Od czego zależy stopień prawdopodobieństwa p? Klasyczna i statystyczna definicja prawdopodobieństwa

Ważne notatki!
1. Jeśli zamiast formuł widzisz Gobbledygook, wyczyść pamięć podręczną. Jak to zrobić w przeglądarce jest napisane tutaj:
2. Zanim zaczniesz czytać artykuł, zwróć uwagę przede wszystkim na nasz nawigator przydatne źródło Dla

Co to jest prawdopodobieństwo?

Gdy po raz pierwszy spotkałem się z tym terminem, nie zrozumiałem, co to jest. Dlatego postaram się to jasno wytłumaczyć.

Prawdopodobieństwo to szansa, że ​​zdarzenie, którego pragniemy, nastąpi.

Na przykład zdecydowałeś się pójść do domu przyjaciela, pamiętasz wejście, a nawet piętro, na którym mieszka. Ale zapomniałem numeru i lokalizacji mieszkania. A teraz stoisz na klatce schodowej, a przed tobą są drzwi do wyboru.

Jaka jest szansa (prawdopodobieństwo), że jeśli jako pierwszy zadzwonisz do drzwi, Twój znajomy otworzy Ci drzwi? Są tylko mieszkania, a znajomy mieszka tylko za jednym z nich. Z równymi szansami możemy wybrać dowolne drzwi.

Ale jaka jest ta szansa?

Drzwi, właściwe drzwi. Prawdopodobieństwo zgadnięcia po zadzwonieniu do pierwszych drzwi: . Oznacza to, że raz na trzy zgadniesz dokładnie.

Chcemy wiedzieć, dzwoniąc raz, jak często będziemy odgadnąć drzwi? Przyjrzyjmy się wszystkim opcjom:

1. Nazwałeś 1 drzwi
2. Nazwałeś 2 drzwi
3. Nazwałeś 3 drzwi

Przyjrzyjmy się teraz wszystkim opcjom, gdzie może być przyjaciel:

A. Za 1 drzwi
B. Za 2 drzwi
V. Za 3 drzwi

Porównajmy wszystkie opcje w formie tabeli. Znaczek wskazuje opcje, gdy Twój wybór pokrywa się z lokalizacją znajomego, krzyżyk - gdy nie pokrywa się.

Jak widzisz wszystko Może opcje lokalizację Twojego znajomego i wybór, do których drzwi ma zadzwonić.

A korzystne dla wszystkich wyniki . Oznacza to, że raz zgadniesz, dzwoniąc raz do drzwi, tj. .

Jest to prawdopodobieństwo – stosunek korzystnego wyniku (gdy Twój wybór pokrywa się z lokalizacją Twojego znajomego) do liczby możliwe zdarzenia.

Definicja jest formułą. Prawdopodobieństwo jest zwykle oznaczane przez p, więc:

Napisanie takiego wzoru nie jest zbyt wygodne, dlatego weźmiemy za - liczbę korzystnych wyników, a za - całkowitą liczbę wyników.

Prawdopodobieństwo można zapisać w procentach, w tym celu wynikowy wynik należy pomnożyć przez:

Słowo „wyniki” prawdopodobnie przykuło Twoją uwagę. Bo matematycy dzwonią różne działania(w naszym kraju taką akcją jest dzwonek do drzwi) eksperymentów, wówczas wynik takich eksperymentów nazywa się zwykle wynikiem.

Cóż, są korzystne i niekorzystne skutki.

Wróćmy do naszego przykładu. Powiedzmy, że zadzwoniliśmy do jednych z drzwi, ale zostały one dla nas otwarte nieznajomy. Nie zgadliśmy prawidłowo. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jeśli zadzwonimy do pozostałych drzwi, nasz przyjaciel nam je otworzy?

Jeśli tak myślałeś, to jest to błąd. Rozwiążmy to.

Zostało nam dwoje drzwi. Mamy więc możliwe kroki:

1) Zadzwoń 1 drzwi
2) Zadzwoń 2 drzwi

Kolega mimo wszystko na pewno stoi za którymś z nich (w końcu to nie on stał za tym, do którego dzwoniliśmy):

a) Przyjaciel dla 1 drzwi
b) Przyjaciel dla 2 drzwi

Narysujmy jeszcze raz tabelę:

Jak widać, istnieją tylko opcje, z których są korzystne. Oznacza to, że prawdopodobieństwo jest równe.

Dlaczego nie?

Rozważana przez nas sytuacja jest taka przykład zdarzenia zależne. Pierwsze zdarzenie to pierwszy dzwonek do drzwi, drugie zdarzenie to drugi dzwonek do drzwi.

Nazywa się je zależnymi, ponieważ wpływają na następujące działania. W końcu, gdyby po pierwszym dzwonku do drzwi otworzył znajomy, jakie byłoby prawdopodobieństwo, że stał za którymś z pozostałych dwóch? Prawidłowy, .

Ale jeśli istnieją zdarzenia zależne, to muszą też istnieć niezależny? To prawda, zdarzają się.

Podręcznikowym przykładem jest rzut monetą.

1. Rzuć raz monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie na przykład reszka? Zgadza się – bo możliwości są wszystkie (albo reszka, albo reszka, pominiemy prawdopodobieństwo, że moneta wyląduje na jej krawędzi), ale tylko nam to odpowiada.
2. Ale przyszło do głowy. OK, wrzućmy to jeszcze raz. Jakie jest teraz prawdopodobieństwo wyrzucenia orła? Nic się nie zmieniło, wszystko jest takie samo. Ile opcji? Dwa. Z ilu jesteśmy zadowoleni? Jeden.

I niech to wyjdzie na jaw co najmniej tysiąc razy z rzędu. Prawdopodobieństwo zdobycia orła na raz będzie takie samo. Zawsze są opcje i to korzystne.

Łatwo jest odróżnić zdarzenia zależne od niezależnych:

1. Jeśli eksperyment zostanie przeprowadzony raz (raz rzuca monetą, raz dzwoni do drzwi itp.), to zdarzenia są zawsze niezależne.
2. Jeśli doświadczenie przeprowadza się kilka razy (raz rzucono monetą, kilka razy zadzwonił dzwonek do drzwi), to pierwsze zdarzenie jest zawsze niezależne. A potem, jeśli zmieni się liczba korzystnych lub liczba wszystkich wyników, to zdarzenia są zależne, a jeśli nie, to są niezależne.

Poćwiczmy trochę określanie prawdopodobieństwa.

Przykład 1.

Moneta jest rzucana dwukrotnie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie orzeł dwa razy z rzędu?

Rozwiązanie:

Rozważmy wszystkie możliwe opcje:

1. Orzeł-orzeł
2. Głowy-ogony
3. Ogony-głowy
4. Ogony-ogony

Jak widać są tylko opcje. Z nich jesteśmy tylko zadowoleni. Oznacza to, że prawdopodobieństwo:

Jeśli warunek wymaga po prostu znalezienia prawdopodobieństwa, odpowiedź należy podać w formularzu dziesiętny. Gdyby było określone, że odpowiedź ma być podana w procentach, to mnożylibyśmy przez.

Odpowiedź:

Przykład 2.

W pudełku czekoladek wszystkie czekoladki są zapakowane w to samo opakowanie. Jednak ze słodyczy - z orzechami, z koniakiem, z wiśniami, z karmelem i z nugatem.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy jednego cukierka i otrzymamy cukierka z orzechami? Podaj odpowiedź w procentach.

Rozwiązanie:

Ile jest możliwych wyników? .

Oznacza to, że jeśli weźmiesz jeden cukierek, będzie to jeden z tych dostępnych w pudełku.

Ile korzystnych wyników?

Ponieważ w pudełku znajdują się wyłącznie czekoladki z orzechami.

Odpowiedź:

Przykład 3.

W pudełku z balonami. z czego są białe i czarne.

1. Jakie jest prawdopodobieństwo wyjścia biała kula?
2. Do pudełka dodaliśmy więcej czarnych kulek. Jakie jest teraz prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli?

Rozwiązanie:

a) W pudełku znajdują się tylko kule. Spośród nich są białe.

Prawdopodobieństwo wynosi:

b) Teraz w pudełku jest więcej piłek. I pozostało tyle samo białych - .

Odpowiedź:

Całkowite prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo wszystkich możliwych zdarzeń jest równe ().

Załóżmy, że w pudełku znajdują się czerwone i zielone kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy czerwoną kulę? Zielona piłka? Czerwona czy zielona piłka?

Prawdopodobieństwo wylosowania czerwonej kuli

Zielona kula:

Czerwona lub zielona kula:

Jak widać suma wszystkich możliwych zdarzeń jest równa (). Zrozumienie tego punktu pomoże Ci rozwiązać wiele problemów.

Przykład 4.

W pudełku znajdują się znaczniki: zielony, czerwony, niebieski, żółty, czarny.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że nie zostanie wylosowany czerwony znacznik?

Rozwiązanie:

Policzmy liczbę korzystne wyniki.

NIE jest to czerwony znacznik, to znaczy zielony, niebieski, żółty lub czarny.

Prawdopodobieństwo, że zdarzenie nie nastąpi, jest równe minus prawdopodobieństwo, że zdarzenie nastąpi.

Zasada mnożenia prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych

Wiesz już, czym są zdarzenia niezależne.

Co się stanie, jeśli chcesz znaleźć prawdopodobieństwo wystąpienia dwóch (lub więcej) niezależnych zdarzeń z rzędu?

Powiedzmy, że chcemy wiedzieć, jakie jest prawdopodobieństwo, że jeśli rzucimy raz monetą, zobaczymy reszkę dwa razy?

Już rozważaliśmy - .

A co jeśli rzucimy raz monetą? Jakie jest prawdopodobieństwo, że zobaczysz orła dwa razy z rzędu?

Całkowity możliwe opcje:

1. Orzeł-orzeł-orzeł
2. Głowy, głowy, ogony
3. Głowy-ogony-głowy
4. Głowy-ogony-ogony
5. Ogony-głowy-głowy
6. Ogony-głowy-ogony
7. Ogony-ogony-głowy
8. Ogony-ogony-ogony

Nie wiem jak Wy, ale ja kilka razy popełniłem błędy podczas tworzenia tej listy. Wow! I tylko opcja (pierwsza) nam odpowiada.

W przypadku 5 rzutów możesz samodzielnie sporządzić listę możliwych wyników. Ale matematycy nie są tak pracowici jak ty.

Dlatego najpierw zauważyli, a następnie udowodnili, że prawdopodobieństwo pewnego ciągu niezależnych zdarzeń za każdym razem maleje o prawdopodobieństwo jednego zdarzenia.

Innymi słowy,

Spójrzmy na przykład tej samej nieszczęsnej monety.

Prawdopodobieństwo zdobycia orła w wyzwaniu? . Teraz rzucamy raz monetą.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie orzeł z rzędu?

Ta reguła działa nie tylko wtedy, gdy jesteśmy proszeni o znalezienie prawdopodobieństwa wystąpienia tego samego zdarzenia kilka razy z rzędu.

Gdybyśmy chcieli znaleźć sekwencję OGONY-GŁÓWKI-OGONY dla kolejnych rzutów, zrobilibyśmy to samo.

Prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki wynosi orzeł - .

Prawdopodobieństwo otrzymania ciągu OGONY-GŁOWY-OGONY-OGONY:

Możesz to sprawdzić samodzielnie, tworząc tabelę.

Zasada dodawania prawdopodobieństw zdarzeń niezgodnych.

Więc przestań! Nowa definicja.

Rozwiążmy to. Weźmy naszą zniszczoną monetę i rzućmy ją raz.
Możliwe opcje:

1. Orzeł-orzeł-orzeł
2. Głowy, głowy, ogony
3. Głowy-ogony-głowy
4. Głowy-ogony-ogony
5. Ogony-głowy-głowy
6. Ogony-głowy-ogony
7. Ogony-ogony-głowy
8. Ogony-ogony-ogony

Są to więc zdarzenia niezgodne, to jest pewne podana sekwencja wydarzenia. - są to zdarzenia niezgodne.

Jeśli chcemy określić, jakie jest prawdopodobieństwo dwóch (lub więcej) niekompatybilne zdarzenia następnie dodajemy prawdopodobieństwa tych zdarzeń.

Musisz zrozumieć, że orzeł lub reszka to dwa niezależne zdarzenia.

Jeżeli chcemy wyznaczyć prawdopodobieństwo wystąpienia ciągu (lub innego) wówczas stosujemy zasadę mnożenia prawdopodobieństw.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że w pierwszym rzucie wypadnie reszka, a w drugim i trzecim reszcie?

Ale jeśli chcemy wiedzieć, jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania jednego z kilku ciągów, gdy np. wypadnie reszka dokładnie raz, tj. opcji, a następnie musimy dodać prawdopodobieństwa tych ciągów.

Wszystkie opcje nam odpowiadają.

To samo możemy uzyskać, dodając prawdopodobieństwa wystąpienia każdego ciągu:

Zatem prawdopodobieństwa dodajemy, gdy chcemy określić prawdopodobieństwo pewnych, niespójnych sekwencji zdarzeń.

Istnieje wspaniała zasada, która pomoże Ci uniknąć pomylenia, kiedy mnożyć, a kiedy dodawać:

Wróćmy do przykładu, w którym rzuciliśmy raz monetą i chcieliśmy poznać prawdopodobieństwo, że raz zobaczymy reszkę.
Co się stanie?

Powinno wypaść:
(reszki ORAZ ogony ORAZ ogony) LUB (ogony ORAZ głowy ORAZ ogony) LUB (ogony ORAZ ogony ORAZ głowy).
Oto jak się okazuje:

Spójrzmy na kilka przykładów.

Przykład 5.

W pudełku znajdują się ołówki. czerwony, zielony, pomarańczowy, żółty i czarny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy czerwony lub zielony ołówek?

Rozwiązanie:

Przykład 6.

Jeśli rzucimy kostką dwa razy, jakie jest prawdopodobieństwo, że w sumie wypadnie 8?

Rozwiązanie.

Jak możemy zdobyć punkty?

(i) lub (i) lub (i) lub (i) lub (i).

Prawdopodobieństwo wylosowania jednej (dowolnej) twarzy wynosi .

Obliczamy prawdopodobieństwo:

Szkolenie.

Myślę, że teraz rozumiesz, kiedy należy obliczyć prawdopodobieństwa, kiedy je dodać, a kiedy pomnożyć. Czyż nie? Poćwiczmy trochę.

Zadania:

Weźmy talię kart zawierającą karty zawierające pik, kier, 13 trefl i 13 karo. Od do Asa w każdym kolorze.

1. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania trefl w rzędzie (pierwszą wyciągniętą kartę wkładamy z powrotem do talii i tasujemy)?
2. Jakie jest prawdopodobieństwo wyciągnięcia czarnej karty (pików lub trefl)?
3. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania figury (walet, dama, król lub as)?
4. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania dwóch obrazków pod rząd (usuwamy pierwszą wyciągniętą kartę z talii)?
5. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy dwóch kartach uda się zebrać kombinację (walet, dama lub król) i as? Kolejność losowania kart nie ma znaczenia.

Odpowiedzi:

Jeśli udało Ci się samodzielnie rozwiązać wszystkie problemy, to świetnie! Teraz rozwiążesz problemy z teorii prawdopodobieństwa na egzaminie Unified State Exam jak szalone!

TEORIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA. ŚREDNI POZIOM

Spójrzmy na przykład. Powiedzmy, że rzucamy kostką. Co to za kość, wiesz? To jest to, co nazywają sześcianem z liczbami na ścianach. Ile twarzy, tyle liczb: od do ilu? Zanim.

Więc rzucamy kostką i chcemy, żeby wypadło lub. I rozumiemy to.

W teorii prawdopodobieństwa mówią, co się stało pomyślne wydarzenie(nie mylić z zamożnym).

Gdyby tak się stało, wydarzenie byłoby również korzystne. W sumie mogą wydarzyć się tylko dwa sprzyjające zdarzenia.

Ile jest niekorzystnych? Ponieważ możliwych zdarzeń jest łącznie, oznacza to, że zdarzeniami niekorzystnymi są zdarzenia (to znaczy, jeśli wypadnie lub).

Definicja:

Prawdopodobieństwo to stosunek liczby korzystnych zdarzeń do liczby wszystkich możliwych zdarzeń. Oznacza to, że prawdopodobieństwo pokazuje, jaka część wszystkich możliwych zdarzeń jest korzystna.

Wskazuje prawdopodobieństwo Litera łacińska(najwyraźniej od angielskie słowo prawdopodobieństwo - prawdopodobieństwo).

Zwyczajowo mierzy się prawdopodobieństwo w procentach (patrz temat). Aby to zrobić, należy pomnożyć wartość prawdopodobieństwa. W przykładzie z kostką prawdopodobieństwo.

I procentowo: .

Przykłady (zdecyduj sam):

1. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia orła podczas rzucania monetą? Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylądują głowy?
2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w rzucie kostką wypadnie liczba parzysta? Który jest dziwny?
3. W pudełku prostych, niebieskich i czerwonych ołówków. Losujemy jeden ołówek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trafimy na prostą?

Rozwiązania:

1. Ile jest opcji? Głowy i reszki – tylko dwie. Ile z nich jest korzystnych? Tylko jeden jest orłem. Zatem prawdopodobieństwo

   Podobnie jest z ogonami: .

2. Opcje ogółem: (ile boków ma sześcian, tyle różne opcje). Korzystne: (to wszystko są liczby parzyste:).
   Prawdopodobieństwo. Oczywiście to samo dotyczy liczb nieparzystych.
3. Całkowity: . Korzystne: . Prawdopodobieństwo: .

Całkowite prawdopodobieństwo

Wszystkie ołówki w pudełku są zielone. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujesz czerwony ołówek? Nie ma szans: prawdopodobieństwo (w końcu sprzyjające zdarzenia -).

Takie zdarzenie nazywa się niemożliwym.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujesz zielony ołówek? Zdarzeń sprzyjających jest dokładnie tyle samo, ile jest zdarzeń ogółem (wszystkie zdarzenia są sprzyjające). Zatem prawdopodobieństwo jest równe lub.

Takie zdarzenie nazywa się niezawodnym.

Jeśli w pudełku znajdują się zielone i czerwone ołówki, jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy kolor zielony lub czerwony? Jeszcze raz. Zauważmy to: prawdopodobieństwo wyciągnięcia zielonego jest równe i czerwonego.

W sumie prawdopodobieństwa te są dokładnie równe. To jest, suma prawdopodobieństw wszystkich możliwych zdarzeń jest równa lub.

Przykład:

W pudełku ołówków są wśród nich niebieski, czerwony, zielony, gładki, żółty, a reszta jest pomarańczowa. Jakie jest prawdopodobieństwo, że nie wylosujemy zielonego?

Rozwiązanie:

Pamiętamy, że wszystkie prawdopodobieństwa sumują się. A prawdopodobieństwo, że zostaniesz zielony, jest równe. Oznacza to, że prawdopodobieństwo, że nie zostanie wylosowany kolor zielony, jest równe.

Zapamiętaj tę sztuczkę: Prawdopodobieństwo, że zdarzenie nie nastąpi, jest równe minus prawdopodobieństwo, że zdarzenie nastąpi.

Zdarzenia niezależne i zasada mnożenia

Rzucasz raz monetą i chcesz, żeby za każdym razem wypadła reszka. Jakie jest prawdopodobieństwo tego?

Przeanalizujmy wszystkie możliwe opcje i określmy, ile ich jest:

Głowy-głowy, ogony-głowy, głowy-ogony, ogony-ogony. Co jeszcze?

Całkowite opcje. Spośród nich tylko jeden nam odpowiada: Orzeł-Orzeł. W sumie prawdopodobieństwo jest równe.

Cienki. Teraz rzućmy raz monetą. Wykonaj obliczenia samodzielnie. Stało się? (odpowiedź).

Być może zauważyłeś, że wraz z dodaniem każdego kolejnego rzutu prawdopodobieństwo maleje o połowę. Główna zasada zwany reguła mnożenia:

Prawdopodobieństwa niezależnych zdarzeń zmieniają się.

Czym są wydarzenia niezależne? Wszystko jest logiczne: są to te, które nie są od siebie zależne. Przykładowo, gdy rzucamy monetą kilka razy, za każdym razem wykonywany jest nowy rzut, którego wynik nie zależy od wszystkich poprzednich rzutów. Równie łatwo możemy wrzucić dwie różne monety jednocześnie.

Więcej przykładów:

1. Kostką rzucamy dwukrotnie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trafimy oba razy?
2. Moneta jest rzucana raz. Jakie jest prawdopodobieństwo, że za pierwszym razem wypadnie orzeł, a potem reszka dwukrotnie?
3. Gracz rzuca dwiema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma liczb na nich będzie równa?

Odpowiedzi:

1. Zdarzenia są niezależne, co oznacza, że ​​działa zasada mnożenia: .
2. Prawdopodobieństwo wyrzucenia orła jest równe. Prawdopodobieństwo reszki jest takie samo. Zwielokrotniać:
3. 12 można uzyskać tylko wtedy, gdy wyrzuci się dwa -ki: .

Niekompatybilne zdarzenia i zasada dodawania

Zdarzenia, które się uzupełniają, nazywane są niekompatybilnymi. pełne prawdopodobieństwo. Jak sama nazwa wskazuje, nie mogą one wystąpić jednocześnie. Na przykład, jeśli rzucimy monetą, może wypaść reszka lub reszka.

Przykład.

W pudełku ołówków są wśród nich niebieski, czerwony, zielony, gładki, żółty, a reszta jest pomarańczowa. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy kolor zielony lub czerwony?

Rozwiązanie .

Prawdopodobieństwo wylosowania zielonego ołówka jest równe. Czerwony - .

W sumie korzystne wydarzenia: zielony + czerwony. Oznacza to, że prawdopodobieństwo wylosowania koloru zielonego lub czerwonego jest równe.

To samo prawdopodobieństwo można przedstawić w postaci: .

Oto zasada dodawania: prawdopodobieństwa zdarzeń niezgodnych sumują się.

Problemy typu mieszanego

Przykład.

Moneta jest rzucana dwukrotnie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyniki rzutów będą inne?

Rozwiązanie .

Oznacza to, że jeśli pierwszym wynikiem będą reszki, drugim muszą być reszki i odwrotnie. Okazuje się, że istnieją dwie pary niezależnych zdarzeń i pary te są ze sobą niezgodne. Jak nie pomylić się, gdzie pomnożyć, a gdzie dodać.

Na takie sytuacje jest prosta zasada. Spróbuj opisać, co się wydarzy, używając spójników „AND” lub „OR”. Na przykład w w tym przypadku:

Powinien pojawić się (reszki i reszki) lub (reszki i reszki).

Tam, gdzie jest spójnik „i”, nastąpi mnożenie, a tam, gdzie jest „lub”, nastąpi dodawanie:

Spróbuj sam:

1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jeśli rzucimy monetą dwa razy, moneta wyląduje po tej samej stronie za każdym razem?
2. Kostką rzucamy dwukrotnie. Jakie jest prawdopodobieństwo zdobycia łącznie punktów?

Rozwiązania:

Inny przykład:

Rzuć raz monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że orzeł pojawi się przynajmniej raz?

Rozwiązanie:

TEORIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH

Prawdopodobieństwo to stosunek liczby korzystnych zdarzeń do liczby wszystkich możliwych zdarzeń.

Niezależne wydarzenia

Dwa zdarzenia są niezależne, jeśli wystąpienie jednego nie zmienia prawdopodobieństwa wystąpienia drugiego.

Całkowite prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo wszystkich możliwych zdarzeń jest równe ().

Prawdopodobieństwo, że zdarzenie nie nastąpi, jest równe minus prawdopodobieństwo, że zdarzenie nastąpi.

Zasada mnożenia prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych

Prawdopodobieństwo określonej sekwencji niezależnych zdarzeń jest równe iloczynowi prawdopodobieństw każdego zdarzenia

Niezgodne zdarzenia

Zdarzenia niezgodne to takie, które w wyniku eksperymentu nie mogą wystąpić jednocześnie. Tworzy się seria niezgodnych zdarzeń pełna grupa wydarzenia.

Prawdopodobieństwa zdarzeń niezgodnych sumują się.

Po opisaniu co powinno się wydarzyć, używając spójników „AND” lub „OR”, zamiast „AND” stawiamy znak mnożenia, a zamiast „OR” znak dodawania.

No cóż, temat się skończył. Jeśli czytasz te słowa, oznacza to, że jesteś bardzo fajny.

Bo tylko 5% ludzi jest w stanie samodzielnie coś opanować. A jeśli przeczytasz do końca, to jesteś w tych 5%!

Teraz najważniejsza rzecz.

Zrozumiełeś teorię na ten temat. I powtarzam, to... to jest po prostu super! Już jesteś lepszy od zdecydowanej większości Twoich rówieśników.

Problem w tym, że to może nie wystarczyć...

Po co?

Aby odnieść sukces zdanie jednolitego egzaminu państwowego, o przyjęcie na studia z ograniczonym budżetem i, co najważniejsze, na całe życie.

Nie będę Cię do niczego przekonywał, powiem tylko jedno...

Osoby, które otrzymały Dobra edukacja, zarabiają znacznie więcej niż ci, którzy ich nie otrzymali. To jest statystyka.

Ale to nie jest najważniejsze.

Najważniejsze, że są BARDZIEJ SZCZĘŚLIWI (są takie badania). Być może dlatego, że jest przed nimi dużo więcej otwarcia więcej możliwości i życie staje się jaśniejsze? nie wiem...

Ale pomyśl samodzielnie...

Czego potrzeba, aby na egzaminie Unified State Exam wypaść lepiej od innych i ostatecznie… być szczęśliwszym?

Zdobądź rękę, rozwiązując problemy z tego tematu.

Podczas egzaminu nie będziesz proszony o zadawanie teorii.

Będziesz potrzebować rozwiązywać problemy z czasem.

A jeśli ich nie rozwiązałeś (DUŻO!), na pewno popełnisz gdzieś głupi błąd lub po prostu nie będziesz miał czasu.

To jak w sporcie – trzeba to powtarzać wiele razy, żeby na pewno wygrać.

Znajdź kolekcję gdziekolwiek chcesz, koniecznie z rozwiązaniami, szczegółowa analiza i decyduj, decyduj, decyduj!

Możesz skorzystać z naszych zadań (opcjonalnie) i oczywiście je polecamy.

Aby lepiej radzić sobie z naszymi zadaniami, musisz pomóc przedłużyć żywotność podręcznika YouClever, który aktualnie czytasz.

Jak? Istnieją dwie opcje:

1. Odblokuj wszystkie ukryte zadania w tym artykule -
2. Odblokuj dostęp do wszystkich ukrytych zadań we wszystkich 99 artykułach podręcznika - Kup podręcznik - 499 RUR

Tak, w naszym podręczniku mamy 99 takich artykułów i dostęp do wszystkich zadań oraz wszystkich ukrytych w nich tekstów można od razu otworzyć.

Dostęp do wszystkich ukrytych zadań jest zapewniony przez CAŁY okres istnienia witryny.

Podsumowując...

Jeśli nie podobają Ci się nasze zadania, znajdź inne. Tylko nie poprzestawaj na teorii.

„Rozumiem” i „Umiem rozwiązać” to zupełnie różne umiejętności. Potrzebujesz obu.

Znajdź problemy i rozwiąż je!

Na moim blogu tłumaczenie kolejnego wykładu z kursu „Zasady balansu gry” autorstwa projektanta gier Jana Schreibera, który pracował przy takich projektach jak Marvel Trading Card Game i Playboy: the Mansion.

Zanim Dzisiaj prawie wszystko, o czym mówiliśmy, było deterministyczne, a w zeszłym tygodniu przyjrzeliśmy się bliżej mechanice przechodniej, wchodząc w tyle szczegółów, ile tylko udało mi się wyjaśnić. Ale do tej pory nie zwracaliśmy uwagi na inny aspekt wielu gier, a mianowicie na aspekty niedeterministyczne - innymi słowy na losowość.

Zrozumienie natury losowości jest bardzo ważne dla projektantów gier. Tworzymy systemy, które wpływają na wrażenia użytkownika z danej gry, dlatego musimy wiedzieć, jak te systemy działają. Jeśli w systemie występuje losowość, musimy zrozumieć naturę tej losowości i wiedzieć, jak ją zmienić, aby uzyskać potrzebne wyniki.

Kostka do gry

Zacznijmy od czegoś prostego – rzucania kostka do gry. Kiedy większość ludzi myśli o kostkach, na myśl przychodzą sześciościenne kości znane jako k6. Ale większość graczy widziała wiele innych kości: czworościenną (d4), ośmiokątną (d8), dwunastościenną (d12), dwudziestościenną (d20). Jeśli jesteś prawdziwym maniakiem, możesz mieć gdzieś kostki 30-ścienne lub 100-ścienne.

Jeśli nie jesteś zaznajomiony z terminologią, d oznacza kość, a liczba po niej oznacza liczbę jej boków. Jeśli liczba pojawia się przed d, oznacza to liczbę kości, którymi należy rzucić. Na przykład w grze Monopoly rzucasz 2k6.

Zatem w tym przypadku wyrażenie „kostki” brzmi symbol. Istnieje ogromna liczba innych generatorów liczb losowych, które nie wyglądają jak plastikowe figurki, ale spełniają tę samą funkcję - generują Liczba losowa od 1 do n. Zwykłą monetę można również przedstawić jako dwuścienną kostkę d2.

Widziałem dwa projekty siedmiościennych kostek do gry: jeden z nich wyglądał jak kostka, a drugi bardziej przypominał siedmiościenny drewniany ołówek. Czworościenny dreidel, znany również jako titotum, jest podobny do kości czworościennej. Obracająca się tablica strzałek w Chutes & Ladders, gdzie wyniki mogą wynosić od 1 do 6, odpowiada sześciościennej kostce.

Komputerowy generator liczb losowych może utworzyć dowolną liczbę od 1 do 19, jeśli projektant tak określi, nawet jeśli komputer nie ma 19-ściennej kostki (ogólnie powiem więcej o prawdopodobieństwie pojawienia się liczb na komputer w przyszłym tygodniu). Wszystkie te elementy wyglądają inaczej, ale w rzeczywistości są równoważne: masz równe szanse na każdy z kilku możliwych wyników.

Kości mają trochę ciekawe właściwości o których musimy wiedzieć. Po pierwsze, prawdopodobieństwo wylosowania dowolnej kości jest takie samo (zakładam, że rzucasz właściwą kostką). kształt geometryczny). Jeśli chcesz poznać średnią wartość rzutu (dla tych, którzy interesują się teorią prawdopodobieństwa, jest to tzw wartość oczekiwana), zsumuj wartości na wszystkich ścianach i podziel tę liczbę przez liczbę ścian.

Suma wartości wszystkich boków dla standardowej kostki sześciościennej wynosi 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Podziel 21 przez liczbę boków i uzyskaj średnią wartość rzutu: 21 / 6 = 3,5. Ten szczególny przypadek, ponieważ zakładamy, że wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne.

A co jeśli masz specjalne kości? Widziałem na przykład grę z sześciościenną kostką ze specjalnymi naklejkami po bokach: 1, 1, 1, 2, 2, 3, więc zachowuje się jak dziwna trójścienna kostka, z którą więcej szansże liczba będzie wynosić 1, a nie 2, i że liczba będzie raczej 2 niż 3. Jaka jest średnia wartość rzutu tą kością? Zatem 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10 podzielone przez 6 - okazuje się, że 5/3, czyli około 1,66. Tak więc, jeśli masz specjalną kość, a gracze rzucają trzema kośćmi, a następnie sumują wyniki – wiesz, że ich wynik wyniesie około 5 i możesz zrównoważyć grę w oparciu o to założenie.

Kości i niezależność

Jak już powiedziałem, wychodzimy z założenia, że ​​prawdopodobieństwo wypadnięcia każdej ze stron jest jednakowe. Nie ma znaczenia, ile kości rzucisz. Każdy rzut kostką jest niezależny, co oznacza, że ​​poprzednie rzuty nie wpływają na wyniki kolejnych. Po wystarczającej liczbie prób z pewnością zauważysz pewien wzór liczb – na przykład rzucanie przeważnie wyższymi lub niższymi wartościami – lub inne cechy, ale to nie znaczy, że kości są „gorące” lub „zimne”. Porozmawiamy o tym później.

Jeśli rzucisz standardową sześciościenną kostką i dwa razy z rzędu wypadnie liczba 6, prawdopodobieństwo, że w następnym rzucie wypadnie 6, wynosi dokładnie 1/6. Prawdopodobieństwo nie wzrasta, ponieważ kość się „rozgrzała” . Jednocześnie prawdopodobieństwo nie maleje: błędne jest rozumowanie, że liczba 6 pojawiła się już dwa razy z rzędu, co oznacza, że ​​​​teraz powinna pojawić się kolejna strona.

Oczywiście, jeśli rzucisz dwadzieścia razy kostką i za każdym razem otrzymasz 6, szansa, że ​​za dwudziestym pierwszym razem rzucisz 6, jest dość duża: być może po prostu wybrałeś złą kość. Ale jeśli wynik jest sprawiedliwy, każda ze stron ma takie samo prawdopodobieństwo wylądowania, niezależnie od wyników pozostałych rzutów. Można też sobie wyobrazić, że za każdym razem wymieniamy kostkę: jeśli dwa razy z rzędu wyrzucimy liczbę 6, usuńmy „gorącą” kość z gry i zastąpmy ją nową. Przepraszam, jeśli ktoś z Was już o tym wiedział, ale musiałem to wyjaśnić, zanim przejdziemy dalej.

Jak sprawić, by rzut kostką był mniej lub bardziej losowy

Porozmawiajmy o tym, jak uzyskać różne wyniki na różnych kostkach. Niezależnie od tego, czy rzucisz kostką tylko raz, czy kilka razy, gra będzie bardziej losowa, gdy kość będzie miała więcej stron. Im częściej musisz rzucać kośćmi i im więcej rzucasz, tym bardziej wyniki zbliżają się do średniej.

Na przykład w przypadku 1k6 + 4 (to znaczy, jeśli rzucisz raz standardową sześciościenną kostką i do wyniku dodasz 4), średnia będzie liczbą z zakresu od 5 do 10. Jeśli rzucisz 5k2, średnia będzie również liczbą z zakresu od 5 do 10. Wynikiem rzutu 5k2 będą głównie liczby 7 i 8, rzadziej inne wartości. Ten sam szereg, nawet ta sama wartość średnia (w obu przypadkach 7,5), ale charakter losowości jest inny.

Poczekaj minutę. Czy nie mówiłem właśnie, że kości nie „nagrzewają się” ani nie „chłodzą”? Teraz mówię: jeśli rzucisz dużo kostek, wyniki rzutów będą zbliżone do średniej. Dlaczego?

Pozwól mi wyjaśnić. Jeśli rzucisz jedną kostką, każda strona ma takie samo prawdopodobieństwo wylądowania. Oznacza to, że jeśli z biegiem czasu rzucisz dużą ilością kości, każda strona wypadnie mniej więcej tyle samo razy. Im więcej kości rzucisz, tym bardziej całkowity wynik będzie bliższy średniej.

Nie dzieje się tak dlatego, że wylosowana liczba „wymusza” wylosowanie innej liczby, która nie została jeszcze wylosowana. Ale ponieważ mała seria wyrzucenia liczby 6 (lub 20, lub innej liczby) na końcu nie wpłynie tak bardzo na wynik, jeśli rzucisz kostką jeszcze dziesięć tysięcy razy i przeważnie wypadnie średnia liczba. Teraz dostaniesz kilka duże liczby, a później kilka mniejszych - i z biegiem czasu zbliżą się do wartości średniej.

Nie dzieje się tak dlatego, że poprzednie rzuty wpływają na kości (poważnie, kości są plastikowe, nie ma mózgu, żeby pomyśleć: „Och, minęło trochę czasu, odkąd wyrzuciłeś 2”), ale dlatego, że zwykle tak jest dzieje się, gdy rzucasz dużą ilością kości

Zatem dość łatwo jest wykonać obliczenia dla jednego losowego rzutu kostką - przynajmniej obliczyć średnią wartość rzutu. Istnieją również sposoby, aby obliczyć, „jak losowe” jest coś i powiedzieć, że wyniki rzutu 1k6+4 będą „bardziej losowe” niż 5k2. W przypadku 5k2 rzuty będą bardziej równomiernie rozłożone. Aby to zrobić, musisz obliczyć odchylenie standardowe: im większa wartość, tym bardziej losowe będą wyniki. Nie chciałbym dzisiaj podawać tak wielu obliczeń, wyjaśnię ten temat później.

Jedyne, o co proszę, abyś pamiętał, to to, że im mniej kości rzucasz, tym większa jest losowość. Im więcej boków ma kość, tym większa losowość, ponieważ istnieje więcej możliwych opcji wartości.

Jak obliczyć prawdopodobieństwo za pomocą liczenia

Być może zastanawiasz się: jak obliczyć dokładne prawdopodobieństwo uzyskania określonego wyniku? W rzeczywistości jest to dość ważne w wielu grach: jeśli początkowo rzucisz kostkami - najprawdopodobniej uzyskasz jakiś optymalny wynik. Moja odpowiedź brzmi: musimy obliczyć dwie wartości. Po pierwsze, Łączna wyniki przy rzucie kostką, a po drugie, liczba korzystnych wyników. Dzielenie drugiej wartości przez pierwszą da pożądane prawdopodobieństwo. Pozyskać odsetek, pomnóż wynik przez 100.

Przykłady

Oto bardzo prosty przykład. Chcesz, aby liczba 4 lub wyższa rzuciła raz sześciościenną kostką. Maksymalna liczba wyników wynosi 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Spośród nich 3 wyniki (4, 5, 6) są korzystne. Oznacza to, że aby obliczyć prawdopodobieństwo, dzielimy 3 przez 6 i otrzymujemy 0,5 lub 50%.

Oto przykład nieco bardziej skomplikowany. Chcesz rzucić 2k6 Liczba parzysta. Maksymalna liczba wyników wynosi 36 (6 opcji dla każdej kości, jedna kość nie wpływa na drugą, więc pomnóż 6 przez 6 i uzyskaj 36). Trudność zagadnienia tego typu jest to, że łatwo jest policzyć dwa razy. Na przykład, rzucając 2k6, możliwe są dwa wyniki 3: 1+2 i 2+1. Wyglądają tak samo, ale różnica polega na tym, która liczba jest wyświetlana na pierwszej kości, a która na drugiej.

Można sobie również wyobrazić, że kostka różne kolory: Na przykład w tym przypadku jedna kostka jest czerwona, a druga niebieska. Następnie policz liczbę opcji wyrzucenia liczby parzystej:

• 2 (1+1);
• 4 (1+3);
• 4 (2+2);
• 4 (3+1);
• 6 (1+5);
• 6 (2+4);
• 6 (3+3);
• 6 (4+2);
• 6 (5+1);
• 8 (2+6);
• 8 (3+5);
• 8 (4+4);
• 8 (5+3);
• 8 (6+2);
• 10 (4+6);
• 10 (5+5);
• 10 (6+4);
• 12 (6+6).

Okazuje się, że na 36 opcji korzystnego wyniku jest 18 - podobnie jak w poprzednim przypadku prawdopodobieństwo wynosi 0,5 lub 50%. Być może nieoczekiwane, ale całkiem trafne.

Symulacja Monte Carlo

A co jeśli masz za dużo kostek do wykonania tego obliczenia? Na przykład chcesz wiedzieć, jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania w sumie 15 lub więcej przy rzucie 8k6. Dla ośmiu kości jest ogromna różnorodność różne wyniki, a ręczne ich liczenie zajęłoby bardzo dużo czasu - nawet gdybyśmy znaleźli dobre rozwiązanie na pogrupowanie różnych serii rzutów kostkami.

W tym przypadku najłatwiej jest nie liczyć ręcznie, ale skorzystać z komputera. Istnieją dwa sposoby obliczania prawdopodobieństwa na komputerze. Pierwsza metoda może dać dokładną odpowiedź, ale wymaga trochę programowania lub pisania skryptów. Komputer sprawdzi każdą możliwość, oceni i policzy całkowitą liczbę iteracji oraz liczbę pasujących iteracji pożądany rezultat, a następnie podaj odpowiedzi. Twój kod może wyglądać mniej więcej tak w następujący sposób:

Jeśli nie rozumiesz programowania i potrzebujesz przybliżonej odpowiedzi, a nie dokładnej, możesz zasymulować tę sytuację w Excelu, gdzie rzucasz 8k6 kilka tysięcy razy i otrzymujesz odpowiedź. Aby rzucić 1k6 w Excelu, użyj formuły =PIĘTRO(RANDA()*6)+1.

Istnieje nazwa sytuacji, w której nie znasz odpowiedzi i po prostu próbujesz ciągle od nowa – symulacja Monte Carlo. Jest to świetne rozwiązanie, które można zastosować, gdy obliczenie prawdopodobieństwa jest zbyt trudne. Wspaniałą rzeczą jest to, że w tym przypadku nie musimy rozumieć, jak działa matematyka i wiemy, że odpowiedź będzie „całkiem dobra”, ponieważ, jak już wiemy, im więcej rzutów, tym wynik będzie bliższy wartości przeciętny.

Jak łączyć niezależne badania

Jeśli zapytasz o kilka powtarzających się ale niezależne testy, wówczas wynik jednego rzutu nie wpływa na wyniki pozostałych rzutów. Istnieje inne, prostsze wyjaśnienie tej sytuacji.

Jak odróżnić coś zależnego od niezależnego? Zasadniczo, jeśli możesz wyizolować każdy rzut (lub serię rzutów) kostką jako osobne zdarzenie, wówczas jest ono niezależne. Załóżmy na przykład, że rzucamy 8k6 i chcemy uzyskać w sumie 15. Wydarzenie nie można podzielić na kilka niezależnych rzutów kostką. Aby uzyskać wynik, obliczasz sumę wszystkich wartości, więc wynik uzyskany na jednej kostce wpływa na wyniki, które powinny pojawić się na pozostałych.

Oto przykład niezależnych rzutów: Grasz w kości i rzucasz wielokrotnie kostkami sześciościennymi. Aby pozostać w grze, pierwszy rzut musi wynosić 2 lub więcej. Za drugi rzut - 3 lub więcej. Trzeci wymaga wyniku 4 lub więcej, czwarty wymaga wyniku 5 lub więcej, a piąty wymaga wyniku 6. Jeśli wszystkie pięć rzutów wypadnie pomyślnie, wygrywasz. W tym przypadku wszystkie rzuty są niezależne. Tak, jeśli jeden rzut będzie nieudany, będzie to miało wpływ na wynik całej gry, ale jeden rzut nie ma wpływu na drugi. Na przykład, jeśli drugi rzut kośćmi zakończy się sukcesem, nie oznacza to, że kolejne rzuty będą równie dobre. Dlatego możemy osobno rozważyć prawdopodobieństwo każdego rzutu kostką.

Jeśli masz niezależne prawdopodobieństwa i chcesz wiedzieć, jakie jest prawdopodobieństwo wystąpienia wszystkich zdarzeń, określasz każde prawdopodobieństwo z osobna i mnożysz je przez siebie. Inny sposób: jeśli użyjesz spójnika „i” do opisania kilku warunków (na przykład, jakie jest prawdopodobieństwo wystąpienia jakiegoś Zdarzenie losowe i jakieś inne niezależne zdarzenie losowe?) - policz poszczególne prawdopodobieństwa i pomnóż je.

Bez względu na to, co myślisz, nigdy nie sumuj niezależnych prawdopodobieństw. To częsty błąd. Aby zrozumieć, dlaczego jest to błędne podejście, wyobraź sobie sytuację, w której rzucasz monetą i chcesz wiedzieć, jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia orła dwa razy z rzędu. Prawdopodobieństwo wypadnięcia każdej ze stron wynosi 50%. Jeśli dodasz te dwa prawdopodobieństwa, masz 100% szans na wyrzucenie orła, ale wiemy, że to nieprawda, ponieważ dwa razy z rzędu mogła to być reszka. Jeśli zamiast tego pomnożysz oba prawdopodobieństwa, otrzymasz 50% * 50% = 25% - co jest poprawną odpowiedzią na obliczenie prawdopodobieństwa zdobycia orła dwa razy z rzędu.

Przykład

Wróćmy do gry w kości sześciościenne, gdzie najpierw należy wyrzucić liczbę większą od 2, potem większą od 3 – i tak dalej, aż do 6. Jakie są szanse, że w danej serii pięciu rzutów wszystkie wyniki będą korzystne ?

Jak wspomniano powyżej, są to niezależne próby, dlatego obliczamy prawdopodobieństwo dla każdego pojedynczego rzutu, a następnie mnożymy je przez siebie. Prawdopodobieństwo, że wynik pierwszego rzutu będzie korzystny, wynosi 5/6. Drugie - 4/6. Trzeci - 3/6. Czwarty - 2/6, piąty - 1/6. Wszystkie wyniki mnożymy przez siebie i otrzymujemy około 1,5%. Wygrane w tej grze są dość rzadkie, więc jeśli dodasz ten element do swojej gry, będziesz potrzebować dość dużego jackpota.

Negacja

Oto kolejny przydatna wskazówka: Czasami trudno jest obliczyć prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia, ale łatwiej jest określić prawdopodobieństwo, że zdarzenie nie nastąpi. Załóżmy na przykład, że mamy inną grę: rzucasz 6k6 i wygrywasz, jeśli przynajmniej raz wyrzucisz 6. Jakie jest prawdopodobieństwo wygranej?

W tym przypadku należy rozważyć wiele opcji. Może się zdarzyć, że na jednej kostce zostanie wyrzucona liczba 6, czyli na jednej kostce pojawi się liczba 6, a na pozostałych cyfry od 1 do 5, wtedy jest 6 możliwości, która z kostek pokaże 6. Numer 6 możesz uzyskać na dwóch kostkach, trzech, a nawet więcej, i za każdym razem będziesz musiał wykonać osobne obliczenia, więc łatwo się tutaj pomylić.

Ale spójrzmy na problem od drugiej strony. Przegrasz, jeśli na żadnej kostce nie wypadnie 6. W tym przypadku mamy 6 niezależnych prób. Prawdopodobieństwo, że na każdej kostce wypadnie liczba inna niż 6, wynosi 5/6. Pomnóż je, a otrzymasz około 33%. Zatem prawdopodobieństwo przegranej wynosi jeden do trzech. Dlatego prawdopodobieństwo wygranej wynosi 67% (czyli dwa do trzech).

Z tego przykładu wynika jasno: jeśli obliczysz prawdopodobieństwo, że zdarzenie nie nastąpi, wynik musisz odjąć od 100%. Jeśli prawdopodobieństwo wygranej wynosi 67%, wówczas prawdopodobieństwo przegranej wynosi 100% minus 67%, czyli 33% i odwrotnie. Jeśli trudno jest obliczyć jedno prawdopodobieństwo, ale łatwo obliczyć przeciwne, oblicz przeciwne prawdopodobieństwo, a następnie odejmij tę liczbę od 100%.

Łączymy warunki dla jednego niezależnego testu

Powiedziałem powyżej, że nigdy nie należy dodawać prawdopodobieństw w niezależnych próbach. Czy są przypadki, w których można podsumować prawdopodobieństwa? Tak, w jednej szczególnej sytuacji.

Jeśli chcesz obliczyć prawdopodobieństwo kilku niepowiązanych ze sobą korzystnych wyników w jednym badaniu, zsumuj prawdopodobieństwa każdego korzystnego wyniku. Na przykład prawdopodobieństwo wyrzucenia 4, 5 lub 6 na 1k6 jest równe sumie prawdopodobieństwa wyrzucenia 4, prawdopodobieństwa wyrzucenia 5 i prawdopodobieństwa wyrzucenia 6. Ta sytuacja można sobie wyobrazić w ten sposób: jeśli użyjesz spójnika „lub” w pytaniu o prawdopodobieństwo (na przykład, jakie jest prawdopodobieństwo tego lub innego wyniku tego lub innego zdarzenia losowego?) - policz poszczególne prawdopodobieństwa i zsumuj je.

Uwaga: przy obliczaniu wszystkich możliwych wyników gry suma prawdopodobieństw ich wystąpienia musi być równa 100%, w przeciwnym razie obliczenia zostały wykonane błędnie. Ten dobry sposób sprawdź ponownie swoje obliczenia. Na przykład przeanalizowałeś prawdopodobieństwo wszystkich kombinacji w pokerze. Jeśli dodasz wszystkie wyniki, powinieneś otrzymać dokładnie 100% (lub przynajmniej prawie 100%: jeśli użyjesz kalkulatora, może pojawić się mały błąd zaokrąglenia, ale jeśli dodasz dokładne liczby ręcznie, wszystko powinno się sumować). Jeśli suma nie jest zbieżna, oznacza to, że najprawdopodobniej nie wziąłeś pod uwagę niektórych kombinacji lub błędnie obliczyłeś prawdopodobieństwa niektórych kombinacji i obliczenia należy jeszcze raz sprawdzić.

Nierówne prawdopodobieństwa

Do tej pory zakładaliśmy, że każdą stroną kostki rzuca się z tą samą częstotliwością, ponieważ tak wydają się działać kości. Czasami jednak możesz spotkać się z sytuacją, w której możliwe są różne wyniki i mają one różne szanse na wystąpienie.

Przykładowo w jednym z rozszerzeń gry karcianej Nuclear War znajduje się pole gry ze strzałką, od której zależy wynik wystrzelenia rakiety. Najczęściej zadaje normalne obrażenia, silniejsze lub słabsze, ale czasami obrażenia są podwojone lub potrojone, albo rakieta eksploduje wyrzutnia i wyrządzi Ci krzywdę lub nastąpi inne zdarzenie. W przeciwieństwie do planszy strzałek w Chutes & Ladders lub A Game of Life, wyniki na planszy w Nuclear War są nierówne. Niektóre sekcje pola gry są większe i strzałka zatrzymuje się na nich znacznie częściej, podczas gdy inne są bardzo małe i strzałka zatrzymuje się na nich rzadko.

Zatem na pierwszy rzut oka kość wygląda mniej więcej tak: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - już o tym rozmawialiśmy, to jest coś w rodzaju ważonej 1k3. Dlatego musimy podzielić wszystkie te sekcje na równe części, znaleźć najmniejszą jednostkę miary, której dzielnik jest wielokrotnością, a następnie przedstawić sytuację w postaci d522 (lub innej), gdzie zestaw kostek twarze będą reprezentować tę samą sytuację, nos duża ilość wyniki. Jest to jeden ze sposobów rozwiązania problemu, technicznie wykonalny, ale istnieje prostsza opcja.

Wróćmy do naszych standardowych sześciościennych kości. Powiedzieliśmy, że aby obliczyć średni rzut zwykłą kostką, należy zsumować wartości na wszystkich ściankach i podzielić przez liczbę ścian, ale jak dokładnie działają obliczenia? Można to wyrazić w inny sposób. W przypadku kostki sześciościennej prawdopodobieństwo wyrzucenia każdej strony wynosi dokładnie 1/6. Teraz mnożymy wynik każdej krawędzi przez prawdopodobieństwo tego wyniku (w tym przypadku 1/6 dla każdej krawędzi), a następnie sumujemy otrzymane wartości. Podsumowując (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6 ), otrzymujemy taki sam wynik (3,5), jak w powyższym obliczeniu. W rzeczywistości liczymy w ten sposób za każdym razem: mnożymy każdy wynik przez prawdopodobieństwo tego wyniku.

Czy możemy wykonać te same obliczenia dla strzałki na boisku w wojnie nuklearnej? Oczywiście możemy. A jeśli podsumujemy wszystkie znalezione wyniki, otrzymamy wartość średnią. Wszystko, co musimy zrobić, to obliczyć prawdopodobieństwo każdego wyniku dla strzałki na planszy i pomnożyć przez wartość wyniku.

Inny przykład

Ta metoda obliczania średniej jest również odpowiednia, jeśli wyniki są równie prawdopodobne, ale mają różne zalety – na przykład, jeśli rzucisz kostką i wygrasz więcej po jednej stronie niż po drugiej. Weźmy na przykład grę w kasynie: stawiasz zakład i rzucasz 2k6. Jeśli wyrzucimy trzy liczby najniższa wartość(2, 3, 4) lub cztery liczby z wysoka wartość(9, 10, 11, 12) - wygrasz kwotę równą Twojemu zakładowi. Liczby o najniższej i najwyższej wartości są wyjątkowe: jeśli wyrzucisz 2 lub 12, wygrywasz dwukrotnie większą kwotę zakładu. Jeśli wyrzuci się inny numer (5, 6, 7, 8), przegrywasz zakład. To jest ładne prosta gra. Ale jakie jest prawdopodobieństwo wygranej?

Zacznijmy od policzenia, ile razy możesz wygrać. Maksymalna liczba wyników przy rzucie 2k6 wynosi 36. Jaka jest liczba korzystnych wyników?

• Istnieje 1 opcja, że ​​zostanie wyrzucona 2 i 1 opcja, że ​​zostanie wyrzucona 12.
• Istnieją 2 opcje, w których wyrzucono 3 i 2 opcje, w których wyrzucono 11.
• Istnieją 3 opcje, w których wyrzucona zostanie 4 i 3 opcje, w których wyrzucona zostanie 10.
• Istnieją 4 możliwości wyrzucenia 9.

Podsumowując wszystkie opcje, otrzymujemy 16 korzystnych wyników z 36. Zatem z normalne warunki wygrasz 16 razy na 36 możliwych - prawdopodobieństwo wygranej jest nieco mniejsze niż 50%.

Ale w dwóch przypadkach z tych szesnastu wygrasz dwa razy więcej – to jak wygrać dwa razy. Jeśli zagrasz w tę grę 36 razy, za każdym razem stawiając 1 $ i każdy z możliwych wyników pojawi się raz, wygrasz w sumie 18 $ (w rzeczywistości wygrasz 16 razy, ale dwa z nich będą liczone jako dwa zwycięstwa). Jeśli zagrasz 36 razy i wygrasz 18 dolarów, czy nie oznacza to, że szanse są równe?

Nie spiesz się. Jeśli policzysz, ile razy możesz przegrać, otrzymasz 20, a nie 18. Jeśli zagrasz 36 razy, stawiając za każdym razem 1 $, wygrasz całkowita kwota 18 USD, jeśli wystąpią wszystkie korzystne wyniki. Ale stracisz łącznie 20 $, jeśli uzyskasz wszystkie 20 niekorzystnych wyników. W efekcie zostaniesz trochę w tyle: na każde 36 gier tracisz średnio 2 dolary netto (można też powiedzieć, że tracisz średnio 1/18 dolara dziennie). Teraz widzisz, jak łatwo w tym przypadku popełnić błąd i błędnie obliczyć prawdopodobieństwo.

Przegrupowanie

Do tej pory zakładaliśmy, że kolejność liczb przy rzucie kostkami nie ma znaczenia. Wyrzucenie 2 + 4 jest równoznaczne z wyrzuceniem 4 + 2. W większości przypadków ręcznie liczymy liczbę korzystnych wyników, ale czasami Ta metoda jest niepraktyczne i lepiej zastosować wzór matematyczny.

Przykładem takiej sytuacji jest gra w kości Farkle. W każdej nowej rundzie rzucasz 6k6. Jeśli będziesz miał szczęście i zdobędziesz je wszystkie możliwe rezultaty 1-2-3-4-5-6 (prosto), otrzymasz duży bonus. Jakie jest prawdopodobieństwo takiego zdarzenia? W takim przypadku istnieje wiele opcji uzyskania tej kombinacji.

Rozwiązanie jest następujące: na jednej kostce (i tylko na jednej) musi być liczba 1. Na ile sposobów liczba 1 może pojawić się na jednej kostce? Istnieje 6 opcji, ponieważ jest 6 kości, a każda z nich może spaść na numer 1. W związku z tym weź jedną kostkę i odłóż ją na bok. Teraz na jednej z pozostałych kostek powinna wyrzucić liczbę 2. Jest na to 5 możliwości. Weź kolejną kostkę i odłóż ją na bok. Następnie 4 z pozostałych kości mogą wyrzucić 3, 3 z pozostałych kości mogą wyrzucić 4, a 2 z pozostałych kości mogą wyrzucić 5. To pozostawia ci jedną kość, która powinna wyrzucić 6 (w ten ostatni przypadek jest tylko jedna kość i nie ma wyboru).

Aby obliczyć liczbę korzystnych wyników trafienia strita, mnożymy wszystkie różne niezależne opcje: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 - wygląda na to, że jest ich całkiem sporo duża liczba możliwości uzyskania tej kombinacji.

Aby obliczyć prawdopodobieństwo uzyskania strita, musimy podzielić 720 przez liczbę wszystkich możliwych wyników w rzucie 6k6. Jaka jest liczba wszystkich możliwych wyników? Każda kostka może mieć 6 boków, więc mnożymy 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (znacznie większa liczba niż poprzednia). Podziel 720 przez 46656, a otrzymasz prawdopodobieństwo około 1,5%. Jeśli projektowałeś tę grę, dobrze byłoby, abyś o tym wiedział, aby móc stworzyć odpowiedni system punktacji. Teraz rozumiemy, dlaczego w Farkle dostajesz tak dużą premię za strita: jest to dość rzadka sytuacja.

Wynik jest interesujący także z innego powodu. Przykład pokazuje, jak rzadko w krótkim czasie zdarza się wynik zgodny z prawdopodobieństwem. Oczywiście gdybyśmy rzucili kilka tysięcy kostek, różne twarze kostki pojawiały się dość często. Ale kiedy rzucamy tylko sześcioma kostkami, prawie nigdy nie zdarza się, że wyrzucą wszystkie twarze. Staje się jasne, że głupio jest oczekiwać, że teraz pojawi się linia, która jeszcze się nie wydarzyła, ponieważ „od dawna nie rzucaliśmy cyfrą 6”. Słuchaj, twój generator liczb losowych jest uszkodzony.

Prowadzi nas to do powszechnego błędnego przekonania, że ​​wszystkie skutki pojawiają się z tą samą częstotliwością w krótkim okresie czasu. Jeśli rzucimy kostką kilka razy, częstotliwość wypadania każdej strony nie będzie taka sama.

Jeśli kiedykolwiek pracowałeś nad grą online z jakimś generatorem liczb losowych, najprawdopodobniej spotkałeś się z sytuacją, w której gracz pisze do pomocy technicznej ze skargą, że generator liczb losowych nie wyświetla liczb losowych. Doszedł do tego wniosku, ponieważ zabił 4 potwory z rzędu i otrzymał 4 dokładnie takie same nagrody, a nagrody te powinny pojawiać się tylko w 10% przypadków, więc oczywiście prawie nigdy nie powinno to mieć miejsca.

Wykonujesz obliczenia matematyczne. Prawdopodobieństwo wynosi 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10, czyli 1 wynik na 10 tysięcy jest całkiem rzadki przypadek. To właśnie gracz próbuje ci powiedzieć. Czy w tym przypadku jest jakiś problem?

Wszystko zależy od okoliczności. Ilu graczy jest obecnie na Twoim serwerze? Załóżmy, że masz dość popularną grę i codziennie gra w nią 100 tysięcy osób. Ilu graczy może zabić cztery potwory z rzędu? Ewentualnie wszystkie, kilka razy dziennie, ale załóżmy, że połowa z nich po prostu wymienia różne obiekty na aukcjach, koresponduje na serwerach RP lub wykonuje inne czynności w grze - dlatego tylko połowa z nich poluje na potwory. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ktoś otrzyma taką samą nagrodę? W tej sytuacji można się spodziewać, że stanie się to co najmniej kilka razy dziennie.

Swoją drogą, dlatego wydaje się, że co kilka tygodni ktoś wygrywa na loterii, nawet jeśli tym kimś nigdy nie byłeś ty ani nikt, kogo znasz. Jeśli wystarczająca liczba osób gra regularnie, istnieje szansa, że ​​gdzieś znajdzie się przynajmniej jeden szczęśliwy gracz. Ale jeśli sam zagrasz na loterii, prawdopodobnie nie wygrasz, a raczej zostaniesz zaproszony do pracy w Infinity Ward.

Karty i uzależnienie

Omówiliśmy zdarzenia niezależne, takie jak rzut kostką, i teraz wiemy już dużo potężne narzędzia analiza losowości w wielu grach. Obliczanie prawdopodobieństwa jest nieco bardziej skomplikowane, jeśli chodzi o dobieranie kart z talii, ponieważ każda dobrana przez nas karta wpływa na te, które pozostają w talii.

Jeśli masz standardową talię 52 kart, usuwasz z niej 10 kier i chcesz poznać prawdopodobieństwo, że następna karta będzie w tym samym kolorze - prawdopodobieństwo zmieniło się w stosunku do oryginału, ponieważ usunąłeś już jedną kartę w tym kolorze serc z talii. Każda usunięta karta zmienia prawdopodobieństwo pojawienia się kolejnej karty w talii. W tym przypadku poprzednie wydarzenie wpływa na następujące elementy, dlatego nazywamy to prawdopodobieństwem zależnym.

Pamiętaj, że mówiąc „karty” mam na myśli dowolną mechanikę gry, w której masz zestaw obiektów i usuwasz jeden z obiektów bez zastąpienia go. „Talia kart” w tym przypadku jest analogiczna do worka żetonów, z którego pobiera się jeden żeton, lub urny, z której pobierane są kolorowe kule (nigdy nie widziałem zabaw z urną, z której pobierane są kolorowe kule, ale nauczyciele teorii prawdopodobieństwa, według jakiego powodu preferowany jest ten przykład).

Właściwości zależności

Chciałbym to wyjaśnić, kiedy mówimy o jeśli chodzi o karty, myślę, że wyjmujesz je, patrzysz na nie i usuwasz z talii. Każde z tych działań jest ważną właściwością. Gdybym miał talię, powiedzmy, sześciu kart z numerami od 1 do 6, przetasowałbym je i dobrałem jedną kartę, a następnie ponownie przetasowałem wszystkie sześć kart – byłoby to podobne do rzutu sześciościenną kostką, ponieważ jeden wynik żadnego efektu na następne. A jeśli wyjmę karty i ich nie wymienię, to wyjmując kartę 1, zwiększam prawdopodobieństwo, że następnym razem wylosuję kartę z numerem 6. Prawdopodobieństwo będzie rosło, aż w końcu usunę tę kartę lub przetasować talię.

Istotny jest także fakt, że patrzymy na karty. Jeśli wyjmę kartę z talii i nie spojrzę na nią, nie będę jej mieć Dodatkowe informacje i tak naprawdę prawdopodobieństwo się nie zmieni. Może to brzmieć sprzecznie z intuicją. Jak można to zrobić poprzez proste odwrócenie karty magicznie zmienić prawdopodobieństwo? Jest to jednak możliwe, ponieważ prawdopodobieństwo nieznanych elementów można obliczyć na podstawie tylko tego, co wiadomo.

Na przykład, jeśli przetasujesz standardową talię kart i odkryjesz 51 kart, a żadna z nich nie jest damą trefl, możesz być w 100% pewien, że pozostała karta jest damą trefl. Jeśli przetasujesz standardową talię kart i wyjmiesz 51 kart bez patrzenia na nie, prawdopodobieństwo, że pozostała karta to dama trefl, nadal wynosi 1/52. Po otwarciu każdej karty uzyskasz więcej informacji.

Obliczanie prawdopodobieństwa zdarzeń zależnych odbywa się na tych samych zasadach, co w przypadku zdarzeń niezależnych, z tą różnicą, że jest nieco bardziej skomplikowane, ponieważ prawdopodobieństwa zmieniają się w miarę odkrywania kart. Więc musisz dużo pomnożyć różne znaczenia, zamiast mnożyć tę samą wartość. Tak naprawdę oznacza to, że musimy połączyć wszystkie obliczenia, które wykonaliśmy, w jedną kombinację.

Przykład

Tasujesz standardową talię 52 kart i dobierasz dwie karty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujesz parę? Istnieje kilka sposobów obliczenia tego prawdopodobieństwa, ale być może najprostszy jest następujący: jakie jest prawdopodobieństwo, że jeśli wylosujesz jedną kartę, nie będziesz mógł wylosować pary? Prawdopodobieństwo to wynosi zero, więc nie ma znaczenia, którą kartę wylosujesz jako pierwszą, ważne, aby pasowała do drugiej. Nie ma znaczenia, którą kartę wylosujemy jako pierwszą, wciąż mamy szansę na wylosowanie pary. Zatem prawdopodobieństwo wylosowania pary po wylosowaniu pierwszej karty wynosi 100%.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że druga karta pasuje do pierwszej? W talii pozostało 51 kart, a 3 z nich pasują do pierwszej karty (właściwie byłoby 4 z 52, ale jedną z pasujących kart już usunąłeś, kiedy dobierałeś pierwszą kartę), więc prawdopodobieństwo wynosi 1/ 17. Zatem następnym razem, gdy będziesz grać w Texas Hold'em, facet po drugiej stronie stołu powie: „Świetnie, kolejna para? Dziś mam szczęście”, będziesz wiedział, że istnieje duże prawdopodobieństwo, że blefuje.

A co jeśli dodamy dwóch jokerów i mamy w talii 54 karty, a chcemy wiedzieć jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania pary? Pierwszą kartą może być joker, a wtedy w talii będzie pasować tylko jedna karta, a nie trzy. Jak znaleźć prawdopodobieństwo w tym przypadku? Podzielimy prawdopodobieństwa i pomnożymy każdą możliwość.

Naszą pierwszą kartą może być joker lub inna karta. Prawdopodobieństwo wylosowania jokera wynosi 2/54, prawdopodobieństwo wylosowania innej karty wynosi 52/54. Jeśli pierwszą kartą jest joker (2/54), prawdopodobieństwo, że druga karta będzie równa pierwszej, wynosi 1/53. Mnożymy wartości (możemy je pomnożyć, ponieważ są to osobne zdarzenia i chcemy, aby oba zdarzenia miały miejsce) i otrzymujemy 1/1431 – mniej niż jedną dziesiątą procenta.

Jeśli najpierw dobierzesz inną kartę (52/54), prawdopodobieństwo trafienia drugiej karty wynosi 3/53. Mnożymy wartości i otrzymujemy 78/1431 (nieco ponad 5,5%). Co robimy z tymi dwoma wynikami? Nie przecinają się, a chcemy poznać prawdopodobieństwo każdego z nich, więc dodajemy wartości. Otrzymujemy ostateczny wynik 79/1431 (wciąż około 5,5%).

Gdybyśmy chcieli mieć pewność co do trafności odpowiedzi, moglibyśmy obliczyć prawdopodobieństwo wszystkich pozostałych możliwych wyników: wylosowania jokera i niedopasowania drugiej karty lub wyciągnięcia innej karty i nie dopasowania drugiej karty. Sumując te prawdopodobieństwa i prawdopodobieństwo wygranej otrzymalibyśmy dokładnie 100%. Nie podam tutaj obliczeń, ale możesz spróbować wykonać obliczenia, aby to sprawdzić.

Paradoks Monty’ego Halla

To prowadzi nas do dość znanego paradoksu, który często dezorientuje wiele osób – paradoksu Monty'ego Halla. Nazwa paradoksu wzięła się od nazwiska gospodarza programu telewizyjnego „Zawrzyjmy umowę”, a dla tych, którzy nigdy nie widzieli tego programu, było to przeciwieństwo „Cena jest właściwa”.

W programie The Price Is Right gospodarz (był nim Bob Barker; kto jest teraz, Drew Carey? Nieważne) jest twoim przyjacielem. Chce, abyś wygrał pieniądze lub fajne nagrody. Stara się dać Ci każdą szansę na wygraną, o ile potrafisz odgadnąć, ile faktycznie warte są przedmioty zakupione przez sponsorów.

Monty Hall zachował się inaczej. Był jak zły bliźniak Boba Barkera. Jego celem było zrobienie z ciebie idioty w ogólnokrajowej telewizji. Jeśli byłeś w programie, był twoim przeciwnikiem, grałeś przeciwko niemu i szanse były na jego korzyść. Być może jestem zbyt surowy, ale patrząc na program, do którego łatwiej się dostać, jeśli założysz śmieszny kostium, właśnie do tego doszedłem.

Jeden z najsłynniejszych memów serialu brzmiał tak: przed tobą jest troje drzwi, drzwi nr 1, drzwi nr 2 i drzwi nr 3. Jedne drzwi możesz wybrać za darmo. Za jednym z nich kryje się wspaniała nagroda – na przykład nowy samochód. Za pozostałymi dwojgiem drzwi nie ma żadnych nagród, obie nie mają żadnej wartości. Mają cię upokorzyć, więc za nimi nie stoi nic, ale coś głupiego, na przykład koza lub wielka tubka pasty do zębów – wszystko, byle nie nowy samochód.

Wybierasz jedne z drzwi, Monty zaraz je otworzy i poinformuje Cię, czy wygrałeś, czy nie… ale poczekaj. Zanim się dowiemy, przyjrzyjmy się jednym z tych drzwi, których nie wybrałeś. Monty wie, za którymi drzwiami znajduje się nagroda, i zawsze może otworzyć drzwi, za którymi nie ma nagrody. „Wybierasz drzwi nr 3? W takim razie otwórzmy drzwi numer 1, żeby pokazać, że nie kryje się za nimi żadna nagroda. A teraz, z hojności, oferuje ci możliwość wymiany wybranych drzwi nr 3 na to, co znajduje się za drzwiami nr 2.

W tym momencie pojawia się pytanie o prawdopodobieństwo: czy ta szansa zwiększa Twoje prawdopodobieństwo wygranej, czy je zmniejsza, czy też pozostaje niezmieniona? Jak myślisz?

Prawidłowa odpowiedź: możliwość wyboru innych drzwi zwiększa prawdopodobieństwo wygranej z 1/3 do 2/3. To jest nielogiczne. Jeśli nie spotkałeś się wcześniej z tym paradoksem, najprawdopodobniej myślisz: czekaj, jak to się dzieje, że otwierając jedne drzwi, w magiczny sposób zmieniamy prawdopodobieństwo? Jak już widzieliśmy w przypadku map, dokładnie tak się dzieje, gdy zdobywamy więcej informacji. Oczywiście, gdy wybierasz po raz pierwszy, prawdopodobieństwo wygranej wynosi 1/3. Kiedy otwierają się jedne drzwi, w ogóle nie zmienia to prawdopodobieństwa wygranej w przypadku pierwszego wyboru: prawdopodobieństwo nadal wynosi 1/3. Ale prawdopodobieństwo, że drugie drzwi są prawidłowe, wynosi teraz 2/3.

Spójrzmy na ten przykład z innej perspektywy. Wybierasz drzwi. Prawdopodobieństwo wygranej wynosi 1/3. Sugeruję zmianę pozostałych dwojga drzwi, co robi Monty Hall. Jasne, otwiera jedne z drzwi, aby ujawnić, że nie kryje się za nimi żadna nagroda, ale zawsze może to zrobić, więc tak naprawdę niczego to nie zmienia. Oczywiście będziesz chciał wybrać inne drzwi.

Jeśli nie do końca rozumiesz pytanie i potrzebujesz bardziej przekonującego wyjaśnienia, kliknij ten link, aby przejść do świetnej małej aplikacji Flash, która pozwoli Ci bardziej szczegółowo zbadać ten paradoks. Możesz grać zaczynając od około 10 drzwi, a następnie stopniowo zmierzać do gry z trzema drzwiami. Dostępny jest także symulator, w którym możesz grać dowolną liczbą drzwi od 3 do 50 lub przeprowadzić kilka tysięcy symulacji i zobaczyć, ile razy wygrałbyś, gdybyś grał.

Wybierz jedno z trzech drzwi - prawdopodobieństwo wygranej wynosi 1/3. Teraz masz dwie strategie: zmienić swój wybór po otwarciu niewłaściwych drzwi lub nie. Jeśli nie zmienisz swojego wyboru, prawdopodobieństwo pozostanie 1/3, ponieważ wybór nadchodzi tylko na pierwszym etapie i trzeba od razu zgadywać. Jeśli się zmienisz, możesz wygrać, jeśli najpierw wybierzesz niewłaściwe drzwi (wtedy otworzą kolejne złe, prawe pozostają - zmieniając swoją decyzję, podejmujesz ją). Prawdopodobieństwo wybrania niewłaściwych drzwi na początku wynosi 2/3 - okazuje się więc, że zmieniając decyzję, podwajasz prawdopodobieństwo wygranej.

Uwaga nauczyciela wyższa matematyka i specjalista ds. balansu gry Maxim Soldatov - Schreiber oczywiście jej nie miał, ale bez niej można to zrozumieć magiczna transformacja wystarczająco ciężko

I znowu o paradoksie Monty Halla

A co do samego programu: nawet jeśli przeciwnicy Monty'ego Halla nie byli dobrzy z matematyki, on był w tym dobry. Oto, co zrobił, aby trochę zmienić grę. Jeśli wybierzesz drzwi, za którymi kryje się nagroda, a prawdopodobieństwo ich wystąpienia wynosi 1/3, zawsze będziesz mieć możliwość wyboru innych drzwi. Wybierzesz samochód, a potem zamienisz go na kozę i będziesz wyglądać całkiem głupio – a tego właśnie chcesz, ponieważ Hall jest w pewnym sensie złym facetem.

Ale jeśli wybierzesz drzwi, za którymi nie kryje się nagroda, poprosi cię o wybranie innych tylko w połowie przypadków lub po prostu pokaże ci twoją nową kozę i opuścisz scenę. Przeanalizujmy to Nowa gra, w którym Monty Hall może zdecydować, czy dać Ci szansę na wybór innych drzwi.

Załóżmy, że postępuje według następującego algorytmu: jeśli wybierzesz drzwi z nagrodą, zawsze oferuje ci możliwość wyboru innych drzwi, w przeciwnym razie równie prawdopodobne jest, że zaproponuje ci wybranie innych drzwi lub podaruje ci kozę. Jakie jest Twoje prawdopodobieństwo wygranej?

W jednym z trzy opcje od razu wybierasz drzwi, za którymi znajduje się nagroda, a prezenter zaprasza Cię do wybrania kolejnych.

Z pozostałych dwóch opcji z trzech (początkowo wybierasz drzwi bez nagrody), w połowie przypadków prezenter zaproponuje Ci zmianę decyzji, a w drugiej połowie przypadków - nie.

Połowa 2/3 to 1/3, czyli w jednym przypadku na trzy dostaniesz kozę, w jednym przypadku na trzy wybierzesz złe drzwi i gospodarz poprosi Cię o wybranie innych, a w jednym w przypadku trzech wybierzesz właściwe drzwi, ale on znowu zaproponuje inne.

Jeśli prezenter zaproponuje wybór innych drzwi, to już wiemy, że ten jeden przypadek na trzy, kiedy daje nam kozę i wychodzimy, nie miał miejsca. Ten pomocna informacja: oznacza to, że nasze szanse na wygraną uległy zmianie. Dwa przypadki na trzy, kiedy mamy możliwość wyboru: w jednym przypadku oznacza to, że zgadliśmy poprawnie, a w drugim, że zgadliśmy źle, więc jeśli w ogóle zaoferowano nam możliwość wyboru, to prawdopodobieństwo naszej wygranej wynosi 1/2 i z matematycznego punktu widzenia nie ma znaczenia, czy pozostaniesz przy swoim wyborze, czy wybierzesz inne drzwi.

Podobnie jak poker, jest to gra psychologiczna, a nie matematyczna. Dlaczego Monty dał ci wybór? Uważa, że ​​jesteś prostakiem, który nie wie, że wybór innych drzwi to „właściwa” decyzja i będzie uparcie trzymał się swojego wyboru (w końcu psychicznie sytuacja jest bardziej skomplikowana, kiedy wybrałeś samochód, a potem go zgubiłeś)?

A może on, uznając, że jesteś mądry i wybierzesz inne drzwi, daje ci tę szansę, bo wie, że od razu zgadłeś poprawnie i wpadniesz w uzależnienie? A może jest nietypowo miły i namawia Cię do zrobienia czegoś, co będzie dla Ciebie korzystne, bo dawno nie rozdawał samochodów, a producenci mówią, że widzowie się nudzą i lepiej, żeby jak najszybciej rozdano dużą nagrodę oceny spadają?

W ten sposób Monty'emu udaje się czasem dać wybór, a jednocześnie ogólne prawdopodobieństwo wygrane pozostają równe 1/3. Pamiętaj, że prawdopodobieństwo, że od razu przegrasz, wynosi 1/3. Szansa, że ​​od razu odgadniesz poprawnie, wynosi 1/3, a w 50% przypadków wygrasz (1/3 x 1/2 = 1/6).

Szansa, że ​​na początku zgadniesz źle, ale potem będziesz miał szansę wybrać inne drzwi, wynosi 1/3 i w połowie przypadków wygrasz (również 1/6). Dodaj do siebie dwie niezależne możliwości wygranej, a otrzymasz prawdopodobieństwo 1/3, więc nie ma znaczenia, czy pozostaniesz przy swoim wyborze, czy wybierzesz inne drzwi - Twoje całkowite prawdopodobieństwo wygranej w całej grze wynosi 1/3.

Prawdopodobieństwo nie staje się większe niż w sytuacji, gdy odgadłeś drzwi, a prezenter po prostu pokazał ci, co się za nimi kryje, nie proponując wyboru innych. Celem tej propozycji nie jest zmiana prawdopodobieństwa, ale sprawienie, aby proces podejmowania decyzji był przyjemniejszy do oglądania w telewizji.

Swoją drogą, jest to jeden z powodów, dla których poker może być tak interesujący: w większości formatów, pomiędzy rundami zawierania zakładów (na przykład flopem, turnem i riverem w Texas Hold'em) karty są stopniowo odkrywane, i jeśli na początku gry masz jedną szansę na wygraną, to po każdej rundzie licytacji, kiedy jest ona otwarta więcej kart, to prawdopodobieństwo się zmienia.

Paradoks chłopca i dziewczynki

To prowadzi nas do innego dobrze znanego paradoksu, który z reguły intryguje wszystkich - paradoksu chłopca i dziewczynki. Jedyne o czym dzisiaj napiszę, a co nie jest bezpośrednio związane z grami (choć mam chyba tylko zachęcić do stworzenia odpowiednich mechanik gry). To raczej zagadka, ale interesująca i aby ją rozwiązać, musisz zrozumieć prawdopodobieństwo warunkowe, o którym mówiliśmy powyżej.

Problem: Mam znajomego, który ma dwójkę dzieci, przynajmniej jedno z nich to dziewczynka. Jakie jest prawdopodobieństwo, że drugie dziecko będzie także dziewczynką? Załóżmy, że w każdej rodzinie szanse na urodzenie dziewczynki i chłopca wynoszą 50/50 i dotyczy to każdego dziecka.

W rzeczywistości niektórzy mężczyźni mają w swoich plemnikach więcej plemników z chromosomem X lub Y, więc szanse nieznacznie się zmieniają. Jeśli wiesz, że jedno dziecko to dziewczynka, prawdopodobieństwo urodzenia drugiej dziewczynki jest nieco większe i występują inne schorzenia, takie jak hermafrodytyzm. Ale aby rozwiązać ten problem, nie będziemy tego brać pod uwagę i zakładać, że narodziny dziecka tak niezależne wydarzenie a narodziny chłopca i dziewczynki są równie prawdopodobne.

Ponieważ mówimy o prawdopodobieństwie 1/2, intuicyjnie spodziewamy się, że odpowiedzią będzie najprawdopodobniej 1/2 lub 1/4, lub inna liczba będąca wielokrotnością dwóch w mianowniku. Ale odpowiedź brzmi: 1/3. Dlaczego?

Trudność polega na tym, że informacja, którą posiadamy, zmniejsza liczbę możliwości. Załóżmy, że rodzice są fanami Ulicy Sezamkowej i niezależnie od płci dzieci nadali im imiona A i B. W normalnych warunkach istnieją cztery równie prawdopodobne możliwości: A i B to dwaj chłopcy, A i B to dwie dziewczynki, A to chłopiec, B to dziewczynka, A to dziewczynka, a B to chłopiec. Ponieważ wiemy, że co najmniej jedno dziecko to dziewczynka, możemy wykluczyć możliwość, że A i B to dwaj chłopcy. To pozostawia nam trzy możliwości – wciąż równie prawdopodobne. Jeżeli wszystkie możliwości są jednakowo prawdopodobne i są ich trzy, to prawdopodobieństwo każdej z nich wynosi 1/3. Tylko w jednej z tych trzech opcji są obie dziewczynki, więc odpowiedź brzmi 1/3.

I znowu o paradoksie chłopca i dziewczynki

Rozwiązanie problemu staje się jeszcze bardziej nielogiczne. Wyobraź sobie, że moja przyjaciółka ma dwójkę dzieci i jedno z nich to dziewczynka, która urodziła się we wtorek. Załóżmy, że w normalnych warunkach dziecko może urodzić się w każdym z siedmiu dni tygodnia z równym prawdopodobieństwem. Jakie jest prawdopodobieństwo, że drugie dziecko będzie także dziewczynką?

Można by pomyśleć, że odpowiedź nadal będzie brzmieć 1/3: jakie znaczenie ma wtorek? Ale nawet w tym przypadku intuicja nas zawodzi. Odpowiedź brzmi 13/27, co jest nie tylko nieintuicyjne, ale i bardzo dziwne. O co chodzi w tym przypadku?

Tak naprawdę wtorek zmienia prawdopodobieństwo, ponieważ nie wiemy, które dziecko urodziło się we wtorek, a może oba urodziły się we wtorek. W tym przypadku stosujemy tę samą logikę: liczymy wszystko możliwe kombinacje, gdy co najmniej jedno dziecko to dziewczynka urodzona we wtorek. Podobnie jak w poprzednim przykładzie, załóżmy, że dzieci mają imiona A i B. Kombinacje wyglądają następująco:

• A to dziewczynka, która urodziła się we wtorek, B to chłopiec (w tej sytuacji jest 7 możliwości, po jednej na każdy dzień tygodnia, w którym mógł urodzić się chłopiec).
• B to dziewczynka urodzona we wtorek, A to chłopiec (również 7 możliwości).
• A - dziewczynka urodzona we wtorek, B - dziewczynka urodzona w inny dzień tygodnia (6 możliwości).
• B to dziewczynka urodzona we wtorek, A to dziewczynka, która nie urodziła się we wtorek (również 6 prawdopodobieństw).
• A i B to dwie dziewczynki, które urodziły się we wtorek (1 możliwość, trzeba na to zwrócić uwagę, żeby nie liczyć dwa razy).

Sumujemy i otrzymujemy 27 różnych, jednakowo możliwych kombinacji urodzeń dzieci i dni, z co najmniej jedną możliwością urodzenia dziewczynki we wtorek. Spośród nich istnieje 13 możliwości, gdy urodzi się dwie dziewczynki. To również wydaje się całkowicie nielogiczne – wydaje się to zadanie został wynaleziony tylko po to, żeby powodować ból głowy. Jeśli nadal jesteś zaintrygowany, na stronie teoretyka gier Jespera Juhla znajdziesz dobre wyjaśnienie tego problemu.

Jeśli obecnie pracujesz nad grą

Jeśli w projektowanej grze występuje losowość, jest to doskonały moment na jej analizę. Wybierz element, który chcesz przeanalizować. Najpierw zadaj sobie pytanie, jakiego oczekujesz prawdopodobieństwa tego elementu, jaki powinien być w kontekście gry.

Na przykład, jeśli tworzysz grę RPG i zastanawiasz się, jakie powinno być prawdopodobieństwo, że gracz pokona potwora w bitwie, zadaj sobie pytanie, jaki procent wygranych uważasz za odpowiedni. Zazwyczaj w grach RPG na konsole gracze bardzo się denerwują, gdy przegrywają, więc najlepiej, jeśli przegrywają rzadko – w 10% przypadków lub rzadziej. Jeśli jesteś projektantem gier RPG, prawdopodobnie wiesz lepiej niż ja, ale musisz to wiedzieć podstawowy pomysł, jakie powinno być prawdopodobieństwo.

Następnie zadaj sobie pytanie, czy Twoje prawdopodobieństwa są zależne (jak w przypadku kart), czy niezależne (jak w przypadku kości). Przeanalizuj wszystkie możliwe wyniki i ich prawdopodobieństwa. Upewnij się, że suma wszystkich prawdopodobieństw wynosi 100%. I oczywiście porównaj uzyskane wyniki ze swoimi oczekiwaniami. Czy jesteś w stanie rzucić kostką lub wyciągnąć karty zgodnie z zamierzeniami, czy też jest jasne, że wartości wymagają dostosowania. I oczywiście, jeśli znajdziesz jakieś niedociągnięcia, możesz użyć tych samych obliczeń, aby określić, jak bardzo zmienić wartości.

Praca domowa

Twój Praca domowa” w tym tygodniu pomoże Ci udoskonalić swoje umiejętności prawdopodobieństwa. Oto dwie gry w kości i gra karciana, które przeanalizujesz pod kątem prawdopodobieństwa, a także dziwna mechanika gry, którą kiedyś opracowałem, która przetestuje metodę Monte Carlo.

Gra nr 1 – Kości smoka

To gra w kości, którą kiedyś z kolegami wymyśliliśmy (dzięki Jebowi Heavensowi i Jessemu Kingowi) – szczególnie zadziwia ona swoim prawdopodobieństwem. Jest to prosta gra kasynowa o nazwie Dragon Dice, polegająca na rywalizacji w kościach pomiędzy graczem a kasynem.

Otrzymujesz normalną kość 1k6. Celem gry jest wyrzucenie liczby wyższej niż liczba kasyna. Tomek otrzymuje niestandardowe 1k6 - takie samo jak twoje, ale na jednej z jego ścian zamiast jednostki widnieje wizerunek smoka (stąd kasyno ma kostkę smoka - 2-3-4-5-6 ). Jeśli w domu pojawi się smok, automatycznie wygrywa, a ty przegrywasz. Jeśli obaj dostaną ten sam numer- jest remis i rzucasz kostką ponownie. Wygrywa ten, kto wyrzuci największą liczbę.

Oczywiście nie wszystko układa się do końca na korzyść gracza, gdyż kasyno ma przewagę w postaci smoczej przewagi. Ale czy to naprawdę prawda? To właśnie musisz obliczyć. Ale najpierw sprawdź swoją intuicję.

Załóżmy, że szanse wynoszą 2 do 1. Jeśli więc wygrasz, zatrzymasz swój zakład i otrzymasz podwójną stawkę. Na przykład, jeśli postawisz 1 dolara i wygrasz, zatrzymasz tego dolara i dodasz 2 dodatkowe, co daje w sumie 3 dolary. Jeśli przegrasz, przegrywasz tylko swój zakład. Zagrałbyś? Czy intuicyjnie czujesz, że prawdopodobieństwo jest większe niż 2 do 1, czy nadal uważasz, że jest mniejsze? Innymi słowy, czy spodziewasz się wygrać więcej niż raz, czy mniej, czy raz w ciągu 3 gier?

Kiedy już zrozumiesz swoją intuicję, użyj matematyki. Dla obu kości jest tylko 36 możliwych pozycji, więc możesz je wszystkie policzyć bez problemu. Jeśli nie masz pewności co do oferty 2 za 1, rozważ następującą kwestię: załóżmy, że grałeś w tę grę 36 razy (za każdym razem stawiając 1 $). Za każdą wygraną otrzymujesz 2 dolary, za każdą przegraną tracisz 1, a remis niczego nie zmienia. Oblicz wszystkie swoje prawdopodobne wygrane i straty i zdecyduj, czy stracisz, czy zyskasz trochę dolarów. Następnie zadaj sobie pytanie, jak trafna była Twoja intuicja. I wtedy zdałem sobie sprawę, jakim jestem złoczyńcą.

I tak, jeśli już zastanawiałeś się nad tym pytaniem – celowo wprowadzam Cię w błąd, przedstawiając błędną mechanikę gier w kości, ale jestem pewien, że możesz pokonać tę przeszkodę przy odrobinie myślenia. Spróbuj rozwiązać ten problem samodzielnie.

Gra nr 2 - Rzut na szczęście

Ten hazard w kostce zwanej „Rzutem Szczęścia” (także „Klatką dla Ptaków”, ponieważ czasami kostkami nie rzuca się, ale umieszcza się je w dużej drucianej klatce, przypominającej klatkę z Bingo). Gra jest prosta i sprowadza się do tego: postaw, powiedzmy, 1 dolara na liczbę od 1 do 6. Następnie rzucasz 3k6. Za każdą kostkę, na której wypadnie Twój numer, otrzymasz 1 dolara (i zachowasz swój pierwotny zakład). Jeśli Twój numer nie pojawi się na żadnej kostce, kasyno otrzyma Twojego dolara, a Ty nic. Jeśli więc postawisz na 1 i trzykrotnie wypadnie 1 po obu stronach, otrzymasz 3 dolary.

Intuicyjnie wydaje się, że ta gra ma równe szanse. Każda kość to indywidualna szansa na wygraną wynosząca 1 do 6, zatem w sumie trzech rzutów twoja szansa na wygraną wynosi 3 do 6. Pamiętaj jednak, że dodajesz trzy oddzielne kości i możesz tylko dodaj, jeśli mówimy o oddzielnych zwycięskich kombinacjach tej samej kości. Coś, co będziesz musiał pomnożyć.

Po obliczeniu wszystkich możliwych wyników (prawdopodobnie łatwiej to zrobić w Excelu niż ręcznie, ponieważ jest ich 216), gra nadal wygląda dziwnie – nawet na pierwszy rzut oka. Tak naprawdę kasyno nadal ma większą szansę na wygraną – o ile więcej? Konkretnie, ile pieniędzy średnio spodziewasz się przegrać w każdej rundzie gry?

Wszystko, co musisz zrobić, to dodać wygrane i przegrane wszystkich 216 wyników, a następnie podzielić przez 216, co powinno być całkiem proste. Ale jak widać, jest tu kilka pułapek, dlatego mówię: jeśli myślisz, że ta gra ma równe szanse na wygraną, to się mylisz.

Gra nr 3 – 5-kartowy poker typu Stud

Jeśli rozgrzaliście się już do poprzednich gier, sprawdźmy, o czym wiemy warunkowe prawdopodobieństwo na przykładzie tej gry karcianej. Wyobraźmy sobie grę w pokera z talią 52 kart. Wyobraźmy sobie także grę 5 card stud, w której każdy gracz otrzymuje tylko 5 kart. Nie możesz odrzucić karty, nie możesz dobrać nowej, nie ma wspólnej talii - dostajesz tylko 5 kart.

Poker królewski to 10-J-Q-K-A w jednym rozdaniu, w sumie jest ich cztery, więc jest ich cztery możliwe sposoby zdobyć pokera królewskiego. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymasz jedną taką kombinację.

O jednym muszę Cię ostrzec: pamiętaj, że te pięć kart możesz dobierać w dowolnej kolejności. Oznacza to, że najpierw możesz wyciągnąć asa lub dziesiątkę, to nie ma znaczenia. Wykonując obliczenia, pamiętaj, że w rzeczywistości istnieją więcej niż cztery sposoby na zdobycie pokera królewskiego, zakładając, że karty zostały rozdane w kolejności.

Gra nr 4 - Loteria MFW

Czwartego problemu nie da się tak łatwo rozwiązać metodami, o których dzisiaj mówiliśmy, ale można łatwo zasymulować sytuację za pomocą programowania lub Excela. To na przykładzie tego problemu można wypracować metodę Monte Carlo.

Wspomniałem wcześniej o grze Chron X, nad którą kiedyś pracowałem, i była tam jedna bardzo ciekawa karta – loteria MFW. Oto jak to działało: użyłeś go w grze. Po zakończeniu rundy karty zostały ponownie rozdzielone i istniało 10% szans, że karta wyjdzie z gry i losowy gracz otrzyma 5 jednostek każdego rodzaju zasobu, którego żeton znajdował się na tej karcie. Karta została wprowadzona do gry bez ani jednego żetonu, ale za każdym razem, gdy pozostawała w grze na początku następnej rundy, otrzymywała jeden żeton.

Istniało więc 10% szans, że jeśli włożysz ją do gry, runda się zakończy, karta opuści grę i nikt nic nie dostanie. Jeśli tak się nie stanie (90% szans), istnieje 10% szans (właściwie 9%, ponieważ jest to 10% z 90%), że w następnej rundzie opuści grę i ktoś otrzyma 5 jednostek zasobów. Jeśli karta opuści grę po jednej rundzie (10% z 81% dostępnych, więc prawdopodobieństwo wynosi 8,1%), ktoś otrzyma 10 jednostek, w kolejnej rundzie - 15, w kolejnej - 20 i tak dalej. Pytanie: Jaka jest ogólna oczekiwana wartość liczby zasobów, które otrzymasz z tej karty, gdy ostatecznie opuści ona grę?

Zwykle próbowalibyśmy rozwiązać ten problem, obliczając prawdopodobieństwo każdego wyniku i mnożąc przez liczbę wszystkich wyników. Istnieje 10% szans, że otrzymasz 0 (0,1 * 0 = 0). 9%, że otrzymasz 5 jednostek zasobów (9% * 5 = 0,45 zasobów). 8,1% tego, co otrzymasz, to 10 (8,1%*10=0,81 zasobów – ogólna wartość oczekiwana). I tak dalej. A potem wszystko podsumowalibyśmy.

I teraz problem jest dla Ciebie oczywisty: zawsze jest szansa, że ​​karta nie opuści gry, może pozostać w grze na zawsze, bo nieskończona liczba rund, więc nie ma możliwości obliczenia każdego prawdopodobieństwa. Metody, których się dzisiaj nauczyliśmy, nie pozwalają nam obliczyć nieskończonej rekurencji, więc będziemy musieli ją sztucznie stworzyć.

Jeśli jesteś wystarczająco dobry w programowaniu, napisz program, który będzie symulował tę mapę. Powinieneś mieć pętlę czasową, która przenosi zmienną do pozycja początkowa zero, pokazuje liczbę losową i z 10% prawdopodobieństwem zmienna opuszcza pętlę. W przeciwnym razie dodaje 5 do zmiennej i pętla się powtarza. Kiedy w końcu wyjdzie z pętli, zwiększ całkowitą liczbę uruchomień próbnych o 1 i całkowitą liczbę zasobów (o ile zależy od tego, gdzie kończy się zmienna). Następnie zresetuj zmienną i zacznij od nowa.

Uruchom program kilka tysięcy razy. Na koniec podziel całkowitą liczbę zasobów przez całkowitą liczbę przebiegów - będzie to oczekiwana wartość Monte Carlo. Uruchom program kilka razy, aby upewnić się, że otrzymane liczby są w przybliżeniu takie same. Jeśli rozrzut jest nadal duży, zwiększaj liczbę powtórzeń w pętli zewnętrznej, aż zaczniesz otrzymywać dopasowania. Możesz być pewien, że dowolne liczby, które otrzymasz, będą w przybliżeniu poprawne.

Jeśli dopiero zaczynasz programować (nawet jeśli tak), oto krótkie ćwiczenie, które pozwoli Ci sprawdzić swoje umiejętności posługiwania się Excelem. Jeśli jesteś projektantem gier, te umiejętności nigdy nie będą zbędne.

Teraz bardzo przydatne będą dla Ciebie funkcje if i Rand. Rand nie wymaga wartości, po prostu generuje losową wartość liczba dziesiętna od 0 do 1. Zwykle łączymy to z podłogą oraz plusami i minusami, aby symulować rzut kostką, o którym wspomniałem wcześniej. Jednak w tym przypadku pozostawiamy tylko 10% szansy, że karta opuści grę, więc możemy po prostu sprawdzić, czy wartość randu jest mniejsza niż 0,1 i nie martwić się już tym.

Jeśli ma trzy znaczenia. W kolejności: warunek, który jest prawdziwy lub fałszywy, następnie wartość zwracana, jeśli warunek jest prawdziwy, oraz wartość zwracana, jeśli warunek jest fałszywy. Więc następna funkcja zwróci 5% czasu, a 0 w pozostałych 90% przypadków: =JEŻELI(RANDA()<0.1,5,0) .

Istnieje wiele sposobów ustawienia tego polecenia, ale użyłbym tej formuły dla komórki reprezentującej pierwszą rundę, powiedzmy, że jest to komórka A1: =JEŻELI(RANDA()<0.1,0,-1) .

Tutaj używam zmiennej ujemnej, aby oznaczać „ta karta nie opuściła gry i nie oddała jeszcze żadnych zasobów”. Zatem jeśli pierwsza runda dobiegnie końca i karta opuści grę, A1 wynosi 0; w przeciwnym razie wynosi –1.

Dla następnej komórki reprezentującej drugą rundę: =JEŻELI(A1>-1, A1, JEŻELI(RANDA()<0.1,5,-1)) . Zatem jeśli pierwsza runda się zakończy i karta natychmiast opuści grę, A1 wynosi 0 (liczba zasobów), a ta komórka po prostu skopiuje tę wartość. W przeciwnym razie A1 wynosi -1 (karta nie opuściła jeszcze gry), a ta komórka kontynuuje losowy ruch: w 10% przypadków zwróci 5 jednostek zasobów, przez resztę czasu jej wartość będzie nadal równa -1. Jeśli zastosujemy tę formułę do dodatkowych komórek, otrzymamy dodatkowe rundy i niezależnie od tego, w której komórce skończysz, otrzymasz końcowy wynik (lub -1, jeśli karta nigdy nie opuściła gry po wszystkich rozegranych rundach).

Weź ten rząd komórek, który reprezentuje jedyną rundę z tą kartą, skopiuj i wklej kilkaset (lub tysiąc) wierszy. Być może nie będziemy w stanie wykonać nieskończonego testu dla programu Excel (w tabeli jest ograniczona liczba komórek), ale przynajmniej możemy objąć większość przypadków. Następnie wybierz jedną komórkę, w której umieścisz średnią wyników wszystkich rund - Excel pomocnie udostępnia w tym celu funkcję Average().

W systemie Windows możesz przynajmniej nacisnąć klawisz F9, aby ponownie obliczyć wszystkie liczby losowe. Tak jak poprzednio, wykonaj tę czynność kilka razy i sprawdź, czy otrzymasz te same wartości. Jeżeli rozpiętość jest zbyt duża, podwoić liczbę przebiegów i spróbować ponownie.

Nierozwiązane problemy

Jeśli tak się składa, że ​​masz wykształcenie z teorii prawdopodobieństwa i powyższe problemy wydają Ci się zbyt łatwe, oto dwa problemy, nad którymi chodzę od lat, ale niestety nie jestem wystarczająco dobry z matematyki, aby je rozwiązać.

Nierozwiązany problem nr 1: Loteria MFW

Pierwszym nierozwiązanym problemem jest poprzednie zadanie domowe. Potrafię z łatwością zastosować metodę Monte Carlo (używając C++ lub Excela) i mieć pewność co do odpowiedzi na pytanie „ile zasobów otrzyma gracz”, ale nie wiem dokładnie, jak podać dokładną, możliwą do udowodnienia matematycznie odpowiedź (jest to nieskończony szereg).

Nierozwiązany problem nr 2: Ciągi cyfr

Ten problem (wykraczający także daleko poza zadania rozwiązane na tym blogu) został mi powierzony przez znajomego gracza ponad dziesięć lat temu. Grając w blackjacka w Vegas, zauważył jedną ciekawą rzecz: kiedy wyjmował karty z 8-taliaowego buta, zobaczył dziesięć cyfr z rzędu (figurka lub figura to 10, Joker, Król lub Dama, więc w grze jest 16 łącznie w standardowych kartach z 52 taliami lub 128 w butach z 416 kartami).

Jakie jest prawdopodobieństwo, że ten but zawiera co najmniej jeden ciąg dziesięciu lub więcej cyfr? Załóżmy, że zostały one potasowane uczciwie, w losowej kolejności. Albo, jeśli wolisz, jakie jest prawdopodobieństwo, że ciąg dziesięciu lub więcej cyfr nigdzie nie wystąpi?

Możemy uprościć zadanie. Oto sekwencja 416 części. Każda część to 0 lub 1. W całej sekwencji znajduje się 128 jedynek i 288 zer. Na ile sposobów można losowo przeplatać 128 jedynek z 288 zerami i ile razy w ten sposób pojawi się co najmniej jedna grupa złożona z dziesięciu lub więcej jedynek?

Za każdym razem, gdy zabierałem się do rozwiązania tego problemu, wydawało mi się to łatwe i oczywiste, ale gdy tylko zagłębiałem się w szczegóły, nagle się rozpadało i wydawało się po prostu niemożliwe.

Więc nie spiesz się z wymową odpowiedzi: usiądź, zastanów się dobrze, przestudiuj warunki, spróbuj podstawić liczby rzeczywiste, bo wszystkie osoby, z którymi rozmawiałem na ten temat (w tym kilku doktorantów pracujących w tej dziedzinie) zareagowały mniej więcej tak: to samo: „To zupełnie oczywiste… o nie, czekaj, to wcale nie jest oczywiste”. Dzieje się tak w przypadku, gdy nie mam metody obliczenia wszystkich opcji. Mógłbym oczywiście brutalnie rozwiązać problem za pomocą algorytmu komputerowego, ale znacznie ciekawsze byłoby poznanie rozwiązania matematycznego.

Krótka teoria

Aby ilościowo porównać zdarzenia ze względu na stopień możliwości ich wystąpienia, wprowadza się miarę numeryczną, którą nazywa się prawdopodobieństwem zdarzenia. Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego to liczba wyrażająca miarę obiektywnej możliwości wystąpienia zdarzenia.

Wielkości określające, jak istotne są obiektywne przesłanki oczekiwania wystąpienia zdarzenia, charakteryzują się prawdopodobieństwem zdarzenia. Należy podkreślić, że prawdopodobieństwo jest wielkością obiektywną, istniejącą niezależnie od znającego i uwarunkowaną całym zespołem warunków sprzyjających zaistnieniu zdarzenia.

Wyjaśnienia, które podaliśmy dla pojęcia prawdopodobieństwa, nie są definicją matematyczną, ponieważ nie określają ilościowo tego pojęcia. Istnieje kilka definicji prawdopodobieństwa zdarzenia losowego, które są szeroko stosowane w rozwiązywaniu konkretnych problemów (klasyczna, geometryczna definicja prawdopodobieństwa, statystyczna itp.).

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa zdarzenia sprowadza to pojęcie do bardziej elementarnego pojęcia równie możliwych zdarzeń, które nie podlega już definicji i przyjmuje się, że jest intuicyjnie jasne. Na przykład, jeśli kostka jest jednorodną kostką, to utrata którejkolwiek ze ścian tej sześcianu będzie równie możliwym zdarzeniem.

Niech wiarygodne zdarzenie zostanie podzielone na równie możliwe przypadki, których suma daje zdarzenie. Oznacza to, że przypadki, na które się rozpada, nazywane są sprzyjającymi zdarzeniu, ponieważ pojawienie się jednego z nich zapewnia wystąpienie.

Prawdopodobieństwo zdarzenia będzie oznaczone symbolem.

Prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe stosunkowi liczby korzystnych dla niego przypadków, z ogólnej liczby przypadków jednoznacznie możliwych, równie możliwych i niezgodnych, do liczby, tj.

Jest to klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Zatem, aby znaleźć prawdopodobieństwo zdarzenia, należy po rozważeniu różnych wyników testu znaleźć zbiór jednoznacznie możliwych, równie możliwych i niezgodnych przypadków, obliczyć ich całkowitą liczbę n, liczbę przypadków m korzystnych dla danego zdarzenia, a następnie wykonaj obliczenia korzystając z powyższego wzoru.

Prawdopodobieństwo zdarzenia równe stosunkowi liczby wyników eksperymentalnych korzystnych dla danego zdarzenia do całkowitej liczby wyników eksperymentów nazywa się prawdopodobieństwo klasyczne Zdarzenie losowe.

Z definicji wynikają następujące własności prawdopodobieństwa:

Właściwość 1. Prawdopodobieństwo wiarygodnego zdarzenia jest równe jeden.

Właściwość 2. Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi zero.

Właściwość 3. Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego jest liczbą dodatnią z zakresu od zera do jeden.

Właściwość 4. Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzeń tworzących pełną grupę jest równe jeden.

Własność 5. Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia przeciwnego określa się w taki sam sposób, jak prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A.

Liczba przypadków sprzyjających zaistnieniu zdarzenia przeciwnego. Zatem prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia przeciwnego jest równe różnicy między jednością a prawdopodobieństwem wystąpienia zdarzenia A:

Ważną zaletą klasycznej definicji prawdopodobieństwa zdarzenia jest to, że za jej pomocą można określić prawdopodobieństwo zdarzenia bez uciekania się do doświadczenia, ale w oparciu o logiczne rozumowanie.

Kiedy zostanie spełniony zestaw warunków, na pewno nastąpi pewne zdarzenie, ale zdarzenie niemożliwe na pewno nie nastąpi. Wśród zdarzeń, które mogą, ale nie muszą wystąpić, gdy zostanie stworzony zestaw warunków, wystąpienie niektórych można uznać za uzasadnione, a wystąpienie innych z mniejszym uzasadnieniem. Jeśli na przykład w urnie jest więcej kul białych niż czarnych, to więcej jest powodów, aby mieć nadzieję, że po losowym wylosowaniu z urny pojawi się kula biała, niż że pojawi się kula czarna.

Na następnej stronie omówiono.

Przykład rozwiązania problemu

Przykład 1

W pudełku znajduje się 8 kul białych, 4 czarne i 7 czerwonych. Losujemy 3 kule. Znajdź prawdopodobieństwo następujących zdarzeń: – wylosowano co najmniej 1 kulę czerwoną, – są co najmniej 2 kule tego samego koloru, – są co najmniej 1 kula czerwona i 1 biała.

Rozwiązanie problemu

Całkowitą liczbę wyników testu obliczamy jako liczbę kombinacji 19 (8+4+7) elementów 3:

Znajdźmy prawdopodobieństwo zdarzenia– wylosowano co najmniej 1 kulę czerwoną (1,2 lub 3 kule czerwone)

Wymagane prawdopodobieństwo:

Niech wydarzenie– są co najmniej 2 kule tego samego koloru (2 lub 3 kule białe, 2 lub 3 kule czarne i 2 lub 3 kule czerwone)

Liczba wyników sprzyjających zdarzeniu:

Wymagane prawdopodobieństwo:

Niech wydarzenie– jest co najmniej jedna kula czerwona i 1 biała

(1 czerwony, 1 biały, 1 czarny lub 1 czerwony, 2 białe lub 2 czerwone, 1 biały)

Liczba wyników sprzyjających zdarzeniu:

Wymagane prawdopodobieństwo:

Odpowiedź: P(A)=0,773;P(C)=0,7688; P(D)=0,6068

Przykład 2

Rzucamy dwiema kostkami. Znajdź prawdopodobieństwo, że suma punktów wyniesie co najmniej 5.

Rozwiązanie

Niech wydarzenie będzie miało ocenę co najmniej 5

Skorzystajmy z klasycznej definicji prawdopodobieństwa:

Całkowita liczba możliwych wyników testu

Liczba prób faworyzujących interesujące zdarzenie

Na opuszczonej stronie pierwszej kostki może pojawić się jeden punkt, dwa punkty..., może pojawić się sześć punktów. podobnie, przy rzucie drugą kością możliwych jest sześć wyników. Każdy wynik rzutu pierwszą kostką można połączyć z każdym wynikiem drugiej. Zatem łączna liczba możliwych wyników testu elementarnego jest równa liczbie miejsc z powtórzeniami (wybór z rozmieszczeniem 2 elementów z zestawu tomu 6):

Znajdźmy prawdopodobieństwo zdarzenia odwrotnego - suma punktów jest mniejsza niż 5

Następujące kombinacje utraconych punktów będą sprzyjać wydarzeniu:

№

Pierwsza kość

2. kość

1

1

1

2

1

2

3

2

1

4

3

1

5

1

3

Przeciętny koszt rozwiązania testu wynosi 700 - 1200 rubli (ale nie mniej niż 300 rubli za całe zamówienie). Na cenę duży wpływ ma pilność decyzji (od jednego dnia do kilku godzin). Koszt pomocy online do egzaminu/testu wynosi od 1000 rubli. za rozwiązanie biletu.

Możesz zostawić prośbę bezpośrednio na czacie, po uprzednim przesłaniu warunków zadań i poinformowaniu Cię o terminach potrzebnego rozwiązania. Czas odpowiedzi to kilka minut.

Przykłady powiązanych problemów

Wzór na prawdopodobieństwo całkowite. Formuła Bayesa
Na przykładzie rozwiązania problemu rozważono wzór na prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa, a także wyjaśniono, czym są hipotezy i prawdopodobieństwa warunkowe.

Kiedy rzucimy monetą, możemy powiedzieć, że wypadnie reszką do góry, lub prawdopodobieństwo to jest 1/2. Nie oznacza to oczywiście, że jeśli rzucimy monetą 10 razy, koniecznie wylądujemy na orle 5 razy. Jeśli moneta jest „uczciwa” i jeśli zostanie rzucona wiele razy, reszka w połowie przypadków wypadnie bardzo blisko. Zatem istnieją dwa rodzaje prawdopodobieństw: eksperymentalny I teoretyczny .

Prawdopodobieństwo eksperymentalne i teoretyczne

Jeśli rzucimy monetą dużą liczbę razy – powiedzmy 1000 – i policzymy, ile razy wypadła reszka, możemy określić prawdopodobieństwo, że wypadnie reszka. Jeśli rzucimy orłem 503 razy, możemy obliczyć prawdopodobieństwo, że wypadnie:
503/1000, czyli 0,503.

Ten eksperymentalny definicja prawdopodobieństwa. Ta definicja prawdopodobieństwa pochodzi z obserwacji i badania danych i jest dość powszechna i bardzo użyteczna. Oto na przykład niektóre prawdopodobieństwa określone eksperymentalnie:

1. Prawdopodobieństwo, że u kobiety zachoruje na raka piersi wynosi 1/11.

2. Jeśli pocałujesz kogoś, kto jest przeziębiony, prawdopodobieństwo, że ty też się przeziębisz, wynosi 0,07.

3. Osoba, która właśnie wyszła na wolność, ma 80% szans na powrót do więzienia.

Jeśli rozważymy rzucenie monetą i biorąc pod uwagę, że jest równie prawdopodobne, że wypadnie reszka lub reszka, możemy obliczyć prawdopodobieństwo wyrzucenia orła: 1/2. Jest to teoretyczna definicja prawdopodobieństwa. Oto kilka innych prawdopodobieństw, które zostały określone teoretycznie za pomocą matematyki:

1. Jeśli w pokoju jest 30 osób, prawdopodobieństwo, że dwie z nich mają urodziny w tym samym dniu (bez roku) wynosi 0,706.

2. Podczas podróży spotykasz kogoś i podczas rozmowy odkrywasz, że macie wspólnego znajomego. Typowa reakcja: „To nie może być!” W rzeczywistości to sformułowanie nie jest odpowiednie, ponieważ prawdopodobieństwo takiego zdarzenia jest dość wysokie - nieco ponad 22%.

Zatem prawdopodobieństwa eksperymentalne określa się na podstawie obserwacji i gromadzenia danych. Prawdopodobieństwa teoretyczne określa się na podstawie rozumowania matematycznego. Przykłady prawdopodobieństw eksperymentalnych i teoretycznych, takich jak te omówione powyżej, a zwłaszcza tych, których się nie spodziewamy, prowadzą nas do znaczenia badania prawdopodobieństwa. Możesz zapytać: „Co to jest prawdziwe prawdopodobieństwo?” Faktycznie, coś takiego nie istnieje. Prawdopodobieństwa w pewnych granicach można określić eksperymentalnie. Mogą, ale nie muszą, pokrywać się z prawdopodobieństwami, które otrzymujemy teoretycznie. Są sytuacje, w których znacznie łatwiej jest określić jeden rodzaj prawdopodobieństwa niż inny. Na przykład wystarczyłoby obliczyć prawdopodobieństwo przeziębienia, korzystając z prawdopodobieństwa teoretycznego.

Obliczanie prawdopodobieństw eksperymentalnych

Rozważmy najpierw eksperymentalną definicję prawdopodobieństwa. Podstawowa zasada, której używamy do obliczania takich prawdopodobieństw, jest następująca.

Zasada P (eksperymentalna)

Jeśli w eksperymencie, w którym dokonano n obserwacji, sytuacja lub zdarzenie E wystąpi m razy w n obserwacjach, wówczas prawdopodobieństwo eksperymentalne zdarzenia wynosi P (E) = m/n.

Przykład 1 Badanie socjologiczne. Przeprowadzono badania eksperymentalne mające na celu określenie liczby osób leworęcznych, praworęcznych i osób o jednakowo rozwiniętych obu rękach, a wyniki przedstawiono na wykresie.

a) Oblicz prawdopodobieństwo, że dana osoba jest praworęczna.

b) Określ prawdopodobieństwo, że dana osoba jest leworęczna.

c) Określ prawdopodobieństwo, że dana osoba będzie równie płynnie posługiwać się obiema rękami.

d) W większości turniejów Professional Bowling Association może brać udział maksymalnie 120 graczy. Na podstawie danych z tego eksperymentu ilu graczy może być leworęcznych?

Rozwiązanie

a) Liczba osób praworęcznych wynosi 82, liczba osób leworęcznych wynosi 17, a liczba osób równie biegle posługujących się obiema rękami wynosi 1. Łączna liczba obserwacji wynosi 100. Zatem prawdopodobieństwo że dana osoba jest praworęczna, to P
P = 82/100, czyli 0,82, czyli 82%.

b) Prawdopodobieństwo, że dana osoba jest leworęczna, wynosi P, gdzie
P = 17/100, czyli 0,17, czyli 17%.

c) Prawdopodobieństwo, że dana osoba będzie równie płynnie posługiwać się obiema rękami, wynosi P, gdzie
P = 1/100 lub 0,01 lub 1%.

d) 120 meloników, a od (b) możemy spodziewać się, że 17% to osoby leworęczne. Stąd
17% ze 120 = 0,17,120 = 20,4,
czyli możemy spodziewać się, że około 20 graczy będzie leworęcznych.

Przykład 2 Kontrola jakości . Dla producenta bardzo ważne jest utrzymanie jakości swoich produktów na wysokim poziomie. W rzeczywistości firmy zatrudniają inspektorów kontroli jakości, aby zapewnić ten proces. Celem jest wyprodukowanie jak najmniejszej liczby wadliwych produktów. Ponieważ jednak firma produkuje tysiące produktów każdego dnia, nie może sobie pozwolić na testowanie każdego produktu w celu ustalenia, czy jest on wadliwy, czy nie. Aby dowiedzieć się, jaki procent produktów jest wadliwy, firma testuje znacznie mniej produktów.
USDA wymaga, aby 80% nasion sprzedawanych przez hodowców kiełkowało. Aby określić jakość nasion produkowanych przez firmę rolniczą, sadzi się 500 nasion wyprodukowanych. Następnie obliczono, że wykiełkowało 417 nasion.

a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że ziarno wykiełkuje?

b) Czy nasiona spełniają standardy rządowe?

Rozwiązanie a) Wiemy, że z 500 nasion, które zostały zasiane, wykiełkowało 417. Prawdopodobieństwo kiełkowania nasion P i
P = 417/500 = 0,834, czyli 83,4%.

b) Ponieważ procent wykiełkowanych nasion przekroczył wymagane 80%, nasiona spełniają standardy rządowe.

Przykład 3 Oceny telewizji. Według statystyk w Stanach Zjednoczonych jest 105 500 000 gospodarstw domowych wyposażonych w telewizory. Co tydzień zbierane i przetwarzane są informacje o oglądaniu programów. W ciągu tygodnia 7 815 000 gospodarstw domowych obejrzało hitowy serial komediowy „Wszyscy kochają Raymonda” w telewizji CBS, a 8 302 000 gospodarstw domowych obejrzało hitowy serial „Prawo i porządek” w NBC (źródło: Nielsen Media Research). Jakie jest prawdopodobieństwo, że w danym tygodniu telewizor w jednym gospodarstwie domowym będzie nastawiony na „Wszyscy kochają Raymonda” lub na „Prawo i porządek”?

Rozwiązanie Prawdopodobieństwo, że telewizor w jednym gospodarstwie domowym jest nastrojony na „Wszyscy kochają Raymonda”, wynosi P i
P = 7 815 000/105 500 000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Prawdopodobieństwo, że telewizor w gospodarstwie domowym był nastawiony na „Prawo i porządek”, wynosi P i
P = 8 302 000/105 500 000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Te wartości procentowe nazywane są ocenami.

Prawdopodobieństwo teoretyczne

Załóżmy, że przeprowadzamy eksperyment, taki jak rzucanie monetą lub rzutkami, wyciąganie karty z talii lub testowanie jakości produktów na linii montażowej. Każdy możliwy wynik takiego eksperymentu nazywa się Exodus . Zbiór wszystkich możliwych wyników nazywa się przestrzeń wynikowa . Wydarzenie jest to zbiór wyników, czyli podzbiór przestrzeni wyników.

Przykład 4 Rzucanie rzutkami. Załóżmy, że w eksperymencie z rzucaniem strzałką strzałka trafia w cel. Znajdź każdy z poniższych elementów:

b) Przestrzeń wynikowa

Rozwiązanie
a) Wyniki są następujące: trafienie czarnego (B), trafienie czerwonego (R) i trafienie białego (B).

b) Przestrzeń wyników to (trafienie czarnego, trafienie czerwonego, trafienie białego), co można zapisać po prostu jako (H, K, B).

Przykład 5 Rzucanie kostkami. Kostka to sześcian o sześciu bokach, na każdym z nich znajduje się od jednej do sześciu kropek.


Załóżmy, że rzucamy kostką. Znajdować
a) Wyniki
b) Przestrzeń wynikowa

Rozwiązanie
a) Wyniki: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Pole wyniku (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia E oznaczamy jako P(E). Na przykład „moneta wyląduje na orle” można oznaczyć jako H. Wtedy P(H) oznacza prawdopodobieństwo, że moneta wyląduje na orle. Kiedy wszystkie wyniki eksperymentu mają to samo prawdopodobieństwo wystąpienia, mówimy, że są one jednakowo prawdopodobne. Aby zobaczyć różnice między zdarzeniami, które są równie prawdopodobne, a zdarzeniami, które nie są, rozważ cel pokazany poniżej.

W przypadku celu A zdarzenia trafienia w czarny, czerwony i biały są równie prawdopodobne, ponieważ sektory czarny, czerwony i biały są takie same. Jednakże dla celu B strefy o tych kolorach nie są takie same, czyli trafienie w nie nie jest jednakowo prawdopodobne.

Zasada P (teoretyczna)

Jeśli zdarzenie E może nastąpić na m sposobów z n możliwych, równie prawdopodobnych wyników z przestrzeni wyników S, to prawdopodobieństwo teoretyczne zdarzeń, P(E) jest
P(E) = m/n.

Przykład 6 Jakie jest prawdopodobieństwo, że rzucisz kostką i wypadnie 3?

Rozwiązanie Na kostce jest 6 jednakowo prawdopodobnych wyników i istnieje tylko jedna możliwość wyrzucenia liczby 3. Wtedy prawdopodobieństwo P będzie wynosić P(3) = 1/6.

Przykład 7 Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia parzystej liczby na kostce?

Rozwiązanie Zdarzenie polega na rzuceniu liczby parzystej. Może się to zdarzyć na 3 sposoby (jeśli wyrzucisz 2, 4 lub 6). Liczba równie prawdopodobnych wyników wynosi 6. Wtedy prawdopodobieństwo P (parzyste) = 3/6 lub 1/2.

Posłużymy się wieloma przykładami dotyczącymi standardowej talii 52 kart. Ta talia składa się z kart pokazanych na poniższym rysunku.

Przykład 8 Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania asa z dobrze potasowanej talii kart?

Rozwiązanie Wyników jest 52 (liczba kart w talii), są one jednakowo prawdopodobne (jeśli talia jest dobrze potasowana) i są 4 sposoby na wylosowanie asa, więc zgodnie z zasadą P prawdopodobieństwo
P (wylosuj asa) = 4/52 lub 1/13.

Przykład 9 Załóżmy, że bez patrzenia wybieramy jedną kulę z worka, w którym znajdują się 3 kule czerwone i 4 kule zielone. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy kulę czerwoną?

Rozwiązanie Istnieje 7 równie prawdopodobnych wyników losowania dowolnej kuli, a ponieważ liczba sposobów wylosowania czerwonej kuli wynosi 3, otrzymujemy
P (wybór czerwonej kuli) = 3/7.

Poniższe stwierdzenia wynikają z Zasady P.

Właściwości prawdopodobieństwa

a) Jeżeli zdarzenie E nie może zaistnieć, to P(E) = 0.
b) Jeśli zdarzenie E jest pewne, to P(E) = 1.
c) Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia E jest liczbą od 0 do 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Na przykład podczas rzutu monetą prawdopodobieństwo, że moneta wyląduje na krawędzi, ma zerowe prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo, że na monecie wypadnie orzeł lub reszka, wynosi 1.

Przykład 10 Załóżmy, że z talii 52 kart dobieramy 2 karty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że oba z nich są szczytami?

Rozwiązanie Liczba n sposobów dobrania 2 kart z dobrze potasowanej talii 52 kart wynosi 52 C 2 . Ponieważ 13 z 52 kart to pik, liczba sposobów wyciągnięcia 2 pik wynosi 13 C 2 . Następnie,
P(wyciąganie 2 pików) = m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

Przykład 11 Załóżmy, że z grupy składającej się z 6 mężczyzn i 4 kobiet zostaną losowo wybrane 3 osoby. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zostanie wybrany 1 mężczyzna i 2 kobiety?

Rozwiązanie Liczba sposobów wyboru trzech osób z grupy 10 osób wynosi 10 C 3. Jednego mężczyznę można wybrać na 6 sposobów C 1, a dwie kobiety można wybrać na 4 sposoby C 2. Zgodnie z podstawową zasadą liczenia liczba sposobów wyboru 1 mężczyzny i 2 kobiet wynosi 6 C 1. 4 do 2 . Zatem prawdopodobieństwo, że zostanie wybrany 1 mężczyzna i 2 kobiety, wynosi
P. = 6 do 1 . 4 do 2 / 10 do 3 = 3/10.

Przykład 12 Rzucanie kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na dwóch kostkach wyrzucimy w sumie 8?

Rozwiązanie Każda kostka ma 6 możliwych wyników. Wyniki są podwajane, co oznacza, że ​​liczby na obu kostkach mogą pojawić się na 6,6 lub 36 możliwych sposobów. (Lepiej, jeśli kostki są różne, powiedzmy, że jedna jest czerwona, a druga niebieska - pomoże to zobrazować wynik.)

Pary liczb, których suma daje 8, pokazano na poniższym rysunku. Istnieje 5 możliwych sposobów uzyskania sumy równej 8, stąd prawdopodobieństwo wynosi 5/36.

Jest to stosunek liczby obserwacji, w których wystąpiło dane zdarzenie, do całkowitej liczby obserwacji. Taka interpretacja jest dopuszczalna w przypadku odpowiednio dużej liczby obserwacji lub eksperymentów. Na przykład, jeśli około połowa osób, które spotykasz na ulicy, to kobiety, możesz powiedzieć, że prawdopodobieństwo, że osobą, którą spotkasz na ulicy, będzie kobietą, wynosi 1/2. Innymi słowy, oszacowaniem prawdopodobieństwa zdarzenia może być częstotliwość jego występowania w długiej serii niezależnych powtórzeń losowego eksperymentu.

Prawdopodobieństwo w matematyce

We współczesnym podejściu matematycznym prawdopodobieństwo klasyczne (to znaczy nie kwantowe) określa aksjomatyka Kołmogorowa. Prawdopodobieństwo jest miarą P, który jest zdefiniowany na zestawie X, zwaną przestrzenią prawdopodobieństwa. Środek ten musi mieć następujące właściwości:

Z tych warunków wynika, że ​​miara prawdopodobieństwa P ma również nieruchomość addytywność: jeśli ustawione A 1 i A 2 nie przecinają się, a następnie . Aby udowodnić, że musisz położyć wszystko A 3 , A 4 , ... równy zbiorowi pustemu i zastosuj właściwość addytywności przeliczalnej.

Nie można zdefiniować miary prawdopodobieństwa dla wszystkich podzbiorów zbioru X. Wystarczy zdefiniować to na algebrze sigma, składającej się z pewnych podzbiorów zbioru X. W tym przypadku zdarzenia losowe definiuje się jako mierzalne podzbiory przestrzeni X, czyli jako elementy algebry sigma.

Sens prawdopodobieństwa

Kiedy stwierdzimy, że przyczyny jakiegoś możliwego faktu, który faktycznie ma miejsce, przeważają nad przyczynami przeciwnymi, rozważamy ten fakt prawdopodobny, W przeciwnym razie - niesamowity. Ta przewaga podstaw dodatnich nad ujemnymi i odwrotnie, może reprezentować nieokreślony zbiór stopni, w wyniku czego prawdopodobieństwo(I nieprawdopodobieństwo) Zdarza się więcej Lub mniej .

Złożone pojedyncze fakty nie pozwalają na dokładne obliczenie stopni ich prawdopodobieństwa, ale i tutaj ważne jest ustalenie pewnych dużych podziałów. I tak np. w prawie, gdy na podstawie zeznań ustalany jest fakt osobisty podlegający procesowi, pozostaje on zawsze, ściśle rzecz biorąc, jedynie prawdopodobny i trzeba wiedzieć, jak duże jest to prawdopodobieństwo; w prawie rzymskim przyjęto tu podział poczwórny: próba plena(gdzie prawdopodobieństwo praktycznie zamienia się w niezawodność), Dalej - probatio minus plena, Następnie - probatio semiplena major i w końcu probatio semiplena minor .

Oprócz kwestii prawdopodobieństwa zdarzenia może pojawić się zarówno na płaszczyźnie prawa, jak i moralności (z pewnego etycznego punktu widzenia) pytanie, na ile prawdopodobne jest, że dany konkretny fakt stanowi naruszenie prawa ogólnego. To pytanie, będące głównym motywem w orzecznictwie religijnym Talmudu, dało początek także bardzo złożonym konstrukcjom systematycznym i ogromnej literaturze, dogmatycznej i polemicznej, w rzymskokatolickiej teologii moralnej (zwłaszcza z końca XVI wieku) ( patrz probabilizm).

Pojęcie prawdopodobieństwa pozwala na pewne wyrażenie liczbowe, gdy jest stosowane tylko do takich faktów, które wchodzą w skład pewnego jednorodnego szeregu. Zatem (w najprostszym przykładzie), gdy ktoś rzuci monetą sto razy z rzędu, znajdziemy tu jedną ogólną lub dużą serię (suma wszystkich upadków monety), składającą się z dwóch prywatnych lub mniejszych, w tym przypadku liczbowych równe, serie (opadają „reszki” i „reszki”); Prawdopodobieństwo, że tym razem na monecie wypadnie reszka, czyli że ten nowy członek ogólnego szeregu będzie należeć do tego z dwóch mniejszych szeregów, jest równe ułamkowi wyrażającemu liczbową zależność pomiędzy tym małym szeregiem a większym, mianowicie 1/2, to znaczy to samo prawdopodobieństwo należy do jednego lub drugiego z dwóch określonych szeregów. W mniej prostych przykładach wniosku nie można wyprowadzić bezpośrednio z danych dotyczących samego problemu, lecz wymaga wcześniejszej indukcji. Pytanie więc brzmi np.: jakie jest prawdopodobieństwo, że dany noworodek dożyje 80 lat? Musi tu występować ogólna, czyli duża seria pewnej liczby osób urodzonych w podobnych warunkach i umierających w różnym wieku (liczba ta musi być na tyle duża, aby wyeliminować odchylenia losowe i na tyle mała, aby zachować jednorodność szeregu, np. za osobę urodzoną np. w Petersburgu w zamożnej, kulturalnej rodzinie, całą milionową ludność miasta, której znaczną część stanowią ludzie z różnych grup, którzy mogą przedwcześnie umrzeć – żołnierze, dziennikarze, pracownicy wykonujący zawody niebezpieczne – stanowi grupę zbyt niejednorodną, ​​aby można było realnie określić prawdopodobieństwo); niech ta ogólna seria będzie składać się z dziesięciu tysięcy istnień ludzkich; zawiera mniejsze serie przedstawiające liczbę osób, które dożyły określonego wieku; jedna z tych mniejszych serii przedstawia liczbę osób dożywających 80. roku życia. Ale nie da się określić liczby tej mniejszej serii (jak wszystkich innych) apriorycznie; odbywa się to czysto indukcyjnie, poprzez statystyki. Załóżmy, że badania statystyczne wykazały, że z 10 000 mieszkańców Petersburga z klasy średniej tylko 45 dożywa 80 lat; Zatem ten mniejszy szereg wiąże się z większym, bo 45 wynosi 10 000, a prawdopodobieństwo, że dana osoba będzie należeć do tego mniejszego szeregu, czyli dożyje 80 lat, wyraża się jako ułamek 0,0045. Badanie prawdopodobieństwa z matematycznego punktu widzenia stanowi szczególną dyscyplinę – teorię prawdopodobieństwa.

Zobacz też

Notatki

Literatura

• Alfreda Renyi. Listy o prawdopodobieństwie / przeł. z węgierskiego D. Saas i A. Crumley, wyd. B.V. Gnedenko. M.: Mirku. 1970
• Gnedenko B.V. Kurs teorii prawdopodobieństwa. M., 2007. 42 s.
• Kuptsov V.I. Determinizm i prawdopodobieństwo. M., 1976. 256 s.

Fundacja Wikimedia. 2010.

Synonimy:

Antonimy:

Zobacz, co oznacza „Prawdopodobieństwo” w innych słownikach:

Ogólnonaukowe i filozoficzne. kategoria oznaczająca ilościowy stopień możliwości wystąpienia masowych zdarzeń losowych w ustalonych warunkach obserwacji, charakteryzująca stabilność ich względnych częstotliwości. W logice, stopień semantyczny... ... Encyklopedia filozoficzna

PRAWdopodobieństwo, liczba z zakresu od zera do jednego włącznie, reprezentująca możliwość wystąpienia danego zdarzenia. Prawdopodobieństwo zdarzenia definiuje się jako stosunek liczby szans, że zdarzenie może wystąpić do całkowitej liczby możliwych... ... Naukowy i techniczny słownik encyklopedyczny

Najprawdopodobniej.. Słownik rosyjskich synonimów i podobnych wyrażeń. pod. wyd. N. Abramova, M.: Russian Dictionary, 1999. prawdopodobieństwo, prawdopodobieństwo, prawdopodobieństwo, szansa, obiektywna możliwość, maza, dopuszczalność, ryzyko. Mrówka. niemożliwość... ... Słownik synonimów

prawdopodobieństwo- Miara prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia. Uwaga Matematyczna definicja prawdopodobieństwa to: „liczba rzeczywista od 0 do 1 powiązana ze zdarzeniem losowym”. Liczba może odzwierciedlać względną częstotliwość serii obserwacji... ... Przewodnik tłumacza technicznego

Prawdopodobieństwo- „matematyczna, liczbowa charakterystyka stopnia możliwości wystąpienia dowolnego zdarzenia w określonych warunkach, która może się powtórzyć nieograniczoną liczbę razy”. Na podstawie tego klasyka... ... Słownik ekonomiczny i matematyczny

- (prawdopodobieństwo) Możliwość wystąpienia zdarzenia lub określonego wyniku. Można je przedstawić w postaci skali z podziałkami od 0 do 1. Jeśli prawdopodobieństwo zdarzenia wynosi zero, jego wystąpienie jest niemożliwe. Z prawdopodobieństwem równym 1 początek... Słownik terminów biznesowych