أنت تعرف خصائص الجمع والطرح. قانون الجمع بالإضافة

الأعداد الصحيحة

يتم استدعاء الأرقام المستخدمة في العد الأعداد الطبيعيةرقم صفرلا ينطبق على الأعداد الطبيعية

رقم واحدالأرقام: 1،2،3،4،5،6،7،8،9 رقمين: 24.56، الخ. ثلاثة أرقام: 348,569، الخ. متعددة القيم: 23,562,456789 إلخ.

تسمى عملية تقسيم عدد إلى مجموعات مكونة من 3 أرقام بدءاً من اليمين الطبقات: الأرقام الثلاثة الأولى هي فئة الوحدات، والأرقام الثلاثة التالية هي فئة الآلاف، ثم الملايين، وما إلى ذلك.

حسب القطاعاستدعاء الخط المرسوم من النقطة A إلى النقطة B. يسمى AB أو BA A B ويسمى طول القطعة AB مسافةبين النقطتين A و B.

وحدات الطول:

1) 10 سم = 1 مارك ألماني

2) 100 سم = 1 م

3) 1 سم = 10 ملم

4) 1 كم = 1000 م

طائرةهو سطح ليس له حواف، ويمتد بلا حدود في كل الاتجاهات. مستقيمليس له بداية أو نهاية. خطان مستقيمان لهما نقطة مشتركة واحدة - تتقاطع. شعاع– هذا جزء من السطر الذي له بداية وليس له نهاية (OA وOB). تسمى الأشعة التي تقسم فيها النقطة خطا مستقيما إضافيبعضها البعض.

شعاع الإحداثيات:

0 1 2 3 4 5 6 O E A B X O(0)، E(1)، A(2)، B(3) – إحداثيات النقاط. من بين الأعداد الطبيعية، الأصغر هو الذي يتم استدعاؤه مسبقًا عند العد، والأكبر هو الذي يتم استدعاؤه لاحقًا عند العد. واحد هو أصغر عدد طبيعي. تتم كتابة نتيجة المقارنة بين رقمين في صورة عدم المساواة: 5< 8, 5670 >368. الرقم 8 أقل من 28 وأكبر من 5، يمكن كتابته على شكل متباينة مزدوجة: 5< 8 < 28

جمع وطرح الأعداد الطبيعية

إضافة

الأرقام التي تضيف تسمى الإضافات. نتيجة الجمع تسمى المجموع.

خصائص الإضافة:

1. الخاصية التبادلية:لا يتغير مجموع الأرقام عند إعادة ترتيب المصطلحات: أ + ب = ب + أ(أ و ب هما أي عددين طبيعيين و 0) 2. خاصية المطابقة:لإضافة مجموع رقمين إلى رقم، يمكنك أولاً إضافة الحد الأول، ثم إضافة الحد الثاني إلى المجموع الناتج: أ + (ب + ج) = (أ + ب) +ج = أ + ب + ج(أ، ب، ج هي أي أعداد طبيعية و0).

3. الجمع مع الصفر:إضافة الصفر لا يغير الرقم:

أ + 0 = 0 + أ = أ(أ هو أي عدد طبيعي).

يسمى مجموع أطوال أضلاع المضلع محيط هذا المضلع.

الطرح

يسمى الإجراء الذي يستخدم المجموع وأحد المصطلحات للعثور على مصطلح آخر عن طريق الطرح.

ويسمى الرقم الذي يتم طرحه منه قابل للاختزال، يتم استدعاء الرقم الذي يتم طرحه للخصم، يتم استدعاء نتيجة الطرح اختلاف.الفرق بين رقمين يوضح كم أولاًرقم أكثرالثانية أو كم ثانيةرقم أقلأولاً.

خصائص الطرح:

1. خاصية طرح مجموع من رقم: من أجل طرح مجموع من رقم، يمكنك أولاً طرح الحد الأول من هذا الرقم، ثم طرح الحد الثاني من الفرق الناتج:

أ – (ب + ج) = (أ – ب) –مع= أ – ب –مع(ب + ج > أ أو ب + ج = أ).

2. خاصية طرح عدد من المجموع: لطرح رقم من مجموع، يمكنك طرحه من حد واحد وإضافة حد آخر إلى الفرق الناتج

(أ + ب) – ج = أ + (ب – ج)، إذا مع< b или с = b

(أ + ب) – ج = (أ - ج) + ب، إذا مع< a или с = a.

3. خاصية الطرح الصفري:إذا طرحت صفرًا من رقم فلن يتغير:

أ – 0 = أ(أ – أي عدد طبيعي)

4. خاصية طرح نفس الرقم من رقم: إذا طرحت هذا الرقم من رقم، تحصل على صفر:

أ - أ = 0(أ هو أي عدد طبيعي).

التعبيرات الرقمية والأبجدية

تسمى سجلات الإجراءات بالتعبيرات الرقمية. الرقم الذي تم الحصول عليه نتيجة تنفيذ كل هذه الإجراءات يسمى قيمة التعبير.

ضرب وقسمة الأعداد الطبيعية

ضرب الأعداد الطبيعية وخصائصها

ضرب العدد m في العدد الطبيعي n يعني إيجاد مجموع حدود n، كل منها يساوي m.

يسمى التعبير m · n وقيمة هذا التعبير بمنتج الرقمين m و n. تسمى الأرقام m و n بالعوامل.

خصائص الضرب:

1. الخاصية الإبدالية للضرب: لا يتغير حاصل ضرب رقمين عند إعادة ترتيب العوامل:

أ ب = ب أ

2. الخاصية التجميعية للضرب: لضرب عدد في حاصل ضرب رقمين، يمكنك أولاً ضربه في العامل الأول، ثم ضرب الناتج الناتج في العامل الثاني:

أ · (ب · ج) = (أ · ب) · ج.

3. خاصية الضرب في واحد: مجموع حدود n، كل منها يساوي 1، يساوي n:

1 ن = ن

4. خاصية الضرب في الصفر: مجموع الحدود n، التي يساوي كل منها صفرًا، يساوي صفرًا:

0 ن = 0

يمكن حذف علامة الضرب: 8 x = 8x,

أو ب = أب،

أو أ · (ب + ج) = أ(ب + ج)

قسم

الإجراء الذي يتم من خلاله استخدام المنتج وأحد العوامل للعثور على عامل آخر يسمى القسمة.

يتم استدعاء الرقم الذي يتم تقسيمه قابل للقسمة; يتم استدعاء الرقم الذي يتم القسمة عليه مقسم، تسمى نتيجة القسمة خاص.

يوضح حاصل القسمة عدد المرات التي يكون فيها المقسوم أكبر من المقسوم عليه.

لا يمكنك القسمة على صفر!

خصائص القسمة:

1. عند قسمة أي رقم على 1 نحصل على نفس الرقم:

أ: 1 = أ.

2. عند قسمة عدد على نفس الرقم يكون الناتج واحدًا:

أ: أ = 1.

3. عند قسمة الصفر على رقم يكون الناتج صفراً:

0: أ = 0.

للعثور على عامل غير معروف، تحتاج إلى تقسيم المنتج على عامل آخر. 5س = 45 س = 45: 5 س = 9

للعثور على المقسوم المجهول، عليك ضرب حاصل القسمة على المقسوم عليه. س: 15 = 3 س = 3 15 س = 45

للعثور على مقسوم مجهول، عليك قسمة المقسوم على حاصل القسمة. 48: س = 4 × = 48: 4 × = 12

القسمة على الباقي

والباقي دائما أقل من المقسوم عليه.

إذا كان الباقي صفرًا، يقال إن المقسوم قابل للقسمة على المقسوم عليه بدون باقي، أو بعبارة أخرى، على عدد صحيح. للعثور على المقسوم a عند القسمة على باقي، تحتاج إلى ضرب الحاصل الجزئي c بالمقسوم عليه b وإضافة الباقي d إلى المنتج الناتج.

أ = ج ب + د

تبسيط التعبيرات

خصائص الضرب:

1. خاصية توزيع الضرب بالنسبة إلى الجمع: لضرب مجموع في رقم، يمكنك ضرب كل مضاف في هذا الرقم وإضافة المنتجات الناتجة:

(أ + ب) ج = أ + ق.

2. خاصية توزيع الضرب بالنسبة إلى الطرح: لضرب الفرق في رقم، يمكنك ضرب المطرح والطرح في هذا الرقم وطرح الثاني من المنتج الأول:

(أ - ب) ج = أ - ق.م.

3أ + 7أ = (3 + 7)أ = 10أ

إجراء

تسمى عمليات جمع وطرح الأعداد بعمليات المرحلة الأولى، وتسمى عمليات ضرب وقسمة الأعداد بعمليات المرحلة الثانية.

قواعد ترتيب الأفعال:

1. إذا لم يكن هناك قوسين في التعبير وكان يحتوي على أفعال مرحلة واحدة فقط، فسيتم تنفيذها بالترتيب من اليسار إلى اليمين.

2. إذا كان التعبير يحتوي على أفعال المرحلة الأولى والثانية ولم يكن هناك قوسين، فيتم تنفيذ أفعال المرحلة الثانية أولا، ثم أفعال المرحلة الأولى.

3. إذا كان هناك قوسين في التعبير، فقم بتنفيذ الإجراءات الموجودة بين القوسين أولاً (مع مراعاة القاعدتين 1 و 2)

يحدد كل تعبير برنامجًا لحسابه. يتكون من فرق.

درجة. الأعداد المربعة والمكعبة

المنتج الذي تتساوى فيه جميع العوامل مع بعضها البعض يُكتب بشكل أقصر: a · a · a · a · a · a = a6 اقرأ: a للأس السادس. الرقم a يسمى أساس القوة، والرقم 6 هو الأس، والتعبير a6 يسمى القوة.

يُطلق على منتج n و n مربع n ويُشار إليه بـ n2 (en تربيع):

ن2 = ن ن

المنتج n · n · n يسمى مكعب الرقم n ويشار إليه بـ n3 (n مكعب): ن3 = ن ن ن

القوة الأولى للرقم تساوي الرقم نفسه. إذا كان التعبير الرقمي يتضمن قوى الأرقام، فسيتم حساب قيمها قبل تنفيذ الإجراءات الأخرى.

المساحات والأحجام

كتابة القاعدة باستخدام الحروف تسمى صيغة. صيغة المسار:

الصورة = فاتو،حيث s هو المسار، v هو السرعة، t هو الوقت.

ت=س:ر

ر = ق: الخامس

مربع. صيغة لمنطقة المستطيل.

للعثور على مساحة المستطيل، تحتاج إلى ضرب طوله بعرضه. س = أب،حيث S هي المساحة، A هو الطول، B هو العرض

يتم تسمية الرقمين متساويين إذا كان من الممكن تركيب أحدهما على الثاني بحيث تتطابق هذه الأرقام. مساحات الأرقام المتساوية متساوية. محيطات الأشكال المتساوية متساوية.

مساحة الشكل بأكمله تساوي مجموع مساحات أجزائه. مساحة كل مثلث تساوي نصف مساحة المستطيل بأكمله

مربعهو مستطيل ذو جوانب متساوية.

مساحة المربع تساوي مربع طول ضلعه:

وحدات المساحة

المليمتر المربع – مم2

سنتيمتر مربع - سم 2

ديسيمتر مربع - dm2

متر مربع - م2

كيلومتر مربع - كم2

يتم قياس المساحات الميدانية بالهكتار (هكتار). الهكتار هو مساحة مربع طول ضلعه 100 م.

تقاس مساحة قطع الأرض الصغيرة بالآريس (أ).

ع (مائة متر مربع) هي مساحة مربع طول ضلعه 10 م.

1 هكتار = 10.000 م2

1 دسم2 = 100 سم2

1 م2 = 100 دسم2 = 10000 سم2

إذا تم قياس طول وعرض المستطيل بوحدات مختلفة، فيجب التعبير عنها بنفس الوحدات لحساب المساحة.

مستطيلة متوازية

يتكون سطح متوازي السطوح المستطيل من 6 مستطيلات، يسمى كل منها وجهًا.

الأوجه المتقابلة لمتوازي السطوح المستطيل متساوية.

وتسمى جوانب الوجوه حواف متوازية، ورؤوس الوجوه هي قمم متوازي السطوح.

متوازي الأضلاع مستطيل له 12 حرفًا و8 رؤوس.

متوازي السطوح المستطيل له ثلاثة أبعاد: الطول والعرض والارتفاع

مكعب- هذا متوازي مستطيلات، جميع أبعاده متماثلة. يتكون سطح المكعب من 6 مربعات متساوية.

حجم متوازي السطوح المستطيل: للعثور على حجم متوازي السطوح المستطيل، عليك ضرب طوله في عرضه وارتفاعه.

الخامس = اي بي سي، V - الحجم، الطول، ب - العرض، ج - الارتفاع

حجم المكعب:

وحدات الحجم:

ملليمتر مكعب - مم 3

سنتيمتر مكعب - سم 3

ديسيمتر مكعب - dm3

متر مكعب - مم 3

كيلومتر مكعب - كم 3

1 م3 = 1000 دسم3 = 1000 لتر

1 لتر = 1 دسم3 = 1000 سم3

1 سم3 = 1000 مم3 1 كم3 = 1,000,000,000 م3

دائرة ودائرة

الخط المغلق الذي يقع على نفس المسافة من نقطة معينة يسمى دائرة.

يسمى الجزء من المستوى الذي يقع داخل الدائرة بالدائرة.

تسمى هذه النقطة مركز كل من الدائرة والدائرة.

يسمى الجزء الذي يربط مركز الدائرة بأي نقطة تقع عليها نصف قطر الدائرة.

يسمى الجزء الذي يربط بين نقطتين في الدائرة ويمر بمركزها قطر الدائرة.

القطر يساوي نصف قطر.

لقد قمنا بتعريف الجمع والضرب والطرح وقسمة الأعداد الصحيحة. هذه الإجراءات (العمليات) لها عدد من النتائج المميزة، والتي تسمى الخصائص. سنتناول في هذه المقالة الخصائص الأساسية لجمع الأعداد الصحيحة وضربها، والتي تتبعها جميع الخصائص الأخرى لهذه الإجراءات، بالإضافة إلى خصائص طرح الأعداد الصحيحة وقسمتها.

التنقل في الصفحة.

جمع الأعداد الصحيحة له العديد من الخصائص الأخرى المهمة جدًا.

أحدهما يتعلق بوجود الصفر. تنص خاصية جمع الأعداد الصحيحة على ذلك إضافة الصفر إلى أي عدد صحيح لا يغير هذا الرقم. لنكتب خاصية الجمع هذه باستخدام الحروف: a+0=a و0+a=a (هذه المساواة صحيحة بسبب الخاصية التبادلية للجمع)، a هو أي عدد صحيح. قد تسمع أن العدد الصحيح صفر يسمى العنصر المحايد بالإضافة إلى ذلك. دعونا نعطي بضعة أمثلة. مجموع العدد الصحيح −78 والصفر هو −78؛ إذا أضفت العدد الصحيح الموجب 999 إلى الصفر، تكون النتيجة 999.

الآن سنقدم صيغة لخاصية أخرى لجمع الأعداد الصحيحة، والتي ترتبط بوجود عدد معاكس لأي عدد صحيح. مجموع أي عدد صحيح مع العدد المقابل له هو صفر. دعونا نعطي الشكل الحرفي لكتابة هذه الخاصية: a+(−a)=0، حيث a و −a عددان صحيحان متقابلان. على سبيل المثال، مجموع 901+(−901) هو صفر؛ وبالمثل، فإن مجموع الأعداد الصحيحة المتقابلة −97 و97 هو صفر.

الخصائص الأساسية لضرب الأعداد الصحيحة

ضرب الأعداد الصحيحة له كل خصائص ضرب الأعداد الطبيعية. دعونا قائمة أهم هذه الخصائص.

كما أن الصفر هو عدد صحيح محايد بالنسبة إلى الجمع، فإن الواحد هو عدد صحيح محايد بالنسبة إلى ضرب الأعداد الصحيحة. إنه، ضرب أي عدد صحيح في واحد لا يغير الرقم الجاري ضربه. إذن 1·a=a، حيث a هو أي عدد صحيح. يمكن إعادة كتابة المساواة الأخيرة بالشكل a·1=a، وهذا يسمح لنا بإنشاء الخاصية التبادلية للضرب. دعونا نعطي مثالين. حاصل ضرب العدد الصحيح 556 في 1 هو 556؛ حاصل ضرب واحد والعدد الصحيح السالب −78 يساوي −78.

الخاصية التالية لضرب الأعداد الصحيحة تتعلق بالضرب في الصفر. نتيجة ضرب أي عدد صحيح في صفر هي صفر، أي أ·0=0 . المساواة 0·a=0 صحيحة أيضًا بسبب الخاصية التبادلية لضرب الأعداد الصحيحة. في حالة خاصة عندما يكون a=0، فإن حاصل ضرب صفر وصفر يساوي صفرًا.

بالنسبة لضرب الأعداد الصحيحة، فإن الخاصية العكسية للخاصية السابقة صحيحة أيضًا. يدعي ذلك يكون حاصل ضرب عددين صحيحين صفرًا إذا كان أحد العوامل على الأقل يساوي صفرًا. بشكل حرفي، يمكن كتابة هذه الخاصية على النحو التالي: a·b=0، إذا كان a=0، أو b=0، أو كان كل من a وb يساوي الصفر في نفس الوقت.

خاصية التوزيع لضرب الأعداد الصحيحة بالنسبة إلى الجمع

الجمع المشترك وضرب الأعداد الصحيحة يسمح لنا بالنظر في خاصية توزيع الضرب بالنسبة إلى الجمع، الذي يربط بين الإجراءين المشار إليهما. إن استخدام الجمع والضرب معًا يفتح إمكانيات إضافية قد نفوتها إذا نظرنا إلى الجمع بشكل منفصل عن الضرب.

لذا، فإن خاصية توزيع الضرب بالنسبة إلى الجمع تنص على أن حاصل ضرب عدد صحيح a ومجموع عددين صحيحين a وb يساوي مجموع ناتجي الضرب a b وa c، أي، أ·(ب+ج)=أ·ب+أ·ج. ويمكن كتابة نفس الخاصية بصيغة أخرى: (أ+ب)ج=أ+ج .

خاصية التوزيع لضرب الأعداد الصحيحة بالنسبة إلى الجمع، إلى جانب الخاصية التجميعية للجمع، تسمح لنا بتحديد ضرب عدد صحيح في مجموع ثلاثة أعداد صحيحة أو أكثر، ثم ضرب مجموع الأعداد الصحيحة في المجموع.

ولاحظ أيضاً أن جميع الخواص الأخرى لجمع وضرب الأعداد الصحيحة يمكن الحصول عليها من الخواص التي أشرنا إليها، أي أنها نتائج للخواص المبينة أعلاه.

خصائص طرح الأعداد الصحيحة

من المساواة الناتجة، وكذلك من خصائص جمع وضرب الأعداد الصحيحة، تتبع خصائص طرح الأعداد الصحيحة التالية (أ، ب، ج هي أعداد صحيحة عشوائية):

• طرح الأعداد الصحيحة بشكل عام ليس له خاصية الإبدال: a−b≠b−a.
• الفرق بين الأعداد الصحيحة المتساوية هو صفر: a−a=0.
• خاصية طرح مجموع عددين صحيحين من عدد صحيح معين: a−(b+c)=(a−b)−c .
• خاصية طرح عدد صحيح من مجموع عددين صحيحين: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
• خاصية توزيع الضرب بالنسبة إلى الطرح: أ·(ب−ج)=أ·ب−أ·ج و (أ−ب)·ج=أ·ج−ب·ج.
• وجميع خصائص طرح الأعداد الصحيحة الأخرى.

خصائص تقسيم الأعداد الصحيحة

أثناء مناقشة معنى قسمة الأعداد الصحيحة، اكتشفنا أن قسمة الأعداد الصحيحة هي عملية الضرب العكسية. قدمنا ​​التعريف التالي: قسمة الأعداد الصحيحة هي إيجاد عامل مجهول من منتج معروف وعامل معروف. أي أننا نسمي العدد الصحيح c حاصل قسمة العدد الصحيح a على العدد الصحيح b، عندما يكون الناتج c·b يساوي a.

هذا التعريف، بالإضافة إلى جميع خصائص العمليات على الأعداد الصحيحة التي تمت مناقشتها أعلاه، يجعل من الممكن إثبات صحة الخصائص التالية لقسمة الأعداد الصحيحة:

• لا يمكن قسمة أي عدد صحيح على صفر.
• خاصية قسمة الصفر على عدد صحيح غير الصفر: 0:a=0.
• خاصية قسمة الأعداد الصحيحة المتساوية: a:a=1، حيث a هو أي عدد صحيح غير الصفر.
• خاصية قسمة عدد صحيح اعتباطي على واحد: a:1=a.
• بشكل عام، قسمة الأعداد الصحيحة لا تحتوي على الخاصية التبادلية: a:b≠b:a .
• خصائص قسمة مجموع وفرق عددين صحيحين على عدد صحيح: (a+b):c=a:c+b:c و (a−b):c=a:c−b:c، حيث a, b و c عبارة عن أعداد صحيحة بحيث يكون كل من a وb قابلين للقسمة على c وc ليس صفرًا.
• خاصية قسمة حاصل ضرب عددين صحيحين a وb على عدد صحيح c غير الصفر: (a·b):c=(a:c)·b، إذا كان a يقبل القسمة على c؛ (a·b):c=a·(b:c) ، إذا كان b يقبل القسمة على c ; (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c) ، إذا كان كل من a و b قابلين للقسمة على c .
• خاصية قسمة عدد صحيح a على حاصل ضرب عددين صحيحين b و c (الأرقام a و b و c تجعل من الممكن قسمة a على b c): a:(b c)=(a:b)c=(a :ج)·ب .
• أي خواص أخرى لقسمة الأعداد الصحيحة.

لذا، بشكل عام، طرح الأعداد الطبيعية ليس له خاصية الإبدال. دعونا نكتب هذا البيان باستخدام الحروف. إذا كان a وb عددين طبيعيين غير متساويين فإن أ−ب≠ب−أ. على سبيل المثال، 45−21≠21−45.

خاصية طرح مجموع رقمين من عدد طبيعي.

الخاصية التالية تتعلق بطرح مجموع رقمين من عدد طبيعي. دعونا نلقي نظرة على مثال من شأنه أن يعطينا فهمًا لهذه الخاصية.

لنتخيل أن لدينا 7 عملات معدنية في أيدينا. قررنا أولاً الاحتفاظ بعملتين معدنيتين، ولكن معتقدين أن هذا لن يكون كافيًا، قررنا الاحتفاظ بعملة معدنية أخرى. واستناداً إلى معنى إضافة الأعداد الطبيعية، يمكن القول أننا في هذه الحالة قررنا حفظ عدد العملات المعدنية، والذي يتم تحديده بالمجموع 2+1. لذلك، نأخذ عملتين معدنيتين، ونضيف إليهما عملة أخرى ونضعهما في الحصالة. في هذه الحالة، يتم تحديد عدد العملات المتبقية في أيدينا بالفرق 7−(2+1) .

الآن تخيل أن لدينا 7 عملات معدنية، ووضعنا عملتين في الحصالة، وبعد ذلك عملة أخرى. رياضياً، يتم وصف هذه العملية بالتعبير العددي التالي: (7−2)−1.

إذا قمنا بعد العملات المعدنية المتبقية في أيدينا، ففي الحالتين الأولى والثانية لدينا 4 عملات معدنية. أي 7−(2+1)=4 و (7−2)−1=4، وبالتالي 7−(2+1)=(7−2)−1.

يتيح لنا المثال المدروس صياغة خاصية طرح مجموع رقمين من رقم طبيعي معين. إن طرح مجموع معين من رقمين طبيعيين من عدد طبيعي معين هو نفس طرح الحد الأول من مجموع معين من عدد طبيعي معين، ثم طرح الحد الثاني من الفرق الناتج.

دعونا نتذكر أننا أعطينا معنى لطرح الأعداد الطبيعية فقط في الحالة التي يكون فيها المطرح أكبر من المطروح أو يساويه. لذلك، لا يمكننا طرح مجموع معين من عدد طبيعي معين إلا إذا لم يكن هذا المجموع أكبر من العدد الطبيعي الذي تم اختزاله. لاحظ أنه إذا تحقق هذا الشرط فإن كل حد من الحدود لا يتجاوز العدد الطبيعي الذي يطرح منه المجموع.

باستخدام الحروف، يتم كتابة خاصية طرح مجموع رقمين من عدد طبيعي معين على أنها مساواة أ−(ب+ج)=(أ−ب)−ج، حيث a وb وc هي بعض الأعداد الطبيعية، ويتم استيفاء الشروط a>b+c أو a=b+c.

الخاصية المدروسة، وكذلك الخاصية التجميعية لجمع الأعداد الطبيعية، تجعل من الممكن طرح مجموع ثلاثة أرقام أو أكثر من رقم طبيعي معين.

خاصية طرح عدد طبيعي من مجموع رقمين.

دعنا ننتقل إلى الخاصية التالية، والتي ترتبط بطرح عدد طبيعي معين من مجموع معين لعددين طبيعيين. دعونا نلقي نظرة على الأمثلة التي ستساعدنا على "رؤية" خاصية طرح عدد طبيعي من مجموع رقمين.

دعونا نمتلك 3 قطع حلوى في الجيب الأول، و5 قطع حلوى في الجيب الثاني، وعلينا أن نوزع قطعتين من الحلوى. يمكننا القيام بذلك بطرق مختلفة. دعونا ننظر إليهم واحدا تلو الآخر.

أولاً، يمكننا وضع كل قطع الحلوى في جيب واحد، ثم نخرج قطعتين من الحلوى من هناك ونوزعهما. دعونا نصف هذه الإجراءات رياضيا. بعد أن نضع الحلوى في جيب واحد، سيتم تحديد عددها بالمجموع 3+5. الآن، من إجمالي عدد قطع الحلوى، سنمنح قطعتين من الحلوى، بينما سيتم تحديد العدد المتبقي من الحلوى بالفرق التالي (3+5)−2.

ثانيًا، يمكننا توزيع قطعتين من الحلوى عن طريق إخراجهما من الجيب الأول. في هذه الحالة، يحدد الفرق 3−2 العدد المتبقي من الحلوى في الجيب الأول، وسيتم تحديد العدد الإجمالي للحلوى المتبقية في جيبنا بالمجموع (3−2)+5.

ثالثًا، يمكننا توزيع قطعتين من الحلوى من الجيب الثاني. ثم الفرق 5−2 سوف يتوافق مع عدد الحلوى المتبقية في الجيب الثاني، وسيتم تحديد إجمالي عدد الحلوى المتبقية من خلال المبلغ 3+(5−2) .

ومن الواضح أنه في جميع الحالات سيكون لدينا نفس العدد من الحلوى. وبالتالي، فإن التساويات (3+5)−2=(3−2)+5=3+(5−2) صحيحة.

إذا كان علينا أن نتخلى عن 4 قطع من الحلوى، وليس 2، فيمكننا القيام بذلك بطريقتين. أولاً، قم بتوزيع 4 قطع حلوى، بعد أن وضعتها جميعًا في جيب واحد. في هذه الحالة، يتم تحديد العدد المتبقي من الحلوى بتعبير بالشكل (3+5)−4. ثانيًا، يمكننا توزيع 4 قطع حلوى من الجيب الثاني. في هذه الحالة، إجمالي عدد قطع الحلوى يعطي المجموع التالي 3+(5−4) . من الواضح أنه في كلتا الحالتين الأولى والثانية سيكون لدينا نفس العدد من الحلوى، وبالتالي فإن المساواة (3+5)−4=3+(5−4) صحيحة.

بعد تحليل النتائج التي تم الحصول عليها من حل الأمثلة السابقة، يمكننا صياغة خاصية طرح عدد طبيعي معين من مجموع معين من رقمين. إن طرح عدد طبيعي معين من مجموع معين من رقمين هو نفس طرح رقم معين من أحد الحدود، ثم إضافة الفرق الناتج والحد الآخر. تجدر الإشارة إلى أن الرقم الذي يتم طرحه يجب ألا يكون أكبر من الحد الذي يتم طرح هذا الرقم منه.

دعونا نكتب خاصية طرح عدد طبيعي من المجموع باستخدام الحروف. دع a وb وc عبارة عن أعداد طبيعية. ومن ثم، بشرط أن يكون a أكبر من أو يساوي c، فإن المساواة صحيحة (أ+ب)−ج=(أ−ج)+بوإذا تحقق شرط أن b أكبر من أو يساوي c، فإن المساواة صحيحة (أ+ب)−ج=أ+(ب−ج). إذا كان كل من a وb أكبر من أو يساوي c، فإن كلا المتساويين الأخيرين صحيحان، ويمكن كتابتهما على النحو التالي: (أ+ب)−ج=(أ−ج)+ب= أ+(ب−ج) .

وبالقياس، يمكننا صياغة خاصية طرح عدد طبيعي من مجموع ثلاثة أرقام أو أكثر. وفي هذه الحالة يمكن طرح هذا العدد الطبيعي من أي حد (بالطبع إذا كان أكبر من أو يساوي الرقم الذي يتم طرحه)، ويمكن إضافة الحدود المتبقية إلى الفرق الناتج.

لتصور خاصية الصوت، يمكنك أن تتخيل أن لدينا العديد من الجيوب ويوجد بها حلوى. لنفترض أننا بحاجة إلى التخلي عن قطعة حلوى واحدة. من الواضح أنه يمكننا تقديم قطعة حلوى واحدة من أي جيب. وفي الوقت نفسه، لا يهم من أي جيب نوزعها، لأن هذا لا يؤثر على كمية الحلوى التي سنتركها.

دعونا نعطي مثالا. دع a وb وc وd عبارة عن أعداد طبيعية. إذا كان a>d أو a=d، فإن الفرق (a+b+c)−d يساوي المجموع (a−d)+b+c. إذا كان b>d أو b=d، فإن (a+b+c)−d=a+(b−d)+c. إذا كانت c>d أو c=d، فإن المساواة (a+b+c)−d=a+b+(c−d) صحيحة.

وتجدر الإشارة إلى أن خاصية طرح عدد طبيعي من مجموع ثلاثة أرقام أو أكثر ليست خاصية جديدة، لأنها تتبع خصائص جمع الأعداد الطبيعية وخاصية طرح عدد من مجموع رقمين.

فهرس.

• الرياضيات. أي كتب مدرسية للصفوف الأول والثاني والثالث والرابع من مؤسسات التعليم العام.
• الرياضيات. أي كتب مدرسية للصف الخامس بمؤسسات التعليم العام.

الموضوع الذي خصص له هذا الدرس هو "خصائص الجمع". حيث ستتعرف على خصائص الجمع التبادلية والترابطية، من خلال فحصها بأمثلة محددة. تعرف على الحالات التي يمكنك استخدامها لتسهيل عملية الحساب. ستساعدك أمثلة الاختبار في تحديد مدى إتقانك للمادة المدروسة.

الدرس: خواص الجمع

انظر بعناية إلى التعبير:

9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3

علينا أن نجد قيمته. دعنا نقوم به.

9 + 6 = 15
15 + 8 = 23
23 + 7 = 30
30 + 2 = 32
32 + 4 = 36
36 + 1 = 37
37 + 3 = 40

نتيجة التعبير هي 9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3 = 40.
أخبرني، هل كان من المناسب الحساب؟ لم يكن الحساب مناسبًا جدًا. انظر مرة أخرى إلى الأرقام الموجودة في هذا التعبير. هل من الممكن تبديلها بحيث تكون الحسابات أكثر ملاءمة؟

إذا قمنا بإعادة ترتيب الأرقام بشكل مختلف:

9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = …
9 + 1 = 10
10 + 8 = 18
18 + 2 = 20
20 + 7 = 27
27 + 3 = 30
30 + 6 = 36
36 + 4 = 40

النتيجة النهائية للتعبير هي 9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = 40.
نرى أن نتائج التعبيرات هي نفسها.

يمكن تبديل المصطلحات إذا كان ذلك مناسبًا للحسابات، ولن تتغير قيمة المجموع.

هناك قانون في الرياضيات: قانون الجمع التبادلي. تنص على أن إعادة ترتيب الحدود لا يغير المجموع.

جادل العم فيودور وشريك. وجد شاريك معنى التعبير كما هو مكتوب، وقال العم فيودور إنه يعرف طريقة أخرى أكثر ملاءمة للحساب. هل ترى طريقة أفضل للحساب؟

قام شريك بحل التعبير كما هو مكتوب. وقال العم فيودور إنه يعرف القانون الذي يسمح بتبادل المصطلحات، وقام بتبديل الأرقام 25 و3.

37 + 25 + 3 = 65 37 + 25 = 62

37 + 3 + 25 = 65 37 + 3 = 40

ونحن نرى أن النتيجة تبقى كما هي، ولكن الحساب أصبح أسهل بكثير.

انظر إلى التعبيرات التالية واقرأها.

6 + (24 + 51) = 81 (أضف إلى 6 مجموع 24 و51)
هل هناك طريقة مناسبة للحساب؟
نرى أنه إذا أضفنا 6 و24، نحصل على رقم صحيح. من الأسهل دائمًا إضافة شيء ما إلى رقم مستدير. دعونا نضع مجموع الأرقام 6 و 24 بين قوسين.
(6 + 24) + 51 = …
(أضف 51 إلى مجموع الرقمين 6 و 24)

دعونا نحسب قيمة التعبير ونرى ما إذا كانت قيمة التعبير قد تغيرت؟

6 + 24 = 30
30 + 51 = 81

ونرى أن معنى التعبير يبقى كما هو.

دعونا نتدرب مع مثال آخر.

(27 + 19) + 1 = 47 (أضف 1 إلى مجموع الرقمين 27 و19)
ما هي الأرقام المناسبة للتجميع لتشكيل طريقة مناسبة؟
لقد خمنت أن هذين هما الرقمان 19 و1. فلنضع مجموع الرقمين 19 و1 بين قوسين.
27 + (19 + 1) = …
(إلى 27 أضف مجموع الأرقام 19 و 1)
دعونا نجد معنى هذا التعبير. نتذكر أن الإجراء الموجود بين القوسين يتم تنفيذه أولاً.
19 + 1 = 20
27 + 20 = 47

يبقى معنى تعبيرنا كما هو.

قانون الجمع بالإضافة: يمكن استبدال حدين متجاورين بمجموعهما.

الآن دعونا نتدرب على استخدام كلا القانونين. نحتاج إلى حساب قيمة التعبير:

38 + 14 + 2 + 6 = …

أولاً، دعونا نستخدم الخاصية الإبدالية لعملية الجمع، والتي تسمح لنا بتبديل الإضافات. دعونا نتبادل المصطلحين 14 و 2.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = …

الآن دعونا نستخدم خاصية الجمع، والتي تسمح لنا باستبدال حدين متجاورين بمجموعهما.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = (38 + 2) + (14 + 6) =…

أولا نكتشف قيمة مجموع 38 و 2.

الآن المجموع هو 14 و 6.

3. مهرجان الأفكار التربوية "الدرس المفتوح" ().

اصنعها في المنزل

1. احسب مجموع المصطلحات بطرق مختلفة:

أ) 5 + 3 + 5 ب) 7 + 8 + 13 ج) 24 + 9 + 16

2. تقييم نتائج التعبيرات:

أ) 19 + 4 + 16 + 1 ب) 8 + 15 + 12 + 5 ج) 20 + 9 + 30 + 1

3. احسب المبلغ بطريقة مناسبة:

أ) 10 + 12 + 8 + 20 ب) 17 + 4 + 3 + 16 ج) 9 + 7 + 21 + 13

من الأفضل فهم مفهوم الطرح بمثال. عليك أن تقرر شرب الشاي مع الحلويات. كان هناك 10 حلويات في المزهرية. لقد أكلت 3 قطع حلوى. كم عدد الحلوى المتبقية في المزهرية؟ إذا طرحنا 3 من 10، فسيتبقى 7 حلويات في المزهرية. لنكتب المشكلة رياضيا:

دعونا نلقي نظرة على الإدخال بالتفصيل:
10 هو الرقم الذي نطرح منه أو ننقص منه، ولهذا سمي بهذا الاسم قابل للاختزال.
3 هو الرقم الذي نطرحه. لهذا السبب يسمونه للخصم.
7 هو الرقم الناتج عن الطرح أو يسمى أيضاً اختلاف. يظهر الفرق كم الرقم الأول (10) أكبر من الرقم الثاني (3) أو كم الرقم الثاني (3) أقل من الرقم الأول (10).

إذا كنت تشك فيما إذا كنت قد وجدت الفرق بشكل صحيح، عليك أن تفعل ذلك يفحص. أضف الرقم الثاني إلى الفرق: 7+3=10

عند طرح l، لا يمكن أن يكون المطرح أقل من المطروح.

نستنتج مما قيل. الطرح- وهو إجراء يتم به إيجاد الحد الثاني من المجموع وأحد الحدود.

في الشكل الحرفي، سيبدو هذا التعبير كما يلي:

أ-ب =ج

أ - مينند،
ب - الطرح،
ج – الفرق .

خصائص طرح مجموع من رقم.

13 — (3 + 4)=13 — 7=6
13 — 3 — 4 = 10 — 4=6

يمكن حل المثال بطريقتين. الطريقة الأولى هي إيجاد مجموع الأعداد (3+4)، ثم الطرح من العدد الإجمالي (13). الطريقة الثانية هي طرح الحد الأول (3) من العدد الإجمالي (13)، ثم طرح الحد الثاني (4) من الفرق الناتج.

بشكل حرفي، خاصية طرح مجموع من عدد ستبدو كما يلي:
أ - (ب + ج) = أ - ب - ج

خاصية طرح عدد من المجموع.

(7 + 3) — 2 = 10 — 2 = 8
7 + (3 — 2) = 7 + 1 = 8
(7 — 2) + 3 = 5 + 3 = 8

لطرح رقم من مجموع، يمكنك طرح هذا الرقم من حد واحد، ثم إضافة الحد الثاني إلى الفرق الناتج. الشرط هو أن يكون المجموع أكبر من العدد الذي سيتم طرحه.

بشكل حرفي، خاصية طرح رقم من المجموع ستبدو كما يلي:
(7 + 3) — 2 = 7 + (3 — 2)
(أ+ب) -ج=أ + (ب - ج)، بشرط ب> ج

(7 + 3) — 2=(7 — 2) + 3
(أ + ب) - ج=(أ - ج) + ب، بشرط أ> ج

خاصية الطرح مع الصفر.

10 — 0 = 10
أ - 0 = أ

إذا قمت بطرح صفر من رقمثم سيكون نفس الرقم.

10 — 10 = 0
أ-أ = 0

إذا قمت بطرح نفس الرقم من رقمثم سيكون صفراً.

أسئلة ذات صلة:
في المثال 35 - 22 = 13، قم بتسمية المطروح والطرح والفرق.
الإجابة: 35 - الطرح، 22 - المطروح، 13 - الفرق.

إذا كانت الأرقام هي نفسها، ما هو الفرق بينهما؟
الجواب: صفر.

هل اختبار الطرح 24 - 16 = 8؟
الجواب: 16 + 8 = 24

جدول طرح الأعداد الطبيعية من 1 إلى 10.

أمثلة على المسائل المتعلقة بموضوع "طرح الأعداد الطبيعية".
مثال 1:
أدخل الرقم المفقود: أ) 20 - ... = 20 ب) 14 - ... + 5 = 14
الجواب: أ) 0 ب) 5

المثال رقم 2:
هل من الممكن طرح: أ) 0 - 3 ب) 56 - 12 ج) 3 - 0 د) 576 - 576 ه) 8732 - 8734
الإجابة: أ) لا ب) 56 - 12 = 44 ج) 3 - 0 = 3 د) 576 - 576 = 0 هـ) لا

المثال رقم 3:
اقرأ التعبير: 20 - 8
الإجابة: "اطرح ثمانية من عشرين" أو "اطرح ثمانية من عشرين". نطق الكلمات بشكل صحيح