini.
Bilangan kuasa dua positif (negatif) dalam bentuk normal f dipanggil indeks inersia positif (negatif). (dalam formula (VII.6) ini ialah k), perbezaan antara indeks inersia positif dan negatif dipanggil tandatangan borang f(dalam formula (VII.6) ia sama dengan r-k).
Biarkan matriks segi empat sama dimensi diberikan m bentuk kuadratik f. Kanak-kanak bawah umur yang terletak di sepanjang pepenjuru utama matriks ini adalah daripada susunan 1, 2, ..., m, yang terakhir bertepatan dengan penentu matriks , , iaitu
dipanggil utama bentuk kecil f.
Teorem VII.1. Bentuk kuadratik f daripada m daripada yang tidak diketahui dengan pekali nyata akan terdiri daripada sebutan positif jika dan hanya jika semua minor utama adalah positif.
Contoh VII.3. Bentuk kuadratik
adalah pasti positif, kerana semua minor terkemuka matriks adalah positif:
, , 
.
Adalah mungkin, seperti yang telah dinyatakan, untuk mengurangkan bentuk kuadratik kepada bentuk kanonik dalam banyak cara, tetapi terdapat hanya satu bentuk biasa. Mari tunjukkan ini dengan contoh.
Contoh VII.4. Kurangkan bentuk kuadratik kepada bentuk kanonik.
Penyelesaian. Mari kita tetapkan transformasi linear:
1) 
maka kita dapat 
.
Untuk satu lagi transformasi yang kita ada
2) 
maka kita dapat 
.
Bentuk normal bentuk kuadratik, yang mana kedua-dua bentuk kanonik sepadan, 
.
Bersenam. Semak kesahihan formula yang diperoleh dengan menggantikan terus penjelmaan 1) dan 2) ke dalam bentuk kuadratik asal.
Persoalannya secara semula jadi timbul: "Bagaimana untuk mencari matriks transformasi linear (pengendali)?"
Sebelum beralih kepada contoh seterusnya, mari kita berikan beberapa penjelasan. Tanpa melanggar intipati pendekatan umum, kami mengehadkan diri kami kepada persamaan
di mana bahagian kanan ialah bentuk kuadratik yang ditakrifkan dalam sistem koordinat Cartes. Sebaliknya, ungkapan ini mentakrifkan baris tertib kedua. Adalah jelas bahawa jika bahagian kanan kesamaan terakhir diwakili oleh jumlah kuasa dua pembolehubah
,
maka kita mempunyai bentuk kanonik bentuk kuadratik.
Kedua-dua persamaan akan menerangkan baris tertib kedua yang sama jika dalam bentuk h skala yang sama dikekalkan. Untuk mendapatkan bentuk kanonik H Biasanya persamaan ciri digunakan. Kelemahan pendekatan ini ialah hubungan antara sistem koordinat dan . Secara kiasan, kita tidak tahu lokasi talian tersebut L dalam sistem koordinat, jika ia ditulis dalam bentuk kanonik h. Peralihan sedemikian boleh dicapai dengan memutarkan paksi sistem koordinat mengikut sudut j(Gamb. VII.1), iaitu pergi dari koordinat x, y Kepada x 1 , y 1 mengikut formula
Untuk membalikkan transformasi, anda perlu menggantikan sudut j
pada - j.
Untuk mengetahui lokasi garisan, kita mesti mencari transformasi koordinat yang memberikan kesamaan H kepada fikiran h. Ambil perhatian bahawa untuk mengekalkan skala, kita mesti bertukar kepada sistem koordinat ortonormal.
Contoh VII.5. Diberi bentuk kuadratik dalam sistem koordinat Cartesan
Ia dikehendaki membawanya ke bentuk kanonik, iaitu, menulis bentuknya dalam sistem dan mencari penjelmaan linear. Dapatkan bentuk normal bagi bentuk kuadratik.
Penyelesaian. Mari kita cipta matriks transformasi linear simetri (pengendali) A
.
Mari kita bina polinomial ciri dan cari nilai eigen dan vektor eigen. Kemudian kami akan menjalankan tugas-tugas contoh secara berurutan. Kami ada
Persamaan ciri diwakili oleh kesamaan
.
Setelah mengira penentu matriks, kita memperoleh polinomial yang puncanya ialah nilai eigen. Mari kita tuliskan bentuk kanonik (VII.7):
Mari kita cari penjelmaan linear, iaitu, kita akan mewujudkan hubungan antara sistem dan . Oleh kerana akarnya adalah nyata dan berbeza dan tiada sifar, penjelmaan adalah tidak merosot. Mari cari vektor eigen dalam asas (kita akan mewakili vektor dalam lajur). Untuk melakukan ini, kami menyelesaikan sistem persamaan
ditakrifkan untuk setiap nilai eigen.
Untuk , daripada (VII.8) kita mempunyai persamaan matriks
.
Dengan mengandaikan, semestinya, , kita perolehi
pada , kami ada . vektor eigen pertama ditemui 
, panjangnya.
Apabila kita telah
atau 
Menambah kedua kepada persamaan pertama dan menyatakan bahawa jika persamaan yang terhasil diselesaikan sebagai sistem dengan yang ketiga, maka kita semestinya akan beralih ke vektor eigen pertama. Ia kekal untuk mencipta sistem persamaan daripada jumlah dua persamaan pertama dan kedua, maka kita dapat
Andaikan , selepas dipermudahkan kami memperoleh sistem
