Och, och, och, och… no cóż, jest ciężko, jakby sam sobie czytał zdanie =) Jednak relaks przyda się później, tym bardziej, że dzisiaj kupiłem odpowiednie akcesoria. Przejdźmy zatem do pierwszej części, mam nadzieję, że do końca artykułu utrzymam pogodny nastrój.
Względne położenie dwóch linii prostych
Dzieje się tak, gdy publiczność śpiewa razem z chórem. Dwie linie proste mogą:
1) mecz;
2) być równoległe: ;
3) lub przecinają się w jednym punkcie: .
Pomoc dla manekinów : proszę pamiętaj znak matematyczny skrzyżowaniach, będzie to zdarzać się bardzo często. Oznaczenie oznacza, że linia przecina się z linią w punkcie .
Jak określić względne położenie dwóch linii?
Zacznijmy od pierwszego przypadku:
Dwie linie pokrywają się wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające im współczynniki są proporcjonalne, czyli istnieje liczba „lambda”, która spełnia równość
Rozważmy linie proste i utwórz trzy równania z odpowiednich współczynników: . Z każdego równania wynika, że zatem te linie się pokrywają.
Rzeczywiście, jeśli wszystkie współczynniki równania 
pomnóż przez –1 (zmień znak) i wszystkie współczynniki równania 
po przecięciu przez 2 otrzymasz to samo równanie: .
Drugi przypadek, gdy linie są równoległe:
Dwie linie są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki zmiennych są proporcjonalne: 
, Ale.
Jako przykład rozważmy dwie linie proste. Sprawdzamy proporcjonalność odpowiednich współczynników dla zmiennych: 
Jednakże jest to całkiem oczywiste.
I trzeci przypadek, gdy linie się przecinają:
Dwie linie przecinają się wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki zmiennych NIE są proporcjonalne, czyli NIE ma takiej wartości „lambda”, aby równości były spełnione 
Zatem dla prostych stworzymy układ: 
Z pierwszego równania wynika, że , a z drugiego równania: , co oznacza system jest niespójny(brak rozwiązań). Zatem współczynniki zmiennych nie są proporcjonalne.
Wniosek: linie się przecinają
W problemy praktyczne możesz skorzystać z omówionego właśnie schematu rozwiązania. Nawiasem mówiąc, bardzo przypomina algorytm sprawdzania wektorów pod kątem współliniowości, który oglądaliśmy na zajęciach Pojęcie liniowej (nie)zależności wektorów. Baza wektorów. Ale jest bardziej cywilizowane opakowanie:
Przykład 1
Rozwiązać wzajemne porozumienie bezpośredni: 
Rozwiązanie na podstawie badania wektorów kierunku prostych:
a) Z równań znajdujemy wektory kierunkowe linii: 
.
, co oznacza, że wektory nie są współliniowe, a linie przecinają się.
Na wszelki wypadek postawię na skrzyżowaniu kamień z napisami:
Reszta przeskakuje kamień i podąża dalej, prosto do Nieśmiertelnego Kaszczeja =)
b) Znajdź wektory kierunkowe linii: 
Linie mają ten sam wektor kierunkowy, co oznacza, że są równoległe lub pokrywają się. Nie ma tu potrzeby liczenia wyznacznika.
Jest oczywiste, że współczynniki niewiadomych są proporcjonalne, a .
Sprawdźmy, czy równość jest prawdziwa: 
Zatem,
c) Znajdź wektory kierunkowe linii: 
Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych tych wektorów: 
dlatego wektory kierunkowe są współliniowe. Linie są równoległe lub pokrywają się.
Współczynnik proporcjonalności „lambda” można łatwo zobaczyć bezpośrednio ze stosunku współliniowych wektorów kierunkowych. Można to jednak również znaleźć na podstawie współczynników samych równań: 
.
Sprawdźmy teraz, czy równość jest prawdziwa. Obydwa wolne terminy mają wartość zerową, więc:
Otrzymana wartość jest zadowalająca to równanie(na ogół dowolna liczba go spełnia).
W ten sposób linie się pokrywają.
Odpowiedź:
Już wkrótce nauczysz się (a nawet już nauczyłeś się), jak rozwiązać problem omawiany ustnie dosłownie w ciągu kilku sekund. W związku z tym nie widzę sensu oferowania czegokolwiek niezależna decyzja, lepiej położyć kolejną ważną cegłę w geometrycznym fundamencie:
Jak skonstruować prostą równoległą do danej?
Z niewiedzy o tym najprostsze zadanie Słowik Zbójca surowo karze.
Przykład 2
Linię prostą wyznacza równanie. Napisz równanie prostej równoległej przechodzącej przez ten punkt.
Rozwiązanie: Oznaczmy nieznaną linię literą . Co mówi o niej ten stan? Prosta przechodzi przez ten punkt. A jeśli linie są równoległe, to oczywiste jest, że wektor kierunkowy linii prostej „tse” nadaje się również do zbudowania linii prostej „de”.
Wyciągamy wektor kierunkowy z równania:
Odpowiedź:
Przykładowa geometria wygląda prosto: 
Testowanie analityczne składa się z następne kroki:
1) Sprawdzamy, czy proste mają ten sam wektor kierunkowy (jeśli równanie prostej nie zostanie odpowiednio uproszczone, to wektory będą współliniowe).
2) Sprawdź, czy punkt spełnia otrzymane równanie.
W większości przypadków badania analityczne można łatwo przeprowadzić ustnie. Spójrz na te dwa równania, a wielu z Was szybko określi równoległość linii bez żadnego rysunku.
Przykłady samodzielnych rozwiązań będą dziś kreatywne. Bo nadal będziesz musiał konkurować z Babą Jagą, a ona, jak wiadomo, jest miłośniczką wszelkiego rodzaju zagadek.
Przykład 3
Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt równoległy do prostej jeśli
Istnieje racjonalność i nieracjonalność racjonalny sposób rozwiązania. Najkrótsza droga jest na końcu lekcji.
Pracowaliśmy trochę z liniami równoległymi i wrócimy do nich później. Przypadek zbiegających się linii jest mało interesujący, więc rozważmy problem, który jest ci znany program nauczania:
Jak znaleźć punkt przecięcia dwóch linii?
Jeśli prosto 
przecinają się w punkcie , to jego współrzędne są rozwiązaniem układy równań liniowych 
Jak znaleźć punkt przecięcia prostych? Rozwiąż system.
Proszę bardzo znaczenie geometryczne systemy dwójkowe równania liniowe z dwiema niewiadomymi- są to dwie przecinające się (najczęściej) linie na płaszczyźnie.
Przykład 4
Znajdź punkt przecięcia linii
Rozwiązanie: Istnieją dwa sposoby rozwiązania - graficzny i analityczny.
Metoda graficzna polega po prostu na narysowaniu podanych linii i ustaleniu punktu przecięcia bezpośrednio z rysunku: 
Oto nasz punkt widzenia: . Aby to sprawdzić należy podstawić jego współrzędne do każdego równania prostej, powinny pasować zarówno tam, jak i tam. Innymi słowy, współrzędne punktu są rozwiązaniem układu. Zasadniczo przyjrzeliśmy się rozwiązaniu graficznemu układy równań liniowych z dwoma równaniami i dwiema niewiadomymi.
Metoda graficzna nie jest oczywiście zła, ale zauważalne są wady. Nie, nie chodzi o to, że siódmoklasiści tak decydują, chodzi o to, że stworzenie prawidłowego i DOKŁADNEGO rysunku zajmie trochę czasu. Poza tym niektóre linie proste nie są tak łatwe do skonstruowania, a sam punkt przecięcia może znajdować się gdzieś w trzydziestym królestwie poza kartką zeszytu.
Dlatego bardziej celowe jest poszukiwanie punktu przecięcia Metoda analityczna. Rozwiążmy układ: 
Do rozwiązania układu wykorzystano metodę dodawania równań wyraz po wyrazie. Aby rozwinąć odpowiednie umiejętności, weź lekcję Jak rozwiązać układ równań?
Odpowiedź:
Sprawdzenie jest banalne – współrzędne punktu przecięcia muszą spełniać każde równanie układu.
Przykład 5
Znajdź punkt przecięcia prostych, jeśli się przecinają.
To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Wygodnie jest podzielić zadanie na kilka etapów. Analiza warunku sugeruje, że konieczne jest:
1) Zapisz równanie prostej.
2) Zapisz równanie prostej.
3) Znajdź względne położenie linii.
4) Jeśli linie przecinają się, znajdź punkt przecięcia.
Opracowanie algorytmu działania jest typowe dla wielu problemy geometryczne i będę na tym wielokrotnie skupiał uwagę.
Kompletne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji:
Zanim dotarliśmy do drugiej części lekcji, nie zużyła się nawet para butów:
Prostopadłe linie. Odległość punktu od linii.
Kąt pomiędzy liniami prostymi
Zacznijmy od typowego i bardzo ważne zadanie. W pierwszej części nauczyliśmy się budować linię prostą równoległą do tej, a teraz chatka na udkach kurczaka obróci się o 90 stopni:
Jak skonstruować prostą prostopadłą do danej?
Przykład 6
Linię prostą wyznacza równanie. Zapisz równanie prostopadłe do prostej przechodzącej przez ten punkt.
Rozwiązanie: Pod warunkiem wiadomo , że . Byłoby miło znaleźć wektor kierujący linii. Ponieważ linie są prostopadłe, sztuczka jest prosta:
Z równania „usuwamy” wektor normalny: , który będzie wektorem kierującym prostej.
Ułóżmy równanie linii prostej za pomocą punktu i wektora kierunku:
Odpowiedź: 
Rozwińmy szkic geometryczny:
Hmmm... Pomarańczowe niebo, pomarańczowe morze, pomarańczowy wielbłąd.
Analityczna weryfikacja rozwiązania:
1) Wyciągamy wektory kierunkowe z równań 
i z pomocą Iloczyn skalarny wektorów dochodzimy do wniosku, że proste są rzeczywiście prostopadłe: .
Nawiasem mówiąc, możesz użyć normalnych wektorów, jest to jeszcze łatwiejsze.
2) Sprawdź, czy punkt spełnia otrzymane równanie 
.
Test ponownie można łatwo przeprowadzić ustnie.
Przykład 7
Znajdź punkt przecięcia prostych prostopadłych, jeśli równanie jest znane 
i okres.
To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Problem obejmuje kilka działań, dlatego wygodnie jest formułować rozwiązanie punkt po punkcie.
Nasza ekscytująca podróż trwa:
Odległość od punktu do linii
Przed nami prosty pas rzeki i naszym zadaniem jest dotarcie do niego najkrótszą drogą. Nie ma żadnych przeszkód, a najbardziej optymalną trasą będzie poruszanie się po prostopadle. Oznacza to, że odległość punktu od linii to długość odcinka prostopadłego.
Odległość w geometrii jest tradycyjnie oznaczana grecki list„ro”, np.: – odległość punktu „em” od prostej „de”.
Odległość od punktu do linii 
wyrażone wzorem
Przykład 8
Znajdź odległość punktu od linii 
Rozwiązanie: wystarczy ostrożnie podstawić liczby do wzoru i wykonać obliczenia:
Odpowiedź: 
Zróbmy rysunek: 
Znaleziona odległość punktu od linii jest dokładnie równa długości czerwonego odcinka. Jeśli narysujesz rysunek papier w kratkę w skali 1 jednostki. = 1 cm (2 komórki), wówczas odległość można zmierzyć zwykłą linijką.
Rozważmy inne zadanie oparte na tym samym rysunku:
Zadanie polega na znalezieniu współrzędnych punktu, który jest symetryczny względem punktu względem prostej 
. Sugeruję wykonanie kroków samodzielnie, ale przedstawię algorytm rozwiązania z wynikami pośrednimi:
1) Znajdź linię prostopadłą do tej linii.
2) Znajdź punkt przecięcia linii: 
.
Obydwa działania zostały szczegółowo omówione w tej lekcji.
3) Punkt jest środkiem odcinka. Znamy współrzędne środka i jednego z końców. Przez wzory na współrzędne środka odcinka znaleźliśmy .
Dobrze byłoby sprawdzić, czy odległość wynosi również 2,2 jednostki.
W obliczeniach mogą pojawić się tutaj trudności, ale w wieży bardzo pomocny jest mikrokalkulator, pozwalający obliczyć ułamki zwykłe. Doradzałem już wiele razy i będę polecał jeszcze raz.
Jak znaleźć odległość między dwiema równoległymi liniami?
Przykład 9
Znajdź odległość między dwiema równoległymi liniami
To kolejny przykład, który możesz podjąć samodzielnie. Dam ci małą wskazówkę: istnieje nieskończenie wiele sposobów rozwiązania tego problemu. Podsumowanie lekcji na koniec lekcji, ale lepiej spróbować zgadnąć samodzielnie, myślę, że twoja pomysłowość była dobrze rozwinięta.
Kąt między dwiema prostymi
Każdy narożnik jest ościeżem: 
W geometrii za kąt pomiędzy dwiema prostymi przyjmuje się MNIEJSZY kąt, z czego automatycznie wynika, że nie może być rozwarty. Na rysunku kąt wskazany przez czerwony łuk nie jest uważany za kąt pomiędzy przecinającymi się liniami. I jego „zielony” sąsiad lub zorientowany przeciwnie kącik „malinowy”.
Jeśli linie są prostopadłe, to dowolny z 4 kątów można przyjąć jako kąt między nimi.
Czym różnią się kąty? Orientacja. Po pierwsze, kierunek, w którym kąt jest „przewijany”, ma fundamentalne znaczenie. Po drugie, kąt zorientowany negatywnie jest zapisywany znakiem minus, na przykład jeśli .
Dlaczego ci to powiedziałem? Wydaje się, że możemy obejść się przy zwykłym pojęciu kąta. Faktem jest, że we wzorach, za pomocą których znajdziemy kąty, można to łatwo sprawdzić wynik negatywny i nie powinno Cię to zaskoczyć. Kąt ze znakiem minus nie jest gorszy i ma bardzo specyficzne znaczenie geometryczne. Na rysunku dla kąta ujemnego należy wskazać jego orientację strzałką (zgodnie z ruchem wskazówek zegara).
Jak znaleźć kąt między dwiema liniami prostymi? Istnieją dwie działające formuły:
Przykład 10
Znajdź kąt między liniami
Rozwiązanie I Metoda pierwsza
Rozważmy dwie linie proste określone równaniami w postaci ogólnej: 
Jeśli prosto nie prostopadle, To zorientowany Kąt między nimi można obliczyć ze wzoru: 
Zwróćmy szczególną uwagę na mianownik - dokładnie tak produkt skalarny wektory kierujące prostych:
Jeśli , to mianownik wzoru wyniesie zero, a wektory będą ortogonalne, a proste będą prostopadłe. Dlatego też zgłoszono zastrzeżenie dotyczące nieprostopadłości linii prostych w sformułowaniu.
W związku z powyższym wygodnie jest sformalizować rozwiązanie w dwóch etapach:
1) Obliczmy iloczyn skalarny wektorów kierunkowych prostych:
, co oznacza, że linie nie są prostopadłe.
2) Znajdź kąt między prostymi, korzystając ze wzoru:
Używając funkcja odwrotnaŁatwo jest znaleźć sam róg. W tym przypadku używamy nieparzystości arcustangens (patrz. Wykresy i własności funkcji elementarnych):
Odpowiedź: 
W odpowiedzi wskazujemy Dokładna wartość, a także przybliżoną wartość (najlepiej w stopniach i radianach), obliczoną za pomocą kalkulatora.
No cóż, minus, minus, nic wielkiego. Oto ilustracja geometryczna: 
Nic dziwnego, że kąt okazał się mieć negatywną orientację, ponieważ w opisie problemu pierwsza liczba jest linią prostą i właśnie od niej rozpoczęło się „odkręcanie” kąta.
Jeśli naprawdę chcesz uzyskać kąt dodatni, musisz zamienić linie, to znaczy wziąć współczynniki z drugiego równania 
i weź współczynniki z pierwszego równania. Krótko mówiąc, musisz zacząć od bezpośredniego 
.
Państwowy Uniwersytet Techniczny Morski w Petersburgu
Dział Grafika komputerowa i wsparcie informacyjne
LEKCJA 3
ZADANIE PRAKTYCZNE nr 3
Wyznaczanie odległości punktu od prostej.
Odległość punktu od prostej można wyznaczyć wykonując następujące konstrukcje (patrz rys. 1):
· z punktu Z obniżyć prostopadłą do linii prostej A;
· zaznacz punkt DO przecięcie prostopadłej z linią prostą;
zmierzyć długość odcinka KS, którego początkiem jest dany punkt, a końcem zaznaczony punkt przecięcia.
Ryc.1. Odległość punktu od linii.
Podstawą rozwiązywania problemów tego typu jest reguła projekcji prosty kąt: kąt prosty jest rzutowany bez zniekształceń, jeśli przynajmniej jeden z jego boków jest równoległy do płaszczyzny projekcji(tj. zajmuje stanowisko prywatne). Zacznijmy właśnie od takiego przypadku i rozważmy konstrukcje służące do wyznaczania odległości od punktu Z do odcinka linii prostej AB.
W tym zadaniu nie ma przypadków testowych, są natomiast opcje wykonania zadania indywidualne pokazany w tabela1 i tabela2. Rozwiązanie problemu opisano poniżej, a odpowiednie konstrukcje pokazano na rys. 2.
1. Wyznaczanie odległości punktu od danej linii.
Najpierw konstruowane są rzuty punktu i odcinka. Występ A1B1 równolegle do osi X. Oznacza to, że segment AB równolegle do płaszczyzny P2. Jeśli z punktu Z rysuj prostopadle do AB, następnie na płaszczyznę rzutowany jest kąt prosty bez zniekształceń P2. Umożliwia to narysowanie prostopadłej z punktu C2 do projekcji A2B2.
Menu rozwijane Segment rysunku (Rysować- Linia) . Umieść kursor w punkcie C2 i ustaw go jako pierwszy punkt odcinka. Przesuń kursor w kierunku normalnej do segmentu A2B2 i napraw drugi punkt na nim w momencie pojawienia się podpowiedzi Normalny (Prostopadły) . Zaznacz skonstruowany punkt K2. Włącz tryb ORTO(ORTO) , i od razu K2 narysuj pionową linię połączenia, aż przetnie się z rzutem A1B1. Wyznacz punkt przecięcia przez K1. Kropka DO, leżący na segmencie AB, jest punktem przecięcia prostopadłej poprowadzonej z tego punktu Z, z segmentem AB. Zatem odcinek KS jest wymaganą odległością punktu od linii.
Z konstrukcji jasno wynika, że segment KS zajmuje pozycję ogólną i dlatego jego rzuty są zniekształcone. Kiedy mówimy o odległości, zawsze mamy na myśli prawdziwa wartość segmentu, wyrażając dystans. Dlatego musimy znaleźć prawdziwą wartość segmentu K.S., obracając go w określone położenie, np. KS|| P1. Efekt konstrukcji pokazano na rys. 2.
Z konstrukcji pokazanych na ryc. 2 możemy wywnioskować: określone położenie linii (odcinek jest równoległy). P1 Lub P2) pozwala na szybkie zbudowanie rzutów odległości od punktu do prostej, lecz są one zniekształcone.
Ryc.2. Wyznaczanie odległości punktu od danej linii.
2. Wyznaczanie odległości punktu od prostej ogólne stanowisko.
Nie zawsze w środku stan początkowy segment zajmuje określoną pozycję. Ogólnie pozycja początkowa w celu wyznaczenia odległości punktu od prostej wykonuje się następujące konstrukcje:
a) metodą transformacji rysunku przekonwertować odcinek z położenia ogólnego na określone – pozwoli to na zbudowanie rzutów odległościowych (zniekształconych);
b) ponownie stosując metodę przeliczamy odcinek odpowiadający wymaganej odległości na dane położenie - otrzymujemy rzut odległości w wielkości równej rzeczywistej.
Rozważ kolejność konstrukcji, aby określić odległość od punktu A do segmentu w położeniu ogólnym Słońce(ryc. 3).
Przy pierwszym obrocie konieczne jest uzyskanie określonej pozycji segmentu WC. Aby to zrobić w warstwie TMR trzeba połączyć kropki O 2, C2 I A2. Korzystanie z polecenia Zmień-Obróć (Modyfikować – Obracać się) trójkąt В2С2А2 obracać się wokół punktu C2 do pozycji, w której znajduje się nowa projekcja B2*C2 będzie umiejscowiony ściśle poziomo (pkt Z jest nieruchomy, w związku z czym jego nowy rzut pokrywa się z pierwotnym i oznaczeniem C2* I C1* mogą nie być widoczne na rysunku). W efekcie uzyskane zostaną nowe projekcje segmentu B2*C2 i punkty: A2*. Następny z punktów A2* I W 2* przeprowadzane są pionowe i od punktów W 1 I A1 poziome linie komunikacyjne. Przecięcie odpowiednich linii określi położenie punktów nowego rzutu poziomego: odcinka B1*C1 i kropki A1*.
W powstałej konkretnej pozycji możemy skonstruować w tym celu rzuty odległości: od punktu A1* normalne do B1*C1. Punkt ich wzajemnego przecięcia to K1*. Od tego momentu jest to realizowane pionowa linia połączenia, aż przetną się z rzutem B2*C2. Zaznaczony jest punkt K2*. W efekcie otrzymano rzuty segmentu AK, czyli wymagana odległość od punktu A do odcinka linii prostej Słońce.
Następnie należy skonstruować rzuty odległości w stanie początkowym. Aby to zrobić od razu K1* wygodny do przeprowadzenia linia pozioma aż przetnie się z projekcją W1С1 i zaznacz punkt przecięcia K1. Następnie konstruowany jest punkt K2 na rzucie czołowym segmentu i wykonywane są rzuty A1K1 I A2K2. W wyniku konstrukcji uzyskano rzuty odległości, ale zarówno w początkowym, jak i nowym położeniu cząstkowym odcinka słońce, odcinek AK zajmuje pozycję ogólną, a to prowadzi do tego, że wszystkie jego rzuty są zniekształcone.
Na drugim obrocie konieczne jest obrócenie segmentu AK do określonej pozycji, co pozwoli nam określić rzeczywistą wartość odległości - rzut A2*K2**. Wynik wszystkich konstrukcji pokazano na rys. 3.
ZADANIE nr 3-1. Z do linii prostej pozycji prywatnej, dany przez segment AB. Podaj odpowiedź w mm (Tabela 1).Zdejmij soczewki projekcyjne
Tabela 1
ZADANIE nr 3-2. Znajdź rzeczywistą odległość od punktu M do linii prostej w ogólnym położeniu określonym przez odcinek ED. Podaj odpowiedź w mm (Tabela 2).
Tabela 2
Sprawdzenie i zaliczenie wykonanego ZADANIA nr 3.
Określanie odległości
Odległości od punktu do punktu i od punktu do linii
Odległość od punktu do punktu wyznaczana jest przez długość linii prostej łączącej te punkty. Jak pokazano powyżej, problem ten można rozwiązać za pomocą tej metody trójkąt prostokątny lub zastępując płaszczyzny projekcji, przesuwając segment do położenia linii poziomu.
Odległość od punktu do linii mierzony przez odcinek prostopadły poprowadzony od punktu do linii. Odcinek tej prostopadłej jest przedstawiony w pełnym rozmiarze na płaszczyźnie rzutowania, jeżeli zostanie pociągnięty do wystającej linii prostej. Zatem najpierw należy przenieść prostą do pozycji wystającej, a następnie sprowadzić na nią prostopadłą z danego punktu. Na ryc. 1 pokazuje rozwiązanie tego problemu. Aby przenieść ogólną linię pozycji AB do pozycji linii poziomu, wykonuje się x14 IIA1 B1. Następnie AB zostaje przeniesiony do pozycji rzutowania poprzez wprowadzenie dodatkowej płaszczyzny projekcji P5, dla której rysowana jest nowa oś rzutowania x45\A4 B4.
Obrazek 1
Podobnie jak punkty A i B, punkt M jest rzutowany na płaszczyznę projekcji P5.
Rzut K5 podstawy K prostopadłej obniżonej z punktu M do prostej AB na płaszczyznę rzutu P5 będzie pokrywał się z odpowiednimi rzutami punktów
A i B. Rzut M5 K5 prostopadłej MK jest wartością naturalną odległości punktu M od prostej AB.
W układzie płaszczyzn projekcyjnych P4/P5 prostopadła do MK będzie linią poziomą, gdyż leży ona w płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny projekcyjnej P5. Zatem jego rzut M4 K4 na płaszczyznę P4 jest równoległy do x45, tj. prostopadle do rzutu A4 B4. Warunki te określają położenie rzutu K4 podstawy prostopadłej K, które wyznacza się rysując linię prostą od M4 równolegle do x45 aż do przecięcia się z rzutem A4 B4. Pozostałe rzuty prostopadłej wyznaczamy rzutując punkt K na płaszczyzny rzutowe P1 i P2.
Odległość punktu od płaszczyzny
Rozwiązanie tego problemu pokazano na rys. 2. Odległość punktu M od płaszczyzny (ABC) mierzy się odcinkiem prostopadłym zrzuconym z punktu na płaszczyznę.
Rysunek 2
Ponieważ prostopadła do wystającej płaszczyzny jest linią poziomą, przechodzimy do tej pozycji dany samolot, w wyniku czego na nowo wprowadzoną płaszczyznę rzutową P4 otrzymujemy zdegenerowany rzut C4 B4 płaszczyzny ABC. Następnie rzutujemy punkt M na P4. Wartość naturalną odległości punktu M od płaszczyzny wyznacza odcinek prostopadły
[MK]=[M4 K4]. Pozostałe rzuty prostopadłości są zbudowane w taki sam sposób jak w poprzednie zadanie, tj. biorąc pod uwagę fakt, że odcinek MK w układzie płaszczyzn rzutowych P1/P4 jest linią poziomą, a jego rzut M1 K1 jest równoległy do osi
x14.
Odległość między dwiema liniami
Najmniejszą odległość pomiędzy przecinającymi się prostymi mierzy się wielkością odcinka wspólnej prostopadłej do nich, odciętego przez te proste. Zadanie rozwiązuje się wybierając (w wyniku dwóch kolejnych podstawień) płaszczyznę rzutowania prostopadłą do jednej z przecinających się prostych. W takim przypadku wymagany odcinek prostopadły będzie równoległy do wybranej płaszczyzny projekcji i zostanie na niej przedstawiony bez zniekształceń. Na ryc. Rysunek 3 przedstawia dwie przecinające się linie wyznaczone przez odcinki AB i CD.
Rysunek 3
Linie są początkowo rzutowane na płaszczyznę projekcji P4, równolegle do jednej (dowolnej) z nich, np. AB i prostopadle do P1.
Na płaszczyźnie projekcji P4 odcinek AB zostanie przedstawiony bez zniekształceń. Następnie odcinki rzutuje się na nową płaszczyznę P5, prostopadłą do tej samej linii AB i płaszczyzny P4. Na płaszczyznę rzutu P5 rzut odcinka AB prostopadle do niego degeneruje się do punktu A5 = B5, a pożądana wartość N5 M5 odcinka NM jest prostopadła do C5 D5 i jest przedstawiona w pełnym rozmiarze. Wykorzystując odpowiednie linie komunikacyjne, na oryginale konstruowane są rzuty odcinka MN
rysunek. Jak pokazano wcześniej, rzut N4 M4 żądanego odcinka na płaszczyznę P4 jest równoległy do osi rzutu x45, gdyż jest to linia pozioma w układzie płaszczyzn rzutowych P4/P5.
Zadanie wyznaczenia odległości D pomiędzy dwiema równoległymi liniami AB do CD - szczególny przypadek poprzedni (ryc. 4).
Rysunek 4
Poprzez podwójną zamianę płaszczyzn rzutowych równoległe proste zostają przeniesione do pozycji rzutowania, w wyniku czego na płaszczyźnie rzutowania P5 będziemy mieli dwa zdegenerowane rzuty A5 = B5 i C5 = D5 prostych AB i CD. Odległość między nimi D będzie równa jego wartości naturalnej.
Odległość prostej od płaszczyzny do niej równoległej mierzy się odcinkiem prostopadłym poprowadzonym z dowolnego punktu prostej na tę płaszczyznę. Wystarczy więc przekształcić płaszczyznę położenia ogólnego w położenie płaszczyzny wystającej, przyjąć punkt bezpośredni, a rozwiązanie problemu sprowadzi się do określenia odległości punktu od płaszczyzny.
Aby określić odległość pomiędzy płaszczyzny równoległe, konieczne jest przeniesienie ich do pozycji wystającej i skonstruowanie prostopadłej do zdegenerowanych rzutów płaszczyzn, których odcinek między nimi będzie wymaganą odległością.
W tym artykule omówiono ten temat « odległość punktu od linii », Omówiono definicję odległości punktu od linii na ilustrowanych przykładach z wykorzystaniem metody współrzędnych. Każdy blok teoretyczny na końcu zawiera przykłady rozwiązania podobnych problemów.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Odległość od punktu do linii wyznacza się poprzez określenie odległości od punktu do punktu. Przyjrzyjmy się bliżej.
Niech będzie prosta a i punkt M 1, który nie należy do danej prostej. Przez nią rysujemy linię prostą b, umieszczoną prostopadle do linii prostej a. Przyjmijmy punkt przecięcia linii jako H 1. Otrzymujemy, że M 1 H 1 jest prostopadłą, która została obniżona z punktu M 1 do prostej a.
Definicja 1
Odległość od punktu M 1 do linii prostej a nazywa się odległością między punktami M 1 i H 1.
Istnieją definicje, które uwzględniają długość prostopadłej.
Definicja 2
Odległość od punktu do linii jest długością prostopadłej poprowadzonej z danego punktu do danej linii.
Definicje są równoważne. Rozważ poniższy rysunek.
Wiadomo, że odległość punktu od prostej jest najmniejsza ze wszystkich możliwych. Spójrzmy na to na przykładzie.
Jeśli weźmiemy punkt Q leżący na linii prostej a, który nie pokrywa się z punktem M 1, wówczas otrzymamy, że odcinek M 1 Q nazywa się odcinkiem nachylonym, obniżonym z M 1 do linii prostej a. Należy wskazać, że prostopadła z punktu M 1 jest mniejsza niż jakakolwiek inna linia ukośna poprowadzona od punktu do linii prostej.
Aby to udowodnić, rozważmy trójkąt M 1 Q 1 H 1, gdzie M 1 Q 1 jest przeciwprostokątną. Wiadomo, że jego długość jest zawsze większa niż długość którejkolwiek z nóg. Oznacza to, że mamy M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Dane początkowe do znalezienia punktu do linii pozwalają na zastosowanie kilku metod rozwiązania: poprzez twierdzenie Pitagorasa, wyznaczanie sinusa, cosinusa, tangensa kąta i inne. Większość zadań tego typu rozwiązuje się w szkole na lekcjach geometrii.
Jeżeli przy wyznaczaniu odległości punktu od prostej można wprowadzić prostokątny układ współrzędnych, wówczas stosuje się metodę współrzędnych. W tym akapicie rozważymy dwie główne metody znajdowania wymaganej odległości od danego punktu.
Pierwsza metoda polega na szukaniu odległości jako prostopadłej poprowadzonej od M 1 do prostej a. Druga metoda wykorzystuje normalne równanie prostą a, aby znaleźć wymaganą odległość.
Jeżeli na płaszczyźnie znajduje się punkt o współrzędnych M 1 (x 1, y 1), znajdujący się pod adresem układ prostokątny współrzędne, prosta a i konieczne jest znalezienie odległości M 1 H 1, obliczeń można dokonać na dwa sposoby. Przyjrzyjmy się im.
Pierwszy sposób
Jeżeli współrzędne punktu H 1 są równe x 2, y 2, wówczas odległość punktu od linii oblicza się za pomocą współrzędnych ze wzoru M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.
Przejdźmy teraz do znalezienia współrzędnych punktu H 1.
Wiadomo, że linia prosta w Oxy odpowiada równaniu prostej na płaszczyźnie. Weźmy metodę definiowania linii prostej a, pisząc ogólne równanie prostej lub równanie ze współczynnikiem kątowym. Układamy równanie prostej przechodzącej przez punkt M 1 prostopadle do danej prostej a. Oznaczmy linię prostą literą b. H 1 to punkt przecięcia linii aib, co oznacza określenie współrzędnych potrzebnych do wykorzystania artykułu, w którym mówimy o o współrzędnych punktów przecięcia dwóch linii.
Można zauważyć, że algorytm wyznaczania odległości danego punktu M 1 (x 1, y 1) od prostej a realizowany jest według punktów:
Definicja 3
- znalezienie ogólnego równania linii prostej a w postaci A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 lub równania ze współczynnikiem kątowym w postaci y = k 1 x + b 1;
- uzyskując ogólne równanie linii b, mające postać A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 lub równanie ze współczynnikiem kątowym y = k 2 x + b 2, jeśli linia b przecina punkt M 1 i jest prostopadła do dana linia a;
- wyznaczenie współrzędnych x 2, y 2 punktu H 1, który jest punktem przecięcia aib, w tym celu rozwiązuje się układ równań liniowych A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + b 2 y + do 2 = 0 lub y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
- obliczenie wymaganej odległości od punktu do linii za pomocą wzoru M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.
Drugi sposób
Twierdzenie może pomóc w odpowiedzi na pytanie o znalezienie odległości od danego punktu do danej prostej na płaszczyźnie.
Twierdzenie
Prostokątny układ współrzędnych ma O x y ma punkt M 1 (x 1, y 1), z którego poprowadzona jest linia prosta do płaszczyzny, określona równaniem normalnym płaszczyzny, mająca bo widokα · x + cos β · y - p = 0, równe modułowi wartości otrzymanej po lewej stronie równania normalnego prostej, obliczonej przy x = x 1, y = y 1, co oznacza, że M 1 H 1 = sałata α · x 1 + sałata β · y 1 - p .
Dowód
Linia a odpowiada równaniu normalnemu płaszczyzny, mającym postać cos α x + cos β y - p = 0, wówczas n → = (cos α, cos β) uważa się za wektor normalny linii a w odległości od początek, aby wyrównać a z p jednostkami. Konieczne jest wyświetlenie wszystkich danych na rysunku, dodanie punktu o współrzędnych M 1 (x 1, y 1), gdzie wektor promienia punktu M 1 - O M 1 → = (x 1, y 1). Konieczne jest narysowanie linii prostej od punktu do linii prostej, którą oznaczamy jako M 1 H 1 . Należy pokazać rzuty M 2 i H 2 punktów M 1 i H 2 na linię prostą przechodzącą przez punkt O wektorem kierunkowym postaci n → = (cos α, cos β) i oznaczyć numeryczny rzut wektora jako O M 1 → = (x 1, y 1) w kierunku n → = (cos α , cos β) jako n p n → O M 1 → .
Różnice zależą od lokalizacji samego punktu M1. Spójrzmy na poniższy rysunek.
Wyniki ustalamy za pomocą wzoru M 1 H. 1 = n p n → O M → 1 - p. Następnie sprowadzamy równość do tej postaci M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, aby otrzymać n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .
Produkt skalarny wektorów daje w efekcie przekształcony wzór w postaci n → , O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , będący iloczynem w postaci współrzędnych forma n → , O M 1 → = sałata α · x 1 + sałata β · y 1 . Oznacza to, że otrzymujemy, że n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Wynika z tego, że M 1 H. 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p. Twierdzenie zostało udowodnione.
Okazuje się, że aby znaleźć odległość punktu M 1 (x 1 , y 1) od prostej a na płaszczyźnie należy wykonać kilka czynności:
Definicja 4
- otrzymanie równania normalnego prostej a cos α · x + cos β · y – p = 0, pod warunkiem, że nie ma tego w zadaniu;
- obliczenie wyrażenia cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, gdzie wynikowa wartość przyjmuje M 1 H 1.
Zastosujmy te metody do rozwiązywania problemów ze znalezieniem odległości punktu od płaszczyzny.
Przykład 1
Znajdź odległość punktu o współrzędnych M 1 (- 1, 2) do prostej 4 x - 3 y + 35 = 0.
Rozwiązanie
Do rozwiązania zastosujmy pierwszą metodę.
Aby to zrobić, musisz znaleźć równanie ogólne linia b, która przechodzi przez dany punkt M 1 (- 1, 2), prostopadle do prostej 4 x - 3 y + 35 = 0. Z warunku jasno wynika, że linia b jest prostopadła do linii a, wówczas jej wektor kierunkowy ma współrzędne równe (4, - 3). Mamy zatem możliwość zapisania równania kanonicznego linii b na płaszczyźnie, ponieważ istnieją współrzędne punktu M 1, który należy do prostej b. Wyznaczmy współrzędne wektora kierującego prostej b. Otrzymujemy, że x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3. Powstałe równanie kanoniczne należy przekształcić w równanie ogólne. Wtedy to zrozumiemy
x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) = 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0
Znajdźmy współrzędne punktów przecięcia linii, które przyjmiemy jako oznaczenie H 1. Transformacje wyglądają następująco:
4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5
Z tego co napisano powyżej wiemy, że współrzędne punktu H 1 są równe (- 5; 5).
Konieczne jest obliczenie odległości od punktu M 1 do linii prostej a. Mamy współrzędne punktów M 1 (- 1, 2) i H 1 (- 5, 5), następnie podstawiamy je do wzoru, aby znaleźć odległość i otrzymać to
M 1 H. 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5
Drugie rozwiązanie.
Aby rozwiązać w inny sposób, konieczne jest otrzymanie równania normalnego prostej. Obliczamy wartość współczynnika normalizującego i mnożymy obie strony równania 4 x - 3 y + 35 = 0. Stąd otrzymujemy, że współczynnik normalizujący jest równy - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5, a równanie normalne będzie miało postać - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .
Zgodnie z algorytmem obliczeniowym konieczne jest uzyskanie równania normalnego linii i obliczenie go o wartości x = - 1, y = 2. Wtedy to zrozumiemy
4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5
Z tego wynika, że odległość od punktu M 1 (- 1, 2) do danej prostej 4 x - 3 y + 35 = 0 ma wartość - 5 = 5.
Odpowiedź: 5 .
Jasne jest, że w Ta metoda Ważne jest, aby zastosować równanie normalne linii, ponieważ ta metoda jest najkrótsza. Ale pierwsza metoda jest wygodna, ponieważ jest spójna i logiczna, chociaż ma więcej punktów obliczeniowych.
Przykład 2
Na płaszczyźnie znajduje się prostokątny układ współrzędnych O x y z punktem M 1 (8, 0) i prostą y = 1 2 x + 1. Znajdź odległość danego punktu od prostej.
Rozwiązanie
Pierwsze rozwiązanie polega na odlewaniu dane równanie z nachyleniem równania ogólna perspektywa. Dla uproszczenia można to zrobić inaczej.
Jeżeli iloczyn współczynników kątowych prostych prostopadłych ma wartość - 1, to nachylenie prosta prostopadła do danej y = 1 2 x + 1 ma wartość 2. Teraz otrzymujemy równanie linii przechodzącej przez punkt o współrzędnych M 1 (8, 0). Mamy to y - 0 = - 2 · (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .
Przystępujemy do znalezienia współrzędnych punktu H 1, czyli punktów przecięcia y = - 2 x + 16 i y = 1 2 x + 1. Tworzymy układ równań i otrzymujemy:
y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H. 1 (6, 4)
Wynika z tego, że odległość od punktu o współrzędnych M 1 (8, 0) do prostej y = 1 2 x + 1 jest równa odległości od punktu początkowego i końcowego o współrzędnych M 1 (8, 0) i H1(6,4) . Obliczmy i znajdźmy, że M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5.
Rozwiązaniem drugiego sposobu jest przejście od równania ze współczynnikiem do jego postaci normalnej. Oznacza to, że otrzymujemy y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0, wówczas wartość współczynnika normalizującego będzie wynosić - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5. Wynika z tego, że równanie normalne linii ma postać - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Obliczenia przeprowadzamy od punktu M 1 8, 0 do prostej postaci - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Otrzymujemy:
M 1 H. 1 = - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5
Odpowiedź: 2 5 .
Przykład 3
Należy obliczyć odległość od punktu o współrzędnych M 1 (- 2, 4) do linii 2 x - 3 = 0 i y + 1 = 0.
Rozwiązanie
Otrzymujemy równanie postaci normalnej prostej 2 x - 3 = 0:
2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0
Następnie przystępujemy do obliczania odległości od punktu M 1 - 2, 4 do prostej x - 3 2 = 0. Otrzymujemy:
M 1 H. 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2
Równanie prostej y + 1 = 0 ma współczynnik normalizujący o wartości -1. Oznacza to, że równanie będzie miało postać - y - 1 = 0. Przystępujemy do obliczania odległości od punktu M 1 (- 2, 4) do linii prostej - y - 1 = 0. Okazuje się, że jest równe - 4 - 1 = 5.
Odpowiedź: 3 1 2 i 5.
Przyjrzyjmy się bliżej znajdowaniu odległości od danego punktu na płaszczyźnie do osie współrzędnych O x i O y.
W prostokątnym układzie współrzędnych oś O ma równanie prostej, które jest niepełne i ma postać x = 0 oraz O x - y = 0. Równania są normalne dla osi współrzędnych, wówczas należy znaleźć odległość od punktu o współrzędnych M 1 x 1, y 1 do linii. Odbywa się to w oparciu o wzory M 1 H 1 = x 1 i M 1 H 1 = y 1. Spójrzmy na poniższy rysunek.
Przykład 4
Znajdź odległość punktu M 1 (6, - 7) do linii współrzędnych znajdujących się w płaszczyźnie O x y.
Rozwiązanie
Ponieważ równanie y = 0 odnosi się do linii O x, możemy znaleźć odległość od M 1 s podane współrzędne, do tej prostej, korzystając ze wzoru. Otrzymujemy, że 6 = 6.
Ponieważ równanie x = 0 odnosi się do prostej O y, odległość od M 1 do tej prostej można znaleźć za pomocą wzoru. Wtedy otrzymamy to - 7 = 7.
Odpowiedź: odległość od M 1 do O x ma wartość 6, a od M 1 do O y ma wartość 7.
Kiedy w przestrzeń trójwymiarowa mamy punkt o współrzędnych M 1 (x 1, y 1, z 1), należy znaleźć odległość punktu A od prostej a.
Rozważmy dwie metody, które pozwalają obliczyć odległość od punktu do linii prostej znajdującej się w przestrzeni. Pierwszy przypadek dotyczy odległości punktu M 1 od prostej, gdzie punkt na tej prostej nazywa się H 1 i jest podstawą prostopadłej poprowadzonej z punktu M 1 do prostej a. Drugi przypadek sugeruje, że punktów tej płaszczyzny należy szukać jako wysokość równoległoboku.
Pierwszy sposób
Z definicji wiemy, że odległość od punktu M 1 leżącego na prostej a jest długością prostopadłej M 1 H 1, następnie otrzymujemy to ze znalezionych współrzędnych punktu H 1, następnie znajdujemy odległość między M 1 ( x 1, y 1, z 1 ) i H 1 (x 1 , y 1 , z 1) , na podstawie wzoru M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.
Stwierdzamy, że całe rozwiązanie zmierza w kierunku znalezienia współrzędnych podstawy prostopadłej poprowadzonej z M 1 do prostej a. To jest produkowane w następujący sposób: H 1 to punkt, w którym prosta a przecina się z płaszczyzną przechodzącą przez dany punkt.
Oznacza to, że algorytm wyznaczania odległości od punktu M 1 (x 1, y 1, z 1) do prostej a w przestrzeni implikuje kilka punktów:
Definicja 5
- sporządzić równanie płaszczyzny χ jako równanie płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt położony prostopadle do prostej;
- wyznaczenie współrzędnych (x 2, y 2, z 2) należących do punktu H 1 będącego punktem przecięcia prostej a i płaszczyzny χ;
- obliczanie odległości punktu od linii za pomocą wzoru M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.
Drugi sposób
Z warunku, że mamy prostą a, możemy wyznaczyć wektor kierunkowy a → = a x, a y, a z o współrzędnych x 3, y 3, z 3 i pewnym punkcie M 3 należącym do prostej a. Jeśli masz współrzędne punktów M 1 (x 1, y 1) i M 3 x 3, y 3, z 3, możesz obliczyć M 3 M 1 →:
M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)
Powinniśmy odłożyć wektory a → = a x , a y , a z i M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 z punktu M 3 , połączyć je i otrzymać figurę równoległoboku . M 1 H 1 to wysokość równoległoboku.
Spójrzmy na poniższy rysunek.
Mamy, że wysokość M 1 H 1 jest wymaganą odległością, wówczas należy ją znaleźć za pomocą wzoru. Oznacza to, że szukamy M 1 H 1.
Oznaczmy obszar równoległoboku literą S, obliczoną według wzoru za pomocą wektora a → = (a x, a y, a z) i M 3 M 1 → = x 1 - x 3. y 1 - y 3, z 1 - z 3. Wzór na pole powierzchni to S = a → × M 3 M 1 → . Ponadto obszar figury jest równy iloczynowi długości jej boków i wysokości, otrzymujemy, że S = a → · M 1 H. 1 z a → = a x 2 + a y 2 + a z 2, co jest długością wektora a → = (a x, a y, a z), będąc równa strona równoległobok. Oznacza to, że M 1 H 1 jest odległością punktu od linii. Można go znaleźć za pomocą wzoru M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .
Aby znaleźć odległość punktu o współrzędnych M 1 (x 1, y 1, z 1) do prostej a w przestrzeni należy wykonać kilka kroków algorytmu:
Definicja 6
- wyznaczenie wektora kierunku prostej a - a → = (a x, a y, a z);
- obliczenie długości wektora kierunkowego a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
- uzyskanie współrzędnych x 3 , y 3 , z 3 należących do punktu M 3 położonego na prostej a;
- obliczenie współrzędnych wektora M 3 M 1 → ;
- odkrycie produkt wektorowy wektory a → (a x , a y , a z) i M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 jako a → × M 3 M 1 → = i → jot → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3, aby otrzymać długość ze wzoru a → × M 3 M 1 → ;
- obliczanie odległości punktu od linii M 1 H. 1 = a → × M 3 M 1 → a → .
Rozwiązywanie zadań wyznaczania odległości danego punktu od danej prostej w przestrzeni
Przykład 5Znajdź odległość punktu o współrzędnych M 1 2, - 4, - 1 do linii x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5.
Rozwiązanie
Pierwsza metoda rozpoczyna się od napisania równania płaszczyzny χ przechodzącej przez M 1 i prostopadłej do dany punkt. Otrzymujemy takie wyrażenie:
2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0
Należy znaleźć współrzędne punktu H 1, który jest punktem przecięcia płaszczyzny χ z prostą określoną przez warunek. Powinniśmy odejść od Forma kanoniczna do przecinającego się. Otrzymujemy wtedy układ równań postaci:
x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0
Konieczne jest obliczenie układu x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 metodą Cramera, to otrzymujemy, że:
∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0
Stąd mamy H 1 (1, - 1, 0).
M 1 H. 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11
Druga metoda polega na rozpoczęciu od wyszukania współrzędnych w równanie kanoniczne. Aby to zrobić, należy zwrócić uwagę na mianowniki ułamka. Następnie a → = 2, - 1, 5 jest wektorem kierunku linii x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5. Długość należy obliczyć za pomocą wzoru a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.
Jasne jest, że prosta x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 przecina punkt M 3 (- 1 , 0 , - 5), stąd mamy wektor o początku M 3 (- 1 , 0 , - 5) i jego koniec w punkcie M 1 2, - 4, - 1 to M 3 M 1 → = 3, - 4, 4. Znajdź iloczyn wektorowy a → = (2, - 1, 5) i M 3 M 1 → = (3, - 4, 4).
Otrzymujemy wyrażenie w postaci a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 · jot → = 16 · ja → + 7 · jot → - 5 · k →
stwierdzamy, że długość iloczynu wektorowego jest równa a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330.
Mamy wszystkie dane, aby skorzystać ze wzoru na obliczenie odległości od punktu dla prostej, więc zastosujmy go i otrzymamy:
M 1 H. 1 = za → × M 3 M 1 → za → = 330 30 = 11
Odpowiedź: 11 .
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter