كيفية حل تبسيط التعبيرات. تحويل التعبيرات

دعونا ننظر في موضوع تحويل التعبيرات بالقوى، ولكن أولا سنركز على عدد من التحولات التي يمكن تنفيذها بأي تعبيرات، بما في ذلك القوة. سوف نتعلم فتح الأقواس، وجلب مصطلحات مماثلة، العمل مع القاعدة والأس، واستخدام خصائص الدرجات.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

ما هي تعبيرات القوة؟

في دورة المدرسةقليل من الناس يستخدمون عبارة " تعبيرات السلطة"، ولكن هذا المصطلح موجود باستمرار في مجموعات التحضير لامتحان الدولة الموحدة. في معظم الحالات، تشير العبارة إلى التعبيرات التي تحتوي على درجات في إدخالاتها. وهذا ما سنعكسه في تعريفنا.

التعريف 1

تعبير عن القوةهو تعبير يحتوي على درجات.

دعونا نعطي عدة أمثلة على تعبيرات السلطة، بدءا من القوة مع مؤشر طبيعيوتنتهي بدرجة ذات أس حقيقي.

أبسط تعبيرات القوة يمكن اعتبارها قوى لرقم ذي أس طبيعي: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + أ 2, x 3 − 1 , (أ 2) 3 . وأيضًا للقوى ذات الأس الصفري: 0 5, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0. والدرجات مع الأعداد الصحيحة القوى السلبية: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

من الأصعب قليلاً العمل بدرجة علمية عقلانية و مؤشرات غير عقلانية: 264 1 4 - 3 · 3 · 3 1 2 , 2 3 , 5 · 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 أ 1 4 · أ 1 2 - 2 · أ - 1 6 · ب 1 2 , x π · س ١ - ط، ٢ ٣ ٣ + ٥.

يمكن أن يكون المؤشر هو المتغير 3 x - 54 - 7 3 x - 58 أو اللوغاريتم x 2 · l g x − 5 · x l g x.

لقد تعاملنا مع مسألة ما هي تعبيرات القوة. الآن لنبدأ في تحويلها.

الأنواع الأساسية لتحولات تعبيرات القوة

أولاً، سنلقي نظرة على تحويلات الهوية الأساسية للتعبيرات التي يمكن إجراؤها باستخدام تعبيرات القوة.

مثال 1

احسب قيمة تعبير القوة 2 3 (4 2 − 12).

حل

سنقوم بتنفيذ جميع التحولات وفقًا لترتيب الإجراءات. في في هذه الحالةسنبدأ بتنفيذ الإجراءات الموجودة بين قوسين: سنستبدل الدرجة بقيمة رقمية ونحسب الفرق بين رقمين. لدينا 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

كل ما علينا فعله هو استبدال الدرجة 2 3 معناها 8 وحساب المنتج 8 4 = 32. وهنا جوابنا.

إجابة: 2 3 · (4 2 − 12) = 32 .

مثال 2

تبسيط التعبير مع القوى 3 أ 4 ب − 7 − 1 + 2 أ 4 ب − 7.

حل

يحتوي التعبير المعطى لنا في بيان المشكلة على مصطلحات مشابهة يمكننا تقديمها: 3 أ 4 ب − 7 − 1 + 2 أ 4 ب − 7 = 5 أ 4 ب − 7 − 1.

إجابة: 3 · أ 4 · ب − 7 − 1 + 2 · أ 4 · ب − 7 = 5 · أ 4 · ب − 7 − 1 .

مثال 3

عبر عن التعبير بالقوى 9 - ب 3 · π - 1 2 كحاصل ضرب.

حل

دعونا نتخيل الرقم 9 كقوة 3 2 وتطبيق صيغة الضرب المختصرة:

9 - ب 3 π - 1 2 = 3 2 - ب 3 π - 1 2 = = 3 - ب 3 π - 1 3 + ب 3 π - 1

إجابة: 9 - ب 3 · π - 1 2 = 3 - ب 3 · π - 1 3 + ب 3 · π - 1 .

الآن دعنا ننتقل إلى التحليل تحولات الهوية، والتي يمكن تطبيقها على وجه التحديد على تعبيرات الطاقة.

العمل مع القاعدة والأس

يمكن أن تحتوي الدرجة الموجودة في الأساس أو الأس على أرقام ومتغيرات وبعض التعبيرات. على سبيل المثال، (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7و . العمل مع مثل هذه السجلات أمر صعب. من الأسهل كثيرًا استبدال التعبير الموجود في أساس الدرجة أو التعبير الموجود في الأس بتعبير متساوٍ تمامًا.

يتم إجراء تحويلات الدرجة والأس وفقًا للقواعد المعروفة لدينا بشكل منفصل عن بعضها البعض. الشيء الأكثر أهمية هو أن التحويل يؤدي إلى تعبير مطابق للعبارة الأصلية.

الغرض من التحويلات هو تبسيط التعبير الأصلي أو الحصول على حل للمشكلة. على سبيل المثال، في المثال الذي قدمناه أعلاه، (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 يمكنك اتباع الخطوات للوصول إلى الدرجة 4 , 1 1 , 3 . ومن خلال فتح القوسين، يمكننا تقديم مصطلحات مشابهة لأساس القوة (أ · (أ + 1) − أ 2) 2 · (س + 1)واحصل على تعبير قوي عن المزيد نوع بسيط أ 2 (س + 1).

استخدام خصائص الدرجة

تعد خصائص القوى، المكتوبة في صورة مساواة، إحدى الأدوات الرئيسية لتحويل التعبيرات بالقوى. ونعرض هنا أهمها مع مراعاة ذلك أو ب- هذه أي أرقام إيجابية، أ صو ق- الأعداد الحقيقية التعسفية:

التعريف 2

• أ ص · أ ق = أ ص + ق ;
• أ ص: أ ق = أ ص − ق ;
• (أ · ب) ص = أ ص · ب ص ;
• (أ: ب) ص = أ ص: ب ص ;
• (أ ص) س = أ ص · ق .

في الحالات التي نتعامل فيها مع طبيعي، كامل، مؤشرات إيجابيةدرجات، والقيود المفروضة على الأرقام أ و ب يمكن أن تكون أقل صرامة بكثير. لذلك، على سبيل المثال، إذا نظرنا إلى المساواة أ م · أ ن = أ م + ن، أين مو ن – الأعداد الطبيعية، فسيكون صحيحًا بالنسبة لأي قيم a، سواء كانت إيجابية أو سلبية، وكذلك بالنسبة لـ أ = 0.

يمكنك تطبيق خصائص القوى دون قيود في الحالات التي تكون فيها أسس القوى موجبة أو تحتوي على متغيرات القيم المقبولةوهو من النوع الذي لا يقبله إلا الأساس عليه القيم الإيجابية. في الواقع، داخل المنهج المدرسيفي الرياضيات، مهمة الطالب هي اختيار خاصية مناسبة وتطبيقها بشكل صحيح.

عند التحضير لدخول الجامعات، قد تواجه مشكلات يؤدي فيها التطبيق غير الدقيق للخصائص إلى تضييق نطاق التعلم وصعوبات أخرى في حلها. في هذا القسموسوف ندرس حالتين فقط من هذا القبيل. يمكن العثور على مزيد من المعلومات حول هذا الموضوع في موضوع "تحويل التعبيرات باستخدام خصائص القوى".

مثال 4

تخيل التعبير أ 2 , 5 (أ 2) − 3: أ − 5 , 5على شكل قوة ذات قاعدة أ.

حل

أولًا، نستخدم خاصية الأسية ونحول العامل الثاني باستخدامها (أ 2) - 3. ثم نستخدم خواص ضرب وقسمة القوى ذات الأساس نفسه:

أ 2 , 5 · أ − 6: أ − 5 , 5 = أ 2 , 5 − 6: أ − 5 , 5 = أ − 3 , 5: أ − 5 , 5 = أ − 3 , 5 − (− 5 , 5) = أ 2 .

إجابة:أ 2, 5 · (أ 2) − 3: أ − 5, 5 = أ 2.

يمكن تحويل تعبيرات القوة وفقًا لخاصية القوى من اليسار إلى اليمين وفي الاتجاه المعاكس.

مثال 5

أوجد قيمة تعبير القوة 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

حل

إذا طبقنا المساواة (أ · ب) ص = أ ص · ب ص، من اليمين إلى اليسار، نحصل على حاصل الضرب بالشكل 3 · 7 1 3 · 21 2 3 ثم 21 1 3 · 21 2 3 . دعونا نضيف الأسس عند ضرب القوى بها لنفس الأسباب: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.

هناك طريقة أخرى لتنفيذ التحول:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

إجابة: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

مثال 6

نظرا لتعبير السلطة أ 1، 5 − أ 0، 5 − 6، أدخل متغيرًا جديدًا ر = 0.5.

حل

دعونا نتخيل الدرجة أ 1، 5كيف 0.5 3. استخدام خاصية الدرجات إلى الدرجات (أ ص) ق = أ ص · قمن اليمين إلى اليسار ونحصل على (أ 0, 5) 3: أ 1, 5 − أ 0, 5 − 6 = (أ 0, 5) 3 − أ 0, 5 − 6. يمكنك بسهولة إدخال متغير جديد في التعبير الناتج ر = 0.5: نحصل عليها ر 3 – ر − 6.

إجابة:ر 3 − ر − 6 .

تحويل الكسور التي تحتوي على القوى

عادةً ما نتعامل مع نسختين من تعبيرات القوة التي تحتوي على كسور: يمثل التعبير كسرًا بقوة أو يحتوي على مثل هذا الكسر. جميع التحويلات الأساسية للكسور قابلة للتطبيق على هذه التعبيرات دون قيود. يمكن تصغيرها أو إحضارها إلى مقام جديد أو العمل بشكل منفصل مع البسط والمقام. دعونا نوضح ذلك بالأمثلة.

مثال 7

بسّط تعبير القوة 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .

حل

نحن نتعامل مع كسر، لذلك سنقوم بإجراء التحويلات في كل من البسط والمقام:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 × 2 - 3 - 3 × 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - × 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - س 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - س 2

ضع علامة الطرح أمام الكسر لتغيير إشارة المقام: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

إجابة: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 × 2 - 3 - 3 × 2 = - 12 2 + × 2

يتم تقليل الكسور التي تحتوي على القوى إلى مقام جديد بنفس الطريقة الكسور العقلانية. للقيام بذلك، تحتاج إلى إيجاد عامل إضافي وضرب بسط ومقام الكسر به. من الضروري تحديد عامل إضافي بحيث لا يصل إلى الصفر لأي قيم للمتغيرات من متغيرات ODZ للتعبير الأصلي.

مثال 8

اختصر الكسور إلى مقام جديد: أ) أ + 1 أ 0، 7 إلى المقام أ, ب) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · 1 6 + 4 · y 1 3 إلى المقام x + 8 · y 1 2 .

حل

أ) دعونا نختار عاملاً يسمح لنا بالاختزال إلى مقام جديد. أ 0، 7 أ 0، 3 = أ 0، 7 + 0، 3 = أ،ولذلك، كعامل إضافي سوف نأخذ أ 0، 3. يشمل نطاق القيم المسموح بها للمتغير a مجموعة جميع القيم الإيجابية أرقام حقيقية. شهادة في هذا المجال أ 0، 3لا يذهب إلى الصفر.

دعونا نضرب بسط ومقام الكسر في أ 0، 3:

أ + 1 أ 0، 7 = أ + 1 أ 0، 3 أ 0، 7 أ 0، 3 = أ + 1 أ 0، 3 أ

ب) دعونا ننتبه إلى المقام:

س 2 3 - 2 س 1 3 ص 1 6 + 4 ص 1 3 = = س 1 3 2 - س 1 3 2 ص 1 6 + 2 ص 1 6 2

لنضرب هذا التعبير في x 1 3 + 2 · y 1 6، نحصل على مجموع المكعبات x 1 3 و 2 · y 1 6، أي. س + 8 · ص 1 2 . هذا هو لنا قاسم جديد، والتي نحتاج إلى تقليل الكسر الأصلي إليها.

هكذا وجدنا العامل الإضافي x 1 3 + 2 · 1 6 . على نطاق القيم المسموح بها للمتغيرات سو ذالتعبير x 1 3 + 2 · y 1 6 لا يختفي، لذلك يمكننا ضرب بسط الكسر ومقامه به:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 ص 1 6 + 4 ص 1 3 = = x 1 3 + 2 ص 1 6 x 1 3 + 2 ص 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 ص 1 6 + 4 ص 1 3 = = س 1 3 + 2 ص 1 6 x 1 3 3 + 2 ص 1 6 3 = س 1 3 + 2 ص 1 6 س + 8 ص 1 2

إجابة:أ) أ + 1 أ 0، 7 = أ + 1 أ 0، 3 أ، ب) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 ص 1 6 + 4 ص 1 3 = x 1 3 + 2 ص 1 6 x + 8 · ص 1 2 .

مثال 9

اختزل الكسر: أ) 30 × 3 (س 0، 5 + 1) × + 2 × 1 1 3 - 5 3 45 × 0، 5 + 1 2 × + 2 × 1 1 3 - 5 3، ب) أ 1 4 - ب 1 4 أ 1 2 - ب 1 2.

حل

أ) نستخدم القاسم المشترك الأكبر (GCD)، والذي يمكننا من خلاله تقليل البسط والمقام. بالنسبة للرقمين 30 و45، يكون العدد 15. يمكننا أيضًا إجراء تخفيض بواسطة ×0.5+1وعلى x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 .

نحصل على:

30 × 3 (× 0، 5 + 1) × + 2 × 1 1 3 - 5 3 45 × 0، 5 + 1 2 × + 2 × 1 1 3 - 5 3 = 2 × 3 3 (× 0، 5 + 1)

ب) هنا وجود عوامل متطابقة ليس واضحا. سيتعين عليك إجراء بعض التحويلات للحصول على نفس العوامل في البسط والمقام. للقيام بذلك، نقوم بتوسيع المقام باستخدام صيغة فرق المربعات:

أ 1 4 - ب 1 4 أ 1 2 - ب 1 2 = أ 1 4 - ب 1 4 أ 1 4 2 - ب 1 2 2 = = أ 1 4 - ب 1 4 أ 1 4 + ب 1 4 أ 1 4 - ب 1 4 = 1 أ 1 4 + ب 1 4

إجابة:أ) 30 × 3 (× 0، 5 + 1) × + 2 × 1 1 3 - 5 3 45 × 0، 5 + 1 2 × + 2 × 1 1 3 - 5 3 = 2 · × 3 3 · (س 0 , 5 + 1) , ب) أ 1 4 - ب 1 4 أ 1 2 - ب 1 2 = 1 أ 1 4 + ب 1 4 .

تتضمن العمليات الأساسية مع الكسور تحويل الكسور إلى مقام جديد وتقليل الكسور. يتم تنفيذ كلا الإجراءين وفقًا لعدد من القواعد. عند جمع وطرح الكسور، يتم أولاً اختزال الكسور إلى القاسم المشترك، وبعد ذلك يتم تنفيذ العمليات (الجمع أو الطرح) مع البسطين. يبقى القاسم كما هو. نتيجة أفعالنا هي جزء جديد، البسط هو حاصل ضرب البسطين، والمقام هو حاصل ضرب المقامات.

مثال 10

قم بتنفيذ الخطوات x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

حل

لنبدأ بطرح الكسور الموجودة بين قوسين. فلنضعهم في قاسم مشترك:

× 1 2 - 1 × 1 2 + 1

دعونا نطرح البسطين:

س 1 2 + 1 س 1 2 - 1 - س 1 2 - 1 س 1 2 + 1 1 س 1 2 = = س 1 2 + 1 س 1 2 + 1 س 1 2 - 1 س 1 2 + 1 - س 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 × 1 2 + 1 1 × 1 2

الآن نضرب الكسور:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

دعونا نقلل بمقدار قوة × 1 2، نحصل على 4 × 1 2 - 1 · × 1 2 + 1 .

بالإضافة إلى ذلك، يمكنك تبسيط تعبير القوة في المقام باستخدام صيغة فرق المربعات: المربعات: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .

إجابة:س 1 2 + 1 س 1 2 - 1 - س 1 2 - 1 س 1 2 + 1 1 س 1 2 = 4 س - 1

مثال 11

بسّط تعبير قانون القوى x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
حل

يمكننا تقليل الكسر بواسطة (× ٢ ، ٧ + ١) ٢. نحصل على الكسر x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

لنواصل تحويل قوى x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1. الآن يمكنك استخدام خاصية تقسيم القوى بنفس الأساس: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 ، 7 + 1 .

ننتقل من العمل الأخيرللكسر x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

إجابة:س 3 4 × 2، 7 + 1 2 س - 5 8 × 2، 7 + 1 3 = × 1 3 8 × 2، 7 + 1.

المضاعفات مع المؤشرات السلبيةفي معظم الحالات، يكون أكثر ملاءمة لنقل الدرجات من البسط إلى المقام والعودة، وتغيير علامة الأس. يتيح لك هذا الإجراء تبسيط القرار الإضافي. لنعطي مثالاً: يمكن استبدال تعبير القوة (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 بـ x 3 · (x + 1) 0, 2.

تحويل التعبيرات مع الجذور والقوى

في المشاكل هناك تعبيرات قوة لا تحتوي فقط على صلاحيات المؤشرات الكسريةبل والجذور أيضًا. من المستحسن اختصار هذه التعبيرات إلى الجذور فقط أو إلى القوى فقط. يُفضل الحصول على الدرجات العلمية لأنها أسهل في العمل. يُفضل هذا الانتقال بشكل خاص عندما يسمح لك ODZ للمتغيرات الخاصة بالتعبير الأصلي باستبدال الجذور بالقوى دون الحاجة إلى الوصول إلى المعامل أو تقسيم ODZ إلى عدة فترات.

مثال 12

عبر عن التعبير x 1 9 · x · x 3 6 كقوة.

حل

نطاق القيم المتغيرة المسموح بها سيتم تعريفه من خلال اثنين من عدم المساواة س ≥ 0و x x 3 ≥ 0، والتي تحدد المجموعة [ 0 , + ∞) .

في هذه المجموعة لنا الحق في الانتقال من الجذور إلى القوى:

س 1 9 · س · س 3 6 = س 1 9 · س · س 1 3 1 6

باستخدام خصائص القوى، نقوم بتبسيط تعبير القوة الناتج.

× 1 9 × × 1 3 1 6 = × 1 9 × 1 6 × 1 3 1 6 = × 1 9 × 1 6 × 1 1 3 6 = = × 1 9 × 1 6 × 1 18 = × 1 9 + 1 6 + 1 18 = س 1 3

إجابة: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

تحويل القوى مع المتغيرات في الأس

من السهل جدًا إجراء هذه التحويلات إذا كنت تستخدم خصائص الدرجة بشكل صحيح. على سبيل المثال، 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

يمكننا الاستعاضة عن ذلك بمنتج القوى، التي تكون أسسها مجموع متغير ما وعدد. على الجانب الأيسر، يمكن القيام بذلك باستخدام الحدين الأول والأخير من الجانب الأيسر من التعبير:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

الآن دعونا نقسم طرفي المساواة على 7 2 س. هذا التعبير للمتغير x يأخذ القيم الموجبة فقط:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0, 5 5 2 × 7 2 × - 3 5 × 7 × 7 × 7 × - 2 7 2 × 7 2 × = 0

دعونا نبسط الكسور بالقوى، نحصل على: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.

أخيرًا، يتم استبدال نسبة القوى التي لها نفس الأسس بقوى النسب، مما ينتج عنه المعادلة 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0، أي ما يعادل 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .

دعونا نقدم متغيرًا جديدًا t = 5 7 x مما يقلل الحل إلى الأصل المعادلة الأسيةلحل المعادلة التربيعية 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

تحويل التعبيرات مع القوى واللوغاريتمات

التعبيرات التي تحتوي على القوى واللوغاريتمات موجودة أيضًا في المشكلات. مثال على هذه التعبيرات: 1 4 1 - 5 · سجل 2 3 أو سجل 3 27 9 + 5 (1 - سجل 3 5) · سجل 5 3. تحويل تعبيرات مماثلةيتم تنفيذها باستخدام أساليب وخصائص اللوغاريتمات التي تمت مناقشتها أعلاه، والتي ناقشناها بالتفصيل في موضوع "تحويل التعبيرات اللوغاريتمية".

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

ملاحظة 1

يمكن كتابة دالة منطقية باستخدام تعبير منطقي ويمكن بعد ذلك نقلها إلى دائرة منطقية. من الضروري تبسيط التعبيرات المنطقية للحصول على أبسط دائرة منطقية ممكنة (وبالتالي أرخص). في الأساس، وظيفة منطقية، وتعبير منطقي و الدائرة المنطقية- هذه ثلاثة لغات مختلفة، تحكي عن كيان واحد.

لتبسيط التعبيرات المنطقيةيستخدم قوانين منطق الجبر.

تشبه بعض التحويلات تحويلات الصيغ في الجبر الكلاسيكي (مع إخراج العامل المشترك من الأقواس، باستخدام التبادلية و القوانين التوافقيةإلخ)، وتعتمد التحولات الأخرى على خصائص لا تمتلكها عمليات الجبر الكلاسيكي (استخدام قانون التوزيع للربط، وقوانين الامتصاص، واللصق، وقواعد دي مورغان، وما إلى ذلك).

تمت صياغة قوانين الجبر المنطقية للأساسيات العمليات المنطقية- "NOT" - الانقلاب (النفي)، "AND" - الربط (الضرب المنطقي) و"OR" - الانفصال (الإضافة المنطقية).

قانون النفي المزدوج يعني أن عملية "ليس" قابلة للعكس: إذا قمت بتطبيقها مرتين، فلن تتغير القيمة المنطقية في النهاية.

ينص قانون الوسط المستبعد على أن أي تعبير منطقي يكون صحيحًا أو خاطئًا ("لا يوجد ثالث"). لذلك، إذا كان $A=1$، فإن $\bar(A)=0$ (والعكس صحيح)، مما يعني أن اقتران هذه الكميات يساوي دائمًا الصفر، والانفصال دائمًا يساوي واحدًا.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

دعونا نبسط هذه الصيغة:

الشكل 3.

ويترتب على ذلك أن $A = 0$، $B = 1$، $C = 1$، $D = 1$.

إجابة:الطلاب $B$ و$C$ و$D$ يلعبون الشطرنج، لكن الطالب $A$ لا يلعب.

عند تبسيط التعبيرات المنطقية، يمكنك تنفيذ تسلسل الإجراءات التالي:

1. استبدال كافة العمليات "غير الأساسية" (التكافؤ، التضمين، الحصرية OR، إلخ) بعباراتها من خلال العمليات الأساسيةالانقلاب والاقتران والانفصال.
2. قم بتوسيع انقلابات التعبيرات المعقدة وفقًا لقواعد De Morgan بحيث تظل عمليات النفي للمتغيرات الفردية فقط.
3. ثم قم بتبسيط التعبير باستخدام الأقواس المفتوحة، مع وضع العوامل المشتركة خارج الأقواس وقوانين الجبر المنطقي الأخرى.

مثال 2

وهنا يتم استخدام قاعدة دي مورغان، وقانون التوزيع، وقانون الوسط المستبعد، والقانون التبادلي، وقانون التكرار، ومرة ​​أخرى القانون التبادلي وقانون الامتصاص على التوالي.

في بداية الدرس سوف نقوم بمراجعة الخصائص الأساسية للجذور التربيعية، وبعد ذلك سننظر في العديد منها أمثلة معقدةلتبسيط العبارات التي تحتوي على جذور تربيعية.

موضوع:وظيفة. ملكيات الجذر التربيعي

درس:تحويل وتبسيط التعبيرات الأكثر تعقيدًا باستخدام الجذور

1. مراجعة خصائص الجذور التربيعية

دعونا نكرر النظرية بإيجاز ونتذكر الخصائص الأساسية للجذور التربيعية.

خصائص الجذور التربيعية:

1. لذلك؛

3. ;

4. .

2. أمثلة لتبسيط العبارات ذات الجذور

دعنا ننتقل إلى أمثلة لاستخدام هذه الخصائص.

مثال 1: تبسيط التعبير .

حل. للتبسيط، يجب تحليل العدد 120 إلى عوامل أولية:

سنكشف عن مربع المجموع باستخدام الصيغة المناسبة:

مثال 2: تبسيط التعبير .

حل. دعونا نأخذ في الاعتبار أن هذا التعبير لا معنى له للجميع القيم الممكنةمتغير، لأنه في هذا التعبيروجود الجذور التربيعية والكسور موجود، مما يؤدي إلى "تضييق" نطاق القيم المقبولة. أودز: ().

لنجلب التعبير بين قوسين إلى القاسم المشترك ونكتب بسط الكسر الأخير على شكل فرق المربعات:

إجابة. في.

مثال 3: تبسيط التعبير .

حل. يمكن ملاحظة أن شكل قوس البسط الثاني غير مناسب ويحتاج إلى تبسيطه، فلنحاول تحليله باستخدام طريقة التجميع.

لتكون قادرة على تنفيذ المضاعف المشتركلقد قمنا بتبسيط الجذور عن طريق تحليلها. دعنا نستبدل التعبير الناتج في الكسر الأصلي:

بعد تبسيط الكسر، نطبق صيغة فرق المربعات.

3. مثال للتخلص من اللاعقلانية

مثال 4. حرر نفسك من اللاعقلانية (الجذور) في المقام: أ) ; ب) .

حل. أ) للتخلص من اللاعقلانية في المقام نستخدم الطريقة القياسيةضرب كل من بسط ومقام الكسر في العامل المرافق للمقام (نفس التعبير، ولكن بإشارة معاكسة). يتم ذلك لتكملة مقام الكسر بفرق المربعات، مما يسمح لك بالتخلص من الجذور في المقام. دعونا نفعل ذلك في حالتنا:

ب) تنفيذ إجراءات مماثلة:

4. مثال لإثبات وتحديد المربع الكامل في جذري مركب

مثال 5. إثبات المساواة .

دليل. دعونا نستخدم تعريف الجذر التربيعي، والذي يترتب عليه أن مربع التعبير الأيمن يجب أن يكون مساوياً للتعبير الجذري:

. دعونا نفتح الأقواس باستخدام صيغة مربع المجموع:

، لقد حصلنا على المساواة الصحيحة.

ثبت.

مثال 6. تبسيط التعبير.

حل. يُطلق على هذا التعبير عادة اسم الجذر المعقد (الجذر تحت الجذر). في في هذا المثالتحتاج إلى التخمين لعزل مربع كامل عن التعبير الجذري. للقيام بذلك، لاحظ أنه من بين المصطلحين، فهو مرشح لدور المنتج المزدوج في صيغة الفرق المربع (الفرق، حيث يوجد ناقص). فلنكتبها على شكل المنتج التالي: ، ثم دور أحد المصطلحات مربع كاملالمطالبات ، وبالنسبة للدور الثاني - 1.

دعونا نستبدل هذا التعبير تحت الجذر.

في كثير من الأحيان تتطلب المهام إجابة مبسطة. على الرغم من أن الإجابات المبسطة وغير المبسطة صحيحة، إلا أن معلمك قد يخفض درجتك إذا لم تقم بتبسيط إجابتك. علاوة على ذلك، فإن التعامل مع التعبير الرياضي المبسط أسهل بكثير. لذلك، من المهم جدًا تعلم كيفية تبسيط التعبيرات.

خطوات

الترتيب الصحيح للعمليات الحسابية

1. تذكر الترتيب الصحيح لإجراء العمليات الحسابية.عند التبسيط التعبير الرياضييجب مراعاتها ترتيب معينالأفعال، لأن البعض العمليات الحسابيةتأخذ الأولوية على الآخرين ويجب القيام بها أولاً (في الحقيقة، عدم اتباع الترتيب الصحيح للعمليات سيقودك إلى نتيجة خاطئة). تذكر الترتيب التالي للعمليات الرياضية: التعبير بين قوسين، الأس، الضرب، القسمة، الجمع، الطرح.

   • لاحظ أن معرفة الترتيب الصحيح للعمليات سيسمح لك بتبسيط معظم التعبيرات البسيطة، ولكن لتبسيط كثير الحدود (تعبير بمتغير) تحتاج إلى معرفة حيل خاصة (انظر القسم التالي).

2. ابدأ بحل التعبير الموجود بين قوسين.في الرياضيات، تشير الأقواس إلى أنه يجب تقييم التعبير الموجود داخلها أولاً. لذلك، عند تبسيط أي تعبير رياضي، ابدأ بحل التعبير الموجود بين قوسين (لا يهم العمليات التي تحتاج إلى تنفيذها داخل القوسين). لكن تذكر أنه عند التعامل مع تعبير بين قوسين، يجب عليك اتباع ترتيب العمليات، أي أن المصطلحات الموجودة بين قوسين يتم أولاً ضربها وتقسيمها وإضافتها وطرحها وما إلى ذلك.

   • على سبيل المثال، دعونا نبسط التعبير 2س + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). هنا نبدأ بالتعبيرات الموجودة بين قوسين: 5 + 2 = 7 و 3 + 4/2 = 3 + 2 = 5.
     • يتم تبسيط التعبير الموجود في الزوج الثاني من الأقواس إلى 5 لأنه يجب تقسيم 4/2 أولاً (وفقًا للترتيب الصحيح للعمليات). إذا لم تتبع هذا الترتيب، فستحصل على الإجابة الخاطئة: 3 + 4 = 7 و7 ÷ 2 = 7/2.
   • إذا كان هناك زوج آخر من الأقواس، ابدأ في التبسيط عن طريق حل التعبير الموجود بين القوسين الداخليين ثم انتقل إلى حل التعبير الموجود بين القوسين الخارجيين.

3. الأس.بعد حل التعبيرات الموجودة بين قوسين، انتقل إلى الأسي (تذكر أن القوة لها أس وقاعدة). ارفع التعبير (أو الرقم) المقابل إلى قوة واستبدل النتيجة بالتعبير المعطى لك.

   • في مثالنا، التعبير (الرقم) الوحيد للأس هو 3 2: 3 2 = 9. في التعبير المعطى لك، استبدل 3 2 بـ 9 وستحصل على: 2x + 4(7) + 9 - 5.

4. ضاعف.تذكر أنه يمكن تمثيل عملية الضرب بالرموز التالية: "x" أو "∙" أو "*". ولكن إذا لم تكن هناك رموز بين الرقم والمتغير (على سبيل المثال، 2x) أو بين الرقم والرقم الموجود بين قوسين (على سبيل المثال، 4(7))، فهذه أيضًا عملية ضرب.

   • في مثالنا، هناك عمليتان للضرب: 2x (اثنتان مضروبتان في المتغير "x") و4(7) (أربعة مضروبة في سبعة). نحن لا نعرف قيمة x، لذلك سنترك التعبير 2x كما هو. 4(7) = 4 × 7 = 28. الآن يمكنك إعادة كتابة التعبير المعطى لك على النحو التالي: 2x + 28 + 9 - 5.

5. قسمة.تذكر أنه يمكن تمثيل عملية القسمة بالرموز التالية: "/" أو "÷" أو "-" (قد ترى هذا الحرف الأخير في شكل كسور). على سبيل المثال، 3/4 يساوي ثلاثة مقسومًا على أربعة.

   • في مثالنا، لم تعد هناك عملية قسمة، لأنك قمت بالفعل بقسمة 4 على 2 (4/2) عند حل التعبير بين قوسين. حتى تتمكن من الذهاب إلى الخطوة التالية. تذكر أن معظم التعبيرات لا تحتوي على جميع العمليات الرياضية (بعضها فقط).

6. طية.عند إضافة مصطلحات تعبير، يمكنك البدء بالمصطلح الموجود في الأبعد (إلى اليسار)، أو يمكنك إضافة المصطلحات التي يمكن إضافتها بسهولة أولاً. على سبيل المثال، في التعبير 49 + 29 + 51 +71، من الأسهل أولاً إضافة 49 + 51 = 100، ثم 29 + 71 = 100 وأخيرًا 100 + 100 = 200. ومن الأصعب بكثير إضافة مثل هذا: 49 + 29 = 78؛ 78 + 51 = 129؛ 129 + 71 = 200.

   • في مثالنا 2x + 28 + 9 + 5 هناك عمليتان جمع. لنبدأ بالحد الخارجي (الأيسر): 2x + 28؛ لا يمكنك إضافة 2x و28 لأنك لا تعرف قيمة المتغير "x". لذلك، أضف 28 + 9 = 37. الآن يمكن إعادة كتابة التعبير على النحو التالي: 2x + 37 - 5.

7. طرح.هذا العملية الأخيرة V بالترتيب الصحيحأداء العمليات الحسابية. في هذه المرحلة يمكنك أيضا إضافة أرقام سلبيةأو قم بذلك في مرحلة إضافة الأعضاء - وهذا لن يؤثر على النتيجة النهائية بأي شكل من الأشكال.

   • في مثالنا 2x + 37 - 5 توجد عملية طرح واحدة فقط: 37 - 5 = 32.

8. في هذه المرحلة، بعد إجراء جميع العمليات الحسابية، يجب أن تحصل على تعبير مبسط.أما إذا كان التعبير المعطى لك يحتوي على متغير واحد أو أكثر، فتذكر أن الحد ذو المتغير سيبقى كما هو. يتضمن حل (وليس تبسيط) تعبير بمتغير إيجاد قيمة هذا المتغير. في بعض الأحيان يمكن تبسيط التعبيرات المتغيرة باستخدام طرق خاصة(انظر القسم التالي).

   • في مثالنا، الإجابة النهائية هي 2x + 32. لا يمكنك إضافة الحدين حتى تعرف قيمة المتغير "x". بمجرد معرفة قيمة المتغير، يمكنك بسهولة تبسيط هذه ذات الحدين.

   تبسيط التعبيرات المعقدة

   1. إضافة مصطلحات مماثلة.تذكر أنه يمكنك فقط طرح وإضافة مصطلحات متشابهة، أي المصطلحات التي لها نفس المتغير و نفس المؤشردرجات. على سبيل المثال، يمكنك إضافة 7x و5x، لكن لا يمكنك إضافة 7x و5x2 (نظرًا لاختلاف الأسس).

      • تنطبق هذه القاعدة أيضًا على الأعضاء ذوي المتغيرات المتعددة. على سبيل المثال، يمكنك إضافة 2xy 2 و -3xy 2 ، لكن لا يمكنك إضافة 2xy 2 و -3x 2 y أو 2xy 2 و -3y 2 .
      • لننظر إلى مثال: x 2 + 3x + 6 - 8x. الحدود المتشابهة هنا هي 3x و8x، لذا يمكن جمعهما معًا. يبدو التعبير المبسط كما يلي: x 2 - 5x + 6.

   2. تبسيط الكسر العددي.في مثل هذا الكسر، يحتوي كل من البسط والمقام على أرقام (بدون متغير). الكسر العدديمبسطة بعدة طرق. أولاً، قم ببساطة بتقسيم المقام على البسط. ثانيًا، قم بتحليل البسط والمقام وألغي العوامل المتشابهة (نظرًا لأن قسمة الرقم على نفسه سيعطيك 1). بمعنى آخر، إذا كان لكل من البسط والمقام نفس العامل، فيمكنك إسقاطه والحصول على كسر مبسط.

      • على سبيل المثال، النظر في الكسر 36/60. باستخدام الآلة الحاسبة، اقسم 36 على 60 لتحصل على 0.6. لكن يمكنك تبسيط هذا الكسر بطريقة أخرى عن طريق تحليل البسط والمقام: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). بما أن 6/6 = 1، فإن الكسر المبسط هو: 1 × 6/10 = 6/10. لكن يمكن أيضًا تبسيط هذا الكسر: 6/10 = (2x3)/(2*5) = (2/2)*(3/5) = 3/5.

   3. إذا كان الكسر يحتوي على متغير، فيمكنك إلغاء العوامل المتشابهة مع المتغير.قم بتحليل كل من البسط والمقام وألغي العوامل المتشابهة، حتى لو كانت تحتوي على متغير (تذكر أن العوامل المتشابهة هنا قد تحتوي أو لا تحتوي على متغير).

      • لننظر إلى مثال: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). يمكن إعادة كتابة هذا التعبير (تحليله) بالشكل: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). بما أن الحد 3x موجود في كل من البسط والمقام، فيمكنك حذفه للحصول على تعبير مبسط: (x + 1)/(5 - x). لننظر إلى مثال آخر: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • يرجى ملاحظة أنه لا يمكنك إلغاء أي حدود - يتم إلغاء العوامل المتطابقة فقط الموجودة في كل من البسط والمقام. على سبيل المثال، في التعبير (x(x + 2))/x، المتغير (العامل) "x" موجود في كل من البسط والمقام، لذا يمكن تبسيط "x" للحصول على تعبير مبسط: (x + 2)/1 = x + 2. ومع ذلك، في التعبير (x + 2)/x، لا يمكن تبسيط المتغير "x" (نظرًا لأن "x" ليس عاملاً في البسط).

   4. افتح الأقواس.للقيام بذلك، اضرب الحد الموجود خارج الأقواس في كل حد داخل الأقواس. في بعض الأحيان يساعد على التبسيط تعبير معقد. وهذا ينطبق على كلا الأعضاء الذين هم الأعداد الأوليةوإلى الأعضاء التي تحتوي على المتغير.

      • على سبيل المثال، 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24، و3x(x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • يرجى ملاحظة أنه في التعبيرات الكسريةليست هناك حاجة لفتح الأقواس إذا كان العامل نفسه موجودًا في كل من البسط والمقام. على سبيل المثال، في التعبير (3(x 2 + 8))/3x ليست هناك حاجة لفك الأقواس، حيث يمكنك هنا إلغاء العامل 3 والحصول على التعبير المبسط (x 2 + 8)/x. هذا التعبير أسهل في العمل؛ إذا قمت بفك الأقواس، فستحصل على التعبير المعقد التالي: (3x 3 + 24x)/3x.

   5. عامل كثيرات الحدود.باستخدام هذه الطريقة، يمكنك تبسيط بعض التعبيرات ومتعددات الحدود. التخصيم هو عملية مقابل الفتحبين قوسين، أي أن التعبير مكتوب كنتيجة لتعبيرين، كل منهما محاط بين قوسين. في بعض الحالات، يمكن أن يقلل التخصيم نفس التعبير. في حالات خاصة(عادة مع المعادلات التربيعية) سيسمح لك التخصيم بحل المعادلة.

      • خذ بعين الاعتبار التعبير x 2 - 5x + 6. وقد تم تحليله إلى عوامل: (x - 3)(x - 2). وبالتالي، على سبيل المثال، إذا تم إعطاء التعبير (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2))، فيمكنك إعادة كتابته بالشكل (x - 3)(x - 2)/(2(x) - 2)))، اختصر التعبير (x - 2) واحصل على تعبير مبسط (x - 3)/2.
      • يتم استخدام كثيرات الحدود إلى العوامل لحل معادلات (العثور على الجذور) (المعادلة هي كثيرة الحدود تساوي 0). على سبيل المثال، ضع في اعتبارك المعادلة x 2 - 5x + 6 = 0. وبتحليلها إلى عوامل، تحصل على (x - 3)(x - 2) = 0. وبما أن أي تعبير مضروب في 0 يساوي 0، يمكننا كتابته هكذا هذا: x - 3 = 0 و x - 2 = 0. وبالتالي، x = 3 و x = 2، أي أنك وجدت جذرين للمعادلة المعطاة لك.

في القرن الخامس قبل الميلاد، صاغ الفيلسوف اليوناني القديم زينون الإيلي مفارقاته الشهيرة، وأشهرها مفارقات “أخيل والسلحفاة”. وهنا ما يبدو وكأنه:

لنفترض أن أخيل يجري أسرع بعشر مرات من السلحفاة ويتخلف عنها بألف خطوة. خلال الوقت الذي يستغرقه أخيل في قطع هذه المسافة، ستزحف السلحفاة مائة خطوة في نفس الاتجاه. فعندما يركض أخيل مائة خطوة، تزحف السلحفاة عشر خطوات أخرى، وهكذا. ستستمر العملية إلى ما لا نهاية، ولن يتمكن أخيل من اللحاق بالسلحفاة أبدًا.

أصبح هذا المنطق بمثابة صدمة منطقية لجميع الأجيال اللاحقة. أرسطو، ديوجين، كانط، هيجل، هيلبرت... كلهم ​​اعتبروا معضلة زينون بشكل أو بآخر. وكانت الصدمة قوية لدرجة " ...وتستمر المناقشات حتى يومنا هذا، للتوصل إلى رأي مشترك حول جوهر المفارقات المجتمع العلميوحتى الآن لم يكن ذلك ممكنا... لقد شاركنا في دراسة الموضوع التحليل الرياضي، مجموعة النظرية، المادية الجديدة و المقاربات الفلسفية; ولم يصبح أي منها حلاً مقبولاً بشكل عام للمشكلة ..."[ويكيبيديا، "أبوريا زينو". الجميع يفهم أنه يتم خداعهم، ولكن لا أحد يفهم ما يتكون الخداع.

من وجهة نظر رياضية، أظهر زينون في كتابه المحرج بوضوح الانتقال من الكمية إلى . يتضمن هذا الانتقال التطبيق بدلاً من التطبيقات الدائمة. بقدر ما أفهم، جهاز رياضيإن استخدام وحدات القياس المتغيرة إما أنه لم يتم تطويره بعد، أو أنه لم يتم تطبيقه على مفارقة زينون. إن تطبيق منطقنا المعتاد يقودنا إلى الفخ. نحن، بسبب الجمود في التفكير، نطبق وحدات زمنية ثابتة على القيمة المتبادلة. مع النقطة الماديةمن وجهة نظر يبدو الأمر وكأن الزمن يتباطأ حتى يتوقف تمامًا في اللحظة التي يلحق فيها أخيل بالسلحفاة. إذا توقف الزمن، لن يتمكن أخيل من التفوق على السلحفاة.

إذا قلبنا منطقنا المعتاد، فإن كل شيء يقع في مكانه. أخيل يركض مع سرعة ثابتة. كل جزء لاحق من طريقه أقصر بعشر مرات من الجزء السابق. وعليه فإن الوقت المستغرق في التغلب عليها أقل بعشر مرات من الوقت السابق. ولو طبقنا مفهوم "اللانهاية" في هذه الحالة، لصح أن نقول "أخيل سوف يلحق بالسلحفاة بسرعة لا متناهية".

كيفية تجنب هذا الفخ المنطقي؟ البقاء في وحدات ثابتةقياسات الزمن ولا تذهب إلى الكميات المتبادلة. في لغة زينو يبدو الأمر كما يلي:

في الوقت الذي يستغرقه أخيل في الجري ألف خطوة، ستزحف السلحفاة مائة خطوة في نفس الاتجاه. للفاصل الزمني التالي، يساوي الأولسيركض أخيل ألف خطوة أخرى، وستزحف السلحفاة مائة خطوة. والآن يتقدم أخيل على السلحفاة بثمانمائة خطوة.

يصف هذا النهج الواقع بشكل مناسب دون أي مفارقات منطقية. لكنها ليست كذلك الحل الكاملمشاكل. إن عبارة أينشتاين حول عدم مقاومة سرعة الضوء تشبه إلى حد كبير مقولة زينو "أخيل والسلحفاة". لا يزال يتعين علينا دراسة هذه المشكلة وإعادة التفكير فيها وحلها. ويجب البحث عن الحل ليس بأعداد كبيرة بلا حدود، بل بوحدات القياس.

تحكي aporia أخرى مثيرة للاهتمام لزينو عن سهم طائر:

السهم الطائر لا يتحرك، لأنه في كل لحظة من الزمن يكون ساكنًا، وبما أنه ساكن في كل لحظة من الزمن، فهو ساكن دائمًا.

في هذا aporia، يتم التغلب على المفارقة المنطقية بكل بساطة - يكفي توضيح أنه في كل لحظة من الزمن يكون السهم الطائر في حالة سكون عند نقاط مختلفة في الفضاء، وهو في الواقع حركة. هناك نقطة أخرى يجب الإشارة إليها هنا. من خلال صورة واحدة لسيارة على الطريق، من المستحيل تحديد حقيقة حركتها أو المسافة إليها. لتحديد ما إذا كانت السيارة تتحرك، تحتاج إلى صورتين تم التقاطهما من نفس النقطة لحظات مختلفةالوقت، لكن لا يمكن تحديد المسافة منهم. لتحديد المسافة إلى السيارة، تحتاج إلى صورتين مأخوذتين منها نقاط مختلفةالفضاء في وقت ما، ولكن من المستحيل تحديد حقيقة الحركة منها (بطبيعة الحال، لا تزال هناك حاجة إلى بيانات إضافية لإجراء العمليات الحسابية، وسوف يساعدك علم المثلثات). ما أريد أن أشير إليه اهتمام خاص، هو أن النقطتين في الزمان ونقطتين في المكان هما شيئان مختلفان ولا ينبغي الخلط بينهما، لأنهما يوفران فرصًا مختلفة للبحث.

الأربعاء 4 يوليو 2018

تم وصف الاختلافات بين المجموعة والمجموعات المتعددة بشكل جيد للغاية على ويكيبيديا. دعونا نرى.

كما ترون، "لا يمكن أن يكون هناك عنصرين متطابقين في مجموعة"، ولكن إذا كان هناك عناصر متطابقة في مجموعة، فإن هذه المجموعة تسمى "مجموعة متعددة". لن تفهم الكائنات العاقلة مثل هذا المنطق السخيف. هذا هو المستوى الببغاوات الناطقةوالقرود المدربة التي ليس لديها أي ذكاء من كلمة "تماما". يعمل علماء الرياضيات كمدربين عاديين، ويبشروننا بأفكارهم السخيفة.

في يوم من الأيام، كان المهندسون الذين بنوا الجسر في قارب تحت الجسر أثناء اختبار الجسر. وإذا انهار الجسر مات المهندس المتوسط ​​تحت أنقاض خلقه. وإذا كان الجسر قادرا على تحمل الأحمال، فقد قام المهندس الموهوب ببناء جسور أخرى.

مهما اختبأ علماء الرياضيات وراء عبارة "اهتموا بي، أنا في البيت"، أو بالأحرى "دراسات الرياضيات" مفاهيم مجردة"، هناك حبل سري واحد يربطهم بالواقع بشكل لا ينفصم. هذا الحبل السري هو المال. تقدم بطلبك النظرية الرياضيةمجموعات لعلماء الرياضيات أنفسهم.

لقد درسنا الرياضيات جيدًا ونحن الآن نجلس عند ماكينة تسجيل المدفوعات النقدية ونوزع الرواتب. لذلك يأتي إلينا عالم رياضيات من أجل ماله. نحسب له المبلغ بالكامل ونضعه على طاولتنا في أكوام مختلفة، حيث نضع فيها أوراقًا نقدية من نفس الفئة. ثم نأخذ ورقة واحدة من كل كومة ونسلمها إلى عالم الرياضيات" مجموعة رياضيةالرواتب." نوضح للرياضيين أنه لن يحصل على الفواتير المتبقية إلا عندما يثبت أن المجموعة التي لا تحتوي على عناصر متطابقة لا تساوي مجموعة ذات عناصر متطابقة. وهنا تبدأ المتعة.

بادئ ذي بدء، سيعمل منطق النواب: "هذا يمكن تطبيقه على الآخرين، ولكن ليس علي!" ثم سيبدأون في طمأنتنا بأن الأوراق النقدية من نفس الفئة لها أرقام فواتير مختلفة، مما يعني أنه لا يمكن اعتبارها نفس العناصر. حسنًا، لنحسب الرواتب بالعملات المعدنية - لا توجد أرقام على العملات المعدنية. هنا سيبدأ عالم الرياضيات في تذكر الفيزياء بشكل محموم: هناك عملات معدنية مختلفة كميات مختلفةالطين, الهيكل البلوريوترتيب الذرات في كل عملة فريد من نوعه...

والآن لدي أكثر سؤال مثير للاهتمام: أين هو الخط الذي تتحول بعده عناصر المجموعة المتعددة إلى عناصر مجموعة والعكس صحيح؟ مثل هذا الخط غير موجود - كل شيء يقرره الشامان، والعلم ليس قريبًا حتى من الكذب هنا.

انظر هنا. نختار ملاعب كرة القدم بنفس مساحة الملعب. مساحات الحقول هي نفسها - مما يعني أن لدينا مجموعة متعددة. لكن إذا نظرنا إلى أسماء هذه الملاعب نفسها، فسنحصل على الكثير منها، لأن الأسماء مختلفة. كما ترون، نفس مجموعة العناصر هي مجموعة ومتعددة. ما هو الصحيح؟ وهنا يقوم عالم الرياضيات الشامان الحاد بسحب الآس من الأوراق الرابحة من جعبته ويبدأ في إخبارنا إما عن مجموعة أو مجموعة متعددة. وفي كل الأحوال سيقنعنا بأنه على حق.

لفهم كيفية عمل الشامان الحديثين مع نظرية المجموعات، وربطها بالواقع، يكفي الإجابة على سؤال واحد: كيف تختلف عناصر مجموعة واحدة عن عناصر مجموعة أخرى؟ سأريكم، دون أي عبارة "لا يمكن تصورها كوحدة واحدة" أو "لا يمكن تصورها ككل واحد".

الأحد 18 مارس 2018

مجموع أرقام الرقم هو رقصة الشامان مع الدف، والتي لا علاقة لها بالرياضيات. نعم، في دروس الرياضيات، يتم تعليمنا كيفية العثور على مجموع أرقام الرقم واستخدامها، ولكن هذا هو السبب في أنهم شامان، لتعليم أحفادهم مهاراتهم وحكمتهم، وإلا فإن الشامان سوف يموتون ببساطة.

هل تحتاج إلى دليل؟ افتح ويكيبيديا وحاول العثور على صفحة "مجموع أرقام الرقم". هي غير موجودة. لا توجد صيغة في الرياضيات يمكن استخدامها لإيجاد مجموع أرقام أي رقم. بعد كل شيء، الأرقام هي الرموز الرسوميةالتي نكتب بها الأرقام وفي لغة الرياضيات تبدو المهمة كما يلي: "ابحث عن مجموع الرموز الرسومية التي تمثل أي رقم." لا يستطيع علماء الرياضيات حل هذه المشكلة، لكن الشامان يمكنهم حلها بسهولة.

دعونا نكتشف ماذا وكيف نفعل للعثور على مجموع الأرقام رقم معين. إذن، دعونا نحصل على الرقم 12345. ما الذي يجب فعله لإيجاد مجموع أرقام هذا الرقم؟ دعونا نفكر في جميع الخطوات بالترتيب.

1. اكتب الرقم على قطعة من الورق. ماذا فعلنا؟ لقد قمنا بتحويل الرقم إلى رمز رقم رسومي. هذه ليست عملية رياضية.

2. نقوم بقص الصورة الناتجة إلى عدة صور تحتوي على أرقام فردية. إن قطع الصورة ليس عملية رياضية.

3. تحويل الرموز الرسومية الفردية إلى أرقام. هذه ليست عملية رياضية.

4. أضف الأرقام الناتجة. الآن هذه هي الرياضيات.

مجموع أرقام الرقم 12345 هو 15. هذه هي "دورات القطع والخياطة" التي يدرسها الشامان والتي يستخدمها علماء الرياضيات. ولكن هذا ليس كل شيء.

من وجهة نظر رياضية، لا يهم في أي نظام أرقام نكتب رقمًا. لذلك، في أنظمة مختلفةفي حساب التفاضل والتكامل، مجموع أرقام نفس العدد سيكون مختلفا. في الرياضيات، يُشار إلى نظام الأرقام كحرف منخفض على يمين الرقم. مع عدد كبير 12345 لا أريد أن أخدع رأسي، فلننظر إلى الرقم 26 من المقالة التي تتحدث عن . لنكتب هذا الرقم في أنظمة الأرقام الثنائية والثمانية والعشرية والست عشرية. لن ننظر إلى كل خطوة تحت المجهر؛ لقد فعلنا ذلك بالفعل. دعونا ننظر إلى النتيجة.

كما ترون، في أنظمة الأرقام المختلفة، يختلف مجموع أرقام نفس الرقم. هذه النتيجة لا علاقة لها بالرياضيات. الأمر نفسه كما لو حددت مساحة المستطيل بالمتر والسنتيمتر، فستحصل على نتائج مختلفة تمامًا.

يبدو الصفر متماثلًا في جميع أنظمة الأرقام ولا يحتوي على مجموع أرقام. وهذه حجة أخرى لصالح حقيقة ذلك. سؤال لعلماء الرياضيات: كيف يكون الشيء الذي ليس رقما محددا في الرياضيات؟ ماذا، بالنسبة لعلماء الرياضيات لا يوجد شيء سوى الأرقام؟ أستطيع أن أسمح بهذا للشامان، ولكن ليس للعلماء. الواقع لا يتعلق بالأرقام فقط.

يجب اعتبار النتيجة التي تم الحصول عليها دليلاً على أن أنظمة الأرقام هي وحدات قياس للأرقام. بعد كل شيء، لا يمكننا مقارنة الأرقام مع وحدات مختلفةالقياسات. فإذا كانت نفس الأفعال مع وحدات قياس مختلفة لنفس الكمية تؤدي إلى نتائج مختلفة بعد مقارنتها، فهذا لا علاقة له بالرياضيات.

ما هي الرياضيات الحقيقية؟ هذا عندما تكون النتيجة عملية رياضيةلا يعتمد على حجم الرقم ووحدة القياس المستخدمة ومن يقوم بالإجراء.

التوقيع على الباب يفتح الباب ويقول:

أوه! أليس هذا هو مرحاض النساء؟
- شابة! هذا مختبر لدراسة قداسة النفوس غير المحبة أثناء صعودها إلى السماء! هالة في الأعلى والسهم لأعلى. ما المرحاض الآخر؟

أنثى... الهالة الموجودة في الأعلى والسهم لأسفل هما ذكران.

إذا كان هذا العمل الفني التصميمي يومض أمام عينيك عدة مرات في اليوم،

إذن ليس من المستغرب أن تجد فجأة رمزًا غريبًا في سيارتك:

أنا شخصياً أبذل جهداً لرؤية سالب أربع درجات في شخص يتغوط (صورة واحدة) (تركيبة من عدة صور: علامة الطرح، الرقم أربعة، تسمية الدرجة). وأنا لا أعتقد أن هذه الفتاة غبية، لا على دراية بالفيزياء. لديها فقط صورة نمطية مقوسة للإدراك الصور الرسومية. وعلماء الرياضيات يعلموننا هذا طوال الوقت. هنا مثال.

1A ليس "ناقص أربع درجات" أو "واحد أ". هذا هو "رجل التغوط" أو الرقم "ستة وعشرون" بالنظام الست عشري. هؤلاء الأشخاص الذين يعملون باستمرار في نظام الأرقام هذا يدركون تلقائيًا الرقم والحرف كرمز رسومي واحد.