Banyak kuantiti fizik ditentukan sepenuhnya dengan menyatakan nombor tertentu. Ini adalah, sebagai contoh, isipadu, jisim, ketumpatan, suhu badan, dll. Kuantiti sedemikian dipanggil skalar. Oleh sebab itu, nombor kadangkala dipanggil skalar. Tetapi terdapat juga kuantiti yang ditentukan dengan menentukan bukan sahaja nombor, tetapi juga arah tertentu. Sebagai contoh, apabila badan bergerak, anda harus menunjukkan bukan sahaja kelajuan di mana badan itu bergerak, tetapi juga arah pergerakan. Dengan cara yang sama, apabila mengkaji tindakan mana-mana daya, adalah perlu untuk menunjukkan bukan sahaja nilai daya ini, tetapi juga arah tindakannya. Kuantiti sedemikian dipanggil vektor. Untuk menerangkannya, konsep vektor telah diperkenalkan, yang ternyata berguna untuk matematik.
Definisi vektor
Mana-mana pasangan tertib titik A hingga B dalam ruang mentakrifkan segmen yang diarahkan, iaitu segmen bersama-sama dengan arah yang dinyatakan padanya. Jika titik A adalah yang pertama, maka ia dipanggil permulaan segmen yang diarahkan, dan titik B ialah penghujungnya. Arah segmen dianggap sebagai arah dari awal hingga akhir.
Definisi
Segmen terarah dipanggil vektor.
Kami akan menandakan vektor dengan simbol \(\overrightarrow(AB) \), dengan huruf pertama menunjukkan permulaan vektor, dan yang kedua penghujungnya.
Vektor yang permulaan dan penghujungnya bertepatan dipanggil sifar dan dilambangkan dengan \(\vec(0)\) atau hanya 0.
Jarak antara permulaan dan penghujung vektor dipanggil nya panjang dan dilambangkan dengan \(|\overrightarrow(AB)| \) atau \(|\vec(a)| \).
Vektor \(\vec(a) \) dan \(\vec(b) \) dipanggil kolinear, jika mereka terletak pada garisan yang sama atau pada garisan selari. Vektor kolinear boleh mempunyai arah yang sama atau bertentangan.
Sekarang kita boleh merumuskan konsep penting kesamaan dua vektor.
Definisi
Vektor \(\vec(a) \) dan \(\vec(b) \) dikatakan sama (\(\vec(a) = \vec(b) \)) jika ia adalah kolinear, mempunyai persamaan arah dan panjangnya adalah sama .
Dalam Rajah. 1 menunjukkan vektor tidak sama di sebelah kiri dan vektor sama \(\vec(a) \) dan \(\vec(b) \) di sebelah kanan. Daripada definisi kesamaan vektor berikutan bahawa jika vektor yang diberikan digerakkan selari dengan dirinya sendiri, maka vektor yang sama dengan yang diberikan akan diperolehi. Dalam hal ini, vektor dalam geometri analitik dipanggil percuma.
Unjuran vektor pada paksi
Biarkan paksi \(u\) dan beberapa vektor \(\overrightarrow(AB)\) diberikan dalam ruang. Mari kita lukis satah berserenjang dengan paksi \(u\) melalui titik A dan B. Mari kita nyatakan dengan A" dan B" titik persilangan satah ini dengan paksi (lihat Rajah 2).
Unjuran vektor \(\overrightarrow(AB) \) pada paksi \(u\) ialah nilai A"B" bagi segmen terarah A"B" pada paksi \(u\). Mari kita ingat semula
\(A"B" = |\overrightarrow(A"B")| \) , jika arah \(\overrightarrow(A"B") \) bertepatan dengan arah paksi \(u\),
\(A"B" = -|\overrightarrow(A"B")| \) , jika arah \(\overrightarrow(A"B") \) adalah bertentangan dengan arah paksi \(u\),
Unjuran vektor \(\overrightarrow(AB)\) pada paksi \(u\) dilambangkan seperti berikut: \(Pr_u \overrightarrow(AB)\).
Teorem
Unjuran vektor \(\overrightarrow(AB) \) pada paksi \(u\) adalah sama dengan panjang vektor \(\overrightarrow(AB) \) didarab dengan kosinus sudut antara vektor \ (\overrightarrow(AB) \) dan paksi \( u\) , i.e.
Komen
Biarkan \(\overrightarrow(A_1B_1)=\overrightarrow(A_2B_2) \) dan beberapa paksi \(u\) ditentukan. Menggunakan formula teorem untuk setiap vektor ini, kami memperoleh
Unjuran vektor pada paksi koordinat
Biarkan sistem koordinat segi empat tepat Oxyz dan vektor arbitrari \(\overrightarrow(AB)\) diberikan dalam ruang. Biarkan, selanjutnya, \(X = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Y = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Z = Pr_u \overrightarrow(AB) \). Unjuran vektor X, Y, Z \(\overrightarrow(AB)\) pada paksi koordinat dipanggil koordinat. Pada masa yang sama mereka menulis
\(\overrightarrow(AB) = (X;Y;Z) \)
Teorem
Walau apa pun dua titik A(x 1 ; y 1 ; z 1) dan B(x 2 ; y 2 ; z 2), koordinat vektor \(\overrightarrow(AB) \) ditentukan oleh formula berikut :
X = x 2 -x 1 , Y = y 2 -y 1 , Z = z 2 -z 1
Komen
Jika vektor \(\overrightarrow(AB) \) meninggalkan asal, i.e. x 2 = x, y 2 = y, z 2 = z, maka koordinat X, Y, Z bagi vektor \(\overrightarrow(AB) \) adalah sama dengan koordinat hujungnya:
X = x, Y = y, Z = z.
Kosinus arah vektor
Biarkan vektor arbitrari \(\vec(a) = (X;Y;Z) \); kita akan menganggap bahawa \(\vec(a) \) terkeluar dari asal dan tidak terletak pada mana-mana satah koordinat. Mari kita lukis satah berserenjang dengan paksi melalui titik A. Bersama-sama dengan satah koordinat, mereka membentuk selari segi empat tepat, pepenjurunya ialah segmen OA (lihat rajah).
Daripada geometri asas diketahui bahawa kuasa dua panjang pepenjuru segiempat selari adalah sama dengan jumlah kuasa dua panjang tiga dimensinya. Oleh itu,
\(|OA|^2 = |OA_x|^2 + |OA_y|^2 + |OA_z|^2 \)
Tetapi \(|OA| = |\vec(a)|, \;\; |OA_x| = |X|, \;\; |OA_y| = |Y|, \;\;|OA_z| = |Z| \); dengan itu kita dapat
\(|\vec(a)|^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 \)
atau
\(|\vec(a)| = \sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2) \)
Formula ini menyatakan panjang vektor arbitrari melalui koordinatnya.
Mari kita nyatakan dengan \(\alpha, \; \beta, \; \gamma \) sudut antara vektor \(\vec(a) \) dan paksi koordinat. Daripada formula untuk unjuran vektor ke paksi dan panjang vektor, kita perolehi
\(\cos \alpha = \frac(X)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \beta = \frac(Y)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \gamma = \frac(Z)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \alpha, \;\; \cos \beta, \;\; \cos \gamma \) dipanggil kosinus arah bagi vektor \(\vec(a) \).
Mengkuadratkan sisi kiri dan kanan setiap kesamaan sebelumnya dan merumuskan hasil yang diperoleh, kita ada
\(\cos^2 \alfa + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 \)
mereka. hasil tambah kuasa dua kosinus arah mana-mana vektor adalah sama dengan satu.
Operasi linear pada vektor dan sifat asasnya
Operasi linear pada vektor ialah operasi menambah dan menolak vektor dan mendarab vektor dengan nombor.Penambahan dua vektor
Biarkan dua vektor \(\vec(a) \) dan \(\vec(b) \) diberi. Jumlah \(\vec(a) + \vec(b) \) ialah vektor yang pergi dari permulaan vektor \(\vec(a) \) ke penghujung vektor \(\vec(b) \) dengan syarat bahawa vektor \(\vec(b) \) dilampirkan pada hujung vektor \(\vec(a) \) (lihat rajah).Komen
Tindakan menolak vektor adalah songsang kepada tindakan penambahan, i.e. perbezaan \(\vec(b) - \vec(a) \) vektor \(\vec(b) \) dan \(\vec(a) \) ialah vektor yang, dalam jumlah dengan vektor \(\ vec(a ) \) memberikan vektor \(\vec(b) \) (lihat rajah).
Komen
Dengan menentukan jumlah dua vektor, anda boleh mencari jumlah sebarang bilangan vektor yang diberikan. Biarkan, sebagai contoh, diberikan tiga vektor \(\vec(a),\;\; \vec(b), \;\; \vec(c) \). Menambah \(\vec(a) \) dan \(\vec(b) \), kita memperoleh vektor \(\vec(a) + \vec(b) \). Sekarang menambah vektor \(\vec(c) \) kepadanya, kita memperoleh vektor \(\vec(a) + \vec(b) + \vec(c) \) 
Hasil darab vektor dan nombor
Biarkan vektor \(\vec(a) \neq \vec(0) \) dan nombor \(\lambda \neq 0 \) diberi. Hasil darab \(\lambda \vec(a) \) ialah vektor yang sejajar dengan vektor \(\vec(a) \), mempunyai panjang yang sama dengan \(|\lambda| |\vec(a)| \), dan arah yang sama dengan vektor \(\vec(a) \) jika \(\lambda > 0 \), dan sebaliknya jika \(\lambda Makna geometri bagi operasi mendarab vektor \(\vec (a) \neq \vec (0) \) dengan nombor \(\lambda \neq 0 \) boleh dinyatakan seperti berikut: jika \(|\lambda| >1 \), maka apabila mendarab vektor \(\ vec(a) \) dengan nombor \( \lambda \) vektor \(\vec(a) \) "diregangkan" sebanyak \(\lambda \) kali, dan jika \(|\lambda| 1 \) .Jika \(\lambda =0 \) atau \(\vec(a) = \vec(0) \), maka hasil darab \(\lambda \vec(a) \) dianggap sama dengan vektor sifar.
Komen
Menggunakan takrifan mendarab vektor dengan nombor, adalah mudah untuk membuktikan bahawa jika vektor \(\vec(a) \) dan \(\vec(b) \) adalah kolinear dan \(\vec(a) \ neq \vec(0) \), maka wujud (dan hanya satu) nombor \(\lambda \) supaya \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \)
Sifat asas operasi linear
1. Sifat komutatif penambahan
\(\vec(a) + \vec(b) = \vec(b) + \vec(a) \)
2. Sifat gabungan penambahan
\((\vec(a) + \vec(b))+ \vec(c) = \vec(a) + (\vec(b)+ \vec(c)) \)
3. Sifat gabungan pendaraban
\(\lambda (\mu \vec(a)) = (\lambda \mu) \vec(a) \)
4. Harta pengedaran mengenai jumlah nombor
\((\lambda +\mu) \vec(a) = \lambda \vec(a) + \mu \vec(a) \)
5. Harta pengagihan berkenaan dengan jumlah vektor
\(\lambda (\vec(a)+\vec(b)) = \lambda \vec(a) + \lambda \vec(b) \)
Komen
Sifat-sifat operasi linear ini mempunyai kepentingan asas, kerana ia membolehkan untuk melaksanakan operasi algebra biasa pada vektor. Sebagai contoh, disebabkan oleh sifat 4 dan 5, anda boleh mendarab polinomial skalar dengan polinomial vektor "istilah dengan sebutan".
Teorem unjuran vektor
Teorem
Unjuran hasil tambah dua vektor pada paksi adalah sama dengan jumlah unjuran mereka pada paksi ini, i.e.
\(Pr_u (\vec(a) + \vec(b)) = Pr_u \vec(a) + Pr_u \vec(b) \)
Teorem boleh digeneralisasikan kepada kes sebarang bilangan istilah.
Teorem
Apabila vektor \(\vec(a) \) didarab dengan nombor \(\lambda \), unjurannya pada paksi juga didarab dengan nombor ini, i.e. \(Pr_u \lambda \vec(a) = \lambda Pr_u \vec(a) \)
Akibat
Jika \(\vec(a) = (x_1;y_1;z_1) \) dan \(\vec(b) = (x_2;y_2;z_2) \), maka
\(\vec(a) + \vec(b) = (x_1+x_2; \; y_1+y_2; \; z_1+z_2) \)
Akibat
Jika \(\vec(a) = (x;y;z) \), maka \(\lambda \vec(a) = (\lambda x; \; \lambda y; \; \lambda z) \) untuk sebarang nombor \(\lambda \)
Dari sini mudah disimpulkan keadaan kolineariti dua vektor dalam koordinat.
Sesungguhnya, kesamaan \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \) adalah bersamaan dengan kesamaan \(x_2 = \lambda x_1, \; y_2 = \lambda y_1, \; z_2 = \lambda z_1 \ ) atau
\(\frac(x_2)(x_1) = \frac(y_2)(y_1) = \frac(z_2)(z_1) \) i.e. vektor \(\vec(a) \) dan \(\vec(b) \) adalah kolinear jika dan hanya jika koordinatnya berkadar.
Penguraian vektor kepada asas
Biarkan vektor \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) ialah vektor unit bagi paksi koordinat, i.e. \(|\vec(i)| = |\vec(j)| = |\vec(k)| = 1 \), dan setiap satu daripadanya diarahkan sama dengan paksi koordinat yang sepadan (lihat rajah). Tiga kali ganda vektor \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) dipanggil asas.
Teorem berikut berlaku.
Teorem
Mana-mana vektor \(\vec(a) \) boleh dikembangkan secara unik berdasarkan \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k)\; \), i.e. dibentangkan sebagai
\(\vec(a) = \lambda \vec(i) + \mu \vec(j) + \nu \vec(k) \)
dengan \(\lambda, \;\; \mu, \;\; \nu \) ialah beberapa nombor. 
Jumlah vektor. Panjang vektor. Rakan-rakan yang dihormati, sebagai sebahagian daripada jenis peperiksaan terdapat sekumpulan masalah dengan vektor. Tugas-tugasnya agak luas (penting untuk mengetahui asas teori). Kebanyakannya diselesaikan secara lisan. Soalan-soalan berkaitan dengan mencari panjang vektor, jumlah (perbezaan) vektor, dan hasil darab skalar. Terdapat juga banyak tugas di mana ia perlu melakukan tindakan dengan koordinat vektor.
Teori yang mengelilingi topik vektor tidak rumit, dan ia mesti difahami dengan baik. Dalam artikel ini kita akan menganalisis masalah yang berkaitan dengan mencari panjang vektor, serta jumlah (perbezaan) vektor. Beberapa perkara teori:
Konsep vektor
Vektor ialah segmen terarah.
Semua vektor yang mempunyai arah yang sama dan panjang yang sama adalah sama.
*Keempat-empat vektor yang dibentangkan di atas adalah sama!
Iaitu, jika kita menggerakkan vektor yang diberikan kepada kita menggunakan terjemahan selari, kita akan sentiasa mendapat vektor yang sama dengan yang asal. Oleh itu, boleh terdapat bilangan vektor yang sama yang tidak terhingga.
Notasi vektor
Vektor boleh dilambangkan dalam huruf besar Latin, sebagai contoh:
Dengan bentuk tatatanda ini, mula-mula huruf yang menunjukkan permulaan vektor ditulis, kemudian huruf yang menandakan akhir vektor.
Vektor lain dilambangkan dengan satu huruf abjad Latin (kapital):
Penetapan tanpa anak panah juga mungkin:
Hasil tambah dua vektor AB dan BC akan menjadi vektor AC.
Ia ditulis sebagai AB + BC = AC.
Peraturan ini dipanggil - peraturan segi tiga.
Iaitu, jika kita mempunyai dua vektor – mari kita panggil mereka secara bersyarat (1) dan (2), dan penghujung vektor (1) bertepatan dengan permulaan vektor (2), maka jumlah vektor ini akan menjadi vektor yang permulaan bertepatan dengan permulaan vektor (1) , dan penghujungnya bertepatan dengan penghujung vektor (2).
Kesimpulan: jika kita mempunyai dua vektor pada satah, kita sentiasa boleh mencari jumlahnya. Menggunakan terjemahan selari, anda boleh mengalihkan mana-mana vektor ini dan menyambungkan permulaannya ke penghujung yang lain. Contohnya:
Mari kita alihkan vektor b, atau dengan kata lain, mari kita bina yang sama:
Bagaimanakah jumlah beberapa vektor ditemui? Dengan prinsip yang sama:
* * *
Peraturan selari
Peraturan ini adalah akibat daripada perkara di atas.
Bagi vektor dengan asalan yang sama, jumlahnya diwakili oleh pepenjuru segi empat selari yang dibina pada vektor ini.
Mari kita bina vektor yang sama dengan vektor b supaya permulaannya bertepatan dengan penghujung vektor a, dan kita boleh membina vektor yang akan menjadi jumlahnya:
Sedikit maklumat penting yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah.
Vektor yang sama panjang dengan yang asal, tetapi berlawanan arah, juga dilambangkan tetapi mempunyai tanda yang bertentangan:
Maklumat ini amat berguna untuk menyelesaikan masalah yang melibatkan mencari perbezaan antara vektor. Seperti yang anda lihat, perbezaan vektor adalah jumlah yang sama dalam bentuk yang diubah suai.
Biarkan dua vektor diberikan, cari perbezaannya:
Kami membina vektor bertentangan dengan vektor b, dan mendapati perbezaannya.
Koordinat vektor
Untuk mencari koordinat vektor, anda perlu menolak koordinat permulaan yang sepadan dengan koordinat akhir:
Iaitu, koordinat vektor ialah sepasang nombor.
Jika
Dan koordinat vektor kelihatan seperti:
Kemudian c 1 = a 1 + b 1 c 2 = a 2 + b 2
Jika
Kemudian c 1 = a 1 – b 1 c 2 = a 2 – b 2
Modul vektor
Modulus vektor ialah panjangnya, ditentukan oleh formula:
Formula untuk menentukan panjang vektor jika koordinat permulaan dan penghujungnya diketahui:
Mari kita pertimbangkan tugas:
Kedua-dua sisi segi empat tepat ABCD adalah sama dengan 6 dan 8. pepenjuru bersilang pada titik O. Cari panjang beza antara vektor AO dan BO.
Mari cari vektor yang akan menjadi hasil AO–VO:
AO –VO =AO +(–VO )=AB
Iaitu, perbezaan antara vektor AO dan VO akan menjadi vektor AB. Dan panjangnya ialah lapan.
Diagonal bagi rombus ABCD adalah sama dengan 12 dan 16. Cari panjang vektor AB + AD.
Mari kita cari vektor yang akan menjadi jumlah vektor AD dan AB BC adalah sama dengan vektor AD. Jadi AB +AD =AB +BC =AC
AC ialah panjang pepenjuru rombus AC, ia bersamaan dengan 16.pepenjuru bagi rombus ABCD bersilang pada titik itu O dan bersamaan dengan 12 dan 16. Cari panjang vektor AO + BO.
Mari kita cari vektor yang akan menjadi jumlah vektor AO dan VO VO adalah sama dengan vektor OD, yang bermaksud
AD ialah panjang sisi rombus. Masalahnya berpunca kepada mencari hipotenus dalam segi tiga tepat AOD. Mari kita mengira kaki:
Mengikut teorem Pythagoras:
Diagonal bagi rombus ABCD bersilang pada titik O dan sama dengan 12 dan 16. Cari panjang vektor AO – BO.
Mari cari vektor yang akan menjadi hasil AO–VO:
AB ialah panjang sisi rombus. Masalahnya datang kepada mencari hipotenus AB dalam segi tiga tegak AOB. Mari kita mengira kaki:
Mengikut teorem Pythagoras:
Sisi segi tiga sekata ABC adalah sama dengan 3.
Cari panjang vektor AB –AC.
Mari cari hasil perbezaan vektor:
CB adalah sama dengan tiga, kerana keadaan mengatakan bahawa segi tiga adalah sama sisi dan sisinya adalah sama dengan 3.27663. Cari panjang vektor a (6;8).
27664. Cari segi empat sama panjang vektor AB.
Dalam matematik dan fizik, pelajar dan pelajar sekolah sering menemui masalah yang melibatkan kuantiti vektor dan melakukan pelbagai operasi ke atasnya. Apakah perbezaan antara kuantiti vektor dan kuantiti skalar yang biasa kita gunakan, satu-satunya ciri ialah nilai berangkanya? Hakikatnya mereka mempunyai hala tuju.
Penggunaan kuantiti vektor diterangkan dengan paling jelas dalam fizik. Contoh paling mudah ialah daya (daya geseran, daya kenyal, berat), kelajuan dan pecutan, kerana selain nilai berangka mereka juga mempunyai arah tindakan. Sebagai perbandingan, mari kita berikan contoh kuantiti skalar: Ini boleh menjadi jarak antara dua titik atau jisim jasad. Mengapakah perlu melakukan operasi pada kuantiti vektor seperti penambahan atau penolakan? Ini adalah perlu supaya dapat menentukan hasil tindakan sistem vektor yang terdiri daripada 2 atau lebih elemen.
Definisi matematik vektor
Mari kita perkenalkan definisi utama yang digunakan semasa menjalankan operasi linear.
- Vektor ialah segmen terarah (mempunyai titik permulaan dan titik akhir).
- Panjang (modulus) ialah panjang segmen yang diarahkan.
- Kolinear ialah dua vektor yang sama ada selari dengan garis yang sama atau terletak padanya secara serentak.
- Vektor berarah bertentangan dipanggil kolinear dan pada masa yang sama diarahkan ke arah yang berbeza. Jika hala tuju mereka bertepatan, maka mereka adalah kodirectional.
- Vektor adalah sama apabila ia searah dan sama dalam magnitud.
- Hasil tambah dua vektor a Dan b adalah vektor sedemikian c, yang permulaannya bertepatan dengan permulaan yang pertama, dan penghujungnya dengan yang kedua, dengan syarat bahawa b bermula pada titik yang sama di mana ia berakhir a.
- Perbezaan vektor a Dan b namakan jumlahnya a Dan ( - b ), di mana ( - b ) - bertentangan diarahkan kepada vektor b. Juga, takrif perbezaan antara dua vektor boleh diberikan seperti berikut: perbezaan c pasangan vektor a Dan b mereka memanggil ini c, yang apabila ditambahkan pada subtrahend b membentuk satu minit a.
Kaedah analisis
Kaedah analisis melibatkan mendapatkan koordinat perbezaan menggunakan formula tanpa plot. Adalah mungkin untuk melakukan pengiraan untuk ruang rata (dua dimensi), isipadu (tiga dimensi) atau ruang n-dimensi.
Untuk ruang dua dimensi dan kuantiti vektor a {a₁;a₂) Dan b {b₁;b₂} pengiraan akan kelihatan seperti ini: c {c₁; c₂} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂}.
Dalam kes menambah koordinat ketiga, pengiraan akan dijalankan sama, dan untuk a {a₁;a₂; a₃) Dan b {b₁;b₂; b₃) koordinat perbezaan juga akan diperoleh dengan penolakan berpasangan: c {c₁; c₂; c₃} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂; a₃ – b₃}.
Mengira perbezaan secara grafik
Untuk membina perbezaan secara grafik, anda harus menggunakan peraturan segitiga. Untuk melakukan ini, anda mesti melakukan urutan tindakan berikut:
- Menggunakan koordinat yang diberikan, bina vektor yang anda perlukan untuk mencari perbezaannya.
- Gabungkan hujungnya (iaitu, bina dua segmen terarah sama dengan yang diberikan, yang akan berakhir pada titik yang sama).
- Sambungkan permulaan kedua-dua segmen yang diarahkan dan nyatakan arah; paduan akan bermula pada titik yang sama di mana vektor yang menjadi minuend bermula dan berakhir pada titik di mana subtrahend bermula.
Keputusan operasi tolak ditunjukkan dalam rajah di bawah.
Terdapat juga kaedah untuk membina perbezaan, yang berbeza sedikit daripada yang sebelumnya. Intipatinya terletak pada aplikasi teorem perbezaan vektor, yang dirumuskan seperti berikut: untuk mencari perbezaan sepasang segmen terarah, cukup untuk mencari jumlah yang pertama daripada mereka dengan segmen yang bertentangan diarahkan kepada kedua. Algoritma pembinaan akan kelihatan seperti ini:
- Bina segmen terarah awal.
- Yang ditolak mesti dicerminkan, iaitu, membina segmen bertentangan arah dan sama dengannya; kemudian gabungkan permulaannya dengan minuend.
- Bina jumlah: sambungkan permulaan segmen pertama dengan penghujung segmen kedua.
Keputusan keputusan ini ditunjukkan dalam rajah:
Penyelesaian masalah
Untuk menyatukan kemahiran, kami akan menganalisis beberapa tugas di mana anda perlu mengira perbezaan secara analitik atau grafik.
Masalah 1. Terdapat 4 mata yang diberikan pada satah: A (1; -3), B (0; 4), C (5; 8), D (-3; 2). Tentukan koordinat bagi vektor q = AB - CD, dan juga hitung panjangnya.
Penyelesaian. Mula-mula anda perlu mencari koordinat AB Dan CD. Untuk melakukan ini, tolak koordinat titik awal daripada koordinat titik akhir. Untuk AB permulaannya ialah A(1; -3), dan kesudahannya – B(0; 4). Mari kita hitung koordinat segmen yang diarahkan:
AB {0 - 1; 4 - (- 3)} = {- 1; 7}
Pengiraan yang serupa dilakukan untuk CD:
CD {- 3 - 5; 2 - 8} = {- 8; - 6}
Sekarang, mengetahui koordinat, anda boleh mencari perbezaan antara vektor. Formula untuk penyelesaian analisis masalah pesawat telah dipertimbangkan lebih awal: untuk c = a- b koordinat mempunyai bentuk ( c₁; c₂} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂). Untuk kes tertentu, anda boleh menulis:
q = {- 1 - 8; 7 - (- 6)} = { - 9; - 1}
Untuk mencari panjangnya q, mari gunakan formula | q| = √(q₁² + q₂²) = √((- 9)² + (- 1)²) = √(81 + 1) = √82 ≈ 9.06.
Masalah 2. Rajah menunjukkan vektor m, n dan p.
Adalah perlu untuk membina perbezaan untuk mereka: p- n; m- n; m- n- hlm. Ketahui yang mana antaranya mempunyai modulus terkecil.
Penyelesaian. Masalahnya memerlukan tiga pembinaan. Mari lihat setiap bahagian tugas dengan lebih terperinci.
Bahagian 1. Untuk menggambarkan hlm- n, Mari kita gunakan peraturan segitiga. Untuk melakukan ini, menggunakan terjemahan selari, kami menyambungkan segmen supaya titik akhirnya bertepatan. Sekarang mari kita sambungkan titik permulaan dan tentukan arah. Dalam kes kami, vektor perbezaan bermula di tempat yang sama dengan subtrahend n.
Bahagian 2. Mari kita gambarkan m - n. Sekarang untuk menyelesaikan kita akan menggunakan teorem perbezaan vektor. Untuk melakukan ini, bina vektor bertentangan n, dan kemudian cari jumlahnya dengan m. Hasil yang terhasil akan kelihatan seperti ini:
Bahagian 3. Untuk mencari perbezaan m - n - p, anda harus membahagikan ungkapan kepada dua tindakan. Oleh kerana algebra vektor mempunyai undang-undang yang serupa dengan undang-undang aritmetik, pilihan berikut adalah mungkin:
- m - (n + p): dalam kes ini, jumlah pertama diplotkan n+p, yang kemudiannya ditolak daripada m;
- (m - n) - hlm: di sini anda perlu mencari dahulu m - n, dan kemudian tolak daripada perbezaan ini hlm;
- (m - p) - n: tindakan pertama ditentukan m - hlm, selepas itu anda perlu menolak daripada hasil yang diperolehi n.
Oleh kerana dalam bahagian sebelumnya masalah kami telah menemui perbezaannya m - n, kita hanya perlu menolaknya hlm. Mari kita bina perbezaan antara dua vektor yang diberikan menggunakan teorem perbezaan. Jawapannya ditunjukkan dalam imej di bawah (merah menunjukkan hasil perantaraan, dan hijau menunjukkan hasil akhir).
Ia kekal untuk menentukan segmen mana yang mempunyai modulus terkecil. Mari kita ingat bahawa konsep panjang dan modulus dalam matematik vektor adalah sama. Mari kita anggaran panjang secara visual hlm- n, m- n Dan m- n-hlm. Jelas sekali, jawapan terpendek dan yang mempunyai modulus terkecil adalah jawapan di bahagian terakhir masalah, iaitu. m- n-hlm.
Kuantiti matematik atau fizik boleh diwakili sama ada kuantiti skalar (nilai berangka) atau kuantiti vektor (magnitud dan arah dalam ruang).
Vektor ialah segmen garis terarah, yang mana ia ditunjukkan titik sempadannya yang mana merupakan permulaan dan yang mana penghujung. Oleh itu, vektor mempunyai dua komponen - panjang dan arahnya.
Imej vektor dalam lukisan.
Apabila bekerja dengan vektor, sistem koordinat Cartesan tertentu sering diperkenalkan di mana koordinat vektor ditentukan dengan menguraikannya menjadi vektor asas:
Untuk vektor yang terletak dalam ruang koordinat (x,y,z) dan berasal dari asalan
Jarak antara permulaan dan penghujung vektor dipanggil panjangnya, dan simbol modulus digunakan untuk menandakan panjang vektor (nilai mutlaknya).
Vektor yang terletak sama ada pada garis yang sama atau pada garis selari dipanggil kolinear. Vektor nol dianggap kolinear kepada mana-mana vektor. Antara vektor kolinear, pembezaan dibuat antara vektor berarah (codirectional) dan berlawanan arah. Vektor dipanggil coplanar jika ia terletak sama ada pada satah yang sama atau pada garisan selari dengan satah yang sama.
1. Panjang vektor (modulus vektor)
Panjang vektor menentukan nilai skalarnya dan bergantung pada koordinatnya, tetapi tidak bergantung pada arahnya. Panjang vektor (atau modulus vektor) dikira melalui punca kuasa dua aritmetik hasil tambah kuasa dua koordinat (komponen) vektor (peraturan untuk mengira hipotenus dalam segi tiga tepat digunakan, di mana vektor itu sendiri menjadi hipotenus).
Menggunakan koordinat, modulus vektor dikira seperti berikut:
Untuk vektor yang terletak dalam ruang koordinat (x,y) dan berasal dari asalan
Untuk vektor yang terletak dalam ruang koordinat (x, y, z) dan berasal dari asalan, formula akan serupa dengan formula pepenjuru kuboid, kerana vektor dalam ruang mengambil kedudukan yang sama berbanding paksi koordinat.
2. Sudut antara vektor
Sudut antara dua vektor yang diletakkan dari satu titik ialah sudut terpendek di mana salah satu vektor perlu diputar di sekeliling asalnya ke kedudukan vektor kedua. Sudut antara vektor ditentukan menggunakan ungkapan untuk menentukan hasil darab titik bagi vektor
Oleh itu, kosinus sudut antara vektor adalah sama dengan nisbah hasil skalar kepada hasil darab panjang atau moduli vektor. Formula ini boleh digunakan jika panjang vektor dan hasil skalarnya diketahui, atau vektor ditentukan oleh koordinat dalam sistem koordinat segi empat tepat pada satah atau dalam ruang dalam bentuk: dan .
Jika vektor A dan B diberikan dalam ruang tiga dimensi dan koordinat setiap daripadanya diberikan dalam bentuk: dan , maka sudut antara vektor ditentukan oleh ungkapan berikut:
Perlu diingatkan bahawa sudut antara vektor dan juga boleh ditentukan dengan menggunakan teorem kosinus untuk segi tiga: kuasa dua mana-mana sisi segi tiga adalah sama dengan jumlah kuasa dua dua sisi yang lain tolak dua kali hasil darab sisi ini dan kosinus sudut di antara mereka.
di mana AB, OA, OB ialah sisi yang sepadan bagi segi tiga itu.
Teorem kosinus bagi segi tiga
Berhubung dengan kalkulus vektor, formula ini akan ditulis semula seperti berikut:
Oleh itu, sudut antara vektor dan ditentukan oleh ungkapan berikut:
di mana dan ialah modulus (panjang) vektor, dan ialah modulus (panjang) vektor, yang ditentukan daripada perbezaan dua vektor. Yang tidak diketahui termasuk dalam persamaan ditentukan oleh koordinat vektor dan .
3. Penambahan vektor
Penambahan dua vektor dan (jumlah dua vektor) ialah operasi pengiraan vektor, yang kesemua elemennya adalah sama dengan jumlah berpasangan bagi elemen yang sepadan bagi vektor dan. Jika vektor dinyatakan dalam sistem koordinat segi empat tepat jumlah vektor
Dalam bentuk grafik, dengan kedudukan dua vektor bebas boleh dijalankan kedua-duanya mengikut petua segi tiga dan petua selari.
Penambahan dua vektor
Penambahan dua vektor bergerak ditakrifkan hanya dalam kes apabila garisan di mana ia terletak bersilang. Penambahan dua vektor tetap ditakrifkan hanya apabila ia mempunyai asalan yang sama.
Peraturan segi tiga.
Untuk menambah dua vektor dan mengikut peraturan segitiga, kedua-dua vektor ini dipindahkan selari dengan diri mereka sendiri supaya permulaan salah satu daripadanya bertepatan dengan penghujung yang lain. Kemudian jumlah vektor diberikan oleh sisi ketiga segitiga yang terhasil, dan permulaannya bertepatan dengan permulaan vektor pertama, dan penghujungnya dengan penghujung vektor kedua.
di manakah sudut antara vektor apabila permulaan satu bertepatan dengan hujung yang lain.
Peraturan selari.
Untuk menambah dua vektor dan mengikut peraturan selari, kedua-dua vektor ini dipindahkan selari dengan diri mereka sendiri supaya asal-usulnya bertepatan. Kemudian vektor jumlah diberikan oleh pepenjuru segi empat selari yang dibina pada mereka, bermula dari asal sepunya mereka.
Modulus (panjang) vektor jumlah ditentukan menggunakan teorem kosinus:
di manakah sudut antara vektor yang muncul dari satu titik.
Nota:
Seperti yang anda lihat, bergantung pada sudut mana yang dipilih, tanda di hadapan kosinus sudut dalam formula untuk menentukan modulus (panjang) vektor jumlah berubah.
4. Perbezaan vektor
Perbezaan vektor dan (penolakan vektor) ialah operasi pengiraan vektor, semua elemen yang sama dengan perbezaan berpasangan elemen yang sepadan bagi vektor dan. Jika vektor dinyatakan dalam sistem koordinat segi empat tepat perbezaan vektor dan boleh didapati menggunakan formula berikut:
Dalam bentuk grafik, perbezaan antara vektor ialah jumlah vektor dan vektor yang bertentangan dengan vektor, i.e. 
Perbezaan dua vektor percuma
Perbezaan antara dua vektor bebas dalam bentuk grafik boleh ditentukan oleh peraturan segi tiga dan oleh peraturan selari. Modulus (panjang) vektor beza ditentukan oleh teorem kosinus. Bergantung pada sudut yang digunakan dalam formula, tanda di hadapan kosinus berubah (dibincangkan sebelum ini).
5. Hasil darab titik bagi vektor
Hasil darab skalar bagi dua vektor ialah nombor nyata yang sama dengan hasil darab panjang vektor yang didarab dan kosinus sudut di antara keduanya. Hasil darab titik vektor dan dilambangkan dengan salah satu tatatanda berikut atau atau dan ditakrifkan oleh formula:
di manakah panjang vektor dan, masing-masing, dan ialah kosinus sudut antara vektor.
Hasil darab titik dua vektor
Hasil darab titik juga boleh dikira melalui koordinat vektor dalam sistem koordinat segi empat tepat pada satah atau di angkasa.
Hasil darab skalar bagi dua vektor pada satah atau dalam ruang tiga dimensi dalam sistem koordinat segi empat tepat ialah hasil tambah hasil koordinat yang sepadan bagi vektor dan.
Oleh itu, untuk vektor dan pada satah dalam sistem koordinat Cartesian segi empat tepat, formula untuk mengira hasil skalar mempunyai bentuk berikut:
Untuk ruang tiga dimensi, formula untuk mengira hasil skalar vektor dan mempunyai bentuk berikut:
Sifat produk skalar.
1. Sifat komutatif hasil skalar
2. Sifat pengagihan hasil skalar
3. Sifat gabungan hasil skalar (persekutuan)
di mana nombor nyata arbitrari.
Perlu diingatkan bahawa dalam kes:
Jika hasil kali skalar adalah positif, oleh itu, sudut antara vektor adalah akut (kurang daripada 90 darjah);
Jika hasil kali skalar adalah negatif, oleh itu, sudut antara vektor adalah tumpul (lebih daripada 90 darjah);
Jika hasil darab titik ialah 0, maka vektor adalah ortogon (yang terletak berserenjang antara satu sama lain);
Jika hasil darab skalar adalah sama dengan hasil darab panjang vektor, oleh itu, vektor ini adalah segaris antara satu sama lain (selari).
6. Hasil darab vektor bagi vektor
Hasil silang dua vektor ialah vektor yang memenuhi syarat berikut:
1. vektor adalah ortogon (berserenjang) dengan satah vektor dan ;