Czas to uporządkować metody ekstrakcji korzeni. Opierają się one na własnościach pierwiastków, w szczególności na równości, która obowiązuje dla każdej liczby nieujemnej b.
Poniżej przyjrzymy się głównym metodom wydobywania korzeni jeden po drugim.
Zacznijmy od najprostszego przypadku - wyciągania pierwiastków z liczb naturalnych za pomocą tabeli kwadratów, tabeli kostek itp.
Jeśli tabele kwadratów, sześcianów itp. Jeśli nie masz go pod ręką, logiczne jest zastosowanie metody wyodrębniania pierwiastka, która polega na rozłożeniu liczby pierwiastkowej na czynniki pierwsze.
Warto szczególnie wspomnieć, co jest możliwe dla pierwiastków o wykładnikach nieparzystych.
Na koniec rozważmy metodę, która pozwala nam sekwencyjnie znajdować cyfry wartości pierwiastkowej.
Zacznijmy.
Korzystanie z tabeli kwadratów, tabeli kostek itp.
W najprostszych przypadkach tabele kwadratów, kostek itp. pozwalają na wyodrębnienie pierwiastków. Co to za tabele?
Tabela kwadratów liczb całkowitych od 0 do 99 włącznie (pokazana poniżej) składa się z dwóch stref. Pierwsza strefa tabeli zlokalizowana jest na szarym tle; wybierając konkretny wiersz i konkretną kolumnę, można ułożyć liczbę od 0 do 99. Na przykład wybierzmy wiersz składający się z 8 dziesiątek i kolumnę zawierającą 3 jednostki, w ten sposób ustaliliśmy liczbę 83. Druga strefa zajmuje resztę stołu. Każda komórka znajduje się na przecięciu określonego wiersza i określonej kolumny i zawiera kwadrat odpowiedniej liczby od 0 do 99. Na przecięciu wybranego przez nas rzędu 8 dziesiątek i kolumny 3 jedności znajduje się komórka z liczbą 6889, która jest kwadratem liczby 83.
Tablice kostek, tablice czwartych potęg liczb od 0 do 99 itd. są podobne do tablicy kwadratów, tyle że zawierają kostki, czwarte potęgi itp. w drugiej strefie. odpowiednie liczby.
Tablice kwadratów, sześcianów, czwartych potęg itp. pozwalają wyodrębnić pierwiastki kwadratowe, pierwiastki sześcienne, pierwiastki czwarte itp. odpowiednio na podstawie liczb w tych tabelach. Wyjaśnijmy zasadę ich stosowania podczas wydobywania korzeni.
Powiedzmy, że musimy wyodrębnić n-ty pierwiastek z liczby a, podczas gdy liczba a jest zawarta w tabeli n-tych potęg. Korzystając z tej tabeli, znajdujemy liczbę b taką, że a=b n. Następnie 
dlatego liczba b będzie pożądanym pierwiastkiem n-tego stopnia.
Jako przykład pokażmy, jak użyć tabeli kostek do wyodrębnienia pierwiastka sześciennego z 19 683. W tabeli kostek znajdujemy liczbę 19 683, z niej dowiadujemy się, że ta liczba jest sześcianem liczby 27, dlatego też 
.
Jest oczywiste, że tablice n-tych potęg są bardzo wygodne do wyodrębniania pierwiastków. Często jednak nie są one pod ręką, a ich skompilowanie zajmuje trochę czasu. Ponadto często konieczne jest wyodrębnienie pierwiastków z liczb, które nie są zawarte w odpowiednich tabelach. W takich przypadkach należy zastosować inne metody ekstrakcji korzeni.
Rozkładanie liczby pierwiastkowej na czynniki pierwsze
Dość wygodnym sposobem wyodrębnienia pierwiastka z liczby naturalnej (jeśli oczywiście zostanie wyodrębniony pierwiastek) jest rozłożenie liczby pierwiastkowej na czynniki pierwsze. Jego chodzi o to: potem dość łatwo jest przedstawić to jako potęgę o pożądanym wykładniku, co pozwala uzyskać wartość pierwiastka. Wyjaśnijmy tę kwestię.
Weźmy n-ty pierwiastek liczby naturalnej a i jego wartość będzie równa b. W tym przypadku prawdziwa jest równość a=bn. Liczbę b, jak każdą liczbę naturalną, można przedstawić jako iloczyn wszystkich jej czynników pierwszych p 1 , p 2 , …, p m w postaci p 1 ·p 2 ·…·p m , oraz w tym przypadku liczby pierwiastkowej a jest reprezentowane jako (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Ponieważ rozkład liczby na czynniki pierwsze jest jednoznaczny, rozkład pierwiastka liczby a na czynniki pierwsze będzie miał postać (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, co pozwala obliczyć wartość pierwiastka Jak.
Należy zauważyć, że jeśli rozkładu liczby pierwiastkowej a na czynniki pierwsze nie można przedstawić w postaci (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, to n-ty pierwiastek takiej liczby a nie jest wyodrębniony całkowicie.
Rozwiążmy to, rozwiązując przykłady.
Przykład.
Weź pierwiastek kwadratowy ze 144.
Rozwiązanie.
Jeśli spojrzysz na tabelę kwadratów podaną w poprzednim akapicie, wyraźnie zobaczysz, że 144 = 12 2, z czego jasno wynika, że pierwiastek kwadratowy z 144 jest równy 12.
Jednak w świetle tego punktu interesuje nas, w jaki sposób wyodrębniany jest pierwiastek poprzez rozkład pierwiastka liczby 144 na czynniki pierwsze. Przyjrzyjmy się temu rozwiązaniu.
Rozłóżmy się 144 do czynników pierwszych:
Oznacza to, że 144=2,2,2,2,3,3. Na podstawie powstałego rozkładu można przeprowadzić następujące przekształcenia: 144=2·2·2·2·3·3=(2,2) 2,3 2 =(2,2,3) 2 =12 2. Stąd, 
.
Korzystając z właściwości stopnia i właściwości pierwiastków, rozwiązanie można sformułować nieco inaczej: .
Odpowiedź:
Aby skonsolidować materiał, rozważ rozwiązania dwóch kolejnych przykładów.
Przykład.
Oblicz wartość pierwiastka.
Rozwiązanie.
Rozkład na czynniki pierwsze pierwiastka liczby 243 ma postać 243=3 5 . Zatem, 
.
Odpowiedź:
Przykład.
Czy wartość pierwiastkowa jest liczbą całkowitą?
Rozwiązanie.
Aby odpowiedzieć na to pytanie, rozłóżmy liczbę pierwiastkową na czynniki pierwsze i zobaczmy, czy można ją przedstawić w postaci sześcianu liczby całkowitej.
Mamy 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Wynikowego rozwinięcia nie można przedstawić w postaci sześcianu liczby całkowitej, ponieważ potęga czynnika pierwszego 7 nie jest wielokrotnością trzech. Dlatego nie można całkowicie wyodrębnić pierwiastka sześciennego z 285 768.
Odpowiedź:
NIE.
Wyodrębnianie pierwiastków z liczb ułamkowych
Czas dowiedzieć się, jak wyodrębnić pierwiastek z liczby ułamkowej. Niech rodnik ułamkowy zostanie zapisany jako p/q. Zgodnie z właściwością pierwiastka ilorazu prawdziwa jest następująca równość. Z tej równości wynika zasada wyodrębniania pierwiastka ułamka: Pierwiastek ułamka jest równy ilorazowi pierwiastka licznika podzielonego przez pierwiastek mianownika.
Spójrzmy na przykład wyodrębnienia pierwiastka z ułamka.
Przykład.
Jaki jest pierwiastek kwadratowy ułamka zwykłego 25/169?
Rozwiązanie.
Korzystając z tabeli kwadratów, stwierdzamy, że pierwiastek kwadratowy licznika ułamka pierwotnego jest równy 5, a pierwiastek kwadratowy mianownika jest równy 13. Następnie 
. Na tym kończy się ekstrakcja pierwiastka frakcji wspólnej 25/169.
Odpowiedź:
Pierwiastek ułamka dziesiętnego lub liczby mieszanej wyodrębnia się po zastąpieniu liczb pierwiastkowych ułamkami zwykłymi.
Przykład.
Weź pierwiastek sześcienny ułamka dziesiętnego 474,552.
Rozwiązanie.
Wyobraźmy sobie pierwotny ułamek dziesiętny jako ułamek zwykły: 474,552=474552/1000. Następnie 
. Pozostaje wyodrębnić pierwiastki sześcienne znajdujące się w liczniku i mianowniku powstałego ułamka. Ponieważ 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 i 1 000 = 10 3, wtedy 
I 
. Pozostaje tylko dokończyć obliczenia 
.
Odpowiedź:
.
Biorąc pierwiastek z liczby ujemnej
Warto zastanowić się nad wyodrębnianiem pierwiastków z liczb ujemnych. Badając pierwiastki, powiedzieliśmy, że jeśli wykładnik pierwiastkowy jest liczbą nieparzystą, wówczas pod znakiem pierwiastka może znajdować się liczba ujemna. Nadaliśmy tym wpisom następujące znaczenie: dla liczby ujemnej −a i nieparzystego wykładnika pierwiastka 2 n−1, 
. Ta równość daje zasada wyodrębniania pierwiastków nieparzystych z liczb ujemnych: aby wyodrębnić pierwiastek z liczby ujemnej, musisz wziąć pierwiastek z przeciwnej liczby dodatniej i umieścić znak minus przed wynikiem.
Spójrzmy na przykładowe rozwiązanie.
Przykład.
Znajdź wartość pierwiastka.
Rozwiązanie.
Przekształćmy oryginalne wyrażenie tak, aby pod pierwiastkiem znajdowała się liczba dodatnia: 
. Teraz zamień liczbę mieszaną na ułamek zwykły: 
. Stosujemy regułę wyodrębniania pierwiastka ułamka zwykłego: 
. Pozostaje obliczyć pierwiastki w liczniku i mianowniku powstałego ułamka: 
.
Oto krótkie podsumowanie rozwiązania: 
.
Odpowiedź:
.
Bitowe określenie wartości pierwiastkowej
W ogólnym przypadku pod pierwiastkiem znajduje się liczba, której przy użyciu technik omówionych powyżej nie można przedstawić jako n-tą potęgę dowolnej liczby. Ale w tym przypadku trzeba znać znaczenie danego pierwiastka, przynajmniej do pewnego znaku. W takim przypadku, aby wyodrębnić pierwiastek, możesz użyć algorytmu, który pozwala sekwencyjnie uzyskać wystarczającą liczbę wartości cyfr żądanej liczby.
Pierwszym krokiem tego algorytmu jest sprawdzenie, jaki jest najbardziej znaczący bit wartości pierwiastkowej. W tym celu liczby 0, 10, 100, ... są kolejno podnoszone do potęgi n, aż do momentu, gdy liczba przekroczy liczbę pierwiastkową. Następnie liczba, którą podnieśliśmy do potęgi n na poprzednim etapie, wskaże odpowiednią najbardziej znaczącą cyfrę.
Rozważmy na przykład ten krok algorytmu podczas wyodrębniania pierwiastka kwadratowego z pięciu. Weź liczby 0, 10, 100, ... i podnieś je do kwadratu, aż otrzymamy liczbę większą niż 5. Mamy 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5, co oznacza, że najbardziej znaczącą cyfrą będzie cyfra jedności. Wartość tego bitu, jak i niższych, zostanie odnaleziona w kolejnych krokach algorytmu ekstrakcji pierwiastka.
Wszystkie kolejne kroki algorytmu mają na celu sekwencyjne doprecyzowanie wartości pierwiastka poprzez znalezienie wartości kolejnych bitów pożądanej wartości pierwiastka, zaczynając od najwyższej i przechodząc do najniższych. Przykładowo wartość pierwiastka w pierwszym kroku okazuje się wynosić 2, w drugim – 2,2, w trzecim – 2,23 i tak dalej 2,236067977…. Opiszmy, jak znaleźć wartości cyfr.
Cyfry można znaleźć, przeszukując ich możliwe wartości 0, 1, 2, ..., 9. W tym przypadku n-te potęgi odpowiednich liczb są obliczane równolegle i porównywane z liczbą pierwiastkową. Jeżeli na pewnym etapie wartość stopnia przekracza liczbę pierwiastkową, wówczas uznaje się, że wartość cyfry odpowiadająca poprzedniej wartości zostaje znaleziona i jeżeli tak się nie dzieje, następuje przejście do kolejnego kroku algorytmu ekstrakcji pierwiastka; wówczas wartość tej cyfry wynosi 9.
Wyjaśnijmy te punkty na tym samym przykładzie wyodrębnienia pierwiastka kwadratowego z pięciu.
Najpierw znajdujemy wartość cyfry jedności. Będziemy przechodzić przez wartości 0, 1, 2, ..., 9, obliczając odpowiednio 0 2, 1 2, ..., 9 2, aż otrzymamy wartość większą niż pierwiastek 5. Wszystkie te obliczenia wygodnie jest przedstawić w formie tabeli: 
Zatem wartość cyfry jedności wynosi 2 (ponieważ 2 2<5
, а 2 3 >5 ). Przejdźmy do znalezienia wartości miejsca dziesiątego. W tym przypadku podniesiemy liczby 2,0, 2,1, 2,2, ..., 2,9 do kwadratu, porównując uzyskane wartości z rodnikiem 5: 
Od 2.2 2<5
, а 2,3 2 >5, wówczas wartość miejsca dziesiątego wynosi 2. Możesz przystąpić do znajdowania wartości miejsca setnego: 
W ten sposób znaleziono kolejną wartość pierwiastka z pięciu, która wynosi 2,23. Możesz więc nadal znajdować wartości: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .
Aby utrwalić materiał, przeanalizujemy ekstrakcję pierwiastka z dokładnością do setnych, stosując rozważany algorytm.
Najpierw określamy najbardziej znaczącą cyfrę. Aby to zrobić, dzielimy liczby 0, 10, 100 itd. dopóki nie otrzymamy liczby większej niż 2 151 186. Mamy 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186, więc najbardziej znaczącą cyfrą jest cyfra dziesiątek.
Ustalmy jego wartość. 
Od 10 3<2 151,186
, а 20 3 >2 151,186, wówczas wartość miejsca dziesiątek wynosi 1. Przejdźmy do jednostek. 
Zatem wartość cyfry jedności wynosi 2. Przejdźmy do dziesiątek. 
Ponieważ nawet 12,9 3 jest mniejsze niż pierwiastek 2 151,186, wówczas wartość miejsca dziesiątego wynosi 9. Pozostaje wykonać ostatni krok algorytmu, który da nam wartość pierwiastka z wymaganą dokładnością. 
Na tym etapie wartość pierwiastka ustala się z dokładnością do setnych: 
.
Podsumowując ten artykuł, chciałbym powiedzieć, że istnieje wiele innych sposobów ekstrakcji korzeni. Ale w przypadku większości zadań wystarczą te, które przestudiowaliśmy powyżej.
Bibliografia.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: podręcznik dla klasy 8. instytucje edukacyjne.
- Kołmogorow A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i inne. Algebra i początki analizy: Podręcznik dla klas 10 - 11 szkół ogólnokształcących.
- Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla rozpoczynających naukę w technikach).
Konwersja wyrażeń z pierwiastkami i potęgami często wymaga przechodzenia między pierwiastkami i potęgami. W tym artykule przyjrzymy się, jak dokonuje się takich przejść, co leży u ich podstaw i w jakich momentach najczęściej pojawiają się błędy. Wszystko to przedstawimy na typowych przykładach ze szczegółową analizą rozwiązań.
Nawigacja strony.
Przejście od potęg o wykładnikach ułamkowych do pierwiastków
Możliwość przejścia od stopnia z wykładnikiem ułamkowym do pierwiastka podyktowana jest już samą definicją stopnia. Przypomnijmy, jak to wyznacza się: potęgę liczby dodatniej a z wykładnikiem ułamkowym m/n, gdzie m jest liczbą całkowitą, a n jest liczbą naturalną, nazywamy n-tym pierwiastkiem z a m, czyli gdzie a>0 , m∈Z, n∈ N. Moc ułamkowa zera jest definiowana w podobny sposób 
, z tą tylko różnicą, że w tym przypadku m nie jest już liczbą całkowitą, ale naturalną, tak że dzielenie przez zero nie następuje.
Zatem stopień zawsze można zastąpić pierwiastkiem. Na przykład możesz przejść od do, a stopień można zastąpić pierwiastkiem. Ale nie powinieneś przechodzić od wyrażenia do pierwiastka, ponieważ stopień początkowo nie ma sensu (stopień liczb ujemnych nie jest określony), mimo że pierwiastek ma znaczenie.
Jak widać, nie ma absolutnie nic trudnego w przejściu od potęg liczb do pierwiastków. Przejście do pierwiastków potęg z wykładnikami ułamkowymi, w oparciu o dowolne wyrażenia, odbywa się w podobny sposób. Należy zauważyć, że to przejście jest wykonywane na ODZ zmiennych oryginalnego wyrażenia. Na przykład wyrażenie 
na całym ODZ zmiennej x dla tego wyrażenia można zastąpić pierwiastkiem 
. I od stopnia 
przejdź do roota 
, taka zamiana następuje dla dowolnego zbioru zmiennych x, y i z z ODZ dla pierwotnego wyrażenia.
Zastąpienie korzeni mocami
Możliwa jest także zamiana odwrotna, czyli zastąpienie pierwiastków potęgami o wykładnikach ułamkowych. Opiera się również na równości, którą w tym przypadku stosuje się od prawej do lewej, czyli w formie.
Dla pozytywnego a wskazane przejście jest oczywiste. Na przykład możesz zastąpić stopień przez i przejść od pierwiastka do stopnia z wykładnikiem ułamkowym w postaci .
A dla ujemnego a równość nie ma sensu, ale pierwiastek nadal może mieć sens. Na przykład korzenie mają sens, ale nie można ich zastąpić mocami. Czy w ogóle można je przekształcić w wyrażenia z potęgami? Jest to możliwe, jeśli dokona się wstępnych przekształceń, które polegają na dotarciu do pierwiastków, pod którymi znajdują się liczby nieujemne, które następnie zastępujemy potęgami o wykładnikach ułamkowych. Pokażmy, na czym polegają te wstępne przekształcenia i jak je przeprowadzić.
W przypadku korzenia możesz wykonać następujące przekształcenia: 
. A ponieważ 4 jest liczbą dodatnią, ostatni pierwiastek można zastąpić potęgą. A w drugim przypadku wyznaczanie pierwiastka nieparzystego liczby ujemnej−a (gdzie a jest dodatnie), wyrażone przez równość 
, pozwala zastąpić pierwiastek wyrażeniem, w którym pierwiastek sześcienny z dwóch można już zastąpić stopniem i przybierze on postać .
Pozostaje dowiedzieć się, w jaki sposób pierwiastki, pod którymi znajdują się wyrażenia, są zastępowane przez potęgi zawierające te wyrażenia w podstawie. Nie ma potrzeby się spieszyć z zastąpieniem go , użyliśmy litery A do oznaczenia określonego wyrażenia. Podajmy przykład, aby wyjaśnić, co przez to rozumiemy. Chcę tylko zastąpić korzeń stopniem opartym na równości. Ale takie podstawienie jest właściwe tylko pod warunkiem x-3≥0, a dla pozostałych wartości zmiennej x z ODZ (spełniających warunek x-3<0 ) она не подходит, так как формула не имеет смысла для отрицательных a . Если обратить внимание на ОДЗ, то несложно заметить ее сужение при переходе от выражения к выражению , а помните, что мы договорились не прибегать к преобразованиям, сужающим ОДЗ.
Z powodu tego niedokładnego zastosowania wzoru często pojawiają się błędy przy przechodzeniu od pierwiastków do potęg. Przykładowo w podręczniku postawiono zadanie przedstawienia wyrażenia w postaci potęgi z wykładnikiem wymiernym i podano odpowiedź, która rodzi pytania, gdyż warunek nie określa ograniczenia b>0. A w podręczniku jest przejście od wyrażenia 
, najprawdopodobniej poprzez następujące przekształcenia wyrażenia irracjonalnego 
do wyrażenia. Najnowsze przejście również rodzi pytania, ponieważ zawęża DZ.
Powstaje logiczne pytanie: „Jak poprawnie przejść od pierwiastka do potęgi dla wszystkich wartości zmiennych z ODZ?” Zastąpienie to odbywa się w oparciu o następujące stwierdzenia:
Zanim uzasadnimy zarejestrowane wyniki, podajemy kilka przykładów ich wykorzystania do przejścia od pierwiastków do potęg. Najpierw wróćmy do wyrażenia. Należało go zastąpić nie przez , ale przez (w tym przypadku m=2 jest liczbą całkowitą parzystą, n=3 jest liczbą całkowitą naturalną). Inny przykład: 
.
Teraz obiecane uzasadnienie wyników.
Gdy m jest nieparzystą liczbą całkowitą, a n jest parzystą naturalną liczbą całkowitą, to dla dowolnego zbioru zmiennych z ODZ dla wyrażenia wartość wyrażenia A jest dodatnia (jeśli m<0 ) или неотрицательно (если m>0). Dlatego, .
Przejdźmy do drugiego wyniku. Niech m będzie dodatnią nieparzystą liczbą całkowitą, a n nieparzystą liczbą naturalną. Dla wszystkich wartości zmiennych z ODZ, dla których wartość wyrażenia A jest nieujemna, 
, i dla którego jest ona ujemna, 
Poniższy wynik udowodniono podobnie dla ujemnych i nieparzystych liczb całkowitych m oraz nieparzystych naturalnych liczb całkowitych n. Dla wszystkich wartości zmiennych z ODZ, dla których wartość wyrażenia A jest dodatnia, , i dla którego jest ona ujemna,
Wreszcie ostatni wynik. Niech m będzie liczbą całkowitą parzystą, n dowolną liczbą naturalną. Dla wszystkich wartości zmiennych z ODZ, dla których wartość wyrażenia A jest dodatnia (jeśli m<0
) или неотрицательно (если m>0
), . I dla którego jest to negatywne, . Zatem jeśli m jest parzystą liczbą całkowitą, n jest dowolną liczbą naturalną, to dla dowolnego zbioru wartości zmiennych z ODZ do wyrażenia można go zastąpić przez .
Bibliografia.
- Algebra i początek analizy: Proc. dla klas 10-11. ogólne wykształcenie instytucje / A. N. Kołmogorow, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i inni; wyd. A. N. Kołmogorowa – wyd. 14 – M.: Edukacja, 2004. – 384 s.: il. – ISBN 5-09-013651-3.
- Algebra i początek analizy matematycznej. Klasa 11: edukacyjna. dla edukacji ogólnej instytucje: podstawowe i profilowe. poziomy / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; edytowany przez A. B. Żyżczenko. – M.: Edukacja, 2009.- 336 s.: il.- ISBN 979-5-09-016551-8.
Excel używa wbudowanych funkcji i operatorów matematycznych do wyodrębniania pierwiastka i podnoszenia liczby do potęgi. Spójrzmy na przykłady.
Przykłady funkcji SQRT w Excelu
Wbudowana funkcja SQRT zwraca dodatnią wartość pierwiastka kwadratowego. W menu Funkcje znajduje się w kategorii Matematyka.
Składnia funkcji: =ROOT(liczba).
Jedynym i wymaganym argumentem jest liczba dodatnia, dla której funkcja oblicza pierwiastek kwadratowy. Jeśli argument jest ujemny, Excel zwróci błąd #NUM!
Można określić konkretną wartość lub odwołanie do komórki z wartością liczbową jako argumentem.
Spójrzmy na przykłady.
Funkcja zwróciła pierwiastek kwadratowy z liczby 36. Argumentem jest konkretna wartość.
Funkcja ABS zwraca wartość bezwzględną -36. Jego zastosowanie pozwoliło nam uniknąć błędów przy wyodrębnianiu pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej.
Funkcja przyjęła pierwiastek kwadratowy z sumy 13 i wartości komórki C1.
Funkcja potęgowania w Excelu
Składnia funkcji: =POWER(wartość, liczba). Obydwa argumenty są wymagane.
Wartość to dowolna rzeczywista wartość liczbowa. Liczba jest wskaźnikiem potęgi, do której należy podnieść daną wartość.
Spójrzmy na przykłady.
W komórce C2 - wynik podniesienia liczby 10 do kwadratu.
Funkcja zwróciła liczbę 100 podniesioną do ¾.
Potęgowanie za pomocą operatora
Aby podnieść liczbę do potęgi w programie Excel, możesz użyć operatora matematycznego „^”. Aby do niego wejść, naciśnij Shift + 6 (przy angielskim układzie klawiatury).
Aby Excel potraktował wprowadzone informacje jako formułę, najpierw umieszczany jest znak „=”. Następna jest liczba, którą należy podnieść do potęgi. A po znaku „^” znajduje się wartość stopnia.
Zamiast dowolnej wartości tego wzoru matematycznego można użyć odwołań do komórek zawierających liczby.
Jest to wygodne, jeśli trzeba skonstruować wiele wartości.
Kopiując formułę na całą kolumnę, szybko otrzymaliśmy wyniki podniesienia liczb w kolumnie A do trzeciej potęgi.
Wyodrębnianie n-tych pierwiastków
ROOT to funkcja pierwiastka kwadratowego w programie Excel. Jak wyodrębnić korzeń trzeciego, czwartego i innych stopni?
Pamiętajmy o jednym z praw matematycznych: aby wydobyć n-ty pierwiastek, należy podnieść liczbę do potęgi 1/n.
Na przykład, aby wyodrębnić pierwiastek sześcienny, podnosimy liczbę do potęgi 1/3.
Użyjmy formuły, aby wyodrębnić pierwiastki o różnym stopniu w Excelu.
Formuła zwracała wartość pierwiastka sześciennego liczby 21. Aby podnieść do potęgi ułamkowej, użyto operatora „^”.
Gratulacje: dziś przyjrzymy się korzeniom - jednemu z najbardziej fascynujących tematów w 8 klasie :)
Wiele osób myli korzenie nie dlatego, że są one skomplikowane (co w tym takiego skomplikowanego - kilka definicji i jeszcze kilka właściwości), ale dlatego, że w większości podręczników szkolnych korzenie są definiowane poprzez taką dżunglę, że tylko autorzy podręczników sami mogą zrozumieć ten tekst. I nawet wtedy tylko z butelką dobrej whisky :)
Dlatego teraz podam najbardziej poprawną i najbardziej kompetentną definicję korzenia - jedyną, o której naprawdę powinieneś pamiętać. A potem wyjaśnię: po co to wszystko jest potrzebne i jak zastosować to w praktyce.
Ale najpierw pamiętaj o jednej ważnej kwestii, o której wielu kompilatorów podręczników z jakiegoś powodu „zapomina”:
Pierwiastki mogą mieć stopień parzysty (nasz ulubiony $\sqrt(a)$, a także wszelkiego rodzaju $\sqrt(a)$, a nawet $\sqrt(a)$) i stopień nieparzysty (wszelkiego rodzaju $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$ itd.). A definicja pierwiastka stopnia nieparzystego różni się nieco od parzystego.
Prawdopodobnie 95% wszystkich błędów i nieporozumień związanych z korzeniami kryje się w tym pieprzonym „nieco innym”. Wyjaśnijmy więc raz na zawsze terminologię:
Definicja. Nawet root N z liczby $a$ jest dowolna nieujemne liczba $b$ jest taka, że $((b)^(n))=a$. Pierwiastkiem nieparzystym tej samej liczby $a$ jest zazwyczaj dowolna liczba $b$, dla której zachodzi ta sama równość: $((b)^(n))=a$.
W każdym razie pierwiastek jest oznaczony w ten sposób:
\(A)\]
Liczba $n$ w takim zapisie nazywana jest wykładnikiem pierwiastkowym, a liczba $a$ nazywana jest wyrażeniem radykalnym. W szczególności dla $n=2$ dostajemy nasz „ulubiony” pierwiastek kwadratowy (swoją drogą, jest to pierwiastek stopnia parzystego), a dla $n=3$ pierwiastek sześcienny (stopień nieparzysty), czyli często spotykane również w problemach i równaniach.
Przykłady. Klasyczne przykłady pierwiastków kwadratowych:
\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(align)\]
Nawiasem mówiąc, $\sqrt(0)=0$ i $\sqrt(1)=1$. Jest to całkiem logiczne, ponieważ $((0)^(2))=0$ i $((1)^(2))=1$.
Korzenie sześcienne są również powszechne - nie trzeba się ich bać:
\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(align)\]
Cóż, kilka „egzotycznych przykładów”:
\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(align)\]
Jeśli nie rozumiesz, jaka jest różnica między stopniem parzystym a nieparzystym, przeczytaj jeszcze raz definicję. To jest bardzo ważne!
W międzyczasie rozważymy jedną nieprzyjemną cechę pierwiastków, z powodu której musieliśmy wprowadzić oddzielną definicję wykładników parzystych i nieparzystych.
Dlaczego w ogóle potrzebne są korzenie?
Po przeczytaniu definicji wielu uczniów zapyta: „Co palili matematycy, kiedy wymyślili coś takiego?” I naprawdę: po co w ogóle te wszystkie korzenie?
Aby odpowiedzieć na to pytanie, wróćmy na chwilę do szkoły podstawowej. Pamiętajcie: w tych odległych czasach, kiedy drzewa były bardziej zielone, a pierogi smaczniejsze, naszą główną troską było prawidłowe pomnożenie liczb. Cóż, coś w stylu „pięć na pięć – dwadzieścia pięć” i to wszystko. Ale możesz mnożyć liczby nie parami, ale trójkami, czwórkami i ogólnie całymi zbiorami:
\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]
Jednak nie o to chodzi. Sztuczka jest inna: matematycy to leniwi ludzie, więc trudno było im zapisać mnożenie dziesięciu piątek w ten sposób:
Dlatego wymyślili stopnie naukowe. Dlaczego nie zapisać liczby czynników jako indeksu górnego zamiast długiego ciągu znaków? Coś takiego:
To bardzo wygodne! Wszelkie obliczenia są znacznie skrócone i nie trzeba marnować stosu kartek pergaminu i zeszytów, aby zapisać jakieś 5183. Zapis ten nazwano potęgą liczby; znaleziono w nim szereg właściwości, ale szczęście okazało się krótkotrwałe.
Po hucznej imprezie alkoholowej zorganizowanej tylko po to, by „odkryć” stopnie naukowe, jakiś szczególnie uparty matematyk nagle zapytał: „A co, jeśli znamy stopień liczby, ale sama liczba jest nieznana?” Rzeczywiście, jeśli wiemy, że pewna liczba $b$, powiedzmy, do potęgi 5 daje 243, to jak możemy zgadnąć, ile wynosi sama liczba $b$?
Problem ten okazał się znacznie bardziej globalny, niż mogłoby się wydawać na pierwszy rzut oka. Bo okazało się, że dla większości „gotowych” mocy nie ma takich „początkowych” liczb. Oceńcie sami:
\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Strzałka w prawo b=4\cdot 4\cdot 4\Strzałka w prawo b=4. \\ \end(align)\]
A co jeśli $((b)^(3))=50$? Okazuje się, że musimy znaleźć pewną liczbę, która pomnożona przez siebie trzykrotnie da nam 50. Ale co to za liczba? Jest wyraźnie większa od 3, gdyż 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. To znaczy ta liczba leży gdzieś pomiędzy trzema a czterema, ale nie zrozumiecie, ile ona jest równa.
Właśnie dlatego matematycy wymyślili $n$th pierwiastków. Właśnie dlatego wprowadzono radykalny symbol $\sqrt(*)$. Wyznaczyć samą liczbę $b$, która we wskazanym stopniu da nam znaną wcześniej wartość
\[\sqrt[n](a)=b\Strzałka w prawo ((b)^(n))=a\]
Nie twierdzę: często te pierwiastki można łatwo obliczyć - widzieliśmy kilka takich przykładów powyżej. Jednak w większości przypadków, jeśli pomyślisz o dowolnej liczbie, a następnie spróbujesz wyodrębnić z niej pierwiastek z dowolnego stopnia, czeka cię straszny kłopot.
Co tam jest! Nawet najprostszego i najbardziej znanego $\sqrt(2)$ nie można przedstawić w naszej zwykłej formie - jako liczby całkowitej lub ułamka. A jeśli wpiszesz tę liczbę do kalkulatora, zobaczysz to:
\[\sqrt(2)=1,414213562...\]
Jak widać, po przecinku znajduje się nieskończony ciąg liczb, które nie podlegają żadnej logice. Możesz oczywiście zaokrąglić tę liczbę, aby szybko porównać ją z innymi liczbami. Na przykład:
\[\sqrt(2)=1,4142...\około 1,4 \lt 1,5\]
Lub oto inny przykład:
\[\sqrt(3)=1,73205...\około 1,7 \gt 1,5\]
Ale wszystkie te zaokrąglenia są, po pierwsze, dość szorstkie; a po drugie, trzeba też umieć pracować z wartościami przybliżonymi, w przeciwnym razie można złapać masę nieoczywistych błędów (nawiasem mówiąc, umiejętność porównywania i zaokrąglania wymagana jest do przetestowania na profilu Unified State Examination).
Dlatego w poważnej matematyce nie da się obejść się bez pierwiastków - są one tymi samymi równymi przedstawicielami zbioru wszystkich liczb rzeczywistych $\mathbb(R)$, podobnie jak znane nam od dawna ułamki zwykłe i liczby całkowite.
Brak możliwości przedstawienia pierwiastka jako ułamka postaci $\frac(p)(q)$ oznacza, że pierwiastek ten nie jest liczbą wymierną. Takie liczby nazywane są niewymiernymi i nie można ich dokładnie przedstawić inaczej, jak za pomocą pierwiastka lub innych specjalnie do tego zaprojektowanych konstrukcji (logarytmy, potęgi, granice itp.). Ale o tym innym razem.
Rozważmy kilka przykładów, w których po wszystkich obliczeniach liczby niewymierne nadal pozostaną w odpowiedzi.
\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\około 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\około -1,2599... \\\end(align)\]
Oczywiście na podstawie wyglądu pierwiastka prawie niemożliwe jest odgadnięcie, jakie liczby pojawią się po przecinku. Można jednak liczyć na kalkulator, ale nawet najbardziej zaawansowany kalkulator daty podaje nam tylko kilka pierwszych cyfr liczby niewymiernej. Dlatego znacznie bardziej poprawne jest zapisanie odpowiedzi w postaci $\sqrt(5)$ i $\sqrt(-2)$.
Właśnie po to je wymyślono. Aby wygodnie nagrywać odpowiedzi.
Dlaczego potrzebne są dwie definicje?
Uważny czytelnik zapewne zauważył już, że wszystkie pierwiastki kwadratowe podane w przykładach pochodzą z liczb dodatnich. Cóż, przynajmniej od zera. Ale pierwiastki sześcienne można spokojnie wyodrębnić z absolutnie dowolnej liczby - dodatniej lub ujemnej.
Dlaczego to się dzieje? Spójrz na wykres funkcji $y=((x)^(2))$:
Wykres funkcji kwadratowej daje dwa pierwiastki: dodatni i ujemny Spróbujmy obliczyć $\sqrt(4)$ korzystając z tego wykresu. W tym celu na wykresie rysuje się poziomą linię $y=4$ (zaznaczoną na czerwono), która przecina się z parabolą w dwóch punktach: $((x)_(1))=2$ i $((x )_(2)) =-2$. Jest to całkiem logiczne, ponieważ
Z pierwszą liczbą wszystko jest jasne - jest dodatnia, więc jest to pierwiastek:
Ale co w takim razie zrobić z drugim punktem? Jak cztery ma dwa pierwiastki na raz? Przecież jeśli podniesiemy liczbę −2 do kwadratu, otrzymamy także 4. Dlaczego więc nie napisać $\sqrt(4)=-2$? A dlaczego nauczyciele patrzą na takie posty jakby chcieli Cię zjeść? :)
Kłopot w tym, że jeśli nie postawisz żadnych dodatkowych warunków, to kwadrat będzie miał dwa pierwiastki kwadratowe – dodatni i ujemny. A każda liczba dodatnia również będzie miała dwie z nich. Ale liczby ujemne w ogóle nie będą miały pierwiastków - widać to na tym samym wykresie, ponieważ parabola nigdy nie spada poniżej osi y, tj. nie przyjmuje wartości ujemnych.
Podobny problem występuje w przypadku wszystkich pierwiastków z wykładnikiem parzystym:
- Ściśle mówiąc, każda liczba dodatnia będzie miała dwa pierwiastki z wykładnikiem parzystym $n$;
- Z liczb ujemnych pierwiastek z parzystymi $n$ w ogóle nie jest wyodrębniany.
Dlatego w definicji pierwiastka stopnia parzystego $n$ jest wyraźnie określone, że odpowiedź musi być liczbą nieujemną. W ten sposób pozbędziemy się niejasności.
Ale dla nieparzystych $n$ nie ma takiego problemu. Aby to zobaczyć, spójrzmy na wykres funkcji $y=((x)^(3))$:
Parabola sześcienna może przyjmować dowolną wartość, więc pierwiastek sześcienny można pobrać z dowolnej liczby Z tego wykresu można wyciągnąć dwa wnioski:
- Gałęzie paraboli sześciennej, w przeciwieństwie do zwykłej, idą do nieskończoności w obu kierunkach - zarówno w górę, jak i w dół. Dlatego niezależnie od tego, na jakiej wysokości narysujemy linię poziomą, linia ta z pewnością przetnie się z naszym wykresem. W związku z tym pierwiastek sześcienny można zawsze pobrać z absolutnie dowolnej liczby;
- Ponadto takie przecięcie zawsze będzie unikalne, więc nie musisz zastanawiać się, która liczba jest uważana za „poprawny” pierwiastek, a którą zignorować. Dlatego określenie pierwiastka dla stopnia nieparzystego jest prostsze niż dla stopnia parzystego (nie jest wymagana nieujemność).
Szkoda, że w większości podręczników nie wyjaśniono tych prostych rzeczy. Zamiast tego nasze mózgi zaczynają szybować, korzystając z różnego rodzaju pierwiastków arytmetycznych i ich właściwości.
Tak, nie kłócę się: musisz także wiedzieć, co to jest pierwiastek arytmetyczny. O tym szczegółowo opowiem w osobnej lekcji. Dzisiaj też o tym porozmawiamy, bo bez tego wszelkie przemyślenia na temat pierwiastków $n$-tej krotności byłyby niepełne.
Ale najpierw musisz jasno zrozumieć definicję, którą podałem powyżej. Inaczej przez natłok terminów w Twojej głowie zacznie się taki bałagan, że ostatecznie nic nie zrozumiesz.
Wszystko, co musisz zrobić, to zrozumieć różnicę między wskaźnikami parzystymi i nieparzystymi. Dlatego jeszcze raz zbierzmy wszystko, co naprawdę musisz wiedzieć o korzeniach:
- Pierwiastek stopnia parzystego istnieje tylko z liczby nieujemnej i sam w sobie jest zawsze liczbą nieujemną. Dla liczb ujemnych taki pierwiastek jest nieokreślony.
- Ale pierwiastek stopnia nieparzystego istnieje z dowolnej liczby i sama może być dowolną liczbą: dla liczb dodatnich jest dodatnia, a dla liczb ujemnych, jak wskazuje czapka, jest ujemna.
Czy to jest trudne? Nie, to nie jest trudne. Jest jasne? Tak, to całkowicie oczywiste! Zatem teraz poćwiczymy trochę obliczenia.
Podstawowe właściwości i ograniczenia
Korzenie mają wiele dziwnych właściwości i ograniczeń - zostanie to omówione w osobnej lekcji. Dlatego teraz rozważymy tylko najważniejszą „sztuczkę”, która dotyczy tylko pierwiastków o parzystym indeksie. Zapiszmy tę właściwość w postaci wzoru:
\[\sqrt(((x)^(2n)))=\lewo| x\prawo|\]
Innymi słowy, jeśli podniesiemy liczbę do potęgi parzystej, a następnie wyodrębnimy pierwiastek z tej potęgi, nie otrzymamy pierwotnej liczby, ale jej moduł. Jest to proste twierdzenie, które można łatwo udowodnić (wystarczy osobno rozważyć nieujemne $x$, a następnie osobno ujemne). Nauczyciele ciągle o tym mówią, jest to podane w każdym szkolnym podręczniku. Ale gdy tylko przychodzi do rozwiązywania równań irracjonalnych (tj. Równań zawierających pierwiastek), uczniowie jednomyślnie zapominają o tym wzorze.
Aby szczegółowo zrozumieć zagadnienie, zapomnijmy na chwilę o wszystkich wzorach i spróbujmy od razu obliczyć dwie liczby:
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]
To są bardzo proste przykłady. Większość ludzi rozwiąże pierwszy przykład, ale wiele osób utknie na drugim. Aby rozwiązać takie bzdury bez problemów, zawsze rozważ procedurę:
- Najpierw liczbę podnosi się do czwartej potęgi. Cóż, to dość łatwe. Otrzymasz nową liczbę, którą znajdziesz nawet w tabliczce mnożenia;
- A teraz z tej nowej liczby należy wyodrębnić czwarty pierwiastek. Te. nie następuje żadna „redukcja” korzeni i mocy - są to działania sekwencyjne.
Przyjrzyjmy się pierwszemu wyrażeniu: $\sqrt(((3)^(4)))$. Oczywiście najpierw musisz obliczyć wyrażenie pod pierwiastkiem:
\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]
Następnie wyodrębniamy czwarty pierwiastek liczby 81:
Teraz zróbmy to samo z drugim wyrażeniem. Najpierw podnosimy liczbę −3 do potęgi czwartej, co wymaga pomnożenia jej przez samą siebie 4 razy:
\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ lewo(-3 \prawo)=81\]
Otrzymaliśmy liczbę dodatnią, ponieważ całkowita liczba minusów w iloczynie wynosi 4 i wszystkie się znoszą (w końcu minus za minus daje plus). Następnie ponownie wyodrębniamy korzeń:
W zasadzie tego wiersza nie można było napisać, ponieważ nie ma wątpliwości, że odpowiedź byłaby taka sama. Te. parzysty pierwiastek tej samej parzystej potęgi „spala” minusy i w tym sensie wynik jest nie do odróżnienia od zwykłego modułu:
\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \prawo|=3; \\ & \sqrt(((\lewo(-3 \prawo))^(4)))=\lewo| -3 \prawo|=3. \\ \end(align)\]
Obliczenia te są zgodne z definicją pierwiastka stopnia parzystego: wynik jest zawsze nieujemny, a znak pierwiastka również zawsze zawiera liczbę nieujemną. W przeciwnym razie korzeń jest niezdefiniowany.
Uwaga dotycząca procedury
- Zapis $\sqrt(((a)^(2)))$ oznacza, że najpierw podnosimy liczbę $a$ do kwadratu, a następnie obliczamy pierwiastek kwadratowy z otrzymanej wartości. Zatem możemy być pewni, że pod pierwiastkiem zawsze znajduje się liczba nieujemna, ponieważ w każdym przypadku $((a)^(2))\ge 0$;
- Natomiast zapis $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ oznacza, że najpierw obliczamy pierwiastek z pewnej liczby $a$, a dopiero potem podnosimy wynik do kwadratu. Dlatego liczba $a$ w żadnym wypadku nie może być ujemna – jest to obowiązkowy wymóg zawarty w definicji.
Dlatego w żadnym wypadku nie należy bezmyślnie redukować korzeni i stopni, rzekomo „upraszczając” pierwotne wyrażenie. Ponieważ jeśli pierwiastek ma liczbę ujemną, a jego wykładnik jest parzysty, mamy mnóstwo problemów.
Jednak wszystkie te problemy dotyczą tylko parzystych wskaźników.
Usunięcie znaku minus spod znaku głównego
Oczywiście pierwiastki z wykładnikami nieparzystymi mają również swoją własną cechę, która w zasadzie nie istnieje w przypadku parzystych. Mianowicie:
\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]
Krótko mówiąc, możesz usunąć minus spod znaku pierwiastków stopnia nieparzystego. Jest to bardzo przydatna właściwość, która pozwala „wyrzucić” wszystkie wady:
\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(align)\]
Ta prosta właściwość znacznie upraszcza wiele obliczeń. Teraz nie musisz się martwić: co by było, gdyby pod rdzeniem ukryte było wyrażenie negatywne, ale stopień u nasady okazał się równy? Wystarczy „wyrzucić” wszystkie minusy poza pierwiastki, po czym można je mnożyć przez siebie, dzielić i w ogóle robić wiele podejrzanych rzeczy, co w przypadku „klasycznych” korzeni z pewnością doprowadzi nas do błąd.
I tu pojawia się kolejna definicja – ta sama, od której w większości szkół rozpoczyna się naukę wyrażeń irracjonalnych. I bez których nasze rozumowanie byłoby niepełne. Spotkajcie nas!
Pierwiastek arytmetyczny
Załóżmy na chwilę, że pod pierwiastkiem mogą znajdować się tylko liczby dodatnie lub w skrajnych przypadkach zero. Zapomnijmy o wskaźnikach parzystych/nieparzystych, zapomnijmy o wszystkich definicjach podanych powyżej - będziemy pracować tylko z liczbami nieujemnymi. Co wtedy?
A wtedy otrzymamy pierwiastek arytmetyczny - częściowo pokrywa się on z naszymi „standardowymi” definicjami, ale nadal się od nich różni.
Definicja. Pierwiastek arytmetyczny n$tego stopnia liczby nieujemnej $a$ jest liczbą nieujemną $b$ taką, że $((b)^(n))=a$.
Jak widać, parytet nas już nie interesuje. Zamiast tego pojawiło się nowe ograniczenie: wyrażenie radykalne jest teraz zawsze nieujemne i sam pierwiastek również jest nieujemny.
Aby lepiej zrozumieć, czym pierwiastek arytmetyczny różni się od zwykłego, spójrz na wykresy paraboli kwadratowej i sześciennej, które już znamy:
Obszar wyszukiwania pierwiastka arytmetycznego - liczby nieujemne Jak widać, od tej chwili interesują nas tylko te fragmenty wykresu, które znajdują się w pierwszej ćwiartce współrzędnych - gdzie współrzędne $x$ i $y$ są dodatnie (lub co najmniej zerowe). Nie trzeba już patrzeć na wskaźnik, aby zrozumieć, czy mamy prawo umieścić liczbę ujemną pod pierwiastkiem, czy nie. Ponieważ liczby ujemne nie są już w zasadzie brane pod uwagę.
Możesz zapytać: „No cóż, po co nam tak wykastrowana definicja?” Lub: „Dlaczego nie możemy obejść się przy standardowej definicji podanej powyżej?”
Cóż, podam tylko jedną właściwość, ze względu na którą nowa definicja staje się właściwa. Na przykład zasada potęgowania:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Uwaga: możemy podnieść wyrażenie pierwiastkowe do dowolnej potęgi i jednocześnie pomnożyć wykładnik pierwiastkowy przez tę samą potęgę - a wynik będzie taki sam! Oto przykłady:
\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\\end(align)\]
Więc o co chodzi? Dlaczego nie mogliśmy zrobić tego wcześniej? Dlatego. Rozważmy proste wyrażenie: $\sqrt(-2)$ - liczba ta jest w naszym klasycznym rozumieniu całkiem normalna, jednak z punktu widzenia pierwiastka arytmetycznego jest absolutnie nie do przyjęcia. Spróbujmy to przekonwertować:
$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$
Jak widać, w pierwszym przypadku usunęliśmy minus spod pierwiastka (mamy pełne prawo, ponieważ wykładnik jest nieparzysty), a w drugim przypadku skorzystaliśmy z powyższego wzoru. Te. Z matematycznego punktu widzenia wszystko odbywa się zgodnie z regułami.
WTF?! Jak ta sama liczba może być zarówno dodatnia, jak i ujemna? Nie ma mowy. Tyle, że wzór na potęgowanie, który świetnie sprawdza się w przypadku liczb dodatnich i zera, w przypadku liczb ujemnych zaczyna dawać zupełną herezję.
Aby pozbyć się takiej dwuznaczności, wymyślono pierwiastki arytmetyczne. Poświęcona jest im osobna duża lekcja, w której szczegółowo rozważamy wszystkie ich właściwości. Więc nie będziemy się teraz nad nimi rozwodzić - lekcja okazała się już za długa.
Pierwiastek algebraiczny: dla tych, którzy chcą wiedzieć więcej
Długo zastanawiałem się, czy umieścić ten temat w osobnym akapicie, czy nie. W końcu zdecydowałem się to tutaj zostawić. Materiał ten przeznaczony jest dla tych, którzy chcą jeszcze lepiej zrozumieć korzenie – już nie na przeciętnym poziomie „szkolnym”, ale na poziomie bliskim olimpiady.
Zatem: oprócz „klasycznej” definicji pierwiastka liczby $n$ i związanego z nią podziału na wykładniki parzyste i nieparzyste, istnieje bardziej „dorosła” definicja, która w ogóle nie zależy od parzystości i innych subtelności. Nazywa się to pierwiastkiem algebraicznym.
Definicja. Pierwiastek algebraiczny $n$-tego dowolnego $a$ jest zbiorem wszystkich liczb $b$ takich, że $((b)^(n))=a$. Nie ma ustalonego oznaczenia takich korzeni, więc po prostu postawimy myślnik na górze:
\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]
Zasadnicza różnica w stosunku do standardowej definicji podanej na początku lekcji polega na tym, że pierwiastek algebraiczny nie jest konkretną liczbą, ale zbiorem. A ponieważ pracujemy z liczbami rzeczywistymi, ten zestaw występuje tylko w trzech typach:
- Pusty zestaw. Występuje, gdy trzeba znaleźć pierwiastek algebraiczny stopnia parzystego z liczby ujemnej;
- Zestaw składający się z jednego pojedynczego elementu. Do tej kategorii należą wszystkie pierwiastki potęg nieparzystych, a także pierwiastki parzystych potęg zera;
- Wreszcie zbiór może zawierać dwie liczby - te same $((x)_(1))$ i $((x)_(2))=-((x)_(1))$, które widzieliśmy na wykres funkcji kwadratowej. Odpowiednio taki układ jest możliwy tylko przy wyodrębnianiu pierwiastka stopnia parzystego z liczby dodatniej.
Ostatni przypadek zasługuje na bardziej szczegółowe rozpatrzenie. Policzmy kilka przykładów, aby zrozumieć różnicę.
Przykład. Oceń wyrażenia:
\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]
Rozwiązanie. Pierwsze wyrażenie jest proste:
\[\overline(\sqrt(4))=\lewo\( 2;-2 \prawo\)\]
Są to dwie liczby, które są częścią zestawu. Bo każdy z nich podniesiony do kwadratu daje czwórkę.
\[\overline(\sqrt(-27))=\lewo\( -3 \prawo\)\]
Widzimy tutaj zbiór składający się tylko z jednej liczby. Jest to całkiem logiczne, ponieważ wykładnik pierwiastkowy jest nieparzysty.
Na koniec ostatnie wyrażenie:
\[\overline(\sqrt(-16))=\varnic \]
Otrzymaliśmy pusty zestaw. Ponieważ nie ma ani jednej liczby rzeczywistej, która podniesiona do czwartej (tj. parzystej!) potęgi da nam liczbę ujemną –16.
Uwaga końcowa. Uwaga: to nie przypadek, że wszędzie zauważyłem, że pracujemy z liczbami rzeczywistymi. Ponieważ istnieją również liczby zespolone - całkiem możliwe jest obliczenie tam $\sqrt(-16)$ i wielu innych dziwnych rzeczy.
Jednak liczby zespolone prawie nigdy nie pojawiają się na kursach matematyki w nowoczesnych szkołach. Usunięto je z większości podręczników, ponieważ nasi urzędnicy uznali ten temat za „zbyt trudny do zrozumienia”.
To wszystko. Na następnej lekcji przyjrzymy się wszystkim kluczowym właściwościom pierwiastków i wreszcie nauczymy się upraszczać wyrażenia irracjonalne :)
Operacje na potęgach i pierwiastkach. Stopień z negatywem ,
zerowe i ułamkowe wskaźnik. O wyrażeniach, które nie mają żadnego znaczenia.
Operacje na stopniach.
1. Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie ich wykładniki sumują się:
jestem · za n = za m + n .
2. Przy dzieleniu stopni o tej samej podstawie ich wykładniki są odliczane .
3. Stopień iloczynu dwóch lub więcej czynników jest równy iloczynowi stopni tych czynników.
(ABC… ) n = n· b n · c n…
4. Stopień stosunku (ułamka) jest równy stosunkowi stopni dywidendy (licznik) i dzielnika (mianownik):
(a/b ) n = za n / b n .
5. Podnosząc potęgę do potęgi, jej wykładniki mnoży się:
(jestem ) n = za m n .
Wszystkie powyższe formuły są odczytywane i wykonywane w obu kierunkach od lewej do prawej i odwrotnie.
PRZYKŁAD (2 · 3 · 5/15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .
Operacje z korzeniami. We wszystkich poniższych wzorach symbol oznacza pierwiastek arytmetyczny(wyrażenie radykalne jest dodatnie).
1. Pierwiastek iloczynu kilku czynników jest równy iloczynowi korzenie tych czynników:
2. Pierwiastek stosunku jest równy stosunkowi pierwiastków dywidendy i dzielnika:
3. Podnosząc pierwiastek do potęgi wystarczy podnieść do tej potęgi liczba pierwiastkowa:
4. Jeśli zwiększymy stopień zakorzenienia w M rosnąć do M potęga th jest liczbą radykalną, wówczas wartość pierwiastka nie ulegnie zmianie:
5. Jeśli zmniejszymy stopień korzenia w M wyodrębnij korzeń raz i w tym samym czasie M potęga liczby pierwiastkowej, wówczas wartość pierwiastka nie jest ulegnie zmianie:
Rozszerzenie pojęcia stopnia. Do tej pory rozważaliśmy stopnie naukowe tylko z wykładnikami naturalnymi; ale działania z stopnie i korzenie mogą również prowadzić negatywny, zero I frakcyjny wskaźniki. Wszystkie te wykładniki wymagają dodatkowej definicji.
Stopień z wykładnikiem ujemnym. Potęga jakiejś liczby c wykładnik ujemny (całkowity) definiuje się jako jeden podzielony przez potęgę tej samej liczby z wykładnikiem równym wartości bezwzględnejwskaźnik negatywny:
T teraz formuła jestem: jakiś= jestem - N można używać nie tylko doM, więcej niż N, ale także z M, mniej niż N .
PRZYKŁAD A 4 :A 7 =a 4 - 7 =a - 3 .
Jeśli chcemy formułyjestem : jakiś= jestem - Nbyło sprawiedliwe, kiedym = rz, potrzebujemy definicji stopnia zerowego.
Stopień z indeksem zerowym. Potęga dowolnej liczby niezerowej z wykładnikiem zerowym wynosi 1.
PRZYKŁADY. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Stopień z wykładnikiem ułamkowym. Aby podnieść liczbę rzeczywistą i do potęgi m/n , musisz wyodrębnić root n-ta potęga m -ta potęga tej liczby A :
O wyrażeniach, które nie mają żadnego znaczenia. Jest kilka takich wyrażeń. Jakikolwiek numer.
W rzeczywistości, jeśli założymy, że to wyrażenie jest równe jakiejś liczbie X, to zgodnie z definicją dzielenia mamy: 0 = 0 · X. Ale ta równość zachodzi, gdy dowolna liczba x, co należało udowodnić.
Przypadek 3.
0 0 - Jakikolwiek numer.
Naprawdę,
Rozwiązanie Rozważmy trzy główne przypadki:
1) X = 0 – ta wartość nie spełnia tego równania
(Dlaczego?).
2) kiedy X> 0 otrzymujemy: x/x = 1, tj. 1 = 1, co oznacza
Co X- Jakikolwiek numer; ale biorąc pod uwagę, że w
W naszym przypadku X> 0, odpowiedź brzmiX > 0 ;
3) kiedy X < 0 получаем: – x/x= 1, tj . –1 = 1, zatem
W tym przypadku nie ma rozwiązania.
Zatem, X > 0.