1. Właściwość dzielenia dwóch równych liczb naturalnych:
Jeśli liczba naturalna zostanie podzielona przez jej równą liczbę, wynikiem będzie jeden.
Pozostaje podać kilka przykładów. Iloraz liczby naturalnej 405 podzielonej przez jej równą liczbę 405 wynosi 1; Wynik podzielenia 73 przez 73 również wynosi 1.
2. Właściwość dzielenia liczby naturalnej przez jeden:
Wynikiem podzielenia danej liczby naturalnej przez jeden jest ta liczba naturalna.
Zapiszmy sformułowaną właściwość podziału w formie dosłownej: a: 1 = a.
Podajmy przykłady. Iloraz liczby naturalnej 23 podzielonej przez 1 daje liczbę 23, a wynikiem podzielenia liczby naturalnej 10 388 przez jeden jest liczba 10 388.
3. Dzielenie liczb naturalnych nie ma własności przemienności.
Jeżeli dzielna i dzielnik są równymi liczbami naturalnymi, to ze względu na właściwość dzielenia równych liczb naturalnych, opisaną w pierwszym akapicie tego artykułu, możemy je zamienić. W tym przypadku wynikiem dzielenia będzie ta sama liczba naturalna 1.
Innymi słowy, jeśli dywidenda i dzielnik są równymi liczbami naturalnymi, to w tym przypadku dzielenie ma właściwość przemienności. 5: 5 = 1 i 5: 5 = 1
W innych przypadkach, gdy dzielna i dzielnik nie są równymi liczbami naturalnymi, przemienność dzielenia nie ma zastosowania.
Więc, ogólnie rzecz biorąc, dzielenie liczb naturalnych NIE ma własności przemienności.
Używając liter, ostatnie stwierdzenie zapisuje się jako a: b ≠ b: a, gdzie a i b są liczbami naturalnymi, oraz a ≠ b.
4. Właściwość dzielenia sumy dwóch liczb naturalnych przez liczbę naturalną:
podzielenie sumy dwóch liczb naturalnych przez daną liczbę naturalną jest równoznaczne z dodaniem ilorazów dzielenia każdego wyrazu przez daną liczbę naturalną.
Zapiszmy tę właściwość dzielenia za pomocą liter. Niech a, b i c będą liczbami naturalnymi takimi, że a można podzielić przez c, a b można podzielić przez c (a + b): do = a: do + b: do. Po prawej stronie zapisanej równości najpierw wykonuje się dzielenie, a następnie dodawanie.
Podajmy przykład potwierdzający słuszność własności dzielenia sumy dwóch liczb naturalnych przez daną liczbę naturalną. Pokażmy, że równość (18 + 36): 6 = 18:6 + 36:6 jest poprawna. Najpierw obliczmy wartość wyrażenia z lewej strony równości. Ponieważ 18 + 36 = 54, to (18 + 36): 6 = 54: 6. Z tabliczki mnożenia liczb naturalnych znajdujemy 54: 6 = 9. Przystępujemy do obliczenia wartości wyrażenia 18:6+36: 6. Z tabliczki mnożenia mamy 18:6 = 3 i 36:6 = 6, zatem 18:6 + 36:6 = 3 + 6 = 9. Zatem równość (18 + 36): 6 = 18:6 + 36 : 6 jest poprawne .
5. Właściwość dzielenia różnicy dwóch liczb naturalnych przez liczbę naturalną:
podzielenie różnicy dwóch liczb przez daną liczbę jest równoznaczne z odjęciem od ilorazu odjemnej i podanej liczby ilorazu odejmowania i podanej liczby.
Używając liter, tę właściwość dzielenia można zapisać w następujący sposób: (a - b): do = a: do - b: do, gdzie a, b i c są liczbami naturalnymi takimi, że a jest większe lub równe b, a także oba a i b można podzielić przez c.
Jako przykład potwierdzający rozważaną właściwość dzielenia pokażemy zasadność równości (45 - 25): 5 = 45: 5 - 25: 5. Ponieważ 45 - 25 = 20 (w razie potrzeby przestudiuj materiał w artykuł odejmując liczby naturalne), wówczas (45 - 25): 5 = 20: 5. Korzystając z tabliczki mnożenia, stwierdzamy, że wynikowy iloraz jest równy 4. Teraz obliczmy wartość wyrażenia 45: 5 - 25: 5 , co znajduje się po prawej stronie równości. Z tabliczki mnożenia mamy 45:5 = 9 i 25:5 = 5, następnie 45:5 - 25:5 = 9 - 5 = 4. Zatem równość (45 - 25): 5 = 45:5 - 25 : 5 jest prawdą.
6. Właściwość dzielenia iloczynu dwóch liczb naturalnych przez liczbę naturalną:
wynik podzielenia iloczynu dwóch liczb naturalnych przez daną liczbę naturalną równą jednemu z czynników jest równy drugiemu czynnikowi.
Oto dosłowna forma tej właściwości podziału: (a · b): a = b lub (a · b): b = a, gdzie aib są liczbami naturalnymi.
Chociaż matematyka wydaje się większości ludzi trudna, jest to dalekie od prawdy. Wiele operacji matematycznych jest dość łatwych do zrozumienia, zwłaszcza jeśli znasz zasady i wzory. Znając tabliczkę mnożenia, możesz szybko mnożyć w głowie. Najważniejsze jest, aby stale ćwiczyć i nie zapominać o zasadach mnożenia. To samo można powiedzieć o podziale.
Przyjrzyjmy się dzieleniu liczb całkowitych, ułamków zwykłych i liczb ujemnych. Pamiętajmy o podstawowych zasadach, technikach i metodach.
Działanie dywizji
Zacznijmy może od samej definicji i nazwy liczb biorących udział w tej operacji. To znacznie ułatwi dalszą prezentację i odbiór informacji.
Dzielenie jest jedną z czterech podstawowych operacji matematycznych. Jego naukę rozpoczyna się już w szkole podstawowej. Wtedy dzieciom pokazano pierwszy przykład dzielenia liczby przez liczbę i wyjaśniono zasady.
Operacja obejmuje dwie liczby: dzielną i dzielnik. Pierwsza to liczba, która jest dzielona, druga to liczba, która jest dzielona przez. Wynikiem dzielenia jest iloraz.
Istnieje kilka oznaczeń zapisu tej operacji: „:”, „/” i pozioma kreska - pisanie w postaci ułamka, gdy dywidenda znajduje się na górze, a dzielnik poniżej, poniżej linii.
Zasady
Ucząc się określonej operacji matematycznej, nauczyciel ma obowiązek zapoznać uczniów z podstawowymi regułami, które powinni znać. To prawda, że nie zawsze są pamiętani tak dobrze, jak byśmy tego chcieli. Dlatego postanowiliśmy odświeżyć Wam trochę pamięć o czterech podstawowych zasadach.
Podstawowe zasady dzielenia liczb, o których zawsze warto pamiętać:
1. Nie można dzielić przez zero. O tej zasadzie należy pamiętać w pierwszej kolejności.
2. Możesz podzielić zero przez dowolną liczbę, ale wynik zawsze będzie wynosić zero.
3. Jeśli liczbę podzielimy przez jeden, otrzymamy tę samą liczbę.
4. Jeśli liczba jest dzielona przez samą siebie, otrzymujemy jedną.
Jak widać zasady są dość proste i łatwe do zapamiętania. Chociaż niektórzy mogą zapomnieć o tak prostej zasadzie, jak niemożność, lub pomylić z nią dzielenie zera przez liczbę.
na numer
Jedną z najbardziej przydatnych reguł jest znak określający możliwość dzielenia liczby naturalnej przez inną bez reszty. W ten sposób rozróżnia się znaki podzielności przez 2, 3, 5, 6, 9, 10. Rozważmy je bardziej szczegółowo. Dzięki nim znacznie łatwiej jest wykonywać operacje na liczbach. Podajemy również przykład każdej zasady dzielenia liczby przez liczbę.
Te znaki-reguły są dość powszechnie stosowane przez matematyków.
Test na podzielność przez 2
Najprostszy znak do zapamiętania. Liczba kończąca się cyfrą parzystą (2, 4, 6, 8) lub 0 jest zawsze podzielna przez dwa. Całkiem łatwy do zapamiętania i użycia. Zatem liczba 236 kończy się cyfrą parzystą, co oznacza, że jest podzielna przez dwa.
Sprawdźmy: 236:2 = 118. Rzeczywiście, 236 dzieli się przez 2 bez reszty.
Zasada ta jest najlepiej znana nie tylko dorosłym, ale także dzieciom.
Test na podzielność przez 3
Jak poprawnie podzielić liczby przez 3? Zapamiętaj następującą zasadę.
Liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma jej cyfr jest wielokrotnością trzech. Weźmy na przykład liczbę 381. Suma wszystkich cyfr wyniesie 12. To jest trzy, co oznacza, że jest podzielna przez 3 bez reszty.
Sprawdźmy także ten przykład. 381: 3 = 127, wtedy wszystko się zgadza.
Test podzielności liczb przez 5
Tutaj też wszystko jest proste. Można dzielić przez 5 bez reszty tylko te liczby, które kończą się na 5 lub 0. Weźmy na przykład liczby takie jak 705 lub 800. Pierwsza kończy się na 5, druga na zero, zatem obie są podzielne przez 5. To to jedna z najprostszych reguł, która pozwala szybko dzielić przez jednocyfrową liczbę 5.
Sprawdźmy ten znak na następujących przykładach: 405:5 = 81; 600:5 = 120. Jak widać znak działa.
Podzielność przez 6
Jeśli chcesz dowiedzieć się, czy liczba jest podzielna przez 6, musisz najpierw dowiedzieć się, czy jest ona podzielna przez 2, a następnie przez 3. Jeśli tak, to liczbę można podzielić przez 6 bez reszty.Na przykład , liczba 216 jest podzielna przez 2, ponieważ kończy się cyfrą parzystą, oraz przez 3, ponieważ suma cyfr wynosi 9.
Sprawdźmy: 216:6 = 36. Przykład pokazuje, że ten znak jest ważny.
Podzielność przez 9
Porozmawiajmy też o tym, jak podzielić liczby przez 9. Suma cyfr, których podzielność przez 9 jest podzielona przez tę liczbę.Podobnie jak zasada dzielenia przez 3. Na przykład liczba 918. Dodajmy wszystkie cyfry i otrzymamy 18 - liczba będąca wielokrotnością 9. Zatem dzieli się przez 9 bez reszty.
Rozwiążmy ten przykład, aby sprawdzić: 918:9 = 102.
Podzielność przez 10
Ostatni znak, o którym warto wiedzieć. Tylko te liczby, które kończą się na 0, są podzielne przez 10. Ten wzór jest dość prosty i łatwy do zapamiętania. Zatem 500:10 = 50.
To wszystkie główne znaki. Zapamiętując je, możesz ułatwić sobie życie. Oczywiście istnieją inne liczby, dla których istnieją oznaki podzielności, ale podkreśliliśmy tylko te główne.
Tabela podziału
W matematyce istnieje nie tylko tabliczka mnożenia, ale także tabliczka dzielenia. Gdy się tego nauczysz, będziesz mógł z łatwością wykonywać operacje. Zasadniczo tablica dzielenia jest odwrotną tabliczką mnożenia. Samodzielne skompilowanie nie jest trudne. W tym celu należy przepisać każdą linię tabliczki mnożenia w następujący sposób:
1. Umieść iloczyn liczby na pierwszym miejscu.
2. Postaw znak dzielenia i zapisz drugi dzielnik z tabeli.
3. Po znaku równości zapisz pierwszy czynnik.
Przykładowo, weźmy z tabliczki mnożenia następujący wiersz: 2*3= 6. Teraz przepisujemy go zgodnie z algorytmem i otrzymujemy: 6 ÷ 3 = 2.
Dość często dzieci proszone są o samodzielne stworzenie stołu, rozwijając w ten sposób swoją pamięć i uwagę.
Jeśli nie masz czasu na jego napisanie, możesz skorzystać z tego przedstawionego w artykule.
Rodzaje podziału
Porozmawiajmy trochę o rodzajach podziału.
Zacznijmy od tego, że potrafimy rozróżnić dzielenie liczb całkowitych i ułamków zwykłych. Co więcej, w pierwszym przypadku możemy mówić o operacjach na liczbach całkowitych i ułamkach dziesiętnych, a w drugim - tylko na liczbach ułamkowych. W tym przypadku ułamek może być albo dywidendą, albo dzielnikiem, albo obydwoma jednocześnie. Wynika to z faktu, że operacje na ułamkach różnią się od operacji na liczbach całkowitych.
Na podstawie liczb biorących udział w operacji można wyróżnić dwa rodzaje podziału: na liczby jednocyfrowe i na liczby wielocyfrowe. Najprostszy jest dzielenie przez liczbę jednocyfrową. Tutaj nie będziesz musiał przeprowadzać uciążliwych obliczeń. Ponadto tabela podziału może być dobrą pomocą. Dzielenie przez inne liczby - dwu-, trzycyfrowe - jest trudniejsze.
Spójrzmy na przykłady tego typu podziałów:
14:7 = 2 (dzielenie przez liczbę jednocyfrową).
240:12 = 20 (dzielenie przez liczbę dwucyfrową).
45387: 123 = 369 (dzielenie przez liczbę trzycyfrową).
Ten ostatni można rozróżnić poprzez dzielenie, które obejmuje liczby dodatnie i ujemne. Pracując z tym ostatnim, powinieneś znać zasady, według których wynikowi przypisuje się wartość dodatnią lub ujemną.
Dzieląc liczby o różnych znakach (dywidenda jest liczbą dodatnią, dzielnik jest liczbą ujemną i odwrotnie), otrzymujemy liczbę ujemną. Dzieląc liczby o tym samym znaku (zarówno dzielna, jak i dzielnik są dodatnie lub odwrotnie), otrzymujemy liczbę dodatnią.
Dla jasności rozważ następujące przykłady:
Podział ułamków
Przyjrzeliśmy się więc podstawowym zasadom, biorąc pod uwagę przykład dzielenia liczby przez liczbę, teraz porozmawiajmy o tym, jak poprawnie wykonać te same operacje na ułamkach.
Chociaż na początku dzielenie ułamków może wydawać się bardzo pracochłonne, w rzeczywistości praca z nimi nie jest taka trudna. Dzielenie ułamka zwykłego odbywa się w podobny sposób jak mnożenie, z jedną różnicą.
Aby podzielić ułamek, należy najpierw pomnożyć licznik dzielnej przez mianownik dzielnika i wynik zapisać jako licznik ilorazu. Następnie pomnóż mianownik dzielnej przez licznik dzielnika i wynik zapisz jako mianownik ilorazu.
Można to zrobić prościej. Przepisz ułamek dzielny, zamieniając licznik z mianownikiem, a następnie pomnóż otrzymane liczby.
Na przykład podzielmy dwa ułamki: 4/5:3/9. Najpierw odwróćmy dzielnik i otrzymajmy 9/3. Teraz pomnóżmy ułamki: 4/5 * 9/3 = 36/15.
Jak widać, wszystko jest dość proste i nie trudniejsze niż dzielenie przez liczbę jednocyfrową. Przykłady nie są łatwe do rozwiązania, jeśli nie zapomnisz tej zasady.
wnioski
Dzielenie to jedna z operacji matematycznych, której uczy się każde dziecko w szkole podstawowej. Są pewne zasady, które warto znać, techniki, które ułatwią tę operację. Dzielenie może odbywać się z resztą lub bez; można dzielić liczby ujemne i ułamkowe.
Łatwo jest zapamiętać cechy tej operacji matematycznej. Omówiliśmy najważniejsze punkty, przyjrzeliśmy się więcej niż jednemu przykładowi dzielenia liczby przez liczbę, a nawet rozmawialiśmy o tym, jak pracować z ułamkami zwykłymi.
Jeśli chcesz udoskonalić swoją wiedzę z matematyki, radzimy zapamiętać te proste zasady. Ponadto możemy doradzić Ci, abyś rozwijał pamięć i umiejętności arytmetyki mentalnej, wykonując dyktando matematyczne lub po prostu próbując werbalnie obliczyć iloraz dwóch liczb losowych. Uwierz mi, te umiejętności nigdy nie będą zbędne.
Rozważmy koncepcję podziału w zadaniu:
W koszyku było 12 jabłek. Sześcioro dzieci sortowało jabłka. Każde dziecko otrzymało taką samą liczbę jabłek. Ile jabłek ma każde dziecko?
Rozwiązanie:
Potrzebujemy 12 jabłek do podziału między sześcioro dzieci. Zapiszmy zadanie 12:6 matematycznie.
Albo możesz to powiedzieć inaczej. Przez jaką liczbę należy pomnożyć liczbę 6, aby otrzymać liczbę 12? Zapiszmy problem w formie równania. Nie znamy liczby jabłek, więc oznaczmy je jako zmienną x.
Aby znaleźć nieznane x, potrzebujemy 12:6=2
Odpowiedź: 2 jabłka dla każdego dziecka.
Przyjrzyjmy się bliżej przykładowi 12:6=2:
Numer 12 nazywa się podzielny. To jest liczba, która jest dzielona.
Nazywa się cyfrą 6 rozdzielacz. Jest to liczba, która jest dzielona przez.
Nazywa się wynik dzielenia liczby 2 prywatny. Iloraz pokazuje, ile razy dywidenda jest większa od dzielnika.
W formie dosłownej podział wygląda następująco:
a:b=c
A– podzielny,
B- rozdzielacz,
C– prywatny.
Czym więc jest podział?
Dział- jest to odwrotne działanie jednego czynnika, możemy znaleźć inny czynnik.
Dzielenie sprawdzamy przez mnożenie, czyli:
A:
B=
C, sprawdź za pomocą ⋅B=
A
18:9=2, sprawdź 2⋅9=18
Nieznany mnożnik.
Rozważmy problem:
W każdym opakowaniu znajdują się 3 sztuki bombek. Do udekorowania choinki potrzebujemy 30 kulek. Ile paczek bombek potrzebujemy?
Rozwiązanie:
x – nieznana liczba paczek kulek.
3 – sztuki w jednym opakowaniu balonów.
30 – łącznie kulek.
x⋅3=30 musimy wziąć 3 tyle razy, aby otrzymać w sumie 30. x jest nieznanym czynnikiem. To jest, Aby znaleźć niewiadomą, musisz podzielić iloczyn przez znany współczynnik.
x=30:3
x=10.
Odpowiedź: 10 paczek balonów.
Nieznana dywidenda.
Rozważmy problem:
W każdym opakowaniu znajduje się 6 kolorowych kredek. W sumie są 3 opakowania. Ile ołówków było w sumie przed zapakowaniem ich do paczek?
Rozwiązanie:
x – suma ołówków,
w każdym opakowaniu 6 ołówków,
3 – paczki ołówków.
Zapiszmy równanie problemu w formie dzielenia.
x:6=3
x to nieznana dywidenda. Aby znaleźć nieznaną dywidendę, należy pomnożyć iloraz przez dzielnik.
x=3⋅6
x=18
Odpowiedź: 18 ołówków.
Nieznany dzielnik.
Spójrzmy na problem:
W sklepie było 15 piłek. W ciągu dnia do sklepu przyszło 5 klientów. Kupujący kupili taką samą liczbę balonów. Ile balonów kupił każdy klient?
Rozwiązanie:
x – liczba piłek, które kupił jeden kupujący,
5 – liczba kupujących,
15 – liczba piłek.
Zapiszmy równanie problemu w formie dzielenia:
15:x=5
x – w tym równaniu jest nieznany dzielnik. Aby znaleźć nieznany dzielnik, dzielimy dywidendę przez iloraz.
x=15:5
x=3
Odpowiedź: 3 piłki dla każdego kupującego.
Własności dzielenia liczby naturalnej przez jeden.
Zasada podziału:
Każda liczba podzielona przez 1 daje tę samą liczbę.
7:1=7
A:1=
A
Własności dzielenia liczby naturalnej przez zero.
Spójrzmy na przykład: 6:2=3, możesz sprawdzić, czy poprawnie podzieliliśmy, mnożąc 2⋅3=6.
Jeśli będzie 3:0, to nie będziemy mogli sprawdzić, bo każda liczba pomnożona przez zero będzie wynosić zero. Dlatego nagrywanie 3:0 nie ma sensu.
Zasada podziału:
Nie można dzielić przez zero.
Własności dzielenia zera przez liczbę naturalną.
0:3=0 ten wpis ma sens. Jeśli podzielimy coś na trzy części, nic nie otrzymamy.
0:
A=0
Zasada podziału:
Dzieląc 0 przez dowolną liczbę naturalną różną od zera, wynikiem zawsze będzie 0.
Właściwość dzielenia identycznych liczb.
3:3=1
A:
A=1
Zasada podziału:
Dzieląc przez siebie dowolną liczbę, która nie jest równa zero, wynikiem będzie 1.
Pytania na temat „Podział”:
We wpisie a:b=c, jaki jest tutaj iloraz?
Odpowiedź: a:b i c.
Co jest prywatne?
Odpowiedź: iloraz pokazuje, ile razy dywidenda jest większa od dzielnika.
Przy jakiej wartości m znajduje się wpis 0⋅m=5?
Odpowiedź: pomnożona przez zero zawsze będzie wynosić 0. Wpis nie ma sensu.
Czy istnieje takie n takie, że 0⋅n=0?
Odpowiedź: Tak, wpis ma sens. Każda liczba pomnożona przez 0 daje 0, więc n jest dowolną liczbą.
Przykład 1:
Znajdź wartość wyrażenia: a) 0:41 b) 41:41 c) 41:1
Odpowiedź: a) 0:41=0 b) 41:41=1 c) 41:1=41
Przykład nr 2:
Dla jakich wartości zmiennych zachodzi równość: a) x:6=8 b) 54:x=9
a) x – w tym przykładzie jest podzielna. Aby znaleźć dywidendę, należy pomnożyć iloraz przez dzielnik.
x – nieznana dywidenda,
6 – dzielnik,
8 – iloraz.
x=8⋅6
x=48
b) 54 – dywidenda,
x jest dzielnikiem,
9 – iloraz.
Aby znaleźć nieznany dzielnik, musisz podzielić dywidendę przez iloraz.
x=54:9
x=6
Zadanie 1:
Sasza ma 15 punktów, a Misza 45 punktów. Ile razy więcej znaczków ma Misza niż Sasza?
Rozwiązanie:
Problem można rozwiązać na dwa sposoby. Pierwszy sposób:
15+15+15=45
Do uzyskania 45 potrzebne są 3 liczby 15, dlatego Misza ma 3 razy więcej punktów niż Sasza.
Drugi sposób:
45:15=3
Odpowiedź: Misza ma 3 razy więcej znaczków niż Sasza.
Dział jest operacją arytmetyczną odwrotną do mnożenia, dzięki której dowiadujemy się, ile razy jedna liczba jest zawarta w drugiej.
Liczba, która jest dzielona, nazywa się podzielny, nazywa się liczbę dzieloną przez rozdzielacz, nazywa się wynik dzielenia prywatny.
Tak jak mnożenie zastępuje wielokrotne dodawanie, tak dzielenie zastępuje wielokrotne odejmowanie. Na przykład dzielenie liczby 10 przez 2 oznacza sprawdzenie, ile razy liczba 2 jest zawarta w 10:
10 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 = 0
Powtarzając operację odejmowania 2 od 10, stwierdzamy, że 2 jest zawarte w 10 pięć razy. Można to łatwo sprawdzić, dodając 2 razy pięć lub mnożąc 2 przez 5:
10 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 2 5
Aby zapisać dzielenie, użyj znaku: (dwukropek), ÷ (obelus) lub / (ukośnik). Umieszczony jest pomiędzy dywidendą a dzielnikiem, z dywidendą zapisaną po lewej stronie znaku dzielenia, a dzielnikiem po prawej stronie. Na przykład wpisanie 10:5 oznacza, że liczba 10 jest podzielna przez liczbę 5. Po prawej stronie zapisu dzielenia postaw znak = (równa się), po czym wpisz wynik dzielenia. Zatem pełny zapis podziału wygląda następująco:
Ten wpis brzmi następująco: iloraz dziesięciu do pięciu równa się dwa lub dziesięć podzielone przez pięć równa się dwa.
Dzielenie można również uznać za działanie polegające na podzieleniu jednej liczby na tyle równych części, ile jednostek znajduje się w innej liczbie (przez co jest ona dzielona). Określa to, ile jednostek znajduje się w każdej pojedynczej części.
Przykładowo mamy 10 jabłek, dzieląc 10 przez 2 otrzymujemy dwie równe części, każda zawierająca 5 jabłek:
Sprawdzanie podziału
Aby sprawdzić dzielenie, możesz pomnożyć iloraz przez dzielnik (lub odwrotnie). Jeśli wynikiem mnożenia jest liczba równa dywidendzie, to dzielenie jest prawidłowe.
Rozważ wyrażenie:
gdzie 12 to dywidenda, 4 to dzielnik, a 3 to iloraz. Teraz sprawdźmy dzielenie, mnożąc iloraz przez dzielnik:
lub dzielnik przez iloraz:
Dzielenie można również sprawdzić poprzez dzielenie, w tym celu należy podzielić dywidendę przez iloraz. Jeśli wynikiem dzielenia jest liczba równa dzielnikowi, to dzielenie przeprowadza się poprawnie:
Główna własność prywatna
Iloraz ma jedną ważną właściwość:
Iloraz nie ulegnie zmianie, jeśli dzielna i dzielnik zostaną pomnożone lub podzielone przez tę samą liczbę naturalną.
Na przykład,
32: 4 = 8, (32 3): (4 3) = 96: 12 = 8 32: 4 = 8, (32: 2) : (4: 2) = 16: 2 = 8
Dzielenie liczby przez nią samą i jeden
Dla dowolnej liczby naturalnej A prawdziwe są następujące równości:
A : 1 = A
A : A = 1
Liczba 0 w podziale
Kiedy zero jest dzielone przez dowolną liczbę naturalną, wynikiem jest zero:
0: A = 0
Nie można dzielić przez zero.
Przyjrzyjmy się, dlaczego nie można dzielić przez zero. Jeżeli dzielna nie wynosi zero, ale jakakolwiek inna liczba, np. 4, to podzielenie jej przez zero oznaczałoby znalezienie takiej liczby, która pomnożona przez zero daje liczbę 4. Ale takiej liczby nie ma, bo jakakolwiek liczba, pomnożona przez zero daje ponownie zero.
Jeśli dzielna również jest równa zero, to dzielenie jest możliwe, ale za iloraz może służyć dowolna liczba, ponieważ w tym przypadku dowolna liczba po pomnożeniu przez dzielnik (0) daje nam dywidendę (czyli znowu 0). Zatem podział, choć możliwy, nie prowadzi do jednego określonego wyniku.
Podział liczb naturalnych
Lekcja zintegrowanego zastosowania wiedzy i metod działania
w oparciu o metodę nauczania system-aktywność
5 klasa
Pełne imię Żukowa Nadieżda Nikołajewna
Miejsce pracy : Szkoła średnia MAOU nr 6 Pestovo
Stanowisko : nauczyciel matematyki
Temat Podział liczb naturalnych
(szkolenie dotyczące zintegrowanego zastosowania wiedzy i metod działania)
Cel: tworzenie warunków do doskonalenia wiedzy i umiejętnościoraz umiejętności dzielenia liczb naturalnych i sposobów działania w warunkach zmodyfikowanychi niestandardowych sytuacjach
UDD:
Temat
Symulują sytuację, ilustrując operację arytmetyczną i postęp jej wykonania, wybierają algorytm rozwiązania niestandardowego problemu i rozwiązują równania na podstawie relacji między składnikami i wynikiem operacji arytmetycznej.
Metatemat
Regulacyjne : określić cel działalności edukacyjnej, wdrożyć środki do jego osiągnięcia.
Kognitywny : Przekazuj treść w formie skompresowanej lub rozszerzonej.
Komunikacja: umie wyrazić swój punkt widzenia, starając się go uzasadnić, podając argumenty.
Osobisty:
Wyjaśniają sobie swoje indywidualne, bezpośrednie cele samorozwoju, pozytywnie oceniają rezultaty działań edukacyjnych, rozumieją przyczyny powodzenia działań edukacyjnych i wykazują zainteresowanie poznawcze studiowaniem przedmiotu.
Podczas zajęć
1. Moment organizacyjny.
W pracy używamy dodawania,
Cześć i cześć dodatku!
Dodajmy cierpliwość do umiejętności,
A ilość przyniesie sukces.
Nie zapomnij o odejmowaniu.
Aby dzień nie był zmarnowany,
Z sumy wysiłków i wiedzy
Odejmiemy bezczynność i lenistwo!
Mnożenie pomoże w pracy,
Aby praca była pożyteczna,
Pomnóżmy ciężką pracę stokrotnie
Nasze czyny wzrosną.
Podział służy praktyce,
To zawsze nam pomoże.
Kto dzieli trudności po równo?
Podziel się sukcesami pracy!
Którekolwiek z poniższych rozwiązań pomoże:
Przynoszą nam szczęście.
I dlatego jesteśmy razem w życiu
Nauka i praca postępują naprzód.
II. Formułowanie tematu i celów lekcji
Czy podobał Ci się wiersz? Co w tym lubisz?
(odpowiedzi uczniów)
Powiedziałeś to bardzo dobrze. Wiersze, które przeczytaliśmy, bardzo dobrze pasują do naszej dzisiejszej lekcji. Przypomnij sobie wiersz, który usłyszałeś i spróbuj go określić temat lekcji.
(Podział liczb naturalnych) (slajd 1) . Zapisz w zeszycie datę i temat lekcji.
Dzisiaj jest pierwsza lekcja na temat „Dzielenie liczb”? W czym jeszcze nie jesteś dobry i czego chciałbyś się nauczyć? (odpowiedzi uczniów)
Zatem dzisiaj udoskonalimy umiejętność dzielenia się, nauczymy się uzasadniać nasze decyzje, znajdować błędy i poprawiać je, oceniać naszą pracę i pracę naszych kolegów z klasy.
III Przygotowanie do aktywnych zajęć edukacyjnych i poznawczych
- Motywacja do nauki dzieci w wieku szkolnym
Ludzkość najdłużej uczy się podziału. Do dziś we Włoszech zachowało się powiedzenie: „Podział jest rzeczą trudną”. Jest to trudne zarówno z punktu widzenia matematycznego, jak i technicznego i moralnego. Nie każda osoba ma zdolność dzielenia się i dzielenia.
W średniowieczu osoba, która opanowała podział, otrzymywała tytuł „doktora liczydła”
Liczydło to liczydło.
Początkowo nic nie wskazywało na akcję dywizji. Akcja ta została zapisana słowami.
A indyjscy matematycy zapisali dzielenie pierwszą literą nazwy akcji.
Znak dwukropka służący do dzielenia wszedł do użytku w 1684 roku dzięki niemieckiemu matematykowi Gottfriedowi Wilhelmowi Leibnizowi.
Podział jest również wskazywany przez ukośną lub poziomą linię. Znak ten został po raz pierwszy użyty przez włoskiego naukowca Fibonacciego.
- Jak dzielimy liczby wielocyfrowe? (Narożnik)
Czy pamiętasz, jak nazywają się komponenty po podzieleniu?(slajd 2)
- Czy wiesz, że składniki dzielenia: dywidenda, dzielnik, iloraz po raz pierwszy wprowadził w Rosji Magnitski.Kto to jest i jak naprawdę nazywał się ten naukowiec? Przygotuj odpowiedzi na te pytania na następną lekcję.
2) Aktualizacja podstawowej wiedzy uczniów
- Dyktando graficzne
1. Podział to czynność polegająca na znalezieniu innego czynnika z produktu i jednego z czynników.
2. Dzielenie ma właściwość przemienności.
3. Aby znaleźć dywidendę, należy pomnożyć iloraz przez dzielnik.
4. Możesz dzielić przez dowolną liczbę.
5. Aby znaleźć dzielnik, musisz podzielić dywidendę przez iloraz.
6. Równość z literą, której wartość należy znaleźć, nazywa się równaniem
(Oznaczenie: tak; - nie) (slajd 3)
KLUCZ: (slajd 4)
B) Praca indywidualna uczniów z wykorzystaniem kart.
(jednocześnie z dyktando)
- Udowodnij, że liczba 4 jest pierwiastkiem równania 44: x + 9 = 20.
- Rozwiązanie . Jeśli x=4 to 44:4+9=20
11+9=20
20=20, zgadza się.
2. Oblicz: a) 16224: 52 = (312) d) 13725: 45 = (305)
B) 4230:18 = (235) d) 54756: 39 = (1404)
c) 9800: 28= (350)
3. Rozwiąż równanie: 124: (y – 5) = 31
Odpowiedź: y=9
4. Dwóch uczniów pracuje z kartami: każdy rozwiązuje po 3 zadania i zadaje sobie nawzajem pytania teoretyczne
c) Zbiorowa weryfikacja pracy indywidualnej (slajd 5)
(Uczniowie zadają pytania dotyczące teorii)
- Zastosowanie wiedzy i metod działania
A) Niezależna praca z autotestem(Slajdy 6–7)
Wybierz i rozwiąż tylko te przykłady, w których iloraz ma trzy cyfry:
Opcja 1 Opcja 2
A)2888: 76 = (38) a)2491:93= (47)
B)6539:13 = (503) b)5698:14= (407)
B) 5712: 28 = (204) c) 9792: 32 = (306)
B) Minuta wychowania fizycznego.
Wstali razem i przeciągnęli się.
Ręce na pasku, odwrócony.
Prawo, lewo, raz, dwa,
Odwrócili głowy.
Stanęliśmy na palcach,
Z tyłu wiązany sznurkiem
A teraz usiądź spokojnie,
Nie zrobiliśmy jeszcze wszystkiego.
B) Praca w parach (slajd 8)
(podczas pracy w parach, w razie potrzeby nauczyciel udziela konsultacji)
nr 484 (podręcznik, s. 76)
X cm to długość jednego z boków ośmiokąta
4x+4 4 =24
4x+16=24
4x=24-16
4x=8
X=2
2 cm to długość jednego z boków ośmiokąta
Rozwiąż równania:
a) 96: x = 8 b) x: 60 = 14 c) 19 * x = 76
D) Praca w grupach
Zanim przystąpisz do wykonywania zadań, zapoznaj się z zasadami pracy w grupach
Grupa I (1. rząd)
Zasady pracy w grupach
Poprawiać błędy:
A)9100:10=91; a) 9100:10 = 910
B)5427: 27=21; b) 5427: 27 = 201
B)474747: 47=101; c) 474 747: 47 = 10101
D)42·11=442. d) 42 11 = 462
Grupa II (2. rząd)
Zasady pracy w grupach
- Aktywnie bierz udział we współpracy.
- Słuchaj uważnie swojego rozmówcy.
- Nie przerywaj przyjacielowi, dopóki nie zakończy swojej historii.
- Wyraź swój punkt widzenia na ten temat, zachowując przy tym grzeczność.
- Nie śmiej się z wad i błędów innych ludzi, ale taktownie je wytykaj.
Sprawdź, czy zadanie zostało wykonane poprawnie. Zaproponuj swoje rozwiązanie
Znajdź wartość wyrażenia x:19 +95 jeśli x =1995.
Rozwiązanie.
Jeśli x=1995, to x:19 +95 = 1995:19 +95=15+95=110
(1995: 19 + 95 = 200)
Grupa III (3. rząd)
Zasady pracy w grupach
- Aktywnie bierz udział we współpracy.
- Słuchaj uważnie swojego rozmówcy.
- Nie przerywaj przyjacielowi, dopóki nie zakończy swojej historii.
- Wyraź swój punkt widzenia na ten temat, zachowując przy tym grzeczność.
- Nie śmiej się z wad i błędów innych ludzi, ale taktownie je wytykaj.
Udowodnij, że przy rozwiązywaniu równania popełniono błąd.
Rozwiązać równanie.
124: (y-5) =31
U-5 = 124·31 y – 5 =124:31
U-5 = 3844 y – 5 = 4
Y = 3844+ 5 y = 4+ 5
Y = 3849 i = 9
Odpowiedź: 3849 Odpowiedź: 9
D) Wzajemne sprawdzenie pracy w parach
Uczniowie wymieniają się zeszytami i sprawdzają nawzajem swoje prace, zaznaczają błędy prostym ołówkiem i zaznaczają
E) Sprawozdanie grupowe z wykonanej pracy
(slajdy 5-7)
Slajd pokazuje zadanie dla każdej grupy. Lider grupy wyjaśnia popełniony błąd i zapisuje na tablicy rozwiązanie zaproponowane przez grupę.
V. Monitorowanie wiedzy uczniów
Indywidualne badanie „Moment Prawdy”
Test na temat „Podział”
opcja 1
1. Znajdź iloraz 2876 i 1.
a) 1; b) 2876; c) 2875; d) Twoja odpowiedź______________
2. Znajdź pierwiastek równania 96: x =8
a) 88; b) 12; c) 768; d) Twoja odpowiedź ________________
3 .Znajdź iloraz 3900 i 13.
a) 300; b) 3913; c) 30; d) Twoja odpowiedź______________
4 .W jednym pudełku znajduje się 48 ołówków, w drugim 4 razy mniej. Ile ołówków jest w dwóch pudełkach?
a) 192; b) 60; c) 240; d) Twoja odpowiedź________________
5. Znajdź dwie liczby, jeśli jedna z nich jest 3 razy większa od drugiej, i ich
Ich suma wynosi 32.
a) 20 i 12; b) 18 i 14; c) 26 i 6; d) Twoja odpowiedź_________
Test na temat „Podział”
Nazwisko Imię___________________________________________
Opcja 2
Podkreśl poprawną odpowiedź lub zapisz ją.
1 .Znajdź iloraz 2563 i 1.
a) 1; b) 2563; c) 2564; d) Twoja odpowiedź______________
2. Znajdź pierwiastek równania 105: x = 3
a) 104; b) 35; c) 315; d) Twoja odpowiedź ________________
3 .Znajdź iloraz 7800 i 13.
a) 600; b) 7813; c) 60; d) Twoja odpowiedź______________
4 . W jednej wannie pszczelarz miał 24 kg. miód, a w drugim 2 razy więcej. Ile kilogramów miodu miał pszczelarz w dwóch beczkach?
a) 12; b) 72; c) 48; d) Twoja odpowiedź______________
5. Znajdź dwie liczby, jeśli jedna z nich jest 4 razy mniejsza od drugiej, i
Ich różnica wynosi 27
A) 39 i 12; b) 32 i 8; c) 2 i 29; d) Twoja odpowiedź_____________
Testowy klucz weryfikacyjny
opcja 1
Numer pracy | |||||
9; 36 |
VI. Podsumowanie lekcji. Praca domowa.
Dom. Ćwiczenia. s. 12, nr 520 523 528 (esej).
Tak więc nasza lekcja dobiegła końca. Chciałbym przeprowadzić z Tobą wywiad na temat efektów Twojej pracy.
Kontynuuj zdania:
Jestem... zadowolony/niezadowolony ze swojej pracy na zajęciach
Dałem radę …
To było trudne...
Materiał lekcyjny był dla mnie... przydatny/bezużyteczny
Czego uczy matematyka?