Przed przedstawieniem trzeciego pytania wykładu prowadzący identyfikuje problem wymagający rozważenia twierdzenia o powtarzalności eksperymentów, zauważając jednocześnie, że na studiowanym kursie teorii prawdopodobieństwa tylko określone twierdzenie dotyczące powtarzania niezależnych eksperymentów, w każdym przypadku, w którym A pojawia się ze stałym prawdopodobieństwem, zostaną uwzględnione.
Następnie nauczyciel pokazuje dowód tego twierdzenia (wyprowadzenie wzoru Bernoulliego).
Aby wyjaśnić istotę fizyczną rozważanego twierdzenia, nauczyciel wykorzystuje rzutnik i przygotowane slajdy.
Na koniec wykładu nauczyciel wyjaśnia, dlaczego rozkład prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia A w serii n testów, w warunkach, w których są one niespójne i tworzą kompletną grupę zdarzeń, nazywa się dwumianem i zwraca uwagę na znaczenie znajomości tego rozkładu do rozwiązywania stosowanych problemów.
Do tej pory rozważaliśmy kombinacje stosunkowo niewielkiej liczby zdarzeń, gdy bezpośrednie zastosowanie zasad dodawania i mnożenia prawdopodobieństw nie sprawiało dużych trudności obliczeniowych. Jednakże w miarę wzrostu liczby zdarzeń lub liczby prób, w których może pojawić się interesujące zdarzenie, wyuczona metoda obliczeń staje się bardzo uciążliwa.
Co więcej, problem został rozwiązany po prostu tylko wtedy, gdy eksperymenty były niezależne.
Nazywa się kilka eksperymentów niezależny, jeśli prawdopodobieństwo tego lub innego wyniku każdego eksperymentu nie zależy od wyników innych eksperymentów.
W praktyce zdarzają się przypadki, gdy prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A we wszystkich niezależnych eksperymentach może być taki sam lub różnić się w zależności od eksperymentu. Na przykład, jeśli dostosujesz ogień po każdym strzale, prawdopodobieństwo trafienia w cel będzie się zmieniać przy każdym strzale.
W przypadku, gdy w niezależnych eksperymentach prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia zmienia się z eksperymentu na eksperyment, stosuje się ogólne twierdzenie o powtarzaniu eksperymentów, a gdy w niezależnych eksperymentach prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia nie zmienia się z eksperymentu do eksperymentowania stosuje się szczególne twierdzenie o powtarzaniu eksperymentów.
Na kursie teorii prawdopodobieństwa, który studiujemy, rozważymy tylko konkretny temat powtarzania eksperymentów, gdy konieczne jest określenie prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia A w serii niezależnych eksperymentów, w każdym z których zdarzenie A pojawia się z równym prawdopodobieństwem.
Na przykład należy obliczyć prawdopodobieństwo, że przy pięciu strzałach z broni przy stałych ustawieniach zostaną uzyskane dokładnie dwa trafienia w cel, jeśli strzały są niezależne i przy każdym strzale prawdopodobieństwo trafienia w cel jest znane i nie zmiana.
Jeśli ułożymy możliwe kombinacje wystąpienia interesującego nas zdarzenia A 1, otrzymamy:
Będzie 10 możliwych kombinacji, w których wystąpi zdarzenie A=(uzyskaj 2 trafienia pięcioma strzałami).
Stosując twierdzenie o sumie i iloczynie zdarzeń niezależnych, mamy:
Wzrost liczby interesujących nas zdarzeń lub testów doprowadzi do jeszcze większego wzrostu wolumenu operacji obliczeniowych, dlatego pojawia się zadanie znalezienia mniej pracochłonnych metod obliczeniowych.
Sformułowanie problemu:
Załóżmy, że w identycznych warunkach przeprowadzamy n niezależnych testów, których wynikiem może być zajście dowolnego zdarzenia A lub jego przeciwieństwo 
.
Oznaczmy przez A 1 wystąpienie zdarzenia A na pierwszym teście, A 2 - w drugim teście, A N- na ostatnim teście.
Ze względu na stałość warunków testowych:
ROCZNIE 1 ) = P(A 2 ) = … P(A N ) = str
Interesuje nas prawdopodobieństwo, że zdarzenie A wystąpi dokładnie m razy w n próbach i nie zajdzie w pozostałych n-m próbach (tj. nastąpi zdarzenie odwrotne do zdarzenia A - 
).
Załóżmy, że wydarzenie nas interesuje A występuje kolejno m razy, zaczynając od pierwszego, tj. ma miejsce wydarzenie - mi.
E=A 1
A 2
… A M -1
A M
(1)
M N- M
Zgodnie z warunkiem powtarzalności testów zdarzenia zawarte w tej kombinacji są niezależne, natomiast prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzeń A 1, A 2
,… A M -1
, A M takie same i równe p: P(A 1
) = P(A 2
) =…= P(A M ) = p, oraz prawdopodobieństwo, że zdarzenia nie wystąpią 
takie same i równe Q=1-р:.
Stosując zasadę mnożenia prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych do wyrażenia 1, otrzymujemy:
P(E) = P(A 1
) P(A 2
) …P(A M -1
) P(A M ) R( 
= str M (1-r) N
-
M
= str M Q N -
M
Ze względu na stałość warunków testowych założyliśmy, że zdarzenie nas interesuje A występuje w rzędzie m razy, zaczynając od pierwszego. Ale wydarzenie A V N próby mogą nadejść dokładnie M razy w różnych sekwencjach lub kombinacjach. W tym przypadku jest nam obojętna dokładna kolejność, w jakiej dokładnie pojawia się zdarzenie A M raz.
Liczba takich kombinacji jest równa liczbie kombinacji 
z n elementów wg M.
Ponieważ te kombinacje zdarzeń (podobnie jak kombinacja E) są niezgodne i nie interesuje nas kolejność wystąpienia zdarzenia A dokładnie w teście M razy, a następnie oznaczając prawdopodobieństwo, które nas interesuje R M, otrzymujemy:
R M
=
R M (1-r) N
-
M
=
=
Gdzie 
- liczba kombinacji N elementy wg M.
Wzór ten nazywa się wzorem Bernoulliego.
Wzór Bernoulliego pozwala uzyskać odpowiedź na pytanie: jakie jest prawdopodobieństwo, że przy powtórzeniu n niezależnych testów jakieś zdarzenie A przychodzi dokładnie M razy, jeśli w każdej z tych prób prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A jest stała i równa P(A) = p.
Powyższy wzór Bernoulliego jest niezwykle ważny w teorii prawdopodobieństwa z tego powodu, że wiąże się z powtarzaniem testów w tych samych warunkach, tj. w takich warunkach, w jakich ujawniają się prawa teorii prawdopodobieństwa.
Zakończenie wykładu:
Na wykładzie zapoznaliśmy się z podstawowymi zagadnieniami teorii prawdopodobieństwa w odniesieniu do zmiennych losowych, wprowadziliśmy podstawowy aparat pojęciowy niezbędny do dalszego studiowania dyscypliny: definicję zmiennej losowej, jej klasyfikację; koncepcje prawa dystrybucji i jego postać dla różnych typów zmiennych losowych.
Przygotowując się do kolejnych wykładów i ćwiczeń praktycznych, należy samodzielnie uzupełniać notatki z wykładów, dogłębnie zapoznając się z zalecaną literaturą i rozwiązując zaproponowane problemy.
Dodatkowo na kolejnych lekcjach będziemy studiować twierdzenia i zależności, które pozwalają nam wyznaczyć prawdopodobieństwo pojawienia się zmiennej losowej wymaganą liczbę razy lub w określonym przedziale, np. prawdopodobieństwo trafienia w cel.
Badać:
Ventzel E.S. Teoria prawdopodobieństwa. Podręcznik. Wydanie ósme, stereotypowe. – M.: Szkoła Wyższa, 2002 – 575 s. – s. 67-78, 80-84
Ventzel E.S., Ovcharov L.A.. Teoria prawdopodobieństwa i jej zastosowania inżynierskie. Instruktaż. Wydanie trzecie, poprawione i rozszerzone. – M.: „Akademia”, 2003 – 464 s. – s. 73-93
Gmurman VE Teoria prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Instruktaż. Wydanie dziesiąte, stereotypowe - M.: Szkoła Wyższa", 2004 - 480 s. Strony 64-73
1. Bogolyubov A.N. Matematycy. Mechanika: podręcznik biograficzny. – Kijów: Naukova Dumka, 1983.
2. Gulay T.A., Dolgopolova A.F., Litvin D.B. Analiza i ocena priorytetów sekcji dyscyplin matematycznych studiowanych przez studentów specjalności ekonomicznych uniwersytetów rolniczych // Biuletyn AIC Stawropola. – 2013 r. – nr 1 (9). – s. 6-10.
3. Dolgopolova A.F., Gulay T.A., Litvin D.B. Perspektywy zastosowania metod matematycznych w badaniach ekonomicznych // Nauki rolnicze, kreatywność, rozwój. – 2013. – s. 255-257.
W matematyce dość często spotyka się problemy, w których występuje duża liczba powtórzeń tego samego warunku, testu lub eksperymentu. Wynik każdego testu będzie uważany za zupełnie inny wynik niż poprzedni. Nie będzie również zależności w wynikach. W wyniku testu można wyróżnić kilka możliwości elementarnych konsekwencji: wystąpienie zdarzenia (A) lub wystąpienie zdarzenia uzupełniającego A.
Następnie spróbujmy założyć, że prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia P(A) jest regularne i równe p(0<р<1).
Przykładami takiego testu może być duża liczba zadań, takich jak rzucanie monetą, wyciąganie czarno-białych kulek z ciemnego worka lub urodzenie czarno-białych królików.
Eksperyment ten nazywany jest projektem niezależnych prób powtarzanych lub projektem Bernoulliego.
Jacob Bernoulli urodził się w rodzinie farmaceuty. Ojciec próbował skierować syna na ścieżkę medyczną, ale J. Bernoulli sam zainteresował się matematyką, która później stała się jego zawodem. Jest właścicielem różnych trofeów w pracach na tematy z teorii prawdopodobieństwa i liczb, szeregów i rachunku różniczkowego. Po przestudiowaniu teorii prawdopodobieństwa z jednego z dzieł Huygensa „O obliczeniach w grach hazardowych” Jacob zainteresował się nią. W tej książce nie było nawet jasnej definicji pojęcia „prawdopodobieństwa”. To J. Bernoulli wprowadził do matematyki większość współczesnych koncepcji teorii prawdopodobieństwa. Bernoulli był także pierwszym, który przedstawił swoją wersję prawa wielkich liczb. Różne prace, twierdzenia i schematy noszą imię Jacoba: „Liczby Bernoulliego”, „Wielomian Bernoulliego”, „Równanie różniczkowe Bernoulliego”, „Rozkład Bernoulliego” i „Równanie Bernoulliego”.
Wróćmy do przedstawicieli. Jak już wskazano powyżej, w wyniku różnych testów możliwe są dwa wyniki: albo pojawi się zdarzenie A, albo odwrotność tego zdarzenia. Sam schemat Bernoulliego oznacza wytworzenie n-tej liczby typowych swobodnych eksperymentów i w każdym z tych eksperymentów może pojawić się potrzebne nam zdarzenie A (znane jest prawdopodobieństwo tego zdarzenia: P(A) = p), prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do zdarzenia A oznacza się przez q = P(A)=1-p. Należy określić prawdopodobieństwo, że podczas testowania nieznanej wielkości zdarzenie A wystąpi dokładnie k razy.
Podczas rozwiązywania problemów za pomocą schematu Bernoulliego należy pamiętać o głównym warunku - jest to stałość. Bez tego schemat traci wszelkie znaczenie.
Schemat ten można wykorzystać do rozwiązywania problemów o różnym stopniu złożoności: od prostych (ta sama moneta) do złożonych (zainteresowania). Jednak częściej schemat Bernoulliego stosuje się w rozwiązywaniu problemów polegających na monitorowaniu właściwości różnych produktów i zaufaniu do różnych mechanizmów. Tylko w celu rozwiązania problemu wszystkie warunki i wartości muszą być znane wcześniej przed rozpoczęciem pracy.
Nie wszystkie problemy teorii prawdopodobieństwa sprowadzają się do stałości warunków. Nawet jeśli weźmiemy za przykład czarno-białe kule w ciemnym worku: kiedy zostanie wylosowana jedna kula, zmienia się stosunek liczby i kolorów kul w worku, co oznacza, że zmienia się również samo prawdopodobieństwo.
Jeśli jednak nasze warunki są stałe, możemy dokładnie określić prawdopodobieństwo wymagane od nas, że zdarzenie A wystąpi dokładnie k razy z n możliwych.
Jacob Bernoulli zebrał ten fakt w twierdzenie, które później zaczęto nazywać jego imieniem. „Twierdzenie Bernoulliego” jest jednym z głównych twierdzeń teorii prawdopodobieństwa. Po raz pierwszy została opublikowana w pracy J. Bernoulliego „Sztuka założeń”. Co to jest twierdzenie? „Jeżeli prawdopodobieństwo p zajścia zdarzenia A w każdej próbie jest stałe, to prawdopodobieństwo Pk,n, że zdarzenie zajdzie k razy w n niezależnych od siebie próbach, wynosi: , gdzie q=1-p .”
Można przytoczyć problemy w celu udowodnienia skuteczności formuły.
Zadanie 1:
Z n szklanych słoików k pęka w ciągu miesiąca przechowywania. Wzięliśmy losowo m puszek. Znajdź prawdopodobieństwo, że wśród tych puszek l nie stłuką się. n=250, k=10, m=8,l=4.
Rozwiązanie: Mamy schemat Bernoulliego o wartościach:
p=10/250=0,04 (prawdopodobieństwo stłuczenia słoików);
n=8 (liczba prób);
k=8-4=4 (liczba rozbitych puszek).
Korzystamy ze wzoru Bernoulliego
Dostał:
Odpowiedź: 0,0141
Zadanie nr 2:
Prawdopodobieństwo wytworzenia wadliwego produktu w produkcji wynosi 0,2. Znajdź prawdopodobieństwo, że z 10 produktów wytworzonych w tym zakładzie dokładnie k będzie w dobrym stanie. Rozwiąż dla k = 0, 1, 10.
Interesuje nas zdarzenie A - produkcja części nadających się do użytku, które zdarza się raz na godzinę z prawdopodobieństwem p=1-0,2=0,8. Musimy znaleźć prawdopodobieństwo, że to zdarzenie wydarzy się k razy. Przeciwieństwem zdarzenia A jest zdarzenie „nie A”, tj. wytworzenia wadliwego produktu.
Zatem mamy: n=10; p=0,8; q=0,2.
W rezultacie wyznaczymy prawdopodobieństwo, że na 10 wyprodukowanych produktów wszystkie są wadliwe (k=0), że jeden produkt jest sprawny (k=1), że w ogóle nie ma wadliwych (k=10):
Podsumowując, chciałbym zauważyć, że w dzisiejszych czasach wielu naukowców próbuje udowodnić, że „formuła Bernoulliego” nie odpowiada prawom natury i że problemy można rozwiązać bez jej stosowania. Oczywiście jest to możliwe, większość problemów teorii prawdopodobieństwa można rozwiązać bez wzoru Bernoulliego, najważniejsze jest, aby nie pomylić się w dużych ilościach liczb.
Link bibliograficzny
Khomutova E.A., Kalinichenko V.A. FORMUŁA BERNOULLIEGO W TEORII PRAWDOPODOBNOŚCI // Międzynarodowy Studencki Biuletyn Naukowy. – 2015 r. – nr 3-4.;Adres URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=14141 (data dostępu: 12.03.2019). Zwracamy uwagę na czasopisma wydawane przez wydawnictwo „Akademia Nauk Przyrodniczych”
Definicja powtarzanych niezależnych testów. Wzory Bernoulliego na obliczanie prawdopodobieństwa i najbardziej prawdopodobnej liczby. Wzory asymptotyczne na wzór Bernoulliego (lokalne i całkowe, twierdzenia Laplace'a). Korzystanie z twierdzenia całkowego. Wzór Poissona na mało prawdopodobne zdarzenia losowe.
Powtarzane niezależne testy
W praktyce mamy do czynienia z zadaniami, które można przedstawić w postaci wielokrotnie powtarzanych testów, w wyniku których zdarzenie A może, ale nie musi, wystąpić. Interesujący jest w tym przypadku nie wynik każdej pojedynczej próby, ale łączna liczba wystąpień zdarzenia A w wyniku określonej liczby prób.W takich problemach trzeba umieć określić prawdopodobieństwo wystąpienia dowolna liczba m wystąpień zdarzenia A w wyniku n prób. Rozważmy przypadek, gdy próby są niezależne, a prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A w każdej próbie jest stałe. Próby takie nazywane są powtarzane niezależnie.
Przykładem niezależnych badań jest sprawdzenie przydatności produktów pobranych pojedynczo z kilku partii. Jeżeli procent wad w tych partiach jest taki sam, to prawdopodobieństwo, że wybrany produkt będzie wadliwy, jest w każdym przypadku liczbą stałą.
Wzór Bernoulliego
Skorzystajmy z koncepcji złożone wydarzenie, co oznacza kombinację kilku zdarzeń elementarnych polegającą na pojawieniu się lub niewystąpieniu zdarzenia A w i-tej próbie. Niech zostanie przeprowadzonych n niezależnych prób, w których każde zdarzenie A może albo wystąpić z prawdopodobieństwem p, albo nie wystąpić z prawdopodobieństwem q=1-p. Rozważmy zdarzenie B_m, które oznacza, że zdarzenie A wystąpi dokładnie m razy w tych n próbach, a zatem nie wystąpi dokładnie (n-m) razy. Oznaczmy A_i~(i=1,2,\ldots,(n)) wystąpienie zdarzenia A, a \overline(A)_i - brak wystąpienia zdarzenia A w i-tej próbie. Ze względu na stałość warunków testowych mamy
Zdarzenie A może wystąpić m razy w różnych sekwencjach lub kombinacjach, na przemian ze zdarzeniem przeciwnym \overline(A) . Liczba możliwych kombinacji tego rodzaju jest równa liczbie kombinacji n elementów na m, czyli C_n^m. W konsekwencji zdarzenie B_m można przedstawić jako sumę zdarzeń złożonych, które są ze sobą niespójne, a liczba wyrazów jest równa C_n^m:
B_m=A_1A_2\cdots(A_m)\overline(A)_(m+1)\cdots\overline(A)_n+\cdots+\overline(A)_1\overline(A)_2\cdots\overline(A)_( n-m)A_(n-m+1)\cdots(A_n),
gdzie każdy produkt zawiera zdarzenie A m razy i \overline(A) - (n-m) razy.
Prawdopodobieństwo każdego zdarzenia złożonego zawartego we wzorze (3.1), zgodnie z twierdzeniem o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych, wynosi p^(m)q^(n-m) . Ponieważ całkowita liczba takich zdarzeń jest równa C_n^m, to korzystając z twierdzenia o dodawaniu prawdopodobieństw zdarzeń niezgodnych, otrzymujemy prawdopodobieństwo zdarzenia B_m (oznaczamy je P_(m,n))
P_(m,n)=C_n^mp^(m)q^(n-m)\quad \text(lub)\quad P_(m,n)=\frac(n{m!(n-m)!}p^{m}q^{n-m}. !}
Nazywa się wzór (3.2). Wzór Bernoulliego, a powtarzane próby spełniające warunek niezależności i stałości prawdopodobieństw wystąpienia zdarzenia A w każdym z nich nazywane są Testy Bernoulliego lub schemat Bernoulliego.
Przykład 1. Prawdopodobieństwo przekroczenia strefy tolerancji podczas obróbki części na tokarce wynosi 0,07. Określ prawdopodobieństwo, że z pięciu losowo wybranych podczas zmiany części jedna będzie miała wymiary średnicy niezgodne z określoną tolerancją.
Rozwiązanie. Stan zadania spełnia wymagania schematu Bernoulliego. Dlatego zakładając n=5,\,m=1,\,p=0,\!07, korzystając ze wzoru (3.2) otrzymujemy
P_(1,5)=C_5^1(0,\!07)^(1)(0,\!93)^(5-1)\około0,\!262.
Przykład 2. Obserwacje wykazały, że na pewnym obszarze we wrześniu jest 12 dni deszczowych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że spośród 8 losowo wybranych w tym miesiącu dni 3 będą deszczowe?
Rozwiązanie.
P_(3;8)=C_8^3(\lewo(\frac(12)(30)\prawo)\^3{\left(1-\frac{12}{30}\right)\!}^{8-3}=\frac{8!}{3!(8-3)!}{\left(\frac{2}{5}\right)\!}^3{\left(\frac{3}{5}\right)\!}^5=56\cdot\frac{8}{125}\cdot\frac{243}{3125}=\frac{108\,864}{390\,625}\approx0,\!2787. !}
Najbardziej prawdopodobna liczba wystąpień zdarzenia
Najbardziej prawdopodobna data wystąpienia zdarzenie A w n niezależnych próbach nazywa się taką liczbą m_0, dla której prawdopodobieństwo odpowiadające tej liczbie jest większe lub co najmniej nie mniejsze niż prawdopodobieństwo każdej z pozostałych możliwych liczb wystąpienia zdarzenia A. Aby wyznaczyć najbardziej prawdopodobną liczbę, nie trzeba obliczać prawdopodobieństw możliwej liczby wystąpień zdarzenia, wystarczy znać liczbę prób n i prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A w osobnej próbie. Oznaczmy P_(m_0,n) prawdopodobieństwo odpowiadające najbardziej prawdopodobnej liczbie m_0. Korzystając ze wzoru (3.2) piszemy
P_(m_0,n)=C_n^(m_0)p^(m_0)q^(n-m_0)=\frac(n{m_0!(n-m_0)!}p^{m_0}q^{n-m_0}. !}
Zgodnie z definicją liczby najbardziej prawdopodobnej prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia A odpowiednio m_0+1 i m_0-1 razy nie mogą przekraczać prawdopodobieństwa P_(m_0,n), tj.
P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0+1,n));\quad P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0-1,n))
Podstawiając do nierówności wartość P_(m_0,n) oraz wyrażenia prawdopodobieństwa P_(m_0+1,n) i P_(m_0-1,n) otrzymujemy
Rozwiązując te nierówności dla m_0, otrzymujemy
M_0\geqslant(np-q),\quad m_0\leqslant(np+p)
Łącząc ostatnie nierówności otrzymujemy nierówność podwójną, która służy do wyznaczenia najbardziej prawdopodobnej liczby:
Np-q\leqslant(m_0)\leqslant(np+p).
Ponieważ długość przedziału określonego nierównością (3.4) jest równa jedności, tj.
(np+p)-(np-q)=p+q=1,
a zdarzenie może wystąpić w n próbach tylko całkowitą liczbę razy, to należy pamiętać, że:
1) jeśli np-q jest liczbą całkowitą, to istnieją dwie wartości najbardziej prawdopodobnej liczby, a mianowicie: m_0=np-q i m"_0=np-q+1=np+p ;
2) jeżeli np-q jest liczbą ułamkową, to istnieje jedna liczba najbardziej prawdopodobna, a mianowicie: jedyna liczba całkowita zawarta pomiędzy liczbami ułamkowymi otrzymanymi z nierówności (3.4);
3) jeśli np jest liczbą całkowitą, to istnieje jedna najbardziej prawdopodobna liczba, a mianowicie: m_0=np.
W przypadku dużych wartości n niewygodne jest stosowanie wzoru (3.3) do obliczenia prawdopodobieństwa odpowiadającego najbardziej prawdopodobnej liczbie. Jeśli podstawimy wzór Stirlinga do równości (3.3)
N!\około(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))),
obowiązuje dla dostatecznie dużego n i przyjmujemy najbardziej prawdopodobną liczbę m_0=np, wówczas otrzymujemy wzór na przybliżone obliczenie prawdopodobieństwa odpowiadającego najbardziej prawdopodobnej liczbie:
P_(m_0,n)\około\frac(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))\,p^(np)q^(nq))((np)^(np) e^(-np)\sqrt(2\pi(np))\,(nq)^(nq)e^(-nq)\sqrt(2\pi(nq)))=\frac(1)(\ sqrt(2\pi(npq)))=\frac(1)(\sqrt(2\pi)\sqrt(npq)).
Przykład 2. Wiadomo, że \frac(1)(15) część wyrobów dostarczanych przez zakład do bazy handlowej nie spełnia wszystkich wymagań normy. Do bazy dostarczono partię liczącą 250 szt. Znajdź najbardziej prawdopodobną liczbę produktów spełniających wymagania normy i oblicz prawdopodobieństwo, że w tej partii będzie znajdować się najbardziej prawdopodobna liczba produktów.
Rozwiązanie. Według warunku n=250,\,q=\frac(1)(15),\,p=1-\frac(1)(15)=\frac(14)(15). Zgodnie z nierównością (3.4) mamy
250\cdot\frac(14)(15)-\frac(1)(15)\leqslant(m_0)\leqslant250\cdot\frac(14)(15)+\frac(1)(15)
Gdzie 233,\!26\leqslant(m_0)\leqslant234,\!26. W związku z tym najbardziej prawdopodobna liczba wyrobów spełniających wymagania normy w partii 250 szt. równa się 234. Podstawiając dane do wzoru (3.5) obliczamy prawdopodobieństwo posiadania najbardziej prawdopodobnej liczby produktów w partii:
P_(234250)\około\frac(1)(\sqrt(2\pi\cdot250\cdot\frac(14)(15)\cdot\frac(1)(15)))\około0,\!101
Lokalne twierdzenie Laplace'a
Bardzo trudno jest zastosować wzór Bernoulliego dla dużych wartości n. Na przykład, jeśli n=50,\,m=30,\,p=0,\!1, to aby znaleźć prawdopodobieństwo P_(30,50) należy obliczyć wartość wyrażenia
P_(30,50)=\frac(50{30!\cdot20!}\cdot(0,\!1)^{30}\cdot(0,\!9)^{20} !}
Naturalnie pojawia się pytanie: czy można obliczyć prawdopodobieństwo odsetek bez korzystania ze wzoru Bernoulliego? Okazuje się, że jest to możliwe. Lokalne twierdzenie Laplace'a podaje wzór asymptotyczny, który pozwala nam w przybliżeniu znaleźć prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzeń dokładnie m razy w n próbach, jeśli liczba prób jest wystarczająco duża.
Twierdzenie 3.1. Jeżeli prawdopodobieństwo p wystąpienia zdarzenia A w każdej próbie jest stałe i różne od zera i jedności, to prawdopodobieństwo P_(m,n), że zdarzenie A wystąpi dokładnie m razy w n próbach, jest w przybliżeniu równe (im dokładniejsze, większe n) do wartości funkcji
Y=\frac(1)(\sqrt(npq))\frac(e^(-x^2/2))(\sqrt(2\pi))=\frac(\varphi(x))(\sqrt (npq)) Na .
Istnieją tabele zawierające wartości funkcji \varphi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-x^2/2)), odpowiadające dodatnim wartościom argumentu x. Dla ujemnych wartości argumentu stosuje się te same tabele, ponieważ funkcja \varphi(x) jest parzysta, tj. \varphi(-x)=\varphi(x).
Zatem w przybliżeniu prawdopodobieństwo, że zdarzenie A wystąpi dokładnie m razy w n próbach, wynosi
P_(m,n)\około\frac(1)(\sqrt(npq))\,\varphi(x), Gdzie x=\frac(m-np)(\sqrt(npq)).
Przykład 3. Znajdź prawdopodobieństwo, że zdarzenie A wystąpi dokładnie 80 razy w 400 próbach, jeśli prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A w każdej próbie wynosi 0,2.
Rozwiązanie. Według warunku n=400,\,m=80,\,p=0,\!2,\,q=0,\!8. Skorzystajmy z asymptotycznego wzoru Laplace'a:
P_(80 400)\około\frac(1)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8))\,\varphi(x)=\frac(1)(8)\,\varphi (X).
Obliczmy wartość x wyznaczoną przez dane zadania:
X=\frac(m-np)(\sqrt(npq))=\frac(80-400\cdot0,\!2)(8)=0.
Zgodnie z tabelą przym. 1 znajdujemy \varphi(0)=0,\!3989. Wymagane prawdopodobieństwo
P_(80,100)=\frac(1)(8)\cdot0,\!3989=0,\!04986.
Wzór Bernoulliego prowadzi w przybliżeniu do tego samego wyniku (obliczenia pominięto ze względu na ich uciążliwość):
P_(80,100)=0,\!0498.
Twierdzenie całkowe Laplace'a
Załóżmy, że przeprowadza się n niezależnych prób, w każdej z których prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A jest stałe i równe p. Należy obliczyć prawdopodobieństwo P_((m_1,m_2),n), że zdarzenie A pojawi się w n próbach co najmniej m_1 i co najwyżej m_2 razy (dla uproszczenia powiemy „od m_1 do m_2 razy”). Można to zrobić za pomocą twierdzenia całkowego Laplace'a.
Twierdzenie 3.2. Jeżeli prawdopodobieństwo p wystąpienia zdarzenia A w każdej próbie jest stałe i różne od zera i jedności, to w przybliżeniu prawdopodobieństwo P_((m_1,m_2),n) to zdarzenie A wystąpi w próbach od m_1 do m_2 razy,
P_((m_1,m_2),n)\około\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2) \,dx, Gdzie .
Przy rozwiązywaniu problemów wymagających zastosowania twierdzenia całkowego Laplace'a stosuje się specjalne tabele, ponieważ całka nieoznaczona \int(e^(-x^2/2)\,dx) nie wyraża się za pomocą funkcji elementarnych. Integralny stół \Phi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(0)^(x)e^(-z^2/2)\,dz podane w załączniku. 2, gdzie wartości funkcji \Phi(x) podane są dla dodatnich wartości x, dla x<0 используют ту же таблицу (функция \Phi(x) нечетна, т. е. \Phi(-x)=-\Phi(x) ). Таблица содержит значения функции \Phi(x) лишь для x\in ; для x>5 możemy przyjąć \Phi(x)=0,\!5 .
Zatem w przybliżeniu prawdopodobieństwo, że zdarzenie A pojawi się w n niezależnych próbach od m_1 do m_2 razy, wynosi
P_((m_1,m_2),n)\około\Phi(x"")-\Phi(x"), Gdzie x"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq));~x""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq)).
Przykład 4. Prawdopodobieństwo, że część została wyprodukowana niezgodnie z normami, wynosi p=0,\!2. Znajdź prawdopodobieństwo, że wśród 400 losowo wybranych części znajdzie się od 70 do 100 części niestandardowych.
Rozwiązanie. Według warunku p=0,\!2,\,q=0,\!8,\,n=400,\,m_1=70,\,m_2=100. Skorzystajmy z twierdzenia całkowego Laplace'a:
P_((70,100),400)\około\Phi(x"")-\Phi(x").
Obliczmy granice całkowania:
niżej
X"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=\frac(70-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8)) =-1,\!25,
górny
X""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=\frac(100-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8) )=2,\!5,
Zatem
P_((70,100),400)\około\Phi(2,\!5)-\Phi(-1,\!25)=\Phi(2,\!5)+\Phi(1,\!25) .
Według tabeli przym. 2 znajdziemy
\Phi(2,\!5)=0,\!4938;~~~~~\Phi(1,\!25)=0,\!3944.
Wymagane prawdopodobieństwo
P_((70,100),400)=0,\!4938+0,\!3944=0,\!8882.
Zastosowanie twierdzenia całkowego Laplace'a
Jeżeli liczba m (liczba wystąpień zdarzenia A w n niezależnych próbach) zmieni się z m_1 na m_2, to ułamek \frac(m-np)(\sqrt(npq)) będzie się różnić od \frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=x" zanim \frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=x"". Dlatego twierdzenie całkowe Laplace'a można również zapisać w następujący sposób:
P\left\(x"\leqslant\frac(m-np)(\sqrt(npq))\leqslant(x"")\right\)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\ int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2)\,dx.
Postawmy sobie zadanie znalezienia prawdopodobieństwa, że odchylenie częstotliwości względnej \frac(m)(n) od stałego prawdopodobieństwa p w wartości bezwzględnej nie przekroczy zadanej liczby \varepsilon>0. Innymi słowy, znajdujemy prawdopodobieństwo nierówności \left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon, czyli to samo -\varepsilon\leqslant\frac(m)(n)-p\leqslant\varepsilon. Prawdopodobieństwo to będziemy oznaczać następująco: P\left\(\left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\). Uwzględniając wzór (3.6) na to prawdopodobieństwo otrzymujemy
P\left\(\left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\)\około2\Phi\left(\varepsilon\,\sqrt(\frac(n)(pq ))\Prawidłowy).
Przykład 5. Prawdopodobieństwo, że część jest niestandardowa wynosi p=0,\!1. Znajdź prawdopodobieństwo, że wśród losowo wybranych 400 części względna częstotliwość występowania części niestandardowych będzie odbiegać od prawdopodobieństwa p=0,\!1 w wartości bezwzględnej o nie więcej niż 0,03.
Rozwiązanie. Według warunku n=400,\,p=0,\!1,\,q=0,\!9,\,\varepsilon=0,\!03. Musimy znaleźć prawdopodobieństwo P\left\(\left|\frac(m)(400)-0,\!1\right|\leqslant0,\!03\right\). Korzystając ze wzoru (3.7) otrzymujemy
P\left\(\left|\frac(m)(400)-0,\!1\right|\leqslant0,\!03\right\)\około2\Phi\left(0,\!03\sqrt( \frac(400)(0,\!1\cdot0,\!9))\right)=2\Phi(2)
Według tabeli przym. 2 znajdujemy \Phi(2)=0,\!4772 , zatem 2\Phi(2)=0,\!9544 . Zatem pożądane prawdopodobieństwo wynosi w przybliżeniu 0,9544. Znaczenie wyniku jest następujące: jeśli weźmie się odpowiednio dużą liczbę próbek po 400 części każda, to w około 95,44% tych próbek odchylenie częstotliwości względnej od stałego prawdopodobieństwa p=0.\!1 w wartości bezwzględnej wartość nie przekroczy 0,03.
Wzór Poissona na zdarzenia mało prawdopodobne
Jeżeli prawdopodobieństwo p wystąpienia zdarzenia w pojedynczej próbie jest bliskie zeru, to nawet przy dużej liczbie prób n, ale przy małej wartości iloczynu np, wartości prawdopodobieństwa P_(m,n) otrzymane ze wzoru Laplace’a nie są wystarczająco dokładne i pojawia się potrzeba opracowania innego wzoru przybliżonego.
Twierdzenie 3.3. Jeżeli prawdopodobieństwo p wystąpienia zdarzenia A w każdej próbie jest stałe, ale małe, liczba niezależnych prób n jest wystarczająco duża, ale wartość iloczynu np=\lambda pozostaje mała (nie większa niż dziesięć), to prawdopodobieństwo że zdarzenie A wystąpi m razy w tych próbach
P_(m,n)\około\frac(\lambda^m)(m\,e^{-\lambda}. !}
Aby uprościć obliczenia za pomocą wzoru Poissona, opracowano tabelę wartości funkcji Poissona \frac(\lambda^m)(m\,e^{-\lambda} !}(patrz załącznik 3).
Przykład 6. Niech prawdopodobieństwo wyprodukowania niestandardowej części będzie wynosić 0,004. Znajdź prawdopodobieństwo, że wśród 1000 części znajdzie się 5 niestandardowych.
Rozwiązanie. Tutaj n=1000,p=0,004,~\lambda=np=1000\cdot0,\!004=4. Wszystkie trzy liczby spełniają wymagania Twierdzenia 3.3, dlatego aby znaleźć prawdopodobieństwo pożądanego zdarzenia P_(5,1000), korzystamy ze wzoru Poissona. Z tabeli wartości funkcji Poissona (Załącznik 3) z \lambda=4;m=5 otrzymujemy P_(5,1000)\około0,\!1563.
Znajdźmy prawdopodobieństwo tego samego zdarzenia, korzystając ze wzoru Laplace'a. Aby to zrobić, najpierw obliczamy wartość x odpowiadającą m=5:
X=\frac(5-1000\cdot0,\!004)(\sqrt(1000\cdot0,\!004\cdot0,\!996))\około\frac(1)(1,\!996)\około0 ,\!501.
Zatem zgodnie ze wzorem Laplace’a pożądane prawdopodobieństwo
P_(5,1000)\około\frac(\varphi(0,\!501))(1,\!996)\około\frac(0,\!3519)(1,\!996)\około0,\ !1763
i zgodnie ze wzorem Bernoulliego jego dokładna wartość wynosi
P_(5,1000)=C_(1000)^(5)\cdot0,\!004^5\cdot0,\!996^(995)\około0,\!1552.
Zatem błąd względny w obliczaniu prawdopodobieństw P_(5,1000) przy użyciu przybliżonego wzoru Laplace'a wynosi
\frac(0,\!1763-0,\!1552)(0,\!1552)\około0,\!196 lub 13.\!6\%
i zgodnie ze wzorem Poissona -
\frac(0,\!1563-0,\!1552)(0,\!1552)\około0,\!007, lub 0.\!7\%
Czyli wielokrotnie mniej.
Przejdź do następnej sekcji
Jednowymiarowe zmienne losowe JavaScript jest wyłączony w Twojej przeglądarce.
Aby wykonać obliczenia, musisz włączyć kontrolki ActiveX!
Przeprowadźmy n testów dotyczących zdarzenia A. Przedstawmy zdarzenia: Ak - zdarzenie A miało miejsce podczas k-tej próby, $ k=1,2,\dots , n$. Wtedy $\bar(A)_(k) $ jest zdarzeniem odwrotnym (zdarzenie A nie zaszło podczas k-tej próby, $k=1,2,\dots , n$).
Co to są testy jednorodne i niezależne?
Definicja
Testy mówimy, że są tego samego typu w odniesieniu do zdarzenia A, jeśli prawdopodobieństwa zdarzeń $A1, A2, \dots , Аn$ pokrywają się: $P(A1)=P(A2)= \dots =P(An)$ (tj. prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzeń A w jednej próbie jest stałe we wszystkich próbach).
Oczywiście w tym przypadku prawdopodobieństwa zdarzeń przeciwnych również się pokrywają: $P(\bar(A)_(1))=P(\bar(A)_(2))=...=P(\bar(A ) _(n))$.
Definicja
Testy nazywamy niezależnymi w odniesieniu do zdarzenia A, jeżeli zdarzenia $A1, A2, \dots, Аn$ są niezależne.
W tym przypadku
W tym przypadku równość zostaje zachowana, gdy dowolne zdarzenie Аk zostanie zastąpione przez $\bar(A)_(k) $.
Niech zostanie przeprowadzona seria n niezależnych testów tego samego typu w odniesieniu do zdarzenia A. Stosujemy następującą notację: p – prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A w jednej próbie; q jest prawdopodobieństwem zdarzenia odwrotnego. Zatem P(Ak)=p, $P(\bar(A)_(k))=q$ dla dowolnego k i p+q=1.
Prawdopodobieństwo, że w ciągu n prób zdarzenie A wystąpi dokładnie k razy (0 ≤ k ≤ n) oblicza się ze wzoru:
$P_(n) (k)=C_(n)^(k) p^(k) q^(n-k) $ (1)
Równość (1) nazywa się wzorem Bernoulliego.
Prawdopodobieństwo, że w ciągu n identycznych niezależnych prób zdarzenie A wystąpi co najmniej k1 razy i nie więcej niż k2 razy oblicza się ze wzoru:
$P_(n) (k_(1) \le k\le k_(2))=\suma \limits _(k=k_(1) )^(k_(2) )C_(n)^(k) p ^(k) q^(n-k) $ (2)
Stosowanie wzoru Bernoulliego dla dużych wartości n prowadzi do uciążliwych obliczeń, dlatego w takich przypadkach lepiej jest zastosować inne wzory – asymptotyczne.
Uogólnienie schematu Bernoulliego
Rozważmy uogólnienie schematu Bernoulliego. Jeśli w serii n niezależnych prób, z których każda ma m par niekompatybilnych i możliwych wyników Ak z odpowiednimi prawdopodobieństwami Pk = pk(Ak). Wtedy obowiązuje wzór na rozkład wielomianowy:
Przykład 1
Prawdopodobieństwo zarażenia się grypą w czasie epidemii wynosi 0,4. Znajdź prawdopodobieństwo, że spośród 6 pracowników firmy zachoruje
- dokładnie 4 pracowników;
- nie więcej niż 4 pracowników.
Rozwiązanie. 1) Oczywiście do rozwiązania tego problemu można zastosować wzór Bernoulliego, gdzie n=6; k=4; p=0,4; q=1-р=0,6. Stosując wzór (1) otrzymujemy: $P_(6) (4)=C_(6)^(4) \cdot 0,4^(4) \cdot 0,6^(2) \około 0,138$.
Do rozwiązania tego problemu można zastosować wzór (2), gdzie k1=0 i k2=4. Mamy:
\[\begin(array)(l) (P_(6) (0\le k\le 4)=\suma \limits _(k=0)^(4)C_(6)^(k) p^( k) q^(6-k) =C_(6)^(0) \cdot 0,4^(0) \cdot 0,6^(6) +C_(6)^(1) \cdot 0,4 ^(1) \cdot 0,6^(5) +C_(6)^(2) \cdot 0,4^(2) \cdot 0,6^(4) +) \\ (+C_(6) ^(3) \cdot 0,4^(3) \ cdot 0,6^(3) +C_(6)^(4) \cdot 0,4^(4) \cdot 0,6^(2) \ około 0,959.) \end(array)\]
Należy zaznaczyć, że problem ten łatwiej rozwiązać stosując zdarzenie odwrotne – zachorowało ponad 4 pracowników. Następnie, biorąc pod uwagę wzór (7) na prawdopodobieństwa zdarzeń przeciwnych, otrzymujemy:
Odpowiedź: $\$0,959.
Przykład 2
W urnie znajduje się 20 kul białych i 10 czarnych. Wyjmujemy 4 kule i każdą usuniętą kulę wrzucamy z powrotem do urny, po czym wyjmujemy następną i mieszamy kule w urnie. Znajdź prawdopodobieństwo, że spośród czterech wylosowanych kul będą 2 białe (rysunek 1).
Obrazek 1.
Rozwiązanie. Niech zdarzeniem A będzie wyjęcie białej kuli. Następnie prawdopodobieństwa $D (A)=\frac(2)(3) ,\, \, D (\overline(A))=1-\frac(2)(3) =\frac(1)(3) $ .
Zgodnie ze wzorem Bernoulliego wymagane prawdopodobieństwo wynosi $D_(4) (2)=N_(4)^(2) \left(\frac(2)(3) \right)^(2) \left(\ frac(1)( 3) \right)^(2) =\frac(8)(27) $.
Odpowiedź: $\frac(8)(27) $.
Przykład 3
Oblicz prawdopodobieństwo, że w rodzinie pięciorga dzieci nie będzie więcej niż trzech dziewczynek. Zakłada się, że prawdopodobieństwo urodzenia chłopca i dziewczynki jest takie samo.
Rozwiązanie. Prawdopodobieństwo urodzenia dziewczynki $\partial =\frac(1)(2) ,\, q=\frac(1)(2) $ to prawdopodobieństwo posiadania chłopca. W rodzinie są nie więcej niż trzy dziewczynki, co oznacza, że urodziła się jedna, dwie lub trzy dziewczynki, albo też rodzina składa się wyłącznie z chłopców.
Znajdźmy prawdopodobieństwo, że w rodzinie nie ma dziewcząt, urodziła się jedna, dwie lub trzy dziewczynki: $D_(5) (0)=q^(5) =\frac(1)(32) $,
\ \ \
Zatem pożądane prawdopodobieństwo $D =D_(5) (0)+D_(5) (1)+D_(5) (2)+D_(5) (3)=\frac(13)(16) $.
Odpowiedź: $\frac(13)(16) $.
Przykład 4
Pierwszy strzelec jednym strzałem może trafić w pierwszą dziesiątkę z prawdopodobieństwem 0,6, dziewięć z prawdopodobieństwem 0,3, a ósemkę z prawdopodobieństwem 0,1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy pomocy 10 strzałów trafi sześć razy do pierwszej dziesiątki, trzy razy do dziewięciu, a raz do ośmiu?
Krótka teoria
Teoria prawdopodobieństwa zajmuje się eksperymentami, które można powtarzać (przynajmniej teoretycznie) nieograniczoną liczbę razy. Niech jakiś eksperyment zostanie powtórzony raz, a wyniki każdego powtórzenia nie będą zależeć od wyników poprzednich powtórzeń. Takie serie powtórzeń nazywane są niezależnymi próbami. Szczególnym przypadkiem takich testów są niezależne testy Bernoulliego, które charakteryzują się dwoma warunkami:
1) wynikiem każdego testu jest jeden z dwóch możliwych wyników, zwanych odpowiednio „sukcesem” lub „porażką”.
2) prawdopodobieństwo „sukcesu” w każdym kolejnym teście nie zależy od wyników poprzednich testów i pozostaje stałe.
Twierdzenie Bernoulliego
Jeżeli przeprowadza się serię niezależnych prób Bernoulliego, w których „sukces” pojawia się z prawdopodobieństwem , to prawdopodobieństwo, że „sukces” pojawi się dokładnie raz w próbach, wyraża się wzorem:
gdzie jest prawdopodobieństwo „porażki”.
– liczba kombinacji elementów według (patrz podstawowe wzory kombinatoryki)
Ta formuła nazywa się Wzór Bernoulliego.
Wzór Bernoulliego pozwala pozbyć się dużej liczby obliczeń – dodawania i mnożenia prawdopodobieństw – przy odpowiednio dużej liczbie testów.
Schemat testu Bernoulliego nazywany jest również schematem dwumianowym, a odpowiadające mu prawdopodobieństwa nazywane są dwumianowym, co wiąże się z zastosowaniem współczynników dwumianowych.
Rozkład według schematu Bernoulliego pozwala w szczególności znaleźć najbardziej prawdopodobną liczbę wystąpień zdarzenia.
Jeśli liczba testów N jest duży, użyj:
Przykład rozwiązania problemu
Zadanie
Szybkość kiełkowania niektórych nasion roślin wynosi 70%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że z 10 wysianych nasion: 8, co najmniej 8; przynajmniej 8?
Rozwiązanie problemu
Skorzystajmy ze wzoru Bernoulliego:
W naszym przypadku
Niech stanie się tak, że z 10 nasion 8 wykiełkuje:
Niech wydarzenie będzie wynosić co najmniej 8 (czyli 8, 9 lub 10)
Niech wydarzenie wzrośnie co najmniej 8 (to znaczy 8,9 lub 10)
Odpowiedź
Przeciętny koszt rozwiązania testu wynosi 700 - 1200 rubli (ale nie mniej niż 300 rubli za całe zamówienie). Na cenę duży wpływ ma pilność decyzji (od jednego dnia do kilku godzin). Koszt pomocy online do egzaminu/testu wynosi od 1000 rubli. za rozwiązanie biletu.
Możesz zostawić prośbę bezpośrednio na czacie, po uprzednim przesłaniu warunków zadań i poinformowaniu Cię o terminach potrzebnego rozwiązania. Czas odpowiedzi to kilka minut.