„Kwadrat i prostokąt” - Powierzchnia prostokąta. Podstawowe pytanie. Pomiar pól innych kształtów. Jak znaleźć powierzchnię pokoju? Powierzchnia Powierzchnia prostokąta. Ilu uczniów może uczyć się w różnych klasach naszej szkoły? Pomnóż długość (a) przez szerokość (b). Problematyczne kwestie. W jakich salach lekcyjnych może uczyć się klasa 11 (16 osób)?
„Kwadrat sumy i kwadrat różnicy” - Wzmocnienie: VII. Rozważmy dwie różnice 16 – 36 i 25 – 45. Dodajmy, że otrzymamy 16 – 36 + = 25 – 45 + , 4? - 2 4 + ()? = 5? - 2 5 + ()?, (4 –)? = (5 –)?, 4 – = 5 – , 4 = 5. Znajdź błąd. Podnoszenie do kwadratu sumy i różnicy dwóch wyrażeń. Jedynym sposobem na naukę jest zabawa. Lekcja dla nauczycieli na kursach zaawansowanych.
„Prostokąt i kwadrat” - Oblicz obwód prostokąta. Prostokąt, w którym wszystkie boki są równe, nazywa się kwadratem. Obwód kwadratu oblicza się ze wzoru: P=4a. Obwód kwadratu wynosi 32 cm. Oblicz bok kwadratu. S kwadratu wynosi 81 cm2. Jaki jest bok kwadratu? Jakie są przeciwne strony? Suma długości wszystkich boków prostokąta nazywa się obwodem prostokąta.
„Niesamowite kwadraty” – wszystkie cztery boki mają tę samą długość. Bajka: Ptaki: Słoń. Niesamowity plac. Żaglówka. Wychodząc, powiedział: „Życzę miłych snów!” Wyspa była bardzo daleko i taka mała. Podstawy origami dotyczące kwadratów. Stał tam bez słów... To zemsta! Łódź. 5.Dom. Jestem starszy, jestem kwadratowy.” Papierowa bajka.
„Interferencja dwóch fal” – Pasy świetlne – fale wzmacniają się wzajemnie (maksymalna amplituda). Brzytwa utrzymuje się na wodzie dzięki napięciu powierzchniowemu filmu olejowego. Przyczyna? Doświadczenia Thomasa Younga. Interferometr radioteleskopu zlokalizowany w Nowym Meksyku, USA. Filmy mydlane. Oświecająca optyka. Światło o różnych barwach odpowiada różnym długościom fal.
„Różnica kwadratów” - Temat lekcji: „Różnica kwadratów”. Dyktando matematyczne. Przykład 1. Wykonaj mnożenie: (3x – 2y)(3x + 2y). Nie należy mylić pojęć „różnica kwadratów” i „różnica kwadratowa”. Różnica kwadratów. 4) Różnica między liczbą m a iloczynem podwójnym liczb x i y. Do szybkich obliczeń służy wzór na różnicę kwadratów.
45 cukierków kosztuje tyle samo rubli, ile można kupić za 20 rubli. Ile cukierków można kupić za 50 rubli?
Odpowiedź: 75 cukierków.
Rozwiązanie. Pozwalać X- koszt jednego cukierka w rublach. Następnie 45 X= 20/X, Gdzie X= 2/3. Następnie za 50 rubli możesz kupić 50/ X= 75 cukierków.
Kryteria.
Równanie 45 jest poprawne X= 20/X, ale przy jego rozwiązywaniu lub później popełniono błąd arytmetyczny: 5 punktów.
Rozwiązanie stwierdza, że cena jednego cukierka wynosi 2/3, sprawdza, czy koszt ten odpowiada warunkom zadania i uzyskuje poprawną odpowiedź: 4 punkty.
Podawana jest tylko prawidłowa odpowiedź: 1 punkt.
Zadanie 2. (7 punktów)
Żenia umieściła wokół koła liczby od 1 do 10 w określonej kolejności, a Dima zapisał ich sumę w każdym odstępie między liczbami. Czy mogło się zdarzyć, że wszystkie liczby zapisane przez Dimę okazały się inne?
Odpowiedź: To mogło.
Przykład rozmieszczenia numerów pokazano poniżej.
Kryteria. Każde poprawne rozwiązanie: 7 punktów.
Podawana jest tylko poprawna odpowiedź lub poprawna odpowiedź i błędny przykład: 0 punktów.
Zadanie 3. (7 punktów)
Czy jest to możliwe w niektórych komórkach tabeli 8 × 8 wpisać jedynki, a resztę zera, tak aby we wszystkich kolumnach była inna liczba, a we wszystkich wierszach - taka sama?
Odpowiedź: Móc.
Rozwiązanie. Niech suma liczb w każdym wierszu będzie równa X. Wtedy suma wszystkich liczb w tabeli wynosi 8 X, czyli całkowita suma jest dzielona przez 8. Należy pamiętać, że kolumny mogą zawierać od 0 do 8 jednostek. Suma wszystkich liczb od 0 do 8 wynosi 36. Aby uzyskać wielokrotność 8, należy odjąć 4 od 36. Dlatego w naszym przykładzie nie powinno być kolumny zawierającej dokładnie 4 jedyneki.
Przykład pokazano poniżej (istnieją inne przykłady).
Kryteria. Każdy poprawny przykład, nawet bez wyjaśnienia: 7 punktów.
Udowodniono, że jeśli suma we wszystkich kolumnach jest różna od zera, to przykład nie istnieje: 4 punkty.
Zadanie 4. (7 punktów)
Dwa kwadraty mają wspólny wierzchołek. Znajdź stosunek odcinków AB I płyta CD pokazany na rysunku.
Odpowiedź:
Rozwiązanie. Niech chodzi O- wspólny wierzchołek dwóch kwadratów i ich boki są równe A I B. Przekątne kwadratów są równe I odpowiednio. Ponadto ∠ DORSZ.= ∠KACZAN+ ∠BZT= ∠KACZAN+ 45° = ∠KACZAN+ ∠AOC= ∠AOB. Trójkąty AOB I DORSZ. ogólnie podobne kąty i proporcjonalne boki pod tym kątem.
Stąd, AB: płyta CD=
Kryteria. Każde poprawne rozwiązanie: 7 punktów.
Współczynnik nie został poprawnie obliczony AB Do płyta CD, A płyta CD Do AB(odpowiednio odpowiedź): 7 punktów.
Udowodniono podobieństwo trójkątów AOB I DORSZ., ale nie ma dalszych wniosków lub błędnie znaleziono wymaganą relację: 6 punktów.
Udowodniono, że ∠ AOB= ∠DORSZ., ale brak dalszego postępu: 1 punkt.
Rozpatrywany jest tylko przypadek szczególny (na przykład, gdy kwadraty mają ten sam bok lub gdy kąt między niektórymi bokami dwóch kwadratów wynosi 90°): 0 punktów.
Podawana jest tylko prawidłowa odpowiedź: 0 punktów.
Zadanie 5. (7 punktów)
Liczby a, b, c I D są takie, że A+B= C+d ≠ 0, ak= bd. Udowodnij to A+ C= B+ D.
Rozwiązanie. Jeśli a ≠ 0, następnie zamień C= b d/a, otrzymujemy
Stąd B= C I A+ C= B+ D.
Jeśli A= 0, zatem b ≠ 0 (w przeciwnym razie A+ B= 0), zatem D= 0 (od AC= bd). Ale potem równość A+ B= C+ D przepisany jako B= C, z czego wynika wymagana równość.
Możliwe są również inne rozwiązania.
Kryteria. Każde poprawne rozwiązanie: 7 punktów.
Prawidłowe rozwiązanie uwzględnia wyrażenie formy bd a(lub podobny), ale przypadek, gdy mianownik jest równy zero, nie jest brany pod uwagę: 5 punktów.
Udowodniono, że ( A+C) 2 = (B+D) 2 , ale przypadek ( A+C) = — (B+ D): 3 punkty.
Rozpatrywany jest tylko przypadek określonych wartości liczbowych A, B, C, D: 0 punktów.
Zadanie 6. (7 punktów)
Na trasie znajduje się 60 znaków drogowych. Na każdym z nich zapisana jest suma odległości do pozostałych 59 znaków. Czy to możliwe, że na znakach jest zapisanych 60 różnych liczb naturalnych? (Odległości między znakami nie muszą być liczbami całkowitymi.)
Odpowiedź: Niemożliwe.
Rozwiązanie. Ponumerujmy znaki kolejno liczbami od 1 do 60. Udowodnijmy, że liczby zapisane na znakach 30 i 31 są takie same.
Pozostałe znaki podzielmy na pary formy k I k+ 31: 1 i 32, 2 i 33, . . . , 29 i 60. Należy zauważyć, że suma odległości od znaku 30 i znaku 31 do znaków jednej pary k I k+ 31 równa się odległość między znakami k I k+ 31. Ponieważ liczba na znakach 30 i 31 jest równa sumie odległości do znaków wszystkich 29 par i odległości między znakami 30 i 31, to liczby na znakach 30 i 31 są takie same.
Kryteria. Każde poprawne rozwiązanie: 7 punktów.
Stwierdzono, choć nie zostało to udowodnione, że liczby zapisane w dwóch środkowych kolumnach (w kolumnach 30 i 31) są równe: 2 punkty.
Na przykładzie przypadków specjalnych pokazano, że na pewno będą równe liczby: 0 punktów.
Podawana jest tylko prawidłowa odpowiedź: 0 punktów.
1. W okręgu o środku O poprowadzono dwie cięciwy AB i CD tak, aby kąty środkowe AOB i COD były równe. Prostopadłe OK i OL są upuszczane na te cięciwy. Udowodnić, że OK i OL są równe.
2. W okręgu przechodzącym przez środek O cięciwy AC poprowadzono cięciwę BD w taki sposób, aby łuki AB i CD były równe. Udowodnić, że O jest środkiem cięciwy BD.
3. Okręgi o środkach w punktach I i J nie mają punktów wspólnych. Wspólna wewnętrzna styczna tych okręgów dzieli odcinek łączący ich środki w stosunku m:n. Udowodnić, że średnice tych okręgów są w stosunku m:n.
4. Wysokości AA1 i BB1 trójkąta ostrego ABC przecinają się w punkcie E. Udowodnij, że kąty AA1B1 i ABB1 są równe.
5. W trójkącie ABC z kątem rozwartym ACB poprowadzono wysokości AA1 i BB1. Udowodnić, że trójkąty A1CB1 i ACB są podobne.
6. Okręgi o środkach w punktach E i F przecinają się w punktach C i D, a punkty E i F leżą po tej samej stronie prostej CD. Udowodnić, że CD ⊥ EF.
7. Dwa trójkąty równoboczne mają wspólny wierzchołek. Udowodnić, że zaznaczone na rysunku odcinki AB i CD są równe.
8. W ostrym trójkącie ABC kąt B wynosi 60°. Udowodnić, że punkty A, C, środek opisany na trójkącie ABC i punkt przecięcia wysokości trójkąta ABC leżą na tym samym okręgu.
9. Okrąg dotyka boku AB trójkąta ABC, którego ∠C = 90° oraz przedłużeń jego boków AC i BC odpowiednio punktów A i B. Udowodnić, że obwód trójkąta ABC jest równy średnicy tego okręgu.
10. W ostrym trójkącie ABC punkty A, C, środek opisany na O i środek okręgu wpisanego na okrąg leżą na tym samym okręgu. Udowodnić, że kąt ABC ma miarę 60°.
11. Wiadomo, że wokół czworoboku ABCD można opisać okrąg oraz że przedłużenia boków AD i BC czworokąta przecinają się w punkcie K. Udowodnij, że trójkąty KAB i KCD są podobne.
12. Udowodnij, że środkowa trójkąta dzieli go na dwa trójkąty, których pola są sobie równe.
13. W trójkącie ABC z kątem rozwartym ACB poprowadzono wysokości AA1 i BB1. Udowodnić, że trójkąty A1CB1 i ACB są podobne.
14. W równoległoboku ABCD prostopadłe BE i DF poprowadzono do przekątnej AC (patrz rysunek). Udowodnić, że BFDE jest równoległobokiem.
15. W równoległoboku ABCD punkt E jest środkiem boku AB. Wiadomo, że EC=ED. Udowodnić, że ten równoległobok jest prostokątem.
16. Dwa kwadraty mają wspólny wierzchołek. Udowodnić, że odcinki zaznaczone na rysunku i są równe.
17. Środki boków równoległoboku są wierzchołkami rombu. Udowodnić, że ten równoległobok jest prostokątem.
18. W równoległoboku ABCD wysokości BH i BE poprowadzono odpowiednio do boków AD i CD, gdzie BH = BE. Udowodnić, że ABCD jest rombem.
19. W równoległoboku ABCD przekątne AC i BD przecinają się w punkcie K. Udowodnij, że pole równoległoboku ABCD jest czterokrotnie większe od pola trójkąta AKD.
20. Wewnątrz równoległoboku ABCD wybierz dowolny punkt E. Udowodnij, że suma pól trójkątów BEC i AED jest równa połowie pola równoległoboku.
21. Wiadomo, że wokół czworoboku ABCD można opisać okrąg i że przedłużenia boków AB i CD czworoboku przecinają się w punkcie M. Udowodnij, że trójkąty MBC i MDA są podobne.
22. Podstawy BC i AD trapezu ABCD wynoszą odpowiednio 5 i 20, BD = 10. Udowodnij, że trójkąty CBD i ADB są podobne.
23. W czworokącie wypukłym ABCD kąty BCA i BDA są równe. Udowodnij, że kąty ABD i ACD są również równe.
24. W trapezie ABCD o podstawach AD i BC przekątne przecinają się w punkcie O. Udowodnij, że pola trójkątów AOB i COD są równe.
©2015-2019 strona
Wszelkie prawa należą do ich autorów. Ta witryna nie rości sobie praw do autorstwa, ale zapewnia bezpłatne korzystanie.
Data utworzenia strony: 2017-12-12
Dany: ∆ABC i ∆ А1В1С1; AB=___; AC=___; Ð Z=____=_____.
Udowodnić: ∆ABC=_____.
Dowód:
NA ( AC) odłóżmy ten temat na bok D Więc płyta CD=AC. ∆ABC=∆BCD, ponieważ:
1) _____ - strona wspólna;
2) AC=płyta CD- według budowy;
3) Р ŚREDNICA=_______ => na podstawie _____ AB=_____.
Podobnie dla А1В1С1
________________________________________________________
Mamy to:
1) AB
2) BD=___, ponieważ ________________________;
3) OGŁOSZENIE=___, ponieważ ________________________;
Następnie zgodnie z trzecim kryterium trójkątów: ∆ ABD=_____.
Zatem mamy w ∆ ABC i ∆ А1В1С1:
AB=___
AC=___ => ∆_____=∆______.
Ð A=___
Zadanie 8.
Wypełnij tabelę, jeśli wiesz, że ∆ ABC=∆А1В1С1.
Zadanie 9.
Rozwiąż dodatkowe problemy:
1. Równe segmenty AB I płyta CD przecinają się w środku każdego z nich. Udowodnić równość kątów ACB I DBC. Narysuj coś.
2. Udowodnić równość trójkątów bazujących na dwóch bokach i środkowej wychodzącej z jednego wierzchołka. Narysuj coś.
3. Udowodnić równość trójkątów ze względu na bok, środkową poprowadzoną do tego boku i kąty, jakie tworzy z nim środkowa. Narysuj coś.
4. Punkty A, B, C, D leżeć na tej samej linii prostej (ryc. 3.7). Udowodnić, że jeśli ∆ AVE1=∆AVE2, następnie ∆ CDE1 =∆CDE2 .
5. Równe trójkąty ABC I А1В1С1 ze szczytów W I W 1 rysowane są dwusieczne BD I B1 D1 . Udowodnij równość trójkątów CBD I C1 B1 D1 . Narysuj coś. Rozwiąż problem na różne sposoby. Opraw swoje rozwiązanie w kreatywny sposób.
Zadanie 10.
Poniżej znajduje się problem i diagram z pięcioma rozwiązaniami (1-5). Rozważ każde rozwiązanie (ryc. 3.8). Jakie znaki równości trójkątów są w nich użyte? Zaplanuj jedno z rozwiązań i zaprojektuj je kreatywnie.
Trójkąty ABC IZŁY są równe. Ich bokiOGŁOSZENIE IPNE. przecinają się w jednym punkcie O. Udowodnij, że trójkąty AOC IBZT są również równe.
Schemat rozwiązania:
§4. Dodatkowe zadania
p1. Problemy z treścią praktyczną
W wielu praktycznych i teoretycznych przypadkach wygodnie jest używać znanych znaków równości trójkątów.
ZADANIE 1. Ułamał się jeden z rogów trójkątnej szyby okna. Czy można zlecić szklarzowi wycięcie stłuczonego kawałka szkła z ocalałej części? Jakie pomiary powinienem wykonać? Skonstruuj ten trójkąt za pomocą kompasu i linijki.
Studenci pracują w grupach. Każda grupa losuje rozwiązanie. Pierwsza grupa, która rozwiązała problem, broni jego rozwiązania.
ZADANIE 2. Stolarz musi wypełnić trójkątny otwór. Ile rozmiarów i które powinien usunąć, aby zrobić łatkę? Co powinien zmierzyć, jeśli otwór ma kształt: a) trójkąta prostokątnego, b) trójkąta równobocznego, c) trójkąta równoramiennego, d) trójkąta różnobocznego.
Wszyscy uczniowie otrzymują 4 proponowane typy trójkątów. Należy ustalić ustnie, jakie wymiary należy usunąć, aby móc wykonać łatkę.
ZADANIE 3. Mama kupiła 1 metr materiału o szerokości 1 metra na szalik dla swoich dwóch córek. Podziel ten kawałek materiału na dwie równe części, zadbaj o to, aby Twoje córki się nie kłóciły (szaliki były równe) i udowodnij słuszność swoich działań.
Czy coś się zmieni, jeśli kawałek materiału będzie miał kształt:
· Prostokąt,
· Równoległobok.
ZADANIE 4. Trzy wsie B, C, D są położone tak, że C jest 7 km na południowy zachód od wsi B, a wioska D jest 4 km na wschód od V. Trzy inne wsie A, K, M są położone tak, że wioska K jest położona 4 km na północ od M, a wieś A jest oddalona o 7 km na południowy wschód od M. Narysuj i udowodnij, że odległość między punktami C i D jest taka sama jak między punktami K i A.
ZADANIE 5. W szkolnej pracowni wykonano z drutu cztery pręty o długościach 4,7,10,13 cm. Łącząc trzy z czterech prętów ich końcami, dowiedz się, z których trzech prętów można zbudować trójkąt, a z których nie . Wyjaśnij swoje ustalenia.
p2. Zadania dotyczące stosowania znaków równości trójkątów z tekstów GIA
Zadanie 1. Na okręgu o środku O narysowano dwie równe cięciwy AB i CD. Prostopadłe OK i OL są opuszczane odpowiednio na te cięciwy (ryc. 4.1). Udowodnić, że OK i OL są równe.
DIV_ADBLOCK234">
https://pandia.ru/text/80/260/images/image061.png" szerokość="316" wysokość="152">
Zadanie 4.Środek M podstawy AD trapezu ABCD jest w równej odległości od końców drugiej podstawy (ryc. 4.4). Udowodnij, że trapez ABCD jest równoramienny.
Zadanie 5.Środki boków równoległoboku są wierzchołkami rombu (ryc. 4.5). Udowodnić, że ten równoległobok jest prostokątem.
Zadanie 6.Środki boków równoległoboku są wierzchołkami prostokąta (ryc. 4.6). Udowodnić, że ten równoległobok jest rombem.
Zadanie 7. Udowodnić, że dwusieczne kątów przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe (rysunek 4.7).
Problem 8. Dwusieczne przeciwnych kątów są narysowane w równoległoboku (ryc. 4.8). Udowodnij, że odcinki dwusieczne zawarte w równoległoboku są równe.