Zagadnienia klasycznego wyznaczania prawdopodobieństwa.
Przykłady rozwiązań

Na trzeciej lekcji przyjrzymy się różnym problemom związanym z bezpośrednim zastosowaniem klasycznej definicji prawdopodobieństwa. Aby skutecznie przestudiować materiały zawarte w tym artykule, zalecam zapoznanie się z podstawowymi pojęciami teoria prawdopodobieństwa I podstawy kombinatoryki. Zadanie klasycznego wyznaczania prawdopodobieństwa z prawdopodobieństwem dążącym do jedności będzie obecne w Twojej samodzielnej/kontrolnej pracy na Terverze, więc przygotujmy się do poważnej pracy. Można zapytać, co w tym takiego poważnego? ...tylko jedna prymitywna formuła. Przestrzegam przed frywolnością – zadania tematyczne są dość zróżnicowane, a wiele z nich może łatwo wprowadzić w błąd. W związku z tym, oprócz przerobienia głównej lekcji, spróbuj przestudiować dodatkowe zadania na ten temat, które znajdują się w skarbonce gotowe rozwiązania dla matematyki wyższej. Techniki rozwiązań to techniki rozwiązywania, ale „przyjaciół” nadal „trzeba znać z widzenia”, bo nawet bogata wyobraźnia jest ograniczona, a standardowych zadań też jest wystarczająco dużo. Cóż, postaram się uporządkować jak najwięcej z nich w dobrej jakości.

Przypomnijmy klasykę gatunku:

Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia w danym teście jest równe współczynnikowi , gdzie:

– łączna liczba wszystkich równie możliwe, podstawowy wyniki tego testu, które tworzą pełen zespół wydarzeń;

- ilość podstawowy korzystne dla wydarzenia skutki.

I natychmiastowy pit stop. Czy rozumiesz podkreślone pojęcia? Oznacza to jasne, a nie intuicyjne zrozumienie. Jeśli nie, nadal lepiej jest wrócić do pierwszego artykułu na ten temat teoria prawdopodobieństwa i dopiero potem ruszaj dalej.

Proszę nie pomijać pierwszych przykładów - powtórzę w nich jeden zasadniczo ważny punkt, a także powiem, jak poprawnie sformatować rozwiązanie i w jaki sposób można to zrobić:

Problem 1

W urnie znajduje się 15 kul białych, 5 czerwonych i 10 czarnych. Wylosowano losowo 1 kulę, oblicz prawdopodobieństwo, że będzie to: a) biała, b) czerwona, c) czarna.

Rozwiązanie: Najważniejszym warunkiem stosowania klasycznej definicji prawdopodobieństwa jest umiejętność policzenia całkowitej liczby wyników.

W urnie znajduje się w sumie 15 + 5 + 10 = 30 kul i oczywiście prawdziwe są następujące fakty:

– odzyskanie dowolnej piłki jest równie możliwe (równe szanse wyniki), natomiast wyniki podstawowy i forma pełen zespół wydarzeń (czyli w wyniku testu jedna z 30 kulek na pewno zostanie usunięta).

Zatem łączna liczba wyników:

Rozważmy zdarzenie: – z urny zostanie wylosowana kula biała. To wydarzenie jest preferowane podstawowy wyniki, zatem zgodnie z klasyczną definicją:
– prawdopodobieństwo, że z urny zostanie wylosowana kula biała.

Co ciekawe, nawet w tak prostym zadaniu można popełnić poważną nieścisłość, na czym skupiłem się już w pierwszym artykule na temat teoria prawdopodobieństwa. Gdzie tu jest pułapka? Twierdzenie w tym miejscu jest błędne „ponieważ połowa kul jest biała, to prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli» . Klasyczna definicja prawdopodobieństwa odnosi się do PODSTAWOWY wyniki, a ułamek należy zapisać!

Podobnie w przypadku innych punktów rozważ następujące zdarzenia:

– z urny zostanie wylosowana kula czerwona;
– z urny zostanie wylosowana czarna kula.

Zdarzeniu sprzyja 5 elementarnych wyników, a zdarzeniu sprzyja 10 elementarnych wyników. Zatem odpowiednie prawdopodobieństwa wynoszą:

Typowe sprawdzenie wielu zadań serwera odbywa się za pomocą twierdzenia o sumie prawdopodobieństw zdarzeń tworzących kompletną grupę. W naszym przypadku zdarzenia tworzą kompletną grupę, co oznacza, że ​​suma odpowiednich prawdopodobieństw musi koniecznie być równa jedności: .

Sprawdźmy, czy to prawda: tego chciałem się upewnić.

Odpowiedź:

W zasadzie odpowiedź można zapisać bardziej szczegółowo, ale osobiście jestem przyzwyczajony do umieszczania tam tylko liczb - z tego powodu, że kiedy zaczynasz „wykreślać” problemy w setkach i tysiącach, próbujesz ograniczyć pisanie rozwiązanie jak najbardziej. Nawiasem mówiąc, o zwięzłości: w praktyce opcja projektowania „szybkiego” jest powszechna rozwiązania:

Razem: 15 + 5 + 10 = 30 kul w urnie. Według klasycznej definicji:
– prawdopodobieństwo, że z urny zostanie wylosowana kula biała;
– prawdopodobieństwo, że z urny zostanie wylosowana kula czerwona;
– prawdopodobieństwo, że z urny zostanie wylosowana kula czarna.

Odpowiedź:

Jeśli jednak warunek ma kilka punktów, często wygodniej jest sformułować rozwiązanie w pierwszy sposób, co zajmuje trochę więcej czasu, ale jednocześnie „układa wszystko na półkach” i ułatwia aby poruszać się po problemie.

Rozgrzejmy się:

Problem 2

Do sklepu trafiło 30 lodówek, z czego pięć ma wadę fabryczną. Wybierana jest losowo jedna lodówka. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie on pozbawiony wad?

Wybierz odpowiednią opcję projektu i sprawdź próbkę na dole strony.

W najprostszych przykładach liczba wspólnych i korzystnych wyników leży na wierzchu, ale w większości przypadków musisz sam wykopać ziemniaki. Kanoniczna seria problemów dotyczących zapominalskiego abonenta:

Problem 3

Wybierając numer telefonu, abonent zapomniał dwóch ostatnich cyfr, ale pamięta, że ​​jedna z nich to zero, a druga jest nieparzysta. Znajdź prawdopodobieństwo, że wybierze właściwy numer.

Notatka : zero jest liczbą parzystą (podzielną przez 2 bez reszty)

Rozwiązanie: Najpierw znajdujemy całkowitą liczbę wyników. Pod warunkiem, że abonent pamięta, że ​​jedna z cyfr wynosi zero, a druga cyfra jest nieparzysta. W tym przypadku bardziej racjonalne jest nie narzucanie się kombinatoryce i użyciu metoda bezpośredniego zestawienia wyników . Oznacza to, że przy rozwiązywaniu po prostu zapisujemy wszystkie kombinacje:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

I liczymy je - w sumie: 10 wyników.

Jest tylko jeden korzystny wynik: poprawna liczba.

Według klasycznej definicji:
– prawdopodobieństwo, że abonent wybierze właściwy numer

Odpowiedź: 0,1

Ułamki dziesiętne wyglądają całkiem poprawnie w teorii prawdopodobieństwa, ale można też zastosować się do tradycyjnego stylu Wyszmatowa, operując tylko zwykłymi ułamkami.

Zaawansowane zadanie do samodzielnego rozwiązania:

Problem 4

Abonent zapomniał kodu PIN do swojej karty SIM, ale pamięta, że ​​zawiera ona trzy „piątki”, a jedna z cyfr to „siódemka” lub „ósemka”. Jakie jest prawdopodobieństwo udanej autoryzacji przy pierwszej próbie?

Tutaj możesz również rozwinąć pomysł prawdopodobieństwa, że ​​subskrybentowi grozi kara w postaci kodu PUK, ale niestety rozumowanie wykracza poza zakres tej lekcji

Rozwiązanie i odpowiedź poniżej.

Czasami zestawienie kombinacji okazuje się bardzo żmudnym zadaniem. W szczególności dotyczy to kolejnej, nie mniej popularnej grupy problemów, w której rzuca się 2 kostkami (rzadziej - większe ilości):

Problem 5

Znajdź prawdopodobieństwo, że w rzucie dwiema kostkami wypadnie suma:

a) pięć punktów;
b) nie więcej niż cztery punkty;
c) od 3 do 9 punktów włącznie.

Rozwiązanie: znajdź całkowitą liczbę wyników:

W jaki sposób bok pierwszej kostki może wypaść I na różne sposoby bok drugiej kostki może wypaść; Przez zasada mnożenia kombinacji, Całkowity: możliwe kombinacje. Innymi słowy, każdy może być ściana pierwszego sześcianu zamówione parę z każdym krawędź drugiego sześcianu. Zgódźmy się zapisać taką parę w postaci , gdzie jest liczbą, która pojawia się na 1. kostce, a jest liczbą, która pojawia się na 2. kostce. Na przykład:

– za pierwszą kostkę uzyskano 3 punkty, za drugą kostkę 5 punktów, suma punktów: 3 + 5 = 8;
– za pierwszą kostkę uzyskano 6 punktów, za drugą 1 punkt, suma punktów: 6 + 1 = 7;
– 2 punkty wyrzucone na obu kostkach, suma: 2 + 2 = 4.

Oczywiście najmniejszą kwotę podaje para, a największą dwie „szóstki”.

a) Rozważ zdarzenie: – przy rzucie dwiema kostkami pojawi się 5 punktów. Zapiszmy i policzmy liczbę wyników, które sprzyjają temu zdarzeniu:

Razem: 4 korzystne wyniki. Według klasycznej definicji:
– pożądane prawdopodobieństwo.

b) Rozważ wydarzenie: – nie zostanie przyznanych więcej niż 4 punkty. Czyli 2, 3 lub 4 punkty. Ponownie wyliczamy i liczymy korzystne kombinacje, po lewej stronie napiszę całkowitą liczbę punktów, a po dwukropku - odpowiednie pary:

Razem: 6 korzystnych kombinacji. Zatem:
– prawdopodobieństwo, że wyrzucimy nie więcej niż 4 punkty.

c) Weź pod uwagę wydarzenie: – W losowaniu zostanie przyznanych od 3 do 9 punktów włącznie. Tutaj możesz jechać prostą drogą, ale... z jakiegoś powodu nie chcesz. Tak, niektóre pary zostały już wymienione w poprzednich akapitach, ale przed nami jeszcze sporo pracy.

Jak najlepiej postępować? W takich przypadkach droga okrężna okazuje się racjonalna. Rozważmy wydarzenie przeciwne: – Zostaną wyrzucone 2, 10, 11 lub 12 punktów.

Jaki jest sens? Zdarzeniu odwrotnemu sprzyja znacznie mniejsza liczba par:

Razem: 7 korzystnych wyników.

Według klasycznej definicji:
– prawdopodobieństwo, że wyrzucisz mniej niż trzy lub więcej niż 9 punktów.

Oprócz bezpośredniego wymieniania i liczenia wyników, różne formuły kombinatoryczne. I znowu epicki problem z windą:

Problem 7

Do windy w 20-piętrowym budynku na pierwszym piętrze weszły trzy osoby. I chodźmy. Znajdź prawdopodobieństwo, że:

a) wyjdą na różne piętra
b) dwie osoby wyjdą na tym samym piętrze;
c) wszyscy wysiądą na tym samym piętrze.

Nasza ekscytująca lekcja dobiegła końca i na koniec jeszcze raz gorąco polecam, jeśli nie rozwiążesz, to przynajmniej rozwiąż problem dodatkowe problemy dotyczące klasycznego wyznaczania prawdopodobieństwa. Jak już wspomniałem, „wyściółka dłoni” też ma znaczenie!

W dalszej części trasy - Geometryczna definicja prawdopodobieństwa I Twierdzenia o dodawaniu i mnożeniu o prawdopodobieństwie i... przede wszystkim szczęście!

Rozwiązania i odpowiedzi:

Zadanie 2: Rozwiązanie: 30 – 5 = 25 lodówek nie ma żadnych usterek.

– prawdopodobieństwo, że losowo wybrana lodówka nie będzie miała wady.
Odpowiedź :

Zadanie 4: Rozwiązanie: znajdź całkowitą liczbę wyników:
sposoby wybrania miejsca, w którym znajduje się wątpliwy numer i na każdym Z tych 4 miejsc można zlokalizować 2 cyfry (siedem lub osiem). Zgodnie z zasadą mnożenia kombinacji łączna liczba wyników: .
Alternatywnie rozwiązaniem może być po prostu wypisanie wszystkich wyników (na szczęście jest ich kilka):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
Jest tylko jeden korzystny wynik (poprawny kod PIN).
Zatem zgodnie z klasyczną definicją:
– prawdopodobieństwo, że abonent zaloguje się przy pierwszej próbie
Odpowiedź :

Zadanie 6: Rozwiązanie: znajdź całkowitą liczbę wyników:
liczby na 2 kostkach mogą pojawiać się na różne sposoby.

a) Rozważmy zdarzenie: – przy rzucie dwiema kostkami iloczyn punktów będzie równy siedem. Według klasycznej definicji prawdopodobieństwa dane zdarzenie nie ma korzystnych wyników:
, tj. to wydarzenie jest niemożliwe.

b) Rozważ wydarzenie: – przy rzucie dwiema kostkami iloczyn punktów wyniesie co najmniej 20. Następujące wyniki są korzystne dla tego zdarzenia:

Razem: 8
Według klasycznej definicji:
– pożądane prawdopodobieństwo.

c) Rozważmy zdarzenia przeciwne:
– iloczyn punktów będzie równy;
– iloczyn punktów będzie nieparzysty.
Wymieńmy wszystkie korzystne dla wydarzenia wyniki:

Razem: 9 korzystnych wyników.
Zgodnie z klasyczną definicją prawdopodobieństwa:
Zdarzenia przeciwne tworzą kompletną grupę, zatem:
– pożądane prawdopodobieństwo.

Odpowiedź :

Problem 8: Rozwiązanie: obliczmy całkowitą liczbę wyników: 10 monet może spaść na różne sposoby.
Inny sposób: sposoby, w jakie może spaść pierwsza moneta I w jaki sposób może spaść druga moneta I … I w jaki sposób może spaść dziesiąta moneta. Zgodnie z zasadą mnożenia kombinacji może spaść 10 monet sposoby.
a) Rozważ wydarzenie: – na wszystkich monetach pojawią się reszki. Zdarzeniu temu sprzyja jeden wynik, zgodnie z klasyczną definicją prawdopodobieństwa: .
b) Rozważ zdarzenie: – 9 monet wyrzuci reszkę, a jedna moneta wyrzuci reszkę.
Istnieją monety, które mogą wylądować na reszcie. Zgodnie z klasyczną definicją prawdopodobieństwa: .
c) Rozważ wydarzenie: – na połowie monet pojawią się reszki.
Istnieje unikalne kombinacje pięciu monet, które mogą wylądować orłem. Zgodnie z klasyczną definicją prawdopodobieństwa:
Odpowiedź :

Kombinatoryka bada sposoby liczenia liczby elementów w zbiorach skończonych. Wzory kombinatoryczne służą do bezpośredniego obliczania prawdopodobieństw.
Nazywa się zbiory elementów składające się z tych samych różnych elementów i różniących się od siebie jedynie kolejnością permutacje te elementy. Liczba możliwych permutacji z N elementy są oznaczone przez , a liczba ta jest równa N! (czytaj „en-silnia”):
\(P_n=n\) (1.3.1)
Gdzie
. (1.3.2)

Uwaga 1. Dla zestawu pustego przyjęto konwencję: zestaw pusty można zamówić tylko w jeden sposób; z definicji wierzyć.

Miejsca docelowe nazywane są zbiorami złożonymi z N różne elementy wg M elementy różniące się składem elementów lub ich kolejnością. Liczbę wszystkich możliwych miejsc docelowych określa wzór
. (1.3.3)

Kombinacje z N różne elementy wg M nazywane są zbiorami zawierającymi M elementy spośród N dane i które różnią się co najmniej jednym elementem. Liczba kombinacji N elementy wg M oznacza: lub . Liczbę tę wyraża się wzorem

. (1.3.4)

Uwaga 2. Z definicji załóżmy, że .

Dla liczby kombinacji obowiązują równości:
, , (1.3.5)
. (1.3.6)

Ostatnia równość jest czasami formułowana jako następujące twierdzenie o skończone zbiory:
Liczba wszystkich podzbiorów zbioru składającego się z nich N elementy, równe.
Należy pamiętać, że liczba permutacji, rozmieszczeń i kombinacji jest powiązana równością

Uwaga 3. Ponad wszystko założono N elementy są różne. Jeżeli niektóre elementy się powtarzają, to w tym przypadku zbiory z powtórzeniami oblicza się za pomocą innych wzorów.

Na przykład, jeśli wśród N elementy są elementami jednego typu, elementy innego typu itp., wówczas liczbę permutacji z powtórzeniami określa wzór
(1.3.7)
Gdzie .

Liczba miejsc docelowych wg M elementy z powtórzeniami z N elementy są równe
, to jest
z powtórzeniem (1.3.8)
Liczba kombinacji z powtórzeniami od N elementy wg M elementów jest równa liczbie kombinacji bez powtórzeń N + M- 1 element każdy M elementy tj
z powtórzenia (1.3.9)

Przy rozwiązywaniu problemów kombinatoryki stosuje się następujące zasady.

Reguła sumy. Jeśli jakiś obiekt A można wybrać ze zbioru obiektów na m sposobów, a inny obiekt B można wybrać na n sposobów, to albo A, albo B można wybrać na m + n sposobów.

Reguła produktu. Jeśli obiekt A można wybrać spośród różnych obiektów M metod i po każdym takim wyborze można wybrać obiekt B N sposobów, wówczas parę obiektów (A, B) w określonej kolejności można wybrać na różne sposoby.

Klasyczny schemat obliczania prawdopodobieństw nadaje się do rozwiązania szeregu problemów czysto praktycznych. Rozważmy na przykład pewien zbiór elementów objętości N. Mogą to być produkty, z których każdy jest odpowiedni lub wadliwy, lub nasiona, z których każdy może być opłacalny lub nie. Sytuacje tego typu opisuje schemat urnowy: w urnie znajduje się N kul, z czego M jest niebieskich, a (N - M) czerwonych.

Z urny zawierającej N kul, w której znajduje się M kul niebieskich, losujemy n kul. Należy określić prawdopodobieństwo, że w próbce o rozmiarze n zostanie wykrytych m niebieskich kul. Oznaczmy zatem przez A zdarzenie „w próbce o rozmiarze n znajduje się m niebieskich kul”.
(1.3.10)

Przykład 1. Na ile różnych sposobów można wybrać trzy osoby na trzy różne stanowiska spośród dziesięciu kandydatów?

Rozwiązanie. Skorzystajmy ze wzoru (1.3.3). Dla n = 10, m = 3 otrzymujemy
.

Przykład 2. Na ile różnych sposobów może zmieścić się na ławce 5 osób?

Rozwiązanie. Zgodnie ze wzorem (1.3.1) dla n=5 znajdujemy
P 5 =5!=1·2·3·4·5=120.

Przykład 3. Na ile sposobów można wybrać trzy osoby na trzy identyczne stanowiska spośród dziesięciu kandydatów?

Rozwiązanie. Zgodnie ze wzorem (1.3.4) znajdujemy

Przykład 4. Ile różnych liczb sześciocyfrowych można zapisać za pomocą cyfr 1; 1; 1; 2; 2; 2?

Rozwiązanie. Tutaj musisz znaleźć liczbę permutacji z powtórzeniami, którą określa wzór (1.3.7). Przy k = 2, n 1 = 3, n 2 = 3, n = 6, korzystając z tego wzoru otrzymujemy

Przykład 5. Ile różnych permutacji liter można utworzyć w słowach: zamek, wirnik, topór, dzwonek?

Rozwiązanie. W słowie zamek wszystkie litery są różne, w sumie jest ich pięć. Zgodnie ze wzorem (1.3.1) otrzymujemy P 5 = 5! = 1,2,3,4,5 = 120. Jednym słowem wirnik, składający się z pięciu liter, liter P I o powtarzają się dwukrotnie. Aby obliczyć różne permutacje, używamy wzoru (1.3.7). Dla n = 5, n 1 = 2, n 2 = 2, korzystając z tego wzoru, znajdujemy

Litera w słowie topór O powtarza się dwukrotnie, tzn

W siedmioliterowym słowie dzwonek, litera Do pojawia się dwukrotnie, litera O- trzy razy, list l- dwa razy. Zgodnie ze wzorem (13.7) przy n = 7, n 1 = 2, n 2 = 3, n з = 2 otrzymujemy

Przykład 6. Na pięciu identycznych kartach zapisane są litery I, K, M, N, S. Karty są tasowane i losowo układane w rzędzie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pojawi się słowo MIŃSK?

Rozwiązanie. Z pięciu różnych elementów możesz stworzyć permutacje P5:
. Oznacza to, że w sumie będzie 120 możliwych wyników, ale tylko jeden korzystny dla danego zdarzenia. Stąd,

Przykład 7. Z liter słowa wirnik, skomponowany przy użyciu podzielonego alfabetu, 3 litery są wybierane kolejno losowo i umieszczane w rzędzie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że słowo wyjdzie torus?

Rozwiązanie. Aby odróżnić identyczne litery od siebie, nadajemy im cyfry: P 1 , P 2 , 0 1 , 0 2. Całkowita liczba wyników elementarnych jest równa: . Słowo wirnik sprawdzi się w przypadkach ( następnie 1 r 1, następnie 1 r 2, następnie 2 r 1, następnie 2 r 2). Wymagane prawdopodobieństwo jest równe

Przy obliczaniu liczby korzystnych przypadków zastosowaliśmy regułę iloczynu: litera M możesz wybrać jeden sposób, list O- dwa, list R- dwie drogi.

Przykład 8. Litery tego słowa są zapisane na sześciu kartach tego samego kształtu i rozmiaru. talent- jedna litera na każdej karcie. Karty są dokładnie wymieszane. są one wyjmowane losowo i układane na stole jeden po drugim. Jakie jest prawdopodobieństwo ponownego zdobycia podłogi? talent?

Rozwiązanie. Ponumerujmy karty literami:

Słowo talent (513246) nie zmieni się, jeśli litery A przestaw, ale zgodnie z ułożeniem kart otrzymasz inną kombinację: talent (523146). Jeśli w każdej z tych dwóch kombinacji zrobimy to samo z literą t, otrzymamy jeszcze 2 różne kombinacje kart ze słowem talent. Oznacza to pojawienie się słowa talent 4 podstawowe wyniki są korzystne. Całkowita liczba możliwych wyników elementarnych jest równa liczbie permutacji 6 elementów: n = 6! = 720. Zatem wymagane prawdopodobieństwo

.

Uwaga: Prawdopodobieństwo to można również obliczyć korzystając ze wzoru (1.3.7), który dla n = 6, n 1 = 1, n 2 = 1, n 3 = 2, n 4 = 2 przyjmuje pogląd:

. Zatem P = 1/180.

Przykład 9. Listy są zapisane na pięciu identycznych kartach: na dwóch kartach l, na pozostałych trzech I. Karty te są losowo umieszczane w
wiersz. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w wyniku tego powstanie słowo lilie?

Rozwiązanie. Znajdźmy liczbę permutacji tych pięciu liter z powtórzeniami.
Korzystając ze wzoru (1.3.7) dla n = 5, n 1 = 2, n 2 = 3 otrzymujemy

Jest to łączna liczba równie możliwych wyników eksperymentu, przy czym zdarzenie A – „pojawienie się słowa lilia” jest faworyzowane przez jeden. Zgodnie ze wzorem (1.2.1) otrzymujemy

Przykład 10. W partii 10 części standardowo jest 7. Znajdź prawdopodobieństwo
fakt, że spośród 6 losowo wybranych części 4 są standardowe.

Rozwiązanie. Całkowita liczba możliwych Ix wyników testu elementarnego jest równa liczbie sposobów, na jakie można wyodrębnić 6 części z 10, czyli liczbie kombinacji 10 elementów po 6 elementów każdy ().

Określamy liczbę wyników sprzyjających zdarzeniu A – „spośród 6 wziętych części 4 są standardowe”. Cztery części standardowe z siedmiu standardowych można odebrać na różne sposoby, pozostałe 6 - 4 = 2 części muszą być niestandardowe; Istnieją sposoby, aby wziąć 2 niestandardowe części z 10 - 7 = 3 niestandardowe części. Zatem liczba korzystnych wyników jest równa .

Wymagane prawdopodobieństwo jest równe stosunkowi liczby wyników sprzyjających zdarzeniu do liczby wszystkich wyników elementarnych:

Uwaga Ostatni wzór jest szczególnym przypadkiem wzoru (1.3.10): N= 10, M= 7, n = 6, m = 4.

Przykład 11. Spośród 25 uczniów w grupie 10 dziewcząt losowanych jest 5 losów. Znajdź prawdopodobieństwo, że wśród posiadaczy biletów będą 2 dziewczyny.

Rozwiązanie. Liczba wszystkich równie możliwych przypadków rozdzielenia 5 biletów pomiędzy 25 uczniów jest równa liczbie kombinacji 25 elementów 5, czyli. Liczba grup składających się z trzech chłopców z 15, które mogą otrzymać bilety wynosi . Każdą taką trójkę można połączyć z dowolną parą dziesięciu dziewcząt, a liczba takich par jest równa .. W związku z tym liczba grup 5 uczniów utworzy się z grupy 25 uczniów, z których każda będzie składać się z trzech chłopców i dwóch dziewcząt , jest równe iloczynowi. Iloczyn ten jest równy liczbie korzystnych przypadków rozdzielenia pięciu biletów wśród uczniów grupy, tak że trzy bilety trafiają do chłopców i dwa bilety do dziewcząt. Zgodnie ze wzorem (1.2.1) znajdujemy wymagane prawdopodobieństwo

Uwaga Ostatni wzór jest szczególnym przypadkiem wzoru (1.3.10): N= 25, M= 15, n = 5, m = 3.

Przykład 12. W pudełku znajduje się 15 kul czerwonych, 9 niebieskich i 6 zielonych. Losujemy 6 kul. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowana zostanie 1 kula zielona, ​​2 niebieskie i 3 czerwone (zdarzenie A)?

Rozwiązanie. W pudełku znajduje się tylko 30 piłek. W tym eksperymencie liczba wszystkich równie możliwych wyników elementarnych będzie wynosić . Obliczmy, ile elementarnych wyników sprzyja zdarzeniu A. Trzy czerwone kule z 15 można wybrać na różne sposoby, dwie niebieskie kule z 9 można wybrać na różne sposoby, jedną zieloną z 6 można wybrać na różne sposoby
Liczba korzystnych wyników jest równa produktowi

Wymagane prawdopodobieństwo określa wzór (1.3.10):

Przykład 14. Kości rzucamy 10 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że boki 1, 2, 3, 4, 5, 6 pojawią się odpowiednio 2, 3, 1, 1, 1, 2 razy (zdarzenie A)?

Rozwiązanie. Liczbę wyników korzystnych dla zdarzenia A obliczamy korzystając ze wzoru (1.3.7):
Liczba wszystkich elementarnych wyników w tym eksperymencie wynosi zatem n = 6 · 10

Zadania
1. Na 5 identycznych kartach zapisane są litery B, E, R, S, T. Karty te są losowo układane w rzędzie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pojawi się słowo BREST?
2. W pudełku znajdują się 4 kule niebieskie i 5 czerwonych. Z pudełka losujemy 2 kule. Znajdź prawdopodobieństwo, że te kule będą różnych kolorów.
3. W drużynie są 4 kobiety i 3 mężczyzn. Wśród członków brygady rozlosowano 4 bilety do teatru. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród posiadaczy biletów będą 2 kobiety i 2 mężczyzn?
4. W pudełku znajduje się 10 kul, z czego 2 są białe, 3 czerwone i 5 niebieskich. Losujemy 3 kule. Znajdź prawdopodobieństwo, że wszystkie 3 kule będą różnych kolorów.
5. Na pięciu identycznych kartach zapisane są litery l, m, o, o, t. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyciągając karty pojedynczo otrzymamy słowo młotek w kolejności, w jakiej się pojawiały?
6. Z partii składającej się z 10 produktów, z czego 3 są wadliwe, wybierane są losowo 3 produkty. Znajdź prawdopodobieństwo, że w otrzymanej próbce jeden produkt jest wadliwy.
7. Z dziesięciu losów wygrywają dwa. Jakie jest prawdopodobieństwo, że spośród pięciu losowo wybranych losów jeden będzie zwycięzcą?

Odpowiedzi
1. 1/120. 2. 5/9. 3. 18/35. 4 . 0,25. 5 . 1/60. 6 . 21/40. 7 . 5/9.

pytania
1. Co nazywamy permutacjami?
2. W jakiej formie oblicza się liczbę permutacji n różnych elementów?
3. Jak nazywają się miejsca docelowe?
4. Z jakiego wzoru oblicza się liczbę rozmieszczeń n różnych elementów na m elementów?
5. Jak nazywają się kombinacje?
6. Jakiego wzoru używasz do obliczenia liczby kombinacji n elementów z m elementów?
7. Jaka równość wiąże liczbę permutacji, rozmieszczeń i kombinacji?
8. Z jakiego wzoru oblicza się liczbę permutacji n elementów, jeśli niektóre elementy się powtarzają?
9. Jaki wzór określa liczbę rozmieszczeń m elementów przy powtórzeniach n elementów?
10. Jaki wzór określa liczbę kombinacji z powtórzeniami n elementów z m elementów?

Trudny nauczyciel, pilnie potrzebuję rozwiązać problemy z teorii prawdopodobieństwa w 1 dzień, temat „Teoria prawdopodobieństwa (matematyka)”

1. Numer telefonu składa się z sześciu cyfr. Znajdź prawdopodobieństwo, że wszystkie liczby są różne. 2. W partii znajduje się 10 produktów, w tym cztery produkty niestandardowe. Wybierane są losowo cztery pozycje. Znajdź prawdopodobieństwo, że wśród wziętych produktów będzie więcej produktów standardowych niż niestandardowych. 3. Dziesięć osób losowo siedzi na dziesięcioosobowej ławce. Znajdź prawdopodobieństwo, że w pobliżu będą 2 określone osoby. 4. W kwadracie o wierzchołkach wybierany jest losowo punkt. Znajdź prawdopodobieństwo następującego zdarzenia: 5. Dwóch strzelców niezależnie oddało jeden strzał do tarczy. Wiadomo, że prawdopodobieństwo trafienia w cel dla jednego ze strzelców wynosi 0,6; a dla drugiego - 0,7. Znajdź prawdopodobieństwo, że przynajmniej jeden ze strzelców nie trafi w cel. 6. Przed przejściem do pierwszej rundy konkursu każdy kandydat otrzymuje trzy zadania: tekst do lektury artystycznej, temat do przedstawienia w pantomimie, wiersz do wykonania wokalnego do własnej melodii. Podczas zaliczania zawodów proponuje się wykonanie dwóch liczb z trzech. Wybór liczb jest losowy. Zawodnik ocenia, że ​​pierwszą rundę czytania literackiego przejdzie z prawdopodobieństwem 0,9; podczas wykonywania pantomimy – 0,3; podczas wykonywania zadania głosowego – 0,5. Jakie jest prawdopodobieństwo przejścia pierwszej rundy przez zawodnika przy takim przygotowaniu? 7. W pierwszej urnie znajduje się 10 kul, w tym 8 białych; W drugiej urnie znajduje się 15 kul, z czego 4 są białe. Z pierwszej urny losowano dwie kule, a następnie przenoszono do niej kulę z drugiej urny. Następnie z pierwszej urny losowano kulę. Znajdź prawdopodobieństwo, że ta kula będzie biała. 8. Spośród 18 strzelców 5 trafiło w cel z prawdopodobieństwem 0,6; 7 – z prawdopodobieństwem 0,7; 4 – z prawdopodobieństwem 0,8; 2 – z prawdopodobieństwem 0,5. Losowo wybrany strzelec nie trafił w cel. Do której grupy najprawdopodobniej należy ten strzelec? 9. Prawdopodobieństwo trafienia w cel jednym strzałem wynosi 0,7. Znajdź prawdopodobieństwo, że przy 20 niezależnych strzałach cel zostanie trafiony nie więcej niż 14 razy. 10. W twojej kieszeni jest 5 monet, mniej więcej takich samych w dotyku: trzy - 2 ruble każda i dwie - 10 rubli każda. Nie patrząc, wyciągają 2 monety. Zmienną losową jest całkowita liczba wydobytych rubli. Dla zmiennej losowej: a) skonstruuj szereg rozkładów, b) znajdź matematyczne oczekiwanie i wariancję, c) znajdź prawdopodobieństwo zdarzenia (wyciągnięto co najmniej 4, ale nie więcej niż 12 rubli). 11. Technik wezwany do Twojego domu może pojawić się o każdej porze w godzinach od 10:00 do 18:00. Klient po odczekaniu do 14 godzin odszedł na 1 godzinę. Biorąc pod uwagę, że czas przybycia wzorca jest zmienną losową o równomiernym rozkładzie, znajdź gęstość prawdopodobieństwa i funkcję rozkładu. Określ prawdopodobieństwo, że mistrz (jego przybycie jest obowiązkowe) nie zastanie klienta w domu? Konstruować wykresy gęstości prawdopodobieństwa i funkcje rozkładu.

1. Numer telefonu składa się z sześciu cyfr. Znajdź prawdopodobieństwo, że wszystkie liczby są różne. 2. W partii znajduje się 10 produktów, w tym cztery produkty niestandardowe. Wybierane są losowo cztery pozycje. Znajdź prawdopodobieństwo, że wśród wziętych produktów będzie więcej produktów standardowych niż niestandardowych. 3. Dziesięć osób losowo siedzi na dziesięcioosobowej ławce. Znajdź prawdopodobieństwo, że w pobliżu będą 2 określone osoby. Więcej szczegółów

§ 7. Zastosowanie kombinatoryki do obliczania prawdopodobieństwa

Jeśli z całkowitej objętości N pobiera się próbkę k elementy ze zwrotem, wówczas prawdopodobieństwo otrzymania każdej konkretnej próbki uważa się za równe .

Jeśli próbka zostanie pobrana bez zwrotu, prawdopodobieństwo to wynosi .

Niech zajście zdarzenia A polega na pojawieniu się próbki z dodatkowymi ograniczeniami i liczba takich próbek jest równa m. Wtedy w przypadku pobierania próbek ze zwrotem mamy:

w przypadku pobrania próbki bez zwrotu:

Przykład 1. Wybrano losowo liczbę trzycyfrową bez zera w zapisie dziesiętnym. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrana liczba ma dokładnie dwie identyczne cyfry?

Rozwiązanie. Wyobraźmy sobie, że liczby 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 są zapisane na 9 identycznych kartach i karty te są umieszczone w urnie. Wylosowanie trzycyfrowej liczby jest równoznaczne z sekwencyjnym losowaniem, zwracaniem 3 kart z urny i zapisywaniem liczb w kolejności ich występowania. W rezultacie liczba wszystkich elementarnych wyników eksperymentu wynosi 93 = 729. Liczbę korzystnych przypadków dla interesującego nas zdarzenia A obliczamy w następujący sposób: 2 różne liczby x i y można wybrać na różne sposoby; jeśli wybrano x i y, można z nich utworzyć https://pandia.ru/text/78/365/images/image007_10.gif" szerokość="115 wysokość=41" wysokość="41">.

Przykład 2. Z liter słowa „rotor”, utworzonych przy użyciu podzielonego alfabetu, losowo wyodrębnia się 3 litery i umieszcza je w rzędzie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie słowo „tor”?

Rozwiązanie. Aby rozróżnić identyczne litery, nadajemy im cyfry: p1, p2, o1, o2. Wówczas całkowita liczba wyników elementarnych jest równa: . Słowo „torus” pojawi się w 1 × 2 ×2 = 4 przypadkach (to1р1, then1р2, then2р1, then2р2)..gif" szerokość="24" wysokość="25 src="> i zakładamy, że wszystkie mają równe prawdopodobieństwa.

Przykład 3. W partii N części znajduje się n wadliwych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że spośród k losowo wybranych części będzie 7 wadliwych?

Rozwiązanie. Liczba wszystkich wyników elementarnych jest równa . Aby obliczyć liczbę korzystnych przypadków, rozumujemy następująco: z n części wadliwych można wybrać s części na s sposobów, a z N - n części niewadliwych można wybrać k - s części niewadliwych na różne sposoby; Zgodnie z regułą iloczynu liczba korzystnych przypadków jest równa ×. Wymagane prawdopodobieństwo wynosi:

.

Przykład 4. W drużynie są 4 kobiety i 3 mężczyzn. Wśród członków brygady rozlosowano 4 bilety do teatru. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród posiadaczy biletów będą 2 kobiety i 2 mężczyzn?

Rozwiązanie. Zastosujmy statystyczny schemat selekcji. Z 7 członków zespołu można wybrać 4 osoby = 35 sposobów, zatem liczba wszystkich elementarnych wyników testu wynosi 35..gif" szerokość="28" wysokość="34">= 3 sposoby. Wtedy liczba korzystnych przypadków będzie równe 6 × 3 = 18..gif" szerokość="21" wysokość="41"> . Ile kul białych jest w urnie?

150. W urnie znajduje się n kul białych i m czarnych. Losowanych jest K kul (k>m). Jakie jest prawdopodobieństwo, że w urnie pozostały tylko kule białe?

151. Z urny zawierającej N kul, należy N razy wyjąć jedną kulę, za każdym razem, gdy zostanie zwrócona usunięta kula. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszystkie kule zostaną wylosowane raz?

152. Pełną talię kart (52 arkusze) dzielimy losowo na 2 równe części (po 26 kart każda). Znajdź prawdopodobieństwa następujących zdarzeń:

A – w każdej części będą 2 asy;

B – w jednej z części nie będzie ani jednego asa;

C – jedna z części będzie miała dokładnie jednego asa.

153. W urnie znajdują się kule biała, b czarna i c czerwona. Wszystkie kule są wyjmowane z urny jedna po drugiej, bez powrotu i rejestrowane są ich kolory. Znajdź prawdopodobieństwo, że na tej liście kolor biały pojawi się przed czarnym.

154. Są 2 urny: pierwsza zawiera kule białą i b czarną; drugi z białym i czarnym. Z każdej urny losujemy kulę. Znajdź prawdopodobieństwo, że obie kule będą białe (zdarzenie A) i prawdopodobieństwo, że będą to kule różnych kolorów (zdarzenie B).

155. 2n drużyn dzieli się na 2 podgrupy po n drużyn. Znajdź prawdopodobieństwo, że 2 najsilniejsze drużyny znajdą się: a) w różnych podgrupach (zdarzenie A); b) na jedną podgrupę (zdarzenie B).

156. Z talii 36 kart losujemy 3 karty. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma punktów na tych kartach wyniesie 21, jeśli walet będzie miał wartość 2 punkty, dama będzie miała wartość 3, król będzie miał 4, as będzie miał wartość 11, a pozostałe karty będą miały wartość 6, 7, 8, 9, 10 punktów odpowiednio.

157. Posiadacz jednej karty loterii Sportloto (6 z 49) skreśla 6 liczb. Jakie jest prawdopodobieństwo, że odgadną:

a) wszystkie 6 numerów w kolejnym nakładzie;

b) 5 lub 6 liczb;

c) co najmniej 3 liczby?

158. Autobus z 15 pasażerami musi zatrzymać się na 20 przystankach. Zakładając, że wszystkie możliwe sposoby rozmieszczenia pasażerów pomiędzy przystankami są jednakowo możliwe, oblicz prawdopodobieństwo, że na tym samym przystanku nie wysiądzie dwóch pasażerów.

159. Z liczb 1, 2, …, N, r wybierane są losowo różne liczby (r £ N). Znajdź prawdopodobieństwo, że zostanie wybranych r kolejnych liczb.

160. Z pełnej talii kart (52 arkusze) losujemy kilka kart. Ile kart należy wylosować, aby z prawdopodobieństwem większym niż 0,5 stwierdzić, że wśród nich będą karty tego samego koloru?

161. Istnieje n piłek losowo rozrzuconych po m dołkach. Znajdź prawdopodobieństwo, że do pierwszego dołka wpadnie dokładnie k1 kulek, do drugiego k2 itd. oraz km piłek do m-tego dołka, jeżeli k1+k2+…+km=n.

162. W warunkach poprzedniego zadania znajdź prawdopodobieństwo, że w jednym z dołków (nie ma znaczenia w którym) znajdą się kule k1, a w drugim kule k2 itd., w m-tym - kulki km (przyjmuje się, że liczby k1, k2, ...,km są różne).

163. Ze zbioru (1, 2,…, N) wybiera się kolejno bez zwracania liczby x1 i x2. Znajdź p(x2 > x1).

1 rękopis podzielony jest na 30 teczek (jeden rękopis zajmuje 3 teczki). Znajdź prawdopodobieństwo, że w 6 losowo wyrzuconych folderach nie będzie ani jednego rękopisu w całości.

165. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w towarzystwie r osób co najmniej dwie osoby będą miały urodziny tego samego dnia? (Dla uproszczenia przyjmuje się, że 29 lutego nie jest datą urodzin).

166. Korzystanie z tabeli wartości lg n! i warunek poprzedniego zadania, oblicz prawdopodobieństwa dla r = 22, 23, 60.

167. Postanawiasz znaleźć osobę, której urodziny zbiegają się z Twoimi. Z iloma nieznajomymi musiałbyś przeprowadzić wywiad, aby prawdopodobieństwo spotkania takiej osoby było nie mniejsze niż 0,5?

168. W przypadku Pożyczki Państwowej co roku losowanych jest 6 losowań głównych i jedno losowanie dodatkowe, które następuje po piątym głównym losowaniu. Spośród 100 000 odcinków 170 odcinków wygrywa w każdym cyklu głównym i 230 odcinków w każdym dodatkowym. Znajdź prawdopodobieństwo wygrania jednej obligacji w ciągu pierwszych 10 lat: a) w obiegu głównym; b) w wydaniu dodatkowym; c) w dowolnym wydaniu.

1. Pełną talię kart (52 arkusze) dzielimy losowo na 2 równe części (po 26 kart każda). Znajdź prawdopodobieństwa następujących zdarzeń: A – w każdej części będą 2 asy; B – w jednej z części nie będzie ani jednego asa; C – jedna z części będzie miała dokładnie jednego asa.

2. Z grupy 4 oficerów i 12 żołnierzy wybiera się losowo 5 żołnierzy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w grupie będzie nie więcej niż dwóch funkcjonariuszy?

3. Znajdź prawdopodobieństwo, że uczestnik loterii „Sportloto 6 z 45”, który kupił jeden los, poprawnie odgadnie: a) 2 liczby, b) 6 liczb.

4. W 8 wagonach umieszczono losowo trzy osoby. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszyscy: a) wejdą do tego samego wagonu, b) wejdą do wagonu nr 3, c) zostaną umieszczeni w różnych wagonach?

5. W partii 50 produktów znajduje się 5 wadliwych. W celu kontroli tej partii wybiera się 5 produktów. Jeśli wśród nich znajdzie się więcej niż jeden wadliwy, wówczas cała partia produktów zostanie odrzucona. Jakie jest prawdopodobieństwo, że partia produktów zostanie odrzucona?

6. Spośród 20 pracowników laboratorium 5 osób musi udać się w podróż służbową. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród oddelegowanych pracowników nie będzie 3 kierowników laboratorium (kierownik, jego zastępca i główny inżynier)?

7. 12 uczniów zajmuje losowo miejsca na pierwszych 12 miejscach w jednym rzędzie stanowisk. Jakie jest prawdopodobieństwo, że uczniowie M i N będą siedzieć obok siebie?

8. Poczta sprzedaje 6 rodzajów pocztówek. Kupujący zakupił 4 pocztówki. Znajdź prawdopodobieństwo, że te pocztówki są: a) tego samego typu; b) różnego rodzaju.

9. Z grupy składającej się z 7 mężczyzn i 4 kobiet należy wybrać 5 osób. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wybranych osób znajdą się co najmniej trzy kobiety.

10. W pudełku znajduje się 10 żarówek, z czego 3 są przepalone. Znajdź prawdopodobieństwo, że z 5 losowo wybranych żarówek z pudełka zapalą się 2 żarówki.

11. W grupie jest 15 uczniów. Spośród nich 12 to dziewczynki, reszta to chłopcy. Wiadomo, że do tablicy trzeba wezwać dwóch uczniów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród nich będzie: a) jedna dziewczynka i jeden chłopiec; b) dwie dziewczyny?

12. Na stacji znajduje się 10 wagonów różnych produktów. Samochody są oznaczone numerami od 1 do 10. Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród 5 samochodów wybranych do otwarcia kontrolnego znajdą się samochody z numerami 2 i 5?

13. Na magazyn przywieziono 20 pudełek z komponentami do jednego typu komputera, ale wśród nich znajdowały się 4 pudła z komponentami do innego typu komputera. Wzięliśmy losowo 6 pudełek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 6 pudełek znajdzie się: a) jedno pudełko z niekompletnymi częściami; b) przynajmniej jedno pudełko niekompletnych części?

14. Na 20 spółek akcyjnych 4 są w stanie upadłości. Obywatel nabył po jednej akcji każdej z sześciu spółek akcyjnych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród zakupionych akcji 2 będą akcje upadłościowe?

15. W pudełku znajduje się 5 ołówków niebieskich, 4 czerwone i 3 zielone. Wyciągamy losowo 3 ołówki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że: a) wszystkie są tego samego koloru, b) wszystkie są różnych kolorów, c) wśród nich są 2 ołówki czerwone i 1 zielony.

16. W wypożyczalni znajduje się 8 samochodów nowych i 10 używanych. Wynajęliśmy losowo trzy samochody. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszystkie wypożyczone samochody są: a) całkowicie nowe; b) 1 nowy i 2 używane?

17. Na osobnych kartkach zapisano litery A, A, I, M, L, N. Znajdź prawdopodobieństwo, że wybierając losowo karty jedna po drugiej: a) otrzymamy słowo „MINA”; b) „MALINA”; c) „BURBT”.

18. W kopercie wśród 100 fotografii znajduje się jedno poszukiwane. Z koperty losujemy 10 kart. Znajdź prawdopodobieństwo, że wśród nich będzie ten właściwy?

19. W sklepie znajduje się 10 telewizorów, z czego 4 są uszkodzone. Partia jest losowo dzielona na 2 równe części, które wysyłane są do dwóch odbiorców. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wadliwe produkty trafią po równo do dwóch konsumentów?

20. W grupie 20 uczniów 9 osiąga słabe wyniki. Z grupy wybierane są losowo dwie osoby. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród nich: a) będzie tylko jeden uczeń osiągający słabe wyniki; b) co najmniej jeden uczeń osiągający słabe wyniki?

21. Lamp radiowych jest 7, w tym 3 są wadliwe, pozornie nie różniące się od działających. Dwie lampy wybierane są losowo. Jakie jest prawdopodobieństwo, że: a) obie lampy będą sprawne; b) ktoś pracuje; c) czy przynajmniej jeden pracuje?

22. We flocie dwóch marek znajduje się 20 autobusów odpowiednio 12 i 8. Prawdopodobieństwo, że każda marka autobusu wybierze się na wycieczkę jest takie samo. Jakie jest prawdopodobieństwo, że po wyruszeniu w trasę 18 autobusów we flocie pozostaną autobusy: a) pierwszej marki; b) jedna marka; c) różne marki?

23. Autobus z 15 pasażerami musi zatrzymać się na 20 przystankach. Zakładając, że wszystkie możliwe sposoby rozmieszczenia pasażerów pomiędzy przystankami są jednakowo możliwe, oblicz prawdopodobieństwo, że na tym samym przystanku nie wysiądzie dwóch pasażerów.

24. W grupie jest 12 uczniów, w tym 3 uczniów wyróżniających się. Z listy wybrano losowo 9 uczniów. Znajdź prawdopodobieństwo, że wśród wybranych uczniów: a) będzie 3 uczniów wyróżniających się; b) co najmniej 3 doskonałych studentów.

25. W pudełku znajduje się 5 identycznych produktów, a 3 z nich są pomalowane. 2 pozycje zostały usunięte losowo. Znajdź prawdopodobieństwo, że wśród dwóch wydobytych produktów znajdzie się: a) jeden produkt malowany; b) dwa produkty malowane; c) co najmniej jeden produkt malowany.

26. Na półce bibliotecznej znajduje się 15 podręczników ułożonych w przypadkowej kolejności, z czego 5 jest oprawionych. Bibliotekarz losuje 3 podręczniki. Znajdź prawdopodobieństwo, że oprawa będzie zawierać: a) co najmniej jeden z wybranych podręczników; b) 2 podręczniki nie będą oprawiane.

27. 5 osób siedzi losowo na pięcioosobowej ławce. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w pobliżu będą 3 określone osoby?.

28. Mechanizm składa się z dwóch identycznych części. Mechanizm nie będzie działał, jeśli obie dostarczone części będą miały zbyt małe wymiary. Asembler ma 10 części, z czego 3 są mniejsze niż standardowe. Określ prawdopodobieństwo, że mechanizm będzie działał normalnie, jeśli asembler wybierze losowo dwie części.

29. W kwiaciarni sprzedaje się 8 szparagów i 5 pelargonii. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 5 sprzedanych roślin: a) 2 szparagi; b) wszystkie pelargonie?

30. 8 szachistów, w tym 3 arcymistrzów, dzieli się w drodze losowania na 2 czteroosobowe drużyny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że: a) w jednym zespole będzie dwóch arcymistrzów, a w drugim drugi; czy wszyscy trzej arcymistrzowie będą w tej samej drużynie?