Vektor boleh diwakili secara grafik oleh segmen terarah. Panjang dipilih pada skala tertentu untuk ditunjukkan magnitud vektor , dan arah segmen mewakili arah vektor . Sebagai contoh, jika kita mengandaikan bahawa 1 cm mewakili 5 km/j, maka angin timur laut dengan kelajuan 15 km/j akan diwakili oleh segmen arah dengan panjang 3 cm, seperti yang ditunjukkan dalam rajah.
vektor di atas kapal terbang ia adalah segmen terarah. Dua vektor sama rata jika mereka mempunyai yang sama saiz Dan arah.
Pertimbangkan vektor yang dilukis dari titik A ke titik B. Titik itu dipanggil titik permulaan vektor, dan titik B dipanggil titik akhir. Notasi simbolik untuk vektor ini ialah (dibaca sebagai "vektor AB"). Vektor juga diwakili oleh huruf tebal seperti U, V, dan W. Empat vektor dalam rajah di sebelah kiri mempunyai panjang dan arah yang sama. Oleh itu mereka mewakili sama rata angin; itu dia, 
Dalam konteks vektor, kita gunakan = untuk menunjukkan bahawa ia adalah sama.
Panjang, atau magnitud dinyatakan sebagai ||. Untuk menentukan sama ada vektor adalah sama, kita mencari magnitud dan arahnya.
Contoh 1 Vektor u, , w ditunjukkan dalam rajah di bawah. Buktikan bahawa u = = w. 
Penyelesaian Mula-mula kita mencari panjang setiap vektor menggunakan formula jarak:
|u| = √ 2 + (4 - 3) 2 = √9 + 1 = √10,
|| = √ 2 + 2
= √9 + 1
= √10
,
|w| = √(4 - 1) 2 + [-1 - (-2)] 2 = √9 + 1 = √10 .
Dari sini
|u| = | = |w|.
Vektor u, , dan w, seperti yang boleh dilihat dari rajah, nampaknya mempunyai arah yang sama, tetapi kami akan menyemak cerunnya. Jika garisan di mana ia berada mempunyai cerun yang sama, maka vektor mempunyai arah yang sama. Kami mengira cerun: 
Oleh kerana u, , dan w mempunyai magnitud yang sama dan arah yang sama,
u = = w.
Perlu diingat bahawa vektor yang sama hanya memerlukan magnitud yang sama dan arah yang sama, bukan lokasi yang sama. Angka paling atas menunjukkan contoh kesamaan vektor.
Katakan seseorang mengambil 4 langkah ke timur dan kemudian 3 langkah ke utara. Orang itu kemudiannya akan berada 5 langkah dari titik permulaan ke arah yang ditunjukkan di sebelah kiri. Vektor 4 unit panjang dengan arah ke kanan mewakili 4 langkah ke timur dan vektor 3 unit panjang dengan arah ke atas mewakili 3 langkah ke utara. Jumlah daripada dua vektor ini terdapat vektor 5 langkah magnitud dan mengikut arah yang ditunjukkan. Jumlah itu juga dipanggil terhasil dua vektor.
Secara umum, dua vektor bukan sifar u dan v boleh ditambah secara geometri dengan meletakkan titik permulaan vektor v ke titik akhir vektor u, dan kemudian mencari vektor yang mempunyai titik permulaan yang sama dengan vektor u dan penghujung yang sama. titik sebagai vektor v seperti yang ditunjukkan dalam rajah di bawah. 
Jumlahnya ialah vektor yang diwakili oleh segmen terarah dari titik A vektor u ke titik akhir C vektor v. Oleh itu, jika u = dan v = , maka
u + v = + =
Kita juga boleh menerangkan penambahan vektor sebagai meletakkan titik permulaan vektor bersama-sama, membina segi empat selari, dan mencari pepenjuru selari. (dalam rajah di bawah.) Penambahan ini kadangkala dipanggil sebagai peraturan selari
penambahan vektor. Penambahan vektor adalah komutatif. Seperti yang ditunjukkan dalam rajah, kedua-dua vektor u + v dan v + u diwakili oleh segmen garis arah yang sama. 
Jika dua daya F 1 dan F 2 bertindak ke atas satu objek, terhasil daya ialah hasil tambah F 1 + F 2 daripada dua daya berasingan ini. 
Contoh Dua daya 15 newton dan 25 newton bertindak pada satu objek yang berserenjang antara satu sama lain. Cari jumlah mereka, atau daya yang terhasil, dan sudut yang dibuat dengan daya yang lebih besar.
Penyelesaian Mari kita lukis keadaan masalah, dalam kes ini segi empat tepat, menggunakan v atau untuk mewakili paduan. Untuk mencari nilainya, kami menggunakan teorem Pythagoras:
|v| 2 = 15 2 + 25 2 Di sini |v| menandakan panjang atau magnitud v.
|v| = √15 2 + 25 2
|v| ≈ 29.2.
Untuk mencari arah, ambil perhatian bahawa memandangkan OAB ialah sudut tegak,
tanθ = 15/25 = 0.6.
Dengan menggunakan kalkulator, kita dapati θ, sudut yang dibuat oleh daya yang lebih besar dengan daya bersih:
θ = tan - 1 (0.6) ≈ 31°
Hasilnya mempunyai magnitud 29.2 dan sudut 31° dengan daya yang lebih besar.
Juruterbang boleh melaraskan arah penerbangan mereka jika ada angin silang. Angin dan kelajuan kapal terbang boleh diwakili sebagai angin.
Contoh 3. Kelajuan dan arah kapal terbang. Pesawat itu bergerak mengikut azimut 100° pada kelajuan 190 km/j, manakala kelajuan angin ialah 48 km/j dan azimutnya ialah 220°. Cari kelajuan mutlak pesawat dan arah pergerakannya, dengan mengambil kira angin.
Penyelesaian Jom buat lukisan dulu. Angin diwakili dan vektor kelajuan pesawat ialah . Vektor halaju yang terhasil ialah v, hasil tambah kedua-dua vektor. Sudut θ antara v dan dipanggil sudut hanyut
.
Ambil perhatian bahawa nilai COA = 100° - 40° = 60°. Kemudian nilai CBA juga sama dengan 60° (sudut bertentangan segi empat selari adalah sama). Oleh kerana hasil tambah semua sudut segi empat selari ialah 360° dan COB dan OAB adalah magnitud yang sama, setiap satu mestilah 120°. Oleh peraturan kosinus
dalam OAB, kami ada
|v| 2 = 48 2 + 190 2 - 2.48.190.cos120°
|v| 2 = 47.524
|v| = 218
Kemudian, |v| bersamaan dengan 218 km/j. mengikut peraturan sinus
, dalam segi tiga yang sama,
48
/sinθ = 218
/dosa 120°,
atau
sinθ = 48.sin120°/218 ≈ 0.1907
θ ≈ 11°
Kemudian, θ = 11°, kepada sudut integer terdekat. Kelajuan mutlak ialah 218 km/j, dan arah pergerakannya mengambil kira angin: 100° - 11°, atau 89°.
Diberi vektor w, kita boleh mencari dua vektor lain u dan v yang jumlahnya ialah w. Vektor u dan v dipanggil komponen w dan proses mencari mereka dipanggil penguraian , atau perwakilan vektor oleh komponen vektornya.
Apabila kita mengembangkan vektor, kita biasanya mencari komponen serenjang. Selalunya, bagaimanapun, satu komponen akan selari dengan paksi-x dan satu lagi akan selari dengan paksi-y. Oleh itu, mereka sering dipanggil mendatar
Dan menegak
komponen vektor. Dalam rajah di bawah, vektor w = diuraikan sebagai hasil tambah u = dan v =. 
Komponen mendatar bagi w ialah u dan komponen menegak ialah v.
Contoh 4 Vektor w mempunyai magnitud 130 dan cerun 40° berbanding mengufuk. Uraikan vektor kepada komponen mendatar dan menegak.
Penyelesaian Mula-mula kita akan melukis gambar dengan vektor mendatar dan menegak u dan v yang jumlahnya ialah w. 
Daripada ABC, kami dapati |u| dan |v|, menggunakan takrifan kosinus dan sinus:
cos40° = |u|/130, atau |u| = 130.cos40° ≈ 100,
sin40° = |v|/130, atau |v| = 130.sin40° ≈ 84.
Kemudian, komponen mendatar w ialah 100 ke kanan dan komponen menegak w ialah 84 ke atas.
Asas ruang ialah sistem vektor di mana semua vektor lain dalam ruang boleh diwakili sebagai gabungan linear vektor yang termasuk dalam asas.
Dalam amalan, ini semua dilaksanakan dengan agak mudah. Asas, sebagai peraturan, diperiksa pada satah atau di angkasa, dan untuk ini anda perlu mencari penentu matriks tertib kedua, ketiga yang terdiri daripada koordinat vektor. Di bawah ditulis secara skematik keadaan di mana vektor menjadi asas
Kepada kembangkan vektor b kepada vektor asas
e,e...,e[n] adalah perlu untuk mencari pekali x, ..., x[n] yang mana gabungan linear vektor e,e...,e[n] adalah sama dengan vektor b:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Untuk melakukan ini, persamaan vektor harus ditukar kepada sistem persamaan linear dan penyelesaian harus dicari. Ini juga agak mudah untuk dilaksanakan.
Pekali yang ditemui x, ..., x[n] dipanggil koordinat vektor b dalam asas e,e...,e[n].
Mari kita beralih ke bahagian praktikal topik.
Penguraian vektor kepada vektor asas
Tugasan 1. Periksa sama ada vektor a1, a2 membentuk asas pada satah
1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Penyelesaian: Kami menyusun penentu daripada koordinat vektor dan mengiranya
Penentu bukan sifar, oleh itu vektor adalah bebas linear, yang bermaksud ia membentuk asas.
2) a1 (2; -3), a2 (5;-1)
Penyelesaian: Kami mengira penentu yang terdiri daripada vektor 
Penentu adalah sama dengan 13 (tidak sama dengan sifar) - dari ini ia mengikuti bahawa vektor a1, a2 adalah asas pada satah.
---=================---
Mari kita lihat contoh tipikal dari program MAUP dalam disiplin "Higher Mathematics".
Tugasan 2. Tunjukkan bahawa vektor a1, a2, a3 membentuk asas ruang vektor tiga dimensi, dan kembangkan vektor b mengikut asas ini (gunakan kaedah Cramer apabila menyelesaikan sistem persamaan algebra linear).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Penyelesaian: Pertama, pertimbangkan sistem vektor a1, a2, a3 dan semak penentu matriks A
dibina pada vektor bukan sifar. Matriks mengandungi satu elemen sifar, jadi adalah lebih sesuai untuk mengira penentu sebagai jadual dalam lajur pertama atau baris ketiga. 
Hasil daripada pengiraan, kami mendapati bahawa penentu adalah berbeza daripada sifar, oleh itu vektor a1, a2, a3 adalah bebas linear.
Mengikut definisi, vektor membentuk asas dalam R3. Mari kita tulis jadual vektor b berdasarkan 
Vektor adalah sama apabila koordinat yang sepadan adalah sama.
Oleh itu, daripada persamaan vektor kita memperoleh sistem persamaan linear 
Jom selesaikan SLAE kaedah Cramer. Untuk melakukan ini, kami menulis sistem persamaan dalam bentuk
Penentu utama SLAE sentiasa sama dengan penentu yang terdiri daripada vektor asas
Oleh itu, dalam amalan ia tidak dikira dua kali. Untuk mencari penentu tambahan, kami meletakkan lajur istilah bebas sebagai ganti setiap lajur penentu utama. Penentu dikira menggunakan peraturan segitiga 
Mari kita gantikan penentu yang ditemui ke dalam formula Cramer 
Jadi, pengembangan vektor b dari segi asas mempunyai bentuk b=-4a1+3a2-a3. Koordinat vektor b dalam asas a1, a2, a3 ialah (-4,3, 1).
2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Penyelesaian: Kami menyemak vektor untuk asas - kami menyusun penentu daripada koordinat vektor dan mengiranya 
Oleh itu, penentu tidak sama dengan sifar vektor membentuk asas dalam ruang. Ia kekal untuk mencari jadual vektor b melalui asas ini. Untuk melakukan ini, kami menulis persamaan vektor 
dan bertukar kepada sistem persamaan linear 
Kami menulis persamaan matriks
Seterusnya, untuk formula Cramer kita dapati penentu tambahan 
Kami menggunakan formula Cramer 
Jadi vektor b yang diberi mempunyai jadual melalui dua vektor asas b=-2a1+5a3, dan koordinatnya dalam asas adalah sama dengan b(-2,0, 5).
Tugasan ujian
Tugasan 1 - 10. Vektor diberi. Tunjukkan bahawa vektor membentuk asas ruang tiga dimensi dan cari koordinat vektor dalam asas ini:
Diberi vektor ε 1 (3;1;6), ε 2 (-2;2;-3), ε 3 (-4;5;-1), X(3;0;1). Tunjukkan bahawa vektor membentuk asas dalam ruang tiga dimensi dan cari koordinat bagi vektor X dalam asas ini.
Tugasan ini terdiri daripada dua bahagian. Mula-mula anda perlu menyemak sama ada vektor membentuk asas. Vektor membentuk asas jika penentu yang terdiri daripada koordinat vektor ini adalah bukan sifar, jika tidak, vektor bukan asas dan vektor X tidak boleh dikembangkan atas asas ini.
Mari kita hitung penentu matriks:
∆ = 3*(2*(-1) - 5*(-3)) - -2*(1*(-1) - 5*6) + -4*(1*(-3) - 2*6) = 37
Penentu matriks ialah ∆ =37
Oleh kerana penentu adalah bukan sifar, vektor membentuk asas, oleh itu, vektor X boleh dikembangkan atas asas ini. Itu. terdapat nombor α 1, α 2, α 3 supaya persamaan itu dipegang:
X = α 1 ε 1 + α 2 ε 2 + α 3 ε 3
Mari kita tulis kesamaan ini dalam bentuk koordinat:
(3;0;1) = α(3;1;6) + α(-2;2;-3) + α(-4;5;-1)
Dengan menggunakan sifat vektor, kita memperoleh kesamaan berikut:
(3;0;1) = (3α 1 ;1α 1 ;6α 1 ;) + (-2α 2 ;2α 2 ;-3α 2 ;) + (-4α 3 ;5α 3 ;-1α 3 ;)
(3;0;1) = (3α 1 -2α 2 -4α 3 ;1α 1 + 2α 2 + 5α 3 ;6α 1 -3α 2 -1α 3)
Dengan sifat kesamaan vektor kita mempunyai:
3α 1 -2α 2 -4α 3 = 3
1α 1 + 2α 2 + 5α 3 = 0
6α 1 -3α 2 -1α 3 = 1
Kami menyelesaikan sistem persamaan yang terhasil Kaedah Gaussian atau kaedah Cramer.
X = ε 1 + 2ε 2 -ε 3
Penyelesaian telah diterima dan diproses menggunakan perkhidmatan:
Koordinat vektor dalam asas
Bersama-sama dengan masalah ini mereka juga menyelesaikan:
Menyelesaikan persamaan matriks
Kaedah Cramer
Kaedah Gauss
Matriks songsang menggunakan kaedah Jordano-Gauss
Matriks songsang melalui pelengkap algebra
Pendaraban matriks dalam talian
Definisi standard: "Vektor ialah segmen terarah." Ini biasanya tahap pengetahuan graduan tentang vektor. Siapa yang memerlukan beberapa jenis "segmen arah"?
Tetapi sebenarnya, apakah vektor dan untuk apa ia?
Ramalan cuaca. “Angin barat laut, kelajuan 18 meter sesaat.” Setuju, kedua-dua arah angin (dari mana ia bertiup) dan magnitud (iaitu, nilai mutlak) kelajuannya penting.
Kuantiti yang tidak mempunyai arah dipanggil skalar. Jisim, kerja, cas elektrik tidak diarahkan ke mana-mana. Mereka hanya dicirikan oleh nilai berangka - "berapa kilogram" atau "berapa joule".
Kuantiti fizik yang bukan sahaja mempunyai nilai mutlak, tetapi juga arah, dipanggil kuantiti vektor.
Kelajuan, daya, pecutan - vektor. Bagi mereka, "berapa" adalah penting dan "di mana" adalah penting. Contohnya, pecutan akibat graviti 
diarahkan ke permukaan bumi, dan magnitudnya ialah 9.8 m/s 2. Impuls, kekuatan medan elektrik, aruhan medan magnet juga merupakan kuantiti vektor.
Anda masih ingat bahawa kuantiti fizikal dilambangkan dengan huruf, Latin atau Yunani. Anak panah di atas huruf menunjukkan bahawa kuantiti adalah vektor:
Ini satu lagi contoh.
Sebuah kereta bergerak dari A ke B. Hasil akhirnya ialah pergerakannya dari titik A ke titik B, iaitu pergerakan oleh vektor.
Kini jelas mengapa vektor ialah segmen terarah. Sila ambil perhatian bahawa hujung vektor ialah tempat anak panah berada. Panjang vektor dipanggil panjang segmen ini. Ditunjukkan oleh: atau
Sehingga kini, kami telah bekerja dengan kuantiti skalar, mengikut peraturan aritmetik dan algebra asas. Vektor adalah konsep baru. Ini adalah satu lagi kelas objek matematik. Mereka mempunyai peraturan mereka sendiri.
Pada suatu masa dahulu kita tidak tahu apa-apa tentang nombor. Perkenalan saya dengan mereka bermula di sekolah rendah. Ternyata nombor boleh dibandingkan antara satu sama lain, ditambah, ditolak, didarab dan dibahagikan. Kami belajar bahawa terdapat nombor satu dan nombor sifar.
Sekarang kita diperkenalkan kepada vektor.
Konsep "lebih" dan "kurang" untuk vektor tidak wujud - lagipun, arahnya mungkin berbeza. Hanya panjang vektor boleh dibandingkan.
Tetapi terdapat konsep kesamaan untuk vektor.
sama vektor yang mempunyai panjang yang sama dan arah yang sama dipanggil. Ini bermakna bahawa vektor boleh dipindahkan selari dengan dirinya ke mana-mana titik dalam satah.
Bujang ialah vektor yang panjangnya 1. Sifar ialah vektor yang panjangnya sifar, iaitu permulaannya bertepatan dengan penghujungnya.
Adalah paling mudah untuk bekerja dengan vektor dalam sistem koordinat segi empat tepat - yang sama di mana kita melukis graf fungsi. Setiap titik dalam sistem koordinat sepadan dengan dua nombor - koordinat x dan ynya, absis dan koordinat.
Vektor juga ditentukan oleh dua koordinat:
Di sini koordinat vektor ditulis dalam kurungan - dalam x dan y.
Ia didapati secara ringkas: koordinat penghujung vektor tolak koordinat permulaannya.
Jika koordinat vektor diberikan, panjangnya ditemui oleh formula
Penambahan vektor
Terdapat dua cara untuk menambah vektor.
1 . Peraturan selari. Untuk menambah vektor dan , kami meletakkan asal kedua-duanya pada titik yang sama. Kami membina segiempat selari dan dari titik yang sama kami melukis pepenjuru segiempat selari. Ini akan menjadi jumlah vektor dan .
Ingat dongeng tentang angsa, udang karang dan pike? Mereka cuba bersungguh-sungguh, tetapi mereka tidak pernah mengalihkan kereta itu. Lagipun, jumlah vektor daya yang mereka gunakan pada troli adalah sama dengan sifar.
2. Cara kedua untuk menambah vektor ialah peraturan segitiga. Mari kita ambil vektor yang sama dan . Kami akan menambah permulaan kedua hingga akhir vektor pertama. Sekarang mari kita sambungkan permulaan yang pertama dan penghujung yang kedua. Ini ialah jumlah vektor dan .
Menggunakan peraturan yang sama, anda boleh menambah beberapa vektor. Kami menyusunnya satu demi satu, dan kemudian menyambungkan permulaan yang pertama ke penghujung yang terakhir.
Bayangkan anda pergi dari titik A ke titik B, dari B ke C, dari C ke D, kemudian ke E dan ke F. Hasil akhir tindakan ini ialah pergerakan dari A ke F.
Apabila menambah vektor dan kami mendapat:
Penolakan vektor
Vektor diarahkan bertentangan dengan vektor. Panjang vektor dan adalah sama.
Sekarang sudah jelas apa itu penolakan vektor. Perbezaan vektor dan ialah hasil tambah bagi vektor dan vektor .
Mendarab vektor dengan nombor
Apabila vektor didarab dengan nombor k, vektor diperoleh yang panjangnya k kali berbeza daripada panjang . Ia adalah kodirectional dengan vektor jika k lebih besar daripada sifar, dan bertentangan jika k kurang daripada sifar.
Hasil darab titik bagi vektor
Vektor boleh didarab bukan sahaja dengan nombor, tetapi juga dengan satu sama lain.
Hasil darab skalar bagi vektor ialah hasil darab panjang vektor dan kosinus sudut di antara keduanya.
Sila ambil perhatian bahawa kami mendarab dua vektor, dan hasilnya ialah skalar, iaitu nombor. Sebagai contoh, dalam fizik, kerja mekanikal adalah sama dengan hasil skalar dua vektor - daya dan anjakan:
Jika vektor adalah serenjang, hasil darab skalarnya ialah sifar.
Dan ini adalah bagaimana hasil kali skalar dinyatakan melalui koordinat vektor dan:
Daripada formula untuk produk skalar anda boleh mencari sudut antara vektor:
Formula ini amat sesuai dalam stereometri. Sebagai contoh, dalam Masalah 14 Peperiksaan Negeri Bersepadu Profil dalam Matematik, anda perlu mencari sudut antara garis bersilang atau antara garis lurus dan satah. Selalunya kaedah vektor masalah 14 diselesaikan beberapa kali lebih cepat daripada masalah klasik.
Dalam kurikulum matematik sekolah, hanya hasil darab skalar vektor sahaja yang diajar.
Ternyata, sebagai tambahan kepada hasil kali skalar, terdapat juga produk vektor, apabila hasil darab dua vektor adalah vektor. Siapa yang menyewa Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam Fizik, tahu apa itu daya Lorentz dan daya Ampere. Formula untuk mencari daya ini termasuk produk vektor.
Vektor adalah alat matematik yang sangat berguna. Anda akan melihat ini pada tahun pertama anda.
