Akapit 2 Pola równoległoboku trójkąta i trapezu. „Obszar równoległoboku, trójkąta, trapezu

1) Powitanie

2) Motywacja do lekcji Nauczyciel sprawdza gotowość klasy do lekcji; motywuje uczniów do sformułowania tematu.

Przeczytaj definicję na tablicy (arkusz tematyczny) i wpisz dane pojęcie:

Rozmiar tej części płaszczyzny zajmowanej przez wielokąt wynosi ... (pole)

Czworokąt, którego przeciwne boki są równoległe parami - .... (równoległobok)

Figura złożona z trzech punktów, które nie leżą na tej samej linii i trzech łączących je odcinków, nazywa się .... (trójkąt)

Figura, w której dwa boki są równoległe, a pozostałe dwa nie są równoległe, nazywa się ... (trapez)

Z powstałych słów spróbuj stworzyć temat naszej dzisiejszej lekcji.

A więc temat lekcji….Pola równoległoboku, trójkąta, trapezu.

Obszary, jakie liczby możemy znaleźć i w jaki sposób?

Oblicz pola figur przedstawionych na ryc.

Czy są inne rozwiązania?

Co się stało?

Jakie próby znalezienia tego obszaru zostały podjęte?

Kto próbował znaleźć obszar równoległoboku? Powiedz mi.

Wyprowadzenie wzoru na pole równoległoboku.

Zadanie.

Jak „przerysować” równoległobok, aby uzyskać prostokąt o tej samej powierzchni?

Równoległobok został przerysowany w prostokąt. Oznacza to, że jego powierzchnia jest równa powierzchni prostokąta.

Jaka jest długość i szerokość prostokąta w przypadku równoległoboku?

Pole równoległoboku jest równe iloczynowi jego podstawy i wysokości.

W równoległoboku podstawa może być dowolną stroną. Aby zastosować wzór na znalezienie obszaru, wysokość należy narysować do podstawy.

Obliczmy pole tego równoległoboku.

Wyprowadzenie wzoru na pole trójkąta.

Jak przerysować lub uzupełnić trójkąt?

Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu jego podstawy i wysokości.

A co jeśli trójkąt jest prostokątny?

Spójrz na rys.

Można go „przerysować” na prostokąt.

I jego obszar znajdujemy za pomocą wzoru

S =a *b . Długość prostokąta to połowa nogi, a szerokość to druga noga.

Pole trójkąta prostokątnego jest równe połowie iloczynu jego nóg.

Wyprowadzenie wzoru na pole trapezu.

Zobacz, jak treapez został „przerysowany” - w trójkąt. I znajdujemy obszar trójkąta za pomocą wzoru:

Podstawa trójkąta to suma długości podstawy górnej i dolnej, a wysokość trójkąta to wysokość trapezu.

Pole trapezu jest równe iloczynowi połowy sumy jego podstaw i wysokości.

1) Znajdź S para. , Jeśli A=5, H =4.

2) Znajdź trójkąt S. , Jeśli A=3,5; H =2.

3) Znajdź drabinę S. , Jeśli A=4,5; B = 2,5; H =3.

Wykonaj zadania testowe (patrz załącznik)

Wzajemna recenzja niezależnej pracy.

Rozwiązywanie problemów na nowy temat:

nr 675(a,d), 676(a,b), 677(a,b)

Dla uczniów słabszych i osiągających słabe wyniki przygotowano indywidualną pracę na kartkach, która zawiera zadania, w których znajduje się przykład zapisania rozwiązania.

Nauczyciel oferuje odpowiedź na pytania na nowy temat.

Kochani, podsumujmy to!

Czego nauczyłeś się dzisiaj na zajęciach?

Czego się nauczyłeś?

Co było trudne do podjęcia decyzji?

Nauczyciel komentuje pracę domową.

paragraf 23 nr 675(b,c), 676(c,d), 677(c,d)

Dobra robota!

Lekcja dobiegła końca. Do widzenia!

Pole figury geometrycznej- numeryczna charakterystyka figury geometrycznej pokazująca wielkość tej figury (część powierzchni ograniczona zamkniętym konturem tej figury). Wielkość obszaru wyraża się liczbą zawartych w nim jednostek kwadratowych.

Wzory na pole trójkąta

Wzór na pole trójkąta na bok i wysokość
Pole trójkąta równa połowie iloczynu długości boku trójkąta i długości wysokości poprowadzonej na ten bok
Wzór na pole trójkąta oparty na trzech bokach i promieniu okręgu opisanego
Wzór na pole trójkąta oparty na trzech bokach i promieniu okręgu wpisanego
Pole trójkąta jest równy iloczynowi półobwodu trójkąta i promienia okręgu wpisanego.

Wzory na pole kwadratu

Wzór na pole kwadratu według długości boku
Powierzchnia kwadratowa równy kwadratowi długości jego boku.
Wzór na pole kwadratu wzdłuż przekątnej
Powierzchnia kwadratowa równy połowie kwadratu długości jego przekątnej.
S= 1 2
2

Wzór na pole prostokąta

Pole prostokąta

Wzory na pole równoległoboku

Wzór na pole równoległoboku na podstawie długości boku i wysokości
Obszar równoległoboku
Wzór na pole równoległoboku oparty na dwóch bokach i kącie między nimi
Obszar równoległoboku jest równy iloczynowi długości jego boków pomnożonemu przez sinus kąta między nimi.
a b grzech α

Wzory na pole rombu

Wzór na pole rombu na podstawie długości boku i wysokości
Powierzchnia rombu jest równa iloczynowi długości jego boku i długości wysokości obniżonej na ten bok.
Wzór na pole rombu na podstawie długości boku i kąta
Powierzchnia rombu jest równy iloczynowi kwadratu długości jego boku i sinusa kąta między bokami rombu.
Wzór na pole rombu na podstawie długości jego przekątnych
Powierzchnia rombu równy połowie iloczynu długości jego przekątnych.

Wzory na pole trapezu

Wzór Herona na trapez
Gdzie S jest obszarem trapezu,
- długości podstaw trapezu,
- długości boków trapezu,

Obszar równoległoboku

Twierdzenie 1

Pole równoległoboku definiuje się jako iloczyn długości jego boku i wyciągniętej do niego wysokości.

gdzie $a$ jest bokiem równoległoboku, $h$ jest wysokością narysowaną na ten bok.

Dowód.

Otrzymamy równoległobok $ABCD$ z $AD=BC=a$. Narysujmy wysokości $DF$ i $AE$ (ryc. 1).

Obrazek 1.

Oczywiście liczba $FDAE$ jest prostokątem.

\[\kąt BAE=(90)^0-\kąt A,\ \] \[\angle CDF=\kąt D-(90)^0=(180)^0-\kąt A-(90)^0 =(90)^0-\kąt A=\kąt BAE\]

W konsekwencji, ponieważ $CD=AB,\ DF=AE=h$, według kryterium $I$ równości trójkątów $\triangle BAE=\triangle CDF$. Następnie

Zatem zgodnie z twierdzeniem o polu prostokąta:

Twierdzenie zostało udowodnione.

Twierdzenie 2

Pole równoległoboku definiuje się jako iloczyn długości sąsiednich boków i sinusa kąta między tymi bokami.

Matematycznie można to zapisać w następujący sposób

gdzie $a,\b$ to boki równoległoboku, $\alpha$ to kąt między nimi.

Dowód.

Otrzymamy równoległobok $ABCD$ z $BC=a,\ CD=b,\ \angle C=\alpha $. Narysujmy wysokość $DF=h$ (ryc. 2).

Rysunek 2.

Z definicji sinusa otrzymujemy

Stąd

Zatem zgodnie z twierdzeniem $1$:

Twierdzenie zostało udowodnione.

Pole trójkąta

Twierdzenie 3

Pole trójkąta definiuje się jako połowę iloczynu długości jego boku i wysokości do niego wyciągniętej.

Matematycznie można to zapisać w następujący sposób

gdzie $a$ to bok trójkąta, $h$ to wysokość narysowana na tym boku.

Dowód.

Rysunek 3.

Zatem zgodnie z twierdzeniem $1$:

Twierdzenie zostało udowodnione.

Twierdzenie 4

Pole trójkąta definiuje się jako połowę iloczynu długości sąsiednich boków i sinusa kąta między tymi bokami.

Matematycznie można to zapisać w następujący sposób

gdzie $a,\b$ to boki trójkąta, $\alpha$ to kąt między nimi.

Dowód.

Otrzymamy trójkąt $ABC$ z $AB=a$. Znajdźmy wysokość $CH=h$. Zbudujmy to do równoległoboku $ABCD$ (ryc. 3).

Oczywiście, według kryterium $I$ równości trójkątów, $\triangle ACB=\triangle CDB$. Następnie

Zatem zgodnie z twierdzeniem $1$:

Twierdzenie zostało udowodnione.

Powierzchnia trapezu

Twierdzenie 5

Pole trapezu definiuje się jako połowę iloczynu sumy długości jego podstaw i jego wysokości.

Matematycznie można to zapisać w następujący sposób

Dowód.

Weźmy trapez $ABCK$, gdzie $AK=a,\ BC=b$. Narysujmy w nim wysokości $BM=h$ i $KP=h$ oraz przekątną $BK$ (rys. 4).

Rysunek 4.

Z twierdzenia $3$ otrzymujemy

Twierdzenie zostało udowodnione.

Przykładowe zadanie

Przykład 1

Znajdź pole trójkąta równobocznego, jeśli jego długość boku wynosi $a.$

Rozwiązanie.

Ponieważ trójkąt jest równoboczny, wszystkie jego kąty są równe $(60)^0$.

Zatem, zgodnie z twierdzeniem $4$, mamy

Odpowiedź:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

Należy zauważyć, że wynik tego problemu można wykorzystać do znalezienia pola dowolnego trójkąta równobocznego o danym boku.

Zgódźmy się nazwać jeden z boków równoległoboku podstawa, a prostopadła poprowadzona z dowolnego punktu po przeciwnej stronie do linii zawierającej podstawę to wysokość równoległoboku.

Twierdzenie

Dowód

Rozważmy równoległobok ABCD o polu S. Przyjmijmy bok AD jako podstawę i narysuj wysokości ВН i СК (ryc. 182). Udowodnimy, że S = AD VN.

Ryż. 182

Najpierw udowodnijmy, że pole prostokąta ABCD jest również równe S. Trapez ABCD składa się z równoległoboku ABCD i trójkąta DCK. Z drugiej strony składa się z prostokąta НВСК i trójkąta АВН. Ale trójkąty prostokątne DCK i ABH są równe pod względem przeciwprostokątnej i kąta ostrego (ich przeciwprostokątne AB i CD są równe jak przeciwległe boki równoległoboku, a kąty 1 i 2 są równe jak odpowiednie kąty, gdy linie równoległe AB i CD przecinają się z sieczną AD) , więc ich pola są równe.

W związku z tym obszary równoległoboku ABCD i prostokąta NVSK są również równe, tj. pole prostokąta NVSK jest równe S. Z twierdzenia o obszarze prostokąta S = BC BN, a ponieważ BC = AD, następnie S = AD BN. Twierdzenie zostało udowodnione.

Pole trójkąta

Często nazywany jest jednym z boków trójkąta podstawa. Jeśli wybrana jest podstawa, wówczas słowo „wysokość” oznacza wysokość trójkąta narysowanego do podstawy. Twierdzenie

Dowód

Niech S będzie obszarem trójkąta ABC (ryc. 183). Przyjmijmy bok AB jako podstawę trójkąta i narysujmy wysokość CH. Udowodnijmy to .

Ryż. 183

Uzupełnijmy trójkąt ABC równoległobokiem ABDC, jak pokazano na rysunku 183. Trójkąty ABC i DCB są równe z trzech boków (BC to ich wspólny bok, AB = CD i AC = BD jako przeciwne strony równoległoboku ABDC), więc ich pola są równe. Dlatego pole S trójkąta ABC jest równe połowie pola równoległoboku ABDC, tj. . Twierdzenie zostało udowodnione.

Wniosek 1

Konsekwencja 2

Skorzystajmy z Wniosku 2, aby udowodnić twierdzenie o stosunku pól trójkątów o równych kątach.

Twierdzenie

Dowód

Niech S i S 1 będą obszarami trójkątów ABC i A 1 B 1 C 1, dla których ∠A = ∠A 1 (ryc. 184, a). Udowodnijmy to .

Ryż. 184

Nałóżmy trójkąt A 1 B 1 C 1 na trójkąt ABC tak, aby wierzchołek A 1 pokrywał się z wierzchołkiem A, a boki A 1 B 1 i A 1 C 1 nakładały się odpowiednio na promienie AB i AC (ryc. 184, b). Trójkąty ABC i AB 1 C mają zatem wspólną wysokość - CH .

Trójkąty AB 1 C i AB 1 C 1 również mają wspólną wysokość - B 1 H 1, dlatego . Mnożąc otrzymane równości, znajdujemy:

Twierdzenie zostało udowodnione.

Powierzchnia trapezu

Aby obliczyć pole dowolnego wielokąta, zwykle robisz to: podziel wielokąt na trójkąty i znajdź obszar każdego trójkąta. Suma obszarów tych trójkątów jest równa powierzchni danego wielokąta (ryc. 185, a). Korzystając z tej techniki, wyprowadzimy wzór na obliczenie pola trapezu. Zgódźmy się nazwać wysokość trapezu prostopadłą poprowadzoną z dowolnego punktu jednej z podstaw do linii zawierającej drugą podstawę. Na rysunku 185, b odcinek BH (a także odcinek DH 1) to wysokość trapezu ABCD.

Ryż. 185

Twierdzenie

Dowód

Rozważmy trapez ABCD z podstawami AD i BC, wysokością BH i powierzchnią S (patrz ryc. 185, b).

Udowodnijmy to

Przekątna BD dzieli trapez na dwa trójkąty ABD i BCD, więc S = S ABD + S BCD.

Przyjmijmy odcinki AD i ВН jako podstawę i wysokość trójkąta ABD, a odcinki ВС i DH 1 jako podstawę i wysokość trójkąta BCD. Następnie

Twierdzenie zostało udowodnione.

Zadania

459. Niech a będzie podstawą, h wysokością, a S polem równoległoboku. Znajdź: a) S, jeśli a = 15 cm, h = 12 cm; b) a, jeśli S = 34 cm 2, h = 8,5 cm; c) a, jeśli S = 162 cm 2, h = 1/2a; d) h, jeśli h = 3a, S = 27.

460. Przekątna równoległoboku równa 13 cm jest prostopadła do boku równoległoboku równego 12 cm. Znajdź obszar równoległoboku.

461. Sąsiednie boki równoległoboku mają długości 12 cm i 14 cm, a jego kąt ostry ma miarę 30°. Znajdź obszar równoległoboku.

462. Bok rombu ma długość 6 cm, a jeden z kątów ma 150°. Znajdź obszar rombu.

463. Równoległobok ma bok długości 8,1 cm, a przekątna równa 14 cm tworzy z nim kąt 30°. Znajdź obszar równoległoboku.

464. Niech a i b będą sąsiadującymi bokami równoległoboku, S powierzchnią, a h 1 i h 2 jego wysokościami. Znajdź: a) h 2 jeśli a = 18 cm, b = 30 cm, h 1 = 6 cm, h 2 > h 1 ; b) h 1, jeśli a = 10 cm, 6 = 15 cm, h 2 = 6 cm, h 2 > h 1 c) h 1 i h 2, jeśli S = 54 cm 2, a = 4,5 cm, b = 6 cm.

465. Kąt ostry równoległoboku wynosi 30°, a wysokości narysowane od wierzchołka kąta rozwartego wynoszą 2 cm i 3 cm. Znajdź pole równoległoboku.

466. Przekątna równoległoboku jest równa jego bokowi. Znajdź pole równoległoboku, jeśli jego najdłuższy bok ma 15,2 cm, a jeden z jego kątów ma 45°.

467. Kwadrat i romb niebędący kwadratem mają takie same obwody. Porównaj pola tych figur.

468. Niech a będzie podstawą, h wysokością, a S polem trójkąta. Znajdź: a) S, jeśli a = 7 cm, h = 11 cm; b) S, jeśli a = 2√3 cm, h = 5 cm; c) h, jeśli S = 37,8 cm 2, a - 14 cm; d) a, jeśli S = 12 cm 2, h = 3√2 cm.

469. Boki AB i BC trójkąta ABC mają długość odpowiednio 16 cm i 22 cm, a wysokość narysowana na boku AB jest równa 11 cm. Znajdź wysokość narysowaną na boku BC.

470. Dwa boki trójkąta mają długość 7,5 cm i 3,2 cm. Wysokość poprowadzona do większego boku wynosi 2,4 cm. Oblicz wysokość poprowadzoną do mniejszego z tych boków.

471. D Znajdź pole trójkąta prostokątnego, jeśli jego nogi są równe: a) 4 cm i 11 cm; b) 1,2 dm i 3 dm.

472. Pole trójkąta prostokątnego wynosi 168 cm 2. Znajdź jego nogi, jeśli stosunek ich długości wynosi 7/12.

473. Przez wierzchołek C trójkąta ABC poprowadzono prostą m, równoległą do boku AB. Udowodnić, że wszystkie trójkąty o wierzchołkach na prostej m i podstawie AB mają równe pola.

474. Porównaj pola dwóch trójkątów, na które dany trójkąt jest podzielony przez jego środkową.

475. Narysuj trójkąt ABC. Narysuj dwie linie proste przechodzące przez wierzchołek A, tak aby podzieliły ten trójkąt na trzy trójkąty o równych polach.

476. Udowodnij, że pole rombu jest równe połowie iloczynu jego przekątnych. Oblicz pole rombu, jeśli jego przekątne są równe: a) 3,2 dm i 14 cm; b) 4,6 dm i 2 dm.

477. Znajdź przekątne rombu, jeśli jedna z nich jest 1,5 razy większa od drugiej, a powierzchnia rombu wynosi 27 cm 2.

478. W czworokącie wypukłym przekątne są wzajemnie prostopadłe. Udowodnić, że pole czworokąta jest równe połowie iloczynu jego przekątnych.

479. Punkty D i E leżą na bokach AB i AC trójkąta ABC. Znajdź: a) S ADE, jeśli AB = 5 cm, AC = 6 cm, AD = 3 cm, AE = 2 cm, S ABC = 10 cm 2 ; b) AD, jeśli AB = 8 cm, AC = 3 cm, AE = 2 cm, S ABC = 10 cm 2, S ADE = 2 cm 2.

480. Znajdź pole trapezu ABCD o podstawach AB i CD jeżeli:

a) AB = 21 cm, CD = 17 cm, wysokość BH wynosi 7 cm;
b) ∠D = 30°, AB = 2 cm, CD = 10 cm, DA = 8 cm;
c) BC ⊥ AB, AB = 5 cm, BC = 8 cm, CD = 13 cm.

481. Znajdź pole trapezu prostokątnego, którego dwa mniejsze boki mają po 6 cm, a większy kąt ma miarę 135°.

482. Kąt rozwarty trapezu równoramiennego wynosi 135°, a wysokość narysowana z wierzchołka tego kąta dzieli większą podstawę na odcinki o długości 1,4 cm i 3,4 cm. Znajdź pole trapezu.

Odpowiedzi na problemy

459. a) 180 cm 2; b) 4 cm; c) 18 cm; d) 9.

460,156 cm2.

461,84 cm2.

462. 18 cm 2.

463,56,7 cm2.

464. a) 10 cm; b) 4 cm; c) 12 cm i 9 cm.

465. 12 cm 2.

466,115,52 cm2.

467. Pole kwadratu jest większe.

468. a) 38,5 cm 2; b) 5√3 cm 2; c) d) 4√2 cm.

470,5,625 cm.

471. a) 22 cm 2; b) 1,8 dm 2.

472, 14 cm i 24 cm.

473. Instrukcja. Skorzystaj z twierdzenia 38.

474. Pola trójkątów są równe.

475. Instrukcja. Najpierw podziel bok BC na trzy równe części.

476. a) 224 cm 2; b) 4,6 dm 2. Notatka. Należy pamiętać, że przekątne rombu są wzajemnie prostopadłe.

477,6 cm i 9 cm.

479. a) 2 cm 2; b) 2,4 cm. Skorzystaj z drugiego twierdzenia z akapitu 53.

480. a) 133 cm 2; b) 24 cm 2; c) 72 cm 2.

481,54 cm2.

Obszar równoległoboku

Twierdzenie 1

Pole równoległoboku definiuje się jako iloczyn długości jego boku i wyciągniętej do niego wysokości.

gdzie $a$ jest bokiem równoległoboku, $h$ jest wysokością narysowaną na ten bok.

Dowód.

Otrzymamy równoległobok $ABCD$ z $AD=BC=a$. Narysujmy wysokości $DF$ i $AE$ (ryc. 1).

Obrazek 1.

Oczywiście liczba $FDAE$ jest prostokątem.

\[\kąt BAE=(90)^0-\kąt A,\ \] \[\angle CDF=\kąt D-(90)^0=(180)^0-\kąt A-(90)^0 =(90)^0-\kąt A=\kąt BAE\]

W konsekwencji, ponieważ $CD=AB,\ DF=AE=h$, według kryterium $I$ równości trójkątów $\triangle BAE=\triangle CDF$. Następnie

Zatem zgodnie z twierdzeniem o polu prostokąta:

Twierdzenie zostało udowodnione.

Twierdzenie 2

Pole równoległoboku definiuje się jako iloczyn długości sąsiednich boków i sinusa kąta między tymi bokami.

Matematycznie można to zapisać w następujący sposób

gdzie $a,\b$ to boki równoległoboku, $\alpha$ to kąt między nimi.

Dowód.

Otrzymamy równoległobok $ABCD$ z $BC=a,\ CD=b,\ \angle C=\alpha $. Narysujmy wysokość $DF=h$ (ryc. 2).

Rysunek 2.

Z definicji sinusa otrzymujemy

Stąd

Zatem zgodnie z twierdzeniem $1$:

Twierdzenie zostało udowodnione.

Pole trójkąta

Twierdzenie 3

Pole trójkąta definiuje się jako połowę iloczynu długości jego boku i wysokości do niego wyciągniętej.

Matematycznie można to zapisać w następujący sposób

gdzie $a$ to bok trójkąta, $h$ to wysokość narysowana na tym boku.

Dowód.

Rysunek 3.

Zatem zgodnie z twierdzeniem $1$:

Twierdzenie zostało udowodnione.

Twierdzenie 4

Pole trójkąta definiuje się jako połowę iloczynu długości sąsiednich boków i sinusa kąta między tymi bokami.

Matematycznie można to zapisać w następujący sposób

gdzie $a,\b$ to boki trójkąta, $\alpha$ to kąt między nimi.

Dowód.

Otrzymamy trójkąt $ABC$ z $AB=a$. Znajdźmy wysokość $CH=h$. Zbudujmy to do równoległoboku $ABCD$ (ryc. 3).

Oczywiście, według kryterium $I$ równości trójkątów, $\triangle ACB=\triangle CDB$. Następnie

Zatem zgodnie z twierdzeniem $1$:

Twierdzenie zostało udowodnione.

Powierzchnia trapezu

Twierdzenie 5

Pole trapezu definiuje się jako połowę iloczynu sumy długości jego podstaw i jego wysokości.

Matematycznie można to zapisać w następujący sposób

Dowód.

Weźmy trapez $ABCK$, gdzie $AK=a,\ BC=b$. Narysujmy w nim wysokości $BM=h$ i $KP=h$ oraz przekątną $BK$ (rys. 4).

Rysunek 4.

Z twierdzenia $3$ otrzymujemy

Twierdzenie zostało udowodnione.

Przykładowe zadanie

Przykład 1

Znajdź pole trójkąta równobocznego, jeśli jego długość boku wynosi $a.$

Rozwiązanie.

Ponieważ trójkąt jest równoboczny, wszystkie jego kąty są równe $(60)^0$.

Zatem, zgodnie z twierdzeniem $4$, mamy

Odpowiedź:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

Należy zauważyć, że wynik tego problemu można wykorzystać do znalezienia pola dowolnego trójkąta równobocznego o danym boku.