Дадени се односите помеѓу основните тригонометриски функции - синус, косинус, тангента и котангента. тригонометриски формули. И бидејќи има доста врски помеѓу тригонометриските функции, ова го објаснува изобилството на тригонометриски формули. Некои формули се поврзуваат тригонометриски функции истиот агол, други се функции од повеќе агли, други ви дозволуваат да го намалите степенот, а други ви дозволуваат да ги изразите сите функции во однос на тангента половина агол, итн.
Во оваа статија ќе ги наведеме по редослед сите главни тригонометриски формули, кои се доволни за решавање на огромното мнозинство на тригонометриски проблеми. За полесно меморирање и користење, ќе ги групираме по намена и ќе ги внесеме во табели.
Навигација на страницата.
Основни тригонометриски идентитети
Основни тригонометриски идентитети дефинирање на односот помеѓу синус, косинус, тангента и котангента на еден агол. Тие произлегуваат од дефиницијата за синус, косинус, тангента и котангента, како и од концептот на единична кружница. Тие ви дозволуваат да изразите една тригонометриска функција во однос на која било друга.
За детален опис на овие тригонометриски формули, нивното изведување и примери за примена, видете ја статијата.
Формули за намалување
Формули за намалувањеследат од својствата на синус, косинус, тангента и котангента, односно тие го одразуваат својството на периодичност на тригонометриските функции, својството на симетрија, како и својството на поместување со даден агол. Овие тригонометриски формули ви овозможуваат да преминете од работа со произволни агли на работа со агли кои се движат од нула до 90 степени.
Образложението за овие формули е мнемоничко правилода ги запамети и примери за нивна употреба може да се проучат во статијата.
Формули за додавање
Формули за тригонометриско собирањепокажете како тригонометриските функции од збирот или разликата на два агли се изразуваат во однос на тригонометриските функции на тие агли. Овие формули служат како основа за изведување на следните тригонометриски формули.
Формули за двојни, тројни итн. агол
Формули за двојни, тројни итн. агол (тие се нарекуваат и формули за повеќекратни агли) покажуваат како тригонометриските функции се двојни, тројни итн. аглите () се изразуваат во однос на тригонометриските функции на еден агол. Нивното изведување се заснова на формули за собирање.
Подетални информации се собрани во формулите на написот за двојни, тројни итн. агол
Формули за половина агол
Формули за половина аголпокажете како тригонометриските функции на половина агол се изразуваат во однос на косинус на цел агол. Овие тригонометриски формули следат од формулите со двоен агол.
Нивниот заклучок и примери за примена може да се најдат во статијата.
Формули за намалување на степенот
Тригонометриски формули за намалување на степенисе наменети да го олеснат преминот од природни степенитригонометриски функции на синуси и косинуси до прв степен, но повеќе агли. Со други зборови, тие ви дозволуваат да ги намалите моќите на тригонометриските функции на првото.
Формули за збир и разлика на тригонометриски функции
Главната цел формули за збир и разлика на тригонометриски функциие да се оди на производ на функции, што е многу корисно при поедноставување тригонометриски изрази. Овие формули се широко користени и при решавање тригонометриски равенки, бидејќи тие ви дозволуваат да ги факторизирате збирот и разликата на синусите и косинусите.
Формули за производ од синуси, косинуси и синус по косинус
Преминот од производ на тригонометриски функции до збир или разлика се врши со користење на формулите за производ на синуси, косинуси и синус по косинус.
Авторско право од паметни студенти
Сите права се задржани.
Заштитено со закон за авторски права. Ниту еден дел од www.site, вклучувајќи ги внатрешните материјали и изгледот, не смее да се репродуцира во каква било форма или да се користи без претходна писмена дозвола од носителот на авторските права.
Ако конструираме единична кружница со центар на почетокот, и поставиме произволна вредностаргумент x 0и брои од оската Волагол x 0, тогаш овој агол на единечната кружница одговара на одредена точка А(сл. 1) и неговата проекција на оската Оќе има точка М. Должина на делот ОМеднаква на абсолутна вредностапсциса точки А. Дадена вредност на аргументот x 0мапирана вредност на функцијата y=кос x 0 како точки на апсциса А. Според тоа, точка ВО(x 0 ;на 0) припаѓа на графикот на функцијата на=кос X(сл. 2). Ако точката Ае десно од оската ОУ, Тековниот синус ќе биде позитивен, но ако налево ќе биде негативен. Но како и да е, точка Ане може да го напушти кругот. Затоа, косинусот лежи во опсег од -1 до 1:
–1 = кос x = 1.
Дополнителна ротација под кој било агол, повеќекратна од 2 стр, точка за враќање Ана истото место. Затоа функцијата y = cos xстр:
cos( x+ 2стр) = кос x.
Ако земеме две вредности на аргументот, еднакви во апсолутна вредност, но спротивни по знак, xИ - x, најдете ги соодветните точки на кругот А xИ А -х. Како што може да се види на сл. 3 нивната проекција на оската Ое истата точка М. Затоа
cos (- x) = коз ( x),
тие. косинус - дури и функција, ѓ(–x) = ѓ(x).
Ова значи дека можеме да ги истражиме својствата на функцијата y=кос Xна сегментот , а потоа да се земе предвид неговата паритет и периодичност.
На X= 0 бод Алежи на оската О, неговата апсциса е 1, и затоа cos 0 = 1. Со зголемување Xточка Асе движи околу кругот нагоре и налево, неговата проекција, природно, е само налево, а на x = стр/2 косинус станува еднаков на 0. Точка Аво овој момент се издига до максимална висина, а потоа продолжува да се движи налево, но веќе се спушта. Нејзината апсциса постојано се намалува додека не стигне најниска вредност, еднакво на –1 во X= стр. Така, на интервалот функцијата на=кос Xмонотоно се намалува од 1 на –1 (сл. 4, 5).
Од паритетот на косинусот следува дека на интервалот [- стр, 0] функцијата монотоно се зголемува од –1 на 1, земајќи нулта вредност во x =–стр/2. Ако земете неколку периоди, добивате брановидна крива (сл. 6).
Значи функцијата y=кос xзема нула вредности во точките X= стр/2 + кп, Каде k -кој било цел број. На поени се постигнуваат максимални еднакви на 1 X= 2кп, т.е. во чекори од 2 стр, а минимумите се еднакви на –1 на поени X= стр + 2кп.
Функција y = sin x.
На аголот на единицата круг x 0 одговара на точка А(Сл. 7), и неговата проекција на оската ОУќе има точка Н.Звредност на функцијата y 0 =грев x 0дефинирана како ордината на точка А. Точка ВО(агол x 0 ,на 0) припаѓа на графикот на функцијата y= грев x(Сл. 8). Јасно е дека функцијата y =грев xпериодично, неговиот период е 2 стр:
грев( x+ 2стр) = грев ( x).
За две вредности на аргументи, XИ -, проекции на нивните соодветни точки А xИ А -хпо оска ОУлоцирани симетрично во однос на точката ЗА. Затоа
грев(- x) = – грев ( x),
тие. синусот е непарна функција, f(- x) = –f( x) (сл. 9).
Ако точката Аротираат во однос на точка ЗАпод агол стр/2 спротивно од стрелките на часовникот (со други зборови, ако аголот Xсе зголеми за стр/2), тогаш нејзината ордината во новата позиција ќе биде еднаква на апсцисата во старата. Што значи
грев( x+ стр/2) = кос x.
Инаку, синусот е косинус „доцна“. стр/2, бидејќи секоја косинусова вредност ќе се „повтори“ во синусот кога аргументот ќе се зголеми за стр/2. И за да се изгради синусен график, доволно е да се помести косинусниот график за стр/2 надесно (сл. 10). Екстремно важен имотсинус се изразува со еднаквост
Геометриското значење на еднаквоста може да се види од сл. 11. Еве X -ова е половина лак АБ, како во X -половина од соодветниот акорд. Очигледно е дека како што се приближуваат бодовите АИ ВОдолжината на акордот се повеќе се приближува до должината на лакот. Од истата бројка лесно може да се изведе нееднаквоста
|грев x| x|, точно за кој било X.
Математичарите ја нарекуваат формулата (*) извонредна граница. Од него, особено, произлегува дека гревот X» Xво мали X.
Функции на= tg x, y=ctg X. Другите две тригонометриски функции, тангента и котангента, најлесно се дефинираат како однос на синусот и косинусот што ни е веќе познат:
Како синус и косинус, тангента и котангента се периодични функции, но нивните периоди се еднакви стр, т.е. тие се половина од големината на синус и косинус. Причината за ова е јасна: ако и синусот и косинусот ги променат знаците, тогаш нивниот однос нема да се промени.
Бидејќи именителот на тангентата содржи косинус, тангентата не е дефинирана во оние точки каде што косинусот е 0 - кога X= стр/2 +kp. Во сите други точки монотоно се зголемува. Директно X= стр/2 + кпза тангента се вертикални асимптоти. На точките кптангента и наклонсе 0 и 1, соодветно (сл. 12).
Котангенсот не е дефиниран каде што синусот е 0 (кога x = kp). Во други точки се намалува монотоно, а прави линии x = kp – неговиот вертикални асимптоти. На точките x = стр/2 +kpкотангенсот станува 0, а наклонот во овие точки е еднаков на –1 (сл. 13).
Паритет и периодичност.
Функцијата се повикува дури и ако ѓ(–x) = ѓ(x). Функциите косинус и секантни се парни, а синусните, тангентите, котангентите и косекантните функции се непарни:
| грев (–α) = – грев α | тен (–α) = – тен α |
| cos (–α) = cos α | ctg (–α) = – ctg α |
| сек (–α) = сек α | косек (–α) = – косек α |
Паритетните својства произлегуваат од симетријата на точките Па и Р- А (сл. 14) во однос на оската X. Со таква симетрија, ординатата на точката го менува знакот (( X;на) оди на ( X; –у)). Сите функции - периодични, синусни, косинусови, секанти и косеканти имаат период од 2 стр, и тангента и котангента - стр:
| грев (α + 2 kπ) = грев α | cos(α+2 kπ) = cos α |
| tg(α+ kπ) = тен α | креветче (α+ kπ) = cotg α |
| сек (α + 2 kπ) = сек α | косек (α+2 kπ) = косек α |
Периодичноста на синус и косинус произлегува од фактот дека сите точки П a+2 кп, Каде к= 0, ±1, ±2,…, се совпаѓаат, а периодичноста на тангентата и котангентата се должи на фактот што точките П a+ кпнаизменично дијаметрално паѓаат на два спротивни точкикругови кои даваат иста точка на тангентата оска.
Главните својства на тригонометриските функции може да се сумираат во табела:
| Функција | Домен | Повеќекратни значења | Паритет | Области на монотонија ( к= 0, ± 1, ± 2,…) |
| грев x | – Ґ x Ґ | [–1, +1] | чудно | се зголемува со xО((4 к – 1) стр /2, (4к + 1) стр/2), се намалува на xО((4 к + 1) стр /2, (4к + 3) стр/2) |
| cos x | – Ґ x Ґ | [–1, +1] | дури | Се зголемува со xО((2 к – 1) стр, 2кп), се намалува кај xО(2 кп, (2к + 1) стр) |
| тг x | x № стр/2 + стр к | (–Ґ , +Ґ ) | чудно | се зголемува со xО((2 к – 1) стр /2, (2к + 1) стр /2) |
| ctg x | x № стр к | (–Ґ , +Ґ ) | чудно | се намалува кај xЗА ( кп, (к + 1) стр) |
| сек x | x № стр/2 + стр к | (–Ґ , –1] И [+1, +Ґ ) | дури | Се зголемува со xО(2 кп, (2к + 1) стр), се намалува кај xО((2 к– 1) стр, 2 кп) |
| косек x | x № стр к | (–Ґ , –1] И [+1, +Ґ ) | чудно | се зголемува со xО((4 к + 1) стр /2, (4к + 3) стр/2), се намалува на xО((4 к – 1) стр /2, (4к + 1) стр /2) |
Формули за намалување.
Според овие формули вредноста на тригонометриската функција на аргументот a, каде стр/2 a p , може да се сведе на вредноста на аргументната функција a , каде што 0 a p /2, или иста или комплементарна со неа.
| Аргумент б |  -а |
+ а | стр-а | стр+ а | + а | + а | 2стр-а |
| грев б | cos a | cos a | грев а | – грев а | – Кос А | – Кос А | – грев а |
| cos b | грев а | – грев а | – Кос А | – Кос А | – грев а | грев а | cos a |
Затоа, во табелите со тригонометриски функции, вредностите се дадени само за остри агли, и доволно е да се ограничиме, на пример, на синус и тангента. Табелата ги прикажува само најчесто користените формули за синус и косинус. Од нив лесно се добиваат формули за тангента и котангента. При фрлање функција од аргумент на формата кп/2 ± a, каде к– цел број, до функција од аргументот a:
1) името на функцијата се зачувува ако кдури, и се менува во „комплементарни“ ако кчудно;
2) знакот од десната страна се совпаѓа со знакот на редуцирачката функција во точката кп/2 ± a ако аголот a е остар.
На пример, при кастинг ctg (а - стр/2) се уверуваме дека - стр/2 на 0 a p /2 лежи во четвртиот квадрант, каде што котангенсот е негативен и, според правилото 1, го менуваме името на функцијата: ctg (a – стр/2) = –tg a .
Формули за додавање.
Формули за повеќе агли.
Овие формули се изведени директно од формулите за додавање:
sin 2a = 2 sin a cos a ;
cos 2a = cos 2 a – sin 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a ;
грев 3а = 3 грев а – 4 грев 3 а;
cos 3a = 4 cos 3 a – 3 cos a ;
Формулата за cos 3a ја користел Франсоа Виете при решавањето кубна равенка. Тој беше првиот што најде изрази за cos nа и грев nа , кои подоцна се добиени повеќе на едноставен начинод формулата на Моивр.
Ако во формули двоен аргументзаменете го a со /2, тие можат да се претворат во формули со половина агол:
Универзални формули за замена.
Користејќи ги овие формули, изразот што вклучува различни тригонометриски функции од истиот аргумент може да се преработи како рационално изразувањеод една функција tg (a /2), ова може да биде корисно при решавање на некои равенки:
 |
|
 |
 |
Формули за претворање на суми во производи и производи во суми.
Пред појавата на компјутерите, овие формули се користеа за поедноставување на пресметките. Пресметките беа направени со помош на логаритамски табели, а подоцна - правило за слајд, бидејќи логаритмите се најпогодни за множење броеви, така што сите оригинални изрази беа доведени во форма погодна за логаритмизација, т.е. да работи, на пример:
2 грев а sin b = cos ( a–b) – cos ( а+б);
2cos а cos б=cos( a–b) + cos ( а+б);
2 грев а cos б= грев ( a–b) + грев ( а+б).
Формулите за функциите тангента и котангента може да се добијат од горенаведеното.
Формули за намалување на степенот.
Од формулите за повеќе аргументи се изведени следните формули:
| грев 2 a = (1 – cos 2a)/2; | cos 2 a = (1 + cos 2a )/2; |
| грев 3 а = (3 грев а – грев 3а)/4; | cos 3 a = (3 cos a + cos 3а )/4. |
Користејќи ги овие формули, тригонометриските равенки може да се сведат на равенки од пониски степени. На ист начин, можеме да изведеме формули за намалување за повеќе високи степенисинус и косинус.
| Изводи и интеграли на тригонометриски функции | |
| (грев x)` = кос x; | (кос x)` = –грев x; |
| (тг x)` = ; | (ctg x)` = – ; |
| т грев x dx= –кос x + В; | т кос x dx= грев x + В; |
| т тг x dx= –ln|cos x| + В; | t ctg x dx = ln|грев x| + В; |
Секоја тригонометриска функција во секоја точка од нејзиниот домен на дефиниција е континуирана и бесконечно диференцијабилна. Притоа, изводите на тригонометриските функции се тригонометриски функции, а кога се интегрирани, се добиваат и тригонометриски функции или нивни логаритми. Интегралите на рационални комбинации на тригонометриски функции се секогаш елементарни функции.
Претставување на тригонометриски функции во форма на моќни серии и бесконечни производи.
Сите тригонометриски функции може да се прошират во моќна серија. Во овој случај, функциите грешат x bcos xсе претставени во редови. конвергентен за сите вредности x:
Овие серии може да се користат за да се добијат приближни изрази за гревот xи кос xна мали вредности x:
на | x|стр/2;
на 0 x| стр
(Б n – Бернули броеви).
грев функции xи кос xможе да се претстави во форма на бесконечни производи:
Тригонометриски систем 1, кос x,грев x, cos 2 x, грев 2 x, ¼, кос nx,грев nx, ¼, се формира на сегментот [- стр, стр] ортогонален системфункции, што овозможува да се претстават функциите во форма на тригонометриски серии.
се дефинираат како аналитички продолжетоци на соодветните тригонометриски функции на реалниот аргумент во сложената рамнина. Да, грев zи кос zможе да се дефинира со користење на серии за грев xи кос x, ако наместо тоа xстави z:
Овие серии се спојуваат низ целиот авион, па грев zи кос z- цели функции.
Тангента и котангента се одредуваат со формулите:
tg функции zи ctg z– мероморфни функции. tg столбови zи сек z– едноставен (1 ред) и лоциран на точки z = стр/2 + pn,столбови ctg zи косек z– исто така едноставно и лоцирано на точки z = p n, n = 0, ±1, ±2,…
Сите формули кои важат за тригонометриски функции на реален аргумент важат и за сложен. Особено,
грев(- z) = –грев z,
cos (- z) = кос z,
tg (- z) = –tg z,
ctg(- z) = –ctg z,
тие. се зачувани парните и непарните паритет. Формулите исто така се зачувани
грев( z + 2стр) = грев z, (z + 2стр) = кос z, (z + стр) = tg z, (z + стр) = ctg z,
тие. периодичноста е исто така зачувана, а периодите се исти како и за функциите на вистински аргумент.
Тригонометриските функции може да се изразат во смисла на експоненцијална функција на чисто имагинарен аргумент:
Назад, е изизразена во смисла на кос zи гревот zспоред формулата:
е из=кос z + јасгрев z
Овие формули се нарекуваат Ојлерови формули. Леонхард Ојлер ги развил во 1743 година.
Тригонометриските функции може да се изразат и во однос на хиперболични функции:
z = –јасш из, cos z = ch iz, z = –i th iz.
каде што sh, ch и th се хиперболичен синус, косинус и тангента.
Тригонометриски функции на сложени аргументи z = x + iy, Каде xИ y – реални броеви, може да се изрази преку тригонометриски и хиперболични функции на реални аргументи, на пример:
грев( x + iy) = грев xпогл y + јас cos xш y;
cos( x + iy) = кос xпогл y + јасгрев xш y.
Синус и косинус на сложен аргумент може да потрае реални вредности, што надминува 1 во апсолутна вредност. На пример:
Ако непознат агол внесе равенка како аргумент на тригонометриски функции, тогаш равенката се нарекува тригонометриска. Ваквите равенки се толку чести што нивните методи решенијата се многу детални и внимателно дизајнирани. СОсо помош различни техникиа формулите ги намалуваат тригонометриските равенки на равенки на формата ѓ(x)=а, Каде ѓ– која било од наједноставните тригонометриски функции: синус, косинус, тангента или котангента. Потоа искажи го аргументот xоваа функција преку неговата позната вредност А.
Бидејќи тригонометриските функции се периодични, исти Аод опсегот на вредности има бесконечно многу вредности на аргументот, а решенијата на равенката не можат да се напишат како единствена функција на А. Затоа, во доменот на дефинирање на секоја од главните тригонометриски функции, се избира дел во кој ги зема сите нејзини вредности, секоја само еднаш, а функцијата обратна од неа се наоѓа во овој дел. Таквите функции се означуваат со додавање на префиксниот лак (лак) на името на оригиналната функција и се нарекуваат инверзна тригонометриска функции или едноставно лак функции.
Инверзни тригонометриски функции.
За гревот X, cos X, тг Xи ctg Xможе да се утврди инверзни функции. Тие се соодветно означени со лаксин X(читај „арксин“ x"), аркос x, арктан xи arcctg x. По дефиниција, arcsin Xима таков број y,Што
грев на = X.
Слично на другите инверзни тригонометриски функции. Но, оваа дефиниција страда од одредена неточност.
Ако го одразуваш гревот X, cos X, тг Xи ctg Xво однос на симетралата на првиот и третиот квадрант координатна рамнина, тогаш функциите, поради нивната периодичност, стануваат двосмислени: истиот синус (косинус, тангента, котангента) одговара на бесконечен бројаглите
За да се ослободите од двосмисленоста, дел од кривата со ширина од стр, во овој случај потребно е да се одржува кореспонденција еден-на-еден помеѓу аргументот и вредноста на функцијата. Се избираат области во близина на потеклото на координатите. За синус во Како „интервал еден на еден“ го земаме сегментот [- стр/2, стр/2], на кој синусот монотоно се зголемува од –1 на 1, за косинус – сегментот, за тангентата и котангенсот, соодветно, интервалите (– стр/2, стр/2) и (0, стр). Секоја крива на интервалот се рефлектира во однос на симетралата и сега може да се одредат инверзни тригонометриски функции. На пример, нека биде дадена вредноста на аргументот x 0,така што 0 Ј x 0 Ј 1. Потоа вредноста на функцијата y 0 = лаксин x 0 ќе има само едно значење на 0 , така што - стр/2 Ј на 0 Ј стр/2 и x 0 = грев y 0 .
Така, арксинот е функција на лаксинот А, дефинирани на интервалот [–1, 1] и еднакви за секој Адо таква вредност, - стр/2 a p /2 дека гревот a = А.Многу е погодно да се претстави со помош на единечен круг (сл. 15). Кога | а| 1 на круг има две точки со ординати а, симетрично во однос на оската u.Еден од нив одговара на аголот а= лаксин А, а другиот е аголот стр - а. СОземајќи ја предвид периодичноста на синусот, решението гревови равенки x= Асе евидентира на следниот начин:
x =(–1)nлаксин а + 2p n,
Каде n= 0, ±1, ±2,...
Други едноставни тригонометриски равенки може да се решат на ист начин:
cos x = а, –1 =а= 1;
x =±аркос а + 2p n,
Каде П= 0, ±1, ±2,... (сл. 16);
тг X = а;
x= арктан а + стр n,
Каде n = 0, ±1, ±2,... (сл. 17);
ctg X= А;
X= arcctg а + стр n,
Каде n = 0, ±1, ±2,... (сл. 18).
Основни својства на инверзните тригонометриски функции:
лаксин X(сл. 19): домен на дефиниција – сегмент [–1, 1]; опсег - [- стр/2, стр/2], монотоно растечка функција;
лакови X(Сл. 20): домен на дефиниција – сегмент [–1, 1]; опсег на вредности – ; монотоно опаѓачка функција;
арктг X(сл. 21): домен на дефиниција – сите реални броеви; опсег на вредности - интервал (- стр/2, стр/2); монотоно зголемување на функцијата; директно на= –стр/2 и y = p /2 -хоризонтални асимптоти;
arcctg X(сл. 22): домен на дефиниција – сите реални броеви; опсег на вредности - интервал (0, стр); монотоно опаѓачка функција; директно y= 0 и y = стр– хоризонтални асимптоти.
За било кој z = x + iy, Каде xИ yсе реални броеви, се применуваат неравенки
½| e\e y–e-y| ≤|грев z|≤½( e y +e-y),
½| e y–e-y| ≤|кос z|≤½( e y +e -y),
од кои на y® Ґ следат асимптотични формули (еднакво во однос на x)
|грев z| » 1/2 д |y| ,
|кос z| » 1/2 д |y| .
Тригонометриските функции првпат се појавија во врска со истражувањата во астрономијата и геометријата. Односите на отсечки во триаголник и круг, кои во суштина се тригонометриски функции, се наоѓаат веќе во III век. п.н.е д. во делата на математичарите од Античка Грција – Евклид, Архимед, Аполониј од Перга и други, меѓутоа, овие односи не биле самостоен предмет на проучување, па затоа не ги проучувале тригонометриските функции како такви. Тие првично биле сметани како сегменти и во оваа форма биле користени од Аристарх (крај 4 - 2 половина на 3 век п.н.е.), Хипарх (2 век п.н.е.), Менелај (1 век н.е.) и Птоломеј (2 век н.е.) кога решавање на сферични триаголници. Птоломеј ја составил првата табела на акорди за остри агли на секои 30" со точност од 10-6. Ова беше првата табела на синуси. Како сооднос, функцијата sin a се наоѓа веќе во Арјабхата (крајот на 5 век). Функциите tg a и ctg a се наоѓаат во al- Battani (втора половина на 9-ти - почетокот на 10 век) и Abul-Vefa (10 век), кој исто така користи sec a и cosec a... Арјабхата веќе ја знаеше формулата ( грев 2 a + cos 2 a) = 1, како и формули за греви cos на половина агол, со чија помош изградив табели со синуси за агли на секои 3°45"; врз основа на познати вредноститригонометриски функции за наједноставните аргументи. Бхаскара (12 век) дал метод за конструирање табели во однос на 1 користејќи формули за собирање. Формулите за претворање на збирот и разликата на тригонометриските функции на различни аргументи во производ беа изведени од Региомонтанус (15 век) и Ј. Региомонтан даде табела со вредности на синус во 1". Проширувањето на тригонометриските функции во серии на моќност е добиено од И. Њутн (1669). модерна форматеоријата на тригонометриските функции ја вовел Л. Ојлер (18 век). Тој ја поседува нивната дефиниција за реални и сложени аргументи, моментално прифатената симболика, воспоставувањето врски со експоненцијална функцијаи ортогоналност на системот на синуси и косинуси.
Табела на вредности на тригонометриски функции
Забелешка. Оваа табела со вредности на тригонометриски функции го користи знакот √ за означување квадратен корен. За да означите дропка, користете го симболот "/".
исто така видикорисни материјали:
За одредување на вредноста на тригонометриска функција, најдете го на пресекот на правата што ја покажува тригонометриската функција. На пример, синус 30 степени - ја бараме колоната со наслов грев (синус) и го наоѓаме пресекот на оваа колона од табелата со редот „30 степени“, на нивниот пресек го читаме резултатот - една половина. Слично наоѓаме косинус 60степени, синус 60степени (уште еднаш, на пресекот на колоната грев (синус) и редот 60 степени наоѓаме грев вредност 60 = √3/2), итн. Вредностите на синусите, косинусите и тангентите на другите „популарни“ агли се наоѓаат на ист начин.
Синус пи, косинус пи, тангента пи и други агли во радијани
Табелата подолу за косинусите, синусите и тангентите е исто така погодна за наоѓање на вредноста на тригонометриските функции чиј аргумент е дадени во радијани. За да го направите ова, користете ја втората колона со вредности на аглите. Благодарение на ова, можете да ја конвертирате вредноста на популарните агли од степени во радијани. На пример, да го најдеме аголот од 60 степени во првата линија и да ја прочитаме неговата вредност во радијани под неа. 60 степени е еднакво на π/3 радијани.
Бројот пи недвосмислено ја изразува зависноста на обемот од степен меркаагол. Така, пи радијаните се еднакви на 180 степени.
Секој број изразен во однос на пи (радијани) може лесно да се претвори во степени со замена на пи (π) со 180.
Примери:
1. Сине пи.
грев π = грев 180 = 0
така, синусот на пи е ист како и синусот од 180 степени и тоа еднаква на нула.
2. Косинусот пи.
cos π = cos 180 = -1
така, косинусот на пи е ист со косинусот од 180 степени и е еднаков на минус еден.
3. Тангента пи
tg π = tg 180 = 0
така, тангентата пи е иста како тангентата 180 степени и е еднаква на нула.
Табела на вредности на синус, косинус, тангента за агли 0 - 360 степени (заеднички вредности)
|
агол α вредност (степени) |
агол α вредност (преку пи) |
грев (синус) |
cos (косинус) |
тг (тангента) |
ctg (котангента) |
сек (секант) |
косек (косекант) |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
| 15 | π/12 | 2 - √3 | 2 + √3 | ||||
| 30 | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 | 2/√3 | 2 |
| 45 | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 | √2 | √2 |
| 60 | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 | 2 | 2/√3 |
| 75 | 5π/12 | 2 + √3 | 2 - √3 | ||||
| 90 | π/2 | 1 | 0 | - | 0 | - | 1 |
| 105 | 7π/12 |
- |
- 2 - √3 | √3 - 2 | |||
| 120 | 2π/3 | √3/2 | -1/2 | -√3 | -√3/3 | ||
| 135 | 3π/4 | √2/2 | -√2/2 | -1 | -1 | -√2 | √2 |
| 150 | 5π/6 | 1/2 | -√3/2 | -√3/3 | -√3 | ||
| 180 | π | 0 | -1 | 0 | - | -1 | - |
| 210 | 7π/6 | -1/2 | -√3/2 | √3/3 | √3 | ||
| 240 | 4π/3 | -√3/2 | -1/2 | √3 | √3/3 | ||
| 270 | 3π/2 | -1 | 0 | - | 0 | - | -1 |
| 360 | 2π | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
Ако во табелата со вредности на тригонометриски функции е означена цртичка наместо вредноста на функцијата (тангента (tg) 90 степени, котангента (ctg) 180 степени), тогаш за дадена вредност на степенот мерка на аголот функцијата нема одредена вредност. Ако нема цртичка, ќелијата е празна, што значи дека сè уште не сме влегле саканата вредност. Нас нè интересира за какви прашања доаѓаат корисниците кај нас и ја дополнуваат табелата со нови вредности, и покрај фактот што тековните податоци за вредностите на косинусите, синусите и тангентите на најчестите вредности на аголот се сосема доволни за решавање на повеќето проблеми.
Табела со вредности на тригонометриски функции sin, cos, tg за најпопуларните агли
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 степени
(нумерички вредности „според табелите на Брадис“)
| вредност на аголот α (степени) | агол α вредност во радијани | грев (синус) | cos (косинус) | tg (тангента) | ctg (котангента) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | ||||
| 15 |
0,2588 |
0,9659
|
0,2679 |
||
| 30 |
0,5000 |
0,5774 |
|||
| 45 |
0,7071 |
||||
|
0,7660 |
|||||
| 60 |
0,8660 |
0,5000
|
1,7321 |
||
|
7π/18 |
Концептите на синус (), косинус (), тангента (), котангента () се нераскинливо поврзани со концептот на агол. За добро да се разберат овие, на прв поглед, сложени концепти(кои предизвикуваат состојба на ужас кај многу ученици), а за да се увериме дека „ѓаволот не е толку страшен како што е насликан“, да почнеме од самиот почеток и да го разбереме концептот на агол.
Концепт на агол: радијан, степен
Ајде да ја погледнеме сликата. Векторот се „свртел“ во однос на точката за одредена количина. Значи мерката на оваа ротација во однос на почетната позиција ќе биде агол.
Што друго треба да знаете за концептот на агол? Па, се разбира, аголни единици!
Аголот, и во геометријата и во тригонометријата, може да се мери во степени и радијани.
Се нарекува агол од (еден степен). централен аголво круг, врз основа на кружен лак еднаков на дел од кругот. Така, целиот круг се состои од „парчиња“ кружни лаци, или аголот опишан од кругот е еднаков.
Тоа е, на сликата погоре е прикажан агол еднаков на, односно, овој агол се потпира на кружен лак со големина на обемот.
Агол во радијани е централниот агол во кругот подвижен со кружен лак чија должина е еднаква на радиусот на кругот. Па, дали сфативте? Ако не, тогаш ајде да дознаеме од цртежот.
Значи, сликата покажува агол еднаков на радијан, односно овој агол се потпира на кружен лак, чија должина е еднаква на радиусот на кругот (должината е еднаква на должината или радиусот еднаква на должинаталакови). Така, должината на лакот се пресметува со формулата:
Каде е централниот агол во радијани.
Па, знаејќи го ова, можете ли да одговорите колку радијани содржи аголот опишан со кругот? Да, за ова треба да ја запомните формулата за обемот. Еве ја таа:
Па, сега да ги поврземе овие две формули и да откриеме дека аголот опишан од кругот е еднаков. Односно, со корелација на вредноста во степени и радијани, го добиваме тоа. Соодветно,. Како што можете да видите, за разлика од „степените“, зборот „радијан“ е испуштен, бидејќи мерната единица обично е јасна од контекстот.
Колку радијани има? Тоа е точно!
Разбрав? Потоа оди напред и поправете го:
Имате потешкотии? Потоа погледнете одговори:
Правоаголен триаголник: синус, косинус, тангента, котангенс на аголот
Значи, го сфативме концептот на агол. Но, што е синус, косинус, тангента и котангента на агол? Ајде да го сфатиме. За ова ќе ни помогне правоаголен триаголник.
Како се викаат страните на правоаголен триаголник? Така е, хипотенузата и нозете: хипотенузата е страната што лежи спроти прав агол (во нашиот пример ова е страната); нозете се двете преостанати страни и (оние во непосредна близина на прав агол), и ако ги земеме предвид нозете во однос на аголот, тогаш ногата е соседната нога, а ногата е спротивна. Значи, сега да одговориме на прашањето: што се синус, косинус, тангента и котангента на агол?
Синус на агол- ова е односот на спротивната (оддалечена) нога до хипотенузата.
Во нашиот триаголник.
Косинусот на аголот- ова е односот на соседната (блиска) нога до хипотенузата.
Во нашиот триаголник.
Тангента на аголот- ова е односот на спротивната (оддалечена) страна со соседната (блиска).
Во нашиот триаголник.
Котангенс на аголот- ова е односот на соседната (блиска) нога до спротивната (далеку).
Во нашиот триаголник.
Овие дефиниции се неопходни запомнете! За полесно да запомните која нога да ја поделите на што, треба јасно да го разберете тоа тангентаИ котангентасамо нозете седат, а хипотенузата се појавува само во синусИ косинус. И тогаш можете да излезете со синџир на асоцијации. На пример, овој:
Косинус→допир→допир→соседен;
Котангента → допир → допир → соседно.
Пред сè, треба да запомните дека синус, косинус, тангента и котангента, бидејќи односот на страните на триаголникот не зависат од должината на овие страни (по ист агол). Не верувам? Потоа уверете се гледајќи ја сликата:
Размислете, на пример, косинус на агол. По дефиниција, од триаголник: , но можеме да го пресметаме косинус на агол од триаголник: . Гледате, должините на страните се различни, но вредноста на косинус од еден агол е иста. Така, вредностите на синус, косинус, тангента и котангента зависат исклучиво од големината на аголот.
Ако ги разбирате дефинициите, тогаш продолжи и консолидирај ги!
За триаголникот прикажан на сликата подолу, наоѓаме.
Па, дали го добивте? Потоа обидете се сами: пресметајте го истото за аголот.
Единица (тригонометриски) круг
Разбирање на концептите на степени и радијани, разгледавме круг со радиус еднаков на. Таков круг се нарекува сингл. Тоа ќе биде многу корисно при изучување на тригонометрија. Затоа, да го разгледаме малку подетално.
Како што можеш да видиш, даден кругвградена Декартов системкоординати Кружен радиус еднаков на еден, додека центарот на кругот лежи на почетокот, почетна позицијаВекторот на радиусот е фиксиран по позитивната насока на оската (во нашиот пример, ова е радиусот).
Секоја точка на кругот одговара на два броја: координатата на оската и координатата на оската. Кои се овие координатни броеви? И воопшто, каква врска имаат тие со темата што се работи? За да го направите ова, треба да запомниме за разгледуваниот правоаголен триаголник. На сликата погоре, можете да видите два цели правоаголни триаголници. Размислете за триаголник. Правоаголна е бидејќи е нормална на оската.
На што е еднаков триаголникот? Тоа е точно. Дополнително, знаеме дека е радиусот на единечниот круг, што значи . Ајде да ја замениме оваа вредност во нашата формула за косинус. Еве што се случува:
На што е еднаков триаголникот? Па, се разбира,! Заменете ја вредноста на радиусот во оваа формула и добијте:
Значи, можете ли да кажете какви координати има точка која припаѓа на круг? Па, нема шанси? Што ако го сфатите тоа и сте само бројки? На која координата одговара? Па, се разбира, координатите! И на која координата одговара? Така е, координати! Така, период.
На што се тогаш и што се еднакви? Така е, ајде да ги искористиме соодветните дефиниции за тангента и котангента и да го добиеме тоа, a.
Што ако аголот е поголем? На пример, како на оваа слика:
Што се смени во во овој пример? Ајде да го сфатиме. За да го направите ова, ајде повторно да се свртиме кон правоаголен триаголник. Размислете за правоаголен триаголник: агол (како во непосредна близина на агол). Кои се вредностите на синус, косинус, тангента и котангента за агол? Така е, ние се придржуваме до соодветните дефиниции за тригонометриските функции:
Па, како што можете да видите, вредноста на синусот на аголот сè уште одговара на координатата; вредноста на косинус на аголот - координатата; и вредностите на тангента и котангента на соодветните соодноси. Така, овие односи се однесуваат на секоја ротација на векторот на радиусот.
Веќе беше споменато дека почетната положба на векторот на радиусот е долж позитивната насока на оската. Досега го ротиравме овој вектор спротивно од стрелките на часовникот, но што ќе се случи ако го ротираме во насока на стрелките на часовникот? Ништо извонредно, ќе добиете и агол со одредена вредност, но само тој ќе биде негативен. Така, при ротирање на векторот на радиус спротивно од стрелките на часовникот, добиваме позитивни аглии кога се ротира во насока на стрелките на часовникот - негативен.
Значи, знаеме дека цела револуција на векторот на радиусот околу круг е или. Дали е можно да се ротира векторот на радиусот до или до? Па, секако дека можеш! Според тоа, во првиот случај, векторот на радиусот ќе направи една целосна револуција и ќе застане на позицијата или.
Во вториот случај, односно векторот на радиусот ќе направи три целосни вртежи и ќе застане на позицијата или.
Така, од горенаведените примери можеме да заклучиме дека аглите кои се разликуваат по или (каде е некој цел број) одговараат на истата позиција на векторот на радиусот.
Сликата подолу покажува агол. Истата слика одговара на аголот, итн. Оваа листа може да се продолжи на неодредено време. Сите овие агли може да се напишат со општата формула или (каде е кој било цел број)
Сега, знаејќи ги дефинициите на основните тригонометриски функции и користејќи го единечниот круг, обидете се да одговорите кои се вредностите:
Еве еден круг единица за да ви помогне:
Имате потешкотии? Тогаш ајде да го сфатиме. Значи знаеме дека:
Оттука, ги одредуваме координатите на точките што одговараат на одредени мерки на агол. Па, да почнеме по редослед: аголот при одговара на точка со координати, затоа:
Не постои;
Понатаму, придржувајќи се до истата логика, дознаваме дека аглите во одговараат на точки со координати, соодветно. Знаејќи го ова, лесно е да се одредат вредностите на тригонометриските функции во соодветните точки. Прво пробајте сами, а потоа проверете ги одговорите.
Одговори:
Не постои
Не постои
Не постои
Не постои
Така, можеме да ја направиме следната табела:
Нема потреба да се сеќавате на сите овие вредности. Доволно е да се запамети кореспонденцијата помеѓу координатите на точките на единечниот круг и вредностите на тригонометриските функции:
Но, вредностите на тригонометриските функции на аглите во и, дадени во табелата подолу, мора да се запамети:
Не плашете се, сега ќе ви покажеме еден пример прилично едноставно за запомнување на соодветните вредности:
За да го користите овој метод, од витално значење е да се запаметат вредностите на синусот за сите три мерки на аголот (), како и вредноста на тангентата на аголот. Знаејќи ги овие вредности, прилично е едноставно да се врати целата табела - косинусните вредности се пренесуваат во согласност со стрелките, односно:
Знаејќи го ова, можете да ги вратите вредностите за. Броителот " " ќе се совпаѓа и именителот " " ќе се совпаѓа. Вредностите на котангентите се пренесуваат во согласност со стрелките наведени на сликата. Ако го разбирате ова и се сеќавате на дијаграмот со стрелките, тогаш ќе биде доволно да ги запомните сите вредности од табелата.
Координати на точка на круг
Дали е можно да се најде точка (неговите координати) на круг, знаејќи ги координатите на центарот на кругот, неговиот радиус и аголот на ротација?
Па, секако дека можеш! Ајде да го извадиме општа формулада се најдат координатите на точка.
На пример, еве еден круг пред нас:
Дадено ни е дека точката е центар на кругот. Радиусот на кругот е еднаков. Потребно е да се пронајдат координатите на точката добиена со ротирање на точката за степени.
Како што може да се види од сликата, координатата на точката одговара на должината на отсечката. Должината на сегментот одговара на координатата на центарот на кругот, односно е еднаква. Должината на сегментот може да се изрази користејќи ја дефиницијата за косинус:
Потоа го имаме тоа за координатата на точката.
Користејќи ја истата логика, ја наоѓаме координативната вредност y за точката. Така,
Значи, во општ погледкоординатите на точките се одредуваат со формулите:
Координати на центарот на кругот,
Кружен радиус,
Аголот на ротација на векторскиот радиус.
Како што можете да видите, за единечниот круг што го разгледуваме, овие формули се значително намалени, бидејќи координатите на центарот се еднакви на нула, а радиусот е еднаков на еден:
Па, ајде да ги испробаме овие формули со вежбање наоѓање точки на круг?
1. Најдете ги координатите на точката на единечната кружница добиена со ротирање на точката на.
2. Најдете ги координатите на точката на единечната кружница добиена со ротирање на точката на.
3. Најдете ги координатите на точката на единечната кружница добиена со ротирање на точката на.
4. Точката е центар на кругот. Радиусот на кругот е еднаков. Потребно е да се најдат координатите на точката добиена со ротирање на векторот на почетниот радиус за.
5. Точката е центар на кругот. Радиусот на кругот е еднаков. Потребно е да се најдат координатите на точката добиена со ротирање на векторот на почетниот радиус за.
Дали имате проблем да ги пронајдете координатите на точка на круг?
Решете ги овие пет примери (или бидете добри во решавањето) и ќе научите да ги наоѓате!
1.
Можете да го забележите тоа. Но, знаеме што одговара на целосна револуција на почетната точка. Така, саканата точкаќе биде во иста положба како при вклучување. Знаејќи го ова, ги наоѓаме потребните координати на точката:
2. Кругот на единицата е центриран во точка, што значи дека можеме да користиме поедноставени формули:
Можете да го забележите тоа. Знаеме што одговара на две целосна брзинаПочетна точка. Така, саканата точка ќе биде во иста положба како кога се врти кон. Знаејќи го ова, ги наоѓаме потребните координати на точката:
Синус и косинус се вредности на табелата. Се сеќаваме на нивните значења и добиваме:
Така, саканата точка има координати.
3. Кругот на единицата е центриран во точка, што значи дека можеме да користиме поедноставени формули:
Можете да го забележите тоа. Ајде да го прикажеме предметниот пример на сликата:
Радиусот прави агли еднакви на и со оската. Знаејќи дека табеларните вредности на косинус и синус се еднакви, и кога утврдивме дека косинусот овде зема негативно значење, а синусот е позитивен, имаме:
Повеќе детали слични примерисе разбираат при изучување на формули за намалување на тригонометриските функции во темата.
Така, саканата точка има координати.
4.
Агол на ротација на радиусот на векторот (по услов)
За да ги одредиме соодветните знаци на синус и косинус, конструираме единечен круг и агол:
Како што можете да видите, вредноста, односно, е позитивна, а вредноста, односно негативна. Знаејќи ги табеларните вредности на соодветните тригонометриски функции, добиваме дека:
Ајде да ги замениме добиените вредности во нашата формула и да ги најдеме координатите:
Така, саканата точка има координати.
5. За да го решиме овој проблем, користиме формули во општа форма, каде
Координати на центарот на кругот (во нашиот пример,
Радиус на кругот (по услов)
Агол на ротација на радиусот на векторот (по услов).
Ајде да ги замениме сите вредности во формулата и да добиеме:
и - вредности на табелата. Да се потсетиме и да ги замениме во формулата:
Така, саканата точка има координати.
РЕЗИМЕ И ОСНОВНИ ФОРМУЛИ
Синус на агол е односот на спротивната (далеку) крак до хипотенузата.
Косинусот на аголот е односот на соседната (блиска) крак до хипотенузата.
Тангентата на аголот е односот на спротивната (далечна) страна со соседната (блиска) страна.
Котангенсот на аголот е односот на соседната (блиска) страна со спротивната (далечната) страна.
Решавање едноставни тригонометриски равенки.
Решавањето на тригонометриски равенки од кое било ниво на сложеност на крајот се сведува на решавање на наједноставните тригонометриски равенки. И во ова најдобар помошникповторно излегува дека е тригонометриски круг.
Да се потсетиме на дефинициите за косинус и синус.
Косинусот на аголот е апсцисата (односно, координатата долж оската) на точката на единечниот круг што одговара на ротација низ даден агол.
Синус на агол е ординатата (односно, координатата долж оската) на точка на единечниот круг што одговара на ротација низ даден агол.
Позитивната насока на движење на тригонометрискиот круг е спротивно од стрелките на часовникот. Ротација од 0 степени (или 0 радијани) одговара на точка со координати (1;0)
Ги користиме овие дефиниции за да решиме едноставни тригонометриски равенки.
1. Реши ја равенката
Оваа равенка е задоволена со сите вредности на аголот на ротација што одговараат на точките на кругот чија ордината е еднаква на.
Да означиме точка со ординати на оската на ординатите:
Ајде да спроведеме хоризонтална линијапаралелно со оската x додека не се пресече со кругот. Добиваме две точки лежејќи на кругот и со ордината. Овие точки одговараат на аглите на ротација во и радијани:
Ако ние, оставајќи ја точката што одговара на аголот на ротација по радијани, одиме наоколу полн круг, тогаш ќе стигнеме до точка која одговара на аголот на ротација по радијан и има иста ордината. Односно, овој агол на ротација исто така ја задоволува нашата равенка. Можеме да направиме онолку „неактивен“ вртежи колку што сакаме, враќајќи се во истата точка, и сите овие вредности на аголот ќе ја задоволат нашата равенка. Бројот на „неактивен“ вртежи ќе биде означен со буквата (или). Бидејќи можеме да ги направиме овие револуции и во позитивни и во негативни насоки, (или) може да земеме какви било цели броеви.
Односно, првата серија решенија на оригиналната равенка ја има формата:
, , - множество од цели броеви (1)
Слично на тоа, втората серија решенија ја има формата:
, Каде , . (2)
Како што може да претпоставите, оваа серија решенија се заснова на точката на кругот што одговара на аголот на ротација за .
Овие две серии на решенија може да се комбинираат во еден запис:
Ако сме во ова ајде да ги земеме белешките(односно, дури), тогаш ја добиваме првата серија решенија.
Ако земеме (т.е. непарно) во овој запис, тогаш ја добиваме втората серија решенија.
2. Сега да ја решиме равенката
Бидејќи ова е апсциса на точка на единечната кружница добиена со ротирање низ агол, точката ја означуваме со апсцисата на оската:
Ајде да спроведеме вертикална линијапаралелно со оската додека не се пресече со кругот. Ќе добиеме два бода лежејќи на кругот и со апсциса. Овие точки одговараат на аглите на ротација во и радијани. Потсетиме дека кога се движиме во насока на стрелките на часовникот добиваме негативен агол на ротација:
Да запишеме две серии решенија:
,
,
(До посакуваната точка доаѓаме со одење од главниот полн круг, т.е.
Ајде да ги комбинираме овие две серии во еден запис:
3. Реши ја равенката
Тангентата права минува низ точката со координати (1,0) на единечната кружница паралелна со оската OY
Да означиме точка на неа со ордината еднаква на 1 (бараме тангента на која агли е еднаква на 1):
Да ја поврземе оваа точка со потеклото на координатите со права линија и да ги означиме точките на пресек на правата со единечната кружница. Пресечните точки на правата линија и кругот одговараат на аглите на ротација на и:
Бидејќи точките што одговараат на аглите на ротација што ја задоволуваат нашата равенка лежат на растојание од радијани една од друга, можеме да го напишеме решението на следниов начин:
4. Реши ја равенката
Линијата на котангенси минува низ точката со координати на единечниот круг паралелни со оската.
Да означиме точка со апсциса -1 на линијата на котангенси:
Да ја поврземе оваа точка со потеклото на правата линија и да продолжиме додека не се вкрсти со кругот. Оваа права линија ќе го пресече кругот во точките што одговараат на аглите на ротација во и радијани:
Бидејќи овие точки се одделени една од друга со растојание еднакво на , тогаш заедничка одлукаМожеме да ја напишеме оваа равенка вака:
Во дадените примери кои го илустрираат решението на наједноставните тригонометриски равенки, користени се табеларни вредности на тригонометриските функции.
Меѓутоа, ако десната страна на равенката содржи нетабеларна вредност, тогаш ја заменуваме вредноста во општото решение на равенката:
СПЕЦИЈАЛНИ РЕШЕНИЈА:
Да ги означиме точките на кругот чија ордината е 0:
Да означиме една точка на кругот чија ордината е 1:
Да означиме една точка на кругот чија ордината е еднаква на -1:
Бидејќи е вообичаено да се означат вредностите најблиску до нула, решението го пишуваме на следниов начин:
Да ги означиме точките на кругот чија апсциса е еднаква на 0:
5.
Да означиме една точка на кругот чија апсциса е еднаква на 1:
Да означиме една точка на кругот чија апсциса е еднаква на -1:
И малку посложени примери:
1.
Синусот е еднаков на еден ако аргументот е еднаков на
Аргументот на нашиот синус е еднаков, па добиваме:
Ајде да ги поделиме двете страни на еднаквоста со 3:
Одговор:
2.
Косинусот е нула ако аргументот за косинус е
Аргументот на нашиот косинус е еднаков на , па добиваме:
Ајде да изразиме, за да го направиме ова, прво се движиме надесно со спротивниот знак:
Ајде да ја поедноставиме десната страна:
Поделете ги двете страни со -2:
Забележете дека знакот пред членот не се менува, бидејќи k може да земе која било цел број.
Одговор:
И, конечно, погледнете го видео туторијалот „Избор на корени во тригонометриска равенка користејќи тригонометриски круг"
Ова го завршува нашиот разговор за решавање едноставни тригонометриски равенки. Следниот пат ќе разговараме како да одлучиме.