Tiada siapa yang akan mempertikaikan bahawa mustahil untuk sampai ke destinasi anda tanpa mengetahui arah perjalanan. Dalam fizik konsep ini dipanggil vektor. Sehingga tahap ini, kami telah beroperasi dengan beberapa nombor dan nilai, yang dipanggil kuantiti. Vektor berbeza daripada kuantiti kerana ia mempunyai arah.
Apabila bekerja dengan vektor, mereka beroperasi padanya arah Dan saiz. Parameter fizikal tanpa mengira arah dipanggil skalar.
Secara visual, vektor dipaparkan sebagai anak panah. Panjang anak panah ialah magnitud vektor.
Dalam fizik, vektor dilambangkan dengan huruf besar dengan anak panah di bahagian atas.
Vektor boleh dibandingkan. Dua vektor akan sama jika ada saiz yang sama dan hala tuju.
Vektor boleh ditambah. Vektor yang terhasil ialah jumlah kedua-dua vektor dan menentukan jarak dan arah. Sebagai contoh, anda tinggal di Kyiv dan memutuskan untuk melawat rakan lama di Moscow, dan dari sana membuat lawatan ke ibu mertua tercinta anda di Lviv. Berapa jauhkah anda dari rumah anda semasa melawat ibu isteri anda?
Untuk menjawab soalan ini anda perlu melukis vektor dari titik permulaan perjalanan (Kyiv) dan ke destinasi terakhir (Lviv). Vektor baharu menentukan hasil keseluruhan perjalanan dari awal hingga akhir.
- Vektor A - Kyiv-Moscow
- Vektor B - Moscow-Lviv
- Vektor C - Kyiv-Lviv
C = A+B, di mana C - jumlah vektor atau vektor yang terhasil
Vektor bukan sahaja boleh ditambah, tetapi juga ditolak! Untuk melakukan ini, anda perlu menggabungkan asas subtrahend dan tolak vektor dan menyambung hujungnya dengan anak panah:
- Vektor A = C-B
- Vektor B = C-A
Mari letakkan pada vektor kami grid koordinat. Untuk vektor A kita boleh mengatakan bahawa ia diarahkan 5 sel ke atas ( nilai positif paksi Y) dan 3 sel ke kiri ( makna negatif Paksi X): X=-3; Y=5.
Untuk vektor B: arah 4 sel ke kiri dan 7 sel ke bawah: X=-4; Y=-7.
Oleh itu, untuk menambah vektor di sepanjang paksi X dan Y, anda perlu menambah koordinatnya. Untuk mendapatkan koordinat vektor yang terhasil di sepanjang paksi X dan Y:
Mari kita pertimbangkan masalahnya: bola bergerak pada kelajuan 10m/s sepanjang satah condong dengan panjang tapak X=1m, terletak pada 30° ke ufuk. Ia diperlukan untuk menentukan masa di mana bola bergerak dari awal hingga akhir satah.
Dalam masalah ini, kelajuan adalah vektor V dengan magnitud 10m/s dan arah α=30° kepada mendatar. Untuk menentukan kelajuan pergerakan bola di sepanjang tapak satah condong, kita perlu menentukan komponen X pergerakan bola, iaitu skalar (hanya mempunyai nilai, bukan arah) dan dilambangkan Vx. Begitu juga, komponen Y halaju juga merupakan skalar dan dilambangkan V y. Vektor halaju melalui komponen: V = (V x ;V y)
Mari tentukan komponen (V x ;V y). Mari kita ingat trigonometri:
V x = V cosα
V y = V sinα
Komponen X kelajuan bola:
V x = V cosα = V cos30° = 10.0 0.866 = 8.66 m/s
Kelajuan mengufuk bola ialah 8.66 m/s.
Kerana panjang tapak satah condong ialah 1 m, maka bola akan menempuh jarak ini dalam:
1.00(m)/8.66(m/s) = 0.12 s
Oleh itu, bola memerlukan 0.12 s untuk bergerak di sepanjang satah condong. Jawapan: 0.12s
Demi kepentingan, mari kita tentukan komponen Y bagi kelajuan:
V y = V sinα = 10 1/2 = 5.0 m/s
Oleh kerana masa "perjalanan" bola adalah sama untuk kedua-dua komponen, kita boleh menentukan ketinggian Y dari mana bola itu bergolek:
5.0(m/s)·0.12(s) = 0.6 m
Jarak yang dilalui oleh bola:
Masalah songsang
Mari kita pertimbangkan masalah songsang yang sebelumnya:
Bola bergerak sepanjang satah condong ke ketinggian 0.6 m, manakala dalam satah mengufuk pergerakannya ialah 1.0 m. Ia adalah perlu untuk mencari jarak yang dilalui oleh bola dan sudut.
Kami mengira jarak menggunakan teorem Pythagoras:
L = √1.00 2 + 0.60 2 = √1.36 = 1.16m
Untuk trigonometri:
X = L cosα; Y = L sinα
X/L = cosα; Y/L = sinα
Kini anda boleh mencari sudut:
α = arccos(X/L); α = arcsin(Y/L)
Mari kita gantikan nombor:
α = arccos(1/1.16) = 30°
Pengiraan perantaraan L boleh dihapuskan:
Y = X tanα
Vektor ialah objek matematik, yang dicirikan oleh magnitud dan arah (contohnya, pecutan, anjakan), yang dilontarkan daripada skalar yang tidak mempunyai arah (contohnya, jarak, tenaga). Skalar boleh ditambah dengan menambah nilainya (contohnya, 5 kJ kerja ditambah 6 kJ kerja sama dengan 11 kJ kerja), tetapi vektor tidak begitu mudah untuk menambah dan menolak.
Langkah-langkah
Menambah dan menolak vektor dengan komponen yang diketahui
- Ambil perhatian bahawa vektor boleh menjadi satu dimensi, dua dimensi atau tiga dimensi. Oleh itu, vektor boleh mempunyai komponen "x", komponen "x" dan "y", atau komponen "x", "y", "z". Vektor 3D dibincangkan di bawah, tetapi prosesnya adalah serupa untuk vektor 1D dan 2D.
- Katakan anda diberi dua vektor tiga dimensi- vektor A dan vektor B. Tuliskan vektor ini dalam bentuk vektor: A =
-
Untuk menambah dua vektor, tambahkan komponennya yang sepadan. Dalam erti kata lain, tambahkan komponen x bagi vektor pertama kepada komponen x bagi vektor kedua (dan seterusnya). Hasilnya, anda akan mendapat komponen x, y, z bagi vektor yang terhasil.
- A+B =
- Mari tambah vektor A dan B. A =<5, 9, -10>dan B =<17, -3, -2>. A+B=<5+17, 9+-3, -10+-2>, atau <22, 6, -12> .
- A+B =
-
Untuk menolak satu vektor daripada yang lain, anda perlu menolak komponen yang sepadan. Seperti yang akan ditunjukkan di bawah, penolakan boleh digantikan dengan menambah satu vektor dan vektor songsang yang lain. Jika komponen dua vektor diketahui, tolak komponen sepadan bagi satu vektor daripada komponen yang lain.
- A-B =
- Tolak vektor A dan B. A =<18, 5, 3>dan B =<-10, 9, -10>. A - B =<18--10, 5-9, 3--10>, atau <28, -4, 13> .
Penambahan dan penolakan grafik
-
Oleh kerana vektor mempunyai magnitud dan arah, ia mempunyai permulaan dan penghujung (titik permulaan dan titik akhir, jarak antaranya adalah sama dengan nilai vektor). Apabila vektor dipaparkan secara grafik, ia dilukis sebagai anak panah, hujungnya ialah penghujung vektor, dan titik bertentangan ialah permulaan vektor.
- Apabila memplot vektor, plot semua sudut dengan sangat tepat; jika tidak anda akan mendapat jawapan yang salah.
-
Untuk menambah vektor, lukiskannya supaya penghujung setiap vektor sebelumnya disambungkan ke permulaan vektor seterusnya. Jika anda hanya menambah dua vektor, maka itu sahaja yang anda perlu lakukan sebelum mencari vektor yang terhasil.
- Sila ambil perhatian bahawa susunan di mana vektor disambungkan adalah tidak penting, iaitu, vektor A + vektor B = vektor B + vektor A.
-
Untuk menolak vektor, hanya tambahkan vektor songsang, iaitu, terbalikkan arah vektor yang ditolak, dan kemudian sambungkan permulaannya ke penghujung vektor lain. Dalam erti kata lain, untuk menolak vektor, putarkannya 180 o (di sekeliling asal) dan tambahkannya kepada vektor lain.
Jika anda menambah atau menolak berapa banyak (lebih daripada dua) vektor, kemudian sambungkan hujung dan permulaannya secara bersiri. Urutan di mana anda menyambungkan vektor tidak penting. Kaedah ini boleh digunakan untuk sebarang bilangan vektor.
-
Lukiskan vektor baharu, bermula dari permulaan vektor pertama dan berakhir dengan penghujung vektor terakhir (bilangan vektor yang ditambah tidak penting). Anda akan mendapat vektor yang terhasil sama dengan jumlah semua vektor yang ditambah. Ambil perhatian bahawa vektor ini adalah sama dengan vektor yang diperoleh dengan menambahkan komponen x, y, dan z semua vektor.
- Jika anda telah melukis panjang vektor dan sudut di antara mereka dengan sangat tepat, maka anda boleh mencari nilai vektor yang terhasil hanya dengan mengukur panjangnya. Selain itu, anda boleh mengukur sudut (antara vektor paduan dan vektor lain yang ditentukan atau garisan mendatar/menegak) untuk mencari arah vektor paduan.
- Jika anda telah melukis panjang vektor dan sudut di antaranya dengan sangat tepat, maka anda boleh mencari nilai vektor yang terhasil menggunakan trigonometri, iaitu teorem sinus atau teorem kosinus. Jika anda menambah berbilang vektor (lebih daripada dua), mula-mula tambah dua vektor, kemudian tambahkan vektor yang terhasil dan vektor ketiga, dan seterusnya. Lihat bahagian seterusnya untuk maklumat lanjut.
-
Bentangkan vektor yang terhasil, menunjukkan nilai dan arahnya. Seperti yang dinyatakan di atas, jika anda telah melukis panjang vektor yang ditambah dan sudut di antaranya dengan sangat tepat, maka nilai vektor yang terhasil adalah sama dengan panjangnya, dan arahnya ialah sudut di antaranya dan garis menegak atau mendatar . Kepada nilai vektor, jangan lupa untuk menetapkan unit ukuran di mana vektor yang akan ditambah/ditolak diberikan.
- Sebagai contoh, jika anda menambah vektor halaju yang diukur dalam m/s, kemudian tambah “m/s” pada nilai vektor yang terhasil, dan tunjukkan juga sudut vektor yang terhasil dalam format “o kepada garis mendatar”.
Menambah dan menolak vektor dengan mencari nilai komponennya
-
Untuk mencari nilai komponen vektor, anda perlu mengetahui nilai vektor itu sendiri dan arahnya (sudut relatif kepada garis mendatar atau menegak). Pertimbangkan vektor dua dimensi. Jadikan ia hipotenus segi tiga tepat, maka kaki (selari dengan paksi X dan Y) segi tiga ini akan menjadi komponen vektor. Komponen ini boleh dianggap sebagai dua vektor yang disambungkan, yang apabila ditambah bersama memberikan vektor asal.
- Panjang (nilai) bagi dua komponen (komponen x dan y) bagi vektor asal boleh dikira menggunakan trigonometri. Jika "x" ialah nilai (modulus) bagi vektor asal, maka komponen vektor yang bersebelahan dengan sudut vektor asal ialah xcosθ, dan komponen vektor yang bertentangan dengan sudut vektor asal ialah xsinθ.
- Adalah penting untuk memperhatikan arah komponen. Jika komponen diarahkan bertentangan dengan arah salah satu paksi, maka nilainya akan menjadi negatif, sebagai contoh, jika pada satah koordinat dua dimensi komponen itu diarahkan ke kiri atau bawah.
- Sebagai contoh, diberi vektor dengan modul (nilai) 3 dan arah 135 o (berbanding dengan mendatar). Maka komponen "x" adalah bersamaan dengan 3cos 135 = -2.12, dan komponen "y" adalah sama dengan 3sin135 = 2.12.
-
Sebaik sahaja anda telah menemui komponen semua vektor yang ditambah, hanya tambah nilainya dan cari nilai komponen vektor yang terhasil. Pertama, tambahkan nilai semua komponen mendatar (iaitu komponen selari dengan paksi X). Kemudian tambahkan nilai semua komponen menegak (iaitu komponen selari dengan paksi Y). Jika nilai komponen adalah negatif, ia ditolak dan bukannya ditambah.
- Sebagai contoh, mari tambah vektor<-2,12, 2,12>dan vektor<5,78, -9>. Vektor yang terhasil akan menjadi seperti ini<-2,12 + 5,78, 2,12-9>atau<3,66, -6,88>.
-
Kira panjang (nilai) vektor yang terhasil menggunakan teorem Pythagoras: c 2 =a 2 +b 2 (memandangkan segitiga yang dibentuk oleh vektor asal dan komponennya ialah segi empat tepat). Dalam kes ini, kaki ialah komponen "x" dan "y" bagi vektor yang terhasil, dan hipotenus ialah vektor yang terhasil itu sendiri.
- Sebagai contoh, jika dalam contoh kami anda menambah daya yang diukur dalam Newton, kemudian tulis jawapan seperti berikut: 7.79 N pada sudut -61.99 o (kepada paksi mengufuk).
- Jangan mengelirukan vektor dengan moduli (nilai) mereka.
- Vektor yang mempunyai arah yang sama boleh ditambah atau ditolak hanya dengan menambah atau menolak nilainya. Jika dua vektor berarah bertentangan ditambah, nilainya ditolak dan bukannya ditambah.
- Vektor yang diwakili sebagai x i+ y j+ z k boleh ditambah atau ditolak dengan hanya menambah atau menolak pekali yang sepadan. Tulis juga jawapan dalam borang i,j,k.
- Nilai vektor dalam ruang tiga dimensi boleh didapati menggunakan formula a 2 =b 2 +c 2 +d 2, Di mana a- nilai vektor, b, c, Dan d- komponen vektor.
- Vektor lajur boleh ditambah/ditolak dengan menambah/menolak nilai yang sepadan dalam setiap baris.
- A-B =
Memandangkan vektor mempunyai magnitud dan arah, ia boleh diuraikan kepada komponen berdasarkan dimensi x, y dan/atau z. Mereka biasanya ditetapkan dengan cara yang sama seperti titik dalam sistem koordinat (contohnya,<х,у,z>). Jika komponen diketahui, maka menambah/menolak vektor adalah semudah menambah/menolak koordinat x, y, z.
Definisi standard: "Vektor ialah segmen terarah." Ini biasanya tahap pengetahuan graduan tentang vektor. Siapa yang memerlukan beberapa jenis "segmen arah"?
Tetapi sebenarnya, apakah itu vektor dan untuk apa ia?
Ramalan cuaca. “Angin barat laut, kelajuan 18 meter sesaat.” Setuju, kedua-dua arah angin (dari mana ia bertiup) dan magnitud (iaitu, nilai mutlak) kelajuannya penting.
Kuantiti yang tidak mempunyai arah dipanggil skalar. Jisim, kerja, cas elektrik tidak diarahkan ke mana-mana. Mereka hanya dicirikan oleh nilai berangka - "berapa kilogram" atau "berapa joule".
Kuantiti fizik yang bukan sahaja mempunyai nilai mutlak, tetapi juga arah dipanggil kuantiti vektor.
Kelajuan, daya, pecutan - vektor. Bagi mereka, "berapa" adalah penting dan "di mana" adalah penting. Contohnya, pecutan akibat graviti 
diarahkan ke permukaan bumi, dan magnitudnya ialah 9.8 m/s 2. Impuls, kekuatan medan elektrik, aruhan medan magnet juga merupakan kuantiti vektor.
Anda masih ingat bahawa kuantiti fizik dilambangkan dengan huruf, Latin atau Yunani. Anak panah di atas huruf menunjukkan bahawa kuantiti adalah vektor:
Ini satu lagi contoh.
Sebuah kereta bergerak dari A ke B. Hasil akhirnya ialah pergerakannya dari titik A ke titik B, iaitu pergerakan oleh vektor.
Kini jelas mengapa vektor ialah segmen terarah. Sila ambil perhatian bahawa hujung vektor ialah tempat anak panah berada. Panjang vektor dipanggil panjang segmen ini. Ditunjukkan oleh: atau
Sehingga kini, kami telah bekerja dengan kuantiti skalar, mengikut peraturan aritmetik dan algebra asas. Vektor adalah konsep baru. Ini adalah satu lagi kelas objek matematik. Mereka mempunyai peraturan mereka sendiri.
Pada suatu masa dahulu kita tidak tahu apa-apa tentang nombor. Perkenalan saya dengan mereka bermula di sekolah rendah. Ternyata nombor boleh dibandingkan antara satu sama lain, ditambah, ditolak, didarab dan dibahagikan. Kami belajar bahawa terdapat nombor satu dan nombor sifar.
Sekarang kita diperkenalkan kepada vektor.
Konsep "lebih" dan "kurang" untuk vektor tidak wujud - lagipun, arahnya mungkin berbeza. Hanya panjang vektor boleh dibandingkan.
Tetapi terdapat konsep kesamaan untuk vektor.
sama vektor yang mempunyai panjang yang sama dan arah yang sama dipanggil. Ini bermakna bahawa vektor boleh dipindahkan selari dengan dirinya ke mana-mana titik dalam satah.
Bujang ialah vektor yang panjangnya 1. Sifar ialah vektor yang panjangnya sifar, iaitu permulaannya bertepatan dengan penghujungnya.
Adalah paling mudah untuk bekerja dengan vektor dalam sistem koordinat segi empat tepat - yang sama di mana kita melukis graf fungsi. Setiap titik dalam sistem koordinat sepadan dengan dua nombor - koordinat x dan y, absis dan koordinat.
Vektor juga ditentukan oleh dua koordinat:
Di sini koordinat vektor ditulis dalam kurungan - dalam x dan y.
Ia didapati secara ringkas: koordinat penghujung vektor tolak koordinat permulaannya.
Jika koordinat vektor diberikan, panjangnya ditemui oleh formula
Penambahan vektor
Terdapat dua cara untuk menambah vektor.
1 . Peraturan selari. Untuk menambah vektor dan , kami meletakkan asal kedua-duanya pada titik yang sama. Kami membina segiempat selari dan dari titik yang sama kami melukis pepenjuru segiempat selari. Ini akan menjadi jumlah vektor dan .
Ingat dongeng tentang angsa, udang karang dan pike? Mereka cuba bersungguh-sungguh, tetapi mereka tidak pernah mengalihkan kereta itu. Lagipun, jumlah vektor bagi daya yang mereka gunakan pada troli adalah sama dengan sifar.
2. Cara kedua untuk menambah vektor ialah peraturan segitiga. Mari kita ambil vektor yang sama dan . Kami akan menambah permulaan kedua hingga akhir vektor pertama. Sekarang mari kita sambungkan permulaan yang pertama dan penghujung yang kedua. Ini ialah jumlah vektor dan .
Menggunakan peraturan yang sama, anda boleh menambah beberapa vektor. Kami menyusunnya satu demi satu, dan kemudian menyambungkan permulaan yang pertama ke penghujung yang terakhir.
Bayangkan anda pergi dari titik A ke titik B, dari B ke C, dari C ke D, kemudian ke E dan ke F. Hasil akhir tindakan ini ialah pergerakan dari A ke F.
Apabila menambah vektor dan kami mendapat:
Penolakan vektor
Vektor diarahkan bertentangan dengan vektor. Panjang vektor dan adalah sama.
Sekarang sudah jelas apa itu penolakan vektor. Perbezaan vektor dan ialah hasil tambah bagi vektor dan vektor .
Mendarab vektor dengan nombor
Apabila vektor didarab dengan nombor k, vektor diperoleh yang panjangnya k kali berbeza daripada panjang . Ia adalah kodirectional dengan vektor jika k lebih besar daripada sifar, dan bertentangan jika k kurang daripada sifar.
Hasil darab titik bagi vektor
Vektor boleh didarab bukan sahaja dengan nombor, tetapi juga dengan satu sama lain.
Hasil darab skalar bagi vektor ialah hasil darab panjang vektor dan kosinus sudut di antara keduanya.
Sila ambil perhatian bahawa kami mendarab dua vektor, dan hasilnya ialah skalar, iaitu nombor. Sebagai contoh, dalam fizik, kerja mekanikal adalah sama dengan hasil skalar dua vektor - daya dan anjakan:
Jika vektor adalah serenjang, hasil darab skalarnya ialah sifar.
Dan ini adalah bagaimana hasil kali skalar dinyatakan melalui koordinat vektor dan:
Daripada formula untuk produk skalar anda boleh mencari sudut antara vektor:
Formula ini amat sesuai dalam stereometri. Sebagai contoh, dalam Masalah 14 Peperiksaan Negeri Bersepadu Profil dalam Matematik, anda perlu mencari sudut antara garis bersilang atau antara garis lurus dan satah. Masalah 14 selalunya diselesaikan beberapa kali lebih cepat menggunakan kaedah vektor daripada menggunakan kaedah klasik.
DALAM kurikulum sekolah mereka hanya belajar matematik produk skalar vektor.
Ternyata, sebagai tambahan kepada skalar, terdapat juga produk vektor, apabila mendarab dua vektor menghasilkan vektor. Sesiapa yang mengambil Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam fizik tahu apa itu daya Lorentz dan daya Ampere. Formula untuk mencari daya ini termasuk produk vektor.
Vektor adalah alat matematik yang sangat berguna. Anda akan melihat ini pada tahun pertama anda.
ov, pertama anda perlu memahami konsep seperti menangguhkan vektor dari titik tertentu.
Definisi 1
Jika titik $A$ ialah permulaan mana-mana vektor $\overrightarrow(a)$, maka vektor $\overrightarrow(a)$ dikatakan terlewat dari titik $A$ (Rajah 1).
Rajah 1. $\overrightarrow(a)$ diplot dari titik $A$
Mari kita perkenalkan teorem berikut:
Teorem 1
Dari mana-mana titik $K$ seseorang boleh memplot vektor $\overrightarrow(a)$ dan, lebih-lebih lagi, hanya satu.
Bukti.
kewujudan: Terdapat dua kes untuk dipertimbangkan di sini:
Vektor $\overrightarrow(a)$ ialah sifar.
Dalam kes ini, jelas bahawa vektor yang dikehendaki ialah vektor $\overrightarrow(KK)$.
Vektor $\overrightarrow(a)$ ialah bukan sifar.
Mari kita nyatakan dengan titik $A$ permulaan vektor $\overrightarrow(a)$, dan dengan titik $B$ penghujung vektor $\overrightarrow(a)$. Mari kita lukis garis lurus $b$ melalui titik $K$ selari dengan vektor $\overrightarrow(a)$. Mari kita plotkan segmen $\left|KL\right|=|AB|$ dan $\left|KM\right|=|AB|$ pada baris ini. Pertimbangkan vektor $\overrightarrow(KL)$ dan $\overrightarrow(KM)$. Daripada dua vektor ini, yang dikehendaki ialah yang akan diarahkan bersama dengan vektor $\overrightarrow(a)$ (Gamb. 2)
Rajah 2. Ilustrasi Teorem 1
Keunikan: keunikan serta-merta mengikuti daripada pembinaan yang dijalankan dalam titik "kewujudan".
Teorem telah terbukti.
Penolakan vektor. Peraturan satu
Biarkan kita diberi vektor $\overrightarrow(a)$ dan $\overrightarrow(b)$.
Definisi 2
Perbezaan dua vektor $\overrightarrow(a)$ dan $\overrightarrow(b)$ ialah vektor $\overrightarrow(c)$ yang, apabila ditambah pada vektor $\overrightarrow(b)$, memberikan vektor $\ overrightarrow(a)$ , iaitu
\[\overrightarrow(b)+\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\]
Jawatan:$\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(c)$.
Mari kita pertimbangkan untuk membina perbezaan antara dua vektor menggunakan masalah.
Contoh 1
Biarkan vektor $\overrightarrow(a)$ dan $\overrightarrow(b)$ diberikan. Bina vektor $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$.
Penyelesaian.
Mari kita bina titik arbitrari $O$ dan plotkan vektor $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a)$ dan $\overrightarrow(OB)=\overrightarrow(b)$ daripadanya. Dengan menyambungkan titik $B$ dengan titik $A$, kami memperoleh vektor $\overrightarrow(BA)$ (Rajah 3).
Rajah 3. Perbezaan dua vektor
Menggunakan peraturan segitiga untuk membina jumlah dua vektor, kita melihatnya
\[\overrightarrow(OB)+\overrightarrow(BA)=\overrightarrow(OA)\]
\[\overrightarrow(b)+\overrightarrow(BA)=\overrightarrow(a)\]
Daripada Definisi 2, kita dapati itu
\[\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(BA)\]
Jawapan:$\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(BA)$.
Daripada masalah ini kita perolehi peraturan seterusnya untuk mencari beza dua vektor. Untuk mencari perbezaan $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$ yang anda perlukan titik sewenang-wenangnya$O$ ketepikan vektor $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a)$ dan $\overrightarrow(OB)=\overrightarrow(b)$ dan sambungkan hujung vektor kedua ke hujung vektor pertama.
Penolakan vektor. Peraturan dua
Marilah kita ingat konsep berikut yang kita perlukan.
Definisi 3
Vektor $\overrightarrow(a_1)$ dipanggil arbitrary untuk vektor $\overrightarrow(a)$ jika vektor ini bertentangan arah dan mempunyai panjang yang sama.
Jawatan: Vektor $(-\overrightarrow(a))$ ialah bertentangan dengan vektor $\overrightarrow(a)$.
Untuk memperkenalkan peraturan kedua bagi perbezaan dua vektor, kita perlu memperkenalkan dan membuktikan teorem berikut terlebih dahulu.
Teorem 2
Untuk mana-mana dua vektor $\overrightarrow(a)$ dan $\overrightarrow(b)$ kesamaan berikut dipegang:
\[\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(a)+(-\overrightarrow(b))\]
Bukti.
Mengikut takrifan 2, kita ada
Kami menambah vektor $\left(-\overrightarrow(b)\right)$ ke kedua-dua bahagian, kami dapat
Oleh kerana vektor $\overrightarrow(b)$ dan $\left(-\overrightarrow(b)\right)$ adalah bertentangan, maka $\overrightarrow(b)+\left(-\overrightarrow(b)\right)=\ overrightarrow (0)$. Kami ada
Teorem telah terbukti.
Daripada teorem ini kita memperoleh peraturan berikut untuk perbezaan antara dua vektor: Untuk mencari perbezaan $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$, kita perlu memplotkan vektor $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a )$ daripada titik sembarangan $O$, kemudian, daripada titik terhasil $A$, plotkan vektor $\overrightarrow(AB)=-\overrightarrow(b)$ dan sambungkan permulaan vektor pertama dengan penghujung vektor kedua.
Contoh masalah tentang konsep perbezaan vektor
Contoh 2
Biarkan sebuah segiempat selari $ADCD$ diberikan yang pepenjurunya bersilang pada titik $O$. $\overrightarrow(AB)=\overrightarrow(a)$, $\overrightarrow(AD)=\overrightarrow(b)$ (Gamb. 4). Ungkapkan vektor berikut melalui vektor $\overrightarrow(a)$ dan $\overrightarrow(b)$:
a) $\overrightarrow(DC)+\overrightarrow(CB)$
b) $\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(OC)$
Rajah 4. Paralelogram
Penyelesaian.
a) Kami melakukan penambahan mengikut peraturan segitiga, kami dapat
\[\overrightarrow(DC)+\overrightarrow(CB)=\overrightarrow(DB)\]
Daripada peraturan pertama untuk perbezaan dua vektor, kita dapat
\[\overrightarrow(DB)=\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)\]
b) Oleh kerana $\overrightarrow(OC)=\overrightarrow(AO)$, kita dapat
\[\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(OC)=\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(AO)\]
Dengan Teorem 2, kita ada
\[\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(AO)=\overrightarrow(BO)+\left(-\overrightarrow(AO)\right)=\overrightarrow(BO)+\overrightarrow(OA)\]
Dengan menggunakan peraturan segitiga, akhirnya kita dapat
\[\overrightarrow(BO)+\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(BA)=-\overrightarrow(AB)=-\overrightarrow(a)\]
Dalam pelajaran geometri, anda telah pun membiasakan diri dengan operasi paling mudah pada vektor: mencari jumlah dan perbezaannya. Mari kita ingat ini.
Penambahan vektor. Untuk mencari hasil tambah dua vektor, anda mesti: a) pemindahan selari menggabungkan permulaan vektor; b) menambah lukisan dengan dua segmen supaya ia ternyata segi empat selari; c) melaksanakan jumlah vektor dari titik asal vektor ke titik sambungan segmen pelengkap (sepanjang pepenjuru selari).
Mari kita gambarkan peraturan ini dengan contoh dari § 12-c, apabila kereta bergerak terlebih dahulu di sepanjang vektor AB1 dan kemudian di sepanjang vektor B1B2 sebelum membelok ke jambatan (lihat lukisan di sebelah kiri). Dalam erti kata lain, kita sedang mencari jumlah vektor atau, apa yang sama, jumlah vektor AB1 dan B1B2.
Mari buat lukisan baharu bagi vektor yang dibincangkan (lihat di bawah). Dalam lukisan "a" kami memohon pemindahan selari dan gerakkan vektor B1B2 dengan permulaannya ke titik A (iaitu, kita sepadan dengan permulaan vektor). Kami akan menambah lukisan "b" dengan dua segmen CB2 dan B1B2 untuk membentuk segi empat selari. Dalam lukisan "c" kita akan melukis jumlah vektor dari titik A permulaan vektor ke titik B2 sambungan segmen pelengkap (di sepanjang pepenjuru selari).
Jadi kami jumpa jumlah vektor atau jumlah vektor:
Mari kita periksa ketepatan keputusan: kereta itu, setelah bergerak dari titik A ke titik B1, kemudian bergerak dari titik B1 ke titik B2. Dalam erti kata lain, dia menggerakkan "bersama" vektor AB2, yang baru kami bina menggunakan peraturan selari.
Penolakan vektor. Untuk mencari perbezaan dua vektor, anda memerlukan: a) pemindahan selari menggabungkan permulaan vektor; b) menambah lukisan dengan segmen supaya ia ternyata segi tiga; c) berikan segmen arah dari subtrahend ke minuend, mencipta vektor perbezaan.
Mari kita gambarkan peraturan ini dengan contoh yang sama dari § 12-c, apabila sebuah kereta menghampiri tengah-tengah jambatan. Untuk melakukan ini, daripada jumlah vektor anjakan AB3, kita tolak anjakan pada peringkat ketiga, vektor B2B3.
Dalam erti kata lain, kita kini sedang mencari vektor perbezaan:
Dalam lukisan "a" kami memohon pemindahan selari dan gerakkan vektor B2B3 dengan permulaannya ke titik A (iaitu, kita sepadan dengan permulaan vektor). Mari tambah lukisan "b" dengan segmen DB3 untuk membentuk segi tiga. Dalam lukisan "c" kami akan memberikan segmen arah dari tolak (vektor biru) ke minuend (vektor merah), mencipta vektor perbezaan DВ3.
Anak panah kontur menunjukkan pemindahan selari bagi vektor perbezaan yang ditemui ke titik A. Penting: vektor DB3 yang dibina adalah sama dengan vektor perbezaan yang dikehendaki AB2. Ini, sebenarnya, semakan ketepatan keputusan, kerana kami telah menemui vektor ini menggunakan peraturan selari.
Ambil perhatian bahawa vektor boleh ditambah dengan "segi tiga" dan ditolak dengan "paralelogram". Tetapi kami mengesyorkan agar anda ingat dengan tepat peraturan selari untuk jumlah vektor Dan peraturan segitiga untuk perbezaan vektor, kerana pada masa hadapan kita akan memerlukan peraturan ini dalam bentuk ini.