Podstawowe prawa teorii prawdopodobieństwa. Teoria prawdopodobieństwa

Doktryna praw rządzących tzw. zjawiska losowe. Słownik obcojęzyczne słowa, zawarte w języku rosyjskim. Chudinov A.N., 1910 ... Słownik obcych słów języka rosyjskiego

teoria prawdopodobieństwa- - [L.G. Sumenko. Słownik angielsko-rosyjski dotyczący technologii informatycznych. M.: Przedsiębiorstwo Państwowe TsNIIS, 2003.] Tematyka technologia informacyjna ogólnie PL teoria prawdopodobieństwa teoria szans obliczanie prawdopodobieństwa ... Przewodnik tłumacza technicznego

Teoria prawdopodobieństwa- jest częścią matematyki badającą zależności między prawdopodobieństwami (patrz Prawdopodobieństwo i statystyka) różnych zdarzeń. Wymieńmy najważniejsze twierdzenia związane z tą nauką. Prawdopodobieństwo jednego z kilku nie wspólne wydarzenia równa się... ... słownik encyklopedyczny F. Brockhausa i I.A. Efron

TEORIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA- matematyczny nauka, która pozwala na podstawie prawdopodobieństw niektórych zdarzeń losowych (patrz) znaleźć prawdopodobieństwa zdarzeń losowych związanych z k.l. sposób z tymi pierwszymi. nowoczesny telewizor na podstawie aksjomatyki (patrz Metoda aksjomatyczna) A. N. Kołmogorowa. Na… … Rosyjska encyklopedia socjologiczna

Teoria prawdopodobieństwa- dział matematyki, w którym na podstawie danych prawdopodobieństw niektórych zdarzeń losowych wyznacza się prawdopodobieństwa innych zdarzeń, w jakiś sposób powiązanych z pierwszym. Teoria prawdopodobieństwa bada również zmienne losowe i procesy losowe. Jeden z głównych... ... Koncepcje nowoczesne nauki przyrodnicze. Glosariusz podstawowych terminów

teoria prawdopodobieństwa- tikimybių teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. teoria prawdopodobieństwa vok. Wahrscheinlichkeitstheorie, f rus. teoria prawdopodobieństwa, f pranc. théorie des probabilités, f … Fizikos terminų žodynas

Teoria prawdopodobieństwa- ... Wikipedii

Teoria prawdopodobieństwa- dyscyplina matematyczna badająca wzorce zjawisk losowych... Początki nowożytnych nauk przyrodniczych

TEORIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA- (teoria prawdopodobieństwa) patrz Prawdopodobieństwo... Duży objaśniający słownik socjologiczny

Teoria prawdopodobieństwa i jej zastosowania- („Teoria prawdopodobieństwa i jej zastosowania”) Magazyn naukowy Wydział Matematyki Akademii Nauk ZSRR. Publikuje artykuły oryginalne i krótkie wiadomości zgodnie z teorią prawdopodobieństwa, ogólne problemy statystyka matematyczna i jej zastosowania w naukach przyrodniczych i... ... Duży Encyklopedia radziecka

Książki

Teoria prawdopodobieństwa. , Ventzel E.S.. Książka jest podręcznikiem przeznaczonym dla osób zaznajomionych z matematyką w zakresie zwykłych zajęć uniwersyteckich i zainteresowanych technicznymi zastosowaniami teorii prawdopodobieństwa, w... Kup za 1993 UAH (tylko Ukraina)
Teoria prawdopodobieństwa. , Ventzel E.S.. Książka ta zostanie wyprodukowana zgodnie z Państwa zamówieniem w technologii Print-on-Demand. Książka jest podręcznikiem przeznaczonym dla osób znających matematykę w potocznym zakresie...

Klasyfikacja zdarzeń na możliwe, prawdopodobne i losowe. Pojęcia prostych i złożonych zdarzeń elementarnych. Operacje na zdarzeniach. Klasyczna definicja prawdopodobieństwo zdarzenia losowego i jego właściwości. Elementy kombinatoryki w teorii prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne. Aksjomaty teorii prawdopodobieństwa.

Klasyfikacja zdarzeń

Jednym z podstawowych pojęć teorii prawdopodobieństwa jest pojęcie zdarzenia. Pod wydarzenie zrozumieć każdy fakt, który może wystąpić w wyniku doświadczenia lub testu. Pod doświadczenie, Lub test, odnosi się do spełnienia określonego zestawu warunków.

Przykłady wydarzeń:

Jest ich niezliczona ilość podobne przykłady. Wydarzenia są wyznaczone wielkimi literami Alfabet łaciński itp.

Wyróżnić wspólne wydarzenia I niekompatybilny. Zdarzenia nazywamy łącznymi, jeśli wystąpienie jednego z nich nie wyklucza wystąpienia drugiego. W W przeciwnym razie zdarzenia nazywane są niezgodnymi. Na przykład rzucamy dwiema kostkami. Wydarzenie - zdobycie trzech punktów w pierwszym kostka do gry zdarzeniem jest utrata trzech punktów na drugiej kości. oraz - wspólne wydarzenia. Niech sklep otrzyma partię butów tego samego stylu i rozmiaru, ale inny kolor. Event - w losowo wybranym pudełku będą znajdować się czarne buty, event - w pudełku znajdą się buty brązowy i są zdarzeniami niezgodnymi.

Wydarzenie nazywa się niezawodny, jeśli z całą pewnością nastąpi to w warunkach danego eksperymentu.

Zdarzenie nazywa się niemożliwym, jeśli nie może nastąpić w warunkach danego doświadczenia. Na przykład przypadek, że część standardowa zostanie pobrana z partii części standardowych, jest niezawodny, ale część niestandardowa jest niemożliwa.

Wydarzenie nazywa się możliwy, Lub losowy, jeśli w wyniku doświadczenia może się pojawić, ale może się nie pojawić. Przykładem zdarzenia losowego może być identyfikacja wad produktu podczas kontroli partii produkt końcowy, rozbieżność wielkości produktu przetworzonego z podanym, awaria jednego z ogniw zautomatyzowany system kierownictwo.

Wydarzenia nazywają się równie możliwe, jeżeli zgodnie z warunkami testu żadne z tych zdarzeń nie jest obiektywnie bardziej prawdopodobne niż pozostałe. Na przykład niech sklep zostanie zaopatrzony w żarówki (i w równe ilości) kilka zakładów produkcyjnych. Równie możliwe są zdarzenia związane z zakupem żarówki w którejkolwiek z tych fabryk.

Ważną koncepcją jest pełen zespół wydarzeń. Kilka zdarzeń w tej formie eksperymentu pełna grupa, jeśli przynajmniej jeden z nich na pewno pojawi się w wyniku eksperymentu. Na przykład w urnie znajduje się dziesięć kul, sześć z nich jest czerwonych, cztery są białe, a pięć kul ma numery. - pojawienie się czerwonej bili z jednym remisem, - pojawienie się biała kula, - pojawienie się kuli z liczbą. Wydarzenia tworzą kompletną grupę wspólnych wydarzeń.

Wprowadźmy pojęcie zdarzenia przeciwnego, czyli dodatkowego. Pod naprzeciwko Przez zdarzenie rozumie się zdarzenie, które musi koniecznie nastąpić, jeśli jakieś zdarzenie nie nastąpi. Zdarzenia przeciwne są niezgodne i jedyne możliwe. Tworzą kompletną grupę wydarzeń. Na przykład, jeśli partia wytworzonych produktów składa się z produktów dobrych i wadliwych, to po usunięciu jednego produktu może się okazać, że jest to zdarzenie dobre lub zdarzenie wadliwe.

Operacje na zdarzeniach

Przy opracowywaniu aparatu i metodologii badania zdarzeń losowych w teorii prawdopodobieństwa bardzo ważne jest pojęcie sumy i iloczynu zdarzeń.

Suma lub suma kilku zdarzeń to zdarzenie składające się z wystąpienia co najmniej jednego z tych zdarzeń.

Suma zdarzeń jest wskazywana w następujący sposób:

Przykładowo, jeśli wydarzeniem jest trafienie w cel pierwszym strzałem, zdarzenie - drugim, to zdarzenie trafia w cel w ogóle, nie ma znaczenia jakim strzałem - pierwszym, drugim czy obydwoma.

Produktem lub przecięciem kilku zdarzeń jest zdarzenie składające się z wspólnego wystąpienia wszystkich tych zdarzeń.

Wskazano produkcję wydarzeń

Na przykład, jeśli zdarzeniem jest trafienie celu pierwszym strzałem, zdarzeniem jest trafienie celu drugim strzałem, wówczas zdarzeniem jest trafienie celu obydwoma strzałami.

Pojęcia sumy i iloczynu zdarzeń mają jasną interpretację geometryczną. Niech zdarzenie będzie polegało na wejściu punktu w obszar, zdarzenie będzie polegało na wejściu w obszar, a następnie zdarzenie będzie polegało na wejściu w obszar zacieniony na ryc. 1, a zdarzenie ma miejsce, gdy punkt uderza w obszar zacieniony na ryc. 2.

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa zdarzenia losowego

Aby ilościowo porównać zdarzenia ze względu na stopień możliwości ich wystąpienia, wprowadza się miarę numeryczną, którą nazywa się prawdopodobieństwem zdarzenia.

Prawdopodobieństwo zdarzenia to liczba wyrażająca miarę obiektywnej możliwości wystąpienia zdarzenia.

Prawdopodobieństwo zdarzenia będzie oznaczone symbolem.

Prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe stosunkowi liczby przypadków sprzyjających z ogólnej liczby przypadków jednoznacznie możliwych, równie możliwych i niezgodnych z liczbą tj.

Jest to klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Zatem, aby znaleźć prawdopodobieństwo zdarzenia, należy po rozważeniu różnych wyników testu znaleźć zbiór jednoznacznie możliwych, równie możliwych i niezgodnych przypadków, obliczyć ich całkowitą liczbę, liczbę przypadków korzystnych dla danego zdarzenie, a następnie wykonaj obliczenia korzystając ze wzoru (1.1).

Ze wzoru (1.1) wynika, że prawdopodobieństwo zdarzenia wynosi liczba nieujemna i może zmieniać się od zera do jednego w zależności od proporcji korzystnej liczby przypadków do całkowitej liczby przypadków:

Właściwości prawdopodobieństwa

Właściwość 1. Jeśli wszystkie przypadki sprzyjają danemu zdarzeniu, to zdarzenie to z pewnością nastąpi. W związku z tym dane zdarzenie jest wiarygodne, a prawdopodobieństwo jego wystąpienia wynosi , ponieważ w tym przypadku

Własność 2. Jeśli nie ma ani jednego przypadku sprzyjającego danemu zdarzeniu, to zdarzenie to nie może nastąpić w wyniku doświadczenia. W konsekwencji dane zdarzenie jest niemożliwe, a prawdopodobieństwo jego wystąpienia wynosi , gdyż w tym przypadku:

Własność 3. Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzeń tworzących pełną grupę jest równe jeden.

Właściwość 4. Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia przeciwnego określa się w taki sam sposób, jak prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia:

gdzie jest liczbą przypadków sprzyjających zaistnieniu zdarzenia przeciwnego. Stąd prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia przeciwnego jest równe różnicy między jednością a prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia:

Ważną zaletą klasycznej definicji prawdopodobieństwa zdarzenia jest to, że za jej pomocą można określić prawdopodobieństwo zdarzenia bez uciekania się do doświadczenia, ale w oparciu o logiczne rozumowanie.

Przykład 1. Abonent wybierając numer telefonu zapomniał jednej cyfry i wybrał ją losowo. Znajdź prawdopodobieństwo, że zostanie wybrany właściwy numer.

Rozwiązanie. Oznaczmy zdarzenie, w którym wybrany zostanie żądany numer. Abonent mógł wybrać dowolną z 10 cyfr, tzw Łączna możliwe wyniki są równe 10. Wyniki te są jedyne możliwe (należy wpisać jedną z liczb) i równie możliwe (liczba musi zostać wpisana losowo). Tylko jeden wynik faworyzuje wydarzenie (wymagana jest tylko jedna liczba). Wymagane prawdopodobieństwo jest równe stosunkowi liczby wyników sprzyjających zdarzeniu do liczby wszystkich wyników:

Elementy kombinatoryki

W teorii prawdopodobieństwa często stosuje się rozmieszczenia, permutacje i kombinacje. Jeśli podany jest zestaw, to umiejscowienie (kombinacja) elementów przez jest dowolnym uporządkowanym (nieuporządkowanym) podzbiorem elementów zbioru. Po umieszczeniu nazywa się przegrupowanie z elementów.

Niech na przykład zostanie podany zestaw. Rozmieszczenie trzech elementów tego zestawu dwóch to , , , ,; kombinacje - , , .

Dwie kombinacje różnią się co najmniej jednym elementem, a rozmieszczenie różni się albo samymi elementami, albo kolejnością ich występowania. Liczbę kombinacji elementów według oblicza się ze wzoru

jest liczbą rozmieszczeń elementów według ; - liczba permutacji elementów.

Przykład 2. W partii 10 części znajduje się 7 standardowych. Znajdź prawdopodobieństwo, że wśród 6 losowo wybranych części znajdą się dokładnie 4 części standardowe.

Rozwiązanie. Całkowita liczba możliwych wyników testu jest równa liczbie sposobów, na jakie można wyodrębnić 6 części z 10, tj. równa liczbie kombinacji 10 elementów z 6. Liczba wyników sprzyjających zdarzeniu (spośród 6 wziętych części są dokładnie 4 części standardowe) określa się w następujący sposób: 4 części standardowe można pobrać z 7 części standardowych na różne sposoby; w takim przypadku pozostałe części muszą być niestandardowe; Istnieją sposoby na pobranie 2 niestandardowych części z niestandardowych części. Zatem liczba korzystnych wyników jest równa . Prawdopodobieństwo początkowe jest równe stosunkowi liczby wyników sprzyjających zdarzeniu do liczby wszystkich wyników:

Statystyczna definicja prawdopodobieństwa

Do tego służy wzór (1.1). bezpośrednie obliczenia prawdopodobieństwa zdarzeń tylko wtedy, gdy doświadczenie sprowadzi się do wzoru przypadków. W praktyce klasyczna definicja prawdopodobieństwa często nie ma zastosowania z dwóch powodów: po pierwsze, klasyczna definicja prawdopodobieństwa zakłada, że całkowita liczba przypadków musi być skończona. W rzeczywistości często nie jest to ograniczone. Po drugie, często nie da się przedstawić wyników eksperymentu w postaci zdarzeń równie możliwych i niezgodnych.

Częstotliwość występowania zdarzeń podczas powtarzanych Eksperymentów ma tendencję do stabilizowania się wokół pewnej stałej wartości. Zatem niektórzy stała wartość, wokół którego grupują się częstotliwości i która jest cechą obiektywnego związku pomiędzy zespołem warunków, w jakich przeprowadzane są eksperymenty, a zdarzeniem.

Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego to liczba, wokół której grupowane są częstotliwości tego zdarzenia w miarę wzrostu liczby prób.

Ta definicja prawdopodobieństwa nazywa się statystyczny.

Korzyść metoda statystyczna Definicja prawdopodobieństwa polega na tym, że opiera się ono na rzeczywistym eksperymencie. Jednak jego istotną wadą jest to, że aby określić prawdopodobieństwo, należy je wykonać duża liczba doświadczenia, z którymi bardzo często się kojarzą koszty materiałów. Statystyczna definicja prawdopodobieństwa zdarzenia, choć w pełni odsłania treść tego pojęcia, nie pozwala jednak na faktyczne obliczenie prawdopodobieństwa.

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa uwzględnia całą grupę skończoną liczbą równie możliwe zdarzenia. W praktyce bardzo często liczba możliwych wyników testów jest nieskończona. W takich przypadkach klasyczna definicja prawdopodobieństwa nie ma zastosowania. Czasami jednak w takich przypadkach można zastosować inną metodę obliczania prawdopodobieństwa. Dla pewności ograniczamy się do przypadku dwuwymiarowego.

Niech na płaszczyźnie będzie dany pewien obszar pola, który zawiera inny obszar pola (rys. 3). W wybrane miejsce rzucana jest kropka. Jakie jest prawdopodobieństwo, że punkt wpadnie w obszar? Zakłada się, że losowo rzucony punkt może trafić w dowolny punkt obszaru, a prawdopodobieństwo trafienia w dowolną część obszaru jest proporcjonalne do powierzchni części i nie zależy od jej położenia i kształtu. W tym przypadku prawdopodobieństwo wejścia na ten obszar

Zatem w przypadek ogólny, jeżeli o możliwości przypadkowego pojawienia się punktu wewnątrz określonego obszaru na linii prostej, płaszczyźnie lub w przestrzeni nie decyduje położenie tego obszaru i jego granice, a jedynie jego wielkość, tj. długość, powierzchnia lub objętość, Następnie prawdopodobieństwo trafienia losowy punkt wewnątrz określonego obszaru definiuje się jako stosunek wielkości tego obszaru do wielkości całego obszaru, na którym może się on pojawić dany punkt. Jest tutaj definicja geometryczna prawdopodobieństwa.

Przykład 3. Okrągły cel obraca się ze stałą prędkością prędkość kątowa. Jedna piąta tarczy jest pomalowana na zielono, a reszta na biało (ryc. 4). Strzał oddaje się do celu w taki sposób, że trafienie w cel jest zdarzeniem pewnym. Wymagane jest określenie prawdopodobieństwa trafienia w pokolorowany sektor docelowy zielony kolor.

Rozwiązanie. Oznaczmy „strzał trafił w sektor oznaczony kolorem zielonym”. Następnie . Prawdopodobieństwo oblicza się jako stosunek powierzchni części celu pomalowanej na zielono do całej powierzchni celu, ponieważ trafienia w dowolną część celu są jednakowo możliwe.

Aksjomaty teorii prawdopodobieństwa

Z definicja statystyczna prawdopodobieństwo zdarzenia losowego wynika, że prawdopodobieństwo zdarzenia to liczba, wokół której grupują się zaobserwowane eksperymentalnie częstości tego zdarzenia. Dlatego wprowadza się aksjomaty teorii prawdopodobieństwa, aby prawdopodobieństwo zdarzenia miało podstawowe właściwości częstotliwości.

Aksjomat 1. Każde wydarzenie odpowiada pewna liczba, spełniający warunek i nazywany jego prawdopodobieństwem.

Mama umyła ramę

Na koniec długie wakacje czas powoli wrócić do wyższej matematyki i uroczyście otworzyć pusty plik Verdova, aby rozpocząć tworzenie nowej sekcji - . Przyznaję, że pierwsze linijki nie są łatwe, ale pierwszy krok to już połowa drogi, dlatego sugeruję każdemu uważne przestudiowanie artykuł wprowadzający, po którym opanowanie tematu będzie 2 razy łatwiejsze! Wcale nie przesadzam. …W przeddzień następnego 1 września pamiętam pierwszą klasę i elementarz…. Litery układają się w sylaby, sylaby w słowa, a słowa w krótkie zdania- Mama umyła ramę. Radzenie sobie z terverem i statystyka matematyczna tak łatwe, jak nauka czytania! Jednak w tym celu musisz znać kluczowe terminy, pojęcia i oznaczenia, a także niektóre konkretne zasady, któremu poświęcona jest ta lekcja.

Ale najpierw proszę przyjąć moje gratulacje na początek (kontynuacja, ukończenie, odpowiednio donotować) rok szkolny i przyjmij prezent. Najlepszym prezentem jest książka i dla niezależna praca Polecam następującą literaturę:

1) Gmurman VE Teoria prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna

Legendarny instruktaż, który doczekał się ponad dziesięciu przedruków. Wyróżnia się przystępnością i niezwykle prostym przedstawieniem materiału, a pierwsze rozdziały są w pełni przystępne, jak sądzę, już dla uczniów klas 6-7.

2) Gmurman VE Przewodnik po rozwiązywaniu problemów w teorii prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna

Książka z rozwiązaniami tego samego Władimira Efimowicza ze szczegółowymi przykładami i problemami.

KONIECZNIE pobierz obie książki z Internetu lub zdobądź ich papierowe oryginały! Sprawdzi się także wersja z lat 60. i 70., która jest jeszcze lepsza dla manekinów. Chociaż sformułowanie „teoria prawdopodobieństwa dla manekinów” brzmi dość absurdalnie, ponieważ prawie wszystko ogranicza się do elementarności działania arytmetyczne. Miejscami jednak przeskakują pochodne I całki, ale to tylko miejscami.

Postaram się osiągnąć tę samą klarowność prezentacji, ale muszę ostrzec, że mój kurs ma na celu rozwiązywanie problemów a obliczenia teoretyczne ograniczono do minimum. Tak więc, jeśli potrzebujesz szczegółowej teorii, dowodów twierdzeń (twierdzeń-twierdzeń!), Sięgnij do podręcznika. No kto chce nauczyć się rozwiązywać problemy w teorii prawdopodobieństwa i statystyce matematycznej najbardziej krótki czas , chodź za mną!

Na początek wystarczy =)

Czytając artykuły, wskazane jest zapoznanie się (przynajmniej krótko) z nimi dodatkowe zadania uważany gatunek. Na stronie Gotowe rozwiązania dla matematyki wyższej Odpowiednie pliki pdf z przykładami rozwiązań zostaną opublikowane. Zapewniona zostanie również znacząca pomoc IDZ 18.1 Ryabuszka(prostsze) i rozwiązał IDZ według kolekcji Chudesenko(trudniejsze).

1) Kwota dwa zdarzenia i nazywa się je wydarzeniem, które oznacza, że to się stanie Lub wydarzenie Lub wydarzenie Lub oba wydarzenia w tym samym czasie. W przypadku takich wydarzeń niekompatybilny, ostatnia opcja znika, to znaczy może wystąpić Lub wydarzenie Lub wydarzenie .

Zasada dotyczy również duża ilość terminy, na przykład wydarzenie to się stanie przynajmniej jeden z wydarzeń , A jeśli zdarzenia są niezgodne – wtedy jedna rzecz i tylko jedna rzecz wydarzenie od tej kwoty: Lub wydarzenie , Lub wydarzenie , Lub wydarzenie , Lub wydarzenie , Lub wydarzenie .

Istnieje wiele przykładów:

Pojawią się zdarzenia (przy rzucie kostką nie pojawi się 5 punktów). Lub 1, Lub 2, Lub 3, Lub 4, Lub 6 punktów.

Wydarzenie (spadnie już nie dwa punkty) oznacza, że pojawi się 1 Lub 2zwrotnica.

Wydarzenie (będzie Liczba parzysta punktów) jest tym, co zostanie wyrzucone Lub 2 Lub 4 Lub 6 punktów.

Wydarzenie polega na tym, że z talii zostanie wylosowana czerwona karta (serce). Lub tamburyn) i wydarzenie – że „obrazek” zostanie wyodrębniony (jack Lub dama Lub król Lub as).

Nieco ciekawiej jest w przypadku wspólnych wydarzeń:

Wydarzenie polega na tym, że z talii zostanie losowany kij Lub siedem Lub siedem klubów Zgodnie z definicją podaną powyżej, Przynajmniej coś- lub dowolny trefl lub dowolna siódemka lub ich „przecięcie” - siódemka trefl. Łatwo policzyć, że temu wydarzeniu odpowiada 12 wyników elementarnych (9 kart klubowych + 3 pozostałe siódemki).

Wydarzenie jest takie, że jutro o 12.00 nadejdzie CO NAJMNIEJ JEDNO z możliwych do zsumowania wspólnych wydarzeń, a mianowicie:

– albo będzie tylko deszcz / tylko burza / tylko słońce;
– lub nastąpi tylko para zdarzeń (deszcz + burza / deszcz + słońce / burza + słońce);
– lub wszystkie trzy zdarzenia pojawią się jednocześnie.

Oznacza to, że wydarzenie obejmuje 7 możliwych wyników.

Drugi filar algebry zdarzeń:

2) Praca dwa zdarzenia i wywołać zdarzenie, które polega na wspólnym wystąpieniu tych zdarzeń, czyli mnożenie oznacza, że w pewnych okolicznościach nastąpi I wydarzenie , I wydarzenie . Podobne stwierdzenie odnosi się do większej liczby wydarzeń, np. dzieło sugeruje, że pod pewnymi warunkami to nastąpi I wydarzenie , I wydarzenie , I wydarzenie , …, I wydarzenie .

Rozważmy test, w którym rzuca się dwiema monetami oraz następujące wydarzenia:

– na pierwszej monecie pojawią się reszki;
– pierwsza moneta wyrzuci reszkę;
– na drugiej monecie pojawią się reszki;
– druga moneta wyrzuci reszkę.

Następnie:
I na 2.) pojawią się głowy;
– zdarzenie jest takie, że na obu monetach (1 I po 2) będą to głowy;
– zdarzenie jest takie, że pierwsza moneta wyrzuci reszkę I druga moneta to reszka;
– zdarzenie jest takie, że pierwsza moneta wyrzuci reszkę I na drugiej monecie orzeł.

Łatwo jest zobaczyć te wydarzenia niekompatybilny (bo np. nie mogą być jednocześnie 2 orły i 2 reszki) i forma pełna grupa (ponieważ wzięto pod uwagę Wszystko możliwe wyniki rzutu dwiema monetami). Podsumujmy te wydarzenia: . Jak interpretować ten wpis? Bardzo proste - mnożenie oznacza łącznik logiczny I i dodatek – LUB. Zatem kwota jest czytelna i zrozumiała język ludzki: „Pojawią się dwie głowy Lub dwie głowy Lub pierwsza moneta wyrzuci reszkę I na 2. ogonach Lub pierwsza moneta wyrzuci reszkę I na drugiej monecie orzeł”

To był przykład kiedy w jednym teście zaangażowanych jest kilka obiektów, w tym przypadku- dwie monety. Innym częstym w problemy praktyczne o, schemat jest ponowne testowanie , gdy na przykład rzucimy tą samą kostką 3 razy z rzędu. Jako demonstrację rozważ następujące zdarzenia:

– w pierwszym rzucie otrzymasz 4 punkty;
– w drugim rzucie otrzymasz 5 punktów;
– w trzecim rzucie otrzymasz 6 punktów.

Potem wydarzenie jest to, że w pierwszym rzucie otrzymasz 4 punkty I w drugim rzucie otrzymasz 5 punktów I przy trzecim rzucie otrzymasz 6 punktów. Oczywiście w przypadku kostki będzie znacznie więcej kombinacji (wyników) niż gdybyśmy rzucali monetą.

...Rozumiem, że być może nie rozumieją zbyt dobrze ciekawe przykłady, ale to są rzeczy, które często spotyka się w problemach i nie ma od nich ucieczki. Oprócz monety, kostki i talii kart czekają na Ciebie urny z wielobarwnymi kulkami, kilka anonimowych osób strzelających do celu i niestrudzony robotnik, który ciągle dopracowuje pewne szczegóły =)

Prawdopodobieństwo zdarzenia

Prawdopodobieństwo zdarzenia jest centralną koncepcją teorii prawdopodobieństwa. ...Zabójczo logiczna rzecz, ale od czegoś trzeba było zacząć =) Istnieje kilka podejść do jej definicji:

;
Geometryczna definicja prawdopodobieństwa ;
Statystyczna definicja prawdopodobieństwa .

W tym artykule skupię się na klasycznej definicji prawdopodobieństwa, która jest najczęściej stosowana w zadaniach edukacyjnych.

Oznaczenia. Prawdopodobieństwo wystąpienia jakiegoś zdarzenia jest określane jako wysokie Litera łacińska, a samo wydarzenie jest ujęte w nawias, pełniąc rolę pewnego rodzaju argumentu. Na przykład:

Ponadto mała litera jest powszechnie używana do oznaczania prawdopodobieństwa. W szczególności można zrezygnować z uciążliwego oznaczania zdarzeń i ich prawdopodobieństw na rzecz następującego stylu:

– prawdopodobieństwo, że w rzucie monetą wypadnie orzeł;
– prawdopodobieństwo, że rzut kostką zakończy się wynikiem 5 punktów;
– prawdopodobieństwo, że z talii zostanie wylosowana karta w kolorze treflowym.

Ta opcja popularny przy rozwiązywaniu problemów praktycznych, ponieważ pozwala znacznie ograniczyć rejestrację rozwiązania. Podobnie jak w pierwszym przypadku, wygodnie jest tutaj zastosować „mówiące” indeksy dolne/górne.

Wszyscy od dawna zgadli liczby, które właśnie zapisałem powyżej, a teraz dowiemy się, jak się potoczyły:

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa:

Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia w określonym teście nazywa się współczynnikiem, gdzie:

– łączna liczba wszystkich równie możliwe, podstawowy wyniki tego testu, które tworzą pełen zespół wydarzeń;

- ilość podstawowy wyniki, korzystny wydarzenie.

Podczas rzucania monetą mogą wypaść orzeł lub reszka - powstają te zdarzenia pełna grupa, a zatem całkowita liczba wyników; jednocześnie każdy z nich podstawowy I równie możliwe. Wydarzeniu sprzyja wynik (reszki). Zgodnie z klasyczną definicją prawdopodobieństwa: .

Podobnie w wyniku rzutu kostką mogą pojawić się elementarne, równie możliwe wyniki, tworzące kompletną grupę, a zdarzeniu sprzyja pojedynczy wynik (wyrzucenie piątki). Dlatego: NIE JEST TO DOPUSZCZONE (chociaż nie jest zabronione szacowanie procentów w głowie).

Zwyczajowo używa się ułamków jednostki i, oczywiście, prawdopodobieństwo może się różnić w obrębie . Co więcej, jeśli , to zdarzenie jest niemożliwe, Jeśli - niezawodny, a jeśli , to mówimy o losowy wydarzenie.

! Jeśli podczas rozwiązywania dowolnego problemu otrzymasz inną wartość prawdopodobieństwa, poszukaj błędu!

Na klasyczne podejście aby określić prawdopodobieństwo, wartości ekstremalne (zero i jeden) uzyskuje się dokładnie w ten sam sposób. Z urny zawierającej 10 kul czerwonych losujemy 1 kulę. Rozważ następujące zdarzenia:

w pojedynczej próbie nie wystąpi zdarzenie o niskim prawdopodobieństwie.

Dlatego nie trafisz głównej wygranej na loterii, jeśli prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi, powiedzmy, 0,00000001. Tak, tak, to Ty – z jedynym biletem w danym obiegu. Jednak większa liczba biletów i większa liczba rysunków niewiele Ci pomoże. ...Kiedy opowiadam o tym innym, prawie zawsze słyszę w odpowiedzi: „ale ktoś wygrywa”. OK, w takim razie wykonajmy następujący eksperyment: proszę dzisiaj lub jutro kupić los na dowolną loterię (nie zwlekaj!). A jeśli wygrasz... cóż, przynajmniej ponad 10 kilorubli, koniecznie zarejestruj się - wyjaśnię, dlaczego tak się stało. Oczywiście procentowo =) =)

Ale nie ma co się smucić, bo obowiązuje zasada odwrotna: jeśli prawdopodobieństwo jakiegoś zdarzenia jest bardzo bliskie jedności, to w jednej próbie tak się stanie prawie pewien stanie się. Dlatego przed skokiem ze spadochronem nie ma się czego bać, wręcz przeciwnie – uśmiechaj się! Przecież muszą zaistnieć zupełnie nie do pomyślenia i fantastyczne okoliczności, aby oba spadochrony uległy awarii.

Choć to wszystko jest liryzmem, gdyż w zależności od treści wydarzenia pierwsza zasada może okazać się wesoła, a druga – smutna; lub nawet oba są równoległe.

Może na razie wystarczy, na zajęciach Klasyczne problemy prawdopodobieństwa wyciągniemy najwięcej z formuły. W końcowej części tego artykułu rozważymy jeden ważne twierdzenie:

Suma prawdopodobieństw zdarzeń tworzących pełną grupę jest równa jeden. Z grubsza rzecz biorąc, jeśli zdarzenia tworzą kompletną grupę, to ze 100% prawdopodobieństwem jedno z nich nastąpi. W samym prosty przypadek kompletną grupę tworzą przeciwstawne zdarzenia, na przykład:

– w wyniku rzutu monetą pojawią się reszki;
– wynikiem rzutu monetą będą reszki.

Zgodnie z twierdzeniem:

Jest całkowicie jasne, że zdarzenia te są jednakowo możliwe, a ich prawdopodobieństwa są takie same .

Ze względu na równość prawdopodobieństw często nazywane są zdarzeniami równie możliwymi równie prawdopodobne . A oto łamacz języka do określenia stopnia zatrucia =)

Przykład z sześcianem: zdarzenia są zatem odwrotne .

Rozważane twierdzenie jest wygodne, ponieważ pozwala szybko znaleźć prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego. Jeśli więc znane jest prawdopodobieństwo, że wypadnie piątka, łatwo jest obliczyć prawdopodobieństwo, że wypadnie piątka:

Jest to znacznie prostsze niż zsumowanie prawdopodobieństw pięciu elementarnych wyników. Nawiasem mówiąc, dla wyników elementarnych to twierdzenie też prawda:
. Na przykład, jeśli jest prawdopodobieństwo, że strzelec trafi w cel, to jest prawdopodobieństwo, że spudłuje.

! W teorii prawdopodobieństwa niepożądane jest używanie liter do jakichkolwiek innych celów.

Na cześć Dnia Wiedzy nie będę pytał Praca domowa=), ale bardzo ważne jest, abyś mógł odpowiedzieć kolejne pytania:

– Jakie rodzaje wydarzeń istnieją?
– Czym jest szansa i równość zdarzenia?
– Jak rozumiesz pojęcie zgodności/niekompatybilności zdarzeń?
– Co to jest kompletna grupa zdarzeń, zdarzeń przeciwstawnych?
– Co oznacza dodawanie i mnożenie zdarzeń?
– Jaka jest istota klasycznej definicji prawdopodobieństwa?
– Dlaczego twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw zdarzeń tworzących kompletną grupę jest przydatne?

Nie, nie trzeba niczego wkuwać, to tylko podstawy teorii prawdopodobieństwa – swego rodzaju elementarz, który szybko wpadnie Ci do głowy. Aby stało się to jak najszybciej, sugeruję zapoznanie się z lekcjami

WSTĘP

Wiele rzeczy jest dla nas niezrozumiałych nie dlatego, że nasze pojęcia są słabe;
ale dlatego, że te rzeczy nie mieszczą się w zakresie naszych pojęć.
Koźma Prutkow

Głównym celem studiowania matematyki w szkołach średnich specjalistycznych jest wyposażenie uczniów w zestaw wiedzy matematycznej i umiejętności niezbędnych do studiowania innych dyscyplin programowych, które w takim czy innym stopniu wykorzystują matematykę, do umiejętności wykonywania praktycznych obliczeń, do tworzenia i rozwoju logicznego myślenia.

W tej pracy wszystkie podstawowe pojęcia z sekcji matematyki „Podstawy teorii prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej”, przewidziane w programie i Państwowych standardach edukacyjnych średniego szkolnictwa zawodowego (Ministerstwo Edukacji Federacji Rosyjskiej. M., 2002 ), są konsekwentnie wprowadzane, formułowane są główne twierdzenia, z których większość nie jest udowodniona. Rozważane są główne problemy i metody ich rozwiązywania oraz technologie stosowania tych metod do rozwiązywania problemów praktycznych. Prezentację opatrzono szczegółowymi komentarzami i licznymi przykładami.

Wskazówki metodyczne można wykorzystać do wstępnego zapoznania się z studiowanym materiałem, podczas robienia notatek z wykładów, w celu przygotowania się zajęcia praktyczne, utrwalić zdobytą wiedzę, umiejętności i zdolności. Ponadto podręcznik będzie także przydatny dla studentów studiów licencjackich jako narzędzie referencyjne, umożliwiające im szybkie przypomnienie sobie tego, czego uczyli się wcześniej.

Na końcu pracy znajdują się przykłady i zadania, które uczniowie mogą wykonać w trybie samokontroli.

Wytyczne przeznaczone są dla studentów studiów niestacjonarnych i stacjonarnych.

PODSTAWOWE KONCEPCJE

Teoria prawdopodobieństwa bada obiektywne wzorce masowych zdarzeń losowych. Tak się składa, że jest podstawy teoretyczne dla statystyki matematycznej, która zajmuje się rozwojem metod gromadzenia, opisywania i przetwarzania wyników obserwacji. Poprzez obserwacje (testy, eksperymenty), tj. doświadczenie w w szerokim znaczeniu Słowem, następuje poznanie zjawisk świata rzeczywistego.

W jego zajęcia praktyczne Często spotykamy się ze zjawiskami, których wyniku nie da się przewidzieć, a których wynik zależy od przypadku.

Zjawisko losowe można scharakteryzować stosunkiem liczby jego wystąpień do liczby prób, w których, w tych samych warunkach wszystkich prób, może wystąpić lub nie wystąpić.

Teoria prawdopodobieństwa to dziedzina matematyki, w której bada się zjawiska losowe (zdarzenia) i identyfikuje wzorce, gdy są one masowo powtarzane.

Statystyka matematyczna to dziedzina matematyki zajmująca się badaniem metod gromadzenia, systematyzowania, przetwarzania i wykorzystywania danych statystycznych w celu wyciągania wniosków naukowych i podejmowania decyzji.

W tym przypadku dane statystyczne są rozumiane jako zbiór liczb, które reprezentują ilościowe cechy charakterystyczne cech badanych obiektów, które nas interesują. Dane statystyczne uzyskuje się w wyniku specjalnie zaprojektowanych eksperymentów i obserwacji.

Dane statystyczne ze swej istoty zależą od wielu czynniki losowe Dlatego statystyka matematyczna jest ściśle związana z teorią prawdopodobieństwa, która jest jej podstawą teoretyczną.

I. PRAWdopodobieństwo. Twierdzenia o dodawaniu i mnożeniu prawdopodobieństw

1.1. Podstawowe pojęcia kombinatoryki

W dziale matematyki, który nazywa się kombinatoryką, rozwiązuje się niektóre problemy związane z rozpatrywaniem zbiorów i składaniem różnych kombinacji elementów tych zbiorów. Na przykład, jeśli weźmiemy 10 różnych liczb 0, 1, 2, 3,: , 9 i stworzymy ich kombinację, otrzymamy różne liczby, na przykład 143, 431, 5671, 1207, 43 itd.

Widzimy, że niektóre z tych kombinacji różnią się tylko kolejnością cyfr (na przykład 143 i 431), inne - zawartymi w nich cyframi (na przykład 5671 i 1207), a inne różnią się także liczbą cyfr (na przykład 143 i 43).

Zatem powstałe kombinacje spełniają różne warunki.

W zależności od zasad kompozycji można wyróżnić trzy rodzaje kombinacji: permutacje, rozmieszczenia, kombinacje.

Najpierw zapoznajmy się z koncepcją silnia.

Produkt wszystkiego liczby naturalne od 1 do n włącznie n-silnia i napisz.

Oblicz: a) ; B) ; V) .

Rozwiązanie. A) .

b) Od , to możemy wyjąć to z nawiasów

Wtedy otrzymamy

V) .

Przegrupowania.

Permutacją nazywamy kombinację n elementów różniących się od siebie jedynie kolejnością elementów.

Permutacje są oznaczone symbolem P. n , gdzie n jest liczbą elementów zawartych w każdej permutacji. ( R- pierwsza litera francuskiego słowa permutacja- przegrupowanie).

Liczbę permutacji można obliczyć za pomocą wzoru

lub używając silni:

Pamiętajmy o tym 0!=1 i 1!=1.

Przykład 2. Na ile sposobów można ustawić sześć różnych książek na jednej półce?

Rozwiązanie. Wymagana liczba sposobów jest równa liczbie permutacji 6 elementów, tj.

Miejsca docelowe.

Wpisy z M elementy w N w każdym z nich nazywane są takie związki, które różnią się od siebie samymi elementami (co najmniej jednym) lub kolejnością ich ułożenia.

Miejsca docelowe są oznaczone symbolem gdzie M- ilość wszystkich dostępnych elementów, N- liczba elementów w każdej kombinacji. ( A- pierwsza litera Francuskie słowo układ, co oznacza „umieszczenie, uporządkowanie”).

Jednocześnie uważa się, że nm.

Liczbę miejsc docelowych można obliczyć za pomocą wzoru

te. liczba wszystkich możliwych miejsc docelowych z M elementy wg N równa się produktowi N kolejne liczby całkowite, z których największa to M.

Zapiszmy ten wzór w postaci silni:

Przykład 3. Ile opcji dystrybucji trzech bonów do sanatoriów o różnych profilach można skompilować dla pięciu wnioskodawców?

Rozwiązanie. Wymagana liczba opcji jest równa liczbie umieszczenia 5 elementów po 3 elementy, tj.

Kombinacje.

Kombinacje to wszystkie możliwe kombinacje M elementy wg N, które różnią się od siebie co najmniej jednym elementem (tutaj M I N- liczby naturalne i n m).

Liczba kombinacji M elementy wg N są oznaczone ( Z-pierwsza litera francuskiego słowa połączenie- kombinacja).

Ogólnie rzecz biorąc, liczba M elementy wg N równa liczbie miejsc docelowych z M elementy wg N, podzielone przez liczbę permutacji z N elementy:

Korzystając ze wzorów silniowych na liczbę miejsc docelowych i permutacji, otrzymujemy:

Przykład 4. W 25-osobowym zespole musisz przydzielić cztery osoby do pracy w określonym obszarze. Na ile sposobów można to zrobić?

Rozwiązanie. Ponieważ kolejność czterech wybranych osób nie ma znaczenia, istnieją sposoby, aby to zrobić.

Znajdujemy, korzystając z pierwszej formuły

Ponadto przy rozwiązywaniu problemów stosuje się następujące wzory wyrażające podstawowe właściwości kombinacji:

(z definicji zakładają i);

1.2. Rozwiązywanie problemów kombinatorycznych

Zadanie 1. Na wydziale studiuje się 16 przedmiotów. Musisz umieścić 3 przedmioty w swoim planie zajęć na poniedziałek. Na ile sposobów można to zrobić?

Rozwiązanie. Sposobów zaplanowania trzech elementów z 16 jest tyle, ile można rozmieścić 16 elementów po 3.

Zadanie 2. Spośród 15 obiektów musisz wybrać 10 obiektów. Na ile sposobów można to zrobić?

Zadanie 3. W zawodach wzięły udział cztery drużyny. Ile jest możliwych opcji podziału miejsc pomiędzy nimi?

Zadanie 4. Na ile sposobów można utworzyć patrol składający się z trzech żołnierzy i jednego oficera, jeżeli jest 80 żołnierzy i 3 oficerów?

Rozwiązanie. Możesz wybrać żołnierza na patrolu

sposoby i oficerowie na sposoby. Ponieważ każdy oficer może towarzyszyć każdej drużynie żołnierzy, sposobów jest tylko kilka.

Zadanie 5. Znajdź , jeśli wiadomo, że .

Ponieważ , otrzymujemy

Z definicji kombinacji wynika, że , . To. .

1.3. Pojęcie zdarzenia losowego. Rodzaje wydarzeń. Prawdopodobieństwo zdarzenia

Każde działanie, zjawisko, obserwacja z kilkoma różnymi wynikami, zrealizowane w danych warunkach, będzie nazywane test.

Wynik tego działania lub obserwacji nazywa się wydarzenie .

Jeśli wydarzenie dane warunki może się zdarzyć lub nie, nazywa się to losowy . Kiedy zdarzenie jest pewne, następuje jego wywołanie niezawodny , a w przypadku, gdy jest to oczywiście niemożliwe, - niemożliwe.

Wydarzenia nazywają się niekompatybilny , jeśli za każdym razem możliwe jest wystąpienie tylko jednego z nich.

Wydarzenia nazywają się wspólny , jeżeli w danych warunkach wystąpienie jednego z tych zdarzeń nie wyklucza wystąpienia drugiego w czasie tego samego badania.

Wydarzenia nazywają się naprzeciwko , jeżeli w warunkach testowych one, jako jedyne wyniki, są niezgodne.

Wydarzenia są zwykle oznaczane wielkimi literami alfabetu łacińskiego: A, B, C, D, : .

Kompletny układ zdarzeń A 1 , A 2 , A 3 , : , An jest zbiorem zdarzeń niezgodnych, z których wystąpienie przynajmniej jednego jest obowiązkowe podczas danego testu.

Jeśli kompletny system składa się z dwóch niezgodnych ze sobą zdarzeń, wówczas takie zdarzenia nazywane są przeciwstawnymi i oznaczane A i .

Przykład. W pudełku znajduje się 30 ponumerowanych kulek. Określ, które z poniższych zdarzeń są niemożliwe, wiarygodne lub sprzeczne:

wyciągnął numerowaną piłkę (A);

dostałem kulę o parzystej liczbie (W);

dostałem piłkę z liczbą nieparzystą (Z);

dostałem piłkę bez numeru (D).

Które z nich tworzą kompletną grupę?

Rozwiązanie . A- wiarygodne wydarzenie; D- wydarzenie niemożliwe;

W I Z- zdarzenia przeciwne.

Kompletna grupa wydarzeń składa się z A I D, V I Z.

Prawdopodobieństwo zdarzenia uważa się za miarę obiektywnej możliwości wystąpienia zdarzenia losowego.

1.4. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Liczba wyrażająca miarę obiektywnej możliwości wystąpienia zdarzenia nazywa się prawdopodobieństwo tego zdarzenia i jest oznaczone symbolem R(A).

Definicja. Prawdopodobieństwo zdarzenia A nazywa się stosunkiem liczby wyników m korzystnych dla ataku tego wydarzenia A, do numeru N wszystkie wyniki (niespójne, tylko możliwe i równie możliwe), tj. .

Dlatego, aby znaleźć prawdopodobieństwo zdarzenia, należy po rozważeniu różnych wyników testu obliczyć wszystkie możliwe niespójne wyniki N, wybierz liczbę wyników m, które nas interesują i oblicz stosunek M Do N.

Z tej definicji wynikają następujące właściwości:

Prawdopodobieństwo dowolnego testu jest liczbą nieujemną i nie przekracza jeden.

Rzeczywiście, liczba m wymaganych zdarzeń mieści się w zakresie . Podział obu części na N, otrzymujemy

2. Prawdopodobieństwo wiarygodnego zdarzenia jest równe jeden, ponieważ .

3. Prawdopodobieństwo niemożliwe wydarzenie jest równe zeru, ponieważ .

Zadanie 1. W loterii składającej się z 1000 losów jest 200 zwycięskich. Losowo wydawany jest jeden bilet. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ten bilet będzie zwycięzcą?

Rozwiązanie. Całkowita liczba różnych wyników wynosi N=1000. Liczba wyników sprzyjających wygranej wynosi m=200. Zgodnie ze wzorem otrzymujemy

Problem 2. W partii 18 części znajdują się 4 wadliwe. 5 części wybieranych jest losowo. Znajdź prawdopodobieństwo, że dwie z tych 5 części będą wadliwe.

Rozwiązanie. Liczba wszystkich równie możliwych niezależnych wyników N równa liczbie kombinacji 18 na 5, tj.

Policzmy liczbę m, która sprzyja zdarzeniu A. Wśród 5 losowo wybranych części powinny znaleźć się 3 dobre i 2 wadliwe. Liczba sposobów wyboru dwóch wadliwych części z 4 istniejących wadliwych jest równa liczbie kombinacji 4 na 2:

Liczba sposobów wyboru trzech części jakościowych z 14 dostępnych części jakościowych jest równa

Dowolną grupę dobrych części można połączyć z dowolną grupą wadliwych części, a więc całkowita liczba kombinacji M wynosi

Wymagane prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe stosunkowi liczby wyników m korzystnych dla tego zdarzenia do liczby n wszystkich równie możliwych niezależnych wyników:

Suma skończonej liczby zdarzeń to zdarzenie składające się z wystąpienia co najmniej jednego z nich.

Suma dwóch zdarzeń jest oznaczona symbolem A+B i sumą N zdarzenia o symbolu A 1 +A 2 + : +A n.

Twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństwa.

Prawdopodobieństwo sumy dwóch niezgodnych zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń.

Wniosek 1. Jeśli zdarzenie A 1 , A 2 , : ,A n form kompletny system, to suma prawdopodobieństw tych zdarzeń jest równa jeden.

Wniosek 2. Suma prawdopodobieństw przeciwnych zdarzeń i jest równa jeden.

Zadanie 1. Jest 100 losów na loterię. Wiadomo, że 5 biletów wygrywa 20 000 rubli każdy, 10 biletów wygrywa 15 000 rubli, 15 biletów wygrywa 10 000 rubli, 25 biletów wygrywa 2000 rubli. i nic do reszty. Znajdź prawdopodobieństwo, że zakupiony los przyniesie wygraną w wysokości co najmniej 10 000 rubli.

Rozwiązanie. Niech A, B i C będą zdarzeniami polegającymi na tym, że zakupiony los otrzyma wygraną odpowiednio 20 000, 15 000 i 10 000 rubli. ponieważ zdarzenia A, B i C są zatem niezgodne

Zadanie 2. Wł zaoczny technikum otrzymuje testy z matematyki z miast A, B I Z. Prawdopodobieństwo otrzymania pracy testowej z miasta A równy 0,6, od miasta W- 0,1. Znajdź prawdopodobieństwo, że następny test przyjedzie z miasta Z.

Wiele osób w obliczu koncepcji „teorii prawdopodobieństwa” boi się, myśląc, że jest to coś przytłaczającego, bardzo skomplikowanego. Ale tak naprawdę wszystko nie jest takie tragiczne. Dzisiaj przyjrzymy się podstawowym pojęciom teorii prawdopodobieństwa i nauczymy się rozwiązywać problemy na konkretnych przykładach.

Nauka

Czym zajmuje się taka gałąź matematyki jak „teoria prawdopodobieństwa”? Notuje wzory i ilości. Naukowcy po raz pierwszy zainteresowali się tym zagadnieniem już w XVIII wieku, kiedy to studiowali hazard. Podstawowym pojęciem teorii prawdopodobieństwa jest zdarzenie. Jest to każdy fakt ustalony na podstawie doświadczenia lub obserwacji. Ale czym jest doświadczenie? Kolejna podstawowa koncepcja teorii prawdopodobieństwa. Oznacza to, że ten zestaw okoliczności powstał nie przez przypadek, ale przez konkretny cel. Jeśli chodzi o obserwację, tutaj badacz sam nie uczestniczy w eksperymencie, a jest po prostu świadkiem tych wydarzeń, nie ma on żadnego wpływu na to, co się dzieje.

Wydarzenia

Dowiedzieliśmy się, że podstawowym pojęciem teorii prawdopodobieństwa jest zdarzenie, ale nie rozważaliśmy klasyfikacji. Wszystkie są podzielone na następujące kategorie:

Niezawodny.
Niemożliwe.
Losowy.

Niezależnie od tego, jakiego rodzaju są to zdarzenia, zaobserwowane lub powstałe w trakcie doświadczenia, wszystkie podlegają tej klasyfikacji. Zapraszamy do zapoznania się z każdym typem z osobna.

Niezawodne wydarzenie

Jest to okoliczność, w związku z którą podjęto niezbędny zestaw środków. Aby lepiej zrozumieć istotę, lepiej podać kilka przykładów. Fizyka, chemia, ekonomia i wyższa matematyka. Teoria prawdopodobieństwa uwzględnia to ważna koncepcja jako wydarzenie wiarygodne. Oto kilka przykładów:

Pracujemy i otrzymujemy wynagrodzenie w postaci wynagrodzenia.
Dobrze zdaliśmy egzaminy, zdaliśmy konkurs, za co otrzymujemy nagrodę w postaci wstępu na zajęcia instytucja edukacyjna.
Zainwestowaliśmy pieniądze w banku i jeśli zajdzie taka potrzeba, je odzyskamy.

Takie zdarzenia są wiarygodne. Jeśli już wszystko wykonaliśmy niezbędne warunki, wtedy na pewno uzyskamy oczekiwany efekt.

Niemożliwe wydarzenia

Teraz rozważamy elementy teorii prawdopodobieństwa. Proponujemy przejść do wyjaśnienia kolejnego typu zdarzeń, czyli niemożliwego. Na początek ustalmy jak najwięcej ważna zasada- prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi zero.

Przy rozwiązywaniu problemów nie można odchodzić od tego sformułowania. Dla wyjaśnienia, oto przykłady takich zdarzeń:

Woda zamarzła w temperaturze plus dziesięciu (jest to niemożliwe).
Brak prądu nie wpływa w żaden sposób na produkcję (tak samo niemożliwy jak w poprzednim przykładzie).

Nie warto podawać więcej przykładów, gdyż te opisane powyżej bardzo wyraźnie oddają istotę tej kategorii. Zdarzenie niemożliwe nigdy nie nastąpi podczas eksperymentu, w żadnych okolicznościach.

Losowe zdarzenia

Studiując elementy teorii prawdopodobieństwa, Specjalna uwaga warto zwrócić uwagę ten gatunek wydarzenia. To właśnie oni studiuje ta nauka. W wyniku tego doświadczenia coś może się wydarzyć lub nie. Ponadto badanie można przeprowadzić nieograniczoną liczbę razy. Żywe przykłady może służyć:

Rzut monetą jest przeżyciem lub sprawdzianem, lądowanie orłów jest wydarzeniem.
Wyciągnięcie piłki z worka na ślepo jest sprawdzianem, zdobycie czerwonej piłki jest wydarzeniem i tak dalej.

Takich przykładów może być nieograniczona liczba, ale ogólnie rzecz biorąc, istota powinna być jasna. Aby podsumować i usystematyzować zdobytą wiedzę na temat wydarzeń, zamieszczono tabelę. Teoria prawdopodobieństwa bada tylko ostatni typ ze wszystkich przedstawionych.

Nazwa	definicja
Niezawodny	Zdarzenia, które wystąpią ze 100% gwarancją, jeśli zostaną spełnione określone warunki.	Przyjęcie do placówki oświatowej po pomyślnym zdaniu egzaminu wstępnego.
Niemożliwe	Wydarzenia, które nigdy i w żadnych okolicznościach nie będą miały miejsca.	W temperaturze powietrza plus trzydziestu stopni Celsjusza pada śnieg.
Losowy	Zdarzenie, które może wystąpić lub nie podczas eksperymentu/testu.	Trafienie lub chybienie podczas rzucania koszykówki do obręczy.

Prawa

Teoria prawdopodobieństwa to nauka zajmująca się badaniem możliwości wystąpienia zdarzenia. Podobnie jak inne, rządzi się pewnymi zasadami. Istnieją następujące prawa teorii prawdopodobieństwa:

Zbieżność ciągów zmiennych losowych.
Prawo wielkich liczb.

Obliczając możliwość czegoś złożonego, możesz użyć zestawu prostych zdarzeń, aby osiągnąć wynik w łatwiejszy i szybszy sposób. Należy zauważyć, że prawa można łatwo udowodnić za pomocą pewnych twierdzeń. Sugerujemy najpierw zapoznanie się z pierwszym prawem.

Zbieżność ciągów zmiennych losowych

Należy pamiętać, że istnieje kilka rodzajów zbieżności:

Sekwencja zmiennych losowych jest zbieżna pod względem prawdopodobieństwa.
Prawie niemożliwe.
Średnia zbieżność kwadratowa.
Konwergencja dystrybucji.

Zatem od razu bardzo trudno jest zrozumieć istotę. Oto definicje, które pomogą Ci zrozumieć ten temat. Zacznijmy od pierwszego widoku. Sekwencja nazywa się zbieżny pod względem prawdopodobieństwa, jeśli spełnione następny warunek: n dąży do nieskończoności, liczba, do której dąży ciąg, jest większa od zera i bliska jedności.

Przejdźmy dalej następny widok,prawie na pewno. Mówi się, że ciąg jest zbieżny prawie na pewno do zmiennej losowej, gdzie n dąży do nieskończoności, a P dąży do wartości bliskiej jedności.

Kolejnym typem jest średnia zbieżność kwadratowa. Podczas korzystania z zbieżności SC, badanie wektora procesy losowe sprowadza się do badania ich współrzędnych procesów losowych.

Pozostaje ostatni typ, przyjrzyjmy się mu krótko, abyśmy mogli przejść bezpośrednio do rozwiązywania problemów. Konwergencja w dystrybucji ma inną nazwę - „słaba”, a dlaczego wyjaśnimy później. Słaba zbieżność jest zbieżnością funkcji dystrybucji we wszystkich punktach ciągłości granicznej funkcji dystrybucji.

Na pewno dotrzymamy słowa: słaba konwergencja różni się od wszystkich powyższych tym wartość losowa nie jest zdefiniowana w przestrzeni prawdopodobieństwa. Jest to możliwe, ponieważ warunek jest tworzony wyłącznie przy użyciu funkcji rozkładu.

Prawo wielkich liczb

Twierdzenia teorii prawdopodobieństwa, takie jak:

Nierówność Czebyszewa.
Twierdzenie Czebyszewa.
Uogólnione twierdzenie Czebyszewa.
Twierdzenie Markowa.

Jeśli rozważymy wszystkie te twierdzenia, to to pytanie może wystarczyć na kilkadziesiąt arkuszy. Naszym głównym zadaniem jest zastosowanie teorii prawdopodobieństwa w praktyce. Sugerujemy, abyś zrobił to już teraz. Ale wcześniej spójrzmy na aksjomaty teorii prawdopodobieństwa, będą one głównymi pomocnikami w rozwiązywaniu problemów.

Aksjomaty

Pierwszego spotkaliśmy już, gdy rozmawialiśmy o zdarzeniu niemożliwym. Pamiętajmy: prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi zero. Podaliśmy bardzo żywy i zapadający w pamięć przykład: śnieg spadł przy temperaturze powietrza trzydziestu stopni Celsjusza.

To drugie brzmi w następujący sposób: określone zdarzenie zachodzi z prawdopodobieństwem, równy jeden. Teraz pokażemy jak to zapisać używając języka matematycznego: P(B)=1.

Trzeci: Przypadkowe wydarzenie może się zdarzyć lub nie, ale możliwość zawsze waha się od zera do jednego. Jak bliższa wartość do jednego, tym większe szanse; jeśli wartość zbliża się do zera, prawdopodobieństwo jest bardzo niskie. Zapiszmy to w języku matematycznym: 0<Р(С)<1.

Rozważmy ostatni, czwarty aksjomat, który brzmi tak: prawdopodobieństwo sumy dwóch zdarzeń jest równe sumie ich prawdopodobieństw. Zapisujemy to w języku matematycznym: P(A+B)=P(A)+P(B).

Aksjomaty teorii prawdopodobieństwa to najprostsze zasady, które nie są trudne do zapamiętania. Spróbujmy rozwiązać niektóre problemy w oparciu o wiedzę, którą już zdobyliśmy.

Kupon

Najpierw spójrzmy na najprostszy przykład - loterię. Wyobraź sobie, że kupiłeś jeden los na loterię na szczęście. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wygrasz co najmniej dwadzieścia rubli? Ogółem w obiegu bierze udział tysiąc biletów, z których jeden ma nagrodę w wysokości pięciuset rubli, dziesięć z nich ma nagrodę w wysokości stu rubli, pięćdziesiąt ma nagrodę w wysokości dwudziestu rubli, a sto ma nagrodę w wysokości pięciu. Problemy z prawdopodobieństwem opierają się na znalezieniu możliwości szczęścia. Teraz wspólnie przeanalizujemy rozwiązanie powyższego zadania.

Jeśli użyjemy litery A do oznaczenia wygranej w wysokości pięciuset rubli, wówczas prawdopodobieństwo uzyskania A będzie równe 0,001. Jak to otrzymaliśmy? Wystarczy podzielić liczbę „szczęśliwych” losów przez ich całkowitą liczbę (w tym przypadku: 1/1000).

B to wygrana stu rubli, prawdopodobieństwo wyniesie 0,01. Teraz postępowaliśmy na tej samej zasadzie co w poprzedniej akcji (10/1000)

C - wygrana wynosi dwadzieścia rubli. Znajdujemy prawdopodobieństwo, które jest równe 0,05.

Pozostałe bilety nie interesują nas, gdyż ich pula nagród jest mniejsza niż określona w warunku. Zastosujmy czwarty aksjomat: Prawdopodobieństwo wygrania co najmniej dwudziestu rubli wynosi P(A)+P(B)+P(C). Litera P oznacza prawdopodobieństwo wystąpienia danego zdarzenia, znaleźliśmy je już w poprzednich działaniach. Pozostaje tylko dodać niezbędne dane i otrzymamy odpowiedź 0,061. Liczba ta będzie odpowiedzią na pytanie zadaniowe.

Talia kart

Problemy z teorią prawdopodobieństwa mogą być bardziej złożone; weźmy na przykład następujące zadanie. Przed tobą leży talia trzydziestu sześciu kart. Twoim zadaniem jest wylosowanie dwóch kart z rzędu bez tasowania stosu, pierwsza i druga karta muszą być asami, kolor nie ma znaczenia.

Najpierw znajdźmy prawdopodobieństwo, że pierwszą kartą będzie as, w tym celu dzielimy cztery przez trzydzieści sześć. Odłożyli to na bok. Wyciągamy drugą kartę, będzie to as z prawdopodobieństwem trzech trzydziestych piątych. Prawdopodobieństwo drugiego zdarzenia zależy od tego, którą kartę wylosowaliśmy jako pierwszą, zastanawiamy się, czy był to as, czy nie. Wynika z tego, że zdarzenie B zależy od zdarzenia A.

Następnym krokiem jest znalezienie prawdopodobieństwa jednoczesnego wystąpienia, czyli pomnożymy A i B. Ich iloczyn wyznaczamy następująco: prawdopodobieństwo jednego zdarzenia mnożymy przez prawdopodobieństwo warunkowe drugiego, które obliczamy zakładając, że pierwsze nastąpiło zdarzenie, czyli wylosowaliśmy asa przy pierwszej karcie.

Żeby wszystko było jasne, nadajmy oznaczenie takiemu elementowi jak zdarzenia. Oblicza się go przy założeniu, że wystąpiło zdarzenie A. Oblicza się go w następujący sposób: P(B/A).

Kontynuujmy rozwiązywanie naszego problemu: P(A * B) = P(A) * P(B/A) lub P(A * B) = P(B) * P(A/B). Prawdopodobieństwo jest równe (4/36) * ((3/35)/(4/36). Obliczamy zaokrąglając do najbliższej setnej. Mamy: 0,11 * (0,09/0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0,09 Prawdopodobieństwo, że wylosujemy dwa asy z rzędu wynosi dziewięć setnych. Wartość jest bardzo mała, co oznacza, że prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia jest niezwykle małe.

Zapomniany numer

Proponujemy przeanalizować kilka kolejnych wariantów zadań badanych przez teorię prawdopodobieństwa. Przykłady rozwiązania niektórych z nich widzieliście już w tym artykule.Spróbujmy rozwiązać następujący problem: chłopiec zapomniał ostatniej cyfry numeru telefonu swojego przyjaciela, ale ponieważ połączenie było bardzo ważne, zaczął wybierać wszystko po kolei . Musimy obliczyć prawdopodobieństwo, że sprawdzi nie więcej niż trzy razy. Rozwiązanie problemu jest najprostsze, jeśli znane są reguły, prawa i aksjomaty teorii prawdopodobieństwa.

Zanim zaczniesz szukać rozwiązania, spróbuj rozwiązać je samodzielnie. Wiemy, że ostatnia cyfra może wynosić od zera do dziewięciu, czyli w sumie dziesięć wartości. Prawdopodobieństwo trafienia tego właściwego wynosi 1/10.

Następnie musimy rozważyć opcje pochodzenia zdarzenia, załóżmy, że chłopiec zgadł poprawnie i natychmiast wpisał właściwy, prawdopodobieństwo takiego zdarzenia wynosi 1/10. Opcja druga: pierwsze połączenie jest nietrafione, a drugie trafione. Obliczmy prawdopodobieństwo takiego zdarzenia: pomnóż 9/10 przez 1/9, a otrzymasz również 1/10. Opcja trzecia: pierwsze i drugie połączenie okazało się być pod złym adresem, dopiero przy trzecim chłopak dotarł tam, gdzie chciał. Obliczamy prawdopodobieństwo takiego zdarzenia: 9/10 pomnożone przez 8/9 i 1/8, co daje 1/10. Nie interesują nas inne opcje w zależności od warunków problemu, więc musimy po prostu dodać otrzymane wyniki, w końcu mamy 3/10. Odpowiedź: prawdopodobieństwo, że chłopiec zadzwoni nie więcej niż trzy razy, wynosi 0,3.

Karty z numerami

Przed tobą znajduje się dziewięć kart, na każdej z nich zapisana jest liczba od jednego do dziewięciu, liczby się nie powtarzają. Zostały włożone do pudełka i dokładnie wymieszane. Musisz obliczyć prawdopodobieństwo, że tak

pojawi się liczba parzysta;
dwucyfrowy.

Zanim przejdziemy do rozwiązania, załóżmy, że m jest liczbą pomyślnych przypadków, a n jest całkowitą liczbą opcji. Znajdźmy prawdopodobieństwo, że liczba będzie parzysta. Nie będzie trudno policzyć, że są cztery liczby parzyste, to będzie nasze m, w sumie możliwych jest dziewięć opcji, czyli m=9. Wtedy prawdopodobieństwo wynosi 0,44 lub 4/9.

Rozważmy drugi przypadek: liczba opcji wynosi dziewięć i nie może być w ogóle pomyślnych wyników, to znaczy m równa się zero. Prawdopodobieństwo, że wylosowana karta będzie zawierała dwucyfrową liczbę, również wynosi zero.