يمكن لأي لغة التعبير عن نفس المعلومات بكلمات مختلفةوالثورات. اللغة الرياضية ليست استثناء. ولكن يمكن كتابة نفس التعبير بشكل متكافئ بطرق مختلفة. وفي بعض الحالات، يكون أحد الإدخالات أبسط. سنتحدث عن تبسيط التعبيرات في هذا الدرس.
يتواصل الناس على لغات مختلفة. بالنسبة لنا، المقارنة المهمة هي زوج "اللغة الروسية - اللغة الرياضية". ويمكن توصيل نفس المعلومات بلغات مختلفة. ولكن، إلى جانب ذلك، يمكن نطقها بطرق مختلفة في لغة واحدة.
على سبيل المثال: "بيتيا صديقة لفاسيا"، "فاسيا صديقة لبيتيا"، "بيتيا وفاسيا صديقتان". قال بشكل مختلف، ولكن نفس الشيء. من أي من هذه العبارات سوف نفهم ما نتحدث عنه.
دعونا نلقي نظرة على هذه العبارة: "الصبي بيتيا والصبي فاسيا صديقان". نحن نفهم ما نعنيه نحن نتحدث عنه. ومع ذلك، نحن لا نحب صوت هذه العبارة. ألا يمكننا تبسيط الأمر، ونقول نفس الشيء، ولكن بشكل أبسط؟ "الصبي والصبي" - يمكنك أن تقول مرة واحدة: "الأولاد بيتيا وفاسيا صديقان".
«أولاد».. أليس واضحاً من أسمائهم أنهم ليسوا فتيات؟ نقوم بإزالة "الأولاد": "بيتيا وفاسيا صديقان". ويمكن استبدال كلمة "أصدقاء" بكلمة "أصدقاء": "بيتيا وفاسيا صديقان". ونتيجة لذلك، تم استبدال العبارة الأولى الطويلة والقبيحة بعبارة مكافئة أسهل في القول وأسهل في الفهم. لقد قمنا بتبسيط هذه العبارة. التبسيط يعني قول الأمر بشكل أكثر بساطة، ولكن دون فقدان المعنى أو تشويهه.
وفي لغة الرياضيات، يحدث نفس الشيء تقريبًا. ويمكن قول نفس الشيء، ولكن بطريقة مختلفة. ماذا يعني تبسيط التعبير؟ وهذا يعني أنه بالنسبة للتعبير الأصلي هناك العديد من التعبيرات المتكافئة، أي تلك التي تعني نفس الشيء. ومن بين كل هذا التنوع يجب علينا أن نختار الأبسط، في رأينا، أو الأكثر ملاءمة لأغراضنا الإضافية.
على سبيل المثال، النظر في التعبير الرقمي. سيكون معادلاً لـ .
وسيكون أيضًا معادلاً للأولين: 
.
اتضح أننا بسطنا التعبيرات ووجدنا أقصر تعبير مكافئ.
بالنسبة للتعبيرات الرقمية، يتعين عليك دائمًا القيام بكل شيء والحصول على التعبير المكافئ كرقم واحد.
دعونا نلقي نظرة على مثال للتعبير الحرفي . من الواضح أن الأمر سيكون أسهل.
عند تبسيط التعبيرات الحرفية، من الضروري تنفيذ جميع الإجراءات الممكنة.
هل من الضروري دائمًا تبسيط التعبير؟ لا، في بعض الأحيان سيكون من الأفضل بالنسبة لنا أن يكون لدينا دخول مكافئ ولكن لفترة أطول.
مثال: تحتاج إلى طرح رقم من رقم.
ويمكن حسابه، ولكن إذا تم تمثيل الرقم الأول به تدوين يعادل: ، فإن الحسابات ستكون فورية: .
وهذا يعني أن التعبير المبسط ليس مفيدًا دائمًا لإجراء المزيد من الحسابات.
ومع ذلك، فإننا في كثير من الأحيان نواجه مهمة تبدو مثل "تبسيط التعبير".
تبسيط التعبير: .
حل
1) نفذ الإجراءات الواردة في القوسين الأول والثاني: .
2) دعونا نحسب المنتجات: .
بوضوح، التعبير الأخيرله مظهر أبسط من المظهر الأولي. لقد قمنا بتبسيط الأمر.
لتبسيط التعبير يجب استبداله بما يعادله (يساوي).
لتحديد التعبير المكافئ الذي تحتاجه:
1) تنفيذ جميع الإجراءات الممكنة،
2) استخدام خصائص الجمع والطرح والضرب والقسمة لتبسيط العمليات الحسابية.
خصائص الجمع والطرح:
1. الخاصية التبادلية للجمع: إعادة ترتيب الحدود لا يغير المجموع.
2. خاصية الجمع التجميعية: من أجل إضافة رقم ثالث إلى مجموع رقمين، يمكنك إضافة مجموع الرقمين الثاني والثالث إلى الرقم الأول.
3. خاصية طرح مجموع من رقم: لطرح مجموع من رقم، يمكنك طرح كل حد على حدة.
خواص الضرب والقسمة
1. الخاصية التبادلية للضرب: إعادة ترتيب العوامل لا يغير حاصل الضرب.
2. الخاصية التجميعية: لضرب رقم في حاصل ضرب رقمين، يمكنك أولاً ضربه في العامل الأول، ثم ضرب الناتج الناتج في العامل الثاني.
3. خاصية التوزيعالضرب: لضرب رقم في مجموع، عليك ضربه في كل إضافة على حدة.
دعونا نرى كيف نقوم في الواقع بإجراء الحسابات الذهنية.
احسب:
حل
1) دعونا نتخيل كيف
2) لنتخيل العامل الأول كمجموع شروط بتوإجراء الضرب:
3) يمكنك تخيل كيفية إجراء الضرب:
4) استبدل العامل الأول بمبلغ معادل:
يمكن أيضًا استخدام قانون التوزيع في الجانب العكسي: .
اتبع الخطوات التالية:
1) 
2) 
حل
1) للراحة، يمكنك استخدام قانون التوزيع، فقط استخدمه في الاتجاه المعاكس - أخرجه المضاعف المشتركخارج الأقواس.
2) لنخرج العامل المشترك من الأقواس
من الضروري شراء مشمع للمطبخ والممر. منطقة المطبخ - المدخل - . هناك ثلاثة أنواع من المشمع: ل، وروبل ل. كم سيكلف كل منهما؟ ثلاثة أنواعمشمع؟ (الشكل 1)
أرز. 1. رسم توضيحي لبيان المشكلة
حل
الطريقة الأولى. يمكنك بشكل منفصل معرفة مقدار الأموال اللازمة لشراء مشمع للمطبخ، ثم في الردهة وإضافة المنتجات الناتجة.
في بداية الدرس سوف نقوم بمراجعة الخصائص الأساسية للجذور التربيعية، وبعد ذلك سننظر في العديد منها أمثلة معقدةلتبسيط العبارات التي تحتوي على جذور تربيعية.
موضوع:وظيفة. ملكيات الجذر التربيعي
درس:تحويل وتبسيط التعبيرات الأكثر تعقيدًا باستخدام الجذور
1. مراجعة خصائص الجذور التربيعية
دعونا نكرر النظرية بإيجاز ونتذكر الخصائص الأساسية للجذور التربيعية.
خصائص الجذور التربيعية:
1. لذلك؛
3. 
;
4. 
.
2. أمثلة لتبسيط العبارات ذات الجذور
دعنا ننتقل إلى أمثلة لاستخدام هذه الخصائص.
مثال 1: تبسيط التعبير 
.
حل. للتبسيط، يجب تحليل العدد 120 إلى عوامل أولية:
سنكشف عن مربع المجموع باستخدام الصيغة المناسبة:
مثال 2: تبسيط التعبير 
.
حل. دعونا نأخذ ذلك في الاعتبار هذا التعبيرلا معنى للجميع القيم الممكنةمتغير، لأن هذا التعبير يحتوي على جذور تربيعية وكسور، مما يؤدي إلى "تضييق" المساحة القيم المقبولة. أودز: 
().
لنجلب التعبير بين قوسين إلى القاسم المشترك ونكتب بسط الكسر الأخير على شكل فرق المربعات:
إجابة. في.
مثال 3: تبسيط التعبير 
.
حل. يمكن ملاحظة أن شكل قوس البسط الثاني غير مناسب ويحتاج إلى التبسيط؛ فلنحاول تحليله باستخدام طريقة التجميع؛
لكي نتمكن من استنتاج عامل مشترك، قمنا بتبسيط الجذور عن طريق تحليلها. دعنا نستبدل التعبير الناتج في الكسر الأصلي:
بعد تبسيط الكسر، نطبق صيغة فرق المربعات.
3. مثال للتخلص من اللاعقلانية
مثال 4. حرر نفسك من اللاعقلانية (الجذور) في المقام: أ) ; ب) .
حل. أ) للتخلص من اللاعقلانية في المقام نستخدم الطريقة القياسيةضرب كل من بسط ومقام الكسر في العامل المرافق للمقام (نفس التعبير، ولكن بإشارة معاكسة). يتم ذلك لتكملة مقام الكسر بفرق المربعات، مما يسمح لك بالتخلص من الجذور في المقام. دعونا نفعل ذلك في حالتنا:
ب) تنفيذ إجراءات مماثلة:
4. مثال لإثبات وتحديد المربع الكامل في جذري مركب
مثال 5. إثبات المساواة 
.
دليل. دعونا نستخدم تعريف الجذر التربيعي، والذي يترتب عليه أن مربع التعبير الأيمن يجب أن يكون مساوياً للتعبير الجذري:
. دعونا نفتح الأقواس باستخدام صيغة مربع المجموع:
، لقد حصلنا على المساواة الصحيحة.
ثبت.
مثال 6. تبسيط التعبير.
حل. يُطلق على هذا التعبير عادةً اسم الجذر المعقد (الجذر تحت الجذر). في في هذا المثالتحتاج إلى التخمين لعزل مربع كامل عن التعبير الجذري. للقيام بذلك، لاحظ أنه من بين المصطلحين، فهو مرشح لدور مضاعفة المنتج في صيغة الفرق التربيعي (الفرق، حيث أن هناك ناقص). فلنكتبها على شكل المنتج التالي: ، ثم دور أحد المصطلحات مربع كاملالمطالبات ، وبالنسبة للدور الثاني - 1.
دعونا نستبدل هذا التعبير تحت الجذر.
تعبير جبري يتم فيه، إلى جانب عمليات الجمع والطرح والضرب، القسمة على التعبيرات الحرفية، يسمى تعبير جبري كسري. هذه هي، على سبيل المثال، التعبيرات
نحن نطلق على الكسر الجبري تعبيرًا جبريًا له شكل حاصل قسمة عددين صحيحين التعبيرات الجبرية(على سبيل المثال، وحيدات الحد أو متعددات الحدود). هذه هي، على سبيل المثال، التعبيرات
الثالث من الألفاظ).
تهدف التحويلات المتطابقة للتعبيرات الجبرية الكسرية في معظمها إلى تمثيلها في النموذج جزء جبري. للعثور على القاسم المشترك، يتم استخدام تحليل مقامات الكسور - وهي مصطلحات من أجل العثور على المضاعف المشترك الأصغر لها. عند تقليل الكسور الجبرية، قد يتم انتهاك الهوية الصارمة للتعبيرات: من الضروري استبعاد قيم الكميات التي يصبح عندها العامل الذي يتم من خلاله التخفيض صفرًا.
دعونا نعطي أمثلة على التحولات المتطابقة للتعبيرات الجبرية الكسرية.
مثال 1: تبسيط التعبير
يمكن اختزال جميع الحدود إلى قاسم مشترك (من الملائم تغيير العلامة الموجودة في مقام الحد الأخير والعلامة التي أمامه):
تعبيرنا يساوي واحدًا لجميع القيم ما عدا هذه القيم؛ فهو غير محدد وتقليل الكسر غير قانوني).
مثال 2. تمثيل التعبير ككسر جبري
حل. ل القاسم المشتركيمكننا قبول التعبير. نجد بالتسلسل:
تمارين
1. أوجد قيم التعبيرات الجبرية متى القيم المحددةحدود:
2. التخصيم.
§ 1 مفهوم تبسيط التعبير الحرفي
في هذا الدرس سوف نتعرف على مفهوم "" مصطلحات مماثلة"وباستخدام الأمثلة سوف نتعلم كيفية تقليل المصطلحات المتشابهة، وبالتالي تبسيط التعبيرات الحرفية.
دعونا معرفة معنى مفهوم "التبسيط". كلمة "تبسيط" مشتقة من كلمة "تبسيط". التبسيط يعني جعل الأمر بسيطًا وأبسط. ولذلك، فإن تبسيط التعبير الحرفي هو جعله أقصر، مع الحد الأدنى للكميةالإجراءات.
خذ بعين الاعتبار التعبير 9x + 4x. هذا تعبير حرفي وهو مبلغ. يتم تقديم المصطلحات هنا كمنتجات لرقم وحرف. ويسمى العامل العددي لهذه المصطلحات بالمعامل. في هذا التعبير، ستكون المعاملات هي الرقمين 9 و4. يرجى ملاحظة أن العامل الذي يمثله الحرف هو نفسه في كلا حدي هذا المجموع.
دعونا نتذكر قانون التوزيع للضرب:
لضرب مجموع في رقم، يمكنك ضرب كل حد في هذا الرقم وإضافة المنتجات الناتجة.
في منظر عاممكتوبة على النحو التالي: (أ + ب) ∙ ج = أ + ق.
هذا القانون صحيح في كلا الاتجاهين ac + bc = (a + b) ∙ c
دعونا نطبق ذلك على تعبيرنا الحرفي: مجموع منتجات 9x و 4x يساوي المنتج الذي عامله الأول هو يساوي المبلغ 9 و 4، العامل الثاني هو x.
9 + 4 = 13، أي 13س.
9س + 4 س = (9 + 4)س = 13س.
بدلا من ثلاثة إجراءات في التعبير، لم يتبق سوى إجراء واحد - الضرب. وهذا يعني أننا جعلنا تعبيرنا الحرفي أبسط، أي. بسّطته.
§ 2 تخفيض المصطلحات المماثلة
يختلف المصطلحان 9x و4x فقط في معاملاتهما - وتسمى هذه المصطلحات متشابهة. جزء الرسالة من المصطلحات المماثلة هو نفسه. تتضمن المصطلحات المشابهة أيضًا الأرقام والشروط المتساوية.
على سبيل المثال، في التعبير 9أ + 12 - 15، ستكون الحدود المتشابهة هي الأرقام 12 و-15، وفي مجموع حاصل ضرب 12 و6أ، الرقم 14 وحاصل ضرب 12 و6أ (12 ∙ 6أ + 14 + 12 ∙ 6أ) الحدود المتساوية التي يمثلها حاصل ضرب 12 و6أ.
من المهم أن نلاحظ أن الحدود التي معاملاتها متساوية، ولكن عوامل حروفها مختلفة، ليست متشابهة، على الرغم من أنه من المفيد في بعض الأحيان تطبيق قانون توزيع الضرب عليها، على سبيل المثال، مجموع المنتجات 5x و 5y هو يساوي منتج الرقم 5 ومجموع x و y
5س + 5ص = 5(س + ص).
دعونا نبسط التعبير -9a + 15a - 4 + 10.
مصطلحات مماثلة في في هذه الحالةهما المصطلحان -9a و15a، لأنهما يختلفان فقط في معاملاتهما. مضاعف الحروف هو نفسه، والمصطلحان -4 و10 متشابهان أيضًا، لأنهما أرقام. إضافة مصطلحات مماثلة:
9 أ + 15 أ - 4 + 10
9أ + 15أ = 6أ؛
نحصل على: 6 أ + 6.
ومن خلال تبسيط التعبير، وجدنا مجموع الحدود المتشابهة في الرياضيات، وهذا ما يسمى اختزال الحدود المتشابهة.
إذا كان من الصعب إضافة مثل هذه المصطلحات، فيمكنك التوصل إلى كلمات لها وإضافة كائنات.
على سبيل المثال، النظر في التعبير:
لكل حرف نأخذ غرضنا الخاص: ب-تفاحة، ج-كمثرى، ثم نحصل على: 2 تفاحات ناقص 5 كمثرى بالإضافة إلى 8 كمثرى.
هل يمكننا طرح الكمثرى من التفاح؟ بالطبع لا. لكن يمكننا إضافة 8 كمثرى إلى سالب 5 كمثرى.
دعونا نقدم مصطلحات مماثلة -5 كمثرى + 8 كمثرى. المصطلحات المتشابهة لها نفس جزء الحرف، لذلك عند إحضار مصطلحات متشابهة يكفي إضافة المعاملات وإضافة جزء الحرف إلى النتيجة:
(-5 + 8) كمثرى - تحصل على 3 كمثرى.
بالعودة إلى التعبير الحرفي، لدينا -5 s + 8 s = 3 s. وهكذا، بعد إحضار مصطلحات مماثلة، نحصل على التعبير 2ب + 3ج.
لذا، تعرفت في هذا الدرس على مفهوم "المصطلحات المتشابهة" وتعلمت كيفية تبسيط تعبيرات الحروف عن طريق تقليل المصطلحات المتشابهة.
قائمة الأدبيات المستخدمة:
- الرياضيات. الصف السادس: خطط الدرسإلى الكتاب المدرسي I.I. زوباريفا، أ.ج. موردكوفيتش // المؤلف والمترجم L.A. توبيلينا. منيموسين 2009.
- الرياضيات. الصف السادس: كتاب مدرسي للطلاب المؤسسات التعليمية. آي.آي زوباريفا، أ.ج. موردكوفيتش - م: منيموسين، 2013.
- الرياضيات. الصف السادس: كتاب مدرسي لمؤسسات التعليم العام / ج.ف. دوروفييف ، آي إف. شارجين ، س.ب. سوفوروف وآخرون / حرره ج.ف. دوروفيفا ، آي إف. شاريجينا. الأكاديمية الروسية للعلوم، الأكاديمية الروسية للتربية. م: "التنوير"، 2010.
- الرياضيات. الصف السادس: الدراسة في مؤسسات التعليم العام/ن.يا. فيلينكين، ف. جوخوف، أ.س. تشيسنوكوف، إس. شوارتزبرد. – م.: منموسينا، 2013.
- الرياضيات. الصف السادس: الكتاب المدرسي/G.K. مورافين، أو.ف. مورافينا. - م: حبارى، 2014.
الصور المستخدمة:
التعبير الحرفي (أو التعبير ذو المتغيرات) هو التعبير الرياضيوالتي تتكون من أرقام وحروف وعلامات العمليات الحسابية. على سبيل المثال، التعبير التالي حرفي:
أ+ب+4
باستخدام التعبيرات الأبجدية يمكنك كتابة القوانين والصيغ والمعادلات والدوال. القدرة على التعامل مع تعبيرات الحروف هي المفتاح معرفة جيدةالجبر والرياضيات العليا.
أي مشكلة خطيرة في الرياضيات تتلخص في حل المعادلات. ولكي تتمكن من حل المعادلات، عليك أن تكون قادرًا على التعامل مع التعبيرات الحرفية.
للعمل مع التعبيرات الحرفية، يجب أن تكون على دراية جيدة بالحسابات الأساسية: الجمع والطرح والضرب والقسمة والقوانين الأساسية للرياضيات والكسور والعمليات مع الكسور والنسب. وليس مجرد دراسة، ولكن فهم شامل.
محتوى الدرسالمتغيرات
تسمى الحروف الموجودة في التعبيرات الحرفية المتغيرات. على سبيل المثال، في التعبير أ+ب+4المتغيرات هي الحروف أو ب. إذا عوضنا بأي أرقام بدلاً من هذه المتغيرات، فالتعبير الحرفي أ+ب+4سيتحول إلى تعبير رقمي يمكن العثور على قيمته.
يتم استدعاء الأرقام التي يتم استبدالها بالمتغيرات قيم المتغيرات. على سبيل المثال، دعونا نغير قيم المتغيرات أو ب. يتم استخدام علامة المساواة لتغيير القيم
أ = 2، ب = 3
لقد قمنا بتغيير قيم المتغيرات أو ب. عامل أتم تعيين قيمة 2 ، عامل بتم تعيين قيمة 3 . التعبير الحرفي الناتج أ+ب+4يتحول إلى تعبير رقمي عادي 2+3+4 والتي يمكن العثور على قيمتها:
2 + 3 + 4 = 9
عندما يتم ضرب المتغيرات، يتم كتابتها معا. على سبيل المثال، سجل أبيعني نفس الإدخال أ × ب. إذا قمنا باستبدال المتغيرات أو بأرقام 2 و 3 ثم نحصل على 6
2 × 3 = 6
يمكنك أيضًا كتابة ضرب رقم معًا بتعبير بين قوسين. على سبيل المثال، بدلا من أ×(ب + ج)يمكن كتابتها أ(ب + ج). وبتطبيق قانون توزيع الضرب نحصل على أ(ب + ج)=أب+أ.
احتمال
في التعبيرات الحرفية، يمكنك غالبًا العثور على تدوين يتم فيه كتابة رقم ومتغير معًا، على سبيل المثال 3 أ. هذا في الواقع اختصار لضرب الرقم 3 في متغير. أوهذا الإدخال يبدو 3 × أ .
وبعبارة أخرى، التعبير 3 أهو منتج الرقم 3 والمتغير أ. رقم 3 في هذا العمل يسمونه معامل. يوضح هذا المعامل عدد المرات التي سيتم فيها زيادة المتغير أ. يمكن قراءة هذا التعبير كـ " أثلاث مرات" أو "ثلاث مرات أ"، أو" زيادة قيمة المتغير أثلاث مرات"، ولكن في أغلب الأحيان تُقرأ على أنها "ثلاث مرات أ«
على سبيل المثال، إذا كان المتغير أيساوي 5 ، ثم قيمة التعبير 3 أسوف يساوي 15
3 × 5 = 15
تكلم بلغة بسيطة، المعامل هو الرقم الذي يأتي قبل الحرف (قبل المتغير).
يمكن أن يكون هناك عدة رسائل، على سبيل المثال 5abc. هنا المعامل هو الرقم 5 . هذا المعامليوضح أن منتج المتغيرات اي بي سييزيد خمسة أضعاف. يمكن قراءة هذا التعبير كـ " اي بي سيخمس مرات" أو "زيادة قيمة التعبير اي بي سيخمس مرات" أو "خمسة اي بي سي«.
إذا بدلا من المتغيرات اي بي سيعوض بالأرقام 2 و 3 و 4 ثم قيمة التعبير 5abcسوف تكون متساوية 120
5 × 2 × 3 × 4 = 120
يمكنك أن تتخيل عقليًا كيف تم ضرب الأرقام 2 و3 و4 لأول مرة، وزادت القيمة الناتجة خمسة أضعاف:
تشير إشارة المعامل إلى المعامل فقط ولا تنطبق على المتغيرات.
النظر في التعبير -6 ب. ناقص قبل المعامل 6 ، ينطبق فقط على المعامل 6 ، ولا ينتمي إلى المتغير ب. إن فهم هذه الحقيقة سيسمح لك بعدم ارتكاب الأخطاء في العلامات في المستقبل.
دعونا نجد قيمة التعبير -6 بفي ب = 3.
-6 ب −6×ب. من أجل الوضوح، دعونا نكتب التعبير -6 بفي شكل موسع واستبدال قيمة المتغير ب
−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18
مثال 2.أوجد قيمة التعبير -6 بفي ب = −5
دعونا نكتب التعبير -6 بفي شكل موسع
−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30
مثال 3.أوجد قيمة التعبير -5أ+بفي أ = 3و ب = 2
-5أ+بهذا شكل قصيرإدخالات من −5 × أ + ب، لذلك من أجل الوضوح نكتب التعبير −5×أ+بفي شكل موسع واستبدال قيم المتغيرات أو ب
−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13
في بعض الأحيان تتم كتابة الرسائل بدون معامل، على سبيل المثال أأو أب. في هذه الحالة، المعامل هو الوحدة:
ولكن تقليديا لا يتم كتابة الوحدة، لذلك يكتبون ببساطة أأو أب
إذا كان هناك سالب قبل الحرف، فإن المعامل يكون رقمًا −1 . على سبيل المثال، التعبير -أيبدو في الواقع -1أ. هذا هو حاصل ضرب سالب واحد والمتغير أ.اتضح مثل هذا:
−1 × أ = −1أ
هناك القليل من الصيد هنا. في التعبير -أعلامة الطرح أمام المتغير أيشير في الواقع إلى "وحدة غير مرئية" بدلاً من متغير أ. لذلك يجب توخي الحذر عند حل المشاكل.
على سبيل المثال، إذا أعطيت التعبير -أويطلب منا إيجاد قيمته عند أ = 2، ثم في المدرسة قمنا باستبدال الرقم اثنين بدلاً من المتغير أوحصلت على إجابة −2 ، دون التركيز كثيرًا على كيفية ظهوره. في الواقع، تم ضرب ناقص واحد في رقم إيجابي 2
−أ = −1 × أ
−1 × أ = −1 × 2 = −2
إذا أعطيت التعبير -أوتحتاج إلى العثور على قيمته في أ = −2، ثم نستبدل −2 بدلا من متغير أ
−أ = −1 × أ
−1 × أ = −1 × (−2) = 2
لتجنب الأخطاء، في البداية يمكن كتابة الوحدات غير المرئية بشكل واضح.
مثال 4.أوجد قيمة التعبير اي بي سيفي أ=2 , ب = 3و ج = 4
تعبير اي بي سي 1×أ×ب×ج.من أجل الوضوح، دعونا نكتب التعبير اي بي سي أ، بو ج
1 × أ × ب × ج = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
مثال 5.أوجد قيمة التعبير اي بي سيفي أ=−2 , ب=−3و ج=−4
دعونا نكتب التعبير اي بي سيفي شكل موسع واستبدال قيم المتغيرات أ، بو ج
1 × أ × ب × ج = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24
مثال 6.أوجد قيمة التعبير − اي بي سيفي أ=3 و ب=5 و ج=7
تعبير − اي بي سيهذا نموذج قصير لـ −1×أ×ب×ج.من أجل الوضوح، دعونا نكتب التعبير − اي بي سيفي شكل موسع واستبدال قيم المتغيرات أ، بو ج
−abc = −1 × أ × ب × ج = −1 × 3 × 5 × 7 = −105
مثال 7.أوجد قيمة التعبير − اي بي سيفي أ=−2 و ب=−4 و ج=−3
دعونا نكتب التعبير − اي بي سيفي شكل موسع:
−abc = −1 × أ × ب × ج
دعونا نستبدل قيم المتغيرات أ , بو ج
−abc = −1 × أ × ب × ج = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24
كيفية تحديد المعامل
في بعض الأحيان تحتاج إلى حل مشكلة تحتاج فيها إلى تحديد معامل التعبير. مبدئيا، هذه المهمةبسيط جدا. يكفي أن تكون قادرًا على مضاعفة الأرقام بشكل صحيح.
لتحديد المعامل في التعبير، تحتاج إلى مضاعفة الأرقام المضمنة في هذا التعبير بشكل منفصل وضرب الحروف بشكل منفصل. وسيكون العامل العددي الناتج هو المعامل.
مثال 1. 7م×5أ×(−3)×ن
يتكون التعبير من عدة عوامل. يمكن رؤية ذلك بوضوح إذا كتبت التعبير في شكل موسع. أي الأعمال 7 مو 5 أاكتبه في النموذج 7 × مو 5 × أ
7 × م × 5 × أ × (−3) × ن
ملائم القانون التوافقيالضرب، والذي يسمح لك بضرب العوامل بأي ترتيب. وهي أننا سنضرب الأرقام بشكل منفصل ونضرب الحروف (المتغيرات) بشكل منفصل:
−3 × 7 × 5 × م × أ × ن = −105man
المعامل هو −105 . بعد الانتهاء من المستحسن ترتيب جزء الحرف حسب الترتيب الأبجدي:
-105 آمين
مثال 2.تحديد المعامل في التعبير: -أ×(−3)×2
−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a
المعامل هو 6.
مثال 3.تحديد المعامل في التعبير: 
دعونا نضرب الأرقام والحروف بشكل منفصل:
المعامل هو −1. يرجى ملاحظة أن الوحدة غير مكتوبة، لأنه من المعتاد عدم كتابة المعامل 1.
هذه المهام التي تبدو بسيطة يمكن أن تلعب مزحة قاسية علينا. غالبًا ما يتبين أن علامة المعامل تم ضبطها بشكل غير صحيح: إما أن الطرح مفقود أو على العكس من ذلك تم تعيينه عبثًا. لتجنب هذه أخطاء مزعجة، يجب دراستها بمستوى جيد.
يضاف في التعبيرات الحرفية
عند إضافة عدة أرقام، يتم الحصول على مجموع هذه الأرقام. الأرقام التي تضيف تسمى الإضافات. يمكن أن يكون هناك عدة مصطلحات، على سبيل المثال:
1 + 2 + 3 + 4 + 5
عندما يتكون التعبير من مصطلحات، يكون تقييمه أسهل كثيرًا لأن الجمع أسهل من الطرح. ولكن التعبير يمكن أن يحتوي ليس فقط على الجمع، ولكن أيضا الطرح، على سبيل المثال:
1 + 2 − 3 + 4 − 5
في هذا التعبير، الرقمان 3 و5 مطروحان وليسان جمع. لكن لا شيء يمنعنا من استبدال الطرح بالجمع. ثم نحصل مرة أخرى على تعبير يتكون من مصطلحات:
1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)
لا يهم أن الرقمين −3 و −5 يحملان الآن علامة الطرح. الشيء الرئيسي هو أن جميع الأرقام في هذا التعبير مرتبطة بعلامة الجمع، أي أن التعبير عبارة عن مجموع.
كلا التعبيرين 1 + 2 − 3 + 4 − 5 و 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) يساوي نفس القيمة - ناقص واحد
1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1
1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1
وبالتالي فإن معنى التعبير لن يتأثر إذا استبدلنا الطرح بالإضافة في مكان ما.
يمكنك أيضًا استبدال الطرح بالجمع في التعبيرات الحرفية. على سبيل المثال، خذ بعين الاعتبار التعبير التالي:
7أ + 6ب − 3ج + 2د − 4ث
7أ + 6ب + (−3ج) + 2د + (−4ث)
لأي قيم للمتغيرات أ، ب، ج، دو قالتعبيرات 7أ + 6ب − 3ج + 2د − 4ث و 7أ + 6ب + (−3ج) + 2د + (−4ث) سيكون مساوياً لنفس القيمة.
يجب أن تكون مستعدًا لحقيقة أن المعلم في المدرسة أو المعلم في المعهد قد يتصل بالأرقام الزوجية (أو المتغيرات) التي ليست إضافات.
على سبيل المثال، إذا كان الفرق مكتوبا على السبورة أ - ب، فلن يقول المعلم ذلك أهو مينند، و ب- قابل للطرح. سوف يطلق على كلا المتغيرين واحدًا بعبارات عامة — شروط. وكل ذلك بسبب التعبير عن النموذج أ - بعالم الرياضيات يرى كيف المبلغ أ+(-ب). في هذه الحالة، يصبح التعبير مجموعا، والمتغيرات أو (-ب)تصبح شروط.
مصطلحات مماثلة
مصطلحات مماثلة- هذه مصطلحات لها نفس الجزء من الحرف. على سبيل المثال، النظر في التعبير 7 أ + 6 ب + 2 أ. عناصر 7 أو 2 ألها نفس جزء الحرف - متغير أ. هكذا الشروط 7 أو 2 أمتشابهة.
عادة، تتم إضافة مصطلحات مماثلة لتبسيط التعبير أو حل المعادلة. هذه العملية تسمى جلب مصطلحات مماثلة.
للحصول على مصطلحات مماثلة، تحتاج إلى إضافة معاملات هذه المصطلحات، وضرب النتيجة الناتجة في جزء الحرف المشترك.
على سبيل المثال، دعونا نقدم مصطلحات مماثلة في التعبير 3 أ + 4 أ + 5 أ. في هذه الحالة، جميع المصطلحات متشابهة. دعونا نجمع معاملاتهم ونضرب النتيجة في جزء الحرف المشترك - في المتغير أ
3أ + 4أ + 5أ = (3 + 4 + 5)×أ = 12أ
عادةً ما يتم طرح مصطلحات مماثلة في الاعتبار ويتم تدوين النتيجة على الفور:
3أ + 4أ + 5أ = 12أ
كما يمكن الاستدلال بما يلي:
كان هناك 3 متغيرات، و4 متغيرات أخرى، و5 متغيرات أخرى تمت إضافتها إليهم. ونتيجة لذلك، حصلنا على 12 متغيرا
دعونا نلقي نظرة على عدة أمثلة لجلب مصطلحات مماثلة. بالنظر إلى ذلك هذا الموضوعمهم جدًا، في البداية سنكتب كل التفاصيل الصغيرة بالتفصيل. على الرغم من أن كل شيء بسيط للغاية هنا، إلا أن معظم الناس يرتكبون العديد من الأخطاء. في الغالب بسبب الغفلة وليس الجهل.
مثال 1. 3 أ + 2 أ + 6 أ + 8أ
لنجمع المعاملات في هذا التعبير ونضرب النتيجة الناتجة في جزء الحرف المشترك:
3أ + 2أ + 6أ + 8أ = (3 + 2 + 6 + 8) × أ = 19أ
تصميم (3 + 2 + 6 + 8)×أليس عليك كتابتها، لذلك سنكتب الإجابة على الفور
3 أ + 2 أ + 6 أ + 8 أ = 19 أ
مثال 2.إعطاء مصطلحات مماثلة في التعبير 2أ+أ
الفصل الدراسي الثاني أمكتوبة بدون معامل، ولكن في الواقع هناك معامل أمامها 1 وهو ما لا نراه لأنه لم يتم تسجيله. لذلك يبدو التعبير كما يلي:
2 أ + 1 أ
الآن دعونا نقدم مصطلحات مماثلة. أي أننا نجمع المعاملات ونضرب النتيجة في جزء الحرف المشترك:
2أ + 1أ = (2 + 1) × أ = 3أ
دعونا نكتب الحل باختصار:
2أ + أ = 3أ
2أ+أ، يمكنك التفكير بشكل مختلف:
مثال 3.إعطاء مصطلحات مماثلة في التعبير 2أ−أ
لنستبدل الطرح بالجمع:
2أ + (-أ)
الفصل الدراسي الثاني (-أ)مكتوبة دون معامل، ولكن في الواقع يبدو الأمر كذلك (−1 أ).معامل −1 مرة أخرى غير مرئية بسبب عدم تسجيله. لذلك يبدو التعبير كما يلي:
2أ + (−1أ)
الآن دعونا نقدم مصطلحات مماثلة. دعونا نضيف المعاملات ونضرب النتيجة في جزء الحرف المشترك:
2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a
عادة ما يتم كتابتها بشكل أقصر:
2أ - أ = أ
إعطاء مصطلحات مماثلة في التعبير 2أ−أيمكنك التفكير بشكل مختلف:
كان هناك متغيرين أ، اطرح متغيرًا واحدًا أ، ونتيجة لذلك لم يبق سوى متغير واحد
مثال 4.إعطاء مصطلحات مماثلة في التعبير 6أ − 3أ + 4أ − 8أ
6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)
الآن دعونا نقدم مصطلحات مماثلة. دعونا نضيف المعاملات ونضرب النتيجة في إجمالي جزء الحرف
(6 + (−3) + 4 + (−8)) × أ = −1a = −a
دعونا نكتب الحل باختصار:
6أ − 3أ + 4أ − 8أ = −أ
هناك تعبيرات تحتوي على عدة مجموعات مختلفةمصطلحات مماثلة. على سبيل المثال، 3أ + 3ب + 7أ + 2ب. بالنسبة لمثل هذه التعبيرات، تنطبق نفس القواعد على الآخرين، وهي جمع المعاملات وضرب النتيجة الناتجة في جزء الحرف المشترك. ولكن لتجنب الأخطاء، فهي مريحة مجموعات مختلفةيتم تمييز المصطلحات بخطوط مختلفة.
على سبيل المثال، في التعبير 3أ + 3ب + 7أ + 2بتلك المصطلحات التي تحتوي على متغير أ، يمكن تسطيرها بسطر واحد، وتلك المصطلحات التي تحتوي على متغير ب، يمكن التأكيد عليها بخطين:
الآن يمكننا تقديم مصطلحات مماثلة. أي قم بإضافة المعاملات وضرب النتيجة الناتجة في إجمالي جزء الحرف. يجب أن يتم ذلك لكلتا مجموعتي المصطلحات: للمصطلحات التي تحتوي على متغير أوللمصطلحات التي تحتوي على متغير ب.
3أ + 3ب + 7أ + 2ب = (3+7)×أ + (3 + 2)×ب = 10أ + 5ب
مرة أخرى، نكرر، التعبير بسيط، ويمكن وضع مصطلحات مماثلة في الاعتبار:
3أ + 3ب + 7أ + 2ب = 10أ + 5ب
مثال 5.إعطاء مصطلحات مماثلة في التعبير 5أ − 6أ −7ب + ب
لنستبدل الطرح بالجمع حيثما أمكن:
5أ − 6أ −7ب + ب = 5أ + (−6أ) + (−7ب) + ب
دعونا نؤكد على المصطلحات المتشابهة بأسطر مختلفة. المصطلحات التي تحتوي على متغيرات أنؤكدها بخط واحد، والحدود هي محتويات المتغيرات ب، ضع خطًا تحت خطين:
الآن يمكننا تقديم مصطلحات مماثلة. أي قم بإضافة المعاملات وضرب النتيجة الناتجة بجزء الحرف المشترك:
5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)
إذا كان التعبير يحتوي على أرقام منتظمةوبدون عوامل الحروف يتم إضافتها بشكل منفصل.
مثال 6.إعطاء مصطلحات مماثلة في التعبير 4أ + 3أ − 5 + 2ب + 7
لنستبدل الطرح بالجمع حيثما أمكن:
4أ + 3أ − 5 + 2ب + 7 = 4أ + 3أ + (−5) + 2ب + 7
دعونا نقدم مصطلحات مماثلة. أرقام −5 و 7 لا تحتوي على عوامل حروف، لكنها مصطلحات متشابهة - تحتاج فقط إلى إضافتها. والمصطلح 2بسيبقى دون تغيير، لأنه الوحيد في هذا التعبير الذي يحتوي على عامل الحرف ب،وليس هناك ما يمكن إضافته مع:
4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2
دعونا نكتب الحل باختصار:
4أ + 3أ − 5 + 2ب + 7 = 7أ + 2ب + 2
يمكن ترتيب المصطلحات بحيث تكون تلك المصطلحات التي لها نفس جزء الحرف موجودة في نفس الجزء من التعبير.
مثال 7.إعطاء مصطلحات مماثلة في التعبير 5ط+2س+3س+5ط+س
وبما أن التعبير عبارة عن مجموع عدة حدود، فهذا يتيح لنا إيجاد قيمته بأي ترتيب. ولذلك، فإن المصطلحات التي تحتوي على المتغير ر، يمكن كتابتها في بداية التعبير، والمصطلحات التي تحتوي على المتغير سفي نهاية التعبير:
5ط + 5ط + 2س + 3س + س
الآن يمكننا تقديم مصطلحات مماثلة:
5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x
دعونا نكتب الحل باختصار:
5ط + 2س + 3س + 5ط + س = 10ط + 6س
مجموع أرقام متضادةيساوي الصفر. تنطبق هذه القاعدة أيضًا على التعبيرات الحرفية. إذا كان التعبير يحتوي على مصطلحات متطابقة، ولكن مع علامات عكسية، فيمكنك التخلص منها في مرحلة تقليل المصطلحات المشابهة. بمعنى آخر، قم ببساطة بإزالتها من التعبير، لأن مجموعها يساوي صفرًا.
مثال 8.إعطاء مصطلحات مماثلة في التعبير 3t − 4t − 3t + 2t
لنستبدل الطرح بالجمع حيثما أمكن:
3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t
عناصر 3tو (−3طن)متضادون. مجموع الحدود المتضادة هو صفر. إذا أزلنا هذا الصفر من التعبير، فلن تتغير قيمة التعبير، لذا سنقوم بإزالته. وسنقوم بإزالته بمجرد شطب الشروط 3tو (−3طن)
ونتيجة لذلك، سوف نترك مع التعبير (−4t) + 2t. في هذا التعبير، يمكنك إضافة مصطلحات مماثلة والحصول على الإجابة النهائية:
(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t
دعونا نكتب الحل باختصار:
تبسيط التعبيرات
"تبسيط التعبير" وفيما يلي التعبير الذي يحتاج إلى تبسيط. تبسيط التعبيريعني جعلها أبسط وأقصر.
في الواقع، لقد قمنا بالفعل بتبسيط التعبيرات عندما قمنا بتبسيط الكسور. بعد التخفيض، أصبح الكسر أقصر وأسهل للفهم.
النظر في المثال التالي. بسّط التعبير.
يمكن فهم هذه المهمة حرفيًا على النحو التالي: "قم بتطبيق أي إجراءات صحيحة على هذا التعبير، ولكن اجعله أكثر بساطة." .
في هذه الحالة، يمكنك تقليل الكسر، أي تقسيم البسط والمقام للكسر على 2:
ماذا يمكنك أن تفعل؟ يمكنك حساب الكسر الناتج. ثم نحصل على الكسر العشري 0.5
ونتيجة لذلك، تم تبسيط الكسر إلى 0.5.
السؤال الأول الذي عليك أن تطرحه على نفسك عند اتخاذ القرار مهام مماثلةيجب أن يكون "ما الذي يمكن فعله؟" . لأن هناك أفعال يمكنك القيام بها، وهناك أفعال لا يمكنك القيام بها.
آخر نقطة مهمةالشيء الذي يجب تذكره هو أن قيمة التعبير يجب ألا تتغير بعد تبسيط التعبير. دعنا نعود إلى التعبير. يمثل هذا التعبير عملية تقسيم يمكن إجراؤها. وبعد إجراء هذا القسمة، نحصل على قيمة هذا التعبير، وهي 0.5
لكننا بسطنا التعبير وحصلنا على تعبير مبسط جديد. لا تزال قيمة التعبير المبسط الجديد 0.5
لكننا حاولنا أيضًا تبسيط التعبير عن طريق حسابه. ونتيجة لذلك، تلقينا الإجابة النهائية 0.5.
ومن ثم، بغض النظر عن كيفية تبسيط التعبير، فإن قيمة التعبيرات الناتجة تظل تساوي 0.5. وهذا يعني أن التبسيط تم تنفيذه بشكل صحيح في كل مرحلة. هذا هو بالضبط ما يجب أن نسعى جاهدين لتحقيقه عند تبسيط التعبيرات - لا ينبغي أن يعاني معنى التعبير من أفعالنا.
غالبًا ما يكون من الضروري تبسيط التعبيرات الحرفية. تنطبق عليها نفس قواعد التبسيط كما هو الحال مع التعبيرات الرقمية. يمكنك تنفيذ أي إجراءات صالحة، طالما لم تتغير قيمة التعبير.
دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.
مثال 1.تبسيط التعبير 5.21ث × ر × 2.5
لتبسيط هذا التعبير، يمكنك ضرب الأرقام بشكل منفصل وضرب الحروف بشكل منفصل. هذه المهمة مشابهة جدًا لتلك التي نظرنا إليها عندما تعلمنا تحديد المعامل:
5.21s × t × 2.5 = 5.21 × 2.5 × s × t = 13.025 × st = 13.025st
هكذا التعبير 5.21ث × ر × 2.5مبسطة ل 13.025.
مثال 2.تبسيط التعبير −0.4 × (−6.3b) × 2
القطعة الثانية (−6.3 ب)يمكن ترجمتها إلى شكل مفهوم بالنسبة لنا، أي كتابتها بالشكل ( −6,3)×ب ,ثم اضرب الأرقام كل على حدة، ثم اضرب الحروف كل على حدة:
− 0,4 × (−6.3ب) × 2 = − 0,4 × (−6.3) × ب × 2 = 5.04ب
هكذا التعبير −0.4 × (−6.3b) × 2 مبسطة ل 5.04 ب
مثال 3.تبسيط التعبير 
لنكتب هذا التعبير بمزيد من التفصيل لنرى بوضوح مكان وجود الأرقام وأين توجد الحروف:
الآن دعونا نضرب الأرقام بشكل منفصل ونضرب الحروف بشكل منفصل:
هكذا التعبير مبسطة ل -اي بي سي.يمكن كتابة هذا الحل باختصار:
عند تبسيط العبارات، يمكن تبسيط الكسور أثناء عملية الحل، وليس في النهاية، كما فعلنا مع الكسور العادية. على سبيل المثال، إذا صادفنا أثناء الحل تعبيرًا من النموذج، فليس من الضروري على الإطلاق حساب البسط والمقام والقيام بشيء مثل هذا:
يمكن تبسيط الكسر عن طريق اختيار عامل في البسط والمقام وتقليل هذين العاملين إلى أكبرهما القاسم المشترك. بمعنى آخر، الاستخدام الذي لا نصف فيه بالتفصيل ما تم تقسيم البسط والمقام إليه.
على سبيل المثال، في البسط العامل هو 12 وفي المقام يمكن تخفيض العامل 4 بمقدار 4. نحتفظ بالأربعة في أذهاننا، وبقسمة 12 و4 على هذا الأربعة، نكتب الإجابات بجانب هذه الأرقام، بعد أن شطبتهم أولاً
الآن يمكنك مضاعفة العوامل الصغيرة الناتجة. وفي هذه الحالة فهي قليلة ويمكنك مضاعفتها في عقلك:
ومع مرور الوقت، قد تجد أنه عند حل مشكلة معينة، تبدأ التعبيرات "تتسمن"، لذلك ينصح بالاعتياد على ذلك حسابات سريعة. ما يمكن أن يحسب في العقل يجب أن يحسب في العقل. ما يمكن تخفيضه بسرعة، يجب تخفيضه بسرعة.
مثال 4.تبسيط التعبير 
هكذا التعبير مبسطة ل
مثال 5.تبسيط التعبير 
دعونا نضرب الأرقام بشكل منفصل والحروف بشكل منفصل:
هكذا التعبير مبسطة ل مليون.
مثال 6.تبسيط التعبير 
لنكتب هذا التعبير بمزيد من التفصيل لنرى بوضوح مكان وجود الأرقام وأين توجد الحروف:
الآن دعونا نضرب الأرقام بشكل منفصل والحروف بشكل منفصل. لسهولة الحساب، الكسر العشري −6.4 و رقم مختلطيمكن تحويلها إلى كسور عادية:
هكذا التعبير مبسطة ل
يمكن كتابة الحل لهذا المثال بشكل أقصر بكثير. سوف يبدو مثل هذا:
مثال 7.تبسيط التعبير 
دعونا نضرب الأرقام بشكل منفصل والحروف بشكل منفصل. لسهولة الحساب، رقم مختلط و الكسور العشريةيمكن تحويل 0.1 و0.6 إلى كسور عادية:
هكذا التعبير مبسطة ل abcd. إذا تخطيت التفاصيل، ثم هذا القراريمكن كتابتها بشكل أقصر بكثير:
لاحظ كيف تم تخفيض الكسر. يُسمح أيضًا بتخفيض العوامل الجديدة التي يتم الحصول عليها نتيجة تخفيض العوامل السابقة.
الآن دعنا نتحدث عن ما لا يجب فعله. عند تبسيط التعبيرات، يمنع منعا باتا ضرب الأرقام والحروف إذا كان التعبير مجموعا وليس منتجا.
على سبيل المثال، إذا كنت تريد تبسيط التعبير 5أ+4ب، فلا يمكنك كتابتها بهذه الطريقة:
وهذا هو نفسه كما لو طُلب منا جمع رقمين وقمنا بضربهما بدلاً من جمعهما.
عند استبدال أي قيم متغيرة أو بتعبير 5أ +4بيتحول إلى تعبير عددي عادي. لنفترض أن المتغيرات أو بلها المعاني التالية:
أ = 2، ب = 3
إذن قيمة التعبير ستكون 22
5أ + 4ب = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22
أولا، يتم إجراء الضرب، ثم يتم إضافة النتائج. ولو حاولنا تبسيط هذا التعبير بضرب الأرقام والحروف لحصلنا على ما يلي:
5أ + 4ب = 5 × 4 × أ × ب = 20أب
20ab = 20 × 2 × 3 = 120
اتضح معنى مختلفًا تمامًا للتعبير. في الحالة الأولى عملت 22 ، في الحالة الثانية 120 . وهذا يعني تبسيط التعبير 5أ+4بتم تنفيذه بشكل غير صحيح.
بعد تبسيط التعبير يجب ألا تتغير قيمته بنفس قيم المتغيرات. إذا تم الحصول على قيمة واحدة عند استبدال أي قيم متغيرة في التعبير الأصلي، فبعد تبسيط التعبير، يجب الحصول على نفس القيمة كما كانت قبل التبسيط.
مع التعبير 5أ+4بلا يوجد شيء يمكنك فعله حقًا. لا يبسط ذلك.
إذا كان التعبير يحتوي على مصطلحات مشابهة، فيمكن إضافتها إذا كان هدفنا هو تبسيط التعبير.
مثال 8.تبسيط التعبير 0.3 أ − 0.4 أ + أ
0.3a − 0.4a + أ = 0.3a + (−0.4a) + أ = (0.3 + (−0.4) + 1)×a = 0.9a
أو أقصر: 0.3 أ - 0.4 أ + أ = 0.9 أ
هكذا التعبير 0.3 أ − 0.4 أ + أمبسطة ل 0.9 أ
مثال 9.تبسيط التعبير −7.5 أ - 2.5 ب + 4 أ
لتبسيط هذا التعبير، يمكننا إضافة مصطلحات مماثلة:
−7.5a − 2.5b + 4a = −7.5a + (−2.5b) + 4a = ((−7.5) + 4)×a + (−2.5b) = −3.5a + (−2.5b)
أو أقصر −7.5a − 2.5b + 4a = −3.5a + (−2.5b)
شرط (−2.5 ب)ظلت دون تغيير لأنه لم يكن هناك ما يمكن وضعه معه.
مثال 10.تبسيط التعبير 
لتبسيط هذا التعبير، يمكننا إضافة مصطلحات مماثلة:
وكان المعامل لسهولة الحساب.
هكذا التعبير مبسطة ل
مثال 11.تبسيط التعبير 
لتبسيط هذا التعبير، يمكننا إضافة مصطلحات مماثلة:
هكذا التعبير مبسطة ل .
في هذا المثال، سيكون من المناسب إضافة المعاملين الأول والأخير أولاً. في هذه الحالة سيكون لدينا حل قصير. سيبدو مثل هذا:
مثال 12.تبسيط التعبير 
لتبسيط هذا التعبير، يمكننا إضافة مصطلحات مماثلة:
هكذا التعبير مبسطة ل 
.
وظل المصطلح دون تغيير، لأنه لم يكن هناك ما يمكن إضافته إليه.
يمكن كتابة هذا الحل بشكل أقصر بكثير. سوف يبدو مثل هذا:
تخطى الحل القصير خطوات استبدال الطرح بالجمع وشرح بالتفصيل كيفية اختزال الكسور إلى مقام مشترك.
الفرق الآخر هو أن الإجابة تبدو في الحل التفصيلي ولكن باختصار . في الواقع، هما نفس التعبير. الفرق هو أنه في الحالة الأولى يتم استبدال الطرح بالجمع، لأننا في البداية عندما كتبنا الحل بالتفصيل، استبدلنا الطرح بالجمع حيثما أمكن، وتم الاحتفاظ بهذا الاستبدال للإجابة.
الهويات. تعبيرات متساوية متطابقة
بمجرد تبسيط أي تعبير، يصبح أبسط وأقصر. للتحقق من صحة التعبير المبسط، يكفي استبدال أي قيم متغيرة أولاً في التعبير السابق الذي يحتاج إلى تبسيط، ثم في التعبير الجديد الذي تم تبسيطه. إذا كانت القيمة في كلا التعبيرين هي نفسها، فإن التعبير المبسط يكون صحيحًا.
دعونا نفكر أبسط مثال. فليكن من الضروري تبسيط التعبير 2 أ × 7 ب. لتبسيط هذا التعبير، يمكنك ضرب الأرقام والحروف بشكل منفصل:
2أ × 7ب = 2 × 7 × أ × ب = 14أب
دعونا نتحقق مما إذا كنا قد قمنا بتبسيط التعبير بشكل صحيح. للقيام بذلك، دعونا نعوض بأي قيم للمتغيرات أو بأولا في التعبير الأول الذي يحتاج إلى تبسيط، ثم في الثاني، الذي تم تبسيطه.
دع قيم المتغيرات أ , بسيكون على النحو التالي:
أ = 4، ب = 5
دعونا نستبدلهم في التعبير الأول 2 أ × 7 ب
الآن دعونا نعوض بنفس قيم المتغير في التعبير الناتج عن التبسيط 2 أ × 7 ب، أي في التعبير 14اب
14أ = 14 × 4 × 5 = 280
ونحن نرى ذلك عندما أ=4و ب=5قيمة التعبير الأول 2 أ × 7 بومعنى التعبير الثاني 14ابمتساوي
2أ × 7ب = 2 × 4 × 7 × 5 = 280
14أ = 14 × 4 × 5 = 280
سيحدث الشيء نفسه مع أي قيم أخرى. على سبيل المثال، دعونا أ = 1و ب=2
2أ × 7ب = 2 × 1 × 7 × 2 =28
14أ = 14 × 1 × 2 =28
وهكذا لأية قيم لمتغيرات التعبير 2 أ × 7 بو 14ابتساوي نفس القيمة. تسمى هذه التعبيرات متساوية تماما.
نستنتج أن بين العبارات 2 أ × 7 بو 14ابيمكنك وضع علامة يساوي لأنهما يساويان نفس القيمة.
2أ × 7ب = 14أب
المساواة هي أي تعبير مرتبط بعلامة المساواة (=).
والمساواة في الشكل 2أ×7ب = 14أبمُسَمًّى هوية.
الهوية هي المساواة الحقيقية لأي قيم للمتغيرات.
أمثلة أخرى للهويات:
أ + ب = ب + أ
أ(ب+ج) = أب + أس
أ(قبل الميلاد) = (أب)ج
نعم، قوانين الرياضيات التي درسناها هي الهويات.
مخلص المساواة العدديةهي أيضا الهويات. على سبيل المثال:
2 + 2 = 4
3 + 3 = 5 + 1
10 = 7 + 2 + 1
اتخاذ القرار مهمة صعبةلتسهيل الحساب، تعبير معقدتم استبداله بتعبير أبسط مماثل للتعبير السابق. ويسمى هذا الاستبدال تحويل مماثل للتعبيرأو فقط تحويل التعبير.
على سبيل المثال، قمنا بتبسيط التعبير 2 أ × 7 ب، وحصلت على تعبير أبسط 14اب. يمكن أن يسمى هذا التبسيط تحويل الهوية.
يمكنك غالبًا العثور على مهمة تقول "أثبت أن المساواة هي هوية" ومن ثم تعطى المساواة التي يجب إثباتها. عادة ما تتكون هذه المساواة من جزأين: الجزء الأيسر والأيمن من المساواة. مهمتنا هي إجراء تحويلات الهوية مع أحد أجزاء المساواة والحصول على الجزء الآخر. أو قم بإجراء تحويلات متطابقة على طرفي المساواة وتأكد من أن طرفي المساواة يحتويان على نفس التعبيرات.
على سبيل المثال، دعونا نثبت أن المساواة 0.5أ × 5ب = 2.5ابهي هوية.
دعونا نبسط الجانب الأيسر من هذه المساواة. للقيام بذلك، اضرب الأرقام والحروف بشكل منفصل:
0.5 × 5 × أ × ب = 2.5اب
2.5اب = 2.5اب
نتيجة لتحول بسيط في الهوية، الجانب الأيسرأصبحت المساواة مساوية للجانب الأيمن من المساواة. لذلك أثبتنا أن المساواة 0.5أ × 5ب = 2.5ابهي هوية.
ومن التحويلات المتطابقة تعلمنا جمع الأعداد وطرحها وضربها وقسمتها، وتبسيط الكسور، وإضافة مصطلحات مماثلة، وكذلك تبسيط بعض التعبيرات.
لكن هذه ليست كلها تحولات متطابقة موجودة في الرياضيات. تحولات الهويةأكثر من ذلك بكثير. وسنرى هذا أكثر من مرة في المستقبل.
مهام الحل المستقل:
هل أعجبك الدرس؟
انضم إلينا مجموعة جديدةفكونتاكتي وابدأ في تلقي إشعارات حول الدروس الجديدة