Dodawanie ułamków o podobnych mianownikach
Istnieją dwa rodzaje dodawania ułamków:
- Dodawanie ułamków o podobnych mianownikach
- Dodawanie ułamków o różnych mianownikach
Najpierw nauczmy się dodawania ułamków zwykłych o podobnych mianownikach. Tutaj wszystko jest proste. Aby dodać ułamki o tych samych mianownikach, należy dodać ich liczniki i pozostawić mianownik bez zmian. Na przykład dodajmy ułamki i . Dodaj liczniki, a mianownik pozostaw bez zmian:
Przykład ten można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę, która jest podzielona na cztery części. Jeśli dodasz pizzę do pizzy, otrzymasz pizzę:
Przykład 2. Dodaj ułamki i .
Odpowiedź okazała się ułamkiem niewłaściwym. Kiedy nadchodzi koniec zadania, zwyczajowo pozbywamy się ułamków niewłaściwych. Aby pozbyć się ułamka niewłaściwego, musisz wybrać całą jego część. W naszym przypadku całą część można łatwo wyizolować – dwa podzielone przez dwa równa się jeden:
Przykład ten można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę podzieloną na dwie części. Jeśli dodasz więcej pizzy do pizzy, otrzymasz jedną całą pizzę:
Przykład 3. Dodaj ułamki i .
Ponownie dodajemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian:
Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę, która jest podzielona na trzy części. Jeśli dodasz więcej pizzy do pizzy, otrzymasz pizzę:
Przykład 4. Znajdź wartość wyrażenia 
Ten przykład rozwiązuje się dokładnie w taki sam sposób, jak poprzednie. Liczniki należy dodać, a mianownik pozostawić bez zmian:
Spróbujmy zobrazować nasze rozwiązanie za pomocą rysunku. Jeśli dodasz pizzę do pizzy i dodasz więcej pizzy, otrzymasz 1 całą pizzę i więcej pizzy.
Jak widać, nie ma nic skomplikowanego w dodawaniu ułamków o tych samych mianownikach. Wystarczy zrozumieć następujące zasady:
- Aby dodać ułamki o tym samym mianowniku, należy dodać ich liczniki i pozostawić mianownik bez zmian;
Dodawanie ułamków o różnych mianownikach
Teraz nauczmy się dodawać ułamki zwykłe o różnych mianownikach. Podczas dodawania ułamków mianowniki ułamków muszą być takie same. Ale nie zawsze są takie same.
Na przykład ułamki można dodawać, ponieważ mają te same mianowniki.
Ale ułamków nie można od razu dodać, ponieważ ułamki te mają różne mianowniki. W takich przypadkach ułamki należy sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.
Istnieje kilka sposobów redukcji ułamków zwykłych do tego samego mianownika. Dzisiaj przyjrzymy się tylko jednemu z nich, ponieważ inne metody mogą wydawać się początkującemu skomplikowane.
Istota tej metody polega na tym, że w pierwszej kolejności przeszukiwane jest LCM mianowników obu ułamków. LCM jest następnie dzielona przez mianownik pierwszego ułamka, aby uzyskać pierwszy dodatkowy współczynnik. To samo robią z drugim ułamkiem - LCM dzieli się przez mianownik drugiego ułamka i uzyskuje się drugi dodatkowy współczynnik.
Liczniki i mianowniki ułamków są następnie mnożone przez ich dodatkowe współczynniki. W wyniku tych działań ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych mianownikach. I już wiemy jak dodawać takie ułamki.
Przykład 1. Dodajmy ułamki i
Przede wszystkim znajdujemy najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników obu ułamków. Mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 2. Najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb to 6
LCM (2 i 3) = 6
Wróćmy teraz do ułamków zwykłych i . Najpierw podziel LCM przez mianownik pierwszego ułamka i uzyskaj pierwszy dodatkowy współczynnik. LCM to liczba 6, a mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3. Dzieląc 6 przez 3, otrzymujemy 2.
Wynikowa liczba 2 jest pierwszym dodatkowym mnożnikiem. Zapisujemy to do pierwszego ułamka. Aby to zrobić, narysuj małą ukośną linię nad ułamkiem i zapisz znajdujący się nad nią dodatkowy współczynnik:
To samo robimy z drugim ułamkiem. Dzielimy LCM przez mianownik drugiego ułamka i otrzymujemy drugi dodatkowy czynnik. LCM to liczba 6, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 2. Dzieląc 6 przez 2, otrzymujemy 3.
Wynikowa liczba 3 jest drugim dodatkowym mnożnikiem. Zapisujemy to do drugiego ułamka. Ponownie robimy małą ukośną linię nad drugim ułamkiem i zapisujemy dodatkowy czynnik znajdujący się nad nim:
Teraz mamy wszystko gotowe do dodania. Pozostaje pomnożyć liczniki i mianowniki ułamków przez ich dodatkowe czynniki:
Przyjrzyj się uważnie, do czego doszliśmy. Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych mianownikach. I już wiemy jak dodawać takie ułamki. Przejdźmy do końca ten przykład:
To kończy przykład. Okazuje się, że należy dodać.
Spróbujmy zobrazować nasze rozwiązanie za pomocą rysunku. Jeśli dodasz pizzę do pizzy, otrzymasz jedną całą pizzę i kolejną szóstą pizzy:
Sprowadzanie ułamków do tego samego (wspólnego) mianownika można również przedstawić za pomocą obrazu. Redukując ułamki do wspólnego mianownika, otrzymaliśmy ułamki i . Te dwie frakcje będą reprezentowane przez te same kawałki pizzy. Jedyną różnicą będzie to, że tym razem zostaną one podzielone na równe części (sprowadzone do tego samego mianownika).
Pierwszy rysunek przedstawia ułamek (cztery części z sześciu), a drugi rysunek przedstawia ułamek (trzy części z sześciu). Dodając te kawałki otrzymamy (siedem kawałków z sześciu). Ten ułamek jest niewłaściwy, więc podkreśliliśmy całą jego część. W rezultacie otrzymaliśmy (całą pizzę i kolejną szóstą pizzę).
Należy pamiętać, że opisaliśmy ten przykład zbyt szczegółowo. W instytucjach edukacyjnych nie jest zwyczajowo pisać tak szczegółowo. Musisz umieć szybko znaleźć LCM obu mianowników i dodatkowych czynników do nich, a także szybko pomnożyć znalezione dodatkowe czynniki przez swoje liczniki i mianowniki. Gdybyśmy byli w szkole, musielibyśmy zapisać ten przykład w następujący sposób:
Ale jest też druga strona medalu. Jeżeli na pierwszych etapach nauki matematyki nie będziemy robić szczegółowych notatek, wówczas zaczną pojawiać się tego typu pytania. „Skąd taka liczba?”, „Dlaczego ułamki nagle zamieniają się w zupełnie inne ułamki? «.
Aby ułatwić dodawanie ułamków o różnych mianownikach, możesz skorzystać z poniższych instrukcji krok po kroku:
- Znajdź LCM mianowników ułamków;
- Podziel LCM przez mianownik każdego ułamka i uzyskaj dodatkowy współczynnik dla każdego ułamka;
- Pomnóż liczniki i mianowniki ułamków przez ich dodatkowe współczynniki;
- Dodaj ułamki o tych samych mianownikach;
- Jeśli odpowiedź okaże się ułamkiem niewłaściwym, wybierz całą jej część;
Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia 
.
Skorzystajmy z instrukcji podanych powyżej.
Krok 1. Znajdź LCM mianowników ułamków
Znajdź LCM mianowników obu ułamków. Mianownikami ułamków są liczby 2, 3 i 4
Krok 2. Podziel LCM przez mianownik każdego ułamka i uzyskaj dodatkowy współczynnik dla każdego ułamka
Podziel LCM przez mianownik pierwszego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 2. Dzieląc 12 przez 2, otrzymujemy 6. Otrzymujemy pierwszy dodatkowy współczynnik 6. Zapisujemy go nad pierwszym ułamkiem:
Teraz dzielimy LCM przez mianownik drugiego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 3. Dzieląc 12 przez 3, otrzymujemy 4. Otrzymujemy drugi dodatkowy współczynnik 4. Zapisujemy go nad drugim ułamkiem:
Teraz dzielimy LCM przez mianownik trzeciego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem trzeciego ułamka jest liczba 4. Dzieląc 12 przez 4, otrzymujemy 3. Otrzymujemy trzeci dodatkowy współczynnik 3. Zapisujemy to nad trzecim ułamkiem:
Krok 3. Pomnóż liczniki i mianowniki ułamków przez ich dodatkowe współczynniki
Mnożymy liczniki i mianowniki przez ich dodatkowe współczynniki:
Krok 4. Dodaj ułamki o tych samych mianownikach
Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych (wspólnych) mianownikach. Pozostaje tylko dodać te frakcje. Dodaj go:
Dodatek nie zmieścił się w jednym wierszu, więc pozostałe wyrażenie przenieśliśmy do następnego wiersza. Jest to dozwolone w matematyce. Jeżeli wyrażenie nie mieści się w jednym wierszu, jest ono przenoszone do następnego wiersza, przy czym należy postawić znak równości (=) na końcu pierwszego wiersza i na początku nowego wiersza. Znak równości w drugiej linii oznacza, że jest to kontynuacja wyrażenia z pierwszej linii.
Krok 5. Jeśli odpowiedź okaże się ułamkiem niewłaściwym, zaznacz całą jej część
Nasza odpowiedź okazała się ułamkiem niewłaściwym. Musimy podkreślić całą jego część. Wyróżniamy:
Otrzymaliśmy odpowiedź
Odejmowanie ułamków zwykłych o podobnych mianownikach
Istnieją dwa rodzaje odejmowania ułamków zwykłych:
- Odejmowanie ułamków zwykłych o podobnych mianownikach
- Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach
Najpierw nauczmy się odejmować ułamki zwykłe o podobnych mianownikach. Tutaj wszystko jest proste. Aby odjąć inny od jednego ułamka, musisz odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka, ale mianownik pozostawić bez zmian.
Na przykład znajdźmy wartość wyrażenia . Aby rozwiązać ten przykład, należy odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostawić mianownik bez zmian. Zróbmy to:
Przykład ten można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę, która jest podzielona na cztery części. Jeśli wytniesz pizzę z pizzy, otrzymasz pizze:
Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia.
Ponownie od licznika pierwszego ułamka odejmij licznik drugiego ułamka, a mianownik pozostaw bez zmian:
Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę, która jest podzielona na trzy części. Jeśli wytniesz pizzę z pizzy, otrzymasz pizze:
Przykład 3. Znajdź wartość wyrażenia 
Ten przykład rozwiązuje się dokładnie w taki sam sposób, jak poprzednie. Od licznika pierwszego ułamka należy odjąć liczniki pozostałych ułamków:
Jak widać, nie ma nic skomplikowanego w odejmowaniu ułamków o tych samych mianownikach. Wystarczy zrozumieć następujące zasady:
- Aby odjąć inny od jednego ułamka, musisz odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostawić mianownik bez zmian;
- Jeśli odpowiedź okaże się ułamkiem niewłaściwym, musisz zaznaczyć całą jej część.
Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach
Na przykład możesz odjąć ułamek od ułamka, ponieważ ułamki mają te same mianowniki. Ale nie można odjąć ułamka od ułamka, ponieważ ułamki te mają różne mianowniki. W takich przypadkach ułamki należy sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.
Wspólny mianownik znajdujemy przy użyciu tej samej zasady, której używaliśmy przy dodawaniu ułamków o różnych mianownikach. Przede wszystkim znajdź LCM mianowników obu ułamków. Następnie LCM dzieli się przez mianownik pierwszego ułamka i uzyskuje się pierwszy dodatkowy współczynnik, który zapisuje się nad pierwszym ułamkiem. Podobnie LCM dzieli się przez mianownik drugiego ułamka i uzyskuje się drugi dodatkowy współczynnik, który zapisuje się nad drugim ułamkiem.
Następnie ułamki mnoży się przez ich dodatkowe współczynniki. W wyniku tych operacji ułamki o różnych mianownikach zamieniane są na ułamki o tych samych mianownikach. I już wiemy, jak odejmować takie ułamki.
Przykład 1. Znajdź znaczenie wyrażenia:
Ułamki te mają różne mianowniki, dlatego należy je sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.
Najpierw znajdujemy LCM mianowników obu ułamków. Mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 4. Najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb to 12
LCM (3 i 4) = 12
Wróćmy teraz do ułamków zwykłych i
Znajdźmy dodatkowy współczynnik dla pierwszego ułamka. Aby to zrobić, podziel LCM przez mianownik pierwszego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3. Podziel 12 przez 3, otrzymamy 4. Napisz cztery nad pierwszym ułamkiem:
To samo robimy z drugim ułamkiem. Podziel LCM przez mianownik drugiego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 4. Podziel 12 przez 4, otrzymamy 3. Napisz trójkę nad drugim ułamkiem:
Teraz jesteśmy gotowi do odejmowania. Pozostaje pomnożyć ułamki przez ich dodatkowe współczynniki:
Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych mianownikach. I już wiemy, jak odejmować takie ułamki. Przejdźmy do końca ten przykład:
Otrzymaliśmy odpowiedź
Spróbujmy zobrazować nasze rozwiązanie za pomocą rysunku. Jeśli odetniesz pizzę od pizzy, otrzymasz pizzę
To jest szczegółowa wersja rozwiązania. Gdybyśmy byli w szkole, musielibyśmy rozwiązać ten przykład krócej. Takie rozwiązanie wyglądałoby następująco:
Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika można również przedstawić za pomocą obrazu. Sprowadzając te ułamki do wspólnego mianownika, otrzymaliśmy ułamki i . Ułamki te będą reprezentowane przez te same kawałki pizzy, ale tym razem zostaną podzielone na równe części (sprowadzone do tego samego mianownika):
Pierwsze zdjęcie przedstawia ułamek (osiem części z dwunastu), a drugie zdjęcie przedstawia ułamek (trzy części z dwunastu). Przecinając trzy kawałki z ośmiu kawałków, otrzymujemy pięć kawałków z dwunastu. Ułamek opisuje te pięć części.
Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia 
Ułamki te mają różne mianowniki, więc najpierw trzeba je sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.
Znajdźmy LCM mianowników tych ułamków.
Mianownikami ułamków są liczby 10, 3 i 5. Najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb to 30
LCM(10, 3, 5) = 30
Teraz znajdujemy dodatkowe współczynniki dla każdej frakcji. Aby to zrobić, podziel LCM przez mianownik każdego ułamka.
Znajdźmy dodatkowy współczynnik dla pierwszego ułamka. LCM to liczba 30, a mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 10. Dzieląc 30 przez 10, otrzymujemy pierwszy dodatkowy współczynnik 3. Zapisujemy go nad pierwszym ułamkiem:
Teraz znajdujemy dodatkowy współczynnik dla drugiego ułamka. Podziel LCM przez mianownik drugiego ułamka. LCM to liczba 30, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 3. Dzieląc 30 przez 3, otrzymujemy drugi dodatkowy współczynnik 10. Zapisujemy go nad drugim ułamkiem:
Teraz znajdujemy dodatkowy współczynnik dla trzeciego ułamka. Podziel LCM przez mianownik trzeciego ułamka. LCM to liczba 30, a mianownikiem trzeciego ułamka jest liczba 5. Dzieląc 30 przez 5, otrzymujemy trzeci dodatkowy współczynnik 6. Zapisujemy go nad trzecim ułamkiem:
Teraz wszystko jest gotowe do odejmowania. Pozostaje pomnożyć ułamki przez ich dodatkowe współczynniki:
Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych (wspólnych) mianownikach. I już wiemy, jak odejmować takie ułamki. Zakończmy ten przykład.
Kontynuacja przykładu nie zmieści się w jednej linii, więc kontynuację przenosimy do następnej linii. Nie zapomnij o znaku równości (=) w nowej linii:
Odpowiedź okazała się ułamkiem zwykłym i wszystko wydaje się nam pasować, ale jest zbyt kłopotliwe i brzydkie. Powinniśmy to uprościć. Co można zrobić? Możesz skrócić ten ułamek.
Aby skrócić ułamek, należy podzielić jego licznik i mianownik przez (NWD) liczby 20 i 30.
Znajdujemy więc gcd liczb 20 i 30:
Teraz wracamy do naszego przykładu i dzielimy licznik i mianownik ułamka przez znaleziony gcd, czyli przez 10
Otrzymaliśmy odpowiedź
Mnożenie ułamka przez liczbę
Aby pomnożyć ułamek przez liczbę, należy pomnożyć licznik danego ułamka przez tę liczbę, a mianownik pozostawić bez zmian.
Przykład 1. Pomnóż ułamek przez liczbę 1.
Pomnóż licznik ułamka przez liczbę 1
Nagranie można rozumieć jako trwające połowę czasu. Na przykład, jeśli raz zjesz pizzę, dostaniesz pizzę
Z praw mnożenia wiemy, że jeśli zamienimy mnożną i mnożnikiem, iloczyn się nie zmieni. Jeśli wyrażenie zostanie zapisane jako , wówczas iloczyn będzie nadal równy . Ponownie zasada mnożenia liczby całkowitej i ułamka działa:
Zapis ten można rozumieć jako branie połowy jednego. Przykładowo, jeśli jest 1 cała pizza i weźmiemy połowę, to będziemy mieli pizzę:
Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia
Pomnóż licznik ułamka przez 4
Odpowiedzią był ułamek niewłaściwy. Podkreślmy całą jego część:
Wyrażenie można rozumieć jako branie dwóch ćwiartek 4 razy. Na przykład, jeśli weźmiesz 4 pizze, otrzymasz dwie całe pizze
A jeśli zamienimy mnożną i mnożnikiem, otrzymamy wyrażenie . Będzie ono również równe 2. Wyrażenie to można rozumieć jako wzięcie dwóch pizz z czterech całych pizz:
Mnożenie ułamków
Aby pomnożyć ułamki zwykłe, należy pomnożyć ich liczniki i mianowniki. Jeżeli odpowiedź okaże się ułamkiem niewłaściwym, należy zaznaczyć całą jej część.
Przykład 1. Znajdź wartość wyrażenia.
Otrzymaliśmy odpowiedź. Wskazane jest zmniejszenie tej frakcji. Ułamek można zmniejszyć o 2. Wtedy ostateczne rozwiązanie będzie miało następującą postać:
Wyrażenie to można rozumieć jako oddzielenie pizzy od połowy. Powiedzmy, że mamy pół pizzy:
Jak wyciągnąć dwie trzecie z tej połowy? Najpierw musisz podzielić tę połowę na trzy równe części:
I weź dwa z tych trzech kawałków:
Zrobimy pizzę. Przypomnij sobie, jak wygląda pizza podzielona na trzy części:
Jeden kawałek tej pizzy i dwa kawałki, które wzięliśmy, będą miały takie same wymiary:
Innymi słowy, mówimy o pizzy tej samej wielkości. Zatem wartość wyrażenia wynosi
Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia
Pomnóż licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka, a mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka:
Odpowiedzią był ułamek niewłaściwy. Podkreślmy całą jego część:
Przykład 3. Znajdź wartość wyrażenia
Pomnóż licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka, a mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka:
Odpowiedź okazała się ułamkiem zwykłym, ale dobrze by było, gdyby została skrócona. Aby skrócić ten ułamek, należy podzielić licznik i mianownik tego ułamka przez największy wspólny dzielnik (NWD) liczb 105 i 450.
Znajdźmy więc gcd liczb 105 i 450:
Teraz dzielimy licznik i mianownik naszej odpowiedzi przez znaleziony teraz gcd, czyli przez 15
Przedstawianie liczby całkowitej w postaci ułamka
Każdą liczbę całkowitą można przedstawić w postaci ułamka. Na przykład liczbę 5 można przedstawić jako . Nie zmieni to znaczenia pięciu, ponieważ wyrażenie to oznacza „liczbę pięć podzieloną przez jeden”, a to, jak wiemy, równa się pięć:
Liczby wzajemne
Teraz zapoznamy się z bardzo interesującym tematem z matematyki. Nazywa się to „liczbami odwrotnymi”.
Definicja. Odwróć numerA to liczba, która po pomnożeniu przezA daje jeden.
Podstawmy w tej definicji zamiast zmiennej A numer 5 i spróbuj przeczytać definicję:
Odwróć numer 5 to liczba, która po pomnożeniu przez 5 daje jeden.
Czy można znaleźć liczbę, która pomnożona przez 5 daje jeden? Okazuje się, że jest to możliwe. Wyobraźmy sobie pięć jako ułamek:
Następnie pomnóż ten ułamek przez siebie, po prostu zamień licznik z mianownikiem. Inaczej mówiąc, pomnóżmy ułamek sam, tylko do góry nogami:
Co się stanie w rezultacie tego? Jeśli będziemy kontynuować rozwiązywanie tego przykładu, otrzymamy jeden:
Oznacza to, że odwrotnością liczby 5 jest liczba , ponieważ gdy pomnożysz 5 przez, otrzymasz jeden.
Odwrotność liczby można znaleźć także dla dowolnej innej liczby całkowitej.
Możesz także znaleźć odwrotność dowolnego innego ułamka. Aby to zrobić, po prostu odwróć go.
Dzielenie ułamka przez liczbę
Powiedzmy, że mamy pół pizzy:
Podzielmy to równo pomiędzy dwa. Ile pizzy dostanie każda osoba?
Można zauważyć, że po podzieleniu połowy pizzy otrzymano dwie równe części, z których każda stanowi pizzę. Więc każdy dostaje pizzę.
Dzielenie ułamków odbywa się za pomocą odwrotności. Liczby odwrotne pozwalają zastąpić dzielenie mnożeniem.
Aby podzielić ułamek przez liczbę, należy pomnożyć ułamek przez odwrotność dzielnika.
Korzystając z tej zasady zapiszemy podział naszej połowy pizzy na dwie części.
Musisz więc podzielić ułamek przez liczbę 2. Tutaj dywidenda jest ułamkiem, a dzielnikiem jest liczba 2.
Aby podzielić ułamek przez liczbę 2, należy pomnożyć ten ułamek przez odwrotność dzielnika 2. Odwrotnością dzielnika 2 jest ułamek. Więc musisz pomnożyć przez
Jedną z najważniejszych nauk, której zastosowanie widać w takich dyscyplinach jak chemia, fizyka, a nawet biologia, jest matematyka. Studiowanie tej nauki pozwala rozwinąć pewne cechy umysłowe i poprawić zdolność koncentracji. Jednym z tematów zasługujących na szczególną uwagę na kursie matematyki jest dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych. Wielu studentom trudno jest się uczyć. Być może nasz artykuł pomoże Ci lepiej zrozumieć ten temat.
Jak odejmować ułamki, których mianowniki są takie same
Ułamki to te same liczby, za pomocą których można wykonywać różne operacje. Ich różnica w stosunku do liczb całkowitych polega na obecności mianownika. Dlatego wykonując operacje na ułamkach, musisz przestudiować niektóre ich cechy i zasady. Najprostszym przypadkiem jest odejmowanie ułamków zwykłych, których mianowniki są reprezentowane przez tę samą liczbę. Wykonanie tej czynności nie będzie trudne, jeśli znasz prostą zasadę:
- Aby odjąć sekundę od jednego ułamka, należy od licznika ułamka zmniejszanego odjąć licznik odejmowanego ułamka. Tę liczbę zapisujemy w liczniku różnicy, a mianownik pozostawiamy bez zmian: k/m - b/m = (k-b)/m.
Przykłady odejmowania ułamków, których mianowniki są takie same
7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.
Od licznika ułamka „7” odejmujemy licznik ułamka „3”, który ma zostać odjęty, otrzymujemy „4”. Zapisujemy tę liczbę w liczniku odpowiedzi, a w mianowniku umieszczamy tę samą liczbę, która była w mianownikach pierwszego i drugiego ułamka - „19”.
Poniższy obrazek pokazuje jeszcze kilka podobnych przykładów.
Rozważmy bardziej złożony przykład, w którym odejmowane są ułamki zwykłe o podobnych mianownikach:
29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.
Od licznika ułamka „29” zmniejszamy odejmując kolejno liczniki wszystkich kolejnych ułamków - „3”, „8”, „2”, „7”. W rezultacie otrzymujemy wynik „9”, który zapisujemy w liczniku odpowiedzi, a w mianowniku zapisujemy liczbę znajdującą się w mianownikach wszystkich tych ułamków - „47”.
Dodawanie ułamków o tym samym mianowniku
Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych odbywa się na tej samej zasadzie.
- Aby dodać ułamki, których mianowniki są takie same, należy dodać liczniki. Otrzymana liczba jest licznikiem sumy, a mianownik pozostaje taki sam: k/m + b/m = (k + b)/m.
Zobaczmy jak to wygląda na przykładzie:
1/4 + 2/4 = 3/4.
Do licznika pierwszego wyrazu ułamka - „1” - dodaj licznik drugiego wyrazu ułamka - „2”. Wynik - „3” - zapisuje się w liczniku sumy, a mianownik pozostaje taki sam, jak obecny w ułamkach - „4”.
Ułamki zwykłe o różnych mianownikach i ich odejmowanie
Rozważaliśmy już operację na ułamkach o tym samym mianowniku. Jak widać, znając proste zasady, rozwiązywanie takich przykładów jest dość łatwe. Ale co, jeśli chcesz wykonać operację na ułamkach o różnych mianownikach? Wielu uczniów szkół średnich jest zdezorientowanych takimi przykładami. Ale nawet tutaj, jeśli znasz zasadę rozwiązania, przykłady nie będą już dla ciebie trudne. Tutaj też obowiązuje zasada, bez której rozwiązywanie takich ułamków jest po prostu niemożliwe.
- 2/3 - w mianowniku brakuje jednej trójki i jednej dwójki:
2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18. - 7/9 lub 7/(3 x 3) - w mianowniku brakuje dwójki:
7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18. - 5/6 lub 5/(2 x 3) - w mianowniku brakuje trójki:
5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18. - Liczba 18 składa się z 3 x 2 x 3.
- Liczba 15 składa się z 5 x 3.
- Wspólną wielokrotnością będą następujące czynniki: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.
- 90 podzielone przez 15. Wynikowa liczba „6” będzie mnożnikiem przez 3/15.
- 90 podzielone przez 18. Wynikowa liczba „5” będzie mnożnikiem 4/18.
- Zamień wszystkie ułamki zwykłe zawierające część całkowitą na niewłaściwe. Krótko mówiąc, usuń całą część. Aby to zrobić, pomnóż liczbę części całkowitej przez mianownik ułamka i dodaj uzyskany iloczyn do licznika. Liczba, która wyjdzie po tych działaniach, jest licznikiem ułamka niewłaściwego. Mianownik pozostaje niezmieniony.
- Jeśli ułamki mają różne mianowniki, należy je sprowadzić do tego samego mianownika.
- Wykonaj dodawanie lub odejmowanie przy tych samych mianownikach.
- Jeśli otrzymasz ułamek niewłaściwy, wybierz całą część.
Aby odjąć ułamki o różnych mianownikach, należy je sprowadzić do tego samego najmniejszego mianownika.
Porozmawiamy bardziej szczegółowo o tym, jak to zrobić.
Własność ułamka
Aby sprowadzić kilka ułamków do tego samego mianownika, należy w rozwiązaniu zastosować główną właściwość ułamka: po podzieleniu lub pomnożeniu licznika i mianownika przez tę samą liczbę otrzymasz ułamek równy podanemu.
Na przykład ułamek 2/3 może mieć mianowniki takie jak „6”, „9”, „12” itp., To znaczy może mieć postać dowolnej liczby będącej wielokrotnością „3”. Po pomnożeniu licznika i mianownika przez „2” otrzymujemy ułamek 4/6. Po pomnożeniu licznika i mianownika ułamka pierwotnego przez „3” otrzymamy 6/9, a jeśli wykonamy podobną operację z liczbą „4”, otrzymamy 8/12. Jedną równość można zapisać następująco:
2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…
Jak zamienić wiele ułamków zwykłych na ten sam mianownik
Przyjrzyjmy się, jak sprowadzić wiele ułamków do tego samego mianownika. Weźmy na przykład ułamki pokazane na poniższym obrazku. Najpierw musisz określić, która liczba może stać się mianownikiem dla nich wszystkich. Aby było łatwiej, rozłóżmy istniejące mianowniki na czynniki.
Mianownika ułamka 1/2 i ułamka 2/3 nie można rozłożyć na czynniki. Mianownik 7/9 ma dwa dzielniki 7/9 = 7/(3 x 3), a mianownik ułamka 5/6 = 5/(2 x 3). Teraz musimy określić, które czynniki będą najmniejsze dla wszystkich tych czterech ułamków. Skoro pierwszy ułamek ma w mianowniku liczbę „2”, oznacza to, że musi ona występować we wszystkich mianownikach; w ułamku 7/9 znajdują się dwie trójki, co oznacza, że obie muszą także występować w mianowniku. Biorąc pod uwagę powyższe ustalamy, że mianownik składa się z trzech dzielników: 3, 2, 3 i jest równy 3 x 2 x 3 = 18.
Rozważmy pierwszą frakcję - 1/2. W mianowniku jest „2”, ale nie ma ani jednej cyfry „3”, ale powinny być dwie. Aby to zrobić, mnożymy mianownik przez dwie trójki, ale zgodnie z właściwością ułamka musimy pomnożyć licznik przez dwie trójki:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.
Te same operacje wykonujemy z pozostałymi ułamkami.
Wszystko razem wygląda tak:
Jak odejmować i dodawać ułamki zwykłe o różnych mianownikach
Jak wspomniano powyżej, aby dodać lub odjąć ułamki o różnych mianownikach, należy je sprowadzić do tego samego mianownika, a następnie zastosować zasady odejmowania ułamków o tym samym mianowniku, które zostały już omówione.
Spójrzmy na to jako przykład: 18.04 - 15.03.
Znajdowanie wielokrotności liczb 18 i 15:
Po znalezieniu mianownika należy obliczyć współczynnik, który będzie inny dla każdego ułamka, to znaczy liczbę, przez którą konieczne będzie pomnożenie nie tylko mianownika, ale także licznika. Aby to zrobić, podziel znalezioną liczbę (wspólną wielokrotność) przez mianownik ułamka, dla którego należy określić dodatkowe współczynniki.
Kolejnym etapem naszego rozwiązania jest sprowadzenie każdego ułamka do mianownika „90”.
Mówiliśmy już o tym, jak to się robi. Zobaczmy jak to jest napisane na przykładzie:
(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.
Jeśli ułamki mają małe liczby, możesz ustalić wspólny mianownik, jak w przykładzie pokazanym na obrazku poniżej.
To samo dotyczy osób o różnych mianownikach.
Odejmowanie i posiadanie części całkowitych
Omówiliśmy już szczegółowo odejmowanie ułamków i ich dodawanie. Ale jak odjąć, jeśli ułamek ma część całkowitą? Ponownie zastosujmy kilka zasad:
Istnieje inny sposób dodawania i odejmowania ułamków całkowitych. Aby to zrobić, akcje są wykonywane osobno z całymi częściami, a akcje z ułamkami osobno, a wyniki są rejestrowane razem.
Podany przykład składa się z ułamków o tym samym mianowniku. W przypadku, gdy mianowniki są różne, należy je doprowadzić do tej samej wartości, a następnie wykonać czynności jak pokazano w przykładzie.
Odejmowanie ułamków od liczb całkowitych
Innym rodzajem operacji na ułamkach jest sytuacja, w której należy odjąć ułamek. Na pierwszy rzut oka taki przykład wydaje się trudny do rozwiązania. Jednak tutaj wszystko jest dość proste. Aby go rozwiązać, musisz przekonwertować liczbę całkowitą na ułamek i z tym samym mianownikiem, który jest w odejmowanym ułamku. Następnie wykonujemy odejmowanie podobne do odejmowania o identycznych mianownikach. Na przykładzie wygląda to tak:
7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.
Odejmowanie ułamków (ocena 6) przedstawione w tym artykule jest podstawą do rozwiązania bardziej złożonych przykładów, które są omówione w kolejnych ocenach. Znajomość tego tematu jest następnie wykorzystywana do rozwiązywania funkcji, pochodnych i tak dalej. Dlatego bardzo ważne jest zrozumienie i zrozumienie operacji na ułamkach omówionych powyżej.
§ 87. Dodawanie ułamków.
Dodawanie ułamków ma wiele podobieństw do dodawania liczb całkowitych. Dodawanie ułamków to czynność polegająca na tym, że kilka danych liczb (wyrazów) łączy się w jedną liczbę (sumę), zawierającą wszystkie jednostki i ułamki jednostek wyrazów.
Rozpatrzymy kolejno trzy przypadki:
1. Dodawanie ułamków o podobnych mianownikach.
2. Dodawanie ułamków o różnych mianownikach.
3. Dodawanie liczb mieszanych.
1. Dodawanie ułamków o podobnych mianownikach.
Rozważmy przykład: 1/5 + 2/5.
Weźmy odcinek AB (ryc. 17), potraktujmy go jako jeden i podzielmy na 5 równych części, wówczas część AC tego odcinka będzie równa 1/5 odcinka AB, a część tego samego odcinka CD będzie równa 2/5 AB.
Z rysunku jasno wynika, że jeśli weźmiemy odcinek AD, będzie on równy 3/5 AB; ale odcinek AD jest dokładnie sumą odcinków AC i CD. Możemy więc napisać:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Biorąc pod uwagę te wyrazy i wynikową sumę, widzimy, że licznik sumy otrzymano przez dodanie liczników wyrazów, a mianownik pozostał niezmieniony.
Otrzymujemy z tego następującą regułę: Aby dodać ułamki o tych samych mianownikach, musisz dodać ich liczniki i pozostawić ten sam mianownik.
Spójrzmy na przykład:
2. Dodawanie ułamków o różnych mianownikach.
Dodajmy ułamki: 3 / 4 + 3 / 8 Najpierw należy je sprowadzić do najniższego wspólnego mianownika:
Nie można zapisać łącza pośredniego 6/8 + 3/8; napisaliśmy to tutaj dla jasności.
Zatem, aby dodać ułamki o różnych mianownikach, należy je najpierw sprowadzić do najniższego wspólnego mianownika, dodać ich liczniki i oznaczyć wspólny mianownik.
Rozważmy przykład (nad odpowiednimi ułamkami napiszemy dodatkowe czynniki):
3. Dodawanie liczb mieszanych.
Dodajmy liczby: 2 3/8 + 3 5/6.
Najpierw sprowadźmy części ułamkowe naszych liczb do wspólnego mianownika i napiszmy je jeszcze raz:
Teraz dodajemy kolejno części całkowite i ułamkowe:
§ 88. Odejmowanie ułamków.
Odejmowanie ułamków definiuje się w taki sam sposób, jak odejmowanie liczb całkowitych. Jest to działanie, za pomocą którego, biorąc pod uwagę sumę dwóch wyrazów i jednego z nich, znajduje się inny wyraz. Rozważmy kolejno trzy przypadki:
1. Odejmowanie ułamków zwykłych o podobnych mianownikach.
2. Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach.
3. Odejmowanie liczb mieszanych.
1. Odejmowanie ułamków zwykłych o podobnych mianownikach.
Spójrzmy na przykład:
13 / 15 - 4 / 15
Weźmy odcinek AB (ryc. 18), przyjmijmy go jako jednostkę i podzielmy na 15 równych części; wówczas część AC tego odcinka będzie odpowiadać 1/15 AB, a część AD tego samego odcinka będzie odpowiadać 13/15 AB. Odłóżmy na bok kolejny odcinek ED równy 4/15 AB.
Musimy odjąć ułamek 4/15 od 13/15. Na rysunku oznacza to, że od odcinka AD należy odjąć odcinek ED. W rezultacie pozostanie segment AE, który stanowi 9/15 odcinka AB. Możemy więc napisać:
Przykład, który zrobiliśmy pokazuje, że licznik różnicy otrzymano poprzez odjęcie liczników, ale mianownik pozostał taki sam.
Dlatego, aby odjąć ułamki o podobnych mianownikach, należy odjąć licznik odejmowania od licznika odjemnika i pozostawić ten sam mianownik.
2. Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach.
Przykład. 3/4 - 5/8
Najpierw sprowadźmy te ułamki do najniższego wspólnego mianownika:
Dla przejrzystości zapisano tutaj pośrednie 6/8 - 5/8, ale można je później pominąć.
Zatem, aby odjąć ułamek od ułamka, należy najpierw sprowadzić go do najniższego wspólnego mianownika, następnie od licznika odjemnej odjąć licznik odjemnej i podpisać wspólny mianownik pod ich różnicą.
Spójrzmy na przykład:
3. Odejmowanie liczb mieszanych.
Przykład. 10 3/4 - 7 2/3.
Sprowadźmy części ułamkowe odejmowania i odejmowania do najniższego wspólnego mianownika:
Odejmowaliśmy całość od całości i ułamek od ułamka. Ale zdarzają się przypadki, gdy część ułamkowa odejmowania jest większa niż część ułamkowa odjemnika. W takich przypadkach należy wziąć jedną jednostkę z całej części odjemnej, podzielić ją na te części, w których wyrażona jest część ułamkowa, i dodać ją do części ułamkowej odjemnej. A następnie odejmowanie zostanie wykonane w taki sam sposób, jak w poprzednim przykładzie:
§ 89. Mnożenie ułamków zwykłych.
Badając mnożenie ułamków, rozważymy następujące pytania:
1. Mnożenie ułamka przez liczbę całkowitą.
2. Znajdowanie ułamka danej liczby.
3. Mnożenie liczby całkowitej przez ułamek.
4. Mnożenie ułamka przez ułamek.
5. Mnożenie liczb mieszanych.
6. Pojęcie odsetek.
7. Znajdowanie procentu danej liczby. Rozważmy je sekwencyjnie.
1. Mnożenie ułamka przez liczbę całkowitą.
Mnożenie ułamka przez liczbę całkowitą ma takie samo znaczenie, jak mnożenie liczby całkowitej przez liczbę całkowitą. Pomnożenie ułamka (mnożnika) przez liczbę całkowitą (czynnik) oznacza utworzenie sumy identycznych wyrazów, w której każdy wyraz jest równy mnożnej, a liczba wyrazów jest równa mnożnikowi.
Oznacza to, że jeśli chcesz pomnożyć 1/9 przez 7, możesz to zrobić w następujący sposób:
Wynik łatwo uzyskaliśmy, gdyż czynność sprowadzała się do dodawania ułamków o tych samych mianownikach. Stąd,
Rozważenie tego działania pokazuje, że pomnożenie ułamka przez liczbę całkowitą jest równoznaczne ze zwiększeniem tego ułamka tyle razy, ile jednostek jest w liczbie całkowitej. A ponieważ zwiększenie ułamka osiąga się albo poprzez zwiększenie jego licznika
lub poprzez zmniejszenie jego mianownika 
, to możemy albo pomnożyć licznik przez liczbę całkowitą, albo podzielić przez nią mianownik, jeśli taki podział jest możliwy.
Stąd otrzymujemy regułę:
Aby pomnożyć ułamek przez liczbę całkowitą, należy pomnożyć licznik przez tę liczbę całkowitą i pozostawić mianownik bez zmian lub, jeśli to możliwe, podzielić mianownik przez tę liczbę, pozostawiając licznik bez zmian.
Podczas mnożenia możliwe są skróty, na przykład:
2. Znajdowanie ułamka danej liczby. Istnieje wiele problemów, w których trzeba znaleźć lub obliczyć część danej liczby. Różnica między tymi zadaniami a innymi polega na tym, że podają liczbę niektórych obiektów lub jednostek miary i trzeba znaleźć część tej liczby, która tutaj również jest oznaczona pewnym ułamkiem. Aby ułatwić zrozumienie, najpierw podamy przykłady takich problemów, a następnie przedstawimy metodę ich rozwiązania.
Zadanie 1. Miałem 60 rubli; 1/3 tych pieniędzy wydałem na zakup książek. Ile kosztowały książki?
Zadanie 2. Pociąg musi pokonać odległość pomiędzy miastami A i B równą 300 km. Przebył już 2/3 tego dystansu. Ile to kilometrów?
Zadanie 3. We wsi znajduje się 400 domów, z czego 3/4 jest murowana, reszta jest drewniana. Ile jest razem domów murowanych?
Oto niektóre z wielu problemów, jakie napotykamy, aby znaleźć część danej liczby. Nazywa się je zwykle problemami ze znalezieniem ułamka danej liczby.
Rozwiązanie problemu 1. Od 60 rubli. 1/3 wydałem na książki; Oznacza to, że aby obliczyć koszt książek, należy podzielić liczbę 60 przez 3:
Rozwiązanie problemu 2. Problem w tym, że trzeba znaleźć 2/3 z 300 km. Najpierw obliczmy 1/3 z 300; osiąga się to poprzez podzielenie 300 km przez 3:
300:3 = 100 (czyli 1/3 z 300).
Aby znaleźć dwie trzecie liczby 300, należy podwoić uzyskany iloraz, tj. Pomnożyć przez 2:
100 x 2 = 200 (to 2/3 z 300).
Rozwiązanie problemu 3. Tutaj musisz określić liczbę domów murowanych, które stanowią 3/4 z 400. Najpierw znajdźmy 1/4 z 400,
400: 4 = 100 (czyli 1/4 z 400).
Aby obliczyć trzy czwarte liczby 400, uzyskany iloraz należy potroić, tj. pomnożyć przez 3:
100 x 3 = 300 (to 3/4 z 400).
Na podstawie rozwiązania tych problemów możemy wyprowadzić następującą regułę:
Aby znaleźć wartość ułamka z danej liczby, należy podzielić tę liczbę przez mianownik ułamka i otrzymany iloraz pomnożyć przez jego licznik.
3. Mnożenie liczby całkowitej przez ułamek.
Wcześniej (§ 26) ustalono, że przez mnożenie liczb całkowitych należy rozumieć dodanie identycznych wyrazów (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). W tym akapicie (pkt 1) ustalono, że pomnożenie ułamka przez liczbę całkowitą oznacza znalezienie sumy identycznych wyrazów równej temu ułamkowi.
W obu przypadkach mnożenie polegało na znalezieniu sumy identycznych wyrazów.
Teraz przechodzimy do mnożenia liczby całkowitej przez ułamek. Spotkamy się tu np. z mnożeniem: 9 2/3. Jest oczywiste, że poprzednia definicja mnożenia nie ma zastosowania w tym przypadku. Wynika to stąd, że nie możemy zastąpić takiego mnożenia dodawaniem równych liczb.
W związku z tym będziemy musieli podać nową definicję mnożenia, czyli innymi słowy odpowiedzieć na pytanie, co należy rozumieć przez mnożenie przez ułamek, jak należy rozumieć to działanie.
Znaczenie mnożenia liczby całkowitej przez ułamek jest jasne z następującej definicji: pomnożenie liczby całkowitej (mnożnej) przez ułamek (mnożną) oznacza znalezienie tego ułamka mnożnej.
Mianowicie pomnożenie 9 przez 2/3 oznacza znalezienie 2/3 z dziewięciu jednostek. W poprzednim akapicie takie problemy zostały rozwiązane; więc łatwo się domyślić, że wyjdzie nam 6.
Ale teraz pojawia się interesujące i ważne pytanie: dlaczego tak pozornie różne operacje, jak znajdowanie sumy liczb równych i znajdowanie ułamka liczby, nazywane są w arytmetyce tym samym słowem „mnożeniem”?
Dzieje się tak, ponieważ poprzednia akcja (kilkukrotne powtórzenie liczby z terminami) i nowa akcja (znalezienie ułamka liczby) dają odpowiedzi na jednorodne pytania. Oznacza to, że wychodzimy tutaj z założenia, że jednorodne pytania lub zadania rozwiązuje się za pomocą tego samego działania.
Aby to zrozumieć, rozważ następujący problem: „1 m materiału kosztuje 50 rubli. Ile będą kosztować 4 m takiego materiału?
Problem ten rozwiązuje się, mnożąc liczbę rubli (50) przez liczbę metrów (4), tj. 50 x 4 = 200 (rubli).
Weźmy ten sam problem, ale w nim ilość materiału zostanie wyrażona jako ułamek: „1 m materiału kosztuje 50 rubli. Ile będzie kosztować 3/4 m takiego materiału?”
Problem ten należy również rozwiązać, mnożąc liczbę rubli (50) przez liczbę metrów (3/4).
Możesz zmieniać w nim liczby jeszcze kilka razy, nie zmieniając znaczenia problemu, na przykład weź 9/10 m lub 2 3/10 m itp.
Ponieważ problemy te mają tę samą treść i różnią się jedynie liczbami, działania stosowane przy ich rozwiązywaniu nazywamy tym samym słowem - mnożeniem.
Jak pomnożyć liczbę całkowitą przez ułamek?
Weźmy liczby napotkane w ostatnim zadaniu:
Zgodnie z definicją musimy znaleźć 3/4 z 50. Najpierw znajdźmy 1/4 z 50, a potem 3/4.
1/4 z 50 to 50/4;
3/4 liczby 50 to .
Stąd.
Rozważmy inny przykład: 12 5 / 8 =?
1/8 liczby 12 to 12/8,
5/8 liczby 12 to .
Stąd,
Stąd otrzymujemy regułę:
Aby pomnożyć liczbę całkowitą przez ułamek, należy pomnożyć liczbę całkowitą przez licznik ułamka i uczynić ten iloczyn licznikiem, a mianownik tego ułamka podpisać jako mianownik.
Zapiszmy tę regułę za pomocą liter:
Aby zasada ta była całkowicie jasna, należy pamiętać, że ułamek można uznać za iloraz. Dlatego przydatne jest porównanie znalezionej reguły z regułą mnożenia liczby przez iloraz, która została określona w § 38
Należy pamiętać, że przed wykonaniem mnożenia należy wykonać (o ile to możliwe) obniżki, Na przykład:
4. Mnożenie ułamka przez ułamek. Mnożenie ułamka przez ułamek ma takie samo znaczenie, jak pomnożenie liczby całkowitej przez ułamek, tj. mnożąc ułamek przez ułamek, musisz znaleźć ułamek, który jest w czynniku pierwszego ułamka (mnożna).
Mianowicie pomnożenie 3/4 przez 1/2 (połowę) oznacza znalezienie połowy 3/4.
Jak pomnożyć ułamek przez ułamek?
Weźmy przykład: 3/4 pomnożone przez 5/7. Oznacza to, że musisz znaleźć 5/7 z 3/4. Najpierw znajdźmy 1/7 z 3/4, a następnie 5/7
1/7 z liczby 3/4 zostanie wyrażona w następujący sposób:
Liczby 5/7 3/4 zostaną wyrażone w następujący sposób:
Zatem,
Inny przykład: 5/8 pomnożone przez 4/9.
1/9 z 5/8 to,
4/9 z liczby 5/8 to .
Zatem, 
Z tych przykładów można wyprowadzić następującą regułę:
Aby pomnożyć ułamek przez ułamek, należy pomnożyć licznik przez licznik, a mianownik przez mianownik i ustawić pierwszy iloczyn jako licznik, a drugi iloczyn jako mianownik iloczynu.
Regułę tę można zapisać w ogólnej postaci w następujący sposób:
Podczas mnożenia należy dokonać (jeśli to możliwe) redukcji. Spójrzmy na przykłady:
5. Mnożenie liczb mieszanych. Ponieważ liczby mieszane można łatwo zastąpić ułamkami niewłaściwymi, tę okoliczność zwykle wykorzystuje się przy mnożeniu liczb mieszanych. Oznacza to, że w przypadkach, gdy mnożnik, mnożnik lub oba czynniki są wyrażone jako liczby mieszane, zastępuje się je ułamkami niewłaściwymi. Mnożymy na przykład liczby mieszane: 2 1/2 i 3 1/5. Zamieńmy każdy z nich na ułamek niewłaściwy, a następnie pomnóż powstałe ułamki zgodnie z zasadą mnożenia ułamka przez ułamek:
Reguła. Aby pomnożyć liczby mieszane, należy je najpierw zamienić na ułamki niewłaściwe, a następnie pomnożyć zgodnie z zasadą mnożenia ułamków przez ułamki.
Notatka. Jeśli jeden z czynników jest liczbą całkowitą, wówczas mnożenie można wykonać w oparciu o prawo dystrybucji w następujący sposób:
6. Pojęcie odsetek. Rozwiązując problemy i wykonując różne praktyczne obliczenia, używamy wszelkiego rodzaju ułamków zwykłych. Należy jednak pamiętać, że wiele ilości pozwala na nie byle jakie, ale naturalne podziały. Na przykład możesz wziąć jedną setną (1/100) rubla, będzie to kopiejka, dwie setne to 2 kopiejki, trzy setne to 3 kopiejki. Możesz wziąć 1/10 rubla, będzie to „10 kopiejek, czyli 10 kopiejek. Możesz wziąć ćwierć rubla, czyli 25 kopiejek, pół rubla, czyli 50 kopiejek (pięćdziesiąt kopiejek). Ale praktycznie nie biorą tego np. 2/7 rubla, bo rubla nie dzieli się na siódemki.
Jednostka masy, czyli kilogram, pozwala przede wszystkim na dzielenie po przecinku, np. 1/10 kg, czy 100 g, a takie ułamki kilograma jak 1/6, 1/11, 1/13 nie są powszechne.
Ogólnie rzecz biorąc, nasze miary (metryczne) są dziesiętne i umożliwiają dzielenie dziesiętne.
Należy jednak zauważyć, że w wielu różnych przypadkach niezwykle przydatne i wygodne jest stosowanie tej samej (jednolitej) metody podziału wielkości. Wieloletnie doświadczenie pokazało, że takim dobrze uzasadnionym podziałem jest podział „setny”. Rozważmy kilka przykładów odnoszących się do najróżniejszych dziedzin ludzkiej praktyki.
1. Cena książek została obniżona o 12/100 poprzedniej ceny.
Przykład. Poprzednia cena książki wynosiła 10 rubli. Zmniejszyła się o 1 rubel. 20 kopiejek
2. Kasy oszczędnościowe wypłacają deponentom 2/100 kwoty złożonej na oszczędności w ciągu roku.
Przykład. W kasie zdeponowano 500 rubli, dochód z tej kwoty za rok wynosi 10 rubli.
3. Liczba absolwentów jednej szkoły stanowiła 5/100 ogółu uczniów.
PRZYKŁAD Do szkoły uczęszczało zaledwie 1200 uczniów, z czego 60 ukończyło szkołę.
Setna część liczby nazywana jest procentem.
Słowo „procent” zostało zapożyczone z łaciny, a jego rdzeń „cent” oznacza sto. Razem z przyimkiem (pro centum) słowo to oznacza „za sto”. Znaczenie tego wyrażenia wynika z faktu, że początkowo w starożytnym Rzymie procentem nazywano pieniądze, które dłużnik płacił pożyczkodawcy „za każdą setkę”. Słowo „cent” słychać w tak znanych słowach: centner (sto kilogramów), centymetr (powiedzmy centymetr).
Przykładowo, zamiast powiedzieć, że w ciągu ostatniego miesiąca zakład wyprodukował 1/100 wszystkich wyprodukowanych przez niego produktów było wadliwych, powiemy tak: w ciągu ostatniego miesiąca zakład wyprodukował jeden procent wad. Zamiast powiedzieć: zakład wyprodukował o 4/100 produktów więcej niż założony plan, powiemy: zakład przekroczył plan o 4 proc.
Powyższe przykłady można wyrazić inaczej:
1. Cena książek została obniżona o 12 procent w stosunku do poprzedniej ceny.
2. Kasy oszczędnościowe płacą deponentom 2 procent rocznie od kwoty zdeponowanej na oszczędnościach.
3. Liczba absolwentów jednej szkoły wynosiła 5% ogółu uczniów.
Aby skrócić literę, zwyczajowo zamiast słowa „procent” wpisuje się symbol %.
Należy jednak pamiętać, że w obliczeniach zwykle nie zapisuje się znaku %, można go wpisać w opisie zadania i w wyniku końcowym. Podczas wykonywania obliczeń należy zapisać ułamek o mianowniku 100 zamiast liczby całkowitej z tym symbolem.
Musisz umieć zastąpić liczbę całkowitą wskazaną ikoną ułamkiem o mianowniku 100:
I odwrotnie, musisz przyzwyczaić się do pisania liczby całkowitej ze wskazanym symbolem zamiast ułamka o mianowniku 100:
7. Znajdowanie procentu danej liczby.
Zadanie 1. Szkoła otrzymała 200 metrów sześciennych. m drewna opałowego, z czego 30% stanowi drewno opałowe brzozowe. Ile było brzozowego drewna opałowego?
Znaczenie tego zadania jest takie, że drewno brzozowe stanowiło tylko część drewna opałowego dostarczanego do szkoły i ta część wyrażona jest w ułamku 30/100. Oznacza to, że mamy zadanie znaleźć ułamek liczby. Aby go rozwiązać, musimy pomnożyć 200 przez 30/100 (problemy ze znalezieniem ułamka liczby rozwiązuje się, mnożąc liczbę przez ułamek.).
Oznacza to, że 30% z 200 równa się 60.
Występujący w tym zadaniu ułamek 30/100 można zmniejszyć o 10. Redukcję tę można by przeprowadzić od samego początku; rozwiązanie problemu nie uległoby zmianie.
Zadanie 2. W obozie przebywało 300 dzieci w różnym wieku. Dzieci w wieku 11 lat stanowiły 21%, dzieci w wieku 12 lat – 61%, a wreszcie dzieci w wieku 13 lat – 18%. Ile dzieci w każdym wieku było w obozie?
W tym zadaniu należy wykonać trzy obliczenia, czyli po kolei znaleźć liczbę dzieci w wieku 11 lat, potem 12 lat i na koniec 13 lat.
Oznacza to, że tutaj będziesz musiał znaleźć ułamek liczby trzy razy. Zróbmy to:
1) Ile było 11-letnich dzieci?
2) Ile było 12-letnich dzieci?
3) Ile było 13-letnich dzieci?
Po rozwiązaniu problemu przydatne jest dodanie znalezionych liczb; ich suma powinna wynosić 300:
63 + 183 + 54 = 300
Należy również zauważyć, że suma procentów podana w opisie problemu wynosi 100:
21% + 61% + 18% = 100%
Sugeruje to, że całkowitą liczbę dzieci w obozie przyjęto jako 100%.
3 a d a h 3. Robotnik otrzymywał 1200 rubli miesięcznie. Z tego 65% wydał na żywność, 6% na mieszkania i ogrzewanie, 4% na gaz, prąd i radio, 10% na potrzeby kulturalne i 15% zaoszczędził. Ile pieniędzy przeznaczono na potrzeby wskazane w zadaniu?
Aby rozwiązać ten problem, musisz znaleźć ułamek 1200 5 razy. Zróbmy to.
1) Ile pieniędzy wydano na żywność? Problem mówi, że wydatek ten wynosi 65% całkowitego zarobku, czyli 65/100 z liczby 1200. Zróbmy obliczenia:
2) Ile zapłaciłeś za mieszkanie z ogrzewaniem? Rozumując podobnie jak poprzednio, dochodzimy do następującego obliczenia:
3) Ile zapłaciłeś za gaz, prąd i radio?
4) Ile pieniędzy wydano na potrzeby kulturalne?
5) Ile pieniędzy zaoszczędził pracownik?
Aby to sprawdzić, warto dodać liczby znalezione w tych 5 pytaniach. Kwota powinna wynosić 1200 rubli. Wszystkie zarobki brane są za 100%, co łatwo sprawdzić dodając wartości procentowe podane w opisie problemu.
Rozwiązaliśmy trzy problemy. Mimo że problemy te dotyczyły różnych spraw (dostawa drewna na opał do szkoły, liczba dzieci w różnym wieku, wydatki robotnika), rozwiązywano je w ten sam sposób. Stało się tak, ponieważ we wszystkich zadaniach konieczne było znalezienie kilku procent zadanych liczb.
§ 90. Podział ułamków.
Studiując dzielenie ułamków, rozważymy następujące pytania:
1. Podziel liczbę całkowitą przez liczbę całkowitą.
2. Dzielenie ułamka przez liczbę całkowitą
3. Dzielenie liczby całkowitej przez ułamek.
4. Dzielenie ułamka przez ułamek.
5. Dzielenie liczb mieszanych.
6. Znajdowanie liczby na podstawie podanego ułamka.
7. Znajdowanie liczby na podstawie jej procentu.
Rozważmy je sekwencyjnie.
1. Podziel liczbę całkowitą przez liczbę całkowitą.
Jak wskazano w dziale liczb całkowitych, dzielenie to czynność polegająca na tym, że mając iloczyn dwóch czynników (dywidendy) i jednego z tych czynników (dzielnika), znajduje się inny czynnik.
Przyjrzeliśmy się dzieleniu liczby całkowitej przez liczbę całkowitą w sekcji o liczbach całkowitych. Spotkaliśmy się tam z dwoma przypadkami dzielenia: dzieleniem bez reszty, czyli „w całości” (150:10 = 15) oraz dzieleniem z resztą (100:9 = 11 i 1 resztą). Można zatem powiedzieć, że w przypadku liczb całkowitych nie zawsze możliwe jest dokładne dzielenie, ponieważ nie zawsze dywidenda jest iloczynem dzielnika przez liczbę całkowitą. Po wprowadzeniu mnożenia przez ułamek można rozważyć dowolny przypadek dzielenia liczb całkowitych (wykluczone jest jedynie dzielenie przez zero).
Na przykład dzielenie 7 przez 12 oznacza znalezienie liczby, której iloczyn przez 12 będzie równy 7. Taka liczba to ułamek 7/12, ponieważ 7/12 12 = 7. Inny przykład: 14:25 = 14/25, bo 14/25 25 = 14.
Zatem, aby podzielić liczbę całkowitą przez liczbę całkowitą, należy utworzyć ułamek, którego licznik jest równy dzielnej, a mianownik jest równy dzielnikowi.
2. Dzielenie ułamka przez liczbę całkowitą.
Podziel ułamek 6/7 przez 3. Zgodnie z podaną powyżej definicją dzielenia mamy tutaj iloczyn (6/7) i jeden z dzielników (3); należy znaleźć drugi czynnik, który pomnożony przez 3 dałby dany iloczyn 6/7. Oczywiście powinien być trzykrotnie mniejszy od tego produktu. Oznacza to, że postawionym przed nami zadaniem było 3-krotne zmniejszenie ułamka 6/7.
Wiemy już, że skrócenie ułamka można dokonać albo zmniejszając jego licznik, albo zwiększając jego mianownik. Dlatego możesz napisać:
W tym przypadku licznik 6 jest podzielny przez 3, zatem licznik należy zmniejszyć 3 razy.
Weźmy inny przykład: 5/8 podzielone przez 2. Tutaj licznik 5 nie jest podzielny przez 2, co oznacza, że mianownik będzie musiał zostać pomnożony przez tę liczbę:
Na tej podstawie można stworzyć regułę: Aby podzielić ułamek przez liczbę całkowitą, należy podzielić licznik ułamka przez tę liczbę całkowitą.(Jeśli to możliwe), pozostawiając ten sam mianownik lub pomnóż mianownik ułamka przez tę liczbę, pozostawiając ten sam licznik.
3. Dzielenie liczby całkowitej przez ułamek.
Niech trzeba będzie podzielić 5 przez 1/2, czyli znaleźć liczbę, która po pomnożeniu przez 1/2 da iloczyn 5. Oczywiście liczba ta musi być większa od 5, bo 1/2 jest ułamkiem właściwym , a przy mnożeniu liczby iloczyn ułamka właściwego musi być mniejszy od iloczynu mnożonego. Aby było to jaśniejsze, zapiszmy nasze działania w następujący sposób: 5: 1 / 2 = X , co oznacza x 1 / 2 = 5.
Musimy znaleźć taką liczbę X , co pomnożone przez 1/2 dałoby 5. Ponieważ pomnożenie pewnej liczby przez 1/2 oznacza znalezienie 1/2 tej liczby, zatem 1/2 nieznanej liczby X jest równa 5 i liczbą całkowitą X dwa razy więcej, czyli 5 2 = 10.
Zatem 5: 1/2 = 5 2 = 10
Sprawdźmy: 
Spójrzmy na inny przykład. Załóżmy, że chcesz podzielić 6 przez 2/3. Spróbujmy najpierw znaleźć pożądany wynik za pomocą rysunku (ryc. 19).
Ryc.19
Narysujmy odcinek AB równy 6 jednostkom i podzielmy każdą jednostkę na 3 równe części. W każdej jednostce trzy trzecie (3/3) całego odcinka AB jest 6 razy większe, tj. tj. 18/3. Używając małych nawiasów, łączymy 18 powstałych segmentów 2; Będzie tylko 9 segmentów. Oznacza to, że ułamek 2/3 jest zawarty w 6 jednostkach 9 razy, czyli innymi słowy ułamek 2/3 jest 9 razy mniejszy niż 6 całych jednostek. Stąd,
Jak uzyskać taki wynik bez rysunku, korzystając z samych obliczeń? Rozważmy tak: musimy podzielić 6 przez 2/3, czyli odpowiedzieć sobie na pytanie, ile razy 2/3 mieści się w 6. Zastanówmy się najpierw: ile razy 1/3 mieści się w 6? W całej jednostce jest ich 3 trzecie, a w 6 jednostkach jest ich 6 razy więcej, czyli 18 trzecich; aby znaleźć tę liczbę, musimy pomnożyć 6 przez 3. Oznacza to, że 1/3 jest zawarta w jednostkach b 18 razy, a 2/3 jest zawarta w jednostkach b nie 18 razy, ale o połowę mniej, czyli 18:2 = 9 Dlatego dzieląc 6 przez 2/3, zrobiliśmy co następuje:
Stąd otrzymujemy regułę dzielenia liczby całkowitej przez ułamek. Aby podzielić liczbę całkowitą przez ułamek, należy pomnożyć tę liczbę całkowitą przez mianownik danego ułamka i czyniąc ten iloczyn licznikiem, podzielić go przez licznik danego ułamka.
Zapiszmy regułę za pomocą liter:
Aby zasada ta była całkowicie jasna, należy pamiętać, że ułamek można uznać za iloraz. Dlatego warto porównać znalezioną regułę z regułą dzielenia liczby przez iloraz, która została podana w § 38. Należy pamiętać, że uzyskano tam tę samą formułę.
Podczas dzielenia możliwe są skróty, na przykład:
4. Dzielenie ułamka przez ułamek.
Powiedzmy, że musimy podzielić 3/4 przez 3/8. Co będzie oznaczać liczba będąca wynikiem dzielenia? Odpowie na pytanie, ile razy ułamek 3/8 zawiera się w ułamku 3/4. Aby zrozumieć to zagadnienie, wykonajmy rysunek (ryc. 20).
Weźmy odcinek AB, potraktujmy go jako jeden, podzielmy na 4 równe części i zaznaczmy 3 takie części. Odcinek AC będzie równy 3/4 odcinka AB. Podzielmy teraz każdy z czterech pierwotnych odcinków na pół, wówczas odcinek AB zostanie podzielony na 8 równych części i każda taka część będzie równa 1/8 odcinka AB. Połączmy 3 takie odcinki łukami, wtedy każdy z odcinków AD i DC będzie równy 3/8 odcinka AB. Rysunek pokazuje, że odcinek równy 3/8 zawiera się w odcinku równym 3/4 dokładnie 2 razy; Oznacza to, że wynik dzielenia można zapisać następująco:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Spójrzmy na inny przykład. Powiedzmy, że musimy podzielić 15/16 przez 3/32:
Możemy rozumować w ten sposób: musimy znaleźć liczbę, która po pomnożeniu przez 3/32 da iloczyn równy 15/16. Zapiszmy obliczenia w następujący sposób:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 nieznany numer X są 15/16
1/32 nieznanej liczby X Jest ,
32/32 numery X makijaż .
Stąd,
Zatem, aby podzielić ułamek przez ułamek, należy pomnożyć licznik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego i pomnożyć mianownik pierwszego ułamka przez licznik drugiego i ustawić pierwszy iloczyn jako licznik, a drugi mianownik.
Zapiszmy regułę za pomocą liter:
Podczas dzielenia możliwe są skróty, na przykład:
5. Dzielenie liczb mieszanych.
Dzieląc liczby mieszane, należy je najpierw zamienić na ułamki niewłaściwe, a następnie powstałe ułamki podzielić zgodnie z zasadami dzielenia ułamków. Spójrzmy na przykład:
Zamieńmy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe:
Teraz podzielmy:
Zatem, aby podzielić liczby mieszane, należy je zamienić na ułamki niewłaściwe, a następnie podzielić, korzystając z zasady dzielenia ułamków zwykłych.
6. Znajdowanie liczby na podstawie podanego ułamka.
Wśród różnych problemów ułamkowych czasami zdarzają się takie, w których podana jest wartość jakiegoś ułamka nieznanej liczby i trzeba znaleźć tę liczbę. Problem tego typu będzie odwrotnością problemu znalezienia ułamka danej liczby; tam podano liczbę i trzeba było znaleźć jakiś ułamek tej liczby, tutaj podano ułamek liczby i trzeba było znaleźć samą tę liczbę. Pomysł ten stanie się jeszcze jaśniejszy, jeśli zajmiemy się rozwiązywaniem tego typu problemów.
Zadanie 1. Pierwszego dnia szklarze oszklili 50 okien, co stanowi 1/3 wszystkich okien budowanego domu. Ile okien jest w tym domu?
Rozwiązanie. Problem mówi, że 50 przeszklonych okien stanowi 1/3 wszystkich okien w domu, co oznacza, że w sumie okien jest 3 razy więcej, czyli tj.
Dom miał 150 okien.
Zadanie 2. W sklepie sprzedano 1500 kg mąki, co stanowi 3/8 całkowitych zapasów mąki, jakie posiadał sklep. Jakie były początkowe zapasy mąki w sklepie?
Rozwiązanie. Z warunków problemu jasno wynika, że 1500 kg sprzedanej mąki stanowi 3/8 całości zapasów; Oznacza to, że 1/8 tej rezerwy będzie 3 razy mniejsza, czyli aby ją obliczyć, należy 1500 zmniejszyć 3 razy:
1500:3 = 500 (to 1/8 rezerwy).
Oczywiście cała podaż będzie 8 razy większa. Stąd,
500 8 = 4000 (kg).
Początkowy zapas mąki w magazynie wynosił 4000 kg.
Z rozważenia tego problemu można wyprowadzić następującą regułę.
Aby znaleźć liczbę z danej wartości jej ułamka, wystarczy podzielić tę wartość przez licznik ułamka i wynik pomnożyć przez mianownik ułamka.
Rozwiązaliśmy dwa problemy dotyczące znalezienia liczby ze względu na jej ułamek. Problemy takie, jak widać szczególnie wyraźnie z ostatniego, rozwiązuje się za pomocą dwóch działań: dzielenia (w przypadku znalezienia jednej części) i mnożenia (w przypadku znalezienia liczby całkowitej).
Jednak gdy już nauczymy się dzielenia ułamków, powyższe problemy można rozwiązać jedną czynnością, a mianowicie: dzieleniem przez ułamek.
Na przykład ostatnie zadanie można rozwiązać w jednej akcji w następujący sposób:
W przyszłości problemy znalezienia liczby z jej ułamka rozwiążemy za pomocą jednego działania - dzielenia.
7. Znajdowanie liczby na podstawie jej procentu.
W tych zadaniach będziesz musiał znaleźć liczbę znającą kilka procent tej liczby.
Zadanie 1. Na początku tego roku otrzymałem z kasy oszczędnościowej 60 rubli. dochód z kwoty, którą odłożyłem rok temu na oszczędności. Ile pieniędzy wpłaciłem do kasy oszczędnościowej? (Kasa dają deponentom 2% zwrotu rocznie.)
Rzecz w tym, że wpłaciłem określoną sumę pieniędzy do kasy oszczędnościowej i tam zostałem przez rok. Po roku otrzymałem od niej 60 rubli. dochód, który wynosi 2/100 pieniędzy, które zdeponowałem. Ile pieniędzy włożyłem?
Zatem znając część tych pieniędzy wyrażoną na dwa sposoby (w rublach i ułamkach), musimy znaleźć całą, nieznaną jeszcze kwotę. Jest to typowy problem znalezienia liczby na podstawie jej ułamka. Dzieląc, rozwiązuje się następujące problemy:
Oznacza to, że w banku oszczędnościowym zdeponowano 3000 rubli.
Zadanie 2. Rybacy w ciągu dwóch tygodni zrealizowali miesięczny plan w 64%, łowiąc 512 ton ryb. Jaki był ich plan?
Z uwarunkowań problemu wiadomo, że rybacy zrealizowali część planu. Ta część wynosi 512 ton, co stanowi 64% planu. Nie wiemy, ile ton ryb trzeba przygotować zgodnie z planem. Znalezienie tego numeru rozwiąże problem.
Takie problemy rozwiązuje się poprzez dzielenie:
Oznacza to, że zgodnie z planem trzeba przygotować 800 ton ryb.
Zadanie 3. Pociąg jechał z Rygi do Moskwy. Gdy przekroczył 276. kilometr, jeden z pasażerów zapytał przejeżdżającego konduktora, jaką część podróży już przebyli. Na to konduktor odpowiedział: „Przebyliśmy już 30% całej podróży”. Jaka jest odległość od Ryga do Moskwa?
Z warunków problemowych jasno wynika, że 30% trasy z Rygi do Moskwy wynosi 276 km. Musimy znaleźć całą odległość między tymi miastami, czyli dla tej części znaleźć całość:
§ 91. Liczby odwrotne. Zastąpienie dzielenia mnożeniem.
Weźmy ułamek 2/3 i zamieńmy licznik w miejsce mianownika, otrzymamy 3/2. Mamy odwrotność tego ułamka.
Aby otrzymać ułamek będący odwrotnością danego ułamka należy wstawić jego licznik w miejsce mianownika i mianownik w miejsce licznika. W ten sposób możemy otrzymać odwrotność dowolnego ułamka. Na przykład:
3/4, odwrotne 4/3; 5/6, odwrotne 6/5
Nazywa się dwa ułamki zwykłe, które mają tę właściwość, że licznik pierwszego jest mianownikiem drugiego, a mianownik pierwszego jest licznikiem drugiego. wzajemnie odwrotne.
Zastanówmy się teraz, jaki ułamek będzie odwrotnością 1/2. Oczywiście będzie to 2/1, czyli po prostu 2. Szukając ułamka odwrotnego danej otrzymamy liczbę całkowitą. I ten przypadek nie jest odosobniony; przeciwnie, dla wszystkich ułamków o liczniku 1 (jeden) odwrotności będą liczbami całkowitymi, na przykład:
1/3, rewers 3; 1/5, odwróć 5
Ponieważ przy znajdowaniu ułamków odwrotnych spotykaliśmy także liczby całkowite, w dalszej części będziemy mówić nie o ułamkach odwrotnych, ale o liczbach odwrotnych.
Zastanówmy się, jak zapisać odwrotność liczby całkowitej. W przypadku ułamków można to rozwiązać po prostu: musisz umieścić mianownik zamiast licznika. W ten sam sposób można uzyskać odwrotność liczby całkowitej, ponieważ dowolna liczba całkowita może mieć mianownik 1. Oznacza to, że odwrotnością 7 będzie 1/7, ponieważ 7 = 7/1; dla liczby 10 odwrotnością będzie 1/10, ponieważ 10 = 10/1
Tę myśl można wyrazić inaczej: odwrotność danej liczby oblicza się dzieląc jeden przez daną liczbę. To stwierdzenie jest prawdziwe nie tylko dla liczb całkowitych, ale także dla ułamków. W rzeczywistości, jeśli musimy zapisać odwrotność ułamka 5/9, możemy wziąć 1 i podzielić go przez 5/9, tj.
Teraz zwróćmy uwagę na jedną rzecz nieruchomość liczby odwrotne, które nam się przydadzą: iloczyn liczb odwrotnych jest równy jeden. Rzeczywiście:
Korzystając z tej właściwości, możemy znaleźć liczby odwrotne w następujący sposób. Powiedzmy, że musimy znaleźć odwrotność liczby 8.
Oznaczmy to literą X , następnie 8 X = 1, stąd X = 1/8. Znajdźmy inną liczbę będącą odwrotnością 7/12 i oznaczmy ją literą X , następnie 7/12 X = 1, stąd X = 1: 7 / 12 lub X = 12 / 7 .
Wprowadziliśmy tutaj pojęcie liczb odwrotnych, aby nieco uzupełnić informacje o dzieleniu ułamków.
Dzieląc liczbę 6 przez 3/5, wykonujemy następujące czynności:
Zwróć szczególną uwagę na wyrażenie i porównaj je z podanym: .
Jeśli weźmiemy wyrażenie osobno, bez związku z poprzednim, nie da się rozwiązać pytania, skąd ono się wzięło: z podzielenia 6 przez 3/5 lub z pomnożenia 6 przez 5/3. W obu przypadkach dzieje się to samo. Dlatego możemy powiedzieć że dzielenie jednej liczby przez drugą można zastąpić pomnożeniem dzielnej przez odwrotność dzielnika.
Przykłady, które podamy poniżej, w pełni potwierdzają ten wniosek.
Znajdź licznik i mianownik. Ułamek składa się z dwóch liczb: liczba znajdująca się nad linią nazywana jest licznikiem, a liczba znajdująca się pod linią nazywana jest mianownikiem. Mianownik oznacza całkowitą liczbę części, na które podzielona jest całość, a licznik oznacza liczbę rozważanych takich części.
- Na przykład w ułamku ½ licznik wynosi 1, a mianownik wynosi 2.
Określ mianownik. Jeżeli dwa lub więcej ułamków ma wspólny mianownik, to takie ułamki mają tę samą liczbę pod linią, czyli w tym przypadku pewna całość jest podzielona na tę samą liczbę części. Dodawanie ułamków o wspólnym mianowniku jest bardzo proste, ponieważ mianownik ułamka całkowitego będzie taki sam, jak dodawane ułamki. Na przykład:
- Ułamki 3/5 i 2/5 mają wspólny mianownik 5.
- Ułamki 3/8, 5/8, 17/8 mają wspólny mianownik równy 8.
Określ liczniki. Aby dodać ułamki o wspólnym mianowniku, dodaj ich liczniki i wynik zapisz nad mianownikiem dodawanych ułamków.
- Ułamki 3/5 i 2/5 mają liczniki 3 i 2.
- Ułamki 3/8, 5/8, 17/8 mają liczniki 3, 5, 17.
Dodaj liczniki. W zadaniu 3/5 + 2/5 dodaj liczniki 3 + 2 = 5. W zadaniu 3/8 + 5/8 + 17/8 dodaj liczniki 3 + 5 + 17 = 25.
Zapisz ułamek całkowity. Pamiętaj, że dodając ułamki o wspólnym mianowniku, pozostaje to niezmienione - dodawane są tylko liczniki.
- 3/5 + 2/5 = 5/5
- 3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8
W razie potrzeby przekształć ułamek. Czasami ułamek zwykły można zapisać jako liczbę całkowitą, a nie jako ułamek zwykły lub dziesiętny. Na przykład ułamek 5/5 można łatwo zamienić na 1, ponieważ każdy ułamek, którego licznik jest równy jego mianownikowi, wynosi 1. Wyobraź sobie ciasto podzielone na trzy części. Jeśli zjesz wszystkie trzy części, zjesz całe (jedno) ciasto.
- Dowolny ułamek można zamienić na ułamek dziesiętny; Aby to zrobić, podziel licznik przez mianownik. Na przykład ułamek 5/8 można zapisać w następujący sposób: 5 ÷ 8 = 0,625.
Jeśli to możliwe, uprość ułamek. Ułamek uproszczony to ułamek, którego licznik i mianownik nie mają wspólnych dzielników.
- Rozważmy na przykład ułamek 3/6. Tutaj zarówno licznik, jak i mianownik mają wspólny dzielnik równy 3, to znaczy licznik i mianownik są całkowicie podzielne przez 3. Dlatego ułamek 3/6 można zapisać w następujący sposób: 3 ÷ 3/6 ÷ 3 = ½.
Jeśli to konieczne, zamień ułamek niewłaściwy na ułamek mieszany (liczba mieszana). Ułamek niewłaściwy ma licznik większy od mianownika, np. 25/8 (ułamek właściwy ma licznik mniejszy od mianownika). Ułamek niewłaściwy można zamienić na ułamek mieszany, który składa się z części całkowitej (czyli liczby całkowitej) i części ułamkowej (czyli ułamka właściwego). Aby zamienić ułamek niewłaściwy, taki jak 25/8, na liczbę mieszaną, wykonaj następujące kroki:
- Podziel licznik ułamka niewłaściwego przez jego mianownik; zapisz iloraz częściowy (całą odpowiedź). W naszym przykładzie: 25 ÷ 8 = 3 plus trochę reszty. W tym przypadku całą odpowiedzią jest cała część liczby mieszanej.
- Znajdź resztę. W naszym przykładzie: 8 x 3 = 24; odejmij wynikowy wynik od pierwotnego licznika: 25 - 24 = 1, czyli reszta to 1. W tym przypadku reszta to licznik części ułamkowej liczby mieszanej.
- Napisz ułamek mieszany. Mianownik się nie zmienia (to znaczy jest równy mianownikowi ułamka niewłaściwego), więc 25/8 = 3 1/8.
Lekcja publiczna
w klasie matematycznej 6b (klasa wyrównawcza VIII Uprzejmy)
na temat:
Dodawanie ułamków
z tymi samymi mianownikami.
Rodzaj lekcji: nauka nowego materiału.
Rodzaj lekcji: lekcja - bajka.
Klasa: 6,7 „B”.
Cele:
Zapoznanie uczniów z operacjami dodawania i odejmowania ułamków zwykłych o podobnych mianownikach;
Zadania:
Korekcyjno-wychowawczy:
Rozwijanie umiejętności dodawania ułamków zwykłych o podobnych mianownikach;
Korekcyjno-rozwojowa:
Popraw rozwój myślenia logicznego i matematycznego podczas recytacji algorytmu dodawania ułamków o jednakowych mianownikach oraz podczas wykonywania pracy pisemnej w zeszycie;
Korekta rozwoju aktywności poznawczej uczniów poprzez realizację zadań w niestandardowych sytuacjach;
Rozwijaj umiejętność uwagi i samokontroli.
Korekcyjne i edukacyjne:
Wzbudzać zainteresowanie tematem w oparciu o powiązania z życiem i praktyką;
Kształtowanie matematycznej kultury mowy (poprawna wymowa ułamków);
Rozwijaj umiejętności poczucia własnej wartości;
Podczas zajęć
Org. Za chwilę.
1.Powitanie
„Miło was widzieć. Jak się czujesz? Pamiętaj, jeśli coś wydaje się trudne i nie wychodzi, to nie stanowi to problemu, wszystkiego nauczymy się razem!
2.przygotowanie się do pracy
Chłopaki, jesteście gotowi na lekcję?
Liczę na Was, przyjaciele!
Jesteś dobrą, przyjazną klasą,
Wszystko nam się ułoży!
Nasza dzisiejsza lekcja jest nietypowa; zabierzemy Was w podróż po bajce, którą znamy i kochamy.
Na świecie jest wiele baśni
Smutne i zabawne.
I żyć w świecie
Nie możemy bez nich żyć!
Niech bohaterowie baśni
Dają nam ciepło
Niech dobro na zawsze
Zło zwycięża!
Liczenie werbalne.
W trzydziestym królestwie żył car i jego córka Wasylisa Mądra, a w trzydziestym królestwie żył Iwan Carewicz. Swoją drogą, jaką liczbę widzisz na tablicy? Pozwól że ci pomogę:
Każdy może być kilometr dalej
Zobacz ułamkowe linia.
Nad linią – licznik , wiedzieć,
Poniżej linii - mianownik.
Na pewno taki ułamek
Musisz zadzwonić zwykły.
Król jednak nie chciał oddać swojej Wasilisy pierwszej napotkanej osobie. Postanowił postawić Iwanowi zadanie, z którym nie mógł sobie poradzić. I mówi do Iwana: „Idź tam, nie wiem dokąd, przynieś to, nie wiem co”. Iwan napiął się, zasmucił i poszedł szukać. Ale gdzie iść, gdzie szukać?
Iwan wraz z Szarym Wilkiem wyruszyli w drogę. Postanowili najpierw zwrócić się do Baby Jagi. A Baba Jaga przygotowała zadanie.
Ustne zadania obliczeniowe. Ale chłopaki, Iwan Carewicz nie był dobry z matematyki, powinniśmy mu pomóc?
Podaj licznik i mianownik ułamka
Co pokazuje licznik, a co mianownik? (Mianownik pokazuje, ile udziałów zostało podzielonych, a licznik pokazuje, ile takich udziałów zostało objętych.)
Porównanie ułamków:
i 1 i 
i 1
I 
5/5 i 
I
.
Dobra robota, wykonałeś zadanie. A teraz podążajmy dalej za magiczną kulą, aż do samego nieśmiertelnego Koshcheia.
III. Aktualizacja podstawowej wiedzy.
Musisz dostać się do Koshchei przez labirynt liczb ułamkowych.
Zapisz te ułamki w dwóch wierszach: ,, 
, 
, 
, 
. Prawidłowy: , , .
Błędny: , , .
Dobra robota, wykonałeś również to zadanie.
Tak więc magiczna kula sprowadziła Iwana i Szarego Wilka do Koshchei. A Kościej mówi: „Nudzi mnie życie tutaj samotnie, ale jeśli mnie rozbawisz, pomogę. Wykonaj moje zadania.”
1. Zadanie nr 1 . Ćwiczenia fizyczne.
Fizminutka :
Niedźwiedź wyszedł z jaskini.
Raz i drugi podniósł nogi.
Usiadł i wstał. Usiadł i wstał.
Położył łapy za plecami.
Zachwiany, odwrócił się
I trochę się przeciągnął.
1.Narysuj okrąg o promieniuR=2cm.
2. Pomaluj
kółko - żółte
kółko - niebieskie.
Zapisz, która część koła jest zacieniona, a która nie.
Zacienione- __________
Nie zamalowany - _________
Zastanów się, jak możesz wykorzystać znaki akcji do tworzenia liczb I , zdobyć numer . A ?
Odpoczęliśmy, usiedliśmy prosto i zabraliśmy się do pracy.Zadanie nr 2. Karta nr 1 (Zadanie problemowe).
Więc co będziemy dzisiaj robić na zajęciach? Zapiszmy w zeszytach numer i temat lekcji „Dodawanie i odejmowanie ułamków o tym samym mianowniku”. Naszym celem jest nauczenie się dodawania i odejmowania ułamków zwykłych o tych samych mianownikach. Spójrzmy na przykład:
Algorytm dodawania ułamków o podobnych mianownikach : Aby dodać lub odjąć ułamki o podobnych mianownikach, dodaj lub odejmij ich liczniki i pozostaw mianownik bez zmian.
VI. Kształtowanie umiejętności i zdolności uczniów.
Tak więc magiczna kula sprowadziła Iwana i Szarego Wilka do Węża Gorynych. Trzymał pudełko i nikt nie wiedział, co w nim było. Ale Wąż Gorynych nie tylko da skrzynkę Iwanowi. Musimy pomóc Iwanowi Carewiczowi, a do tego każdy musi pracować samodzielnie, a zadania do samodzielnej pracy są w pudełku (idą do pudełka i biorą zadania). Karta nr 2 (praca samodzielna). Po wykonaniu zadań sprawdzimy odpowiedzi i dowiemy się, czy pomogliśmy Iwanowi Carewiczowi, czy nie.
Pracuj w notatnikach:Praca domowa : Rozwiąż problem z innej bajki.
Podsumowanie lekcji. Cieniowanie.
I tak oto kończy się bajka. Powiedz mi, co dzisiaj robiliśmy? Powtórzmy regułę jeszcze raz.
Dzisiejsza lekcja dobiegła końca,
Ale każdy powinien wiedzieć:
Wiedza, wytrwałość i praca,
Poprowadzą Cię do życiowego sukcesu!
VI . Odbicie.
Chłopaki, podobała wam się lekcja? Wybierz odpowiednią emotikonę i przyklej ją na tablicy. Dziękuję za lekcję. Do widzenia