Tentukan sudut kecondongan tangen kepada graf fungsi itu. Persamaan tangen kepada graf fungsi

Belajar untuk mengambil terbitan fungsi. Derivatif mencirikan kadar perubahan fungsi pada titik tertentu yang terletak pada graf fungsi ini. DALAM dalam kes ini Graf boleh sama ada garis lurus atau melengkung. Iaitu, derivatif mencirikan kadar perubahan fungsi pada titik masa tertentu. Ingat peraturan am, yang mana derivatif diambil, dan hanya kemudian meneruskan ke langkah seterusnya.

Baca artikel.
Bagaimana untuk mengambil derivatif yang paling mudah, sebagai contoh, derivatif persamaan eksponen, diterangkan. Pengiraan yang dibentangkan dalam langkah seterusnya, akan berdasarkan kaedah yang diterangkan di dalamnya.

Belajar untuk membezakan antara tugasan yang cerun perlu dikira melalui derivatif fungsi tersebut. Masalah tidak selalu meminta anda mencari cerun atau terbitan fungsi. Sebagai contoh, anda mungkin diminta untuk mencari kadar perubahan fungsi pada titik A(x,y). Anda juga mungkin diminta untuk mencari kecerunan tangen pada titik A(x,y). Dalam kedua-dua kes adalah perlu untuk mengambil terbitan fungsi.

Ambil derivatif fungsi yang diberikan kepada anda. Tidak perlu membina graf di sini - anda hanya memerlukan persamaan fungsi. Dalam contoh kami, ambil terbitan fungsi. Ambil derivatif mengikut kaedah yang digariskan dalam artikel yang disebutkan di atas:

Derivatif:

Gantikan koordinat titik yang diberikan kepada anda ke dalam terbitan yang ditemui untuk mengira cerun. Terbitan fungsi adalah sama dengan cerun pada titik tertentu. Dalam erti kata lain, f"(x) ialah kecerunan fungsi pada sebarang titik (x,f(x)). Dalam contoh kami:

Cari kecerunan fungsi itu f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) pada titik A(4,2).
Terbitan fungsi:
- f ′ (x) = 4 x + 6 (\displaystyle f"(x)=4x+6)
Gantikan nilai koordinat “x” bagi titik ini:
- f ' (x) = 4 (4) + 6 (\displaystyle f"(x)=4(4)+6)
Cari cerun:
Fungsi cerun f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) pada titik A(4,2) bersamaan dengan 22.

Jika boleh, semak jawapan anda pada graf. Ingat bahawa cerun tidak boleh dikira pada setiap titik. Kalkulus pembezaan sedang mempertimbangkan fungsi yang kompleks dan graf kompleks, di mana cerun tidak boleh dikira pada setiap titik, dan dalam beberapa kes titik tidak terletak pada graf sama sekali. Jika boleh, gunakan kalkulator grafik untuk memastikan kecerunan fungsi yang anda berikan adalah betul. DALAM sebaliknya lukis tangen pada graf pada titik yang diberikan kepada anda dan fikirkan sama ada nilai cerun yang anda temui sepadan dengan apa yang anda lihat pada graf.

Tangen akan mempunyai kecerunan yang sama dengan graf fungsi pada titik tertentu. Untuk melukis tangen pada titik tertentu, gerakkan ke kiri/kanan pada paksi X (dalam contoh kami, 22 nilai ke kanan), dan kemudian naik satu pada paksi Y, dan kemudian sambungkannya ke mata yang diberikan kepada anda. Dalam contoh kami, sambungkan titik dengan koordinat (4,2) dan (26,3).

Anda akan perlukan

- buku rujukan matematik;
- buku nota;
- pensel mudah;
- pen;
- protraktor;
- kompas.

Arahan

Sila ambil perhatian bahawa graf bagi fungsi boleh beza f(x) pada titik x0 adalah tidak berbeza daripada segmen tangen. Oleh itu, ia agak hampir dengan segmen l, dengan yang melalui titik (x0; f(x0)) dan (x0+Δx; f(x0 + Δx)). Untuk menentukan garis lurus yang melalui titik A dengan pekali (x0; f(x0)), nyatakan kecerunannya. Selain itu, ia bersamaan dengan tangen secan Δy/Δx (Δх→0), dan juga cenderung kepada nombor f‘(x0).

Jika tiada nilai untuk f‘(x0), maka tiada tangen, atau ia berjalan secara menegak. Berdasarkan ini, terbitan fungsi pada titik x0 dijelaskan oleh kewujudan tangen bukan menegak, yang bersentuhan dengan graf fungsi pada titik (x0, f(x0)). Dalam kes ini, pekali sudut tangen adalah sama dengan f "(x0). Terbitan geometri, iaitu, pekali sudut tangen, menjadi jelas.

Iaitu, untuk mencari cerun tangen, anda perlu mencari nilai terbitan fungsi pada titik tangen. Contoh: cari pekali sudut tangen kepada fungsi y = x³ pada titik dengan absis X0 = 1. Penyelesaian: Cari terbitan bagi fungsi ini y΄(x) = 3x²; cari nilai terbitan pada titik X0 = 1. у΄(1) = 3 × 1² = 3. Pekali sudut tangen pada titik X0 = 3.

Lukis tangen tambahan dalam rajah supaya ia menyentuh graf fungsi pada titik: x1, x2 dan x3. Tandakan sudut yang dibentuk oleh tangen ini dengan paksi absis (sudut dikira dalam arah positif - dari paksi ke garis tangen). Sebagai contoh, sudut α1 akan menjadi akut, sudut (α2) akan menjadi tumpul, dan yang ketiga (α3) akan sama dengan sifar, kerana garis tangen yang dilukis ialah paksi selari OH. Dalam kes ini, tangen sudut tumpul ada nilai negatif, dan tangen sudut akut– positif, pada tg0 dan hasilnya sama dengan sifar.

Tangen kepada bulatan tertentu ialah garis lurus yang hanya mempunyai satu titik persamaan dengan bulatan ini. Tangen kepada bulatan sentiasa berserenjang dengan jejarinya yang dilukis ke titik tangen. Jika dua tangen dilukis dari satu titik yang bukan milik bulatan, maka jarak dari titik ini ke titik tangen akan sentiasa sama. Tangen kepada bulatan sedang dibina dengan cara yang berbeza, bergantung pada lokasi mereka berbanding satu sama lain.

Arahan

Membina tangen kepada satu bulatan.
1. Bina bulatan berjejari R dan ambil A, yang akan dilalui oleh tangen.
2. Sebuah bulatan dibina dengan pusat di tengah-tengah ruas OA dan jejari sama dengan ruas ini.
3. Persilangan dua titik tangen yang dilukis melalui titik A ke bulatan tertentu.

Tangen luar kepada dua bulatan.

2. Lukis bulatan berjejari R – r dengan pusat di titik O.
3. Satu tangen dari O1 dilukis ke bulatan yang terhasil, titik tangen ditetapkan M.
4. Jejari R melalui titik M ke titik T – titik tangen bulatan.
5. Melalui pusat O1 bulatan kecil, jejari r dilukis selari dengan R bulatan besar itu. Jejari r menghala ke titik T1 – titik tangen bagi bulatan kecil.
bulatan.

Tangen dalaman kepada dua bulatan.
1. Dua bulatan berjejari R dan r dibina.
2. Lukis bulatan berjejari R + r dengan pusat di titik O.
3. Satu tangen dilukis ke bulatan yang terhasil dari titik O1, titik tangen ditentukan oleh huruf M.
4. Ray OM memotong bulatan pertama pada titik T - pada titik tangen bulatan besar.
5. Melalui pusat O1 bulatan kecil itu, jejari r dilukis selari dengan sinar OM. Jejari r menghala ke titik T1 – titik tangen bulatan kecil.
6. Garis lurus TT1 – tangen kepada yang diberi bulatan.

Sumber:

tangen dalaman

bersudut almari – pilihan ideal untuk sudut kosong di apartmen. Di samping itu, konfigurasi sudut almari ov memberikan dalaman suasana klasik. Sebagai penamat sudut almari Mana-mana bahan yang sesuai untuk tujuan ini boleh digunakan.

Anda akan perlukan

Papan gentian, MDF, skru, paku, mata gergaji, frieze.

Arahan

Potong templat 125 mm lebar dan 1065 mm panjang dari papan lapis atau papan gentian. Tepi mesti difailkan pada sudut 45 darjah. Oleh templat siap sedia tentukan dimensi dinding sisi, serta tempat di mana ia akan ditempatkan almari.

Sambungkan tudung ke dinding sisi dan rak segi tiga. Penutup mesti diikat ke tepi atas dinding sisi menggunakan skru. Untuk kekuatan struktur, gam tambahan digunakan. Pasang rak pada selat.

Sudut mata gergaji pada sudut 45 darjah dan serong tepi hadapan dinding sisi di sepanjang bar panduan. Pasang rak tetap pada jalur MDF. Sambungkan dinding sisi dengan skru. Pastikan tiada jurang.

Buat tanda di dinding, di antaranya meletakkan bingkai sudut almari A. Pasang menggunakan skru almari ke dinding. Panjang dowel hendaklah 75 mm.

Potong bingkai hadapan daripada papan MDF pepejal. Menggunakan gergaji bulat, potong bukaan di dalamnya menggunakan pembaris. Selesaikan sudut.

Cari nilai absis bagi titik tangen, yang dilambangkan dengan huruf “a”. Jika ia bertepatan dengan titik tangen tertentu, maka "a" akan menjadi koordinat-xnya. Tentukan nilai fungsi f(a) dengan menggantikan ke dalam persamaan fungsi nilai absis.

Tentukan terbitan pertama bagi persamaan itu fungsi f’(x) dan gantikan nilai titik “a” ke dalamnya.

ambil persamaan am tangen, yang ditakrifkan sebagai y = f(a) = f (a)(x – a), dan gantikan nilai yang ditemui bagi a, f(a), f "(a) ke dalamnya. Akibatnya, penyelesaian kepada graf dan tangen akan ditemui.

Selesaikan masalah dengan cara yang berbeza jika titik tangen yang diberikan tidak bertepatan dengan titik tangen. Dalam kes ini, adalah perlu untuk menggantikan "a" dan bukannya nombor dalam persamaan tangen. Selepas itu, bukannya huruf "x" dan "y", gantikan nilai koordinat titik yang diberikan. Selesaikan persamaan yang terhasil di mana "a" adalah tidak diketahui. Palamkan nilai yang terhasil ke dalam persamaan tangen.

Tulis persamaan untuk tangen dengan huruf “a” jika pernyataan masalah menyatakan persamaan itu fungsi dan persamaan garis selari berbanding tangen yang dikehendaki. Selepas ini kita memerlukan derivatif fungsi, kepada koordinat pada titik “a”. Gantikan nilai yang sesuai ke dalam persamaan tangen dan selesaikan fungsi tersebut.

Apabila mengarang persamaan tangen kepada graf fungsi, konsep "abscissa titik tangen" digunakan. Nilai ini boleh dinyatakan pada mulanya dalam syarat tugas atau ia mesti ditentukan secara bebas.

Arahan

Lukiskan paksi koordinat x dan y pada sehelai kertas. Teroka persamaan yang diberikan untuk graf fungsi. Jika ia , maka dua nilai untuk parameter y cukup untuk mana-mana x, kemudian plot titik yang ditemui pada paksi koordinat dan sambungkannya dengan garis. Jika graf tidak linear, maka buat jadual pergantungan y pada x dan pilih sekurang-kurangnya lima titik untuk membina graf.

Tentukan nilai absis titik tangen untuk kes apabila titik tangen yang diberikan tidak bertepatan dengan graf fungsi. Kami menetapkan parameter ketiga dengan huruf "a".

Tuliskan persamaan bagi fungsi f(a). Untuk melakukan ini, gantikan a dan bukannya x dalam persamaan asal. Cari terbitan bagi fungsi f(x) dan f(a). Gantikan data yang diperlukan ke dalam persamaan tangen am, yang mempunyai bentuk: y = f(a) + f "(a)(x – a). Hasilnya, dapatkan persamaan yang terdiri daripada tiga parameter yang tidak diketahui.

Gantikan ke dalamnya, bukannya x dan y, koordinat titik tertentu yang melalui tangen itu. Selepas ini, cari penyelesaian kepada persamaan yang terhasil untuk semua a. Jika ia adalah segi empat sama, maka akan terdapat dua nilai untuk absis titik tangen. Ini ialah tangen melepasi dua kali berhampiran graf fungsi.

Lukiskan graf fungsi yang diberikan dan , yang dinyatakan mengikut keadaan masalah. Dalam kes ini, ia juga perlu untuk menentukan parameter yang tidak diketahui a dan menggantikannya ke dalam persamaan f(a). Samakan terbitan f(a) dengan terbitan persamaan garis selari. Ini datang dari keadaan paralelisme kedua-duanya. Cari punca-punca persamaan yang terhasil, yang akan menjadi absis bagi titik tangen.

Garis lurus y=f(x) akan bertangen kepada graf yang ditunjukkan dalam rajah di titik x0 jika ia melalui titik dengan koordinat (x0; f(x0)) dan mempunyai pekali sudut f"(x0). Cari pekali sedemikian, Mengetahui ciri tangen, ia tidak sukar.

Anda akan perlukan

- buku rujukan matematik;
- pensel mudah;
- buku nota;
- protraktor;
- kompas;
- pen.

Arahan

Jika nilai f‘(x0) tidak wujud, maka sama ada tiada tangen, atau ia berjalan secara menegak. Memandangkan perkara ini, kehadiran terbitan fungsi pada titik x0 adalah disebabkan oleh kewujudan tangen bukan menegak kepada graf fungsi pada titik (x0, f(x0)). Dalam kes ini, pekali sudut tangen akan sama dengan f "(x0). Oleh itu, ia menjadi jelas makna geometri terbitan – pengiraan kecerunan tangen.

Tentukan yang umum. Maklumat seperti ini boleh diperolehi dengan merujuk kepada data bancian. Untuk menentukan kadar kesuburan umum, kematian, perkahwinan dan perceraian, anda perlu mencari produk tersebut penduduk umum dan tempoh pengebilan. Tulis nombor yang terhasil ke dalam penyebut.

Letakkan pada pengangka penunjuk yang sepadan dengan saudara yang dikehendaki. Sebagai contoh, jika anda berhadapan dengan menentukan jumlah kadar kesuburan, maka sebagai ganti pengangka harus ada nombor yang mencerminkan jumlah kelahiran untuk tempoh yang anda minati. Jika matlamat anda ialah kadar kematian atau kadar perkahwinan, maka sebagai ganti pengangka letakkan bilangan kematian dalam tempoh pengiraan atau bilangan perkahwinan, masing-masing.

Darabkan nombor yang terhasil dengan 1000. Ini akan menjadi pekali keseluruhan yang anda cari. Jika anda berhadapan dengan tugas mencari kadar pertumbuhan keseluruhan, maka tolak kadar kematian daripada kadar kelahiran.

Video mengenai topik

Sumber:

Kadar vital am

Penunjuk utama kecekapan pengekstrakan ialah pekali pengedaran. Ia dikira menggunakan formula: Co/Sw, di mana Co ialah kepekatan bahan yang diekstrak dalam pelarut organik (pengekstrak), dan St ialah kepekatan bahan yang sama dalam air, selepas keseimbangan dicapai. Bagaimanakah anda boleh mencari pekali taburan secara eksperimen?

Arahan

Kami menentukan pekali sudut tangen kepada lengkung pada titik M.
Lengkung yang mewakili graf fungsi y = f(x) adalah selanjar dalam kejiranan tertentu titik M (termasuk titik M itu sendiri).

Jika nilai f‘(x0) tidak wujud, maka sama ada tiada tangen, atau ia berjalan secara menegak. Memandangkan perkara ini, kehadiran terbitan fungsi pada titik x0 adalah disebabkan oleh kewujudan tangen bukan menegak kepada graf fungsi pada titik (x0, f(x0)). Dalam kes ini, pekali sudut tangen akan sama dengan f "(x0). Oleh itu, makna geometri terbitan menjadi jelas - pengiraan pekali sudut tangen.

Tentukan terbitan pertama bagi persamaan itu fungsi f’(x) dan gantikan nilai titik “a” ke dalamnya.

Ambil persamaan tangen am, yang ditakrifkan sebagai y = f(a) = f (a)(x – a), dan gantikan nilai yang ditemui bagi a, f(a), f "(a) ke dalamnya. Hasilnya, penyelesaian kepada graf akan ditemui dan tangen.

Selesaikan masalah dengan cara yang berbeza jika titik tangen yang diberikan tidak bertepatan dengan titik tangen. Dalam kes ini, adalah perlu untuk menggantikan "a" dan bukannya nombor dalam persamaan tangen. Selepas ini, bukannya huruf "x" dan "y", gantikan nilai koordinat titik yang diberikan. Selesaikan persamaan yang terhasil di mana "a" adalah tidak diketahui. Palamkan nilai yang terhasil ke dalam persamaan tangen.

Mengekalkan privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila semak amalan privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.

Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi

Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.

Di bawah ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.

Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:

Apabila anda menghantar permintaan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat anda emel dll.

Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:

Dikumpul oleh kami maklumat peribadi membolehkan kami menghubungi anda dan memaklumkan anda tentang tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan komunikasi penting.
Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman seperti pengauditan, analisis data dan pelbagai kajian untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan mengenai perkhidmatan kami.
Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau promosi yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.

Pendedahan maklumat kepada pihak ketiga

Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

Jika perlu, mengikut undang-undang, prosedur kehakiman, V perbicaraan, dan/atau berdasarkan permintaan awam atau permintaan daripada agensi kerajaan di wilayah Persekutuan Rusia - mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga pengganti yang berkenaan.

Perlindungan maklumat peribadi

Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta akses, pendedahan, pengubahan dan pemusnahan tanpa kebenaran.

Menghormati privasi anda di peringkat syarikat

Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan piawaian privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan ketat.

Pertimbangkan angka berikut:

Ia menggambarkan fungsi tertentu y = f(x), yang boleh dibezakan pada titik a. Titik M dengan koordinat (a; f(a)) ditanda. Melalui titik sewenang-wenangnya Graf P(a + ∆x; f(a + ∆x)) dilukis oleh MR sekan.

Jika sekarang titik P dianjak sepanjang graf ke titik M, maka garis lurus MR akan berputar di sekitar titik M. Dalam kes ini, ∆x akan cenderung kepada sifar. Dari sini kita boleh merumuskan definisi tangen kepada graf fungsi.

Tangen kepada graf fungsi

Tangen kepada graf fungsi ialah kedudukan mengehadkan sekan kerana kenaikan argumen cenderung kepada sifar. Perlu difahami bahawa kewujudan derivatif fungsi f pada titik x0 bermakna pada titik ini pada graf terdapat tangen kepada dia.

Dalam kes ini, pekali sudut tangen akan sama dengan terbitan fungsi ini pada titik ini f’(x0). Ini ialah makna geometri bagi terbitan. Tangen kepada graf fungsi f boleh dibezakan pada titik x0 ialah garis lurus tertentu yang melalui titik (x0;f(x0)) dan mempunyai pekali sudut f’(x0).

Persamaan tangen

Mari kita cuba dapatkan persamaan tangen kepada graf beberapa fungsi f pada titik A(x0; f(x0)). Persamaan garis lurus dengan kecerunan k mempunyai pandangan seterusnya:

Oleh kerana pekali cerun kami adalah sama dengan derivatif f’(x0), maka persamaan akan mengambil bentuk berikut: y = f’(x0)*x + b.

Sekarang mari kita hitung nilai b. Untuk melakukan ini, kami menggunakan fakta bahawa fungsi itu melalui titik A.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, dari sini kita ungkapkan b dan dapatkan b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Kami menggantikan nilai yang terhasil ke dalam persamaan tangen:

y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

Pertimbangkan contoh berikut: cari persamaan tangen kepada graf fungsi f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 pada titik x = 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Gantikan nilai yang diperoleh ke dalam formula tangen, kita dapat: y = 1 + 4*(x - 2). Membuka kurungan dan membawa istilah yang serupa kita dapat: y = 4*x - 7.

Jawapan: y = 4*x - 7.

Skema am untuk mengarang persamaan tangen kepada graf fungsi y = f(x):

1. Tentukan x0.

2. Kira f(x0).

3. Kira f’(x)