Dziś, przyjaciele, nie będzie smarków i sentymentalizmu. Zamiast tego wyślę cię, bez żadnych pytań, do bitwy z jednym z najgroźniejszych przeciwników na kursie algebry dla klas 8-9.
Tak, wszystko zrozumiałeś poprawnie: mówimy o nierównościach z modułem. Przyjrzymy się czterem podstawowym technikom, dzięki którym nauczysz się rozwiązywać około 90% takich problemów. A co z pozostałymi 10%? Cóż, porozmawiamy o nich w osobnej lekcji :)
Zanim jednak przeanalizuję którąkolwiek z technik, chciałbym przypomnieć Ci o dwóch faktach, które już musisz znać. W przeciwnym razie ryzykujesz, że w ogóle nie zrozumiesz materiału dzisiejszej lekcji.
Co już musisz wiedzieć
Kapitan Oczywistość zdaje się sugerować, że aby rozwiązać nierówności za pomocą modułu, trzeba wiedzieć dwie rzeczy:
- Jak rozwiązuje się nierówności;
- Co to jest moduł?
Zacznijmy od punktu drugiego.
Definicja modułu
Tutaj wszystko jest proste. Istnieją dwie definicje: algebraiczna i graficzna. Na początek - algebraiczne:
Definicja. Moduł liczby $x$ jest albo samą liczbą, jeśli jest nieujemna, albo liczbą jej przeciwną, jeśli pierwotna wartość $x$ jest nadal ujemna.
Jest napisane tak:
\[\lewo| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]
W uproszczeniu moduł to „liczba bez minusa”. I właśnie w tej dualności (w niektórych miejscach nie trzeba nic robić z oryginalną liczbą, w innych trzeba usunąć jakiś minus) na tym polega cała trudność dla początkujących uczniów.
Istnieje również definicja geometryczna. Warto to wiedzieć, ale zajmiemy się tym tylko w skomplikowanych i szczególnych przypadkach, gdzie podejście geometryczne jest wygodniejsze niż algebraiczne (spoiler: nie dzisiaj).
Definicja. Niech na osi liczbowej zaznaczymy punkt $a$. Następnie moduł $\left| x-a \right|$ to odległość od punktu $x$ do punktu $a$ na tej prostej.
Jeśli narysujesz obraz, otrzymasz coś takiego:
Definicja modułu graficznego Tak czy inaczej, z definicji modułu wynika bezpośrednio jego kluczowa właściwość: moduł liczby jest zawsze wielkością nieujemną. Fakt ten będzie czerwoną nitką przewijającą się przez całą naszą dzisiejszą narrację.
Rozwiązywanie nierówności. Metoda interwałowa
Przyjrzyjmy się teraz nierównościom. Jest ich bardzo wiele, ale naszym zadaniem jest teraz rozwiązać przynajmniej najprostszy z nich. Te, które sprowadzają się do nierówności liniowych, a także do metody przedziałowej.
Mam dwie duże lekcje na ten temat (swoją drogą bardzo, BARDZO przydatne - polecam je przestudiować):
- Metoda interwałowa dla nierówności (szczególnie obejrzyj wideo);
- Ułamkowe nierówności racjonalne to bardzo obszerna lekcja, ale po niej nie będziesz mieć żadnych pytań.
Jeśli to wszystko wiesz, jeśli sformułowanie „przejdźmy od nierówności do równania” nie budzi w Tobie niejasnej chęci uderzenia się w ścianę, to jesteś gotowy: witaj w piekle w głównym temacie lekcji :)
1. Nierówności postaci „Moduł jest mniejszy od funkcji”
Jest to jeden z najczęstszych problemów z modułami. Należy rozwiązać nierówność postaci:
\[\lewo| f\racja| \ltg\]
Funkcje $f$ i $g$ mogą być dowolne, ale zazwyczaj są to wielomiany. Przykłady takich nierówności:
\[\begin(align) & \left| 2x+3 \prawo| \ltx+7; \\ & \w lewo| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \w lewo| ((x)^(2))-2\lewo| x \prawo|-3 \prawo| \lt 2. \\\end(align)\]
Wszystkie można rozwiązać dosłownie w jednym wierszu według następującego schematu:
\[\lewo| f\racja| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \prawo.\prawo)\]
Łatwo zauważyć, że pozbywamy się modułu, ale w zamian otrzymujemy podwójną nierówność (lub, co na jedno wychodzi, układ dwóch nierówności). Ale to przejście uwzględnia absolutnie wszystkie możliwe problemy: jeśli liczba pod modułem jest dodatnia, metoda działa; jeśli jest negatywny, nadal działa; i nawet przy najbardziej nieodpowiedniej funkcji zamiast $f$ lub $g$, metoda nadal będzie działać.
Naturalnie pojawia się pytanie: czy nie można było prościej? Niestety, nie jest to możliwe. To jest cały sens modułu.
Dość jednak filozofowania. Rozwiążmy kilka problemów:
Zadanie. Rozwiąż nierówność:
\[\lewo| 2x+3 \prawo| \ltx+7\]
Rozwiązanie. Mamy więc przed sobą klasyczną nierówność postaci „moduł jest mniejszy” – nawet nie ma co przekształcać. Pracujemy według algorytmu:
\[\begin(align) & \left| f\racja| \lt g\Strzałka w prawo -g \lt f \lt g; \\ & \w lewo| 2x+3 \prawo| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]
Nie spiesz się, aby otworzyć nawiasy, które mają przed sobą „minus”: jest całkiem możliwe, że z powodu pośpiechu popełnisz obraźliwy błąd.
\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]
\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]
Problem został zredukowany do dwóch elementarnych nierówności. Zwróćmy uwagę na ich rozwiązania na równoległych osiach liczbowych:
Przecięcie wielu
Odpowiedzią będzie przecięcie tych zbiorów.
Odpowiedź: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$
Zadanie. Rozwiąż nierówność:
\[\lewo| ((x)^(2))+2x-3 \prawo|+3\lewo(x+1 \prawo) \lt 0\]
Rozwiązanie. To zadanie jest nieco trudniejsze. Najpierw wyizolujmy moduł, przesuwając drugi człon w prawo:
\[\lewo| ((x)^(2))+2x-3 \prawo| \lt -3\lewo(x+1 \prawo)\]
Oczywiście znów mamy nierówność postaci „moduł jest mniejszy”, więc pozbywamy się modułu korzystając ze znanego już algorytmu:
\[-\lewo(-3\lewo(x+1 \prawo) \prawo) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\lewo(x+1 \prawo)\]
A teraz uwaga: ktoś powie, że jestem jakiś zboczony z tymi wszystkimi nawiasami. Ale przypomnę jeszcze raz, że naszym kluczowym celem jest poprawnie rozwiąż nierówność i uzyskaj odpowiedź. Później, gdy doskonale opanujesz wszystko, co opisano w tej lekcji, możesz sam to wypaczyć według własnego uznania: otwierać nawiasy, dodawać minusy itp.
Na początek po prostu pozbędziemy się podwójnego minusa po lewej stronie:
\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\lewo(x+1\prawo)\]
Otwórzmy teraz wszystkie nawiasy w podwójnej nierówności:
Przejdźmy do podwójnej nierówności. Tym razem obliczenia będą poważniejsze:
\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( wyrównaj)\dobrze.\]
Obie nierówności są kwadratowe i można je rozwiązać metodą przedziałową (dlatego mówię: jeśli nie wiesz, co to jest, to lepiej nie zajmuj się jeszcze modułami). Przejdźmy do równania w pierwszej nierówności:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\lewo(x+5 \prawo)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(align)\]
Jak widać, wynikiem jest niepełne równanie kwadratowe, które można rozwiązać w sposób elementarny. Przyjrzyjmy się teraz drugiej nierówności układu. Tam będziesz musiał zastosować twierdzenie Viety:
\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(align)\]
Otrzymane liczby zaznaczamy na dwóch równoległych liniach (oddzielnych dla pierwszej nierówności i osobnych dla drugiej):
Ponownie, ponieważ rozwiązujemy układ nierówności, interesuje nas przecięcie zacieniowanych zbiorów: $x\in \left(-5;-2 \right)$. To jest odpowiedź.
Odpowiedź: $x\in \left(-5;-2 \right)$
Myślę, że po tych przykładach schemat rozwiązania jest niezwykle przejrzysty:
- Wyizoluj moduł, przenosząc wszystkie pozostałe wyrazy na przeciwną stronę nierówności. Otrzymujemy w ten sposób nierówność w postaci $\left| f\racja| \ltg$.
- Rozwiąż tę nierówność pozbywając się modułu zgodnie ze schematem opisanym powyżej. W pewnym momencie konieczne będzie przejście od podwójnej nierówności do układu dwóch niezależnych wyrażeń, z których każde można już rozwiązać osobno.
- Na koniec pozostaje tylko przeciąć rozwiązania tych dwóch niezależnych wyrażeń - i to wszystko, otrzymamy ostateczną odpowiedź.
Podobny algorytm istnieje dla nierówności następnego typu, gdy moduł jest większy od funkcji. Jest jednak kilka poważnych „ale”. Porozmawiamy teraz o tych „ale”.
2. Nierówności postaci „Moduł jest większy od funkcji”
Wyglądają tak:
\[\lewo| f\racja| \gtg\]
Podobny do poprzedniego? Wydaje się. A jednak takie problemy rozwiązuje się w zupełnie inny sposób. Formalnie schemat wygląda następująco:
\[\lewo| f\racja| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]
Innymi słowy, rozważymy dwa przypadki:
- Najpierw po prostu ignorujemy moduł i rozwiązujemy zwykłą nierówność;
- Następnie w zasadzie rozszerzamy moduł o znak minus, a następnie mnożymy obie strony nierówności przez -1, dopóki mam znak.
W tym przypadku opcje łączone są w nawiasie kwadratowym, tj. Mamy przed sobą kombinację dwóch wymagań.
Proszę jeszcze raz zwrócić uwagę: nie jest to system, ale całość w odpowiedzi zbiory są łączone, a nie przecinane. Jest to zasadnicza różnica w stosunku do poprzedniego punktu!
Ogólnie rzecz biorąc, wielu uczniów jest całkowicie zdezorientowanych związkami i skrzyżowaniami, więc rozwiążmy tę kwestię raz na zawsze:
- „∪” to znak unii. W rzeczywistości jest to stylizowana litera „U”, która przyszła do nas z języka angielskiego i jest skrótem od „Unia”, tj. "Wspomnienia".
- „∩” to znak skrzyżowania. To badziewie nie wzięło się skądkolwiek, a po prostu pojawiło się jako kontrapunkt do „∪”.
Aby było jeszcze łatwiej zapamiętać, po prostu przyciągnij nogi do tych znaków, aby zrobić okulary (tylko nie oskarżaj mnie teraz o promowanie narkomanii i alkoholizmu: jeśli poważnie studiujesz tę lekcję, to już jesteś narkomanem):
Różnica między przecięciem a sumą zbiorów W tłumaczeniu na język rosyjski oznacza to, co następuje: związek (całość) obejmuje elementy z obu zbiorów, zatem nie jest w żaden sposób mniejszy od każdego z nich; ale przecięcie (system) obejmuje tylko te elementy, które znajdują się jednocześnie w pierwszym i drugim zbiorze. Dlatego przecięcie zbiorów nigdy nie jest większe niż zbiory źródłowe.
Więc stało się jaśniejsze? To wspaniale. Przejdźmy do ćwiczeń.
Zadanie. Rozwiąż nierówność:
\[\lewo| 3x+1 \prawo| \gt 5-4x\]
Rozwiązanie. Postępujemy według schematu:
\[\lewo| 3x+1 \prawo| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ Prawidłowy.\]
Rozwiązujemy każdą nierówność w populacji:
\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]
\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]
\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]
Każdy wynikowy zbiór zaznaczamy na osi liczbowej, a następnie łączymy je:
Suma zbiorów
Jest całkiem oczywiste, że odpowiedzią będzie $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
Odpowiedź: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
Zadanie. Rozwiąż nierówność:
\[\lewo| ((x)^(2))+2x-3 \prawo| \gt x\]
Rozwiązanie. Dobrze? Nic – wszystko jest takie samo. Przechodzimy od nierówności z modułem do zbioru dwóch nierówności:
\[\lewo| ((x)^(2))+2x-3 \prawo| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \right.\]
Rozwiązujemy każdą nierówność. Niestety korzenie nie będą zbyt dobre:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(align)\]
Druga nierówność jest również nieco szalona:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(align)\]
Teraz musisz zaznaczyć te liczby na dwóch osiach - po jednej osi dla każdej nierówności. Należy jednak zaznaczyć punkty w odpowiedniej kolejności: im większa liczba, tym bardziej punkt przesunie się w prawo.
I tutaj czeka na nas konfiguracja. Jeśli wszystko jest jasne z liczbami $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (wyrazy w liczniku pierwszego ułamek jest mniejszy niż wyrazy w liczniku sekundy, więc suma jest również mniejsza), przy liczbach $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ również nie będzie trudności (liczba dodatnia oczywiście bardziej ujemna), wtedy z ostatnią parą wszystko nie jest już takie jasne. Co jest większe: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ czy $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Od odpowiedzi na to pytanie zależeć będzie rozmieszczenie punktów na osiach liczbowych i tak naprawdę odpowiedź.
Porównajmy więc:
\[\begin(macierz) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(macierz)\]
Wyodrębniliśmy pierwiastek, otrzymaliśmy liczby nieujemne po obu stronach nierówności, więc mamy prawo podnieść obie strony do kwadratu:
\[\begin(macierz) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(macierz)\]
Myślę, że to oczywiste, że $4\sqrt(13) \gt 3$, więc $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, końcowe punkty na osiach zostaną umieszczone w następujący sposób:
Sprawa brzydkich korzeni
Przypomnę, że rozwiązujemy kolekcję, więc odpowiedzią będzie suma, a nie przecięcie zacieniowanych zbiorów.
Odpowiedź: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$
Jak widać, nasz schemat sprawdza się świetnie zarówno w przypadku prostych, jak i bardzo trudnych problemów. Jedynym „słabym punktem” tego podejścia jest to, że musisz poprawnie porównać liczby niewymierne (i wierz mi: to nie tylko pierwiastki). Ale osobna (i bardzo poważna) lekcja zostanie poświęcona zagadnieniom porównawczym. I ruszamy dalej.
3. Nierówności z nieujemnymi „ogonami”
Teraz dochodzimy do najciekawszej części. Są to nierówności postaci:
\[\lewo| f\racja| \gt\lewo| g\prawo|\]
Ogólnie rzecz biorąc, algorytm, o którym teraz będziemy mówić, jest poprawny tylko dla modułu. Działa to we wszystkich nierównościach, w których po lewej i prawej stronie są gwarantowane wyrażenia nieujemne:
Co zrobić z tymi zadaniami? Tylko pamiętaj:
W nierównościach z nieujemnymi „ogonami” obie strony można podnieść do dowolnej potęgi naturalnej. Nie będzie żadnych dodatkowych ograniczeń.
Przede wszystkim będziemy zainteresowani kwadraturą - spala moduły i korzenie:
\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\lewo(\sqrt(f) \prawo))^(2))=f. \\\end(align)\]
Tylko nie myl tego z pierwiastkiem kwadratu:
\[\sqrt(((f)^(2)))=\lewo| f \right|\ne f\]
Gdy student zapomniał zainstalować moduł, popełniono niezliczoną ilość błędów! Ale to zupełnie inna historia (są to jakby irracjonalne równania), więc nie będziemy się teraz w to zagłębiać. Rozwiążmy lepiej kilka problemów:
Zadanie. Rozwiąż nierówność:
\[\lewo| x+2 \prawo|\ge \lewo| 1-2x \prawo|\]
Rozwiązanie. Zauważmy od razu dwie rzeczy:
- To nie jest ścisła nierówność. Punkty na osi liczbowej zostaną przebite.
- Obie strony nierówności są oczywiście nieujemne (jest to właściwość modułu: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).
Dlatego możemy podnieść obie strony nierówności, aby pozbyć się modułu i rozwiązać problem, stosując zwykłą metodę przedziałową:
\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\lewo(x+2 \prawo))^(2))\ge ((\lewo(2x-1 \prawo))^(2)). \\\end(align)\]
W ostatnim kroku trochę oszukałem: zmieniłem kolejność wyrazów, wykorzystując równość modułu (właściwie pomnożyłem wyrażenie $1-2x$ przez -1).
\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ prawo)\prawo)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]
Rozwiązujemy metodą przedziałową. Przejdźmy od nierówności do równania:
\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(align)\]
Zaznaczamy znalezione korzenie na osi liczbowej. Jeszcze raz: wszystkie punkty są zacienione, ponieważ pierwotna nierówność nie jest ścisła!
Pozbycie się znaku modułu
Szczególnie upartym przypomnę: bierzemy znaki z ostatniej nierówności, którą zapisano przed przejściem do równania. I zamalowujemy obszary wymagane w tej samej nierówności. W naszym przypadku jest to $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.
OK, wszystko już skończone. Problem jest rozwiązany.
Odpowiedź: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.
Zadanie. Rozwiąż nierówność:
\[\lewo| ((x)^(2))+x+1 \prawo|\le \lewo| ((x)^(2))+3x+4 \prawo|\]
Rozwiązanie. Robimy wszystko tak samo. Nie będę komentował - spójrzcie tylko na kolejność działań.
Kwadrat:
\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left |. ((x)^(2))+3x+4 \prawo| \prawo))^(2)); \\ & ((\lewy(((x)^(2))+x+1 \prawy))^(2))\le ((\lewy(((x)^(2))+3x+4 \prawo))^(2)); \\ & ((\lewy(((x)^(2))+x+1 \prawy))^(2))-((\lewy(((x)^(2))+3x+4 \ prawo))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]
Metoda interwałowa:
\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Strzałka w prawo x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Strzałka w prawo D=16-40 \lt 0\Strzałka w prawo \varnic . \\\end(align)\]
Na osi liczbowej jest tylko jeden pierwiastek:
Odpowiedź to cały przedział
Odpowiedź: $x\in \left[ -1,5;+\infty \right)$.
Mała uwaga odnośnie ostatniego zadania. Jak trafnie zauważył jeden z moich uczniów, oba wyrażenia submodularne w tej nierówności są oczywiście dodatnie, więc znak modułu można pominąć bez szkody dla zdrowia.
Ale to zupełnie inny poziom myślenia i inne podejście - warunkowo można to nazwać metodą konsekwencji. O tym - w osobnej lekcji. Przejdźmy teraz do ostatniej części dzisiejszej lekcji i przyjrzyjmy się uniwersalnemu algorytmowi, który zawsze działa. Nawet wtedy, gdy wszystkie dotychczasowe podejścia były bezsilne :)
4. Sposób wyliczania opcji
A co jeśli wszystkie te techniki nie pomogą? Jeśli nierówności nie można sprowadzić do nieujemnych ogonów, jeśli nie da się wyizolować modułu, jeśli w ogóle jest ból, smutek, melancholia?
Wtedy na scenę wkracza „ciężka artyleria” całej matematyki – metoda brutalnej siły. W odniesieniu do nierówności z modułem wygląda to następująco:
- Wypisz wszystkie wyrażenia submodularne i ustaw je na zero;
- Rozwiąż powstałe równania i zaznacz pierwiastki znalezione na jednej osi liczbowej;
- Linia prosta zostanie podzielona na kilka odcinków, w ramach których każdy moduł ma stały znak i dlatego jest jednoznacznie ujawniany;
- Rozwiąż nierówność na każdym takim odcinku (możesz osobno rozważyć pierwiastki-granice uzyskane w kroku 2 - dla niezawodności). Połącz wyniki - to będzie odpowiedź :)
Więc jak? Słaby? Łatwo! Tylko przez długi czas. Zobaczmy w praktyce:
Zadanie. Rozwiąż nierówność:
\[\lewo| x+2 \prawo| \lt \lewo| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]
Rozwiązanie. Te bzdury nie sprowadzają się do nierówności typu $\left| f\racja| \lt g$, $\lewo| f\racja| \gt g$ lub $\left| f\racja| \lt \lewo| g \right|$, więc działamy dalej.
Zapisujemy wyrażenia submodularne, przyrównujemy je do zera i znajdujemy pierwiastki:
\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Strzałka w prawo x=1. \\\end(align)\]
W sumie mamy dwa pierwiastki, które dzielą oś liczbową na trzy sekcje, w ramach których każdy moduł ujawnia się jednoznacznie:
Dzielenie osi liczbowej przez zera funkcji submodularnych
Przyjrzyjmy się każdej sekcji osobno.
1. Niech $x \lt -2$. Wtedy oba wyrażenia submodularne są ujemne, a pierwotna nierówność zostanie przepisana w następujący sposób:
\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align)\]
Mamy dość proste ograniczenie. Przetnijmy to z początkowym założeniem, że $x \lt -2$:
\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]
Oczywiście zmienna $x$ nie może być jednocześnie mniejsza niż -2 i większa niż 1,5. W tym obszarze nie ma rozwiązań.
1.1. Rozważmy osobno przypadek graniczny: $x=-2$. Podstawmy tę liczbę do pierwotnej nierówności i sprawdźmy: czy to prawda?
\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \lewo| -3\prawo|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnic . \\\end(align)\]
Jest oczywiste, że ciąg obliczeń doprowadził nas do błędnej nierówności. Dlatego pierwotna nierówność jest również fałszywa i odpowiedź nie uwzględnia $x=-2$.
2. Niech teraz $-2 \lt x \lt 1$. Lewy moduł otworzy się już z „plusem”, ale prawy nadal będzie się otwierał z „minusem”. Mamy:
\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(align)\]
Ponownie przecinamy się z pierwotnym wymaganiem:
\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]
I znowu zbiór rozwiązań jest pusty, ponieważ nie ma liczb mniejszych niż -2,5 i większych niż -2.
2.1. I znowu przypadek specjalny: $x=1$. Podstawiamy do pierwotnej nierówności:
\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \w lewo| 3\prawo| \lt \lewo| 0\prawo|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0.5\Strzałka w prawo \varnic . \\\end(align)\]
Podobnie jak w poprzednim „przypadku specjalnym”, liczba $x=1$ wyraźnie nie została uwzględniona w odpowiedzi.
3. Ostatni element linii: $x \gt 1$. Tutaj wszystkie moduły są otwierane ze znakiem plus:
\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]
I znowu przecinamy znaleziony zbiór z pierwotnym ograniczeniem:
\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]
Wreszcie! Znaleźliśmy przedział, który będzie odpowiedzią.
Odpowiedź: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$
Na koniec jedna uwaga, która może uchronić Cię przed głupimi błędami przy rozwiązywaniu realnych problemów:
Rozwiązania nierówności z modułami zwykle reprezentują zbiory ciągłe na osi liczbowej - przedziały i odcinki. Odizolowane punkty są znacznie mniej powszechne. Jeszcze rzadziej zdarza się, że granica rozwiązania (koniec odcinka) pokrywa się z granicą rozpatrywanego zakresu.
W konsekwencji, jeśli w odpowiedzi nie uwzględniono granic (tych samych „przypadków specjalnych”), wówczas obszary po lewej i prawej stronie tych granic prawie na pewno nie zostaną uwzględnione w odpowiedzi. I odwrotnie: granica weszła w odpowiedź, co oznacza, że niektóre obszary wokół niej również będą odpowiedziami.
Pamiętaj o tym, przeglądając swoje rozwiązania.
Cele Lekcji
Zapoznanie uczniów z taką matematyczną koncepcją, jak moduł liczby;
Nauczanie dzieci w wieku szkolnym umiejętności znajdowania modułów liczb;
Wzmocnij poznany materiał, wykonując różne zadania;
Zadania
Wzmocnij wiedzę dzieci na temat modułu liczb;
Rozwiązując zadania testowe, sprawdź, jak uczniowie opanowali badany materiał;
Kontynuuj wzbudzanie zainteresowania lekcjami matematyki;
Kultywowanie logicznego myślenia, ciekawości i wytrwałości u dzieci w wieku szkolnym.
Plan lekcji
1. Pojęcia ogólne i definicja modułu liczby.
2. Znaczenie geometryczne modułu.
3. Moduł liczby i jego własności.
4. Rozwiązywanie równań i nierówności zawierających moduł liczby.
5. Informacje historyczne o pojęciu „moduł liczby”.
6. Zadanie mające na celu utrwalenie wiedzy z poruszanego tematu.
7. Praca domowa.
Ogólne pojęcia dotyczące modułu liczby
Moduł liczby nazywa się zwykle samą liczbą, jeśli nie ma wartości ujemnej lub ta sama liczba jest ujemna, ale ma przeciwny znak.
Oznacza to, że moduł nieujemnej liczby rzeczywistej a jest samą liczbą:
A moduł ujemnej liczby rzeczywistej x jest liczbą przeciwną:
Na nagraniu będzie to wyglądało tak:
Aby uzyskać bardziej przystępne zrozumienie, podamy przykład. Na przykład moduł liczby 3 wynosi 3, a także moduł liczby -3 wynosi 3.
Wynika z tego, że moduł liczby oznacza wartość bezwzględną, to znaczy jej wartość bezwzględną, ale bez uwzględnienia jej znaku. Mówiąc jeszcze prościej, należy usunąć znak z numeru.
Moduł liczby można wyznaczyć i wyglądać następująco: |3|, |x|, |a| itp.
Na przykład moduł liczby 3 jest oznaczony jako |3|.
Należy także pamiętać, że moduł liczby nigdy nie jest ujemny: |a|≥ 0.
|5| = 5, |-6| = 6, |-12,45| = 12,45 itd.
Znaczenie geometryczne modułu
Moduł liczby to odległość mierzona w odcinkach jednostkowych od początku do punktu. Definicja ta ukazuje moduł z geometrycznego punktu widzenia.
Weźmy linię współrzędnych i wyznaczmy na niej dwa punkty. Niech te punkty odpowiadają liczbom, takim jak -4 i 2.
Teraz zwróćmy uwagę na tę liczbę. Widzimy, że punkt A, wskazany na osi współrzędnych, odpowiada liczbie -4, a jeśli przyjrzysz się uważnie, zobaczysz, że punkt ten znajduje się w odległości 4 segmentów jednostkowych od punktu odniesienia 0. Wynika z tego, że długość odcinka OA wynosi cztery jednostki. W tym przypadku długość odcinka OA, czyli liczba 4, będzie modułem liczby -4.
W tym przypadku moduł liczby oznacza się i zapisuje w następujący sposób: |−4| = 4.
Teraz weźmy i wyznaczmy punkt B na linii współrzędnych.
Ten punkt B będzie odpowiadał liczbie +2 i, jak widzimy, znajduje się w odległości dwóch segmentów jednostkowych od początku. Wynika z tego, że długość odcinka OB wynosi dwie jednostki. W tym przypadku liczba 2 będzie modułem liczby +2.
Na nagraniu będzie to wyglądać następująco: |+2| = 2 lub |2| = 2.
Podsumujmy teraz. Jeśli weźmiemy nieznaną liczbę a i oznaczymy ją na linii współrzędnych jako punkt A, to w tym przypadku odległość od punktu A do początku, czyli długość odcinka OA, jest dokładnie modułem liczby „a ”.
Na piśmie będzie to wyglądać następująco: |a| = OA.
Moduł liczby i jego własności
Spróbujmy teraz wyizolować właściwości modułu, rozważmy wszystkie możliwe przypadki i zapiszmy je za pomocą wyrażeń dosłownych:
Po pierwsze, moduł liczby jest liczbą nieujemną, co oznacza, że moduł liczby dodatniej jest równy samej liczbie: |a| = a, jeśli a > 0;
Po drugie, moduły składające się z przeciwnych liczb są równe: |a| = |–a|. Oznacza to, że ta właściwość mówi nam, że przeciwne liczby zawsze mają równe moduły, tak jak na linii współrzędnych, chociaż mają przeciwne liczby, to są w tej samej odległości od punktu odniesienia. Wynika z tego, że moduły tych przeciwnych liczb są równe.
Po trzecie, moduł zera jest równy zeru, jeśli ta liczba wynosi zero: |0| = 0, jeśli a = 0. Tutaj możemy z całą pewnością stwierdzić, że moduł zerowy z definicji wynosi zero, ponieważ odpowiada początkowi linii współrzędnych.
Czwarta właściwość modułu polega na tym, że moduł iloczynu dwóch liczb jest równy iloczynowi modułów tych liczb. Przyjrzyjmy się teraz bliżej, co to oznacza. Jeśli zastosujemy się do definicji, to ty i ja wiemy, że moduł iloczynu liczb a i b będzie równy a b, lub −(a b), jeśli a b ≥ 0, lub – (a b), jeśli a b jest większe niż 0. B nagranie będzie wyglądało tak: |a b| = |a| |b|.
Piąta właściwość polega na tym, że moduł ilorazu liczb jest równy stosunkowi modułów tych liczb: |a: b| = |a| : |b|.
Oraz następujące właściwości modułu liczbowego:
Rozwiązywanie równań i nierówności związanych z modułem liczby
Przystępując do rozwiązywania problemów mających moduł liczbowy należy pamiętać, że aby rozwiązać takie zadanie konieczne jest ujawnienie znaku modułu wykorzystując wiedzę o własnościach, którym to zadanie odpowiada.
Ćwiczenie 1
Jeśli więc przykładowo pod znakiem modułu znajduje się wyrażenie zależne od zmiennej, to moduł należy rozwinąć zgodnie z definicją:
Oczywiście przy rozwiązywaniu problemów zdarzają się przypadki, gdy moduł zostaje ujawniony w sposób unikalny. Jeśli weźmiemy np
, tutaj widzimy, że takie wyrażenie pod znakiem modułu jest nieujemne dla dowolnych wartości x i y.
Albo weźmy na przykład
, widzimy, że to wyrażenie modułu nie jest dodatnie dla żadnej wartości z.
Zadanie 2
Linia współrzędnych zostanie wyświetlona przed tobą. W tej linii należy zaznaczyć liczby, których moduł będzie równy 2.
Rozwiązanie
Przede wszystkim musimy narysować linię współrzędnych. Już wiesz, że aby to zrobić, najpierw na linii prostej musisz wybrać początek, kierunek i segment jednostkowy. Następnie musimy umieścić punkty początku układu współrzędnych równe odległości dwóch odcinków jednostkowych.
Jak widać, na linii współrzędnych znajdują się dwa takie punkty, z których jeden odpowiada liczbie -2, a drugi liczbie 2.
Informacje historyczne o module liczb
Termin „moduł” pochodzi od łacińskiej nazwy moduł, co oznacza „mierzyć”. Termin ten został ukuty przez angielskiego matematyka Rogera Cotesa. Ale znak modułu został wprowadzony dzięki niemieckiemu matematykowi Karlowi Weierstrassowi. Podczas zapisu moduł jest oznaczony następującym symbolem: | |.
Pytania utrwalające wiedzę z materiału
Na dzisiejszej lekcji zapoznaliśmy się z takim pojęciem jak moduł liczby, a teraz sprawdźmy, jak opanowałeś ten temat, odpowiadając na postawione pytania:
1. Jak nazywa się liczba będąca przeciwieństwem liczby dodatniej?
2. Jak nazywa się liczba będąca przeciwieństwem liczby ujemnej?
3. Nazwij liczbę przeciwną zera. Czy taki numer istnieje?
4. Podaj liczbę, która nie może być modułem liczby.
5. Zdefiniować moduł liczby.
Praca domowa
1. Przed tobą znajdują się liczby, które musisz ułożyć w malejącej kolejności modułów. Jeśli poprawnie wykonasz zadanie, poznasz nazwisko osoby, która jako pierwsza wprowadziła do matematyki termin „moduł”.
2. Narysuj linię współrzędnych i znajdź odległość od M (-5) i K (8) do początku układu współrzędnych.
Moduł liczb sama liczba jest wywoływana, jeśli jest nieujemna, lub ta sama liczba z przeciwnym znakiem, jeśli jest ujemna.
Na przykład moduł liczby 5 wynosi 5, a moduł liczby –5 również wynosi 5.
Oznacza to, że moduł liczby rozumiany jest jako wartość bezwzględna, wartość bezwzględna tej liczby bez uwzględnienia jej znaku.
Oznaczane następująco: |5|, | X|, |A| itp.
Reguła:
Wyjaśnienie:
|5| = 5
Brzmi to tak: moduł liczby 5 wynosi 5.
|–5| = –(–5) = 5
Brzmi to tak: moduł liczby –5 wynosi 5.
|0| = 0
Brzmi to tak: moduł zerowy wynosi zero.
Właściwości modułu:
1) Moduł liczby jest liczbą nieujemną: |A| ≥ 0 2) Moduły przeciwnych liczb są równe: |A| = |–A| 3) Kwadrat modułu liczby jest równy kwadratowi tej liczby: |A| 2 = 2 4) Moduł iloczynu liczb jest równy iloczynowi modułów tych liczb: |A · B| = |A| · | B| 6) Moduł liczby ilorazowej jest równy stosunkowi modułów tych liczb: |A : B| = |A| : |B| 7) Moduł sumy liczb jest mniejszy lub równy sumie ich modułów: |A + B| ≤ |A| + |B| 8) Moduł różnicy między liczbami jest mniejszy lub równy sumie ich modułów: |A – B| ≤ |A| + |B| 9) Moduł sumy/różnicy liczb jest większy lub równy modułowi różnicy ich modułów: |A ± B| ≥ ||A| – |B|| 10) Ze znaku modułu można wyjąć stały dodatni mnożnik: |M · A| = M · | A|, M >0 11) Ze znaku modułu można wyprowadzić potęgę liczby: |A k | = | A| k, jeśli k istnieje 12) Jeśli | A| = |B|, zatem A = ± B |
Znaczenie geometryczne modułu.
Moduł liczby to odległość od zera do tej liczby.
Weźmy dla przykładu jeszcze raz liczbę 5. Odległość od 0 do 5 jest taka sama jak od 0 do –5 (ryc. 1). A kiedy ważne jest, abyśmy znali tylko długość odcinka, wówczas znak ma nie tylko znaczenie, ale także znaczenie. Nie jest to jednak do końca prawdą: odległość mierzymy tylko liczbami dodatnimi lub liczbami nieujemnymi. Niech cena podziału naszej skali wyniesie 1 cm. Wtedy długość odcinka od zera do 5 wynosi 5 cm, od zera do –5 również wynosi 5 cm.
W praktyce odległość często mierzy się nie tylko od zera – punktem odniesienia może być dowolna liczba (ryc. 2). Ale to nie zmienia istoty. Zapis postaci |a – b| wyraża odległość między punktami A I B na osi liczbowej.
Przykład 1. Rozwiąż równanie | X – 1| = 3.
Rozwiązanie .
Znaczenie równania jest takie, że odległość między punktami X a 1 równa się 3 (ryc. 2). Dlatego od punktu 1 liczymy trzy podziały w lewo i trzy podziały w prawo - i wyraźnie widzimy obie wartości X:
X 1 = –2, X 2 = 4.
Możemy to obliczyć.
│X – 1 = 3
│X – 1 = –3
│X = 3 + 1
│X = –3 + 1
│X = 4
│ X = –2.
Odpowiedź : X 1 = –2; X 2 = 4.
Przykład 2. Znajdź moduł wyrażeń:
Rozwiązanie .
Najpierw sprawdźmy, czy wyrażenie jest dodatnie, czy ujemne. Aby to zrobić, przekształcamy wyrażenie tak, aby składało się z jednorodnych liczb. Nie szukajmy pierwiastka z 5 – to dość trudne. Zróbmy to prościej: podnieśmy 3 i 10 do pierwiastka, a następnie porównajmy wielkość liczb tworzących różnicę:
3 = √9. Zatem 3√5 = √9 √5 = √45
10 = √100.
Widzimy, że pierwsza liczba jest mniejsza niż druga. Oznacza to, że wyrażenie jest ujemne, to znaczy jego odpowiedź jest mniejsza od zera:
3√5 – 10 < 0.
Ale zgodnie z regułą moduł liczby ujemnej jest tą samą liczbą z przeciwnym znakiem. Mamy negatywną ekspresję. Dlatego konieczna jest zmiana jego znaku na przeciwny. Przeciwieństwem 3√5 – 10 jest –(3√5 – 10). Otwórzmy w nim nawiasy i uzyskajmy odpowiedź:
–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.
Odpowiedź .
Szef SzMO
nauczyciele matematyki _______Kalashnikova Zh.YuMiejska budżetowa instytucja edukacyjna
„Szkoła Gimnazjum nr 89”
Testy tematyczne z matematyki dla klas 6
według podręcznika I.I. Zubarewa i A.G. Mordkowicz
Opracowali: nauczyciele matematyki:
Kałasznikowa Żanna Juriewna
Stolbova Ludmiła Antonowna
ZATO Siewiersk
2016
Treść
Badanie nr 1…………………………………………………………………………….3-6
Badanie nr 2……………………………………………………………………………….7-10
Badanie nr 3…………………………………………………………………………………………………….11-14
Odpowiedzi………………………………………………………………………………………………………..15
Test nr 1 „Liczby dodatnie i ujemne”
opcja 1
Wprowadź ujemną liczbę ułamkową:
-165
38
-7.92
67Opisz wydarzenie „Na promieniu współrzędnych zaznaczona jest liczba -5,5”
Niezawodny
Niemożliwe
Losowy
Która z czterech liczb jest największa?
8,035
80,35
0,8035
803,5
Który punkt znajduje się na osi współrzędnych na prawo od punktu O (0)?
M (-4)
E (-15)
K. (15)
D(-1,2)
W nocy temperatura powietrza wynosiła -5°C. W ciągu dnia termometr wskazywał już +3°C. Jak zmieniła się temperatura powietrza?
Zwiększona o 8o
Zmniejszone o 2o
Zwiększona o 2o
Zmniejszono o 8o
Na osi współrzędnych zaznaczono punkt x(-2) – środek symetrii. Wskaż współrzędne punktów znajdujących się na tej prostej symetrycznie do punktu x.
(-1) i (1)
(-1) i (1)
(3) i (-3)
(0) i (-4)
Które punkty na linii współrzędnych nie są symetryczne względem początku - punkt O (0).
B(-5) i C(5)
D(0,5) i E(-0,5)
M(-3) i K(13)
A(18) i X(-18)
Jaka jest suma liczb 0,316 + 0,4?
0,356
0,716
4,316
0,32
Oblicz 25% z 0,4.
0,1
0,001
10
100
Oblicz różnicę 9100 i 0,03
0,05
0,6
9,03
350Opcja 2
Wprowadź ujemną liczbę ułamkową.
8,63
-1045
913-0,2
Opisz wydarzenie „Na promieniu współrzędnych zaznaczona jest cyfra 7”.
Losowy
Niemożliwe
Niezawodny
Która liczba jest najmniejsza?
15,49
154,9
1,549
1549
Który z punktów leży na osi współrzędnych na lewo od punktu O(0).
A(-0,5)
NA 6)
M(0,5)
K(38)
W dzień termometr pokazywał +5°C, a wieczorem -2°C. Jak zmieniła się temperatura powietrza?
Zwiększone o 3o
Zmniejszono o 7o
Zmniejszone o 3o
Zwiększona o 7o
Na osi współrzędnych zaznaczono środek symetrii – punkt A(-3). Wskaż współrzędne punktów znajdujących się na tej prostej symetrycznie do punktu A.
(-2) i (2)
(0) i (-5)
(-6) i (1)
(-1) i (-5)
Które punkty linii współrzędnych nie są symetryczne względem początku - punkt O(0).
A(6) i B(-6)
C(12) i D(-2)
M(-1) i K(1)
X (-9) i Y (9)
Jaka jest suma liczb 0,237 i 0,3?
0,24
3,237
0,537
0,267
Oblicz 20% z 0,5
10
0,1
0,2
0,01
Oblicz różnicę 0,07 i 31001250,5
1
425 Test nr 2. Wartość bezwzględna liczby. Liczby przeciwne.
opcja 1
Która z podanych liczb ma najmniejszy moduł
-11
1013-4,196
-4,2
Podaj nieprawidłowe równanie
85=-85
-1,9=1,9
35= 3558=-58 Moduł liczby nieujemnej jest liczbą nieujemną. Czy to stwierdzenie jest prawdziwe?
Tak
NIE
Która z tych liczb jest przeciwna do liczby -34?43-43-3434Jaka jest wartość wyrażenia -(-m), jeśli m = -15
+15
-15
Oblicz wartość wyrażenia: -2,5∙4--919
-10
1
-1
Rozwiąż równanie: x=40-40
40
40 lub -40
Jakie liczby całkowite znajdują się na osi współrzędnych między liczbami 2,75 i 3,9?
-2, -1, 1, 2
-1, 0, 1, 2, 3
-1, 0, 1, 2, 3, 4
-2, -1, 0, 1, 2, 3
Czy nierówność -30>-50 jest prawdziwa? Tak
NIE
Wypisz wszystkie liczby całkowite x, jeśli x≤30, 1, 2
0, 1, 2, 3
0, 1, 2, 3, 4
1, 2, 3
Opcja 2
Która liczba ma największy moduł?
-0,6
-50,603
493550,530
Podaj nieprawidłowe równanie
-1,5=1,512=12-117=117-325=-325Czy moduł liczby ujemnej może być liczbą ujemną
Tak
NIE
Która z tych liczb jest przeciwieństwem 124?
-24
24
-124124Jaka jest wartość wyrażenia –(-k), jeśli k = -9
-9
+9
Oblicz wartość wyrażenia: 2,5:-0,5+1,250
15
-2,5
2,5
Rozwiąż równanie x=100100
-100
100 lub -100
Jakie liczby całkowite znajdują się na linii współrzędnych między liczbami 1 i - 4,5
-4, -3, -2, -1, 0
-3, -2, -1
-5, -4, -3, -2, -1
-4, -3, -2, -1, 1
Czy nierówność -25 jest prawdziwa?<-10?
Tak
NIE
Wypisz wszystkie liczby całkowite x, jeśli x≤44, 3, 2
0, 1, 2, 3
1, 2, 3, 4
0, 1, 2, 3, 4
Próba nr 3. Porównanie liczb
opcja 1
Która z nierówności jest fałszywa?
-20 > 2
0 < -1
-16 > -7
-5 < -3
-320 -920>
<
=
Czy to prawda, że liczba 0 jest większa niż jakakolwiek liczba ujemna?
Tak
NIE
Liczba a nie jest ujemna. Jak zapisać to stwierdzenie jako nierówność?
A<0a≤0a≥0a>0Wskaż największą z podanych liczb.
0,16
-3018-0,4
0,01
Dla jakich naturalnych wartości x prawdziwa jest nierówność x≤44, 3, 2?
1 , 2, 3, 4
4, 3, 2, 1
0, 1, 2, 3
Dla jakich wartości całkowitych y nierówność y jest prawdziwa?<-2?0
-1
0, -1, 1
Nie ma takich wartości
Liczby -6; -3,8; -115; 0,8 zlokalizowane:
W kolejności malejącej
W kolejności rosnącej
W nieładzie
W radiu nadawano prognozę pogody: temperatura ma spaść do -20°C. Opisz to wydarzenie:
Niemożliwe
Niezawodny
Losowy
Opcja 2
Która z nierówności jest prawdziwa?
-5 > 0
6 < -17
-34 > -40
-9 < -63
Jaki znak należy wpisać pomiędzy tymi ułamkami, aby nierówność była prawdziwa?
-1315 -715<
>
=
Czy to prawda, że liczba 0 jest mniejsza niż jakakolwiek liczba ujemna?
Tak
NIE
Liczba x nie jest większa od zera. Jak zapisać to stwierdzenie jako nierówność?
x≥0x>0x<0x≤0Укажите наименьшее из данных чисел.
-5,92
1,7
-1000
35Dla jakich naturalnych wartości a jest prawdziwa nierówność a≤3?1, 2, 3
0, 1, 2, 3
1, 2
0, 1, 2
Dla jakich wartości całkowitych m nierówność m jest prawdziwa?<-4?-3, -2, -1
0, -1, -2, -3, 1, 2, 3
0
Nie ma takich wartości
Liczby 1,2; -1,2; -427; -100 zlokalizowanych:
W nieładzie
W kolejności rosnącej
W kolejności malejącej
Na osi współrzędnych zaznaczony jest punkt A(5). Na tej prostej oznaczono losowo kolejny punkt B. Jego współrzędna okazała się liczbą przeciwną do 5. Opisz to zdarzenie.
Losowy
Niezawodny
Niemożliwe
Odpowiedzi
Próba nr 1 Próba nr 2
Nie Opcja 1 Opcja 2
1 3 4
2 2 3
3 4 3
4 3 1
5 1 2
6 4 4
7 3 2
8 2 3
9 1 2
10 4 1
Nie Opcja 1 Opcja 2
1 3 2
2 1 4
3 1 2
4 4 3
5 2 1
6 3 4
7 3 3
8 4 1
9 1 2
10 2 4
Próba nr 3
Nie Opcja 1 Opcja 2
1 4 3
2 1 2
3 1 2
4 3 4
5 1 3
6 2 1
7 4 4
8 2 3