Pertama sekali, kita perlu memahami konsep vektor itu sendiri. Untuk memperkenalkan definisi vektor geometri, mari kita ingat apa itu segmen. Mari kita perkenalkan definisi berikut.
Definisi 1
Segmen ialah sebahagian daripada garisan yang mempunyai dua sempadan dalam bentuk titik.
Segmen boleh mempunyai 2 arah. Untuk menunjukkan arah, kami akan memanggil salah satu sempadan segmen sebagai permulaannya, dan sempadan lain sebagai penghujungnya. Arah ditunjukkan dari awal hingga akhir segmen.
Definisi 2
Vektor atau segmen terarah akan menjadi segmen yang mana ia diketahui sempadan segmen yang dianggap sebagai permulaan dan yang mana penghujungnya.
Jawatan: Dalam dua huruf: $\overline(AB)$ – (di mana $A$ ialah permulaannya dan $B$ ialah penghujungnya).
Dalam satu huruf kecil: $\overline(a)$ (Gamb. 1).
Marilah kita memperkenalkan secara langsung konsep panjang vektor.
Definisi 3
Panjang vektor $\overline(a)$ akan menjadi panjang segmen $a$.
Notasi: $|\overline(a)|$
Konsep panjang vektor dikaitkan, sebagai contoh, dengan konsep seperti kesamaan dua vektor.
Definisi 4
Kami akan memanggil dua vektor sama jika ia memenuhi dua syarat: 1. Ia adalah kodirectional; 1. Panjangnya adalah sama (Rajah 2).
Untuk menentukan vektor, masukkan sistem koordinat dan tentukan koordinat untuk vektor dalam sistem yang dimasukkan. Seperti yang kita ketahui, sebarang vektor boleh diuraikan dalam bentuk $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$, dengan $m$ dan $n$ ialah nombor nyata, dan $\overline (i )$ dan $\overline(j)$ ialah vektor unit pada paksi $Ox$ dan $Oy$.
Definisi 5
Kami akan memanggil pekali pengembangan vektor $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ koordinat vektor ini dalam sistem koordinat yang diperkenalkan. Secara matematik:
$\overline(c)=(m,n)$
Bagaimana untuk mencari panjang vektor?
Untuk mendapatkan formula untuk mengira panjang vektor arbitrari yang diberikan koordinatnya, pertimbangkan masalah berikut:
Contoh 1
Diberi: vektor $\overline(α)$ dengan koordinat $(x,y)$. Cari: panjang vektor ini.
Mari kita perkenalkan sistem koordinat Cartes $xOy$ pada satah. Mari kita ketepikan $\overline(OA)=\overline(a)$ daripada asal-usul sistem koordinat yang diperkenalkan. Mari kita bina unjuran $OA_1$ dan $OA_2$ bagi vektor yang dibina pada paksi $Ox$ dan $Oy$ (Rajah 3).
Vektor $\overline(OA)$ yang telah kami bina akan menjadi vektor jejari untuk titik $A$, oleh itu, ia akan mempunyai koordinat $(x,y)$, yang bermaksud
$=x$, $[OA_2]=y$
Sekarang kita boleh mencari panjang yang diperlukan dengan mudah menggunakan teorem Pythagoras, kita dapat
$|\overline(α)|^2=^2+^2$
$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$
$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$
Jawapan: $\sqrt(x^2+y^2)$.
Kesimpulan: Untuk mencari panjang vektor yang koordinatnya diberikan, adalah perlu untuk mencari punca kuasa dua hasil tambah koordinat ini.
Contoh tugasan
Contoh 2
Cari jarak antara titik $X$ dan $Y$, yang mempunyai koordinat berikut: $(-1.5)$ dan $(7.3)$, masing-masing.
Mana-mana dua titik boleh dikaitkan dengan konsep vektor. Pertimbangkan, sebagai contoh, vektor $\overline(XY)$. Seperti yang kita sedia maklum, koordinat bagi vektor tersebut boleh didapati dengan menolak koordinat titik akhir($Y$) koordinat titik permulaan yang sepadan ($X$). Kami dapat itu
Akhirnya, saya mendapat topik yang luas dan lama ditunggu-tunggu ini. geometri analisis . Mula-mula sedikit tentang bahagian ini matematik yang lebih tinggi…. Pasti anda kini masih ingat kursus geometri sekolah dengan pelbagai teorem, bukti, lukisan, dsb. Perkara yang perlu disembunyikan, subjek yang tidak digemari dan sering dikaburkan untuk sebahagian besar pelajar. Geometri analitik, anehnya, mungkin kelihatan lebih menarik dan boleh diakses. Apakah maksud kata sifat "analitik"? Dua frasa matematik klise segera terlintas di fikiran: "kaedah penyelesaian grafik" dan " kaedah analisis penyelesaian." Kaedah grafik , sudah tentu, dikaitkan dengan pembinaan graf dan lukisan. Analitikal sama kaedah melibatkan penyelesaian masalah terutamanya melalui operasi algebra. Dalam hal ini, algoritma untuk menyelesaikan hampir semua masalah geometri analisis adalah mudah dan telus selalunya cukup untuk digunakan dengan teliti formula yang diperlukan- dan jawapannya sudah sedia! Tidak, sudah tentu, kita tidak akan dapat melakukan ini tanpa lukisan sama sekali, dan selain itu, untuk pemahaman yang lebih baik tentang bahan, saya akan cuba memetiknya di luar keperluan.
Kursus pelajaran geometri yang baru dibuka tidak berpura-pura lengkap secara teori; ia tertumpu kepada penyelesaian masalah praktikal. Saya akan masukkan dalam kuliah saya hanya apa, dari sudut pandangan saya, yang penting dari segi praktikal. Jika anda memerlukan bantuan yang lebih lengkap tentang mana-mana subseksyen, saya mengesyorkan literatur yang agak mudah diakses berikut:
1) Perkara yang, bukan jenaka, beberapa generasi sudah biasa dengan: Buku teks sekolah tentang geometri, pengarang - L.S. Atanasyan dan Syarikat. Penyangkut bilik persalinan sekolah ini telah pun melalui 20 (!) cetakan semula, yang sememangnya bukan hadnya.
2) Geometri dalam 2 jilid. Pengarang L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Ini adalah sastera untuk sekolah menengah, anda akan perlukan jilid pertama. Tugas yang jarang ditemui mungkin hilang dari pandangan saya, dan manual latihan akan memberikan bantuan yang tidak ternilai.
Kedua-dua buku boleh dimuat turun secara percuma dalam talian. Di samping itu, anda boleh menggunakan arkib saya dengan penyelesaian siap sedia, yang boleh didapati di halaman Muat turun contoh dalam matematik yang lebih tinggi.
Di antara alat, saya sekali lagi mencadangkan pembangunan saya sendiri - pakej perisian dalam geometri analisis, yang akan memudahkan kehidupan dan menjimatkan banyak masa.
Adalah diandaikan bahawa pembaca sudah biasa dengan asasnya konsep geometri dan angka: titik, garis, satah, segi tiga, segi empat selari, selari, kubus, dsb. Adalah dinasihatkan untuk mengingati beberapa teorem, sekurang-kurangnya teorem Pythagoras, hello kepada pengulang)
Dan sekarang kita akan mempertimbangkan secara berurutan: konsep vektor, tindakan dengan vektor, koordinat vektor. Saya mengesyorkan membaca lebih lanjut artikel yang paling penting Hasil darab titik bagi vektor, dan juga Vektor dan hasil campuran vektor. Ia tidak akan berlebihan masalah tempatan– Pembahagian segmen dalam nisbah tertentu. Berdasarkan maklumat di atas, anda boleh menguasai persamaan garis dalam satah Dengan contoh penyelesaian yang paling mudah, yang akan membolehkan belajar menyelesaikan masalah geometri. Artikel berikut juga berguna: Persamaan satah di angkasa, Persamaan garis dalam ruang, Masalah asas pada garis lurus dan satah, bahagian lain geometri analitik. Sememangnya, tugas standard akan dipertimbangkan sepanjang perjalanan.
Konsep vektor. vektor percuma
Mula-mula, mari kita ulang definisi sekolah bagi vektor. vektor dipanggil diarahkan segmen yang mana permulaan dan penghujungnya ditunjukkan:
DALAM dalam kes ini permulaan segmen adalah titik, penghujung segmen adalah titik. Vektor itu sendiri dilambangkan dengan . Arah adalah penting, jika anda mengalihkan anak panah ke hujung segmen yang lain, anda mendapat vektor, dan ini sudah pun vektor yang berbeza sama sekali. Konsep vektor mudah dikenal pasti dengan gerakan badan fizikal: Setuju, memasuki pintu institut atau meninggalkan pintu institut adalah perkara yang sama sekali berbeza.
Adalah mudah untuk mempertimbangkan titik individu satah atau ruang sebagai apa yang dipanggil vektor sifar. Untuk vektor sedemikian, penghujung dan permulaan bertepatan.
!!! Nota: Di sini dan seterusnya, anda boleh menganggap bahawa vektor terletak pada satah yang sama atau anda boleh menganggap bahawa ia terletak di angkasa - intipati bahan yang dibentangkan adalah sah untuk kedua-dua satah dan ruang.
Jawatan: Ramai yang segera melihat kayu tanpa anak panah dalam sebutan dan berkata, terdapat juga anak panah di bahagian atas! Benar, anda boleh menulisnya dengan anak panah: , tetapi ia juga mungkin entri yang akan saya gunakan pada masa hadapan. kenapa? Nampaknya, tabiat ini berkembang atas sebab praktikal; DALAM sastera pendidikan kadang-kadang mereka tidak peduli dengan tulisan cuneiform sama sekali, tetapi menyerlahkan huruf dalam huruf tebal: , membayangkan bahawa ia adalah vektor.
Itu adalah stilistik, dan sekarang tentang cara untuk menulis vektor:
1) Vektor boleh ditulis dalam dua huruf Latin besar: 
dan seterusnya. Dalam kes ini, huruf pertama Semestinya menandakan titik permulaan vektor, dan huruf kedua menandakan titik akhir vektor.
2) Vektor juga ditulis dalam huruf Latin kecil:
Khususnya, untuk ringkasnya vektor kami boleh ditetapkan semula sebagai kecil huruf latin.
Panjang atau modul vektor bukan sifar dipanggil panjang segmen. Panjang vektor sifar ialah sifar. Logik.
Panjang vektor ditunjukkan oleh tanda modulus: ,
Kami akan belajar cara mencari panjang vektor (atau kami akan mengulanginya, bergantung pada siapa) sedikit kemudian.
Mereka adalah maklumat asas tentang vektor, biasa kepada semua pelajar sekolah. Dalam geometri analitik, apa yang dipanggil vektor percuma.
Secara ringkasnya - vektor boleh diplot dari mana-mana titik:
Kami sudah biasa memanggil vektor tersebut sama (takrif vektor sama akan diberikan di bawah), tetapi dari sudut pandangan matematik semata-mata, mereka adalah VEKTOR yang SAMA atau vektor percuma. Kenapa percuma? Kerana semasa menyelesaikan masalah, anda boleh "melampirkan" vektor ini atau itu pada MANA-MANA titik pesawat atau ruang yang anda perlukan. Ini adalah ciri yang sangat keren! Bayangkan vektor dengan panjang dan arah sewenang-wenang - ia boleh "diklon" nombor tak terhingga masa dan pada mana-mana titik di angkasa, sebenarnya, ia wujud DI MANA-MANA. Ada seorang pelajar yang berkata: Setiap pensyarah memandang berat tentang vektor. Lagipun, ia bukan sahaja sajak lucu, semuanya betul secara matematik - vektor boleh dilampirkan di sana juga. Tetapi jangan tergesa-gesa untuk bergembira, pelajar sendiri yang sering menderita =)
Jadi, vektor percuma- Ini ramai segmen terarah yang sama. Definisi sekolah vektor yang diberikan pada permulaan perenggan: "Vektor ialah segmen terarah..." membayangkan khusus segmen terarah yang diambil daripada set tertentu, yang diikat pada titik tertentu dalam satah atau ruang.
Perlu diingat bahawa dari sudut fizik, konsep vektor bebas dalam kes am adalah tidak betul, dan titik penggunaan vektor adalah penting. Sesungguhnya, pukulan langsung dengan kekuatan yang sama pada hidung atau dahi, cukup untuk membangunkan contoh bodoh saya, memerlukan akibat yang berbeza. Walau bagaimanapun, tidak bebas vektor juga terdapat dalam perjalanan vyshmat (jangan pergi ke sana :)).
Tindakan dengan vektor. Kolineariti vektor
DALAM kursus sekolah geometri, beberapa tindakan dan peraturan dengan vektor dipertimbangkan: penambahan mengikut peraturan segi tiga, penambahan mengikut peraturan selari, peraturan perbezaan vektor, pendaraban vektor dengan nombor, hasil darab skalar bagi vektor, dsb. Sebagai titik permulaan, kami mengulangi dua peraturan yang sangat relevan untuk menyelesaikan masalah geometri analitik.
Peraturan untuk menambah vektor menggunakan peraturan segitiga
Pertimbangkan dua vektor bukan sifar arbitrari dan : 
Anda perlu mencari jumlah vektor ini. Disebabkan fakta bahawa semua vektor dianggap percuma, kami akan mengetepikan vektor daripada tamat vektor: 
Jumlah vektor ialah vektor. Untuk pemahaman yang lebih baik tentang peraturan, adalah dinasihatkan untuk memasukkan makna fizikal: biarkan beberapa badan bergerak sepanjang vektor, dan kemudian sepanjang vektor. Kemudian jumlah vektor ialah vektor laluan yang terhasil dengan permulaan di titik berlepas dan penghujung pada titik ketibaan. Peraturan serupa dirumuskan untuk jumlah sebarang bilangan vektor. Seperti yang mereka katakan, badan itu boleh berjalan dengan sangat bersandar di sepanjang zigzag, atau mungkin secara autopilot - di sepanjang vektor jumlah yang terhasil.
Dengan cara ini, jika vektor ditangguhkan daripada bermula vektor, maka kita mendapat yang setara peraturan selari penambahan vektor.
Pertama, mengenai kolineariti vektor. Kedua-dua vektor itu dipanggil kolinear, jika mereka terletak pada garisan yang sama atau pada garisan selari. Secara kasarnya, kita bercakap tentang vektor selari. Tetapi berhubung dengan mereka, kata sifat "kolinear" sentiasa digunakan.
Bayangkan dua vektor kolinear. Jika anak panah vektor ini diarahkan ke arah yang sama, maka vektor tersebut dipanggil diarahkan bersama. Jika anak panah menghala ke arah sisi yang berbeza, maka vektornya ialah arah bertentangan.
Jawatan: keselarasan vektor ditulis dengan simbol selari biasa: , manakala perincian adalah mungkin: (vektor diarahkan bersama) atau (vektor diarahkan bertentangan).
kerja vektor bukan sifar pada nombor ialah vektor yang panjangnya sama dengan , dan vektor dan diarahkan bersama dan berlawanan diarahkan pada .
Peraturan untuk mendarab vektor dengan nombor lebih mudah difahami dengan bantuan gambar: 
Mari kita lihat dengan lebih terperinci:
1) Arah. Jika pengganda adalah negatif, maka vektor bertukar arah ke sebaliknya.
2) Panjang. Jika pengganda terkandung dalam atau , maka panjang vektor berkurangan. Jadi, panjang vektor ialah separuh panjang vektor. Jika pengganda modulo lebih daripada satu, kemudian panjang vektor bertambah kadang-kadang.
3) Sila ambil perhatian bahawa semua vektor adalah kolinear, manakala satu vektor dinyatakan melalui yang lain, sebagai contoh, . Begitu juga sebaliknya: jika satu vektor boleh dinyatakan melalui yang lain, maka vektor tersebut semestinya kolinear. Oleh itu: jika kita mendarab vektor dengan nombor, kita mendapat kolinear(berbanding dengan asal) vektor.
4) Vektor diarahkan bersama. Vektor dan juga diarahkan bersama. Mana-mana vektor kumpulan pertama diarahkan secara bertentangan dengan mana-mana vektor kumpulan kedua.
Vektor yang manakah sama?
Dua vektor adalah sama jika ia berada dalam arah yang sama dan mempunyai sama panjang . Ambil perhatian bahawa kodirectionality membayangkan keselarasan vektor. Takrifan akan menjadi tidak tepat (berlebihan) jika kita berkata: "Dua vektor adalah sama jika ia adalah kolinear, codirectional, dan mempunyai panjang yang sama."
Dari sudut pandangan konsep vektor bebas, vektor yang sama– ini adalah vektor yang sama, yang telah dibincangkan dalam perenggan sebelumnya.
Koordinat vektor pada satah dan di angkasa
Perkara pertama adalah untuk mempertimbangkan vektor pada pesawat. Marilah kita mewakili Cartesian sistem segi empat tepat koordinat dan dari asal koordinat kita tangguhkan bujang vektor dan:
Vektor dan ortogon. Ortogonal = Serenjang. Saya mengesyorkan agar anda perlahan-lahan membiasakan diri dengan istilah: bukannya selari dan berserenjang, kami menggunakan perkataan masing-masing kolineariti Dan ortogonal.
Jawatan: Keortogonan vektor ditulis dengan simbol keserenjang biasa, contohnya: .
Vektor yang sedang dipertimbangkan dipanggil vektor koordinat atau orts. Vektor ini terbentuk asas di atas kapal terbang. Apa asas itu, saya fikir, secara intuitif jelas kepada ramai, lebih banyak lagi maklumat terperinci boleh didapati dalam artikel Kebergantungan linear (bukan) vektor. Asas vektor Dengan kata mudah, asas dan asal koordinat menentukan keseluruhan sistem - ini adalah sejenis asas di mana kehidupan geometri yang penuh dan kaya mendidih.
Kadang-kadang asas yang dibina dipanggil ortonormal asas satah: "ortho" - kerana vektor koordinat adalah ortogon, kata sifat "dinormalkan" bermaksud unit, i.e. panjang vektor asas adalah sama dengan satu.
Jawatan: asasnya biasanya ditulis dalam kurungan, di dalamnya dalam urutan yang ketat vektor asas disenaraikan, contohnya: . vektor koordinat ia adalah dilarang susun semula.
mana-mana vektor pesawat satu-satunya cara dinyatakan sebagai: 
, Di mana - nombor yang dipanggil koordinat vektor V atas dasar ini. Dan ungkapan itu sendiri 
dipanggil penguraian vektorsecara asas .
Makan malam dihidangkan:
Mari kita mulakan dengan huruf pertama abjad: . Lukisan jelas menunjukkan bahawa apabila mengurai vektor menjadi asas, yang baru dibincangkan digunakan:
1) peraturan untuk mendarab vektor dengan nombor: dan ;
2) penambahan vektor mengikut peraturan segitiga: .
Sekarang plot secara mental vektor dari mana-mana titik lain pada pesawat. Agak jelas bahawa kerosakannya akan "mengikutinya tanpa henti." Inilah, kebebasan vektor - vektor "membawa segala-galanya dengan dirinya sendiri." Sifat ini, sudah tentu, adalah benar untuk mana-mana vektor. Sungguh lucu bahawa vektor asas (percuma) itu sendiri tidak perlu diplot dari asal; satu boleh dilukis, sebagai contoh, di bahagian bawah kiri, dan yang lain di bahagian atas sebelah kanan, dan tiada apa yang akan berubah! Benar, anda tidak perlu melakukan ini, kerana guru juga akan menunjukkan keaslian dan menarik anda "kredit" di tempat yang tidak dijangka.
Vektor menggambarkan dengan tepat peraturan untuk mendarab vektor dengan nombor, vektor diarahkan bersama dengan vektor asas, vektor diarahkan bertentangan dengan vektor asas. Untuk vektor ini, salah satu koordinat adalah sama dengan sifar anda boleh menulisnya dengan teliti seperti ini:
Dan vektor asas, dengan cara ini, adalah seperti ini: (sebenarnya, mereka dinyatakan melalui diri mereka sendiri).
Dan akhirnya: , . Ngomong-ngomong, apakah penolakan vektor, dan mengapa saya tidak bercakap tentang peraturan penolakan? Di suatu tempat algebra linear, saya tidak ingat di mana, saya perhatikan bahawa penolakan adalah kes khas tambahan. Oleh itu, pengembangan vektor "de" dan "e" dengan mudah ditulis sebagai jumlah: , 
. Susun semula istilah dan lihat dalam lukisan sejauh mana penambahan vektor lama yang baik mengikut peraturan segitiga berfungsi dalam situasi ini.
Penguraian bentuk yang dianggap 
kadangkala dipanggil penguraian vektor dalam sistem ort(iaitu dalam sistem vektor unit). Tetapi ini bukan satu-satunya cara untuk menulis vektor, ia adalah perkara biasa pilihan seterusnya:
Atau dengan tanda yang sama:
Vektor asas itu sendiri ditulis seperti berikut: dan
Iaitu, koordinat vektor ditunjukkan dalam kurungan. DALAM masalah praktikal Ketiga-tiga pilihan rakaman digunakan.
Saya ragu-ragu sama ada untuk bercakap, tetapi saya akan tetap mengatakannya: koordinat vektor tidak boleh disusun semula. Tegas di tempat pertama kita tuliskan koordinat yang sepadan dengan vektor unit, ketat di tempat kedua kita tuliskan koordinat yang sepadan dengan vektor unit. Sesungguhnya, dan adalah dua vektor yang berbeza.
Kami mengetahui koordinat di dalam pesawat. Sekarang mari kita lihat vektor dalam ruang tiga dimensi, hampir semuanya sama di sini! Ia hanya akan menambah satu lagi koordinat. Sukar untuk membuat lukisan tiga dimensi, jadi saya akan menghadkan diri saya kepada satu vektor, yang untuk kesederhanaan saya akan ketepikan daripada asal: 
mana-mana vektor ruang tiga dimensi boleh satu-satunya cara
berkembang mengikut asas ortonormal: 
, di manakah koordinat vektor (nombor) dalam asas ini.
Contoh dari gambar: 
. Mari lihat cara peraturan vektor berfungsi di sini. Pertama, darabkan vektor dengan nombor: (anak panah merah), (anak panah hijau) dan (anak panah raspberi). Kedua, berikut ialah contoh menambah beberapa, dalam kes ini tiga, vektor: . Vektor jumlah bermula pada titik permulaan berlepas (permulaan vektor) dan berakhir di titik ketibaan akhir (penghujung vektor).
Semua vektor ruang tiga dimensi, secara semula jadi, juga bebas; cuba mengetepikan vektor secara mental dari mana-mana titik lain, dan anda akan memahami bahawa penguraiannya "akan kekal bersamanya."
Serupa dengan flat case, selain menulis 
versi dengan kurungan digunakan secara meluas: sama ada .
Jika pengembangan tiada satu (atau dua) vektor koordinat, maka sifar diletakkan pada tempatnya. Contoh:
vektor (dengan teliti 
) - mari menulis;
vektor (dengan teliti 
) - mari menulis;
vektor (dengan teliti 
) – mari menulis.
Vektor asas ditulis seperti berikut:
Itu mungkin semua minimum pengetahuan teori, diperlukan untuk menyelesaikan masalah geometri analitik. Mungkin terdapat banyak istilah dan takrifan, jadi saya mengesyorkan agar boneka membaca semula dan memahami maklumat ini sekali lagi. Dan ia akan berguna untuk mana-mana pembaca untuk merujuk pelajaran asas Untuk penyerapan yang lebih baik bahan. Kolineariti, ortogonal, asas ortonormal, penguraian vektor - konsep ini dan lain-lain akan sering digunakan pada masa hadapan. Saya ingin ambil perhatian bahawa bahan tapak tidak mencukupi untuk lulus ujian teori atau kolokium dalam geometri, kerana saya menyulitkan semua teorem dengan teliti (dan tanpa bukti) - sehingga menjejaskan gaya saintifik pembentangan, tetapi tambahan kepada pemahaman anda tentang subjek. Untuk menerima maklumat teori yang terperinci, sila tunduk kepada Profesor Atanasyan.
Dan kita beralih ke bahagian praktikal:
Masalah paling mudah bagi geometri analitik.
Tindakan dengan vektor dalam koordinat
Adalah sangat dinasihatkan untuk mempelajari cara menyelesaikan tugasan yang akan dipertimbangkan sepenuhnya secara automatik, dan formula menghafal, tidak ingat secara spesifik pun, mereka akan ingat sendiri =) Ini sangat penting, kerana dalam yang paling mudah contoh asas masalah geometri analitik yang lain adalah berdasarkan, dan ia akan menjengkelkan untuk dibelanjakan masa tambahan kerana makan bidak. Tidak perlu mengikat butang atas pada baju anda; banyak perkara yang anda biasa dari sekolah.
Penyampaian bahan akan mengikuti kursus selari - baik untuk pesawat dan untuk ruang angkasa. Atas sebab semua formula... anda akan lihat sendiri.
Bagaimana untuk mencari vektor dari dua titik?
Jika dua titik satah dan diberi, maka vektor mempunyai koordinat berikut: 
Jika dua titik dalam ruang dan diberi, maka vektor mempunyai koordinat berikut:
iaitu, daripada koordinat hujung vektor anda perlu menolak koordinat yang sepadan permulaan vektor.
Senaman: Untuk titik yang sama, tuliskan formula untuk mencari koordinat vektor. Formula pada akhir pelajaran.
Contoh 1
Diberi dua titik satah dan . Cari koordinat vektor
Penyelesaian: mengikut formula yang sepadan:
Sebagai alternatif, entri berikut boleh digunakan:
Aesthetes akan memutuskan ini:
Secara peribadi, saya sudah biasa dengan versi pertama rakaman.
Jawapan:
Mengikut syarat itu, tidak perlu membina lukisan (yang tipikal untuk masalah geometri analitik), tetapi untuk menjelaskan beberapa perkara untuk boneka, saya tidak akan malas: 
Anda pasti perlu faham perbezaan antara koordinat titik dan koordinat vektor:
Koordinat titik– ini adalah koordinat biasa dalam sistem koordinat segi empat tepat. Saya rasa semua orang tahu cara memplot mata pada satah koordinat dari gred 5-6. Setiap titik mempunyai tempat yang ketat di dalam pesawat, dan mereka tidak boleh dialihkan ke mana-mana.
Koordinat vektor– ini adalah pengembangannya mengikut asas, dalam kes ini. Mana-mana vektor adalah percuma, jadi jika perlu, kita boleh mengalihkannya dengan mudah dari titik lain dalam pesawat. Adalah menarik bahawa untuk vektor anda tidak perlu membina paksi atau sistem koordinat segi empat tepat sama sekali anda hanya memerlukan asas, dalam kes ini asas ortonormal pesawat.
Rekod koordinat titik dan koordinat vektor nampaknya serupa: , dan maksud koordinat secara mutlak berbeza, dan anda harus sedar tentang perbezaan ini. Perbezaan ini, tentu saja, juga terpakai kepada ruang.
Tuan-tuan dan puan-puan, mari kita penuhi tangan:
Contoh 2
a) Mata dan diberi. Cari vektor dan .
b) Mata diberi 
Dan . Cari vektor dan .
c) Mata dan diberi. Cari vektor dan .
d) Mata diberi. Cari vektor 
.
Mungkin itu sudah cukup. Ini adalah contoh untuk keputusan bebas, cuba untuk tidak mengabaikan mereka, ia akan membawa padah ;-). Tidak perlu membuat lukisan. Penyelesaian dan jawapan pada akhir pelajaran.
Apakah yang penting semasa menyelesaikan masalah geometri analitik? Adalah penting untuk BERHATI-HATI untuk mengelak daripada membuat kesilapan "dua tambah dua sama dengan sifar" yang mahir. Saya memohon maaf segera jika saya membuat kesilapan di mana-mana =)
Bagaimana untuk mencari panjang segmen?
Panjang, seperti yang telah dinyatakan, ditunjukkan oleh tanda modulus.
Jika dua titik satah diberi dan , maka panjang segmen boleh dikira menggunakan formula
Jika dua titik dalam ruang dan diberi, maka panjang segmen boleh dikira menggunakan formula
Nota: Formula akan kekal betul jika koordinat yang sepadan ditukar: dan , tetapi pilihan pertama adalah lebih standard
Contoh 3
Penyelesaian: mengikut formula yang sepadan:
Jawapan: 
Untuk kejelasan, saya akan membuat lukisan 
Segmen – ini bukan vektor, dan, sudah tentu, anda tidak boleh mengalihkannya ke mana-mana. Di samping itu, jika anda melukis mengikut skala: 1 unit. = 1 cm (dua sel buku nota), maka jawapan yang terhasil boleh disemak dengan pembaris biasa dengan mengukur secara terus panjang segmen.
Ya, penyelesaiannya singkat, tetapi terdapat beberapa lagi di dalamnya perkara penting yang ingin saya jelaskan:
Pertama, dalam jawapan kami meletakkan dimensi: "unit". Keadaan itu tidak menyatakan APA itu, milimeter, sentimeter, meter atau kilometer. Oleh itu, penyelesaian yang betul secara matematik ialah rumusan umum: "unit" - disingkatkan sebagai "unit."
Kedua, mari kita ulangi bahan sekolah, yang berguna bukan sahaja untuk masalah yang dipertimbangkan:
Sila ambil perhatian penting teknik teknikal
– mengeluarkan pengganda dari bawah akar. Hasil daripada pengiraan, kami mempunyai keputusan dan gaya matematik yang baik melibatkan penyingkiran faktor dari bawah punca (jika boleh). Secara lebih terperinci prosesnya kelihatan seperti ini: 
. Sudah tentu, membiarkan jawapan seperti sedia ada tidak akan menjadi satu kesilapan - tetapi ia pastinya akan menjadi kelemahan dan hujah yang berat untuk bertengkar di pihak guru.
Berikut adalah kes biasa yang lain: 
Selalunya cukup diperoleh pada akar bilangan yang besar, Sebagai contoh. Apa yang perlu dilakukan dalam kes sedemikian? Menggunakan kalkulator, kami menyemak sama ada nombor itu boleh dibahagi dengan 4: . Ya, ia dibahagikan sepenuhnya, dengan itu: 
. Atau mungkin nombor itu boleh dibahagikan dengan 4 lagi? . Oleh itu: 
. Digit terakhir nombor adalah ganjil, jadi membahagikan dengan 4 untuk kali ketiga jelas tidak akan berfungsi. Jom cuba bahagi sembilan: . Akibatnya:
sedia.
Kesimpulan: jika di bawah punca kita mendapat nombor yang tidak boleh diekstrak secara keseluruhan, maka kita cuba mengalih keluar faktor dari bawah punca - menggunakan kalkulator kita menyemak sama ada nombor itu boleh dibahagikan dengan: 4, 9, 16, 25, 36, 49, dsb.
Semasa membuat keputusan pelbagai tugas akar adalah perkara biasa, sentiasa cuba mengekstrak faktor dari bawah akar untuk mengelakkan gred yang lebih rendah dan masalah yang tidak perlu dengan memuktamadkan penyelesaian anda berdasarkan komen guru.
Mari kita ulangi akar kuasa dua dan kuasa lain: 
Peraturan untuk tindakan dengan darjah dalam pandangan umum boleh didapati di buku teks sekolah dalam algebra, tetapi saya fikir dari contoh yang diberikan semuanya atau hampir semuanya sudah jelas.
Tugas untuk penyelesaian bebas dengan segmen dalam ruang:
Contoh 4
Mata dan diberi. Cari panjang ruas itu.
Penyelesaian dan jawapan ada pada akhir pelajaran.
Bagaimana untuk mencari panjang vektor?
Jika vektor satah diberikan, maka panjangnya dikira dengan formula.
Jika vektor ruang diberikan, maka panjangnya dikira dengan formula 
.
Pertama sekali, kita perlu memahami konsep vektor itu sendiri. Untuk memperkenalkan definisi vektor geometri, mari kita ingat apa itu segmen. Mari kita perkenalkan definisi berikut.
Definisi 1
Segmen ialah sebahagian daripada garisan yang mempunyai dua sempadan dalam bentuk titik.
Segmen boleh mempunyai 2 arah. Untuk menunjukkan arah, kami akan memanggil salah satu sempadan segmen sebagai permulaannya, dan sempadan lain sebagai penghujungnya. Arah ditunjukkan dari awal hingga akhir segmen.
Definisi 2
Vektor atau segmen terarah akan menjadi segmen yang mana ia diketahui sempadan segmen yang dianggap sebagai permulaan dan yang mana penghujungnya.
Jawatan: Dalam dua huruf: $\overline(AB)$ – (di mana $A$ ialah permulaannya dan $B$ ialah penghujungnya).
Dalam satu huruf kecil: $\overline(a)$ (Gamb. 1).
Marilah kita memperkenalkan secara langsung konsep panjang vektor.
Definisi 3
Panjang vektor $\overline(a)$ akan menjadi panjang segmen $a$.
Notasi: $|\overline(a)|$
Konsep panjang vektor dikaitkan, sebagai contoh, dengan konsep seperti kesamaan dua vektor.
Definisi 4
Kami akan memanggil dua vektor sama jika ia memenuhi dua syarat: 1. Ia adalah kodirectional; 1. Panjangnya adalah sama (Rajah 2).
Untuk menentukan vektor, masukkan sistem koordinat dan tentukan koordinat untuk vektor dalam sistem yang dimasukkan. Seperti yang kita ketahui, sebarang vektor boleh diuraikan dalam bentuk $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$, dengan $m$ dan $n$ ialah nombor nyata, dan $\overline (i )$ dan $\overline(j)$ ialah vektor unit pada paksi $Ox$ dan $Oy$.
Definisi 5
Kami akan memanggil pekali pengembangan vektor $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ koordinat vektor ini dalam sistem koordinat yang diperkenalkan. Secara matematik:
$\overline(c)=(m,n)$
Bagaimana untuk mencari panjang vektor?
Untuk mendapatkan formula untuk mengira panjang vektor arbitrari yang diberikan koordinatnya, pertimbangkan masalah berikut:
Contoh 1
Diberi: vektor $\overline(α)$ dengan koordinat $(x,y)$. Cari: panjang vektor ini.
Mari kita perkenalkan sistem koordinat Cartes $xOy$ pada satah. Mari kita ketepikan $\overline(OA)=\overline(a)$ daripada asal-usul sistem koordinat yang diperkenalkan. Mari kita bina unjuran $OA_1$ dan $OA_2$ bagi vektor yang dibina pada paksi $Ox$ dan $Oy$ (Rajah 3).
Vektor $\overline(OA)$ yang telah kami bina akan menjadi vektor jejari untuk titik $A$, oleh itu, ia akan mempunyai koordinat $(x,y)$, yang bermaksud
$=x$, $[OA_2]=y$
Sekarang kita boleh mencari panjang yang diperlukan dengan mudah menggunakan teorem Pythagoras, kita dapat
$|\overline(α)|^2=^2+^2$
$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$
$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$
Jawapan: $\sqrt(x^2+y^2)$.
Kesimpulan: Untuk mencari panjang vektor yang koordinatnya diberikan, adalah perlu untuk mencari punca kuasa dua hasil tambah koordinat ini.
Contoh tugasan
Contoh 2
Cari jarak antara titik $X$ dan $Y$, yang mempunyai koordinat berikut: $(-1.5)$ dan $(7.3)$, masing-masing.
Mana-mana dua titik boleh dikaitkan dengan konsep vektor. Pertimbangkan, sebagai contoh, vektor $\overline(XY)$. Seperti yang kita sedia maklum, koordinat bagi vektor tersebut boleh didapati dengan menolak koordinat titik permulaan yang sepadan ($X$) daripada koordinat titik akhir ($Y$). Kami dapat itu
Jumlah vektor. Panjang vektor. Rakan-rakan sekalian, sebagai sebahagian daripada jenis peperiksaan belakang terdapat sekumpulan masalah dengan vektor. Tugas-tugasnya cukup julat yang luas(penting untuk diketahui asas teori). Kebanyakannya diselesaikan secara lisan. Soalan-soalan berkaitan dengan mencari panjang vektor, jumlah (perbezaan) vektor, dan hasil darab skalar. Terdapat juga banyak tugas yang anda perlukan untuk melakukan tindakan dengan koordinat vektor.
Teori yang mengelilingi topik vektor tidak rumit, dan ia mesti difahami dengan baik. Dalam artikel ini kita akan menganalisis masalah yang berkaitan dengan mencari panjang vektor, serta jumlah (perbezaan) vektor. Beberapa perkara teori:
Konsep vektor
Vektor ialah segmen terarah.
Semua vektor yang mempunyai arah yang sama dan panjang yang sama adalah sama.
*Keempat-empat vektor yang dibentangkan di atas adalah sama!
Iaitu, jika kita menggunakan pemindahan selari gerakkan vektor yang diberikan kepada kita, kita akan sentiasa mendapat vektor yang sama dengan yang asal. Oleh itu, boleh terdapat bilangan vektor yang sama yang tidak terhingga.
Notasi vektor
Vektor boleh dilambangkan dengan bahasa Latin dalam huruf besar, Contohnya:
Dengan bentuk tatatanda ini, mula-mula huruf yang menunjukkan permulaan vektor ditulis, kemudian huruf yang menandakan akhir vektor.
Vektor lain dilambangkan dengan satu huruf abjad Latin(modal):
Penetapan tanpa anak panah juga mungkin:
Hasil tambah dua vektor AB dan BC akan menjadi vektor AC.
Ia ditulis sebagai AB + BC = AC.
Peraturan ini dipanggil - peraturan segi tiga.
Iaitu, jika kita mempunyai dua vektor - mari kita panggil mereka secara konvensional (1) dan (2), dan penghujung vektor (1) bertepatan dengan permulaan vektor (2), maka jumlah vektor ini akan menjadi vektor yang permulaan bertepatan dengan permulaan vektor (1) , dan penghujungnya bertepatan dengan penghujung vektor (2).
Kesimpulan: jika kita mempunyai dua vektor pada satah, kita sentiasa boleh mencari jumlahnya. Menggunakan terjemahan selari, anda boleh memindahkan mana-mana vektor ini dan menyambungkan permulaannya ke penghujung vektor lain. Contohnya:
Mari kita alihkan vektor b, atau dengan kata lain, mari kita bina yang sama:
Bagaimanakah jumlah beberapa vektor ditemui? Dengan prinsip yang sama:
* * *
Peraturan selari
Peraturan ini adalah akibat daripada perkara di atas.
Untuk vektor dengan permulaan biasa jumlah mereka diwakili oleh pepenjuru segi empat selari yang dibina pada vektor ini.
Mari kita bina vektor yang sama dengan vektor b supaya permulaannya bertepatan dengan penghujung vektor a, dan kita boleh membina vektor yang akan menjadi jumlahnya:
Sikit lagi maklumat penting perlu untuk menyelesaikan masalah.
Vektor yang sama panjang dengan yang asal, tetapi berlawanan arah, juga dilambangkan tetapi mempunyai tanda yang bertentangan:
Maklumat ini amat berguna untuk menyelesaikan masalah yang melibatkan mencari perbezaan antara vektor. Seperti yang anda lihat, perbezaan vektor adalah jumlah yang sama dalam bentuk yang diubah suai.
Biarkan dua vektor diberikan, cari perbezaannya:
Kami membina vektor vektor bertentangan b, dan mendapati perbezaannya.
Koordinat vektor
Untuk mencari koordinat vektor, anda perlu menolak koordinat permulaan yang sepadan dengan koordinat akhir:
Iaitu, koordinat vektor ialah sepasang nombor.
Jika
Dan koordinat vektor kelihatan seperti:
Kemudian c 1 = a 1 + b 1 c 2 = a 2 + b 2
Jika
Kemudian c 1 = a 1 – b 1 c 2 = a 2 – b 2
Modul vektor
Modulus vektor ialah panjangnya, ditentukan oleh formula:
Formula untuk menentukan panjang vektor jika koordinat permulaan dan penghujungnya diketahui:
Mari kita pertimbangkan tugas:
Kedua-dua sisi segi empat tepat ABCD adalah sama dengan 6 dan 8. pepenjuru bersilang pada titik O. Cari panjang beza antara vektor AO dan BO.
Mari cari vektor yang akan menjadi hasil AO–VO:
AO –VO =AO +(–VO )=AB
Iaitu, perbezaan antara vektor AO dan VO akan menjadi vektor AB. Dan panjangnya ialah lapan.
Diagonal rombus ABCD adalah sama dengan 12 dan 16. Cari panjang vektor AB + AD.
Mari kita cari vektor yang akan menjadi jumlah vektor AD dan AB BC sama dengan vektor A.D. Jadi AB +AD =AB +BC =AC
AC ialah panjang pepenjuru rombus AC, ia bersamaan dengan 16.pepenjuru bagi rombus ABCD bersilang pada titik itu O dan bersamaan dengan 12 dan 16. Cari panjang vektor AO + BO.
Mari kita cari vektor yang akan menjadi jumlah vektor AO dan VO VO adalah sama dengan vektor OD, yang bermaksud
AD ialah panjang sisi rombus. Masalahnya datang kepada mencari hipotenus dalam segi tiga tepat AOD. Mari kita mengira kaki:
Mengikut teorem Pythagoras:
Diagonal bagi rombus ABCD bersilang pada titik O dan sama dengan 12 dan 16. Cari panjang vektor AO – BO.
Mari cari vektor yang akan menjadi hasil AO–VO:
AB ialah panjang sisi rombus. Masalahnya berpunca daripada mencari hipotenus AB dalam segi tiga tegak AOB. Mari kita mengira kaki:
Mengikut teorem Pythagoras:
Sisi betul segi tiga ABC adalah sama dengan 3.
Cari panjang vektor AB –AC.
Mari cari hasil perbezaan vektor:
CB adalah sama dengan tiga, kerana keadaan mengatakan bahawa segi tiga adalah sama sisi dan sisinya adalah sama dengan 3.27663. Cari panjang vektor a (6;8).
27664. Cari segi empat sama panjang vektor AB.
Absis dan paksi ordinat dipanggil koordinat vektor. Koordinat vektor biasanya ditunjukkan dalam bentuk (x, y), dan vektor itu sendiri sebagai: =(x, y).
Formula untuk menentukan koordinat vektor untuk masalah dua dimensi.
Dalam kes masalah dua dimensi vektor dengan terkenal koordinat titik A(x 1;y 1) Dan B(x 2 ; y 2 ) boleh dikira:
= (x 2 - x 1; y 2 - y 1).
Formula untuk menentukan koordinat vektor untuk masalah spatial.
Dalam kes masalah spatial vektor dengan terkenal koordinat titik A (x 1;y 1;z 1 ) dan B (x 2 ; y 2 ; z 2 ) boleh dikira menggunakan formula:
= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).
Koordinat diberikan penerangan yang menyeluruh vektor, kerana adalah mungkin untuk membina vektor itu sendiri menggunakan koordinat. Mengetahui koordinat, ia adalah mudah untuk mengira dan panjang vektor. (Hartanah 3 di bawah).
Sifat koordinat vektor.
1. Mana-mana vektor yang sama V sistem bersatu koordinat mempunyai koordinat yang sama.
2. Koordinat vektor kolinear berkadar. Dengan syarat tiada vektor adalah sifar.
3. Segi empat sama panjang mana-mana vektor sama dengan jumlah persegi itu koordinat.
4.Semasa pembedahan pendaraban vektor pada nombor sebenar setiap koordinatnya didarab dengan nombor ini.
5. Apabila menambah vektor, kami mengira jumlah yang sepadan koordinat vektor.
6. Produk dot dua vektor adalah sama dengan hasil tambah koordinat yang sepadan.