Наједноставните тригонометриски равенки се решаваат, по правило, со помош на формули. Дозволете ми да ве потсетам дека наједноставните тригонометриски равенки се:
sinx = а
cosx = а
tgx = a
ctgx = a
x е аголот што треба да се најде,
a е кој било број.
А еве ги формулите со кои можете веднаш да ги запишете решенијата на овие наједноставни равенки.
За синус:
За косинус:
x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
За тангента:
x = арктан a + π n, n ∈ Z
За котангента:
x = arcctg a + π n, n ∈ Z
Всушност, ова е теоретскиот дел од решавањето на наједноставните тригонометриски равенки. Згора на тоа, сè!) Воопшто ништо. Сепак, бројот на грешки на оваа тема е едноставно надвор од графиконите. Особено ако примерот малку отстапува од шаблонот. Зошто?
Да, затоа што многу луѓе ги пишуваат овие букви, без воопшто да се разбере нивното значење!Запишува со претпазливост, да не се случи нешто...) Ова треба да се среди. Тригонометрија за луѓе, или луѓе за тригонометрија, на крајот на краиштата!?)
Ајде да го сфатиме?
Еден агол ќе биде еднаков на arccos a, второ: -arccos a.
И секогаш ќе функционира на овој начин.За се А.
Ако не ми верувате, поставете го глувчето над сликата или допрете ја сликата на таблетот.) Го сменив бројот А на нешто негативно. Како и да е, добивме еден агол arccos a, второ: -arccos a.
Затоа, одговорот секогаш може да се напише како две серии на корени:
x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z
Ајде да ги споиме овие две серии во една:
x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
И тоа е се. Добивме општа формула за решавање на наједноставната тригонометриска равенка со косинус.
Ако разбирате дека ова не е некаква супернаучна мудрост, туку само скратена верзија на две серии одговори,Исто така, ќе можете да се справите со задачите „C“. Со неравенки, со избирање корени од даден интервал... Таму одговорот со плус/минус не функционира. Но, ако го третирате одговорот на деловен начин и го разделите на два одделни одговори, сè ќе се реши.) Всушност, затоа го разгледуваме. Што, како и каде.
Во наједноставната тригонометриска равенка
sinx = а
добиваме и две серии корени. Секогаш. И овие две серии може да се снимаат во една линија. Само оваа линија ќе биде посложена:
x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z
Но, суштината останува иста. Математичарите едноставно дизајнираа формула за да направат еден наместо два записи за серии на корени. Тоа е се!
Ајде да ги провериме математичарите? И никогаш не се знае...)
Во претходната лекција, детално беше дискутирано решението (без никакви формули) на тригонометриска равенка со синус:
Одговорот резултираше со две серии на корени:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Ако ја решиме истата равенка користејќи ја формулата, го добиваме одговорот:
x = (-1) n лаксин 0,5 + π n, n ∈ Z
Всушност, ова е недовршен одговор.) Ученикот мора да го знае тоа лаксин 0,5 = π /6.Целосниот одговор би бил:
x = (-1)n π /6+ π n, n ∈ Z
Ова покренува едно интересно прашање. Одговори преку x 1; x 2 (ова е точниот одговор!) и преку осаменост X (а ова е точниот одговор!) - дали се иста работа или не? Сега ќе дознаеме.)
Заменуваме во одговорот со x 1 вредности n =0; 1; 2; итн., броиме, добиваме низа корени:
x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 и така натаму.
Со истата замена како одговор со x 2 , добиваме:
x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 и така натаму.
Сега да ги замениме вредностите n (0; 1; 2; 3; 4...) во општата формула за сингл X . Односно, подигаме минус еден на нулта моќност, потоа на првата, втората итн. Па, се разбира, го заменуваме 0 во вториот член; 1; 2 3; 4, итн. И ние сметаме. Ја добиваме серијата:
x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 и така натаму.
Тоа е сè што можете да видите.) Општата формула ни ја дава токму истите резултатикако и двата одговора одделно. Само сè одеднаш, во ред. Математичарите не беа измамени.)
Може да се проверат и формули за решавање на тригонометриски равенки со тангента и котангента. Но, ние нема.) Тие се веќе едноставни.
Конкретно ја напишав целата оваа замена и проверка. Тука е важно да се разбере една едноставна работа: постојат формули за решавање на елементарни тригонометриски равенки, само кратко резиме на одговорите.За оваа краткост, моравме да внесеме плус/минус во косинусниот раствор и (-1) n во синусниот раствор.
Овие инсерти на никаков начин не се мешаат во задачите каде што треба само да го запишете одговорот на елементарната равенка. Но, ако треба да решите нееднаквост или тогаш треба да направите нешто со одговорот: изберете корени на интервал, проверете дали има ODZ, итн., овие вметнувања лесно можат да ја вознемират личноста.
Па што да правам? Да, или напишете го одговорот во две серии, или решете ја равенката/неравенката со помош на тригонометрискиот круг. Тогаш овие вметнувања исчезнуваат и животот станува полесен.)
Можеме да резимираме.
За да се решат наједноставните тригонометриски равенки, постојат готови формули за одговор. Четири парчиња. Тие се добри за моментално запишување на решението на равенката. На пример, треба да ги решите равенките:
sinx = 0,3
Лесно: x = (-1) n лаксин 0,3 + π n, n ∈ Z
cosx = 0,2
Нема проблем: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z
tgx = 1,2
Лесно: x = арктан 1,2 + π n, n ∈ Z
ctgx = 3,7
Еден остана: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z
cos x = 1,8
Ако вие, блескајќи со знаење, веднаш напишете го одговорот:
x= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z
тогаш веќе сјаеш, ова... она... од локва.) Точен одговор: нема решенија. Не разбирам зошто? Прочитајте што е лачен косинус. Дополнително, ако на десната страна на првобитната равенка има табеларни вредности на синус, косинус, тангента, котангента, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 и така натаму. - одговорот низ сводовите ќе биде недовршен. Арките мора да се претворат во радијани.
И ако наидете на нееднаквост, лајк
тогаш одговорот е:
x πn, n ∈ Z
има ретки глупости, да...) Овде треба да решите со помош на тригонометрискиот круг. Што ќе правиме во соодветната тема.
За оние кои херојски читаат до овие редови. Едноставно не можам а да не ги ценам вашите титански напори. Бонус за вас.)
Бонус:
Кога запишуваат формули во алармантна борбена ситуација, дури и искусни глупаци често се збунуваат околу тоа каде πn, И каде 2π n. Еве еден едноставен трик за вас. Во ситеформули вредни πn. Освен единствената формула со лак косинус. Таму стои 2πn. Двепеен. Клучен збор - два.Во оваа иста формула има двапотпише на почетокот. Плус и минус. Тука и таму - два.
Значи, ако сте напишале двапотпишете пред лакот косинус, полесно е да се запамети што ќе се случи на крајот двапеен. И тоа се случува и обратно. Лицето ќе го пропушти знакот ± , стигнува до крај, пишува правилно дваПиен, и тој ќе се вразуми. Има нешто напред двапотпишете! Личноста ќе се врати на почетокот и ќе ја поправи грешката! Како ова.)
Доколку ви се допаѓа оваа страница...
Патем, имам уште неколку интересни страници за вас.)
Можете да вежбате да решавате примери и да го дознаете вашето ниво. Тестирање со инстант верификација. Ајде да научиме - со интерес!)
Можете да се запознаете со функции и деривати.
При решавање на многу математички проблеми, особено оние кои се случуваат пред одделение 10, јасно е дефиниран редоследот на извршените дејствија кои ќе доведат до целта. Таквите проблеми вклучуваат, на пример, линеарни и квадратни равенки, линеарни и квадратни неравенки, фракциони равенки и равенки кои се сведуваат на квадратни. Принципот на успешно решавање на секој од споменатите проблеми е како што следува: треба да утврдите каков тип на проблем решавате, запомнете ја потребната низа на дејства што ќе доведат до посакуваниот резултат, т.е. одговори и следете ги овие чекори.
Очигледно е дека успехот или неуспехот во решавањето на одреден проблем зависи главно од тоа колку правилно се одредува типот на равенката што се решава, колку правилно се репродуцира низата од сите фази на неговото решение. Секако, во овој случај потребно е да се поседуваат вештини за извршување на идентични трансформации и пресметки.
Поинаква е ситуацијата со тригонометриски равенки.Воопшто не е тешко да се утврди фактот дека равенката е тригонометриска. Потешкотии се јавуваат при определување на редоследот на дејствијата што би довеле до точниот одговор.
Понекогаш е тешко да се одреди неговиот тип врз основа на изгледот на равенката. И без да се знае типот на равенката, речиси е невозможно да се избере вистинската од неколку десетици тригонометриски формули.
За да решите тригонометриска равенка, треба да се обидете:
1. доведете ги сите функции вклучени во равенката до „исти агли“;
2. доведете ја равенката до „идентични функции“;
3. фактор на левата страна на равенката итн.
Ајде да размислиме основни методи за решавање на тригонометриски равенки.
I. Намалување на наједноставните тригонометриски равенки
Дијаграм за решение
Чекор 1.Изрази тригонометриска функција во однос на познати компоненти.
Чекор 2.Најдете го аргументот на функцијата користејќи ги формулите:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.
tan x = a; x = арктан a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.
Чекор 3.Најдете ја непознатата променлива.
Пример.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Решение.
1) cos(3x – π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Одговор: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Замена на променлива
Дијаграм за решение
Чекор 1.Намалете ја равенката во алгебарска форма во однос на една од тригонометриските функции.
Чекор 2.Означете ја добиената функција со променливата t (ако е потребно, воведете ограничувања за t).
Чекор 3.Запишете и решете ја добиената алгебарска равенка.
Чекор 4.Направете обратна замена.
Чекор 5.Решете ја наједноставната тригонометриска равенка.
Пример.
2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.
Решение.
1) 2(1 – грев 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;
2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.
2) Нека sin (x/2) = t, каде што |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 или e = -3/2, не го задоволува условот |t| ≤ 1.
4) грев (x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Одговор: x = π + 4πn, n Є Z.
III. Метод за намалување на редоследот на равенката
Дијаграм за решение
Чекор 1.Заменете ја оваа равенка со линеарна, користејќи ја формулата за намалување на степенот:
грев 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);
cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);
tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).
Чекор 2.Решете ја добиената равенка користејќи ги методите I и II.
Пример.
cos 2x + cos 2 x = 5/4.
Решение.
1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Одговор: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Хомогени равенки
Дијаграм за решение
Чекор 1.Намалете ја оваа равенка на формата
а) a sin x + b cos x = 0 (хомогена равенка од прв степен)
или кон погледот
б) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (хомогена равенка од втор степен).
Чекор 2.Поделете ги двете страни на равенката со
а) cos x ≠ 0;
б) cos 2 x ≠ 0;
и добијте ја равенката за tan x:
а) a tan x + b = 0;
б) тен 2 x + b арктан x + c = 0.
Чекор 3.Решете ја равенката користејќи познати методи.
Пример.
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.
Решение.
1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.
3) Нека tg x = t, тогаш
t 2 + 3t – 4 = 0;
t = 1 или t = -4, што значи
tg x = 1 или tg x = -4.
Од првата равенка x = π/4 + πn, n Є Z; од втората равенка x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Одговор: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Метод на трансформација на равенка со помош на тригонометриски формули
Дијаграм за решение
Чекор 1.Користејќи ги сите можни тригонометриски формули, сведете ја оваа равенка на равенка решена со методите I, II, III, IV.
Чекор 2.Решете ја добиената равенка користејќи познати методи.
Пример.
грев x + грев 2x + грев 3x = 0.
Решение.
1) (грев х + грев 3х) + грев 2х = 0;
2sin 2x cos x + грев 2x = 0.
2) грев 2x (2cos x + 1) = 0;
грев 2x = 0 или 2cos x + 1 = 0;
Од првата равенка 2x = π/2 + πn, n Є Z; од втората равенка cos x = -1/2.
Имаме x = π/4 + πn/2, n Є Z; од втората равенка x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
Како резултат на тоа, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Одговор: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Способноста и вештината за решавање на тригонометриски равенки е многу 
важно, нивниот развој бара значителен напор, како од страна на ученикот, така и од страна на наставникот.
Со решавањето на тригонометриските равенки се поврзани многу проблеми од стереометријата, физиката итн.. Процесот на решавање на ваквите проблеми отелотворува многу од знаењата и вештините кои се стекнуваат со проучување на елементите на тригонометријата.
Тригонометриските равенки заземаат важно место во процесот на учење математика и воопшто на личниот развој.
Сè уште имате прашања? Не знаете како да решавате тригонометриски равенки?
За да добиете помош од учител -.
Првата лекција е бесплатна!
blog.site, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до оригиналниот извор.
Можете да нарачате детално решение за вашиот проблем!!!
Еднаквоста што содржи непозната под знакот на тригонометриска функција („sin x, cos x, tan x“ или „ctg x“) се нарекува тригонометриска равенка, а нивните формули ќе ги разгледаме понатаму.
Наједноставните равенки се `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, каде што `x` е аголот што треба да се најде, `a` е кој било број. Дозволете ни да ги запишеме коренските формули за секоја од нив.
1. Равенка `sin x=a`.
За `|a|>1` нема решенија.
Кога `|а| \leq 1` има бесконечен број решенија.
Формула на коренот: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Равенка `cos x=a`
За `|a|>1` - како и во случајот со синус, тој нема решенија меѓу реалните броеви.
Кога `|а| \leq 1` има бесконечен број решенија.
Формула на коренот: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Специјални случаи за синус и косинус во графикони. 
3. Равенка `tg x=a`
Има бесконечен број решенија за која било вредност на `a`.
Формула на коренот: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Равенка `ctg x=a`
Исто така, има бесконечен број решенија за сите вредности на `a`.
Формула на коренот: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Формули за корените на тригонометриските равенки во табелата
За синус: 
За косинус: 
За тангента и котангента: 
Формули за решавање равенки кои содржат инверзни тригонометриски функции:
Методи за решавање на тригонометриски равенки
Решавањето на која било тригонометриска равенка се состои од две фази:
- со помош на трансформирање на наједноставно;
- реши наједноставната равенка добиена со користење на коренските формули и табели напишани погоре.
Ајде да ги разгледаме главните методи на решение користејќи примери.
Алгебарски метод.
Овој метод вклучува замена на променлива и нејзина замена во еднаквост.
Пример. Решете ја равенката: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
направи замена: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, потоа `2y^2-3y+1=0`,
ги наоѓаме корените: `y_1=1, y_2=1/2`, од кои следуваат два случаи:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Одговор: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Факторизација.
Пример. Решете ја равенката: `sin x+cos x=1`.
Решение. Да ги преместиме сите членови на еднаквоста налево: `sin x+cos x-1=0`. Со помош на , ја трансформираме и факторизираме левата страна:
`sin x — 2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Одговор: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Намалување на хомогена равенка
Прво, треба да ја намалите оваа тригонометриска равенка на една од двете форми:
`a sin x+b cos x=0` (хомогена равенка од прв степен) или `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (хомогена равенка од втор степен).
Потоа поделете ги двата дела со `cos x \ne 0` - за првиот случај, и со `cos^2 x \ne 0` - за вториот. Добиваме равенки за `tg x`: `a tg x+b=0` и `a tg^2 x + b tg x +c =0`, кои треба да се решат со познати методи.
Пример. Решете ја равенката: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.
Решение. Ајде да ја напишеме десната страна како `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.
Ова е хомогена тригонометриска равенка од втор степен, ја делиме нејзината лева и десна страна со `cos^2 x \ne 0`, добиваме:
`\ frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`
`tg^2 x+tg x — 2=0`. Да ја воведеме замената `tg x=t`, што резултира со `t^2 + t - 2=0`. Корените на оваа равенка се `t_1=-2` и `t_2=1`. Потоа:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Одговори. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \во Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \во Z`.
Преместување на половина агол
Пример. Решете ја равенката: `11 sin x - 2 cos x = 10`.
Решение. Да ги примениме формулите за двоен агол, што резултира со: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`
`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`
Применувајќи го алгебарскиот метод опишан погоре, добиваме:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \во Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \во Z`.
Одговори. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \во Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \во Z`.
Воведување на помошен агол
Во тригонометриската равенка „a sin x + b cos x =c“, каде што a,b,c се коефициенти и x е променлива, поделете ги двете страни со `sqrt (a^2+b^2)`:
`\ frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 ) +b^2))`.
Коефициентите од левата страна имаат својства на синус и косинус, имено збирот на нивните квадрати е еднаков на 1, а нивните модули не се поголеми од 1. Да ги означиме на следниов начин: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, тогаш:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Да го разгледаме подетално следниот пример:
Пример. Решете ја равенката: `3 sin x+4 cos x=2`.
Решение. Поделете ги двете страни на еднаквоста со `sqrt (3^2+4^2)`, добиваме:
`\ frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`
`3/5 грев x+4/5 cos x=2/5`.
Да означиме `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Бидејќи `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, тогаш земаме `\varphi=arcsin 4/5` како помошен агол. Потоа ја пишуваме нашата еднаквост во форма:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Применувајќи ја формулата за збир на агли за синус, ја запишуваме нашата еднаквост во следнава форма:
`sin (x+\varphi)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Одговори. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Дробни рационални тригонометриски равенки
Станува збор за равенки со дропки чии броител и именители содржат тригонометриски функции.
Пример. Решете ја равенката. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.
Решение. Помножете ја и поделете ја десната страна на еднаквоста со `(1+cos x)`. Како резултат добиваме:
`\ frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`
`\ frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\ frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\ frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`
Имајќи предвид дека именителот не може да биде еднаков на нула, добиваме `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.
Да го изедначиме броителот на дропката со нула: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Потоа `sin x=0` или `1-sin x=0`.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \во Z`.
Имајќи предвид дека ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решенијата се `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n` , `n \во Z`.
Одговори. `x=2\pi n`, `n \во Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \во Z`.
Тригонометријата, а особено тригонометриските равенки, се користат во речиси сите области на геометријата, физиката и инженерството. Учењето започнува во 10-то одделение, секогаш има задачи за Единствениот државен испит, затоа обидете се да ги запомните сите формули на тригонометриски равенки - тие дефинитивно ќе ви бидат корисни!
Сепак, дури и не треба да ги меморирате, главната работа е да ја разберете суштината и да можете да ја изведете. Не е толку тешко како што изгледа. Уверете се сами гледајќи го видеото.
Потребно е познавање на основните формули на тригонометријата - збир на квадрати на синус и косинус, изразување на тангента преку синус и косинус и други. За оние кои ги заборавиле или не ги знаат, препорачуваме да ја прочитате статијата "".
Значи, ги знаеме основните тригонометриски формули, време е да ги искористиме во пракса. Решавање на тригонометриски равенкисо правилен пристап, тоа е доста возбудлива активност, како, на пример, решавање на Рубикова коцка.
Врз основа на самото име, јасно е дека тригонометриската равенка е равенка во која непознатата е под знакот на тригонометриската функција.
Постојат таканаречени наједноставни тригонометриски равенки. Еве како изгледаат: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Ајде да размислиме како да се решат такви тригонометриски равенки, за јасност ќе го искористиме веќе познатиот тригонометриски круг.
sinx = а
cos x = a
tan x = a
креветче x = а
Секоја тригонометриска равенка се решава во две фази: ја намалуваме равенката до наједноставната форма и потоа ја решаваме како едноставна тригонометриска равенка.
Постојат 7 главни методи со кои се решаваат тригонометриските равенки.
Променлива замена и метод на замена
Решавање на тригонометриски равенки преку размножување
Намалување на хомогена равенка
Решавање равенки преку премин на половина агол
Воведување на помошен агол
Решете ја равенката 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0
Користејќи ги формулите за намалување, добиваме:
2cos 2 (x + /6) - 3cos (x + /6) +1 = 0
Заменете го cos(x + /6) со y за да ја поедноставите и да ја добиете вообичаената квадратна равенка:
2г 2 – 3г + 1 + 0
Корените на кои се y 1 = 1, y 2 = 1/2
Сега да одиме во обратен редослед
Ги заменуваме пронајдените вредности на y и добиваме две опции за одговор:
Како да се реши равенката sin x + cos x = 1?
Ајде да преместиме сè налево, така што 0 останува десно:
sin x + cos x – 1 = 0
Дозволете ни да ги искористиме идентитетите дискутирани погоре за да ја поедноставиме равенката:
грев x - 2 грев 2 (x/2) = 0
Ајде да факторизирам:
2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0
2sin(x/2) * = 0
Добиваме две равенки
Равенката е хомогена во однос на синусот и косинусот ако сите нејзини членови се во однос на синусот и косинусот од ист степен од истиот агол. За да решите хомогена равенка, постапете на следниов начин:
а) префрли ги сите нејзини членови на левата страна;
б) извадете ги сите заеднички фактори од заградите;
в) изедначете ги сите фактори и загради со 0;
г) се добива хомогена равенка од понизок степен во загради, која пак е поделена на синус или косинус од повисок степен;
д) решете ја добиената равенка за tg.
Реши ја равенката 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2
Ајде да ја користиме формулата sin 2 x + cos 2 x = 1 и да се ослободиме од отворените две од десната страна:
3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x
sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0
Поделете со cos x:
tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0
Заменете го tan x со y и добијте квадратна равенка:
y 2 + 4y +3 = 0, чии корени се y 1 =1, y 2 = 3
Оттука наоѓаме две решенија за оригиналната равенка:
x 2 = арктан 3 + k
Решете ја равенката 3sin x – 5cos x = 7
Ајде да продолжиме на x/2:
6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)
Ајде да преместиме сè налево:
2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0
Поделете со cos(x/2):
tg 2 (x/2) - 3tg (x/2) + 6 = 0
За разгледување, да земеме равенка од формата: a sin x + b cos x = c,
каде што a, b, c се некои произволни коефициенти, а x е непозната.
Ајде да ги поделиме двете страни на равенката со:
Сега коефициентите на равенката, според тригонометриските формули, ги имаат својствата sin и cos, имено: нивниот модул не е поголем од 1 и збирот на квадратите = 1. Да ги означиме соодветно како cos и sin, каде што - ова е таканаречениот помошен агол. Тогаш равенката ќе ја добие формата:
cos * sin x + sin * cos x = C
или sin(x + ) = C
Решението на оваа наједноставна тригонометриска равенка е
x = (-1) k * arcsin C - + k, каде
Треба да се напомене дека ознаките cos и sin се заменливи.
Решете ја равенката sin 3x – cos 3x = 1
Коефициентите во оваа равенка се:
a = , b = -1, па поделете ги двете страни со = 2
Час и презентација на тема: „Решавање едноставни тригонометриски равенки“
Дополнителни материјали
Почитувани корисници, не заборавајте да ги оставите вашите коментари, критики, желби! Сите материјали се проверени со антивирусна програма.
Прирачници и симулатори во онлајн продавницата Integral за одделение 10 од 1C
Решавање проблеми во геометријата. Интерактивни задачи за градење во просторот
Софтверско опкружување „1C: Mathematical Constructor 6.1“
Што ќе проучуваме:
1. Што се тригонометриски равенки?
3. Два главни методи за решавање на тригонометриски равенки.
4. Хомогени тригонометриски равенки.
5. Примери.
Што се тригонометриски равенки?
Момци, ние веќе проучувавме арксин, аркозин, арктангенс и аркотангенс. Сега да ги погледнеме тригонометриските равенки воопшто.
Тригонометриските равенки се равенки во кои променливата е содржана под знакот на тригонометриска функција.
Да ја повториме формата за решавање на наједноставните тригонометриски равенки:
1)Ако |a|≤ 1, тогаш равенката cos(x) = a има решение:
X= ± arccos(a) + 2πk
2) Ако |a|≤ 1, тогаш равенката sin(x) = a има решение:
3) Ако |а| > 1, тогаш равенката sin(x) = a и cos(x) = a немаат решенија 4) Равенката tg(x)=a има решение: x=arctg(a)+ πk
5) Равенката ctg(x)=a има решение: x=arcctg(a)+ πk
За сите формули k е цел број
Наједноставните тригонометриски равенки имаат форма: T(kx+m)=a, T е некоја тригонометриска функција.
Пример.Решете ги равенките: а) sin(3x)= √3/2
Решение:
А) Да означиме 3x=t, а потоа ќе ја преработиме нашата равенка во форма:
Решението на оваа равенка ќе биде: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.
Од табелата со вредности добиваме: t=((-1)^n)×π/3+ πn.
Да се вратиме на нашата променлива: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,
Тогаш x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3
Одговор: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, каде што n е цел број. (-1)^n – минус еден до моќта на n.
Повеќе примери на тригонометриски равенки.
Реши ги равенките: а) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3Решение:
А) Овој пат да преминеме директно на пресметување на корените на равенката веднаш:
X/5= ± arccos(1) + 2πk. Тогаш x/5= πk => x=5πk
Одговор: x=5πk, каде k е цел број.
Б) Го пишуваме во форма: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Знаеме дека: арктан(√3)= π/3
3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3
Одговор: x=2π/9 + πk/3, каде k е цел број.
Решете ги равенките: cos(4x)= √2/2. И пронајдете ги сите корени на сегментот.
Решение:
Да ја решиме нашата равенка во општа форма: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk
4x= ± π/4 + 2πk;
X= ± π/16+ πk/2;
Сега да видиме кои корени паѓаат на нашиот сегмент. На k На k=0, x= π/16, сме во дадената отсечка.
Со k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 повторно удираме.
За k=2, x= π/16+ π=17π/16, но овде не погодивме, што значи дека за големо k ние исто така очигледно нема да погодиме.
Одговор: x= π/16, x= 9π/16
Два главни методи на решение.
Ги разгледавме наједноставните тригонометриски равенки, но има и посложени. За нивно решавање се користи методот на воведување на нова променлива и методот на факторизација. Ајде да погледнеме примери.Да ја решиме равенката:
Решение:
За да ја решиме нашата равенка, ќе го користиме методот на воведување нова променлива, која означува: t=tg(x).
Како резултат на замена добиваме: t 2 + 2t -1 = 0
Да ги најдеме корените на квадратната равенка: t=-1 и t=1/3
Потоа tg(x)=-1 и tg(x)=1/3, ја добиваме наједноставната тригонометриска равенка, ајде да ги најдеме нејзините корени.
X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.
Одговор: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.
Пример за решавање на равенка
Решете ги равенките: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0
Решение:
Да го искористиме идентитетот: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1
Нашата равенка ќе ја има формата: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0
2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0
Да ја воведеме замената t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0
Решението на нашата квадратна равенка се корените: t=2 и t=-1/2
Потоа cos(x)=2 и cos(x)=-1/2.
Бидејќи косинус не може да земе вредности поголеми од една, тогаш cos(x)=2 нема корени.
За cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk
Одговор: x= ±2π/3 + 2πk
Хомогени тригонометриски равенки.
Дефиниција: Равенките од формата a sin(x)+b cos(x) се нарекуваат хомогени тригонометриски равенки од прв степен.Равенки на формата
хомогени тригонометриски равенки од втор степен.
За да решите хомогена тригонометриска равенка од прв степен, поделете ја со cos(x): 
Не можете да поделите со косинус ако е еднаков на нула, ајде да се увериме дека тоа не е случај:
Нека cos(x)=0, тогаш asin(x)+0=0 => sin(x)=0, но синусот и косинусот не се еднакви на нула во исто време, добиваме контрадикција, па можеме безбедно да се подели со нула.
Реши ја равенката:
Пример: cos 2 (x) + sin (x) cos(x) = 0
Решение:
Да го извадиме заедничкиот фактор: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0
Потоа треба да решиме две равенки:
Cos(x)=0 и cos(x)+sin(x)=0
Cos(x)=0 при x= π/2 + πk;
Размислете за равенката cos(x)+sin(x)=0 Поделете ја нашата равенка со cos(x):
1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk
Одговор: x= π/2 + πk и x= -π/4+πk
Како да се решат хомогени тригонометриски равенки од втор степен?
Момци, секогаш следете ги овие правила!
1. Види на што е еднаков коефициентот a, ако a=0 тогаш нашата равенка ќе има форма cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), чиешто решение е пример на претходниот слајд
2. Ако a≠0, тогаш треба да ги поделите двете страни на равенката со косинусот на квадрат, добиваме:
Ја менуваме променливата t=tg(x) и ја добиваме равенката:
Реши пример бр.:3
Реши ја равенката:Решение:
Ајде да ги поделиме двете страни на равенката со косинусниот квадрат: 
Ја менуваме променливата t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0
Да ги најдеме корените на квадратната равенка: t=-3 и t=1
Тогаш: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk
Tg(x)=1 => x= π/4+ πk
Одговор: x=-arctg(3) + πk и x= π/4+ πk
Реши пример бр.:4
Реши ја равенката:Решение:
Ајде да го трансформираме нашиот израз:
Можеме да решиме такви равенки: x= - π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk
Одговор: x= - π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk
Реши пример бр.:5
Реши ја равенката:Решение:
Ајде да го трансформираме нашиот израз:
Да ја воведеме замената tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0
Решението на нашата квадратна равенка ќе бидат корените: t=-2 и t=1/2
Тогаш добиваме: tg(2x)=-2 и tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2
2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2
Одговор: x=-arctg(2)/2 + πk/2 и x=arctg(1/2)/2+ πk/2
Проблеми за самостојно решавање.
1) Реши ја равенкатаА) sin(7x)= 1/2 б) cos(3x)= √3/2 в) cos(-x) = -1 г) tg(4x) = √3 г) ctg(0.5x) = -1.7
2) Реши ги равенките: sin(3x)= √3/2. И најдете ги сите корени на отсечката [π/2; π].
3) Решете ја равенката: креветче 2 (x) + 2 креветче (x) + 1 =0
4) Реши ја равенката: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0
5) Реши ја равенката: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0
6) Решете ја равенката: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)