Функцијата се нарекува парна (непарна) ако за која било и еднаквоста 
.
Графикот на парна функција е симетричен во однос на оската 
.
Графикот на непарна функција е симетричен во однос на потеклото.
Пример 6.2. Проверете дали функцијата е парна или непарна
1)
;
2)
;
3)
.
Решение.
1) Функцијата се дефинира кога 
. Ќе најдеме 
.
Оние. 
. Ова значи дека оваа функција е рамномерна.
2) Функцијата се дефинира кога 
Оние. 
. Така, оваа функција е непарна.
3) функцијата е дефинирана за , т.е. За
,
. Затоа функцијата не е ниту парна ниту непарна. Да го наречеме функција од општа форма.
Функција 
се нарекува зголемување (намалување) на одреден интервал ако во овој интервал секоја поголема вредност на аргументот одговара на поголема (помала) вредност на функцијата.
Функциите што се зголемуваат (намалуваат) во одреден интервал се нарекуваат монотони.
Доколку функцијата 
диференцијабилна на интервалот 
и има позитивен (негативен) дериват 
, потоа функцијата 
се зголемува (намалува) во текот на овој интервал.
Пример 6.3. Најдете интервали на монотоност на функциите
1)
;
3)
.
Решение.
1) Оваа функција е дефинирана на целата нумеричка линија. Ајде да го најдеме дериватот.
Изводот е еднаков на нула ако 
И 
. Доменот на дефиниција е бројната оска, поделена со точки 
,
во интервали. Дозволете ни да го одредиме знакот на дериватот во секој интервал.
Во интервалот 
дериватот е негативен, функцијата се намалува на овој интервал.
Во интервалот 
изводот е позитивен, затоа, функцијата се зголемува во текот на овој интервал.
2) Оваа функција е дефинирана ако 
или
.
Го одредуваме знакот на квадратниот трином во секој интервал.
Така, доменот на дефинирање на функцијата
Ајде да го најдеме дериватот 
,
, Ако 
, т.е. 
, Но 
. Да го одредиме знакот на дериватот во интервалите 
.
Во интервалот 
дериватот е негативен, затоа функцијата се намалува на интервалот 
. Во интервалот 
дериватот е позитивен, функцијата се зголемува во текот на интервалот 
.
Точка 
наречена максимална (минимална) точка на функцијата 
, доколку постои такво соседство на точката 
тоа е за секого 
од ова соседство држи нееднаквоста 
.
Максималните и минималните точки на функцијата се нарекуваат екстремни точки.
Доколку функцијата 
во точката 
има екстрем, тогаш изводот на функцијата во оваа точка е еднаков на нула или не постои (неопходен услов за постоење на екстремум).
Точките во кои изводот е нула или не постои се нарекуваат критични.
5. Доволни услови за постоење на екстрем.Правило 1. Ако при преминот (од лево кон десно) низ критичната точка 
дериват 
го менува знакот од „+“ во „–“, потоа во точката 
функција 
има максимум; ако од „–“ до „+“, тогаш минимумот; Ако 
не го менува знакот, тогаш нема екстрем.
Правило 2. Нека во точка 
прв извод на функција 
еднаква на нула 
, а вториот извод постои и се разликува од нула. Ако 
, Тоа 
– максимална точка, доколку 
, Тоа 
– минимална точка на функцијата.
Пример 6.4. Истражете ги максималните и минималните функции:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Решение.
1) Функцијата е дефинирана и континуирана на интервалот 
.
Ајде да го најдеме дериватот 
и решете ја равенката 
, т.е. 
.Од тука 
– критични точки.
Да го одредиме знакот на дериватот во интервалите, 
.
При минување низ точки 
И 
дериватот го менува знакот од „–“ во „+“, затоа, според правилото 1 
– минимум поени.
При минување низ точка 
дериватот го менува знакот од „+“ во „–“, па 
– максимална поен.
,
.
2) Функцијата е дефинирана и континуирана во интервалот 
. Ајде да го најдеме дериватот 
.
Откако ја решивме равенката 
, ќе најдеме 
И 
– критични точки. Ако именителот 
, т.е. 
, тогаш изводот не постои. Значи, 
– трета критична точка. Дозволете ни да го одредиме знакот на дериватот во интервали.
Затоа, функцијата има минимум во точката 
, максимум во поени 
И 
.
3) Функција е дефинирана и континуирана ако 
, т.е. на 
.
Ајде да го најдеме дериватот 
.
Ајде да најдеме критични точки: 
Населби на точки 
не спаѓаат во доменот на дефиниција, затоа не се екстремни. Значи, да ги испитаме критичните точки 
И 
.
4) Функцијата е дефинирана и континуирана на интервалот 
. Да го користиме правилото 2. Најдете го изводот 
.
Ајде да најдеме критични точки:
Ајде да го најдеме вториот извод 
и определи го неговиот знак на точките 
На точките 
функцијата има минимум.
На точките 
функцијата има максимум.
Дури и функција.
Функцијата чиј знак не се менува кога знакот се менува се нарекува парен. x.
xважи еднаквоста ѓ(–x) = ѓ(x). Потпишете xне влијае на знакот y.
Графикот на парна функција е симетричен во однос на координатната оска (сл. 1).
Примери за парна функција:
y=кос x
y = x 2
y = –x 2
y = x 4
y = x 6
y = x 2 + x
Објаснување:
Да ја земеме функцијата y = x 2 или y = –x 2 .
За секоја вредност xфункцијата е позитивна. Потпишете xне влијае на знакот y. Графикот е симетричен во однос на координатната оска. Ова е рамномерна функција.
Непарна функција.
Функцијата чиј знак се менува кога знакот се менува се нарекува непарна. x.
Со други зборови, за која било вредност xважи еднаквоста ѓ(–x) = –ѓ(x).
Графикот на непарна функција е симетричен во однос на потеклото (сл. 2).
Примери за непарна функција:
y= грев x
y = x 3
y = –x 3
Објаснување:
Да ја земеме функцијата y = – x 3 .
Сите значења наќе има знак минус. Тоа е знак xвлијае на знакот y. Ако независната променлива е позитивен број, тогаш функцијата е позитивна, ако независната променлива е негативен број, тогаш функцијата е негативна: ѓ(–x) = –ѓ(x).
Графикот на функцијата е симетричен во однос на потеклото. Ова е непарна функција.
Својства на парни и непарни функции:
ЗАБЕЛЕШКА:
Не сите функции се парни или непарни. Има функции кои не се покоруваат на таква градација. На пример, функцијата root на = √Xне важи ниту за парни ниту за непарни функции (сл. 3). Кога се наведуваат својствата на таквите функции, треба да се даде соодветен опис: ниту пар, ниту непарен.
Периодични функции.
Како што знаете, периодичноста е повторување на одредени процеси во одреден интервал. Функциите кои ги опишуваат овие процеси се нарекуваат периодични функции. Односно, тоа се функции во чии графикони има елементи кои се повторуваат во одредени нумерички интервали.
За да го направите ова, користете милиметарска хартија или графички калкулатор. Изберете кој било број нумерички вредности за независната променлива x (\displaystyle x) и приклучете ги во функцијата за да ги пресметате вредностите за зависната променлива y (\displaystyle y). Нацртајте ги пронајдените координати на точките на координатната рамнина, а потоа поврзете ги овие точки за да изградите график на функцијата.
- Заменете ги позитивните нумерички вредности x (\displaystyle x) и соодветните негативни нумерички вредности во функцијата. На пример, со оглед на функцијата . Заменете ги следните вредности x (\displaystyle x) во него:
- f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(1)=2(1)^(2)+1=2+1=3) (1 , 3) (\ стил на прикажување (1,3)) .
- f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(2)=2(2)^(2)+1=2(4)+1 =8+1=9) . Добивме точка со координати (2, 9) (\displaystyle (2,9)).
- f (− 1) = 2 (− 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(-1)=2(-1)^(2)+1=2+1=3) . Добивме точка со координати (− 1, 3) (\displaystyle (-1,3)) .
- f (− 2) = 2 (− 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(-2)=2(-2)^(2)+1=2( 4)+1=8+1=9) . Добивме точка со координати (− 2, 9) (\displaystyle (-2,9)) .
Проверете дали графикот на функцијата е симетричен во однос на оската Y. Под симетрија ја подразбираме огледалната слика на графикот за оската y. Ако делот од графиконот десно од Y-оската (позитивни вредности на независната променлива) е ист со делот од графиконот лево од Y-оската (негативни вредности на независната променлива ), графикот е симетричен во однос на оската Y. Ако функцијата е симетрична во однос на y-оската, функцијата е парна.
- Можете да ја проверите симетријата на графикот користејќи поединечни точки. Ако вредноста на y (\displaystyle y) x (\displaystyle x) се совпаѓа со вредноста на y (\displaystyle y) што се совпаѓа со вредноста на − x (\displaystyle -x) , функцијата е парна. Во нашиот пример со функцијата f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1) ги добивме следните координати на точките:
- (1.3) и (-1.3)
- (2.9) и (-2.9)
- Забележете дека за x=1 и x=-1 зависната променлива е y=3, а за x=2 и x=-2 зависната променлива е y=9. Така функцијата е рамномерна. Всушност, за точно да ја одредите формата на функцијата, треба да земете во предвид повеќе од две точки, но опишаниот метод е добра апроксимација.
Проверете дали графикот на функцијата е симетричен во однос на потеклото. Потеклото е точката со координати (0,0). Симетријата за потеклото значи дека позитивната вредност на y (\displaystyle y) (за позитивна вредност на x (\displaystyle x) ) одговара на негативна вредност од (\displaystyle y) (\displaystyle y) (за негативна вредност од x (\displaystyle x) ), и обратно. Непарните функции имаат симетрија за потеклото.
- Ако замените неколку позитивни и соодветни негативни вредности на x (\displaystyle x) во функцијата, вредностите на y (\displaystyle y) ќе се разликуваат по знак. На пример, дадена функција f (x) = x 3 + x (\displaystyle f(x)=x^(3)+x) . Заменете неколку вредности на x (\displaystyle x) во него:
- f (1) = 1 3 + 1 = 1 + 1 = 2 (\displaystyle f(1)=1^(3)+1=1+1=2) . Добивме бод со координати (1,2).
- f (− 1) = (− 1) 3 + (− 1) = − 1 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(3)+(-1)=-1- 1=-2)
- f (2) = 2 3 + 2 = 8 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(3)+2=8+2=10)
- f (− 2) = (− 2) 3 + (− 2) = − 8 − 2 = − 10 (\displaystyle f(-2)=(-2)^(3)+(-2)=-8- 2=-10). Добивме бод со координати (-2,-10).
- Така, f(x) = -f(-x), односно функцијата е непарна.
Проверете дали графикот на функцијата има некаква симетрија. Последниот тип на функција е функција чиј график нема симетрија, односно нема огледална слика и во однос на оската на ординатите и во однос на потеклото. На пример, со оглед на функцијата .
- Заменете неколку позитивни и соодветни негативни вредности на x (\displaystyle x) во функцијата:
- f (1) = 1 2 + 2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 (\displaystyle f(1)=1^(2)+2(1)+1=1+2+1=4 ) . Добивме точка со координати (1,4).
- f (− 1) = (− 1) 2 + 2 (− 1) + (− 1) = 1 − 2 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(2)+2 (-1)+(-1)=1-2-1=-2) . Добивме бод со координати (-1,-2).
- f (2) = 2 2 + 2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(2)+2(2)+2=4+4+2=10 ) . Добивме бод со координати (2,10).
- f (− 2) = (− 2) 2 + 2 (− 2) + (− 2) = 4 − 4 − 2 = − 2 (\displaystyle f(-2)=(-2)^(2)+2 (-2)+(-2)=4-4-2=-2) . Добивме бод со координати (2,-2).
- Според добиените резултати, нема симетрија. Вредностите на y (\displaystyle y) за спротивни вредности на x (\displaystyle x) не се исти и не се спротивни. Така, функцијата не е ниту парна, ниту непарна.
- Ве молиме имајте предвид дека функцијата f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) може да се запише на следниов начин: f (x) = (x + 1 ) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)) . Кога е напишана во оваа форма, функцијата се појавува дури и затоа што има парен експонент. Но, овој пример докажува дека типот на функцијата не може брзо да се одреди ако независната променлива е затворена во загради. Во овој случај, треба да ги отворите заградите и да ги анализирате добиените експоненти.
Функцијата е еден од најважните математички концепти. Функција е зависноста на променливата y од променливата x, ако секоја вредност на x одговара на една вредност на y. Променливата x се нарекува независна променлива или аргумент. Променливата y се нарекува зависна променлива. Сите вредности на независната променлива (променлива x) го формираат доменот на дефиниција на функцијата. Сите вредности што ги зема зависната променлива (променлива y) го формираат опсегот на функцијата.
Графикот на функцијата е збир на сите точки на координатната рамнина, чии апсциси се еднакви на вредностите на аргументот, а ординатите се соодветните вредности на функцијата, односно вредностите. од променливата x се нацртани по оската на апсцисата, а вредностите на променливата y се нацртани по должината на оската на ординатите. За да графирате функција, треба да ги знаете својствата на функцијата. Главните својства на функцијата ќе бидат разгледани подолу!
За да изградите график на функција, препорачуваме да ја користите нашата програма - Функции за графика онлајн. Ако имате какви било прашања додека го проучувате материјалот на оваа страница, секогаш можете да ги поставите на нашиот форум. Исто така на форумот ќе ви помогнат да решавате проблеми по математика, хемија, геометрија, теорија на веројатност и многу други предмети!
Основни својства на функциите.
1) Доменот на дефинирање на функцијата и опсегот на вредностите на функцијата.
Доменот на функцијата е множество од сите валидни реални вредности на аргументот x (променлива x) за која е дефинирана функцијата y = f(x).
Опсегот на функцијата е збир на сите реални y вредности што функцијата ги прифаќа.
Во елементарната математика, функциите се изучуваат само на множеството реални броеви.
2) Нули на функцијата.
Се повикуваат вредностите на x за кои y=0 функција нули. Тоа се апсцисите на точките на пресек на функционалниот график со оската Ox.
3) Интервали на постојан знак на функција.
Интервали на постојан знак на функција - се нарекуваат такви интервали на вредности x на кои вредностите на функцијата y се или само позитивни или само негативни. интервали на постојан знак на функцијата.
4) Монотоност на функцијата.
Зголемена функција (во одреден интервал) е функција во која поголема вредност на аргументот од овој интервал одговара на поголема вредност на функцијата.
Намалувачка функција (во одреден интервал) е функција во која поголема вредност на аргументот од овој интервал одговара на помала вредност на функцијата.
5) Равномерност (непарност) на функцијата.
Парна функција е функција чијшто домен на дефиниција е симетричен во однос на потеклото и за кој било x f(-x) = f(x). Графикот на парна функција е симетричен во однос на ординатата.
Непарна функција е функција чијшто домен на дефиниција е симетричен во однос на потеклото и за кој било x од доменот на дефиниција, еднаквоста f(-x) = - f(x) е точно. Графикот на непарна функција е симетричен во однос на потеклото.
Дури и функција
1) Доменот на дефиниција е симетричен во однос на точката (0; 0), односно, ако точката a припаѓа на доменот на дефиниција, тогаш точката -a исто така припаѓа на доменот на дефиниција.
2) За која било вредност x f(-x)=f(x)
3) Графикот на парна функција е симетричен во однос на оската Oy.
Непарната функција ги има следниве својства:
1) Доменот на дефиниција е симетричен во однос на точката (0; 0).
2) за која било вредност x што припаѓа на доменот на дефиниција, еднаквоста f(-x)=-f(x) е задоволена
3) Графикот на непарна функција е симетричен во однос на потеклото (0; 0).
Не секоја функција е парна или непарна. Функции општ погледне се ниту парни ниту непарни.
6) Ограничени и неограничени функции.
Функцијата се нарекува ограничена ако има позитивен број M таков што |f(x)| ≤ M за сите вредности на x. Ако таков број не постои, тогаш функцијата е неограничена.
7) Периодичност на функцијата.
Функцијата f(x) е периодична ако има ненула број T таков што за кој било x од доменот на дефиниција на функцијата важи следново: f(x+T) = f(x). Овој најмал број се нарекува период на функцијата. Сите тригонометриски функции се периодични. (Тригонометриски формули).
Функцијата f се нарекува периодична ако има број таков што за кој било x од доменот на дефиниција важи еднаквоста f(x)=f(x-T)=f(x+T). Т е периодот на функцијата.
Секоја периодична функција има бесконечен број на периоди. Во пракса, обично се смета најмалиот позитивен период.
Вредностите на периодичната функција се повторуваат по интервал еднаков на периодот. Ова се користи при конструирање графикони.
Како да вметнете математички формули на веб-локација?
Ако некогаш треба да додадете една или две математички формули на веб-страница, тогаш најлесниот начин да го направите тоа е како што е опишано во статијата: математичките формули лесно се вметнуваат на страницата во форма на слики кои автоматски се генерираат од Wolfram Alpha . Покрај едноставноста, овој универзален метод ќе помогне да се подобри видливоста на страницата во пребарувачите. Работи долго време (и, мислам, ќе работи засекогаш), но веќе е морално застарен.
Ако редовно користите математички формули на вашиот сајт, тогаш ви препорачувам да користите MathJax - специјална библиотека JavaScript која прикажува математичка нотација во веб-прелистувачите користејќи ознака MathML, LaTeX или ASCIIMathML.
Постојат два начина да започнете со користење на MathJax: (1) со користење на едноставен код, можете брзо да поврзете MathJax скрипта на вашата веб-локација, која автоматски ќе се вчита од оддалечен сервер во вистинско време (список на сервери); (2) преземете ја скриптата MathJax од оддалечен сервер на вашиот сервер и поврзете ја на сите страници на вашата страница. Вториот метод - покомплексен и одзема многу време - ќе го забрза вчитувањето на страниците на вашата страница, и ако матичниот сервер MathJax поради некоја причина привремено стане недостапен, тоа нема да влијае на вашата веб-страница на кој било начин. И покрај овие предности, го избрав првиот метод бидејќи е поедноставен, побрз и не бара технички вештини. Следете го мојот пример и за само 5 минути ќе можете да ги користите сите карактеристики на MathJax на вашата страница.
Можете да ја поврзете скриптата за библиотека MathJax од оддалечен сервер користејќи две опции за код земени од главната веб-локација на MathJax или на страницата со документација:
Една од овие опции за код треба да се копира и залепи во кодот на вашата веб-страница, по можност помеѓу ознаките и или веднаш по ознаката. Според првата опција, MathJax се вчитува побрзо и помалку ја успорува страницата. Но, втората опција автоматски ги следи и вчитува најновите верзии на MathJax. Ако го вметнете првиот код, тој ќе треба периодично да се ажурира. Ако го вметнете вториот код, страниците ќе се вчитуваат побавно, но нема да треба постојано да ги следите ажурирањата на MathJax.
Најлесен начин за поврзување на MathJax е во Blogger или WordPress: во контролната табла на страницата, додајте графичка контрола дизајнирана за вметнување JavaScript код од трета страна, копирајте ја првата или втората верзија на кодот за преземање претставен погоре во него и поставете го додатокот поблиску до почетокот на шаблонот (патем, ова воопшто не е потребно, бидејќи скриптата MathJax се вчитува асинхроно). Тоа е се. Сега научете ја синтаксата за обележување на MathML, LaTeX и ASCIIMathML и подготвени сте да вметнете математички формули во веб-страниците на вашата страница.
Секој фрактал е конструиран според одредено правило, кое постојано се применува неограничен број пати. Секое такво време се нарекува итерација.
Итеративниот алгоритам за конструирање на сунѓер Менгер е прилично едноставен: оригиналната коцка со страна 1 е поделена со рамнини паралелни на нејзините лица на 27 еднакви коцки. Од него се отстрануваат една централна коцка и 6 коцки во непосредна близина на неа по лицата. Резултатот е сет кој се состои од преостанатите 20 помали коцки. Правејќи го истото со секоја од овие коцки, добиваме сет составен од 400 помали коцки. Продолжувајќи го овој процес бескрајно, добиваме сунѓер Менгер.