Peluasan fungsi ke dalam siri Taylor, Maclaurin dan Laurent di tapak untuk melatih kemahiran praktikal. Peluasan siri fungsi ini membolehkan ahli matematik menganggarkan nilai anggaran fungsi pada satu ketika dalam domain definisinya. Adalah lebih mudah untuk mengira nilai fungsi sedemikian berbanding dengan menggunakan jadual Bredis, yang sangat tidak relevan pada abad ini teknologi komputer. Memperluas fungsi ke dalam siri Taylor bermakna mengira pekali sebelumnya fungsi linear siri ini dan tuliskannya bentuk yang betul. Pelajar mengelirukan dua siri ini, tidak memahami apa itu kes am, dan apakah kes khas kedua. Kami mengingatkan anda sekali dan untuk semua, siri Maclaurin - kes khas Siri Taylor, iaitu, ini ialah siri Taylor, tetapi pada titik x = 0. Semua entri ringkas untuk pengembangan fungsi yang terkenal, seperti e^x, Sin(x), Cos(x) dan lain-lain, ialah pengembangan siri Taylor , tetapi pada titik 0 untuk hujah. Untuk fungsi hujah yang kompleks, siri Laurent ialah masalah paling biasa dalam TFCT, kerana ia mewakili siri tak terhingga dua belah. Ia adalah jumlah dua siri. Kami mencadangkan anda melihat contoh penguraian secara langsung di tapak web ini sangat mudah dilakukan dengan mengklik pada "Contoh" dengan sebarang nombor, dan kemudian butang "Penyelesaian". Tepatnya pengembangan fungsi ke dalam satu siri yang dikaitkan dengan siri pengkhususan yang mengehadkan fungsi asal dalam kawasan tertentu di sepanjang paksi ordinat jika pembolehubah itu tergolong dalam wilayah absis. Analisis vektor Satu lagi disiplin yang menarik dalam matematik dibandingkan. Memandangkan setiap penggal perlu diteliti, prosesnya memerlukan masa yang agak lama. Mana-mana siri Taylor boleh dikaitkan dengan siri Maclaurin dengan menggantikan x0 dengan sifar, tetapi untuk siri Maclaurin kadangkala tidak jelas untuk mewakili siri Taylor secara terbalik. Tidak kira berapa banyak perkara ini perlu dilakukan bentuk tulen, tetapi menarik untuk pembangunan diri umum. Setiap siri Laurent sepadan dengan siri kuasa tak terhingga dua belah dalam integer kuasa z-a, dengan kata lain, satu siri jenis Taylor yang sama, tetapi berbeza sedikit dalam pengiraan pekali. Kami akan bercakap tentang kawasan penumpuan siri Laurent sedikit kemudian, selepas beberapa pengiraan teori. Seperti pada abad yang lalu, pengembangan langkah demi langkah fungsi ke dalam satu siri sukar dicapai hanya dengan mengurangkan istilah kepada penyebut biasa, kerana fungsi dalam penyebut adalah tak linear. Pengiraan anggaran nilai fungsian memerlukan menetapkan tugasan. Fikirkan hakikat bahawa apabila hujah bagi siri Taylor ialah pembolehubah linear, maka pengembangan berlaku dalam beberapa langkah, tetapi gambarnya berbeza sama sekali apabila hujah fungsi yang dikembangkan adalah fungsi kompleks atau bukan linear, maka proses mewakili fungsi sedemikian dalam siri kuasa adalah jelas, kerana, dengan cara ini, ia adalah mudah untuk mengira, walaupun nilai anggaran, pada mana-mana titik dalam rantau definisi, dengan ralat minimum yang mempunyai sedikit kesan pada pengiraan selanjutnya. Ini juga terpakai kepada siri Maclaurin. apabila anda perlu menilai fungsi dalam titik sifar. Walau bagaimanapun, siri Laurent sendiri diwakili di sini dengan pengembangan pada pesawat dengan unit khayalan. Ia juga tidak akan berjaya keputusan yang betul tugasan semasa proses umum. Pendekatan ini tidak diketahui dalam matematik, tetapi ia wujud secara objektif. Akibatnya, anda boleh sampai pada kesimpulan subset yang dipanggil pointwise, dan dalam pengembangan fungsi dalam siri anda perlu menggunakan kaedah yang diketahui untuk proses ini, seperti aplikasi teori derivatif. Sekali lagi Kami yakin bahawa guru itu betul, yang membuat andaian tentang hasil pengiraan pasca pengiraan. Mari kita ambil perhatian bahawa siri Taylor, yang diperoleh mengikut semua kanun matematik, wujud dan ditakrifkan pada keseluruhan paksi berangka, bagaimanapun, pengguna perkhidmatan tapak yang dihormati, jangan lupa jenis fungsi asal, kerana ia mungkin berubah. bahawa pada mulanya adalah perlu untuk mewujudkan domain definisi fungsi, iaitu, menulis dan mengecualikan daripada pertimbangan selanjutnya titik-titik di mana fungsi itu tidak ditakrifkan di rantau ini nombor nyata. Jadi untuk bercakap, ini akan menunjukkan kecekapan anda dalam menyelesaikan masalah. Pembinaan siri Maclaurin dengan nilai hujah sifar tidak akan terkecuali daripada apa yang telah diperkatakan. Tiada siapa yang telah membatalkan proses mencari domain definisi fungsi, dan anda mesti mendekati ini dengan penuh kesungguhan operasi matematik. Dalam kes siri Laurent yang mengandungi bahagian utama, parameter "a" akan dipanggil titik tunggal terpencil, dan siri Laurent akan dikembangkan dalam gelang - ini ialah persilangan kawasan penumpuan bahagiannya, oleh itu teorem yang sepadan akan menyusul. Tetapi tidak semuanya rumit seperti yang kelihatan pada pandangan pertama kepada pelajar yang tidak berpengalaman. Setelah mempelajari siri Taylor, anda boleh dengan mudah memahami siri Laurent - kes umum untuk mengembangkan ruang nombor. Sebarang pengembangan siri fungsi boleh dilakukan hanya pada satu titik dalam domain takrifan fungsi tersebut. Sifat fungsi seperti keberkalaan atau kebolehbezaan tak terhingga harus diambil kira. Kami juga mencadangkan anda menggunakan jadual pengembangan siri Taylor siap pakai fungsi asas, kerana satu fungsi boleh diwakili oleh sehingga berpuluh-puluh siri kuasa yang berbeza, seperti yang boleh dilihat daripada menggunakan kalkulator dalam talian kami. Siri dalam talian Menentukan Maclaurin adalah semudah membedil pear, jika anda menggunakan perkhidmatan unik tapak, anda hanya perlu memasukkan fungsi bertulis yang betul dan anda akan menerima jawapan yang dibentangkan dalam beberapa saat, ia akan dijamin tepat dan dalam standard bentuk bertulis. Anda boleh menyalin keputusan terus ke dalam salinan bersih untuk diserahkan kepada guru. Adalah betul untuk terlebih dahulu menentukan analitik fungsi yang dipersoalkan dalam gelang, dan kemudian dengan jelas menyatakan bahawa ia boleh dikembangkan dalam siri Laurent dalam semua gelang tersebut. Adalah penting untuk tidak melupakan kandungannya kuasa negatif ahli siri Laurent. Fokus pada perkara ini sebanyak mungkin. Gunakan dengan baik teorem Laurent tentang pengembangan fungsi dalam kuasa integer.
Untuk pelajar matematik yang lebih tinggi perlu diketahui bahawa jumlah tertentu siri kuasa, tergolong dalam selang penumpuan siri yang diberikan kepada kami, ternyata menjadi bilangan kali berterusan dan tidak terhad fungsi dibezakan. Timbul persoalan: bolehkah dikatakan bahawa yang diberikan fungsi sewenang-wenangnya f(x) ialah hasil tambah beberapa siri kuasa? Iaitu, dalam keadaan apakah fungsi f(x) boleh digambarkan? siri kuasa? Kepentingan soalan ini terletak pada fakta bahawa adalah mungkin untuk menggantikan fungsi f(x) dengan jumlah beberapa sebutan pertama siri kuasa, iaitu polinomial. Penggantian fungsi ini agak ungkapan ringkas- polinomial - juga mudah apabila menyelesaikan masalah tertentu, iaitu: semasa menyelesaikan kamiran, semasa mengira, dsb.
Telah terbukti bahawa untuk fungsi tertentu f(x), di mana adalah mungkin untuk mengira derivatif sehingga tertib ke (n+1), termasuk yang terakhir, dalam kejiranan (α - R; x 0 + R ) beberapa titik x = α, adalah benar bahawa formula:
Formula ini dinamakan sempena nama saintis terkenal Brooke Taylor. Siri yang diperoleh daripada yang sebelumnya dipanggil siri Maclaurin:
Peraturan yang memungkinkan untuk melakukan pengembangan dalam siri Maclaurin:
- Tentukan terbitan bagi pesanan pertama, kedua, ketiga...
- Kirakan apa yang sama dengan terbitan pada x=0.
- Tuliskan siri Maclaurin untuk fungsi ini, dan kemudian tentukan selang penumpuannya.
- Tentukan selang (-R;R), di mana baki formula Maclaurin
R n (x) -> 0 pada n -> infiniti. Jika satu wujud, fungsi f(x) di dalamnya mesti bertepatan dengan jumlah siri Maclaurin.
Mari kita pertimbangkan siri Maclaurin untuk fungsi individu.
1. Jadi, yang pertama ialah f(x) = e x. Sudah tentu, dengan ciri-cirinya, fungsi sedemikian mempunyai terbitan susunan yang sangat berbeza, dan f (k) (x) = e x , di mana k sama dengan semua x = 0. Kita dapat f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2... Berdasarkan perkara di atas, siri e x akan kelihatan seperti ini:
2. Siri Maclaurin untuk fungsi f(x) = sin x. Mari kita jelaskan dengan segera bahawa fungsi untuk semua yang tidak diketahui akan mempunyai derivatif, sebagai tambahan, f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), dengan k sama dengan sebarang nombor asli. Iaitu, selepas membuat pengiraan mudah, kita boleh membuat kesimpulan bahawa siri bagi f(x) = sin x akan dalam bentuk berikut:
3. Sekarang mari kita cuba pertimbangkan fungsi f(x) = cos x. Untuk semua yang tidak diketahui ia mempunyai terbitan susunan arbitrari, dan |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:
Jadi, kami telah menyenaraikan fungsi paling penting yang boleh dikembangkan dalam siri Maclaurin, tetapi ia ditambah dengan siri Taylor untuk beberapa fungsi. Sekarang kami akan menyenaraikannya. Perlu diingatkan juga bahawa siri Taylor dan Maclaurin adalah bahagian penting dalam kerja amali untuk menyelesaikan siri dalam matematik yang lebih tinggi. Jadi, siri Taylor.
1. Yang pertama ialah siri untuk fungsi f(x) = ln(1+x). Seperti dalam contoh sebelumnya, untuk f(x) = ln(1+x) yang diberikan kita boleh menambah siri menggunakan bentuk am siri Maclaurin. walau bagaimanapun, untuk fungsi ini siri Maclaurin boleh diperolehi dengan lebih mudah. Setelah menyepadukan siri geometri tertentu, kami memperoleh satu siri untuk f(x) = ln(1+x) sampel sedemikian:
2. Dan yang kedua, yang akan menjadi muktamad dalam artikel kami, ialah siri untuk f(x) = arctan x. Untuk x kepunyaan selang [-1;1] pengembangan adalah sah:
Itu sahaja. Artikel ini mengkaji siri Taylor dan Maclaurin yang paling banyak digunakan dalam matematik tinggi, khususnya dalam universiti ekonomi dan teknikal.
Jika fungsi f(x) mempunyai pada beberapa selang yang mengandungi titik A, terbitan semua pesanan, maka formula Taylor boleh digunakan padanya:
di mana r n– apa yang dipanggil istilah baki atau baki siri, ia boleh dianggarkan menggunakan formula Lagrange:
, di mana nombor x berada di antara X Dan A.
Jika untuk beberapa nilai x r n®0 pada n®¥, kemudian dalam had formula Taylor bertukar menjadi formula penumpuan untuk nilai ini siri Taylor:
Jadi fungsinya f(x) boleh dikembangkan menjadi siri Taylor pada titik yang dipersoalkan X, Jika:
1) ia mempunyai terbitan semua pesanan;
2) siri yang dibina menumpu pada ketika ini.
Pada A=0 kita mendapat satu siri yang dipanggil berhampiran Maclaurin:
Contoh 1 f(x)= 2x.
Penyelesaian. Mari kita cari nilai fungsi dan terbitannya di X=0
f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;
f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f¢¢(x) = 2x dalam 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.
Menggantikan nilai derivatif yang diperoleh ke dalam formula siri Taylor, kami memperoleh:
Jejari penumpuan siri ini adalah sama dengan infiniti, oleh itu pengembangan ini sah untuk -¥<x<+¥.
Contoh 2 X+4) untuk fungsi f(x)= e x.
Penyelesaian. Mencari terbitan bagi fungsi e x dan nilai mereka pada titik itu X=-4.
f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;
f¢(x)= e x, f¢(-4) = e -4 ;
f¢¢(x)= e x, f¢¢(-4) = e -4 ;
f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .
Oleh itu, siri Taylor fungsi yang diperlukan mempunyai bentuk:
Peluasan ini juga sah untuk -¥<x<+¥.
Contoh 3 . Kembangkan fungsi f(x)=ln x dalam satu siri dalam kuasa ( X- 1),
(iaitu dalam siri Taylor di sekitar titik X=1).
Penyelesaian. Cari terbitan bagi fungsi ini.
Menggantikan nilai ini ke dalam formula, kami memperoleh siri Taylor yang dikehendaki:
Menggunakan ujian d'Alembert, anda boleh mengesahkan bahawa siri itu menumpu apabila
½ X- 1½<1. Действительно,
Siri menumpu jika ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 kita memperoleh siri berselang-seli yang memenuhi syarat kriteria Leibniz. Pada X=0 fungsi tidak ditakrifkan. Oleh itu, kawasan penumpuan siri Taylor ialah selang separuh terbuka (0;2].
Marilah kita membentangkan pengembangan yang diperoleh dengan cara ini ke dalam siri Maclaurin (iaitu di sekitar titik X=0) untuk beberapa fungsi asas:
(2) 
,
(3) 
,
( penguraian terakhir dipanggil siri binomial)
Contoh 4 . Kembangkan fungsi menjadi siri kuasa
Penyelesaian. Dalam pengembangan (1) kami menggantikan X pada – X 2, kita dapat:
Contoh 5
. Kembangkan fungsi dalam siri Maclaurin 
Penyelesaian. Kami ada 
Menggunakan formula (4), kita boleh menulis:
menggantikan sebaliknya X ke dalam formula -X, kita dapat:
Dari sini kita dapati:
Membuka kurungan, menyusun semula terma siri dan membawa istilah yang serupa, kami dapat
Siri ini menumpu dalam selang
(-1;1), kerana ia diperoleh daripada dua siri, setiap satunya menumpu dalam selang ini.
Komen .
Formula (1)-(5) juga boleh digunakan untuk mengembangkan fungsi yang sepadan menjadi siri Taylor, i.e. untuk mengembangkan fungsi dalam kuasa integer positif ( Ha). Untuk melakukan ini, adalah perlu untuk melakukan transformasi yang serupa pada fungsi tertentu untuk mendapatkan salah satu fungsi (1)-(5), di mana sebaliknya X kos k( Ha) m , dengan k ialah nombor tetap, m ialah integer positif. Selalunya mudah untuk membuat perubahan pembolehubah t=Ha dan mengembangkan fungsi yang terhasil berkenaan dengan t dalam siri Maclaurin.
Kaedah ini menggambarkan teorem tentang keunikan pengembangan siri kuasa fungsi. Intipati teorem ini ialah dalam kejiranan titik yang sama dua siri kuasa yang berbeza tidak boleh diperoleh yang akan menumpu kepada fungsi yang sama, tidak kira bagaimana pengembangannya dilakukan.
Contoh 6 . Kembangkan fungsi dalam siri Taylor dalam kejiranan titik X=3.
Penyelesaian. Masalah ini boleh diselesaikan, seperti sebelum ini, menggunakan definisi siri Taylor, yang mana kita perlu mencari derivatif fungsi dan nilainya di X=3. Walau bagaimanapun, lebih mudah untuk menggunakan pengembangan sedia ada (5):
Siri yang terhasil menumpu pada 
atau –3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.
Contoh 7
. Tulis siri Taylor dalam kuasa ( X-1) fungsi 
.
Penyelesaian.
Siri menumpu pada 
, atau -2< x£5.
16.1. Peluasan fungsi asas kepada siri Taylor dan
Maclaurin
Mari kita tunjukkan bahawa jika fungsi arbitrari ditakrifkan pada set 
, di sekitar titik itu 
mempunyai banyak derivatif dan merupakan hasil tambah siri kuasa:
maka anda boleh mencari pekali siri ini.
Mari kita gantikan dalam siri kuasa 
. Kemudian 
.
Mari kita cari terbitan pertama bagi fungsi tersebut 
:
Pada 
:
.
Untuk derivatif kedua kita dapat:
Pada 
:
.
Meneruskan prosedur ini n sebaik sahaja kita mendapat: 
.
Oleh itu, kami memperoleh satu siri kuasa bentuk:
,
yang dipanggil di sebelah Taylor untuk fungsi 
di sekitar titik itu 
.
Satu kes khas siri Taylor ialah Siri Maclaurin di 
:
Baki siri Taylor (Maclaurin) diperoleh dengan membuang siri utama n ahli pertama dan dilambangkan sebagai 
. Kemudian fungsi 
boleh ditulis sebagai jumlah n ahli pertama siri ini 
dan selebihnya 
:,
.
Bakinya biasanya 
dinyatakan dalam formula yang berbeza.
Salah satunya adalah dalam bentuk Lagrange:
, Di mana 
.
.
Ambil perhatian bahawa dalam amalan siri Maclaurin lebih kerap digunakan. Oleh itu, untuk menulis fungsi 
dalam bentuk jumlah siri kuasa adalah perlu:
1) cari pekali siri Maclaurin (Taylor);
2) cari kawasan penumpuan siri kuasa yang terhasil;
3) buktikan bahawa siri ini menumpu kepada fungsi 
.
Teorem1
(syarat yang perlu dan mencukupi untuk penumpuan siri Maclaurin). Biarkan jejari penumpuan siri itu 
. Agar siri ini menumpu dalam selang 
untuk berfungsi 
, adalah perlu dan mencukupi untuk syarat dipenuhi: 
dalam selang waktu yang ditentukan.
Teorem 2. Jika terbitan sebarang susunan fungsi 
dalam beberapa selang 
terhad dalam nilai mutlak kepada nombor yang sama M, iaitu 
, maka dalam selang ini fungsi 
boleh dikembangkan menjadi siri Maclaurin.
Contoh1
.
Kembangkan dalam siri Taylor di sekeliling titik 
fungsi.
Penyelesaian.
.
,;
,
;
,
;
,
.......................................................................................................................................
,
;
Rantau penumpuan 
.
Contoh2
.
Kembangkan fungsi 
dalam siri Taylor sekitar satu titik 
.
Penyelesaian:
Cari nilai fungsi dan terbitannya di 
.
,
;
,
;
...........……………………………
,
.
Mari letakkan nilai ini berturut-turut. Kami mendapat:
atau 
.
Mari kita cari kawasan penumpuan siri ini. Mengikut ujian d'Alembert, satu siri menumpu jika
.
Oleh itu, untuk mana-mana 
had ini adalah kurang daripada 1, dan oleh itu julat penumpuan siri itu ialah: 
.
Mari kita pertimbangkan beberapa contoh pengembangan siri Maclaurin bagi fungsi asas asas. Ingat bahawa siri Maclaurin:
.
menumpu pada selang 
untuk berfungsi 
.
Ambil perhatian bahawa untuk mengembangkan fungsi menjadi satu siri adalah perlu:
a) cari pekali siri Maclaurin untuk fungsi ini;
b) hitung jejari penumpuan bagi siri yang terhasil;
c) membuktikan bahawa siri yang terhasil menumpu kepada fungsi 
.
Contoh 3. Pertimbangkan fungsinya 
.
Penyelesaian.
Mari kita hitung nilai fungsi dan terbitannya di 
.
Kemudian pekali berangka siri mempunyai bentuk:
untuk sesiapa sahaja n. Mari kita gantikan pekali yang ditemui ke dalam siri Maclaurin dan dapatkan: 
Mari kita cari jejari penumpuan siri yang terhasil, iaitu:
.
Oleh itu, siri itu menumpu pada selang 
.
Siri ini menumpu kepada fungsi 
untuk sebarang nilai 
, kerana pada sebarang selang waktu 
fungsi 
dan terbitannya dalam nilai mutlak dihadkan oleh nombor 
.
Contoh4
.
Pertimbangkan fungsinya 
.
Penyelesaian.
:
Adalah mudah untuk melihat bahawa terbitan tertib genap 
, dan terbitan adalah tertib ganjil. Mari kita gantikan pekali yang ditemui ke dalam siri Maclaurin dan dapatkan pengembangan:
Mari kita cari selang penumpuan siri ini. Menurut tanda d'Alembert:
untuk sesiapa sahaja 
. Oleh itu, siri itu menumpu pada selang 
.
Siri ini menumpu kepada fungsi 
, kerana semua derivatifnya terhad kepada perpaduan.
Contoh5
.
.
Penyelesaian.
Mari kita cari nilai fungsi dan terbitannya di 
:
Oleh itu, pekali siri ini: 
Dan 
, oleh itu:
Sama seperti baris sebelumnya, kawasan penumpuan 
. Siri menumpu kepada fungsi 
, kerana semua derivatifnya terhad kepada perpaduan.
Sila ambil perhatian bahawa fungsi 
pengembangan ganjil dan siri dalam kuasa ganjil, fungsi 
– genap dan pengembangan kepada satu siri dalam kuasa genap.
Contoh6
.
Siri binomial: 
.
Penyelesaian.
Mari kita cari nilai fungsi dan terbitannya di 
:
Daripada ini dapat dilihat bahawa:
Mari kita gantikan nilai pekali ini ke dalam siri Maclaurin dan dapatkan pengembangan fungsi ini kepada siri kuasa:
Mari kita cari jejari penumpuan siri ini:
Oleh itu, siri itu menumpu pada selang 
. Pada titik had di 
Dan 
siri mungkin atau mungkin tidak menumpu bergantung pada eksponen 
.
Siri yang dikaji menumpu pada selang 
untuk berfungsi 
, iaitu jumlah siri itu 
di 
.
Contoh7
.
Mari kita kembangkan fungsi dalam siri Maclaurin 
.
Penyelesaian.
Untuk mengembangkan fungsi ini menjadi satu siri, kami menggunakan siri binomial di 
. Kami mendapat: 
Berdasarkan sifat siri kuasa (siri kuasa boleh disepadukan dalam kawasan penumpuannya), kami dapati kamiran sisi kiri dan kanan siri ini:
Mari kita cari luas penumpuan siri ini: 
,
iaitu, luas penumpuan siri ini ialah selang 
. 
Mari kita tentukan penumpuan siri pada hujung selang. Pada 
. Siri ini adalah siri yang harmoni, iaitu, ia menyimpang. Pada 
.
kita mendapat siri nombor dengan istilah biasa 
.
Siri ini menumpu mengikut kriteria Leibniz. Oleh itu, kawasan penumpuan siri ini ialah selang
16.2. Penggunaan siri kuasa dalam pengiraan anggaran n Dalam pengiraan anggaran, siri kuasa memainkan peranan yang sangat penting. Dengan bantuan mereka, jadual fungsi trigonometri, jadual logaritma, jadual nilai fungsi lain telah disusun, yang digunakan dalam pelbagai bidang pengetahuan, contohnya, dalam teori kebarangkalian dan statistik matematik. Di samping itu, pengembangan fungsi ke dalam siri kuasa berguna untuk kajian teori mereka. Isu utama apabila menggunakan siri kuasa dalam pengiraan anggaran ialah persoalan menganggar ralat apabila menggantikan jumlah siri dengan jumlah siri pertama.
ahli.
Mari kita pertimbangkan dua kes:
fungsi dikembangkan menjadi siri berselang seli;
fungsi itu dikembangkan menjadi satu siri tanda malar.
Pengiraan menggunakan siri berselang-seli 
Biarkan fungsi 
berkembang menjadi siri kuasa berselang-seli. Kemudian apabila mengira fungsi ini untuk nilai tertentu n kita memperoleh siri nombor yang mana kita boleh menggunakan kriteria Leibniz. Selaras dengan kriteria ini, jika jumlah siri digantikan dengan jumlah yang pertama 
.
Contoh8
.
terma, maka ralat mutlak tidak melebihi sebutan pertama baki siri ini, iaitu: 
Kira
Penyelesaian.
dengan ketepatan 0.0001. 
Kami akan menggunakan siri Maclaurin untuk
, menggantikan nilai sudut dalam radian:
Jika kita membandingkan sebutan pertama dan kedua siri dengan ketepatan yang diberikan, maka: .
Penggal ketiga pengembangan: 
kurang daripada ketepatan pengiraan yang ditetapkan. Oleh itu, untuk mengira
.
ia cukup untuk meninggalkan dua penggal siri, iaitu 
.
Contoh9
.
terma, maka ralat mutlak tidak melebihi sebutan pertama baki siri ini, iaitu: 
Justeru
Penyelesaian.
dengan ketepatan 0.001. 
Kami akan menggunakan formula siri binomial. Untuk melakukan ini, mari kita menulis 
.
dalam bentuk: 
,
Dalam ungkapan ini 
Mari bandingkan setiap terma siri dengan ketepatan yang ditentukan. Ia adalah jelas bahawa 
. Oleh itu, untuk mengira
atau 
.
ia cukup untuk meninggalkan tiga penggal siri.
Contoh10
.
Pengiraan menggunakan siri positif 
Kira nombor
Penyelesaian.
dengan ketepatan 0.001. 
Berturut-turut untuk fungsi 
mari kita ganti
Mari kita anggarkan ralat yang timbul apabila menggantikan jumlah siri dengan jumlah siri pertama 
ahli. Mari kita tuliskan ketidaksamaan yang jelas:
iaitu 2<
<3.
Используем формулу остаточного члена
ряда в форме Лагранжа:
,
.
Mengikut masalah, anda perlu mencari n supaya ketidaksamaan berikut berlaku: 
atau 
.
Ia adalah mudah untuk menyemak bahawa apabila n= 6:
.
Oleh itu, 
.
Contoh11
.
terma, maka ralat mutlak tidak melebihi sebutan pertama baki siri ini, iaitu: 
dengan ketepatan 0.0001.
Penyelesaian.
Ambil perhatian bahawa untuk mengira logaritma kita boleh menggunakan siri untuk fungsi tersebut 
, tetapi siri ini menumpu dengan sangat perlahan dan untuk mencapai ketepatan yang diberikan adalah perlu untuk mengambil 9999 sebutan! Oleh itu, untuk mengira logaritma, sebagai peraturan, satu siri untuk fungsi digunakan 
, yang menumpu pada selang 
.
Jom kira 
menggunakan siri ini. biarlah 
, Kemudian 
.
Oleh itu, 
,
Untuk mengira 
dengan ketepatan yang diberikan, ambil jumlah empat sebutan pertama: 
.
Selebihnya siri ini 
mari kita buang. Mari kita anggarkan ralat. Ia adalah jelas bahawa 
atau 
.
Oleh itu, dalam siri yang digunakan untuk pengiraan, sudah cukup untuk mengambil hanya empat sebutan pertama dan bukannya 9999 dalam siri untuk fungsi 
.
Soalan diagnosis diri
1. Apakah siri Taylor?
2. Apakah bentuk siri Maclaurin?
3. Merumuskan teorem tentang pengembangan fungsi dalam siri Taylor.
4. Tuliskan pengembangan siri Maclaurin bagi fungsi utama.
5. Nyatakan kawasan penumpuan bagi siri yang dipertimbangkan.
6. Bagaimana untuk menganggarkan ralat dalam pengiraan anggaran menggunakan siri kuasa?
Jika fungsi f(x) mempunyai terbitan semua pesanan pada selang tertentu yang mengandungi titik a, maka formula Taylor boleh digunakan untuknya:
,
di mana r n– apa yang dipanggil istilah baki atau baki siri, ia boleh dianggarkan menggunakan formula Lagrange:
, di mana nombor x berada di antara x dan a.
Peraturan untuk memasukkan fungsi:
Jika untuk beberapa nilai X r n→0 pada n→∞, maka dalam had formula Taylor menjadi menumpu untuk nilai ini siri Taylor:
,
Oleh itu, fungsi f(x) boleh dikembangkan menjadi siri Taylor pada titik x yang dipertimbangkan jika:
1) ia mempunyai terbitan semua pesanan;
2) siri yang dibina menumpu pada ketika ini.
Apabila a = 0 kita mendapat satu siri yang dipanggil berhampiran Maclaurin:
,
Peluasan fungsi termudah (elemen) dalam siri Maclaurin:
Fungsi eksponen
, R=∞
Fungsi trigonometri 
, R=∞ 
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Fungsi actgx tidak berkembang dalam kuasa x, kerana ctg0=∞
Fungsi hiperbolik
Fungsi logaritma
, -1
Siri binomial
.
Contoh No 1. Kembangkan fungsi menjadi siri kuasa f(x)= 2x.
Penyelesaian. Mari kita cari nilai fungsi dan terbitannya di X=0
f(x) = 2x, f( 0)
= 2 0
=1;
f"(x) = 2x ln2, f"( 0)
= 2 0
ln2= ln2;
f""(x) = 2x dalam 2 2, f""( 0)
= 2 0
ln 2 2= ln 2 2;
…
f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0)
= 2 0
ln n 2=ln n 2.
Menggantikan nilai derivatif yang diperoleh ke dalam formula siri Taylor, kami memperoleh:
Jejari penumpuan siri ini adalah sama dengan infiniti, oleh itu pengembangan ini sah untuk -∞<x<+∞.
Contoh No. 2. Tulis siri Taylor dalam kuasa ( X+4) untuk fungsi f(x)= e x.
Penyelesaian. Mencari terbitan bagi fungsi e x dan nilai mereka pada titik itu X=-4.
f(x)= e x, f(-4)
= e -4
;
f"(x)= e x, f"(-4)
= e -4
;
f""(x)= e x, f""(-4)
= e -4
;
…
f(n)(x)= e x, f(n)( -4)
= e -4
.
Oleh itu, siri Taylor fungsi yang diperlukan mempunyai bentuk:
Pengembangan ini juga sah untuk -∞<x<+∞.
Contoh No. 3. Kembangkan fungsi f(x)=ln x dalam satu siri dalam kuasa ( X- 1),
(iaitu dalam siri Taylor di sekitar titik X=1).
Penyelesaian. Cari terbitan bagi fungsi ini.
f(x)=lnx , , , ,
f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
Menggantikan nilai ini ke dalam formula, kami memperoleh siri Taylor yang dikehendaki:
Menggunakan ujian d'Alembert, anda boleh mengesahkan bahawa siri itu menumpu pada ½x-1½<1 . Действительно,
Siri menumpu jika ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 kita memperoleh siri berselang-seli yang memenuhi syarat kriteria Leibniz. Apabila x=0 fungsi itu tidak ditakrifkan. Oleh itu, kawasan penumpuan siri Taylor ialah selang separuh terbuka (0;2].
Contoh No. 4. Kembangkan fungsi ke dalam siri kuasa. Contoh No. 5. Kembangkan fungsi ke dalam siri Maclaurin. Komen
.
Kaedah ini berdasarkan teorem tentang keunikan pengembangan fungsi dalam siri kuasa. Intipati teorem ini ialah dalam kejiranan titik yang sama dua siri kuasa yang berbeza tidak boleh diperoleh yang akan menumpu kepada fungsi yang sama, tidak kira bagaimana pengembangannya dilakukan. Contoh No. 5a. Kembangkan fungsi dalam siri Maclaurin dan nyatakan rantau penumpuan. Pecahan 3/(1-3x) boleh dianggap sebagai hasil tambah janjang geometri menyusut tak terhingga dengan penyebut 3x, jika |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд
Contoh No. 6. Kembangkan fungsi ke dalam siri Taylor di sekitar titik x = 3. Contoh No. 7. Tulis siri Taylor dalam kuasa (x -1) bagi fungsi ln(x+2) . Contoh No. 8. Kembangkan fungsi f(x)=sin(πx/4) ke dalam siri Taylor di sekitar titik x =2. Contoh No 1. Kira ln(3) kepada 0.01 yang terdekat. Contoh No. 2. Kira kepada 0.0001 yang terdekat. Contoh No. 3. Hitung kamiran ∫ 0 1 4 sin (x) x hingga dalam 10 -5 . Contoh No. 4. Hitung kamiran ∫ 0 1 4 e x 2 dengan kejituan 0.001.
Penyelesaian. Dalam pengembangan (1) kita gantikan x dengan -x 2, kita dapat:
, -∞
Penyelesaian. Kami ada
Menggunakan formula (4), kita boleh menulis:
menggantikan –x dan bukannya x dalam formula, kita dapat:
Dari sini kita dapati: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Membuka kurungan, menyusun semula terma siri dan membawa istilah yang serupa, kami dapat
. Siri ini menumpu dalam selang (-1;1), kerana ia diperoleh daripada dua siri, setiap satu daripadanya menumpu dalam selang ini.
Formula (1)-(5) juga boleh digunakan untuk mengembangkan fungsi yang sepadan menjadi siri Taylor, i.e. untuk mengembangkan fungsi dalam kuasa integer positif ( Ha). Untuk melakukan ini, adalah perlu untuk melakukan transformasi yang serupa pada fungsi tertentu untuk mendapatkan salah satu fungsi (1)-(5), di mana sebaliknya X kos k( Ha) m , dengan k ialah nombor tetap, m ialah integer positif. Selalunya mudah untuk membuat perubahan pembolehubah t=Ha dan mengembangkan fungsi yang terhasil berkenaan dengan t dalam siri Maclaurin.
Penyelesaian. Mula-mula kita dapati 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
ke peringkat rendah:
dengan rantau penumpuan |x|< 1/3.
Penyelesaian. Masalah ini boleh diselesaikan, seperti sebelum ini, menggunakan definisi siri Taylor, yang mana kita perlu mencari derivatif fungsi dan nilainya di X=3. Walau bagaimanapun, lebih mudah untuk menggunakan pengembangan sedia ada (5):
=
Siri yang terhasil menumpu pada atau –3
Penyelesaian.
Siri itu menumpu pada , atau -2< x < 5.
Penyelesaian. Mari buat penggantian t=x-2:
Menggunakan pengembangan (3), di mana kita menggantikan π / 4 t sebagai ganti x, kita memperoleh:
Siri yang terhasil menumpu kepada fungsi yang diberikan pada -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞
, (-∞Pengiraan anggaran menggunakan siri kuasa
Siri kuasa digunakan secara meluas dalam pengiraan anggaran. Dengan bantuan mereka, anda boleh mengira nilai punca, fungsi trigonometri, logaritma nombor, dan kamiran pasti dengan ketepatan yang diberikan. Siri juga digunakan apabila menyepadukan persamaan pembezaan.
Pertimbangkan pengembangan fungsi dalam siri kuasa:
Untuk mengira nilai anggaran fungsi pada titik tertentu X, kepunyaan wilayah penumpuan siri yang ditunjukkan, yang pertama ditinggalkan dalam pengembangannya n ahli ( n– nombor terhingga), dan sebutan selebihnya dibuang:
Untuk menganggarkan ralat nilai anggaran yang diperoleh, adalah perlu untuk menganggar baki rn (x) yang dibuang. Untuk melakukan ini, gunakan teknik berikut:
Penyelesaian. Mari kita gunakan pengembangan di mana x=1/2 (lihat contoh 5 dalam topik sebelumnya):
Mari kita semak sama ada kita boleh membuang baki selepas tiga sebutan pertama pengembangan untuk melakukan ini, kita akan menilainya menggunakan jumlah janjang geometri yang berkurangan tidak terhingga:
Jadi kita boleh buang baki ini dan dapatkan
Penyelesaian. Mari kita gunakan siri binomial. Oleh kerana 5 3 ialah kubus integer yang paling hampir dengan 130, adalah dinasihatkan untuk mewakili nombor 130 sebagai 130 = 5 3 +5. 
kerana sudah menjadi sebutan keempat siri berselang-seli yang terhasil yang memenuhi kriteria Leibniz adalah kurang daripada ketepatan yang diperlukan:
, jadi ia dan syarat yang mengikutinya boleh dibuang.
Banyak kamiran pasti atau tidak wajar yang diperlukan secara praktikal tidak boleh dikira menggunakan formula Newton-Leibniz, kerana penggunaannya dikaitkan dengan mencari antiterbitan, yang selalunya tidak mempunyai ungkapan dalam fungsi asas. Ia juga berlaku bahawa mencari antiderivatif adalah mungkin, tetapi ia tidak semestinya memerlukan buruh. Walau bagaimanapun, jika fungsi integrand dikembangkan menjadi siri kuasa, dan had penyepaduan tergolong dalam selang penumpuan siri ini, maka pengiraan anggaran kamiran dengan ketepatan yang telah ditetapkan adalah mungkin.
Penyelesaian. Kamiran tak tentu yang sepadan tidak boleh dinyatakan dalam fungsi asas, i.e. mewakili "kamiran tidak kekal". Formula Newton-Leibniz tidak boleh digunakan di sini. Mari kita mengira kamiran lebih kurang.
Membahagikan istilah dengan istilah siri untuk dosa x pada x, kita dapat: 
Mengintegrasikan istilah siri ini mengikut sebutan (ini mungkin, kerana had penyepaduan tergolong dalam selang penumpuan siri ini), kami memperoleh:
Oleh kerana siri yang terhasil memenuhi syarat Leibniz dan sudah cukup untuk mengambil jumlah dua sebutan pertama untuk mendapatkan nilai yang diingini dengan ketepatan yang diberikan.
Oleh itu, kita dapati 
.
Penyelesaian.
. Mari kita semak sama ada kita boleh membuang baki selepas penggal kedua siri yang terhasil.
0.0001<0.001. Следовательно, 
.