هذه المقالة مخصصة ل تحويل التعبيرات العقلانية، وهي في الغالب عقلانية جزئيًا، هي إحدى القضايا الرئيسية في مقرر الجبر للصف الثامن. أولًا، نتذكر نوع التعبيرات التي تسمى نسبية. سنركز بعد ذلك على إجراء التحويلات القياسية باستخدام التعبيرات المنطقية، مثل تجميع الحدود، ووضع العوامل المشتركة بين قوسين، وإحضار الحدود المتشابهة، وما إلى ذلك. وأخيرًا، سوف نتعلم تمثيل العبارات النسبية الكسرية في صورة كسور نسبية.

التنقل في الصفحة.

تعريف وأمثلة على التعبيرات العقلانية

التعبيرات المنطقية هي أحد أنواع التعبيرات التي يتم دراستها في دروس الجبر في المدرسة. دعونا نعطي تعريفا.

تعريف.

تسمى التعبيرات المكونة من أرقام ومتغيرات وأقواس وقوى ذات أسس صحيحة ومتصلة باستخدام العلامات الحسابية +، −، · و:، حيث يمكن الإشارة إلى القسمة بخط الكسر، التعبيرات العقلانية.

فيما يلي بعض الأمثلة على التعبيرات العقلانية: .

تبدأ دراسة التعبيرات العقلانية بشكل هادف في الصف السابع. علاوة على ذلك، في الصف السابع يتعلم أساسيات العمل مع ما يسمى التعبيرات العقلانية بأكملهاأي مع تعبيرات عقلانية لا تحتوي على تقسيم إلى تعبيرات ذات متغيرات. للقيام بذلك، تتم دراسة أحاديات الحد ومتعددات الحدود بالتتابع، وكذلك مبادئ تنفيذ الإجراءات معهم. كل هذه المعرفة تسمح لك في النهاية بإجراء تحويلات للتعبيرات بأكملها.

في الصف الثامن، ينتقلون إلى دراسة التعبيرات المنطقية التي تحتوي على القسمة على تعبير بمتغيرات تسمى التعبيرات العقلانية الكسرية. في هذه الحالة، يتم إيلاء اهتمام خاص لما يسمى الكسور العقلانية( ويطلق عليهم أيضا الكسور الجبرية)، أي الكسور التي يحتوي بسطها ومقامها على كثيرات الحدود. وهذا يجعل من الممكن في النهاية تحويل الكسور المنطقية.

تتيح لك المهارات المكتسبة الانتقال إلى تحويل التعبيرات العقلانية بأي شكل من الأشكال. ويفسر ذلك حقيقة أن أي تعبير عقلاني يمكن اعتباره تعبيرًا يتكون من كسور عقلانية وتعبيرات أعداد صحيحة مرتبطة بعلامات العمليات الحسابية. ونحن نعرف بالفعل كيفية التعامل مع المقادير الكاملة والكسور الجبرية.

الأنواع الرئيسية لتحولات التعبيرات العقلانية

باستخدام التعبيرات العقلانية، يمكنك تنفيذ أي من تحويلات الهوية الأساسية، سواء كان ذلك تجميع المصطلحات أو العوامل، أو إحضار مصطلحات متشابهة، أو إجراء عمليات على الأرقام، وما إلى ذلك. عادة ما يكون الغرض من تنفيذ هذه التحولات هو تبسيط التعبير العقلاني.

مثال.

.

حل.

ومن الواضح أن هذا التعبير العقلي هو الفرق بين تعبيرين و، وهذه التعبيرات متشابهة، حيث أن لها نفس الجزء الحرفي. وبالتالي، يمكننا إجراء تخفيض للمصطلحات المتشابهة:

إجابة:

.

من الواضح أنه عند إجراء التحولات باستخدام التعبيرات العقلانية، وكذلك مع أي تعبيرات أخرى، يجب أن تظل ضمن الترتيب المقبول لأداء الإجراءات.

مثال.

إجراء تحويل التعبير العقلاني.

حل.

نحن نعلم أن الإجراءات الموجودة بين قوسين يتم تنفيذها أولاً. لذلك، أولًا، نحول التعبير بين قوسين: 3·x−x=2·x.

يمكنك الآن استبدال النتيجة التي تم الحصول عليها بالتعبير المنطقي الأصلي: . وبذلك وصلنا إلى عبارة تحتوي على أفعال مرحلة واحدة وهي الجمع والضرب.

دعونا نتخلص من الأقواس الموجودة في نهاية التعبير من خلال تطبيق خاصية القسمة على حاصل الضرب: .

أخيرًا، يمكننا تجميع العوامل الرقمية والعوامل المتغيرة x، ثم القيام بالمعالجة المناسبة للأرقام وتطبيق: .

هذا يكمل تحويل التعبير العقلاني، ونتيجة لذلك نحصل على أحادية الحد.

إجابة:

مثال.

تحويل التعبير العقلاني .

حل.

أولا نقوم بتحويل البسط والمقام. يتم تفسير ترتيب تحويل الكسور هذا من خلال حقيقة أن خط الكسر هو في الأساس تسمية أخرى للقسمة، والتعبير العقلاني الأصلي هو في الأساس خارج قسمة النموذج ، ويتم تنفيذ الإجراءات الموجودة بين قوسين أولاً.

لذلك، في البسط نقوم بإجراء عمليات على كثيرات الحدود، أولًا الضرب، ثم الطرح، وفي المقام نقوم بتجميع العوامل العددية وحساب حاصل ضربها: .

لنتخيل أيضًا بسط ومقام الكسر الناتج في صورة حاصل ضرب: فجأة أصبح من الممكن تبسيط كسر جبري. للقيام بذلك، سوف نستخدم في البسط اختلاف صيغة المربعات، وفي المقام أخرجنا الاثنين من الأقواس، لدينا .

إجابة:

.

لذلك، يمكن اعتبار التعارف الأولي مع تحويل التعبيرات العقلانية مكتملا. دعنا ننتقل، إذا جاز التعبير، إلى الجزء الأكثر أحلى.

تمثيل الكسر العقلاني

في أغلب الأحيان، يكون الهدف النهائي لتحويل التعبيرات هو تبسيط مظهرها. في ضوء ذلك، فإن أبسط شكل يمكن تحويل التعبير العقلاني الكسري إليه هو كسر كسري (جبري)، وفي الحالة الخاصة كثير الحدود، أو أحادي الحد، أو رقم.

هل من الممكن تمثيل أي تعبير عقلاني على أنه كسر عقلاني؟ الجواب هو نعم. دعونا نشرح لماذا يحدث هذا.

كما قلنا سابقًا، يمكن اعتبار أي تعبير كسري متعدد الحدود وكسورًا كسرية متصلة بعلامات الجمع والطرح والضرب والقسمة. جميع العمليات المقابلة مع كثيرات الحدود تنتج كسرًا متعدد الحدود أو كسرًا عقلانيًا. في المقابل، يمكن تحويل أي كثيرة حدود إلى كسر جبري عن طريق كتابتها بمقام 1. وإضافة وطرح وضرب وقسمة الكسور النسبية يؤدي إلى كسر كسري جديد. لذلك، بعد إجراء جميع العمليات مع كثيرات الحدود والكسور المنطقية في تعبير نسبي، نحصل على كسر نسبي.

مثال.

التعبير عن التعبير ككسر منطقي .

حل.

التعبير العقلاني الأصلي هو الفرق بين الكسر وحاصل ضرب الكسور في النموذج . وفقًا لترتيب العمليات، يجب علينا أولًا إجراء الضرب، ثم الجمع بعد ذلك فقط.

نبدأ بضرب الكسور الجبرية:

نستبدل النتيجة التي تم الحصول عليها في التعبير العقلاني الأصلي: .

وصلنا إلى طرح الكسور الجبرية ذات المقامات المختلفة:

لذلك، بعد إجراء عمليات مع الكسور المنطقية التي تشكل التعبير العقلاني الأصلي، قدمناها في شكل كسر عقلاني.

إجابة:

.

لتوحيد المادة، سنقوم بتحليل الحل إلى مثال آخر.

مثال.

التعبير عن تعبير عقلاني في صورة كسر عقلاني.

في الدرس السابق، تم بالفعل تقديم مفهوم التعبير العقلاني؛ وفي درس اليوم نواصل العمل مع التعبيرات العقلانيه والتركيز على تحولاتها. باستخدام أمثلة محددة، سننظر في طرق حل المشكلات التي تتضمن تحويلات التعبيرات العقلانية وإثبات الهويات المرتبطة بها.

موضوع:الكسور الجبرية. العمليات الحسابية على الكسور الجبرية

درس:تحويل التعبيرات العقلانية

دعونا نتذكر أولاً تعريف التعبير العقلاني.

تعريف.عاقِلتعبير- تعبير جبري لا يحتوي على جذور ويتضمن فقط عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة (الرفع إلى قوة).

نعني بمفهوم "تحويل التعبير العقلاني" في المقام الأول تبسيطه. ويتم ذلك على ترتيب الأفعال المعروفة لدينا: أولاً الأفعال بين القوسين، ثم منتج الأرقام(الأسي)، وقسمة الأعداد، ثم عمليات الجمع والطرح.

سيكون الهدف الرئيسي لدرس اليوم هو اكتساب الخبرة في حل المشكلات الأكثر تعقيدًا لتبسيط التعبيرات العقلانية.

مثال 1.

حل.في البداية قد يبدو أنه يمكن اختزال هذه الكسور، لأن التعبيرات الموجودة في بسط الكسور تشبه إلى حد كبير صيغ المربعات الكاملة للمقامات المقابلة لها. في هذه الحالة، من المهم عدم التسرع، ولكن للتحقق بشكل منفصل ما إذا كان الأمر كذلك.

دعونا نتحقق من بسط الكسر الأول: . الآن البسط الثاني: .

كما ترون، لم تتحقق توقعاتنا، والتعبيرات الموجودة في البسط ليست مربعات كاملة، لأنها لا تحتوي على منتج مضاعف. مثل هذه التعبيرات، إذا كنت تتذكر دورة الصف السابع، تسمى المربعات غير المكتملة. ويجب الحذر الشديد في مثل هذه الحالات، لأن الخلط بين صيغة المربع الكامل والناقص هو خطأ شائع جداً، ومثل هذه الأمثلة تختبر انتباه الطالب.

بما أن الاختزال مستحيل، فسنقوم بجمع الكسور. المقامات ليس لها عوامل مشتركة، لذلك يتم ضربها ببساطة للحصول على المقام المشترك الأصغر، والعامل الإضافي لكل كسر هو مقام الكسر الآخر.

بالطبع، يمكنك بعد ذلك فتح الأقواس وإحضار مصطلحات مماثلة، ولكن في هذه الحالة يمكنك القيام بذلك بجهد أقل ولاحظ أن الحد الأول في البسط هو صيغة مجموع المكعبات، والثاني هو الصيغة اختلاف المكعبات. للراحة، دعونا نتذكر هذه الصيغ بشكل عام:

في حالتنا، يتم طي التعبيرات في البسط على النحو التالي:

, التعبير الثاني مشابه. لدينا:

إجابة..

مثال 2.تبسيط التعبير العقلاني .

حل.هذا المثال مشابه للمثال السابق، ولكن هنا يتضح على الفور أن بسط الكسور تحتوي على مربعات جزئية، لذا فإن التخفيض في المرحلة الأولية للحل أمر مستحيل. كما في المثال السابق، نقوم بإضافة الكسور:

هنا، على غرار الطريقة الموضحة أعلاه، لاحظنا وقمنا بطي التعبيرات باستخدام صيغ مجموع المكعبات والفرق بينها.

إجابة..

مثال 3.تبسيط التعبير العقلاني.

حل.يمكنك ملاحظة أن مقام الكسر الثاني تم تحليله باستخدام صيغة مجموع المكعبات. كما نعلم بالفعل، فإن تحليل المقامات إلى عواملها مفيد في العثور على المقام المشترك الأصغر للكسور.

دعونا نشير إلى المقام المشترك الأصغر للكسور، وهو يساوي: حيث أنه مقسوم على مقام الكسر الثالث، والتعبير الأول بشكل عام هو عدد صحيح، وأي مقام مناسب له. وبعد الإشارة إلى العوامل الإضافية الواضحة نكتب:

إجابة.

لنفكر في مثال أكثر تعقيدًا للكسور "متعددة الطوابق".

مثال 4.إثبات الهوية لجميع القيم المقبولة للمتغير.

دليل.ولإثبات هذه الهوية سنحاول تبسيط جانبها الأيسر (المعقد) إلى الصورة البسيطة المطلوبة منا. للقيام بذلك، سنقوم بإجراء جميع العمليات على الكسور في البسط والمقام، ثم نقسم الكسور ونبسط النتيجة.

ثبت لجميع القيم المسموح بها للمتغير.

ثبت.

في الدرس التالي، سننظر بالتفصيل في أمثلة أكثر تعقيدًا لتحويل التعبيرات النسبية.

مراجع

1. باشماكوف م. الجبر الصف الثامن. - م: التربية، 2004.

2. دوروفييف جي في، سوفوروفا إس بي، بونيموفيتش إي. وغيرها الجبر 8. - الطبعة الخامسة. - م: التربية، 2010.

3. نيكولسكي إس إم، بوتابوف إم إيه، ريشيتنيكوف إن إن، شيفكين إيه في الجبر الصف الثامن. كتاب مدرسي لمؤسسات التعليم العام. - م: التربية، 2006.

2. تطورات الدرس والعروض التقديمية وملاحظات الدرس ().

العمل في المنزل

1. رقم 96-101. دوروفييف جي في، سوفوروفا إس بي، بونيموفيتش إي. وغيرها الجبر 8. - الطبعة الخامسة. - م: التربية، 2010.

2. تبسيط التعبير .

3. تبسيط التعبير.

4. إثبات الهوية.

يبدو أن تحويل الكسر العشري إلى كسر عادي هو موضوع أساسي، لكن الكثير من الطلاب لا يفهمونه! لذلك، سنلقي اليوم نظرة مفصلة على العديد من الخوارزميات في وقت واحد، والتي من خلالها ستفهم أي كسور في ثانية واحدة فقط.

اسمحوا لي أن أذكرك أن هناك على الأقل شكلين لكتابة نفس الكسر: المشترك والعشري. الكسور العشرية هي جميع أنواع الإنشاءات ذات الشكل 0.75؛ 1.33؛ وحتى −7.41. فيما يلي أمثلة على الكسور العادية التي تعبر عن نفس الأرقام:

الآن دعونا نكتشف ذلك: كيف ننتقل من التدوين العشري إلى التدوين العادي؟ والأهم من ذلك: كيف يتم ذلك في أسرع وقت ممكن؟

الخوارزمية الأساسية

في الواقع، هناك خوارزميتان على الأقل. وسوف ننظر في كليهما الآن. لنبدأ بالأول - الأبسط والأكثر قابلية للفهم.

لتحويل عدد عشري إلى كسر، عليك اتباع ثلاث خطوات:

ملاحظة هامة حول الأرقام السالبة. إذا كان هناك في المثال الأصلي علامة ناقص أمام الكسر العشري، فيجب أن يكون هناك أيضًا علامة ناقص أمام الكسر العشري في الناتج. فيما يلي بعض الأمثلة الإضافية:

أمثلة على الانتقال من التدوين العشري للكسور إلى الكسور العادية

أود أن أهتم بشكل خاص بالمثال الأخير. كما ترون، الكسر 0.0025 يحتوي على العديد من الأصفار بعد العلامة العشرية. ولهذا السبب، يتعين عليك ضرب البسط والمقام في 10 بما يصل إلى أربع مرات. هل من الممكن تبسيط الخوارزمية بطريقة ما في هذه الحالة؟

بالطبع يمكنك. والآن سننظر إلى خوارزمية بديلة - من الصعب فهمها قليلاً، ولكن بعد القليل من الممارسة تعمل بشكل أسرع بكثير من الخوارزمية القياسية.

طريقة أسرع

تحتوي هذه الخوارزمية أيضًا على 3 خطوات. للحصول على كسر من عدد عشري قم بما يلي:

1. حساب عدد الأرقام بعد العلامة العشرية. على سبيل المثال، الكسر 1.75 يحتوي على رقمين من هذا القبيل، والكسر 0.0025 يحتوي على أربعة. دعونا نشير إلى هذه الكمية بالحرف $n$.
2. أعد كتابة الرقم الأصلي ككسر من النموذج $\frac(a)(((10)^(n)))$، حيث $a$ هي جميع أرقام الكسر الأصلي (بدون أصفار "البداية" في اليسار، إن وجد)، و$n$ هو نفس عدد الأرقام بعد العلامة العشرية التي حسبناها في الخطوة الأولى. بمعنى آخر، تحتاج إلى تقسيم أرقام الكسر الأصلي على رقم واحد متبوعًا بأصفار $n$.
3. إذا أمكن، قم بتقليل الكسر الناتج.

هذا كل شيء! للوهلة الأولى، هذا المخطط أكثر تعقيدا من السابق. ولكن في الواقع هو أبسط وأسرع. احكم بنفسك:

كما ترون، في الكسر 0.64 يوجد رقمان بعد العلامة العشرية - 6 و4. لذلك $n=2$. إذا أزلنا الفاصلة والأصفار الموجودة على اليسار (في هذه الحالة، صفر واحد فقط)، فسنحصل على الرقم 64. دعنا ننتقل إلى الخطوة الثانية: $((10)^(n))=((10)^ (2))=100$، إذن المقام هو مائة بالضبط. حسنًا، كل ما تبقى هو تقليل البسط والمقام :).

مثال آخر:

هنا كل شيء أكثر تعقيدًا بعض الشيء. أولا، هناك بالفعل 3 أرقام بعد العلامة العشرية، أي. $n=3$، لذلك عليك القسمة على $((10)^(n))=((10)^(3))=1000$. ثانيًا، إذا قمنا بإزالة الفاصلة من العلامة العشرية، فسنحصل على هذا: 0.004 → 0004. تذكر أنه يجب إزالة الأصفار الموجودة على اليسار، لذلك في الواقع لدينا الرقم 4. ثم كل شيء بسيط: قسمة وتقليل واحصل على الجواب.

وأخيراً المثال الأخير:

خصوصية هذا الكسر هو وجود جزء كامل. ولذلك، فإن الناتج الذي نحصل عليه هو كسر غير حقيقي 47/25. يمكنك، بالطبع، محاولة تقسيم 47 على 25 مع الباقي وبالتالي عزل الجزء بأكمله مرة أخرى. ولكن لماذا تعقد حياتك إذا كان من الممكن القيام بذلك في مرحلة التحول؟ حسنا، دعونا معرفة ذلك.

ما يجب القيام به مع الجزء كله

في الواقع، كل شيء بسيط للغاية: إذا أردنا الحصول على كسر مناسب، فعلينا إزالة الجزء بأكمله منه أثناء التحويل، وبعد ذلك، عندما نحصل على النتيجة، نضيفه مرة أخرى إلى اليمين قبل خط الكسر .

على سبيل المثال، فكر في نفس الرقم: 1.88. دعونا نسجل بمقدار واحد (الجزء بأكمله) وننظر إلى الكسر 0.88. يمكن تحويله بسهولة:

ثم نتذكر الوحدة "المفقودة" ونضيفها إلى المقدمة:

\[\فارك(22)(25)\إلى 1\فارك(22)(25)\]

هذا كل شيء! تبين أن الإجابة هي نفسها بعد اختيار الجزء بأكمله في المرة الأخيرة. بضعة أمثلة أخرى:

\[\begin(align)& 2.15\to 0.15=\frac(15)(100)=\frac(3)(20)\to 2\frac(3)(20); \\& 13.8\إلى 0.8=\فارك(8)(10)=\فارك(4)(5)\إلى 13\فارك(4)(5). \\\النهاية(محاذاة)\]

هذا هو جمال الرياضيات: بغض النظر عن الطريقة التي تسلكها، إذا تمت جميع الحسابات بشكل صحيح، فستكون الإجابة هي نفسها دائمًا :).

في الختام، أود أن أفكر في تقنية أخرى تساعد الكثيرين.

التحولات "عن طريق الأذن"

دعونا نفكر في ماهية العلامة العشرية. بتعبير أدق، كيف نقرأها. على سبيل المثال، الرقم 0.64 - نقرأه على أنه "نقطة الصفر 64 جزء من مائة"، أليس كذلك؟ حسنًا، أو فقط "64 جزءًا من مائة". الكلمة الأساسية هنا هي "المئات"، أي. رقم 100.

ماذا عن 0.004؟ هذه هي "نقطة الصفر 4 أجزاء من الألف" أو ببساطة "أربعة أجزاء من الألف". بشكل أو بآخر، الكلمة المفتاحية هي "الآلاف"، أي "الآلاف". 1000.

إذن ما هي الصفقة الكبيرة؟ والحقيقة هي أن هذه الأرقام هي التي "تنبثق" في النهاية في المقامات في المرحلة الثانية من الخوارزمية. أولئك. 0.004 هو "أربعة أجزاء من الألف" أو "4 مقسومًا على 1000":

حاول أن تتدرب على نفسك - الأمر بسيط جدًا. الشيء الرئيسي هو قراءة الكسر الأصلي بشكل صحيح. على سبيل المثال، 2.5 هو "2 صحيح، 5 أعشار"، لذلك

وبعض 1.125 هو "1 صحيح، 125 جزءًا من الألف"، لذا

في المثال الأخير، بالطبع، سيعترض شخص ما، قائلاً إنه ليس من الواضح لكل طالب أن 1000 يقبل القسمة على 125. ولكن هنا عليك أن تتذكر أن 1000 = 10 3، و10 = 2 ∙ 5، وبالتالي

\[\begin(align)& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\ cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end(محاذاة)\]

وبالتالي، فإن أي قوة للعشرة تتحلل فقط إلى العوامل 2 و 5 - هذه العوامل هي التي يجب البحث عنها في البسط، بحيث يتم تقليل كل شيء في النهاية.

بهذا يختتم الدرس. دعنا ننتقل إلى عملية عكسية أكثر تعقيدًا - انظر "

الكسور

انتباه!
هناك اضافية
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين هم "ليسوا جدا..."
ولأولئك الذين "كثيرا ...")

الكسور ليست مصدر إزعاج كبير في المدرسة الثانوية. في الوقت الحاضر. حتى تصادف قوى ذات أسس ولوغاريتمات عقلانية. وهناك... تضغط وتضغط على الآلة الحاسبة، فيظهر لك عرض كامل لبعض الأرقام. عليك أن تفكر برأسك كما في الصف الثالث.

دعونا أخيرا معرفة الكسور! طب قد ايه ممكن تحتار فيهم !؟ علاوة على ذلك، كل شيء بسيط ومنطقي. لذا، ما هي أنواع الكسور؟

أنواع الكسور. التحولات.

هناك ثلاثة أنواع من الكسور.

1. الكسور المشتركة ، على سبيل المثال:

في بعض الأحيان بدلاً من الخط الأفقي، يضعون شرطة مائلة: 1/2، 3/4، 19/5، حسنًا، وما إلى ذلك. هنا سوف نستخدم هذا التهجئة في كثير من الأحيان. الرقم العلوي يسمى البسط، أدنى - القاسم.إذا كنت تخلط بين هذه الأسماء باستمرار (يحدث...)، قل لنفسك هذه العبارة: " ززززيتذكر! ززززالقاسم - انظر zzzzzzاه!" انظر، كل شيء سيتم تذكره.)

الشرطة، إما أفقية أو مائلة، تعني قسمالرقم العلوي (البسط) إلى الأسفل (المقام). هذا كل شيء! بدلا من اندفاعة، من الممكن تماما وضع علامة القسمة - نقطتان.

عندما يكون التقسيم الكامل ممكنا، يجب القيام بذلك. لذلك، بدلا من الكسر "32/8" هو أكثر متعة لكتابة الرقم "4". أولئك. 32 مقسومة ببساطة على 8.

32/8 = 32: 8 = 4

أنا لا أتحدث حتى عن الكسر "4/1". وهو أيضًا "4" فقط. وإذا لم يكن قابلًا للقسمة تمامًا، نتركه على صورة كسر. في بعض الأحيان يتعين عليك القيام بالعملية المعاكسة. تحويل العدد الصحيح إلى كسر. لكن المزيد عن ذلك لاحقًا.

2. الكسور العشرية ، على سبيل المثال:

في هذا النموذج ستحتاج إلى كتابة الإجابات على المهام "ب".

3. أرقام مختلطة ، على سبيل المثال:

لا يتم استخدام الأعداد المختلطة عمليا في المدرسة الثانوية. ومن أجل العمل معهم، يجب تحويلهم إلى كسور عادية. ولكن عليك بالتأكيد أن تكون قادرًا على القيام بذلك! وإلا فسوف تصادف مثل هذا الرقم في مشكلة وتتجمد... من العدم. لكننا سوف نتذكر هذا الإجراء! أقل قليلا.

الأكثر تنوعا الكسور المشتركة. لنبدأ معهم. بالمناسبة، إذا كان الكسر يحتوي على جميع أنواع اللوغاريتمات والجيوب والأحرف الأخرى، فهذا لا يغير شيئًا. بمعنى أن كل شيء لا تختلف الإجراءات ذات التعبيرات الكسرية عن الإجراءات ذات الكسور العادية!

الخاصية الرئيسية للكسر.

لذلك، دعونا نذهب! في البداية، سأفاجئك. يتم توفير مجموعة كاملة من تحويلات الكسور من خلال خاصية واحدة! هذا ما يطلق عليه الخاصية الرئيسية للكسر. يتذكر: إذا تم ضرب (قسمة) البسط والمقام لكسر على نفس الرقم، فإن الكسر لا يتغير.أولئك:

من الواضح أنه يمكنك الاستمرار في الكتابة حتى يصبح وجهك أزرقًا. لا تدع الجيوب واللوغاريتمات تربكك، فسنتعامل معها بشكل أكبر. الشيء الرئيسي هو أن نفهم أن كل هذه التعبيرات المختلفة موجودة نفس الكسر . 2/3.

هل نحن في حاجة إليها، كل هذه التحولات؟ نعم! الآن سوف ترى بنفسك. في البداية، دعونا نستخدم الخاصية الأساسية للكسر تقليل الكسور. قد يبدو وكأنه شيء ابتدائي. اقسم البسط والمقام على نفس الرقم وهذا كل شيء! من المستحيل ارتكاب خطأ! لكن... الإنسان كائن مبدع. يمكنك ارتكاب خطأ في أي مكان! خاصة إذا كان عليك تقليل ليس كسرًا مثل 5/10، ولكن تعبيرًا كسريًا يحتوي على جميع أنواع الحروف.

يمكن قراءة كيفية تقليل الكسور بشكل صحيح وسريع دون القيام بعمل إضافي في القسم الخاص 555.

الطالب العادي لا يهتم بتقسيم البسط والمقام على نفس الرقم (أو التعبير)! إنه ببساطة يشطب كل ما هو نفسه أعلاه وأدناه! هذا هو المكان الذي يكمن فيه خطأ نموذجي، أو خطأ فادح، إذا صح التعبير.

على سبيل المثال، تحتاج إلى تبسيط التعبير:

لا يوجد شيء للتفكير فيه هنا، قم بشطب الحرف "a" في الأعلى والحرفين في الأسفل! نحصل على:

كل شيء صحيح. ولكنك في الحقيقة منقسم الجميع البسط و الجميع المقام هو "أ". إذا كنت معتادًا على الشطب فقط، فيمكنك على عجل شطب الحرف "a" في التعبير

والحصول عليه مرة أخرى

والذي سيكون غير صحيح بشكل قاطع. لأن هنا الجميعالبسط على "أ" موجود بالفعل لا يشارك! لا يمكن تخفيض هذا الجزء. بالمناسبة، مثل هذا التخفيض يمثل تحديًا خطيرًا للمعلم. هذا لا يغفر! هل تذكر؟ عند التخفيض، تحتاج إلى تقسيم الجميع البسط و الجميع القاسم!

تقليل الكسور يجعل الحياة أسهل كثيرًا. سوف تحصل على كسر في مكان ما، على سبيل المثال 375/1000. كيف يمكنني الاستمرار في العمل معها الآن؟ بدون آلة حاسبة؟ اضرب، مثلا، أضف، مربع!؟ وإذا لم تكن كسولًا جدًا، وقمت بقصه بعناية بمقدار خمسة، وخمسة أخرى، وحتى... أثناء تقصيره، باختصار. دعونا نحصل على 3/8! أجمل بكثير، أليس كذلك؟

الخاصية الرئيسية للكسر تسمح لك بتحويل الكسور العادية إلى أعداد عشرية والعكس صحيح بدون آلة حاسبة! هذا مهم لامتحان الدولة الموحدة، أليس كذلك؟

كيفية تحويل الكسور من نوع إلى آخر.

مع الكسور العشرية، كل شيء بسيط. كما يسمع هكذا يكتب! لنفترض 0.25. هذه صفر فاصلة خمسة وعشرون جزءًا من مائة. فنكتب: 25/100. نقوم بالتقليل (نقسم البسط والمقام على 25) ونحصل على الكسر المعتاد: 1/4. الجميع. يحدث ذلك، ولا يتم تقليل أي شيء. مثل 0.3. وهذا ثلاثة أعشار، أي: 3/10.

ماذا لو كانت الأعداد الصحيحة ليست صفر؟ لا بأس. نكتب الكسر بأكمله بدون أي فواصلوفي البسط، وفي المقام ما سمع. على سبيل المثال: 3.17. هذه ثلاثة فاصلة سبعة عشر جزءًا من مائة. نكتب 317 في البسط و100 في المقام، ونحصل على 317/100. لم يتم تقليل أي شيء، وهذا يعني كل شيء. هذا هو الجواب. الابتدائية، واتسون! ومن كل ما قيل استنتاج مفيد: يمكن تحويل أي كسر عشري إلى كسر عادي .

لكن بعض الأشخاص لا يستطيعون إجراء التحويل العكسي من العادي إلى العشري بدون آلة حاسبة. وهذا ضروري! كيف ستكتب الإجابة في امتحان الدولة الموحدة!؟ اقرأ بعناية وأتقن هذه العملية.

ما هي خاصية الكسر العشري؟ القاسم لها هو دائماًيكلف 10 أو 100 أو 1000 أو 10000 وهكذا. إذا كان للكسر المشترك مقام مثل هذا، فلا توجد مشكلة. على سبيل المثال، 4/10 = 0.4. أو 7/100 = 0.07. أو 12/10 = 1.2. ماذا لو تبين أن إجابة المهمة في القسم "ب" هي 1/2؟ ماذا سنكتب ردا؟ الأعداد العشرية مطلوبة...

دعونا نتذكر الخاصية الرئيسية للكسر ! تسمح لك الرياضيات بشكل إيجابي بضرب البسط والمقام بنفس الرقم. أي شيء، بالمناسبة! باستثناء الصفر بالطبع. لذلك دعونا نستخدم هذه الخاصية لصالحنا! ما الذي يمكن ضرب المقام به، أي: 2 بحيث يصبح 10، أو 100، أو 1000 (الأصغر هو الأفضل بالطبع...)؟ في الخامسة، من الواضح. لا تتردد في مضاعفة القاسم (هذا هو نحنضروري) في 5. ولكن بعد ذلك يجب أيضًا ضرب البسط في 5. وهذا بالفعل الرياضياتمطالب! نحصل على 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0.5. هذا كل شيء.

ومع ذلك، فإن جميع أنواع القواسم تأتي عبر. سوف تصادف، على سبيل المثال، الكسر 3/16. حاول أن تعرف ما الذي يجب ضربه في 16 للحصول على 100 أو 1000... أليس هذا ناجحًا؟ ثم يمكنك ببساطة تقسيم 3 على 16. في حالة عدم وجود آلة حاسبة، سيتعين عليك القسمة بزاوية، على قطعة من الورق، كما تم تدريسهم في المدرسة الابتدائية. نحصل على 0.1875.

وهناك أيضًا قواسم سيئة للغاية. على سبيل المثال، لا توجد طريقة لتحويل الكسر 1/3 إلى عدد عشري جيد. نحصل على 0.3333333 على الآلة الحاسبة وعلى قطعة من الورق... وهذا يعني أن 1/3 هو كسر عشري دقيق غير مترجم. نفس 1/7، 5/6، وهكذا. هناك الكثير منهم، غير قابل للترجمة. وهذا يقودنا إلى نتيجة مفيدة أخرى. لا يمكن تحويل كل كسر إلى عدد عشري !

بالمناسبة، هذه معلومات مفيدة للاختبار الذاتي. في القسم "ب" يجب عليك كتابة كسر عشري في إجابتك. وحصلت، على سبيل المثال، 4/3. لا يتم تحويل هذا الكسر إلى رقم عشري. هذا يعني أنك ارتكبت خطأ في مكان ما على طول الطريق! ارجع وتحقق من الحل.

لذلك، اكتشفنا الكسور العادية والعشرية. كل ما تبقى هو التعامل مع الأعداد المختلطة. للعمل معهم، يجب تحويلها إلى كسور عادية. كيف تفعل هذا؟ يمكنك اللحاق بطالب في الصف السادس وسؤاله. لكن طالب الصف السادس لن يكون في متناول اليد دائمًا... سيتعين عليك القيام بذلك بنفسك. انها ليست صعبة. تحتاج إلى ضرب مقام الجزء الكسري بالجزء الكامل وإضافة بسط الجزء الكسري. سيكون هذا هو بسط الكسر المشترك. ماذا عن القاسم؟ سيبقى القاسم كما هو. يبدو الأمر معقدا، ولكن في الواقع كل شيء بسيط. دعونا نلقي نظرة على مثال.

لنفترض أنك شعرت بالرعب لرؤية الرقم الموجود في المشكلة:

بهدوء، دون ذعر، نفكر. الجزء كله هو 1. الوحدة. الجزء الكسري هو 3/7. وبالتالي، فإن مقام الجزء الكسري هو 7. وسيكون هذا المقام هو مقام الكسر العادي. نحن نحسب البسط. نضرب 7 في 1 (الجزء الصحيح) ونضيف 3 (بسط الجزء الكسري). لقد حصلنا على 10. سيكون هذا بسط الكسر المشترك. هذا كل شيء. يبدو الأمر أبسط في التدوين الرياضي:

هل هو واضح؟ ثم تأمين نجاحك! تحويل إلى كسور عادية. يجب أن تحصل على 10/7، 7/2، 23/10 و21/4.

نادرًا ما تكون العملية العكسية - تحويل الكسر غير الفعلي إلى رقم مختلط - مطلوبة في المدرسة الثانوية. حسنًا، إذا كان الأمر كذلك... وإذا لم تكن في المدرسة الثانوية، فيمكنك الاطلاع على القسم الخاص 555. بالمناسبة، سوف تتعلم أيضًا عن الكسور غير الحقيقية هناك.

حسنا، هذا كل شيء عمليا. لقد تذكرت أنواع الكسور وفهمت كيف ونقلهم من نوع إلى آخر. ويبقى السؤال: لماذا افعل هذا؟ أين ومتى نطبق هذه المعرفة العميقة؟

أجيب. أي مثال في حد ذاته يشير إلى الإجراءات اللازمة. إذا تم في المثال خلط الكسور العادية والكسور العشرية وحتى الأعداد الكسرية معًا، فسنحول كل شيء إلى كسور عادية. يمكن القيام بذلك دائمًا. حسنًا، إذا كانت النتيجة 0.8 + 0.3، فإننا نحسبها بهذه الطريقة، دون أي ترجمة. لماذا نحتاج إلى عمل إضافي؟ نختار الحل المناسب نحن !

إذا كانت المهمة كلها كسور عشرية، ولكن أم... نوع من الأشرار، فانتقل إلى الكسور العادية وجربها! انظر، كل شيء سوف ينجح. على سبيل المثال، سيكون عليك تربيع الرقم 0.125. الأمر ليس بهذه السهولة إذا لم تكن معتادًا على استخدام الآلة الحاسبة! ليس عليك فقط مضاعفة الأرقام في عمود، بل عليك أيضًا التفكير في مكان إدراج الفاصلة! بالتأكيد لن يعمل في رأسك! ماذا لو انتقلنا إلى كسر عادي؟

0.125 = 125/1000. نقوم بتقليله بمقدار 5 (هذا للمبتدئين). نحصل على 25/200. مرة أخرى بحلول الساعة 5. نحصل على 5/40. أوه، فإنه لا يزال يتقلص! العودة إلى 5! نحصل على 1/8. يمكننا تربيعها بسهولة (في أذهاننا!) والحصول على 1/64. الجميع!

دعونا نلخص هذا الدرس.

1. هناك ثلاثة أنواع من الكسور. الأعداد الشائعة والعشرية والمختلطة.

2. الكسور العشرية والأرقام المختلطة دائماًيمكن تحويلها إلى كسور عادية. نقل عكسي ليس دائماممكن

3. اختيار نوع الكسور للعمل مع مهمة ما يعتمد على المهمة نفسها. إذا كانت هناك أنواع مختلفة من الكسور في مهمة واحدة، فإن الشيء الأكثر موثوقية هو الانتقال إلى الكسور العادية.

الآن يمكنك ممارسة. أولاً، قم بتحويل هذه الكسور العشرية إلى كسور عادية:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

يجب أن تحصل على إجابات مثل هذه (في حالة من الفوضى!):

دعونا نختتم هذا. في هذا الدرس، قمنا بتحديث ذاكرتنا بشأن النقاط الأساسية المتعلقة بالكسور. ومع ذلك، يحدث أنه لا يوجد شيء خاص للتحديث...) إذا نسي شخص ما ذلك تمامًا، أو لم يتقنه بعد... فيمكنك الانتقال إلى قسم خاص 555. يتم تغطية جميع الأساسيات بالتفصيل هناك. كثير فجأة فهم كل شيءبدأوا. ويحلون الكسور بسرعة).

إذا أعجبك هذا الموقع...

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

في مدرسة النوع الثامن، يتم تعريف الطلاب بالتحويلات التالية للكسور: التعبير عن الكسور بكسور أكبر (الصف السادس)، التعبير عن الكسور غير الصحيحة كعدد صحيح أو مختلط (الصف السادس)، التعبير عن الكسور بكسور متشابهة (الصف السابع)، التعبير عن عدد مختلط ككسر غير حقيقي (الصف السابع).

التعبير عن كسر غير حقيقي بعدد صحيح أو مختلط

يجب أن تبدأ دراسة هذه المادة بالمهمة: خذ دائرتين متساويتين وقسم كل منهما إلى 4 حصص متساوية، واحسب عدد الأسهم الرابعة (الشكل 25). بعد ذلك، يُقترح كتابة هذا المبلغ في صورة كسر. ثم الضربات الرابعة هي

يتم وضعهم بجانب بعضهم البعض ويقتنع الطلاب بأنهم شكلوا دائرة كاملة. لذلك، إلى أربعة أرباع يضاف -

بالتتابع مرة أخرى ويكتب الطلاب:

يلفت المعلم انتباه الطلاب إلى حقيقة أنهم في جميع الحالات التي تم أخذها في الاعتبار، أخذوا كسرًا غير حقيقي، ونتيجة للتحويل حصلوا إما على عدد صحيح أو مختلط، أي أنهم عبروا عن الكسر غير الحقيقي ككل أو رقم مختلط بعد ذلك، يجب علينا أن نسعى جاهدين للتأكد من أن الطلاب يحددون بشكل مستقل العملية الحسابية التي يمكن إجراء هذا التحويل. ومن الأمثلة الحية التي تؤدي إلى إجابة السؤال: الخاتمة: إلى

للتعبير عن كسر غير حقيقي كعدد صحيح أو مختلط، تحتاج إلى قسمة بسط الكسر على المقام، وكتابة الناتج كعدد صحيح، وكتابة الباقي في البسط، وترك المقام كما هو. وبما أن القاعدة مرهقة، فليس من الضروري على الإطلاق أن يحفظها الطلاب عن ظهر قلب. يجب أن يكونوا قادرين على توصيل الخطوات المتضمنة في إجراء تحويل معين بشكل مستمر.

قبل تعريف الطلاب على كيفية التعبير عن الكسر غير الحقيقي بعدد صحيح أو مختلط، من المستحسن أن يراجعوا معهم قسمة عدد صحيح على عدد صحيح مع باقي.

يتم تسهيل ترسيخ التحول الجديد للطلاب من خلال حل المشكلات ذات الطبيعة العملية، على سبيل المثال:

"يوجد تسعة أرباع برتقالة في إناء. كم عدد البرتقال الكامل الذي يمكن صنعه من هذه الأجزاء؟ كم عدد الأرباع التي ستبقى؟"

التعبير عن الأعداد الصحيحة والمختلطة في صورة كسور غير حقيقية

إن تعريف الطلاب بهذا التحول الجديد يجب أن يسبقه حل المشكلات، على سبيل المثال:

"قطعتان من القماش متساويتان في الطول، على شكل مربع، تم تقطيعهما إلى 4 أجزاء متساوية. تم خياطة وشاح من كل جزء من هذا القبيل. كم عدد الأوشحة التي حصلت عليها؟ .

بعد ذلك، يطلب المعلم من الطلاب إكمال المهمة التالية: "خذ دائرة كاملة ونصف دائرة أخرى مساوية في حجم الدائرة الأولى. قطع الدائرة بأكملها إلى النصف. كم عدد النصفين كان هناك؟ اكتب: كانت دائرة، وأصبحت دائرة.

وبالتالي، واستنادًا إلى أساس مرئي وعملي، فإننا نتناول عددًا من الأمثلة الأخرى. في الأمثلة قيد النظر، يُطلب من الطلاب مقارنة الرقم الأصلي (مختلط أو صحيح) والرقم الذي تم الحصول عليه بعد التحويل (كسر غير حقيقي).

لتعريف الطلاب بقاعدة التعبير عن العدد الصحيح والعدد الكسري ككسر غير حقيقي، عليك أن تلفت انتباههم إلى مقارنة مقامات العدد الكسري والكسر غير الحقيقي، وكذلك كيفية الحصول على البسط، على سبيل المثال :

سيكون 15/4. ونتيجة لذلك، يتم صياغة قاعدة: من أجل التعبير عن رقم مختلط ككسر غير حقيقي، تحتاج إلى ضرب المقام بعدد صحيح، وإضافة البسط إلى المنتج وكتابة المبلغ كبسط، مع ترك المقام دون تغيير.

أولاً، تحتاج إلى تدريب الطلاب على التعبير عن الوحدة في صورة كسر غير حقيقي، ثم أي رقم صحيح آخر يشير إلى المقام، وعندها فقط رقم مختلط -

الخاصية الأساسية للكسر 1

يتم تعلم مفهوم ثبات الكسر مع زيادة أو تقليل أعضائه في نفس الوقت، أي البسط والمقام، بصعوبة كبيرة من قبل طلاب مدرسة النوع الثامن. يجب تقديم هذا المفهوم باستخدام المواد المرئية والتعليمية، ومن المهم ألا يراقب الطلاب أنشطة المعلم فحسب، بل يعملون أيضًا بنشاط مع المواد التعليمية، وعلى أساس الملاحظات والأنشطة العملية، يتوصلون إلى استنتاجات وتعميمات معينة.

على سبيل المثال، يأخذ المعلم حبة لفت كاملة، ويقسمها إلى جزأين متساويين ويسأل: "ماذا حصلت عندما قسمت حبة لفت كاملة إلى نصفين؟ (نصفين) أظهر اللفت. قطع (تقسيم) نصف اللفت إلى جزأين متساويين. ماذا سنحصل؟ لنكتب: لنقارن بين بسط ومقام هذه الكسور. في أي وقت

مرات زاد البسط؟ كم مرة زاد المقام؟ كم مرة زاد البسط والمقام؟ هل تغير الكسر؟ لماذا لم يتغير؟ كيف أصبحت الأسهم: أكبر أم أصغر؟ هل زاد عدد الاسهم أم انخفض؟

ثم يقسم جميع الطلاب الدائرة إلى جزأين متساويين، وينقسم كل نصف إلى جزأين متساويين، وكل ربع إلى جزأين متساويين، وما إلى ذلك، ويكتبون: إلخ. ثم

حدد عدد المرات التي زاد فيها بسط ومقام الكسر، وما إذا كان الكسر قد تغير. ثم ارسم قطعة وقسمها بالتسلسل إلى 3، 6، 12 جزءًا متساويًا واكتب:

عند مقارنة الكسور اتضح ذلك

يتم زيادة بسط ومقام الكسر بنفس عدد المرات، لكن الكسر لا يتغير.

بعد النظر في عدد من الأمثلة، ينبغي أن يطلب من الطلاب الإجابة على السؤال: "هل يتغير الكسر إذا كان البسط

يتم استبعاد بعض المعرفة حول موضوع “الكسور العادية” من مناهج الرياضيات في المدارس الإصلاحية من النوع الثامن، ولكن يتم تدريسها للطلاب في مدارس الأطفال ذوي التخلف العقلي، في فصول المعادلة للأطفال الذين يعانون من صعوبات في تعلم الرياضيات. في هذا الكتاب المدرسي، تتم الإشارة إلى الفقرات التي توفر طرقًا لدراسة هذه المادة بعلامة النجمة (*).

وضرب مقام الكسر بنفس العدد (زيادة بنفس العدد من المرات)؟" بالإضافة إلى ذلك، يجب عليك أن تطلب من الطلاب أن يعطوا أمثلة بأنفسهم.

يتم إعطاء أمثلة مماثلة عند النظر في تقليل البسط والمقام بنفس عدد المرات (يتم قسمة البسط والمقام على نفس العدد). على سبيل المثال، يتم تقسيم الدائرة إلى 8 أجزاء متساوية، يؤخذ 4 أثمان الدائرة،

بعد زيادة الأسهم، يأخذون الرابع، سيكون هناك 2 منهم. بعد زيادة الأسهم، يأخذون الثانية. سيتم مقارنتها بالتسلسل

بسط ومقام هذه الكسور، مجيباً على الأسئلة: “كم مرة ينقص البسط والمقام؟ هل سيتغير الكسر؟*.

الدليل الجيد هو تقسيم الخطوط إلى 12، 6، 3 أجزاء متساوية (الشكل 26).

بناءً على الأمثلة التي تم النظر فيها، يمكن للطلاب استنتاج ما يلي: لن يتغير الكسر إذا تم قسمة بسط ومقام الكسر على نفس الرقم (مخفضًا بنفس عدد المرات). ثم يتم إعطاء استنتاج معمم - الخاصية الرئيسية للكسر: لن يتغير الكسر إذا زاد أو انخفض بسط ومقام الكسر بنفس عدد المرات.

تقليل الكسور

من الضروري أولاً إعداد الطلاب لتحويل الكسور. كما تعلم، فإن تقليل الكسر يعني قسمة بسط ومقام الكسر على نفس الرقم. لكن المقسوم عليه يجب أن يكون رقمًا يعطي الإجابة كسرًا غير قابل للاختزال.

قبل شهر إلى شهر ونصف من تعريف الطلاب بتقليل الكسور، يتم تنفيذ الأعمال التحضيرية - حيث يُطلب منهم تسمية إجابتين من جدول الضرب قابلة للقسمة على نفس الرقم. على سبيل المثال: "أذكر رقمين يقبلان القسمة على 4." (أولاً، ينظر الطلاب إلى الرقم 1 في الجدول، ثم يقومون بتسمية هذه الأرقام من الذاكرة.) ويقومون بتسمية كل من الأرقام ونتائج قسمتها على 4. ثم يقدم المعلم للطلاب الكسور، 3

على سبيل المثال، حدد مقسومًا على البسط والمقام (أساس تنفيذ مثل هذا الإجراء هو جدول الضرب).

ما الجدول الذي يجب أن أنظر إليه؟ ما هو الرقم الذي يمكن تقسيم 5 و 15 عليه؟) اتضح أنه عندما يتم قسمة بسط ومقام الكسر على نفس الرقم، فإن حجم الكسر لم يتغير (يمكن إظهار ذلك على شريط، قطعة، دائرة) فقط الكسور أصبحت أكبر: نوع الكسر أصبح أبسط . يتم توجيه الطلاب إلى استنتاج قواعد تقليل الكسور.

غالبًا ما يجد طلاب المدارس من النوع الثامن صعوبة في العثور على أكبر عدد يقسم كل من البسط والمقام للكسر. لذلك، غالبًا ما تتم ملاحظة أخطاء من نوع 4/12 = 2/6، أي أن الطالب لم يجد العامل المشترك الأكبر

المقسوم عليه للأرقام 4 و 12. لذلك، في البداية يمكنك السماح بالتقسيم التدريجي، أي، ولكن في نفس الوقت اسأل على أي رقم تم تقسيم البسط ومقام الكسر أولاً، على أي رقم ثم ثم على أي رقم تم تقسيم البسط ويمكن تقسيم المقام على الفور إلى كسور تساعد مثل هذه الأسئلة الطلاب في العثور تدريجيًا على العامل المشترك الأكبر لبسط الكسر ومقامه.

جلبالكسور إلى أدنى قاسم مشترك*

لا ينبغي النظر إلى اختزال الكسور إلى المقام المشترك الأدنى على أنه غاية في حد ذاته، بل كتحويل ضروري لمقارنة الكسور ومن ثم إجراء عمليات جمع وطرح الكسور ذات المقامات المختلفة.

الطلاب على دراية بالفعل بمقارنة الكسور التي لها نفس البسط ولكن بمقامات مختلفة، وبنفس المقامات ولكن ببسوط مختلفة. ومع ذلك، فهم لا يعرفون بعد كيفية مقارنة الكسور ذات البسط والمقامات المختلفة.

قبل أن نشرح للطلاب معنى التحول الجديد، من الضروري تكرار المادة المشمولة من خلال إكمال المهام التالية على سبيل المثال:

مقارنة الكسور 2/5,2/7,2/3 اذكر قاعدة مقارنة الكسور بها

البسط متطابقة.

مقارنة الكسور قل قاعدة مقارنة الكسور

مع نفس القواسم.

مقارنة الكسور من الصعب على الطلاب مقارنة الكسور

مختلفة لأن لها بسطًا مختلفة ومقامًا مختلفًا. لمقارنة هذه الكسور، عليك أن تجعل بسط أو مقام هذه الكسور متساوية. عادةً ما يتم التعبير عن المقامات بكسور متساوية، أي أنها تقلل الكسور إلى المقام المشترك الأدنى.

يجب أن يتعرف الطلاب على طريقة التعبير عن الكسور بأجزاء متساوية.

أولاً، يتم أخذ الكسور ذات المقامات المختلفة في الاعتبار، ولكن تلك التي يكون فيها مقام الكسر قابلاً للقسمة دون باقي على مقام كسر آخر، وبالتالي يمكن أن يكون أيضًا مقام كسر آخر.

على سبيل المثال، في الكسور المقامات هي الأرقام 8 و 2.

للتعبير عن هذه الكسور بأجزاء متساوية، يقترح المعلم ضرب المقام الأصغر بالتتابع بالأرقام 2، 3، 4، وما إلى ذلك. وقم بذلك حتى تحصل على نتيجة مساوية لمقام الكسر الأول. على سبيل المثال، اضرب 2 في 2 واحصل على 4. مقامات الكسرين مختلفة مرة أخرى. بعد ذلك، نضرب 2 في 3، نحصل على 6. الرقم 6 غير مناسب أيضًا. نضرب 2 في 4، نحصل على 8. في هذه الحالة، المقامات هي نفسها. لكي لا يتغير الكسر، يجب أيضًا ضرب بسط الكسر بـ 4 (استنادًا إلى الخاصية الأساسية للكسر). لنحصل على كسر الآن يتم التعبير عن الكسور بكسور متساوية. هُم

من السهل المقارنة وتنفيذ الإجراءات معهم.

يمكنك العثور على الرقم الذي تريد ضرب المقام الأصغر لأحد الكسور به عن طريق قسمة المقام الأكبر على المقام الأصغر. على سبيل المثال، إذا قسمت 8 على 2، فستحصل على الرقم 4. تحتاج إلى ضرب مقام الكسر وبسطه بهذا الرقم. هذا يعني أنه من أجل التعبير عن عدة كسور في أجزاء متساوية، تحتاج إلى تقسيم المقام الأكبر على الأصغر، وضرب الحاصل على المقام وبسط الكسر بمقامات أصغر. على سبيل المثال، يتم إعطاء الكسور لجلب هذه الكسور

للحصول على القاسم المشترك الأصغر، تحتاج إلى 12:6=2، 2x6=12، 306

2x1=2. سوف يأخذ الكسر الشكل . ثم 12:3=4، 4x3=12، 4x2=8. الكسر سوف يأخذ الشكل لذلك، الكسور سوف تأخذ الشكل وفقا لذلك، أي سيتم التعبير عنها

nymi في حصص متساوية.

يتم إجراء تمارين تسمح لك بتطوير مهارات اختزال الكسور إلى قاسم مشترك أدنى.

على سبيل المثال، تحتاج إلى التعبير عنه بأجزاء متساوية من الكسر

حتى لا ينسى الطلاب حاصل القسمة على مقام أكبر على مقام أصغر، فمن المستحسن.

اكتب على كسر بمقام أصغر. على سبيل المثال، و

ثم نفكر في الكسور التي لا يقبل فيها المقام الأكبر القسمة على الأصغر، وبالتالي لا يكون

المشتركة بين هذه الكسور. على سبيل المثال، المقام 8 ليس كذلك

يتم القسمة على 6. في هذه الحالة، سيتم ضرب المقام الأكبر 8 بالأرقام الموجودة في سلسلة الأرقام تباعًا، بدءًا من 2، حتى نحصل على رقم يقبل القسمة دون باقي على المقامين 8 و6. لكي تظل الكسور مساوية للبيانات، يجب أن تتضاعف البسطات بنفس الأرقام وفقًا لذلك. على-

3 5 مثال، بحيث يتم التعبير عن الكسور tg و * بنسب متساوية،

يتم ضرب المقام الأكبر وهو 8 في 2 (8x2=16). 16 لا يقبل القسمة على 6، مما يعني أننا نضرب 8 في الرقم التالي 3 (8x3=24). 24 يقبل القسمة على 6 و8، مما يعني أن 24 هو المقام المشترك لهذه الكسور. لكن لكي تظل الكسور متساوية، يجب زيادة بسطيها بنفس عدد مرات زيادة المقامات، 8 يتم زيادة 3 مرات، مما يعني أن بسط هذا الكسر 3 سيزيد 3 مرات.

سيأخذ الكسر شكل المقام 6 بزيادة 4 مرات. وبناء على ذلك، يجب زيادة البسط 5 للكسر 4 مرات. وستكون الكسور على الشكل التالي:

وبالتالي، فإننا نأتي بالطلاب إلى استنتاج عام (قاعدة) ونعرفهم على خوارزمية التعبير عن الكسور بأجزاء متساوية. على سبيل المثال، بالنظر إلى كسرين ¾ و5/7

1. أوجد القاسم المشترك الأصغر: 7x2=14، 7x3=21،
7×4=28. 28 يقبل القسمة على 4 و7. 28 هو أصغر مقام مشترك
حامل الكسر

2. أوجد عوامل إضافية: 28:4=7،

3. دعونا نكتبها على الكسور:

4. اضرب بسط الكسور في عوامل إضافية:
3×7=21، 5×4=20.

نحصل على كسور لها نفس المقامات

لقد قمنا بتبسيط الكسور إلى قاسم مشترك أصغر.

تظهر التجربة أنه من المستحسن تعريف الطلاب بتحويل الكسور قبل دراسة العمليات الحسابية المختلفة مع الكسور. على سبيل المثال، يُنصح بتعليم اختصار الكسور أو استبدال الكسر غير الحقيقي بعدد صحيح أو مختلط قبل تعلم جمع وطرح الكسور ذات المقامات المتشابهة، حيث أن المجموع أو الفرق الناتج

سيكون عليك إجراء أحد التحويلين أو كليهما.

ومن الأفضل دراسة اختزال الكسر إلى أصغر مقام مشترك مع الطلاب قبل موضوع “جمع وطرح الكسور ذات المقامات المختلفة”، واستبدال العدد المختلط بكسر غير حقيقي قبل موضوع “ضرب وقسمة الكسور على الأعداد الصحيحة”.

جمع وطرح الكسور المشتركة

1. جمع وطرح الكسور ذات المقامات نفسها.

دراسة أجرتها قناة Alysheva T.V. 1، يشير إلى استصواب استخدام القياس مع الجمع والطرح المعروف لدى الطلاب عند دراسة عمليات الجمع والطرح للكسور العادية التي لها نفس المقامات

الأعداد التي يتم الحصول عليها نتيجة قياس الكميات، ودراسة الإجراءات باستخدام الطريقة الاستنباطية، أي “من العام إلى الخاص”.

أولاً، يتم تكرار عملية جمع وطرح الأعداد مع أسماء مقاييس القيمة والطول. على سبيل المثال، 8 روبل. 20 ك ± 4 ص. 15 ك. عند إجراء الجمع والطرح عن طريق الفم، تحتاج إلى إضافة (طرح) روبل أولا، ثم كوبيل.

3 م 45 سم ± 2 م 24 سم - يتم إضافة (طرح) الأمتار أولاً ثم السنتيمترات.

عند جمع وطرح الكسور، ضع في اعتبارك عامالحالة: تنفيذ هذه الإجراءات بأرقام كسرية (المقامات واحدة): في هذه الحالة عليك: “جمع (طرح) الأعداد الصحيحة، ثم البسط، ويبقى المقام كما هو”. تنطبق هذه القاعدة العامة على جميع حالات جمع وطرح الكسور. يتم تقديم حالات خاصة تدريجيًا: إضافة رقم كسري مع كسر، ثم رقم كسري مع عدد صحيح. بعد ذلك يتم النظر في حالات الطرح الأكثر صعوبة: 1) من عدد مختلط للكسر: 2) من عدد مختلط للكل:

بعد إتقان حالات الطرح البسيطة إلى حد ما، يتعرف الطلاب على حالات أكثر صعوبة تتطلب تحويل المطرح: الطرح من وحدة كاملة واحدة أو من عدة وحدات، على سبيل المثال:

في الحالة الأولى، يجب تمثيل الوحدة ككسر مقامه يساوي مقام المطروح. في الحالة الثانية، نأخذ واحدًا من عدد صحيح ونكتبه أيضًا على صورة كسر غير فعلي بمقام المطروح، ونحصل على رقم كسري في المطرح. يتم إجراء الطرح وفقا للقاعدة العامة.

وأخيرًا، تعتبر أصعب حالة طرح: من عدد مختلط، ويكون بسط الجزء الكسري أقل من البسط في المطروح. وفي هذه الحالة لا بد من تغيير المطرح حتى يمكن تطبيق القاعدة العامة، أي في المطرح خذ وحدة واحدة من الكل واقسمها

في الأخماس، نحصل وأيضا، نحصل على مثال

سيأخذ النموذج التالي: يمكنك بالفعل التقدم لحله

القاعدة العامة.

إن استخدام الطريقة الاستنتاجية لتدريس جمع وطرح الكسور سيساعد الطلاب على تطوير القدرة على التعميم والمقارنة والتمييز وإدراج الحالات الفردية للحسابات في النظام العام للمعرفة حول العمليات مع الكسور.