Дефиниција 1. ) се нарекува ортогонален ако сите негови елементи се во пар ортогонални:

Теорема 1.Ортогонален систем на вектори не-нула е линеарно независен.

(Да претпоставиме дека системот е линеарно зависен: и, за да бидете сигурни, Ајде скаларно да ја помножиме еднаквоста со . Земајќи ја предвид ортогоналноста на системот, добиваме: }

Дефиниција 2.Систем на вектори на Евклидов простор ( ) се нарекува ортонормална ако е ортогонална и нормата на секој елемент е еднаква на една.

Од теорема 1 веднаш следи дека ортонормалниот систем на елементи е секогаш линеарно независен. Од тука следува, пак, дека во n– во димензионален Евклидов простор ортонормален систем на nвектори формираат основа (на пример, ( јас, ј, к ) во 3 X– димензионален простор).Таков систем се нарекува ортонормална основа,а неговите вектори се основни вектори.

Координатите на векторот на ортонормална основа може лесно да се пресметаат со помош на скаларниот производ: ако Навистина, множење на еднаквоста на , ја добиваме наведената формула.

Општо земено, сите основни величини: скаларен производ на вектори, должина на векторот, косинус на аголот помеѓу вектори итн. имаат наједноставна форма во ортонормална основа. Да го разгледаме скаларниот производ: , бидејќи

И сите други членови се еднакви на нула. Од тука веднаш добиваме: ,

* Размислете за произволна основа. Скаларниот производ во оваа основа ќе биде еднаков на:

(Тука α iИ β j – координати на вектори во основата ( ѓ), и се скаларни производи на базичните вектори).

Количини γ ijформираат матрица Г, повикан Грам матрица.Скаларниот производ во форма на матрица ќе изгледа вака: *

Теорема 2.Во било која n– во димензионалниот Евклидов простор постои ортонормална основа. Доказот на теоремата е по конструктивен карактер и се нарекува

9. Грам-Шмит процес на ортогонализација.

Нека ( a 1 ,...,a n ) − произволна основа n– димензионален Евклидов простор (постоењето на таква основа се должи на n– димензија на просторот). Алгоритмот за конструирање на ортонормален врз основа на дадена основа е како што следува:

1.b 1 =a 1, e 1 = b 1/|б 1|, |e 1|= 1.

2.б 2^e 1, бидејќи (е 1, а 2)- проекција а 2 на e 1 , b 2 = a 2 -(е 1, а 2)e 1 , e 2 = b 2/|б 2|, |e 2|= 1.

3.б 3^а 1, б 3^a 2, b 3 = a 3 -(е 1, а 3)e 1 -(е 2, а 3)e 2, e 3 = b 3/|б 3|, |e 3|= 1.

.........................................................................................................

к. b k^a 1 ,..., b k^a k-1, b k = a k -С i=1 k(е јас, а к)e i, e k = b k/|b k|, |e k|= 1.

Продолжувајќи го процесот, добиваме ортонормална основа ( e 1 ,...,e n }.

Забелешка 1. Користејќи го разгледуваниот алгоритам, можно е да се конструира ортонормална основа за која било линеарна обвивка, на пример, ортонормална основа за линеарната обвивка на систем кој има ранг од три и се состои од пет-димензионални вектори.

Пример.x =(3,4,0,1,2), y =(3,0,4,1,2), z =(0,4,3,1,2)

Забелешка 2.Посебни случаи

Грам-Шмитовиот процес може да се примени и на бесконечна низа од линеарно независни вектори.

Дополнително, Грам-Шмитовиот процес може да се примени на линеарно зависни вектори. Во овој случај се издава 0 (нулта вектор) на чекор ј , Ако а ј е линеарна комбинација на вектори a 1 ,...,a j -1 . Ако тоа може да се случи, тогаш за да се зачува ортогоналноста на излезните вектори и да се спречи делењето со нула за време на ортонормализацијата, алгоритмот мора да провери дали има нулти вектори и да ги отфрли. Бројот на вектори произведени од алгоритмот ќе биде еднаков на димензијата на потпросторот генериран од векторите (т.е. бројот на линеарно независни вектори што може да се разликуваат меѓу оригиналните вектори).

10. Геометриски векторски простори R1, R2, R3.

Да нагласиме дека само просторите имаат директно геометриско значење

R1, R2, R3. Просторот R n за n > 3 е апстрактен чисто математички објект.

1) Нека е даден систем од два вектори а И б . Ако системот е линеарно зависен, тогаш еден од векторите, да речеме а , линеарно се изразува преку друг:

а= k б.

Два вектори поврзани со таква зависност, како што веќе споменавме, се нарекуваат колинеарни. Значи, систем од два вектори е линеарно зависен ако и само

кога овие вектори се колинеарни. Забележете дека овој заклучок се однесува не само на R3, туку и на кој било линеарен простор.

2) Нека системот во R3 се состои од три вектори а, б, в . Линеарна зависност значи дека еден од векторите, да речеме а , линеарно се изразува преку останатото:

А= k b+ л в . (*)

Дефиниција. Три вектори а, б, в во R 3 кои се наоѓаат во иста рамнина или паралелно на иста рамнина се нарекуваат компланарни

(на сликата лево векторите се означени а, б, в од една рамнина, а од десната страна се исцртуваат исти вектори од различно потекло и се само паралелни на една рамнина).

Значи, ако три вектори во R3 се линеарно зависни, тогаш тие се компланарни. Вистина е и обратното: ако векторите а, б, в од R3 се компланарни, тогаш тие се линеарно зависни.

Векторски уметнички делавектор а, до вектор б во просторот се нарекува вектор в , задоволувајќи ги следните барања:

Ознака:

Размислете за подредена тројка од некомпланарни вектори а, б, в во тридимензионален простор. Дозволете ни да го комбинираме потеклото на овие вектори во точката А(односно, ние избираме точка произволно во просторот Аи поместете го секој вектор паралелно така што неговото потекло се совпаѓа со точката А). Краевите на векторите се комбинираат со нивните почетоци во една точка А, не лежи на иста линија, бидејќи векторите се некомпланарни.

Подредена тројка од некомпланарни вектори а, б, в во тридимензионален простор се нарекува право, ако од крајот на векторот в најкратко вртење од вектор а до вектор б видливи за набљудувачот спротивно од стрелките на часовникот. Спротивно на тоа, ако најкраткото вртење се гледа во насока на стрелките на часовникот, тогаш се повикува тројката лево.

Друга дефиниција е поврзана со десна ракалице (види слика), од каде доаѓа името.

Сите деснораки (и левораки) тројки вектори се нарекуваат идентично ориентирани.

Еднакво на нула:

.

Ортогоналниот систем, доколку е комплетен, може да се користи како основа за просторот. Во овој случај, распаѓањето на кој било елемент може да се пресмета со помош на формулите: , каде .

Случајот кога нормата на сите елементи се нарекува ортонормален систем.

Ортогонализација

Секој целосен линеарно независен систем во конечни-димензионален простор е основа. Од едноставна основа, значи, може да се оди на ортонормална основа.

Ортогонално распаѓање

При разложување на векторите на векторски простор според ортонормална основа, се поедноставува пресметката на скаларниот производ: , каде и .

исто така види

Фондацијата Викимедија. 2010 година.

Погледнете што е „Ортогонален систем“ во другите речници:

1) О... Математичка енциклопедија

- (грчки ортогониос правоаголен) конечен или пребројлив систем на функции кои припаѓаат на (раздвојливиот) Хилберт простор L2(a,b) (квадратски интегрирани функции) и ги задоволуваат условите наречени F tion g(x). со тежина О.с. ѓ.,* значи... ... Физичка енциклопедија

Систем на функции??n(x)?, n=1, 2,..., наведен на отсечката ОРТОГОНАЛНА ТРАНСФОРМАЦИЈА линеарна трансформација на Евклидов векторски простор, со зачувување на непроменети должини или (што е еквивалентно на ова) скаларни производи на вектори. .. Голем енциклопедиски речник

Систем на функции (φn(x)), n = 1, 2, ..., наведен на интервалот [a, b] и го задоволува следниот услов за ортогоналност: за k≠l, каде ρ(x) е некоја функција наречена тежина. На пример, тригонометрискиот систем е 1, sin x, cos x, sin 2x,... ... енциклопедиски речник

Систем од функции ((фn(х)), n=1, 2, ..., дефиниран на интервалот [a, b] и кој ја задоволува трагата, условот за ортогоналност за k не е еднаков на l, каде што p(x ) е одредена функција, наречена тежина. На пример, тригонометриски систем 1, sin x, cosх, sin 2x, cos 2x,... O.s.f. со тежина... ... Природна наука. енциклопедиски речник

Систем на функции ((φn (x)), n = 1, 2,..., ортогонален со тежина ρ (x) на отсечката [a, b], т.е., таков што Примери. Тригонометриски систем 1, cos nx , sin nx;n = 1, 2,..., O. s.f. со тежина 1 на отсечката [π, π]. Бесел... Голема советска енциклопедија

Ортогонални координати се оние во кои метричкиот тензор има дијагонална форма. каде што d Кај ортогоналните координатни системи q = (q1, q², …, qd) координатните површини се ортогонални една на друга. Конкретно, во Декартовиот координатен систем... ... Википедија

ортогонален повеќеканален систем- - [Л.Г. Суменко. Англиско-руски речник за информатичка технологија. M.: State Enterprise TsNIIS, 2003.] Теми информатичката технологија воопшто EN ортогонален мултиплекс ...

координатен систем на (фотограметриска) слика- Десен ортогонален просторен координатен систем, фиксиран на фотограметриска слика со слики од фидуцијални ознаки. [GOST R 51833 2001] Теми: фотограметрија... Водич за технички преведувач

систем- Систем 4.48: Комбинација на елементи кои се во интеракција организирани за постигнување на една или повеќе специфицирани цели. Забелешка 1 Системот може да се смета како производ или услуги што ги обезбедува. Забелешка 2 Во пракса... ... Речник-референтна книга на поими за нормативна и техничка документација

Дефиниција. Векториа Иб се нарекуваат ортогонални (нормални) еден на друг ако нивниот скаларен производ е еднаков на нула, т.е.а × б = 0.

За вектори кои не се нула а И б еднаквоста на скаларниот производ на нула значи дека кос ј= 0, т.е. . Нултиот вектор е ортогонален на кој било вектор, затоа што а × 0 = 0.

Вежбајте. Нека и се ортогонални вектори. Тогаш природно е да се разгледа дијагоналата на правоаголник со страни и . Докажете го тоа

,

тие. квадратот на должината на дијагоналата на правоаголникот е еднаков на збирот на квадратите на должините на неговите две непаралелни страни(Питагорова теорема).

Дефиниција. Векторски система 1 ,…, а m се нарекува ортогонален ако кои било два вектори од овој систем се ортогонални.

Така, за ортогонален систем на вектори а 1 ,…,а меднаквоста е вистина: а јас × а ј= 0 во јас¹ ј, јас= 1,…, м; ј= 1,…,м.

Теорема 1.5. Ортогонален систем кој се состои од ненулта вектори е линеарно независен. .

□ Доказот го изведуваме со контрадикторност. Да претпоставиме дека ортогоналниот систем од ненула вектори а 1 , …, а млинеарно зависни. Потоа

л 1 а 1 + …+ l ма м= 0 , при што . (1.15)

Нека, на пример, l 1 ¹ 0. Помножете се со а 1 двете страни на еднаквоста (1.15):

л 1 а 1× а 1 + …+ l м а м × а 1 = 0.

Сите членови освен првиот се еднакви на нула поради ортогоналноста на системот а 1 , …, а м. Потоа 1 1 а 1× а 1 =0, што следи а 1 = 0 , што е во спротивност со состојбата. Нашата претпоставка се покажа како погрешна. Ова значи дека ортогоналниот систем на ненулта вектори е линеарно независен. ■

Важи следнава теорема.

Теорема 1.6. Во просторот Rn секогаш постои основа која се состои од ортогонални вектори (ортогонална основа)
(без доказ).

Ортогоналните основи се погодни првенствено затоа што коефициентите на проширување на произволен вектор над таквите бази едноставно се одредуваат.

Да претпоставиме дека треба да најдеме распаѓање на произволен вектор б на ортогонална основа д 1 ,…,д n. Ајде да составиме проширување на овој вектор со сè уште непознати коефициенти на проширување за оваа основа:

Ајде да ги помножиме двете страни на оваа еднаквост скаларно со векторот д 1 . Врз основа на аксиомите 2° и 3° од скаларниот производ на вектори, добиваме

Бидејќи основните вектори д 1 ,…,д nсе меѓусебно ортогонални, тогаш сите скаларни производи на основните вектори, со исклучок на првиот, се еднакви на нула, т.е. коефициентот се одредува со формулата

.

Множејќи ја еднаквоста (1,16) еден по еден со други базични вектори, добиваме едноставни формули за пресметување на коефициентите на проширување на векторот б :

. (1.17)

Формулите (1.17) имаат смисла затоа што .

Дефиниција. Вектора се нарекува нормализирана (или единица) ако нејзината должина е еднаква на 1, т.е. (а , а )= 1.

Секој ненулти вектор може да се нормализира. Нека а ¹ 0 . Потоа , а векторот е нормализиран вектор.

Дефиниција. Векторски систем д 1 ,…,д n се нарекува ортонормален ако е ортогонален и должината на секој вектор на системот е еднаква на 1, т.е.

(1.18)

Бидејќи секогаш постои ортогонална основа во просторот Rn и векторите на оваа основа можат да се нормализираат, тогаш секогаш постои ортогонална основа во Rn.

Пример за ортонормална основа на просторот R n е системот на вектори д 1 ,=(1,0,…,0),…, д n=(0,0,…,1) со скаларниот производ дефиниран со еднаквост (1.9). На ортонормална основа д 1 ,=(1,0,…,0),…, д n=(0,0,…,1) формула (1.17) за одредување на координатите на векторското распаѓање б имаат наједноставна форма:

Нека а И б – два произволни вектори на просторот R n со ортонормална основа д 1 ,=(1,0,…,0),…, д n=(0,0,…,1). Да ги означиме координатите на векторите а И б во основата д 1 ,…,д nсоодветно преку а 1 ,…,а nИ б 1 ,…, б nи најдете го изразот за скаларниот производ на овие вектори преку нивните координати во оваа основа, т.е. Ајде да се преправаме дека

, .

Од последната еднаквост, врз основа на скаларните производни аксиоми и односи (1.18), добиваме

Конечно имаме

. (1.19)

Така, во ортонормална основа, скаларниот производ на кои било два вектори е еднаков на збирот на производите на соодветните координати на овие вектори.

Сега да разгледаме целосно произволна (општо кажано, не ортонормална) основа во n-димензионалниот Евклидов простор R n и да најдеме израз за скаларниот производ на два произволни вектори а И б преку координатите на овие вектори во наведената основа.

систем на функции ((φ n(x)}, n= 1, 2,..., ортогонално со тежина ρ ( X) на сегментот [ А, б], односно такво што

Примери. Тригонометриски систем 1, cos nx,грев nx; n= 1, 2,..., - О.с. ѓ. со тежина 1 на отсечката [-π, π]. Беселови функции n = 1, 2,..., J ν ( x), форма за секој ν > - 1/2 O. s. ѓ. со тежина Xна сегментот.

Ако секоја функција φ ( X) од О.с. ѓ. Дали е тоа x) по број

Систематско проучување на О.с. ѓ. е започнат во врска со Фуриеровата метода за решавање проблеми со гранични вредности на равенките на математичката физика. Овој метод води, на пример, до изнаоѓање решенија за проблемот Штурм-Ливил (Види проблем Штурм-Лиовил) за равенката [ρ( X) y" ]" + q(x) y = λ на, задоволувајќи ги граничните услови на(А) + хи"(а) = 0, y(б) + Hy"(б) = 0, каде чИ Н- трајно. Овие одлуки се т.н. сопствените функции на проблемот го формираат О.с. ѓ. со тежина ρ ( X) на сегментот [ а, б].

Исклучително важна класа на О.с. ѓ. - Ортогонални полиноми - беше откриен од П. Л. Чебишев во неговите студии за интерполација со методот на најмали квадрати и проблемот на моментите. Во 20 век истражување на О.с. ѓ. се спроведуваат главно врз основа на интегрална теорија и Лебежова мерка. Ова придонесе за одвојување на овие студии во независна гранка на математиката. Една од главните задачи на теоријата на О.с. ѓ - проблем на разложување на функција ѓ(x) во серија од формата p ( X)) - О. с. ѓ. Ако го ставиме формално P ( X)) - нормализиран O. s. ѓ., и дозволете можност за интеграција по термин по рок, а потоа, множете ја оваа серија со φ П(X) ρ( X) и интегрирање од Апред б, добиваме:

Шансите С стр, наречени Фуриеови коефициенти на функцијата во однос на системот (φ n(x)), го имаат следното екстремно својство: линеарна форма x):

има најмала вредност во однос на грешките дадени за истите nдруги линеарни изрази на формата

Серија ∑ ∞ n=1 C n φ n (x)со коефициенти С стр, пресметана со формулата (*), се нарекува Фуриеова серија на функцијата ѓ(x) според нормализираниот О.с. ѓ. (φ n(x)). За апликациите, прашањето од примарна важност е дали функцијата е уникатно дефинирана ѓ(x) со нивните Фуриеови коефициенти. О.с. ѓ., за кои тоа се случува, се нарекуваат комплетни или затворени. Услови за затворена О.с. ѓ. може да се даде во неколку еквивалентни форми. 1) Секоја континуирана функција ѓ(x) може да се приближи во просек со кој било степен на точност со линеарни комбинации на функции φ к(x), односно C n φ n (x) во просек конвергира до функцијата ѓ(x)]. 2) За која било функција ѓ(x), чиј квадрат го интегрираме во однос на тежината ρ( X), условот за затвореност на Љапунов-Стеклов е задоволен:

3) Не постои ненулта функција со интеграбилна на интервалот [ а, б] квадрат ортогонален на сите функции φ n(x), n = 1, 2,....

Ако ги земеме предвид функциите со интегриран квадрат како елементи на Хилберт простор (Види Хилберт простор), тогаш нормализираниот О.С. ѓ. ќе бидат системи на вектори на координатни единици на овој простор, а сериското проширување во нормализирани О.с. ѓ. - проширување на векторот во единечни вектори. Со овој пристап, многу концепти на теоријата на нормализирани оперативни системи. ѓ. добиваат јасно геометриско значење. На пример, формулата (*) значи дека проекцијата на векторот на единечниот вектор е еднаква на скаларниот производ на векторот и единечната единица; еднаквоста Љапунов - Стеклов може да се толкува како Питагорова теорема за бесконечно-димензионален простор: квадратот на должината на векторот е еднаков на збирот на квадратите на неговите проекции на координатните оски; изолација О.с. ѓ. значи дека најмалиот затворен потпростор кој ги содржи сите вектори на овој систем се совпаѓа со целиот простор итн.

Осветлено:Толстов Г.П., Серија Фурие, 2. изд., М., 1960; Натансон И.П., Конструктивна теорија на функции, М. - Л., 1949; од него, Теорија на функции на реална променлива, 2. ed., M., 1957; Џексон Д., Фуриеова серија и ортогонални полиноми, транс. од англиски, М., 1948; Kaczmarz S., Shteingauz G., Теорија на ортогонални серии, транс. од германски, М., 1958 г.

• - групата од сите линеарни трансформации на n-димензионалниот векторски простор V над полето k, со зачувување на фиксна недегенерирана квадратна форма Q на V)=Q за било кој)...

  Математичка енциклопедија

• - матрица над комутативен прстен R со единица 1, за која транспонираната матрица се совпаѓа со инверзната. Детерминантата на O. m е еднаква на +1...

  Математичка енциклопедија

• - мрежа во која тангентите во одредена точка на линии од различни фамилии се ортогонални. Примери на оперативни системи: асимптотична мрежа на минимална површина, мрежа за кривина на линија. А.В Иванов...

  Математичка енциклопедија

• - 1) О....

  Математичка енциклопедија

• - ортогонална низа, OA - матрица со големина kx N, чии елементи се броевите 1, 2, .....

  Математичка енциклопедија

• - видете Изогонална траекторија...

  Математичка енциклопедија

• - ортонормален систем на функции (j) на одреден Хилберт простор H таков што во H не постои функција ортогонална на сите функции од дадена фамилија...

  Математичка енциклопедија

• - види Проекција...

  Голем енциклопедиски политехнички речник

• - утврдување на подреденост на функциите на различни објекти...

  Речник на деловни поими

• - зајакнување на функциите, една од Гл. начини на прогресивна трансформација на органите за време на еволуцијата на животните. И.ф. обично се поврзува со компликација на структурата на органите и телото како целина...

  Биолошки енциклопедиски речник

• - зајакнување на функциите, еден од главните начини на прогресивна трансформација на органите за време на еволуцијата на животните. И.ф. се поврзува со компликација на структурата на органите и доведува до општо зголемување на нивото на витална активност...
• - нарачајте n Матрица...

  Голема советска енциклопедија

• - посебен случај на паралелна проекција, кога оската или рамнината на проекции е нормална на правецот на проекцијата...

  Голема советска енциклопедија

• - систем на функции (), n = 1, 2,..., ортогонални со тежина ρ на сегментот, т.е., таков што Примери. Тригонометриски систем 1, cos nx, sin nx; n = 1, 2,..., - О.с. ѓ. со тежина 1 на сегментот...

  Голема советска енциклопедија

• - таков систем на функции Ф = (φ), дефиниран на интервал, што нема функција f за која,...

  Голема советска енциклопедија

• - ОРТОГОНАЛЕН систем на ФУНКЦИИ - систем на функции??n?, n=1, 2,.....

  Голем енциклопедиски речник

„Ортогонален систем на функции“ во книги

Став XXIV Стариот систем на рововски војување и современиот систем на маршеви

Од книгата Стратегија и тактика во уметноста на војната автор Жомини Генрих Венијаминович

Став XXIV Стариот систем на позиционо војување и современиот систем на маршеви Под систем на позиции се подразбира стариот метод на водење методично војување, при што војските спијат во шатори, имаат залихи при рака, меѓусебно се набљудуваат; една војска

19. Концептот на „даночен систем на Руската Федерација“. Односот помеѓу концептите „даночен систем“ и „даночен систем“

Од книгата Даночно право автор Микиџе С Г

19. Концептот на „даночен систем на Руската Федерација“. Односот помеѓу концептите на „даночен систем“ и „даночен систем“ Даночниот систем е збир на федерални даноци, регионални и локални даноци воспоставени во Руската Федерација. Неговата структура е вградена во чл. 13–15 Даночен законик на Руската Федерација.Во согласност со

Од книгата Како навистина се случи. Реконструкција на вистинската историја автор Носовски Глеб Владимирович

23. Геоцентричен систем на Птоломеј и хелиоцентричен систем на Тихо Брахе (и Коперник) Системот на светот според Тихо Брахе е прикажан на сл. 90. Во центарот на светот е Земјата, околу која се врти Сонцето. Сепак, сите други планети веќе кружат околу Сонцето. Точно

23. Геоцентричен систем на Птоломеј и хелиоцентричен систем на Тихо Брахе (и Коперник)

Од книгата на авторот

23. Геоцентричен систем на Птоломеј и хелиоцентричен систем на Тихо Брахе (и Коперник) Системот на светот според Тихо Брахе е прикажан на сл. 90. Во центарот на светот е Земјата, околу која се врти Сонцето. Сепак, сите други планети веќе кружат околу Сонцето. Точно

Комплетен систем на функции

Од книгата Голема советска енциклопедија (ПО) од авторот TSB

Ортогонална матрица

TSB

Правописна проекција

Од книгата Голема советска енциклопедија (ИЛИ) од авторот TSB

Ортогонален функционален систем

Од книгата Голема советска енциклопедија (ИЛИ) од авторот TSB

Совет 46: Префрлете ги функционалните објекти на алгоритми наместо функции

Од книгата Ефикасно користење на STL од Мејерс Скот

Совет 46: Префрлете ги функциските објекти на алгоритмите наместо функциите Често се вели дека зголемувањето на нивото на апстракција на јазиците на високо ниво предизвикува генерираниот код да стане помалку ефикасен. Александар Степанов, пронаоѓачот на STL, некогаш развил мал комплекс

12.3.5. Функциски адаптери за функционални објекти

Од книгата C++ за почетници од Липман Стенли

12.3.5. Функциски адаптери за функциски објекти Стандардната библиотека содржи и голем број функционални адаптери за специјализирање и проширување и на унарни и бинарни функционални објекти. Адаптерите се специјални класи поделени на следните две

19.11.2. Повикување функции од функционална датотека

Од книгата Linux и UNIX: програмирање на школка. Водич за програмери. од Тејнсли Дејвид

19.11.2. Повикување на функции од функциска датотека Веќе разгледавме како се повикуваат функциите од командната линија. Овие типови на функции обично се користат од помошни програми кои создаваат системски пораки. Сега да ја користиме функцијата опишана погоре повторно, но во овој случај

Системот на објективно (позитивно) право и систем на законодавство: односот на концептите

Од книгата Јуриспруденција авторот Мардалиев Р.Т.

Системот на објективно (позитивно) право и системот на законодавство: односот на концептите Системот на објективно (позитивно) право е внатрешна структура на правото, делејќи го на гранки, потсектори и институции во согласност со предметот и методот. на правните

31. Француски владин систем, избирачко право и изборен систем

Од книгата Уставно право на странски држави автор Имашева Е Г

31. Француски владин систем, избирачко право и изборен систем Во Франција, постои мешана (или полупретседателска) републиканска влада. Системот на владеење во Франција е изграден на принципот на поделба на власта.модерна Франција

Терапевтски движења за обновување на моторните функции и за болки во грбот Реставрација на моторните функции

Од книгата Енциклопедија на терапевтски движења за разни болести автор Асташенко Олег Игоревич

Терапевтски движења за враќање на моторните функции и за болки во грбот Враќање на моторните функции Постојат многу вежби за обновување на 'рбетот. Можете или сами да ги смислите, или да ги најдете во различни видови гимнастика. Сепак, едноставно

Терапевтски движења за обновување на моторните функции и за болки во грбот моторни функции

Од книгата Ремонт за 'рбетот автор Асташенко Олег Игоревич

Терапевтски движења за враќање на моторните функции и моторните функции за болки во грбот Враќање на моторните функции Постојат многу вежби за обновување на 'рбетот. Можете или сами да ги смислите, или да ги најдете во различни видови гимнастика.

x =λ 0 e +z, каде што L. За да се пресмета λ 0, ние скаларно ги помножуваме двете страни на еднаквоста со e. Бидејќи (z,e) = 0, добиваме (x,e) =λ 0 (e,e) =λ 0.

Ортогонални и ортонормални системи

Дефиниција 5.5. Ако L е потпростор на Хилбертовиот простор H, тогаш збирката M од сите елементи од H кои се ортогонални до L се нарекува

ортогонално дополнување на L.

Да докажеме дека М е и потпростор.

1) Од својството 3) за ортогонални елементи произлегува дека M е линеарно подмножество на просторот H.

2) Нека z n M и z n → z . По дефиниција, M z n y за кое било y L , а по својство 4) за ортогонални елементи имаме z y . Затоа, z M и M се затворени.

За кој било x H, според теорема 5.3 постои единствена експанзија

од формата x =y +z, каде што y L,z M, т.е. се формираат потпросторите L и M

ортогонално разложување на просторот H.

Лема 5.1. Нека е дадено конечно или броило множество од парни ортогонални потпростори L n и нека елементот x H е претставен во форма

x = ∑ y n, каде што y L. Тогаш таквата репрезентација е единствена и y n = Pr L n x.

Дефиниција 5.6. Систем од ортогонални потпростори L n се нарекува комплетен ако во просторот H нема ненулти елемент ортогонален на сите L n .

Дефиниција 5.7. Конечен или пребројлив систем на елементи h n од хилбертовиот простор H се нарекува ортогонален ако h n h m за n ≠m Дефиниција 5.8. Се нарекува ортогоналниот систем h n ортонормални, ако ||h n || = 1.

Дефиниција 5.9. Ортогонален систем h n се нарекува целосен ако нема ненулти елемент x H таков што x h n за сите n .

Можете да го проверите тоаненулта елементи на ортогоналниот систем се линеарно независни.

Пример за целосен ортонормален систем во l 2 е системот на сите вектори на координатни единици.

Генерирани од елементите h n	еднодимензионални		потпростори L n
ортогонални. Проекции на елементи				потпростори
пресметано со формулата		x = anhn.
	PrL n
Се повикуваат броевите α n = (x ,h n ).	коефициенти			Фуриеров елементx
во однос на системот на елементи h n.

Теорема 5.4. Ако елементот x H може да се претстави како

x = ∑ λ n h n , тогаш оваа претстава е единствена и коефициентите λ n се еднакви

Ова е претстава x се нарекува Фуриеово проширување (ортогонално проширување) на елементот x во елементите hn.

Теорема 5.5. За да може секој елемент x H да биде претставен со неговото Фуриеово проширување над елементите h n на еден ортонормален систем, потребно е и доволно овој систем да биде целосен.

Од оваа теорема произлегува дека во n-димензионален простор на Хилберт, целосниот ортонормален систем мора да се состои од n елементи. Од друга страна, ако во n-димензионален Хилберт простор е дадена произволна основа, составена од парни ортогонални елементи, тогаш од теорема 5.5 произлегува дека овој систем е комплетен.

Дефиниција 5.10. Се нарекува целосен ортогонален систем на елементи

ортонормална основа Хилберт простор.

Дефиниција 5.11. Сооднос

	∑ α n 2=
каде α n	– Фуриеви коефициенти на елементот x, наречени равенки
изолација.

Теорема 5.6.

За произволен ортонормален систем (h n ), следните изјави во врска со елементите x H се еквивалентни:

1) за елементот x H важи Фуриеовото проширување (5.7);

2) елементот x H е вклучен во потпросторот генериран од множеството елементи (h n);

3) за елементот x H равенката на затвореност (5.8) е исполнета.Заклучок. Од теоремите 5.5 и 5.6 произлегува дека за да може еден ортонормален систем да биде целосен, потребно е и доволно

за кој било x H равенката на затвореност беше исполнета.

Теорема 5.7. Ако елементотx H може да се претстави со неговата Фуриеова експанзија (5.7) над елементите на ортонормалниот систем (h n ), тогаш за кое било y H

(x,y)= ∑ α n β n,

каде α n се Фуриеовите коефициенти на елементотx, β n се Фуриеовите коефициенти на елементот во однос на системот (h n).

Теорема 5.8. Конечно-димензионален нормализиран простор е раздвоен Теорема 5.9. Секој простор со пребројлива основа е разделен.

Од теоремите 5.8 и 5.9 произлегува дека конечна или бројлива ортонормална основа може да постои само во раздвојливи простори.

Ортогонализација на систем од линеарно независни елементи

Нека на Хилбертовиот простор H му биде даден конечен или пребројлив систем на линеарно независни елементи g 1 , g 2 , ... Да конструираме ортонормален систем на елементи h 1 , h 2 , ... така што секој h n има форма

h n =μ n 1 g 1 +μ n 2 g 2 +...+μ nn g n ,
и секое g n има форма
g n =ν n 1 h 1 +ν n 2 h 2 +...+ν nn h n .

Прво, да конструираме ортогонален систем од елементи f 1 , f 2 , ... , претпоставувајќи секвенцијално

k = 1

Коефициентите λ ik мора да бидат избрани на таков начин што елементите f 1 , f 2 , ... да бидат во пар ортогонални. Нека се веќе пронајдени коефициентите λ ik за елементите f 1 , f 2 , ..., f n- 1. Тогаш кога јас

n− 1		n− 1
(f n ,f i ) = (g n –∑ λ nk f k ,f i ) = (g n ,f i ) –∑ λ nk (f k ,f i ).
k = 1		k = 1
Бидејќи f 1 ,f 2 , ..., f n- 1 веќе	се ортогонални, тогаш (f k ,f i ) = 0 за		k ≠ i,
добиваме	F i ) = (g n ,f i ) –λ ni ||f i ||2 .
(стр
Бидејќи секој елемент		е линеарна комбинација линеарно
независни елементи g 1,	g 2 , ...,g n , и коефициентот		на g n

единство, тогаш f n ≠ 0. За условот (f n ,f i ) = 0 да биде исполнет, коефициентот λ ni мора да се определи со формулата

λni=		g n,		f i)

Конструиравме ортогонален систем f 1 , f 2 , .... Сега да ставиме

h n=

Елементите h 1 ,h 2 , ... се ортогонални по парови, ||h n || = 1 и секој елемент h n е линеарна комбинација на елементите g 1 ,g 2 , ...,g n , затоа, ја има потребната форма (5.9). Од друга страна, од формулата (5.11) е јасно дека секое g n е линеарна комбинација на елементите f 1, f 2, ..., f n, и затоа елементите h 1, h 2, ..., h n , т.е. ја има формата (5.10). Така, го добивме потребниот ортонормален систем.

Освен тоа, ако оригиналниот систем (gn) бил бесконечен, тогаш процесот на ортогонализација се состои од бесконечен број чекори, а системот (hn) исто така ќе биде бесконечен. Ако оригиналниот систем се состои од m елементи, тогаш добиениот систем ќе има ист број.

Забележете дека од условите (5.9) и (5.10) произлегува дека линеарните обвивки на системите на елементите (gn) и (hn) се совпаѓаат.

Ако L е конечно-димензионален потпростор на просторот H, а g 1 ,g 2 , ...,g n е неговата произволна основа, тогаш со примена на процесот на ортогонализација на системот (g n ), ќе конструираме ортонормална основа на потпросторот

Изоморфизам на произволен разделен Хилберт простор со просторот l²

Теорема 5.10. Во раздвојлив Хилберт простор H кој содржи ненула елементи, постои конечна или броила ортонормална основа.

Доказ.

Според дефиницијата за раздвојливост, постои броило насекаде густо множество А во H. Да ги преброиме сите елементи од множеството А. Дозволете ни да избереме од А конечен или броилив систем Б од линеарно независни елементи, чиј линеарен распон се совпаѓа со линеарниот распон на множеството А. Во овој случај, сите елементи исфрлени од А се линеарни комбинации на елементи на системот Б. Системот Б ќе го подложиме на процесот на ортогонализација и ќе конструираме конечен или пребројлив ортонормален систем на елементи h n . Да докажеме

дека е полна.

Нека x H е ортогонален на сите h n. Бидејќи елементите на системот Б се линеарни комбинации на елементи h n , tox е ортогонален на сите елементи

системи Б. Множеството А се разликува од Б по тоа што содржи уште неколку елементи кои се претставени како линеарни комбинации на елементи на системот Б. Според тоа, x е ортогонален на сите елементи од множеството А. Но, бидејќи A е густо насекаде во H, тогаш x = 0 според својството 5) за ортогонални елементи. Така, се докажува комплетноста на системот на елементи h n.

Дозволете ни да ги пренесеме дефинициите за алгебарскиот изоморфизам и изометрија за Евклидските простори на сите нормирани простори.

Дефиниција 5.12. Се нарекуваат два нормирани простори E и E 1

алгебарски изоморфни и изометриски , ако може да се воспостави кореспонденција еден-на-еден помеѓу нивните елементи така што:

а) алгебарските операции на елементите од Е одговараат на истите операции на нивните слики во E 1 ;

б) нормите на соодветните елементи од Е и од Е 1 се еднакви.

Теорема 5.11. Секој бесконечно-димензионален одделлив Хилберт простор H е алгебарски изоморфен и изометричен на просторот l 2 .

Доказ.

Според теорема 5.10, постои пребројлива ортонормална основа во H: h 1 ,h 2 , ..., h n , .... Со теорема 5.5, за кој било x H проширувањето во

		x = ∑ α n hn .				споредливи
		n= 1
низа од неговите коефициенти					(α n ), т.е. n= 1 Векторот a и ќе се нарече слика на елементите. Ако α n се Фуриеовите коефициенти на елементите, а β n се коефициентите збирот на сликите на елементите x и y. Слично, се проверува дека ако a е слика на елементите, тогаш λ a е слика на елементот λ x. Ова значи дека алгебарските операции на елементите од H одговараат на истите операции на нивните слики во 2. Да покажеме дека секој вектор a = (α n )l 2 е слика на некои x H. За да го направите ова, со оглед на дадената вредност, ја составуваме серијата ∑ α n h n . Бидејќи членовите на серијата се во пар ортогонални, и n= 1 ∑ ||α n h n ||2 = ∑ α n 2< +∞, n= 1 n= 1 тогаш со теорема 5.2 серијата конвергира. Ако неговата сума ја означиме со x, тогаш со теорема 5.4α n ќе бидат Фуриеовите коефициенти на ова, затоа, дадениот вектор a ќе биде негова слика. Сега да провериме дали воспоставената кореспонденција помеѓу елементите од H и векторите од l 2 е еден-на-еден. Навистина, ако векторите a и b се слики на елементи во y, соодветно, тогаш, според она што е докажано, a – b е слика на елементите во – y и од (5.12) a − b = x − y. Затоа, ifx ≠ y, тогаш ia ≠ b. Со други зборови, ако ортонормалниот систем е целосен, а два елементи x и y имаат соодветно исти Фуриеови коефициенти, тогаш x = y. Ова не е точно за нецелосен систем. Така, воспоставивме кореспонденција помеѓу елементите од H и векторите од l 2, што претставува алгебарски изоморфизам и, според (5.12), изометриски. Теоремата е докажана. Сега докажуваме дека изоморфизмот помеѓу H и l 2 е воспоставен и со зачувување на вредноста на скаларниот производ. Теорема 5.12. Со изоморфизмот помеѓу просторите H и l 2 воспоставен во теорема 5.11, скаларниот производ на кои било два елементи на H . е еднаков на скаларниот производ на нивните слики во 2. Доказ . Нека векторите a и b се слики на елементите uy, соодветно, a= (α n),b= (β n). Тогаш: x = ∑ α n h n ,y =∑ β n h n . n= 1 n= 1 Земајќи ја предвид теоремата 5.7 и дефиницијата на скаларниот производ во l 2, наоѓаме