Przykład 1. W pierwszej urnie: trzy kule czerwone i jedna biała. W drugiej urnie: jedna kula czerwona i trzy białe. Rzucamy losowo monetą: jeśli jest to herb, wybieramy go z pierwszej urny, W przeciwnym razie- z drugiego.
Rozwiązanie:
a) prawdopodobieństwo, że wylosowano kulę czerwoną
A – dostałem czerwoną piłkę
P 1 – herb upadł, P 2 – inaczej
b) Wybrano czerwoną kulę. Znajdź prawdopodobieństwo, że zostanie ona pobrana z pierwszej urny z drugiej urny.
B 1 – z pierwszej urny, B 2 – z drugiej urny
,
Przykład 2. W pudełku znajdują się 4 kule. Może być: tylko biały, tylko czarny lub biało-czarny. (Skład nieznany).
Rozwiązanie:
A – prawdopodobieństwo wystąpienia biała kula
a) Całe białe:
(prawdopodobieństwo, że wybrałeś jedną z trzech opcji tam, gdzie są białe)
(prawdopodobieństwo pojawienia się białej kuli tam, gdzie wszyscy są biali)
b) Wyciągnięto tam, gdzie wszyscy są czarni
c) wycofano opcję, w której wszyscy są biali i/lub czarni
- przynajmniej jeden z nich jest biały
P a + P b + P do =
Przykład 3. W urnie znajduje się 5 kul białych i 4 czarne. Wyciąga się z niego 2 kule z rzędu. Znajdź prawdopodobieństwo, że obie kule będą białe.
Rozwiązanie:
5 białych i 4 czarne kule
P(A 1) – wyjęto bilę białą
P(A 2) – prawdopodobieństwo, że druga kula również będzie biała
P(A) – białe kule wybrane w rzędzie
Przykład 3a. Opakowanie zawiera 2 fałszywe i 8 prawdziwych banknotów. Z paczki wyciągnięto 2 banknoty z rzędu. Znajdź prawdopodobieństwo, że oba są fałszywe.
Rozwiązanie:
P(2) = 2/10*1/9 = 1/45 = 0,022
Przykład 4. Jest 10 pojemników. Jest 9 urn z 2 kulami czarnymi i 2 białymi. W 1 urnie znajduje się 5 białych i 1 czarny. Z losowo pobranej urny wylosowano kulę.
Rozwiązanie:
P(A) -? Z urny zawierającej 5 kul białych wylosowano kulę białą
B – prawdopodobieństwo wylosowania z urny zawierającej 5 białych
, - zabrane innym
C 1 – prawdopodobieństwo pojawienia się białej bili na poziomie 9.
C 2 – prawdopodobieństwo pojawienia się białej kuli, gdy jest ich 5
P(A 0) = P(B 1) P(C 1)+P(B 2) P(C 2)
Przykład 5. 20 rolek cylindrycznych i 15 stożkowych. Osoba zbierająca bierze 1 wałek, a potem kolejny.
Rozwiązanie:
a) oba wałki są cylindryczne
P(C1)=; P(Ts 2)=
C 1 – pierwszy cylinder, C 2 – drugi cylinder
P(A)=P(Ts1)P(Ts2) =
b) Co najmniej jeden cylinder
K 1 – pierwszy stożkowy.
K 2 - drugi w kształcie stożka.
P(B)=P(Ts 1)P(K 2)+P(Ts 2)P(K 1)+P(Ts 1)P(Ts 2)
;
c) pierwszy cylinder, ale nie drugi
P(C)=P(C1)P(K2)
e) Ani jednego cylindra.
P(D)=P(K1)P(K2)
e) Dokładnie 1 cylinder
P(E)=P(C 1)P(K 2)+P(K 1)P(K 2)
Przykład 6. W pudełku znajduje się 10 części standardowych i 5 części wadliwych.
Losowo losowane są trzy części
a) Jeden z nich jest uszkodzony
P n (K)=C n k ·p k ·q n-k ,
P – prawdopodobieństwo wadliwych produktów
q – prawdopodobieństwo części standardowych
n=3, trzy części
b) dwie z trzech części są wadliwe P(2)
c) co najmniej jeden standard
P(0) - brak uszkodzeń
P=P(0)+ P(1)+ P(2) - prawdopodobieństwo, że przynajmniej jedna część będzie standardowa
Przykład 7. W pierwszej urnie znajdują się 3 kule białe i czarne, a w drugiej urnie znajdują się 3 kule białe i 4 czarne. Bez patrzenia przenosimy 2 kule z pierwszej urny do drugiej, a następnie z drugiej urny losujemy 2 kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że tak różne kolory?
Rozwiązanie:
Jest to możliwe przy przenoszeniu kul z pierwszej urny następujące opcje:
a) wyjął 2 białe kule z rzędu
P BB 1 =
W drugim kroku zawsze będzie o jedną piłkę mniej, ponieważ w pierwszym kroku jedna piłka została już wyjęta.
b) wyjął jedną białą i jedną czarną bilę
Sytuacja, gdy najpierw losowana jest kula biała, a następnie czarna
Głowica P =
Sytuacja, gdy najpierw została wylosowana kula czarna, a potem biała
P BW =
Razem: P głowica bojowa 1 =
c) wyjął 2 czarne kule z rzędu
P HH 1 =
Ponieważ z pierwszej urny do drugiej urny przeniesiono 2 kule, całkowita liczba kul w drugiej urnie wyniesie 9 (7 + 2). W związku z tym będziemy szukać wszystkich możliwych opcji:
a) Z drugiej urny wylosowano najpierw kulę białą, a następnie czarną
P BB 2 P BB 1 - oznacza prawdopodobieństwo, że najpierw została wylosowana kula biała, a następnie czarna, pod warunkiem, że z pierwszej urny z rzędu wylosowano 2 kule białe. Dlatego liczba białych kul w tym przypadku wynosi 5 (3+2).
P BC 2 P BC 1 - oznacza prawdopodobieństwo, że najpierw została wylosowana kula biała, a następnie czarna, pod warunkiem, że z pierwszej urny wylosowano kulę białą i czarną. Dlatego liczba białych kul w tym przypadku wynosi 4 (3+1), a liczba czarnych kul wynosi pięć (4+1).
P BC 2 P BC 1 - oznacza prawdopodobieństwo, że najpierw została wylosowana kula biała, a następnie czarna, pod warunkiem, że z pierwszej urny z rzędu zostały wylosowane obie kule czarne. Dlatego liczba czarnych kul w tym przypadku wynosi 6 (4+2).
Prawdopodobieństwo, że wylosowane 2 kule będą różnych kolorów, wynosi:
Odpowiedź: P = 0,54
Przykład 7a. Z pierwszej urny zawierającej 5 białych i 3 czarne kule losowo przeniesiono 2 kule do drugiej urny zawierającej 2 białe i 6 czarnych kul. Następnie z drugiej urny wylosowano 1 kulę.
1) Jakie jest prawdopodobieństwo, że kula wylosowana z drugiej urny okaże się biała?
2) Kula wyjęta z drugiej urny okazała się biała. Oblicz prawdopodobieństwo, że kule o różnych kolorach zostały przesunięte z pierwszej urny do drugiej.
Rozwiązanie.
1) Zdarzenie A - kula wylosowana z drugiej urny okazuje się biała. Rozważmy następujące opcje wystąpienia tego zdarzenia.
a) Z pierwszej urny do drugiej włożono dwie białe kule: P1(bb) = 5/8*4/7 = 20/56.
W drugiej urnie znajdują się łącznie 4 kule białe. Wówczas prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z drugiej urny wynosi P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448
b) Z pierwszej urny do drugiej wrzucono kule białą i czarną: P1(bch) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56.
W drugiej urnie znajdują się łącznie 3 kule białe. Wówczas prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z drugiej urny wynosi P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
c) Z pierwszej urny do drugiej wrzucono dwie czarne kule: P1(hh) = 3/8*2/7 = 6/56.
W drugiej urnie znajdują się łącznie 2 kule białe. Wówczas prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z drugiej urny wynosi P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448
Zatem prawdopodobieństwo, że kula wylosowana z drugiej urny okaże się biała, wynosi:
P(A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32
2) Kula wyjęta z drugiej urny okazała się biała, tj. całkowite prawdopodobieństwo jest równe P(A)=13/32.
Prawdopodobieństwo, że w drugiej urnie umieszczono kule różnych kolorów (czarnej i białej) i wybrano białą: P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
P = P2(3)/ P(A) = 90/448 / 13/32 = 45/91
Przykład 7b. W pierwszej urnie znajduje się 8 kul białych i 3 czarne, w drugiej urnie znajduje się 5 kul białych i 3 czarne. Z pierwszej wybieramy losowo jedną kulę, a z drugiej dwie kule. Następnie z wybranych trzech piłek losowana jest jedna kula. Ta ostatnia kula okazała się czarna. Znajdź prawdopodobieństwo, że z pierwszej urny zostanie wylosowana kula biała.
Rozwiązanie.
Rozważmy wszystkie warianty zdarzenia A – z trzech kul wylosowana kula okazuje się czarna. Jak to się mogło stać, że wśród trzech kulek była jedna czarna?
a) Z pierwszej urny wylosowano kulę czarną, a z drugiej urny dwie białe.
P1 = (3/11)(5/8*4/7) = 15/154
b) Z pierwszej urny wylosowano kulę czarną, a z drugiej urny dwie czarne.
P2 = (3/11)(3/8*2/7) = 9/308
c) Z pierwszej urny wylosowano kulę czarną, z drugiej urny jedną białą i jedną czarną.
P3 = (3/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 45/308
d) Z pierwszej urny wylosowano kulę białą, a z drugiej urny dwie czarne.
P4 = (8/11)(3/8*2/7) = 6/77
e) Z pierwszej urny wylosowano kulę białą, z drugiej urny jedną białą i jedną czarną.
P5 = (8/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 30/77
Całkowite prawdopodobieństwo wynosi: P = P1+P2+ P3+P4+P5 = 15/154+9/308+45/308+6/77+30/77 = 57/77
Prawdopodobieństwo, że z białej urny zostanie wylosowana kula biała, wynosi:
Pb(1) = P4 + P5 = 6/77+30/77 = 36/77
Wówczas prawdopodobieństwo, że z pierwszej urny została wybrana kula biała, przy założeniu, że spośród trzech kul została wybrana kula czarna, wynosi:
Pch = Pb(1)/P = 36/77 / 57/77 = 36/57
Przykład 7c. W pierwszej urnie znajduje się 12 kul białych i 16 czarnych, w drugiej urnie znajduje się 8 kul białych i 10 czarnych. W tym samym czasie z pierwszej i drugiej urny losujemy kulę, mieszamy ją i zwracamy po jednej do każdej urny. Następnie z każdej urny losujemy kulę. Okazało się, że są tego samego koloru. Oblicz prawdopodobieństwo, że w pierwszej urnie pozostanie tyle kul białych, ile było na początku.
Rozwiązanie.
Zdarzenie A – jednocześnie z pierwszej i drugiej urny losowana jest kula.
Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z pierwszej urny: P1(B) = 12/(12+16) = 12/28 = 3/7
Prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej z pierwszej urny: P1(H) = 16/(12+16) = 16/28 = 4/7
Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z drugiej urny: P2(B) = 8/18 = 4/9
Prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej z drugiej urny: P2(H) = 10/18 = 5/9
Wydarzenie A miało miejsce. Zdarzenie B – z każdej urny losowana jest kula. Po przetasowaniu prawdopodobieństwo, że biała lub czarna kula powróci do urny, wynosi ½.
Rozważmy opcje zdarzenia B - okazały się tego samego koloru.
Za pierwszą urnę
1) do pierwszej urny włożono kulę białą i losowano kulę białą, pod warunkiem, że wcześniej została wylosowana kula biała, P1(BB/A=B) = ½ * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) do pierwszej urny włożono kulę białą i wyciągnięto kulę białą, pod warunkiem, że wcześniej wyciągnięto kulę czarną, P1(BB/A=H) = ½ * 13/28 * 4/7 = 13/ 98
3) do pierwszej urny włożono kulę białą i wyciągnięto kulę czarną, pod warunkiem, że wcześniej wyciągnięto kulę białą, P1(BC/A=B) = ½ * 16/28 * 3/7 = 6/ 49
4) do pierwszej urny włożono kulę białą i wyciągnięto kulę czarną, o ile wcześniej wyciągnięto kulę czarną, P1(BC/A=H) = ½ * 15/28 * 4/7 = 15/ 98
5) do pierwszej urny wrzucono kulę czarną i wylosowano kulę białą, o ile wcześniej wylosowano kulę białą, P1(BW/A=B) = ½ * 11/28 * 3/7 = 33/392
6) do pierwszej urny wrzucono kulę czarną i wylosowano kulę białą, pod warunkiem, że wcześniej została wylosowana kula czarna, P1(B/A=H) = ½ * 12/28 * 4/7 = 6/49
7) do pierwszej urny włożono kulę czarną i wyciągnięto kulę czarną, pod warunkiem, że wcześniej wyciągnięto kulę białą, P1(HH/A=B) = ½ * 17/28 * 3/7 = 51/ 392
8) do pierwszej urny włożono czarną kulę i wyciągnięto czarną kulę, pod warunkiem, że wcześniej została wylosowana czarna kula, P1(HH/A=H) = ½ * 16/28 * 4/7 = 8/49
Za drugą urnę
1) do pierwszej urny włożono kulę białą i losowano kulę białą, pod warunkiem, że wcześniej została wylosowana kula biała, P1(BB/A=B) = ½ * 8/18 * 3/7 = 2/21
2) do pierwszej urny włożono kulę białą i wyciągnięto kulę białą, pod warunkiem, że wcześniej wyciągnięto kulę czarną, P1(BB/A=H) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/ 7
3) do pierwszej urny włożono kulę białą i wyciągnięto kulę czarną, pod warunkiem, że wcześniej wyciągnięto kulę białą, P1(BC/A=B) = ½ * 10/18 * 3/7 = 5/ 42
4) do pierwszej urny włożono kulę białą i wyciągnięto kulę czarną, o ile wcześniej wyciągnięto kulę czarną, P1(BC/A=H) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/ 7
5) do pierwszej urny wrzucono kulę czarną i wyciągnięto kulę białą, pod warunkiem, że wcześniej wyciągnięto kulę białą, P1(BW/A=B) = ½ * 7/18 * 3/7 = 1/ 12
6) do pierwszej urny włożono kulę czarną i wyciągnięto kulę białą, o ile wcześniej wyciągnięto kulę czarną, P1(BW/A=H) = ½ * 8/18 * 4/7 = 8/ 63
7) do pierwszej urny włożono kulę czarną i wyciągnięto kulę czarną, pod warunkiem, że wcześniej wyciągnięto kulę białą, P1(HH/A=B) = ½ * 11/18 * 3/7 = 11/ 84
8) do pierwszej urny wrzucono kulę czarną i wylosowano kulę czarną, o ile wcześniej wylosowano kulę czarną, P1(HH/A=H) = ½ * 10/18 * 4/7 = 10/63
Kulki okazały się tego samego koloru:
biały
P1(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 9/98 + 13/98 + 33 /392 + 6/49 = 169/392
P2(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 2/21+1/7+1 /12+8/63 = 113/252
b) czarny
P1(H) = P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) + P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) = 6/49 + 15/98 + 51 /392 + 8/49 = 223/392
P2(H) = P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) + P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) =5/42+1/7+11 /84+10/63 = 139/252
P = P1(B)* P2(B) + P1(H)* P2(H) = 169/392*113/252 + 223/392*139/252 = 5/42
Przykład 7d. W pierwszym pudełku znajduje się 5 kul białych i 4 niebieskie, w drugim 3 i 1, a w trzecim odpowiednio 4 i 5. Wybrano losowo pudełko i wyciągnięta z niego kula okazała się niebieska. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ta kula pochodzi z drugiego pudełka?
Rozwiązanie.
A - zdarzenie odzyskania niebieska piłka. Rozważmy wszystkie możliwe skutki takiego zdarzenia.
H1 – piłka wylosowana z pierwszego pudełka,
H2 – piłka wyciągnięta z drugiego pudełka,
H3 - kula wylosowana z trzeciego pudełka.
P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3
Zgodnie z warunkami problemowymi prawdopodobieństwa warunkowe zdarzenia A są równe:
P(A|H1) = 4/(5+4) = 4/9
P(A|H2) = 1/(3+1) = 1/4
P(A|H3) = 5/(4+5) = 5/9
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 1/3*4/9 + 1 /3*1/4 + 1/3*5/9 = 5/12
Prawdopodobieństwo, że ta kula pochodzi z drugiego pudełka, wynosi:
P2 = P(H2)*P(A|H2) / P(A) = 1/3*1/4 / 5/12 = 1/5 = 0,2
Przykład 8. Pięć pudełek po 30 kulek zawiera 5 czerwonych kulek (jest to pudełko o składzie H1), sześć innych pudełek po 20 kulek zawiera 4 czerwone kule (jest to pudełko o składzie H2). Znajdź prawdopodobieństwo, że losowo wybrana czerwona kula znajdzie się w jednym z pierwszych pięciu pudełek.
Rozwiązanie: Problem polega na zastosowaniu wzoru na prawdopodobieństwo całkowite.
P(H1) = 5/11
Prawdopodobieństwo, że każdy wzięta piłka znajduje się w jednym z sześciu pudełek:
P(H2) = 6/11
Do zdarzenia doszło – wyciągnięto czerwoną kulę. Może się zatem zdarzyć w dwóch przypadkach:
a) wyciągnięte z pierwszych pięciu pudełek.
P 5 = 5 czerwonych kulek * 5 pudełek / (30 kulek * 5 pudełek) = 1/6
P(P5/H1) = 1/6 * 5/11 = 5/66
b) wyciągnięte z sześciu innych pudełek.
P 6 = 4 czerwone kulki * 6 pudełek / (20 kulek * 6 pudełek) = 1/5
P(P6/H2) = 1/5 * 6/11 = 6/55
Razem: P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2) = 5/66 + 6/55 = 61/330
Zatem prawdopodobieństwo, że losowo wylosowana kula czerwona znajdzie się w jednym z pięciu pierwszych pudełek, wynosi:
P k.sh. (H1) = P(P 5 /H 1) / (P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2)) = 5/66 / 61/330 = 25/61
Przykład 9. W urnie znajdują się 2 kule białe, 3 czarne i 4 czerwone. Losujemy trzy kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie kule będą tego samego koloru?
Rozwiązanie. Istnieją trzy możliwe wyniki:
a) wśród trzech wylosowanych kul były co najmniej dwie białe.
P b (2) = P 2b
Całkowita liczba możliwych elementarnych wyników tych testów jest równa liczbie sposobów, na jakie można wydobyć 3 kule z 9:
Obliczmy prawdopodobieństwo, że spośród 3 wybranych kul 2 będą białe.
Liczba opcji do wyboru spośród 2 białych kulek:
Liczba opcji do wyboru 7 innych piłek Trzecia kula:
b) wśród trzech wylosowanych kul były co najmniej dwie czarne (tj. albo 2 czarne, albo 3 czarne).
Obliczmy prawdopodobieństwo, że spośród wybranych 3 kul 2 będą czarne.
Liczba opcji do wyboru spośród 3 czarnych kulek:
Liczba opcji do wyboru spośród 6 innych kulek jednej kuli:
P2h = 0,214
Znajdźmy prawdopodobieństwo, że wszystkie wybrane kule są czarne.
P h (2) = 0,214 + 0,0119 = 0,2259
c) wśród trzech wylosowanych kul były co najmniej dwie czerwone (tj. albo 2 czerwone, albo 3 czerwone).
Obliczmy prawdopodobieństwo, że spośród 3 wybranych kul 2 będą czerwone.
Liczba opcji do wyboru spośród 4 czarnych kulek:
Ilość opcji do wyboru: 5 kul białych, pozostała 1 biała:
Znajdźmy prawdopodobieństwo, że wszystkie wybrane kule są czerwone.
P do (2) = 0,357 + 0,0476 = 0,4046
Wtedy prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie kule będą tego samego koloru, wynosi: P = P b (2) + P h (2) + P k (2) = 0,0833 + 0,2259 + 0,4046 = 0,7138
Przykład 10. Pierwsza urna zawiera 10 kul, w tym 7 białych; W drugiej urnie znajduje się 20 kul, z czego 5 jest białych. Z każdej urny losujemy jedną kulę, a następnie z tych dwóch kul losujemy jedną kulę. Znajdź prawdopodobieństwo, że wylosowana zostanie kula biała.
Rozwiązanie. Prawdopodobieństwo, że z pierwszej urny zostanie wylosowana kula biała, wynosi P(b)1 = 7/10. W związku z tym prawdopodobieństwo wylosowania czarnej kuli wynosi P(h)1 = 3/10.
Prawdopodobieństwo, że z drugiej urny zostanie wylosowana kula biała, wynosi P(b)2 = 5/20 = 1/4. Odpowiednio prawdopodobieństwo wylosowania czarnej kuli wynosi P(h)2 = 15/20 = 3/4.
Zdarzenie A – z dwóch kul losowana jest kula biała
Rozważmy możliwy wynik zdarzenia A.
- Z pierwszej urny wylosowano kulę białą, a z drugiej urny białą. Następnie z tych dwóch kul wylosowano kulę białą. P1 = 7/10*1/4 = 7/40
- Z pierwszej urny wylosowano kulę białą, a z drugiej urny czarną. Następnie z tych dwóch kul wylosowano kulę białą. P2 = 7/10*3/4 = 21/40
- Z pierwszej urny wylosowano kulę czarną, a z drugiej urny białą. Następnie z tych dwóch kul wylosowano kulę białą. P3 = 3/10*1/4 = 3/40
P = P1 + P2 + P3 = 7/40 + 21/40 + 3/40 = 31/40
Przykład 11. W pudełku znajduje się n piłek tenisowych. Spośród nich rozegrano m. W pierwszej grze losowo pobierano dwie piłki i odkładano je z powrotem po grze. W drugiej grze również wzięliśmy losowo dwie piłki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że druga partia zostanie rozegrana nowymi piłkami?
Rozwiązanie. Rozważmy zdarzenie A - gra została rozegrana po raz drugi nowymi piłkami. Zobaczmy, jakie wydarzenia mogą do tego doprowadzić.
Oznaczmy przez g = n-m liczbę nowych piłek przed wyciągnięciem.
a) w pierwszej grze wyciągnięto dwie nowe piłki.
P1 = g/n*(g-1)/(n-1) = g(g-1)/(n(n-1))
b) w pierwszej grze wyciągnęli jedną nową piłkę i jedną już zagraną.
P2 = g/n*m/(n-1) + m/n*g/(n-1) = 2 mg/(n(n-1))
c) w pierwszej grze wyciągnięto dwie zagrane piłki.
P3 = m/n*(m-1)/(n-1) = m(m-1)/(n(n-1))
Przyjrzyjmy się wydarzeniom z drugiej gry.
a) Wylosowano dwie nowe kule, przy spełnieniu warunku P1: skoro w pierwszej partii zostały już wylosowane nowe kule, to w drugiej partii ich liczba zmniejszyła się o 2, g-2.
P(A/P1) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*P1 = (g-2)/n*(g-2-1)/(n- 1)*g(g-1)/(n(n-1))
b) Wylosowano dwie nowe kule, przy spełnieniu warunku P2: skoro w pierwszej partii została już wylosowana jedna nowa kula, to w drugiej partii ich liczba zmniejszyła się o 1, g-1.
P(A/P2) =(g-1)/n*(g-2)/(n-1)*P2 = (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg /(n(n-1))
c) Wylosowano dwie nowe kule, przy spełnieniu warunku P3: ponieważ w pierwszej partii nie używano nowych piłek, w drugiej grze ich liczba nie uległa zmianie g.
P(A/P3) = g/n*(g-1)/(n-1)*P3 = g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n (n-1))
Prawdopodobieństwo całkowite P(A) = P(A/P1) + P(A/P2) + P(A/P3) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)* g(g-1)/(n(n-1)) + (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg/(n(n-1)) + g/n *(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1)) = (n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/(( n-1)^2*n^2)
Odpowiedź: P(A)=(n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)
Przykład 12. W pierwszym, drugim i trzecim pudełku znajdują się 2 białe i 3 czarne kule, w czwartym i piątym pudełku znajduje się 1 biała i 1 czarna kula. Wybieramy losowo pudełko i losujemy z niego kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo warunkowe, że zostanie wybrane czwarte lub piąte pole, jeśli wylosowana kula jest biała?
Rozwiązanie.
Prawdopodobieństwo wybrania każdego pudełka wynosi P(H) = 1/5.
Rozważmy prawdopodobieństwa warunkowe zdarzenia A - wylosowania bili białej.
P(A|H=1) = 2/5
P(A|H=2) = 2/5
P(A|H=3) = 2/5
P(A|H=4) = ½
P(A|H=5) = ½
Całkowite prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli:
P(A) = 2/5*1/5 + 2/5*1/5 +2/5*1/5 +1/2*1/5 +1/2*1/5 = 0,44
Prawdopodobieństwo warunkowe, że wybrane zostanie czwarte pole
P(H=4|A) = 1/2*1/5 / 0,44 = 0,2273
Prawdopodobieństwo warunkowe, że wybrane zostanie piąte pole
P(H=5|A) = 1/2*1/5 / 0,44 = 0,2273
W sumie prawdopodobieństwo warunkowe, że wybrane zostanie czwarte lub piąte pole, wynosi
P(H=4, H=5|A) = 0,2273 + 0,2273 = 0,4546
Przykład 13. W urnie było 7 kul białych i 4 czerwone. Następnie do urny wkładano kolejną kulę koloru białego, czerwonego lub czarnego i po wymieszaniu jedną kulę wyjmowano. Okazało się, że jest czerwony. Jakie jest prawdopodobieństwo, że a) została umieszczona czerwona kula? b) czarna kula?
Rozwiązanie.
a) czerwona kula
Zdarzenie A – losowana jest kula czerwona. Zdarzenie H – położenie czerwonej kuli. Prawdopodobieństwo, że w urnie umieszczono czerwoną kulę P(H=K) = 1/3
Wtedy P(A|H=K)= 1 / 3 * 5 / 12 = 5 / 36 = 0,139
b) czarna kula
Zdarzenie A – losowana jest kula czerwona. Zdarzenie H – zostaje położona czarna kula.
Prawdopodobieństwo, że w urnie umieszczono czarną kulę P(H=H) = 1/3
Wtedy P(A|H=H)= 1 / 3 * 4 / 12 = 1 / 9 = 0,111
Przykład 14. Znajdują się tam dwie urny z kulami. Jedna ma 10 czerwonych i 5 niebieskich kul, druga ma 5 czerwonych i 7 niebieskich kul. Jakie jest prawdopodobieństwo, że z pierwszej urny zostanie wylosowana kula czerwona, a z drugiej – kula niebieska?
Rozwiązanie. Niech zdarzeniem A1 będzie czerwona kula wylosowana z pierwszej urny; A2 - z drugiej urny losujemy kulę niebieską:
,
Zdarzenia A1 i A2 są niezależne. Prawdopodobieństwo wspólnego wystąpienia zdarzeń A1 i A2 jest równe
Przykład 15. W zestawie talia kart (36 sztuk). Losujemy dwie karty z rzędu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie wylosowane karty będą czerwone?
Rozwiązanie. Niech zdarzenie A 1 będzie pierwszą wyciągniętą czerwoną kartką. Zdarzenie A 2 – wyciągnięcie drugiej czerwonej kartki. B - obie wyjęte karty są czerwone. Ponieważ musi nastąpić zarówno zdarzenie A 1, jak i zdarzenie A 2, to B = A 1 · A 2 . Zdarzenia A 1 i A 2 są więc zależne, P(B) :
,
Stąd
Przykład 16. W dwóch urnach znajdują się kule różniące się jedynie kolorem, przy czym w pierwszej urnie znajduje się 5 kul białych, 11 czarnych i 8 czerwonych, a w drugiej odpowiednio 10, 8, 6 kul. Z obu urn losujemy jedną kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie kule będą tego samego koloru?
Rozwiązanie. Niech indeks 1 oznacza biały kolor, indeks 2 - czarny; 3 - kolor czerwony. Niech zdarzenie A i będzie polegało na tym, że z pierwszej urny zostanie wylosowana kula i-tego koloru; zdarzenie B j - z drugiej urny zostaje wylosowana kula koloru j; zdarzenie A - obie kule są tego samego koloru.
A = ZA 1 · B 1 + ZA 2 · B 2 + ZA 3 · B 3. Zdarzenia A i i B j są niezależne, a A i · B i oraz Aj · B j są niezgodne dla i ≠ j. Stąd,
P(A)=P(A 1) P(B 1)+P(A 2) P(B 2)+P(A 3) P(B 3) =
Przykład 17. Z urny zawierającej 3 kule białe i 2 czarne losujemy po jednej kulie, aż pojawią się czarne. Oblicz prawdopodobieństwo, że z urny wylosujemy 3 kule? 5 piłek?
Rozwiązanie.
1) prawdopodobieństwo, że z urny zostaną wylosowane 3 kule (tzn. trzecia kula będzie czarna, a dwie pierwsze białe).
P=3/5*2/4*2/3=1/5
2) prawdopodobieństwo, że z urny zostanie wylosowanych 5 kul
Taka sytuacja nie jest możliwa, ponieważ tylko 3 białe kule.
P=0
Problem z 174tv
a) 3 kule białe;
b) mniej niż 3 kule białe;
c) co najmniej jedną bilę białą.
Problem z 176tv
W urnie znajduje się 6 kul czarnych i 5 białych. Losujemy 5 kul. Znajdź prawdopodobieństwo, że wśród nich jest:
a) 3 kule białe;
b) mniej niż 3 kule białe;
c) co najmniej jedną bilę białą.
Problem z 178tv
W urnie znajdują się 4 kule czarne i 5 białych. Losujemy 4 kule. Znajdź prawdopodobieństwo, że wśród nich jest:
a) 2 kule białe;
b) mniej niż 2 kule białe;
c) co najmniej jedną bilę białą.
Problem z telewizorem 180
W urnie znajduje się 6 kul czarnych i 7 białych. Losujemy 4 kule. Znajdź prawdopodobieństwo, że wśród nich jest:
a) 4 kule białe;
b) mniej niż 4 kule białe;
c) co najmniej jedną bilę białą.
Problem z 184tv
W urnie znajduje się 8 kul czarnych i 6 białych. Losujemy 4 kule. Znajdź prawdopodobieństwo, że wśród nich jest:
a) 3 kule białe;
b) mniej niż 3 kule białe;
c) co najmniej jedną bilę białą.
Problem z 186tv
W urnie znajdują się 4 kule czarne i 6 białych. Losujemy 4 kule. Znajdź prawdopodobieństwo, że wśród nich jest:
a) 3 kule białe;
b) mniej niż 3 kule białe;
c) co najmniej jedną bilę białą.
Problem z 188tv
W urnie znajduje się 5 kul czarnych i 6 białych. Losujemy 5 kul. Znajdź prawdopodobieństwo, że wśród nich jest:
a) 4 kule białe;
b) mniej niż 4 kule białe;
c) co najmniej jedną bilę białą.
Zadanie nr 1
Losowe zdarzenia
Opcja 6.
Zadanie 1.1. Wrzucono trzy monety. Znajdź prawdopodobieństwo, że tylko dwie monety będą miały „herb”.
Zdarzenie A w badaniu – tylko dwie z trzech monet będą miały herb. Moneta ma dwie strony, co oznacza, że łączna liczba zdarzeń przy rzucie trzema monetami wyniesie 8. W trzech przypadkach tylko dwie monety będą miały herb. Prawdopodobieństwo zdarzenia A obliczamy ze wzoru:
P(A) = m/n = 3/8.
Odpowiedź: prawdopodobieństwo 3/8.
Problem 1.2. Słowo WYDARZENIE składa się z kart, z których każda ma napisaną jedną literę. Następnie karty są mieszane i wyjmowane pojedynczo, bez zwracania. Znajdź prawdopodobieństwo, że litery zostaną wyjęte w kolejności podanego słowa.
Test polega na wyjęciu kart z literami w losowej kolejności bez zwracania. Zdarzeniem elementarnym jest wynikowy ciąg liter. Zdarzenie A polega na otrzymaniu właściwe słowo WYDARZENIE . Zdarzenia elementarne to permutacje 7 liter, co oznacza, że zgodnie ze wzorem mamy n= 7!
Litery w słowie EVENT nie są powtarzane, więc nie są możliwe permutacje, w których słowo się nie zmienia. Ich liczba to 1.
Zatem,
P(A) = 1/7! = 1/5040.
Odpowiedź: P(A) = 1/5040.
Problem 1.3. Jak w poprzednie zadanie, znajdź odpowiednie prawdopodobieństwo przypadku, gdy dane słowo to słowa ANTONOWA ILII.
Problem ten rozwiązuje się analogicznie do poprzedniego.
n= 11!; M = 2!*2! = 4.
P(A) = 4/11 = 4/39916800 = 1/9979200
Odpowiedź: P(A) =1/9979200.
Zadanie 1.4. W urnie znajduje się 8 kul czarnych i 6 białych. Losujemy 5 kul. Znajdź prawdopodobieństwo, że wśród nich jest:
a) 3 kule białe;
b) mniej niż 3 kule białe;
c) co najmniej jedną bilę białą.
8 godzin Test polega na losowaniu 5 kul. Podstawowy
Wszystkie zdarzenia 6 b to możliwe kombinacje 5 z 14 piłek. Ich liczba jest równa
a) A 1 - wśród wylosowanych kul znajdują się 3 białe. Oznacza to, że wśród wylosowanych kul znajdują się 3 białe i 2 czarne. Korzystając z reguły mnożenia, otrzymujemy
P(A 1) = 560/2002 = 280/1001.
b) A 2 - wśród wylosowanych kul są mniej niż 3 białe. To wydarzenie składa się z trzech niezgodnych ze sobą wydarzeń:
W 1 - wśród wylosowanych kul są tylko 2 kule białe i 3 czarne,
W 2 - wśród wylosowanych kul jest tylko jedna biała i 4 czarne kule
W 3 - wśród wylosowanych kul nie ma ani jednej białej kuli, wszystkie 5 kul jest czarnych:
ZA 2 = B 1 B 2 B 3.
Ponieważ zdarzenia B 1, B 2 i B 3 są niezgodne, możesz skorzystać ze wzoru:
P(A 2) = P(B 1) + P(B 2) + P(B 3);
P(A2) = 840/2002 + 70/2002 + 56/2002 = 483/1001.
c) - wśród wylosowanych kul nie ma ani jednej białej. W tym przypadku:
P(A 3) = 1 - P() = 1 - 28/1001 = 973/1001.
Odpowiedź: P(A 1) = 280/1001, P(A 2) = 483/1001, P(A 3) = 973/1001.
Zadanie 1.6. W pierwszej urnie znajduje się 5 kul białych i 7 czarnych, natomiast w drugiej urnie znajduje się 6 kul białych i 4 czarne. Wyjmują je z pierwszej urny losowo 2 kulki, a od drugiej - 2 kulki. Znajdź prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych kul:
a) wszystkie kule są tego samego koloru;
b) tylko trzy kule białe;
c) co najmniej jedną bilę białą.
1 urna 2 urny Z obu urn losowano niezależnie kule. Testy
Zadaniem 5 b 6 b losujemy dwie kule z pierwszej urny oraz dwie kule
7h 4h od drugiej urny. Zdarzenia elementarne będą kombinacjami
Odpowiednio 2 lub 2 z 12 lub 10 piłek.
2 2 a) A 1 - wszystkie wylosowane kule są tego samego koloru, tj. czy oni wszyscy są biali?
lub cały czarny.
Zdefiniujmy wszystkie możliwe zdarzenia dla każdej urny:
W 1 - 2 z pierwszej urny losujemy kule białe;
W przypadku 2 - z pierwszej urny losujemy 1 kulę białą i 1 czarną;
W 3 - 2 z pierwszej urny losujemy 2 czarne kule;
C 1 - z drugiej urny losujemy 2 kule białe;
C 2 - z drugiej urny losujemy 1 kulę białą i 1 czarną;
Z drugiej urny losujemy 3 - 2 kule czarne.
Oznacza to, że A 1 = 
, skąd, biorąc pod uwagę niezależność i niezgodność zdarzeń, otrzymujemy
P(A 1) = P(B 1) * P(C 1) + P(B 3) * P(C 3).
Znajdźmy liczbę zdarzeń elementarnych n 1 i n 2 odpowiednio dla pierwszej i drugiej urny. Mamy:
Znajdźmy liczbę każdego elementu zdarzeń, które determinują następujące zdarzenia:
B 1: m 11 = C 1: m 21 =
B 2: m 12 = C 2: m 22 =
B 3: m 13 = C 3: m 23 =
Stąd,
P(A 1) = 10/66 * 15/45 + 21 * 6/45 = 5/99 + 7/165 = 46/495.
b) A 2 - wśród wylosowanych kul są tylko 3 białe. W tym przypadku
ZA 2 = (B 1 do 2 (B 2 do 1);
P(A 2) = P(B 1) * P(C 1) + P(B 2) * P(C 2)
P(A2) = 10/66 * 6/45 + 35/66 * 24/45 = 33/99 = 1/3.
c) A 3 – wśród wylosowanych kul jest co najmniej jedna biała.
Wśród odzyskanych piłek nie ma ani jednej białej bili. Następnie
P() = P(B 3) * P(C 3) = 21/66 * 6/45 = 7/165;
P(A 3) = 1 - P() = 1 - 7/165 = 158/165.
Odpowiedź: P(A 1) = 46/495, P(A 2) = 1/3, P(A 3) = 158/165.
Zadanie 1.7. W urnie znajduje się 5 kul czarnych i białych, dodano do nich 4 kule białe. Następnie z urny losujemy 3 kule. Znajdź prawdopodobieństwo, że wszystkie wylosowane kule będą białe, zakładając, że wszystkie możliwe sugestie dotyczące oryginalnej zawartości urny są równie możliwe.
Mamy tu do czynienia z dwoma rodzajami testów: najpierw ustalana jest początkowa zawartość urny, a następnie losowana jest trzecia kula, przy czym wynik drugiego testu zależy od wyniku pierwszego. Dlatego stosuje się wzór na prawdopodobieństwo całkowite.
zdarzenie A – losowane są 3 białe kule. Prawdopodobieństwo tego zdarzenia zależy od początkowego składu kul w urnie.
Rozważmy wydarzenia:
W 1 - w urnie było 5 kul białych;
W 2 - w urnie znajdowały się 4 kule białe i 1 czarna;
W 3 - w urnie znajdowały się 3 kule białe i 2 czarne;
W 4 - w urnie znajdowały się 2 kule białe i 3 czarne;
O godzinie 5 w urnie znajdowała się 1 kula biała i 4 czarne.
O godzinie 6 - w urnie było 5 czarnych kul;
Całkowita liczba wyników elementarnych
Znajdźmy prawdopodobieństwa warunkowe zdarzenia A w różnych warunkach.
P(A/B 1) = 1.
P(A/B2) = 56/84 = 2/3.
P(A/B 3) = 35/84 = 5/12.
P(A/B 4) = 5/21.
P(A/B5) = 5/42.
P(A/B 6) = 1/21.
P(A) = 1 * 1/6 + 2/3 * 1/6 + 5/12 * 1/6 + 5/21 * 1/6 + 5/42 * 1/6 + 1/21 * 1/6 = 209/504.
Odpowiedź: P(A) = 209/504.
Zadanie 1.9. W piramidzie znajduje się 11 karabinów, w tym 3 z celownikami optycznymi. Strzelec strzelając z karabinu z celownikiem optycznym może trafić w cel z prawdopodobieństwem 87/100, a strzelając z karabinu bez celownik optyczny, - z prawdopodobieństwem 52/100. Znajdź prawdopodobieństwo, że strzelec trafi w tarczę z losowego karabinu.
Biorąc pod uwagę, że karabiny są wybierane pojedynczo, otrzymujemy odpowiednio i (dla B 1) i (dla B 2); zatem P(B 1) = 3/11, P(B 2) = 8/11.
Prawdopodobieństwa warunkowe są określone w opisie problemu:
P(A/B 1) = 0,87 i P(A.B 2) = 0,52.
Stąd,
P(A) = 0,87 * 3/11 + 0,52 * 8/11 = 0,615.
Odpowiedź: P(A) =0,615.
Zadanie 1.10. W warsztacie instalacyjnym do urządzenia podłączany jest silnik elektryczny. Silniki elektryczne dostarczane są przez trzech producentów. Na stanie magazynowym znajdują się silniki elektryczne tych fabryk odpowiednio w ilościach M 1 = 13, M 2 = 12 i M 3 = 17 sztuk, które mogą pracować bezawaryjnie do końca okresu gwarancyjnego z prawdopodobieństwem 0,91, 0,82, i 0,77, odpowiednio. Pracownik losowo wybiera jeden silnik elektryczny i montuje go do urządzenia. Znajdź prawdopodobieństwo, że silnik elektryczny zainstalowany i działający bezawaryjnie do końca okresu gwarancyjnego został dostarczony odpowiednio przez pierwszego, drugiego lub trzeciego producenta.
Prawdopodobieństwa warunkowe są określone w stwierdzeniu problemu: P(A/B 1) = 0,91, P(A/B 2) = 0,82, P(A/B 3) = 0,77.
Podobnie jak w poprzednim zadaniu, znajdźmy prawdopodobieństwa:
P(B1) = 13/42 = 0,3095; P(B2) = 12/42 = 0,2857; P(B3) = 17/42 = 0,4048;
P(A) = 0,91 * 0,3095 + 0,82 * 0,2857 + 0,77 * 0,4048 = 0,8276.
Korzystając ze wzoru Bayesa (1.8.) obliczamy prawdopodobieństwa warunkowe zdarzeń (hipotezy) B 1:
P(B1/A) = 
P(B2/A) = 
P(B3/A) = 
Odpowiedź: P(B 1 /A) = 0,3403, P(B 2 /A) = 0,2831, P(B 3 /A) = 0,3766
Zadanie nr 2
Zmienne losowe.
6 - opcja.
Zadanie 2.1. W każdym z n niezależne testy zdarzenie A występuje ze stałym prawdopodobieństwem 0,36. Oblicz wszystkie prawdopodobieństwa p k, k = 0, 1, 2, ..., 11, gdzie k jest częstotliwością zdarzenia A. Narysuj wykres prawdopodobieństw p k. Znajdź najbardziej prawdopodobną częstotliwość.
Zapytany przez: n = 11, p = 0,36, q = 1 - p = 0,64.
Znajdować: p 0, str. 1, str. 2, ..., str. 11 i k.
Korzystając ze wzoru Bernoulliego. Wartość p 0 oblicza się za pomocą pierwszego ze wzorów, a pozostałe prawdopodobieństwa p k - za pomocą drugiego.
Dla wzoru obliczamy stały współczynnik
p/q = 0,36/ 0,64 = 0,5625, p 0 = *0,36 0 * 0,64 11 = 0,0073787.
Wyniki obliczeń zapisujemy w tabeli 1. Jeżeli obliczenia są prawidłowe, to równość musi być spełniona
Wykorzystując znalezione wartości prawdopodobieństwa skonstruujemy ich wykres (ryc. 1).
Znajdźmy najbardziej prawdopodobną częstotliwość zgodnie z podanymi warunkami:
np - q = 11 * 0,36 - 0,64 = 3,32.np + k = 4,32
Oznacza to, że najbardziej prawdopodobna częstotliwość wynosi k = 4 i, jak otrzymano wcześniej, wartość p 3 jest maksymalna.
Tabela 1
| k | (n-k-1)/k | r k | k | (n-k-1)/k | p.k |
| - | 0,9926213 |
Rysunek 1 Wykres prawdopodobieństwa p k
Problem 2.2. W każdej z n niezależnych prób zdarzenie A zachodzi ze stałym prawdopodobieństwem 0,47. Znajdź prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A:
a) dokładnie 330 razy;
b) mniej niż 330 i więcej niż 284 razy;
c) ponad 330 razy.
A) Zapytany przez: n = 760, p = 0,47, M = 330.
Znajdować: R 760 (330).
Używamy twierdzenie lokalne Moivre-Laplace. Znaleźliśmy:
Wartość funkcji j(x) znajdujemy z tabeli:
j(1,98) = 0,0562, P 760 (330) = 0,0562/ 13,76 = 0,00408.
B) Znajdować: R760 (284 Korzystamy z twierdzenia całkowego Moivre’a-Laplace’a. Znaleźliśmy: Wartość funkcji Ф(х) znajdujemy z tabeli: R760 (284 V) Znajdować: R760 (330 Mamy: x 1 = -1,98, R760 (330 Zadanie 2.4. W centrali telefonicznej nieprawidłowe połączenie występuje z prawdopodobieństwem 1/800. Znajdź prawdopodobieństwo, że wśród 5600 połączeń wystąpi: a) dokładnie 2 błędne połączenia; b) mniej niż 3 błędne połączenia; c) więcej niż 8 błędnych połączeń. dany: n = 5600, p = 1/800, k = 2. Znajdować: R 800 (2). Otrzymujemy: l = 5600 * 1/800 = 7. R 800 (2) = B) Ustawić k<3. Znajdować: 200 R (ok<3). 800 R (ok<3) = Р 800
(0) + Р 800
(1) + Р 800
(2) = 0,0223 + 0,0009 + 0,0064 = 0,0296. V) Ustawić k > 8. Znajdować: P 800 (k > 8). Problem ten można rozwiązać prościej, wyznaczając prawdopodobieństwo zdarzenia odwrotnego, ponieważ w tym przypadku trzeba obliczyć mniej wyrazów. Biorąc pod uwagę poprzedni przypadek, mamy Р 800 (k>8) = 1 – Р 800 (k8) = 1 - Р 800 (k<9) = 1 - 0,7291 = 0,2709. Zadanie 2.6. Zmienna losowa X jest dana szeregiem rozkładów. Znajdź funkcję rozkładu F(x) zmiennej losowej X i wykreśl ją. Oblicz dla X jego średnią wartość EX, dyspersję DX i modę Mo. Narysujmy funkcję rozkładu F(x) . Średnią wartość EX oblicza się ze wzoru: EX = 8*0,11 + 12*0,14 + 16*0,5 + 24*0,25 = 16,56. Wariancja: E(X 2) = 8 2 *0,11 + 12 2 *0,14 + 16 2 *0,5 + 24 2 *0,25 = 299,2 DX = 299,2 – 16,52 2 = 26,2896. Wykres funkcji rozkładu Zadanie 2.7. Zmienna losowa X jest określona przez funkcję gęstości prawdopodobieństwa f(x) = Znajdź rozkład F(x) zmiennej losowej X. Narysuj wykres funkcji f(x) i F(x). Oblicz dla X jego średnią wartość EX, dyspersję DX, modę Mo i medianę Me. K = 8, R = 12. Dystrybuantę F(x) ciągłej zmiennej losowej wyznaczamy ze wzoru: Narysuj wykresy funkcji f(x) i F(x). Średnią wartość X oblicza się ze wzoru: EX = Aby znaleźć wariancję X, używamy wzorów: E(X 2) = DX = 40,5 – (4,5) 2. Z wykresu wynika, że f(x) osiąga maksimum w punkcie x = 1/2, a zatem Mo = 12. Aby znaleźć medianę Me, należy rozwiązać równanie x 2 / 256 = 1/2, czyli x 2 = 128. Mamy x = ± 11,31, Me = 11,31. Wykres funkcji rozkładu F(x). Zadanie nr 3. Problem 3.1 Na podstawie próbek A i B Utwórz serię odmian; Oblicz częstotliwości względne (częstotliwości) i częstotliwości skumulowane; Konstruować wykresy szeregów wariacyjnych (wielokąt i histogram); Utwórz empiryczną funkcję rozkładu i wykreśl ją; Oblicz charakterystykę liczbową szeregu zmian: przeciętny , dyspersja, odchylenie standardowe , mediana Ja. Problem 3.2. Oblicz bezstronne oszacowania parametrów populacji ,S 2 , Spo próbki A i B (wykorzystując wyniki uzyskane w zadaniu 3.1.), a także pierwszą kolumnę próbki B. Próbka A6 N = 73 Początek pierwszego interwału: 0 Długość interwału: 1 Próbka B6 N = 237 Początek pierwszego interwału: 285 Długość interwału: 7 Rozwiązywanie problemów. Zadanie 3.1. Najpierw rozwiążmy problem dla próbki A. Znajdujemy: x min = 0 i x max = 11. Rozstęp (11 - 0 + 1 = 12) jest dość mały, więc utworzymy szereg wariacyjny na podstawie wartości (Tabela 1). Tabela 1 Wszystkie częstotliwości względne obliczamy z tą samą dokładnością. Konstruując wykresy, przedstawiamy na osi x wartości od 0 do 11, a na osi n i/n - wartości od 0 do 0,25 (ryc. 1 i 2). Ryż. 1. Wielokąt szeregu zmienności próbki A Ryż. 2. Histogram szeregu zmian próbki A. Dystrybuantę empiryczną F*(x) znajdujemy korzystając ze wzoru i skumulowanych częstotliwości z tabeli. 1. Mamy: Rysując wykres F*(x), wykreślamy wartości funkcji z zakresu od 0 do 1,2 (ryc. 3). Ryc.3. Wykres empirycznej funkcji rozkładu próbki A. Obliczenie sum średniej arytmetycznej i wariancji za pomocą wzorów i szeregów zmian (patrz tabela 1) przedstawiono w tabeli. 2. Na podstawie częstotliwości maksymalnej wyznaczamy c = 7, a krok tabeli k = 1.
.X
8 12 16 24
R
0,11 0,14 0,50 0,25
4
10
7
6
3
7
8
7
4
7
10
7
3
9
3
1
5
8
10
11
6
5
7
6
3
8
4
3
8
4
10
6
8
7
8
7
7
7
4
6
7
10
4
4
0
5
4
4
8
5
5
10
7
3
8
5
6
6
6
3
5
7
8
5
7
10
9
10
8
2
3
6
9
324
296
313
323
312
321
322
301
337
322
329
307
301
328
312
318
327
315
319
317
309
334
323
340
326
322
314
335
313
322
319
325
312
300
323
335
339
326
298
298
337
322
303
314
315
310
316
321
312
315
331
322
321
336
328
315
338
318
327
323
325
314
297
303
322
314
317
330
318
320
312
333
332
319
325
319
307
305
316
330
318
335
327
321
332
288
322
334
295
318
329
305
310
304
326
319
317
316
316
307
309
309
328
317
317
322
316
304
303
350
309
327
345
329
338
311
316
324
310
306
308
302
315
314
343
320
304
310
345
312
330
324
308
326
313
320
328
309
306
306
308
324
312
309
324
321
313
330
330
315
320
313
302
295
337
346
327
320
307
305
323
331
345
315
318
331
322
315
304
324
317
322
312
314
308
303
333
321
312
323
317
288
317
327
292
316
322
319
313
328
313
309
329
313
334
314
320
301
329
319
332
316
300
300
304
306
314
323
318
337
325
321
322
288
313
314
307
329
302
300
316
321
315
323
331
318
334
316
328
294
288
312
312
315
321
332
319
Odchylenie standardowe 
Tryb Mo to wartość z maksymalną częstotliwością, tj. Mo = 7. Mediana Me jest 37. wartością szeregu zmian: Me = 7.
Teraz, korzystając z próbki B, znajdziemy x min = 288 i x max = 350. Rozpiętość (350 - 288 + 1 = 63) jest dość duża, dlatego utworzymy szereg wariacyjny na podstawie przedziałów wartości, korzystając z początek pierwszego interwału i długość interwału podana podczas pobierania próbek (tab. 3).
Tabela 3
Ryż. 4. Wielokąt szeregu zmian próbki B.
Ryż. 5. Histogram szeregu zmian próbki B.
Konstruując wykresy, wykreślamy wzdłuż osi x wartości od 285 do 355 oraz wzdłuż osi n i/n - wartości od 0 do 0,3 (ryc. 4 i 5).
Następnie bierzemy pod uwagę, że koniec każdego przedziału jest traktowany jako reprezentatywny. Biorąc końce przedziałów i odpowiadające im zakumulowane częstotliwości jako współrzędne punktów (patrz tabela 3) i łącząc te punkty liniami prostymi, skonstruujemy wykres empirycznej funkcji rozkładu (ryc. 6).
Ryż. 6. Wykres empirycznej funkcji rozkładu próbki B.
Aby obliczyć średnią arytmetyczną i wariancję za pomocą wzorów i tabel. 3 definiujemy c = 316 i k = 7. Kwoty obliczamy korzystając z tabeli. 4 (Tabela 4).
Za pomocą wzorów obliczamy średnią arytmetyczną 
i wariancja 227,8
Medianę wyznaczamy korzystając ze wzoru: Me =.
Problem 3.2.
Korzystając ze wzoru, znajdujemy obiektywne oszacowania wariancji i odchylenia standardowego:
n = 73, S -2 = 5,8143, S 2 = 73/72×5,8143 = 5,8951, S = 2,43.
Dla próbki B mamy
393,92, = 177,47, n = 237, S 2 = 237/236×177,47 = 178,222, S = 13,35.
W podobny sposób uzyskuje się bezstronne oszacowania dla pierwszej kolumny próby B (jeżeli próbka ta zawiera niewiele powtarzających się elementów, nie ma potrzeby sporządzania szeregu zmian).
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa sprowadza pojęcie prawdopodobieństwa do pojęcia równoważnego prawdopodobieństwa (równej możliwości) zdarzeń, które uważane jest za podstawowe i niepodlegające formalnej definicji. Definicja ta ma zastosowanie w przypadkach, gdy możliwe jest zidentyfikowanie pełnej grupy zdarzeń niezgodnych i równie prawdopodobnych – wyników elementarnych. Rozważmy na przykład urnę z kulkami.
Niech w urnie będzie 7 identycznych, dokładnie wymieszanych kul, w tym 2 czerwone, 1 niebieska i 4 białe. Test będzie polegał na wyjęciu losowo jednej kuli z urny. Każde zdarzenie, które może wystąpić w teście, jest wynikiem elementarnym. W tym przykładzie istnieje siedem podstawowych wyników, które będziemy oznaczać mi 1 , mi 2 ,..., mi 7. Wyniki mi 1 , mi 2 - pojawienie się czerwonej kuli, mi 3 - pojawienie się niebieskiej kuli, mi 4 , mi 5 , mi 6 , mi 7 - pojawienie się białej kuli. W naszych przykładowych wydarzeniach mi 1 , mi 2 ,... mi 7 - niezgodne parami. Ponadto są one również możliwe w tym teście. Niech wydarzenie A polega na tym, że losowo wyjęta z urny kula okazuje się być kolorowa (czerwona lub niebieska).
Te elementarne wyniki, w których zdarzenie nas interesuje A przychodzi, dzwonią wyniki korzystne wydarzenie A. W naszym przykładzie wyniki korzystne dla wydarzenia A, to wyniki mi 1 , mi 2 i mi 3. Rozsądny jako miara możliwości wystąpienia zdarzenia A, czyli prawdopodobieństwa R(A), przyjąć liczbę równą stosunkowi wyników sprzyjających zaistnieniu zdarzenia A, do liczby wszystkich możliwych wyników. W naszym przykładzie
R Zbadany przez nas przykład doprowadził nas do definicji prawdopodobieństwa, które jest powszechnie nazywane klasyczny .
Prawdopodobieństwo zdarzenia A nazwij stosunek liczbowy M wyników korzystnych dla tego zdarzenia do całkowitej liczby N wszyscy wyniki elementarne:
R(A) = . (1.4.4)
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa służy jako dobry model matematyczny dla losowych eksperymentów, w których liczba wyników jest skończona, a same wyniki są równie możliwe.
PRZYKŁAD 2. Rzuca się kostkami. Znajdź prawdopodobieństwo, że wyrzuci nie więcej niż cztery punkty.
Rozwiązanie. Całkowita liczba wyników elementarnych N= 6 (może wyrzucić 1, 2, 3, 4, 5, 6). Wśród tych wyników wydarzenie jest korzystne A(nie więcej niż cztery punkty zostaną przyznane) tylko cztery wyniki M= 4. Dlatego wymagane prawdopodobieństwo
PRZYKŁAD 3. Jakie jest prawdopodobieństwo odgadnięcia 4 liczb podczas wypełniania karty lotto sportowego „6” z „49”?
Rozwiązanie. Całkowita liczba elementarnych wyników doświadczenia jest równa liczbie sposobów, na jakie można skreślić 6 liczb z 49, czyli N = C. Znajdźmy liczbę wyników korzystnych dla interesującego nas zdarzenia
A= (odgadnięte 4 liczby), można przekreślić 4 liczby z 6 zwycięskich C sposobów, podczas gdy pozostałe dwie liczby nie mogą wygrywać. Możesz skreślić 2 błędne liczby z 43 nie wygrywających C sposoby. Dlatego liczba korzystnych wyników M = C× C. Biorąc pod uwagę, że wszystkie wyniki eksperymentu są niespójne i jednakowo możliwe, pożądane prawdopodobieństwo znajdujemy za pomocą klasycznego wzoru na prawdopodobieństwo:
P(A) = 
PRZYKŁAD 4. Losowo wybrany numer telefonu składa się z 5 cyfr. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zawiera: 1) wszystkie liczby są różne; 2) czy wszystkie liczby są nieparzyste?
Rozwiązanie. 1. Ponieważ każde z pięciu miejsc w liczbie pięciocyfrowej może zawierać dowolną z cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, wówczas wszystkie różne liczby pięciocyfrowe będą 10 5 (00000 - 1 -ta, 00001 - 2., 00002 -3., ..., 99998 - 99999. i na koniec 99999 - 100 000). Liczby, w których wszystkie liczby są różne, to układy 10 elementów po 5.
Formuła dla numeru miejsca docelowe z N elementy wg k:
K! = = n (n - 1) ... (n - k + 1).
Dlatego liczba korzystnych przypadków M= = 10× 9× 8× 7× 6 i pożądane prawdopodobieństwo
P(A) = 
= 0,3024.
2. Z 5 cyfr nieparzystych (1, 3, 5, 7, 9) możesz utworzyć 5 5 różnych liczb pięciocyfrowych. 5 5 to liczba korzystnych wyników M . Ponieważ wszystkie równie możliwe przypadki n= 10 5 , następnie wymagane prawdopodobieństwo
P (A) = = = = 0,03125.
PRZYKŁAD 5. Pełna talia kart (52 arkusze) jest losowo podzielona na dwie równe talie po 26 arkuszy. Znajdź prawdopodobieństwa następujących zdarzeń:
A- w każdym zestawie będą dwa asy;
W- jedna z paczek nie będzie zawierała ani jednego asa, a druga nie będzie miała wszystkich czterech;
Z- jedna z paczek będzie miała jednego asa, a druga trzy.
Rozwiązanie. Całkowita liczba możliwych elementarnych wyników testu jest równa liczbie sposobów, na jakie można wydobyć 26 kart z 52, czyli liczbie kombinacji od 52 do 26, N= . Liczba sprzyjających wydarzeń A sprawy
M= (zgodnie z podstawową zasadą kombinatoryki), gdzie pierwszy czynnik pokazuje, że dwa asy z czterech można dobrać na różne sposoby, drugi czynnik pokazuje, że pozostałe 24 karty są dobierane z 48 kart, które nie zawierają asów na różne sposoby. Wymagane prawdopodobieństwo jest równe stosunkowi liczby wyników sprzyjających zdarzeniu A, do całkowitej liczby wszystkich wyników:
Wydarzenie W można tego dokonać na dwa równie możliwe sposoby: albo pierwszy pakiet będzie miał wszystkie cztery asy, a drugi żadnego, lub odwrotnie:
Podobnie:
Należy zauważyć, że klasyczną definicję prawdopodobieństwa wprowadzono dla przypadku, gdy przestrzeń zdarzeń elementarnych jest skończona, a wszystkie wyniki i próby są jednakowo możliwe i niespójne.
Zadanie nr 1
Losowe zdarzenia
Opcja 6.
Zadanie 1.1. Wrzucono trzy monety. Znajdź prawdopodobieństwo, że tylko dwie monety będą miały „herb”.
Zdarzenie A w badaniu – tylko dwie z trzech monet będą miały herb. Moneta ma dwie strony, co oznacza, że łączna liczba zdarzeń przy rzucie trzema monetami wyniesie 8. W trzech przypadkach tylko dwie monety będą miały herb. Prawdopodobieństwo zdarzenia A obliczamy ze wzoru:
P(A) = m/n = 3/8.
Odpowiedź: prawdopodobieństwo 3/8.
Problem 1.2. Słowo WYDARZENIE składa się z kart, z których każda ma napisaną jedną literę. Następnie karty są mieszane i wyjmowane pojedynczo, bez zwracania. Znajdź prawdopodobieństwo, że litery zostaną wyjęte w kolejności podanego słowa.
Test polega na wyjęciu kart z literami w losowej kolejności bez zwracania. Zdarzeniem elementarnym jest wynikowy ciąg liter. Zdarzenie A polega na otrzymaniu żądanego słowa EVENT . Zdarzenia elementarne to permutacje 7 liter, co oznacza, że zgodnie ze wzorem mamy n= 7!
Litery w słowie EVENT nie są powtarzane, więc nie są możliwe permutacje, w których słowo się nie zmienia. Ich liczba to 1.
Zatem,
P(A) = 1/7! = 1/5040.
Odpowiedź: P(A) = 1/5040.
Problem 1.3. Podobnie jak w poprzednim zadaniu, znajdź odpowiednie prawdopodobieństwo przypadku, gdy podanym słowem jest słowo ANTONOV ILYA.
Problem ten rozwiązuje się analogicznie do poprzedniego.
n= 11!; M = 2!*2! = 4.
P(A) = 4/11 = 4/39916800 = 1/9979200
Odpowiedź: P(A) =1/9979200.
Zadanie 1.4. W urnie znajduje się 8 kul czarnych i 6 białych. Losujemy 5 kul. Znajdź prawdopodobieństwo, że wśród nich jest:
a) 3 kule białe;
b) mniej niż 3 kule białe;
c) co najmniej jedną bilę białą.
8 godzin Test polega na losowaniu 5 kul. Podstawowy
Wszystkie zdarzenia 6 b to możliwe kombinacje 5 z 14 piłek. Ich liczba jest równa
a) A 1 - wśród wylosowanych kul znajdują się 3 białe. Oznacza to, że wśród wylosowanych kul znajdują się 3 białe i 2 czarne. Korzystając z reguły mnożenia, otrzymujemy
P(A 1) = 560/2002 = 280/1001.b) A 2 - wśród wylosowanych kul są mniej niż 3 białe. To wydarzenie składa się z trzech niezgodnych ze sobą wydarzeń:
W 1 - wśród wylosowanych kul są tylko 2 kule białe i 3 czarne,
W 2 - wśród wylosowanych kul jest tylko jedna biała i 4 czarne kule
W 3 - wśród wylosowanych kul nie ma ani jednej białej kuli, wszystkie 5 kul jest czarnych:
B 2 B 3.Ponieważ zdarzenia B 1, B 2 i B 3 są niezgodne, możesz skorzystać ze wzoru:
P(A 2) = P(B 1) + P(B 2) + P(B 3);
P(A2) = 840/2002 + 70/2002 + 56/2002 = 483/1001.
- wśród wylosowanych kulek nie ma ani jednej białej. W tym przypadku:P(A3) = 1 - P(
) = 1 - 28/1001 = 973/1001.Odpowiedź: P(A 1) = 280/1001, P(A 2) = 483/1001, P(A 3) = 973/1001.
Zadanie 1.6. W pierwszej urnie znajduje się 5 kul białych i 7 czarnych, natomiast w drugiej urnie znajduje się 6 kul białych i 4 czarne. Z pierwszej urny losujemy 2 kule, a z drugiej 2 kule. Znajdź prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych kul:
a) wszystkie kule są tego samego koloru;
b) tylko trzy kule białe;
c) co najmniej jedną bilę białą.
1 urna 2 urny Z obu urn losowano niezależnie kule. Testy
Zadaniem 5 b 6 b losujemy dwie kule z pierwszej urny oraz dwie kule
7h 4h od drugiej urny. Zdarzenia elementarne będą kombinacjami
Odpowiednio 2 lub 2 z 12 lub 10 piłek.
2 2 a) A 1 - wszystkie wylosowane kule są tego samego koloru, tj. czy oni wszyscy są biali?
lub cały czarny.
Zdefiniujmy wszystkie możliwe zdarzenia dla każdej urny:
W 1 - 2 z pierwszej urny losujemy kule białe;
W przypadku 2 - z pierwszej urny losujemy 1 kulę białą i 1 czarną;
W 3 - 2 z pierwszej urny losujemy 2 czarne kule;
C 1 - z drugiej urny losujemy 2 kule białe;
C 2 - z drugiej urny losujemy 1 kulę białą i 1 czarną;
Z drugiej urny losujemy 3 - 2 kule czarne.
Oznacza to, że A 1 =
, skąd, biorąc pod uwagę niezależność i niezgodność zdarzeń, otrzymujemy P(A 1) = P(B 1) * P(C 1) + P(B 3) * P(C 3).
Znajdźmy liczbę zdarzeń elementarnych n 1 i n 2 odpowiednio dla pierwszej i drugiej urny. Mamy:
Znajdźmy liczbę każdego elementu zdarzeń, które determinują następujące zdarzenia:
do 1: m 21 = do 2: m 22 = do 3: m 23 =Stąd,
P(A 1) = 10/66 * 15/45 + 21 * 6/45 = 5/99 + 7/165 = 46/495.
b) A 2 - wśród wylosowanych kul są tylko 3 białe. W tym przypadku
C2 (B2C1);P(A 2) = P(B 1) * P(C 1) + P(B 2) * P(C 2)
P(A2) = 10/66 * 6/45 + 35/66 * 24/45 = 33/99 = 1/3.
c) A 3 – wśród wylosowanych kul jest co najmniej jedna biała.
- wśród wydobytych kulek nie ma ani jednej białej kuli. Wtedy ) = P(B 3) * P(C 3) = 21/66 * 6/45 = 7/165;P(A3) = 1 - P(
) = 1 - 7/165 = 158/165.Odpowiedź: P(A 1) = 46/495, P(A 2) = 1/3, P(A 3) = 158/165.
Zadanie 1.7. W urnie znajduje się 5 kul czarnych i białych, dodano do nich 4 kule białe. Następnie z urny losujemy 3 kule. Znajdź prawdopodobieństwo, że wszystkie wylosowane kule będą białe, zakładając, że wszystkie możliwe propozycje dotyczące pierwotnej zawartości urny są jednakowo możliwe.
Mamy tu do czynienia z dwoma rodzajami testów: najpierw ustalana jest początkowa zawartość urny, a następnie losowana jest trzecia kula, przy czym wynik drugiego testu zależy od wyniku pierwszego. Dlatego stosuje się wzór na prawdopodobieństwo całkowite.
zdarzenie A – losowane są 3 białe kule. Prawdopodobieństwo tego zdarzenia zależy od początkowego składu kul w urnie.
Rozważmy wydarzenia:
W 1 - w urnie było 5 kul białych;
W 2 - w urnie znajdowały się 4 kule białe i 1 czarna;
W 3 - w urnie znajdowały się 3 kule białe i 2 czarne;
W 4 - w urnie znajdowały się 2 kule białe i 3 czarne;
O godzinie 5 w urnie znajdowała się 1 kula biała i 4 czarne.
O godzinie 6 - w urnie było 5 czarnych kul;
Całkowita liczba wyników elementarnych
Znajdźmy prawdopodobieństwa warunkowe zdarzenia A w różnych warunkach.
P(A/B 1) = 1. P(A/B 2) = 56/84 = 2/3. P(A/B 3) = 35/84 = 5/12. P(A/B 4) = 5/21. P(A/B5) = 5/42. P(A/B 6) = 1/21.P(A) = 1 * 1/6 + 2/3 * 1/6 + 5/12 * 1/6 + 5/21 * 1/6 + 5/42 * 1/6 + 1/21 * 1/6 = 209/504.
Zadanie 1.10. W warsztacie instalacyjnym do urządzenia podłączany jest silnik elektryczny. Silniki elektryczne dostarczane są przez trzech producentów. Na stanie magazynowym znajdują się silniki elektryczne tych fabryk odpowiednio w ilościach M 1 = 13, M 2 = 12 i M 3 = 17 sztuk, które mogą pracować bezawaryjnie do końca okresu gwarancyjnego z prawdopodobieństwem 0,91, 0,82, i 0,77, odpowiednio. Pracownik losowo wybiera jeden silnik elektryczny i montuje go do urządzenia. Znajdź prawdopodobieństwo, że silnik elektryczny zainstalowany i działający bezawaryjnie do końca okresu gwarancyjnego został dostarczony odpowiednio przez pierwszego, drugiego lub trzeciego producenta.